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FACTORIGAMI ORIGAMI APLICADO A LOS CASOS DE FACTORIZACIÓN

(A)

2

Leonardo Pulido Martinez

Dedicado a Jaime Niño, quien me enseñó que no solo las matemáticas sirven para hacer origami, sino que también el origami sirve para hacer matemáticas.

b a-b b

a a-b a

ORIGAMI b c d e f

PARA TODOS

CONTENIDO 1. Símbolos y Conceptos empleados

5

2. Polinomio con un Factor Común en todos sus Términos

7

3. Factor Común por Agrupación de Términos

8

4. Trinomio Cuadrado Perfecto

9

5. Diferencia de Cuadrados Perfectos

11

6. Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción

13

7. Trinomio de la Forma x2 ± bx ± c

16

8. Trinomio de la Forma ax2 ± bx ± c

19

9. Cubo Perfecto de un Binomio

21

10. Suma o Diferencia de Cubos Perfectos

28

11. Suma o Diferencia de dos Potencias Iguales

32

r I

4

OR IGA M

INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN m n o p q r Los estudiantes de bachillerato regularmente manifiestan dificultades de aprendizaje en el álgebra; el nivel de competencia alcanzado por la mayoría de ellos les impide resolver satisfactoriamente los problemas algebraicos que se les presentan. La factorización es un proceso inverso al de la multiplicación y tiene como finalidad descomponer una expresión algebraica en un producto de otras expresiones algebraicas. Existe un consenso de que la factorización es uno de los temas del curso de álgebra que más se dificultan a los alumnos, primero porque el reconocimiento del tipo de expresión algebraica ya implica dificultades asociadas con la utilización de números, letras y signos de operación para conformarlas, así como por la noción de variable; y, segundo, porque aún conociendo los diferentes métodos no saben cuál de ellos utilizar en un determinado momento.

En estos tiempos de cambios que invitan a los maestros a reflexionar sobre como entregar a los alumnos los contenidos con un enfoque recreativo que apoye la presentación formal del álgebra, invitándolos a participar de ella de una manera más entretenida e interactiva a través de juegos, rompecabezas, estímulos y en un clima de aceptación, afecto y respeto. Muchas son las causas que originan dificultades en el aprendizaje de la matemática produciendo ansiedad, desagrado y sensaciones de amenaza en los estudiantes. Debido a estas razones, consideramos la enseñanza del álgebra mediante una metodología lúdica, participativa, reflexiva e integrada para el proceso de construcción y adquisición de conocimientos que ayudará a superar estas dificultades y a lograr una actitud positiva hacia el aprendizaje de esta disciplina.

Este libro no pretende ser un compendio, pero si mostrar a modo de bosquejo las posibilidades que existen. La propuesta se basa en el Origami por varias razones: los materiales son fáciles de conseguir (cualquier trozo de papel sirve), no se requieren herramientas adicionales (tal vez, solo tal vez, tijeras) y permite que el aprendizaje se lleve de una manera didáctica e interactiva. Esta propuesta sobre la enseñanza de la factorización, se complementa con el marco conceptual del álgebra geométrica, cuyo objetivo es transformar un polinomio algebraico en un rectángulo o cuadrado determinados, si no es posible la construcción de dicho rectángulo o cuadrado, significa que la expresión no es factorizable en el campo de los números racionales.

4

1. SÍMBOLOS Y CONCEPTOS EMPLEADOS

8 9 . + Para trascender las fronteras de los idiomas, el Origami tiene una metodología de símbolos y Bases que permiten el plegado de los diferentes modelos sin necesidad de intérpretes o métodos complejos. Es así como pueden representarse los pasos más complejos, 3D, etc. Sin esta simbología no sería posible la idea de un Mundo de Origami Para Todos...

