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Revue Construction Métallique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

Rubrique

POUTRE EN I À ÂME ÉLANCÉE – VÉRIFICATION DE LA RÉSISTANCE D’UN PANNEAU D’ÂME MUNI D’UNE OUVERTURE CIRCULAIRE CENTRÉE par D. Bitar

1. – INTRODUCTION Nous avons présenté dans les références [1] et [2] les justifications à l’ELU d’une poutre avec ouverture d’âme. Dans ces articles, nous avons limité le champ d’application de différentes vérifications aux poutres de classe 1, 2 ou 3 selon l’ENV 1993-1-1[3 et 4]. Plusieurs raisons nous ont conduits à cette limitation. Parmi ces raisons il y a celle qui concerne les vérifications au voilement par compression et par cisaillement. En effet, les méthodes proposées dans [1] et [2] sont valables pour des élancements d’âme jusqu’à 100 voire 124 pour un acier S235. Ces élancements répondent largement au domaine des bâtiments courants où les profils laminés ont généralement un élancement inférieur à 60. En revanche, dans le domaine de grands élancements l’application directe des méthodes précédentes ne permet pas la prise en compte du voilement par compression ni un calcul correct de la résistance au voilement par cisaillement. Dans ce domaine de grands élancements la résistance au voilement est procurée, en grande partie, par la mobilisation de la réserve post-critique et la possibilité de développer un mécanisme à la ruine. Cet aspect ne sera pas traité dans les versions EN des Eurocodes 3 et il est important de présenter une méthode pour la vérification de la résistance d’un panneau d’âme avec ouverture centrée sous l’effet d’un effort tranchant et moment de flexion reprenant en partie le travail que nous avons effectué lors de la rédaction de la référence [4]. La méthode proposée est une adaptation de celle développée dans la référence [7]. Elle est complétée ici par des vérifications globales et locales autour de l’ouverture et présentée sous les formats des dernières versions de la prEN1993-1-1 et prEN1993-1-5 [5,6]. Afin de bien confirmer les différentes hypothèses, nous présenterons au paragraphe 7 une comparaison entre les résultats de cette méthode et des calculs numériques par éléments finis en utilisant le code de calcul ANSYS.

D. BITAR – Ingénieur Principal – CTICM CENTRE TECHNIQUE DE LA CONSTRUCTION

INDUSTRIEL MÉTALLIQUE

Domaine de Saint-Paul, 78471 Saint-Rémy-lès-Chevreuse Cedex Tél.: 01-30-85-25-00 - Télécopieur 01-30-52-75-38

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2. – SITUATION À ÉTUDIER – NOTATIONS – LIMITATIONS Par référence à la figure 1, les notations suivantes seront utilisées :

a

: largeur de panneau entre raidisseurs transversaux

bf

: largeur de la semelle ; (bfs : semelle supérieure ; bfi : semelle inférieure)

d

: hauteur de l’âme entre pieds de cordons de soudure

D

: diamètre de l’ouverture

fy

: limite d’élasticité

fyf

: limite d’élasticité des semelles

fyw

: limite d’élasticité de l’âme

hw

: hauteur de l’âme

MEd

: moment fléchissant de calcul au centre de l’ouverture

Mf,Rd

: moment de résistance plastique de calcul de la section transversale constituée des semelles seules

Mo,pl,Rd

: moment de résistance plastique de calcul de la section transversale au droit de l’ouverture

Mo,Rd

: moment de résistance de calcul de la section transversale avec ouverture

Sc

: longueur d’ancrage du champ diagonal de traction le long de la semelle comprimée

St

: longueur d’ancrage du champ diagonal de traction le long de la semelle tendue

tw

: épaisseur de l’âme

tf

: épaisseur de la semelle ; (tfs : semelle supérieure ; tfi : semelle inférieure)

VEd

: effort tranchant de calcul au centre de l’ouverture

Vo,pl,Rd

: résistance plastique de calcul au cisaillement (panneau avec ouverture)

Vo,bb,Rd

: résistance de calcul au voilement par cisaillement (panneau avec ouverture)

Vo,Rd

: résistance de calcul à l’effort tranchant (panneau avec ouverture)

α

: coefficient d’aspect du panneau d’âme (α = a/hw)

