F193121

Revue Référence

Construction

MIX-CAL 3-01

Métallique

POUTRES MIXTES DE BÂTIMENT AVEC OUVERTURE ISOLÉE DANS L’ÂME DÉMARCHE DE VÉRIFICATION ET EXEMPLE DE CALCUL par D. Bitar et P. Maitre

1

INTRODUCTION De plus en plus de planchers sont aujourd’hui constitués à partir d’une poutraison en acier connectée à une dalle en béton. Le fonctionnement mixte du montage permet en effet d’optimiser l’exploitation structurelle des deux matériaux en présence. Dans de nombreuses applications, notamment pour les bâtiments de bureaux, différentes contraintes techniques et économiques conduisent à rechercher pour ces planchers, l’épaisseur totale la plus faible possible et donc à prévoir des ouvertures dans les âmes des poutres destinées à permettre le passage des multiples réseaux nécessaires à l’équipement du bâtiment. À ce jour, ce type de configuration sort du domaine codifié, n’étant visé par aucune norme française ou européenne. L’amendement A2 de l’Eurocode 3 [1] et [2], prochainement publié par l’Afnor, comporte une annexe N informative qui traite des poutres en acier avec ouvertures dans les âmes. En revanche, il n‘est pas prévu, dans l’immédiat, que l’Eurocode 4 [3] comporte une annexe de contenu similaire consacrée aux poutres mixtes. Face à cette lacune, la présente rubrique propose et illustre par un exemple, une démarche de vérification à l’état limite de service et à l’état limite ultime des poutres mixtes de bâtiment comportant des ouvertures d’âme isolées, sans raidisseurs transversaux ni renforcements locaux. Elle se limite au cas des poutres isostatiques, soumises à des actions essentiellement statiques donnant lieu à un chargement uniformément réparti. La démarche envisagée est, à la base, établie pour le cas d’une ouverture rectangulaire. Cependant, des indications complémentaires sont fournies, critère par critère, pour traiter celui d’une ouverture circulaire, soit par le biais d’une ouverture rectangulaire équivalente soit par des formules spécifiques reprises de l’annexe N de l’Eurocode 3. La possibilité de pratiquer plusieurs ouvertures dans une même poutre est envisagée mais les vérifications proposées ne couvrent que des effets limités d’interaction ce qui suppose que ces ouvertures sont suffisamment espacées le long de la poutre. La méthode proposée est basée sur les travaux de Donoghue [4] et [5], de Clawson et Darwin [6] et [7], de Redwood [8] et [9], ainsi que sur les travaux de Lawson et Chung

D. BITAR – Chef de projet – Contact National de l’EC4 et de l’Annexe N de l’EC3 – CTICM P. MAITRE – Ingénieur Principal – SOCOTEC CENTRE TECHNIQUE DE LA CONSTRUCTION

INDUSTRIEL MÉTALLIQUE

Domaine de Saint-Paul, 78470 Saint-Rémy-lès-Chevreuse Tél.: 01-30-85-25-00 - Télécopieur 01-30-52-75-38

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TECHNIQUE ET APPLICATIONS

MIX-CAL 3-01 [10 et 10bis]. Nous avons adapté les résultats afin de proposer au praticien une approche simple et compatible avec l’économie des projets de construction. En particulier, des simplifications ont été apportées à l’évaluation de la contribution de la dalle à la résistance à l’effort tranchant et à l’effet Vierendeel. Dans une première partie, les orientations générales des vérifications sont présentées. Puis le domaine de validité de l’approche proposée est défini et des formules précises à employer sont explicitées. Des exemples de réalisation et des recommandations complémentaires sont donnés en fin de rubrique. En dernier lieu, un exemple numérique tiré d’une réalisation récente est détaillé.

2 1 – DÉMARCHE GÉNÉRALE On ne traite ici que des vérifications directement motivées par la présence des ouvertures. On suppose que la poutre mixte a été justifiée en premier lieu, abstraction faite des ouvertures, suivant les règles générales de l’Eurocode 4. La connexion retenue peut être complète ou partielle, avec emploi de connecteurs ductiles sur toute la portée de la poutre. Le calcul de la poutre en acier seule en phase de coulage s’effectue suivant les règles de l’Eurocode 3. La justification des ouvertures dans l’âme peut être établie par référence à l’annexe N de l’Eurocode 3, sous réserve du respect du domaine de validité de ce texte; on notera en particulier à ce sujet, que le profil en acier est supposé symétrique. Une précédente rubrique a traité de la vérification des ouvertures d’âme dans les poutres en acier [11].

1,1. – Canevas de vérification à l’état limite ultime Limitations de l’élancement des parois ●

●

●

Un premier ensemble de limitations a pour objet de permettre de compter sur la résistance plastique des sections dans la zone d’ouverture. On applique pour cela les critères habituels de classification des sections prévus par les Eurocodes 3 et 4. Des limitations particulières de l’élancement des portions d’âmes situées au droit des ouvertures doivent être respectées dans le même objectif. Elles sont fixées en tenant compte de la longueur de l’ouverture. Enfin, l’élancement de l’âme complète et la taille de l’ouverture doivent être tels que le flambement de la semelle comprimée dans le plan de l’âme ne soit pas à craindre en l’absence de renforcement vertical des bords de l’ouverture. L’annexe N fournit le critère à respecter sur ce sujet.

Schéma de fonctionnement sous les sollicitations générales ●

L’effort tranchant sollicitant au centre de l’ouverture est supposé équilibré plastiquement par les âmes des Tés, en faisant abstraction de la présence de la dalle (il est possible de prendre en compte la présence de la dalle suivant le paragraphe 3,3). La résistance plastique individuelle de chaque Té vis-à-vis du cisaillement est établie suivant la partie 1-1 de l’Eurocode 3 puis affectée d’un coefficient de réduction égal à 0,9. Lorsque l’effort sollicitant dépasse 50 % de la somme des résistances réduites des Tés, l’interaction avec les autres sollicitations (effort normal et moment de flexion) est prise en

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TECHNIQUE ET APPLICATIONS

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MIX-CAL 3-01 compte en définissant, pour la suite des vérifications, une épaisseur réduite des âmes. Lorsque l’âme complète présente un élancement tel que le voilement de cisaillement en gouverne la capacité, on utilise une règle d’interaction similaire, construite en substituant à la résistance plastique, la résistance au voilement de cisaillement. ●

●

●

Le moment résistant au droit de la section mixte située au centre de l’ouverture est déterminé en plasticité, sur la base de l’effort mobilisable dans la dalle par les goujons présents entre l’appui le plus proche et le bord de l’ouverture. Si l’appui le plus proche est situé à une distance du bord de l’ouverture inférieure au dixième de la portée ou au double de la hauteur de la poutre en acier, on ne retient que la résistance de la partie acier, en négligeant la mixité. Les efforts normaux retenus dans les Tés sont ceux associés au moment résistant plastique, réduits dans le rapport du moment sollicitant à ce moment résistant. Ces efforts sont pris en compte ultérieurement dans l’évaluation de la résistance des Tés aux effets Vierendeel. La stabilité au flambement du Té supérieur, comprimé par le moment général, est vérifiée en faisant abstraction de la présence de la dalle, sur la base d’une longueur de flambement égale à la longueur de l’ouverture et en ne tenant compte que de l’effort normal.

Schéma de fonctionnement pour les effets Vierendeel ●

●

Le moment Vierendeel, égal à l’effort tranchant sollicitant au centre de l’ouverture par la moitié de la longueur de cette ouverture, est réparti entre les Tés en cohérence avec la distribution de l’effort tranchant, en faisant abstraction de la présence de la dalle (cf. § 3,3 pour la prise en compte de la dalle). La résistance plastique individuelle de chaque Té vis-à-vis de la part du moment Vierendeel qui lui revient, est établie suivant la partie 1-1 de l’Eurocode 3, en tenant compte de l’influence éventuelle de l’effort tranchant dans l’âme par le biais de l’épaisseur résiduelle mentionnée ci-avant. La présence de l’effort normal résultant de la flexion générale occasionne également une réduction de cette résistance en flexion ; cette réduction peut être prise en compte par la formule d’interaction fournie par la partie 1-1 de l’Eurocode 3 pour les plats.

