f Moderna Acosta Cap 5-6

CAPITULO 5 CONSECUENCIAS DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ 5-1 CONTRACCIÓN DE LA LONGITUD Consideremos por un momento la longitud de una barra de un metro. Este parecerá a primera vista un ejercicio muy tonto ya que a longitud de una barra de un metro es esa precisamente. Pero aclaremos esta declaración añadiendo que 1 m. es la longitud de la barra vista desde el marco de reposo de la barra , y llamemos al marco S2  (ver  (ver igura !.1". #i la barra yace paralela al eje $ en este marco, la distancia desde el e$tremo  A, en  x  A2 , al e$tremo B en  x B2  es  es 1 m. %a longitud de la barra en S 2  se  se deine entonces como la dierencia entre estos dos n&meros sobre el eje  x ' L 2  =  = x B2 – x B1

(5-1)

 demás, estos dos n&meros permanecerán iguales con el paso del tiempo, t iempo, ya que # ) es el marco de reposo de la barra. #u dierencia L 2  tambi*n   tambi*n permanecerá constante en el tiempo.  +ora miremos esta misma barra como observadores observadores situados en el marco S 1. ejemos que el marco S 2  se  se mueva con velocidad v en una dirección paralela al eje  x  de S 1. El e$tr e$trem emo o  A yace en  x  A1 en S 1, y el n&mero mero  X  A 1 está cambiando consta constante ntemen mente te a medid medida a que que se mueve mueve S 1. El n&me n&mero ro  x B 1, que marca el otro e$tremo de la barra, tambi*n cambiará con el tiempo. -irando a la barra corno bserv bservado adores res en S 1, de nuevo deinimos la longitud como la dierencia entre ) n&meros que cambian sus e$tremos. L 1 = x B 1 – x  A 1

Parece ra/onable requerir que el valor de L 1 sea constante en el tiempo. #in embargo, debemos investigar para ver si esto es posible, ya que los dos n&meros que dan su valor a trav*s de su dierencia están cambiando. #i la longitud de un objeto es cons consta tant nte e en un marc marco o (y en este este caso caso lo es en S 2 ", ", pensamos que la longitud tambi*n debe ser constante observada desde cualquier otro marco. #i esto no uera verdad, el mismo objeto podr0a entonces parecer r0gido a un observador y no r0gido (o elástico" a otro observador que se mueva con respecto al primero. la transormación de %orent/ de valores coordinados coordinados provee la solución al problema de mant manten ener er cons consta tant nte e la long longititud ud de un obje objeto to,, vist visto o desd desde e die diere rent ntes es marc marcos os..  pliquemos  pliquemos esta transormación transormación a los dos n&meros en el lado derec+o de la caución (!2". btendremos los siguientes n&meros equivalentes en el marco S 1'  x  A2  3 4 (  x  A1  v t 1 "  x B2  3 4 (  x B1  v t 1 "

(5-3) (5-4)

donde donde 4 es el actor actor de %orent/ %orent/ 5ver ecuac ecuació ión n (612"7, (612"7, y t 1 es el instante en que medimos en S 1 la longitud de la barra anotando los valores de las coordenadas de  y 8. 9:endremos una sorpresa al sustraer la ecuación (!2" de la ecuación (!6"; %a e$presión para el tiempo se cancela de las e$presiones para la longitud (como dijimos que deb0a ser". E$aminemos lo que nos queda' (5-5) (5-6)

 x B-21 - x  A2 3 4 ( x B1   x  A1 "

% ) 3 4 ( % 1 "

T 2

(5-14)  s0, %a dilatación relativista del tiempo es intervalo de tiempo medido entre dos eventos que tienen lugar en un punto en reposo con respecto al observador 

