Falomir - Volumen 1-Analisis FuncionalA
May 7, 2017 | Author: garfacio30 | Category: N/A
Short Description
Descripción: Falomir - Volumen 1-Analisis Funcional...
Description
Libros de Cátedra
Curso de métodos de la física matemática Volumen I - Introducción al análisis funcional Horacio A. Falomir
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
CURSODE MÉTODOSDELAF ÍS ICA MATEMÁT ICA VOLUMEN I I NTRODUCC IÓNALANÁL IS ISFUNC IONAL
Ho rac ioA .Fa lom i r
Depa r tamen todeF ís i ca Facu l taddeC ien c ia sExac tas
1
Am ifam i l ia ,
3
A grade c im ien to s D e s e o man i f e s ta rm ia g r ad e c im i en toae s tud ian t e syc o l e ga squ ehanc on t r i bu ido c onsu sp r e gun ta s ,c om en ta r io syc r ı ´ t i c a sa m e jo r a rlae xp o s i c i´ ond elo st ema s a qu ı ´t r a tado syad e cua r laa ln i v e lyo b j e t i vo sd ee s t ecu r so ,a s ı ´c omoato do s a qu e l l o squ ehana l en tadoe ld e sa r r o l lod ela sNo ta sd e lCu r sod eM e ´ to do sd ela F ı ´ s i c a Ma t em´ a t i c a ,qu efu e r ano r i g end ee s to sdo svo l´ um en e s . T am b i e ´nr e c ono c e re lin su s t i tu i b l eap o yoqu eh er e c i b idod elaUn i v e r s idad N a c i ona ld eL aP la tayd e lCon s e joNa c iona ld eIn v e s t i ga c ion e sC i en t ı ´ fi c a sy T e ´ cn i c a sd eA r g en t ina(CON ICET )p a r ae ld e sa r r o l lod em ia c t i v idad ,en p a r t i cu l a r ,p a r alac on c r e c i´ ond ee s t ep r o y e c to . F in a lm en t e ,a g r ad e c e re la l i en toyap o yor e c i b idod em ifam i l iayam i go sdu r an t ela r e da c c i´ ond ee s t et e x to .
PREFAC IO L o sd o sv o l´ um en e sd ee s t e Cu r s od eM e ´ t od o sd el aF ı ´ s i c aM a t em ´ a t i c acub r en l o sc on t en id o sd e lcu r s oh om ´ on im od e s t in ad oae s tud i an t e sd el a sL i c en c i a tu r a sen F ı ´ s i c ad el aF a cu l t add eC i en c i a sEx a c t a syenC i en c i a sA s t r on ´ om i c a sd el aF a cu l t ad d eC i en c i a sA s t r on ´ om i c a sy G e o f ı ´ s i c a sd el aUn iv e r s id adN a c i on a ld eL aP l a t a .S e t r a t ad eun aa s i gn a tu r acu a t r im e s t r a lop t a t iv aal aqu ee s o se s tud i an t e spu ed ent en e r a c c e s oap a r t i rd e ls e gund ocu a t r im e s t r ed e lt e r c e ra˜ n od ee s a sc a r r e r a s ,un av e zqu e h a y ant om ad ocu r s o sd eA l g eb r aL in e a lyd eE cu a c i on e sD i f e r en c i a l e s( ad em ´ a sd e l o sb ´ a s i c o s ,v a r i ab l ec omp l e j ain c lu id a ) . E s t et ex t oe s t ´ ab a s ad oenl a sN o t a sd e l Cu r s od eM e ´ t od o sd el aF ı ´ s i c aM a t em ´ a t i c a ,r e su l t ad od ev a r i o sa˜ n o sd ed i c t ad od ee s aa s i gn a tu r adu r an t el o scu a l e s s eh anid oad e cu and ol o sc on t en id o sye ln iv e ld el aexpo s i c i ´ onal a spo s ib i l id ad e s qu eo f r e c eun aa s i gn a tu r acu a t r im e s t r a ld ee s t a sc a r a c t e r ı ´ s t i c a syene s ae t ap ad el a s m en c i on ad a sc a r r e r a s .D ee s em od o ,e s a sN o t a sfu e r onr ed a c t ad a sc one lob j e t od e in t r odu c i ra le s tud i an t eene lm an e j od ec on c ep t o sy m e ´ t od o squ eh o yr e su l t anb ´ a s i c o senl aF ı ´ s i c aM a t em ´ a t i c aysu sap l i c a c i on e sal aM e c ´ an i c aCu ´ an t i c a ,l a sT e o r ı ´ a s d el a sIn t e r a c c i on e sF und am en t a l e syl aM a t e r i aC ond en s ad a . L a st em ´ a t i c a squ ecub r ee s t ecu r s osu e l ens e rexpu e s t a senl anum e r o s ab ib l i o g r a f ı ´ ad i spon ib l e( eng en e r a l ,enid i om ain g l e ´ s )d eun am an e r aex c e s iv am en t eab s t r a c t aoex t en s ap a r al a sn