Los principales símbolos utilizados son:

Color arriba

Color abajo

Papel de un solo color

Pliegue Vuelto

Pliegue valle

Sujetar

Pliegue Monte

Repetir Plegar y desplegar Partes iguales Marca

Girar

Rayos X

Dar la vuelta

Pliegue escalonado

Visión ampliada

Pliegue hundido

Visión disminuida

5

=

=

A continuación presentamos algunos ejemplos sencillos sobre como aplicar didácticamente el arte del Origami en las clases de Matemáticas para facilitar su comprensión. De igual forma es recomendable no emplear términos técnicos desde el primer momento de la enseñanza, sino irlos introduciendo gradualmente a medida que se practican los modelos y se desarrollan los diferentes ejercicios. Algunos de los términos empleados son: 

Área: número que indica la porción de plano o superficie que ocupa una figura expresado en unidades cuadradas. Para los modelos a desarrollar, cuadrados y rectángulos, el área corresponde a la multiplicación entre la medida de la Base por la medida de la Altura.

a2

a

ab

A  = a . a = a2

a

A = a . b

b

a 

Mediana: En Origami, la mediana corresponde a los segmentos que dividen el cuadrado en partes iguales horizontal o verticalmente.



Diagonal: En Origami, es el segmento que une dos vértices no continuos.



Perpendicular: Línea que forma un ángulo recto (90º) con otra línea o plano.

90º

6

2. CASO I. POLINOMIO CON UN FACTOR COMÚN EN TODOS SUS TÉRMINOS Al resolver los siguientes problemas intentaremos expresar áreas y volúmenes como el producto de dos o más factores. Veamos un ejemplo de un Polinomio con un factor común en todos sus términos, el polinomio se trata del área del cuadrado compuesta a su vez por la suma de las áreas de sus partes: =

=

=

1. Marque la mediana

=

3. Marque una horizontal cualquiera

2. Divida en partes iguales

2a

a

a

2a

a

a

b

b

2ab ab ab

c

c

2ac ac ac

4. Nombraremos los distancias a, b y c como se muestra

5. Calculamos las áreas

6. El área del cuadrado corresponde a la suma de todas las áreas: A= 2ab + ab + ab + 2ac + ac + ac A= 4ab + 4ac (sumando términos semejantes) A= 4a (b + c) (factorizando) 4a 2a b

a

a 7. Hallando el área del cuadrado mayor (base por altura) obtenemos directamente: A= 4a (b + c)

c

8. De donde se demuestra fácilmente que: 2ab + ab + ab + 2ac + ac + ac = 4a (b + c) ó 4ab + 4ac = 4a (b +c)

7

3. CASO II. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Tomamos un papel cuadrado: a

b

c d 2. Marcar una horizontal cualquiera

1. Marcar una perpendicular cualquiera

ac

bc

ad

bd

3. Nombramos las distancias como a, b, c y d respectivamente

4. Calculamos las áreas correspondientes de cada sector 5. El área del cuadrado (figura mayor) será la suma de las áreas de los sectores: A = ac + bc + ad + bd 6. Asociando términos, tenemos: A = (ac + ad) + (bc + bd) = = a (c + d) + b (c + d) = = (a + b) (c + d), que son los factores de demostración del problema: ac + bc + ad + bd

7.

a

b Sin embargo, al observar en esta figura el área del cuadrado, nos encontramos que es:

c

A = (a + b) (c + d) d a

8. Es decir, c

ac

b bc

con la suma de áreas corresponiente al área mayor, el polinomio se factoriza fácilmente: ac + bc + ad + bd = (a + b) (c + d)

d

ad

bd

8

4. CASO III. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

A

Ejemplo 1.

1. El área de un cuadrado es A2. Digamos que A es el resultado de sumar determinado a + b

A

a+b

a+b

3. Marcar la diagonal

2. Por tanto A = a + b. El área del cuadrado será: A = (a + b) (a + b) = (a + b)2

4. Marcar a cualquier distancia a b b

5. Marcar perpendicularmente

a 6. Analicemos el modelo obtenido b

a

b b2

ab

a ab

a2

7. Si decimos que el cuadrado amarillo tiene por lado a su área será a2. Si el lado del cuadrado azul es b, su área será b2.