ε

: coefficient de réduction lié au matériau ε =

γM0 , γM1

: facteurs partiels de sécurité sur la résistance (γM0 = 1,0 ; γM1 = 1,1)

ϕ

: angle d’inclinaison du champ diagonal de traction dans l’âme avec ouverture

2



o

θ τ τ

yw

cr

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235 , fy en MPa fy

: angle d’inclinaison de la diagonale géométrique du panneau fyw : limite d’élasticité en cisaillement de l’âme τ yw =  3





: contrainte critique de voilement élastique par cisaillement (panneau sans ouverture)

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τ

τ

o,cr

o,bb

– λW

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: contrainte critique de voilement élastique par cisaillement (panneau avec ouverture) : résistance au voilement par cisaillement (panneau avec ouverture) : élancement réduit de l’âme pour le calcul au voilement par cisaillement





fyw τ cr

– En l’absence d’ouverture λW = 0,76 – λO, W

: élancement réduit de l’âme pour le calcul au voilement par cisaillement





– λp

3

fyw

– (panneau avec ouverture) λO, W = 0,76

τ

o, cr

: élancement réduit de l’âme pour le calcul au voilement par compression





– En l’absence d’ouverture λp = 0,76

fyw σ cr

kt

: coefficient de voilement par cisaillement

kσ

: coefficient de voilement par compression

Les termes non définis ci-dessus le seront au fur et à mesure de leur apparition dans le texte.

Fig. 1 – Notations

Dans le traitement de ce cas nous allons faire référence aux méthodes publiées dans les références [4] et [7]. Nous adoptons pour cela les mêmes limites d’application données dans ces documents, à savoir : • Le panneau étudié est un panneau intermédiaire avec un coefficient d’aspect α compris entre 1 et 3. Comme indiqué dans la référence [9], la limitation α  1 provient du

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domaine expérimental à partir duquel la formule de vérification par la méthode dite « champ diagonal de traction » a été calibrée. La limitation α  3 est une simple recommandation, l’inclinaison du champ diagonal dans ce cas étant telle que l’application de la méthode générale est plus favorable [3]. La limitation ici à des panneaux intermédiaires, voir référence [11], est due, à l’importance des vérifications supplémentaires pour s’assurer de la résistance du panneau d’extrémité, en particulier pour le raidisseur ou le montant d’appui. • L’élancement de l’âme ne doit pas dépasser 390ε (référence [4] – clause N.2.2 – cette limitation est en relation avec la disponibilité des résultats expérimentaux pour le développement de méthodes proposées dans cette référence). En pratique, on ne rencontre pas des élancements si importants.

4

• Le diamètre D de l’ouverture doit être inférieur à (hw × cos ϕ cette valeur doit être inférieure à 0,8 × hw .

D  hw × cos ϕ ϕ

o

o

– a × sin ϕ

= 0,67 × (1 – D /hw ) × θ

o

o

– a × sin ϕ o) et en outre

et D  0,8hw

et θ = arctan (hw /a)

(1) (2)

Nous reviendrons sur cette dernière limitation au paragraphe 4 de notre rubrique. • La semelle comprimée est de classe 1, 2 ou 3 et l’âme de classe 4 (sous flexion pure), par conséquent, la méthode ne s’applique pas aux âmes des poutres caissons où les semelles ont en général des élancements importants.

3. – ORGANIGRAMME Les vérifications sont à mener selon l’organigramme suivant :

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4. – VÉRIFICATIONS GLOBALES

4,1. – Résistance à l’effort tranchant

4,11. – Résistance plastique L’ouverture est centrée à mi-hauteur de l’âme, chaque Té doit résister à un effort tranchant sollicitant égal à VEd / 2 (fig. 2).

Fig. 2 – Effort tranchant au droit de l’ouverture

En l’absence du voilement on peut effectuer la vérification selon la prEN1993-1-1 décembre 2003 – 6.2.6 (1), (2) :

VEd Vo, pl, Rd

 1,0

Vo,pl,Rd = (hw – D )

fyw /  3 γM0

(3)

(4)

4,12. – Résistance au voilement par cisaillement En présence d’une ouverture circulaire on applique la méthode donnée dans la référence [7]. Des adaptations sont nécessaires afin de présenter un format de vérification proche de celui des versions EN des EUROCODES. La résistance au voilement par cisaillement en présence d’ouverture peut être calculée par la méthode dite du champ diagonal de traction en utilisant, d’une part, une valeur réduite de la contrainte critique. D’autre part, en ne gardant de la largeur du champ diagonal (g) que la partie supérieure au diamètre D de l’ouverture (fig. 1). Pour le cas sans ouverture, les auteurs de la référence [9] ont bien détaillé et expliqué la méthode dite du champ diagonal de traction. L’article [9] contient aussi des abaques de dimensionnement par cette méthode. Nous ne reviendrons pas sur ces explications et nous nous limiterons donc à dérouler les calculs en tenant compte de la présence de l’ouverture.