e c e s id ad e syob j e t iv o sd e lm i sm o .P o re lc on t r a r i o ,e s t o s d o sv o l´ um en e sh ans id oe s c r i t o sbu s c and oin t r odu c i rl o sc on c ep t o sd ef o rm ac l a r ay n a tu r a l ,c onunl en gu a j ead e cu ad oa ln iv e ld ec a r r e r a sd eg r ad o ,p r o cu r and of a c i l i t a r l ap r e s en t a c i ´ onyafi an z am i en t od el o sc on o c im i en t o sm ed i an t eun ae j emp l ifi c a c i ´ on c on v en i en t em en t es e l e c c i on ad a .A s ı ´ ,s eh abu s c ad om an t en e re lr i g o rm a t em ´ a t i c oen l ap r e s en t a c i ´ onp e r op r o cu r and oe ld e s a r r o l l od el an e c e s a r i ain tu i c i ´ ons ob r ec ad a t em a . Ene s es en t id o ,s eh anev i t ad ol a sc omp l i c a c i on e sd eun aexpo s i c i ´ onex c e s iv am en t ef o rm a loab s t r a c t ay ,s inp e rd e rd ev i s t al an e c e s a r i ag en e r a l id ad ,s eh abu s c ad o pon e re la c en t oenaqu e l l a ss i tu a c i on e sc on c r e t a squ er efl e j anl o sc on c ep t o sd em a n e r am ´ a st r an sp a r en t eyd ond ee lc ´ a l cu l od i r e c t opu ed er e su l t a rm ´ a sin s t ru c t iv o .
5
6
PREFAC IO
A s ıe ´ sc om o ,ene lp r im e rv o lum en ,l a sp r op i ed ad e sd el o se sp a c i o sd eH i lb e r t s onp r e s en t ad a ss inr e cu r r i ral at e o r ı ´ ad el am ed id a( l oqu eex c ed e r ı ´ al a spo s ib i l i d ad e sd e lcu r s o ) ,s in om ed i an t eun ain t r odu c c i ´ onin tu i t iv ad e lc on c ep t od ein t e g r a l d eL eb e s gu equ e ,n oob s t an t e ,r e su l t asufi c i en t ep a r al o sp r op ´ o s i t o sd e lcu r s o .L a s p r op i ed ad e se sp e c t r a l e sd el o sop e r ad o r e sc omp a c t o ss ond e r iv ad a syemp l e ad a sp a r ad e s a r r o l l a rl o sm e ´ t od o sd er e s o lu c i ´ ond ee cu a c i on e sin t e g r a l e syp a r ae s tud i a rl a s p r op i ed ad e sd e lop e r ad o rr e s o lv en t e .T amb i e ´ne san a l i z ad oe lp r ob l em ad el ad e t e rm in a c i ´ ond el a sex t en s i on e sau t o ad jun t a sd eop e r ad o r e ss im e ´ t r i c o sn oa c o t ad o s , t om and oc om oe j emp l oop e r ad o r e sd eu s oh ab i tu a lencu r s o sd eM e c ´ an i c aCu ´ an t i c a . L at r an s f o rm a c i ´ ond eF ou r i e re se s tud i ad aene le sp a c i od eS ch aw r t z ,p a r alu e g os e r ex t end id aa le sp a c i od efun c i on e sd ecu ad r ad oin t e g r ab l ec onl o sm e ´ t od o sp r op i o sd e l e sp a c i od eH i lb e r t .P o r´ u l t im o ,s ein c luy eun ain t r odu c c i ´ onal aT e o r ı ´ ad eD i s t r ibu c i on e senl aqu es ep r e s en t a( c onunbu enn´ um e r od ee j emp l o s )d e sd el a sd efin i c i on e s b ´ a s i c a sd ec on v e r g en c i a ,d e r iv ad a ,p r im i t iv ayt r an s f o rm a c i ´ ond eF ou r i e r ,h a s t al a c on v o lu c i ´ ond ed i s t r ibu c i on e s ,c onap l i c a c i ´ onal ar e s o lu c i ´ ond ee cu a c i on e sd i f e r en c i a l e send e r iv ad a sp a r c i a l e semp l e and osu ss o lu c i on e sfund am en t a l e sofun c i on e sd e G r e en . E ls e gund ov o lum ene s t ´ ad ed i c ad oaun ain t r odu c c i ´ onal aT e o r ı ´ ad eG rupo s , h e r r am i en t ae s en c i a ld el a sm od e rn a st e o r ı ´ a sd el aF ı ´ s i c a .A s ı ´e sc om o ,d e spu e ´ sd e l ap r e s en t a c i ´ ond el o se l em en t o sg en e r a l e sd el at e o r ı ´ a ,s ec on s id e r anl a sp r op i ed ad e s d el o sg rupo sd eo rd enfin i t oysu sr ep r e s en t a c i on e s ,d eap l i c a c i ´ on ,po re j emp l o ,al a F ı ´ s i c aM o l e cu l a ryd e lS ´ o l id o ,ye lc a s od el o sg rupo sc on t inu o s ,d er e l