9

8. El área será la suma de todos los elementos: b

a

2

ab

b b

-

a2

a ab

Un cuadrado de lado a cuyo área es a2. Un cuadrado de lado b cuyo área es b2. Dos rectángulos de lados a y b, cuyas áreas son a.b, es decir 2ab

Por tanto, el área original (a + b)2 será igual a la suma de las áreas: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab ó (a + b) = a2 + 2ab + b2 2

Ejemplo 2. Si tenemos un cuadrado mayor de lado a, al retirar un cuadrado menor de lado b y los rectángulos adyacentes se obtiene: a b b

a

El área del cuadrado azul será:

a-b

(a - b) 2

a-b

A = a2 – b2 -2 (a-b) b A = a2 – b2 -2ab + 2b2 A = a2 – 2ab + b2

Por supuesto que el procedimiento de origami para su explicación es el mismo.

10

5. CASO IV. DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Tomamos dos cuadrados del mismo tamaño (supongamos que son de lado a). a

a

a

a b

1. Plegar una diagonal en cada cuadrado

b

2. Hundir en ambos cuadrados la misma distancia (llamémosla b)

b

b a-b

a-b a

a

3. Ahora giraremos las dos estructuras y las colocaremos una al lado de la otra para formar un cuadrado grande sin uno pequeño. b a-b b

a a-b a

4. El área del cuadrado inicial es: a a

11

A = a . a = a 2

El área del cuadrado que hemos obtenido o retirado es: b A = b . b = b 2

b

a-b 5. Y… el área de esta estructura será: b

A = a2 – b2

a

Al reacomodar las dos partes para formar a-b

un rectángulo, se obtiene que:

a

a+b b

a 6. Área del Rectángulo: a-b

Debido a que no se han sobrepuesto partes, A = A entonces, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

12

A = (a + b) (a – b)

6. CASO V. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Resolver este tipo de casos requiere combinar varios aspectos ya que el Origami en sí es solo una herramienta adicional, la verdadera esencia se basa en el Álgebra Geométrica.

Ejemplo: x4 + x 2 + 1 1. Tomamos un papel rectangular y lo dividimos en cuatro partes indistintamente de la longitud de los segmentos.

2. Nombramos el primer y último factor del polinomio ordenado:

X4

1

3. Nombramos los segmentos según la áreas definidas anteriormente: X2 X2

1

X4

1

1

13

4. Completamos las áreas según los segmentos.

X2

X2

1

X4

X2

El producto de lados evidencia que se trata de un cuadrado cuya área es:

1

X

(x2 + 1) (x2 + 1) = (x2 + 1)2

2

1

5. Verificar el cumplimiento de la ecuación definida: (x2 + 1) (x2 + 1) = x4 + x2 + x2 + 1 (producto de lados es igual a suma de áreas) (x2 + 1) (x2 + 1) = x4 + 2x2 + 1 (se evidencia que no se cumple por cuanto hay diferencia entre el polinomio original y el polinomio hallado (x4 + x2 + 1 ≠ x4 + 2x2 + 1); esta diferencia corresponde a 2x2 – x2 = x2, es decir, al polinomio original le falta x2.

6. Completar el trinomio:

X2

X4

Como al polinomio hallado le falta un X2, debemos retirarlo: x4 + 2x2 + 1 – x2, igual en el producto de los lados del cuadrado: (x2 + 1) (x2 + 1) – x2 =

X

2

1

(x2 + 1)2 – x2

El ejercicio podría quedar resuelto hasta aquí, pero nos encontramos con que (x2 + 1)2 – x2 se trata de una diferencia de cuadrados (CASO V). 7. (x2 + 1)2 – x2 se resuelve como ya se ha visto en CASO V. DIFERENCIA DE CUADRADOS a. Tomamos dos cuadrados iguales y plegamos por la diagonal. x2 + 1

x2 + 1 Cada cuadrado tendrá un área de: (x2 + 1)2, por ende su lado será:

x2 + 1

x2 + 1

14

x2 + 1

b. Hundir una distancia igual en ambos cuadrados:

c. Reacomodamos las dos partes para formar un cuadrado grande sin uno pequeño.

d. Nombremos las partes: x x Supongamos que la parte escondida será x, y que formará un cuadrado de área x2.