Vérifications complémentaires ●

●

●

La stabilité des bords libres verticaux de l’ouverture est établie en vérifiant la stabilité au flambement d’une bande d’âme de largeur égale à la moitié de la hauteur de l’ouverture, vis-à-vis d’un effort de compression égal à la moitié de l’effort tranchant. Dans cette vérification, la longueur de flambement est prise égale à la hauteur de l’ouverture. Lorsque deux ouvertures successives sont séparées par un montant de largeur inférieure à deux fois la hauteur de ces ouvertures, la stabilité des bords libres verticaux doit être établie comme précédemment mais sur la base d’un effort de compression majoré dans le rapport de la hauteur de l’ouverture à la demie largeur du montant. La largeur du montant doit rester supérieure à la hauteur des ouvertures. Lorsque deux ouvertures successives sont séparées par un montant de largeur inférieure à deux fois la hauteur de ces ouvertures, la résistance et la stabilité de ce montant doivent faire l’objet de vérifications complémentaires. L’effort tranchant à mihauteur du montant est évalué à partir du différentiel des efforts normaux dus aux moments sollicitants, régnant à l’axe des deux ouvertures adjacentes. Les sections d’encastrement du montant sont vérifiées vis-à-vis de cet effort tranchant et du moment associé, en tenant compte d’un déversement de console sur la demie hauteur du montant.

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MIX-CAL 3-01 1,2. – Vérification à l’état limite de service Les déformations de la poutre mixte sont évaluées, abstraction faite des ouvertures, suivant les règles de l’Eurocode 4, en tenant compte éventuellement du caractère partiel de la connexion. L’influence de chaque ouverture est prise en compte sous forme d’une aggravation de la flèche à mi-travée, comportant deux termes : ●

4 ●

Le premier correspond à la réduction d’inertie globale de flexion dans la zone d’ouverture. Il est fonction de la position de l’ouverture, de sa longueur et du rapport entre l’inertie de la section mixte complète et celle de la section mixte ajourée. Le second correspond à la déformation supplémentaire liée au passage de l’effort tranchant d’un bord à l’autre de l’ouverture. Il est fonction de la position de l’ouverture, de sa longueur et du rapport entre l’inertie de la section mixte complète et la moyenne des inerties des Tés résiduels calculées en faisant abstraction de la présence de la dalle.

La flèche totale à mi-travée est obtenue par addition de la flèche de la poutre mixte sans ouvertures et des compléments de flèche dus à chacune des ouvertures pratiquées dans l’âme.

2 – DOMAINE DE VALIDITÉ DES VÉRIFICATIONS Les méthodes et les expressions de calcul décrites dans cette rubrique sont valables dans le domaine de validité défini par les conditions qui suivent (fig. 1-0 et 2-0) :

2,1. – Limites de l’élancement des parois a. Sections mixtes sans ouvertures Les semelles doivent être de classe 1 ou 2. L’âme peut être de classe 1, 2 ou 3 selon l’Eurocode 4 [3]. b. Sections mixtes avec ouvertures Les portions d’âme situées au droit des ouvertures peuvent être de classes 2 ou 3. Le critère de classification tient compte du maintien apporté par l’âme complète adjacente, suivant les modalités ci-après : classe 2 :

l0  32ε . tw

ou

d1 et d2 

10 . ε . tw

   1–

classe 3 :

l0  36ε . tw

ou

d1 et d2 

2

14 . ε . tw

   1–

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32 . ε . tw l0

––––––––––––––––

36 . ε . tw l0

––––––––––––––––

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Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

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MIX-CAL 3-01

d1 r0 d0 Ht

a0

S

e0

d d2

d(2) 0

d(1) 0

a (2) 0 a (1) 0 (2) (1) (2) a0 = max (a (1) 0 ; a 0 ), d0 = max (d 0 ; d 0 )

tw

a - Ouvertures rectangulaires

5

d1 d0

d(1) 0

e0

d(2) 0

S

d

Ht

d2

tw

(2) d0 = max (d (1) 0 ; d0 )

b - Ouvertures circulaires

Fig. 1-0. – Notations

P

R d0 Ht

d

aex

aex

ap

R

P

ar

ar

d0

ap a0 R

R

Fig. 2-0. – Notations complémentaires

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MIX-CAL 3-01 l0 désigne ici la longueur de l’ouverture rectangulaire, notée a0 par ailleurs. Dans le cas d’une ouverture circulaire, on adopte l0 = 0,7 d0. c. Non-flambement de la semelle comprimée dans le plan de l’âme L’élancement de l’âme complète et la taille de l’ouverture rectangulaire doivent vérifier : d / tw  0,4(E / fyf )[1 – 0,5a0 / d ][Aw / Afc ]0,5

6

où Aw et Afc sont respectivement l’aire de l’âme non ajourée et celle de la semelle comprimée, et fyf la limite d’élasticité de l’acier de cette semelle. Dans le cas d’une ouverture circulaire, ce critère devient : d / tw  0,4(E / fyf )[1 – 0,45d0 / d ][Aw / Afc ]0,5

2,2. – Caractéristiques géométriques des ouvertures Les ouvertures doivent respecter les limites géométriques suivantes (voir fig. 1-0). d0  0,75 ; d

d1  0,1d

0,5 

et

d2  0,1d

d1 2 d2

a0  3,0 d0 r0  2tw et

r0  15 mm

Par ailleurs, on admet de ne pas comptabiliser dans les calculs de résistance les hauteurs résiduelles d’âme d1 et d2 inférieures à 20 mm. L’excentricité entre le centre de l’ouverture et la mi-hauteur de l’âme de la poutre, lorsqu‘elle est dirigée vers la semelle comprimée, doit vérifier : e0  0,125 d La distance nette s entre deux ouvertures successives ne doit pas être inférieure à d0 pour les ouvertures rectangulaires et à 1,5 d0 pour les ouvertures circulaires.

2,3. – Rapport des semelles de la poutre En règle générale, on donne à la semelle supérieure une section inférieure ou égale à celle de la semelle inférieure. L’aire de la semelle inférieure ne doit pas être supérieure à 3 fois celle de la semelle supérieure.

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MIX-CAL 3-01 2,4. – Effet de l’ouverture sur la résistance au droit d’une charge concentrée Afin d’exclure les interactions entre l’ouverture et les effets d’une charge concentrée, la distance ap entre cette charge et le bord d’une ouverture rectangulaire doit rester supérieure aux valeurs suivantes (voir fig. 2-0). ap  d0



ap  min d ;

si

d  90ε tw



d/tw . d0 90ε

si

d  90ε tw

7

Il n’y a pas de condition de distance à respecter lorsque des raidisseurs verticaux bordent l’ouverture. Dans le cas d’une ouverture circulaire, les limites à respecter deviennent : ap  0,9d0



ap  min d ;

d  90ε tw

si



d/tw .d 100ε 0

si

d  90ε tw

2,5. – Position de l’ouverture par rapport à l’appui Afin d’exclure les interactions entre l’ouverture et les effets d’une réaction d’appui, il convient de respecter les conditions suivantes (fig. 2-0) : ●

●

dans le cas où la section d’appui est raidie transversalement, la distance ar entre l’appui et le bord de l’ouverture doit rester supérieure à 0,5d ; dans le cas où la section d’appui n’est pas raidie transversalement et dans celui où l’appui s’effectue par l’intermédiaire d’une attache boulonnée sur la hauteur de l’âme, la distance aex entre l’appui et le bord de l’ouverture doit rester supérieure à la plus grande des valeurs entre 0,5 d et la valeur limite définie pour les charges concentrées courantes au paragraphe 2,4 ci-avant.

Un calcul complémentaire est à effectuer pour vérifier le cisaillement horizontal dans la section ar . tw ou aex . tw . Lorsque le bord de l’ouverture est à une distance de l’appui inférieure à la plus grande de deux valeurs : L /10 ou 2 × Ht (L étant la portée de la poutre et Ht la hauteur du profil métallique), les vérifications au droit de l’ouverture doivent être conduites sans tenir compte de la mixité acier-béton pour l’équilibre de la flexion globale, comme indiqué au paragraphe 3-1 ci-après.

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MIX-CAL 3-01 3 – CRITÈRES RELATIFS À L’ÉTAT LIMITE ULTIME Nous donnons, dans ce qui suit, un ensemble de formules utilisables pour les vérifications à l’état limite ultime concernant la zone de l’ouverture. On opérera une distinction entre les vérifications globales et les vérifications locales. On considère le cas d’une poutre mixte isostatique de portée L, soumise à une charge uniformément répartie, avec une ouverture située à une distance x par rapport à l’appui le plus proche (fig. 1).

8

Pour rappel, on suppose que la poutre mixte a été dimensionnée en premier lieu, abstraction faite des ouvertures, suivant les règles générales de l’Eurocode 4. La connexion retenue peut être complète ou partielle, avec emploi de connecteurs ductiles sur toute le portée de la poutre. La section mixte courante est de classe 1 ou 2, ou assimilée à une section de classe 2 dans le cas où l’âme est de classe 3 ; ces dispositions autorisent le calcul plastique des sections, qui va de pair avec la connexion partielle. La poutre possède donc des caractéristiques géométriques et mécaniques figées de sa section transversale ainsi qu’une répartition adéquate des connecteurs et il s’agit maintenant de s’assurer qu’une ouverture devant être pratiquée dans l’âme ne remet pas en cause la résistance à l’état limite ultime de cette poutre.