 intervalode tiempomedidoentre       doseventosquetienen lugaren un        intervalodetiempomedidoentre   puntoen reposocon respectoal          T doseventosque tienenlugaren un  =T  observador   1 2    2 punto en movimientocon respecto -1 β       alobservador #eg&n lo cual, un intervalo de tiempo que separa dos eventos sucesivos es mayor en cualquier marco que se mueve con respecto al marco de reposo que en dic+o marco de reposo; Como la &nica orma de que un intervalo de tiempo medido pueda +acerse mayor consiste en renar el reloj usado para medir el intervalo, esta declaración signiica que los relojes en movimiento marc+an más despacio que los estacionarios. Mos encontramos diciendo que, para cada observador, su propio reloj en su propio laboratorio camina más rápido que otros relojes que est*n en movimiento con respecto a *l. Motamos que cada observador puede considerarse a s0 mismo en reposo y a todo lo que se mueve en movimiento con respecto a *l. Este privilegio es establecido para cada observador por el principio de la relatividad especial' cada observador es equivalente a cualquier otro observador.  sea 9cada observador tiene derec+o a proclamar que el se encuentra en el centro del universo, y que su marco de reposo es el estacionario en toda la elección; Puede declararlo, pero al mismo tiempo debe reconocer y respetar el derec+o de todo otro observador a +acer lo mismo. #olo de esta manera pueden las personas entenderse entre s0 cuando describen lo que ven en la naturale/a. acen esto por medio de las ecuaciones de transormación de %orent/. Besulta interesante entre nosotros especular a+ora sobre qu* pensamientos podr0a +aber tenido >alileo si +ubiera conocido estas ecuaciones cuando insist0a que la tierra se mov0a alrededor del sol y no lo inverso. Parec0a que el estudio de la naturale/a nos enseña +oy el camino +acia lo más &nica y signiicativa individualidad consiste en reconocer constantemente la completa equivalencia de cualquier otro observador con nosotros mismos aqu0 GequivalenciaH signiica igualdad en un sentido más proundo que el usual. Mo e$pondremos aquellas ecuaciones de transormación inversas de las dadas, pero sugerimos que el lector lo +aga y as0 pruebe lo que acaba de decirse. In ejercido adicional es muy instructivo' usar las inversas de las ecuaciones (!  1" y (!  11" para

mostrar como se asegura uno de que los relojes en dierentes marcos son realmente relojes equivalentes rigurosamente construidos. EJEMPLO 5-2: Ina situación t0pica en que los intervalos de longitud parecen contra0dos y los relojes parecen marc+ar más rápido puede encontrarse en el +a/ de mesones p0 muy rápidos. Estas son las part0culas que producen las uer/as nucleares que mantienen unidos los n&cleos atómicos. En algunos casos estos mesones p0 (o piones" son renados enviándoles a trav*s de una gruesa pared de concreto o +ierro y entonces son detenidos en el otro blanco.  qu0 los piones positivos decaerán en otras part0culas ya que son radiactivos. %as part0culas +ijas son muones y neutrones. En casos como *ste, el tiempo en el que el pion se detuvo puede controlarse por medio de un contador colocado justamente antes del <imo blanco. tro contador puede registrar la aparición del muon de decaimiento. < as0 se mide el tiempo de vida del pión en reposo. Cuando se registran muc+os de estos casos, se encuentra que el tiempo de vida medio es ).QR1  seg. En otros casos, los piones rápidos se env0an por un largo corredor lleno de aire o dentro de un tubo al vac0o. -uc+os de ellos decaen a+ora en vuelo. Ino puede medir  el n&mero de piones que empie/an la jornada por el corredor y el n&mero que llega al otro e$tremo. %a dierencia es justamente el n&mero que decayó en la ruta mientras se mov0an rápidamente. Mo es raro que tales piones tengan una energ0a total de ) veces su masa en reposo, ósea un actor de %orent/ 4 3 ). %a velocidad del pión puede calcularse partiendo de la deinición del actor de %orent/. Esta velocidad se apro$ima bastante a la de la lu/, c. #i M de tales piones empie/an por un corredor de 1m con esta velocidad, +arán el viaje en 1 mS2.R1 mSseg.3 2.22R1 N seg. si no decaen en el camino. %a ecuación de decaimiento para M, el n&mero de piones que sobreviven el viaje, es  N  =  N 0 exp( −λ t ) =  N 0 exp( −t  / T )

onde T es la constante de decaimiento y : es la vida promedio. s0, cuando M se calcula a partir de la ra/ón de decaimiento,  N  =  N 0 exp(−(!.! *10

−#

−"

/ 2.0 *10 ))

=  N 0 exp(−12.")) = 2.# *10− N 0 parecer0a que menos del .)U de los piones alcan/an el e$tremo del corredor. #in embargo, esto es incorrecto. El actor de %orent/ 4 3 ) debe ser usado para renar el reloj de los piones, y su vida media en vuelo es entonces )R).QR1  o sea !.)R1N seg.  N  =  N 0 exp(−(!.! * 10 −# / $.20 * 10 −" ))

=  N 0 exp( −0.%2)) = 0.$2 N 0 o sea, que sobrevive #.. !)U. El mecanismo de tiempo interno de los piones parece marc+ar muc+o más despacio visto desde el laboratorio al e$tremo del corredor. VCómo GapareceH el laboratorio visto desde el piónW Ciertamente, un observador  viajando con el pión dir0a que el reloj del pión marc+a normalmente y que su tiempo de

vida medio es de ).QR1  seg. #in embargo, el corredor aparecer0a contra0do por el actor de %orent/ a un veinteavo de su longitud o a sólo !. m. de largo. El viaje, de acuerdo con el pión, tomar0a sólo ! mS2R1   mSseg.3 1.QQR1  seg. El n&mero que alcan/a el e$tremo es entonces  N  = N 0 exp(−(1. *10

