f Moderna Acosta Cap 5-6
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CAPITULO 5 CONSECUENCIAS DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ 5-1 CONTRACCIÓN DE LA LONGITUD Consideremos por un momento la longitud de una barra de un metro. Este parecerá a primera vista un ejercicio muy tonto ya que a longitud de una barra de un metro es esa precisamente. Pero aclaremos esta declaración añadiendo que 1 m. es la longitud de la barra vista desde el marco de reposo de la barra , y llamemos al marco S2 (ver (ver igura !.1". #i la barra yace paralela al eje $ en este marco, la distancia desde el e$tremo A, en x A2 , al e$tremo B en x B2 es es 1 m. %a longitud de la barra en S 2 se se deine entonces como la dierencia entre estos dos n&meros sobre el eje x ' L 2 = = x B2 – x B1
(5-1)
demás, estos dos n&meros permanecerán iguales con el paso del tiempo, t iempo, ya que # ) es el marco de reposo de la barra. #u dierencia L 2 tambi*n tambi*n permanecerá constante en el tiempo. +ora miremos esta misma barra como observadores observadores situados en el marco S 1. ejemos que el marco S 2 se se mueva con velocidad v en una dirección paralela al eje x de S 1. El e$tr e$trem emo o A yace en x A1 en S 1, y el n&mero mero X A 1 está cambiando consta constante ntemen mente te a medid medida a que que se mueve mueve S 1. El n&me n&mero ro x B 1, que marca el otro e$tremo de la barra, tambi*n cambiará con el tiempo. -irando a la barra corno bserv bservado adores res en S 1, de nuevo deinimos la longitud como la dierencia entre ) n&meros que cambian sus e$tremos. L 1 = x B 1 – x A 1
Parece ra/onable requerir que el valor de L 1 sea constante en el tiempo. #in embargo, debemos investigar para ver si esto es posible, ya que los dos n&meros que dan su valor a trav*s de su dierencia están cambiando. #i la longitud de un objeto es cons consta tant nte e en un marc marco o (y en este este caso caso lo es en S 2 ", ", pensamos que la longitud tambi*n debe ser constante observada desde cualquier otro marco. #i esto no uera verdad, el mismo objeto podr0a entonces parecer r0gido a un observador y no r0gido (o elástico" a otro observador que se mueva con respecto al primero. la transormación de %orent/ de valores coordinados coordinados provee la solución al problema de mant manten ener er cons consta tant nte e la long longititud ud de un obje objeto to,, vist visto o desd desde e die diere rent ntes es marc marcos os.. pliquemos pliquemos esta transormación transormación a los dos n&meros en el lado derec+o de la caución (!2". btendremos los siguientes n&meros equivalentes en el marco S 1' x A2 3 4 ( x A1 v t 1 " x B2 3 4 ( x B1 v t 1 "
(5-3) (5-4)
donde donde 4 es el actor actor de %orent/ %orent/ 5ver ecuac ecuació ión n (612"7, (612"7, y t 1 es el instante en que medimos en S 1 la longitud de la barra anotando los valores de las coordenadas de y 8. 9:endremos una sorpresa al sustraer la ecuación (!2" de la ecuación (!6"; %a e$presión para el tiempo se cancela de las e$presiones para la longitud (como dijimos que deb0a ser". E$aminemos lo que nos queda' (5-5) (5-6)
x B-21 - x A2 3 4 ( x B1 x A1 "
% ) 3 4 ( % 1 "
T 2
(5-14) s0, %a dilatación relativista del tiempo es intervalo de tiempo medido entre dos eventos que tienen lugar en un punto en reposo con respecto al observador
intervalode tiempomedidoentre doseventosquetienen lugaren un intervalodetiempomedidoentre puntoen reposocon respectoal T doseventosque tienenlugaren un =T observador 1 2 2 punto en movimientocon respecto -1 β alobservador #eg&n lo cual, un intervalo de tiempo que separa dos eventos sucesivos es mayor en cualquier marco que se mueve con respecto al marco de reposo que en dic+o marco de reposo; Como la &nica orma de que un intervalo de tiempo medido pueda +acerse mayor consiste en renar el reloj usado para medir el intervalo, esta declaración signiica que los relojes en movimiento marc+an más despacio que los estacionarios. Mos encontramos diciendo que, para