Charge uniforme

NL/2 Ng

Nouv

a0/2

a0/2

d0

M 0Sd ; V 0Sd x L beff

hb + hp

hp

x : Distance entre le centre de l’ouverture et l’appui le plus proche Ng : Nombre de conecteurs entre le bord de l’ouverture et l’appui le plus proche Nouv : Nombre de connecteurs au droit de l’ouverture NL/2 : Nombre total de connecteurs sur la travée de cisaillement

Section au droit de l’ouverture A0 : Aire de la section acier A0v : Aire de cisaillement M 0Sd, V 0Sd : sollicitations au droit de l’ouverture

Fig. 1 – Poutre mixte – définitions

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MIX-CAL 3-01 Par mesure de simplification et de sécurité, on ne tient pas compte de la contribution de la dalle, autrement que par les contraintes de compression qui s’y développent sous l’effet de la flexion globale. Dans un dernier paragraphe, on donne néanmoins quelques indications sur une évaluation possible de la participation de la dalle au comportement dans la zone d’ouverture.

3,1 – Vérifications globales À l’issue de l’analyse globale (élémentaire pour le cas envisagé ici d’une poutre isostatique), on connaît les sollicitations générales au centre de l’ouverture (fig. 1) soit : ●

0 , le moment de flexion d’ensemble, M Sd

●

0 , l’effort tranchant global. V Sd

Résistance au cisaillement Plusieurs propositions ont été faites pour établir une répartition de l’effort tranchant global entre les membrures haute et basse qui délimitent l’ouverture, lorsque celle-ci est excentrée par rapport à la mi-hauteur de l’âme [10] et [12]. Dans le cadre fixé ici, il apparaît suffisant d’évaluer la résistance au cisaillement de la section avec ouverture, en cumulant directement les capacités plastiques des Tés supérieur et inférieur. On utilise la formule de résistance de l’Eurocode 3, avec application d’un facteur réducteur égal à 0,9 pour tenir compte de la variation de la contrainte de cisaillement dans la section en té. sup et A Té, inf les aires de cisaillement respectives des Tés supérieur et inféSoient A Té, v v rieur. Leurs résistances plastiques au cisaillement sont égales à : sup V Té, pl, Rd = 0,9 ×

inf V Té, pl, Rd

= 0,9 ×

fyw  3 fyw  3

× A vTé, sup ×

×

A vTé, inf

1 γa

1 × γa

(1)

où fyw est la limite d’élasticité de l’acier de l’âme et γa le facteur partiel de sécurité sur la résistance de l’acier. La vérification consiste à s’assurer que sup Té, inf 0 V 0pl, Rd = V Té, pl, Rd + V pl, Rd  V Sd

(VG1)

0 dépasse la moitié de la résistance plastique totale au cisaillement, une Lorsque V Sd interaction de l’effort tranchant avec les autres sollicitations doit être prise en compte dans les vérifications locales décrites au paragraphe 3,2. On définit à cet effet, pour chaque Té, une épaisseur réduite de l’âme, tw, eff , déterminée comme suit :

tw, eff = tw (1 – ρ) avec et

0 / V 0pl, Rd – 1)2 ρ = (2 × V Sd

ρ=0

si

si

0  0,5V 0 V Sd pl, Rd

(2) (3)

0  0,5V 0pl, Rd V Sd

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MIX-CAL 3-01 Stabilité au voilement par cisaillement Conformément à l’Eurocode 3, pour une poutre non raidie transversalement, la stabilité au voilement par cisaillement n’est à examiner que dans le cas où l’élancement de l’âme de la poutre complète, d/tw , dépasse la limite 69ε. Dans le cadre fixé ici, on utilise exclusivement la méthode post-critique simple de l’article 5.6.3 de l’Eurocode 3 [1], pour évaluer Vba,Rd la résistance au voilement par cisaillement de la poutre en acier sans ouverture. La résistance au voilement par cisaillement au droit d’une ouverture rectangulaire est obtenue par l’expression :



V 0ba, Rd = Vba, Rd 1 –

10

d0 + 0,3 × a0 d



(4)

Dans le cas d’une ouverture circulaire, on utilise l’expression :



V 0ba, Rd = Vba, Rd 1 –

d0 d



(4bis)

On doit vérifier : 0 V 0ba, Rd  V Sd

(VG2)

0 dépasse la moitié de la résistance au voilement par Comme précédemment, lorsque V Sd cisaillement, une interaction avec les autres sollicitations doit être prise en compte dans les vérifications locales décrites au paragraphe 2,2. On procède par réduction de l’épais0 seur de l’âme suivant les expressions (2) et (3), en y remplaçant V 0Pl, Rd par V ba, Rd .

Équilibre de la flexion globale On se place dans le contexte d’une connexion partielle de la dalle. C’est dire que la résistance ultime en flexion de la section transversale mixte est gouvernée par la capacité des connecteurs et que ceux-ci doivent être ductiles. Lorsque l’ouverture se situe à une distance faible d’un des appuis, le nombre Ng (fig. 1) de connecteurs disponibles sur cette distance pour mobiliser la dalle en compression dans la zone d’ouverture peut se trouver lui-même très réduit. Il a cependant été établi, [13] et [14], que le calcul habituel en section mixte restait utilisable, même pour des degrés de connexions très limités. Ce principe est donc repris ici, avec toutefois une limitation : la distance du bord de l’ouverture à l’appui le plus proche doit rester supérieure à 10 % de la portée de la poutre et à deux fois la hauteur du profil en acier. Pour une distance inférieure à ces bornes, on ne tient compte que de la poutre en acier pour déterminer la résistance à la flexion globale. Sous cette réserve, l’effort de compression dans la dalle est donc établi à partir de l’expression suivante :





Fc,béton = min (Ng × PRd ), A 0eff ×





fy fck , 0,85 × beff × hb γa γc

(5)

où : Ng est le nombre de connecteurs entre le bord de l’ouverture et l’appui le plus proche, PRd est la résistance au cisaillement d’un connecteur ; la figure 2 rappelle l’expression de la résistance de calcul des goujons soudés, fréquemment employés, en présence d’une dalle pleine ou d’une dalle coulée sur un bac acier,

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MIX-CAL 3-01 A 0eff est l’aire de la section nette du profilé au droit de l’ouverture, en tenant compte de la valeur efficace tw,eff de l’épaisseur de l’âme, fy et fck sont respectivement la limite d’élasticité de l’acier du profilé et la résistance à la compression à 28 jours du béton, mesurée sur cylindre, beff , hb sont respectivement la largeur participante de la dalle et la hauteur de béton, comptée au-dessus des nervures du bac acier lorsqu’il existe.

11

Dimensions ∅ : diamètre des goujons h : hauteur des goujons

• Dalle pleine (2) PRd = min (P (1) Rd ; P Rd)

P (1) Rd = 0,8 .

π∅2

. fu .

4

1 1,25

2  fck .  Ecm . P (2) Rd = 0,29 . α . ∅ .

1 1,25

EUROCODE 4 – article 6.3.2.1

• Dalle à bac collaborant, ondes ⊥ à l’axe longitudinal de la poutre P⊥Rd = kt . PRd pour 1 goujon/onde b0 h . – 1  1,0 kt = 0,7 . hp hp



h hp

b0

b0 profil fermé

profil ouvert



pour plusieurs goujons/onde h 0,7 b0 kt = . . – 1  0,8 2 hp hp





EUROCODE 4 – article 6.3.3.2

• Dalle à bac collaborant, ondes // à l’axe longitudinal de la poutre // PRd = kl . PRd b0 kl = 0,6 . . hp

h

h p



– 1  1,0

∀ le nombre de goujons EUROCODE 4 – article 6.3.3.1

Fig. 2 – Résistance de calcul des goujons soudés

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MIX-CAL 3-01 Cet effort étant fixé, on détermine ensuite la distribution plastique des contraintes dans la poutre en acier ajourée correspondant à l’état limite ultime de résistance en flexion de 0 la section transversale mixte au droit de l’ouverture (fig. 3). Soit M Rd le moment correspondant. Pour une poutre et une ouverture normalement constituées, on vérifie sans difficulté que le moment sollicitant au centre de l’ouverture reste acceptable : 0 0 M Rd  M Sd

12

(VG3)

Cette étape de calcul est essentiellement utile pour déterminer les efforts normaux développés par le moment de flexion dans les différentes parties de la poutre en acier et qui devront être combinés aux sollicitations propres au transfert de l’effort tranchant dans la zone de l’ouverture, dans le cadre des vérifications locales. Stabilité du Té supérieur L’état de contraintes déterminé ci-avant pour l’équilibre de la flexion générale permet de sup connaître l’effort normal dû à cette flexion dans le Té supérieur : N Té, à l’état limite ELU ultime de résistance (fig. 4). Sous le moment sollicitant effectivement appliqué au centre de l’ouverture, on considérera simplement que cet effort peut être réduit linéairement : Té, sup sup N Sd = N Té, × ELU

0 M Sd 0 M Rd

Lorsque l’effort normal sollicitant ainsi calculé est une compression, on s’assure qu’il n’y a aucun risque de flambement du Té supérieur, même en faisant abstraction de la dalle. Cette vérification est conduite suivant les règles de l’Eurocode 3, en considérant le Té Té, sup supérieur comme une barre en acier simplement comprimée par l’effort N Sd et de longueur de flambement égale à la longueur a0 de l’ouverture. Le coefficient de flambement χ est calculé suivant la courbe c de flambement. Dans le cas d’une ouverture circulaire, la même vérification peut être conduite, avec une longueur de flambement réduite à 0,45d0.