−"

−"

/ 2.0 *10 ))

= N 0 exp(−0.%2))  N  = 0.$2 N 0 e modo que el observador en el laboratorio cuenta el mismo n&mero al e$tremo del corredor que un observador viajando con el +a/ de piones. El mismo actor de %orent/ los aecta a ambos, pero en ormas complementarias. 5-3 1NTERPRETACION DEL E#PERIMENTO DE MIC$ELSON--MOR LE% %as transormaciones de %orent/ pueden usarse para mostrar que la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud son consecuencias directas de la invariancia de la velocidad de la lu/ para todos los marcos inerciales que se mueven entre s0 con movimiento traslacional uniorme. Esta declaración, que es el resultado del e$perimento de -ic+elson  -orley , se conoce como principio de la relatividad especial. E$aminemos la noción de dilatación del tiempo mediante un ejemplo. Consideremos de nuevo el intererómetro de -ic+elson (igura 6  1" locali/a do como antes en un marco de reerencia # ) unido al intererómetro y por lo tanto a la tierra. En las iguras (!6(a" y !6(b"", el espejo - ) está en reposo con respecto a # ), que se mueve a la velocidad y a velocidad traslacional de la tierra" con respecto a # 1. El marco de reerencia #1 está a la ve/ unido a las estrellas ijas o al G*terH. En el tiempo t 1 3 3  5igura !6(a", # ) coinciden con # 1 y un pulso de lu/ se env0a desde  1 +acia el espejo -), donde será relejado para llegar, despu*s de un intervalo, a  ). %lamemos :1 y :) a los tiempos de viaje medidos por los observadores  1 y ) , respectivamente.

F&'* 5-4 Evidentemente (ya que c , la velocidad de la lu/, es invariante", la igura !6(a" muestra que los tiempos de viaje son T 2  =

y

2 L c

(5-15)

T 1 =

O1 A +  AO2 c

2

=

2  L

+ (v2 / %)T 12

(5-16)

c

e la ecuación (!1Q"  L =

c 2

T 1 1 −

v2 c2

=

c 2

T 2

Xue se simpliica a T 1

=

T 2

(5-1)

1 − (v 2 / c 2 )

el mismo resultado, obtenido por aplicación directa de las transormaciones de %orent/. Consideremos a+ora la noción gemela de la con tracción de la longitud. Cuando # ) coincide con # 1, se env0a un pulso de lu/ desde el origen com&n +acia - 1, que esta a la distancia % 1 seg&n la mide el observador  )  %a lu/ es relejada por el espejo - 1 y regresa a )  Como antes, :1 y :) son los tiempos respectivos medidos para el viaje redondo de la lu/ por los observadores  1 y  ), respectivamente. +ora bien, para el viaje redondo ) -1 ). T 2  = 2 L2 / c

(5-1!)

 +ora, si t1 es el tiempo de viaje de  ) a -1 medido por el observador  1, la igura ! !(b" muestra que ct 1

= vt 1 + L1

(5-2")

donde %1 es la distancia de  1 a  ), medida desde # 1. #i el tiempo de viaje de - 1 a  ) medido por 1 es t), entonces ct 2

=  L1 − vt 2

(5-21)

Por lo tanto, en base a las ecuaciones (!)" y (!)1" T 1 = t 1 + t 2

=

 L1 c −v

+

 L2 c+v

=

1 L1 / c 1 − (v / c ) 2

2

(5-22)

y las ecuaciones (!1 D" y (!))" dan entonces T 1 T 2

=

(2 L1 / c)(1 − (v 2 / c 2 )) 2 L2 / c

  1   =  L1    2 2    L2  1 − (v / c )  

(5-23)

e acuerdo con la dilatación del tiempo T 1 T 2

  =   

    1 − (v 2 / c 2 )     1

con lo cual la ecuación (!)2" toma la orma 1 1 − (v 2 / c 2 )

=

    1     L2  1 − (v 2 / c 2 )      L1

y inalmente tenemos  L1

=  L2

1−

v2 c

2

que es la órmula para la contracción de la longitud. 5-4 SOLUCIÓN DE EINSTEIN AL CONFLICTO Para un montaje e$perimental como el de -ic+elson-orley (igura 61" se encontró que los tiempos de viaje redondo para la lu/ eran, para el viaje -- 1-. t //