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La résistance au voilement par cisaillement par la méthode dite du champ diagonal de traction d’un panneau avec ouverture se calcule par l’expression (réf [7] – p.134) :

Vo,bb,Rd = tw × {hw × τ

o,cr

+σ

o,bb

× (sin ϕ o)2 × [hw × (cotg ϕ

o

– cotg θ + (Sc + St )/hw ) – D /sin ϕ

o

]}/γM1

(5)

Pour le dimensionnement on adopte un coefficient partiel de sécurité γM1 = 1,1 en conformité avec la référence [4]. En outre on considère la plaque articulée pour le calcul de τ o,cr malgré l’indication sur la possibilité de prendre des encastrements sur le pourtour, ce qui place en sécurité.

6

Le format de vérification est le suivant :

VEd Vo, bb, Rd τ

o,cr

 1,0

(6)

:

Les études citées dans les références [7, 8] ont montré que la réduction de la contrainte critique pour un panneau avec ouverture est dans le rapport (1 – D/hw ), soit pour notre cas : τ ϕ

o

o,cr

= 189 800 × (tw / hw )2 × k τ × (1 – D /hw )

(7)

:

Au début de cet article nous avons limité le diamètre de l’ouverture à une valeur égale à hw × cos ϕ o – a × sin ϕ o. Comme le montre la figure 1, cette valeur correspond à la possibilité d’introduire une ouverture dans la partie de la bande diagonale interceptant les deux raidisseurs verticaux délimitant le panneau d’âme. La partie restante doit assurer une résistance adéquate du panneau afin que la poutre se comporte comme un treillis PRATT. La valeur appropriée de ϕ o est la valeur qui maximalise la résistance au voilement par cisaillement (voir référence [7]). En présence d’ouverture, la sollicitation d’effort tranchant induit des efforts axiaux dans les semelles en raison de l’action Vierendeel [1], et ce, indépendamment d’un moment de flexion, ces efforts axiaux tendent à réduire Sc et St et donc la participation de ces semelles à la résistance (voir fig. 3). Au lieu de procéder à un calcul itératif pour obtenir l’inclinaison ϕ o du champ diagonal en présence d’ouverture, les références [4] et [7] proposent la valeur donnée au début de cet article (voir expression (2)).

Fig. 3 – Longueurs d’ancrage

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σ σ

o,bb o,bb

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: est la résistance du champ diagonal à la traction. Cette résistance se calcule par l’expression (voir référence [7] et [3] ) : σ

o, bb

2 –τ 2 2  f yw =  o, bb [3 – (1,5 sin (2ϕ o)) ] – 1,5τ

o, bb

sin (2 ϕ o)

(8)

Dans cette expression la résistance au voilement par cisaillement, τ o,bb , est à calculer à partir– du tableau 1 en fonction de l’élancement réduit de l’âme en présence de l’ouverture λO, W :



– λO, W = 0,76

τ

fyw

(9)

o, cr

TABLEAU 1

Sc , St : En présence d’ouverture et de moment sollicitant MEd supérieur à Mf,Rd l’effort normal dans la semelle est proche de l’effort de plastification (surtout avec une large ouverture dans l’âme). Les longueurs d’ancrage (Sc et St ) peuvent être négligées (voir référence [9] – figures 1 et 2). Pour une section doublement symétrique sollicitée par un moment de flexion MEd inférieur à Mf,Rd les longueurs d’ancrage se calculent par l’expression (qui résulte de l’interaction moment effort normal dans la semelle) :

Sc = St =

tf sin ϕ

o





M 2Ed 1 – ––––––––––– × bf × fyf M 2f, Rd –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– tw × σ o, bb

(10)

Normalement pour les âmes élancées à large ouverture, l’effort normal dans la semelle, dû à la flexion Vierendeel, peut être négligé car l’axe neutre élastique du Té est presque dans la semelle. En réalisant les calculs de la sorte on obtient la résistance au voilement du panneau avec ouverture centrée et sans renforcement.