cada observador, su propio reloj en su propio laboratorio camina más rápido que otros relojes que est*n en movimiento con respecto a *l. Motamos que cada observador puede considerarse a s0 mismo en reposo y a todo lo que se mueve en movimiento con respecto a *l. Este privilegio es establecido para cada observador por el principio de la relatividad especial' cada observador es equivalente a cualquier otro observador. sea 9cada observador tiene derec+o a proclamar que el se encuentra en el centro del universo, y que su marco de reposo es el estacionario en toda la elección; Puede declararlo, pero al mismo tiempo debe reconocer y respetar el derec+o de todo otro observador a +acer lo mismo. #olo de esta manera pueden las personas entenderse entre s0 cuando describen lo que ven en la naturale/a. acen esto por medio de las ecuaciones de transormación de %orent/. Besulta interesante entre nosotros especular a+ora sobre qu* pensamientos podr0a +aber tenido >alileo si +ubiera conocido estas ecuaciones cuando insist0a que la tierra se mov0a alrededor del sol y no lo inverso. Parec0a que el estudio de la naturale/a nos enseña +oy el camino +acia lo más &nica y signiicativa individualidad consiste en reconocer constantemente la completa equivalencia de cualquier otro observador con nosotros mismos aqu0 GequivalenciaH signiica igualdad en un sentido más proundo que el usual. Mo e$pondremos aquellas ecuaciones de transormación inversas de las dadas, pero sugerimos que el lector lo +aga y as0 pruebe lo que acaba de decirse. In ejercido adicional es muy instructivo' usar las inversas de las ecuaciones (! 1" y (! 11" para
mostrar como se asegura uno de que los relojes en dierentes marcos son realmente relojes equivalentes rigurosamente construidos. EJEMPLO 5-2: Ina situación t0pica en que los intervalos de longitud parecen contra0dos y los relojes parecen marc+ar más rápido puede encontrarse en el +a/ de mesones p0 muy rápidos. Estas son las part0culas que producen las uer/as nucleares que mantienen unidos los n&cleos atómicos. En algunos casos estos mesones p0 (o piones" son renados enviándoles a trav*s de una gruesa pared de concreto o +ierro y entonces son detenidos en el otro blanco. qu0 los piones positivos decaerán en otras part0culas ya que son radiactivos. %as part0culas +ijas son muones y neutrones. En casos como *ste, el tiempo en el que el pion se detuvo puede controlarse por medio de un contador colocado justamente antes del <imo blanco. tro contador puede registrar la aparición del muon de decaimiento. < as0 se mide el tiempo de vida del pión en reposo. Cuando se registran muc+os de estos casos, se encuentra que el tiempo de vida medio es ).QR1 seg. En otros casos, los piones rápidos se env0an por un largo corredor lleno de aire o dentro de un tubo al vac0o. -uc+os de ellos decaen a+ora en vuelo. Ino puede medir el n&mero de piones que empie/an la jornada por el corredor y el n&mero que llega al otro e$tremo. %a dierencia es justamente el n&mero que decayó en la ruta mientras se mov0an rápidamente. Mo es raro que tales piones tengan una energ0a total de ) veces su masa en reposo, ósea un actor de %orent/ 4 3 ). %a velocidad del pión puede calcularse partiendo de la deinición del actor de %orent/. Esta velocidad se apro$ima bastante a la de la lu/, c. #i M de tales piones empie/an por un corredor de 1m con esta velocidad, +arán el viaje en 1 mS2.R1 mSseg.3 2.22R1 N seg. si no decaen en el camino. %a ecuación de decaimiento para M, el n&mero de piones que sobreviven el viaje, es N = N 0 exp( −λ t ) = N 0 exp( −t / T )
onde T es la constante de decaimiento y : es la vida promedio. s0, cuando M se calcula a partir de la ra/ón de decaimiento, N = N 0 exp(−(!.! *10
−#
−"
/ 2.0 *10 ))
= N 0 exp(−12.")) = 2.# *10− N 0 parecer0a que menos del .)U de los piones alcan/an el e$tremo del corredor. #in embargo, esto es incorrecto. El actor de %orent/ 4 3 ) debe ser usado para renar el reloj de los piones, y su vida media en vuelo es entonces )R).QR1 o sea !.)R1N seg. N = N 0 exp(−(!.! * 10 −# / $.20 * 10 −" ))