=

2 L / c 1 − (c 2 / v 2 )

(5-

25) y para el viaje -- )t   & 

=

2 L / c 1 − (c 2 / v 2 )

(5-26)

donde % 3 -- 1 3 --) , la distancia de - a los espejos es - 1 y -) medida por un observador terrestre. Evidentemente, entonces,

Por lo tanto, de acuerdo con el enoque >alileano,

Por otro lado, los resultados e$perimentales dieron la relación

#e sugirió como e$plicación posible para este resultado e$perimental que la invariancia de la velocidad de la lu/ con respecto al movimiento del observador. Como ya +emos visto, esta necesidad de rec+a/ar la composición >alileana o clásica de las velocidades, ue di0cil de aceptar para muc+os 0sicos, ya que era un principio considerado en ese tiempo como un dogma en la 0sica. e los varios intentos reali/ados para no violarlas ideas de la 0sica clásica, >. ?. ?it/gerald propuso una ingeniosa solución. #ugirió que todos los objetos que se mueven a trav*s del *ter e$perimentan una contracción real a lo largo de la dirección de movimiento y que la longitud contra0da, % movimiento está dada por   Lmovimiento =  L 1 −

v2 c2

donde % 3 % reposo es la longitud del mismo objeto cuando está en reposo con respecto al *ter (el sistema de reerencia # 1 en el e$perimento de -ic+elson-orley". Por lo tanto, si % se rempla/a por % movimiento en la ecuación (!)!", t ll 

=

2 2 2 L 1 − (v / c ) / c

1 − (v / c ) 2

2

=

2 L / c 1 − (v / c ) 2

2

y por lo tanto t ll t  & , lo que concuerda con el e$perimento. %a contracción no puede ser detectada por el observador  ) (el observador terrestre", quien viaja con el objeto, porque su barra de medir tambi*n se contrae en la misma ra/ón. %a solución de Einstein al problema ue rec+a/ar el principio clásico de composición de velocidades y suponer como resultado valido que la velocidad de la lu/ es invariante con respecto al movimiento del observador. Esta conclusión condujo, como ya +emos mostrado antes, a las transormaciones de %orent/ y a la conclusión inmediata de la contracción de longitud y de la dilatación del tiempo. Es importante destacar que la contracción de la longitud no es real sino una contracción en la G%ongitud medidaH, la &nica longitud que puede ser discutida. Mo debemos usar las palabras GobservarH y GverH descuidadamente. El acto de GverH un objeto implica la cantidad inita de tiempo requerida para el transito de la lu/. Y0ctor  Zeiss[opR muestra que un objeto muy distante movi*ndose s velocidades relativistas no aparecerá distorsionado en su orma, pero parecerá +aber rotado un poco uera de la posición que ocupaba cuando estaba en reposo. %a solución dada por Einstein +a probado ser válida, y muc+a evidencia e$perimental apoya su teor0a. Por lo tanto, de acuerdo con su interpretación'

1. %as transormaciones >alileanas deben rec+a/arse y considerarse como una apro$imación inválida cuando v/c '1 ). eben considerarse válidas las transormaciones de %orent/ (de acuerdo con los resultados del e$perimento de -ic+elson-orley". 2. El postulado de la e$istencia del G*terH se rec+a/a como innecesario. 6. #e rec+a/an los conceptos de un espacio y un tiempo absolutos. El espacio y el tiempo se consideran dependientes del marco de reerencia o, en otras palabras, son relativos. En 1D! Einstein dio un paso más adelante y estableció el principio especial de la relatividad en la siguiente orma' :odas las leyes de la 0sica deben ser iguales para todos los marcos inerciales que se mueven entre s0 con movimiento (traslacional uniorme (velocidad constante". Mos damos cuenta de que esto implica que las leyes de la dinámica permanecerán invariantes o tendrán la misma orma cuando son reeridas a dierentes marcos inerciales de reerencia. Este principio puede considerarse como el punto de partida de la teor0a especial de la relatividad. emos visto que los metros son más largos y los relojes andan más rápido cuando son vistos desde sus propios marcos de reposo. Estas declaraciones deben ser  rectiicadas de dos ormas. En una, serán ampliamente generali/adas y en la otra restringidas severamente. Primero generali/amos estableciendo que los GobservadoresH usados en los varios marcos de reerencia no necesitan ser personas, ni animales u otros seres vivientes. %os eectos que se +an encontrado aqu0 aectan a cualquier objeto en la naturale/a, desde los más grandes +asta los más pequeños. e alguna orma, toda part0cula tiene dentro de s0 la Gbarra para medirH y el GrelojH de los que +emos estado +ablando. :al ve/ la propiedad llamada longitud y la llamada tiempo \ propiedades que decrecen o se dilatan a medida que e$perimentamos el movimiento \ son realmente una propiedad del espacio (o espacio \ tiempo" mismo, en el cual se encuentra toda la naturale/a observable.  +ora restrinjamos esta declaración muy severamente. #e +a escogido a # )  para representar en general cualquier marco que se mueve con respecto a # 1 . #iempre se +a supuesto que el vector de velocidad relativa v   es constante en la dirección y en el tiempo. %os resultados no se mantienen necesariamente cuando la velocidad está cambiando] en tal caso, no debe +aber aceleración. 9El movimiento debe ser constante y lineal; Esta condición raramente se encuentra, si alguna ve/, en el mundo real. Puede ser casi encontrada en pequeñas regiones del espacio por cortos intervalos de tiempo, as0 que la teor0a solamente constituye una apro$imación. :oma el t0tulo de teor0a restringida o especial de la relatividad. El mundo real contiene desde luego. aceleraciones y trayectorias curvas, y casi en cualquier parte se encuentran uer/as cambiantes. El problema de obtener una sola descripción uniicada del mundo real, con sus muc+as clases de uer/as, sus aceleraciones, y su variedad de part0culas, sigue siendo un problema insoluto a&n +oy. Es el problema que estudia la relatividad general. PRO+LEMAS