3,2. – Vérifications locales La vérification du transfert de l’effort tranchant sur la longueur de l’ouverture, dit effet Vierendeel, est l’objet essentiel des vérifications locales. Afin de pouvoir compter pleinement sur les capacités des éléments concernés, la poutre doit se comporter au droit de l’ouverture sans phénomènes d’instabilité. Cela est assuré d’une part grâce aux limites d’élancements de parois définies au début de cette rubrique, d’autre part en vérifiant la stabilité du Té supérieur, traitée au paragraphe précédant ; une vérification complémentaire de la stabilité des bords verticaux de l’ouverture est également nécessaire comme indiqué plus loin. Les différentes vérifications énoncées ci-après concernent les ouvertures rectangulaires. Le cas d’une ouverture circulaire peut être traité de la même façon en considérant une ouverture rectangulaire équivalente de hauteur 0,9d0 et de longueur 0,45d0. Vérification de l’effet Vierendeel On néglige ici la participation de la dalle à la résistance à la flexion Vierendeel. Cela permet une simplification des calculs, en général sans perte de performance importante. En

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TECHNIQUE ET APPLICATIONS

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MIX-CAL 3-01 beff

0,85 .

fck

0,85 .

γc

hb hp

fck γc

fy / γa fy / γa

fy / γa

fy / γa

fy / γa

13 a) Facier  Fg  Fbéton

Facier : Effort de traction ultime dans l’acier =

A0 . fy γa

ou

b) Fg  Facier  Fbéton A0eff . fy

Fbéton : Effort de compression ultime dans la dalle = 0,85

γa fck γc

. beff . hb

// Fg : Résistance ultime de la connexion = Ng . (PRd ou P ⊥Rd ou PRd selon le cas)

Fig. 3 – Exemples de distributions plastiques de contraintes normales au droit de l’ouverture

beff

hb hp

(a)

(b)

(a) Té supérieur en traction pas de vérification au flambement (b) Té supérieur en compression flambement à vérifier

l = a0 Té, sup N Sd

Té, sup N Sd



Té, sup N ELU = dA .

fy γa

Té, sup Té, sup N Sd = N ELU ×

M0Sd 0 M Rd

Fig. 4 – Vérification au flambement du Té supérieur

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TECHNIQUE ET APPLICATIONS

MIX-CAL 3-01 outre, une contribution de la dalle est tributaire de la présence d’un certain nombre de connecteurs dans l’emprise de l’ouverture. Or, dans de nombreuses applications pratiques, où l’espacement des connecteurs est de l’ordre de 200 à 400 mm, ce nombre peut être très réduit voire incertain. On adopte donc un schéma de comportement sous l’effet Vierendeel qui ne fait intervenir que les Tés inférieur et supérieur, comme indiqué à la figure 5. L’état de contraintes déterminé précédemment pour l’équilibre de la flexion générale Té, sup permet de connaître les effort normaux dus à cette flexion : N Sd déjà défini pour le Té Té, inf supérieur et N Sd déterminé dans les mêmes conditions pour le Té inférieur.

14 a0

0

d0

Té, sup

V Sd = V Sd

Té, sup

Té, inf

+ V Sd

Té, inf

V Sd

V Sd

Té, sup

Té, inf

M v, Sd

M v, Sd

Té, sup

N pl, Rd

Té, inf

N pl, Rd

Té, sup

M v, pl, Rd

Té, inf

M v, pl, Rd

Fig. 5 – Effet Vierendeel sans la contribution de la dalle et interactions dans les Tés

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TECHNIQUE ET APPLICATIONS

137

MIX-CAL 3-01 On calcule le moment résistant plastique en flexion de la section transversale de chaque Té, en tenant compte dans chaque cas de la valeur efficace tw,eff de l’épaisseur de l’âme sup inf traduisant l’influence de l’effort tranchant. Soient M Té, et M Té, les valeurs obtev, pl, Rd v, pl, Rd nues. Ces valeurs doivent ensuite être réduites pour traduire l’incidence de la présence des efforts normaux. On utilise pour cela une formule d’interaction simplifiée, similaire à celle prévue pour les sections rectangulaires par l’Eurocode 3 : Té, sup N Sd

 N

●

Pour le Té supérieur :

sup sup M Té, = M Té, × 1– v, Rd v, pl, Rd

●

Pour le Té inférieur :

inf inf M Té, = M Té, × 1– v, Rd v, pl, Rd

Té, sup Rd

Té, inf N Sd

 N

Té, inf Rd

 2

15

 2

Té Dans ces expressions, N Rd désigne la résistance de calcul à l’effort normal des Tés, en tenant compte du risque de flambement dans le cas du Té supérieur.

Finalement, la vérification de la résistance à la flexion Vierendeel s’écrit pour chaque Té : 0 sup × M Té,  V Sd v, Rd

Té, sup V pl, Rd

V

×

0 pl, Rd

a0 2 (VL1)

0 inf M Té,  V Sd × v, Rd

Té, inf V pl, Rd 0 V pl, Rd

a0 × 2

Stabilité du bord vertical de l’ouverture Au passage de la section pleine courante à la zone d’ouverture, la contrainte de cisaillement varie d’une manière abrupte entre une valeur moyenne dans l’âme juste avant l’ouverture et une valeur maximale sur les âmes des Tés juste à l’entrée de l’ouverture. Cette zone de transition se comporte comme une bielle comprimée et risque de se ruiner par instabilité si l’âme est élancée (fig. 6). Afin de se prémunir contre cette éventualité, on procède à une vérification au flambement suivant l’Eurocode 3, d’une bielle verticale bordant l’ouverture. La section à prendre en compte et les modalités de cette vérification sont définies comme suit : ●

section rectangulaire : largeur d0 /2, épaisseur tw

●

longueur de flambement : d0

●

0 /2 effort sollicitant : V Sd

●

courbe de flambement : c

Il s’agit de vérifier : 0 Nbielle,b,Rd  V Sd /2

( VL2)

Cette vérification suppose que l’ouverture concernée est isolée. On admet qu’il en est ainsi lorsque la distance s entre bords avec une éventuelle ouverture voisine est supérieure ou égale à deux fois la hauteur de la plus haute de ces ouvertures. Dans le cas contraire, et sous réserve que cette distance reste supérieure à la hauteur, la même vérification peut être effectuée vis-à-vis d’un effort sollicitant majoré : 0 Nbielle,b,Rd  (V Sd / 2) × (2d0/s)

avec

d0  s  2d0

(VL2bis)

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138

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TECHNIQUE ET APPLICATIONS

MIX-CAL 3-01

a0

d0

0 VSd

16

d0 /2

zone de passage de l’effort tranchant

0 V Sd

2 d0 2

l = d0 tw

0 VSd

2

Fig. 6 – Flambement du bord de l’ouverture au passage de l’effort tranchant

Résistance et stabilité du montant entre ouvertures Lorsque deux ouvertures successives délimitent un montant vertical dont la largeur s est inférieure à deux fois la hauteur de l’ouverture la plus haute, il est nécessaire de procéder à des vérifications complémentaires touchant à la résistance et à la stabilité de ce montant. La sollicitation principale à considérer est un effort tranchant horizontal exercé à mihauteur et résultant du glissement longitudinal de flexion entre les parties supérieure et inférieure de la poutre mixte. Cet effort peut être évalué en procédant, pour la seconde ouverture, aux mêmes calculs de l’équilibre de la flexion globale que ceux décrits pour la première. On obtient ainsi (fig. 7) : ●

inf N Té, l’effort normal dans le Té inférieur de la première ouverture, Sd 1

●

inf N Té, l’effort normal dans le Té inférieur de la seconde ouverture. Sd 2

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TECHNIQUE ET APPLICATIONS

139

MIX-CAL 3-01 0 + ∆M M Sd

0 M Sd

d0

s

a0

(1)

(2)

(1)

17 (2)

d0/2

VH-Sd

d0/2

Té, inf

Té, inf

N Sd1

N Sd2

Fig. 7 – Vérification de l’interaction pour d0  s  2d0

La différence entre ces deux efforts représente l’effort tranchant horizontal qui doit transiter par le montant qui sépare les deux ouvertures. inf inf – N Té, VH_Sd = N Té, Sd 1 Sd 2

On s’assure en premier lieu que la résistance en cisaillement de la section horizontale médiane n’est pas dépassée. S’agissant d’un plat rectangulaire de largeur s et d’épaisseur tw , cette condition s’écrit : VH_Sd  VH_Rd avec

VH_Rd = s × tw ×

fyw  3

×

1 γa

La transmission de cet effort tranchant sur la hauteur d0 occasionne des moments de flexion dans chaque section d’extrémité du montant, qui doivent être équilibrés en tenant compte à la fois de la présence de l’effort tranchant et des risques d’instabilité de la section en flexion-torsion.