= N 0 exp( −0.%2)) = 0.$2 N 0 o sea, que sobrevive #.. !)U. El mecanismo de tiempo interno de los piones parece marc+ar muc+o más despacio visto desde el laboratorio al e$tremo del corredor. VCómo GapareceH el laboratorio visto desde el piónW Ciertamente, un observador viajando con el pión dir0a que el reloj del pión marc+a normalmente y que su tiempo de
vida medio es de ).QR1 seg. #in embargo, el corredor aparecer0a contra0do por el actor de %orent/ a un veinteavo de su longitud o a sólo !. m. de largo. El viaje, de acuerdo con el pión, tomar0a sólo ! mS2R1 mSseg.3 1.QQR1 seg. El n&mero que alcan/a el e$tremo es entonces N = N 0 exp(−(1. *10
−"
−"
/ 2.0 *10 ))
= N 0 exp(−0.%2)) N = 0.$2 N 0 e modo que el observador en el laboratorio cuenta el mismo n&mero al e$tremo del corredor que un observador viajando con el +a/ de piones. El mismo actor de %orent/ los aecta a ambos, pero en ormas complementarias. 5-3 1NTERPRETACION DEL E#PERIMENTO DE MIC$ELSON--MOR LE% %as transormaciones de %orent/ pueden usarse para mostrar que la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud son consecuencias directas de la invariancia de la velocidad de la lu/ para todos los marcos inerciales que se mueven entre s0 con movimiento traslacional uniorme. Esta declaración, que es el resultado del e$perimento de -ic+elson -orley , se conoce como principio de la relatividad especial. E$aminemos la noción de dilatación del tiempo mediante un ejemplo. Consideremos de nuevo el intererómetro de -ic+elson (igura 6 1" locali/a do como antes en un marco de reerencia # ) unido al intererómetro y por lo tanto a la tierra. En las iguras (!6(a" y !6(b"", el espejo - ) está en reposo con respecto a # ), que se mueve a la velocidad y a velocidad traslacional de la tierra" con respecto a # 1. El marco de reerencia #1 está a la ve/ unido a las estrellas ijas o al G*terH. En el tiempo t 1 3 3 5igura !6(a", # ) coinciden con # 1 y un pulso de lu/ se env0a desde 1 +acia el espejo -), donde será relejado para llegar, despu*s de un intervalo, a ). %lamemos :1 y :) a los tiempos de viaje medidos por los observadores 1 y ) , respectivamente.
F&'* 5-4 Evidentemente (ya que c , la velocidad de la lu/, es invariante", la igura !6(a" muestra que los tiempos de viaje son T 2 =
y
2 L c
(5-15)
T 1 =
O1 A + AO2 c
2
=
2 L
+ (v2 / %)T 12
(5-16)
c
e la ecuación (!1Q" L =
c 2
T 1 1 −
v2 c2
=
c 2
T 2
Xue se simpliica a T 1
=
T 2
(5-1)
1 − (v 2 / c 2 )
el mismo resultado, obtenido por aplicación directa de las transormaciones de %orent/. Consideremos a+ora la noción gemela de la con tracción de la longitud. Cuando # ) coincide con # 1, se env0a un pulso de lu/ desde el origen com&n +acia - 1, que esta a la distancia % 1 seg&n la mide el observador ) %a lu/ es relejada por el espejo - 1 y regresa a ) Como antes, :1 y :) son los tiempos respectivos medidos para el viaje redondo de la lu/ por los observadores 1 y ), respectivamente. +ora bien, para el viaje redondo ) -1 ). T 2 = 2 L2 / c
(5-1!)
+ora, si t1 es el tiempo de viaje de ) a -1 medido por el observador 1, la igura ! !(b" muestra que ct 1
= vt 1 + L1
(5-2")
donde %1 es la distancia de 1 a ), medida desde # 1. #i el tiempo de viaje de - 1 a ) medido por 1 es t), entonces ct 2
= L1 − vt 2
(5-21)
Por lo tanto, en base a las ecuaciones (!)" y (!)1" T 1 = t 1 + t 2
=
L1 c −v
+
L2 c+v
=
1 L1 / c 1 − (v / c ) 2
2
(5-22)
y las ecuaciones (!1 D" y (!))" dan entonces T 1 T 2
=
(2 L1 / c)(1 − (v 2 / c 2 )) 2 L2 / c
1 = L1 2 2 L2 1 − (v / c )
(5-23)
e acuerdo con la dilatación del tiempo T 1 T 2
=
1 − (v 2 / c 2 ) 1
con lo cual la ecuación (!)2" toma la orma 1 1 − (v 2 / c 2 )
=
1 L2 1 − (v 2 / c 2 ) L1
y inalmente tenemos L1
= L2
1−
v2 c
2
que es la órmula para la contracción de la longitud. 5-4 SOLUCIÓN DE EINSTEIN AL CONFLICTO Para un montaje e$perimental como el de -ic+elson-orley (igura 61" se encontró que los tiempos de viaje redondo para la lu/ eran, para el viaje -- 1-. t //