ev an c i ap a r a l aM e c ´ an i c aCu ´ an t i c ayl aF ı ´ s i c ad el a sIn t e r a c c i on e sF und am en t a l e s . E lin t e r e ´ sene le s tud i od el a sr ep r e s en t a c i on e sm a t r i c i a l e sd el o sg rupo sd es i m e t r ı ´ a se sm o t iv ad oc on s id e r and ol ae cu a c i ´ ond eS ch r ¨ od in g e renunpo t en c i a lc en t r a l , p a r alu e g or e f e r i r s em ´ a sg en e r a lm en t eal o sg rupo sd es im e t r ı ´ a sd es i s t em a scu ´ an t i c o s .Enl ap r e s en t a c i ond ´ el o sg rupo sd eL i es ´ o l os ep r opon eun ad e s c r ip c i ´ onin tu i t iv a d el a sv a r i ed ad e sd i f e r en c i ab l e sysu sg rupo sd eh om o t op ı ´ a .L a sp r op i ed ad e sd el a s ´ a l g eb r a sd eL i es ond e r iv ad a sp r e f e r en t em en t eap a r t i rd esu sr ep r e s en t a c i on e sm a t r i c i a l e s ,l oqu er e su l t am ´ a sa c c e s ib l equ ep r e s en t a c i on e sm ´ a sab s t r a c t a s .Enp a r t i cu l a r , 2 )ySO( 3 )yd esu sr ep r e s en t a c i on e si r r edu c ib l e ss eex e le s tud i od el o sg rupo sSU( pon ec on m a y o rex t en s i ´ on ,p r o cu r and og en e r a rap a r t i rd ee l l o sl a sid e a sb ´ a s i c a s qu ef a c i l i t enl ain t r odu c c i ´ ond eg rupo sm ´ a sc omp l i c ad o syd esu sp r op i ed ad e senl o s cu r s o spo s t e r i o r e sd eP a r t ı ´ cu l a syC ampo squ el or equ i e r an . L ac l a s ifi c a c i ´ ond eC a r t and e l a s´ a l g eb r a ss imp l e sysu sr ep r e s en t a c i on e s ,d e s c r i t a s m ed i an t er a ı ´ c e s ,p e s o sye lg rupod eW ey l ,s onp r e s en t ad o sd em an e r amuyr e sum id a ym ´ a sb i enat ı ´ tu l oin f o rm a t iv o ,d ad oe ll im i t ad ot i empod i spon ib l e .
PREFAC IO
7
P o r´ u l t im o ,c om oe j emp l od eg rupod eL i en oc omp a c t oypo rsur e l ev an c i ap a r a l af o rmu l a c i ond ´ et e o r ı ´ a sr e l a t iv i s t a s ,e san a l i z ad oe lg rupod eL o r en t zysu sr ep r e s en t a c i on e si r r edu c ib l e s ,l oqu ep e rm i t esuap l i c a c i ´ onencu r s o sd eT e o r ı ´ aCu ´ an t i c a d eC ampo soG r a v i t a c i on ´ . Ambo sv o l´ um en e sfin a l i z anc onunl i s t ad od ee j e r c i c i o sp r opu e s t o s ,c onl o squ e s ebu s c aafi an z a ryc omp l em en t a rl aexpo s i c i ´ onp r ev i ad ec ad at em a . C ab ec on s i gn a rqu e ,s ib i enl o sc on t en id o sd e s c r i t o sju s t ifi c a r ı ´ ane ld i c t ad od e d o scu r s o ss ep a r ad o s(un od e An ´ a l i s i sF un c i on a lyo t r od eT e o r ı ´ ad eG rupo s ) ,e l en f oqu equ es eh ad ad oae s t et ex t oh ap e rm i t id oqu el o se s tud i an t e sal o squ e e s t ´ ad i r i g id oa c c ed i e r anenuncu a t r im e s t r eac on o c im i en t o squ er e su l t ane s en c i a l e s p a r al aF ı ´ s i c am od e rn a ,s a t i s f a c i end on e c e s id ad e sc on c r e t a sd ea l gun a so r i en t a c i on e s d el a sL i c en c i a tu r a senF ı ´ s i c ayenC i en c i a sA s t r on ´ om i c a s . P o ro t r ap a r t e ,s e˜ n a l em o squ ee s t o sv o l´ um en e sn op r e t end ensu s t i tu i ral o sl ib r o s qu es onr e f e r en c i a su su a l e sene s t a s´ a r e a s ,d el o scu a l e ss ´ o l oun o spo c o sh ans id o l i s t ad o senl aB ib l i o g r a f ı ´ a ,s in om ´ a sb i enc on s t i tu i run ain t r odu c c i ´ onp a r aaqu e l l o s qu er equ i e r anunc on o c im i en t om ´ a samp l i oyf o rm a ld el o st em a saqu ı ´t r a t ad o s . F in a lm en t e ,d i g am o squ enu e s t r oen f oqu ee s t ´ ab a s ad op r in c ip a lm en t eenl ab i b l i o g r a f ı ´ as e˜ n a l ad aa lfin a ld ec ad ac ap ı ´ tu l o .
