Download Física Para Universitarios Volumen II, 3ra Edición - Douglas C. Giancoli...
ISA
PARA
UNIVERSITARIOS
DOUGLAS C. GIANCOLI www.FreeLibros.me
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Constantes fundamentales Velocidad de Ia luz en el vacIo C Constante gravitatoria G NOmero de Avogadro NA Constante de gas R
Constante de Boltzmann k Carga de electrOn e Constante de Stefan-Boltzmann U Permisividad del espacio libre = (1/cp0) Permeabilidad del espacio libre Constante de Planck h Masa en reposo del electrOn me
3.00 X 10 m/s 6.67 >< 10 Nm2/kg2 6.02 >< 1023 moLt
2.99792458 X 108m/s 6.67259(85) X 10 Nm2/kg2 6.0221367(36) x 1023 moL'
8.315 J/mol K = 1.99 cal/molK = 0.082 atm liter/molK 1.38 x 10-23 J/K
8.314510(70) J/molK 1.380658(12) x 10_23 J/K
1.60 x 10'9C
1.60217733(49) >< 10'C 5.67051(19) X 108W/m2K4 8.854187817... )< 10'2C2/Nm 1.2566370614... 3< 106Tm/A
5.67 )< 108W/m2K4 8.85 x 10_12 C2/Nm2
4it x 10 Tm/A 6.63 x 10
Js
6.6260755(40) 3< 10 Js 9.1093897(54) 3< 10 kg = 5.48579903(13) >< i0 u 1.6726231(10) x 10-27 kg = 1.007276470(12) u 1.6749286(10) x 10-27 kg = 1.008664904(14) u 1.6605402(10) x 10-27 kg = 931.49432(28) MeV/c2
9.11 x io' kg = 0.000549 u = 0.511 Me V/c2
Masa en reposo del proton Masa en reposo del neutrOn
1.6726 x 10 kg = 1.00728 u = 938.3 MeV/c2 1.6749 x 10-27 kg = 1.008665 u
Masa atómica unitaria (1 u)
= 939.6 Me V/c2 1.6605 x 10-27 kg = 931.5 Me V/c2
,np
*Revisado en 1993 por B. N. Taylor del National institute of Standards and Technology. Los ndmeros en pardntesis indican una desviaciOn estándar en incertidumbre experimental en los dlgitos finales. Los valores sin pardntesis son exactos (es decir. son c.antidades definidas).
Otros dabs ñtiles
El alfabebo griego
Equivalente en joules (1 cal) Cero absoluto (0 K)
4.186J
Masa
-273.1 5°C 5.97 x 1024 kg 6.38 X iU km 7.35 x 1022 kg
Radio (medio)
1.74 x iO km
Masa
1.99 x 1030 kg
Tierra: Masa Radio (medio) Luna: Sol:
Radio (medio) Distancia Tierra a Sol (medio) Distancia Tierra a Luna (medio)
6.96 >< i0 km 149.6 X 106 km
384 )< i0 km
Alfa Beta Gamma Delta Epsilon
A
a
B
/3
F L
E
£
Zeta Eta Theta Iota Kappa Lambda
Z
N
'j
Nu Xt Omicron
0
o
B
Pt
II P
p
Sigma Tau
T
T
9
Upsilon
Y
u
I K
t
X
x
A
A
Phi Chi Psi
M
p.
Omega
11
H
0
Mu
Valores de algunos nümeros e
= =
3.1415927 2.7182818
\'2 = =
1.4142136 1.7320508
In 2
=
In 10 =
0.6931472 2.3025851
log10e = 0.4342945
1 rad =
57.2957795°
Signos y sImbolos matemáticos es proporcional a es igual a es aproximadamente igual a no es igual a es mayor que es mucho mayor que es menor que es mucho menor que
es menor que o igual a es mayor que o igual a suma de valor promedio de x cambio en x Ar tiende a cero 0!
,o(n-1)(n-2) .. . (1)
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Rho
'I'
&/i
w
Conversiones de unidades (Equivalentes) Tiempo 1 pulg = 2.54 cm 1 cm = 0.394 pulg 1 pie = 30.5 cm 1 m = 39.37 pulg. = 3.28 pie 1 mi = 5280 pie = 1.61 km
1 dIa = 8.64 X 104s
I año = 3.156 X i0 s
1 km = 0.621 mi 1 mulla naOtica (U.S.) = 1.15 mi = 6076 pie = 1.852 km
1 fermi = I fentómetro (fm) = iO' m 1 angstrom (A) = 10-10 m 1 aflo luz (al) = 9.46 x i0' m 1 parsec = 3.26 al = 3.09 x 1016 m
1 unidad de masa atómica (u) = 1.6605 X 10-27 kg 1 kg = 0.0685 slug [1 kg tiene un peso de 2.20 lb donde g = 9.81 ni/s2.]
1 lb = 4.45 N
1 N = io dma = 0.225 lb 1 litro (L) = 1000 mL = 1000 cm3 = 1.0 X i0 m3 = 1.057 quart (U.S.) = 54.6 pulg3 I galOn (U.S.) = 4 qt (U.S.) = 231 pulg3 = 3.78 L = 0.83 gal (Imperial) 1 m3 = 35.31 pie3
I J = 1O ergs = 0.738 pielb 1 pielb = 1.36 J = 1.29 x iO Btu = 3.24 X lO kcal I kcal = 4.18 >< lO J = 3.97 Btu
1eV = 1.602 x 109J
1 kWh = 3.60 x 106 J = 860 kcal
1 mi/h = 1.47 pie/s = 1.609 km/h = 0.447 ni/s 1 km/h = 0.278 m/s = 0.621 mi/h 1 ftls = 0.305 m/s = 0.682 mi/h 1 m/s = 3.28 pie/s = 3.60 km/h 1 knot = 1.151 mi/h = 0.5144 m/s
p 1 W = 1 J/5 = 0.738 pie lb/s = 3.42 Btu/h
I hp = 550 pielb/s = 746W n
i
1 atm = 1.013 bar = 1.013 x i0 N/ni2 = 14.7 lb/pulg2 = 760 torr 1 lb/pulg2 = 6.90 X i0 N/m2 I Pa = I N/m2 = 1.45 X iO lb/pulg2
1 radian (rad) = 57.30° = 57°18' 1° = 0.01745 rad I rev/mm (rpm) = 0.1047 rad/s
Unidades SI derivadas y sus abreviaturas
Multiplicadores métricos Er tér,niros de
Canlidail
Jnidad
Abrevi at u ra
Fuerza EnergIa y trabajo Potencia Presión Frecuencia Carga eléctrica Potencial eléctrico Resistencia eléctrica Capacitancia Campo magnetico Flujo magnético Inductancia
newton joule watt pascal hertz coulomb volt ohm farad tesla weber henry
N J W
Pa Hz C V
F
T Wb H
unidades baset
kgm/s2 kgm2/s2 kgm2/s3 kg/(ms2)
As kgm2/(As3) kgm2/(A2s3) A2s4/(kg m2) kg/(As2) kgm2/(As2) kgm2/(s2A2)
tkg = kilogramo (masa), rn = metro (Iongitud),s = segundo (tiempo),A = amperio (corriente elOctrica).
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exa
peta tera
E P T
10
10° 1012
giga
0
iU
mega kilo hecto deka deci centi
M
106
k
iO
h
102
da d
101
c
10-2
miii
m
micro nano pico femto atto
p.
n
l0 106 i0
p
10-12
f
a
10
10°
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FISICA
para UNIVERSITARIOS
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Volumen II
FISICA para
UNIVERSITARIOS Tercera edición
TRADUCCION: José de Ia Cera Alonso Profesor titular, Departamento de JngenierIa Universidad Autónoma Metropolitana, Plan tel A zcapotzalco
José de Jesus Castro Peña Profesor titular, Area de FIsica Universidad Autónoma Metropolitana, Plantel Azcapotzalco
REVISION TECNICA: Jorge Alberto Lomas Treviflo Profesor del Departamento de FIsica I. T E. S. M. Campus Monterrey
Francisco Rodriguez Abrego Profesor del Departamento de FIsica I. TE.S.M. Campus Monterrey Con Ia colaboraciOn especial de Mauricio Bastien Montoya Coordinador del Area de FIsica Universidad AutOnoma Metropolitana, Plantel Azcapotzalco
Pearson Educación MEXICO ARGENTINA BRASIL COLOMBIA COSTA RICA CHILE ESPAIA GUATEMALA PERU PUERTO RICO VENEZUELA
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Datos de catalogaciOn bibliográfica
GIANCOLI, DOUGLAS C. F'Isica para universitarios PEARSON EDUCACION, Mexico, 2002 ISBN: ISBN: 970-26-0133-9 Area: Universjtarjos Formato: 21 x 27 cm
Páginas: 472
Authorized translation from the English language edition, entitled Physics Volume II. For Scientists & Engineers with Modern Physics,Third Edition by Douglas C. Giancoli, published by Pearson Education Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyrigth © 2000. All rights reserved. ISBN 0-13-021519-8
Traducción autorizada de Ia edicibn en idioma ingles, titulada Physics Volume II. For Scientists & Engineers with Modern Physics, Third Edition, por Douglas C. Giancoli, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE HALL INC., Copyrigth © 2000.Todos los derechos reservados Esta edicibn en espanol es Ia (mica autorizada. Original English language title by Prentice Hall Inc. Copyright © 2000 All rights reserved ISBN 0-13-021519-8
Edición en espaliol Editora: Leticia Gaona Figueroa e-mail:
[email protected] Editor de desarrollo: Jorge Bonilla Talavera Supervisor de producciOn: José D. Hernindez Garduno Edición en inglés Editor-in-Chief: Paul F. Corey Production Editor: Susan Fisher Executive Editor: Alison Reeves Development Editor: David Chelton Director of Marketing: John Tweedale Senior Marketing Manager: Erik Fahlgren Assistant Vice President of Production and Manufacturing: David W. Riccardi Executive Managing Editor: Kathleen Schiaparelli Manufacturing Manager: Trudy Pisciotti Art Manager: Gus Vibal
Director of Creative Servies: Paul Belfanti Advertising and Promotions Manager: Elise Schneider Editor in Chief of Development: Ray Mullaney Project Manager: Elizabeth Kell Photo Research: Mary Teresa Giancoli Photo Research: Administrator Melinda Reo Copy Editor: Jocelyn Phillips Editorial Assistant: Marilyn Coco Cover photo: Onne van der Wal/Young America Composition: Emilcomp srI/Prepare Inc.
TERCERA EDICION, 2002 DR. © 2002 por Pearson EducaciOn de Mexico, S. A. de C. V. Calle 4 No. 25-2do. piso Fracc. Industrial Alce Blanco 53370 Naucalpan de Jubrez Edo. de Mexico
Cbmara Nacional de Ia Industrial Editorial Mexicana. Reg. Nbm. 1031 Prentice-Hall es una marca registrada de Pearson EducaciOn de Mexico, S.A. de C.V.
Reservados todos los derechos. Ni a totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacibn de informaciOn, en ninguna forma ni por ningOn medio, sea electrOnico, mecánico, fotoquImico, magnCtico o electroóptico, por fotocopia, grabacion o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El prCstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también Ia autorizacibn del editor o de sus representantes. ISBN 970-26-0133-9
Pearson
Educación
Impreso en Mexico. Printed in Mexico
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05040302
CONTENIDO, VOLUMEN I
-
CINEMATICA EN I)OS DIMENSIONES; VECTORES
3-1 .1
3-2 3-3 3-4 - 4 3-5 3-6 3-7 3-8
3-9 -.i 3-10 PREFACIO NOTAS A ESTUDIANTES Y PROFESORES SOBRE EL FORMATO
Vectores y escalares Suma de vectores; método 1+4i grafico Resta de vectores . y multiplicación de un vector por un escalar Suma de vectores por componentes F{41itP...t'h 'i!4C Vectores unitarios Cinemática vectorial :--.a, de un proyectil Movimiento ResoluciOn de problemas implican 1iO. que )P.Q1L3 el movimiento de unrj..: proyectilU -J Movimiento circular uniforme Velocidad relativa
.*
RESUMEN 68 PROBLEMAS70
Xvii
45 45 46
48 48 52 53 55
58 63 66
PREGUNTAS 69 PROBLEMAS GENERALES 74
Xxviii
INTRODUCCION, MEDICIONES, 1-1
1-2 1-3
1-4 1-5 1-6 * 1-7
EsTIIv1AcIor'as
1
La naturaleza de la ciencia Modelos,TeorIas y Leyes Medición e incertidumbre; cifras significativas Unidades, Estándares y el Sistema SI Conversion de unidades Orden de magnitud: Estimaciones rápidas Dimensiones y análisis dimensional
2
RESUMEN 13 PROBLEMAS 14
4 6 8 9 12
PREGUNTAS 13 PROBLEMAS GENERALES 15
DEsciuPcION DEL MOVIMIENTO: CINEMATICA EN UNA DIMENSION 16 2-1
2-2 2-3 2-4 2-5
2-6 2-7 * 2-8
Marcos de referencia y desplazamiento Velocidad promedio Velocidad instantánea Aceleración Movimiento bajo aceleración constante Resolución de problemas CaIda de objetos Uso del ci1culo; aceleraciOn variable RESUMEN 38 PROBLEMAS39
2
3
PREGUNTAS 38 PROBLEMAS GENERALES 42
17 18
20 23 26 28 31 36
DINArvEICA: LEYE5 DEL MOVIMEENTO DE NEWTON 4-1 41 4-2 .34 4-3 4-4 4-5 4-6
4-7
Fuerzat': Primera ley de Newton Masa Segunda ley del movimiento de Newton Tercera ley del movimiento de Newton Peso; la fuerza de la gravedad y la fuerza normal Resolución -- de problemas con las leyes -j cuerpo libre de Newton; diagramas de Resolución de problemas. Un enfoque general
4
1
4-8
I.:
77 77 78 79 80 82 85
88
-
RESUMEN 97 PROBLEMAS 98
96 PREGUNTAS 97 )i fl -. GENERALES L PROBLEMAS 103 ,.
VII
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TRABAJO Y ENERGIA 7-1
7-2 7-3 7-4
* 75
Trabajo hecho por una fuerza constante Producto escalar de dos vectores Trabajo hecho por una fuerza variable EnergIa cinética y el principio trabajo-energfa EnergIa cinética a muy alta velocidad RESUMEN 170 PROBLEMAS 171
APLICACIONES ADICIONALES DE LAS LEYES DE NEWTON 5-1
5-2 5-3 * 5-4 * 5-5
Aplicaciones de las leyes de Newton a problemas con fricciOn I... L... Dinámica del movimiento circular ir uniforme -Curvas carreteras, con y sin 'i. inclinaciOn transversal --- Movimiento circular no uniforme Fuerzas depend ientes de la velocidad; .41.4 terminal velocidad RESUMEN £_.'::-'
124 PROBLEMAS 125
6-3
6-4 6-5 6-6 6-7 * 6-8
6-9
164 169
PREGUNTAS 170 PROBLEMAS GENERALES 174
106 114
118 121
IJ
122
CONSERVACION DE LA ENERGIA 176
Ley de Newton de Ia gravitación universal Forma vectorial de la ley de Ia gravitaciOn universal de Newton Gravedad cerca de la superficie de la Tierra; aplicaciones geofIsicas Satélites e "ingravidez" Leyes de Kepler y sintesis de Newton Campo gravitacional Tipos de fuerzas en Ia naturaleza Masa gravitacional versus masa inercial; el principio de equivalencia Gravitación como curvatura del espacio; agujeros negros
133
8-1
133
8-2 8-3
136
8-4
137 139
8-5 8-6
143
146 147 148
149 RESUMEN 150 PREGUNTAS 150 PROBLEMAS 151 PROBLEMAS GENERALES 153
viii
161
PREGUNTAS 124 PROBLEMAS GENERALES 129
DE NEWTON
6-2
156 159
106
GRAVITACION Y SINTESIS 6-1
155
8-7 8-8 * 8-9
Fuerzas conservativas y no conservativas EnergIa potencial EnergIa mecánica y su conservación Resolución de problemas usando la conservaciOn de Ia energIa mecánica La ley de la conservaciOn de Ia energIa ConservaciOn de Ia energIa con fuerzas disipativas: ResoluciOn de problemas Energfa potencial gravitacional y velocidad de escape Potencia Diagramas de energIa potencial; equilibrio estable e inestable RESUMEN 198 PROBLEMAS 200
Contenido
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177 178
182 184 189 190 192 195
197 PREGUNTAS 199 PROBLEMAS GENERALES 204
MOMENTUM* LINEAL Y COLISIONES
206
Momentum lineal y su relaciOn con la fuerza Conservación del momentum lineal 9-2 Colisiones e impulso 9-3 Conservación de la energIa 9-4 y del momentum lineal en las colisiones Colisiones elásticas en una dimension 9-5 Colisiones inelásticas 9-6 Colisiones en dos o tres dimensiones 9-7 Centro de masa (CM) 9-8 Centro de masa y movimiento traslacional 9-9 * 9-10 Sistemas de masa variable; propulsion de cohetes 9-1
RESUMEN 230 PROBLEMAS 231
211
214 214 217 219 221 225
RESUMEN 294 PROBLEMAS 295
227
281
283 285 287 288 290 291 292
PREGUNTAS 294 PROBLEMAS GENERALES 298
240 243 244
246 247
249 250 254 256 260
262 268
PREGUNTAS 269 PROBLEMAS GENERALES 276
EQUILIBRIO ESTATICO;
ELASTICIDAD y ncrii& 12-1
F
279 280
239
Cantidades angulares Ecuaciones cinemáticas para movimiento rotacional uniformemente acelerado 10-3 Rodamiento (sin resbalamiento) 10-4 Naturaleza vectorial de las cantidades angulares 10-5 Torca 10-6 Dinámica rotacional; torca e inercia rotacional 10-7 Resolución de problemas en dinámica rotacional 10-8 Determinación de momentos de inercia 10-9 Momentum angular y su conservación 10-10 EnergIa cinética rotacional 10-11 Movimiento rotacional más traslacional; rodamiento * 10-12 ,Por qué se detiene una esfera rodante? 10-1 10-2
,r
206 208
Producto cruz vectorial El vector torca Momentum angular de una partIcula Momentum angular y torca para un sistema de partIculas 11-5 Momentum angular y torca para un cuerpo rIgido * 11-6 Desbalanceo rotacional 11-7 ConservaciOn del momentum angular * 11-8 El trompo giratorio * 11-9 Marcos de referencia rotacionales; fuerzas de inercia * 11-10 El efecto Coriolis 11-1 11-2 11-3 11-4
PREGUNTAS 230 PROBLEMAS GENERALES 236
MOVIMIENTO ROTACIONAL ALREDEDOR DE UN EJE FIJo
RESUMEN 268 PROBLEMAS 270
279
ROTACION GENERAL
12-2 12-3 12-4 12-5
12-6 * 12-7 * 12-8
Estática; el estudio de fuerzas en equilibrio Las condiciones de equilibrio Resolución de problemas de estática Estabilidad y equilibrio Elasticidad y módulos elásticos; esfuerzo y deformaciOn unitaria Fractura Armaduras y puentes Arcos y cOpulas (domos) RESUMEN 321 PROBLEMAS 322
300 301 303 308 309 312 315 319
PREGUNTAS 321 PROBLEMAS GENERALES 328
Contenido
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300
ix
332
FLUIDoS Densidad y peso especIfico Presión en fluidos Presión atmosférica y presión manométrica 13-4 Principio de Pascal 13-5 MediciOn de la presiOn; manómetros y el barómetro 13-6 FlotaciOn y el principio de Arqufmedes 13-7 Fluidos en movimiento; razón de flujo y la ecuación de continuidad 13-8 Ecuación de Bernoulli 13-9 Aplicaciones del principio de Bernoulli: de Torricelli a botes de vela, perfiles de alas, y AlT (ataque isquémico transitorio) * 13-10 Viscosidad * 13-11 Flujo en tubos: ecuación de Poiseuille * 13-12 Tension superficial y capilaridad * 13-13 Bombas y el corazón 13-1 13-2 13-3
RESUMEN 354 PROBLEMAS 356
332 333 337 337
338 340 343 345
347 350 351 351 353
PREGUNTAS 354 PROBLEMAS GENERALES 360
MOVIMIIENTO ONDULATO1UO Caracterfsticas del movimiento ondulatorio 15-2 Tipos de ondas 15-3 EnergIa transportada por ondas 15-4 Representación matemática de una onda viajera * 15-5 La ecuación de onda 15-6 El principio de superposiciOn 15-7 ReflexiOn y transmisión 15-8 Interferencia 15-9 Ondas estacionarias. Resonancia * 15-10 Refracción * 15-11 DifracciOn 15-1
RESUMEN 410 PROBLEMAS 412
362
OscILAcIoNEs 14-1 14-2 14-3 14-4
14-5 * 14-6
14-7 14-8
Oscilaciones de un resorte Movimiento armOnico simple (MAS) EnergIa en el oscilador armOnico simple Movimiento armOnico simple relacionado con el movimiento circular uniforme El péndulo simple El péndulo fIsico y el péndulo de torsion Movimiento armónico amortiguado Vibraciones forzadas; resonancia RESUMEN 380 PROBLEMAS 381
x
:' PREGUNTAS 381
363 364 369 371 371 373 374 378
16-3 16-4 * 16-5 16-6 If 16-7 * 16-8 * 16-9
PROBLEMAS GENERALES 386
Contenido
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396 399 401 402 404 -,4_ 4405 r 408 410
417
CaracterIsticas del sonido Representación matemática de ondas longitudinales Intensidad del sonido; decibeles Fuentes del sonido: cuerdas vibrantes y columnas de aire Calidad del sonido y ruido Interferencia de las ondas de sonido; pulsos El efecto Doppler Ondas de choque y el estampido sónico Aplicaciones; sonar, ultrasonido, y formaciOn de imagenes por ultrasonido RESUMEN 438 PROBLEMAS 439
389 391 395
PREGUNTAS 411 PROBLEMAS -rL GENERALES 415
S0ND0 16-1 16-2
388
417 419 420 424 429 429 432 435 437
PREGUNTAS 438 PROBLEMAS GENERALES 443
CALOR Y LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA
485
Calor como transferencia de energIa EnergIa interna Calor especufico Calorimetria. Resolución de problemas Calor latente La primera ley de la termodinámica Aplicación de la primera ley de la termodinámica; cálculo del trabajo 19-8 Calores especificos molares para gases y la equiparticiOn de energIa 19-9 ExpansiOn adiabática de un gas 19-10 Transferencia de calor: conducción, convecciOn, radiación
485 487 488 489 490 493
19-1 19-2 19-3 19-4 19-5 19-6 19-7
TEMPERATURA, EXPANSION TERMICA Y LEY DEL GAS IDEAL 17-1
TeorIa atómica de la materia
-1,I-i rcfl.-r jr.'i: ii
446 4 447
f_. Temperatura y termómetros 17-2
Equilibrio térmico y la ley cero de la termodinámica t. Expansion térmica 17-4 I 1wii;:ø * 17-5 Esfuerzos térmicos Ii Lc, Las los gases y Ia temperatura 17-6 L,a leyes de absoluta 17-7 La ley del gas ideal i 41i con la t ley 17-8 Resolución de problemas del gas ideal 'L términos t..Tfr 17-9 Ley de un gas ideal en de moléculas; nümero de Avogadro * 17-10 Escala de temperatura de un gas ideal; un estándar 17-3
I ifL'
i
RESUMEN 461 PROBLEMAS 462
445
454 t. 456 457 459 460
PREGUNTAS 461 PROBLEMAS GENERALES 464
TEORIA CINETICA DE LOS GASES 466 18-1 18-2 18-3 * 18-4 * 18-5 * 18-6 * 18-7
La ley del gas ideal y la interpretaciOn 466 molecular de la temperatura Distribución de las velocidades moleculares 470 473 Gases reales y cambios de fase 474 Presión del vapor y la humedad 477 Ecuación de estado de van der Waals 478 Trayectoria libre media 479 Difusión RESUMEN 481 PROBLEMAS 482
RESUMEN 508 PROBLEMAS 510
449 450 S.. 454
498 502
503 PREGUNTAS 509 PROBLEMAS GENERALES 514
SEGUN1A LEY DE LA
516
TERMODINAMICA La segunda ley de la termodinámica. IntroducciOn 20-2 Máquinas térmicas 20-3 Procesos reversibles e irreversibles. Máquina de Carnot 20-4 Refrigeradores, acondicionadores de aire y bombas de calor , 20-5 EntropIa EntropIa y la segunda 20-6 ':-jiiJi' ley c-.. de Ia termodinámica 1L 20-7 De orden a desorden Disponibilidad de energIa; 20-8 '&muerte térmica * 20-9 InterpretaciOn estadIstica de la entropla y Ia segunda ley * 20-10 ?-Tj Escala termodinámica de la temperatura; 1: la H - cero absoluto, y la tercera ley de termodinámica 20-1
516 517
b
520
-
525 528
(1L1 ijk
529 533
Ii1idJ':i i
534 535
rizth1.
iw-.;
ç 539
RESUMEN PROBLEMAS 540
r 3'
537
PREGUNTAS 539 PROBLEMAS GENERALES 543
PREGUNTAS 481
PROBLEMAS GENE RALES 484
495
APENDICES
A-i
Formulas matemáticas Derivadas e integrales Fuerza gravitatoria debido a una distribución esférica de la masa Isótopos seleccionados RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES INDICE CREDITOS DE LAS FOTOGRAFuAS
A-4 A-6 A-9
A-14 A-25 A-39 Contenido
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xi
CONTENIDO DEL VOLUMEN II POTENCIAL ELECTRICO 23-1
23-2 23-3
23-4 23-5 23-6 23-7 23-8 * 23-9
CARGA ELECTRICA Y CAMPO ELECTRICO
Potencial eléctrico y diferencia de potencial RelaciOn entre el potencial eléctrico y el campo eléctrico Potencial eléctrico debido a cargas puntuales Potencial debido a cualquier distribución de cargas Superficies equipotenciales Dipolos eléctricos DeterminaciOn de E a partir de V EnergIa potencial electrostática; el electron volt Tubo de rayos catOdicos: monitores de TV y computadoras, osciloscopios 607 PROBLEMAS 608
RESUMEN
545
Electricidad estática; carga eléctrica y su conservación 21-2 Carga eléctrica en el átomo 21-3 Aisladores y conductores 21-4 Carga inducida; el electroscopio 21-5 Ley de Coulomb 21-6 El campo eléctrico 21-7 Cálculo del campo eléctrico para distribuciones continuas de carga 21-8 LIneas de campo 21-9 Campos eléctricos y conductores 21-10 Movimiento de una partIcula con carga en un campo eléctrico 21-11 Dipolos eléctricos
591 591
595 597
599 600 601 602 603
605 PREGUNTAS 607 PROBLEMAS GENERALES 611
21-1
RESUMEN 567 PROBLEMAS 569
558 561 562 564 565
PREGUNTAS 568 PROBLEMAS GENERALES 572
LEY DE GAUSS 22-1 22-2 22-3 * 22-4
546 547 547 548 549 554
CAPACITANCIA, DIELECTRICOS, ALMACENAMIENTO DE ENERGIA ELECTRICA 613
575
Flujo eléctrico Ley de Gauss Aplicaciones de Ia ley de Gauss Base experimental de la ley de Gauss y Ia ley de Coulomb
576 578 580
586
RESUMEN 586 PREGUNTAS 587 PROBLEMAS 587 PROBLEMAS GENERALES 590
24-1 24-2 24-3 24-4 24-5 * 24-6
Capacitores Determinación de Ia capacitancia Capacitores en serie y en paralelo Almacenamiento de energIa eléctrica Dieléctricos Descripción molecular de los dieléctricos RESUMEN 627 PROBLEMAS 628
xii Contenido
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613 614 617 620 621
624
PREGUNTAS 627 PROBLEMAS GENERALES 631
CORRIENTE ELECTRICA Y RESISTENCIA La baterIa eléctrica Corriente eléctrica Ley de Ohm: resistencia y resistores Resistividad Potencia eléctrica Potencia en los circuitos residenciales Corriente alterna 25-8 An1isis microscópico de Ia corriente eléctrica: densidad de corriente y velocidad de deriva * 25-9 Superconductividad 25-10 Riesgos de Ia corriente eléctrica; corrientes de fuga 25-1 25-2 25-3 25-4 25-S 25-6 25-7
RESUMEN 653 PROBLEMAS 654
634
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635 636 638 640 642 644 645
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647 650
MAGNETISMO
651
PREGUNTAS 653 PROBLEMAS GENERALES 656
--
i--
27-1 27-2
27-3
27-4 27-5 * 27-6
27-7 * 27-8 * 27-9
686
Imanes y campos magnéticos Las corrientes eléctricas producen magnetismo Fuerza de una corriente eléctrica en un campo magnético; definición de B Fuerza en una carga eléctrica que se mueve en un campo magnético Par en una bobina de corriente; momento de un dipolo magnético Aplicaciones: galvanómetros, motores y bocinas Descubrimiento y propiedades del electron Efecto Hall EspectrOmetro de masa RESUMEN 702 PROBLEMAS 704
686 689 689
692 695
697 699 701 702
PREGUNTAS 703 PROBLEMAS GENERALES 707
FUENTES DE CAMPO MAGNETICO 709 Campo magnético debido a un alambre recto 28-2 Fuerza entre dos alambres paralelos 28-3 Definiciones operacionales de Ampere y Coulomb 28-4 Ley de Ampere 28-5 Campo magnético en un solenoide y en un toroide 28-6 Ley de Biot-Savart * 28-7 Materiales magnéticos; ferromagnetismo * 28-8 Electrojmanes y solenoides * 28-9 Campos magnéticos en materiales magnéticos; histéresis * 28-10 Paramagnetismo y diamagnetismo 28-1
CIRcuITos DE CD 26-1
26-2 26-3 26-4 * 26-5 * 26-6
FEM y voltaje en las terminales de una baterIa Resistores en serie y en paralelo Leyes de Kirchhoff Circuitos que contienen resistores y capacitores (circuitos RC) AmperImetros y voltimetros de CD Transductores y termopares RESUMEN 678 PROBLEMAS 679
658 659 660 664 669 674 676
PREGUNTAS 678 PROBLEMAS GENERALES 683
RESUMEN 727 PROBLEMAS 728
710 710 712 712 716 719 722 723
724 725
PREGUNTAS 727 PROBLEMAS GENERA LES 732
Contenido
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xiii
INDUCCION ELECTROMAGNETICA
YLEYDEFARADAY
734
734 FEM inducida Ley de inducción de Faraday; ley de Lenz 736 739 FEM inducida en un conductor mOvil 740 Generadores eléctricos * 29-5 Fuerza contraelectromotriz y contrapar; 742 corrientes parásitas 29-6 Transformadores y transmisión de energIa 744 29-7 Un flujo magnético variable produce 747 un campo eléctrico * 29-8 Aplicaciones de la inducción: sistemas de sonido, memorias para computadoras 749 sismografos 29-1
29-2 29-3 29-4
RESUMEN 750 PROBLEMAS 751
Cmcuiros DE CA
PREGUNTAS 750 PROBLEMAS GENERALES 754
31-1 31-2 31-3 Espiras de alambre (en los que se induce Ia corriente) Polo norte
Polo snr
Corriente de entrada
Anillos colectores
Corriente de salida (inducida)
I
31-4 31-5 31-6 * 31-7 * 31-8
772 Introducción: circuitos de CA Circuitos de CA que sOlo contienen 773 resistencia R Circuitos de CA que solamente contienen 773 inductancia L Circuitos de CA que solamente contienen 774 capacitancia C 776 Circuito de CA tipo LRC en serie 780 Resonancia en los circuitos de CA 781 Acoplamiento de impedancias 782 CA trifásica RESUMEN 783 PROBLEMAS 784
//
Bobina
772
PREGUNTAS 783 PROBLEMAS GENERALES 785
Giros
Rotor
EcuAcIoNEs DE MAXWELL
Conjunto estator
Y ONDAS ELECTROMAGNETICAS 787 32-1
INDUCTANCIA Y OSCILACIONES ELECTROMAGNETICAS 30-1 30-2 30-3 30-4 30-5 30-6
756 Incluctancia mutua 758 Inductancia propia o autoinductancia EnergIa almacenada en un campo magnético 760 762 Circuitos LR Circuitos LC y oscilaciones 764 electromagnéticas Oscilaciones con resistencia 766 (circuito RLC) RESUMEN 767 PROBLEMAS 768
xiv
756
Contenido
32-2 32-3 32-4 32-5
32-6 32-7 * 32-8 * 32-9
PREGUNTAS 768 PROBLEMAS GENERALES 770
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Campos eléctricos variables producen campos magnéticos; ley de Ampere y corriente de desplazamiento Ley de Gauss para el magnetismo Ecuaciones de Maxwell Producción de ondas electromagnéticas Ondas electromagnéticas, y su rapidez, a partir de las ecuaciones de Maxwell La luz como onda electromagnética y el espectro electromagnético EnergIa en las ondas EM; el vector Poynting PresiOn de Ia radiación Radio y television RESUMEN 806 PROBLEMAS 807
788 791 792 792 794 798 800 802 803
PREGUNTAS 807 PROBLEMAS GENERALES 809
ç,ta.t dw 4'n.t l.'.er rntwr
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DE LA LUZ, INTERFERENCIA
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NATUIRALEZA ONDULATORIA
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3a is at the near point N of the ey eye. Then the object disranu
4.1.