2

x +1

Ya tenemos el polinomio (x2 + 1) (x2 + 1) – x2

x2 + 1 e. El área de la nueva figura formada corresponde a la multiplicación de los lados: x2 + 1 + x A = lado x lado (x2 + 1 – x) (x2 +1 + x), que organizando es:

(x2 + 1 – x)

(x2 – x + 1) (x2 + x + 1)

8. Por ende, ya tenemos la respuesta al polinomio propuesto originalmente: X4 + x2 + 1 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1)

15

7. CASO VI. TRINOMIO DE LA FORMA x2 ± bx ± c Más que el Origami mismo, para resolver este caso es necesario un poco de análisis. Tomaremos una hoja cualquiera de papel (de forma rectangular) y la partiremos en cuatro partes indistintamente del tamaño de dichas partes:

Ejemplo 1:

x2 + 5x + 1

1. Debemos expresarlo como un rectángulo o un cuadrado (dividido en cuatro partes sin importar las dimensiones). x x

2. Partimos de que dentro de este rectángulo o cuadrado habrá un cuadrado más pequeño de lado x y área x2 x x

x2

3. Al prolongar sus lados, formaremos un rectángulo o cuadrado cuya área será la última parte del polinomio, en este caso 4.

16

x x

x2

4

x x

x

x2

4. Nos falta hallar a 5x, que deberá ser la suma de las áreas de los rectángulos azules. 4 x Como ya tenemos un lado x en cada parte, nos falta el 5, dividido en dos partes (1 + 4, 2 + 3) pero cuyo producto deberá ser 4 para poder formar el área del cuadrado amarillo.

5. Por supuesto 2 . 3 = 6 no cumple nuestro requisito. 4 . 1 = 4 si lo cumple. x

4

x

x2

4x

1

x

4

Por tanto completamos el rectángulo.

x 6. La suma de áreas corresponde al producto de lados, hallando así la solución al problema: x2 + 5x + 1 = (x + 4) (x + 1)

Para los siguientes ejemplos se sigue exactamente el mismo procedimiento:

17

x

Ejemplo 2:

x2 + 7x + 10 x x

X2 10

x

5

x

X2

5x

2

2x

10

x2 + 7x + 10 = (x + 5) (x + 2)

Ejemplo 3:

x2 – 5x + 6 x x

X2 6

x

-3

x

X2

-3x

-2

-2x

6

x2 – 5x + 6 = (x – 3) (x – 2)

x2 + 3x - 10

Ejemplo 4:

x x

X2 -10

x

5

x

X2

5x

-2

-2x

-10

x2 + 3x – 10 = (x + 5) (x – 2)

18

8. CASO VII. TRINOMIO DE LA FORMA ax2 ± bx ± c

El procedimiento es básicamente el mismo que el del caso VI. 6x2 + 7x + 2

Ejemplo:

1. Debemos escoger dos productos que den como resultado 6x2 (x . 6x …. 2x . 3x).

6x2

2. Se puede descomponer en 2 . 1 = 2 2

3. Buscamos completar el rectángulo: 6x

2

x

6x2

2x

1

6x

2

6x x

6x2 2

6x2 + 8x + 2 3x 2x

6x2 2

3x

2

2x

6x2

4x

1

3x

2

6x2 + 7x + 2

4. Como se vé, el segundo caso es el que nos proporciona la respuesta correcta. La solución al problema será: Suma de áreas igual a producto de lados: 6x2 + 7x + 2 = (3x + 2) (2x + 1)

19

6x2 – 7x - 3

Ejemplo 2.

2x

-3

3x

6x2

-9x

1

2x

-3

2x 3x

6x2 -3

6x2 – 7x – 3 = (2x – 3) (3x + 1)

2x2 + 3x - 2

Ejemplo 3.