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140

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MIX-CAL 3-01 L’interaction avec l’effort tranchant doit être prise en compte lorsque celui-ci dépasse 50 % de la capacité du plat, par l’intermédiaire d’une contrainte limite réduite prise égale à: fyw, red = fyw (1 – ρ) avec

ρ = (2 × VH_Sd / VH_Rd – 1)2

et

18

ρ=0

si

si

VH_Sd  0,5 VH_Rd

VH_Sd  0,5 VH_Rd

Ces dispositions sont directement celles prévues par l’Eurocode 3 pour les sections fléchies et cisaillées. La stabilité du montant peut être traitée comme la stabilité au déversement d’une console de hauteur d0/2, de section rectangulaire de largeur s et d’épaisseur tw , soumise à une charge concentrée à son extrémité. Le moment critique de déversement de cette console s’écrit : Mcrit =

4,01(EI ) × (GJ ) d0 ––– 2

avec I l’inertie de flexion latérale de la section et J son inertie de torsion. Suivant les règles de l’Eurocode 3, on définit à partir de ce moment critique, l’élance– ment réduit λLT et le coefficient de déversement χLT associé. Le moment résistant de calcul du montant s’écrit finalement : Mb . Rd = χLT × On doit finalement vérifier :

t w s 2 fyw, red × 4 γM1

Mb.Rd  VH_Sd × d0 / 2

( VL3)

3,3 – Prise en compte de la dalle Dans ce qui précède, on a limité l’intervention de la dalle à son rôle habituel dans l’équilibre de la flexion globale, au sein de la section mixte acier-béton. Par prudence et dans un souci de simplification, sa contribution au mécanisme local répondant à l’effet Vierendeel a été négligée. Un certain nombre de travaux ont cherché à aller au-delà de cette approche et ont conduit à des évaluations de cette contribution. On donne ci-après des indications sur ces résultats. Effort tranchant Les travaux de Clawson [7], Donoghue et Darwin [5] ont conduit à proposer de définir, au droit de l’ouverture, une section résistante au cisaillement dans la dalle correspondant à une largeur égale à 3 fois l’épaisseur de la dalle (fig. 8). Par référence à l’Eurocode 2 [16] et à l’Eurocode 4 [3], on peut adopter la formulation suivante pour la résistance en cisaillement de cette section : 0 V dalle, Rd = 2,5 × Acv × η × τRd

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MIX-CAL 3-01 3hb

hb

Acv = 3 . h2b

19

3(hb + hp) hb hp

Acv = 3 . hb . (hb + hp)

3(hb + hp) hb hp



Acv = 3 hb +

hp 2

(h

b

+ hp)

Fig. 8 – Aire de cisaillement pour le calcul de la contribution de la dalle à l’effort tranchant

avec Acv aire de la section résistante au cisaillement définie à la figure 8, η = 1 pour le béton de densité normale, η = 0,3 + 0,7(ρ/2400) pour le béton léger de masse volumique ρ exprimée en Kg/m3, τRd = 0,035 × fck2/3 avec τRd et fck exprimées en MPa. Par ailleurs, les travaux de Cho [15] ont montré que cette contribution de la dalle à la reprise de l’effort tranchant est aussi tributaire de la résistance au soulèvement ou à l’arrachement des connecteurs situés au droit de l’ouverture. Suivant l’Eurocode 4, la connexion doit être conçue pour être capable de supporter un effort d’arrachement au moins égal au dixième de sa résistance de calcul en cisaillement. En désignant par Nouv le nombre de connecteurs au droit de l’ouverture, on peut donc adopter comme résistance de la dalle à l’effort tranchant : 0 2/3 V dalle, Rd = min (0,0875 × Acv × η × f ck ; 0,1 × Nouv × PRd )

Pour être effectivement retenue, cette résistance complémentaire à l’effort tranchant doit être associée à une résistance suffisante de la dalle vis-à-vis de l’effet Vierendeel, conformément au paragraphe suivant. Sous cette réserve, les vérifications vis-à-vis de l’effort tranchant décrites précédemment pour la poutre en acier, peuvent alors être conduites pour un effort tranchant sollicitant réduit de cette contribution de la dalle.

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MIX-CAL 3-01 Effet Vierendeel On s’en tient ici à une évaluation simple et conservatrice de la contribution de la dalle à l’effet Vierendeel, suivant l’approche proposée par Lawson [10]. Une condition préalable à respecter, est que la dalle ne soit pas sollicitée dans la zone d’ouverture au-delà de 90% de sa résistance ultime en compression. On doit donc d’abord vérifier que :





min ((Ng + Nouv ) × PRd ), A 0eff ×

20

fy γa

  0,9 × 0,85 γ

fck



× beff × hb

c

On peut alors évaluer la contribution de la dalle à l’effet Vierendeel, en considérant un moment résistant complémentaire, qui s’ajoute à ceux des Tés encadrant l’ouverture, pris égal à la capacité en cisaillement des connecteurs présents sur la longueur de l’ouverture multipliée par le bras de levier z défini à la figure 9. dalle = N M v, Rd ouv × PRd × z

C hb

Z = 0,9(hb + hp)

hp Nouv . P*Rd

// ⊥ P*Rd = PRd ou PRd ou PRd selon le cas (voir figure 2)

Fig. 9 – Contribution de la dalle à l’effet Vierendeel

Par simplification, le bras de levier z peut être pris forfaitairement égal à 0,9 fois la hauteur totale de la dalle. La résistance de la dalle à l’effort tranchant peut être déduite de l’effort tranchant sollicitant la poutre en acier, si on vérifie : dalle  V 0 M v, dalle, Rd × a0 Rd

Dans le cas contraire, on néglige toute contribution de la dalle dans les vérifications locales.

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MIX-CAL 3-01 4 – CRITÈRES RELATIFS À L’ÉTAT LIMITE DE SERVICE Les expressions qui suivent, publiées par Lawson [10], permettent de prendre en compte l’incidence des ouvertures pratiquées dans l’âme sur la déformation d’ensemble de la poutre. Comme précédemment, on considère le cas d’une poutre mixte isostatique de portée L, soumise à une charge uniformément répartie, avec une ouverture située à une distance x par rapport à l’appui le plus proche (fig. 1). En premier lieu, la flèche à mi-travée, δ0, a été évaluée, abstraction faite de l’ouverture, suivant les règles générales de l’Eurocode 4. On évalue d’une part l’effet de la perte locale d’inertie de flexion de la section mixte, d’autre part celui de la déformation supplémentaire associée au mécanisme Vierendeel. Ces effets sont exprimés sous forme du rapport de la flèche additionnelle qui en résulte à la flèche δ0. 0 celle de la section Imixte désignant l’inertie de flexion de la section mixte courante, I mixte mixte dans la zone d’ouverture et a0 la longueur de l’ouverture, la perte de rigidité de flexion se traduit par une flèche supplémentaire δb définie par l’expression :

δb x = 19,2 1 – δ0 L



   L  I x L

2

Imixte

a0

0 mixte



–1

De même, le transfert de l’effort tranchant sur la largeur de l’ouverture donne lieu à une flèche supplémentaire δv , fonction de l’inertie moyenne IT des Tés encadrant l’ouverture : δv 2x = 0,8 1 – δ0 L



  a0 L

3I mixte

IT

La flèche finale à mi-travée est ainsi : δ0 + δb + δv .

5 – RECOMMANDATIONS Plusieurs projets importants nous ont donné l’occasion, depuis une dizaine d’années, d’examiner les conditions de dimensionnement de poutres avec des ouvertures d’âme. On cite ci-après quelques exemples de réalisations. ●

●

●

●

Le Palais des Congrès de Tours comporte une poutre mixte de 34 mètres de portée, avec une âme ajourée de 3 mètres de hauteur. Les ouvertures ont pour dimensions : 700 × 1800 et 1 000 × 1 000. Dans le bâtiment Équinoxe II à Saint-Quentin en Yvelines (78), on a pratiqué des ouvertures circulaires isolées de 470 mm de diamètre dans des âmes de 700 mm de hauteur. Le centre commercial Créteil-Soleil, le bâtiment Le Malraux à Paris (voir photo) sont également des réalisations récentes comportant de nombreux cas de poutres avec ouvertures d’âme. Enfin, le bâtiment Hammerson-France, 54 boulevard Haussmann à Paris, présenté dans le numéro 2-2001 de la revue Construction Métallique présente des poutres principales avec des âmes de 510 mm de hauteur où des ouvertures 350 × 700 ont été pratiquées.