Li (*4 Si be
35-1 35-2 35-3
35-4 35-5 35-6 * 35-7 * 35-8
867 Principio de Huygens y difracción Principio de Huygens y la ley de refracción 867 Interferencia; experimento de Young 870 de la doble ranura 873 Coherencia Intensidad en el patron de interferencia 874 por doble ranura 877 Interferencia en pelIculas delgadas 881 Interferómetro de Michelson 882 Intensidad luminosa RESUMEN 883 PROBLEMAS 884
I" Ft. 24 of ,
866
PREGUNTAS 883 PROBLEMAS GENERALES 885
Luz: REFLEXION Y REFRACCION 33-1 33-2
El modelo de rayo de luz La velocidad de la iuz y el Indice
33-3
Reflexión; formaciOn de imágenes mediante un espejo piano Formación de imágenes mediante espejos esféricos RefracciOn; ley de Snell Espectro visible y dispersion ReflexiOn total interna; fibras Opticas Refracción en una superficie esférica
33-4 33-5 33-6 33-7 * 33-8
de ref racciOn
RESUMEN 830 PROBLEMAS 832
Lentes delgadas; trazado de rayos La ecuaciOn de las lentes Combinación de lentes 34-4 Ecuación del fabricante de lentes 34-5 Cámaras 34-6 El ojo humano; lentes correctivas 34-7 Lente de aumento 34-8 Telescopios 34-9 Microscopio compuesto * 34-10 Aberraciones de lentes y espejos RESUMEN 860 PROBLEMAS 861
811 811
812 816 822 824 826 828
PREGUNTAS 831 PROBLEMAS GENERALES 835
LENTES E INSTRUMENTOS OPTICOS 34-1 34-2 34-3
810
DWRAccION Y POLAREZACION 36-1 36-2 * 36-3
836 837 840 843 845 848 850 853 854 856 858
PREGUNTAS 860 PROBLEMAS GENERALES 864
36-4 36-5
887
888 Difracción por una sola ranura Intensidad en el patrOn de difracción de una sola ranura 890 DifracciOn en el experimento de doble 893 ranura LImites de resoluciOn; aberturas circulares 896 Resolución de telescopios y microscopios;
898
el lImite A
Resolución del ojo humano y el aumento (itil 36-7 Rejillas de difracción * 36-8 El espectrOmetro y espectroscopIa * 36-9 Anchos de picos y potencia resolutiva de una rejilla de difracciOn * 36-10 Rayos X y difracciOn de rayos X 36-11 Polarización * 36-12 Dispersion de la luz por la atmósfera * 36-6
RESUMEN 911 PROBLEMAS 913
901
903 905 907 911
PREGUNTAS 912 PROBLEMAS GENERALES 915
Contenido
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899 900
xv
APENDICES A A-i
TEORTA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
916
917 Relatividad galileana-newtoniana 919 El experimento de MichelsonMorley Postulados de la teorIa de Ia relatividad 922 especial 924 37-4 Simultaneidad 37-5 Dilatación del tiempo y la paradoja 926 de los gemelos 930 37-6 Contracción de la longitud 932 37-7 Espaciotiempo en cuatro dimensiones 37-8 Transformaciones de Galileo y de Lorentz 932 936 37-9 Masa y momento lineal relativIsticos 938 37-10 La velocidad lImite c 938 37-11 EnergIa y masa; E = mc2 942 37-12 Corrimiento Doppler para Ia luz 943 37-13 El impacto de la relatividad especial
37-1 * 37-2 37-3
RESUMEN 944 PROBLEMAS 945
xvi
FORMULAS MATEMATICAS
Ai Ai Ai Ai Ai
A-2 A-3 A-4 A-5 A-6 A-7 A-8
FOrmula cuadrática Desarrollo binomial Otros desarrollos Areas y volOmenes GeometrIa plaria Funciones e identidades trigonométricas Logaritmos Vectores
B
DERWADAS E INTEGRALES
A-5
C
FUERZA GRAVITATORLA DEBIDO A UNA DISTRIBUCION ESFERICA DE LA MASA
A-7
D
ISOTOPOS SELECCIONADOS
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
INDICE CREDITOS DE FOTOGRAFI AS
PREGUNTAS 944 PROBLEMAS GENERALES 947
Contenido
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A-2 A-2 A-3 A-3
Ail
Ai7 A-23 A-33
PREFACIO
Una tercera edición Han pasado más de diez años desde que se publicó Ia segunda ediciOn de este texto de fIsica basado en el cálculo. Mucho ha cambiado desde entonces, tanto en Ia fIsica misma como en su presentación. Los autores de este texto han investigado el proceso de enseñanza-aprendizaje, lo que les permite ayudar a los estudiantes para que aprendan fIsica y aprenderla bien.
Este libro mantiene el enfoque original: un estudio profundo de Ia fIsica, en concreto y sin dogmas, de fácil comprensiOn. Esta nueva tercera edición presenta muchas mejoras en Ia fIsica y sus aplicaciories.
Antes de analizar detalladamente estos cambios, presentamos una lista de varios cambios globales que atraerán su atenciOn en forma inmediata. Es importante indicar que el uso de diagramas en dos colores permite presentar Ia fIsica con
mayor claridad. Quiero recalcar que el uso de dos colores se usa pedagogicamente para preseritar a Ia fIsica con mayor claridad. Por ejemplo, tipos diferentes de vectores reciben diferentes colores.
Muchos más diagramas, casi el doble del nOmero en ediciones previas, se han elaborado nuevamente; hay muchas más gráficas y fotografIas por todo el texto. Vea por ejemplo Ia parte sobre óptica, donde nuevas fotograffas muestran lentes y las imágenes que ellas forman.
Notas al margen se han agregado como ayuda a los estudiantes para (i) senalar lo que es verdaderamente importante, (ii) servir como una especie de compendio, y (iii) ayudar a encontrar detalles acerca de algo mencionado después, que no pueda ser recordado fci1mente. Además de tales notas al margen "normales", se tienen también notas al margen que señalan breves sugerencias para Ia resolución de problemas y otras que señalan interesantes aplicaciones.
Las grandes Ieyes de Ia fisica son recalcadas dndoles una nota marginal en letras mayOsculas y encerrándolas en Un rectángulo. Las ecuaciones más importantes, especialmente aquellas que expresan las grandes Ieyes, se recalcan con una pantalla.
Las fotograflas de inicio de capItulo fueron seleccionadas para ilustrar aspectos de cada capI-
tub. Cada fotografIa fue escogida con Ia idea de escribir un pequeno encabezado que
sirviera como un tipo de resumen de bo que contiene ese capItulo, y a veces para ofrecer un reto. Algunas fotograflas de inicio de capItulo tienen vectores u otros análisis superpuestos en ellas.
Formato de las páginas: deri'aciones completas. Se presto mucha atenciOn al formato de cada página, especialmente a las vueltas de página. Gran esfuerzo se ha hecho en mantener las derivaciories y argumentos importantes en páginas frontales. Los estudiantes no tienen que voltear paginas para hacer verificaciones. Los lectores yen repetidamente frente a ellos, sobre dos páginas frontales, un importante aspecto de Ia fIsica.
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Nueva fIsica La idea detrás de una nueva edición es mejorar, presentar material nuevo y cancelar aquel material verboso que sOlo hace at libro ms largo o tat vez demasiado avanzado y no tan Otil. A continuaciOn damos un breve resumen de algunos de los cambios implIcitos en Ia propia fIsica. Estas listas son selecciones, no listas completas.
Nuevos descubrimientos: planetas girando a]rededor de estrellas distantes Telescopio espacial Hubble actualiza el tema de fIsica de partIculas y cosmologIa, con ejemplos como inflaciOn y Ia edad del universo
Temas agregados de Ia nueva fIsica: nuevo tratamiento de cOmo hacer estimaciones (capItulo 1), incluidos nuevos ejemplos de estimaciOn (en el capItulo 1, estimaciOn del volumen de un lago, y del radio de Ia Tierra) simetrIa usada mOs ampliamente, incluida en Ia resoluciOn de problemas nuevas tablas que ilustran amplios intervalos de longitudes, tiempos, masas, voltajes gravitaciOn como curvatura del espacio, y agujeros negros (capItulo 6) eficiencia de maquinas (capItulos 8 y 20) rodaniiento con y sin deshzamiento, y otros detatles Otiles del movimiento rotatorio (capItulo 10) fuerzas en estructuras, incluidas armaduras, puentes, arcos y ciipulas (capItulo 12) onda cuadrada (capItulo 15) uso de Ia distribuciOn de Maxwell (capItulo 18) ciclo de Otto (capItulo 20) cálculo estadIstico del cambio de entropIa en expansion libre (capItulo 20) efectos de dieléctricos en capacitores conectados y no conectados (capItulo 24) conexión a tierra para evitar accidentes eléctricos (capItulo 25) ca (corriente alterna) trifOsica (capitulo 31) igual energIa en E y B de una onda electromagnética (capItulo 32) presiOn de Ia radiaciOn, onda electromagnética (capItulo 32) fotografIas de lentes y espejos con sus imOgenes (capItulo 33) directrices detalladas para el trazado de rayos con espejos y lentes (capItulos 33 y 34) combinaciones de lentes (capItulo 34)
FIsica moderna. Varios temas de fIsica moderna son vistos en el marco de Ia fIsica clOsica. He aqul algunos: gravitación como curvatura del espacio, y agujeros negros (capItulo 6) planetas girando alrededor de estrellas lejanas (capItulo 6) energIa cinética a veLocidades relativistas (capItulo 7) colisiones nucleares (capItulo 9) colapso estelar (capItulo 10) corrimiento Doppler a! rojo de galaxias (capItulo 16) teorIa de Otomos (capItu!os 17, 18 y 21) teorIa atOmica de Ia expansion térmica (capItulo 17) masa del átomo de hidrOgeno (capItulo 17) átomos y moléculas en gases (capItulos 17 y 18) velocidades moleculares (capItulo 18) equiparticiOn de La energIa; calores especIficos molares (capItulo 19) tamaOo de las estrellas (capItulo 19) dipolos moleculares (capItulos 21 y 23) tubo de rayos catOdicos (capItulos 23 y 27) electrones en un alambre (capItulo 25) superconductividad (capItulo 25) descubrimiento y propiedades del electrOn, elm, experimento de Ia gota de aceite (capItulo 27) efecto Hall (capItulo 27) momento magnético de los electrones (capItulo 27)
xviii Prefacio
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espectrOmetro de masa (capItulo 27) selector de velocidades (capItulo 27) espIn del electron en materiales magnéticos (capItulo 28) luz y emisión de ondas electromagnéticas (capItulo 32) espectroscopIa (capItulo 36)
Muchos otros ejemplos de fIsica moderna se encuentran como Problemas, aun en los primeros capItulos. El capItulo 37 contiene los temas de fIsica moderna sobre relatividad especial.
FIsica revisada y reorganizaciones. Antes que nada, se ha hecho un gran esfuerzo en no presentar todo a los estudiantes en los primeros capItulos. Los temas básicos tienen que ser aprendidos primero; muchos otros aspectos pueden venir después, cuando los estudiantes estén ms preparados. Una gran parte de este libro se ha reescrito para hacerlo más claro y
entendible a los estudiantes. Más claro no siempre significa más simple o más Mcil. A veces, hacerlo más "fácil" en realidad lo hace más difIcil de entender. A menudo, un poco más de detalle, sin que resulte verboso, puede volver más clara una explicaciOn. Se indican a continuaciOn algunos de los cambios, grandes y pequefios, que se han introducido: graficas y diagramas nuevos para explicar los conceptos de velocidad y aceleraciOn; se analiza con sumo cuidado en desaceleración. conversiOn de unidades ahora en una nueva sección en el capItulo 1, para no interrumpir Ia cinemática. movimiento circular: el capItulo 3 da ahora sOlo lo básico, con un tratamiento más complicado posteriormente: movimiento circular no uniforme en el capItulo 5 y variables angulares en el capItulo 10.
Ia segunda ley de Newton Se escribe ahora siempre como ma = F, para enfatizar Ia inclusiOn de todas las fuerzas que acti.ian sobre un cuerpo. Ia tercera ley de Newton sigue directamente a Ia segunda, con los marcos de referencia inerciales tratados previamente. Nuevos análisis cuidadosos para evitar confusiones al usar Ia tercera ley de Newton. reescritura cuidadosa de los capItulos sobre Trabajo y EnergIa, especialmente energIa potencial, fuerzas conservativas y no conservativas, asI como Ia conservaciOn de Ia energIa. énfasis renovado en que T = ía no es siempre válida: sOlo para un eje fijo en un marco inercial 0 51 el eje pasa por el CM (capftulos 10 y 11). rodamiento introducido temprano en el capItulo 10, con más detalles posteriormente, incluyendo rodamiento con y sin deslizamiento. marcos de referencia rotatorios y Coriolis, se cambiaron al capItulo 11, se incluye Ia explicaciOn de porqué un objeto no cae en forma recta hacia Ia Tierra. fluidos, reducidos a un solo capItulo (13); algunos temas y detalles cancelados o muy acortados. detalles mOs claros sobre cOmo es que un objeto flota (capItulo 13). distinciOn entre interferencia de ondas en el espacio y en el tiempo (pulsos) (capItulo 16). termodinámica reducida a cuatro capItulos; los capitulos anteriores sobre Calor y Ia Primera Ley de Ia Termodinámica se han combinado en uno solo (19), con algunos temas acortados y una secuencia más racional de los temas. Ia transferencia de calor sigue ahora a Ia primera Icy de Ia termodinámlca (capitulo 19). el potencial eléctrico se reescribiO para darle mayor exactitud (capItulo 23). CRT, monitores de computadora, TV, que se trataron en Ia ediciOn anterior (capItulo 23). uso de Qr e Toer para las leyes de Gauss y Ampere, en que los subIndices significan "cerrado". Icy de Ohm y definiciOn de resistencia se reescribieron con sumo cuidado (capItulo 25).
fuentes de campo magnético, capItulo 28, reorganizado para un más fácil entendimiento, con algOn nuevo material y cancelación del tema avanzado sobre vector de magnetizaciOn. circuitos con L, C yb R presentados ahora en Ia regla de circuitos de Kirchhoff y aclarados también de otras maneras (capItulos 30 y 31). mejor presentaciOn de las ecuaciones de Maxwell, dndole menor importancia a Ia corriente de desplazamiento (capItulo 32). Optica reducida a cuatro capItulos; Ia polarizaciOn se presenta ahora en el mismo capItulo que Ia difracciOn.
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Nueva nedagogIa Todas las revisiones que se mencionaron con anterioridad, las secciones reescritas y las reorganizaciones, pretenden ayudar a los estudiantes a aprender mejor Ia fIsica. Fueron hechas en respuest.a a investigaciones contemporáneas acerca de cómo aprenden los estudiantes, asI como a generosos comentarios de profesores que leyeron, revisaron o usaron las ediciones previas. Esta nueva ediciOn también contiene nuevos elementos, especialmente un mayor énfasis en el desarrollo conceptual. Ejemplos conceptuales, tIpicamente 1 o 2 por capItulo, a veces más, son cada uno un tipo de breves pregunta y respuesta socrática. Se pretende que los estudiantes sean estimulados por Ia pregunta para pensar, o reflexionar y obtener una respuesta, antes de leer La respuesta dada. Se indican a continuación algunas de ellas: usando simetrIa (capItulo 1 y en otras partes) pelota rnoviéndose hacia arriba: ideas erróneas (capItulo 2) marcos de referencia y movimiento de un proyectil: dOnde cae La rnanzana? (capItulo 3) qué ejerce La fuerza que hace que un automóvil se mueva? (capItulo 4) acLaración de Ia tercera ley de Newton: jalando un trineo (capItulo 4) diagrama cle cuerpo libre para un disco de hockey (capItulo 4) ventaja de una polea (capItulo 4) y de una palanca (capItulo 12) empujar o jalar un trineo (capItulo 5) ,qué objeto rueda más rápido hacia abajo por una colina? (capItulo 10) moviendo el eje de una rueda en rotación (capItulo 11) colapso tragico (capItulo 12) dedo en Ia parte superior de un popote lleno (capItulo 13) tazas de succión en una nave espacial (capItulo 13) duplicando La amplitud de un MAS (capItulo 14) se expanden térmicamente los agujeros? (capItulo 17) proceso adiabático simple: estiramiento de una banda de hule (capItulo 19) carga dentro de la cavidad de un conductor (capItulo 22) cómo at estirar un alambre se cambia su resistencia (capItuLo 25) en serie o en paralelo (capftulo 26) brillo de un foco (capItulo 26) trayectoria espiral en un carnpo magnético (capItulo 27) practica con Ia Icy de Lenz (capItuLo 29) sobrecarga en un motor (capItulo 29) direcciOn de Ia fern en Ia inducciOn (capftuLo 30) efecto de Ia inductancia en circuitos simples (capItulo 30) fotografIa con reflexión; j,está de cabeza? (capItulo 33) rayos de Luz reversible (capItulo 33)
,,qué tan alto debe ser un espejo de longitud total? (capItuLo 33) dispersion de Ia difracciOn (capItulo 36)
Ejemplos de estimación, aproximadamente el 10% de todos los ejemplos, también una nueva caracterIstica de esta edición, pretenden desarrollar las habilidades necesarias para efectuar
estimaciones del orden de magnitud, aun cuando los datos son escasos y se podrIa haber pensado que era imposible obtener cualquier resultado. Vea, por ejemplo, Ia sección 1-6, ejemplos del 1-5 al 1-8.
xx
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Resolución de problemas con enfoques nuevos y mejorados Aprender cómo enfocar y resolver problemas es una parte básica de cualquier curso de
fIsica. Ella es en si misma una gran habilidad, pero es también importante porque el proceso ayuda al entendimiento de la fIsica. A La resoluciOn de problemas en esta nueva edición se le ha dado un mayor énfasis, incluyendo algunas nuevas caracterIsticas.
Los recuadros de resolución de problemas, aproxirnadamente 20 de ellos, son nuevos en esta edición. Estos se concentran mis en los primeros capItulos, pero se hallan en todo el libro. Cada uno indica un enfoque paso a paso para resolver problemas en general, yb especIfica-
mente para el material ahI tratado. Los mejores estudiantes pueden encontrar estos
"recuadros" innecesarios (los pueden pasar por alto), pero muchos otros hallarán de utilidad que se les recuerde el enfoque general y los pasos que se pueden tomar para iniciarse; yo pienso también que estos recuadros ayudan a los estudiantes a adquirir confianza. El recuadro general de resolución de problemas de Ia secciOn 4-8 se ha colocado ahI, después de que los estudiantes han obtenido cierta experiencia batallando con los problemas, y pueden entonces ser fuertemente motivados a leerlo con gran atención. La secciOn 4-8 puede, por supuesto, ser vista antes si asI se desea.
Las secciones de resolución de problemas se presentan en muchos capItulos y pretenden ofrecer destreza adicional en areas donde Ia resoluciOn de problemas es especialmente importante o detallacla.
Ejemplos. Esta nueva edición tiene muchos más ejemplos resueltos, y todos ellos tienen ahora tItulos para una referencia más fcil. Hay dos nuevas categorIas de ejemplo: conceptual y de estimación, como se describió en la página anterior. Los ejemplos reguiares sirven como "problemas de prctica". Se han agregado muchos nuevos ejemplos, algunos de los viejos se han eliminado, y muchos han sido reformulados para ofrecer mayor claridad y detalle: más pasos se han incluido, mis de "porqué lo hacemos de esta manera", y se ha proporcionado un mayor análisis del enfoque. En suma, Ia idea es "pensar en voz alta con Los estudiantes", conduciéndolos a desarrollar una mayor penetraciOn en su análisis. El nUmero total de ejemplos resueltos es aproximadamente 30% mayor que en Ia ediciOn previa, con un promedio de 12 a 15 por capItulo. Hay una mayor concentraciOn considerable de ejempbs en los primeros capItulos, donde Ia destreza es especialmente importante para desarrollar habilidades y una variedad de enfoques. El nivel de los ejemplos resueltos para Ia mayorIa de los temas se incrementa gradualmente, con los ms complicados correspondiendo a los problemas más difIciles al final de cada capItulo, de manera que los estudiantes puedan ver cOmo enfrentar los problemas más complejos. Muchos de los nuevos ejemplos y las mejoras a los viejos proporcionan importantes aplicaciones a Ia ingenierIa, a otros campus relacionados y a Ia vida diana.
Los problemas al final de cada capItulo han sido considerablemente aumentados en calidad y cantidad. Hay más de 30% de problemas que en Ia segunda edición. Muchos de los problemas viejos han sido reemplazados o reescritos para hacerlos más claros yb sus valores
numéricos han sido cambiados. Cada capItulo contiene un grupo grande de problemas
arreglados por Sección y clasificados de acuerdo con su dificultad; los problemas del nivel I son simples, disenados para dar confianza al estudiante; los del nivel II son problemas "normales" que ofrecen un mayor reto y a menudo Ia combinaciOn de dos conceptos diferentes; los del njvel III son los més complejos, combinando temas diferentes, y serán difIciles aün
para los mejores estudiantes. El arreglo por nümero de Sección significa sOlo que esos Problemas dependen del material visto hasta esa sección inclusive: cabe esperar encontrar en ellos material de secciones previas. La clasificaciOn de los problemas por dificultad (I, II, III) pretende ser sOlo una guIa.
Problemas generales. Aproximadamente 70% de los problemas están clasificados por nivel de dificultad (I, II, III) y arreglados por secciOn. Nuevo a esta ediciOn son los Problemas generales que no están clasificados y si agrupados juntos al final de cada capitulo; éstos representan aproximadamente el 30% de todos los problemas. El nUmero total promedio de problemas por capItubo es aproximadamente de 90. Las respuestas a problemas con nOmero impar se dan al final del libro.
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Cobertura completa de la fIsica, con o'ciones Este libro pretende dar a los estudiantes Ia oportunidad de obtener una base sólida en todas las areas de la fIsica fundamental. Hay gran flexibilidad en Ia selecciOn de temas, de manera que los profesores pueden escoger cuáles cubrir y cuáles omitir. Las secciones marcadas con un asterisco se pueden considerar opcionales, como se explicó con más detalle más adelante. Aqul quiero recalcar que los temas no vistos en clase pueden ser leIdos por los buenos estudiantes para su propio beneficio, ya sea inmediatamente o después. Se da a continuaciOn una lista parcial de temas de la fIsica; no son los comunes, sino temas que podrIan usualmente no ser cubiertos y esto da idea de cuán completo es este libro en la cobertura de la fIsica basica. Los nümeros de secciories están dados en parentesis. uso del cdlculo; aceleración variable (2-8)
movimiento circular no uniforrne (5-4) fuerzas dependientes de Ia velocidad (5-5) masa gravitatoria versus masa inercial; principio de equivalencia (6-8) gravitaciOn como curvatura del espacio; agujeros negros (6-9) energIa cinética a muy alta velocidad
(7-5)
diagramas de energIa potencial (8-9) sistemas de masa variable (9-10) movimiento rotatorio más traslacional (10-11) uso de £TCM = 'CM aCM (10-11) derivaciOn de K = KCM + Krot (10-11) ,porque se desacelera una esfera en rodamiento? (10-12) momento angular y par de torsion para un sistema (11-4) derivaciOn de
11CM'
=
TCM
(11-4)
desequilibrio rotatorio (11-6) trompo en rotación (11-8) marcos de referencia rotatorios; fuerzas inerciales (11-9) efecto Coriolis (11-10) armaduras (12-7) flujo en tubos: ecuación de Poiseuille (13-11) tension superficial y capilaridad (13-12) péndulo fIsico; péndulo de torsion (14-6) movimiento armOnico amortiguado: soluciOn del inismo (14-7) vibraciones forzadas; ecuaciOn de movimiento y solución; valor Q (14-8)
ecuación de onda (15-5) representaciOn matemática de ondas; derivaciOn de Ia onda de presión (16-2) intensidad del sonido relacionado con Ia amplitud (16-3) interferencia en el espacio y en el tiempo
(16-6)
teorIa atómica de Ia expansiOn (17-4) esfuerzos térmicos (17-5) escala de temperaturas de un gas ideal (17-10)
base experimental de las leyes de Gauss y Coulomb (22-4) relación general entre potencial eléctrico
y campo eléctrico (23-2,23-8)
campos eléctricos en dieléctricos (24-5) descripciOn molecular de dieléctricos
(24-6)
ley de Gauss en dieléctricos (24-7) densidad de corriente y velocidad de deriva (25-8) superconductividad (25-9) circuitos RC (26-4) uso de voltImetros y amperImetros; efectos del aparato de medida (26-5) transductores (26-6) momento dipolar magnético (27-5) efecto Hall (27-8) definiciOn operacional de ampere y coulomb (28-3) materiales magnéticos; ferromagnetismo
(28-7)
electroimanes y solenoides (28-8) histéresis (28-9) paramagnetismo y diamagnetismo (28-10) fuerza contraelectromotriz y torque; corrientes parásitas (29-5) ley de Faraday, forma general (29-7) Ia fuerza debido a B variable no es conservativa (29-7) circuitos LC y oscilaciones EM (30-5) resonancia CA; osciladores (31-6) adaptación de impedancias (31-7) CA trifásica (31-8) los cambios eléctricos variables producen campos magnéticos (32-1) velocidad de la luz a partir de las ecuaciones de Maxwell (32-5) presiOn de la radiación (32-8) fibras Opticas (33-7) combinaciones de lentes (34-3) aberraciones de lentes y espejos (34-10) coherencia (35-4) intensidad en el patrOn de doble ranura
cOlculos usando Ia distribuciOn de Maxwell
(35-5)
gases reales (18-3) presiOn de vapor y humedad (18-4)
36-5)
de velocidades moleculares (18-2)
ecuaciOn de estado de van der Waals (18-5)
trayectoria libre media (18-6) difusión (18-7) equiparticiOn de la energIa (19-8) disponibilidad de energIa; muerte térmica
(20-8)
interpretación estadIstica de la entropIa y segunda ley (20-9) escala de temperatura termodinámica; cero absoluto y tercera ley (20-10)
xxii
dipolos eléctricos (21-11,23-6)
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intensidad luminosa (35-8) IImites de resolución, el IImite 1(36-4, intensidad para ranura simple (36-2) difracciOn para ranura doble (36-3)
resolución del ojo humano y amplificaciOn
ütil (36-6)
espectroscopIa (36-8) anchos de picos y potencia resolutiva para una red de difracción (36-9) rayos x y difracciOn de rayos x (36-10) dispersiOn de Ia luz por La atmOsfera
(36-12)
Nuevas aDlicaciones Las aplicaciones importantes a la vida diana, a Ia ingenierIa, y a otros campos como Ia geologla y Ia medicina, motivan a los estudiantes y ofrecen al instructor Ia oportunidad de mostrar la importancia de Ia fIsica. Las aplicaciones son una buena respuesta a los estudiantes que preguntan: ",Porque estudiar fIsica?" Muchas nuevas aplicaciones se han agregado en esta edición. Se dan a continuaciOn algunas de ellas: bolsas de aire (cap. 2) elevador y contrapeso (cap. 4) frenos antibloqueo (cap. 5) satélites geosIncronos (cap. 6) disco duro y rapidez en Ia transmisión de bits (cap. 10) colapso de una estrella (cap. 10)
solenoides y electroimanes (cap. 28) memoria de computadora e informaciOn digital (cap. 29) sismOgrafo (cap. 29) grabación en cinta (cap. 29)
fuerzas en armaduras, puentes, arcos,
antenas, para E o B (cap. 32) TV y radio; AM y FM (cap. 32) ojo y lentes correctivos (cap. 34) espejismos (cap. 35) indicadores de cristal liquido (cap. 36)
cCipulas (cap. 12)
ci Titanic (cap. 12) principio de Bernoulli: alas, veleros, TIA,
trampas de plomerfa y pasos laterales (cap. 13) bombas (cap. 13)
red divisora (de frecuencias) de bocinas (cap. 31)
Algunos temas clásicos (y mejorados):
resortes de suspension para automóviies, amortiguadores, amortiguadores sIsmicos para edificios (cap. 14)
manOmetros (cap. 13) instrumentos musicales (cap. 16) humedad (cap. 18)
bocinas (caps. 14, 16 y 27) cámaras con enfoque automático (cap. 16) sonar (cap. 16)
(caps. 23 y 27) riesgos eléctricos (cap. 25)
formaciOn de imágenes por ultrasonido (cap. 16) esfuerzos térmicos (cap. 17)
valores R, aislamiento térmico (cap. 19) motores (cap. 20) bombas de calor, refrigeradores, CA; coeficiente de rendimiento (cap. 20) contaminaciOn térnilca (cap. 20) protección eléctrica (caps. 21, 28) fotocopiadora (cap. 21) cables superconductores (cap. 25)
arranque de un automóvil con acumulador auxiliar (cap. 26) aurora boreal (cap. 27)
CRT, TV, monitores de computadoras potencia en circuitos caseros (cap. 25) amperfmetros y voltImetros (cap. 26) micrOfonos (caps. 26 y 29)
transductores (cap. 26 y en otras partes) motores eléctricos (cap. 27) aiternador de automóvil (cap. 29) transmisiOn de energIa eléctrica (cap. 29) capacitores como filtros (cap. 31) equilibrado de impedancias (cap. 31) fibras Opticas (cap. 33) cámaras, telescopios, microscopios, otros instrumentos ópticos (cap. 34) recubrimientos de lentes (cap. 35) espectroscopla (cap. 36)
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Enfoque general Este libro ofrece una presentación profunda de la fIsica y retiene el enfoque básico de las ediciones anteriores. En vez de usar el enfoque comOn, árido y dogmatico de tratar los temas formal y abstractamente primero y solo luego relacionar el material con La propia experiencia del estudiante, mi enfoque es reconocer que Ia fIsica es una descripciOn de Ia realidad y comenzar asi cada tema con observaciones y experiencias concretas que los estudiantes puedan captar directamente. Luego pasamos a las generalizaciones y tratamientos más formales del tema. Esto no solo hace más interesante y fácil de entender al material, sino que es más cercano a la manera en que Ia fisica es realmente practicada. Esta nueva ediciOn, más aOn que las previas ediciones, intenta explicar Ia fIsica de manera leIble e interesante que además sea accesible y clara. Se trata de enseñar a los estudiantes anticipando sus necesidades, pero sin sobresimplificar. La fIsica está todo alrededor de nosotros. Ciertamente, la meta de este libro es ayudar a los estudiantes a "ver el mundo a través de ojos que conozcan Ia fIsica". Como se mencionó antes, este libro incluye un amplio rango de ejemplos y aplicaciones
de tecnologIa, ingenierIa, arquitectura, ciencias terrestres, ciencias ambientales, biologla, medicina y de Ia vida diana. Algunas aplicaciones sirven sOlo como ejemplos de priricipios fIsicos. Otros ejemplos son tratados en profundidad. Pero las aplicaciones no dominan el texto; éste es, después de todo, un libro de fIsica. Ellas han sido cuidadosamente escogidas e integradas en el texto para no interferir con el desarrollo de la fIsica, sino más bien para ilustrarla. Las aplicaciones están integradas directamente a Ia fIsica. Para facilitar la localizaciOn de las aplicaciones, se ha colocado en el margen (excepto donde los diagramas en el margen lo impiden) una nueva nota marginal denotada FIsica aplicada. Se supone que los estudiantes han estudiado cálculo o que lo estn tomando en forma concurrente. El cálculo se trata primero en forma simple, usualmente en una sección optativa para rio recargar a los estudiantes que toman cOlculo concurrentemente. Por ejemplo, el uso de integrales en cinemOtica, capItulo 2, es una sección opcional. Pero en el capItulo 7 sobre trabajo, La integral es plenamente analizada para todos los lectores. A través de todo el texto se usan las unidades del Systeme International (Sistema Internacional/SI). Otras unidades, métricas y británicas, se definen con propósito informativo. Cuidadosa atención se da a las cifras significativas. Cuando un cierto valor se da como, digamos, 3, con sus unidades, esto quiere decir 3; no se supone que sea 3.0 o 3.00. Cuando queremos decir 3.00, escribimos 3.00. Es importante que los estudiantes sean conscientes de Ia incertidumbre en cualquier valor medido y no sobreestimen la precisiOn de un resultado numérico. En vez de comenzar este libro de fIsica con un capItulo sobre matemáticas, he incorpo-
rado mOs bien muchas herramientas matemticas, tales como suma y multiplicación vectorial directamente en ci texto donde primero se requieren. AdemOs, los apéndices contienen un repaso de muchos temas matemáticos tales como identidades trigonometricas, integrales y el desarrollo del binomio. Un tema avanzado se da también en un apéndice: Ia integraciOn para obtener la fuerza gravitatoria debido a una distribución esférica de Ia masa. Siento que es necesario poner una cuidadosa atención a los detalles, especialmente en Ia obtenciOn de un resultado importante. He tratado de incluir todos los pasos de una derivaciOn y también he tratado de aclarar cuOles ecuaciones son generales y cuáles no, indicando expiIcitamente los lImites de ecuaciones importantes por medio de corchetes colocados junto a las ecuaciones, por ejemplo:
x = x0 + v0t +
at2.
[aceleración constante]
Una detallada introducciOn a las leyes de Newton y su uso es de crucial importancia pedagOgica. Los muchos nuevos ejemplos resueltos incluyen inicialmente algunos bastante simples que proporcionan un cuidadoso anáiisis paso a paso de cOmo proceder al resolver problemas de dinámica. Cada ejemplo sucesivo agrega un nuevo elemento o un nuevo aspecto que introduce mayor complejidad. Espero que esta estrategia permita incluso a los menos bien preparados estudiantes adquirir las herramientas para usar las leyes de Newton correc-
tamente. Si los estudiantes no superan esta dificultad crucial, el resto de la fIsica puede permanecer para siempre mOs allO de su comprensiOn. El movimiento rotatorio es difIcil para la mayonIa de los estudiantes. Como ejemplo de atenciOn a Los detalles (aunque esto no es realmente un "detalle"), he distinguido cuidadosamente el vector posiciOn (r) de un punto y Ia distancia perpendicular de ese punto desde un
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eje, que se le llama R en este libro (yea la Fig. 10-2). Esta distinciOn que aparece particular-
mente en conexiOn con el torque, el momento de inercia y el momento angular, no es a menudo suficientemente clara; no es justo para los estudiantes usar r a r para ambos sin distinguirlos. He aclarado también que no siempre es cierto que T= Ia. Esta relación depende
de los ejes escogidos (válida si el eje está fijo en un marco de referencia inercial 0 51 pasa por el CM). No decir esto a los estudiantes puede lievarlos a serias dificultades (yea las págs. 250, 283, 284). He tratado el movimiento rotatorio comenzando con el simple caso de rotación airededor de un eje (capItulo 10), incluyendo los conceptos de momenta angular y energIa cinética rotatoria. SOlo hasta el capItulo 11 se trata el caso más general de rotaciOn respecto a un punto y este material ligeramente más avanzado puede omitirse si asI se desea (excepto las secciones 11-1 y 11-2 sobre el producto vectorial y el vector torque). El final del capItub 10 tiene una subsección opcional que contiene tres ejempbos ligeramente ms avanzados, usarido TCM = ICMaCM: distribuciOn del frenado de un automOvil, un yo-yo descendente y una esfera en rodamiento con y sin resbalamiento. Entre otros tratamientos especiales esth el capItulo 28 sobre Fuentes de campo magnético: aquI, en un capItulo, se analiza el campo magnetico debido a corrientes (incluidas Ia ley de Ampere y Ia ley de Biot-Savart), asI coma los materiales magnéticos, el ferromagnetismo, el paramagnetismo y el diamagnetismo. Esta presentaciOn es asI más clara, más breve y más completa.
Organización La organizaciOri general de esta nueva ediciOn retiene el orden tradicional de los temas: mecnica (capItulos 1 al 12); fluidos, vibraciones, ondas y sonido (capItulos 13 a! 16); teorIa cinética y termodinámica (capItulos 17 a! 20). En la version de dos volOmenes de este texto, el volumen I termina aquI, despues del capItubo 20. El texto continua con electricidad y magnetismo (capItulos 21 al 32), luz (capItulos 33 al 36) y fIsica moderna (capItulo 37). Casi todos los temas que se yen usualmente en los cursos introductorios de fIsica están incluidos. Varios temas de Ia fIsica moderna están incluidos en los capItulos de fIsica clásica, como se mencionó antes. La tradiciOn de comenzar con Ia mecánica es razonable, ya que fue desarrollada, his-
tOricamente, primero y porque mucho del resto de la fIsica depende de ella. Dentro de la mecánica hay varias maneras de ordenar los temaS y este libro permite una flexibilidad considerable.
Par ejemplo, yo prefiero cubrir Ia estática después de Ia dinámica, en parte porque muchos estudiantes tienen problemas al trabajar con fuerzas sin movimiento. Además, Ia estática es un caso especial de la dinámica; estudiamos Ia estática para impedir que las estructuras se vuelvan dinámicas (que se caigan), y ese sentimiento de estar en el lImite de Ia dinámica es intuitivamente de ayuda. No obstante, Ia estática (capItulo 12) puede estudiarse antes, si asI se desea, antes de Ia dinámica, después de una breve introducciOn a la suma vectorial. Otra opción es Ia luz, que he colocado después de Ia electricidad y el magnetismo y las ondas electromagnéticas. Pero Ia luz podrIa verse inmediatamente después de los capItulos sobre ondas (capItulos 15 y 16.) La relatividad especial está en el capItulo 37, pero podrIa estudiarse junta con Ia mecánica, digamos, después del capItulo 9. No tiene que darse el mismo peso a cada capItulo. Mientras que el capItulo 4 podrIa requerir de 1 a 2 semanas de cobertura, los capItulos 16 a 22 podrIan necesitar sOlo de sem a na.