5-1 Ina barra r0gida, de 1 m de largo, es medida por dos observadores, uno en reposo con respecto a la barra y el segundo movindose con respecto al primero a lo largo de la longitud de la barra. V qu* velocidad debe moverse el observador para observar la barra contra0da a .DDD m y .! mW 5-2 etermine las dimensiones y orma de una placa de 1m cuadrado que se mueve alejándose de un observador en l0nea recta a lo largo de su base, a la velocidad relativa de . c . Compare el área de la placa cuando está en reposo con el área medida cuando está en movimiento. 5-3 Ina barra de 1 m que se mueve paralelamente a su longitud es medida cuando su velocidad es .D c. Cuál es la longitud de esta barra comparada con su longitud de reposoW 5-4 Ina estación de radar situada en la tierra observa una nave espacial  , que viaja a la velocidad de . c , perseguida por una segunda nave 8, situada a 1. m de la primera. y que se despla/a a la velocidad de .D c   VCuánto tiempo le lleva a la nave 8 alcan/ar a la nave  seg&n el reloj de 8W V#eg&n la estación de radarW 5-5 In p*ndulo GsegunderoH necesita dos segundos para completar un ciclo (1 seg. para oscilar en cada dirección". VCuál será el per0odo de este p*ndulo medido por un observador que viaja a la velocidad de . c W 5-6 VXu* tan rápido tendr0a que viajar una nave para que un intervalo de 1 año medido por un observador en la nave sea de ) años medido por un observador  terrestre estacionarioW 5-, In pasajero viaja en un tren que se mueve a la velocidad de .N! c . Cuando el tren pasa rente a la plataorma de una estación, un dependiente levanta un reloj y despu*s lo deja. #i el pasajero observa que el dependiente sostuvo el reloj durante . seg. Vqu* tanto tiempo piensa el dependiente +aberlo sostenidoW 5- %a vida media de un mesón p0 cargado, medida en reposo es de ).QR1  seg. #i la part0cula viaja a la velocidad de .D c  con respecto a la tierra, Vcuál será su vida media medida por un observador terrestreW 5-! %a distancia de una estrella dada a la tierra es alrededor de 1 años lu/. #uponiendo que el tiempo de vida de una persona es de N años, Va qu* velocidad debe viajar para llegar a la estrella en su tiempo de vidaW 5-1" In astrónomo coninado a la tierra observa un objeto brillante en el +emiserio septentrional, a ) años lu/ de distancia y apro$imándose a la tierra a la velocidad de . c . #uponga que la tierra es un sistema inercial estacionario y calcule (*) el tiempo requerido para que el objeto alcance la tierra seg&n el astrónomo] () el tiempo seg&n un astrónomo que viaja con el objeto] y (.) la distancia a la tierra seg&n el astrónomo que viaja con el objeto. 5-11 Ina barra r0gida +ace un ángulo J 3 2N^ con respecto al eje $ ) . V qu* velocidad debe moverse la barra paralelamente al eje $ 1 para que pare/can ormar un ángulo J 136!KW 5-12 -uestre que el volumen de un cubo que se mueve a la velocidad y en la dirección paralela a uno de los bordes es