L aP l a t a ,d i c i emb r ed e2 0 1 4 .
H o r a c i oA .F a l om i r
´ Ind icegene ra l PREFAC IO
5
Cap ı ´ tu lo1 . ESPAC IOSEUCL´ IDEOS
13
1 .1 . E sp a c i o seu c l ı ´ d e o s
13
1 .2 . F o rm a sl in e a l e ss ob r ee sp a c io seu c l ı ´ d eo s
20
1 .3 . Op e r ad o r e sl in e a l e ss ob r ee spa c io seu c l ı ´ d eo s
22
1 .4 . S i s t em a sd ev e c t o r e so r t o g ona l e s
27
1 .5 . Op e r ad o r e sa c o t ad o s
28
1 .6 . E lop e r ad o rad jun t o
32
1 .7 . Sub e sp a c i o sinv a r i an t e s .Au tov e c to r e syau tov a lo r e s
33
1 .8 . P r op i ed ad e sd el o sau t ov e c to r e s
35
1 .9 . D i s t an c i ayl ım ´i t eene sp a c io seu c l ı ´ d eo s
41
1 .10 . C on t inu id adene sp a c i o seu c l ı ´ d eo s
44
Cap ı ´ tu lo2 . ESPAC IOSDEH ILBERT
49
2 .1 . C on jun t o sd en s o sene sp a c i o seu c l ı ´ d eo s
49
2 .2 . C on jun t o snum e r ab l e s
52
2 .3 . S e cu en c i a sd eC au ch yene spa c io seu c l ı ´ d eo s
54
2 .4 . E sp a c i o sc omp l e t o s
56
2 .5 . E le sp a c i oL2
57
2 .6 . C omp l e t am i en t od ee sp a c i o seu c l ı ´ d eo s
61
2 .7 . L ain t e g r a ld eL eb e s gu e
64
2 .8 . E le sp a c i oL2( a ,b)
68
2 .9 . C omp l em en t o so r t o g on a l e s
71
2 .10 . D e s a r r o l l o so r t o g on a l e s
74
Cap ı ´ tu lo3 . FORMASY OPERADORESSOBREESPAC IOSDEH ILBERT
83
3 .1 . F un c i on a l e sl in e a l e sa c o t ad a sene spa c io scomp l e to s
83
3 .2 . E lop e r ad o rin t e g r a ld eF r edho lm
84
3 .3 . Op e r ad o r e sc omp l e t am en t econ t inuo s
85
3 .4 . Au t ov e c t o r e syau t ov a l o r e sd eop e rado r e scomp l e tam en t econ t inuo s
90
3 .5 . Au t ov e c t o r e sd eop e r ad o r e sd eF r edho lm
94
3 .6 . E cu a c i on e sin t e g r a l e sinh omog e ´n ea s
97
3 .7 . Op e r ad o r e sn oa c o t ad o sc oninv e r sa scomp l e tam en t econ t inua s
103
3 .8 . E lop e r ad o rd eS tu rm-L i ouv i l l e
106 9
´ Ind i c eg en e ra l
10
Cap ı ´ tu lo4 . ECUAC IONESINTEGRALES
115
4 .1 . Au t ov a l o r e sd eop e r ad o r e scompa c to s
115
4 .2 . E cu a c i on e sin t e g r a l e sd en´ u c l eonoh e rm ı ´ t i co
116
4 .3 . E cu a c i on e sin t e g r a l e sd ep end i en t e sd eunpa r´ am e t rocomp l e jo
118
4 .4 . Op e r ad o rr e s o lv en t e
120
4 .5 . C on s t ru c c i ´ ond eRµ enunen to rnod e lo r ig en
122
4 .6 . Ex t en s i ´ onan a l ı ´ t i c ad eRµ
125
4 .7 . R e s o lv en t ed eop e r ad o r e sin t eg ra l e s
126
4 .8 . M e ´ t od od el o sd e t e rm in an t e sd eF r edho lm
135
´NDEFOUR Cap ı ´ tu lo5 . LATRANSFORMAC IO IEREN L2( R)
139
5 .1 . E sp a c i o sLp
139
5 .2 . T r an s f o rm a c i ond ´ eF ou r i e renL1( R)
139
5 .3 . Sub e sp a c i o sd en s o senL2( R)
142
5 .4 . E le sp a c i od eS chw a r t z
144
5 .5 . T e o r em ad eP l an ch e r e l
147
5 .6 . S i s t em a sc omp l e t o senL2( R)
150