Algunos profesores pueden hallar que este libro contiene más material del que puede verse completamente en sus cursos. Pero el texto ofrece gran flexibilidad en Ia selecciOn de temas. Las secciones marcadas con un asterisco son consideradas opcionales. Esas secciones contienen material ligeramente más avanzado a material que no se cubre usualmente en los cursos tIpicos, yb aplicaciones interesantes. Estas no contienen material necesario en capItulos posteriares (excepto tal vez en secciones opcionabes posteriores). Esto no implica que todas las secciones sin asterisco deben ser vistas: queda aCm considerable flexibilidad en la selecciOn del material. Para un curso breve, todo el material opcional puede cancelarse asI como partes de los capItulos 11, 13, 16, 26, 30, 31 y 36, asI coma de partes de los capItulos 9, 12, 19,20, 32, 34 y los capItulos sabre fIsica moderna. Los temas no cubiertos en cbase pueden ser un valioso material para estudio posterior; este texto puede servir ciertamente coma una referencia Otil para los estudiantes a lo largo de varios años debido a su amplio rango de cobertura. Prefacio
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Agradecimientos Aproximadamente 60 profesores de fIsica proporcionaron comentarios o directa retroalimentaciOn en cada aspecto de este libro de texto. Los revisores y quienes contribuyeron a esta tercera edición se dan en la lista de abajo. Tengo con cada uno de ellos una deuda de
gratitud.
Ralph Alexander, University of Missouri at Rolla Zaven Altounian, McGill University Charles R. Bacon, Ferris State University Bruce Birkett, University of California, Berkeley Art Braundmeier, Southern Illinois University at Edwardsville Wayne Carr, Stevens Institute of Technology Edward Chang, University of Massachusetts, AnTherst
Charles Chiu, University of Texas at Austin Lucien Crimaldi, University of Mississippi Robert Creel, University of Akron Alexandra Cowley, Community College of Philadelphia Tiniir Datta, University of South Carolina Gary DeLeo, Lehigh University John Dinardo, Drexel University Paul Draper, University of Texas, Arlington Alex Dzierba, Indiana University William Fickinger, Case Western University Jerome Finkelstein, San Jose State University Donald Foster, Wichita State University Gregory E. Frances, Montana State University Lothar Frommhold, University of Texas at Austin Thomas Furtak, Colorado School of Mines Edward Gibson, California State University, Sacramento Christopher Gould, University of Southern California John Gruber, San Jose State University Martin den Boer, Hunter College Greg Hassold, General Motors Institute Joseph Hemsky, Wright State University Laurent Hodges, Iowa State University Mark Holtz, Texas Tech University James P. Jacobs, University of Montana James Kettler, Ohio University Eastern Campus
Jean Krisch, University of Michigan Mark Lindsay, University of Louisville Eugene Livingston, University of Notre Dame Bryan Long, Columbia State Community College Daniel Mavlow, Princeton University Pete Markowitz, Florida International University John McCulIen, University of Arizona, Tucson Peter Nemeth, New York University Hon-Kie Ng, Florida State University Eugene Patroni, Georgia Institute of Technology Robert Pelcovits, Brown University William Pollard, Valdosta State University Joseph Priest, Miami University Carl Rotter, West Virginia University Lawrence Rees, Brigham Young University Peter Riley, University of Texas at Austin Roy Rubins, University of Texas at Arlington Mark Semon, Bates College Robert Simpson, University of New Hampshire Mano Singham, Case Western University Harold Slusher, University of Texas at El Paso Don Sparks, Los Angeles Pierce Conmiunity College Michael Strauss, University of Oklahoma Joseph Strecker, Wichita State University William Sturrus, Youngstown State University Arthur Swift, University of Massachusetts,
Amherst Leo Takahasi, The Pennsylvania State University Edward Thomas, Georgia Institute of Technology Som Tyagi, Drexel University John Wahr, University of Colorado Robert Webb, Texas A & M University James Whitmore, The Pennsylvania State University W. Steve Quon, Ventura College
Debo especiales gracias a Iry Miller, no sOlo por las muchas discusiones fIsicas sino también por haber elaborado todos los problemas y controlado al grupo que trabajó alrededor de él en esos problemas, cada uno revisando al otro, y finalmente producir el Manual de Soluciones (sOlo en Ia ediciOn en inglés), y todas las respuestas a los problemas impares a! final de este libro. El fue eficientemente ayudado por Zaven Altounian y Anand Batra. Estoy particularmente agradecido a Robert Pelcovits y Peter Riley, asI como a Paul Draper y James Jacobs, quienes inspiraron muchos de los nuevos ejemplos, ejemplos conceptuales y problemas.
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Cruciales para eliminar los errores, asI como para proporcionar excelentes sugerencias, fueron Edward Gibson y Michael Strauss, quienes cuidadosamente revisaron todos los aspectos de la fIsica en las páginas de prueba. Gracias especiales a Bruce Birkett por ayuda de todo tipo, desde inteligentes pláticas sobre pedagogla hasta cuidadosas revisiones de detalles en muchas secciones de este libro. Deseo dar las gracias también a los profesores Howard Shugart, Joe Cerny, Roger Falcone y Buford Price por sus ütiles discusiones y por su hospitalidad en Ia Universidad de California
en Berkeley. Muchas gracias también al profesor Tito Arecchi del Istituto Nazionale di
Ottica, en Florencia, Italia, y al personal del Institute and Museum for the History of Science, en Florencia, Italia, por su hospitalidad. Finalmente, agradezco el excelente trabajo editorial y de producción proporcionado por todos aquellos con quienes trabajé directamente en Prentice Hall: Susan Fisher, Marilyn Coco, David Chelton, Kathleen Schiaparelli, Michele Giusti, Gus Vibal, Mary Teresa Giancoli y Jocelyn Phillips. El mayor agradecimiento de todos es para Paul Corey, cuyo constante aliento y astuta habilidad para sacar adelante las cosas me proporcionaron el más efectivo catalizador. La responsabilidad final respecto a todos los errores es, por supuesto, mIa. Agradeceré todos los comentarios y correcciones. D.C.G.
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NOTAS A ESTUDIANTES Y PROFESORES SOBRE EL FORMATO Las secciones marcaclas con un asterisco (*) son consideradas opcionales. Ellas pueden ser omitidas sin interrumpir el flujo principal de los temas. Ningn material posterior depende de ellas excepto posiblemente secciones posteriores también con asterisco. PodrIa ser entretenido leerlas. Se usan con convenciones acostumbradas: los sImbolos para cantidades (como m para masa) se indican con cursivas, mientras que las unidades (como m para metro) no se indican con cursivas. Para vectores se usan negritas (F). Pocas ecuaciones son vilidas en todos los casos. Donde es prctico, las limitaciones de ecuaciones importantes se indican en corchetes siguiendo a la ecuación. Las ecuaciones que representan las grandes leyes de Ia fIsica se exhiben con un fondo oscuro, asi como otras cuantas que son de gran utilidad. El nümero de cifras significativas (yea Ia sección 1-3) no debe suponerse mayor que las cifras dadas: si un nümero se da como (digamos) 6, con sus unidades, ello quiere decir que es 6 y no 6.0 o 6.00. Al final de cada capItulo se tiene un grupo de preguntas que los estudiantes deben intentar responder. Estas son seguidas por problemas que están clasificados por los niveles I, II o III, de acuerdo con la dificultad estimada; los problemas del nivel I son los más ficiles. Estos problemas están arreglados por secciones, pero los problemas para una sección dada pueden depender también de material previo. Sigue luego un grupo de Problemas generales, que no están dispuestos por sección ni clasificados en cuanto a dificultad. Las preguntas y los problemas relacionados con las secciones opcionales tienen asterisco. Poder resolver problemas es una parte crucial del aprendizaje de Ia fIsica y un medio p0-
deroso para entender los conceptos y principios de Ia misma. Este libro contiene muchas ayudas para resolver problemas: (a) Ejemplos resueltos con sus soluciones en el texto; (b) "Recuadros de resoluciOn de problemas" especiales distribuidos a lo largo del texto que sugieren maneras de enfocar Ia resoluciOn de problemas para un tema particular, pero no se piense que cada tema tiene sus propias "técnicas" porque los elementos bsicos sean los mismos; (c) Secciones especiales de resolución de problemas; (d) Notas al margen de "Resolución de Problemas" (yea el punto 8 abajo) que se refieren a las sugerencias para la resoluciOn de problemas dentro del texto; (e) algunos de los ejemplos resueltos son de estimación, que muestran cómo algunos resultados burdos o aproximados pueden obtenerse adn cuando los datos dados son escasos (yea sección 1-6); y finalmente (f) los problemas mismos al final de cada capItulo (punto 5 arriba). Los ejemplos conceptuales parecen ejemplos ordinarios, pero son de carácter conceptual más que de Indole numérica. Cada uno propone una o dos preguntas, que esperamos lo ponga a pensar y puecla usted obtener una respuesta. Dése algo de tiempo para tratar de obtener Ia respuesta antes de leer Ia dada en el texto. Notas al margen: estas notas breves están impresas en un color diferente y son de cuatro tipos: (a) notas ordinarias (Ia mayorfa) que sirven como tipo de compendio del texto y pueden ayudar después a localizar conceptos y ecuaciones importantes; (b) notas que se refieren a las grandes leyes y principios de la fIsica; éstas están en letras mayüsculas y encerradas en un recuadro para darles más énfasis; (c) notas que se refieren a una suge-
rencia de resolución de problemas o técnica tratada en el texto; éstas tienen el encabezado "Resolución de problemas"; (d) notas que se refieren a una aplicaciOn de la
fIsica, en el texto o en un ejemplo; éstas tienen el encabezado "FIsica aplicada". Este libro está impreso a dos colores. Pero no simplemente para hacerlo más atractivo. El color se usa, sobretodo en las figuras, para dar mayor claridad a nuestros análisis y hacer más fácil el aprendizaje de los principios fIsicos implicados. Los apendices incluyen formulas matemáticas ütiles (tales como derivadas e integrales, identidades trigonométricas, areas y volOmenes, desarrollos), y una tabla de isótopos con masas atómicas y otros datos. Las tablas de datos titiles se localizan al reverso de portada y contraportada.
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FISICA
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Al pasar el peine por el cabello, o frotarlo con una toalla de papel 0 Ufl pedazo de tela, éste recibe una carga de electricidad estática. La carga eléctrica en el peine induce una polarización (separación de cargas) en todos los trozos de papel, y por tanto los atrae. La introducciOn a Ia electricidad en este capitulo abarca los siguientes temas: conductores y aisladores, La Icy de Coulomb que relaciona Ia fuerza entre dos cargas puntuales en funciOn de Ia distancia que las separa. Se introduce también el concepto de campo eléctrico, que es fácil de entender y muy ütil.
Carga eléctrica y campo eléctrico palabra "electricidad" puede evocar Ia imagen de Ia compleja tecnologIa moderna: computadoras, luces, motores, y energfa eléctrica. Pero al parecer la fuerza eléctrica juega un papel aUn ms importante en nuestras vidas. De acuerdo con Ia teorIa atómica, las fuerzas eléctricas que interactian entre los tomos y las moléculas los mantienen unidos para formar lIquidos y sOlidos, además, las fuerzas eléctricas están involucradas en los procesos metabólicos que suceden en el interior del organismo. Hasta ahora, se considera que Ia mayor parte de las fuerzas con las que tratamos como es el caso de las fuerzas elásticas, Ia fuerza normal, y otras fuerzas de contacto (empuje y tracciOn) son el resultado de fuerzas eléctricas que acttian a nivel atómico. Por otra parte, Ia gravedad es una fuerza independiente.t Los estudios más lejanos sobre electricidad se remontan a los antiguos griegos; sin embargo, el estudio detallado de Ia electricidad comenzó hasta los siglos XVII y XIX. En los siguientes doce capItulos analizaremos el desarrollo de las ideas acerca de Ia electricidad, incluyendo los dispositivos prcticos, asI como su relaciOn con el magnetismo.
La
Como ya analizamos en a sección 6-7 del volumen I, los fIsicos del siglo XIX reconocieron Ia existencia de cuatro fuerzas fundamentales en Ia naturaleza: (1) fuerza gravitacional, (2) fuerza electromagnética (como yeremos más adelante, las fuerzas eléctricas y magnéticas están Intimamente relacionadas), (3) fuerza nuclear fuerte y (4) fuerza nuclear débil. Las ültimas dos fuerzas operan a nivel del ndcleo en el átomo. Una teorIa reciente ha combinado las fuerzas electromagneticas y nuclear débil por lo que ahora se considera que tienen un origen comñn que se conoce con el nombre de fuerza electrodébil.
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Frote una regla de plástico con un pedazo de tela (a) y acerquela a algunos trozos pequenos de papel (b). FIGURA 21-1
(a)
(b)
Electricidad estática; carga eléctrica v su conservación
FIGURA 21-2 Cargas diferentes se atraen, cargas iguales se repelen.
La palabra electricidad proviene de la palabra griega elektron, que significa "ámbar", y es una resina petrificada que proviene de los árboles. Los antiguos griegos sabIan que al frotar una barra de ámbar con un pedazo de tela, la barra atraIa a hojas pequeñas o a partIculas de polvo. Cuando Se frota una pieza de goma dura, una barra de vidrio o una regla de plstico con un pedazo de tela también se obtiene el "efecto ámbar" o electricidad estática, tal y como la conocemos en la actualidad. Usted puede recoger trozos pequeflos de papel con Ia ayuda de un peine o una regla de plástico, siempre y cuando lo frote vigorosamente contra una toalla (aunque sea de papel), observe la fotografIa de la página anterior y la figura 21-1. Probablemente usted ya ha experimentado los efectos de Ia electricidad estática mientras peina su cabello o cuando saca una blusa o una
playera (hecha de material sintético) de la secadora de ropa. Es probable que haya sentido los efectos de una descarga eléctrica cuando toca el picaporte de metal de una Dos reglas de plástico cargadas Se repelen
Dos varillas de vidrio cargadas se repelen I
La varilla de vidrio cargada atrae a Ia regla de plastico (que también
est cargada)
puerta después de caminar sobre una alfombra de nylon, o cuando sale de un automóvil. En cualquier caso, un objeto "se carga" debido a un proceso de frotamiento, y se dice que posee una carga eléctrica neta. i,Acaso todas las cargas eléctricas son iguales? o i,es posible que exista más de un tipo? De hecho, existen dos tipos diferentes de cargas eléctricas, como to demuestran los siguientes experimentos. Se suspende una regla de plástico colgándola de un hilo, Luego se frota vigorosamente con un pedazo de tela para cargarla eléctricamente. Cuando se acerca otra regla, que también se ha cargado en la mistna forma, se observa que una regla repele a Ia otra. Esto se indica en la figura 21-2a. En forma similar, si se acerca una barra de vidrio (que está cargada) a otra barra similar que también está cargada, se observa de nuevo la acciOn de una fuerza repulsiva, véase La figura 21-2b. Sin embargo, si Ia barra de vidrio cargada se aproxima a una regla de plstico que también está cargada, ambos objetos se atraen, véase La figura 21-2c. Por consiguiente, Ia carga en Ia barra de vidrio debe ser diferente a La carga de la regla de plástico. Claro está, se ha descubierto en forma experimental que todos los objetos cargados se pueden clasificar en dos categorIas. Ya sea que se vean atraIdos por el plástico y repelidos por el vidrio, como sucede con Ia barra de vidrio; o pueden verse atraIdos por el vidrio y repelidos por el plástico, como sucede con la regla de phstico. En consecuencia parece ser que existen dos, y solamente dos, tipos de cargas eléctricas. Cada tipo de carga repele a las cargas del mismo tipo pero atrae a las del tipo contrario. Es decir, cargas diferentes se atraen, y cargas similares se repelen. Benjamin Franklin (1706-1790), quien fue congresista de Estados Unidos, filOsofo y cientIfico, se refiriO a ambos tipos de carga eléctrica como positiva y negativa. La asignaciOn del nombre fue arbitraria. Franklin asignó el nombre "positivo" a La carga de Ia barra de vidrio, y "negativo" a La carga de la regla de plástico (o ambar). En La actualidad todavIa se utiliza esta convenciOn. Franklin argumentO lo siguiente: siempre que se genera cierta cantidad de carga en un cuerpo debido a un proceso, se produce una cantidad igual de carga pero del tiP0 opuesto en otro cuerpo. Las cargas positivas y negativas se tratan en forma algebraiCa. En consecuencia, durante cualquier proceso, el cambio neto en La cantidad de carga que se genera es cero. Por ejemplo, cuando se frota una regla de pLástico con una toaILa de papel, el plástico adquiere una carga negativa y Ia toalla adquiere una cantidad igual de carga positiva. Las cargas están separadas, pero Ia suma de ambas es cero. Este es un ejemplo de una ley que no está establecida: La ley de conservación de las cargas eléciricas, Ia cual establece lo siguiente:
Ia cantidad neta de carga eléctrica que se produce en cualqwer proceso es cero.
-
546
CAPTULO 21
Si un objeto o cierta region del espacio adquiere una carga positiva, entonces una cantidad igual pero de carga negativa se formará en las areas u objetos vecinos. Hasta el
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momento no se han encontrado violaciones a esta ley de conservación, Ia cual está tan establecida como las Ieyes de conservaciOn de energIa o de cantidad de movimiento.
Cara eléctrica en el átomo A finales del siglo XIX quedo claro que Ia comprension de la electricidad apuntaba al interior del átomo. En los ültimos capItulos de este libro analizaremos con más detalle Ia estructura atOmica y las ideas que generaron nuestra vision actual del átomo. Sin embargo, si en este momento realizamos un análisis breve podremos comprender mejor La electricidad. Un modelo simplificado del átomo muestra que tiene un nOcleo pequeno con car-
ga positiva, el cual está rodeado por uno o mgs electrones que tienen carga negativa
(véase la figura 21-3). El nUcleo contiene protones, que tienen carga positiva, y neutrones que no tienen carga eléctrica neta. La magnitud de Ia carga eléctrica de todos los proto-
nes y todos los electrones es exactamente igual, pero con signos contrarios. Por consiguiente, los átomos neutrales, que no tienen carga neta, tienen una misma cantidad de protones y de electrones. Algunas veces, como veremos más adelante, un átomo puede perder uno o más de sus electrones, o puede ganar electrones adicionales. En este caso el átomo tendrá una carga neta positiva o negativa, y se conocerá con el nombre de ion. En los materiales sOlidos, el nOcleo tiende a permanecer cerca de posiciones fijas, aUn cuando algunos electrones se pueden mover con bastante libertad. La carga que se obtiene al frotar un objeto sOlido se puede explicar debido a Ia transferencia de electrones de un material a otro. Cuando la regla de plástico adquiere carga negativa al frotarla con una toalla de papel, Ia transferencia de electrones de Ia toalla a Ia regla de plástico deja a La toalla con una carga positiva, que tiene Ia misma magnitud que Ia carga negativa que adquiriO La regla de pkSstico. En los lIquidos y gases, los nOcleos o los jones se pueden mover, como sucede con los electrones. Normalmente, cuando los objetos se cargan debido al frotamiento, solo mantienen su carga durante un tiempo limitado y en forma eventual regresan a! estado neutral. j,A dónde se dirigen las cargas? En algunos casos, estas cargas se neutralizan con los jones cargados del aire (que por ejemplo, se forman debido a las colisiones con partIculas cargadas, las cuales se conocen con el nombre de rayos cósmicos y llegan a La Tierra desde el espacio exterior). TodavIa más importante es que Ia carga se puede "desvanecer" en las moléculas de agua que están en el aire. Esto sucede porque las moléculas de agua son polares, es decir, aun cuando son neutrales, su carga no se distribuye en forma uniforme, véase Ia figura 21-4. Por tanto, podemos decir que los electrones adicionales (de una regla de plástico) se pueden "desvanecer" en el aire porque se yen atraIdos por el extremo positivo de las moléculas de agua. Por otra parte, un objeto que tiene carga positiva puede neutralizarse cuando recibe los electrones que están adheridos débilmente en Ia molécula de agua, que a su vez está en el aire. En los dIas secos, Ia electricidad estática es más notoria porque el aire contiene una menor cantidad de moléculas de agua, lo que facilita el desvanecimiento de las cargas. En cambio, en los dIas hOmedos o Iluviosos, es muy difIcil que un objeto mantenga una carga durante mucho tiempo.
FIGURA 21-3 átomo.
Modelo sencillo del
+ Diagrama de una molécula de agua. Como tiene cargas opuestas en los extremos, se denomina molécuLa "polar". FIGURA 21-4
Aisladores y conductores Consideremos que se tienen dos esferas de metal, una está bastante cargada y Ia otra es eléctricamente neutra (véase Ia figura 21-5a). Si ahora colocamos un objeto de metal, por ejemplo un clavo, en forma que toque ambas esferas (véase Ia figura 21-5b), encontraremos que Ia esfera que antes estaba descargada ahora se carga rápidamente. Ahora bien, si conectamos entre si ambas esferas con una pieza de madera, o un pedazo de goma, (véase Ia figura 21-Sc), Ia esfera que en un principio no estaba cargada no modifica su carga. Los materiales que son similares al acero del clavo se conocen con el nombre de conductores de electricidad, en tanto que los materiales similares a Ia madera o a Ia goma se denominan materiales no conductores o aisladores. Cargado Neutral
Metal
(a)
(b) Conductor
Madera
(c) Aislador SECCION 21-3
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FIGIJRA 21-5 (a) Esfera de metal cargada y esfera de metal neutra. (b) Ambas esferas se conectan mediante un clavo de metal que conduce las cargas de una esfera a La otra. (c) Ambas esferas están conectadas con un material aislante (madera), que no conduce ninguna carga.
Aisladores y conductores
547
En general los metales son buenos conductores de Ia electricidad, por el contrario los demás materiales son aisladores (aun cuando estos conducen electricidad en forma casi imperceptible). Resulta interesante que casi todos los materiales naturales pertenecen a alguna de estas dos categorfas, que son absolutamente diferentes entre si. Sin embargo, existen muchos materiales (entre los que destacan el silicio, germanio y carbon) que caen en una categorla intermedia (pero diferente), que se denomina de
semiconductores. Desde el punto de vista del átomo, los electrones de un material aislante están unidos con bastante fuerza a! nUcleo. Por otra parte, en un buen material conductor, algunos de los electrones están unidos con poca fuerza, at nOcleo, y se pueden mover con libertad en el interior del material (aun cuando no pueden salir del objeto con facilidad). Con frecuencia estos electrones se conocen como electrones libres o electrones de conducción. Cuando un objeto que tiene carga positiva se acerca o toca a un conductor, los electrones libres del conductor se yen atraIdos por esta carga positiva y se mueven con rapidez hacia ella. Contrario a lo anterior, cuando se acerca una carga negativa, los electrones libres se alejan en forma repentina de ella. En un material semiconductor, existen p0cos electrones libres, y en un material aislante casi no hay ninguno.
(a) Varilla de metal sin carga
(b) La varilla de metal adquiere carga por contacto (a) Varilla de metal neutra adquiere una carga (b) cuando se pone en contacto con un objeto de metal que está cargado. FIGURA 21-6
FIGURA 21-7
Carga por inducción
Vanlia de metal sin carga
Lavarilla de metal aUn es neutral, pero las cargas están separadas en sus extremos.
Inducción de una carga en un objeto que está conectado a tierra. FIGURA 21-8
l.
548
CAPITULO 21
Cara inducida; el electroscopio Suponemos que un objeto de metal con carga positiva se acerca a otro objeto de metal que no está cargado. Si ambos se tocan, los electrones libres del objeto que tiene carga neutra son atraIdos por el objeto que tiene carga positiva, y algunos pasarán hacia él, véase la figura 21-6. Como ahora el segundo objeto ha perdido algunos de sus electrones negativos, adquirirá una carga neta positiva. Este proceso se denomina "carga por conducción" o "carga por contacto", en este caso ambos objetos terminan con una carga del mismo signo. Ahora suponemos que un objeto de metal, con carga positiva, se acerca a una vanila de metal sin carga, pero no Ia toca. Aun cuando los electrones de Ia varilla de metal no "salen" de Ia misma, continüan moviéndose en su interior hacia el objeto que está cargado, to anterior hace que las cargas positivas se desplacen hacia el extremo opuesto de la varilla, véase Ia figura 21-7. En este caso se puede decir que se ha inducido una carga en ambos extremos de la varilla de metal. Desde luego que no se ha generado nmguna carga neta en Ia varilla, solo se han separado las cargas. La carga neta en la varilla de metal sigue siendo cero. Sin embargo, si Ia varilla de metal se rompe en dos partes, entonces se obtendrán dos objetos, uno con carga positiva y otro con carga negativa. Se puede inducir una carga neta en un objeto de metal que se conecta a tierra (o a una tuberla de agua potable que esté enterrada) mediante un alambre, como se muestra en la figura 21-8a (el sImbolo -- significa tierra). Se dice entonces que el objeto está "aterrizado" o "conectado a tierra". Ahora bien, como el planeta Tierra tiene unas dimensiones considerables y es conductor, puede aceptar o proporcionar electrones con facilidad; por consiguiente, actüa como un depOsito para las cargas. Si un objeto de metal cargado, en este caso con cargas negativas, se acerca a otro objeto de metal que está conectado a Tierra, los electrones libres del objeto que está conectado a tierra son repelidos por la carga del primer objeto, y Ia mayor parte de ellos se desplazan a Tierra, véase la figura 21-8b. Esto hace que el objeto de metal adquiera una carga positiva. Si ahora se corta el alambre de conexión a tierra del objeto metálico, este Oltimo tendrá una carga inducida positiva (véase la figura 21-8c). Si se corta el alambre después de alejar el objeto que tiene carga negativa, los electrones regresarán al objeto de metal y Ia carga de este ültimo será neutral. El electroscopio es un dispositivo que se utiliza para detectar cargas. Como se muestra en la figura 21-9, en el interior de la cubierta existen dos hojas movibles de metal, que con frecuencia están hechas de oro (algunas veces una hoja está fija y la otra se puede mover). Las hojas se conectan a una terminal de metal que está fuera de la cubierta, con Ia ayuda de un conductor, pero están aisladas del cuerpo de la cubierta. Si se acerca un objeto que tiene carga positiva a la terminal de metal, se induce Ia separación de las cargas, conforme los electrones se yen atraIdos hacia Ia terminal, con to que las hojas
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Aislante Metal y
Hojas, de oro
Vidrio
(a)
(b)
Carga del electroscopio (a) por inducciOn, (b) por contacto. FIGURA 21-10
FIGURA 21-9
Electroscopio.
adquieren una carga positiva, véase la figura 21lOa. Ambas hojas se repelen entre sI, como se indica en la figura. Si al contrario, Ia terminal se carga por conducción, todo el dispositivo adquiere una carga neta como se ilustra en la figura 21lOb. En cualquier CaSO, 51 aumenta la magnitud de la carga también aumentará La separaciOn entre las hojas.
Sin embargo, cabe indicar que en esta forma no se puede determinar el signo de la carga, ya que una carga negativa también provocará la separaciOn de las hojas, como sucede con una carga positiva de la misma magnitud, en cualquier caso ambas hojas se repelerán entre sí. Sin embargo, se puede utilizar el electroscopio para determinar el signo de la carga si primero se carga por conducción, gracias a Ia acción de una carga negativa, como se muestra en Ia figura 21ha. Luego entonces, si se acerca un objeto que tiene carga negativa, como sucede en Ia figura 21lib, se induce el movimiento de una mayor cantidad de electrones hacia las hojas (se desplazan hacia abajo), y éstas se separan cada vez ms. Por el contrario, si se acerca una carga positiva, se induce el movimiento de los electrones hacia la terminal (se desplazan hacia arriba), lo que deja a las hojas con una menor cantidad de carga negativa y, por tanto, se reduce su separa-
ción, véase Ia figura 21lie. El electroscopio se utilizO durante las primeras investigaciones acerca de la electricidad. En la actualidad se aplica el mismo principio, además de ciertos fundamentos de la electrOnica, en los electrómetros modernos que ofrecen una sensibilidad bastante mayor.
1
(a)
(b)
(c)
Un electroscopio previamente cargado se puede utilizar para determinar el signo de una carga determinada. FIGURA 21-11
Principio de operación del aparato de Coulomb. Su funcionamiento es similar al dispositivo de Cavendish que se utilizO para determinar Ia fuerza gravitacional. Cuando una esfera cargada se acerca a una de las esferas de la barra (que está suspendida), la barra gira ligeramente. La fibra que detiene la barra resiste el movimiento de giro, y el ángulo de giro es proporcional a Ia fuerza que se aplica. Con Ia ayuda de este dispositivo, Coulomb determinó la variación de la fuerza eléctrica en función de Ia magnitud de las cargas y Ia distancia que las separa. FIGURA 21-12
Le de Coulomb Hemos visto que una carga eléctrica ejerce una fuerza en otras cargas eléctricas. Qué factores afectan Ia magnitud de esta fuerza? Para responder Ia pregunta, el fIsico Francés Charles Coulomb (1736-1806) analizó las fuerzas eléctricas en Ia década de 1780 con Ia ayuda de una balanza de torsion (véase La figura 21-12), que era muy similar a Ia que utilizO Cavendish cuando analizó Ia fuerza gravitacional. Aun cuando no existIan instrumentos precisos para medir las cargas eléctricas en su época, Coulomb logrO generar esferas pequenas que tenIan cargas con diferentes magnitudes, pero La razón entre las cargas si se conocIa. Coulomb descubriO que si una esfera conductora cargada se ponla en contacto con otra esfera idéntica sin carga, Ia carga de Ia primera esfera se dividla en partes iguales entre ambas esferas debido a su simetrIa. De este modo tenIa una forma para producir cargas que eran mOltiplos (, , etc.) de Ia carga original. Aunque tuvo cierta dificultad con las cargas inducidas, Coulomb pudo determinar que Ia fuerza que ejercIa un objeto pequeno y cargado sobre otro objeto cargado y pequeflo era directamente proporcional a Ia carga en cada uno de ellos. Es decir, si se duplicaba Ia carga en cualesquiera de los objetos, Ia fuerza también se duplicaba; y si la fuerza en ambos objetos aumentaba el doble, Ia fuerza aumentaba 4 veces con respecto a su valor inicial. Esto sucedIa cuando la distancia de separaciOn entre ambas cargas permanecla constante. Cuando aumentaba Ia distancia entre los objetos, Coulomb descubriO que Ia fuerza disminula en un factor que era igual a! cuadrado de Ia distancia que los separa. Es decir, si Ia distancia se duplica, la fuerza disminuye
SECCION 21-5
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-fibra
+ varilla
Ley de Coulomb
549
Q1
r-
FIGURA 21-13 Ley de Coulomb, ecuación 21-1, define Ia fuerza entre dos cargas puntuales Q y Q2, que están separadas por una distancia r.
hasta una cuarta parte de su valor original. En consecuencia, Coulomb concluyó lo siguiente: Ia fuerza que ejerce un objeto pequeno (que tiene carga) sobre otro objeto es proporcional al producto de Ia magnitud de Ia carga en uno de los objetos Q1, por Ia magnitud de Ia carga en el otro Q2, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa r (véase Ia figura 21-13). Como una ecuación, podemos expresar la ley de Coulomb en la siguiente forma:
F=k
FIGURA 21-14
La direcciOn de Ia
fuerza depende del signo que tienen las cargas, si ambas tienen el mismo signo (a) y (b), si tienen signos contrarios (c). F21 = fuerza en 2 debido a 1
F12 = fuerza en 1 debido a 2
F21
F12
F12
1
2
-
F12
F2 2
F21
(21-1)
donde k es una constante de proporcionalidad. La ecuación 21-1 proporciona la magnitud de Ia fuerza eléctrica que ejerce un objeto sobre otro. La direcciOn de Ia fuerza eléctrica siempre coincide con Ia Ilnea que une ambos objetos. Si las dos cargas tienen el mismo signo, la fuerza que actüa en uno de los objetos se aleja del otro. Si ambas cargas tienen signos opuestos, Ia fuerza en uno de los objetos se dirige hacia el otro, véase la figura 21-14. Cabe indicar que Ia fuerza que ejerce la primera carga en Ia segunda es igual pero de signo contrario a la fuerza que ejerce la segunda carga sobre la primera, de acuerdo con Ia tercera ley de Newton. La validez de La ley de Coulomb se fundamenta en La exactitud de las mediciones que se realizan en esta época, que son mucho más sofisticadas que el experimento original de Coulomb. Actualmente se ha demostrado que el exponente 2 de la ley de Coulomb tiene una exactitud de 1 parte en 1016 [es decir, 2 ± (1 x 10-16)1. Como en esta sección estamos analizando una nueva cantidad (carga eléctrica), podemos elegir sus unidades en forma que Ia constante de proporcionalidad k de Ia ecuaciOn 21-1 sea igual a Ia unidad. En verdad, hubo una epoca en Ia que este sistema de unidades fue muy comün.t Sin embargo, Ia unidad que se utiliza ampliamente en Ia actualidad es el coulomb (C), que forma parte del sistema internacional de unidades SI. En Ia actualidad el coulomb se define en forma precisa en términos de Ia corriente eléctrica y el campo magnético, y se analizará posteriormente (sección 28-3). En el SI, el valor de la constante k es
k = 8.988 X 109Nm2/C2
9.0 X 109Nm2/C2.
AsI, 1 C es Ia cantidad de carga que, al ser colocada entre dos objetos puntuales, que tienen una separación de 1.0 m, hace que cada cuerpo ejerza sobre el otro una fuerza de (9.0 X iO N.m2/C2)(1.0 C)(1.0 C)/(1.0 m)2 = 9.0 X iO N. Esta es una fuerza enorme, igual al peso de casi un millOn de toneladas. Normalmente no encontramos cargas tan grandes como 1 coulomb. Las cargas que se producen cuando se frotan objetos de uso comün (como un peine o una regla de plástico) son del orden de un microcoulomb (1 C = 10 C) o menos. Los objetos que adquieren una carga positiva tienen un deficit de electrones, mientras que los objetos que tienen carga negativa tienen un exceso de electrones. Se ha determinado que Ia magnitud de Ia carga de un electrOn es igual a 1.602 x 10 C, y su signo es negativo. Esta es Ia carga de menor magnitud que se puede encontrar en Ia naturaleza6, y debido a su naturaleza fundamental, se le ha asignado el sImbolo e. Con bastante frecuencia se le conoce como carga elemental.
e = 1.602 X 10'9C. Cabe indicar que e se define como un nümero positivo, en consecuencia Ia carga de un electrOn es -e. (Del mismo modo, Ia carga de un protOn es +e.) Como un objeto no puede ganar o perder una fracción del electron, Ia carga rieta en cualquier objeto debe ser un mOltiplo entero de esta carga. Entonces se puede afirmar que la carga eléctrica está cuantizada (sOlo existe en cantidades discretas: le, 2e, 3e, etc.). Sin embargo, como e es muy pequefio, normalmente no riotamos esta caracterIstica discreta en las cargas macroscOpicas (1 C necesita aproximadamente 1013 electrones), las cuales parecen ser continuas. Nos referimos a! sistema de unidades cgs, en este sistema Ia unidad de carga eléctric,a se denomina unidad
electrostáiica (esu) o estatocoulomb. Un esu se define como Ia carga en dos objetos puntuales que están separados por un centimetro, y genera una fuerza de I dma. De acuerdo con el modelo estandarizado de Ia fIsica de partIculas elementales, las partIculas subnucleares se denominan quarks. y su carga es menor a Ia del electron, igual a e o e. En Ia actualidad, los quarks no se han
detectado como objetos aislados, y Ia teorla sugiere que los quarks libres pueden no ser detectables.
