Factorizacion Lu

 

Factorización LU

CONSTRUIMOS FUTURO

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Factorización LU

•Este tipo de factorización es útil para la resolución de sistemas de ecuaciones.

•Resume el proceso de eliminación gaussiana aplicado a la matriz

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Factorización LU Suponga que la matriz A es una matriz m × n se puede escribir como el producto de dos matrices:  A = LU 

donde L es una matriz triangular inferior m×m y U es una matriz escalonada m×n. L(low)

matriz triangular inferior 

U(up)

matriz escalonada

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Factorización LU Esta factorización nos permite resolver el sistema lineal Ax lineal Ax = b. Sustituyendo LU por A, Obtenemos: (LU)x = b (1); esto implica que: L(Ux) = b (2); Si Ux = z, entonces tenemos que: Lz = b (3); Como L es una matriz triangular inferior, podemos resolver para z utilizando sustitución hacia adelante. Luego, como U es una matriz triangular superior, resolvemos Ux = z por sustitución en reversa. Métodos numéricos

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Teniendo una matriz A

Los elementos a21 y a31 fueron eliminados usando los factores:

el elemento a’ 32  se elimina al usar el factor :

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Factorización LU Los factores empleados para obtener la matriz triangular t riangular superior pueden montarse en una matriz triangular inferior.  Así la matriz triangular inferior in ferior es

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Factorización LU Ejemplo Considere el sistema de ecuaciones:

Cuya matriz de coeficiente es

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Factorización LU Su factorización LU es:

-6

Utilizando la ecuación (3): Lz=b (3): Lz=b

b

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Factorización LU Por sustitución hacia adelante tenemos:

 Así que:

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Factorización LU  Ahora resolvemos: Ux = z 

-6  Así que: 0.333 -3.3333 7.333

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Factorización LU Finalmente, la solución para el sistema sist ema lineal dado es:

0.333 -3.333

7.333 -3.333 0.3333

7.333

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