=
2 L / c 1 − (c 2 / v 2 )
(5-
25) y para el viaje -- )t &
=
2 L / c 1 − (c 2 / v 2 )
(5-26)
donde % 3 -- 1 3 --) , la distancia de - a los espejos es - 1 y -) medida por un observador terrestre. Evidentemente, entonces,
Por lo tanto, de acuerdo con el enoque >alileano,
Por otro lado, los resultados e$perimentales dieron la relación
#e sugirió como e$plicación posible para este resultado e$perimental que la invariancia de la velocidad de la lu/ con respecto al movimiento del observador. Como ya +emos visto, esta necesidad de rec+a/ar la composición >alileana o clásica de las velocidades, ue di0cil de aceptar para muc+os 0sicos, ya que era un principio considerado en ese tiempo como un dogma en la 0sica. e los varios intentos reali/ados para no violarlas ideas de la 0sica clásica, >. ?. ?it/gerald propuso una ingeniosa solución. #ugirió que todos los objetos que se mueven a trav*s del *ter e$perimentan una contracción real a lo largo de la dirección de movimiento y que la longitud contra0da, % movimiento está dada por Lmovimiento = L 1 −
v2 c2
donde % 3 % reposo es la longitud del mismo objeto cuando está en reposo con respecto al *ter (el sistema de reerencia # 1 en el e$perimento de -ic+elson-orley". Por lo tanto, si % se rempla/a por % movimiento en la ecuación (!)!", t ll
=
2 2 2 L 1 − (v / c ) / c
1 − (v / c ) 2
2
=
2 L / c 1 − (v / c ) 2
2
y por lo tanto t ll t & , lo que concuerda con el e$perimento. %a contracción no puede ser detectada por el observador ) (el observador terrestre", quien viaja con el objeto, porque su barra de medir tambi*n se contrae en la misma ra/ón. %a solución de Einstein al problema ue rec+a/ar el principio clásico de composición de velocidades y suponer como resultado valido que la velocidad de la lu/ es invariante con respecto al movimiento del observador. Esta conclusión condujo, como ya +emos mostrado antes, a las transormaciones de %orent/ y a la conclusión inmediata de la contracción de longitud y de la dilatación del tiempo. Es importante destacar que la contracción de la longitud no es real sino una contracción en la G%ongitud medidaH, la &nica longitud que puede ser discutida. Mo debemos usar las palabras GobservarH y GverH descuidadamente. El acto de GverH un objeto implica la cantidad inita de tiempo requerida para el transito de la lu/. Y0ctor Zeiss[opR muestra que un objeto muy distante movi*ndose s velocidades relativistas no aparecerá distorsionado en su orma, pero parecerá +aber rotado un poco uera de la posición que ocupaba cuando estaba en reposo. %a solución dada por Einstein +a probado ser válida, y muc+a evidencia e$perimental apoya su teor0a. Por lo tanto, de acuerdo con su interpretación'
1. %as transormaciones >alileanas deben rec+a/arse y considerarse como una apro$imación inválida cuando v/c '1 ). eben considerarse válidas las transormaciones de %orent/ (de acuerdo con los resultados del e$perimento de -ic+elson-orley". 2. El postulado de la e$istencia del G*terH se rec+a/a como innecesario. 6. #e rec+a/an los conceptos de un espacio y un tiempo absolutos. El espacio y el tiempo se consideran dependientes del marco de reerencia o, en otras palabras, son relativos. En 1D! Einstein dio un paso más adelante y estableció el principio especial de la relatividad en la siguiente orma' :odas las leyes de la 0sica deben ser iguales para todos los marcos inerciales que se mueven entre s0 con movimiento (traslacional uniorme (velocidad constante". Mos damos cuenta de que esto implica que las leyes de la dinámica permanecerán invariantes o tendrán la misma orma cuando son reeridas a dierentes marcos inerciales de reerencia. Este principio puede considerarse como el punto de partida de la teor0a especial de la relatividad. emos visto que los metros son más largos y los relojes andan más rápido cuando son vistos desde sus propios marcos de reposo. Estas declaraciones deben ser rectiicadas de dos ormas. En una, serán ampliamente