Factor de Empaquetamiento

Factor de empaquetamiento atómico En cristalografía, el factor de empaquetamiento atómico (FEA), en inglés: Atomic packing factor, APF, es la fracción de volumen en una celda unidad que esta ocupada por átomos. Este factor es adimensional y siempre menor que la unidad. Para propósitos prácticos, el FEA de una celda unidad es determinado asumiendo que los átomos son esferas rígidas. Para cristales de un componente (aquellos que contienen un único tipo de átomo), el FEA se representa matemáticamente por

donde Nátomos es el numero de átomos en la celda unidad, Vátomo es el volumen de un átomo, y Vcelda unidad es el volumen ocupado por la celda unidad. Matemáticamente puede ser probado que para estructuras de un componente, el arreglo más denso de átomos tiene un FEA alrededor de 0.74. En realidad, este número puede ser mayor debido a factores intermoleculares específicos. Para estructuras de múltiples componentes, el FEA puede exceder el 0.74.

Ejemplo

Estructura BCC

La celda unidad para la estructura cúbica centrada en el cuerpo, en inglés: Body-centered cubic, BCC, contiene dos átomos: un octavo (1/8) de atomo en cada esquina del cubo y un átomo en el centro. Dado que el volumen de cada átomo ubicado en las esquinas es compartido con las celdas adyacentes, cada celda BCC contiene dos átomos. Cada átomo en las esquinas toca el átomo central. Una linea que sea dibujada desde una esquina del cubo a través del centro hacia la otra esquina pasa a lo largo de 4r, donde r es el radio de un átomo. Por geometría, la longitud de la diagonal es a√3. Por lo tanto, la longitud de cada lado de la estructura BCC puede ser relacionada al radio de cada átomo mediante

Conociendo esto y la formula para el volumen de una esfera((4 / 3)pi r3), es posible calcular el FEA de la siguiente manera:

Para la estructura hexagonal la derivación es similar. La longitud de un lado del hexágono sera denotada por a mientras que la altura del hexágono se denotara como c. Entonces:

Arreglo hexagonal tridimensional. a = 2r

Entonces es posible calcular el FEA como sigue:

FEA de estructuras comunes Mediante procedimientos similares, los factores de empaquetamiento atómico ideales de todas las estructuras cristalinas pueden ser encontrados. Algunos factores comunes se presentan a continuación, redondeados a la centésima mas próxima.   

Cúbica simple (CS): 0.52 Cúbica centrada en el cuerpo (BCC): 0.68 Hexagonal compacta (HCP): 0.74

 

Cúbica centrada en las caras (FCC): 0.74 Cúbica diamante: 0.34

PRINCIPALES ESTRUCTURAS CRISTALINAS METÁLICAS

La mayoría de los metales elementales (90%) cristalizan en tres estructuras cristalinas densamente empaquetadas: cúbica centrada en las caras FCC, hexagonal compacta HCP y cúbica centrada en el cuerpo BCC debido a que se libera energía a medida que los átomos se aproximan y se enlazan cada vez más estrechamente entre sí. Por lo tanto dichas estructuras densamente empaquetadas se encuentran en disposiciones u ordenamientos de energía cada vez más baja y estable. Ejemplo ¿ Cuántas celdas unidad hay aproximadamente en el Fe puro BCC si las aristas de la celda estuvieran alineadas arista con arista en 1 mm, si a temperatura ambiente la arista es igual a 0.287 X 10-9 nm ?

Estructura Cristalina Cúbica Centrada en el Cuerpo BCC En esta celda unidad las esferas sólidas representan los centros donde los átomos están localizados e indican sus posiciones relativas. En esta celda unidad el átomo central esta rodeado de 8 vecinos más cercanos y se dice que tiene por lo tanto un número de coordinación de 8. Cada una de estas celdas unidad tiene el equivalente de 2 átomos por celda unidad. Un átomo completo esta localizado en el centro de la celda unidad, y un octavo de esfera esta localizado en cada vértice de la celda unidad, haciendo el equivalente de otro átomo. De este modo, hay un total de 1 (en el centro) + 8 x 1/8 (en los vértices) = 2 átomos por celda unidad. Los átomos en este tipo de celdas contactan entre sí a través de la diagonal del cubo, y la relación entre la longitud de la cara del cubo a y el radio atómico R es:

Si los átomos en la celda BCC se consideran esféricos, el factor de empaquetamiento atómico (APF) puede hallarse empleando la siguiente expresión:

El APF de esta celda es 0.68, es decir, el 68% del volumen de la celda esta ocupado por átomos y el 32% restante en espacio vacío. El cristal BCC no es una estructura totalmente compacta, ya que los átomos aún podrían situarse más juntos. Muchos metales como el Cromo, Hierro, Wolframio, Molibdeno y Vanadio tienen estructura cristalina BCC. Estructura Cristalina Cúbica Centrada en las Caras FCC. En esta celda hay un punto reticular en cada vértice del cubo y otro en el centro de cada cara del cubo. El modelo de esferas sólidas indica que los átomos de esta estructura están unidos del modo más compacto posible. El APF de esta estructura de empaquetamiento compacto es 0.74. Esta celda tiene el equivalente a cuatro átomos por celda unidad. Un octavo de átomo en cada vértice (8 x 1/8=1) y seis medios átomos en el medio (1/2 x 6= 3).

Los átomos en la celda FCC contactan entre sí a lo largo de la diagonal de la cara del cubo, de tal forma que la relación entre la longitud de la cara del cubo y el radio atómico es:

Metales como el Aluminio, el Cobre, el Plomo, el Níquel y el Hierro a temperaturas elevadas (912 a 1394°C) cristalizan según la estructura FCC. Ejemplo El Cu posee una estructura FCC y un radio atómico de 0.1278 nm y considerando que los átomos son esferas sólidas que contactan a lo largo de las diagonales de la celdilla unidad FCC. ¿ Cuál es el valor teórico de la densidad del Cu ? Masa atómica del Cu=63.54 g/mol

1/8 * 8= 1 átomo ½ * 6= 3 átomo a 4 átomos en la celda FCC

figura 5

Parámetro de Red:

Volumen de la celda: V=a3 = (0.361nm)3 =0.047nm3x(1X10-9m)3 = 4.7 x 10-29 m3 Masa de los átomos de Cu en la celda:

Densidad Volumétrica:

El valor tabulado experimentalmente es de 8.96 , la diferencia se debe a que los átomos no son esferas perfectas, a la ausencia de átomos en las posiciones atómicas, a defectos en la red, etc. Estructura Cristalina Hexagonal Compacta HCP Los metales no cristalizan en la estructura hexagonal sencilla porque el APF es demasiado bajo. El APF es 0.74 ya que los átomos están empaquetados de un modo lo más cercano posible. Cada átomo esta rodeado de otros 12 átomos y por tanto su número de coordinación es 12. La celda HCP posee 6 átomos, tres forman un triángulo en la capa intermedia, existen 6*1/6 secciones de átomos localizados en las capas de arriba y de abajo, haciendo un equivalente a 2 átomos más, finalmente existen 2 mitades de átomo en el centro de ambas capas superior e inferior, haciendo el equivalente de un átomo más. La relación c/a de una estructura cristalina HCP ideal es de 1.633 que indica esferas uniformes tan próximas como sea posible. Los metales Cinc, Cadmio poseen una relación c/a más alta que la ideal, lo que indica que los átomos en estas estructuras están ligeramente elongados a lo largo del eje c en la celda unidad HCP. Los metales como el Titanio, Berilio, Magnesio Y Circonio entre otros tienen relaciones c/a menores que la ideal. Por tanto en estos metales los átomos están comprimidos a lo largo de la dirección del eje c.

ÍNDICES DE MILLER

Celdas Cúbicas. Los índices de Miller de un plano cristalino están definidos como los recíprocos de las intersecciones que el plano determina con los ejes x,

y, z de los tres lados no paralelos del cubo unitario. Las aristas de una celda cúbica unitaria representan longitudes unitarias y las intersecciones de los planos de una red se miden en base a estas longitudes unitarias. El procedimiento para determinar los índices de Miller para un plano de un cristal cúbico es el siguiente:

Escoger un plano que no pase por el origen en (0,0,0) Determinar las intersecciones del plano en base a los ejes x, y, z cristalográficos para un cubo unitario. Estas intersecciones pueden ser fraccionarias. Construir los recíprocos de las intersecciones. Despejar fracciones y determinar el conjunto más pequeño de números enteros que estén en la misma razón de las intersecciones. Estos números enteros son los índices de Miller de un plano cristalográfico y se encierran entre paréntesis sin usar comas. La notación (hkl) se emplea para indicar los índices de Miller en sentido general, donde h, k, y l son los índices de Miller para un plano de un cristal cúbico de ejes x, y, y z respectivamente.

Ejemplos

figura 6

Las intersecciones del primer plano son 1, 1, y los recíprocos de estos números son 1, 1, 0 no involucran fracciones, siendo los índices de Miller (1 1 0). Para la segunda figura, las intersecciones son: 1, , a los ejes x, y, z respectivamente, por lo tanto los recíprocos son: 1, 0, 0. Los índices de Miller para este plano son: (1 0 0 ). Finalmente, el tercer plano, tiene las intersecciones 1, 1, 1 que nos dan un índice de Miller (1 1 1). Si se considera que el plano cristalino pasa por el origen de manera que uno ó más cortes se hacen cero, el plano ha de ser desplazado a una posición equivalente en la misma celda unitaria de modo que el plano permanezca paralelo al original. Esto es posible porque todos los planos paralelos equidistantes son indicados con los mismos índices de Miller. Si grupos de planos de redes equivalentes están relacionados por la simetría del sistema cristalino, se llaman familia de planos, y los índices de una familia de planos son encerrados entre llaves. Por ejemplo, los índices de Miller de los

planos de la superficie del cubo (100) (010) y (001) se designan colectivamente como una familia con la notación {100}. Una importante relación sólo para el sistema cúbico es que los índices de una dirección perpendicular a un plano de un cristal son los mismos que los índices de Miller para ese plano. Por ejemplo, la dirección [100] es perpendicular al plano cristalino (100).

Celda HCP. Se identifican empleando cuatro índices en vez de tres, se denominan índices Miller-Bravais, son representados por las letras h, k, i, l y encerrados entre paréntesis (h, k, i, l). Estos índices hexagonales están basados en un sistema coordenado de cuatro ejes, tres ejes básicos a1,a2,a3 que forman 120° entre sí, el cuarto eje o eje c es el eje vertical y está localizado en el centro de la celdilla unidad (Ver figura). La unidad a de medida a lo largo de los ejes a1,a2,a3 es la distancia entre los átomos. La unidad de medida a lo largo del eje c es la altura de la celdilla unidad. Los recíprocos de las intersecciones que un plano determina con los ejes a1,a2,a3 proporcionan los índices h, k e i mientras que el reciproco de la intersección con el eje c da el índice l.

figura 7

Los planos basales de la celdilla unidad HCP son muy importantes para esta celdilla, el plano basal de la parte superior es paralelo a los ejes a1,a2,a3 , las intersecciones de este plano con estos ejes serán todas de valor infinito. Así, a1 = a2= a3 = . El eje c, sin embargo, es único puesto que el plano basal superior intersecciona con el eje c a una distancia unidad. Tomando los recíprocos de estas intersecciones tenemos los índices de Miller-Bravais para el plano basal HCP. Así, h=0, K=0, i=0, l=1. El plano basal es, por tanto, un plano (0001). Las direcciones en las celdas unitarias HCP se indican por cuatro índices [u,v,t,w]. Son vectores reticulares en las direcciones a1,a2,a3 respectivamente y el índice w es un vector reticular en la dirección c.