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MIX-CAL 3-01

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À partir de l’expérience représentée par ces réalisations, on peut formuler un certain nombre de recommandations visant la durabilité et le bon fonctionnement du plancher. Connexion et ferraillage au droit de l’ouverture Même si, dans les calculs, on ne tient pas compte de la participation de la dalle dans le transfert de l’effort tranchant de part et d’autre de l’ouverture, l’intégrité de la membrure mixte (Té supérieur + dalle) peut être mise en cause par le fonctionnement réel de cet ensemble s’il n’existe pas de connexion dans la zone concernée. Ceci est particulièrement à craindre lorsque l’ouverture est à la fois haute (au-delà de 0,6d) et allongée (longueur supérieure à 2 fois la hauteur). Dans ce cas, il est recommandé d’assurer la présence d’au moins 3 connecteurs répartis le long de l’ouverture. Leur résistance au soulèvement, fixée par l’Eurocode 4 à au moins 10 % de leur résistance au cisaillement, permet de prévenir la désolidarisation de la dalle et du té supérieur. Dans cette même configuration, les fissurations possibles en face supérieure de la dalle dues à une mise en flexion par effet Vierendeel, doivent être convenablement limitées par un ferraillage longitudinal adapté. On préconise à cet effet de disposer, en face supérieure, avec un enrobage de 2 cm, sur une largeur égale à 3 fois la hauteur totale de la dalle, une section d’armatures représentant au moins 0,2 % de l’aire de béton correspondant à cette largeur, avec un minimum de 4 HA 8. Il convient de prolonger ces armatures, de part et d’autre de l’ouverture, sur une distance d’au moins deux fois la hauteur de celle-ci, soit une longueur totale égale à (a0 + 4d0). Concentration des contraintes Le transfert de l’effort tranchant dans la zone d’ouverture occasionne des concentrations de contraintes élevées aux angles des ouvertures rectangulaires. Les limitations énoncées au paragraphe 2, relatif au domaine de validité des vérifications proposées, ont, entre autres, pour objet de prévenir les désordres liés à ces concentrations de contraintes. À cet égard, il est particulièrement important de respecter, en fabrication, le rayon minimal d’arrondi entre petits et grands côtés de l’ouverture, fixé à deux fois l’épaisseur de l’âme, avec un minimum de 15 mm.

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MIX-CAL 3-01 Liaison âme-semelle des Tés Dans le cas des poutres en acier reconstituées par soudage, une vérification locale des cordons de soudure âme-semelle des Tés doit être effectuée dans la zone d’ouverture, vis-à-vis du glissement longitudinal occasionné par la part de l’effort tranchant global reprise par chacun de ces Tés. Raidisseurs longitudinaux Lorsque une ouverture est renforcée par des raidisseurs longitudinaux, ceux-ci doivent être de classe 1 ou 2. Ils doivent être prolongés de part et d’autre de l’ouverture, suffisamment pour que leur soudure sur l’âme de la poutre puisse équilibrer leur effort normal de plastification. On recommande, hors considération de calcul, de leur donner une longueur minimale égale à 1,5 fois la largeur de l’ouverture. Étaiement Lorsqu’un étaiement partiel de la poutre est prévu en phase de coulage, celui-ci doit être conçu en prenant en compte la présence des ouvertures. Les étais ponctuels doivent normalement être implantés en dehors des zones d’ouvertures proprement dites ; les contraintes locales qu’ils occasionnent ne doivent pas non plus interférer avec les risques d’instabilité qui affectent les bords verticaux des ouvertures ou les montants séparant deux ouvertures proches.

RÉFÉRENCES

[1]

EUROCODE 3 – ENV 1993 – Conception et calcul des structures en acier et Document d’Application Nationale. Partie 1.1 : Règles générales et règles pour les bâtiments – EC3 DAN. Norme expérimentale française P22-311 - Décembre 1992.

[2]

EUROCODE 3 – ENV 1993 – Amendement A2 - Annexe N : Ouvertures dans les âmes de poutres – Document CEN/TC 250/SC3/N477E - Mars 1995.

[3]

EUROCODE 4 – ENV 1994 – Conception et calcul des structures mixtes acier-béton et Document d’Application Nationale. Partie 1.1 : Règles générales et règles pour les bâtiments – EC4 DAN. Norme expérimentale française P22-391 - Septembre 1994.

[4]

C. M. Donoghue – « Composite beams with web openings : Design » ASCE, Journal of the Structural Division, Vol. 108, No.ST12, December 1982.

[5]

C. M. Donoghue and D. Darwin – « Web openings in composite beams with ribbed slabs » ASCE, Journal of the Structural Division, Vol. 114, No.ST3, March 1988.

[6]

W. C. Clawson and D. Darwin – « Tests of composite beams with web openings »” ASCE, Journal of the Structural Division, Vol. 108, No.ST1, January 1982.

[7]

W. C. Clawson and D. Darwin – « Strength of composite beams at web openings » ASCE, Journal of the Structural Division, Vol. 108, No.ST3, March 1982.

[8]

R. G. Redwood – « Analyse et dimensionnement des poutres ayant des ouvertures dans les âmes ». Revue CM N° 3 - 1978.

[9]

R. G. Redwood and G. Poumbouras – « Analysis of composite beams with web openings » ASCE, Journal of the Structural Division, Vol. 110, No.ST9, September, 1984.

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TECHNIQUE ET APPLICATIONS

MIX-CAL 3-01 [10] R. M. Lawson – « Design for openings in the webs of composite beams » SCI / CIRIA - Joint publication SCI-P068, 1987 [10bis] K. F. Chung et R. M. Lawson – « Simplified design of composite beams with large web openings to Eurocode 4 » Journal of Constructional Steel Research - Vol. 57 N° 2 - February 2001 [11] D. Bitar – « Vérification à l’état limite ultime des poutres métalliques avec ouvertures d’âme - Exemples de calcul et recommandations ». Revue C.M N° 1-1998. [12] H. D. Knostman, P. B. Cooper et R. R. Snell – « Shear force distribution at eccentric web openings » - Journal of the Structural Division STG - Juin 1977.

24

[13] J.-M. Aribert et D. Bitar – « Optimisation du dimensionnement en connexion partielle de poutres de planchers mixtes réalisés avec un bac en tôle mince nervurée ». Revue C.M. N° 4-1989. [14] J.-M. Aribert et D. Bitar – « Exemples de dimensionnement de poutres de planchers mixtes avec dalle coulée sur un bac collaborant et un faible degré de connexion » Revue C.M. N° 2-1990 [15] S. H. Cho – « Slab behaviour in composite beams at web openings » Thesis submitted to the faculty of Graduate Studies and Research in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy. McGill University – Montreal – Canada – 1990. [16] EUROCODE 2 – ENV 1992 – Conception et calcul des structures en béton et Document d’Application Nationale. Partie 1.1 : Règles générales et règles pour les bâtiments – EC2 DAN. Norme expérimentale française P18-711 - Décembre 1992.

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TECHNIQUE ET APPLICATIONS

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MIX-CAL 3-01

EXEMPLE

1 – POUTRE SANS OUVERTURE

La poutre est issue d’un calcul selon l’Eurocode 4

25 1,1 – Caractéristiques géométriques

●

Poutre mixte isostatique portée L = 7,5 m

●

Poutrelle : PRS

190x15 500x10

190x25 ●

●

●

Dalle : Dalle mixte à bac collaborant COFRASTRA 40 ép 75/100. Épaisseur totale de la dalle 100 mm. Nervures parallèles à l’axe longitudinal de la poutre. Largeur participante = 1,875 m. Connecteurs : Connexion par goujons soudés, diamètre 19 mm et hauteur 80 mm. Nombre : 1 goujon par section. Espacement : 15 × 192 mm + 6 × 290 mm + 15 × 192 mm + 1 goujon au droit ouverture A ( voir fig. 1.exe).