4,13. – Résistance du panneau La résistance au cisaillement du panneau avec ouverture Vo,Rd est à calculer à partir de la plus petite des deux valeurs calculées précédemment :

Vo,Rd = min (Vo,pl,Rd ; Vo,bb,Rd )

(11)

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4,2. – Flexion au droit de l’ouverture Une méthode courante, en présence d’ouverture, consiste à baser la vérification à la flexion sur l’hypothèse de points d’inflexion au centre de l’ouverture. Le moment de flexion engendre deux efforts normaux dans les membrures au centre de l’ouverture. L’un des deux Tés est sollicité en compression tandis que l’autre l’est en traction, voir figure 4.

8

Fig. 4 – Calcul de l’effort normal

Pour calculer la résistance selon cette hypothèse, la démarche suivante est à appliquer : • Calcul de la position de l’axe neutre élastique du Té inférieur en traction Zcg,Té,inf à partir de la fibre extérieure ; • Calcul de la position de l’axe neutre élastique du Té supérieur en compression Zcg,Té,sup à partir de la fibre extérieure. Pour calculer Zcg,Té,sup on considérera la section brute du Té comprimé lorsque l’une de ces deux conditions est respectée : i) D  51,4 × ε × tw

(12-1)

ii) hw,Té,sup  (14 × ε × tw) /[1 – (51,4 × ε × tw /D)2]0,5 lorsque D  51,4 × ε × tw

(12-2)

Ces conditions permettent de se prémunir contre la formation du voilement local par compression de la partie libre au bord de l’ouverture. Si ces conditions ne sont pas respectées, le calcul de Zcg,Té,sup est à effectuer pour une section efficace du Té comprimé. Cette section efficace est constituée de la semelle comprimée (au plus de classe 3) et une partie de l’âme de hauteur égale à : (14 × ε × tw ) / [1 – (51,4 × ε × tw /D )2]0,5

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• On détermine le bras de levier :

dcg = H – Zcg,Té,inf – Zcg,Té,sup Pour le Té comprimé, Zcg,Té est la position de l’axe neutre de la section brute lorsque cette section est de classe 1, 2 ou 3 (expression (12-1) ou (12-2)). Sinon, il s’agit de la position de l’axe neutre de la section efficace. • On retiendra la plus petite des aires de deux Tés (pour le Té de classe 4 en compression, il y a lieu de prendre l’aire efficace pour cette comparaison) :

ATé = min (ATé,sup, ATé,inf )

(13)

• La résistance à la flexion en présence d’ouverture, et sans effort tranchant, peut s’écrire sous la forme :

Mo,Rd = ATé × fy /γM0 × dcg

(14)

• La vérification au droit de l’ouverture consiste à s’assurer que :

MEd  Mo,Rd

(15)

Le lecteur peut constater que nous n’avons pas pris en compte dans le calcul de l’effort normal résistant NRd,Té pour le Té comprimé, lorsque celui-ci est de classe 4, le moment dû au décalage entre les axes neutres de la section brute et de la section nette (eN à la figure 5) En effet, les comparaisons avec les calculs par éléments finis (voir paragraphe 7) ont montré la validité de cette hypothèse, car il s’agit ici du comportement global de la section au droit de l’ouverture et non pas d’une section isolée en Té sous un effort de compression. D’ailleurs, une vérification du Té comprimé seul en classe 4 sous N et M = N × eN donne une résistance à l’effort normal largement inférieure à la résistance de la semelle seule.

Fig. 5 – Té de classe 4, décalage des axes neutres

Un autre argument peut être avancé pour expliquer la non prise en compte du moment N × eN : dans le calcul de N, nous avons adopté l’hypothèse d’un point d’inflexion dans chaque membrure au droit de l’ouverture ; il est normal dans ce cas de ne pas prendre en compte ce moment.