generali/adas y en la otra restringidas severamente. Primero generali/amos estableciendo que los GobservadoresH usados en los varios marcos de reerencia no necesitan ser personas, ni animales u otros seres vivientes. %os eectos que se +an encontrado aqu0 aectan a cualquier objeto en la naturale/a, desde los más grandes +asta los más pequeños. e alguna orma, toda part0cula tiene dentro de s0 la Gbarra para medirH y el GrelojH de los que +emos estado +ablando. :al ve/ la propiedad llamada longitud y la llamada tiempo \ propiedades que decrecen o se dilatan a medida que e$perimentamos el movimiento \ son realmente una propiedad del espacio (o espacio \ tiempo" mismo, en el cual se encuentra toda la naturale/a observable. +ora restrinjamos esta declaración muy severamente. #e +a escogido a # ) para representar en general cualquier marco que se mueve con respecto a # 1 . #iempre se +a supuesto que el vector de velocidad relativa v es constante en la dirección y en el tiempo. %os resultados no se mantienen necesariamente cuando la velocidad está cambiando] en tal caso, no debe +aber aceleración. 9El movimiento debe ser constante y lineal; Esta condición raramente se encuentra, si alguna ve/, en el mundo real. Puede ser casi encontrada en pequeñas regiones del espacio por cortos intervalos de tiempo, as0 que la teor0a solamente constituye una apro$imación. :oma el t0tulo de teor0a restringida o especial de la relatividad. El mundo real contiene desde luego. aceleraciones y trayectorias curvas, y casi en cualquier parte se encuentran uer/as cambiantes. El problema de obtener una sola descripción uniicada del mundo real, con sus muc+as clases de uer/as, sus aceleraciones, y su variedad de part0culas, sigue siendo un problema insoluto a&n +oy. Es el problema que estudia la relatividad general. PRO+LEMAS
5-1 Ina barra r0gida, de 1 m de largo, es medida por dos observadores, uno en reposo con respecto a la barra y el segundo movindose con respecto al primero a lo largo de la longitud de la barra. V qu* velocidad debe moverse el observador para observar la barra contra0da a .DDD m y .! mW 5-2 etermine las dimensiones y orma de una placa de 1m cuadrado que se mueve alejándose de un observador en l0nea recta a lo largo de su base, a la velocidad relativa de . c . Compare el área de la placa cuando está en reposo con el área medida cuando está en movimiento. 5-3 Ina barra de 1 m que se mueve paralelamente a su longitud es medida cuando su velocidad es .D c. Cuál es la longitud de esta barra comparada con su longitud de reposoW 5-4 Ina estación de radar situada en la tierra observa una nave espacial , que viaja a la velocidad de . c , perseguida por una segunda nave 8, situada a 1. m de la primera. y que se despla/a a la velocidad de .D c VCuánto tiempo le lleva a la nave 8 alcan/ar a la nave seg&n el reloj de 8W V#eg&n la estación de radarW 5-5 In p*ndulo GsegunderoH necesita dos segundos para completar un ciclo (1 seg. para oscilar en cada dirección". VCuál será el per0odo de este p*ndulo medido por un observador que viaja a la velocidad de . c W 5-6 VXu* tan rápido tendr0a que viajar una nave para que un intervalo de 1 año medido por un observador en la nave sea de ) años medido por un observador terrestre estacionarioW 5-, In pasajero viaja en un tren que se mueve a la velocidad de .N! c . Cuando el tren pasa rente a la plataorma de una estación, un dependiente levanta un reloj y despu*s lo deja. #i el pasajero observa que el dependiente sostuvo el reloj durante . seg. Vqu* tanto tiempo piensa el dependiente +aberlo sostenidoW 5- %a vida media de un mesón p0 cargado, medida en reposo es de ).QR1 seg. #i la part0cula viaja a la velocidad de .D c con respecto a la tierra, Vcuál será su vida media medida por un observador terrestreW 5-! %a distancia de una estrella dada a la tierra es alrededor de 1 años lu/. #uponiendo que el tiempo de vida de una persona es de N años, Va qu* velocidad debe viajar para llegar a la estrella en su tiempo de vidaW 5-1" In astrónomo coninado a la tierra observa un objeto brillante en el +emiserio septentrional, a ) años lu/ de distancia y apro$imándose a la tierra a la velocidad de . c . #uponga que la tierra es un sistema inercial estacionario y calcule (*) el tiempo requerido para que el objeto alcance la tierra seg&n el astrónomo] () el tiempo seg&n un astrónomo que viaja con el objeto] y (.) la distancia a la tierra seg&n el astrónomo que viaja con el objeto. 