Cap ı ´ tu lo6 . OPERADORESNOACOTADOS
153
6 .1 . Ex t en s i on e sd eop e r ad o r e sl in ea l e s
153
6 .2 . E sp e c t r o-R e s o lv en t e
156
6 .3 . E lop e r ad o rad jun t o
157
6 .4 . Op e r ad o r e ss im e ´ t r i c o s
163
6 .5 . Ex t en s i on e sau t o ad jun t a sd eop e rado r e ss im e ´ t r i co s
164
6 .6 . T e o r ı ´ ad ev onN eum ann
170
Cap ı ´ tu lo7 . TEOR´ IADED ISTR IBUC IONES
179
7 .1 . E le sp a c i oK
179
7 .2 . D i s t r ibu c i on e ss ob r eK
181
7 .3 . P r op i ed ad e sl o c a l e sd el a sd i s t r ibu c ion e s
182
7 .4 .
E le sp a c i odu a l :K∗
7 .5 . L ad e r iv a c i onenK∗ ´
183 186
7 .6 .
E cu a c i on e sd i f e r en c i a l e senK∗
193
7 .7 .
L ad i s t r ibu c i ´ onxλ +
198
7 .8 . T r an s f o rm a c i ond ´ eF ou r i e renK.E le spa c ioZ.
201
7 .9 . D i s t r ibu c i on e ss ob r eZ
204
7 .10 . T r an s f o rm a c i ond ´ eF ou r i e renK∗
204
7 .11 . D i s t r ibu c i on e st emp e r ad a s
210
7 .12 . P r odu c t od i r e c t od ed i s t r ibu c ion e s
210
7 .13 . P r odu c t od ec onv o lu c i onenL1( ´ R)
211
7 .14 .
P r odu c t od ec onv o lu c i onenK∗ ´
214
´ Ind i c eg en e ra l
11
7 .15 . Ap l i c a c i on e sd e lp r odu c t od econv o lu c i´ on
217
7 .16 . D e r iv a c i onein ´ t e g r a c i ond ´ eo rd ena rb i t ra r io
224
7 .17 . D e s c ompo s i c i ´ onend i s t r ibu c ion e sp rop ia s
229
Ap e ´nd i c eA . EJERC IC IOSPROPUESTOS
235
A .1 . E sp a c i o sEu c l ı ´ d e o s
235
A .2 . Op e r ad o r e sa c o t ad o s
237
A .3 . Sub e sp a c i o sinv a r i an t e s .Au tov e c to r e syau tov a lo r e s
239
A .4 . D i s t an c i a ,l ım ´i t eyc on t inu idadene spa c io seu c l ı ´ d eo s
240
A .5 . C on jun t o sc e r r ad o s ,c on jun to sd en so s
240
A .6 . E sp a c i o sc omp l e t o s
241
A .7 . In t e g r a ld eL eb e s gu e
242
A .8 . D e s a r r o l l o so r t o g on a l e s-S i s t ema scomp l e to s
242
A .9 . F un c i on a l e sl in e a l e syc on t inua s
243
A .10 . Op e r ad o r e sc omp a c t o s
243
A .11 . Op e r ad o r e sin t e g r a l e sd eF r edho lm
243
A .12 . E lm e ´ t od od eR ay l e i gh -R i t z
244
A .13 . Op e r ad o r e sn oa c o t ad o sc oninv e r sa scompa c ta s
244
A .14 . E cu a c i on e sin t e g r a l e sd en´ u c l eod ecuad radosumab l e
245
A .15 . R e s o lv en t ed ee cu a c i on e sin t eg ra l e s
246
A .16 . E le sp a c i oL1
247
A .17 . L aT r an s f o rm a c i ond ´ eF ou r i e r
247
A .18 . Op e r ad o r e sn oa c o t ad o s
248
A .19 . T e o r ı ´ ad eD i s t r ibu c i on e s
250
A .20 . S o lu c i ´ ond ee j e r c i c i o ss e l e c c ionado s
252
´ Ind i c ea l f ab e ´ t i c o
259
B ib l iog ra f ı ´ a
263
C ap ı ´ tu l o1