SISTEMAS DE DESLIZAMIENTO

Un sistema de deslizamiento es la combinación de un plano y una dirección que se halla sobre el plano a lo largo del cual se produce el deslizamiento. El Mecanismo de deslizamiento puede definirse como el movimiento paralelo de dos regiones cristalinas adyacentes, una respecto a la otra, a través de algún plano (o planos). El deslizamiento no se produce sobre un plano solamente, sino sobre pequeñas regiones de planos paralelos llamados bandas de deslizamiento o líneas de deslizamiento, dependiendo de sus espesores. Puesto que todas las líneas de deslizamiento está en grupos paralelos dentro de cada monocristal (cada grano), deben corresponder a una misma familia de planos (hkl) ocupados del grano particular. A partir de mediciones sobre especímenes de monocristales de orientaciones conocidas se puede determinar 1) los planos sobre los cuales se produce el deslizamiento y 2) la dirección de deslizamiento dentro de estos planos. Tales experimentos han revelado que en las estructuras FCC el deslizamiento siempre se produce sobre los planos {111} pero solamente en las direcciones . Esto significa que si se produce el deslizamiento sobre el plano (111) será en alguna de las tres direcciones ± [101], ±[110], ±[011]. Los cristales FCC poseen 12 sistemas de deslizamiento debido a que tienen cuatro grupos {111} y con tres direcciones en cada una.

En otras estructuras de cristales metálicos, los sistemas de deslizamiento tienen más variabilidad. En los metales BCC las líneas de deslizamiento tienen una apariencia ondulada. En estos cristales el deslizamiento se produce predominantemente en los sistemas {110} y la apariencia ondulada se debe aparentemente a deslizamiento simultáneo sobre los otros dos sistemas de planos {211} y {321} . En cristales HCP reales, la relación c/a no es igual al valor ideal de 1.633 del modelo de esfera dura. Para los metales c/a > 1.633 hay alguna preferencia para el deslizamiento sobre el plano basal, (0001), mientras que para aquellos metales con c/a < 1.633 los sistemas de deslizamiento preferidos son los otros dos. Estructura

Dirección de Deslizamiento

Planos de Deslizamiento

Ejemplos

FCC



{111}

Cu, Al, Ni, Pb, Au, Ag, Fe

BCC



{110}

Fe, W, Mo, Latón, Nb, Ta

BCC



{210}

Fe, Mo, W, Na

BCC



{321}

Fe, K

HCP



(0001)

Cd, Zn, Mg, Ti, Be, Co

HCP



{1010}

Ti, Mg, Zr, Be

HCP



{1011}

Ti, Mg

Tres observaciones generales son de gran importancia: 1. Las direcciones de deslizamiento siempre son en la dirección de

empaquetamiento compacto. Existen excepciones, por ejemplo, mercurio sólido. 2. El deslizamiento ocurre usualmente sobre la mayoría de los planos compactos. Esta observación esta relacionada con el hecho de que los planos empaquetados más densamente también son el grupo de planos (hkl) ocupados que tienen el espaciamiento más amplio. 3. El deslizamiento se produce primero sobre el sistema de deslizamiento que tiene el mayor esfuerzo de corte a lo largo de su dirección de deslizamiento.

PROBLEMAS Junio 97.- La red cristalina del cloruro sódico responde a una estructura como la de la figura. Los radios atómicos del cloro y el sodio son respectivamente 0.181 y 0.097 nanómetros y sus masas atómicas 35.4 y 22.99 gramos. Se desea conocer: a) a) El índice de coordinación de los iones cloro y sodio, indicando la estructrura cristalina de cada uno de ellos. b) b) La densidad volumétrica del cloruro sódico. c) c) El factor de empaquetamiento.

Nota: los átomos resultan tangentes en la direcciones tangentes de la diagonal. Solución Junio 97.a) a) Los dos cristalizan en un sistema cúbico centrado en las caras, por ello, su número de coordinación es 12. b) b) Por ser tangentes los átomos según la diagonal del cubo se cumple que: Diagonal = sqr3 * lado celdilla Diagonal = 2* radio Cl + 2 * radio Na De las dos igualdades anteriores obtenemos: Lado celdilla = (2*0.181 nm + 2 * 0.097 nm) / sqr3 = 0.321 nm Volumen celdilla = lado3 = (0.321nm)3 = 0.033 nm3 En cada celdilla hay: átomos de Cl: 6 * (1/2) + 8 * (1/8) = 4 átomos de Na: 1 + 12 * (1/4) = 4 Masa celdilla = 4 *masa Na + 4 *masa Cl = 4* 35.4 uma + 4 * 22.99 uma = 233.56 uma Densidad = 233.56 uma / 0.033 nm3 c) c) factor empaquetamiento = volumen átomos / volumen celdilla factor emp = (4*(4/3*pi)*0.1813 nm3+ 4*(4/3*pi)*0.0973 nm3) / 0.033 nm3

Junio 99.- El molibdeno posee una estructura cúbica centrada en el cuerpo y una densidad de 10.2 gr/cm3. Se pide: a) a) Calcular el número de coordinación y el número de átomos de cada celdilla elemental b) b) Su radio atómico. c) c) Su factor de empaquetamiento atómico.

El peso atómico del molibdeno es de 95.94. Solución Junio 99.a) a) Por ser una estructura cúbica centrada en el cuerpo el número de coordinación es 8 y el número de átomos por celdilla es 2 (el central más 1/8 en cada esquina del cubo). b) b) nº átomos/cm3 = densidad/ peso molecular nº átomos/cm3 = 10.2 gr/cm3 / 95.94 * 10-23 gr/átomo = nº celdillas = (nº átomos/cm3) / (nº átomos/celdilla) nº celdillas = / 2 = volumen celdilla = 1 cm3 / nº celdillas volumen celdilla = 1 cm3 / volumen celdilla = a3

a = (volumen celdilla)1/3= ()1/3 =

R = sqr3*a/4 = c) c) el factor de empaquetamiento lo obtenemos dividiendo el volumen de los dos átomos entre el volumen de la celdilla, teniendo en cuenta que los átomos son tangentes según la diagonal del cubo. Factor empaquetamiento = Vátomos / Vceldilla= 2* (4/3* pi* R)/ a3 = 0.68 Septiembre 99.- Considerando los átomos como esferas compactas: a) a) Comparar el factor de empaquetamiento de una celda FCC y de una celda BCC. b) b) Suponer una estructura BCC y calcular el parámetro de red “a”, sabiendo que los átomos tienen un radio atómico de 0.127 nm. Solución Septiembre 99.a) a) factor empaquetamiento BCC = 0.68 factor empaquetamiento FCC = 0.74 b) b) a = 4* R/ (SQR3) = 4 * 0.127 nm / (SQR3) =0.293 nm

Junio 01.- Calcula el cambio teórico de volumen asociado a una transformación alotrópica en un metal puro desde una red FCC a una red BCC.

Solución Junio 01.FCC:

a = 4*R/SQR2

nº atomos celdilla = 4

BCC:

a = 4*R/SQR3

nº atomos celdilla = 2

Por cada celdilla FCC se formarán 2 celdillas BCC, ya que el nº de átomos se conserva.

(Volumen BCC/ Volumen FCC) = 2 * volumen celdilla BCC / volumen celdilla FCC (Volumen BCC/ Volumen FCC) = 2 * (4*R/SQR3)3 / (4*R/SQR2)3 = 1.088 Luego cuando cristaliza en BCC es un 8.8% mayor que cuando lo hace en FCC, a pesar de que la celdilla BCC es más pequeña. Septiembre 02.- Un metal cristaliza en la red cúbica centrada en el cuerpo. Si su radio atómico es 1.24 nanometros. ¿Cuántos átomos existirán en 1 cm3?

Solución Septiembre 02.a= 4*R/SQR3 = 4* 1.24 nm/SQR3=2.863 nm = 2.863 * 10-7 cm nº átomos por celdilla = 2 átomos Vceldilla = a3 = (2.863 * 10-7 cm)3=23.483 *10-21 cm3 nº celdilla = 1 cm3 /23.483 *10-21cm3 = 4.25 * 1019 celdillas nº átomos = nº celdilla * nº átomos/celdilla nº átomos = 4.25 * 1019 celdillas * 2átomos/celdilla = 8.5 * 1019 átomos

Índices de Miller Los átomos en un sólido están empaquetados, con lo que existe un cierto grado de orden: - de corto alcance (sólidos moleculares, con enlaces fuertes- covalentes- entre átomos y más débiles– van der Waals- entre moléculas ). - de largo alcance (sólidos cristalinos) En el interior de un sólido cristalino existe una estructura cristalina formada por una red espacial, en cada punto de la cual se sitúan grupos de átomos idénticos en composición y orientación (base). La geometría de la red espacial debe permitir que se llene todo el espacio de átomos sin dejar huecos, característica que hace que sólo existan 14 tipos de redes posibles (redes de Bravais), caracterizadas por una celda unitaria cada una, que, a su vez viene definida por una serie de parámetros (a,b,c y α , β , γ). Para identificar los diferentes planos y direcciones en un cristal se usan los índices de Miller (para planos (hkl), para direcciones [hkl]). La orientación de una superficie de un cristal plano se puede definir considerando como el plano corta a los ejes cristalográficos principales del sólido. La aplicación de un conjunto de reglas conduce a la asignación de los índices de Miller (hkl); un conjunto de números que cuantifican los cortes y que sólo puede usarse para identificar un plano o una superficie. El siguiente procedimiento que permite asignar índices de Miller está simplificado y sólo sirve para el sistema cúbico (con celda unitaria de dimensiones a x a x a ).

Para ilustrar el procedimiento, consideremos la siguiente superficie /plano:

Paso 1: identificar las intersecciones con los ejes x, y,z. En este caso la intersección con el eje x tiene lugar en x=a y la superficie es paralela a los ejes y, z (consideramos que los corta en ∞). Los cortes son a, ∞, ∞. Paso 2: especificar los cortes en coordenadas fraccionarias. Las coordenadas se convierten en fraccionarias dividiéndolas por la dimensión de la celda unidad. Por ejemplo un punto (x,y,z) en una celda unidad de dimensiones a x b x c, tiene las coordenadas fraccionarias (x/a, y/b, z/c). En nuestro caso ( celda cúbica), las coordenadas fraccionarias serán: a/a, ∞/a, ∞/a, es decir 1,∞, ∞. Paso 3: obtener los reciprocos de las coordenadas fraccionarias Este paso final genera los índices de Miller que, por convención, han de especificarse sin estar separados por comas. Los índices se encierran entre paréntesis () cuando se especifica una única superficie como en este ejemplo. Los recíprocos de 1 y ∞, son 1 y 0, respectivamente, lo que nos conduce a (100). Por tanto el plano del dibujo es el (100) del cristal cúbico. Otros ejemplos: 1- La superficie (110)

cortes: a,a,∞ ; cortes fraccionarios: 1,1,∞ ; índices de Miller: (1,1,0) 2- La superficie (111)

cortes: a,a,a ; cortes fraccionarios: 1,1,1 ; índices de Miller: (1,1,1) Las superficies consideradas hasta ahora (100), (110) y (111) son las llamadas superfícies de índice bajo de un cristal cúbico (el termino bajo hace referencia a que los índices son 0 o 1). Estas superficies tienen especial importancia, pero hay un número infinito de otros planos que pueden definirse usando los índices de Miller. 3- Las superficies (210)

cortes: a/2, a,∞; cortes fraccionarios: 1/2, 1,∞ ; índices de Miller: (210) Notas adicionales: (i) en algunos casos los índices de Miller se multiplican o dividen por algún factor común para simplificarlos. Esta operación simplemente genera un plano paralelo que está a distancia diferente del origen de la celda particular considerada (ejemplo: (200) se transforma en (100) al dividir por dos) (ii) si algunos cortes tienen valores negativos sobre los ejes, el signo negativo debe aparecer en el índice de Miller (ejemplo (00-1) se escribe (001) (iii) en los cristales hexagonales compactos hay cuatro ejes pricipales, por tanto deben usarse cuatro índices de Miller (ejemplo (0001))

En el dibujo las tres superficies están relacionadas por los elementos de simetría del cristal cúbico y son totalmente equivalentes. De hecho hay un total de 6 caras relacionadas por elementos de simetría y equivalentes a la superficie (100), cualquier superficie que pertenezca a este conjunto de superficies de simetría equivalente puede ser descrita por la notación {100}, en la que los índices de Miller de una de las superficies están representados entre llaves. En el sistema cúbico el plano (hkl) y el vector [hkl], definido con respecto al origen, son perpendiculares. Esta característica es única del sistema cúbico y no se puede aplicar a sistemas de simetría inferior.