5-11 Ina barra r0gida +ace un ángulo J 3 2N^ con respecto al eje $ ) . V qu* velocidad debe moverse la barra paralelamente al eje $ 1 para que pare/can ormar un ángulo J 136!KW 5-12 -uestre que el volumen de un cubo que se mueve a la velocidad y en la dirección paralela a uno de los bordes es
V = V 0 1 −
v
2
c
2
donde Y es el volumen en reposo. 5-13 In astrónomo dispara un láser pulsante, y 1.2 seg. despu*s el pulso llega a la luna situada a una distancia de 2DR1 m. In observador que viaja en la misma dirección del pulso ve los dos eventos (o sea, el disparo y la llegada a la luna" como un solo evento. VCuál es la velocidad de este observadorW
CAPITULO 6 MEC/NICA RELATIVISTA 601 MASA % MOMENTO %os postulados de Einstein sobre la relatividad or/aron a los 0sicos a revaluar sus conceptos de la mecánica. %as e$presiones clásicas para el momento y la energ0a deben a+ora ser rempla/adas con e$presiones relativistas antes de ser convertidas en leyes de conservación del momento y de conservación de la energ0a. En cierto sentido, la acilidad con que las e$presiones relativistas encajan en las leyes de conservación es un tributo a la gran generalidad de estas leyes de la 0sica. e acuerdo con la mecánica clásica, el momento lineal de un cuerpo con masa inercial m y velocidad v se deine por la ecuación p = mv
(6-1)
En el Cap0tulo ) aprendimos que la ley de conservación del momento lineal para un sistema aislado de part0culas se presentó como la ley más undamental de la 0sica. Para un sistema aislado de part0culas m 1, m),. . . mn sobre el cual no act&an uer/as, el sistema evolucionará en el espacio y en el tiempo de tal orma que
∑m v
1 1
1
= m1v1 + m2v2 + ...
= cons tan te
(6-2)
Esta ley de conservación e$presada por la ecuación (Q)" es una consecuencia de la +omogeneidad del espacio en el cual parece estar ubicada toda la naturale/a. Cuando se observa una colisión desde dierentes marcos de reerencia en movimiento, no +ay ra/ón para esperar que el espacio se vuelva s&bitamente no +omog*neo. +ora debemos averiguar cómo se mantiene la ecuación (Q)" bajo tal transormaciones de %orent/, para sistemas coordenados en movimiento. nticipando las complicaciones que pueden aparecer con respecto a la masa cuando se eect&an las transormaciones del %orent/, asignaremos el s0mbolo m a la masa. %a masa m es la masa medida para un cuerpo en reposo en nuestro marco de reerencia y se conoce7 como masa de reposo del cuerpo. Considere dos eseras id*nticas y perectamente j elásticas cada una, con masa de reposo m en un j sistema en movimiento # ) (igura Q1". En este sistema en movimiento #), las eseras y 8 mueven a las velocidades respectivas v A2
= V
(6-
3) v B2
= −V
:ales que las eseras tendrán una colisión de rente. Becordando la ecuación para la transormación de velocidades, la transormación de %orent/ se usa para relacionar estas dos ormas de ver el mismo evento. %a transormación de velocidades de %orent/ muestra que las velocidades de estas dos eseras, vistas por el observador 1, son
(a"
(b"
(c" F&'* 6-1 (a" El observador ) ve dos eseras apro$imarse entre s0 a velocidades iguales, (b" qu0 el observador ) ve dos eseras justamente en e; momento del impacto, en que v A2 = vB 2 = 0 . %as eseras están momentáneamente en reposo, por lo que respecta al observador ). (c" El observador ) verá las eseras rebotar con velocidades iguales pero opuestas.
v A
=
v B1
=
1
onde
β 3
v A
2
+v
1 + β (V / c )
+v
=
V
+v
1 + β ( V / c )
− V + v 1 + β ( V / c ) 1 − β (V / c ) v B2
=
(6-4)
(6-5)
vSc.