550
CAPITULO 21
Carga eléctrica y campo eléctrico
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Cabe indicar la similitud que existe entre La ley de Coulomb y la ley de gravitaciOri universal, ecuación 6-1. Ambas son leyes del cuadrado inverso (F oc 1/r2). Las dos son proporcionales a! producto de una propiedad de cada cuerpomasa para la gravedad, carga eléctrica para la electricidad. La diferencia principal entre ambas leyes es que Ia gravedad siempre es una fuerza de atracción, en tanto que Ia fuerza eléctrica puede ser de atracción o repulsiOn. Con cierta frecuencia, Ia constante k de Ia ecuación 21-1 se escribe en términos de otra constante, e, que es la permisividad del espacio libre. Dicha constante se relaciona con k de acuerdo con Ia relaciOn k = 1/41T0. Entonces Ia ley de Coulomb se puede expresar en la forma
F=
1
Q1Q2
417-Es
r2
(21-2)
donde 1
Co = 4irk = 8.85 x 1012C2/Nm2. La ecuación 21-2 luce más complicada que Ia ecuación 21-1, pero existen otras ecuaciones fundamentales, que aOn no hemos visto, que son más sencillas en términos de 0, en lugar de k. Desde luego, no importa cuál forma se utilice, porque las ecuaciones 21-1 y 21-2 son equivalentes. Se debe puntualizar que las ecuaciones 21-1 y 21-2 se aplican a objetos cuyo tamano es mucho menor que la distancia que los separa. En forma ideal, estas ecuaciones se ajustan a las cargas puntuales (cuyo tamaño espacial es despreciable si se compara con otras distancias). Para objetos con dimensiones finitas, no siempre est claro qué valor se debe utilizar en r, en especial porque Ia carga puede no estar distribuida de manera uniforme en los objetos. Si ambos objetos son esferas y se sabe que Ia carga está distribuida de manera uniforme en cada una, entonces r es La distancia entre los centros de las esferas.
La ley de Coulomb describe la fuerza que existe entre dos cargas cuando ambas están en reposo. Cuando las cargas están en movimiento se deben considerar fuerzas adicionales, lo cual se analizará en capItulos posteriores. En este capItulo analizaremos solamente las cargas que estn en reposo, este análisis se denomina electroslálica. Cuando se realizan cálculos con la ley de Coulomb se pueden despreciar los signos de las cargas, Ia dirección se determina al indicar si Ia fuerza es de atracciOn o repulsiOn. DeFuerza eléctrica que ejerce un proton sobre un electron. termine Ia magnitud de la fuerza eléctrica que ejerce un protOn (Q2 = +e), que forma parte del nOcleo del átomo, sobre el electrOn de un átomo de hidrógeno. Suponga que el electrOn se "mantiene en Orbita" con relaciOn al proton, y Ia distancia promedio que los separa es r = 0.53 X 10-10 m, véase Ia figura 21-15.
Electron
ProtOn
SOLUCION Al aplicar Ia ley de Coulomb, F = kQ1Q2/r2 (ecuaciOn 21-1), con = 1.6 X 1019C(noseconsideranlossignosdelascargas): r = 0.53 X 10°m, yQ1 = (9.0 x 109Nm2/C2)(1.6 X 10'9C)(1.6 X 1019C) F (0.53 x 10 rn)2 = 8.2 x 108N.
r
H
-
La dirección de Ia fuerza que actOa sobre el electrOn apunta hacia el proton, ya que las cargas tienen signos opuestos y la fuerza es de atracciOn.
Ejemplo 21-1.
FIGURA 21-16
Ejemplo 21-2.
') "
1Qué carga ejerce Ia fuerza de mayor magnitud? Dos cargas positivas Q1 = 50 C y Q2 = 1 tC estn separadas por una distancia 1, véase la figura 21-16. ,Cuál tiene Ia mayor magnitud, Ia fuerza que ejerce Q1 sobre Q2 o la fuerza que ejerce Q2 sobre Q1? fl
FIGURA 21-15
RESPUESTA
De acuerdo con la ley de Coulomb, Ia fuerza que ejerce Q2 sobre Q1 es:
F12 - k
Q=50p.0 -
Q2=lp.0 1
Q1Q2 2
La fuerza que ejerce Q1 en Q2 es Ia misma excepto que Q1 y Q2 están invertidas. La ecuaciOn es simétrica con relaciOn a ambas cargas, por tanto F21 = F12. La tercera ley de Newton indica que ambas fuerzas deben tener Ia misma magnitud. SECCION 21-5
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Ley de Coulomb
551
Es muy importante que recordemos que Ia ecuación 21-1 (o 21-2) proporciona Ia fuerza que experimenta una carga debido a Ia acción de una ánica carga adicional. Si existen varias cargas, la fuerza neta en cualquiera de ellas será Ia suma vectorial de las fuerzas que producen las demás cargas. Este principio de superposición se basa en la experimentaciOn, y nos indica que los vectores de fuerza eléctrica se suman como cualquier otra cantidad vectorial. Para distribuciones continuas de cargas, la suma se transforma en una integral. Cuando se tienen varias cargas, se recomienda el uso de dobles subIndices en cada una de las fuerzas que están involucradas. El primer subIndice se refiere a la particula que experimenta Ia fuerza, el segundo se refiere a Ia partIcula que ejerce la fuerza. Por ejemplo, si se tienen tres cargas, la fuerza F31 significa Ia fuerza que ejerce Ia partIcula 1 en Ia partIcula 3. Como sucede en la resoluciOn de cualquier problema, es muy importante elaborar un diagrama, en especial un diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo, con elfin de mostrar todas las fuerzas que actOan sobre ese cuerpo. Al aplicar Ia ley de Coulomb, solamente se pueden manipubar las magnitudes de las cargas (sin tomar en cuenta los signos de menos) para calcular Ia magnitud de cada una de las fuerzas. Entonces se determina, en forma fIsica, la direcciOn de Ia fuerza (a lo largo de la lInea de fuerza que une ambas partfculas: cargas iguales se repelen, cargas diferentes se atraen), y se indica la fuerza en el diagrama. Por Oltimo, se suman en forma vectorial todas las fuerzas que actOan sobre el objeto.
k-0.30 m-4-0.20 m=
-8.0 C
Q2 =
+3.0 C -4.0
-x =
C
(a)
Tres cargas en una linea. Tres particulas cargadas estan cobcaaas en Lnea, como se muestra en Ia figura 21-17a. Calcule Ia fuerza electrostática neta que ejercen las partIculas 1 y 2 sobre la partIcula 3 (Ia carga de -4C que est a Ia derecha).
La fuerza neta en la partIcula 3 es Ia suma vectorial de Ia fuerza F31 que ejerce Ia partIcula 1 y Ia fuerza F32 que ejerce Ia partIcula 2: F = F31 + F32. Las magnitudes de ambas fuerzas son SOLUCION
F32
F31
F31 =
(b) FIGURA 21-17 ejemplo 21-3.
Diagrama para el
F32 =
(9.0 x 109N.m2/C2)(4.0 X 106C)(8.0 x i0C) (0.50 rn)2
(9.0 x iO Nm2/C2)(4.0 X 106C)(3.0 X 106 C) (0.2Dm)2
= 1.2N = 2.7N.
Como vamos a calcular la magnitud de ambas fuerzas, omitimos los signos de las cargas;
pero debemos considerar los signos para deterrninar Ia dirección de cada una de las fuerzas. Si suponemos que Ia Ilnea que une ambas partIculas es el eje x, Ia direcciOn positiva estará a Ia derecha. Por consiguiente, como Ia fuerza F31 es de repulsion y F32 es de atracción, las direcciones de las fuerzas se muestran en Ia figura 21-17b: F31 apunta hacia Ia direcciOn positiva de x y F32 apunta en la direcciOn negativa de x. Entonces Ia fuerza neta en Ia partIcula 3 es
F = -F32 + F31 = -2.7N + 1.2N = -1.5N. La magnitud de la fuerza neta es -1.5 N y apunta a Ia izquierda. Cabe indicar que en este ejemplo Ia carga que está en medio (Q2) no bloquea en absoluto el efecto de la otra (Q1). Cálculo de Ia fuerza eléctrica aplicando las componentes vectoriales. Calcule la fuerza electrostática neta en Ia carga Q3 (que se muestra en Ia figura 21-18a) que generan las cargas Q1 y Q2. El diagrama muestra Ia direcciOn de las fuerzas F31 y F32, se observa que Q1 ejerce una fuerza de atracciOn y Q2 ejerce una fuerza de repulsion. Las magnitudes de F31 y F32 son (sin tomar en cuenta su signo porque ya conocemos sus direcciones) SOLUCION
=
F32 =
552
CAPITULO 21
Carga eléctrica y campo eléctrico
(9.0 x 109Nm2/C2)(6.5 >< 105C)(8.6 x i05c) (0.6Dm)2
(9.0 X iO Nm2/C2)(6.5 X 105C)(5.0 x iO C)
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(0.30 rn)2
= 140N = 330N.
03
F3 Ix
+65 C
-1-30°
F3 1y
. 6O
E
C.)
900 300'
= +50 1jC
52cm
x Q1 =
x
861iC
(a) FIGURA 21-18
DeterminaciOn de Las fuerzas para el ejemplo 21-4.
Al calcular las componentes de F31 en los ejes x y, como se muestra en Ia figura 21-18a se tiene
F311 = F31
F31 cos 30° = 120 N,
= F31 sen 30° = 70 N.
La fuerza F32 sOlo tiene una componente en ci eje y. Por tanto la fuerza neta F que actOa sobre Q3 tiene las siguientes componentes
F1 = F311 = 120N F = F32 + F31
= 330N - 70N = 260 N.
Por tanto, Ia magnitud de Ia fuerza neta es
F = \/FX2 + F = \/(120N)2 + (260 N)2 = 290 N; Esta fuerza acttia en un ángulo 0 (véase Ia figura 21-18b) que está determinado por tan 0 = FY/FX = 260 N/120 N = 2.2, por lo tanto 0 = 65°.
* Forma vectorial de Ia ley de Coulomb La Jey de Coulomb se puede escribir en forma vectorial (al igual que Ja Icy de Newton para Ia gravitaciOn universal en el capItulo 6, sección 6-2 del volumen I) de acuerdo con Ia expresiOn
F12 = k
r21
.
r21'
donde F12 es el vector de fuerza que actUa en Ia carga Q1 debido a Q2 y r21 es ci vector unitario que va de Q2 a Q1. Es decir, r2i va de La carga "fuente" Q2 hacia Ia carga en La que se desea conocer Ia acciOn de Ia fuerza (Q1), véase Ia figura 21-19. Las cargas Q1 y Q2 pueden ser tanto positivas como negativas, pero esto afectará a Ia dirección de la fuerza eléctrica. Si Q1 y Q2 tienen el mismo signo, entonces el producto Q1 Q2 > 0 y Ia fuerza en Q1 se aleja de Q2, en otras palabras, se trata de una fuerza de repulsiOn. Si Q1 y Q2 tienen signos opuestos, entonces Q1 Q < 0 y F12 apunta hacia Q2, es decir, ia fuerza es de atracciOn.
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Q1 -2 I
FIGURA 21-19 Determinación de Ia fuerza que ejerce Q2 sobre Q1, se indica La dirección de vector unitario r2
.
SECCION 21-5
Ley de Coulomb
553
El camro eléctrico Tanto la fuerza gravitacional como la fuerza eléctrica actüan a distancia: existe una fuerza aun cuando los objetos no se tocan. La idea de una fuerza que actda a distancia
.p
Un campo eléctrico rodea cualquier carga. P es un punto arbitrario. FIGURA 21-20
FIGURA 21-21 Fuerza que ejerce Ia carga +Q en una pequena carga de prueba q, la cual se sitüa en los puntos
a,byc.
Fa
.
a +Q
C
F
fue incomprensible para los pensadores de épocas pasadas. Newton se sintiO incOmodo con esta idea cuando publicó su ley de la gravitaciOn universal. Una forma titil de analizar esta situación utiliza el concepto de campo, que fue desarrollado por el cientIfico británico Michael Faraday (1791-1867). En el caso eJéctrico, de acuerdo con Faraday, un campo eléctrico se extiende hacia el exterior de cualquier carga y atraviesa todo el espacio (figura 21-20). Cuando una segunda carga se coloca cerca de Ia primera, Ia Se-
gunda carga experimenta una fuerza debido a! campo eléctrico que permanece en el lugar (por decir, en el punto P de La figura 21-20). Se considera que el campo eléctrico en la posiciOn de Ia segunda carga interacciona directamente con esta carga para producir una fuerza. En un principio podemos investigar el campo eléctrico que rodea a una carga, o a un grupo de cargas, si medimos la fuerza en una carga de prueba que tiene signo positivo y tamaflo reducido. El término carga de prueba se refiere a una carga que es tan pequena que Ia fuerza que ejerce no altera en forma perceptible la distribuciOn de las cargas que genera el campo que se va a medir. La figura 21-21 muestra Ia fuerza que acttia en una carga positiva y pequena q que se coloca en varias posiciones en los airededores de una sola carga positiva Q. La fuerza en b es menor que la fuerza en a porque la distancia es mayor (ley de Coulomb), y Ia fuerza en c es todavIa menor. De cualquier modo, la fuerza se dirige en forma radial hacia el exterior de Q. El campo eléctrico se define en términos de Ia fuerza que actda en esa carga positiva de prueba. En especial, el campo eléctrico 0, E, en cualquier punto del espacio se define como La fuerza F que actiia sobre una pequena carga positiva de prueba en ese punto, dividida entre Ja magnitud de la carga eléctrica q: E =
(21-3)
Idealmente, E se define como el lImite de F/q conforme q se hace cada vez más pequeña, aproximándose a cero. A partir de esta definición (ecuaciOn 21-3), se observa que el campo eléctrico en cualquier punto del espacio es un vector cuya direcciOn es Ia dirección de la fuerza que actüa en una carga positiva de prueba en ese punto; y su magnitud es la fuerza por unidad de carga. En consecuencia, E se mide en newtons por coulomb (N/C). E se define como F/q (con q 0) porque E no depende de Ia magnitud de la carga de prueba q. Esto significa que E describe solamente el efecto de las cargas que generan el campo eléctrico en ese punto. Se puede medir el campo eléctrico en cualquier punto del espacio, con fundamento en Ia definiciOn de campo eléctrico, ecuación 21-3. Para situaciones sencillas que involucran una o varias cargas puntuales, se puede calcular el valor de E. Por ejemplo, Ia magnitud del campo eléctrico (E) a una distancia r de una sola carga puntual Q está determinada por
E= F q
= kqQ/r2 q
=k r2 o, en términos de
[una sola carga puntual]
(21-4a)
como en Ia ecuaciOn 21-2 (k = l/4ire0):
1Q
E = 'tlT0 r A
[una sola carga puntual]
(21-4b)
Observe que E es independiente de q, es decir, solamente depende de La carga Q que produce el campo, no asI del valor de la carga de prueba q. La ecuaciOn 21-4 se conoce también como Ia forma de campo eléctrico de Ia ley de Coulomb.
554
CAPITULO 21
Carga eléctrica y campo eléctrico
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Copiadora electrostática. La copiadora electrostática funciona a! agrupar en torma selectiva cargas positivas (de acuerdo con el patrOn que se va a copiar) en Ia superficie de un tambor no conductor, después, se roclan partIculas de toner (tinta) que tienen carga negativa en la superficie del tambor. Las partIculas de tOner se adhieren en forma temporal al patrOn del tambor y después se transfieren a! pape!, donde se "funden" posteriormente para producir la copia. Suponga que cada partIcula de toner tiene una masa de 9.0 x 10_16 kg y transporta en promedio 20 electrones adicionales para generar una carga eléctrica. Si se supone que Ia fuerza eléctrica en una partIcula de toner debe superar dos veces su peso para obtener una atracción suficiente, calcule La magnitud del campo eléctrico que se debe generar cerca de la superficie del tambor. Véase Ia figura 21-22. SOLUCION
Superficie del tambor
El valor mInimo del campo eléctrico satisface la relación
qE = 2mg donde q = 20e. Por 10 tanto
E=
2 mg
2(9.0
X 10
PartIculas de toner que se adhieren a La superficie del tambor debido a! campo eléctrico E
kg)(9.8 m/s2)
20(1.6 x io-19c)
q
= 5.5 x iO N/C.
FIGURA 21-22
Campo eléctrico de una carga puntual. Calcule la magnitud y Ia dirección del campo eléctrico en el punto P, que está 30 cm a la derecha de la carga puntual Q = -3.0 X 10 C. SOLUCION La magnitud del campo eléctrico que genera una carga puntual está de-
Ejemplo 21-6. (a) Campo eléctrico en el punto P debido a La carga negativa Q, (b) campo eléctrico debido a una carga positiva Q. FIGURA 21-23
terminada por Ia ecuaciOn 21-4:
E = k Qr2- =
Ejemplo 21-5.
30cm
(9.0 X iO N.m2/C2)(3.0 x 10-6 C) = 3.0 x iO N/C. (0.30m) 2
La direcciOn del campo eléctrico apunta hacia Ia carga Q como se indica en Ia figura 21-23a, ya que la direcciOn es igual la direcciOn de Ia fuerza que actOa en una carga positiva de prueba. Si Q fuera positiva, el campo eléctrico apuntarIa hacia fuera, como sucede en la figura 21-23b.
Este ejemplo muestra un resultado general: el campo eléctrico que produce una carga positiva se aleja de Ia carga, por el contrario, el campo E que genera una carga negativa apunta hacia dicha carga. Si el campo está generado por más de una carga, los campos individuales (designados por E1, E2, etc.) que generan cada una de las cargas se suman vectorialmente para obtener Ia fuerza total en cualquier punto:
E = E1+E2+.
P
Q=-3.0xlOC E=3.OxlO5N/C Q=+3.0x1OC
E=3.OxlO5N/C
FIGURA 21-24 (a) Campo eléctrico en un punto del espacio. (b) Fuerza en una carga positiva. (c) Fuerza en una carga negativa.
(a)
(21-5)
La validez de este pnncipio de superposición para los campos eléctricos está confirmada totalmente por medio de Ia experimentación. Si designamos a un campo eléctrico F un lugar en el espacio, entonces podemos calcular la fuerza F que actüa en cualquier carga q (aun si esta no es pequena) que esté colocada en ese sitio (véase la ecuaciOn 21-3):
F = qE.
E (b)
+q
F
-q (c)
Si q es positiva, F y E apuntarán en Ia misma dirección. Por el contrario, Si q es negativa, F y E apuntarn en direcciones opuestas. Véase Ia figura 21-24.
SECCION 21-6
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El campo eléctrico
555
Q1=-'5j.tC
Q2=+50.LC
P
(a) Ejemplo 21-7. En (b), no se conocen las longitudes relativas de E1 y E2, esto sucede hasta que se realizan los cálculos.
r2=8.Ocm
FIGURA 21-25
.
E
Q1
Q2
(b)
L2
Campo eléctrico E entre dos cargas puntuales. Dos cargas puntuales estan separadas por una distancia de 10.0 cm. Una tiene una carga de -25 tC y La otra de +50 C. (a) ,Cuál es Ia direcciOn y magnitud del campo eléctrico en el punto P que está situado entre ambas cargas, es decir, a una distancia de 2.0 cm de la carga negativa (figura 21-25a)? (b) Si un electron se coloca en reposo en el punto P, j,cuál será su aceleraciOn inicial (dirección y magnitud)? SOLUCION
(a) El campo está integrado por La combinaciOn de dos campos que
apuntan a Ia izquierda: el campo que genera La carga negativa Q apunta hacia Q1, y el campo que genera Ia carga positiva Q2 se aleja de Ia carga Q2, se dirige a La izquierda, figura 21-25b. For tanto, podemos sumar algebraicamente las magnitudes de ambos campos:
E-
Q2 2+k2 r2
Q1 r1
(Q2/Q) Q2" Q1 I 2+2 -k211+1212 r21r1 r2 /
(Q
r1
r1
En el Oltimo paso factorizamos el término (Q1/r). Al sustituir r1 = 2.0 cm = 2.0 xlO-2myr2=8.0 X 102m: (25 x 10-6 C) 1 (50/25) Ii + (8.0/2.0)2 E = (9.0 X iO Nm2/C2)
= 5.6 x
(2.0 X 10_2m)2
108
1 + 1N/C = 6.3 x
L
108 N/C.
Cabe indicar que el hecho de factorizar el término Q1/r en Ia primera lInea nos permite observar las fuerzas relativas de los dos campos que interaccionan, el campo de es solamente del campo de Q1(o del campo total). (b) El electrOn sentirá una fuerza que se dirige hacia Ia derecha, porque tiene carga negativa y en consecuencia la aceleración también se dirigirá a Ia derecha. Partiendo de Ia definición de campo eléctrico, ecuación 21-3, Ia fuerza en cualquier carga q (aOn si esta no es pequena) que se coloca en un campo eléctrico E está determinada por F = qE. En consecuencia, la magnitud de La aceleraciOn es (1.60 x 10 C)(6.3 x 108 N/C) qE F = 1.1 x 10 20 rn/s.2 a= m = m = 9.1 X 10-31 kg Campo eléctrico E encima de dos cargas puntuales. Calcule el campo eléctrico total: (a) en el punto A, y (b) en el punto B de acuerdo con Ia figura 21-26, debido a las cargas Q1 y Q2 (a) El cálculo es muy similar al del ejemplo 21-4, pero esta vez tratamos con campos eléctricos. El campo eléctrico en A es igual a la suma vectorial de los campos EAt debido a Q1, y EA2 debido a Q2; para cada carga puntual E = kQ/r2, por tanto SOLUCION
RESOLUCION DE PROBLEMAS
EAL =
EA2 =
(9.0 X iO N . m2/C2)(50 x 10-6 C)
(0.60 rn)2 (9.0 X i0 Nm2/C2)(50 X 10-6 C) (0.30 rn)2
= 1.25 x
= 5.0 x
106 N/C, 106
N/C.
Se indican las direcciones, en consecuencia el campo eléctrico total en A, EA, tiene las siguientes componentes
EAX = EAlcos3O° = 1.1 x 106 N/C, EAY = EA2 - EAI sen 300 = 4.4 x i0 N/C. 556
CAP1TULO 21
Carga eléctrica y campo eléctrico
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EA2, Y
-A
EB2
B -4
'EB
30cm .... -. -...
26cm
a
\
26cm
x = -50 lLC
Q2=+50LC
Cálculo del campo eléctrico en Los puntos A y B para el ejemplo 21-8. FIGURA 21-26
Por tanto, la magnitud de EA es
EA = V'(1.1)2 + (4.4)2 x 106 N/C = 4.5 X 106 N/C, y su dirección 4) está determinada por tan 4) = EAY/EAX = 4.4/1.1 = 4.0, por lo que 4) = 76°. (b) Dc acuerdo a! teorema de Pitágoras, como el punto B está a una distancia de 40 cm de las dos cargas, que son iguales, las magnitudes de EBI y E2 son idénticas, es decir EBI
=
EB2
(9.0 x iO N m2/C2)(50 x 10-6 C)
kO =
2
RESOLUCION DE PROBLEMAS
=
= 2.8 x
(0.40m)2 106 N/C.
Además, debido a Ia simetrIa, las componentes en y tienen Ia misma magnitud pero signos opuestos. En consecuencia, ci campo total EB es horizontal e igual a EBI cos 0 + EB2 cos 0 = 2EBI cos 0; dcl diagrama, cos 0 = 26 cm/40 cm = 0.65. Entonces
EB = 2EBI cos 0 = 2(2.8 x 106 N/C)(0.65) = 3.6
X 106 N/C,
y Ia direcciOn de EB es paralela a! eje +x.
RESOLUCION DE PRO BLEMAS En la resoluciOn de problemas de electrostática se debe seguir el procedimiento general para la resolución de problemas que se analizó en la secciOn 4-8 del volumen I. En forma especial el alumno debe: Elaborar con sumo cuidado un diagrama de cuerpo libre para cada objeto, el cual debe indicar todas las fuerzas que actüan sobre ese objeto, o el campo eléctrico en ese punto que generan todas las fuentes. Aplicar Ia icy de Coulomb para calcular Ia magnitud de Ia fuerza que ejerce cada una de las cargas sobre el objeto con carga, o el campo eléctrico en ese punto. Solamente
se deben considerar las magnitudes de las cargas (sin
considerar el signo menos), para obtener ia magnitud de cada fuerza o campo eléctrico. Luego se determina en forma fIsica Ia dirección de cada fuerza o campo eléctrico (cargas iguales se repeien, cargas opuestas se atraen). El diagrama debe mostrar e identificar cada vector de fuerza. Luego se suman en forma vectorial todas las fuerzas que actUan sobre ci objeto, o los campos que contribuyen en un punto, para obtener ia resuitante. Siempre que sea posibie se deben apiicar los conceptos de simetrIa (geométrica).
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SECCION 21-6
El
campo eléctrico
557
Cálculo del campo eléctrico para distribuciones continuas de carqa En La mayor parte de los casos, podernos tratar a una cargat como si estuviera distribuida en forma continua. Se puede separar una distribuciOn de cargas hasta liegar a cargas infinitesimales dQ, cada una de las cuales actuará corno una pequena carga puntual. La contribuciOn al campo eléctrico a una distancia r de cada dQ es
dE=
ldQ
(21-6a) r2 Eritonces, el campo eléctrico E en cualquier punto se obtiene a! sumar todas las contri4ITE0
buciones infinitesirnales, que es Ia integral E
dE. (21-6b) = J Observe que dE es un vector (Ia ecuación 21-6a proporciona su magnitud). [En los casos donde la ecuaciOn 21.6b es difIcil de evaluar, con frecuencia se pueden aplicar otras técnicas (que se analizarán en los dos capItulos siguientes) para determinar E. En La rnayorIa de los casos tarnbién se puede utilizar la integración numerica.]
Anillo con carga.
Un objeto pequefio con forma de anillo y radio
a raniene na carga total Q, la cual está distribuida en forma uniforme airededor de todo ci anillo. Determine ei campo eléctrico en el punto P del eje del anillo, que está a una distancia x del centro del mismo. Véase Ia figura 21-27. Suponga que X es Ia carga por unidad de longitud (C/rn).
El carnpo eléctrico dE que genera un segrnento particular del anillo, que tiene una longitud dl, tiene la siguiente rnagnitud SOLUCION
dE=
ldQ
4r0 r
2
El anillo completo tiene una longitud (circunferencia) de 2ira, por tanto Ia carga en una longitud dl es
dl)
= Ad!
dQ = Q( 2lTa
donde A = Q/2ira es Ia carga por unidad de longitud. Ahora podernos expresar a dE como
dE= RESOLUCION DE PROBLEMAS
1
Ad
4ire0 r
El vector dE está integrado por dos cornponentes, dE que corre a lo largo del eje x y dE1 que es perpendicular al eje x (véase la figura 21-27). Vamos a surnar (integrar) en todo ci anillo. Cabe indicar que un segrnento diarnetralrnente opuesto, d4 que tiene Ia rnisrna longitud producirá un vector dE cuya componente ser perpendicular al eje x y cancelará a Ia cornponente dE1. Lo anterior es válido para todos los segmentos del Como asumimos que existe una carga minima (e), este tratamiento se elige por conveniencia; no obstante, resuita (itil y exacto porque normaimente ci valor de e es mucho más pequeno que las cargas macroscópicas.
FIGURA 21-27
Ejemplo 21-9.
dEdEcosO x
dE1
558
CAPITULO 21
Carga eléctrica y campo eléctrico
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dE
anillo, en consecuencia, por simetrIa E estará dirigido a lo largo del eje x, solamente necesitamos sumar las componentes en x, dEs. Entonces, el campo total es
E=E=
JdEx
=
JdEcose
Como cos 0 = x/r, donde r = (x2 +
E=
se tiene que
x
A
(4) (x2 + a2)
41AJcosO.
=
dl =
1
Ax(2ra)
1
Qx
4r0 (x2 +
10
4re0 (x2 + a2) A mayores distancias, x >> a, Ia expresion anterior se reduce a E = Q/4ir0x2. Podemos esperar este resultado ya que a mayores distancias el anillo se parecerá a una carga puntual (dependencia en 1/r2).
RESOLUCION DE PROBLEMAS
Observe que en este ejemplo se pueden utilizar tres "trucos" o técnicas importantes para resolver problemas: (1) aplicar el concepto de simetrIa para reducir Ia cornplejidad del problema; (2) expresar Ia carga dQ en términos de una densidad de carga (que en este caso es lineal, A = Q/2ira); y (3) verificar La respuesta en el ilmite de r, cuando r aumenta, lo cual sirve como indicaciOn (pero no es prueba definitiva) de Ia veracidad de Ia respuesta. Si el resultado no es correcto cuando el valor de r es máximo, sin duda el resultado estará completamente mal. Carga en una Ilnea larga. Determine Ia magnitud del campo eiectrico en cuaiquier punto P que está a una distancia x de una lInea muy larga (por decir un alambre) de una carga que está distribuida en forma uniforme, figura 21-28. Suponga que x es mucho más pequena que Ia longitud del alambre y A es Ia carga por unidad de longitud (C/rn). SOLUCION Partimos de un sistema de coordenadas donde el alambre está en el eje y y el origen está en 0 como se indica en la figura. Un segmento de alambre dy tiene una carga dQ = A dy. El campo dE en P, que genera esa longitud de alambre en y, tiene Ia siguiente magnitud Ady dQ 1 1 dE= 4ire0 r2 = 4ir0 (x2 +
RESOLUCION DE PROBLEMAS
dy
I y
donde r = (x2 + y2) como se indica en Ia figura 21-28. El vector dE tiene las
componentes dE y dE como se muestra, donde dE = dE cos0 y dE = dE sen 0. Si el alambre es extremadamente largo en ambas direcciones (lo suficiente como para
que las contribuciones lejanas tengan poco efecto si se comparan con las contribuciones cercanas), 0 si 0 está en el punto medio del alambre (aun cuando el alambre ten-
ga poca longitud), entonces Ia componente y de E será cero porque existe una cantidad igual de contribuciones a E = fdE arriba y abajo del punto 0, por tanto
E=
FIGURA 21-28
Ejemplo 21-10.
JdEsenO = 0.
Entonces tenemos que
E=E=
JdEcoso
fcosody
A
4ir0
x2 + y2 E proceso de integración ha terminado, en toda Ia longitud del alambre tratamos a x como una constante. Ahora debemos escribir a 0 corno una función de y, o a y como una función de 0. Lo haremos rnás adelante, ya que y = x tan 0, dy = x dO/cos2 6, y (x2 + y2) = x2/cos2 6. Entonces E =
A
1r/2 I
41TE0 X J-ir/2
cosOdO =
J
A
4re0x
(sen0)
ir/2
-/2
=
1
A
21TE0 X
luego entonces hemos asumido que el alambre es extremadamente largo en ambas direcciones (y -+ ±oo), lo que corresponde a los lImites 0 = ± r/2. Por tanto el camp0 de una lInea recta y larga de carga disminuye inversamente con respecto a Ia primera potencia de Ia distancia del alambre. Este resultado, que se obtuvo a partir de un alambre infinito, es una aproximación aceptable para un alambre que tiene longitud finita, siempre y cuando x sea pequefla si se compara con la distancia P desde los extremos del alambre.
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SECCION 21-7
559
Disco con carga uniforme. La carga está distribuida de manera uniforme en un disco circular de poco espesor y radio R. La carga por unidad de area (C/rn2) es ci. Calcule el campo eléctrico en ei punto P en ci eje del disco, a una distancia z por encirna de su centro, véase la figura 21-29. SOLUCION Podernos pensar que el disco está integrado por una serie de anillos concéntricos. En consecuencia se puede aplicar el resultado del ejemplo 21-9 a cada urio de estos anillos, para después surnar los resuitados de todos los anillos. Para ci dQ
anillo de radio r que se muestra en la figura 21-29, ei campo eléctrico tiene Ia siguiente magnitud
Ejemplo 21-11: un disco piano que tiene carga uniforme y radio R.
dE=
FIGURA 21-29
zdQ
1
4ire0
(z2 +
en este caso se ha utiiizado ci resultado dcl ejemplo 21-9, y se ha utilizado dE (en vez
de E) para este anillo delgado que tiene una carga total dQ. El area dcl anillo es
(dr)(2irr), al considerar e insertar la cxpresiOn de carga por unidad de area
ci
= dQ/(2irr dr) se obtiene: 1
dE
zcr2irr dr
zcrr dr
(z + r2)
2e0(z2 + r2) Ahora se suman los datos de todos los anillos comenzando con r = 0, hasta ilegar al anillo más grande con r = R:
E= 2 J0
r dr (z2 +
zo-
2
1
L
- 2 [Ii
]R
1
(z2 + r2)]o z
1 I
(z2 + R2)1]
La exprcsion anterior proporciona Ia magnitud de E en cualquier punto z que es paralelo al eje dcl disco. La direcciOn de cada dE que produce cada anillo es paralela al eje z (corno en ci ejemplo 21-9), y en consecuencia, La dirección dc E es paralela a z. Si Q (y ci) son positivos, entonces E apunta hacia fuera dcl disco, si Q (y ci) son negativos, E apunta hacia ci interior del disco. Si ci radio del disco en ci ejemplo 21-11 es mucho rnayor quc la distancia del punto P al disco, (p. ej., z > I, está determinado por (1/4ire0)(2Q/r2). (b) Explique porqué disminuye eL campo en un factor de 1/r2, mientras que en el caso de un dipolo disminuye en 1/r3. (IL) Un dipolo eLéctrico, que proviene de un momento dipolar p y momento de inercia I, se coLoca en un campo eLéctrico uniforme E. (a) Si se desplaza a un ángulo 0 como se muestra en La figura 21-43 y Luego se iibera, ,bajo qué condiciones osciLará en movirniento armOnico simple? (b) ,cuaL será su frecuencia? Suponga que un dipoLo p se coloca en un campo eLéctnico que no es uniforme E = Ei, el cuaL apunta a lo largo del eje x. Si E depende solamente de x, demuestre que La fuerza neta en el dipoio es
F=
R
x
dE.
donde dE/dx es ci gradiente del campo en Ia direcciOn x. (III) (a) Demuestre que en los puntos que están a Lo Largo del eje de un dipolo (en La misma linea que contiene +Q y Q), eL campo eléctrico tiene La siguiente magnitud
x
Oq
(
2p 1 - 41TE0 r3 para r>> I (véase La figura 21-44), donde r es Ia distancia desde el punto hasta el centro del dipolo. (b) ,En qué dirección apunta E? E
FIGURA 21-60
Problema 59.
Problemas generales ,A qué distancia deben estar dos electrones si La fuerza eLéctrica entre ambos es iguaL al peso de cada uno de eLlos en La superficie de Ia Tierra? Imagine que Los invasores del espacio pueden depositar electrones adicionales en cantidades iguaLes en La Tierra y en su automóvil, el cual tiene una masa de 1050 kg. Nótese que Las LLantas
proporcionan cierto aisLamiento. ,Cuánta carga Q se necesitana para depositar en su automóvil (La misma cantidad que en La Tierra) para hacer que flote (que supere a Ia gravedad)? [Sugerencia: suponga que La carga de La Tierra está distribuida en forma uniforme de manera que actOa como si estuviera locaLizada en eL centro de La Tierra, y en ese caso Ia distancia de separación serIa el radio de La Tierra.] 572
CAP1TULO 21
Una moneda de cobre de 3.0 g tiene una carga positiva de 5.5 c. tQué fracciOn de sus eLectrones ha perdido? Suponga que La atracción eléctrica, en vez de La gravedad, fuera Ia responsabLe de mantener a La Luna en su Orbita aLrededor de Ia Tierra. Si se coLocan cargas iguales Q y de signo opuesto en La Tierra y en Ia Luna, ,cuáI deberfa ser el valor de Q para mantener La órbita actual? UtiLice Los siguientes datos: masa de Ia Tierra = 5.97 x 1024 kg, masa de La Luna = 7.35 X 1Q kg; ra-
dio de Ia órbita = 3.84 X 10 m. Trate a Ia Tierra y a La Luna como si fueran partIcuLas puntuales.