La distancia entre planos en el sistema cúbico viene dada por:

Ejemplo MIL1 Determinar los valores de la intersección con los ejes x, y, z de un plano cuyos índices de Miller son (362). Suponiendo que dicho plano pertenezca a una estructura cristalina cúbica de parámetro de red igual a 3.5 A, calcular la distancia interplanar.

A partir de los índices de Miller (362) se obtienen los cortes fraccionarios 1/3, 1/6, 1/2 y se reducen a fracciones equivalentes con los números enteros menores posibles (aplicando el mcm= 6), obteniéndose 1/2,1,1/3. Los cortes con los ejes serán, por tanto x=2, y=1, z=3. La distancia entre estos planos se obtiene a partir de:

REDES CRISTALINAS Para una apropiada asimilación de lo que significa el orden interno cristalino, se ha de comenzar por la visualización y definición, a través de vectores traslación, del orden interno monodimensional , constituido por las diferentes direcciones de la red que definen, por su periodicidad, filas reticulares donde los nudos están alineados y equidistantes entre sí.

Fila reticular Se trata de una fila de nudos obtenida por aplicación sucesiva de una traslación definida. El símbolo de las filas reticulares se denomina como los índices [uvw] que son los componentes del vector traslación que une dos nudos adyacentes de la fila considerada expresados en función de un par primitivo cuyo origen se sitúa sobre uno de estos dos nudos. Por ejemplo, para las filas fundamentales:

Para otras filas reticulares:

Plano reticular Un plano reticular queda definido por dos filas reticulares conjugadas. Todo plano reticular puede definirse por sus intersecciones (Ha, Kb, Lc) con los tres ejes fundamentales del cristal. Las dimensiones de estas intersecciones (HKL), medidas desde un nudo tomado como origen son los parámetros del plano reticular correspondiente. Sin embargo, la denominación habitual de un plano reticular son los índices de Miller.

Índices de Miller Se obtienen calculando las intersecciones (H, K, L), o número de traslaciones, con los tres ejes fundamentales del cristal. Posteriormente se invierten y se eliminan denominadores, o bien, se calculan los cocientes entre el producto de las tres intersecciones dividido entre cada una de las intersecciones: (H*K*L= N, N/H= h, N/K=k, N/L=l)

Intersecciones: H=æ, K=æ, L=1, Invertimos: 1/æ=0, 1/æ=0, 1/1=1, no existen denominadores

Índices de Miller: (001)

1º. Deducir las intersecciones de cada plano con los ejes cristalográficos a, b y c. Es decir, contar el número de traslaciones t1, t2 y t3 que ocupa el plano sobre los ejes a, b y c. El plano ABD ocupa:

2t1 en el eje a, 2t2 en el eje b, y

4t3 en el eje c

El plano EBD ocupa: 4t1 en el eje a, 2t2 en el eje b, y

4t3 en el eje c

2º. Para calcular los índices de Miller de cada plano, a partir de estas intersecciones, se invierten los valores y, si es necesario, se reducen las fracciones El plano ABD corta a los ejes en 2, 2 y 4. Su inversión es: 1/2, 1/2, 1/4. Reducimos fracciones, quitando denominadores: 2/4, 2/4, 1/4. Sin denominadores queda 221

Índices de Miller: (221)

El plano EBD corta a los ejes en 4, 2 y 4. Su inversión es: 1/4, 1/2, 1/4. Reducimos fracciones, quitando denominadores: 1/4, 2/4, 1/4. sin denominadores queda 121

Índices de Miller: (121)

* Este símbolo entre paréntesis (hkl) nombra el plano dado, mientras que entre corchetes {hkl} indica todos los planos homólogos que resultan de aplicar los elementos de simetría del cristal al plano (hkl).

Celda unidad

En una red cristalina existen siempre tres traslaciones no coplanarias que tienen las dimensiones mínimas entre todas las traslaciones posibles de la red: son las traslaciones fundamentales o constantes reticulares, de dimensiones submicroscópicas. La porción del espacio cristalino limitado por estas traslaciones constituye la celda fundamental del cristal y es característica del mismo.

Se denomina celda primitiva aquella que no tiene nudos en su interior y celda múltiple a la que si los tiene y está definida por vectores múltiples que son múltiplos enteros del vector traslación unitario de igual dirección. Se llama multiplicidad al número de nudos que hay por celda elemental (todas las celdas primitivas de una red tienen multiplicidad 1 , ¼ * 4 = 1)

CRISTALOGRAFÍA Ciencia que se dedica al estudio y resolución de estructuras cristalinas. La mayoría de los minerales adoptan formas cristalinas cuando se forman en condiciones favorables. La cristalografía es el estudio del crecimiento, la forma y la geometría de estos cristales. Las partículas de los cuerpos sólidos, salvo excepciones, se ordenan en el espacio de acuerdo a determinados tipos de redes geométricas, también llamadas cristalinas. Esta ordenación, que da a los sólidos su consistencia y la mayor parte de sus propiedades, constituye el campo de estudio de la cristalografía.

Los sólidos cristalinos tienden a adoptar estructuras internas geométricas basadas en líneas rectas y planos paralelos. Los componentes de los sólidos pueden ser de cuatro tipos: 

Átomos: partículas elementales de materia con carga eléctrica neutra.



Iones: átomos con carga eléctrica negativa (aniones) o positiva (cationes) debidos a la transferencia o recepción, respectivamente, de uno o más electrones.



Grupos iónicos: agrupación de varios iones de los mismos o diferentes elementos químicos.



Moléculas: agrupación de varios átomos del mismo o de diferentes elementos.

3.1 REDES DE BRAVAIS El nombre de bravais viene del Físico y mineralogista francés. Profesor de física y de astronomía Auguste Bravais que estableció la teoría reticular, según la cual las moléculas de los cristales están dispuestas en redes tridimensionales. Esta teoría, que explica los fenómenos de simetría y anisotropía de las sustancias cristalinas, fue posteriormente demostrada gracias a la difracción por rayos X. Las redes de bravais son una disposición infinita de puntos conformando una estructura bajo cierto grupo de traslaciones, en la mayoría de casos no se dan cambios bajo rotaciones o simetría rotacional. Estas hacen que desde todos los nodos de una red de bravais tengan la misma perspectiva de red, por esto se dice que los puntos de una red son equivalentes. GEOMETRÍA DE LAS REDES DE BRAVAIS Estructura algebraica conocida por grupos que tiene una secuencia ordenada, sus objetivos son entre otros la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones. Por la teoría de grupos se ha demostrado que solo existe una única red de bravais unidimensional

(simple

secuencia

de

nodos

equidistantes

entre

sí),

5

redes

bidimensionales paralelogramos (2D) y 14 modelos distintos de redes tridimensionales paralelepípedo (3D). Redes Unidimensionales: La red unidimensional es elemental siendo ésta una simple secuencia de nodos equidistantes entre sí.

Redes bidimensionales: Según los ángulos y la distancia entre los nodos se distinguen 5 redes distintas, un caso ejemplar sería el grafito cuya estructura sigue un patrón de red en panal. Redes tridimensionales: Para las redes de Bravais tridimensionales existen solamente siete grupos puntuales posibles y 14 grupos espaciales. Obviamente, varios grupos espaciales comportan el mismo grupo puntual. Esto permite clasificar todos los cristales en siete sistemas cristalinos (según el grupo puntual) y en 14 redes de Bravais (según el grupo espacial). Las redes tridimensionales están formadas por la repetición de celdas unidad tridimensionales. Estas celdas vienen definidas por tres traslaciones: a, b y c, siendo a y b las traslaciones de la red plana, y c la traslación de dicha red plana en una dirección diferente (generalmente correspondiente al plano vertical). Además, vienen definidos tres ángulos: α : es el ángulo que forman entre sí los vectores b y c. β : es el ángulo que forman entre sí los vectores a y c. γ : es el ángulo que forman entre sí los vectores a y b (los de la red plana). De acuerdo con Bravais, existen 14 tipos distintos de redes tridimensionales, de las más conocidas son:

BIBLIOGRAFIA: 

http://elcrisoluspt.files.wordpress.com/2008/09/estructura11.pdf



http://www.qi.fcen.uba.ar/materias/qi2/_teoricas/solidos_primera_parte.pdf



http://es.wikipedia.org/wiki/Redes_de_Bravais

Introducción a la ciencia de materiales para ingenieros: Shackerlford, James F. (Autor), Martin, Nuria (Traductor), Smith, William F. (Autor), Hashemi, Javad (Autor) 3.2 SISTEMA CÚBICO Y HEXAGONAL. CRISTALES BCC, FCC, HCP. 3.3 FACTOR DE EMPAQUETAMIENTO INTRODUCCIÓN El estudio de las siguientes estructuras cristalinas las cuales pertenecen en gran proporción a los metales puros solidifican en tres estructuras cristalinas compactas BCC, FCC y HCP, éstas estructuras son estudiadas a partir de una pequeña porción que contenga el patrón

de

ordenamiento,

las

cuales tienen

un arreglo

asignado debido

a

su distribución atómica y que tienen un gran uso en la actualidad para semiconductores, circuitos integrados y otros sistemas modernos; a continuación se estudiarán dichas estructuras.

ESTRUCTURA CÚBICA DE CUERPO CENTRADO Se denomina estructura de cuerpo centrado (body centred cubic) porque

uno de los

átomos se encuentra contenido justo en el centro del cubo o celda unitaria, y es equidistante de los ocho átomos de las esquinas, se dice por lo tanto que tiene un número de coordinacion (NC) de 8, es decir que 8 es el indice de la eficiencia de la condensación átomica . en la figura 4.2-1 se puede observar dicha estructura; Ahora , ¿cuantos átomos contiene la estructura cristalina BCC en cada celda unitaria?

(a)

(b)

figura 3.2-1, modelos esquemáticos de la estructura BCC: (a)arreglo abierto; (b) átomos que se aproxíman entre sí McMaster_BCC_Unit_Cells_(C)_2007_Ehsan_Shojaei De la estructura cristalina BCC los átomos que cortan las esquinas son octavos de dichos vecinos próximos, además está contenido un átomo en su totalidad en el centro, por lo tanto tenemos : Esquinas: (1/8) × 8 átomos = 1 átomo. Centro:

1 átomos = 1 átomo.

Total

= 2 átomos/ celda unidad.

¿Se puede afirmar esto sin temor a alguna equivocación? la respuesta es acertada pues se debe recordar que cada átomo de cristal está rodeado por un arreglo idéntico de átomos en el látice espacial repetitivo, lo que significa que el látice que conforma el conjunto parcialmente ordenado que consta de dos elementos (en este caso átomos) tiene una mínima cota superior y una máxima cota inferior, donde los elementos cumplen las operaciones de simetría de una estructura, y está dotado de una ley de composición interna de aplicación sucesiva que se puede modelar matemáticamente.

figura 3.2-2estructura cristalina BCC donde se muestra la relación entra la constante de red a y el radio atómico R En la celda unidad BCC los átomos de cada vértice contactan entre sí a través de la diagonal del cubo, como se muestra en la figura 4.2-2, por que la relacipon entre la arista del cubo a y el radio atómico R es √3 a=4R

o a=4R/√3

(4.1)

4R es el número de radios que atraviesa la diagonal de las esquinas opuestas La demostración de 4.1 se hace simple y por trigonometria. Otro factor importante a calcular es el volúmen de la celda unidad BCC y de cualquier celda que está ocupada por átomos , para esto se asume que las esferas son rígidas, y determinados el parámetro de látice (a) y el radio atómico (R); se define un factor de condensación atómica o factor de empaquetamiento.