ESPAC IOS EUCL´ IDEOS 1 .1 . E spac io seuc l ı ´ deo s Une sp a c i ol in e a lE( s ob r ee lcu e rpod el o sc omp l e j o sol o sr e a l e s )s ed i c e eu c l ı ´ deo1 s it i en ed efin id aun ar e g l aqu eat od op a rd ev e c t o r e sd eE l ea s i gn a unn´ um e r oc omp l e j o( r e a lene ls e gund oc a s o ) ,l l am ad op roduc toe sca la r,qu es a t i s f a c el o ss i gu i en t e sax i om a s :∀x ,y ,z∈Ey∀α ,β∈C( oR) ,e lp r odu c t oe s c a l a r e s l inea lr e sp e c t od e ls e gund oa r gum en t o , ( z ,αx+βy)=α( z ,x )+β( z ,y ),
( 1 . 1 . 1 )
He rm ı ´ t ico2( s ime ´ t r icoenune sp a c i or e a l ) , ∗ ( y ,x )=( x ,y)
( 1 . 1 . 2 )
(d ond eA∗ ind i c ae lc omp l e j oc on ju g ad od eA) , po s i t ivodefin ido, ( x ,x)≥0 ,y(x ,x)=0⇔ x=0,
( 1 . 1 . 3 )
d ond e0∈Ee se lv e c t o rnu l od ee s ee sp a c i o . N ´ o t e s equ el o sp r im e r o sd o sax i om a simp l i c anqu ee lp r odu c t oe s c a l a renun e sp a c i oc omp l e j oe san t i l inea lr e sp e c t od esup r im e ra r gum en t o( se squ i l inea l ) , ∗ ( αx+βy ,z)=( z ,αx+βy) =α∗( x ,z)+β∗( y ,z),
( 1 . 1 . 4 )
m i en t r a squ eenune sp a c i or e a le sb i l inea l. T od af o rm acu ad r ´ a t i c ad efin id as ob r eune sp a c i ov e c t o r i a l E,qu es e al in e a l , H e rm ı ´ t i c aypo s i t iv ad efin id apu ed es e rt om ad ac om op r odu c t oe s c a l a r ,p a r aa s ı ´d a r l e aEl ae s t ru c tu r ad eune sp a c i oeu c l ı ´ d e o . 1E u c l ı ´ d e sd eA l e jand r ı ´ a(325-265a . c . ) . 2C h a r l e sH e rm i t e(1822-1901 ) .
13
´ 1 .ESPAC IOS EUCL IDEOS
14
E jemp lo 1 . 1 .P a r ax ,y∈Rn,s ed efin e ∑n ( x ,y):= xiy i,
( 1 . 1 . 5 )
i =1
yp a r ax ,y∈Cn,
∑n ( x ,y):= x∗ i. iy
( 1 . 1 . 6 )
i =1
Enambo sc a s o ss ev e r ifi c anl o san t e r i o r e sax i om a s . E jemp lo1 . 2 .S ed en om in aC( a ,b)a lc on jun t od el a sfunc ione scon t inua sx( t ) d efin id a sene lin t e rv a l oc e r r ad o−∞2δ ,∀k̸ =l . k−λ le l∥ =|
( 3 . 4 . 8 )
Ene s a sc ond i c i on e s ,r e su l t aimpo s ib l es e l e c c i on a run asub s e cu en c i afund am en t a l ,l o qu ee s t ´ aenc on t r ad i c c i ´ onc onl ah ip ´ o t e s i sd ec omp a c id add e lop e r ad o rA. P o rl ot an t o ,e lc on jun t od eau t o v e c t o r e so r t on o rm a l e sd el ae c .( 3 . 4 . 7 )h ad e c on t en e runn´ um e r ofin i t od ee l em en t o s . E lL em a3 . 6imp l i c aqu es iunop e r ad o rs im e ´ t r i c oc omp l e t am en t ec on t inu ot i en e unn´ um e r oinfin i t od eau t o v a l o r e sn onu l o s ,e l l o sf o rm anun as e cu en c i aqu ec on v e r g e a lo r i g en .Ad em ´ a s ,l ad e g en e r a c i ´ ond ecu a lqu i e rau t o v a l o rn onu l oe sfin i t a( e sd e c i r , l o ssub e sp a c i o sc a r a c t e r ı ´ s t i c o sc o r r e spond i en t e saau t o v a l o r e s λ̸ =0s ond ed im en s i ´ on fin i t a ) . Ap a r t i rd ee s t o sr e su l t ad o spod em o sc on c lu i rqu es iunop e r ad o rs im e ´ t r i c oc om p l e t am en t ec on t inu oA t i en eunc on jun t oinfin i t od eau t