Carga eléctrica y campo eléctrico
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Una clase de cuadripolo eléctrico está formada por dos dipolos que se colocan de extrerno a extremo con sus cargas negativas traslapadas, es decir, en el centro está -2Q rodeado (en ilnea) por una carga +Q en cada lado (figura 21-61). Determine el camp0 eléctrico E en los puntos que están a lo largo del bisector perpendicular y muestre que E disminuye en la forma hr4.
Una carga puntual positiva Q1 = 1.85 x i0 C se mantiene en el origen de las coordenadas, en tanto que una carga negativa Q2 = -7.65 x 10 C se mantiene en el eje x en Ia posiciOn x = +2.00 m. Determine la localizaciOn de los puntos a lo largo del eje x donde el campo eléctrico que generan ambas cargas es cero.
Calcule Ia fuerza neta entre el grupo CO y el grupo HN que se muestran en Ia figura 21-64. Los puntos C y 0 tienen cargas efectivas de ± 0.40e y H y N tienen cargas efectivas de ± 0.20e donde e = 1.6 X 10 C. [Sugerencia: no incluya las fuerzas "internas" entre C y 0, o entre H y N].
I
/
-2Q
+Q
+Q
/10.12
FIGURA21-61 Problema 70.
Q3=-6.0C
FIGURA 21-64
Problema 78.
0.28 nm
Un electrOn se mueve a una velocidad de 2.0 x 106 rn/s hacia
la derecha y entra a una region donde el campo eléctrico es uniforme, se sabe que el campo es paralelo a la dirección del
rnovimiento. Si el electron Ilega al reposo a una distancia de 5.4 cm, (a) ,cuál es La direcciOn del carnpo eléctrico?, (b) LcuOl es Ia magnitud del campo?
Q1=4.O1LC
Q2=-8.ObtC
/
nrn
Tres partIculas con carga se colocan en las esquinas de un triángulo equiiâtero cuyo lado mide 1.20 m (figura 21-62). Las cargas son +4.0 C, -8.0 C y -6.0 j.C. Calcule la magnitud y dirección de La fuerza neta que ejerce cada una de las cargas sobre las dos cargas restantes.
1.20m
Hi-N
Las dos cuerdas de Ia molécula de ADN (material genético en las células vivas que tiene forma de hélice) se mantienen juntas gracias a las fuerzas electrostáticas que se muestran en Ia figura 21-65. Suponga que Ia carga neta promedio que Se indica en Los atomos de H y N es efectivamente 0.2e y Ia carga indicada en los átomos C y 0 es 0.4e. Suponga ademOs que los átomo en cada molécula estOn separados por una distancia de 1.0 x l00 m, y todos los ángulos relevantes son de 120°. Calcule Ia fuerza neta entre (a) Ia tiarnina y adenina, (b) citosina y guanina. (c) Calcule Ia fuerza total para una rnoécula de ADN que contiene io pares de estas moléculas.
FIGURA21-62
Problema7l.
Un proton (m = 1.67 X 10 kg) se suspende en reposo en un campo eléctrico uniforme E. Tome en cuenta Ia gravedad y determine E. Calcule Ia magnitud del campo eléctrico en el centro de un cua-
drado cuyos lados miden 35 cm de longitud silas esquinas tienen las siguientes cargas (en sentido de giro del reloj) 1.0 C, 2.0 C, 3.0 C y 4.0 ftC. Todas las cargas son positivas. En un modelo sencillo del atomo de hidrógeno, el electrOn gira en una órbita circular alrededor del protOn con una velocidad de 1.1 x 106 rn/s. j,Cuál es el radio de Ia Orbita del electrOn? Dos cargas -Q0 y -4Q0 están separadas por una distancia 1. Am-
bas tienen libertad de movimiento pero no Ia ejercen porque
existe una tercera carga en Ia cercanIa. LCuál debe ser Ia magnitud y localizaciOn de Ia tercera carga para que las dos primeras estén en equilibrio? Una carga puntual (m = 1.0 g) se encuentra al final de una cuerda aislante cuya longitud es 55 cm. Se observa que Ia carga est en equilibrio con un campo eléctrico horizontal de 10,000 N/C cuando el péndulo se encuentra en la posiciOn que se muestra en
T
C-.G I
L
G
-
c
Ia figura 21-63. La carga estO 12 cm por encima de Ia po.siciOn mOs
baja (vertical). Si el campo apunta hacia Ia derecha en Ia figura 21-63, determine Ia magnitud y el signo de la carga puntual.
"-G
C
T
--
A-. T
T
(a)
:8
10.8 A
(b)
FIGURA 21-65 Problema 80. (a) SecciOn de una hélice doble de ADN. (b) Acercamiento de La hélice, mostrando cómo se
L = 55cm
12cm
Guanina (G)
Citosina (C)
FIGURA 21-63
Problema 76.
atraen entre sí las bases de A-T y G-C gracias a las fuerzas electrostáticas, para mantener unida a Ia hélice. Los puntos se utilizan para indicar Ia atracción electrostática (que con frecuencia se conoce como "enlace débil" o "enlace de hidrOgeno"). Nótese que existen dos enlaces débiles entre A y T, y tres entre C y G. La unidad de distancia es el angstrom (1 A = 10_lU m).
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Problemas generales
573
Suponga que los electrones entran a! campo eléctrico en la mltad entre dos placas formando un ángulo 0 con Ia horizontal, como se muestra en Ia figura 21-66. La trayectoria es simétrica, por tanto los electrones salen con el mismo ángulo 0 sin apenas tocar la placa superior. ,Cuá1 es 0? Ignore Ia deformación del campo.
Se arma un electroscopio de "hojas". Las hojas están formadas por alambres que tienen una longitud de 75 cm y tienen una boIa de 22 g en cada extremo. cuando se carga el aparato, casi toda Ia carga está contenida en las bolas. Si los alambres forman un ángulo de 30° con Ia vertical (figura 21-69), ,cuál es La carga total Q que se debe aplicar a! electroscopio?
6.0cm -1.0 cm
FIGURA 21-66
Problema 81.
Dos cargas puntuales Q1 = 6.7 tC y Q2 = 1.3 C se localizan entre dos placas paralelas que tienen cargas opuestas, como se muestra en Ia figura 21-67. Las dos cargas puntuales están separadas por una distancia x = 0.34 m. Suponga que el campo eléctrico que producen las placas es uniforme e igual a E = 73,000 e indique su diN/C. Calcule la fuerza electrostática neta en recciOn.
FIGURA 21-69
Problema 84.
Tres pianos de carga (con dimensiones muy grandes) de forma cuadrada se colocan como se muestra en La figura 21-70. De izquierda a derecha, los pianos tienen una densidad de carga por
unidad de area de 0.50 tC/m2, 0.10 C/m2 y 0.35 tC/m2.
Calcule el campo eléctrico total (indique su dirección y magni-
tud) en los puntos A, B, C y D. Suponga que las placas son mucho más grandes en comparaciOn con Ia distancia AD.
Q1
Q2
.
A
.
B
.
C
I
S
D
Fx FIGURA 21-67
Problema 82. FIGURA 2 1-70
Una bala pequena se recubre con plástico aislante y se suspende
en forma vertical de un resorte ideal (k = 126 N/m) encima
de una mesa, véase Ia figura 21-68. La masa total de Ia bala y el recubrimiento es 0.800 kg y su centro se encuentra 15.0 cm por encima de La parte superior de Ia tabla cuando está en equilibrio. La bala se jala hacia abajo a una distancia de 5.00 cm por
debajo de Ia posiciOn de equilibrio, y se deposita una carga eléctrica Q = 3.00 X 10 C en Ia bala, luego se suelta el siste-
ma. Aplique sus conocimientos de oscilaciOn armOnica y escriba
Problema 85.
,Cuál será La carga total de todos los electrones que están contenidos en una barra de aluminio de 15 kg? ,Cuál será La carga neta en La barra? (El aIuminio tiene 13 electrones por átomo y una masa atómica iguaL a 27 u.) Se tienen dos cargas como se muestra en Ia figura 21-71, en qué posiciones de x el campo eléctrico sera cero? ,EI valor del camP0 podra ser cero en otras posiciones que no estén en el eje x?
una expresión para Ia intensidad del campo eléctrico (en funciOn del tiempo) que se medirla en el punto P que está encima de Ia superficie de Ia mesa y directamente debajo de Ia bala.
+Q
Q12
HdHx
FIGURA 21-71
p
Problema 87.
Un electron se mueve en un cIrculo de radio r aLrededor de un alambre de gran longitud y carga uniforme, el cual se encuentra en una cámara de vaclo, como se muestra en Ia figura 21-72. La densidad de carga en el alambre es A = 0.14 C/m. (a) LCuáI es el campo eléctrico en el electron (indique su magnitud y direcciOn)? (b) ,CuáI es Ia velocidad del electrOn?
10.00cm
15.0cm
A=0.l4.C/m
+ + + 1 l- + + + + + +1+ + + +
FIGURA 21-68
514
CAPITULO 21
Problema 83.
FIGURA 21-72
Carga eléctrica y campo eléctrico
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Problema 88.
E
(1
J
EdA
Qenci
0
La ley de Gauss es una relación elegante entre La carga eléctrica y el campo eléctrico. Es más general que La ley de Coulomb. La ley de Gauss involucra una integral del campo eléctrico E en cada punto de una superficie cerrada. La superficie es imaginaria pero su forma y Localización se eligen para poder visualizar Ia integral. En esta figura se muestran dos superficies diferentes, ambas superficies encierran una carga puntual Q. La ley de Gauss
indica que el producto E dA, donde dA es un area infinitesimal de Ia superficie, integrado en toda La superficie es igual a La carga que encierra La superficie Qenci dividida entre . En este caso ambas superficies encierran a
Q.
Ia misma carga Q. De ahI que E dA
A2-
produzca el mismo resultado para ambas superficies.
Ley de Gauss ley de Gauss que se desarrollar y analizar en este capItulo indica la relaciOn que existe entre Ia carga eléctrica y el campo eléctrico. Es una forma más general y elegante de Ia ley de Coulomb. En principio se puede determinar el cambio eléctrico que genera cualquier distribuciOn de cargas eléctricas utilizando Ia ley de Coulomb. El campo eléctrico total en cualquier punto será Ia suma vectorial (o integral) de las contribuciones de todas las cargas que están presentes (véanse las ecuaciones 21-5 y 21-6). Con excepciOn de algunos casos, La suma o integral puede ser algo difIcil de evaluar. Cuando Ia solución analItica no es posible (como se vio en los ejemplos de las secciones 21-6 y 21-7), se puede utilizar una computadora. Sin embargo, en otros casos el campo eléctrico que genera cierta distribuciOn de cargas se puede calcular con mayor facilidad o de manera més elegante si se utiliza Ia ley de Gauss, segün se vera más adelante en este capItulo. Pero el aspecto más importante de Ia ley de Gauss es que proporciona información adicional acerca de Ia naturaleza de los campos electrostáticos y una relación más general entre las cargas y el campo eléctrico. Antes de analizar Ia ley de Gauss, primero se estudiar el concepto de fiujo.
La
575
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FIGURA 22-1 Un campo uniforme E (representado por las ilneas de campo paralelas) que pasa a través de una superficie cuya area A es: (a) perpendicular a E, (b) no es perpendicular a E. La superficie puriteada cuya area es A1 en (b) es Ia proyección de A perpendicular at campo E.
A
(a)
(b)
Fluio eléctrico Imagine una superficie de area A, a través de Ia cual pasa un campo eléctrico uniforme E, figura 22-1. La superficie puede ser un rectángulo (como se muestra), un cIrculo o cualquier otra forma. Si Ia dirección del campo eléctrico es perpendicular a Ia superficie como se ilustra en la figura 22la, el flujo eléctrico (cIE) que pasa a través de Ia superficie se define como el producto
= EA. Si el area A no es perpendicular a E, y en consecuencia forma un ángulo 0 como se indica en Ia figura 22ib, entonces una menor cantidad de lIneas de campo atravesarán el area. En este caso el flujo eléctrico que pasa por Ia superficie se define como
= EA1 = EA cosO,
[E uniforme]
(22la)
donde A1 es la proyección del area A en Ia superficie perpendicular a E como se mdica. El area A de Ia superficie se puede represeritar con un vector A cuya magnitud es A y su dirección es perpendicular a Ia superficie, como se indica en Ia figura 22lb. El ángulo 0 es el ángulo entre E y A, en consecuencia el flujo eléctrico también se puede escribir como
= E A.
[E uniforme]
(22ib)
Debido a La forma como se definió, el flujo eléctrico tiene una sencilla interpretación intuitiva en términos de las lIneas de campo. En la secciOn 21-8 se vio que las lIneas de campo siempre se deben dibujar de tal forma que Ia cantidad de lIneas de campo (N)
que pasan a través de una unidad de area que es perpendicular al campo (A1) sea proporcional a Ia magnitud del campo (E): es decir, E N/A1. De ahI que
NxEA1 = en consecuencia el flujo que pasa a través de un area es proporcional a Ia cantidad de Ilneas de campo que pasan a través de esa area. Flujo eléctrico. (a) Calcule el flujo eléctrico que pasa a través ieI rectangulo tie Ia figura 22la. El rectángulo mide 10 cm X 20 cm y el campo eléctrico es uniforme en 200 N/C. (b) ,Cuál será el flujo en Ia figura 22lb si 9 es 300? SOLUCION
(a) El flujo eléctrico es
= EAcosO
= (200N/C)(0.lOm x 0.20m)cos0° = 4.0Nm2/C. (b) En este caso el flujo es
J?E = (200N/C)(0.lOm X 0.20 m)cos30° = 3.5Nm2/C. 576
CAPITULO 22
Ley de Gauss
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Ahora vamos a considerar el caso más general, cuando el campo eléctrico E no es uniforme y la superficie no es plana, figura 22-2. La superficie elegida se divide en n eiementos pequenos de superficie cuyas areas son A1 , iA2,... Esta divisiOn se escoge de tal forma que cada £4 sea lo suficientemente pequefia para que (1) se pueda considerar como plana y (2) el campo eléctrico varIe en forma minima en esta area pequena como para que se pueda considerar uniforme. Entonces ci flujo eiéctrico en toda Ia superficie es aproximadamente
E
E
AA
1
E
donde E, es ci campo que pasa a través de En eJ lImite conforme - 0, la suma se trasforma en una integral en toda la superficie y Ia relaciOn se vuelve mateniáticamente exacta
=
JE dA.
Flujo ciéctrico quc pasa a través dc una superficic curva. Se indica una area pcquefla de Ia FIGURA 22-2
superficie iXA1.
(22-2)
En Ia mayor parte de los casos (en especial para Ia ley de Gauss) se analiza el flu-
jo que pasa a través de una superficie cerrada, es decir, una superficie que encierra
completamente un volumen (como una esfera o Ia superficie de un balOn), figura 22-3. En este caso ci fiujo neto que pasa a través de la superficie está dado por
=
dA,
(22-3)
donde ci signo de Ia integral se escribe como para indicar que Ia integral se encuentra sobre ci valor de E en una superficie cerrada. Hasta este punto no se ha tomado en cuenta ci hecho de que eziste ambiguedad en Ia direcciOn del vector A que representa una superficie. Por ejemplo, en Ia figura 22-1, el vector A puede apuntar hacia arriba y a Ia derecha (como se indica) o puede apuntar hacia abajo a Ia izquierda, de cualquier forma sera perpendicular a Ia superficie. Para una superficie cerrada, Ia direcciOn de A o de dA se define (en forma arbitraria) de tal forma que se dirige fuera dcl volumen cerrado, fig. 22-4. Para Ia lInea que sale del volumen cerrado (a Ia derecha de Ia figura 22-4), ci angulo 0 entre E y dA debe ser inferior a IT/2 (= 90°), de tal forma que cos 0 > 0. Para una linea que entra al volumen cerrado (a Ia izquicrda de Ia figura 22-4), 0 > -/2 de tal forma que cos 0 < 0. Dc ahi que el flujo que entra a un volumen cerrado es negativo (5 E cos 0 dA < 0), en tanto que ci flujo que sale de un volumen cerrado es positivo. En consccuencia ia ecuación 22-3 proporciona ci flujo neto fuera dcl volumen. Si 'E es negativo, entonces hay un flujo neto que entra a! volumen. En las figuras 22-3 y 22-4 se observa quc cada iinea de campo que entra al volumen también sale del volumen. Dc ahI quc E = E dA = 0. No hay flujo neto dentro o fuera de esta superficie. El flujo, E dA, será distinto de cero soiamente si una o más lineas comienzan o terminan en ci interior de Ia superficic. Como las iincas de campo eléctrico inician o terminan solamente en las cargas cléctricas, ci flujo sera FIGURA 22-3 Flujo eléctrico a través de una superficie cerrada.
La direcciOn de un elemento de area dA se eligc para quc apunte fuera de una superficie cerrada. FIGURA 22-4
dL
Ø(: 2
-a
E
SECCION 22-1
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Flujo eléctrico
577
A1
Un dipolo eléctrico. El flujo a través de la superficie A es positivo, mientras que el flujo en Ia FIGURA 22-5
superficie A2 es negativo.
El flujo neto a través de Ia superficie A es negativo. FIGURA 22-6
/
diferente de cero solamente si Ia superficie encierra una carga neta. Por ejemplo, Ia superficie identificada como A1 en Ia figura 22-5 encierra una carga positiva y existe un flujo neto que sale a través de esta superficie (clE > 0). La superficie A2 encierra una carga negativa de igual magnitud y existe un flujo neto que entra (rlE < 0). Para Ia configuración que se muestra en Ia figura 22-6, el flujo a través de Ia superficie es negativo (cuente el némero de Ilneas). El valor de 1?E depende de Ia carga que encierra Ia superficie, de esto trata La ley de Gauss. [El concepto de flujo se aplica también al flujo de fluidos, en consecuencia hace una analogia interesante. El campo eléctrico E en cada punto corresponde a Ia velocidad de flujo del fluido v, de tat manera que las lIneas de campo eléctrico corresponden a las lIneas de flujo del fluido. El flujo 1 que circula a través de una superficie (para el caso de un fluido) es Ia rapidez de flujo por volumen y está determinado por c1 = fv dA. En las figuras 22-1,22-2 y 22-3 las lfneas pueden corresponder a las lIneas de flujo de un fluido estable que no tienen medio de suministro (por ejemplo una have) o sumidero (por ejempto una fuga 0 Ufl desague). En este caso, el flujo neto a través de una superficie cerrada (similar a Ia de Ia figura 22-3) es cero, ya que todo to que entra sale. En las figuras 22-5 y 22-6 existe una fuente (que corresponde a una carga positiva) donde inician las lIneas de flujo; pero también hay un sumidero (que corresponde a La carga negativa) donde terminan las lIneas de flujo. Aün cuando esta comparacion entre flujo eléctrico y flujo de fluido es interesante, y quizás ofrece cierto entendimiento, no hay que confundirse, el flujo eléctrico no es el flujo de cualquier sustancia. El flujo se puede definir para cualquier campo vectorial, esta definición se utilizará posteriormente para el campo magnetico.]
I-Q
Leyde Gauss La relación precisa entre el campo eléctrico que fluye a través de una superficie cerrada y Ia carga neta Qenci que encierra Ia superficie está determinada por Ia ley de Gauss:
E dA
Una sola carga puntual Q se localiza en el centro de una esfera imaginaria cuyo radio es r ("nuestra FIGURA 22-7
superficie gaussiana", es decir La superficie cerrada que se eligió para aplicar Ia ley de Gauss).
(22-4) = donde e0 es la misma constante (permisividad del espacio libre) que aparece en la ley de Coulomb. La integral de ha izquierda está sobre el valor de E en una superficie cerrada, La cual se elige por conveniencia para cualquier situación. La carga Qenci es la carga neta que encierra esa superficie. No importa dOnde o cOmo está distribuida la carga en el interior de La superficie. No se debe incluir cualquier carga que se encuentre en el exterior de Ia superficie. Una carga en Ia parte exterior de La superficie elegida puede afectar la posiciOn de las lIneas de campo eléctrico, pero no afectará a La cantidad neta de lIneas que entran o salen de Ia superficie. Por ejemplo, la carga Qenci para La superficie gaussiana A1 en La figura 22-5 es Ia carga que encierra A1; Ia carga negativa contribuye al campo eléctrico en A1 pero no está encerrada por La superficie A y por tanto no se incluye en Qenci.
Antes de analizar La validez de La ley de Gauss cabe indicar que con bastante frecuencia Ia integral es difIcil de realizar. Esto se tiene que hacer con poca frecuencia, excepto en algunas situaciones muy sencillas que se analizarán más adelante (sección 22-3). Ahora vamos a analizar cómo se relaciona La ley de Gauss con Ia ley de Coulomb.t Primero se indicó que ha ley de Coulomb proviene de La ley de Gauss. En La figura 22-7
dA/
/
tCabe indicar que Ia ley de Gauss parece más complicada en términos de Ia constante k = l/41Te0 en comparaciOn con Ia constante que se utilizO originalmente en Ia Icy de Coulomb (ecuaciones 21-1 o 21-4a): Ley de Coulomb
CAPITLILO 22
EdA = 4rkQ
E=k
/ /j 578
Ley de Gauss
E=
1Q 4r0 r2
4E.dA J
=
0
La ley de Gauss tiene una forma más sencilla que utiliza 0; Ia ley de Coulomb es más sencilla cuando utiliza en vez de k ya que se considers que Ia ley de Gauss es tnás genek. La convención normal consiste en usar
Ley de Gauss
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se tiene solo una carga Q. Para Ia "superficie gaussiana" se elige una esfera imaginaria de radio r que está centrada en la carga. Como se supone que la ley de Gauss es válida en cualquier superficie, se ha elegido una que facilite los cálculos. Debido a Ia simetrIa de esta esfera (imaginaria) en tomb a Ia carga que se localiza en su centro, se sabe que E debe tener la misma magnitud en cualquier punto de Ia superficie, además E apunta en forma radial hacia el exterior (o hacia el interior) y es paralelo a dA, un elemento del area de Ia superficie. De aquI que Ia integral de la ley de Gauss se puede escribir como
EdA =
5IEdA
= E dA = E(4rr2)
puesto que el area de Ia superficie de una esfera de radio r es 4'n-r2, y Ia magnitud de E es La misma en todos los puntos de esta superficie esférica. Como Qenci = Q, la ley de Gauss se transforma en Q
E dA = E(4irr2).
0
Al resolver para E se obtiene
E= 40r2 que es Ia forma del campo eléctrico de Ia ley de Coulomb, ecuaciOn 21-4b. Ahora vamos a realizar lo inverso para obtener Ia ley de Gauss a partir de Ia ley de Coulomb para cargas eléctricas estáticas. Primero hay que considerar una sola carga puntual Q que está rodeada por una superficie esférica imaginaria similar a la de la figura 22-7. La ley de Coulomb indica que el campo eléctrico en Ia superficie esfé-
rica es E = (l/4o)(Q/r2). Al invertir el argumento se obtiene 1
E dA
dA
(4irr2) =
J 4ITE0 r2 4ir0r j Esta es Ia ley de Gauss, con Qenci = Q, que se obtuvo para el caso especial de una superficie esférica que encierra a una carga puntual en su centro. j,Pero qué sucederIa con otra superficie, como Ia superficie irregular identificada como A2 en Ia figura 22-8? La misma cantidad de lIneas de campo (debido a Ia carga Q) circulan por Ia superficie A2, y pasan a través de Ia superficie esférica A1. En consecuencia, como el flujo que circuIa a través de una superficie es proporcional a Ia cantidad de ilneas que la atraviesan (como ya se vio en La sección 22-1), el flujo a través de A2 es el mismo que en A: IA2
EdA =
in1
EdA
2
0
EdA =
/Et\ Una sola carga puntual rodeada por una superficie esféricaA, FIGURA 22-8
De ahI que se puede esperar que J
A1,
y una superficie irregular A2.
0
sea válida para cualquier superficie que rodea a una sola carga puntual Q. For ültimo, vamos a analizar qué sucede cuando existe más de una carga. Para cada carga Q, que está encerrada por Ia superficie elegida,
EdA = donde E se ref ere al campo eléctrico que produce solamente Q,. Al aplicar el principio de superposiciOn para los campos eléctricos (ecuación 21-5), se tiene que el campo to-
tal E es igual a Ia suma de los campos debido a cada carga independiente. E = SE,. En consecuencia
E dA =
dA =
=
donde Qenci = es Ia carga neta total que está encerrada en el interior de la superficie. Como se puede ver, basandose en este argumento simple, Ia ley de Gauss es resul-
tado de Ia ley de Coulomb para cualquier distribución de carga eléctrica que está
contenida en el interior de una superficie cerrada de cualquier forma.
SECCION 22-2
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Ley de Gauss
519
0I
---
Flujo eléctrico a través de una superficie cerrada. (Igual que en Ia figura 22-3.) Esta superficie no encierra a ninguna carga (Qenci = 0). FIGURA 22-9
La obtención de la ley de Gauss a partir de Ia ley de Coulomb es válida para los campos eléctricos que son producidos por las cargas eléctricas estáticas. Más adelante se vera que los campos magnéticos variables también pueden producir campos eléctricos. La ley de Coulomb no se puede utilizar para describir campos eléctricos de esta clase. Pero La ley de Gauss es vélida para Los campos eléctricos que se generan de esta forma. De aqul que Ia ley de Gauss es una ley más general que Ia ley de Coulomb. De cualquier forma esto es cierto para cualquier campo eléctrico en absoluto. Aün para el caso de los campos eléctricos estáticos que se analizan en este capItulo, es importante reconocer que E en el lado izquierdo de La ley de Gauss no es resultado ünico de la carga Qenci que aparece en el lado derecho. For ejemplo en la figura 22-9, existe un campo eléctrico E en todos los puntos de Ia superficie gaussiana imaginaria, pero el campo no es generado por La carga que está encerrada en la superficie (que en este caso es Qenci = 0). El campo eléctrico E que aparece en el lado izquierdo de Ia ley de Gauss es el campo eléctrico total en cada punto, en Ia superficie gaussiana que se eligiO, no es generado solamente por Ia carga Qenci que aparece en el lado derecho. Se ha descubierto que la ley de Gauss es válida para el campo total en cualquier superficie. Esta ley indica que cualquier diferencia entre el flujo de entrada y salida del campo eléctrico en cualquier superficie se debe a Ia carga que está en el interior de esa superficie.
k"'
'''
i L 1.. Flujo de Ia ley de Gauss. Considere dos superticies gaussianas i-i y A2 que se muestran en la fig. 22-10. La i1nica carga que está presente es Ia carga Q en el centro de La superficie A1 ,Cual es el flujo neto en cada superficie A1 y A2?
La superficie A1 encierra a la carga +Q. De acuerdo a Ia ley de Gauss, el flujo neto a través de A es Q/EO. Para la superficie A2, La carga +Q está fuera de Ia superficie. La superficie A2 encierra una carga neta cero, en consecuencia el flujo eléctrico neto a través de A2 es cero, por ley de Gauss. Observe que todas las Ilneas de campo que entran al volumen que encierra la superficie A2 también salen. RESPUESTA
FIGURA 22-10 Ejemplo 22-2. Dos superficies gaussianas.
A-
Aplicaciones de Ia ley de Gauss La ley de Gauss es una forma muy simplificada y elegante que describe Ia relación entre Ia carga eléctrica y eL campo eléctrico. También ofrece una alternativa sencilla para determinar el campo eléctrico cuando Ia distribución de las cargas es sencilla y/o posee un alto grado de simetrIa. Sin embargo, para aplicar la ley de Gauss se debe elegir con sumo cuidado Ia superficie gaussiana (para Ia integral que está en el lado izquierdo de la ley de Gauss) para poder determinar E. Normalmente se trata de pensar en una superficie que tiene la simetrIa necesaria para que E sea constante en toda o en parte de la superficie. Algunas veces se elige una superficie para que el flujo a través de una parte de ella sea cero.
580
CAPITULO 22
Ley de Gauss
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Vista transversal de una cubierta esférica delgada, cuyo radio es r0, que transporta una carga neta Q que está distribuida de manera uniforme. A1 y A2 representan las dos superficies gaussianas que se utilizan para determinar E. FIGURA 22-11
I UW
Conductor esférico. Una cubierta esférica de poco espesor y s c uu carga neta total Q que está distribuida de manera uniforme en la
cubierta, figura 22-11. Determine el campo eléctrico en los puntos (a) que están en el exterior de Ia cubierta y (b) en el interior de Ia cubierta. (c) ,Qué sucederla si el conductor fuera una esfera sólida?
(a) Como Ia carga esth distribuida en forma simétrica, el campo eléctrico también debe ser simétrico. En consecuencia el campo se debe dirigir en forma radial hacia el exterior (se dirige hacia el interior si Q < 0) y debe depender solamente de r, no del ángulo (coordenadas esféricas). Primero se desea calcular E fuera de Ia cubierta esférica, en consecuencia se elige una esfera de radio r (donde r > r0) como la superficie gaussiana imaginaria, que es concéntrica con la cubierta y se indica en Ia figura 22-11 como el cIrculo punteado A1. Entonces el campo eléctrico E tiene Ia misma magnitud en todos los puntos de Ia superficie, y como E es perpendicular a esta superficie, eJ coseno del angulo entre E y dA siempre es 1. Entonces de Ia ley de Gauss se tiene que (con Qenci = Q) SOLUCION
E dA = E(4irr2) = 0
E=
1
4ir0 r2
[r > ro]
Por tanto el campo fuera de una cubierta esférica que tiene carga uniforme es el mismo que existirla si toda Ia carga estuviera concentrada en el centro de Ia cubierta como ana carga puntual. En el interior de la cubierta el campo también debe ser simétrico. De nuevo E debe tener el mismo valor en todos los puntos de una superficie gaussiana esférica (A2 en Ia figura 22-11) que es concéntrica con La cubierta. En consecuencia E se puede factorizar fuera de La integral, y como Qenci = 0, se tiene
E dA = E(4irr2) = 0. De ahI que
E=0
[r r0) y (b) en el interior de Ia esfera (r < r0).
F
SOLUCION Como Ia carga está distribuida en forma simétrica en la esfera, el camp0 eléctrico en todos los puntos debe ser simétrico. E depende solo de r y se dirige en forma radial hacia el exterior (o hacia el interior si Q < 0). Para nuestra superficie gaussiana elegimos una esfera de radio r (r > r0) que se indica como A1 en La figura 22-12. Como E solamente depende de r, cuando Qenci Q, Ia ley de Gauss indica
E dA = E(4r2) = 0
Esfera sólida con densidad de carga uniforme. FIGURA 22-12
0
E
- 4e0r2
De nuevo el campo en el exterior de una distribuciOn de carga esférica y simétrica es igual que el campo en una carga puntual que tiene La misma magnitud y que se localiza en el centro de Ia esfera. En el interior de La esfera, se elige como superficie gaussiana a una esfera concéntrica de radio r (r < r0) que se identifica como A2 en Ia figura 22-12. De acuerdo a Ia simetrIa, La magnitud de E es Ia misma en todos los puntos de A2, y E es perpendicular a Ia superficie, entonces
E dA = E(4r2).
'Q 4E0
E
Esta ecuaciOn se debe igualar a Qenci/o, donde Qenci es Ia carga que encierra A2. Qenci no es Ia carga total Q, sOlo es una porcion de ella. La densidad de carga (PE) se define como Ia carga por unidad de volumen (p = dQ/dV, y se tiene que PE = constante. Por tanto La carga que encierra Ia superficie gaussiana A2, una esfera de radio r, es
r02
0
Qenci =
r
r0
FIGURA 22-13 Magnitud del campo eléctrico en funciOn de Ia distancia r
(iTr3pE\ \'7Tr0pEJ
Q=
r3
r0
Q.
De Ia ley de Gauss se tiene que
desde el centro de una esfera sólida que tiene carga uniforme.
E(4irr2) = 0
E
Qenci
= r3rEo -Q
r.
1Q
4ire0 r0
[r < roJ
For tanto el campo aumenta linealmente con r, hasta que r = r0. Entonces disminuye conforme 1/r2, como se indica en Ia figura 22-13. Los resultados anteriores se obtendrIan con mucha dificultad a partir de La ley de Coulomb al integrar en Ia esfera. Sin embargo al utilizar Ia ley de Gauss y la simetrIa de La situaciOn, este resultado se obtiene con facilidad y demuestra el gran poder que tiene Ia Ley de Gauss. Sin embargo, su uso en esta forma está limitado principalmente a los casos en los que Ia distribución de las cargas tiene un alto grado de simetrIa. En estos casos, se elige una superficie simple en la que E = constante, en consecuencia la integraciOn es sencilLa. Desde luego que Ia ley de Gauss es válida para cualquier superficie. Los dos ejemplos siguientes son casos simétricos que se analizaron anteriormente, aplicando la ley de Coulomb, pero el resultado se obtiene con mayor facilidad con Ia ley de Gauss.
582
CAP1TULO 22
Ley de Gauss
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LInea de carga uniforme y de gran longitud. Un alambre recto de gran longitud posee una carga positiva y uniforme por unidad de longitud, A. Calcule el campo eléctrico en los puntos que estn cerca (pero en el exterior) del alambre, lejos de los extremos.
Debido a la simetrIa se espera que el campo se dirija en forma radial hacia el exterior y que dependa solamente de Ia distancia perpendicular, r, a partir del alambre. Debido a la simetrIa de un cilindro, el campo será el misrno en todos los puntos de Ia superficie gaussiana que forman un cilindro con relación al eje del alambre, figura 22-14. E es perpendicular a esta superficie en todos los puntos. Para aplicar Ia ley de Gauss se necesita una superficie cerrada, en consecuencia se incluyen los extremos pianos del cilindro. Como E es paralelo a los extremos, no existe flujo a través de los extremos (el coseno del ánguio entre E y dA en los extremos es cos 900 = 0). Por tanto Ia ley de Gauss indica que SOLUCION
J
E dA
=
Al
Qenci
E(2rr1)
E
r
-1-1-1-'
t--t.1-
-I--I-1-
1-1-
Cálculo de E debido a una lInea de carga muy larga. FIGURA 22-14
donde I es la longitud de la superficie gaussiana que se eligió (I 0. (Los potenciales V0 y Vb son producidos por Las cargas que se encuentran en las piacas, no por ci electrOn.) RESPUESTA
Como Ia diferencia de potencial eléctrico se define como Ia diferencia de energIa potencial por unidad de carga, entonces ci cambio en Ia energIa potencial de una carga q cuando esta se desplaza entre los puntos a y b es
Ub - Ua = q(Vb - Va) =
(23-2)
Es decir, Si un objeto con carga q se mueve a través de una diferencia de potencial Vba, su energIa potencial cambiaré en una cantidad Por ejemplo, si La diferencia de p0tencial entre las dos piacas de Ia figura 23-1 es 6 V, entonces una carga de +1 C que se mueve de b a a (debido a una fuerza externa) ganará (1 C)(6 V)= 6 J de energIa potenciai eléctrica. (Y perderá 6 J de energIa potencial eléctrica Si se mueve de a a b.) En forma Similar, una carga de 2 C ganará 12 J. En consecuencia, la diferencia de potencial eléctrico es una indicaciOn de cuénta energIa puede adquirir una carga eléctrica en una situación determinada. Además, como La energIa es Ia capacidad para reaiizar un trabajo, Ia diferencia de potencial eléctrico también es una indicación de cuánto trabajo puede realizar una carga determinada. La cantidad exacta depende tanto de la diferencia de potencial como de Ia carga. Para comprender mejor ci potencial eléctrico conviene hacer una comparaciOn entre dci caso gravitatorio cuando una roca cac desde lo alto de una montana. Cuanto más grande sea Ia altura h de una montana, Ia roca tendrá una mayor cantidad de energla potencial (= mgh) en Ia cima de Ia montana, con relación al sueio, pero La energIa cinética de La roca será maxima cuando Ilegue al suelo. La cantidad real de energIa cinética que adquirirá La roca y Ia cantidad de trabajo que puede realizar depende de la aitura de Ia montana y Ia masa m de Ia roca. Una roca grande y una roca pequena pueden estar a Ia misma altura h, (figura 23-2a) y en consecuencia pueden tener el mismo "potencial gravitacional", pero Ia roca grande tiene mayor energIa potencial. El caso eléctrico es similar (figura 23-2b): Ia energIa potencial cambia, o ci trabajo que se puede
reaiizar dependera tanto de la diferencia de potencial (que corresponde a Ia altura
de Ia montana) como de Ia carga (que corresponde a la masa), ecuaciOn 23-2. [Pero observe una diferencia importante: La carga eléctrica viene en dos ciases, + y -, mientras que Ia masa gravitacional siempre es
+ Vb __Vba + Q
I
S
+
(a) Dos rocas se encuentran a Ia misma aitura. La roca más grande tiene ms energIa p0tencial. (b) Dos cargas que tienen ci mismo potencial eiéctrico. La carga 2Q tiene más energIa potenciai. FIGURA 23-2
-
I (a)
(b)
SECCION 23-1
Potencial eléctrico y diferencia de potencial
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593
TABIS 23-1 Algunos voltajes tlpicos %oltaje
Fuente
(aproximado)
Des..ra.ga r atm( )sft rica a Tiet ra
:1
Lmnea c.e trans.rnisión
a
106 V
1i de alt.oc'otaje Fuente de allmentación
deuji
-trdeTV
io V
Encen liclo electrónico ___________________ io v m'vil de i In 21a tO..D 102 V rn L. stico Cont acto do -
Ieuin autom .. Bateria d. na lárnpara Baterli[2 detr: ....... 1 "estello C.. ..