FACTOR DE EMPAQUETAMIENTO (APF) Generalmente se acepta que la naturaleza favorece los arreglos y estados de la materia que tienden a minimizar los niveles de energía (energía potencial). por ello podemos preguntarnos qué tan eficiente es en verdad el arreglo de un cristal y si es razonable asumir un empaquetamiento denso; para este ultimo se realiza la convención de: 

Generalmente sólo está presente un elemento, por lo que todos los radios atómicos son iguales.



El enlace metálico no es direccional.



La distancia a los primeros vecinos tienden a ser cortas para disminuir la energía de enlace.



la nube electrónica cubre a los núcleos.

Entonces, Para evaluar la eficiencia de la estructura cristalina o cuán eficiente estan arreglados los átomos se calculará el volúmen atómico contenido en la celda unitaria en relación con el volúmen total de la celda unitaria como sigue: APF= volúmen de átomos en una celda unidad/ volúmen de la celda unidad (3.2). Ejemplo 3.2 a Calcule el factor de empaquetamiento atómico para la celda unidad BCC, considerando los átomos como esferas rígidas solución: APF=Volumen de los átomos en la celda unidad BCC / Volumen de la celda unidad BCC Puesto que tenemos dos átomos por celda unidad BCC, el volumen de los átomos de radio R en una celda unidad es, V_átomos= (2)(4/3 Π R^3) El volumen de la celda unidad es:

V_celda unidad= a^3 Donde a es la constante de red. La relación entre a y R se obtiene a partir de la figura 3.2-2, que muestra cómo los átomos de la celda unidad contactan a través de la diagonal del cubo. así, √3 a=4R Así, V_celda unidad= a^3=12,32 R^3 El factor de empaquetamiento atómico para la celda unidad BCC resulta ser, APF= (V_átomos/celda unidad) / V_celda unidad = 8,373 R^3 / 12,32R^3 = 0,68 Ahora, se establecerán las siguientes realciones de constante de red a y radio atómico para materiales que tienen estructura cirstalina BCC a temperatura ambiente de (20°C). Constante de red a metal

(nm)

radio atómico R (nm)

Cromo

0,289

0,125

Hierro

0,287

0,124

Molibdeno

0,315

0,136

Potasio

0,533

0,231

Sodio

0,429

0,186

Tántalo

0,330

0,143

Volframio

0,316

0,137

Vanadio

0,304

0,132

Ejemplo 3.2-b El tántalo a 20°C es BCC con átomos de radio atómico 0,143nm. Calcule la constante de celda a para la arista del cubo de la celda unidad del tántalo Solución: en la figura 3.2-2 se ve que los átomos de tántalo en la celda unidad BCC se tocan a través de la diagonal del cubo.Así , si a es la arista del cubo, tenemos: √3 a=4R Donde R es el radio atómico del tántalo, entonces: a= (4(0,143nm))/√3 = 0,330nm ESTRUCTURA CÙBICA CENTRADA EN LAS CARAS

figura 3.2-3 estructura cristalina FCC Otro tipo de arreglo cristalino cùbico es el FCC (face centred cubic), su diferencia entre las estructuras cristalinas difiere porque en cada faz (cara) existe un átomo colocado en ella y en los vértices de las celdilla unidad, o sea, en las posiciones de los nudos de la red de Bravais del mismo nombre (figura 4.3-1). El nùmero de coordinacion la estructura FCC es de 12, la forma mas sencilla de comprender esto, es situandose mentalmente en el àtomo del centro de una de las caras y contar todos los átomos en contacto con él. De nuevo se separó mucho el arreglo de la celda (fig.4.3-2) con la intención de que la localizacion de los átomos sea clara; examinando el cristal, además de los ocho átomos de esquina, existen seis átomos centrados en las caras que se comporten entre esta celda y sus vecinas inmediatas. La mitad de cuaquier átomo se la faz se encuentra en una celda unitaria y la otra mitad está en la celda adyacente; por lo tanto, se puede determinar la cantida de átomos asociados con la celda unitaria de esta estructura como sigue:

figura 3.2-4. Celda unidad FCC con su respectivo arreglo atómico McMaster_FCC_Unit_Cells_(C)_2007_Ehsan_Shojaei Esquinas: 8 × 1/8 = 1 àtomo Caras:

6 × 1/2 = 3 àtomos

Total = 4 àtomos /celda unitaria Nótese que la cantidad de átomos por celda unitaria se duplicaron con relación a la del sistema BCC, que contiene el equivalente de dos átomos por celda unidad, con seguridad, éste es el indicio de una condensación atómica mas eficiente en el látice. En la celda FCC los átomos contactan en la diagonal de la cara del cubo como se indica en la figura 4.3-3, por lo que la relación entre la arista del cubo a y el radio atómico R es: √2 a =4R o a= 4R/ √2 (4.3) El APF para la estructura cristalina FCC es de 0,74, que es mayor que el factor 0,68 de la estructura BCC. Un APF de 0,74 es el máximo de compacto posible para átomos esféricos. Muchos metales como el aluminio, cobre, plomo, níquel y hierro a termperatura elevada ( de 912 a 1.394 °C) cristalizan en la estructura FCC. Metales que tienen estructura cristalina FCC a temperatura ambiente (20°C) y su constante de red y radio atómico.

metal

Constante de red a (nm)

radio atòmico r (nm)

Aluminio

0,405

0,143

Cobre

0,3615

0,128

Oro

0,408

0,144

Plomo

0,495

0,175

Níquel

0,352

0,125

Platino

0,393

0,139

Plata

0,409

0,144

ESTRUCTURA HEXAGONAL DE EMPAQUETAMIENTO CERRADO El tercer tipo principal de estructura cristalina es HCP, presenta un arreglo de alta densiad en sus átomos, los cuales en su tercer capa o plano se encuentran directamente por encima de los átomos del primer plano como indica en a figura 3.2-3.

(a)

(b) figura 4.4-1. celda unidad HCP. a) de esferas rígidas; b) de posiciones atómicas. McMaster_HCPs_Unit_Cells_(C)_2007_Ehsan_Shojaei El número de coordinación de los cristales HCP es el mismo que para los FCC e igual a 12. Se puede verificar esta cantidad con los átomos vecinos más próximos, considerando el átomo central en un plano base, este átomo está rodeado por tres átomos en su propio plano base, más tres átomos que se localizan cada uno en el plano adyacente paralelo, lo que hace un total de 12 átomos vecinos más próximos. El factor de condensaciòn atómica es e mismo que el de FCC e igual a 0.74; generalmente se conocen las estructuras FCC y HCP como empaquetamiento cerrado por que son las dos formas de arreglar esferas idéntica con la densidad mas grande posible y que aún exhiben periocidad. Una celda HCP tiene un equivalente a seis átomos por celda unidad: Tres átomos forman un triángulo en la capa intermedia como queda reflejado por las posiciones atómicas en la figura 4.2-2 b. Hay seis × 1/6 secciones de átomos en las capas superior e inferior, contribuyendo con un equivalente de dos átomos mas por celdilla ( 2 × 6 × 1/6 =2). Finalmente, hay medio átomo más por celdilla. Así, el número toral de átomos por celdilla unidad en la estructura HCP es de 3 + 2+1 = 6. La relación entre la altura c del prisma hexagonal de la estructura y el lado a de su base se llama relación c/a para algunos metales HCP. De entre los metales cinc, cadmio, entre otros, tiene una relación c/a superior a la ideal lo que indica que los átomos en estas estructuras están ligeramente elongados a lo largo del eje c en la celdilla unidad HCP. Los metales como el magnesio,

cobalto, circonio, titanio y berilio tienen una relacion c/A menor que la ideal, por tanto, en estos metales los átomos están ligeramente comprimidos en la dirección del eje c. Así, estos metales presentan ciertas desviaciones del modelo ideal de esferas rígidas. A continuación se hará la comprobación del valor del factor de empaquetamiento en una estructura cristalina HCP

figura 4.4-2 diagramas para calcular el volumen de la celda unidad HCP

Ejemplo 4.4-A Calcular el volumen de la celdilla unidad de la estructura cristalina del cinc a partir de los siguientes datos: el cinc puro tiene una estructura cristalina HCP con constantes de red a=0,2665 nm y c= 0,4947 nm. solucion: El volumen de la celdilla unidad HCP puede obtenerse determinando el área de la base de la celdilla unidad y multiplicando ésta por la altura figura 4.4-2. El área de la base de la celdilla unidad es el área de la parte inferior del hexagono, de forma que el área total es la suma e las áreas de los seís triángulos equiláteros de área, a partir de la figura 4.4-2 podemos deducir lo siguiente:

Área del trinángulo ( figura 4.4-2 b)= 1/2 (base)(altura) = 1/2 (a)(asen 60°) = 1/2 a^2 sen60° A partir de la figura 4.4-2b; Área toal de la base HCP = (6)(1/2 a^2 sen60°) = 3 a^2 sen 60° A partir de la figura 4.4-2a; Volumen de la celdilla unidad del cinc HCP = (3a^2 sen 60°)(c) = (3)(0,2665 nm)^2 (0,8660) (0,4947 nm) = 0,0913 nm^3 Materiales con estructura cristalina HCP a temperatura ambiente (20°C) y sus constantes reticulares, su radio atómico y su relación c/a Constante de red a ( nm )

% desviación de la

Metal

a

c

Radio atómico r

Relación (c/a)

relación ideal

Cadmio

0,2973

0,5618

0,149

1,800

+15,7

Cinc

0,2665

0,4947

0,133

1,856

+13,6

1,633

0

1,623

-0,66

HCP ideal

Magnesio

0,3209

0,5209

0,160

Cobalto

0,2507

0,4069

0,125

1,623

-0,66

Circonio

0,3231

0,5148

0,160

1,593

-2,45

Titanio

0,2950

0,4683

0,147

1,587

-2,81

Berilio

0,2286

0,3584

0,113

1,568

-3,98

3.4 DENSIDAD VOLUMÉTRICA Utilizando el modelo de esferas rígidas para la estructura cristalina de la celda unidad de un metal, un valor de radio atómico del metal obtenido por análisis de difracción de rayos X y utilizando la siguiente ecuación obtenemos la densidad volumétrica de un metal: Densidad volumétrica de un metal = ρv = (Masa Celda unidad) / (Volumen celda unidad) Para aplicar la fórmula mencionada debemos recordar los parámetros de red de las estructuras cristalinas presentes en los metales (BCC, FCC, HCP).

BCC: a = 4r/√3 volumen: a³ FCC: a = 4r/√2 volumen: a³ HCP: a = 2r c = [√ (2/3)]*4r volumen: (3/2)*√3*a²*c

También podemos expresar esta ecuación de forma más general teniendo en cuenta que la masa celda unidad es: (Número de átomos celda unidad) * (Peso molecular de los átomos) Y volumen celda unidad es: (Volumen celda unidad)*(Número de avogadro) Número de avogadro = 6.02×1023 átomos/mol Obteniendo: ρv = [número de átomos por celda * peso molecular de los átomos] / [volumen de la celda unitaria * número de avogadro] El valor obtenido mediante ésta ecuación puede variar ligeramente del valor experimental consignado en tablas, lo cual debe atribuirse a la ausencia de algunas posiciones atómicas,

defectos de línea, y uniones defectuosas entre los granos (limites de grano). Otra causa de esta situación puede deberse también a que los átomos no son esferas perfectas. EJEMPLOS Ejemplo 3.4.1: El cobre tiene una estructura cristalina FCC y un radio atómico de 0.1278 nm. Considerando a los átomos como esferas rígidas que se colocan entre sí a lo largo de la diagonal de la celda unitaria FCC, calcule el valor teórico de la densidad del cobre en mega metros por metro cubico. La masa atómica del cobre es de 63.54 g/mol. Solución Para la celda unitaria FCC, √2a =4R, donde a es la constante de red en la celda unitaria y R es el radio del átomo de cobre. Así: a = 4R/√2 = (4*0.1278 nm)/√2 = 0.361 nm Densidad volumétrica de un metal = ρv = (Masa Celda unidad) / (Volumen celda unidad) En la celda unitaria FCC hay cuatro átomos/celda unitaria. Cada átomo de cobre tiene una masa de (53.54 g/mol)*(6.02×1023 átomos/mol). Así, la masa m de los átomos de Cu en la celda unitaria es: m = [(4 átomos)*(63.54 g/mol)/(6.02×10²³ átomos/mol)] * (10*10-6 Mg)/g m = 4.22 * 10 -28 Mg El volumen V de la celda unitaria del Cu es: V = a³ = [0.361 nm * (10 -9 m)/nm]³ V = 4.70 * 10 -29 m³ Así la densidad del cobre es:

ρv = m/v = (4.22 * 10 -28 Mg)/(4.70 * 10 -29) = 8.98 Mg/m³ Respuesta: ρv (cobre) = 8.98 Mg/m³ Ejemplo 3.4.2: Determine la densidad del hierro BCC, cuyo parámetro de red es 0.2866 nm. Solución Para una celda BCC, Átomos por celda = 2 a = 0.2866 nm Masa atómica = 55,847 g/mol Volumen de la celda unitaria = a³ = (2.866 * 10 -8 cm)³ = 23.54 * 10 -24 cm³/celda Número de avogadro = Na = 6.02 * 10 ²³ átomos/mol ρv = [numero de átomos por celda * peso molecular de los átomos]/ [volumen de la celda unitaria * numero de avogadro] ρv = (2*55.847) / (23.54* 10 -24 * 6.02 * 10 ²³) = 7.882 g/cm³ Respuesta: ρv (hierro) = 7.882 g/cm³ La

densidad

medida

es

7.870

g/cm³.