2x x

-1

2x2

2

-2

2x

-1

x

2x2

-x

2

4x

-2

2x2 + 3x - 2 = (2x – 1) (x + 2)

8a2 – 14a - 15

Ejemplo 4.

2a

-5

4a

8a2

-20a

+3

+6a

-15

2a 4a

8a2 -15

8a2 – 14a – 15 = (2a – 5) (4a + 3)

20

9. CASO VIII. CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO

La demostración del cubo perfecto de un binomio es un poco más difícil desde el punto de vista del Origami (y, en general, del álgebra geométrica), pero es también muy ilustrativa. Para ello debemos incluir gradualmente nuevos conceptos, tales como: -

Cubo: poliedro regular formado por seis caras cuadradas.

-

Hexaedro: sólido limitado por seis caras.

-

Volumen: es el número que indica la porción de espacio que ocupa una figura tridimensional expresado en unidades cúbicas.

-

Volumen del Cubo: lado al cubo.

V = a3

a

a

a

Existen dos posibilidades generales para este caso de factorización: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 Para el primer caso (a + b)3,Paolo Bascetta nos da una explicación muy completa a partir de hojas de papel DIN A4 en los libros “Quaderni di Quadrato Magico 28 – Origami Utilite” y “Origami 51 Modelli”. El procedimiento mostrado a continuación es muy similar pero está basado en cuadrados. Primero que todo, debemos construir un cubo modular en Origami compuesto por ocho partes, así:

-

Un cubo grande y un cubo pequeño. Tres hexaedros de cierto tamaño y otros tres hexaedros de otro tamaño.

Teniendo a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, el primer cubo tendrá por volumen a3 (lado igual a a), el segundo cubo b3 (lado b), tres hexaedros de volumen a2b (base a, altura a y profundidad b) y tres hexaedros de volumen ab2 (base a, altura b y profundidad b).

21

Las plantillas para su construcción son las siguientes: a

a

a

a

b

a

a

a a a b

b b b

a

b b

a

X1

b

b b b b

b b b

a

a

a a a

b X1

X3

X3

Para su construcción emplearemos cuadrados del mismo tamaño, así: Construcción del Primer cubo (Lado a, Volumen a3) Color atrás

1 Marcar una diagonal

2 Cortar a 1/8 a cada lado

3 Marcar la mediatriz 1/5

4 Marcar a 1/4

5 Marcar

6 Marcar perpendicularmente

a 7 Dividir en 5 partes vertical…

8 … y horizontalmente apoyándonos en la diagonal

22

a 9 Cortar a cada lado

11 Plegar

10 Marcar

12

14

13

16

17 Esonder en los bolsillos

15

a X1 a

a

18 Cubo terminado

23

Construcción del Segundo cubo (Lado b, Volumen b3)

1 Marcar

2 Dividir en 4 partes iguales

4 Marcar

5 Marcar y cortar

3 Marcar

6

b

b X1

1/5 7 Dividir en 5 partes

8 Repetir los pasos 11 a 18 del primer cubo

b b 9 Cubo terminado

Construcción del Primer Hexaedro ( Volumen ab2)

1

2

24

3

4

5

7 Marcar

8

=

6 Marcar

9 Desplegar

=

10

b b b b b

11 Cortar y desplegar

b

a

b

12 Marcar y cortar

b

a

V = ab2 X 3

b

13 Repetir los pasos 11 a 18 del primer cubo

14 Hexaedro 1 terminado (plegar 3 iguales)

25

Construcción del Segundo Hexaedro ( Volumen a2b)