4,3. — Interaction flexion – Effort tranchant En présence d’ouverture les travaux de Höglund et Johansson [4, 7, 8] ont montré que la formule d’interaction à retenir est la suivante :



Mvo,Rd = Mf,Rd + (Mo,pl,Rd – Mf,Rd ) × 1 –

VEd Vo, Rd



 Mo,Rd

(16)

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Mo,pl,Rd est le moment plastique de la section au droit de l’ouverture indépendamment de sa classe, réf [7] (fig. 6)

10 Fig. 6 – Moment plastique au droit d’une ouverture

Vo,Rd est la résistance au cisaillement (normalement Vo,bb,Rd car le voilement de cisaillement est généralement prédominant). La vérification au droit de l’ouverture consiste à s’assurer que :

MEd  Mvo,Rd

(17)

5. – VÉRIFICATIONS LOCALES Généralement, la résistance des panneaux à âme élancée à la flexion et au cisaillement est limitée par les phénomènes d’instabilités : voilement par cisaillement et voilement par compression. Ces deux phénomènes sont aussi prédominants lorsqu’il y a une ouverture dans cette âme élancée. Néanmoins, un état de plastification autour de l’ouverture est aussi à vérifier au cas où l’instabilité se produirait après cet état de plastification.

Fig. 7 – Efforts au droit de l’ouverture

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Les vérifications locales consistent à limiter les contraintes dues à la flexion Vierendeel et à l’effort normal et à l’effort tranchant autour de l’ouverture. Normalement, pour procéder à cette vérification, on projette les efforts réduits au droit de l’ouverture, sur des sections inclinées d’angle ± φ (fig. 7) et on vérifie la résistance de ces sections. L’angle φcritique varie entre 20 et 30° [10]. Afin de simplifier ces calculs, on propose de vérifier l’effet Vierendeel de la manière suivante : • On fixe l’angle critique à une valeur égale à Arctg(1/2) soit 26,6°. Cette valeur correspond à la limite de l’ouverture rectangulaire équivalente (fig. 8).

11

Fig. 8 – Simplification de la prise en compte de l’effet Vierendeel

• On garde constante la section (brute) du Té au droit de l’ouverture sur la longueur de l’ouverture rectangulaire équivalente (ce qui place en sécurité). • On calcule les sollicitations au droit de la section critique A-A de la figure 8, en particulier le moment Vierendeel Mv . • On vérifie la section brute A-A sous Mv , NEd,Té et VEd,Té en appliquant le critère de VON-MISES (voir fig. 9).

Fig. 9 – Distribution élastique des contraintes

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6. – EXEMPLE D’APPLICATION On considère un panneau intermédiaire d’âme d’une poutre reconstituée soudée à semelles égales, figure 10. Ce panneau est soumis à des sollicitations combinées MEd et VEd . On va examiner la possibilité de réaliser une ouverture d’âme de diamètre 500 mm sans renforcement. On négligera les cordons de soudure (d = hw ). Le maintien latéral au déversement est assuré.

12

Fig. 10 – Panneau à vérifier

6,1. – Conditions d’application Vérification des conditions - § 2 i) Classe de la section transversale La section est soumise à une combinaison flexion cisaillement. La classification selon [5] donne les résultats suivants : • Semelle comprimée c /tf = [(300 – 6)/2)]/15 = 9,8 ε=



235 =1 235

9  c /tf = 9,8  10, la semelle est de classe 2

• Âme fléchie d/tw = hw /tw = 950/6 = 158, l’âme est de classe 4. La section est de classe 4 avec semelle comprimée de classe 2 et un élancement d’âme :

hw /tw = 158 ii) Panneau On traite un panneau intermédiaire, avec un coefficient d’aspect a /hw = 1 500/ 950 = 1,58

a /hw  1 la méthode est donc applicable.

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iii) Ouverture L’angle d’inclinaison de la diagonale du panneau (expression (2)) θ = arctan (950/1 500) = 32,3° L’angle d’inclinaison du champ diagonal de traction dans l’âme ϕ

= 0,67 × (1 – 500/950) = 10,3° (expression (2))

o

Diamètre maximal autorisé = 950 × cos (10,3) – 1500 × sin (10,27)

13

= 667 mm (expression (1))

D = 500  0,8 × 950 = 760 mm

D = 500 mm  667 mm et

O.K.