1,2. – Caractéristiques mécaniques des matériaux et coefficients partiels de sécurité

●

Acier S 355 – Norme NF EN 10025 fy = 355 N/mm2

t  16 mm

γa = 1,0 ou 1,1 selon phénomène ●

Béton normal B25 fck = 25 N/mm2 γc = 1,5

●

Goujon fu = 450 N/ mm2 (garantie fournisseur) γv = 1,25

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MIX-CAL 3-01 1,3. – Charges et combinaisons Charges non pondérées ●

Poids propre

G1 = 25 kN/ml

●

Cloisons + chape + … etc G2 = 30 kN/ml

●

Exploitation

Q = 40 kN/ml γG1 = γG2 = 1,35

Combinaison ELU :

26

γQ = 1,5

Combinaison ELS : γG1 = γG2 = γQ = 1,0 POUTRE COMPLÈTEMENT ÉTAYÉE EN PHASE DE COULAGE Charge de calcul à l’ELU = 1,35 × 55 + 1,5 × 40 = 134,25 kN/ml Charge de calcul à l’ELS = 55 KN/ml à long terme + 40 kN/ml à court terme.

1,4. – Classe de la section en acier Semelle supérieure (190 – 10)/(2 × 15) = 6 Âme 500/10 = 50

inférieur à 9ε : classe 1

inférieur à 97ε : classe 3 minimum (limite pour la poutre acier seule avec ψ = – 0,72)

2. – POUTRE AVEC OUVERTURES Nous proposons d’examiner la possibilité de faire les ouvertures présentées à la figure 1.exe OUVERTURE A OUVERTURE B

Ng = 6 Nouv = 2 Ng = 11 Nouv = 1

240 × 240

240 × 240 AXE ÂME = AXE OUVERTURES

OUVERTURE (A)

S = 430 mm

1,190

Fig. 1.exe

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OUVERTURE (B)

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TECHNIQUE ET APPLICATIONS

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MIX-CAL 3-01 2,1. – Ouverture A Vérification du domaine de validité

190x15 130x10 Classe des portions d’âme 32εtw = 260 mm

inférieur à a0 : classe 2

27

Non flambement de la semelle comprimée 0,4(E / fyf )[1 – 0,5a0 / d][Aw / Afc ]0,5 = 245 supérieur à d/tw = 50 Dimensions et position de l’ouverture d0 / d = 0,48

inférieur à 0,75

d1 = d2 = 130 mm supérieurs à 0,1d = 50 mm a0 = d0 e0 = 0 Rapport des sections de semelles : 25/15 inférieur à 3 Distance à l’appui : 1,07 m supérieur à 0,5d0

2,11. – Vérifications à l’ELU a) Sollicitations au centre de l’ouverture x = 1,190 m

2

0 = 134,25 V Sd

7,5



– 1,190 = 343,68 kN

7,5 × 1,190 – 134,25 × 1,190 × 1,190 / 2 2 = 504 kN . m

0 M Sd = 134,25 ×

EXAMEN DE LA PRISE EN COMPTE DE LA DALLE (Cf. § 3.3) i/ Résistance de la dalle à l’effort tranchant 2/3 0 V dalle, Rd = min (2,5 × Acv × η × 0,035 × f ck ; 0,1 × Nouv × PRd)

PRd = 73,1 kN (calcul selon EC4) 0 2/3 ; 0,1 × 2 × 73,1} V dalle, Rd = min {2,5 × 3 × 80 × 100 × 1 × 0,035 × 25 0 V dalle, Rd = min {44,9 kN ; 14,62 kN} = 14,62 kN

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MIX-CAL 3-01 ii/ Participation de la dalle à l’effet Vierendeel dalle M v, Rd = Nouv × PRd × z

en prenant z = 0,9 (hb + hp) dalle M v, Rd = 0,9 × 100 × 2 × 73,1 = 13,2 kN . m

iii/ Vérification dalle 0 M v, Rd = 13,2 kN . m  V dalle, Rd × a0 = 14,62 × 240 = 3,51 kN . m

28

Compte tenu de cette vérification, on peut tenir compte de la participation de la dalle en réduisant l’effort de cisaillement repris par la partie acier au droit de l’ouverture. On obtient ainsi : 0 0 0 V Sd, acier = V Sd – V dalle, Rd = 343,68 – 14,62 = 329,1 kN

b) Vérification à l’effort tranchant au droit de l’ouverture A v0 = (500 – 240) × 10 = 260 × 10 = 2 600 mm2 0 V Pl, Rd = 0,9 ×

355

× 2 600 ×

 3

1 1,0

= 479,6 kN

0 0 0 V Pl, Rd  V Sd, acier  0,5V Pl, Rd

Il faut réduire l’épaisseur de l’âme pour le calcul du moment résistant. c) Interaction Coefficient de réduction ρ=



2 × 329,1 –1 479,6

 = 0,1386 2

Épaisseur efficace de l’âme tw, eff = 10 × (1 – 0,1386) = 8,61 mm d) Vérification au voilement d 500 =  69ε tw 10

pas de voilement

e) Vérification à la flexion au droit de l’ouverture 0 M Sd = 504 kN . m

PRd = 73,1 kN

et

Ng = 6 goujons

voir figure 1.exe On utilise une valeur unique pour la limite d’élasticité de l’acier du PRS soit 345 N/mm2

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TECHNIQUE ET APPLICATIONS

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MIX-CAL 3-01 A0eff = 190(15 + 25) + 260 × 8,61 = 9 840 mm2 Facier = 9 840 × 345 = 3 395 kN Fbéton = 0,85 ×

25 × 1 875 × 60 = 1 593,8 kN 1,5

Fg = 6 × 73,1 = 438,6 kN Distribution des contraintes au droit de l’ouverture (voir figure 2.exe) : ●

●

Position de l’axe neutre plastique de la dalle =

438,6 × 103 = 16,5 mm 0,85 × 25 –––––––––––––––– × 1 875 1,5

29

En cherchant l’équilibre on trouve l’axe neutre plastique de la poutrelle acier, il est dans l’âme du Té inférieur voir figure 2.exe.

Le tableau ci-après donne les efforts avec leurs bras de levier par rapport à la fibre supérieure de la dalle. Dalle

+ 438,60 kN

8,25 mm

Semelle supérieure

+ 983,25 kN

107,50 mm

Âme Té supérieure

+ 386,34 kN

180,00 mm

Âme Té inf. en compression

+ 108,45 kN

503,25 mm

Âme Té inf. en traction

– 277,89 kN

568,25 mm

– 1 638,75 kN

627,50 mm

Semelle inférieure

∑=0 0 = 438,6 × 8,25 + 983,25 × 107,5 + 386,34 × 180 M Rd + 108,45 × 503,25 – 277,89 × 568,25 – 1 638,75 × 627,5 = – 952,8 kN . m

(Le signe moins veut dire que la fibre inférieure de la poutre est en traction). 1 875 16,5 mm

0,85 . fck 1,5

= 14,17 N/mm2 438,6 kN

60

A.N.P. dalle

40

983,3 kN

15 130

386,3 kN

240 36,5 108,5 kN

A.N.P. acier 130

277,9

25 1 638,8 kN

Distribution des contraintes et efforts à une distance : x –

a0

fy = 345 N/mm2

= 1,07 m de l’appui

2

Fig. 2.exe

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152

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MIX-CAL 3-01 0 0 On vérifie bien que M Rd = 952,8 kN . m  M Sd = 504 kN . m 0 0 / M Rd vaut 0,529. Le rapport M Sd

f) Vérification locale – flambement du Té supérieur dans le plan de l’ouverture. À partir de la figure 2.exe Sup = 983,25 kN + 386,34 kN = 1 370 kN (compression) N Té, ELU

30

Sup = 1 369,64 × 0,529 = 724,5 kN N Té, Sd

Caractéristiques

190x15 130x8,61 Longueur de flambement = 240 mm Sup = 190 × 15 + 130 × 8,61 = 3 969 mm2 ATé, eff

Moment d’inertie du Té supérieur (section efficace)

27,94 A.N.E du Té

190x15 130x8,61

sup I Té, = 190 × 15 × (152 / 12 + 20,442) + 130 × 8,61 × (1302 / 12 + 52,062) = 5,854 × 106 mm4 eff inf inf N Té, = N Té, = 1 370 kN pl, Rd ELU sup N Té, = 210 644 kN cr

Élancement réduit = 0,08 Pas de risque de flambement.

g) Vérification locale – flambement au passage de l’effort tranchant (cf. § 3.2 et fig. 6) Section

120 × 10 = 1 200 mm2

Longueur de flambement = 240 mm Npl, Rd = 1 200 × 355 = 426 kN Inertie : I=

120 × 10 3 = 10 000 mm4 12

Ncr =

π2 × 210 000 × 10 000 = 359,83 kN 2402

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MIX-CAL 3-01

Élancement réduit =



426 = 1,088 359,82

χ = 0,4906 (EC3 – tableaux 5.5.2) Nbielle, b, Rd = 0,4906 ×

426 = 189,6 kN 1,1

vérification : Nbielle, b, Rd = 189,6 kN 

31

0 V Sd, 329,1 acier = = 164,6 kN 2 2

h) Vérification du Té supérieur vis-à-vis de l’effet Vierendeel sup Effort ultime : N Té, = 1 370 kN (compression) ELU sup sup Effort normal sollicitant : N Té, = N Té, × 0,529 = 725 kN Sd ELU sup Résistance plastique : N Té, = 1 370 kN pl, Rd

Calcul du moment plastique du Té supérieur : Position de l’axe neutre plastique par rapport à la fibre supérieure du Té z=

190 × 15 + 130 × 8,61 = 10,45 mm 2 × 190

Voir figure

z= 10,45mm

190x15

298,3 130x8,61

685 A.N.P

386,7

À partir de ces efforts on obtient le moment plastique du Té supérieur : sup M Té, = 31,1 kN . m v, Pl, Rd

Le moment résistant en tenant compte de l’interaction vaut :

  1 370   = 22,4 kN . m

sup M Té, = 31,1 × 1 – v, Rd

725

2

sup sup On vérifie : M Té, = 22,4 kN . m  M Té, = v, Rd v, Sd

329,1 240 × = 19,75 kN . m 2 2

(l’ouverture étant centrée par rapport à l’axe de l’âme, la répartition de l’effort tranchant appliqué à la poutre acier s’effectue simplement pour moitié dans chaque Té).