Pot ncial de reposc a raves de una .nernbrana
12 V
erviosa
Car bios n eJ potei a1lJe
JL
L. ] eI (ECG y EEC) )
Electrones en un tubo de imagen de TV. Suponga que un electrOn del tubo de imagen de un receptor de televisiOn se acelera del reposo a trayes de una diferencia de potencial Vba = +5000 V (figura 23-3). (a) Cuál será el cam-
. bio en la energia potencial del electron? (b) ,Cuál será Ia velocidad del electron (m = 9.1 x 10-31 kg) como resultado de su aceleración? (c) Repita los c1culos para un proton (m = 1.67 )< 10-27 kg) que se acelera a través de uria diferencia de poten.
1.5 V
cial Vba = -5000 V.
i
I
Las fuentes prcticas de energIa eléctrica como son las baterIas y los generadores eléctricos deben mantener una diferencia de potencial en sus terminales. La cantidad real de energIa que se utiliza o transforma depende de Ia cantidad de carga que fluye. Pot ejemplo considere el faro de un automOvil que se conecta a una baterIa de 12.0 V. La cantidad de energIa que se transforma (a energIa luminosa y térmica) es proporcional a Ia cantidad de carga que fluye, que a su vez depende del tiempo que permanece encendido el faro. Si durante un periodo determinado de tiempo fluye por el faro una carga de 5.0 C, Ia energIa total que se transforma es (5.0 C)(12.0 V) = 60 J. Si ci faro se deja encendido ci doble de tiempo, entonces fluirá una carga de 10.0 C y Ia energIa que se transforma será (10.0 C)(12.0 V) = 120 J. La tabla 23-1 muestra algunos voltajes tIpicos.
i(r1
1
10V
Vba =
SOLUCI N (a) La carga en ci electrOn es e = -1.6 X 10-19 C. En consecuencia el cambio en su energIa potencial (ecuación 23-2) es
LW = qV
El signo menos indica que Ia energIa potencial disminuye. (La diferencia de potencial Vba tiene signo positivo porque ci potencial final es mayor que el potencial inicial, es decir, los electrones negativos se yen atraIdos del electrodo negativo al positivo.) (b) La energIa potencial que pierde el electrOn se convierte en energIa cinética (=K). Dc Ia conservaciOn de energIa (ecuación 8-9) LK + iU = 0, en consecuencia
5000 V e
b
a
= -LW mv2 - 0 =
Alto
volt aj e
Electron que se acelera en el tubo de irnagen de un receptor de TV, ejemplo 23-2. FIGURA 23-3
= (1.6 X 1OH9C)(+5000V) = -8.0 x 10'6J.
donde la energIa cinética inicial es cero porque se asumiO que el electron partIa del reposo. Al resolver para v y sustituir la masa del electrOn m = 9.1 X 10_31 kg:
v=
-
2qV m
/ 2(-i.6 x 10-19 C)(5000V) 9.1 X 1031 kg
= 4.2 X iO rn/s. [Nota: Para alcanzar esta velocidad, que es de Ia velocidad de La luz, en realidad se debe utilizar La teorfa de Ia relatividad, capItulo 37, para obtener un resultado más preciso.]
(c) La carga del proton tiene Ia misma magnitud que la del electrOn, pero con el signo contrario. En consecuencia para Ia misma magnitud de Vb. se puede esperar ci mismo cambio en U, pero una velocidad inferior ya que Ia masa del proton es superior. En consecuencia:
= qV
= (+1.6 X 10-19 C)(5000V) = -8.0 X 1016J,
y
v=
2qVa
--
/ 2(1.6 x io
C)(5000 V)
(1.67 X 1027kg)
= 9.8 >< i0 rn/s. Observe que Ia energIa no depende de Ia masa, solamente de la carga y ci voltaje. La velocidad sI depende de m. 594
CAPITULO 23
Potencial eléctrico
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Relación entre el potencial eléctrico "el campo eléctrico Los efectos de cualquier distribuciOn de carga se pueden describir ya sea en términos del campo eléctrico o en términos del potencial eléctrico. El potencial eléctrico es ms fácil de usar porque es una cantidad escalar, en comparaciOn con el campo eléctrico que es un vector. Existe una conexiOn crucial entre el potencial eléctrico que produce un arreglo determinado de cargas y el campo eléctrico que generan esas cargas, to que examinaremos a continuación. Primero se recordará Ia relación que existe entre una fuerza conservativa F y Ia energIa potencial U que se asocia con esa fuerza. Como se analizó en Ia sección 8-2, la diferencia en Ia energIa potencial entre dos puntos cualesquiera del espacio, a y b, está determinada por Ia ecuaciOn 8-4: b
UbUa = _jF.dl donde dl es un incremento infinitesimal de desplazarniento y Ia integral se realiza a to largo de cualquier trayectoria en el espacio desde el punto a hasta b. Para el caso eléctrico, el interés se enfoca en la diferencia de potencial que está determinada por Ia = (L'b - Ua)/q en vez de Ia energIa potencial en sí misecuación 23-1, Vba = Vb ma. Además, el campo eléctrico E en cualquier punto del espacio se define como Ia fuerza por unidad de carga (ecuación 21-3): E = F/q. Al combinar ambas relaciories se obtiene
Vba = Vb - Va =
- Ja
E
dl.
(23-3)
Esta es Ia relaciOn general entre el campo eléctrico y Ia diferencia de potencial. Observe Ia figura 23-4. Si se tiene el campo eléctrico que es producido por un arreglo de cargas eléctricas, entonces se puede utilizar la ecuación 23-3 para determinar Vba. Un caso especial surge cuando el campo es uniforme. Por ejemplo, en Ia figura 23-1 se tiene una trayectoria paralela a las lIneas de campo eléctrico que van del punto a de Ia placa positiva al punto b de Ia placa negativa (ya que E y dl se encuentran en Ia misma dirección en cualquier punto), entonces b
Vb - Va 0
=
ca1P° eléCmco
E
b
-J E dl = _EJ dl = -Ed
Vba = -Ed
[sOlo si E es uniforme]
FIGURA 23-4
(23-4)
lntegración de E dl
del punto a hacia el punto b en un campo eléctrico no uniforme E.
donde d es la distancia, paralela a las lIneas de campo, que existe entre los puntos a y b.Tenga cuidado y no utilice la ecuaciOn 23-4 a no ser que tenga la seguridad de que el campo eléctrico sea uniforme. A partir de las ecuaciones 23-3 o 23-4 se puede ver que las unidades para Ia intensidad del campo eléctrico se pueden escribir en volts por metro (V/rn) asI como
newtons por coulomb (N/C). En general ambas unidades son equivalentes ya que
iN/C = 1N.m/C.rn = 1J/C.m = 1V/m.
Caso especial: campo eléctrico uniforme que se obtiene a pari)os placas paralelas se cargan a un voltaje de 50 V. Si la separaciOn entre las placas es 5.0 cm, calcule el campo eléctrico entre ellas, ignore cualquier deformacion del campo.
a.i
iu,
SOLUCION De Ia ecuaciOn 23-4 se tiene (por conveniencia solamente se consideran las magnitudes)
E=
Vba
d
50V = 1000 V/rn. 0.050m SECCION 23-2
RelaciOn entre el potencial eléctrico y el campo eléctrico
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595
Esfera conductora con carga. Determine el potencial a una distancia r del centro de una esfera conductora que tiene carga uniforme cuyo radio es r0 para (a) r > r0, (b) r = r0, (c) r < r0. La carga total en La esfera es Q. SOLUCION (a) La carga Q se distribuye en toda La superficie de Ia esfera porque
F
/
esta es conductora. En el ejemplo 22-3 se vio que el campo eléctrico en el exterior de una esfera conductora es
rb
10
[r>ro]
r y apunta en forma radial hacia el exterior (apunta hacia el interior si Q r0) se tiene
FIGURA 23-5 Ejemplo 23-4: integración de E dl para el carnpo que se localiza fuera de un conductor
-I
esférico.
1Q 4- r
23-6 (a) E vs. r y (b) V vs. r, para una esfera conductora sólida FIGURA
que tiene carga uniforme, el radio de Ia esfera es r0 (Ia carga Se distribuye por sI sola en Ia superficie); r es La distancia desde el centro de Ia esfera.
E
r0
2r0
1Q v= 4ir0 r0
3r0
r 2r0
(b)
[r
ro]
El conductor completo, no solo su superficie, se encuentra al mismo potencial. La figura 23-6 muestra grficas de E y V en funciOn de r para una esfera conductora.
V
r0
[r = ro]
en La superficie del conductor. Para Los puntos que están en eL interior del conductor, E = 0. En consecuencia, Ia integral J'E dl, entre r = r0 y cualquier punto en el interior del conductor produce un cambio cero en V. De ahI que V sea constante en el interior del conductor.
(a)
0
Q
4'JTEQ r0
r 0
[r > ro]
Como se ver en Ia siguiente sección, esta misma ecuación se aplica para caLcular el potencial a una distancia r de una soLa carga puntual. En consecuencia el potencial eléctrico fuera de un conductor esférico cuya carga está distribuida de manera uniforme es el mismo que existirIa si toda La carga estuviera en su centro. Conforme r se aproxima a r0 se observa que 1
/E
Edl
3r0
Voltaje de ruptura. En muchas cLases de equipos se utiLizan altos voltajes. Un problema que surge con el uso de voltajes elevados es que el aire se puede ionizar debido a los campos eléctricos de gran magnitud: Los electrones libres que estn en eL aire (que son producidos por los rayos cósrnicos) se aceleran debido a estos campos, y pueden adquirir velocidades suficientes para ionizar las moléculas de 02 y N2 debido a Las colisiones, con La consiguiente LiberaciOn de uno o ms de sus electrones. En consecuencia el aire se vuelve conductor y el alto voltaje ya no se puede mantener conforme fluye Ia carga de iones. La ruptura del aire (como dieléctrico) ocurre con campos eLéctricos de 3 X 106 V/rn aproxirnadamente. (a) Demuestre que el voltaje de ruptura para un conductor esférico que está en el aire es proporcional al radio de La esfera, y (b) caLcuLe el voltaje de ruptura en el aire para una esfera que tiene un dirnetro de 1.0 cm. SOLUCION (a) El potencial eLéctrico en Ia superficie de un conductor esférico de radio r0 (ejempLo 23-4) y eL campo eléctrico justo en La parte exterior de su superficie es:
1Qv= 4r0 r0
y
E
1Q
4ir0 r
Al combinar ambas ecuaciones se tiene
V=
(b) Para
596
CAPiTULO 23
r0
[superficie de un conductor esferico] = 5 X i0 m, el voLtaje de ruptura en el aire es V = (5 X 103rn)(3 X 106 V/rn) 15,000 V. r0E.
Potencial eléctrico
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De los resultados del ejemplo 23-5 se comprende porqué Los equipos de alto voltaje utilizan terminates redondas de grandes dimensiones sin esquinas afiladas. También se comprende porqué sucede Ia ruptura (o producción de chispas) en las esquinas pronunciadas o puntos (regiones que tienen un radio de curvatura pequeflo) de un conductor.
r
Potencial eléctrico debido a carqas puntuales
-o
El potencial eléctrico a una distancia r de una sola carga puntual Q se puede obtener = -fE dl. El campo eléctrico que genera directamente de la ecuación 23-3, Vb una sola carga puntual tiene Ia siguiente magnitud (ecuación 21-4) 1 E= 4r0 r2
0
_1--ai "ra
E = kQr2
(donde k = 1/4ir0 = 8.99 x iO N m2/C2), y se dirige en forma radial hacia el exterior de Ia carga (se dirige al interior si Q < 0). La integral de Ia ecuaciOn 23-3 se realiza a to largo de Ia trayectoria (recta) de la lInea de campo (figura 23-7) desde un punto a que está a una distancia ra de Q hasta un punto b a una distancia rb de Q. En consecuencia dl será paralelo a E y dl = dr. Por tanto f'b
Vb_V=_JE.dl=_ 4ii-e0 Jr -dr r 1
I
Ta
1(-
4ir0
rb
Q ra
FIGURA 23-7
V
V=
-)
Se puede pensar que V representa al potencial absoluto, donde V = 0 en r = no, o se puede pensar en V como La diferencia de potencial entre r y el infinito. Observe que et potencial V disminuye con la primera potencia de La distancia, en tanto que el campo eléctrico (ecuaciOn 21-4) disminuye con el cuadrado de Ia distancia. El potencial cerca de una carga positiva es elevado, y disminuye hacia cero a distancias muy grandes (figura 23-8). Para una carga negativa, el potencial es negativo y aumenta hacia cero a grandes distancias (figura 23-9). En ci ejemplo 23-4 se encontrO que el potencial que genera una esfera con carga
uniforme está determinado por La misma relaciOn, ecuaciOn 23-5, para los puntos que estan fuera de La esfera. En consecuencia, se observa que ei potencial fuera de una esfera que tiene carga uniforme es el mismo como si toda La carga se concentrara en su centro.
Trabajo para hacer que dos cargas + se acerquen entre si. i,Qué cantidad minima de trabajo debe realizar una fuerza externa para acercar una carga q = 3.00 .rC que esta a una distancia considerable (sea r = no) a un punto que está a 0.500 m de una carga Q = 20.0 ftC? SOLUCION EL trabajo que realiza ci campo eléctrico es igual al valor negativo del cambio en Ia energIa potencial: q (Q W=-qVba=- 4ne0 \rb
Se integra La ecuaciOn
23-3 a to largo de una lInea recta (de color negro) desde el punto a hasta b. La lInea ab es paralela a una linea de campo.
Como ya se mencionó antes, solamente las diferencias de potencial tienen un significado fIsico. En consecuencia se tiene La libertad de elegir el valor del potencial en cualquier punto conforme se desee. Es comUn que el potencial que se designa en el infinito sea cero (si Vb = 0 en rb = no). Entonces el potencial eléctrico V a una distancia r de una sola carga puntual es 1 una sola carga puntuai Q ( 23 5 V=Oenr=oo 4-e r
4ir0r cuandoQ>0
0
FIGURA 23-8 Potencial V en función de La distancia r de una sola carga puntual Q cuando La carga es positiva. FIGURA 23-9 Potencial Ven funciOn de Ia distancia r de una sola carga puntual Q cuando La carga es
negativa. V
0
V=
4ire0 r
cuandoQ< 106V
7.5 X 105 V. Y en ei punto B: VB = VB2 + VB1
(9.0 >< i0 Nm2/C2)(5.0 x iD5C) 0.4Dm
(9.0 x i09 Nm2/C2)(-5.0 x iD5c) 0.4Dm
= Dv. Debe estar claro que el potencial será cero en cualquier punto del piano que sea equidistante a ambas cargas. En consecuencia este piano es una superficie equipotencial con V = 0.
El proceso anterior se puede reaiizar con facilidad en cualquier cantidad de cargas puntuaies. 598
CAPTULO 23
Potencial eléctrico
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Potencial debido a cualquier distribución de caraas Si se conoce el campo eléctrico en una region del espacio que es producido por cualquier distribución de cargas, se puede determinar Ia diferencia de potencial entre ambos puntos de la region utilizando Ia ecuación 23-3, Vba = J'a E dl. En Ia mayor parte de los casos no se conoce E como función de la posición, y los cálculos pueden ser difIciles. Se puede calcular el potencial V que genera una distribuciOn determinada de cargas en otra forma, que a menudo es más sencilla, utilizando el potencial que genera una sola carga puntual, ecuación 23-5: 1
4ii- r donde V = 0 en r = 00. Entonces se puede realizar una suma en todas las cargas. Si se tienen n cargas puntuales individuales, el potencial en algün punto a (en relaciOn a V = 0 en r = oo) es 1
Va=
(23-6a)
IT0 j1 na
i=1
donde na es Ia distancia de la iésima carga (Q) a! punto a. (Este enfoque ya se utilizó anteriormente en el ejemplo 23-7.) Si se puede considerar que Ia distribución de las cargas es continua, entones 1
V =
Idq '
(23-ób)
4ii-eJ r I
donde r es Ia distancia de un elemento pequeno de carga (dq) a! punto donde e va a determinar V.
dq
Un anillo circular delPotencial debido a un anillo con carga. gado de radio R transporta una carga Q que está distribuida de manera uniforme. Determine el potencial eléctrico en el punto P que se localiza en el eje del anillo a una distancia x de su centro, figura 23-11. SOLUCION Cada punto del anillo es equidistante del punto P, y esta distancia es (x2 + R2). En consecuencia, el potencial en el punto P es: 1
1
1
1
Q (x2 + R2)2
4r0 (x2 + R2)2 J 4-e J r Observe que para los puntos que están muy alejados del anillo, x>> R, este resultado se reduce a (1/4-eo)(Q/x), ci potencial de una carga puntual, como era de esperarse.
FIGURA 23-11 Cálculo del potencial en ci punto P, a una distancia x del centro de un anillo con carga uniforme. Ejemplo 23-8.
Un disco piano, de poco
FIGURA 23-12 Cálcu!o del potencial eléctrico en el punto P en ei eje de un disco deigado con carga uniforme. Ejemplo 23-9.
Potencial debido a un disco con carga.
itr y con radio R transporta una carga Q que est distribuida de manera uniforme,
figura 23-12. Determine el potencial en el punto P en el eje del disco, a una distancia x de su centro. SOLUCION El disco se divide en anillos delgados de radio r y espesor dr. La carga Q está distribuida de manera uniforme, en consecuencia Ia carga que esté contenida en cada anillo es proporcional a su area. El area del disco es irR2 y el area de cada anillo es
dA = (2irr)(dr).Portanto,
(2
2irrdr
dq
Q-
rR2
dq=Q
(2irr)(dr)
y
irR2
-
2Qr dr R2
Entonces la diferencia de potencial P, utilizando Ia ecuación 23-6b en Ia que r es sustituido por (x2 + r2), es r=R 1' 1 2Q rdr dq 1 (x2 + r2) 2ire0R2 = 40R2 J r=O J (x2 + n2) +r
v= 4o -
Q
2TE0R2
[(x2
+ R2) - xl. SECCION 23-4
Potencial debido a cualquier distribuciOn de cargas
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599
Superficies equipotenciales II I
F
--
+
20V
15 V10
FIGURA 23 13
V
5V
0V
LIneas equipotencia-
es (lIneas punteadas) entre dos piacas paraleias cuya carga tiene La misma magnitud y signos opuestos. Observe que las lIneas equipotenciales son perpendiculares a las Ilneas de campo magnetico (iIneas continuas).
El potencial eléctrico se puede representar en forma gráfica dibujando IIneas equipotenciales, o en tres dimensiones superficies equipolenciales. Una superficie equipotencia! es aquella en la que todos los puntos se encuentran a! mismo potencial. Es decir, Ia diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera de la superficie es cero, y no se requiere ningün trabajo para mover una carga de un punto a otro. Una superficie equipotencial debe ser perpendicular al campo eléctrico en cuaiquier punto. De no ser asI, es decir si existiera una componente de E paralela a la superficie, se requerirIa un trabajo para mover La carga a través de Ia superficie en contra de esta componente de E; y esto estarla en contra de Ia definiciOn de una superficie equipotencial. Lo anterior también se puede observar a partir de Ia ecuaciOn 23-3, zXV = fE dl. En una superficie donde V es constante, iW = 0, entonces E = 0, dl = 0 o cos 9 = 0, donde 0 es el ngulo entre E y dl. Por tanto en una region donde E es diferente de cero, Ia trayectoria dl a to largo de un equipotencial debe tener cos 0 = 0, esto significa que 0 = 90° y E es perpendicular at equipotencial. El hecho que las iIneas de campo eléctrico y las superficies equipotenciales sean perpendiculares entre si ayuda a Localizar los equipotenciales cuando se conocen las iIneas de campo eléctrico. En un dibujo normal de dos dimensiones, las Ilneas equipotenciales son las intersecciones de las superficies equipotenciales con el piano del dibujo. En La figura 23-13 se han dibujado pocas Ilneas equipotenciales (iIneas punteadas) para el campo eléctrico (!Ineas continuas) entre dos placas paralelas que tienen una diferencia de potencial de 20 V. Se elige en forma arbitraria que ia placa negativa esté a cero volts y se indica el potencial de cada lInea equipotencial. Observe que E apunta hacia los valores inferiores de V. Las Ilneas equipotenciales (lIneas punteadas) en el caso de dos partIculas que tienen Ia misma carga y signos contrarios se muestran en Ia figura 23-14. Las lIneas y las superficies equipotenciales, a diferencia de las lIneas de campo, siempre son continuas y nunca terminan, en consecuencia se extienden más aIlá de las fronteras de Las figuras 23-13 y 23-14. En Ia secciOn 21-9 se vio que en eL caso estático no puede existir un campo eléc-
trico en el interior de un conductor, de io contrario los electrones libres experimentarIan una fuerza y se moverIan. En consecuencia, en el caso estático el volumen completo de un conductor debe encontrarse completamente al mismo potencial, y La superficie de un conductor será entonces una superficie equipotencial. (De lo contrario, los electrones Libres de Ia superficie se moverIan, ya que siempre que exista una diferencia de potencial entre dos puntos se producirá el movimiento de Las cargas libres.) Lo anterior está completamente de acuerdo con nuestro resultado anterior, eL cual mdica que e! campo eléctrico en Ia superficie de un conductor debe ser perpendicular a La superficie.
FIGURA 23-14 Las LIneas equipotenciales (LIneas punteadas) siempre son perpendiculares a las ilneas de campo eLéctrico (lIneas continuas), en este caso se muestran dos partIcuLas que tienen La misma carga pero con signos contrarios.
\\ -5'
/
,
\
5,
\\
/
I, I/f I
' \\\ '.I I
I
, //
/
/
/ -S. 5-,
---5-
!I,,-_-S I
I
g
//
600
CAPITULO 23
Potencial eléctrico
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I
//
/
FIGURA - in'
I
'
r
_o
pI
L ce )r r
tires
23-15 Un mapa topografi-
co (que muestra una parte de La Sierra Nevada en California) muestra lineas continuas de contorno, cada una de las cuales tiene un nivel determinado por arriba del nivel del mar. Los intervalos son de 80 pies (25 m). Si camina por una lInea de contorno podrá subir o bajar con respecto a] nivel. Si cruza las lIneas, y en especial si sube en forma perpendicular a las lIneas, entonces modificará su potencial gravitacional (rápidamente silas imneas están cerca unas de otras).
ri
u,eL
i
(
A1
Una analogIa ütil de las lIneas equipotenciales es un mapa topográfico, las lIneas de contorno son esencialmente lIneas gravitacionales equipotenciales (figura 23-15).
Dioolos eléctricos Dos cargas puntuales de igual magnitud Q y signo opuesto que están separadas a una distancia / forman un dipolo eléctrico, como lo vimos en la secciOri 21-11. Las dos cargas de las figuras 23-10 y 23-14 forman un dipolo eléctrico, esta áltima muestra las ilneas de campo eléctrico y las superficies equipotenciales de un dipolo. Como los dipolos eléctricos suceden con frecuencia en La fIsica, asI como en otros campos, resulta ütil un examen más detallado de los mismos. Ahora se va a calcular el potencial eléctrico que genera un dipolo en un punto arbitrario P, como se indica en Ia figura 23-16. Como es normal, se hace que V = 0 en r = 00. Como V es Ia suma de los potenciales que producen cada una de las cargas, se tiene
V=
1
1
r
(Q)
4i,-E0 r + zr
1
4ir0
Q(1
\r
1
r + tsr)
Q
4ir0 r(r + ir)
donde r es la distancia de P a Ia carga positiva y r + r es Ia distancia a Ia carga negativa. Esta ecuaciOn se vuelve mgs sencilia si se consideran los puntos P cuya distancia del dipolo es mucho mayor que la distancia de separación entre ambas cargas, es decir para r>> 1. Del diagrama se puede ver que en este caso, tXr I cos 0. Como r>> r, se puede despreciar r en el denominador en comparación con r. En consecuencia 1 1 vcosO OIcosO [dipolo; r >> 11 (23-7) = 4re0 = 4ir0 r2 r2 donde p = Qt se denomina momento dipolar. Cuando 9 se encuentra entre 0 y 90°, V es positivo. Si 0 está entre 90° y 180°, V es negativo (porque cos 9 es negativo). Esto tiene sentido ya que en el primer caso P est más cerca de Ia carga positiva y en el segundo caso está más cerca de La carga negativa. En 9 = 90°, el potencial es cero (cos 90° = 0), de acuerdo al resultado del ejemplo 23-7 (punto B). De Ia ecuaciOn 23-7 se observa que el potencial disminuye con el cuadrado de la distancia del dipolo, mientras que para una sola carga puntual el potencial disminuye con la primera potencia de la distancia (ecuaciOn 23-5). No es sorprendente que el potencial disminuya con mayor rapidez en el dipolo, cuando se está lejos del dipolo, las dos cargas de igual magnitud y signos opuestos pareceri estar tan cerca una de la otra que tienden a neutralizarse entre Si. La tabla 23-2 da los momentos dipolares para varias moléculas. Los signos + y - mdican en cuáles átomos residen estas cargas. Las dos iiltimas anotaciones son parte de muchas moléculas orgánicas y juegan un papel importante en la biologIa molecular.
23-16 Dipolo eléctrico. Cálculo del potencial V en el punto P. FIGURA
TABLA 23-2
Momentos dipolares de varias moléculas
Molécula
H2tO
(C m)
6.1 x 10° 3.4 X i0
5.0 x 10°
Nm>H3
>N--H(
°3.0 x i0°
>c()=O(
8.0 x iO
Estos grupos aparecen con frecuencia en moléculas más grandes; en consecuencia el valor del momento dipolar variará un poco, dependiendo del resto de Ia molécula.
SECCION 23-6
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Momento dipolar
Dipolos eléctricos
601
El dipolo del grupo C=O. La distancia entre los tomos de carnon +) y oxigeno (-) en el grupo C = 0 (que existe en muchas moléculas orgánicas) es de aproximadamente 1.2 X 10-10 m y el momento dipolar de este grupo es 8.0 X i0° Cm. Calcule (a) Ia carga efectiva Q en los átomos de C (carbOn) y 0 (oxIgeno), (b) el potencia! a una distancia de 9.0 x 10b0 m del dipolo a lo largo de su eje,
cuando el oxIgeno es el átomo más cercano (es decir, a la izquierda en Ia figura 23-17, por tanto, 0 = 180°). (c) Cuál será el potencial en este punto si solamente el oxIgeno tuviera una carga?
+
SOLUCION
C
0
Nube de electrones airededor de C y 0 en el grupo C = 0. El grupo C = 0 tiene un momento dipolar porque los dos electrones que FIGURA 23-17
(a) El momento dipolar es p = QI, en consecuencia
p
8.0X1030Cm
1
1.2 >< 1010m
6.7 >< 1020C.
Aunque esta carga es inferior a e, Ia carga más pequefia que se conoce, no es una carga que se pueda aislar, pero es Ia carga efectiva que se produce debido a la comparticiOn desigual de electrones, figura 23-17. Como 0 = 180°, al utilizar la ecuación 23-7:
en un principio se encontraban en el tomo de carbon permanecen parte de su tiempo en los alrededores del átomo
pcos
1
V
4r0
r2
(9.0 X 109Nm2/C2)(8.0 >< 1030Cm)(-1.00) (9.0 X 10 IOm)2
de oxIgeno.
= 0.089 V.
Si se supone que Ia carga del oxIgeno es Q = 6.7 X 10_20 C, como en el inciso (a), y el carbon no tiene carga, se utiliza la formula para una sola carga:
v=
Q
1
4e0 r
(9.oxlo' N m2/C2)(-6.7 X 10 9.0 x 1010m
C) =
0.67 V.
Claro está que Ia magnitud del potencial de una sola carga debe ser superior a la magnitud de Un dipolo que tiene Ia misma carga en Ia misma distancia, como era de esperarse.
Determinación de E a partir de V b
Se puede utilizar Ia ecuacion 23-3, Vb = 5a E dl, para determinar Ia diferencia de potencial entre dos puntos si se conoce el campo eléctrico que est en Ia regiOn entre los dos puntos. Al invertir Ia ecuación 23-3 se puede escribir el campo eléctrico en términos del potencial. Entonces se puede determinar el campo eléctrico si se conoce V. Vamos a ver cómo se hace esto. Se escribe Ia ecuación 23-3 en La forma diferencial
dV = E dl = E,dl,
donde dV es La diferencia infinitesimal en el potencial que existe entre dos puntos que están separados por una distancia dl, y E1 es Ia componente del campo eléctrico en direcciOn del desplazamiento infinitesimal dl. Entonces se tiene =
dV
(23-8)
- dl
For tanto, Ia componente del campo eléctrico en cualquier dirección es igual a! valor negativo de Ia razón de cambio del potencial eléctrico con respecto a Ia distancia en esa dirección. La cantidad dV/dl se denomina gradiente de V en una direcciOn particular. Si no se especifica Ia direcciOn, el término gradiente se refiere a Ia dirección en Ia que V cambia con mayor rapidez, que puede ser Ia direcciOn de E en ese punto, en consecuencia
E = - dV dl 602
CAPTULO 23
Potencial eléctrico
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[sidlE]
Si E se escribe en función de x, y y z, y I se refiere a los ejes x, y y z, entonces la ecuaciOn 23-8 se trarisforma en
E = - av ay
E = - av ax
E = - av az
'
(23-9)
Donde t3V/ax es la derivada parcial de V con respecto a x, cuando y y z se mantienen constantes.t Determine el campo eléctrico en
E para un anillo y un disco.
el punto r que se encuentra en el eje de (a) un anillo circular con carga (figura 23-11), (b) un disco con carga uniforme (figura 23-12). SOLUCION (a) Del ejemplo 23-8
v= Entonces
E1 =
Q
1
4r0 (x2 + R2) av
Qx
1
(x2 + R2)
E = E2 = 0.
Este es el mismo resultado que se obtuvo en el ejemplo 21-9, pero no se tiene que romper ei vector del campo eléctrico en sus componentes para integrar posteriormente. (b) Del ejemplo 23-9,
V= por tanto
E-
2ir0 R2
2 R2)x], [(x+
av
x
- 21TE0R2
(x2 + R2)
E = E = 0.
Para los puntos que estn muy cerca del disco, x r0 y (b) r < r0. Suponga q,uc V = 0 en r = 00. (c) Grafique V versus r y E versus r.
Repita el probiema 17 suponiendo que Ia densidad dc carga PE aumenta con ci cuadrado de Ia distancia desde ci centro dc Ia esfera,)' P = 0 en ci centro.
(III) Un cilindro conductor muy largo (longitud L), radio R0, (R0 R0 y (b) r < R0. (c) ,Se cumple que V = 0 en r = 00, (suponga que L = oo)? Expliquc. (III) Un conductor esférico y hueco que transporta una carga neta +Q, tienc un radio interior r1 y un radio exterior r2 = 2r1 (figura 23-23). En ci centro de la esfera se encuentra una carga puntual Q/2. (a) Escriba La fuerza dci campo eléctrico E en las tres regioncs en funciOn de r. Luego determine ci potencial como funciOn de r, La distancia dcl centro, para (b) r > r2,
(a) VBA,(b) VCB,y(c) VCA.
C(-3 4)
se encuentran a las distancias Ra y Rb de un aiambrc recto y muy largo (> Ra o Rb) quc transporta una carga uniformc par unidad de longitud A.
.-B(4,4)
(c)r1 1.
Conductor +
B
Polea +
(a) ,Cuál será el potencial eiéctrico a una distancia de 2.5 X i0-'
+
m lejos de un protOn? Suponga que V = 0 en r = x. (b) ,Cuál será la energfa potencial eléctrica de un sistema que está formado por dos protones que estOn separados por una distancia de 2.5 X 10_Is m, como sucede en un nOcleo tIpico?
Un disco no conductor piano y de poco espesor cuyo radio es R y carga Q, tiene un hoyo (cuyo radio es R/2) en su centro. Calcule el potencial eléctrico V(x) en los puntos que están a to largo del eje de simetrIa (x) del disco (una lInea perpendicular al disco, que pasa por su centro). Suponga que V = 0 en r = El contador Geiger se utiliza para detectar partIculas con carga que emite un nücleo radiactivo. EstO integrado por un alambre central y pequeno que tiene carga positiva y radio Ra, ci cual está rodeado por un cilindro conductor concéntrico de radio Rb que tiene una carga negativa de La misma magnitud. (figura 23-36). La carga por unidad de longitud en el alambre interior es A (sus unidades son C/rn). El ensamble cilIndrico se Ilena con gas inerte a baja presiOn. Las partIculas con carga ionizan algunos de los dtomos de este gas, los electrones libres que se producen de esta forma son atraldos hacia el alambre central. Si el campo eléctrico radial tiene Ia fuerza suficiente, los electrones libres adquirirán una cantidad suficiente de energIa para ionizar a otros átomos, to que provocard una "avalancha" de electrones que golpean al alambre central, generando asI una senal eléctrica. Encuentre la expresión para el campo eléctrico entre el alambre central y ci cilindro, y demuestre que La diferencia de potencial entre Ra y Rb es
VaVb =
A
= 2lrEoIfl(Rb/Ra)
-Aislador Polea accionada por un motor
A
50 kV
FIGURA 23-37
Problema 80.
Demuestre que en dos dipolos que tienen momentos dipolares Pi y P2 y están alineados entre Si (figura 23-38), Ia energIa potencial de uno en presencia del otro (su "energIa de interacción") está determinada por
U=
1
PIP2
21rE0
r3
donde r es Ia distancia entre los dos dipolos. Suponga que r es muy superior a Ia longitud de cada dipolo. p1
FIGURA 23-38
r
Problema 81.