6,2. – Résistance au cisaillement

6,21. – Résistance plastique (expression (4)) 3 /1,0 = 366,3 kN Vo,pl,Rd = (950 – 500) × 6 × 235/ 

6,22. – Résistance au voilement par cisaillement • Contrainte critique du panneau sans ouverture (voir prEN 1993-1-5) τ

cr

= 189 800 × (6/950)2 × 6,94 = 52,5 N/mm2

• Contrainte critique en présence de l’ouverture (expression (7)) τ

o,cr

=τ

(1 – 500/950) = 52,5 × (1 – 500/950) = 24,9 N/mm2

cr

• Élancement réduit (expression (9))

 fyw

– λo, w = 0,76

τ

o, cr

= 0,76 ×



235 = 2,334 24,9

• Résistance initiale au voilement par cisaillement (tableau 1) τ

o,bb

= 1/(2,334)2 × 235/  3 = 24,9 N/mm2

• Résistance du champ diagonal à la traction (expression (8)) σ

o,bb

(235)2 – 24,92 [3 – (1,5 sin (20,6))2] – 1,5 × 24,9 × sin (20,6) =  σ

o,bb

= 218,2 N/mm2

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• Longueurs d’ancrage (expression (10))

Mf,Rd = 235 × 300 × 15 × (980 – 15) = 1 020,5 kN.m Sc = St =

15 sin (10,3)

 

(1 – (750/1 020,5)2) × 300 × 235 = 417 mm 6 × 218,3

• Résistance au voilement par cisaillement (expression (5)) γM1 = 1,1

14

Vo,bb,Rd = tw × {hw × τ

o,cr

+σ

o,bb

× (sin ϕ o)2 × [hw × (cotg ϕ

o

– cotg θ + (Sc + St)/hw) – D/sin ϕ o]}/1,1

= 6 × (23655 + 6,98 × (950 × (5,5 – 1,581 + 2 × 417/950) – 500/0,1788))/1,1 = 6 × (23655 + 6,98 × (950 × 4,8 – 2796,4))/1,1 = 6 × (23655 + 12553,7)/1,1 = 196,2 kN

6,23. – Résistance du panneau cisaillement Résistance du panneau (expression (11))

Vo,Rd = min (366,3 ; 197,5) = 197,5 kN VEd = 150 kN  Vo,Rd = 196,2 kN

O.K.

6,3. – Flexion

Calcul du moment résistant (§ 4.2) Mo,Rd i) Caractéristiques statiques du Té tendu (section brute). Voir tableau 2 TABLEAU 2 Caractéristiques statiques du Té

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ii) Caractéristiques statiques du Té comprimé Classification (vérification des conditions (12-1) et (12-2)) – Condition (12-1)

D = 500 mm  51,4 × 1 × 6 = 308,4 mm – Condition (12-2)

hw,Té,sup = 225 mm  (14 × 1 × 6) /[1 – (308,4/500)2]0,5 = 106,7 mm Les deux conditions montrent que le Té comprimé est de classe 4. Il convient de considérer les caractéristiques efficaces de la section. La hauteur de la partie efficace de l’âme est égale à 106,7 mm. Voir figure 11.

Fig. 11 – Té efficace

iii) Moment de résistance (expression (14))

Mo,Rd = 5 140 × 235 × (980 – 35,2 – 14,5) = 1 123,7 kN . m iv) Vérification (expression (15))

MEd = 750  Mo,Rd = 1 123,7 kN . m

O.K.

6,4. – Interaction flexion-cisaillement Voir § 4.4 – expression (16)

Mo,pl,Rd = 5 850 × 235 × (980 – 35,2 × 2) = 1 250,5 kN.m Mf,Rd = 1 020,5 kN . m Mo,Rd = 1 123,7 kN . m

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150 = 1 074,7 kN . m. Cette valeur est à rete196,2 nir car elle est inférieure à Mo,Rd = 1 123,7 kN . m.