V  = V 0 1 −

v

2

c

2

donde Y es el volumen en reposo. 5-13 In astrónomo dispara un láser pulsante, y 1.2 seg. despu*s el pulso llega a la luna situada a una distancia de 2DR1  m. In observador que viaja en la misma dirección del pulso ve los dos eventos (o sea, el disparo y la llegada a la luna" como un solo evento. VCuál es la velocidad de este observadorW

CAPITULO 6 MEC/NICA RELATIVISTA 601 MASA % MOMENTO %os postulados de Einstein sobre la relatividad or/aron a los 0sicos a revaluar sus conceptos de la mecánica. %as e$presiones clásicas para el momento y la energ0a deben a+ora ser rempla/adas con e$presiones relativistas antes de ser convertidas en leyes de conservación del momento y de conservación de la energ0a. En cierto sentido, la acilidad con que las e$presiones relativistas encajan en las leyes de conservación es un tributo a la gran generalidad de estas leyes de la 0sica. e acuerdo con la mecánica clásica, el momento lineal de un cuerpo con masa inercial m y velocidad v se deine por la ecuación  p = mv

(6-1)

En el Cap0tulo ) aprendimos que la ley de conservación del momento lineal para un sistema aislado de part0culas se presentó como la ley más undamental de la 0sica. Para un sistema aislado de part0culas m 1, m),. . . mn sobre el cual no act&an uer/as, el sistema evolucionará en el espacio y en el tiempo de tal orma que

∑m v

1 1

1

= m1v1 + m2v2 + ...

= cons tan te

(6-2)

Esta ley de conservación e$presada por la ecuación (Q)" es una consecuencia de la +omogeneidad del espacio en el cual parece estar ubicada toda la naturale/a. Cuando se observa una colisión desde dierentes marcos de reerencia en movimiento, no +ay ra/ón para esperar que el espacio se vuelva s&bitamente no +omog*neo. +ora debemos averiguar cómo se mantiene la ecuación (Q)" bajo tal transormaciones de %orent/, para sistemas coordenados en movimiento. nticipando las complicaciones que pueden aparecer con respecto a la masa cuando se eect&an las transormaciones del %orent/, asignaremos el s0mbolo m  a la masa. %a masa m  es la masa medida para un cuerpo en reposo en nuestro marco de reerencia y se conoce7 como masa de reposo del cuerpo. Considere dos eseras id*nticas y perectamente j elásticas cada una, con masa de reposo m  en un j sistema en movimiento # )  (igura Q1". En este sistema en movimiento #), las eseras  y 8 mueven a las velocidades respectivas v A2

= V 

(6-

3) v B2

= −V 

:ales que las eseras tendrán una colisión de rente. Becordando la ecuación para la transormación de velocidades, la transormación de %orent/ se usa para relacionar  estas dos ormas de ver el mismo evento. %a transormación de velocidades de %orent/ muestra que las velocidades de estas dos eseras, vistas por el observador  1, son

(a"

(b"

(c" F&'* 6-1 (a" El observador  ) ve dos eseras apro$imarse entre s0 a velocidades iguales, (b"  qu0 el observador ) ve dos eseras justamente en e; momento del impacto, en que v A2 = vB 2 = 0 . %as eseras están momentáneamente en reposo, por lo que respecta al observador ). (c" El observador  ) verá las eseras rebotar con velocidades iguales pero opuestas.

v A

=

v B1

=

1

onde

β  3

v A

2

+v

1 + β (V  / c )

+v

=

V 

+v

1 + β ( V  / c )

− V  + v 1 + β ( V  / c ) 1 − β (V  / c ) v B2

=

(6-4)

(6-5)

vSc.

#i la suma de las masas vista desde # 1 es -, esta masa total permanecerá constante a trav*s de toda la colisión y cuando c+ocan m A1 v A1

+ m B v B =  Mv 1

1

(6-

6)  M  = m A1

+ m B

1

(6-,)

 s0, mientras que el observador  ) ve las dos masas instantáneamente en reposo, el observador 1 %as ve movi*ndose juntas a la velocidad v. #e desprende de las ecuaciones (QQ" y (QN" que

−v

m A1 v A1

=  M  v − v

 B1

B1

(6-

)

m A1 ( v B1

− v A =  M ( v − v A 1

1

Isando las ecuaciones de transormación (Q6" y (Q!" y simpliicando, la ra/ón de la ecuación (Q" da m A1 m B1

=

1 + β (V  / c )

(6-

1 − β (V  / c)