Demuestre que La energia potencial electrostática de dos dipolos en un piano (como se muestra en Ia figura 23-39) está determinada por 1
PIP2
U = 4E0 r
[cos (°
- 02) - 3 cos O cos
021.
Suponga que r es muy superior a Ia longitud de cada dipolo. Los momentos dipolares del vector Pi Y P2 apuntan de la carga negativa a La carga positiva del dipolo.
/
Pi /\e
FIGURA 23-39
Problema 82.
Alambre central, radio Ra FIGURA 23-36
612
CAPITULO 23
Problema 79.
Potencial eléctrico
Una esfera no conductora cuyo radio es r2 contiene una cavidad esférica y concéntrica de radio r1. El material que se localiza entre r1 y r2 transporta una densidad uniforme de carga PE (en C/rn3).
Determine el potencial eléctrico V, en relaciOn a V = 0 en r = oo, en función de La distancia r del centro para (a) r > r2, (b) r1 < r < r2, y (c) r < r1. i,Ves continuo en r1 y r2?
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Los capacitores están disponibles en una amplia variedad de formas y tamaflos; La figura muestra aigunos de estos componentes. Bésicamente, un capacitor está integrado por dos conductores que no se tocan, debido a esto pueden almacenar cargas de signo opuesto en sus dos piacas conductoras. Los capacitores se utilizan en una amplia gama de circuitos como se vera en este capItulo y en capItulos siguientes.
Capacitancia, dieléctricos y almacenamiento de energia eléctrica este capItulo termina nuestro estudio de Ia electrostática. Primero, se analiza un dispositivo de suma importancia, ci capacitor, que se utiliza en todos los circuitos electrOnicos. También se analizará el almacenamiento de energIa eléctrica y los efectos que tiene el aislante, o dieléctrico, en los campos eléctricos y las diferencias de potencial.
Con
Capacitores Un capacitor, que antiguamente se conocIa con ci nombre de condensador, es un dispositivo que puede almacenar carga eléctrica, y cománmente está formado por
dos objetos conductores (normalmente se trata de placas u hojas) que se colocan cerca unos de otros pero que no se tocan. Los capacitores se utilizan ampliamente en los circuitos electrOnicos; almacenan energIa para su uso posterior, como sucede en Ia luz de desteilo (flash) de una cmara. También se utilizan como respaldo de energIa en las computadoras, si falla Ia lInea de alimentaciOn, entonces un conjunto (o banco) de Capacitores proporciona energIa y bloquea los picos transitorios para proteger a los circuitos. Los capacitores forman parte de los circuitos de sintonIa de cualquier receptor de radio; capacitores de tamaño muy reducido funcionan como memoria para almacenar los "ceros" y los "unos" del codigo binario en las memorias de acceso aieatorio (RAM) de las computadoras; por ültimo, los capacitores se utilizan para muchas aplicaciones diferentes, algunas de las cuales se anaiizarán en este capItuio.
613
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Aislador
(a)
(b)
HdH
Capacitores. Diagramas de (a) capacitor de placas paralelas, (b) capacitor de forma cilIndrica (placas paralelas enrolladas entre si). FIGURA 24-1
Un capacitor simple está integrado por un par de placas paralelas cuya area es A, las cuales están separadas por una pequefla distancia d (figura 24la). Con cierta frecuencia las placas paralelas se enrollan formando un cilindro, en este caso se utiliza papel o cualquier otro material aislante para separar las placas, véase Ia figura 24lb. En Ia página anterior se presenta una foto con varios capacitores que se utilizan en varias aplicaciones. En un diagrama esquematico, un capacitor se representa con el sImbolo
+.
+Q Q
Otro sImbolo que representa un capacitor es
HH C
voltaje, está representada por el sImbolo:
[sImbolo del capacitor] -JE.
La baterla, que es una fuente de [sImbolo de La baterIa]
con brazos desiguales. V
(b) (a) Capacitor de placas paralelas conectado a una baterIa. (b) el mismo circuito utilizando Ia simbologia. FIGURA 24-2
Si se aplica voltaje a un capacitor, por ejemplo cuando se le conecta a una baterIa, como se muestra en Ia figura 24-2, el capacitor se carga rápidamente. Una placa adquiere una carga negativa, la otra adquiere una carga positiva de igual magnitud. Cada una de las terminates de la baterIa, los alambres de conexiOn y las placas del capacitor se encuentran al mismo potencial, de ahI que el voltaje máximo de La bateria esté presente entre las terminates del capacitor. Para un capacitor de vator determinado, se puede decir que ta cantidad de carga Q que adquieren cada una de sus ptacas es proporcionat a Ia magnitud de Ia diferencia de potencial Vba entre ellas:
Q = CVba.
(24A)
La constante de proporcionalidad, C en Ia retaciOn anterior, se conoce como capacitancia del capacitor. La unidad de capacitancia es el coulomb por volt, y se conoce con el nombre de farad (F). Los vatores de capacitancia de Ia mayor parte de los capacitores se encuentran en el intervalo de 1 pF (1 picofarad = 1O_12 F) a 1 pF (1 microfarad X lO F). La relación, ecuación 24-1, fue sugerida por primera vez por Alessandro Volta a finales del siglo XVIII. En general Ia capacitancia C no depende de Q o de V. Su valor depende sOlo del tamaflo, forma y posicion relativa de los dos conductores, además del material que los separa (dieléctrico).
Determinación de Ia caoacitancia La capacitancia de un capacitor cualesquiera se puede determinar en forma experimental a partir de Ia ecuación 24-1, para esto se mide Ia carga Q en cualesquiera de los conductores para una diferencia de potencial determinada Vba. 614 CAPITULO 24
Capacitancia, dieléctricos y almacenamiento de energIa eléctrica
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Para el caso de los capacitores que tienen una geometrIa sencilla, el valor de C se puede determinar en forma anaiftica, en esta secciOn supondremos que los conductores están separados por aire o por vacIo. Para mostrar lo anterior, vamos a determinar C para un capacitor de placas paralelas, véase la figura 24-3. Cada una de las placas tiene un rea A y está separada por una distancia d. Se asume que el valor de d es pequeflo comparado con las dimensiones de cada placa, de manera que el campo eléctrico E que existe entre las placas es uniforme y por tanto se puede ignorar La dispersion del campo (las ilneas de E que no son rectas) que ocurre en las esquinas. Como ya se vio con anterioridad (en el ejemplo 21-12) el campo eléctrico entre dos placas paralelas, que están muy cerca una de otra, tiene La siguiente magnitud E = o-/ y su direcciOn es perpendicular a las placas. Como o- es Ia carga por unidad de area, ci = Q/A, entonces el campo entre las placas es
H-dH
E= 0A La relaciOn entre campo eléctrico y potericial eléctrico, de acuerdo con la ecuaciOn 23-4, es b
Vba =
b
a
Capacitor de placas paralelas, cada una de las cuales tiene un area A. Se ignora Ia deformaciOn del campo. FIGURA 24-3
_JE.dI.
Podemos tomar la integral de lInea a través de una trayectoria que es antiparalela a las lIneas de campo, de un pIano a otro; entonces 0 = 180°, y cos 180° = 1, por tanto
')
Vba=Vb_Va=_IEd1C0S180°=HEd1= 0A Ja Ja
1b
Jd1
Ja
Qd
e0A
La expresiOn anterior relaciona Q con Vba, y a partir de ella se puede obtener Ia capacitancia C en términos de Ia geometrIa de las placas: A [capacitor con placas paralelasl (24-2) C= Q = d
Vba
Esta relaciOn tiene sentido, como se puede intuir: un aumento en el area A significa que para una cantidad determinada de cargas (electrones), existirá una menor repulsion entre las cargas (si están alejadas una de otras), por tanto se espera que cada una de las placas retenga una mayor cantidad de carga. El aumento en Ia distancia de separación d significa que Ia carga en una de las placas ejerce una menor fuerza de atracciOn en Ia otra placa, en consecuencia se toma menor carga de Ia baterIa y Ia capacitancia es menor. Cabe indicar que en Ia ecuaciOn 24-2 el valor de C no depende de Q o de V, por tanto se puede predecir que Q es proporcional a V, como se demostrO experimentalmente. Cálculo de capacitores. (a) Calcule la capacitancia de un capauijtiones de sus placas son 20 X 3.0 cm y están separadas por una abertura de aire de 1.0 mm. (b) ,Cuál es la carga en cada una de las placas si el capacitor se conecta a una baterIa de 12 V? (c) ,Cuál es el campo eléctrico entre las placas? (d) Calcule el area que deben tener las placas para obtener una capacitancia de 1 F, considere Ia misma abertura de aire d. SOLUCION (a) El area A = (20 X 102m)(3.0 X 102m) = 6.0 >< 103m2. EntonLOL Si 1
ces Ia capacitancia C es
A d
C=
= (8.85 X 102C2/Nm2)
60x103 m 2 = 53pF. 1.0X103m
La carga en cada placa (aquI utilizamos V en lugar de Vha) es:
Q = cv =
(53
x 1o2F)(12v) = 6.4 x 1010C.
Partiendo de la ecuación 23-4, para un campo eléctrico uniforme, Ia magnitud de E es:
E
V
12V
d
X 103m
1.0
- 1.2 X iO V/rn.
Al resolver A en Ia ecuación 24-2, considerando que se desea un capacitor de 1 F con una abertura de aire de 1 mm, se necesita un capacitor cuyas placas deben tener Ia siguiente area
A =
Cd
(1F)(1.0 X 10m)
(9 x 1012 C2/N m2)
108m2.
Esta es el area de un cuadrado cuyo lado mide iO m = 10 km por lado, este es el tamaflo de una ciudad similar a San Francisco o Boston! SECCION 24-2 DeterminaciOn de Ia capacitancia
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615
Tecla' Placa móvil
ii
Capacitor
Aislador -
(flexible)
Placa' fija
El teclado de una computadora. Al presionar Ia tecla se reduce la separación de las placas de un capacitor, lo que a su vez provoca un aumento en Ia capacitancia, este proceso se detecta en forma electrOnica.
FIGURA 24-4
(a) Capacitor ciJIndrico integrado por dos conductores cilIndricos y coaxiales. (b) Las Ilneas de campo eléctrico se muestran en Ia vista transversal. FIGURA 24-5
Rb
Hace diez o quince años, era poco comün encontrar una capacitancia superior a 1 tE En la actualidad, existen capacitores cuyo valor est comprendido entre 1 y 2 F, aunque su tamaño es reducido, cada uno de sus lados mide pocos centImetros. Estos capacitores se utilizan como reservas de energIa para aplicaciones de bajo voltaje, tal es el caso de las memorias para computadora y las fuentes de alimentación de las videocaseteras, donde se puede mantener informaciOn relativa al tiempo y fecha mediante el flujo de cargas pequenas. (En estas aplicaciones los capacitores superan a las baterlas recargables ya que se pueden recargar en más de i0 ocasiones sth mayores problemas.) j,Cómo se fabrican estos capacitores que tienen una capacitancia tan elevada? Existe una clase de capacitores que utiliza carbon activado que es altamente poroso, por tanto el area superficial es muy grande; una décima de gramo de carbOn activado puede tener un area superficial de 100 m2. Además, en este dispositivo con "capa eléctrica" doble existen cargas iguales y opuestas, esta capa eléctrica es una capa de carga que aparece en Ia interfase que forman las partIculas de carbon y el ácido sulfOrico que las rodea. La carga positiva reside en el borde de carbOn y Ia carga negativa reside en el borde de ácido con una separaciOn de aproximadamente iO m entre ambas. En consecuencia, la capacitancia de 0.1 g de carbOn activado, cuya area interna puede ser de 102 m2, es C = e0A/d = (8.85 X 10'2C2/N.m2)(102m2)/(109m) 1 F Un tipo especial de teclado para computadora funciona basado en Ia capacitancia. Como se muestra en Ia figura 24-4, cada tecla se conecta en Ia placa superior de un capacitor. La placa superior se mueve hacia abajo cuando se presiona Ia tecla, reduciéndose asI Ia separaciOn entre las placas del capacitor, con el consiguiente aumento en Ia capacitancia (de Ia ecuaciOn 24-2: si d disminuye entonces C aumenta). El cambio en La capacitancia se transforma en una senal eléctrica que es detectada por un circuito electrOnico. La proporcionalidad, C A /d en Ia ecuaciOn 24-2, es válida solamente en el caso de un capacitor de placas paralelas que se enrolla en espiral en el interior de un ciJindro, como se muestra en la figura 24-lb. Sin embargo, se debe reemplazar el factor constante Si se utiliza papel como material aislante (algo que es muy comOn) para separar las placas. Esto se analiza en Ia secciOn 24-5. Para un capacitor realmente cilIndrico, formado por dos cilindros coaxiales, el resultado es un tanto diferente como lo demuestra el siguiente ejemplo.
Capacitor cilIndrico. Un capacitor cilfndrico está integrado por un ciiinaro o aimbre) con radio Rb, que a su vez estd rodeado por una cubierta cilIndrica y coaxial cuyo radio interno es Ra, véase Ia figura 24-5a. Ambos cilindros tienen una longitud L, La cual suponemos es mucho mayor que Ia distancia que separa a ambos cilindros, RaRb, en consecuencia podemos despreciar sus efectos. El capacitor esta cargado (por ejemplo cuando se conecta a una baterIa) de modo tal que un cilindro adquiera una carga +Q (el cilindro interior) y el otro adquiera una carga Q. Determine la formula de la capacitancia. SOLUCION Para obtener C = Q/Vba, necesitamos determinar Ia diferencia de potencia! entre los cilindros, Vba, en términos de Q. Podemos utilizar el resultado anterior (ejemplos 21-10 o 22-5) que indica que el campo eléctrico que rodea a un alambre largo se dirige en forma radial hacia el exterior del mismo, y tiene una magnitud E = (l/211-0) (A/r), donde r es Ia distancia desde el eje y A es la carga por unidad de longitud, Q/L; entonces E = (1/2it0)(Q/Lr) para los puntos que estén entre los cilindros. Para obtener Vb. en términos de Q, se utiliza este resultado en La ecuación 23-3, E dl, y se escribe la integral desde el cilindro exterior hacia el cilindro Vba = interior (para que Vba > 0) a lo largo de Ia lInea radial.
ba -
b
- ia
fRbj. dl-- 2ir 0L iRa r Q
-
Q
2ii-e L
n
J?
Q
Ra - 21T 0L
R Rb
Q y Vba son proporcionales, y Ia capacitancia C es
C=
I
0
=
2ITEL
[capacitor cilIndrico] Ifl(Ra/Rb) ,Acaso tiene sentido Ia dependencia en L, R y Rb? (Véase el análisis que está después de la ecuaciOn 24-2.) Vba
Cabe indicar que E apunta hacia fuera en Ia figura 24-5b, pero dl apunta hacia dentro debido a Ia dirección de integracion que se eligiO, el ángulo entre E y dl es 1800 y cos 180° = 1. Además, dl = dr ya que dr aumenta hacia fuera. Ambos signos de menos se cancelan.
616
CAPITULO 24
Capacitancia, dieléctricos y almacenamiento de energIa eléctrica
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Capacitor esférico. Se tiene un capacitor esférico que está formado por dos cubiertas conductoras concéntricas y con forma esférica, cuyos radios SOfl ra y rb como se indica en la figura 24-6. La cubierta interior tiene una carga Q que está distribuida de manera uniforme en su superficie, mientras que Ia cubierta externa tiene una carga de igual magnitud pero de signo contrario -Q. Determine Ia capacitancia de ambas cubiertas.
/
--
SOLUCION En el ejemplo 22-3 se utilizó la ley de Gauss para demostrar que el campo eléctrico en el exterior de una esfera conductora que tiene una carga uniforme es E = Q/4p0r2 como si toda Ia carga estuviera concentrada en el centro de Ia esfera, Ahora se utiliza Ia ecuación 233, Vba = Ja E dl, y se integra a lo largo de Ia trayectoria radial para obtener Ia diferencia de potencial entre las dos cubiertas conductoras: b
Vba =
-1 Ed1 Ja
rr1
Q
-
471-co
J
r
dr
Q (II'ra) = 4ir0 rb
Por áltimo
FIGURA 24-6 Una secciOn de un capacitor esférico. La delgada cubierta interior tiene un radio rb, el radio de La cubierta exterior es ra.
(rr\ rr 4ir Q
\
/
= 4Tco( rarb
ra - rb,
= "ba
También se puede decir que un conductor inico y aislado puede tener una capacitancia C. En este caso C se puede defiriir como la razón de cambio de un potencial absoluto V en el conductor (con relación a V = 0 en r = ), por tanto la relaciOn
Q = CV continua siendo válida. Por ejemplo, el potencial de una esfera conductora de radio rb se puede obtener a partir de los resultados del ejemplo 24-3, al hacer que ra se vuelva entonces infinitamente grande. Conforme ra -
v=
Q
(jj\\
4ir
1
ra) - 4ii rb
en consecuencia la capacitancia es
C=
Q
= 4ITEOTb.
Pero cabe indicar que un conductor aislado no se puede considerar como un capacitor. En Ia práctica, un conductor puede estar cerca de otros conductores o cerca de La Tierra (la que se puede considerar como Ia "otra" placa del capacitor), lo que afectarIa el valor de Ia capacitancia.
Capacitores en serie v en paralelo Los capacitores se pueden encontrar en casi cualquier circuito eléctrico. Un circuito eléc-
trico es una trayectoria cerrada de conductores, que normalmente está integrada por alambres que conectan capacitores y/u otros dispositivos, donde pueden circular las cargas e incluye una fuente de voltaje, por ejemplo, una baterfa. El voltaje de la baterIa recibe el sImbolo V, esto significa que V representa una diferencia de potencial. Los capacitores se pueden conectar entre si en varias formas. Dos formas comunes son conexión en serie y conexión en paralelo, ambas se analizarán enseguida. SECCION 24-3
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Capacitores en serie y en paralelo
617
La figura 24-7 presenta un circuito que contiene tres capacitores conectados en paralelo. Están en "paralelo" porque eJ voltaje de Ia baterIa V se conecta a los puritos a y b. Este voltaje V = Vab está presente en cada uno de los capacitores. Es decir, como las placas del lado izquierdo de todos los capacitores están conectadas a un mismo conductor, todas están a! mismo potencial V cuando se conectan a la baterIa. Las placas del lado derecho están a! potencial Vb. Cada una de las placas de los capacitores adquiere una carga que está determinada por Q1 = C1V, Q2 = C2V, Q3 = C3V. La carga total Q que debe dejar a la baterIa es
+-C' QI C2
b S
2
C3
1
Q = Ql+Q2+Q3 = C1V+C2V+C3V.
3
V
Vab
Capacitores en paralelo: C = C1 + C2 + C3.
Ahora vamos a tratar de encontrar un solo circuito equivalente que contenga la misma carga Q con el mismo voltaje V = Vy La capacitancia equivalente de este circuito Ceq está determinada por
FIGURA 24-7
Q = CeqV. Al combinar las dos ecuaciones anteriores se tiene
CeqV = C1V+C2V+C3V = (C1+c2+c3)v 0
Ceq = C +
1_i
FIGURA 24-8
-
C1
a S
Capacitores en serie:
C2
A
1
1
Cl + C2
+ C3 B
C
II
+Q Q +Q Q +Q Q
b
Vab
[paralelo]
+ C3.
(24-3)
El efecto neto que se obtiene al conectar capacitores en paralelo es un aumento en Ia capacitancia. Esto tiene sentido porque en esencia se aumenta el area de las placas donde se puede acumular Ia carga (véase por ejemplo Ia ecuación 24-2). Los capacitores también se pueden conectar en serie. En este caso se conectan de extremo a extremo, como se muestra en Ia figura 24-8. Una carga + Q fluye de La baterIa a una placa de C1, y Q f!uye a una placa de C3. En un principio las regiones A y B que se localizan entre los capacitores eran neutrales, por tanto Ia carga neta seguIa siendo cero. La carga + Q que está en la placa izquierda de C1 atrae a Ia carga Q que está en Ia placa opuesta. Como Ia region A debe tener una carga neta igual a cero, deberá existir una carga + Q en Ia placa izquierda de C2. Las mismas consideraciones aplican a! resto de los capacitores, en consecuencia se observa que la carga en cada uno de los capacitores tiene el mismo valor Q. Un solo capacitor que puede reemplazar a los tres capacitores en serie, sin afectar a! circuito, (en otras palabras que Q y V no se alteren) deberá tener una capacitancia Ceq, donde Q
V
C2
CeqV.
Ahora, como el voltaje total V a través de los tres capacitores en serie debe ser igual a Ia suma de los voltajes en cada capacitor:
V = V1+V2+V3. También se tiene que Q = C1V1, Q = C2V2, Q = C3V3, por tanto si se sustituyen V1, V2 y V3 en la ültima ecuación se obtiene
Ceq - C1
C2
C3
C2
C3
C,
C2
C3)
0 1
Ceq
=
Ci
[serie]
(24-4)
Nótese que Ia capacitancia equivalente Ceq es bastante menor que la capacitancia más pequefla del circuito. Otras configuraciones de capacitores se pueden analizar en forma similar utilizando la conservación de las cargas, simplemente en términos de conexiones en serie y paralelo.
618
CAP1TULO 24
Capacitancia, dieléctricos y almacenamiento de energia eléctrica
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Capacitancia equivalente. Determine la capacitancia de un capacitor simple que tendrIa el mismo efecto que la combiriación de capacitores que se C. muestra en La figura 24-9. Considere que C1 = C2 = C3
C2 y C3 están conectados en paralelo, por tanto equivalen a un solo capacitor que tiene Ia siguiente capacitancia SOLUCION
C2
Cl
. a
it C3
C23 = C2 + C3 = 2C. C23 está en serie con C1, por tanto Ia capacitancia equivalente Ceq está determinada por 1
=
Ceq
1
1
C1
C23
=
+ 1
1
C
2C
=
FIGURA 24-9
Ejemplo 24-4.
3
2C
RESOLUCION DE PROBLEMAS
que es La capacitancia equivalente de toda Ia combinaciOn de
de aquI que Ceq = capacitores.
C2
Combinaciôn de capacitores. (a) Determine Ia capacitancia e ue ia combinación que se muestra en La figura 24-lOa (es decir, la capacitancia entre los puntos a y b). Haga C1 = 6.0 /LF, C2 = 4.0 F, C3 = 8.0 jiF. (b) Si los capacitores se cargan con una baterla de 12 V que se conecta entre los puntos a y b, determine la carga en cada capacitor y La diferencia de potencial en cada uno. .JL
HI
Cl
C3
(a) C2 y C3 están conectados en paralelo, por tanto equivalen a un solo capacitor cuya capacitancia es (ecuación 24-3) SOLUCION
1
1
1
S
S
(a)
C23 está en serie con C1, como se muestra en Ia figura 24-lOb. La capacitancia equivaLente C de toda la combinaciOn está determinada por Ia ecuaciOn (24-4)
11
b
a
C23 = C2 + C3 = 4.OtF + 8.OpF = 12.0tE
Cl
3
C23
-II
Ceq - C1 + C23 - 6.0 j.F + 12.0 LF - 12.0 ,iF De aquI que C = 12.0 F/3 = 4.0 tF.
(b) La carga total que fluye de La baterIa es Q = CV = (4.0 x 1o6F)(12v)
S
(b)
C1 y C23 transportan esta carga Q. El voltaje entre las terminales de C1 es Q C1
b
a
= 4.8 x 105C.
FIGURA 24-10
Ejemplo 24-5.
4.8 x iO- C = 8.0 V. 6.0 x 106F
El voltaje en las terminales de la combinación C23 es Q C23
4.8x105C 12.0 x
106F
Como los capacitores C2 y C3 están en paralelo, Ia siguiente relaciOn representa el voltaje en estos capacitores:
V2 = V3 = 4.OV. Las cargas en C2 y C3 son
= C2V = (4.0 x 1o6F)(4.ov) = 1.6 x 10-Ic = c3v3 = (8.0 x 10-6 F)(4.OV) = 3.2 x 105C. Para resumir:
V1 = 8.OV Q1 = 48pC Q2 = 16,u.0 V2 = 4.OV Q3 = 32/.LC. V3 = 4.OV = Q, como debe ser. cabe indicar que Q2 + Q3 =
SECCION 24-3
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Capacitores en serie y en paralelo
619
I
Capacitores reconectados. Dos capacitores C1 = 2.2 F y ccnectan en paralelo a una fuente de 24 volts, como se muestra en La figura 24-ha. Una vez que se han cargado se desconectan los capacitores de La fuente de voltaje, pero también se desconectan entre sI para despues conectarse de nuevo como se indica en Ia figura 24-lib, con las placas encontradas. Calcule Ia carga en Cada capacitor y el potencial una vez que se ha establecido el equilibrio. SOLUCION Primero se debe calcular cuánta carga se ha almacenado en cada capacitor después que estos se cargaron completamente a! voltaje de la fuente de alimentación. Utilizando la ecuación 24-i para cada capacitor se tiene: 1.L
24 V
T-'
Q21
(a) configuración inicial.
1+Q
T-'
Q21
+Q21
= C1V = (2.2,F)(24V) = 52.81tC,
(b) solamente en el instante de reconexión.
qf
iJ
1q2
(c) Poco después. FIGURA 24-11
= C2V = (1.2,aF)(24V) = 28.8C. Ahora examinamos Ia figura 24-ilb. Los capacitores están conectados en paralelo, y Ia diferencia de potencial entre ambos debe alcanzar rápidamente el mismo valor. En consecuencia, la carga no puede permanecer como se muestra en Ia figura 24-lib, pero las cargas deben modificarse por si mismas para que las placas superiores tengan cargas del mismo signo, en tanto que las placas inferiores tengan una carga opuesta como se muestra en Ia figura 24-lie. La ecuación 24-i se aplica a cada carga: q1
Ejemplo 24-6.
= C1V'
y
q2
= C2V'
donde V' es el voltaje en cada capacitor después que se han reacomodado las cargas. No se conoce el valor de q1, q2 o V', por tanto se necesita otra ecuación, Ia cual provendrá de Ia conservaciOn de cargas. Las cargas se han reacomodado entre 51, véanse las figuras 24-lib y c. La carga total en las placas superiores de ambas figuras debe ser la misma, en consecuencia q1 + q2 = - Q2 = 24.0C. Al combinar las Oltimas tres ecuaciones se obtiene: V' = (qi + q2)/(C1 + C2) = 24.0 iC/3.4 F = 7.06 V 7.1 V q1 = C1V' = (2.2F)(7.06V) = i5.5F i6/LF q2 =
C2V' = (i.21F)(7.06V) = 8.5p.F
solamente Se incluirán en las respuestas los datos más significativos.
Almacenamiento de enerqIa eléctrica Un capacitor cargado almacena energIa eléctrica, Ia energIa que almacena es igual a! trabajo que se realizO para cargarlo. El efecto neto que se obtiene al cargar un capacitor es remover Ia carga de una placa y depositarla en La otra. Esto es lo que hace una baterIa cuando se conecta a un capacitor. El capacitor no se carga en forma instantánea, necesita algOn tiempo (véase Ia secciOn 26-4). En un principio, cuando el capacitor está descargado, no se necesita ningün trabajo para mover la primera carga. Una vez que se ha acumulado cierta cantidad de carga en ambas placas, se necesita trabajo adicional para añadir más cargas del mismo signo debido a Ia repulsion eléctrica. Conforme allmenta Ia carga en Ia placa Se necesitará mayor cantidad de trabajo para depositar carga
adicional. El trabajo que se necesita para afladir una pequena cantidad de carga dq, cuando existe una diferencia de potencial V entre las placas del capacitor es dW = V dq. Como V = q/C en cualquier momento (ecuaciOn 24-1), donde C es La capacitancia, el trabajo que se necesita para almacenar una carga total Q es
W = JVdq
=
1
jqdq
=
Q2
En consecuencia se puede decir que Ia energIa "almacenada" en el capacitor es ,-2
17
cuando el capacitor C transporta las cargas +Q y -Q en sus conductores. Como Q = CV, donde V es la diferencia de potencial en las terminales del capacitor, se tiene la siguiente expresiOn
U= 620
CAPiTULO 24
-=
CV2 =
QV.
Capacitancia, dieléctricos y almacenamiento de energIa eléctrica
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(24-5)
EnergIa almacenada en un capacitor. Una luz de destello para cámara almacena energIa en un capacitor de 150 tF a 200 V. j,Cunta energIa eléctrica se puede almacenar? SOLUCION De la ecuación 24-5 se tiene
U = energIa = Cv2 = Cabe indicar cómo se manejan las unidades
=
()(v2) = cv =
(150 X 106F)(200V)2 = 3.OJ.
c()
= .j.
Si esta energIa se puede liberar en ioo de segundo (10-s s), Ia potencia de salida serIa equivalente a 3000 W. Resulta ütil pensar que la energIa que se almacena en un capacitor se va a almacenar en forma de campo eléctrico entre las placas. Como ejemplo vamos a calcular Ia energIa que se almacena en un capacitor de placas paralelas en términos del campo eléctrico.
De acuerdo a lo analizado anteriormente (ecuaciOn 23-4) el campo eléctrico E entre dos placas paralelas (que están cerca una de otra) es aproximadamente uniforme y su magnitud está relacionada con Ia diferencia de potencial mediante V = Ed, donde d es la distancia de separación. Adems, la ecuación 24-2 indica que C = 0A/d para un capacitor de placas paralelas. En consecuencia
u= =
CV2
1(oA)(E2d2)
e0E2Ad.
La cantidad Ad es el volumen entre las placas en el que existe el campo eléctrico E. Al dividir arnbos lados de Ia ecuación entre el volumen se obtiene la expresiOn para Ia energIa por unidad de volumen o densidad de energIa, u:
u = densidad de energIa =
0E2.
(24-6)
La energIa eléctrica por unidad de volumen que se almacena en cualquier region del espacio es proporcional at cuadrado del campo eléctrico en esa regiOn. Se obtuvo Ia ecuaciOn 24-6 para el caso especial de un capacitor de placas paralelas, pero también se
puede mostrar que la ecuación es válida para cualquier region en el espacio donde exista un campo eléctrico.
Dieléctricos En la mayor parte de los capacitores existe una capa de material aislante (que puede ser papel o plástico) que se conoce como dieléctrico, el cual se encuentra entre las placas.
Este material tiene varios propositos: antes que nada los materiales dieléctricos sufren la ruptura (permitiendo el flujo de las cargas eléctricas) con menor facilidad que el aire, en consecuencia, su uso permite la aplicación de voltajes más elevados sin que pasen las cargas entre la abertura que separa las placas del capacitor. AOn más, el uso de un dieléctrico permite que las placas se acerquen más sin que se toquen, con el consiguiente aumento en Ia capacitancia ya que d disminuye en la ecuación 24-2. Por Oltimo, se ha demostrado experimentalmente que el uso de un material dieléctrico que Ilena el espacio entre dos conductores aumenta la capacitancia en un factor K, el cual se conoce como constante dieléctrica. En consecuencia
C = KC,
(24-7)
donde C0 es la capacitancia cuando el espacio que existe entre las placas de un capacitor es el vacIo, y C es Ia capacitancia cuando el espacio entre las placas se llena con un material cuya constante dieléctrica es K. SECCION 24-5
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Dieléctricos
621
TABLA 24-1 Constantes dieléctricas (a 20° C)
Constante Rigidez dieléctrica dieléctrica (V/rn) K
Material VacIo
1.0000
Aire (1 atm) Parafina Poliestireno Hule, neopreno Vinilo (ptástico) Papel Cuarzo Aceite Vidrio (Pyrex) Porcelana
1.0006
Mica
10 x 106
2.6
24 x 106
6.7
12 x 106
2-4
50 x 106
3.7
15 x 106
4.3
4
8x106 12x106
5
14X106
7
Agua (lIquido) Titanato de estroncio
difiere muy poco de Ia capacitancia en el vacIo. La tabla 24-1 también muestra Ia rigidez
dieléctrica, que es una medida del valor mximo del campo eléctrico antes que ocurra Ia ruptura (flujo de cargas) del material dieléctrico. Para un capacitor de placas paralelas (véase la ecuación 24-2) se tiene
C = K0
3 x 106
2.2
6-8
La tabla 24-1 muestra los valores de Ia constante dieléctrica para varios materiales. Cabe indicar que para el aire (a 1 atmOsfera de presión) K = 1.0006, que difiere muy poco del valor de 1.0000 para el vacIo, en otras palabras Ia capacitancia en el aire
5x106
[capacitor de placas paralelas]
(24-8)
cuando el espacio entre las placas está completamente Ileno con un dieléctrico cuya constante dieléctrica es K. (La situación que existe cuando el dieléctrico Ilena en forma parcia! el espacio entre las placas se analiza en el ejemplo 24-9.) Debido a que Ia cantidad Ke0 aparece con bastante frecuencia en las formulas, procederemos a definir una nueva cantidad (24-9) = Ke0 Ia cual se conoce como permisividad de un material. La expresiOn de Ia capacitancia de un capacitor de placas paralelas se transforma en
C=
150x106
80 300
8x106
Note que representa Ia permisividad del espacio libre (en vacIo). La densidad de energfa almacenada en un campo eléctrico E (secciOn 24-4) en un dieléctrico está determinada por (véase La ecuaciOn 24-6)
u = K0E2 = Dos experimentos sencillos demuestran el efecto de un material dieléctrico. En el primero, figura 24-12a, se conecta el voltaje de una baterIa V0 a un capacitor como si se tratara de un dieléctrico: si Ia carga en las placas sin dieléctrico es Q0, entonces cuando se inSerta el dieléctrico, se encuentra experimentalmente (de acuerdo a Ia ley de Faraday) que La carga Q en las placas aumenta en un factor K, [voltaje constante] KQ0. Q La capacitancia ha aumentado en C = Q/V0 = KQ0/V0 = KCO3 que es la ecuaciOn 24-7. En un segundo experimento, figura 24-12b, se conecta el voltaje de una baterIa V0 a un capacitor CO3 el cual mantiene una carga Q0 = C0V0. Entonces se desconecta Ia baterIa, dejando al capacitor aislado con una carga Q0 y un voltaje V0. Luego se inserta un dieJéctrico entre las placas del capacitor. La carga permanece en Qo (no existe otro lado donde pueda ir Ia carga), pero se encontrO experimentalmente que el voltaje disminuyO en un factor K: V0
[carga constante] K Cabe indicar que Ia capacitancia cambia a C = Q0/V = Q0/(V0/K) = KQ0/V0 = KCO3 en consecuencia este experimento confirma también Ia ecuaciOn 24-7. FIGURA 24-12
Dos experimentos
con un capacitor. (a) Se inserta un dieléctrico mientras se mantiene constante el voltaje, (b) mientras se mantiene constante Ia carga.
,_'
VOT
=u v0
-
sin dieléctrico
(a) Voltaje constante
I
VOT
+o
T-°
-
sin dieléctrico
I+Q=-I-KQO v0
Q=KQ0 con dieléctrico
+Qoj.