1 Marcar la diagonal

2 Marcar a 1/2

3 Marcar a 1/4

5 Llevar hacia atrás

6 Marcar a 1/4

7 Marcar

8 Marcar a 1/5

9 Marcar

10 Marcar a 1/5

11 Dividir en 5 partes

4 Marcar a 1/8

1/5

12 Desplegar

a a a a a a b a 14 Cortar

13 Plegar

26

a a a

a

V = a 2b

X3

a a

a

a b a 15 Repetir los pasos 11 a 18 del primer cubo

b

16 Hexaedro 2 terminado (plegar 3 iguales)

Ensamblar el cubo con las 8 partes:

b a b b

a a

Tenemos que la suma de todos los volúmenes (a3 + b3 + 3a2b + 3ab2) es igual al volumen del cubo formado: (a +b) (a + b) (a + b) = (a + b)3 a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 = (a + b)3

Es claro que al tener armada esta figura y retirar el cubo pequeño (b3) y los tres hexaedros de mayor tamaño (3a2b) se obtiene un cubo de volumen (a -b) (a - b) (a - b) = (a - b) 3, de donde se demuestra que: a3 - b3 - 3a2b + 3ab2 = (a - b)3

Por supuesto que los hexaedros se pueden construir de forma tradicional cortando y pegando plantillas.

27

10. CASO IX. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Para este caso de Factorización también existen dos posibilidades generales: (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 (a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3

Analicemos un poco el primer caso: Factorar (a + b) (a2 – ab + b2)

Como habrá podido deducirse hasta aquí, los problemas algebraicos pueden resolverse por medio del Álgebra Geométrica construyendo un rectángulo acorde al problema y hallando su solución en la suma de las áreas formadas:

a2

-ab

b2

a2

-ab

b2

a

a

a3

-a2b

ab2

b

b

a2b

-ab2

b3

Área del rectángulo = Base X Altura = Suma de áreas: (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 – a2b + a2b + ab2 – ab2 + b3, reduciendo términos semejantes, (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

También podríamos suponer la construcción de un sólido de volumen (a + b) (a2 – ab + b2); por ejemplo, la cara frontal del sólido tendría un área equivalente a (a2 – ab + b2) y su profundidad sería de (a + b):

28

a + b

b

b2

a

b

+

a

a (a – b)

b

a-b

b

a V = Área de la cara frontal X Profundidad V = [a (a – b) + b2] [a + b] V = [(a2 – ab) + b2] [a + b]

2

ab

b3 2

a

– (a

b)

a (a – b) b

Si lo descomponemos en sólidos menores, hallando sus volúmenes, el Volumen del sólido mayor sería la suma de todos los volúmenes: V = a (a – b) + b3 + a2 (a – b) + ab2 V = a2b – ab2 + b3 + a3 – a2b + ab2, organizando, V = a3 + b3 + a2b – a2b + ab2 – ab2 reduciendo términos semejantes, V = a3 + b3

29

Para explicar este caso con ayuda del Origami nos apoyaremos en el cubo modular construido para el CASO VIII (Cubo Perfecto de un Binomio); es decir, usaremos el cubo de volumen a3, el cubo de volumen b3, los tres hexaedros de volumen a2b y los tres hexaedros de volumen ab2.

b a b b

a a

Como sabemos de dicho CASO VIII: a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 = (a + b) (a + b) (a + b) = (a + b)3 Para hallar a3 + b3 debemos retirar los 6 hexaedros restantes: a a

b

b a a b

b a

a

b

b

a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 - 3a2b - 3ab2= (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab (a + b) a3 + b3 = [a + b] [(a + b)2 – 3ab] a3 + b3 = (a + b) (a2 + 2ab + b2 – 3ab) a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

30

Para la Diferencia de Cubos Perfectos tenemos que: (a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3 Debemos construir un cubo de lado a cuyo volumen será a3:

V = a3

a

a

a

Este cubo contendrá un cubo menor de lado b y volumen b3, que es el que debemos retirar: a3 - b3

a b b

a

b

a

Además podemos decir que este cubo estará conformado por 8 piezas así: -

Un cubo de volumen b3 Un cubo de volumen (a – b)3 Tres hexaedros de volumen (a – b)2b Tres hexaedros de volumen (a – b) b2