La

pequeña

discrepancia

entre

las

densidades teórica y medida es una consecuencia de los defectos en el material. Como se dijo antes el término “defecto” en este contexto, significa imperfecciones respecto al arreglo atómico. Ejemplo 3.4.3:

La plata tiene una estructura cristalina FCC con un radio atómico de 0.144 nm. Calcule el valor teórico de la densidad de la plata en g/cm³. Solución: Masa atómica (Ag) = 107.87 g/mol Masa = [(4 átomos * 107.87 g/mol) / (6.02 * 10²³ átomos/mol)] Masa = 7.167 * 10-²² g Volumen para una celda BCC = a³ donde a =4r/√2 Entonces tenemos: Volumen en cm³ = [((4 * 0.144*10-9 m) / √2)*(100 cm / 1 m)]³ Volumen = 6.756 * 10-²³ cm³ Así la densidad teórica de la plata es: ρv = m/v = 7.167 * 10-²² g / 6.756 * 10-²³ cm³ Respuesta: ρv (plata) = 10.608 g/cm³ Ejemplo 3.4.4: La densidad del torio que tiene una estructura FCC es de 11.72 g/cm³. El peso atómico del torio es de 232 g/mol. Calcule: a) El parámetro de red. b) El radio atómico del torio. Solución.

a) Como es una es una estructura FCC el parámetro de red a = 4r/√2 y el volumen de la celda es a³. Utilizando ρv = [número de átomos por celda * peso molecular de los átomos] / [volumen de la celda unitaria * número de avogadro] Tenemos: 11.72 g/cm³ = (4 átomos * 232 g/mol) / [(4r/√2)³ * 6.02*10²³ átomos/mol] Despejando r: r³ * 11.72 /cm³ = 928 / 1.36*10 25 r³ = 6.82*10-²³ cm³ / 11.72 Respuesta: r = 1.799*10-8 cm b) Usando a = 4r/√2 tenemos: a = (4 * 1.799*10-8 cm) / √2 Respuesta: a = 5.088*10-8 cm Ejemplo 3.4.5: El bismuto tiene una estructura hexagonal, con a = 0.4546 nm y c = 1.186 nm. La densidad es 9.808 g/cm³ y el peso atómico es de 208.98 g/mol. Determine: a) El volumen de la celda unitaria. b) Cuantos átomos Existen en cada Celda unitaria. Solución.

a) Mirando la figura de la celda hexagonal compacta y teniendo en cuenta que el volumen es la base multiplicada por la altura (c) y además descomponiendo esta base en 6 triángulos equiláteros, podemos llegar a la conclusión de que el volumen de la celda es: V = (3/2)*√3*a²*c Reemplazando tenemos: V = (3/2) * √3 * (0.4546 nm)² *9.808 nm Respuesta: V= 0.637 nm³ b) V = 0.637 nm³ = 0.637*10-²¹ cm³ Reemplazando todos los datos en ρv = [número de átomos por celda * peso molecular de los átomos] / [volumen de la celda unitaria * número de avogadro] Y tomando como N = numero de átomos tenemos: 9.808 g/cm³ = (N * 208.98 g/mol) / (0.637*10-²¹ cm³ * 6.02*10²³ átomos/mol) Despejando N Respuesta: N = 18 átomos Ejemplo 3.4.6: La densidad del potasio, que tiene una estructura BCC es 0.855 g/cm³. El peso atómico del potasio es 39.09 g/mol. Calcule: a) El parámetro de red. b) El radio atómico del potasio.

Solución a) Sabemos que al ser una celda BCC tiene 2 átomos en su interior. Reemplazando todos los datos otorgados en ρv = [número de átomos por celda * peso molecular de los átomos] / [volumen de la celda unitaria * número de avogadro] Tenemos: 0.855 g/cm³ = [(2 átomos * 39.09 g/mol) / (a³ * 6.02*10²³ átomos/mol)] Despejando a: a³ = 1.519*10-²² cm³ Respuesta: a = 5.336*10-8 cm b) a = 4r/√3 Despejando r: r = [(5.336*10-8 cm) √3] / 4 Respuesta: r = 2.31*10-8 cm 3.5 INDICES DE MILLER Estos se utilizan para identificar los planos cristalinos por donde es susceptible de deslizar unos átomos sobre otros átomos en la celda cristalina. Para poder identificar unívocamente un sistema de planos cristalográficos se les asigna un juego de tres números que reciben el nombre de índices de Miller. Los índices de un sistema de planos se indican genéricamente con las letras (h k l)

Los índices de Miller son números enteros, que pueden ser negativos o positivos, y son primos entre sí. El signo negativo de un índice de Miller debe ser colocado sobre dicho número. Ejes y celdas unitarias: Se utilizan los tres ejes conocidos normalmente, el eje X positivo se usa saliendo del papel, el eje Y positivo hacia la derecha y finalmente el eje Z positivo hacia la parte superior; en sentidos opuestos se encuentran sus respectivas zonas y cuadrantes negativos

Se utilizan celdas unitarias para situar tanto puntos, como planos. Dichas celdas unitarias son cubos los cuales se encuentran situados sobre el sistema de coordenadas X, Y, Z. Generalmente se asume un origen, el cual está ubicado en la arista inferior izquierda posterior.

Direcciones en la celda unitaria: Existen direcciones y posiciones en una celda unitaria de gran interés, dichas direcciones son los denominados Índices De Miller y son particularmente las posiciones o lugares por donde es más susceptible un elemento en sufrir dislocaciones y movimientos en su interior cristalino. Para hallar los Índices De Miller de las direcciones se procede de la siguiente manera: 1. usar un sistema de ejes coordenados completamente definidos (zonas positivas y zonas negativas). 2. Restar las coordenadas de los puntos a direccionar (cabeza menos cola), generando de esta manera el vector dirección y la cantidad de parámetros de red recorridos 3. Eliminar o reducir de la resta de puntos las fracciones hasta su mínima expresión 4. Encerrar los números resultantes entre corchetes negativo

, sin comas, si el resultado es

en cualquier eje (X, Y, Z) debe situarse una barra o raya encima

de dicho numero, o números. Ejemplo 3.5.1

Determinar los índices de Miller de las direcciones A, B y C. Dirección A

1. Dos puntos son: 1,0,0 y 0,0,0 2. Se restan ambos puntos, situando en primer lugar el punto que se desea tener como dirección y sentido (cabeza del vector)

1,0,0 – 0,0,0 = 1,0,0

3. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir 4. [ 100 ] Dirección B Dos puntos son: 1,1,1 y 0,0,0 1. Se procede de igual manera, se restan ambos puntos

1,1,1 - 0,0,0 = 1,1,1

2. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir 3. [ 111 ] Dirección C 1. Dos puntos son: 0,0,1 y ½,-1,0 2. Se procede de igual manera, se restan ambos puntos

0,0,1 - ½,-1,0 = - ½,-1, 1

3. Esta vez el resultado debemos llevarlo a una conversión de enteros. 4. 2(- ½,-1, 1)=-1,-2,2 5. Como el resultado es negativo en las direcciones de los ejes X y Y, se sitúan con una barra en la parte superior los valores para dichos ejes. 6. Aspectos importantes en el análisis y creación de las direcciones en los Índices De Miller: 1. las direcciones de Miller son vectores, por ende este puede ser positivo o negativo, y con ello poseer la misma línea de acción pero diferente sentido. 2. una dirección y sus múltiplos son idénticos solo que estos aun no han sido reducidos. 3. ciertos grupos de direcciones poseen equivalentes, esto en un sistema cubico es ocasionado por el orden y el sentido de los vectores, ya que es posible redefinir el sistema coordenado para una misma combinación de coordenadas. Estos grupos reciben el nombre de direcciones de una forma o familia, y se denota entre paréntesis especiales . Es importante resaltar que un material posee las mismas propiedades en todas y cada una de las diferentes direcciones de una familia.

Tabla 3.5.a Direcciones de la familia en el sistema cubico

Importancia de las direcciones cristalográficas: Es necesario conocer las direcciones cristalográficas para así asegurar la orientación de un solo cristal o de un material poli cristalino. En muchas ocasiones es necesario describir dichas orientaciones; en los metales por ejemplo es más fácil deformarlos en la dirección a lo largo de la cual los átomos están en mayor contacto. En la industria esto es de vital importancia para el uso, deformación y construcción de nuevos elementos y materiales. Caso ejemplar es el de los elementos magnéticos los cuales funcionan como medios de grabación con mejor y mayor eficiencia si se encuentran alineados en cierta dirección cristalográfica, para así almacenar de manera segura y duradera la información. En general es necesario encontrar o tener en cuenta la posición y dirección cristalográfica de los elementos ya que así podrá aprovecharse al máximo sus propiedades mecánicas. Planos en la celda unitaria: Los planos cristalinos son con mayor precisión los lugares por donde un material facilita su deslizamiento y transformación física; dichos lugares o planos son en donde existe la mayor posibilidad de que el elemento sufra una dislocación. Como se mencionó anteriormente los metales se deforman con mayor facilidad a lo largo de los planos en los cuales los átomos están compactados de manera más estrecha o cercana en la celda unitaria. Es importante resaltar la orientación y forma en la que puede crecer el cristal, para ello es necesario analizar las tensiones superficiales producidas en los principales planos de una celda unitaria. Igualmente para una mejor orientación en los planos de un

material podrá existir un mejor rendimiento y aprovechamiento en las propiedades y usos mecánicos. Los Índices de Miller para planos se representan equivalentemente al sistema cartesiano (X, Y, Z) = (h, k, l) respectivamente. Para identificar los planos de importancia se procede de la siguiente manera: 1. identificar los puntos donde cruza al plano de coordenadas X,Y,Z en función de los parámetros de red (si el plano pasa por el origen se debe trasladar el origen del sistema de coordenadas). 2. los Índices de Miller para los planos cristalinos son el inverso a los puntos de un plano cartesiano. 3. se calculan los recíprocos o inversos de los puntos o intersecciones. 4. si el reciproco es N/∞, donde N es cualquier numero entero real, esto significara en el plano que para este eje el plano quedara paralelo a él sin tocarlo. 5. la cantidad obtenida siempre es menor a la unidad, caso que no ocurre en el estudio de las direcciones de los Índices de Miller. Ejemplo 3.5.8 Determine los índices de Miller de los planos A,B y C Plano A

1. x=1 y=1 z=1 2. 1/x=1 , 1/y=1, 1/z=1 3. No existen fracciones que eliminar 4. (111)

Plano B 1. Debe aclararse el plano no cruza al eje z, esto es debido al cociente entre 1/∞ lo cual con su respectivo limite tiende a ser cero (0) 2. X=1 , y= 2, z=∞ 3. 1/x=1, 1/y=1/2, 1/z= 0 4. Debemos eliminar las fracciones; 2(1, ½,0) 5. (210)

Plano C 1. Es necesario cambiar el origen, ya que el plano pasa por el origen, ubicaremos el nuevo origen a la derecha del inicial, moviéndolo en dirección del eje Y positivo 2. Con el nuevo origen se tiene: x=∞, y=-1, z=∞

3. 1/x=0, 1/y=-1, 1/z=0 4. No existen fracciones que eliminar 5. Aspectos importantes para los planos en los Índices de Miller: 1. los planos positivos y negativos son idénticos. 2. los planos y sus múltiplos no son idénticos. Esto se demuestra por medio de la densidad planar y el factor de empaquetamiento. 3. los planos de forma o familia de planos son equivalentes. Se representan con llaves {} 4. en los sistemas cúbicos, una dirección es perpendicular a un plano si tiene los mismos Índices de Miller que dicho plano. Ejemplo 3.5.3 Familia de planos {110} en los sistemas cúbicos

Estos planos son inversos en muchos aspectos de estudio, análisis y construcción. Índices de Miller para celdas hexagonales Para este tipo de estructura se ha desarrollado un especial conjunto de índices de MillerBravais, debido a la simetría de la estructura. En este se usan ya cuatro ejes, aunque es de tenerse en cuenta que el eje a3 es redundante. El procedimiento para la obtención de planos y direcciones es el ya estudiado, aunque para el cálculo de las direcciones existen los métodos para tres ejes o el de cuatro ejes, siendo este último algo más tedioso.