o v a l o r e sn onu l o s ,´ e s t o s pu ed ens e rd i spu e s t o seno rd end e c r e c i en t ed esu sv a l o r e sab s o lu t o s ,d em od oqu e f o rm enun as e cu en c i ac on v e r g en t ea0 .L o sc o r r e spond i en t e sau t o v e c t o r e ss on ,po r c on s t ru c c i ´ on ,o r t o g on a l e sen t r es ı ´ ,a´ uncu and oc o r r e spond ana lm i sm oau t o v a l o r . Ene s a sc ond i c i on e s ,ob t en em o sunc on jun t onum e r ab l ed eau t o v e c t o r e so r t on o r m a l e s ,{ e e . . . ,e . . . } ,cuy o sau t o v a l o r e s ,qu es a t i s f a c en 1, 2, k, ∥A∥=| λ1|≥| λ2|≥· · ·≥| λk|≥. . .,
( 3 . 4 . 9 )
f o rm anun as e cu en c i aqu ec on v e r g ea lo r i g en ,λk → 0 . M o s t r a r em o sah o r aqu et od ov e c t o r zo r t o g on a lal o sau t o v e c t o r e se s ıc ´ on s ka t ru id o ss a t i s f a c eAz=0.
3 .4 . AUTOVECTORES Y AUTOVALORES DE OPERADORES COMPACTOS
93
Lema 3 . 7 .S iunv e c to rnonu loz∈ E e so r to gona lato do slo sau to v e c to r e s e o r r e sp ond i en t e saau to va lo r e snonu lo sd eunop e r ado rs im e ´ t r i c oc omp l e tam en t e kc c on t inu oA,d efin idoso b r eune sp a c ioeu c l ı ´ d e oc omp l e toE,en ton c e sze sunau to v e c t o rd eAc o r r e sp ond i en t ea lau to va lo r0 . C on s id e r em o sl av a r i ed adl in e a lg en e r ad apo r( t od o s )l o sau t o v e c t o r e sd eAc o r r e spond i en t e saau t o v a l o r e sn onu l o s :L{e e . . . ,e . . },d ond e 1, 2, k. Aek =λke =0. k, λ k̸
( 3 . 4 . 1 0 )
L l am em o sFasuc l au su r a ,F=L{e e . . . ,e . . },yF⊥ asuc omp l em en t oo r t o 1, 2, k. g on a l . D ad oqu eAe ss im e ´ t r i c oyL{e e . . . ,e . . }e sin v a r i an t e ,F⊥ e sunsub e sp a c i o 1, 2, k. c e r r ad oin v a r i an t ef r en t eal aa c c i ´ ond eA.Ene s a sc ond i c i on e s ,pod em o sc on s id e r a r l ar e s t r i c c i ´ ond e lop e r ad o rAa lsub e sp a c i oF⊥,qu ee se ´ lm i sm oune sp a c i oeu c l ı ´ d e o c omp l e t o . S e a { M :=sup
} ∥Ax∥, x∈F⊥ ∥x∥=1
( 3 . 4 . 1 1 )
l an o rm ad el ar e s t r i c c i´ ond eA a lsub e sp a c i oF⊥.S iM > 0 ,po re lL emm a3 . 5 , s ab em o squ eAt end r ı ´ aunau t o v e c t o rd eau t o v a l o rλ=±M ̸ =0 .P e r o ,po rh ip ´ o t e s i s , e s on oo cu r r e ,y aqu et od o sl o sau t o v e c t o r e sc o r r e spond i en t e saau t o v a l o r e sn onu l o s e s t ´ anc on t en id o senF. P o rl ot an t o ,M =0⇒ Az=0,∀z∈F⊥. Ah o r ab i en ,po re lT e o r em a2 . 4 ,s ab em o squ et od ov e c t o r x∈ E t i en eun a d e s c ompo s i c i ´ on´ un i c ac om ol asum ax=u+v,c onu∈Fyv∈F⊥. P o ro t r ap a r t e ,enl a sc ond i c i on e sd e lL em a3 . 7 ,e lc on jun t od eau t o v e c t o r e sd eA c o r r e spond i en t e saau t o v a l o r e sn onu l o s ,{e . . . ,e . . } ,c on s t i tuy e(po rc on s t ru c 1, k. c i ´ on )uns i s t em ao r t on o rm a lyc omp l e t oenFqu e ,po rs e runsub e sp a c i oc e r r ad od e une sp a c i oc omp l e t o ,e se ´ lm i sm oune sp a c i oeu c l ı ´ d e oc omp l e t o . Enc on s e cu en c i a ,t od ov e c t o r u∈ F e se ll ım ´i t ed esud e s a r r o l l od eF ou r i e r r e sp e c t od ed i ch os i s t em ao r t on o rm a l , ∑ u= ake onak =(e )=( e ) . k, c k,u k,x