#i la suma de las masas vista desde # 1 es -, esta masa total permanecerá constante a trav*s de toda la colisión y cuando c+ocan m A1 v A1
+ m B v B = Mv 1
1
(6-
6) M = m A1
+ m B
1
(6-,)
s0, mientras que el observador ) ve las dos masas instantáneamente en reposo, el observador 1 %as ve movi*ndose juntas a la velocidad v. #e desprende de las ecuaciones (QQ" y (QN" que
−v
m A1 v A1
= M v − v
B1
B1
(6-
)
m A1 ( v B1
− v A = M ( v − v A 1
1
Isando las ecuaciones de transormación (Q6" y (Q!" y simpliicando, la ra/ón de la ecuación (Q" da m A1 m B1
=
1 + β (V / c )
(6-
1 − β (V / c)
!) +ora, de la ecuación (Q6" 1−
2
v A
1
c
2
( v + c)2 =1− 2 2 c [1 + β (V / c ) ]
lo cual puede rearreglarse algebraicamente para dar 1−
v B c
1 − β 2 1 − (V 2 / c 2 )
2
1
2
=
[1 + β (V / c ) ]
%os actores [1 + β (V / c ) ] y [1 − β (V / c ) ] pueden +ora e$traerse de estas e$presiones y sustituirse i la ecuación (QD". Esto nos dará la ra/ón de las 2! masas vistas desde #1 en la orma m A
1
m B
1
(v = 1 − (v 1−
) /c )
2
/ c2
2
2
B1
A1
(6-
1") s0, la masa vista desde un marco de reerencia en movimiento no es m sino que es inversamente proporcional al actor de %orent/ r = 1 / 1 − ( v 2 / c 2 ) . Mote que y es siempre mayor que 1 pero apro$ima a la unidad a medida que la velocidad vuelve muy pequeña comparada con la velocidad de la lu/ c. Esto nos permite escribir la e$presión general m A
1
1−
v A
1
c
2
2
=m
B1
1−
vB
1
c
2
2
= m0
simplemente m = ym0
(6-11)
%a masa de un cuerpo no es, en general, una constante ni la misma para todos los observadores, sino que es una cantidad que
1" epende del marco de reerencia desde el cual es observado el cuerpo, y )" Es menor que o igual a m cuando el cuerpo está en reposo en el marco de reerencia desde el cual el cuerpo es observado. %as propiedades del actor de %orent/ y +acen que la masa se vuelva muy grande y tienda inalmente a ininito, a medida que la velocidad relativa se apro$ima a c. e acuerdo con la órmula de la masa, la e$presión relativista para el momento lineal es p
= mv = ym0v
y la conservación del momento lineal para un sistema aislado es' n
∑
n
mi vi
i =1
= ∑ yi movi = cons tan te
(6-
i =1
13) DEFINICIÓN DE FUERZA unque las leyes de la mecánica clásica no son lo suicientemente universales para incluir eectos relativistas, la orma de la segunda ley de Me_ton, F =
d d t
d
( p ) =
d
(6-14)
(mv )
es generalmente aplicable, incluso a la mecánica relativista. espu*s de dierenciar la ecuación (Q16" toma la orma F = m
dv dt
+
dm
(6-15)
dt
donde m es a+ora igual γ m . 0
Para una uer/a que act&a en la dirección $ positiva, podemos escribir d
( mv x ) = F = dt dt 1 − v x2 / c 2 d
m0v x
ierenciando obtenemos F X
=
m0
dv x
1 − (v 2 x / c 2 )
dt
+
/ c2 )
dvx
(v 2 x / c 2 )]
dt
m0 (v
[1
−
2
x
!/ 2
Xue se simpliica a F X
=
m0
[1
−
dv x
(v x / c ) ] 2
2
!/ 2
dt
(6-15*)
L F x
= γ 2m0 a x
(6-15)
donde a$ es la aceleración observada en el laboratorio. EJEMPLO 6-1' etermine la uer/a relativista que act&a sobre un cuerpo que se mueve con movimiento circular uniorme. #%IC@LM' En este caso, la magnitud de la velocidad permanece constante y F =
dt d
m0
1 − (v / c ) 2
2
v
m0
=
dv
1 − (v / c ) dt 2
2
Mótese que m = m0 / 1 − (c 2 / v 2 ) y dvSdt 3 a B que es la aceleración centr0peta. Por lo tanto, podemos escribir en magnitud F = ma R
=m
v2 R
donde B es el radio del c0rculo. s0, la segunda ley de Me_ton cubre el caso del movimiento circular relativista. 6-3 ENERG1A CINET1CA RELATIVISTA Cuando la velocidad de una part0cula se apro$ima a valores relativistas, la e$presión para la energ0a cin*tica clásica debe ser cambiada a una orma relativista. in de encontrar una e$presión para la energ0a cin*tica relativista, calcularemos el trabajo +ec+o para aumentar la velocidad de una part0cula desde +asta un valor inal v. Para simpliicar el problema, supongamos que la uer/a y el despla/amiento están en la misma dirección. %a energ0a cin*tica, o sea el trabajo neto +ec+o sobre la part0cula, es K =
(6-16)
r
∫ F ⋅ dr 0
Con la ecuación (Q1!a" toma la orma m0
r
K
eY. etermine la velocidad, el momento, y la longitud de onda de estos electrones. (#ugerencia' vea el problema Q6 y resuelva para v usando la e$pansión binomial". () %os electrones son acelerados a trav*s de una distancia de 2.) m (cerca de 2 [ilómetro. VCul será la longitud de la trayectoria de los electrones medida por un observador que se mueve junto con los electrones' 6- etermine la velocidad y el momento de una part0cula de masa de reposo m cuando su energ0a cin*tica es igual a do, veces su energ0a de reposo. 6-! Calcule el trabajo requerido para acelerar un electrón (*) desde el reposo +asta 6. mSseg' () desde el reposo +asta .c] y (.) desde .Dc +asta .DDDc. 6-1" El observador de un laboratorio ve cómo un protón que se mueve a .!c +ace una colisión de rente con un segundo protón, que viaja en dirección opuesta a .Qc. (*) etermine la energ0a cin*tica y el momento del sistema medidos por el observador del laboratorio. () etermine la energ0a cin*tica y el momento del sistema medidos por un observador que se mueve con el primer protón.