En esta nueva estructura se tomaran los índices (h, k, i, l), para los cuales se asignara un eje respectivo (a1=h, a2=k, a3=i, c=l), teniendo en cuenta que para el eje a3 su existencia radicara en la relación h + k = -i; y la descomposición en cuatro vectores (creación de direcciones en cuatro ejes a partir de los índices en los tres ejes) Relaciones: H= 1/3(2h – k) K=1/3(2k – h) I=-1/3(h + k) L=l

Ejemplo 3.5.6 Determine los índices de Miller-Bravais para los planos A y B y par las direcciones C y D.

Plano A

1. a1=a2=a3=∞, c=1 2. 1/a1=1/a2=1/a3=0, 1/c=1 3. No existen fracciones que simplificar 4. (0001)

Plano B 1. A1=1, a2=1, a3=-1/2, c=1 2. 1/a1=1, 1/a2=1, 1/a3=-2, 1/c=1 3. No hay fracciones que simplificar 4. Dirección C 1. Dos puntos: 0,0,1 y 1,0,0 2. Realizando la resta y tomando al punto 0,0,1 como cabeza del vector, se tiene: 0,0,1 – 1,0,0 = -1,0,1 3. No existen fracciones que eliminar o enteros que reducir 4. Dirección D 1. Los puntos son: 0,1,0 y 1,0,0 2. La resta genera el vector: 0,1,0 – 1,0,0 = -1,1,0 3. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir 4.

Comportamiento isotrópico y anisotrópico: A causa de los arreglos en los diferentes planos y direcciones cristalográficas los materiales presentan comportamientos y desempeños diversos en sus propiedades mecánicas. Se dice que un material es cristalográficamente anisotropico si sus propiedades dependen de la dirección cristalográfica en la cual se mide la propiedad. Si sus propiedades son idénticas en cualquier dirección el material se conoce cristalográficamente como isotrópico. Puede suceder que un material pase de ser anisotropico a isotrópico si sus arreglos son aleatorios en forma policristalina. En genera los materiales policristalino as muestran propiedades isotrópicas. Ejemplo de ello tenernos el aluminio, el cual si posee idénticas propiedades en todas las direcciones diremos que es un elemento cristalográficamente isotrópico, pero si se presenta en forma policristalina se puede asumir o comportar como anisotropico. 3.6 PLANOS CRISTALINOS

Dirección en la celda

A menudo, es necesario referirnos a posiciones específicas en las redes cristalinas. Esto es especialmente importante para metales y aleaciones con propiedades que varían con la orientación cristalográfica. Para cristales cúbicos los indices de las direcciones cristalográficas son los componentes vectoriales de las direcciones resueltos a lo largo de cada

eje

coordenado

y

reducido

a

los

enteros

mas

pequeños.

Para indicar en un diagrama la dirección en una celda cúbica unitaria dibujamos un vector de dirección desde el origen (que es normalmente una esquina de la celda cúbica) hasta que sale la superficie del cubo. Las coordenadas de posición de la celda unidad donde el vector de posición sale de la superficie del cubo después de ser convertidas a enteros son los indices de dirección. Los indices de dirección se encierran entre corchetes sin separación por comas. Planos en una celda unitaria Las superficise cristalinas en celdillas unidad HCP pueden ser identificadas comúnmente utilizando cuatro indices en lugar de tres. Los indices para los planos cristalinos HCP ,llamados indices Miller-Bravais, son designados por las letras h, k, i, l y encerrados entre parentesis ( hkil ). estos indices hexagonales de 4indices estan basados en un sistema coordenado de 4 ejes. Existen 3 ejes básicos, a1, a2, a3, que forman 1200 entre si. El cuarto eje o eje c es el eje vertical y esta localizado en el centro de la celdilla unidad. La unidad a de medida a lo largo de los ejes a1 a2 a3 es la distancia entre los átomos a lo largo de estos ejes. La unidad de medida a lo largo del eje es la altura de la celdilla unidad. Los recíprocos de las intersecciones que un plano cristalino determina con los ejes, a1, a2, a3 proporciona los indices h, k e i mientras el recíproco de la intersección con el eje c da el índice l. Notación para planos Los planos basales de la celdilla unidad HCP son muy importantes para esta celdilla unidad puesto que el plano basal de la celdilla HCP es pralelo a los ejes, a1, a2, a3 las intersecciones de este plano con estos ejes serán todas de valor infinito. Así, a1 = ” , a2 = ” a3 = ” El eje c, sin embargo, es único puesto que el plano basal superior intersecciona con el eje c a una distancia unidad. Tomando los recíprocos de estas intersecciones tenemos los indices de Miller-Bravais para el plano Basal HCP. Así , H =0 K=0 I = 0 y L=1. El plano basal es, por tanto un plano cero-cero-cero-uno o plano (0001) .

BIBLIOGRAFÍA: 

http://html.rincondelvago.com/principios-fundamentales-de-la-estructura-cristalinade-los-materiales.html



http://www.esi2.us.es/IMM2/estructuras_cristalinas/planos.html

3.7 DENSIDAD PLANAR DE FAMILIAS 100, 110 Y 111. PROTECCIÓN DESCRIPTIVA DE PLANOS Y CORTE DE ÁTOMOS. INTRODUCCIÓN Inicialmente podemos definir la densidad planar, coma la cantidad de átomos que hay en un determinado plano ejemplo: familia de planos (100). Pero una definición más formal la densidad planar es el número de átomos que tienen sus centros localizados dentro de un área dada sobre un plano. El área planar seleccionada debe ser representativa de los grupos de átomos repetitivos dentro del plano. Cuando ocurre deslizamiento bajo esfuerzo (deformación plástica), éste ocurre en los planos sobre los cuales los átomos están más densamente empacados. La densidad planar en cristalografía nos muestra que tan lleno de átomos esta un plano lo cual es muy importante porque podemos conocer como se van a deslizar estos planos unos con respecto a otros; con su respectiva dirección de deslizamiento ( densidad lineal) ; la combinación de estos dos densidad planar y lineal me dan a conocer la deformación del material, A la combinación de un plano de deslizamiento con una dirección, es a lo que se le denomina sistema de deslizamiento, y es a través de estos sistemas por donde se produce la deformación de los materiales, de tal forma que cuanto mayor es el número de ellos mayor será la capacidad de deformación de éstos. Para poder determinar cuáles son sistemas existentes, primero tenemos que ver cuáles son los planos y direcciones preferentes. Pues bien los planos de deslizamiento son los que poseen la fracción atómica planar (FAP) más grande o lo que es lo mismo, son los planos de mayor compacidad en la estructura cristalina. Se define la fracción (1) atómica planar como: 

∂= #ATOMOS INTERSECTADOS/AREA DEL PLANO

REDES CRISTALINAS BCC Y FCC Estructura cúbica centrada en cuerpo (BCC)

Esta estructura recibe la designación de I y en ella todos los ejes son iguales a = b = c y sus ángulos son de 90º. El parámetro reticular es a. Sí se coloca un átomo en cada punto de la red de Bravais cúbica centrada en cuerpo, tengo 8 átomos en los vértices y uno en el interior. El átomo central toca a todos los átomos de los vértices a través de la diagonal del cubo. Éste nº de átomos que tocan al átomo central son los vecinos inmediatos y es lo que se denomina nº de coordinación. Luego en esta estructura NC = 8. Estructura cúbica centrada en caras FCC

Se designa con la letra FCC. Todos los ejes unitarios son iguales y sus ángulos son de 90º, siendo el parámetro reticular a. Si colocamos un átomo en cada punto de la red de Bravais cúbica centrada en caras, tendremos 6 átomos en los seis centros de caras, además de los 8 de los vértices. CALCULO DE LA DENSIDAD PLANAR Para calcular la densidad planar usamos la siguiente convención. Si un átomo pertenece totalmente a un área dada, tal como la del átomo localizado en el centro de una cara en una estructura FCC, notamos que la huella de la intersección del átomo sobre el plano es un círculo. Entonces, dentro del área contamos un átomo en el centro y un cuarto de átomo en cada una de las esquinas, ya que cada uno intercepta solamente un cuarto de círculo en el área. La densidad planar o del plano es 2/a2. Debemos agregar que en estos cálculos de

la densidad, una de las reglas básicas es que un plano o una línea debe pasar a través del centro de un átomo no se cuenta el átomo en los cálculos. Si determinamos la densidad planar de las distintas familias de planos de las diferentes estructuras, veremos que para el caso de la FCC, la familia de planos de mayor densidad planar es la {111}, mientras que para la estructura BCC, es la {110}.Luego los planos pertenecientes a estas familias constituyen los planos de deslizamientos de sus estructuras cristalinas correspondientes. Por lo que ya solo necesitamos conocer, Para poder determinar los sistemas, cuales son las direcciones de deslizamientos. A continuación veremos el cálculo de la densidad atómica planar de la familia de planos (100), (110), (111):

Con los resultados anteriores, y después de hallar la densidad planar para diferentes planos de la familia (100) se llega a la conclusión que para FCC es igual a 78,5% y para BCC es igual a 58,9%.

Como ya quedó dicho en la introducción, para calcular la densidad planar, el área del plano debe pasar por el centro del átomo, para poder tener en cuenta a éste como un átomo representativo, por eso, para calcular la densidad planar en una red cristalina BCC debemos garantizar que el plano no intercepte el átomo central. Aquello es posible saberlo haciendo proyección del área y del plano, utilizando geometría analítica. Para el plano (111) BCC se ha hecho con anterioridad una proyección y se ha deducido que el átomo central no corta lo suficiente al área del plano como para tomarse como un átomo representativo, después de esto se pasa a hacer un cálculo de la densidad planar, sin tenerlo en cuenta. A continuación se mostrará el desarrollo de lo anteriormente mencionado:

Con los resultados anteriores, y después de hallar la densidad planar para diferentes planos de la familia (111) se llega a la conclusión que para FCC es igual a 90,7% y para BCC es igual a 34%.