Si decimos que el volumen del cubo es (CASO VIII): a . a . a = a3 = (a – b)3 + b3 + 3 (a – b)2 b + 3 (a – b) b2 a3 = (a – b)3 + b3 + 3b (a2 – 2ab + b2) + 3a b2 – 3b3 a3 = (a – b)3 + b3 + 3a2b – 6ab2 + 3b3 + 3ab2 – 3b3 Reduciendo términos semejantes: a3 = (a – b)3 + b3 + 3a2b – 3ab2 Si retiramos a cada lado b3, tenemos: a3 – b3 = (a – b)3 + b3 – b3 + 3a2b – 3ab2 a3 – b3 = (a – b)3 + 3a2b – 3ab2 a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b) a3 – b3 = [a – b] [(a – b)2 + 3ab] a3 – b3 = (a – b) (a2 – 2ab + b2 + 3ab) a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

31

11. CASO X. SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

Básicamente cuando hablamos de casos de factorización nos referimos al concepto inverso de los llamados Productos y Cocientes Notables:

Tabla de Productos y Cocientes Notables

PRODUCTOS NOTABLES Cuadrado del Binomio

(a ± b)2

a2 ± 2ab + b2

(x + a) (x + b)

X2 + (a + b)x + ab

(a + b + c) (a + b – c)

a2 + 2ab + b2 – c2

(Diferencia de cuadrados perfectos)

(a + b) (a – b)

a2 – b 2

Cuadrado de un Trinomio

(a + b + c)2

a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

(Trinomio Cuadrado Perfecto) Producto de Binomios con un término común Combinación de los dos primeros Suma por su diferencia

a ac

b bc

c c2 c

ab

b2

bc b

a2

ab

ac a

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

Cubo de un binomio

(a ± b)3

32

a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3

COCIENTES NOTABLES a2 – b 2

Diferencia de Cuadrados Perfectos

a-b

a+b a3 + b3

Suma de Cubos Perfectos

a2 – ab + b2

a+b

Diferencia de Cubos Perfectos

a3 - b3

a2 + ab + b2

a-b

De forma general, los cocientes notables se resuelven como sigue:

am - b m

am – 1 + am – 2b + … + abm – 2 + bm-1

Se cumple para m par o impar

am – 1 - am – 2b + … + abm – 2 - bm-1

Se cumple para m par

am – 1 - am – 2b + … + a2bm – 3 - abm – 2 + bm-1

Se cumple para m impar

a–b am - b m a+b am + bm a+b

La suma o diferencia de dos potencias iguales es el caso general de los cocientes notables y algebraicamente existen varios métodos para su resolución como el Triángulo de Pascal (o de Tartaglia) o el del Binomio de Newton. Desde el punto de vista del Álgebra Geométrico, este caso de factorización se puede demostrar con la ayuda de la construcción de un rectángulo y calculando su área: el área del rectángulo es igual al producto de sus lados (base y altura) e igual a la suma de todas las áreas parciales (reduciendo términos semejantes).

Ejemplo: Demostrar que (m + n) (m4 – m3n + m2n2 – mn3 + n4) = m5 + n5

33

m4

-m3n

m2n2

-mn3

n4

m4

-m3n

m2n2

-mn3

n4

m

n

m

m5

-m4n

m3n2

-m2n3

mn4

n

m4n

-m3n2

m2n3

-mn4

n5

Tenemos que el área del rectángulo es igual al producto de los lados (base por altura) e igual a la suma de las áreas de todos los sectores:

(m + n) (m4 – m3n + m2n2 – mn3 + n4) = m5 – m4n +m4n +m3n2 – m3n2 +m2n3 – m2n3 +mn4 – mn4 + n4)

Reduciendo términos semejantes:

(m + n) (m4 – m3n + m2n2 – mn3 + n4) = m5 + n5

34

b

(A)

a-b

2

FACTORIGAMI

b

a a-b

ORIGAMI APLICADO A LOS CASOS DE FACTORIZACIÓN

a

ORIGAMI b c d e f

PARA TODOS