!)  +ora, de la ecuación (Q6" 1−

2

v A

1

c

2

( v + c)2 =1− 2 2 c [1 + β (V  / c ) ]

lo cual puede rearreglarse algebraicamente para dar  1−

v B c

1 − β 2 1 − (V  2 / c 2 )

2

1

2

=

[1 + β (V  / c ) ]

%os actores [1 + β (V  / c ) ] y [1 − β (V  / c ) ] pueden +ora e$traerse de estas e$presiones y sustituirse i la ecuación (QD". Esto nos dará la ra/ón de las 2! masas vistas desde #1 en la orma m A

1

m B

1

(v = 1 − (v 1−

) /c )

2

/ c2

2

2

 B1

 A1

(6-

1")  s0, la masa vista desde un marco de reerencia en movimiento no es m  sino que es inversamente proporcional al actor de %orent/ r  = 1 / 1 − ( v 2 / c 2 ) . Mote que y es siempre mayor que 1 pero apro$ima a la unidad a medida que la velocidad vuelve muy pequeña comparada con la velocidad de la lu/ c. Esto nos permite escribir la e$presión general m A

1

1−

v A

1

c

2

2

=m

 B1

1−

vB

1

c

2

2

= m0

 simplemente m =  ym0

(6-11)

%a masa de un cuerpo no es, en general, una constante ni la misma para todos los observadores, sino que es una cantidad que

1" epende del marco de reerencia desde el cual es observado el cuerpo, y )" Es menor que o igual a m  cuando el cuerpo está en reposo en el marco de reerencia desde el cual el cuerpo es observado. %as propiedades del actor de %orent/ y +acen que la masa se vuelva muy grande y tienda inalmente a ininito, a medida que la velocidad relativa se apro$ima a c. e acuerdo con la órmula de la masa, la e$presión relativista para el momento lineal es  p

= mv =  ym0v

y la conservación del momento lineal para un sistema aislado es' n

∑

n

mi vi

i =1

= ∑ yi movi = cons tan te

(6-

i =1

13) DEFINICIÓN DE FUERZA  unque las leyes de la mecánica clásica no son lo suicientemente universales para incluir eectos relativistas, la orma de la segunda ley de Me_ton,  F  =

d  d t 

d 

(  p ) =

d 

(6-14)

(mv )

es generalmente aplicable, incluso a la mecánica relativista. espu*s de dierenciar la ecuación (Q16" toma la orma  F  = m

dv dt 

+

dm

(6-15)

dt 

donde m es a+ora igual γ  m . 0

Para una uer/a que act&a en la dirección $ positiva, podemos escribir  d  

 ( mv x ) =   F  =  dt  dt   1 − v x2 / c 2    d 

m0v x

ierenciando obtenemos  F  X 

=

m0

dv x

1 − (v 2 x / c 2 )

dt 

+

/ c2 )

dvx

(v 2 x / c 2 )]

dt 

m0 (v

[1

−

2

 x

!/ 2

Xue se simpliica a  F  X 

=

m0

[1

−

dv x

(v  x / c ) ] 2

2

!/ 2

dt 

(6-15*)

L  F  x

= γ  2m0 a x

 

(6-15)

donde a$ es la aceleración observada en el laboratorio. EJEMPLO 6-1' etermine la uer/a relativista que act&a sobre un cuerpo que se mueve con movimiento circular uniorme. #%IC@LM' En este caso, la magnitud de la velocidad permanece constante y  F  =

  dt    d 



m0

1 − (v / c ) 2

2

v



m0

=

dv

1 − (v / c ) dt  2

2

Mótese que m = m0 / 1 − (c 2 / v 2 )  y dvSdt 3 a B que es la aceleración centr0peta. Por lo tanto, podemos escribir en magnitud  F  = ma R

=m

v2  R

donde B es el radio del c0rculo. s0, la segunda ley de Me_ton cubre el caso del movimiento circular relativista. 6-3 ENERG1A CINET1CA RELATIVISTA Cuando la velocidad de una part0cula se apro$ima a valores relativistas, la e$presión para la energ0a cin*tica clásica debe ser cambiada a una orma relativista.  in de encontrar una e$presión para la energ0a cin*tica relativista, calcularemos el trabajo +ec+o para aumentar la velocidad de una part0cula desde  +asta un valor inal v. Para simpliicar el problema, supongamos que la uer/a y el despla/amiento están en la misma dirección. %a energ0a cin*tica, o sea el trabajo neto +ec+o sobre la part0cula, es  K  =