Mvo,Rd = 1 250,5 + (1 248,3 – 1 020,5) × 1 –

Vérification (expression (17))

MEd = 750  Mv,o,Rd = 1 074,7 kN . m

6,5. – Vérification locale – Effet Vierendeel

16 i) Examen de la prise en compte de la section efficace sur la totalité de la longueur du Té

VEd,Té = 150/2 = 75 kN NEd,Té = 750 000/(980 – 14,5 – 35,2) = 806 kN Mv = 75 × 0,45 × 0,5/2 = 8,44 kN . m Caractéristique de la section efficace du Té sous M

Aeff = 5 140 mm2 Wel,eff,inf = 0,03 × 106 mm3 Avec ces valeurs, rien que la contrainte normale maximale (sans effet de décalage des axes neutres) est égale à : σ = 806 000/5 140 + 8,44/ 0,03 = 438 N/mm2 Il est évident, que ce calcul ne reflète pas la résistance réelle du panneau, et cette hypothèse n’est pas réaliste. Voir paragraphe 7 pour la confrontation avec les calculs numériques. ii) Prise en compte de la section brute sur la totalité de la longueur

VRd,Té (pour chaque Té) = 75 kN NRd,Té = 750 000/(980 – 35,2 – 35,2) = 825 kN Mv = 75 × 0,45 × 0,50/2 = 8,44 kN . m • Caractéristiques de la section brute (voir tableau 2) :

A = 5 850 mm2 Position de l’axe neutre élastique = 35,2 mm Inertie = 20,73 × 106 mm4

Wel,sup = 0,589 × 106 mm3 Wel,inf = 0,101 × 106 mm3 • Contrainte normale maximale : σ (fibre inférieure) = 825 000/5 850 + 8,44/0,101 = 225 N/mm2

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• Contrainte de cisaillement maximale : Formule classique de contrainte de cisaillement : τ = V × S / (t × I ) τ (au droit de l’A.N.) = 75 000 × (204,8 × 6 × (204,8/2)/ (6 × 20,73 × 106) = 76 N/mm2 Distribution des contraintes et interaction. Voir figure 12 :

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Fig. 12 – Distribution des contraintes

Interaction σ et τ : σ = ((141 + 62)2 + 3 × (35)2)1/2 = 212 N/mm2  235/1,0 N/mm2

O.K.

Au paragraphe 7 nous avons comparé ces valeurs avec les résultats du calcul par EF sur un cas de poutre simplement appuyée, munie d’un panneau central avec ouverture identique à celle traitée dans l’exemple. Les résultats obtenus confirment la prise en compte de la section brute dans ces vérifications.

7. – CONFRONTATION AVEC LES CALCULS PAR ÉLÉMENTS FINIS

Dans ce paragraphe nous montrons une comparaison entre les résultats du calcul numérique et la méthode explicitée dans cet article. Ces calculs sont effectués en utilisant le CODE ANSYS – Version 7.1

7,1 – Modèle – Chargement Au lieu de se limiter à la modélisation d’un panneau isolé, nous avons modélisé une poutre avec un panneau au milieu possédant les mêmes caractéristiques que celui étudié dans l’exemple précédent. La poutre est simplement appuyée et à inertie variable. La figure 13 montre les caractéristiques géométriques.

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Fig. 13 – Caractéristiques de la poutre et du panneau calculés par Éléments Finis

Le maillage est présenté sur la figure 14 ci-après.

Fig. 14 – Maillage

Le modèle est constitué d’éléments plaque à 4 nœuds et à 6 degrés de liberté par nœud (SHELL 181 dans le code ANSYS) permettant un calcul élasto-plastique. Les propriétés des matériaux suivantes sont adoptées : Module d’Young :

E = 210 000 MPa

Coefficient de Poisson :

ν = 0,3

Limite d’élasticité :

fy = 235 MPa

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La loi de comportement de l’acier est une loi bilinéaire, figure 15, élasto-plastique. Le module tangent adopté est égal à 210 MPa.

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Fig. 15 – Loi de comportement de l’acier

Trois cas de charges sont étudiés afin de montrer les trois vérifications présentées dans l’exemple numérique. Ces cas sont identifiés à la figure 16.

Fig. 16 – Cas de charges étudiés

Pour chaque cas, une analyse non linéaire en grands déplacements est appliquée. Compte tenu du phénomène étudié, une imperfection géométrique correspondant au mode de flambement est introduite. L’amplitude de cette imperfection, c'est-à-dire ici les déplacements du mode de flambement, sont normés afin d’avoir une imperfection de 2 mm sur le bord comprimé de l’ouverture.