Con los resultados anteriores, y después de hallar la densidad planar para diferentes planos de la familia (110) se llega a la conclusión que para FCC es igual a 55,53% y para BCC es igual a 83,3%. BIBLIOGRAFIA: 

http://www.uhu.es/beatriz.aranda/apuntesciemat/TEMA%201funcmat.pdf (1)



SMITH, F WILLIAM, Fundamentos de la ciencia e ingeniería de materiales

3.8 DIFRACCIÓN DE RAYOS X INTRODUCCIÓN No es posible visualizar directamente los átomos, salvo en situaciones muy particulares, con alto costo y baja resolución (no se puede hacer microscopía a nivel atómico en forma rutinaria). Las técnicas habituales para estudiar las estructuras cristalinas se basan en el fenómeno de difracción. La difracción hablando en términos físicos, es un proceso que ocurre en todo tipo de ondas cuando éstas se esparcen o se curvan frente a la presencia de un obstáculo u orificio. Dicho fenómeno se da cuando la longitud de onda es mucho mayor que las dimensiones del obstáculo. Entre mayor sea el tamaño del objeto en comparación con la longitud de onda, más difícil será detectar la difracción. En el espectro electromagnético, los rayos x tienen longitudes de onda cercanos a las distancias interatómicas de la materia, a esto se debe su utilidad en el estudio de las estructuras cristalinas. OBJETIVO GENERAL 

Comprender la aplicación de la difracción de rayos x en la cristalografía.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS 

Deducir la fórmula que relaciona la longitud de onda (λ), la distancia entre planos cristalinos (d), el parámetro de red (a) y el ángulo de incidencia de los rayos x (θ).



Conocer algunos equipos que intervienen en el uso de rayos x para el estudio de la cristalografía.



Resolver algunos ejemplos sobre la aplicación de difracción de rayos x en la cristalografía.

CRISTALOGRAFÍA DE RAYOS X La cristalografía de rayos x es una técnica que consiste en hacer pasar un haz de luz a través de un cristal de la sustancia o el material en estudio. El haz se dispersa en varias

direcciones debido al orden de los átomos en el cristal y, por difracción, se puede observar un patrón de intensidades que se interpreta según la ubicación de los átomos, haciendo uso de la LEY DE BRAGG. Una de las limitaciones de esta técnica es que solo se puede usar en materiales cristalinos, por lo tanto, no puede ser usada en sustancias como gases, disoluciones, a sistemas amorfos, entre otros. LEY DE BRAGG Para interpretar los diagramas de difracción se requiere una teoría. W. Bragg fue pionero en el tema y desarrolló una sencilla teoría, que es la que veremos. En este modelo se analiza la interacción de un haz de radiación sobre un conjunto de planos paralelos, equiespaciados y semitransparentes a la radiación. Para efectos de la reflexión se aplica que el ángulo de incidencia es igual al de reflexión. La interferencia es constructiva cuando la diferencia de fase entre la radiación emitida por diferentes átomos es proporcional a 2π. Esta condición se expresa en la ley de Bragg:

Donde: 

n es un número entero.



λ es la longitud de onda de los rayos X.



d es la distancia entre los planos de la red cristalina y.



θ es el ángulo entre los rayos incidentes y los planos de dispersión.

De acuerdo al ángulo de desviación (2θ), el cambio de fase de las ondas produce interferencia constructiva (figura izquierda) o destructiva (figura derecha). DEDUCCIÓN LEY DE BRAGG Consideramos la figura de abajo conformada por planos de átomos distanciados a una longitud d. Para el primer plano, las rayos 1 y 1a golpean los átomos K y P los cuales son dispersados en todas la direcciones; pero para cierta dirección, estos rayos (1’ y 1a’) se encuentran en fase y por lo tanto se cumple que: QK − PR = PKcosθ − PKcosθ = 0 Esta condición se cumple para cada plano.

DEDUCCIÓN DE LA LEY DE BRAGG POR DIFERENCIA DE CAMINO ÓPTICO Para analizar los rayos dispersados por átomos en diferentes planos se toma los rayos 1 y 2 de la figura de arriba. Estos rayos son dispersados por los átomos K y L, la diferencia en sus caminos ópticos es: ML + LN = dsenθ + dsenθ

Así estos rayos estarán completamente en fase si su diferencia de caminos es igual a un número entero (n) de longitudes de onda λ, de tal manera que se cumple que:

INTERPRETACIONES Y SOLUCIONES DE LA LEY DE BRAGG La Ley de Bragg establece que nλ=2dsinθ. 

Suponiendo que λ, d y θ son dados:

Sabemos que n es un número entero mayor o igual a la unidad. ¿Cómo se interpreta el número n? Revisando la deducción de esa ley, tenemos que n es el número entero de veces que λ cabe en la diferencia de camino óptico de dos planos sucesivos de la familia de planos paralelos considerada. Para que los haces emergentes estén en fase, n tiene que ser un entero. Se observará que no siempre hay solución; en tal caso no habrá reflexiones. 

Analicemos ahora las soluciones de Bragg en que solo λ y d son datos fijos:

Nos quedan como variables n y θ. Aquí se trata de buscar las parejas (n, θ) que son soluciones de la ecuación. Primero verificamos si λ puede caber al menos justo una vez en la diferencia de camino óptico, y buscamos el ángulo apropiado. Nótese que si los datos iniciales son tales que λ es mayor que 2d, no habrá ni siquiera solución para n=1; en tal caso el problema no tiene soluciones. Si hay solución en θ para n=1, podemos seguir buscando las soluciones de orden superior (para n mayores). Si siguiendo este procedimiento, y probando con n crecientes y sin saltarse ninguno, se encuentra que una solución de orden n´ (por ejemplo, n´=5) por primera vez no es posible, entonces sólo habrá soluciones entre 1 y n´-1, ambos valores incluidos. La ecuación de Bragg da la relación entre las posiciones angulares de los haces difractados reforzados en función de la longitud de onda (λ) de la radiación de rayos x incidente y del espaciado interplanar dhkl de los planos

cristalinos. En muchos casos se utiliza el primer orden de difracción, donde n=1, y en este caso la ley de Bragg resulta:

ACERCA DE LA DISTANCIA INTERPLANAR (d) Y EL PARÁMETRO DE RED (a) En las estructuras cristalinas cúbicas, el espaciado interplanar entre dos planos paralelos con los paralelos con los mismos índices de Miller se indica como dhkl, donde h, k y l son los índices de Miller de los planos. Este espaciado representa la distancia desde un origen elegido que contiene a un plano a otro paralelo con los mismos índices que sea cercano al primero. Por simple geometría, se puede demostrar que para las estructuras cristalinas cúbicas:

Donde: dhkl = espaciado interplanar entre planos paralelos contiguos con índices de Miller h, k y l. a = constante de red (arista del cubo unidad). h, k, l = índices de Miller de los planos cúbicos considerados.

ANÁLISIS POR DIFRACCIÓN DE RAYOS X DE LAS ESTRUCTURAS CRISTALINAS MÉTODO DE ANÁLISIS DE POLVO POR DIFRACCIÓN DE RAYOS X:

La técnica comúnmente utilizada en difracción de rayos x es el método de polvo. En ésta técnica se utiliza una muestra pulverizada de muchos cristales para que tenga lugar una orientación al azar y asegurar que algunas partículas estarán orientadas en el haz de rayos x para que cumplan las condiciones de difracción de la ley de Bragg. Los datos de los análisis de rayos x por difracción de las celdas unitarias pueden simplificarse expresando la longitud de onda así:

Finalmente: Empleando la anterior ecuación junto con los datos de difracción de rayos x podemos determinar si una estructura es cúbica centrada en el cuerpo (BCC) o cúbica centrada en las caras (FCC). Para esto debe conocerse cuáles planos cristalinos son planos de difracción para cada tipo de estructura cristalina: 

Para la red cúbica sencilla, todos los planos (hkl) son planos de reflexión.



Para la estructura BCC la difracción solo se da en los planos cuyos índices de Miller sumados (h+k+l) dan un número par.



En la estructura FCC los principales planos de difracción son los que sus índices son todos pares o todos impares (el cero se considera par).

Reglas para determinar los planos de difracción {hkl} en los cristales cúbicos:

Índices de Miller de los planos de difracción para las redes BCC y FCC:

Un caso sencillo que permite ilustrar cómo se puede emplear este análisis es diferenciar entre las estructuras cristalinas BCC y FCC de un metal cúbico. Supóngase que se tiene un metal con una estructura cristalina BCC o FCC y que se pueden identificar los planos de difracción principales y los valores de 2θ correspondientes.

Despejando y elevando al cuadrado ambos lados se tiene:

A partir de los resultados experimentales de difracción de rayos x se pueden obtener los valores de 2θ para una serie de planos principales de difracción {hkl}. Como y se pueden eliminar estos valores con la relación de dos valores de sin2θ.

θA y θB: son los dos ángulos de difracción asociados a los planos principales escogidos.

Para la estructura cristalina BCC los dos primeros planos principales son {1 1 0} y {2 0 0}. Sustituyendo h, k y l en la ecuación anterior se tiene:

Del resultado anterior podemos concluir que un metal es BCC si la relación de de los planos primeros planos principales de difracción es 0,5. Para la estructura cristalina FCC los dos primeros planos principales son {1 1 1} y {2 0 0}. Sustituyendo h, k y l en la ecuación anterior se tiene:

Del resultado anterior podemos concluir que un metal es FCC si la relación de de los planos primeros planos principales de difracción es 0,75. EL DIFRACTÓMETRO

El difractómetro de rayos X es capaz de detectar la radiación que emana una muestra determinada al ser excitada por una fuente de energía. La respuesta generada depende del ordenamiento interno de sus átomos. El difractómetro está compuesto de un portamuestras móvil que irá moviendo el objeto estudiado con el fin de variar el ángulo de incidencia de los rayos X. De este modo la estructura atómica de la muestra quedará registrada en un difractograma. EJEMPLOS DE APLICACIÓN 1. Una muestra de hierro BCC se coloca en un difractómetro de rayos X utilizando rayos X incidentes de longitud de onda λ = 0,1541 nm. La difracción a partir de los planos {1 1 0} se obtiene a 2θ = 44,704 º. Calcule el valor de la constante de red a para el hierro BCC, suponga un orden de difracción de n = 1. Solución:

2. El difractograma de un elemento que tiene estructura cúbica BCC o FCC presenta picos de difracción en los ángulos 2θ siguientes: 40, 58, 73, 86.8, 100.4 y 114.7. La longitud de onda de los rayos X incidentes utilizados es de 0. 154 nm. a) Determine la estructura cúbica del elemento. b)Determine la constante de red del elemento.c)Identifique al elemento. Solución: a) Determinación de la estructura cristalina del elemento. Primero se calculan los valores de sin2θ a partir de los valores de 2θ de los ángulos de difracción.

A continuación se calcula la relación entre los valores de sin2θ de los ángulos primero y segundo:

La estructura cristalina es BCC ya que la relación es de ≈ 0.5. Si la relación hubiera sido ≈ 0.75, la estructura seria FCC.

b) Determinación de la constante de red. Sustituyendo h = 1, k = 1 y l = 0 en la ecuación anterior para los índices de Miller h, k y l de la primera serie de planos principales de difracción para la estructura BCC, que son planos {1 1 0}, el valor correspondiente a sin2θ es 0.117, y para una radiación incidente de λ, 0.154

nm, se obtiene: c) Identificación del elemento. El elemento es el volframio, dado que el elemento tiene una constante de red de 0.316 nm y es BCC.

3.9 Imperfecciones cristalinas. En el arreglo de los átomos o iones de los materiales diseñados existen imperfecciones o defectos. Con frecuencia, estos defectos tienen un impacto directo sobre las propiedades de los materiales. En esta parte hablaremos de los defectos superficiales, de volumen e influencia de las dislocaciones en las propiedades mecánicas de los materiales. Como se mencionó antes, estas imperfecciones pueden darse en 3 tipos:

1)

Puntuales.

2)

Lineales y superficiales.

3)

De volumen.

3.9.1 Imperfecciones puntuales: Un defecto puntual implica en general a uno o un par de átomos o iones y, en consecuencia es distinto de los defectos extendidos, como dislocaciones, límites de grano, etc. Un “punto” importante acerca de los defectos es que, aunque se presentan en uno o dos sitios, su presencia es en distancias muchos mayores en el material cristalino. Son de 3 tipos: a) Átomos intersticiales. b) Vacancias. c) Átomos sustitucionales.

http://nelyestradad.blogspot.com/2009_02_01_archive.html 3.9.1.1 Átomos intersticiales: Se forman cuando se inserta un átomo o ion adicional en la estructura cristalina en una posición normalmente desocupada.