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154

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MIX-CAL 3-01 j) Vérification du Té inférieur vis-à-vis de l’effet Vierendeel On se limite ici aux résultats de différentes étapes : Caractéristiques élastiques inf A Té, = 5 869,3 mm2 eff

Efforts : inf N Té, = 2 025 kN pl, Rd

32

inf N Té, = 1 808,2 kN ELU sup N Té, = 1 808,2 × 0,529 = 957 kN Sd

Moment de résistance plastique : Position de l’axe neutre plastique par rapport à la fibre extrême = 15,45 mm Le moment plastique vaut : inf M Té, = 39,6 kN . m v, Pl, Rd

Le moment résistant en tenant compte de l’interaction vaut :

  2 025   = 30,8 kN . m

inf M Té, = 39,6 × 1 – v, Rd

957

2

inf inf On vérifie : M Té, = 30,8 kN . m  M Té, = v, Rd v, Sd

329,1 240 × = 19,75 kN . m 2 2

2,12. – Calcul de l’accroissement de la flèche a) Accroissement de la flèche dû à la flexion Si δ est la flèche à mi-portée sans ouverture, la flèche en présence de l’ouverture A devient (1 + Cf ) × δ.



Cf = 19,2 × 1 –

1,19 7,5



1,19 7,5

  7 500  I 2

240

I mixte 0 mixte



–1

Imixte est l’inertie de la section mixte sans ouverture, calculée avec le coefficient d’équivalence à long terme ou à court terme selon le cas de charge envisagé. I 0mixte est l’inertie de la section mixte avec ouverture. Pour illustrer l’exemple, on se limite à l’inertie instantanée de la section mixte. Sans ouverture

Imixte = 1 609 × 106 mm4 I 0mixte = 1 327 × 106 mm4

(Pour le calcul de I 0mixte nous avons fait le choix de négliger complètement l’âme). Cf = 0,013

 1,327 – 1 = 0,0027 1,609

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MIX-CAL 3-01 (b) Accroissement de la flèche dû à l’effort tranchant Dans ce cas la flèche devient (1 + Cv ) × δ



Cv = 0,8 1 –

2 × 1,19 7,5

 7 500   240

2

EI mixte EI 0v



Imixte même définition que précédemment. I 0v prend en compte la déformation sous effort tranchant dans la zone d’ouverture et peut être prise comme la moyenne des inerties des deux Tés.

33

sup I Té, = 5,854 × 106 mm4 eff inf I Té, = 7,26 × 106 mm4 eff

I v0 = 6,56 × 106 mm4 I mixte 1 609 = = 245 I v0 6,56 et Cv = 0,0044 (c) Accroissement total de la flèche Pour l’ouverture A δ finale = δ (sans ouverture) × (1 + 0,0027 + 0,0044) = δ (sans ouverture) × 1,0071

2,2. – Ouverture B On ne traite, dans ce qui suit, que les vérifications portant sur l’équilibre de la flexion globale et sur la résistance et la stabilité du montant délimité par les ouvertures A et B. Stabilité au passage de l’effort tranchant La largeur du montant est s = 430 mm. On vérifie que cette valeur est comprise entre les limites d0 = 240 mm et 2 d0 = 480 mm. L’effort tranchant à l’axe du montant est : VSd 1 = pELU

2 –x– 2 – 2 L

a0

s

VSd 1 = 298,71 kN

L’effort à reprendre en flambement du bord libre de l’ouverture, au titre du passage de l’effort tranchant, est majoré du fait de la largeur réduite du montant : VSd 1 ×

d0 = 166,72 kN s

La capacité correspondante calculée précédemment (cf. II,11f) reste suffisante : Nbielle, b, Rd = 189,6 kN

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MIX-CAL 3-01 Équilibre de l’effort tranchant dans les Tés L’effort tranchant à l’axe de l’ouverture B est : VSdB = pELU

 2 – x – a – s L

0

VSdB = 253,73 kN

Compte tenu de la capacité des Tés à l’effort tranchant et de la contribution de la dalle calculées précédemment, le taux de sollicitation est :

34

253,73 – 7,31 0,5 479,6 Il n’est donc pas nécessaire d’opérer une réduction de l’épaisseur de l’âme au titre de l’interaction de l’effort tranchant avec les autres sollicitations. Équilibre de la flexion globale au droit de l’ouverture Le nombre de connecteurs disponibles en amont de l’ouverture B est 11. La capacité correspondante est : FgB = 11 × 73,1 = 804,1 kN Comme précédemment, cette valeur gouverne la compression dans la dalle. La hauteur de béton comprimée est donc : 804,1 × 103 = 30,3 mm 0,85 × 25 –––––––––––––––– × 1 875 1,5 On recherche l’équilibre plastique des contraintes dans la section mixte, en tenant compte de la capacité de la partie acier qui vaut maintenant : FacierB = 10 200 × 345 = 3 519 kN L’axe neutre plastique se situe dans l’âme du Té supérieur, dont la hauteur tendue est : FgB + FacierB – (bft tft + d2tw)fy / γM 0 2 = 21,54 mm xwt = tw fy / γM 0 ––––––––––––––––––––

On vérifie l’équilibre des efforts ainsi obtenus dans la section : ●

partie comprimée

FgB + [bfc tfc + (d1 – xwt )tw ] fy / γM0 = 2 161,55 kN

●

partie tendue

(bft tft + (d2 + xwt ) tw ) fy / γM0 = 2 161,55 kN

Le moment résistant associé à la distribution de contraintes vaut : M 0B Rd = 1 158 kNm Le moment sollicitant au milieu de l’ouverture vaut : M 0B Sd = 704 kNm Il n’y a donc pas de problème de résistance à la flexion globale.

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MIX-CAL 3-01 Vérification du montant en cisaillement et en flexion Le montant entre ouvertures doit être vérifié, en résistance et stabilité, vis-à-vis de l’effort tranchant horizontal déduit de la répartition des efforts dans la section mixte au centre de chaque ouverture. Cet effort est égal à la différence des efforts repris par le Té inférieur de part et d’autre du montant, soit : V0H = (bft tft + d2 tw )

0 fy M 0B fy M Sd Sd – (b t + d t ) = 198,21 kN ft ft 2 w, eff γM0 M 0B γM0 M 0Rd Rd

Cet effort est à comparer à la résistance plastique en cisaillement du montant : stw

fy

1

 3 γM0

35

= 856,50 kN

La résistance est assurée et il n’y a pas d’interaction à prévoir sur la résistance en flexion car le seuil de 50 % de la capacité n’est pas atteint. La section d’encastrement du montant sur les Tés doit être vérifiée sous un effet de flexion, en tenant compte du risque de déversement. On calcule d’abord le coefficient de déversement, à partir du moment critique de déversement. La section est un rectangle de hauteur égale à la largeur du montant et de largeur égale à l’épaisseur de l’âme. Inertie latérale de flexion de la section

Im =

st 3w = 3,58 cm4 12

Inertie de torsion de la section

Jm =

st 3w = 14,33 cm4 3

Charge critique de la console

Pcrit =

4,01EIm GJm = 2 599 kN d0 2

2  ––––

Moment critique de la console

Mcrit = Pcrit

d0 = 311,9 kNm 2

 tw s 2

fy 4 = 0,715 Mcrit

–––––––––

Élancement réduit

λLT =

Coefficient de déversement

χLT = 0,715 (suivant la courbe c)

En final, la capacité du montant s’écrit :

χLT

tw s 2 fy = 103,7 kNm 4 γM1

Cette valeur est à comparer au moment sollicitant :

V0H

d0 = 29,5 kNm 2

Il n’y a donc pas de problème de résistance ou de stabilité du montant.

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