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7,2. – Résultats du calcul numérique – Comparaison – Analyse Le tableau 3 ci-dessous résume les résultats obtenus. TABLEAU 3 Comparaison entre les résultats de calculs par la méthode proposée et les calculs numériques par Éléments finis

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7,3. – Analyse Flexion : L’écart entre la méthode proposée et le calcul EF est de l’ordre de 9 %. Dans la méthode proposée, la résistance à la flexion est calculée en considérant la section nette (Té en classe 4) et en négligeant le moment de décalage. Un calcul de la résistance à la flexion avec prise en compte du moment d’excentrement montre une résistance de l’ordre de 289 kN . m. Ceci confirme l’hypothèse adoptée dans notre méthode. Cisaillement : L’écart important, du côté de la sécurité, est dû aux conditions de bord du panneau. Dans la méthode proposée les bords sont considérés comme articulés. Un calcul de la résistance en considérant un panneau à bords encastrés a permis de se rapprocher des résultats donnés par le calcul éléments finis. Interaction : Pour mieux comparer les résultats il a fallu introduire un effort tranchant constant et voir l’effet du cisaillement sur la valeur de Mvo,Rd . Afin de ne pas alourdir les calculs numériques nous avons comparé les points (M, V ) à partir de chaque méthode. Les valeurs données au tableau 3 montrent que la méthode proposée est du coté de la sécurité. Vérifications locales – Effet Vierendeel : L’écart entre le calcul éléments finis et la méthode proposée est dû à la simplification que nous avons adoptée pour définir la section du Té. À noter aussi que la section brute du Té comprimé est à utiliser pour les calculs liés à l’effet Vierendeel.

8. – CONCLUSION Cet article couvre le calcul de panneau d’âme de poutre en I avec une ouverture circulaire centrée et sans renforcement. Nous avons adapté une méthode de calcul existante en apportant des réponses à des questions importantes sur les caractéristiques des sec-

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tions à prendre en compte pour les vérifications à la flexion, au cisaillement et pour l’interaction (M, V ) au droit de l’ouverture. Notre souci de proposer une méthode de dimensionnement simple et fiable nous a conduit à proposer un cheminement simple des efforts autour de l’ouverture et des méthodes simples pour la vérification. Compte tenu des validations existantes de cette méthode, les adaptations proposées sont validées par des calculs aux éléments finis (une configuration et 3 cas de charge) montrant l’aspect sécuritaire de la méthode.

9. – RÉFÉRENCES

21 [1]

D. Bitar – « Vérification à l’ELU des poutres métalliques avec ouvertures d’âme – Exemples de calcul et recommandations ». Revue Construction Métallique, n° 1-1998.

[2]

D. Bitar et P. Maitre – « Poutres mixtes de bâtiment avec ouverture isolée dans l’âme – Démarche de vérification et exemple de calcul ». Revue Construction Métallique, n° 4-2001.

[3]

ENV 1993-1-1 – Calcul des structures en Acier. Partie 1.1 : Règles générales et règles pour les bâtiments EC3 DAN. Norme expérimentale française P22-311 – Calcul des structures en Acier. Partie 1.1. : Règles générales et règles pour les bâtiments – Décembre 1992.

[4]

EUROCODE 3 – ANNEXE N : Ouvertures dans les âmes. Document CEN/TC 250/SC3/N477E – Mars 1995.

[5]

EUROCODE 3 – Design of steel structures – Part 1-1 – General rules and rules for buildings – Final draft – prEN 1993-1-1 : décembre 2003.

[6]

EUROCODE 3 – Design of steel structures – Part 1.5 : Plated structural elements – Stage 34 draft – prEN 1993-1-5 – septembre 2003.

[7]

« Behaviour and Design of Steel Plated Structures. Publication CECM n° 44, 1986 – page 133 – paragraphe 4.92 Holes in webs » .

[8]

R. G. Redwood – « Analyse et Dimensionnement des poutres ayant des ouvertures dans les âmes ». Revue Construction Métallique, n° 3-1978.

[9]

Ph. Lequien, J. Raoul et J. Roche – « Application de l’Eurocode 3 – Résistance des âmes au voilement par cisaillement ». Revue Construction Métallique, n° 3-1991.

[10] D. Mateesco et Gh. Mercea – « Un nouveau type de poutres ajourées ». Revue Construction Métallique, n° 3-1983. [11] P. Corfdir et J. Raoul – « Application de l’Eurocode 3 – Résistance au voilement des panneaux d’extrémité ». Revue Construction Métallique, n° 1-1992.

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