6-11 Ina unidad para medir el momento, usada a menudo es 1. mevSc. Encuentre su valor num*rico en unidades -# ([ilogramos por metro sobre segundo". 6-12 Para un protón, determine la energ0a total cuando tiene un momento de (*) ). 8eYSc y (b" 1. -eYSc. 6-13 -uestre que la ra/ón de la energ0a cin*tica relativista ?C 3 (m O m Sc)" a la e$presión apro$imada 3 1S)m v) está dada por S 3 1 ` 2S6 ). 6-14 In protón deja un acelerador lineal con una velocidad de . con respecto al marco del laboratorio y c+oca con un protón 8 en reposo en el mismo marco. (*) calcule el momento y la energ0a cin*tica de los protones en el mismo laboratorio. () Calcule la velocidad del centro de masa (cm" de este sistema en el laboratorio. (.) aga lo, mismo, cálculos que en (a" para el marco cm. 6-15 In protón y un electrón tienen cada uno una energ0a cin*tica de 1. meY. (*) Calcule sus momentos y velocidades siguiendo un enoque clásico. () aga lo mismo con un enoque relativista. (.) VXu* conclusiones obtiene de la comparación de los resultados de ambos cálculosW 6-16 (*) VCuál es la velocidad m0nima que debe tener una part0cula para que su energ0a total pueda escribir como E 3 pc con un error en su energ0a cin*tica no mayor del 1U. () VCuáles son los valores del momento y de la energ0a cin*tica de un protón que se mueve a esta velocidadW 6-1, (*) Calcule la má$ima velocidad que deba tener una part0cula para que su energ0a cin*tica se puede escribir como 31S)mv) con un error no mayor del 1U. () 8ajo estas circunstancias, calcule el momento y la energ0a cin*tica de un electrón. 6-1
En un proceso de decaimiento , tiene lugar la reacción
donde n es un neutrón en reposo, p es un protón y es un antineutrón cuya masa de reposo es cero. Calcule la energ0a cin*tica total de los productos del decaimiento (protón ` electrón ` antineutrino". (#ugerencia' use el principio de conservación de la masaenerg0a". 6-1! (*) empe/ando con la ecuación
= 02
+ p 2c 2 = 0 + K muestre que el
movimiento lineal de una particula se puede escribir como p = (2 0 + K 2 ) / c () Pruebe que esta e$presión se reduce a p 3 m v cuando F (.) Pruebe que la e$presión se reduce a p3 ESc 3 Sc cuando F
6-2" Pruebe que cuando una part0cula se mueve perpendicularmente a un campo magn*tico 8, describirá un c0rculo cuyo radio está dado por 2 R = ( 2 0 K + K / "cB donde q es la carga el*ctrica de la part0cula. 6-21 El momento de un protón que se mueve en una trayectoria circular y perpendicular a un campo magn*tico de 1. : tiene una magnitud constante de ).6R1)) gmSseg. Calcule (*) el radio del c0rculo, y () la energ0a cin*tica del protón. 6-22 In electrón se mueve en una trayectoria circular cuyo radio es .Qm. con velocidad constante y perpendicular a un campo magn*tico de .2: (ZbSm)". En t*rminos de su masa de reposo, encontrar (*) su masa relativista, () su energ0a cin*tica, (.) su energ0a total, () su momento lineal, y () su momento angular. 6-23 -uestre que la densidad de un cubo que se mueve a la velocidad o en una dirección paralela a uno de los bordes es
donde Y es el volumen de reposo y m es la masa de reposo.
T** 601 Besumen esquemático de la teor0a especial de la relatividad
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