(6-16)

r 

∫  F  ⋅ dr  0

Con la ecuación (Q1!a" toma la orma m0

r 

 K 

eY. etermine la velocidad, el momento, y la longitud de onda de estos electrones. (#ugerencia' vea el problema Q6 y resuelva para v usando la e$pansión binomial". () %os electrones son acelerados a trav*s de una distancia de 2.) m (cerca de 2 [ilómetro. VCul será la longitud de la trayectoria de los electrones medida por un observador que se mueve junto con los electrones' 6- etermine la velocidad y el momento de una part0cula de masa de reposo m  cuando su energ0a cin*tica es igual a do, veces su energ0a de reposo. 6-! Calcule el trabajo requerido para acelerar un electrón (*) desde el reposo +asta 6. mSseg' () desde el reposo +asta .c] y (.)  desde .Dc +asta .DDDc. 6-1" El observador de un laboratorio ve cómo un protón que se mueve a .!c +ace una colisión de rente con un segundo protón, que viaja en dirección opuesta a .Qc. (*) etermine la energ0a cin*tica y el momento del sistema medidos por el observador del laboratorio. () etermine la energ0a cin*tica y el momento del sistema medidos por un observador que se mueve con el primer protón.

6-11 Ina unidad para medir el momento, usada a menudo es 1. mevSc. Encuentre su valor num*rico en unidades -# ([ilogramos por metro sobre segundo". 6-12 Para un protón, determine la energ0a total cuando tiene un momento de (*) ). 8eYSc y (b" 1. -eYSc. 6-13 -uestre que la ra/ón de la energ0a cin*tica relativista ?C 3 (m O m Sc)" a la e$presión apro$imada  3 1S)m v) está dada por S 3 1 ` 2S6 ). 6-14 In protón  deja un acelerador lineal con una velocidad de . con respecto al marco del laboratorio y c+oca con un protón 8 en reposo en el mismo marco. (*) calcule el momento y la energ0a cin*tica de los protones en el mismo laboratorio. () Calcule la velocidad del centro de masa (cm" de este sistema en el laboratorio. (.) aga lo, mismo, cálculos que en (a" para el marco cm. 6-15 In protón y un electrón tienen cada uno una energ0a cin*tica de 1. meY. (*) Calcule sus momentos y velocidades siguiendo un enoque clásico. () aga lo mismo con un enoque relativista. (.) VXu* conclusiones obtiene de la comparación de los resultados de ambos cálculosW 6-16 (*) VCuál es la velocidad m0nima que debe tener una part0cula para que su energ0a total pueda escribir como E 3 pc con un error en su energ0a cin*tica no mayor del 1U. () VCuáles son los valores del momento y de la energ0a cin*tica de un protón que se mueve a esta velocidadW 6-1, (*) Calcule la má$ima velocidad que deba tener una part0cula para que su energ0a cin*tica se puede escribir como  31S)mv) con un error no mayor del 1U. () 8ajo estas circunstancias, calcule el momento y la energ0a cin*tica de un electrón. 6-1

En un proceso de decaimiento , tiene lugar la reacción

donde n es un neutrón en reposo, p es un protón y es un antineutrón cuya masa de reposo es cero. Calcule la energ0a cin*tica total de los productos del decaimiento (protón ` electrón ` antineutrino". (#ugerencia' use el principio de conservación de la masaenerg0a". 6-1! (*) empe/ando con la ecuación

   =   02

+  p 2c 2 =   0 +  K  muestre que el

movimiento lineal de una particula se puede escribir como  p = (2  0  +  K 2 ) / c () Pruebe que esta e$presión se reduce a p 3 m v cuando F (.) Pruebe que la e$presión se reduce a p3 ESc 3 Sc cuando F

6-2" Pruebe que cuando una part0cula se mueve perpendicularmente a un campo magn*tico 8, describirá un c0rculo cuyo radio está dado por  2  R = ( 2  0 K  +  K  / "cB  donde q es la carga el*ctrica de la part0cula. 6-21 El momento de un protón que se mueve en una trayectoria circular y perpendicular a un campo magn*tico de 1. : tiene una magnitud constante de ).6R1)) gmSseg. Calcule (*) el radio del c0rculo, y () la energ0a cin*tica del protón. 6-22 In electrón se mueve en una trayectoria circular cuyo radio es .Qm. con velocidad constante y perpendicular a un campo magn*tico de .2: (ZbSm)". En t*rminos de su masa de reposo, encontrar (*) su masa relativista, () su energ0a cin*tica, (.)  su energ0a total, () su momento lineal, y () su momento angular. 6-23 -uestre que la densidad de un cubo que se mueve a la velocidad o en una dirección paralela a uno de los bordes es

donde Y es el volumen de reposo y m  es la masa de reposo.

T** 601 Besumen esquemático de la teor0a especial de la relatividad