( 3 . 4 . 1 2 )
{e λk̸ =0} k|
E s t o sr e su l t ad o sp ru eb ane ls i gu i en t e T eo rema 3 . 3 .S e aA unop e r ado rs im e ´ t r i c oc omp l e tam en t ec on t inuod efin ido s o b r eune sp a c ioeu c l ı ´ d e oc omp l e toE.En ton c e s ,to dov e c to rx∈Epu e d es e rr ep r e s en t a d oc omolasumad edo sv e c to r e so r to gona l e sen t r es ı ´ ,x=u+v,dond eue se l
94
3 .FORMAS Y OPERADORESSOBRE ESPAC IOS DE H ILBERT
l ı ´m i t ed eunasumaqu es ee x t i end eso b r ee lc on jun tod eau to v e c to r e so r tono rma l e s d eAc o r r e sp ond i en t e saau to va lo r e snonu lo s , ∑ u= ake onak =(e ), k c k,x
( 3 . 4 . 1 3 )
{e λk̸ =0} k|
yd on d eve sunau to v e c to rd eAc o r r e sp ond i en t ea lau to va lo rnu lo , Av=0=0v .
( 3 . 4 . 1 4 )
S iE e sune sp a c i od eH i lb e r t ,e ss ep a r ab l e .En t on c e sE c on t i en eunc on jun t o d en s onum e r ab l e ,G = {xk,k∈ N} ⊂E,cuy o se l em en t o st amb i e ´nt i en enun a ⊥ d e s c ompo s i c i ´ on´ un i c ac om osum a sd el af o rm axk =uk+v onuk ∈Fyv k,c k ∈F .
D ad ounv e c t o ra rb i t r a r i ox∈Eyunn´ um e r oε>0 ,s i emp r ee spo s ib l een c on t r a r unv e c t o rxk ∈G t a lqu e 2 2 2 2 ε >∥x−xk ∥ =∥u−uk ∥2+∥v−v ∥v−v k∥ ≥ k∥ ,
( 3 . 4 . 1 5 )
d ed ond er e su l t aqu ee lc on jun t onum e r ab l e{v ∈N}e sd en s oenF⊥.En t on c e s , k,k F⊥ e sune sp a c i oc omp l e t oys ep a r ab l e . Env i r tudd e lT e o r em a2 . 6 ,po ro r t o g on a l i z a c i ´ ond el as e cu en c i a{v ∈N}s e k,k ob t i en euns i s t em ao r t on o rm a lyc omp l e t oenF⊥,cuy o se l em en t o ss onau t o v e c t o r e s d eAc o r r e spond i en t e st od o se l l o sa lau t o v a l o rnu l o , {E1, E2, . . . , Ek, . . . }( Ek, El)=δ AEk =0Ek =0. k l;
( 3 . 4 . 1 6 )
P o rl ot an t o ,t od ov e c t o rv∈F⊥ e se ll ım ´i t ed eund e s a r r o l l od eF ou r i e rd el a f o rm a v=
∑
b ond eb (Ek,v )=( Ek,x ) . kE k, d k=
( 3 . 4 . 1 7 )
{Ek| λk=0}
E s t o sr e su l t ad o s ,jun t oc one lT e o r em a3 . 3 ,p ru eb ane ls i gu i en t eT e o r em ad e H i lb e r t : T eo rema3 . 4 .T o doop e r ado rs im e ´ t r i c oyc omp l e tam en t ec on t inuod efin idoso b r e une s p a c iod eH i l b e r tt i en euns i s t emao r tono rma lc omp l e tod eau to v e c to r e s . 3 .5 . Au tov ec to re sdeope rado re sdeF redho lm C on s id e r em o sunop e r ad o rin t e g r a ld eF r edh o lm A d en´ u c l e oh e rm ı ´ t i c oyd e cu ad r ad osum ab l e , ∗ K( s ,t )=K( t ,s ) , K=∥K( t ,s )∥
View more...
Comments