Los átomos o los iones intersticiales, aunque son mucho menores que los átomos o los iones que están en los puntos de red, son mayores que los sitios intersticiales que ocupan; en consecuencia, la región cristalina vecina esta comprimida y distorsionada. Los átomos intersticiales como los de hidrogeno están presentes, con frecuencia, como impurezas, mientras que los átomos de carbono se agregan en forma intersticial al hierro para producir acero. Para concentraciones pequeñas, los átomos de carbono ocupan sitios intersticiales en la estructura cristalina del hierro e introducen un esfuerzo en la región del cristal en su cercanía. Si hay dislocaciones en los cristales al tratar de mover esos tipos de defectos, se encuentran con resistencia a su movimiento, con lo que se vuelve difícil crear deformación permanente en metales y aleaciones. Esta es una forma importante de aumentar la resistencia de los materiales metálicos. A diferencia de las vacancias, una vez introducidos, la cantidad de átomos o iones intersticiales en la estructura permanece casi constante, aun cuando se cambie la temperatura.

http://ocw.uc3m.es/ciencia-e-oin/quimica-de-losmateriales/Material%20de%20clase/tema6a.htm 3.9.1.2 Vacancias: constituye el defecto puntual más simple, además es un hueco creado por la pérdida de un átomo. Puede producirse durante la solidificación por perturbaciones locales durante el crecimiento de los cristales.

http://personales.upv.es/~avicente/curso/unidad3/defectos.html 3.9.1.3 Átomos sustitucionales: en este defecto se sustituye un átomo de la estructura cristalina por otro. Se debe tomar en cuenta que el radio del átomo no debe ser diferente de un 15% ya sea en mayor o menor proporción ya que podrían ocurrir perturbaciones en el material. Un átomo de mayor radio hará que los átomos vecinos sufran una compresión, y un átomo sustituido de menor radio hará que los átomos vecinos sufran una tensión. 3.9.2 Lineales y superficiales: Se dan en dirección de los planos de Miller; debido a la ausencia conjunta de átomos alineados en súplanos, la existencia de dislocaciones en los materiales metálicos justifica la plasticidad y fluencia que los caracterizan y diferencian frente a los cerámicos. Estos aun teniendo también estructura cristalina no permiten los procesos de plastificación. Las dislocaciones son defectos de línea que se mueven al aplicar una fuerza al material haciendo que se deforme. El esfuerzo cortante resultante crítico es el esfuerzo requerido para que se mueva la dislocación. La dislocación se mueve en un sistema de deslizamiento, formado por un plano de deslizamiento y una dirección de deslizamiento. La dirección de deslizamiento, típicamente es una dirección compacta. El plano de deslizamiento normalmente también es compacto o casi compacto. En los cristales metálicos, el número y tipo de direcciones de deslizamiento y planos de deslizamiento influye en las propiedades del metal. En los metales de estructura cristalina FCC, el esfuerzo cortante resultante crítico es bajo y existe un número óptimo de planos de deslizamiento; en consecuencia, los metales FCC tienden a ser dúctiles. En el caso de los metales BCC, no hay planos compactos disponibles y el esfuerzo cortante resultante crítico

es alto; por lo que los metales BCC tienden a ser resistentes. El número de sistemas de deslizamiento en los metales HCP es limitado, haciendo que estos metales se comporten de manera frágil. Los defectos puntuales, que incluyen vacancias, átomos intersticiales y átomos sustitucionales, introducen campos de esfuerzos de compresión o de tensión que alteran la red adyacente. Como resultado, las dislocaciones no pueden deslizarse en las cercanías de defectos puntuales, incrementándose la resistencia del material. El número de vacancias, o de puntos de red vacíos, depende de la temperatura del material; los átomos intersticiales (localizados en sitios intersticiales entre átomos normales) y los átomos sustitucionales (que remplazan al átomo normal en puntos de la red) a menudo se introducen de manera deliberada y generalmente su número no se altera por los cambios de temperatura del material. Se agrupan en: a)

Dislocaciones simples.

b)

Dislocaciones helicoidales.

3.9.2.1 Dislocaciones simples: Deslizamiento de los planos cristalinos por acción de una fuerza. 3.9.2.2 Dislocaciones helicoidales o de tornillo: Se llama así debido a la superficie espiral formada por los planos atómicos alrededor de la línea de dislocación y se forman al aplicar un esfuerzo cizallante. La parte superior de la región frontal del cristal desliza una unidad atómica a la derecha respecto a la parte inferior. En este caso, el vector de Burgers es paralelo al plano que contiene la dislocación y perpendicular al plano de deslizamiento

http://conocimientosdefectsinsolids.blogspot.com/2010/05/defects-in-solidsdislocaciones.html 3.9.3 Otros tipos de dislocaciones: a) Defecto frenkel: es una imperfección cristalina combinada de la vacancia y de la intersticial, ocurre cuando un ion salta de un punto normal dentro de la red a uno intersticial

dejando

entonces

una

vacancia. es

el

conjunto

formado

por

un átomo intersticial y el hueco que ha dejado tras el salto. En el caso de un cristal iónico, los cationes son más pequeños que los aniones; son predominantes los defectos Frenkel de los cationes. Este tipo de defectos son los que confieren movilidad iónica al sólido. Este defecto es ilustrado con un ejemplo de cloruro de sodio; los diagramas son una representación en 2 dimensiones de lo que ocurre realmente en 3:

http://nelyestradad.blogspot.com/2009_02_01_archive.html b) Defecto schottky: es una par de vacancias en un material con enlaces iónicos. Para mantener la neutralidad deben perderse de la red tanto un catión como un anión. El defecto es típico de los materiales cerámicos, pues es un defecto que aparece para mantener la electro neutralidad del material. Se generan vacantes de iones de signo contrario para anularse de forma estequiométrica; con el fin de mantener una carga total neutra. Cada vacante es un defecto de Schottky por separado. Es exclusivo de los materiales iónicos y suele encontrarse en muchos materiales cerámicos. En este defecto, las vacancias se presentan en un material con enlaces iónicos; donde debe faltar un número estequiométrico de aniones y cationes en el cristal si se quiere conservar en el la neutralidad eléctrica. Por ejemplo, un Mg+2 y un O-2 iones faltantes en Mg constituyen un par de Schottky. En el Zr+4 faltante, habrá 2 iones O-2 faltantes. Ejemplo:

http://es.wikipedia.7val.com/wiki/Defecto_Schottky c) Dislocaciones de borde: resultan cuando las dos nuevas superficies son desplazadas transnacionalmente en dirección normal a la línea de dislocación. Una dislocación de borde se puede ilustrar haciendo un corte parcial en un cristal perfecto, abriendo el cristal y llenando en parte el corte con un plano adicional de átomos. La orilla inferior de este plano insertado representa la dislocación de borde.

http://personales.upv.es/~avicente/curso/unidad3/defectos.html d) Dislocaciones mixtas: Con frecuencia los cristales exhiben mezcla de las dislocaciones anteriores. Su vector de Burgers no es ni perpendicular ni paralelo a la línea de dislocación, pero mantiene una orientación fija en el espacio. La estructura atómica local en torno a la dislocación mixta es difícil de visualizar, pero el vector de Burgers proporciona una descripción conveniente y sencilla. Las dislocaciones mixtas tienen componentes de borde y tornillo, con una región de transición entre ellas. Sin embargo, el vector de burgers queda igual para todas las porciones de la dislocación mixta. Cuando se aplica una fuerza cortante en la dirección del vector de burgers a un cristal que contenga una dislocación, esta se puede mover, rompiendo los enlaces de los átomos en un plano. El plano de corte se desplaza un poco para establecer enlaces con el plano parcial de átomos originales. El desplazamiento hace que la dislocación se mueva una distancia atómica hacia el lado. Si continua este proceso, la dislocación se mueve a través del cristal hasta que se produce un escalón en el exterior del mismo; el cristal se ha deformado plásticamente. Otra analogía es el movimiento de avance de una oruga. Levanta alguna de sus patas en determinado momento, y usa el movimiento para ir de un lado a otro, sin levantar todas las patas al mismo tiempo. Una gran diferencia entre el movimiento de una oruga y el de una dislocación es la velocidad con que se mueven. La velocidad con la que se propagan las dislocaciones en los materiales es cercana o mayor que la velocidad del sonido.

Otra forma de visualizar esto es imaginar cómo se movería una onda en una alfombra si tratáramos de eliminarla aplanándola en lugar de levantar la alfombra. si se pudieran introducir dislocaciones en forma continua en un lado del cristal, moviéndose a través del cristal por la misma trayectoria, el cristal terminaría por quedar cortado a la mitad. 3.9.4 De volumen: para comenzar a hablar de este tipo de imperfección se aclararan los siguientes temas: 

Superficie del material: Las dimensiones exteriores del material representan superficies en donde termina el cristal en forma súbita. Cada átomo en la superficie ya no tiene el número adecuado de coordinación y se interrumpe en enlazamiento atómico. Esto es un factor muy importante en la fabricación de dispositivos micro electrónico a base de sí. La superficie exterior también puede ser muy áspera, contener muescas diminutas y ser mucho más reactiva en el interior del material.

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Límites de grano La estructura de muchos materiales cerámicos y metálicos consiste en muchos granos. Un grano es una porción del material dentro de la cual el arreglo de los átomos es casi idéntico. Sin embargo, la orientación del arreglo de átomos, o estructura cristalina, es distinta en cada grano vecino.

http://members.fortunecity.com/ginermendocilla/Fun.htm 

Límites de grano de ángulo pequeño: Un límite de grano de ángulo pequeño es un conjunto de dislocaciones que produce una pequeña desorientación entre cristales vecinos. Como la superficie de la energía es menor que la de un límite de grano normal, los límites de grano con ángulo pequeño no son tan eficientes para bloquear los deslizamientos. Los límites de grano con tamaño pequeño que se forman por dislocaciones de borde se llaman límites inclinados los que se forman por dislocaciones de tornillo (véase defectos lineales) se llaman límites de giro.

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Límites de macla: Un límite de macla (o de gemelación) es un plano a través del cual hay una desorientación especial de imagen especular de la estructura cristalina.

Las maclas pueden producirse cuando una fuerza cortante, que actúa a lo largo de límite de macla, que hace que los átomos se desplace de su posición. El maclado sucede durante la deformación o el tratamiento térmico de ciertos metales. Los límites de macla interfieren con el proceso de deslizamiento y aumentan la resistencia del metal. El movimiento de los límites de macla también puede causar la deformación del metal. 

Límites de dominio: los materiales ferro eléctricos son los que desarrollan polarización dieléctrica espontánea y reversible. A los materiales que desarrollan una magnetización en forma parecida se les llama ferromagnéticos o ferromagnéticos. Estos materiales electrónicos y magnéticos contienen dominios. Un dominio es una pequeña región del material cuya dirección de magnetización o polarización dieléctrica permanece igual. En esos materiales se forman muchos dominios pequeños de tal manera que se minimiza la energía libre total del material. En la figura se muestra un ejemplo de dominios en el titanio de bario tetragonal forro eléctrico. La presencia de dominios influye sobre las propiedades dieléctricas y magnéticas de muchos materiales electrónicos y magnéticos.

Los defectos volumétricos se forman cuando un grupo de átomos o de defectos puntuales se unen para formar un vacío tridimensional o poro. De manera inversa, un grupo de átomos de alguna impureza puede unirse para formar un precipitado tridimensional. El tamaño de un defecto volumétrico puede variar desde unos cuantos nanómetros hasta centímetros o, en ocasiones, puede ser mayor. Los defectos tienen un efecto o influencia considerable en el comportamiento y desempeño de un material. Finalmente el concepto de un defecto tridimensional o volumétrico puede ampliarse a una región amorfa dentro de un material poli cristalino.