Q0T
0'
c
batena desconectada
(b) Carga constante 622
CAP1TULO 24
Capacitancia, dieléctricos y almacenamento de energIa eléctrica
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c=
-
+QojvYQ _QoTc = KG0 se insertó el dieléctrico
El campo eléctrico en el interior de un dieléctrico también se altera. Cuando no existe dieléctrico, el campo eléctrico entre las placas de un capacitor de pJacas paralelas está determinado por Ia ecuación 23-4: E0
V0
-d
donde V0 es la diferencia de potencial entre las placas y d es la distancia de separacion de las placas. Si el capacitor está aislado de tal forma que Ia carga permanezca sin cambio en las placas cuando se inserta un dieléctrico, al momento de ilenar el espacio entre las placas, Ia diferencia de potencial cae a V = V0/K. Por tanto el campo eléctrico en el dieléctrico es V
E = ED = 0
ED =
V0
= Kd
E0
[en un dielectrico]
(24-10)
En consecuencia el campo eléctrico en el interior de un dieléctrico también se reduce por un factor que es igual a Ia constante dieléctrica. Aunque el campo se reduce en un dieléctrico (o aislante), no se reduce hasta ilegar completamente a cero como sucede en un conductor. Un capacitor de placas paralelas que esa enJ ae un material dieléctrico cuya K = 3.4, se conecta a una baterla de 100 V (figura 24-13a). Después que se ha cargado completamente el capacitor se desconecta Ia baterIa. El area de las placas es A = 4.0 m2, y están separadas por una distancia d = 4.0 mm. (a) Calcule Ia capacitancia, la carga en el capacitor, La fuerza del campo eléctrico y Ia energIa almacenada en el capacitor. (b) Si ahora se remueve el dieléctrico del capacitor Remoción del dieléctrico.
sin modificar La separaciOn entre sus placas y se considera que ninguna carga deja el capacitor (figura 24-13b), calcule los valores de Ia capacitancia, fuerza de campo eléctrico, voltaje entre las placas y Ia energIa almacenada en el capacitor. SOLUCION (a) Primero se calcula Ia capacitancia con dieléctrico: 3.4(8.85 X 10-12 C2/N m2)(4.0 m2) Ke0 A
C=
-
d
4.0X103m
A
K-3 4
j4.O m (a)
100V
0v
A
\
I d=4.0 mm
(b) FIGURA 24-13
Ejemplo 24-8.
SECCION 24-5
Dieléctricos
= 3.0x108F.
La carga Q en las placas es
Q = cv = (3.0 x 108F)(100V) = 3.0 x 106C. El campo eléctrico entre las placas es V 100V
E=
25kV/rn.
4.0X103m
d
Por ültimo, Ia energIa total almacenada en el capacitor es u = cv2 = (3.o x 108F)(100V)2 = 1.5 x 104J. (b) La capacitancia sin el dieléctrico es
C0 =
r
=
(30 x 1(Y8F
(34;
'
= 8.8 x 109F.
La carga Q no cambia, por tanto V = Q/C aumenta por un factor K = 3.4 hasta Ilegar a 340 V. El campo eléctrico es
E== V
340V
d
4.0X103m
=85kV/rn.
La energIa almacenada es u = cv2 = (8.8 x 109F)(340V2 = 5.1 x 104J. De dónde proviene toda esta cantidad adicional de energIa? La energIa aumento porque se tiene que realizar trabajo para remover el dieléctrico. El trabajo necesario fue
W = 5.1 x 104J - 1.5 x 104J = 3.6 x 104J. (Como se vera en Ia siguiente secciOn, ese trabajo es necesario debido a Ia fuerza de atracciOn entre Ia carga inducida en el dieléctrico y las cargas de las placas, véase Ia figura 24-14c.)
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623
*
DescripciOn molecular de los dieléctricos La siguiente cuestiOri Ia examinaremos desde el punto de vista molecular: ,por qué debe aumentar Ia capacitancia de un capacitor cuando se inserta un dieléctrico entre sus placas? Considérese un capacitor cuyas placas están separadas por una abertura de aire. Este capacitor tiene una carga +Q en una placa y -Q en Ia otra (figura 24-14a). El capacitor está aislado (sin conectar a una baterIa) de tal forma que no puede entrar o salir carga de sus placas. La diferencia de potencial entre las placas, V0, está determinada por la ecuaciOn 24-1: Q = C0V0, los subIndices () indican que solamente existe aire entre las placas. Ahora se inserta un dieléctrico entre las placas (figura 24-14b). Las moléculas del dieléctrico pueden ser polares, es decir, aunque las moléculas son neutrales, puede existir un momento dipolar permanente (como sucede en el agua). Debido a la presencia del campo eléctrico entre las placas, las moléculas tendermn a orientarse como se indica en la figura 24-14b, aunque no estarn perfectamente orientadas debido al movimiento térmico (véase el capItulo 18 del volumen I), pero se espera que estén alineadas en forma parcial (conforme aumenta el campo eléctrico habrá una mayor alineación de las moléculas). Aün cuando las moléculas no sean polares, el campo eléctrico entre las placas inducirá cierta separaciOn de carga en las moléculas (momento dipolar inducido). Aunque los electrones no dejen las moléculas, estos se movergn ligeramente en el interior de las moléculas hacia Ia placa positiva. Esta situaciOn se presenta en Ia figura 24-14b. El efecto neto en cualquier caso es Ia existencia de una carga neta negativa en el borde exterior del dieléctrico, que apunta hacia Ia placa positiva, y una carga neta positiva en el lado opuesto, como se indica en Ia figura 24-14c. Se puede visualizar que algunas de las lIneas de campo eléctrico no pasan a través del dieléctrico, en vez de eso termman en las cargas inducidas en la superficie del dieléctrico como se muestra en la figura. De aqul que el campo eléctrico en el interior del dieléctrico sea menor que en el aire. Ahora se puede imaginar una carga positiva de prueba en el interior del dieléctrico. Como el campo eléctrico aqul es menor, la fuerza que experimenta una carga positiva de prueba se ye reducida por un factor K (que como se vera más adelante, es igual a la constante dieléctrica). Como la fuerza en nuestra carga de prueba se reduce por un factor K, el trabajo que se necesita para moverla de una +Q
+4+
FIGURA 24-14 Vista molecular de los efectos de un dieléctrico
H.
J
-1
F
(a)
(b)
.4-
-
4 4
--
.1
4 I E0
E0
(c)
624 CAP1TULO 24
Capacitancia, dieléctricos y almacenamiento de energia eléctrica
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(d)
placa a La otra se reduce también por un factor K. (Se supone que el dieléctrico liena todo el espacio entre las placas, aun cuando Ia figura 24-14 deja cierto espacio para mostrar el campo.) El voltaje, que es el trabajo realizado por unidad de carga, también tuvo que haber disminuido por el factor K. Ahora el voltaje entre las placas es:
v=.
Ahora Ia carga en las placas, Q, no ha cambiado porque las placas están aisladas, de ahI que Q
= CV,
donde C es Ia capacitancia cuando esth presente el dieléctrico. Al combinar esta ecuaciOn con la relación V = V0/K se obtiene
QK
Q V0/K
V
V0
= KCO3
ya que C0 = Q/VO. En consecuencia se puede observar porque Ia capacitancia aumen-
ta en un factor K. Como se mostrO en la figura 24-14d, el campo eléctrico en el interior del dieléctrico ED se puede considerar como la suma vectorial del campo eléctrico E0 que generan las cargas "libres" en las placas conductoras, y el campo Efld que genera Ia carga inducida en las superficies del dieléctrico. Como estos campos tienen direcciones opuestas, es menor que E0. La relación el campo neto en el interior del dieléctrico, E0 exacta está dada por Ia ecuación 24-10:
E0 - EIfld =
ED = 0
E0
/
EIfld = E0 1
i\
- -).
El campo eléctrico entre dos placas paralelas se relaciona con La densidad de carga en la superficie, 0 (véase Ia secciOn 22-3 y el ejemplo 22-7), de acuerdo con E = Por tanto
E0 =
-
donde cr = Q/A es la densidad de carga en la superficie del conductor; Q es la carga neta en el conductor y con frecuencia se llama carga libre (ya que la carga es libre para moverse en un conductor). En forma similar, se puede definir el equivalente de Ia densidad de carga inducida en Ia superficie del dieléctrico, 0jnd EIfld =
crind
0
donde Efld es el campo eléctrico que genera La carga inducida Qfld = ofldA en Ia superficie del dieléctrico, figura 24-14d. Con frecuencia Qd se conoce como carga Iatente, ya que está en un material aislante y no tiene libertad de movimiento. Como Efld = E0(1 - 1/K) como se muestra más adelante, se tiene ind
=
-
(24ha)
K)
I
asI
QInd = Q(1
1
(24lib)
K
Como K siempre es mayor que 1, se puede ver que Ia carga inducida en el dieléctrico siempre es menor que la carga libre en cada una de las placas del capacitor. *SECCION 24-6
DescripciOn molecular de los dieléctricos
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625
d=2.00mm
Dieléctrico que Ilena en forma parcial un capacitor. El area
ce ias piacas oe un capacitor de pLacas paralelas es A = 250 cm2 y Ia separaciOn de Las placas es d = 2.00 mm. El capacitor se carga a una diferencia de potencial V0 = 150 V. Luego se desconecta Ia baterIa (La carga Q en Las placas no cambia), y se coloca entre Las pLacas una hoja de material dieléctrico (K = 3.50) que tiene Ia misma area A, un espesor I = 1.00 mm, como se muestra en Ia figura 24-15. Determine (a) La capacitancia iniciaL del capacitor con dieléctrico de aire, (b) La carga en cada una de las placas antes que se inserte el dieléctrico, (c) Ia carga que se induce en cada cara del dieléctrico después que se ha insertado, (d) eL campo eléctrico en el espacio entre cada pLaca
+Q
K= 3.50
SOLUCION
/=1.00mm FIGURA 24-15
y el dieléctrico, (e) el campo eléctrico en el dieléctrico, (f) la diferencia de potencial entre las placas después que se ha afiadido el dieléctrico, (g) Ia capacitancia después de haber colocado el dieLéctrico.
Ejemplo 24-9.
(a) Antes de coLocar el dieléctrico Ia capacitancia
C0 = E0
A
= (8.85 x 10
C2/N .rn)
X 102m2 2.00 X i0 rn)
=
111 pF.
La carga en cada placa es
Q = c0v0 = (1.11 x 10-'°F)(lSOV) = 1.66 x 108C. De La ecuaciOn 24-llb:
Qnd = Q(1
-
) = (1.66 x 108C)(1
-
3.50) = 1.19 x 108C.
El campo eLéctrico en La abertura que está entre las placas y el dieléctrico (véase La figura 24-14c) es el mismo que en La ausencia del dieLéctrico, ya que no se ha aLterado La carga en las placas. La ley de Gauss, como se aplicO en el ejempLo 22-7, se
puede utilizar aquI, lo que da E0 = o-/. 0 se puede indicar que, en ausencia del dieléctrico, E0 = V0/d = Q/C0d (ya que V0 = Q/C0) = Q/0A (ya que C0 = 0A/d) que es eL mismo resultado. Entonces
E0 =
Q
0A
=
1.66 x 108C = 7.50 X 104 V/rn. (8.85 X 1O12C2/Nm2)(2.50 X 10m)
En el dieléctrico el campo eléctrico es (ecuaciOn 24-10) ED
7.50 X i0 V/rn
E0
=
=
3.50
- 2.14 X iO V/rn.
Para obtener Ia diferencia de potenciaL en presencia deL dieléctrico se puede utiLizar Ia ecuaciOri 23-3, integrar a lo Largo de La lInea recta que es paraLeia a las IIneas de campo:
V = - JE
dl = E0(d - 1) + ED!,
que se puede simplificar a V =
Eo(
d-1+
Kj
= (7.50 X iO V/m)(1.00 X 103rn
1.00 X 103m +
3.50
= 96.4 V. En presencia del dieléctrico, La capacitancia es Q C=-= V
1.66 x 108C 96.4V
=172pF.
Cabe indicar que si eL dieléctrico LLenara eL espacio entre Las pLacas, Las respuestas a (f)
y (g) serIan 42.9 V y 387 pF, respectivamente. 626
CAPITULO 24
Capacitancia, dieléctricos y almacenamiento de energIa eléctrica
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Resumen El capacitor es un dispositivo que se utiliza para almacenar carga y está integrado por dos conductores separados. Ambos conductores portan cargas de Ia misma magnitud pero de signo contrario, Q. La relaciOn que existe entre esta carga y Ia diferencia de potencial V entre los conductores se conoce como capacitancia C, de tal forma que
Q = CV. La capacitancia de un capacitor de placas paralelas es proporcional a! area A de cada una de las placas e inversamente proporcionaJ a la distancia que las separa d: A
C=
La separaciOn entre los conductores alberga a un material no conductor que puede ser papel o plástico. Estos materiales se conocen como dieléctricos, además, Ia capacitancia es proporcional a una propiedad que tienen los materiales dieléctricos que se conoce como constante dieléctrica, K (que es aproximadamente igual a 1 para el aire). Para un capacitor de placas paralelas
C= donde
A
Cuando los capacitores se conectan en paralelo, la capacitancia equivalente es Ia suma de las capacitancias individuales:
Ceq = C1+C2+. Cuando los capacitores se conectan en serie, el recIproco de Ia capacitancia equivalente es igual a la suma de los redprocos de las capacitancias individuales 1
1
1
Ceq
C
C2
Un capacitor cargado almacena una cantidad de energIa que está determinada por
U = QV =
cv2
Esta energIa puede visualizarse como si estuviera almacenada en el campo eléctrico que existe entre las placas del capacitor. En cualquier campo eléctrico E que está en el espacio libre, la densidad de energia u (por unidad de volumen) es
U=
A
=
= K0 se conoce como permisividad del material
Si existe un dieléctrico, Ia densidad de energIa es
=
dieléctrico.
=
Prer U ntas L Suponga que dos conductores cercanos transportan Ia misma carga negativa. ,Puede existir una diferencia de potencial entre ambos conductores? En caso afirmativo, se puede aplicar la definiciOn de
modifica Ia diferencia de potencial? tQué sucede con el trabajo que se reaftza durante el proceso de separación de las placas?
capacitancia C = Q/V. Suponga que Ia distancia de separación, d, de las placas de un ca-
cia de potencial? (b) Se duplica La carga en cada una de las placas, y (c) se duplica Ia distancia de separación de las placas, mientras el capacitor permanece conectado a Ia baterla? Para dieléctricos que están formados pot moléculas polares, ,cómo esperarIa que se modificara Ia constante dieléctrica con relación a Ia temperatura? Considere que solo existe el capacitor de Ia figura 24-16. El capacitor está cargado y tiene placas horizontales. Si se inserta una hoja de material dieléctrico de poco espesor entre las placas, pero Ia hoja penetra a poca distancia, véase Ia flgura 24-16, en qué modificara Ia situación cuando se libere?
pacitor (de placas paralelas) noes muy pequefia si se compara con las dimensiones de las placas. ,Es de esperarse que Ia ecuaciOn 24-2 proporcione una subestimación o sobreestimación del valor real de La capacitancia? Explique su respuesta. Suponga que una de las placas de un capacitor de placas paralelas se desplazO de tal forma que el area que comparten las placas se redujo a La mitad, pero las placas siguen siendo paralelas, cOmo afecta esto a Ia capacitancia? Explique en qué forma tiene sentido Ia relaciOn que define Ia Capacitancia de un capacitor cilIndrico, ejemplo 24-2. Utilice argumentos similares a los que están después de Ia ecuación 24-2. Describa un método sencillo para determinar el valor de con Ia ayuda de un capacitor. Al conectar una baterIa a un capacitor, por qué ambas placas adquieren cargas de igual magnitud? ,Esto será válido si Ia forma o tamaflo de ambos conductores es diferente? Una hoja grande de cobre de espesor I se coloca entre las placas
paralelas de un capacitor, pero no está en contacto con las placas. Como afectará esto a Ia capacitancia? Suponga que tres capacitores idénticos se conectan a una baterfa. tAlmacenarán una mayor cantidad de energfa si se conectan en serie o en paralelo? Las placas paralelas de un capacitor aislado transportan cargas opuestas cuya magnitud es Q. Si aumenta Ia distancia de separaciOn de las placas, se requiere Ia aplicaciOn de una fuerza? ,Se
,COmo cambia la energIa en un capacitor Si: (a) se duplica Ia diferen-
Dieléctrico FIGURA 24-16
Pregunta 12. Suponga que una baterIa permanece conectada al capacitor de La pregunta 12. ,Qué sucederá cuando se quita el dieLéctrico? Se quita el dieléctrico de las placas de un capacitor mientras este ültimo permanece conectado a una baterIa. ,Qué ocurrirá con La capacitancia, las cargas en las placas, Ia diferencia de potencial, La energIa almacenada y el campo eléctrico? ,COmo se modifica La energIa que se almacena en un capacitor cuando se inserta un dieléctrico Si: (a) el capacitor está aislado de tal forma que Q no cambie, (b) el capacitor permanece conectado a una baterIa de tal forma que V no cambie?
Preguntas
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621
Se ha visto que Ia capacitancia C depende del tamaño, Ia forma y posición de dos conductores (placas),asIcomo de Ia constante dieléctrica K. Entonces, ta qué nos referimos cuando comentarnos que C es constante en Ia ecuaciOn 24-1?
Qué valor se podrfa asignar a Ia constante dieléctrica para un buen conductor? Explique su respuesta. Poder de disoluciOn del agua. El agua tiene una elevada constante dieléctrica, K = 80 (tabla 24-1), y en consecuencia tiene un profundo efecto en los materiales ya que permite que muchos sean disueltos en agua. Por ejemplo, Ia sal comOn NaCI, o cloruro de sodio,cuya estructura cristalina (véase Ia figura 24-17a) se mantiene
unida gracias a las fuerzas de atracciOn entre los jones Na y C1, pero se disuelve con facilidad cuando se surnerge en agua. Explique por qué es de esperarse que el campo eléctrico que produce cada ion se reduzca a un factor igual a Ia constante dieléctrica, es decir, analice Ia aplicaciOn que tiene La ecuaciOn 24-10 al campo de
una carga puntual en un dieléctrico, y en consecuencia explique (utilizando este modelo simple) cómo se disuelve Ia sal (véase Ia figura 24-17b).
(b) FIGURA 24-17 (a) Cristal de cloruro de sodio; (b) cloruro de sodio disuelto en agua. Pregunta 18.
Problemas (I) Las dos placas de un capacitor mantienen una carga de +2500 tC y -2500 tC respectivarnente, con una diferencia
de potencial de 950 V. i,Cuál es el valor de La capacitancia? (I) Un capacitor de 12,000 pF mantiene una carga de 28.0 X 10 C. i,Cuál es el voitaje en el capacitor? (I) La diferencia de potencial entre dos alambres paralelos que están en el aire es de 12.0 V. Los alambres transportan una carga de igual magnitud y signos opuestos de 75 pC. Cuá1 es Ia capacitancia entre ambos alambres? (I) j,Cuánta carga puede fluir de una baterfa de 12 V cuando se conecta a un capacitor de 15.6 tF? La carga de un capacitor aumenta en 16 C cuando el voltaje entre sus terminales aurnenta de 28 V a 48 V. Cuál es Ia capacitancia del capacitor? Un capacitor C1 transporta una carga Q0. Luego se conecta directarnente a un segundo capacitor C2 que en un principio estaba descargado. tQué carga transportarán cada uno de los capacitores? i,Cul será Ia diferencia de potencial en cada capacitor? (II) Se necesitan 25 J de energIa para mover una carga de 0.20 C de una placa a otra de un capacitor de 16 tF. Cuánta carga hay en cada placa? (II) Un capacitor de 2.40 F se carga a 880 V y un capacitor de
F se carga a 560 V. (a) Entonces se desconectan ambos capacitores de sus baterIas y las placas positivas se conectan una con otra, lo mismo sucede con las placas negativas. ,Cuál será la diferencia de potencial en cada capacitor y Ia carga en 4.00
cada uno? (b) i,Cuál será el voltaje y Ia carga en cada capacitor si se conectan las placas en forma invertida?
(I) Se quiere obtener un capacitor de 0.40 E ,Que area deben tener las placas si van a estar separadas por una abertura de aire de 4.0 mm? 628
CAPITULO 24
(1) ,Cuál es Ia capacitancia por unidad de longitud (F/rn) de un cable coaxial cuyo conductor interno tiene un diámetro
de 1.0 mm y Ia malla cilmndrica exterior (blindaje) tiene un diámetro de 5.0 mm? Suponga que el espacio entre ambos conductores está Ileno de aire. Determine La capacitancia de Ia Tierra, suponiendo que es un conductor esférico. Utilice Ia ley de Gauss y demuestre que E = 0 en el interior del conductor interno de un capacitor cilIndrico (véase Ia figura 24-5 y el ejemplo 24-2) asI como en Ia parte exterior del cilindro externo. (II) El aire seco se puede utilizar como dieléctrico, pero experimenta Ia ruptura si el campo eléctrico excede ci valor aproximado de 3.0 X 106 V/rn. Qué cantidad de carga se puede colocar en un capacitor (que tiene dieléctrico de aire) si el area de cada una de sus placas es 8.5 cm2? (II) Se desea obtener un campo eléctrico de 2.80 X 10 V/rn entre dos placas paralelas, cada una de las cuales tiene un area de 21.0 cm2 y están separadas por aire a una distancia de 0.250 cm. ,Qué carga debe tener cada una de las placas? (11) Considere el lImjte de una distancia de separación muy pequena para los dos cilindros de un capacitor cilmndrico (Ra - Rb en Ia figura 24-5) y demuestre que La relación que se obtuvo en el ejemplo 24-2 se reduce a La expresiOn del capacitor de placas paralelas (ecuaciOn 24-2). (II) Suponga que un capacitor transporta una carga de ± 4.2 tC y se desea obtener un campo eléctrico de 2.0 kV/mm entre las placas que están separadas por 4.0 mm de aire. ,Cuál debe ser el area de cada una de las placas? (II) ,Cuál será Ia fuerza del campo eléctrico entre las placas de un capacitor con dieléctrico de aire de 8.0 F silas placas están separadas a una distancia de 2.0 mm y cada una tiene una carga
de 72 jC? (II) Considere un capacitor esférico (ejemplo 24-3) y dernuestre lo siguiente: si La Separación entre las cubiertas es muy pequefla (ra - Tb > R. (b) EL voLtImetro y eL amperImetro tarnbién se pueden conectar corno se indica en Ia figura 26-49b para medir La resistencia R. Demuestre que en este caso
R=
- RA
donde V e I son Las Lecturas del voltimetro y arnperImetro, RA
es La resistencia del amperImetro. Observe que R RA 0): oriente la mano derecha de tal forma que los dedos extendidos apunten hacia la direcciOn del movimiento de la partIcula (V) y cuando usted doble los dedos éstos apuntarn en Ia direcciOn de B. Entonces ei pulgar apuntará en Ia dirección de la fuerza. Esto es cierto sOlo para las cargas positivas y se puede observar en la situaciOn "hacia abajo" de Ia figura 27-16. Para las partIcuias que tienen carga negativa, la fuerza se encuentra exactamente en la direcciOn opuesta "hacia arriba" de Ia figura 27-16.
Magnetismo
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Fuerza magnética en un proton. Un proton que tiene una yelocidad de 5.0 x 106 rn/s en un campo magnético siente una fuerza de 8.0 X 10-14 N
hacia el oeste cuando se mueve verticalmente hacia arriba. Cuando se mueve en forma horizontal hacia el norte experirnenta una fuerza cero. Cuá1 es Ia magnitud
y direcciOn del campo magnetico en esta region? (La carga del proton es q = +e = 1.6 X
10-19 C.)
SOLUCION Corno el proton no experirnenta ninguna fuerza cuando se desplaza ha-
cia el norte, el campo debe tener Ia direcciOn norte-sur. Para producir una fuerza hacia el oeste cuando el proton se desplaza hacia arriba, Ia regla de Ia mano derecha indica que B debe apuntar hacia el forte. (El dedo pulgar apunta hacia el oeste y los dedos extendidos de la mano derecha apuntan hacia arriba solo cuando los dedos doblados apuntan hacia el norte.) De Ia ecuaciOn 27-5 se tiene que Ia magnitud de B (cuando 0 = 90°) es B
F
8.0x104N
qv
(1.6 x i09C)(5.0 x 106m/s)
= 0.1OT.
La trayectoria de una particula con carga que se mueve en un plano que es perpendicular a un campo magnético uniforrne es un cIrculo, véase la figura 27-17, donde el campo magnético se dirige hacia el papel y está representado por X. Un electrOn en el punto P se mueve hacia Ia derecha, y La fuerza en él en este punto se dirige hacia abajo como se indica en Ia figura (utilice Ia regla de Ia mano derecha e invierta Ia direcciOn porque la carga es negativa). En consecuencia el electron se desvIa hacia abajo. Un rnornento después, por decir cuando el electrOn ilega a! punto 0, la fuerza sigue siendo perpendicular a Ia velocidad y tiene Ia direcciOn que se indica. Corno Ia fuerza siempre es perpendicular a v, Ia magnitud de v no cambia, se mueve a velocidad constante. Pero la partIcula modifica su direcciOn y se mueve describiendo una trayectoria circular con una aceleraciOn centrIpeta constante (véase el ejemplo 27-4) debido a la fuerza magnética que se dirige hacia ci centro de este circulo en todos los puntos. El electrOn se mueve en el sentido del giro de las manecillas del reloj en la figura 27-17. Una partIcula positiva experirnentará una fuerza que tendrá direcciOn opuesta y en consecuencia se moverá en sentido contrario a! giro de las manecillas del reloj. Trayectoria del electron en un campo magnético uniforme. Un electrOn viaja a 2.0 x iO rn/s en un piano perpendicular a un campo magnético de 0.010 T. Describa la trayectoria del electron. SOLUCION El electron se mueve a una velocidad v en una trayectoria curva cuyo radio de curvatura se calcula utilizando Ia segunda ley de Newton, F = ma. La aceleraciOn centrIpeta es a = v2/r (ecuaciOn 3-14). La fuerza está determinada por Ia ecuaciOn 27-5 con sen B = 1, F = qvB, en consecuencia se tiene
_p
/
,
Trayectoria del electrOn
'S
B apunta hacia Ia página
FIGURA 27-17 La fuerza que ejerce un campo magnético uniforme en una partIcula móvil con carga (en este caso
un electron) produce una trayectoria circular.
F = ma my2
qvB= r
Al resolver para r se tiene my r qB Corno F es perpendicular a v, la magnitud de v no cambia. De esta ecuación se observa que si B = constante, entonces r = constante, y la curva deberé ser un cIrculo como ya se indicó anteriormente. Para obtener r se sustituyen los nOrneros: (9.1 x 10_31 kg)(2.0 x i07 m/s)
r=
(1.6 x 1o'9c)(o.oloT)
= 1.1 X 102m = 1.1cm.
El tiempo T que necesita una partIcula de carga q que se mueve a velocidad constante v para realizar una revoluciOn en un campo magnetico uniforme B (I v) es T = 2lrr/v, donde 2irr es Ia circunferencia de esta trayectoria circular. Del ejernplo 27-4, r = mv/qB, de tal forma que
T=2m qB
SECCION 27-4
Fuerza en una carga eléctrica que se mueve en un campo magnetico
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Como T es el periodo de rotaciOn, la frecuencia de rotaciOn es qB 1 (27-6) T 27rm Esta se conoce como frecuencia de ciclotrón de una partIcula que se mueve en un campo porque es Ia frecuencia de rotaciOn de las partIculas en un ciclotrón (véase el problema 59). Observe que f no depende de Ia velocidad, Si V es grande, r aumenta (r = mv/qB) para un B determinado, pero Ia frecuencia es independiente de V y r, mientras que V flO esté cerca de la velocidad de la luz (secciOn 7-5 o capItulo 37).
f=-=
B
J
It / ;i ' '
FIGURA 27-18
Ejemplo Conceptual 27-5.
VP11) "' 'T' ' "'- Una trayectoria espiral. j,Cuál será La trayectona de una partIcula con carga en un campo magnético uniforme Si SU velocidad no es perpendicular al campo magnético? RESPUESTA El vector velocidad se puede partir en las componentes que son paralelas y perpendiculares a! campo. La componente de velocidad que es paralela a las lIneas de campo no expenimenta ninguna fuerza, en consecuencia esta componente permanece constante. La componente de velocidad que es perpendicular al campo produce un movimiento circular en torno a las lIneas de campo. Al unir ambos movimientos se produce un movimiento helicoidal (esférico) airededor de las lIneas de campo como se indica en Ia figura 27-18.
'-' '
'
.. . J.J4
c.
,-
Aurora boreal. Los jones con carga que provie-
nen Oel Sot (el viento solar ) se aproximan a la Tierra y entran a Ia atmOsfera prin-
cipalmente cerca de los polos, algunas veces provocan un fenómeno que se conoce como aurora boreal o "luces del forte" en las latitudes del norte. ,Por qué razOn los iones se dirigen hacia los polos? RESPUESTA Un vistazo a Ia figura 27-19 (véase también La figura 27-18) proporcionará la respuesta. Imagine un haz de partIculas con carga que se aproximan a Ia Tierra como se mdica. La componente de velocidad, que es perpendicular al campo para cada partIcula, se transforma en una órbita circular airededor de las lIneas de campo, en tanto que Ia componente de velocidad que es paralela a las Ilneas de campo transporta a las partIculas a lo largo de las Ilneas de campo hacia los polos. La elevada concentraciOn de partIculas con carga ioniza el aire, y los electrones que se recombinan con los átomos emiten luz, que es Ia aurora boreal, esto ocurre especialmente durante los periodos de mayor actividad en las manchas solares cuando el viento solar es más fuerte.
PartIcula con carga aproximándose a la Tierra
(a) Diagrama que muestra una partIcula con carga que Se aproxima a Ia Tierra, Ia cual es "atrapada" por el campo magnetico de la Tierra. Estas partIculas siguen las lIneas de campo hacia los polos como se indica. (b) FotografIa de una aurora boreal. FIGURA 27-19
B
B
(a)
(b)
Si una partIcula con carga q se mueve a una velocidad v en presencia tanto de un campo magnético B como de un campo eléctrico E, la partIcula experimentará una fuerza F = q(E+vxB) (27-7) aquf se han utilizado las ecuaciones 21-3 y 27-5. La ecuaciOn 27-7 se conoce como ecuación de Lorenlz y es considerada una de las ecuaciones básicas de la fIsica. 694
CAPITULO 27
Magnetismo
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Selector de velocidad o filtro: campos cruzados B y E. Algu-experimentos electrOnicos requieren un haz de partIculas con carga, iv pero estas se deben mover casi a la misma velocidad. Esto se puede lograr si se utilizan tanto un campo magnético uniforme como un campo eléctrico uniforme, ambos se disponen de tal forma que se encuentran a ngulos rectos uno del otro. Como se muestra en Ia figura 27-20a, las partIcuias de carga q pasan a través de Ia abertura S1 y entran a Ia region donde B apunta hacia la página y E se dirige de Ia placa positiva a la placa negativa. Si las partIculas entran con velocidades diferentes, demuestre la forma en Ia que este dispositivo "selecciona" una velocidad en particular y determine cuál es esta velocidad.
S2
B (hacia Ia pagina)
/
q
V
(a)
SOLUCION Después de pasar por Ia abertura S1, cada partIcula estará sometida a dos fuerzas como se indica en Ia figura 27-20b. Si q es positiva, Ia fuerza magnética se dirigini hacia arriba y Ia fuerza eléctrica se dirigirá hacia abajo (si q es negativa sucederá lo contrario). Se supone que Ia abertura de salida S2 está alineada directamente con S y la velocidad de las partIculas v. Dependiendo de la magnitud de v, algunas partIculas se desviarán hacia arriba y otras se desviarán hacia abajo. Las Onicas partIculas que pasarán a través de Ia abertura S2 serán aquellas cuya fuerza neta sea cero:
FE = qE
(b)
que tengan una velocidad
E
(27-8)
Este resultado no depende del signo de Ia carga q.
xB
FB -
F = qvB - qE = 0. De ahI que este dispositivo seleccione las partIculas
v=-
1
FIGURA
27-20 Un selector de
velocidad: Si V = E/B, Ia partIcula pasa a través deS1 y S2.
27-21 Cálculo del par en una bobina de corriente que se encuentra en un campo magnético B. (a) La cara de Ia bobina es paralela a las lIneas de campo de B, (b) visia superior, (c) La bobina forma un ángulo con B, esto reduce el par ya que el brazo disminuye. FIGURA
Par en una bobina de corriente; momento de un dipolo maqnético Cuando una corriente eléctrica fluye en una bobina (o lazo) cerrada de alambre que se coloca en un campo magnético, como se muestra en Ia figura 27-21, Ia fuerza magnetica en Ia corriente puede producir un par. Este es el principio bsico de operaciOn de una cantidad bastante importante de dispositivos prácticos, incluyendo voltImetros, amperlmetros y motores. (Estas aplicaciones se analizarán en Ia siguiente sección.) La interacciOn entre una corriente y un campo magnetico es importante en otras areas, incluyendo
Eje de rotación
Ia fIsica atOmica.
Cuando Ia corriente fluye a través de la bobina de Ia figura 27-21a, cuya cara se supone paralela a B y tiene forma rectangular, el campo magnetico ejerce una fuerza en ambas secciones verticales del alambre como se muestra, F1 y F2 (véase también Ia vista superior, figura 27-21b). Observe que debido a Ia regla de Ia mano derecha, Ia dirección de la fuerza F1 en la corriente que se dirige hacia arriba a Ia izquierda es contraria a Ia dirección de la fuerza F2 que se dirige hacia abajo a la derecha, pero Ia magnitud de ambas es Ia misma. Ambas fuerzas producen un par neto que produce el giro de Ia bobina en tomb a su eje vertical. Ahora se va a calcular Ia magnitud de este par. De Ia ecuaciOn 27-2, la fuerza tiene una magnitud F = JaB, donde a es La longitud del brazo vertical de Ia bobina. El brazo de palanca de cada fuerza es b/2, donde b es Ia anchura del brazo vertical de Ia bobina, y el "eje" se localiza en el punto medio. Entonces el par total es la suma de los pares que generan cada una de las fuerzas, en consecuencia
T = IaB + JaB
B
jftb-=L: cF2 ii L5:çJ
F4ia
h
Eje B
= IabB = JAB,
donde A = ab es el area de la bobina. Si Ia bobina tiene N vueltas de alambre, el par de N vueltas es T = NIAB. Si Ia bobina forma un ángulo B con el campo magnético (como se indica en la figura 21-27c) las fuerzas no cambian pero cada brazo de palanca se reduce de b a b sen 0. Observe que el ángulo 0 se elige para que sea ci ángulo entre B y el vector perpendicular a la cara de Ia bobina, figura 27-21c. En consecuencia el par es (27-9) T = NIAB sen 0. Esta formula, que en este caso se obtuvo para una bobina rectangular, es válida para cualquier bobina plana sin importar su forma. SECCION 27-5
tF N/A (1 a Ia cara de Ia bobina)
ije
B
(c)
Par en una bobina de corriente; momento de un dipolo magnético
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695
La cantidad NIA se conoce como momento dipolar magnético de Ia bobina, y se considera un vector: p.
= NJA,
(27-10)
donde Ia direcciOn de A (y en consecuencia de i) es perpendicular al piano de la bobina (Ia flecha puriteada en la figura 27-21c) de acuerdo con la regia de la mano derecha (cierre ei puflo de tal forma que los dedos envuelvan a ia bobina en direcciOn del flujo de Ia corriente, entonces el dedo pulgar apuntará en dirección de p. y A). Con esta definición se puede reescribir Ia ecuación 27-9 en la forma vectorial: T
= NIA x B
0
=
(27-11)
p. X B,
lo que proporciona Ia magnitud y dirección adecuadas de T. La ecuaciOn 27-11 tiene ia misma forma que la ecuaciOn 21-9b para un dipolo
eléctrico (cuyo momento dipolar eléctrico es p) en un campo eléctrico E, que es
= p x E. AsI como Ia energIa potencial en un dipolo eléctrico está determinada por E cuando se encuentra en un campo eléctrico, se puede esperar una forma siU=
milar para el dipolo magnético en un campo magnético. Para que una bobina de corriente pueda girar (figura 27-21) conforme aumenta 9, se debe reaiizar un trabajo contra Ia fuerza que genera el campo magnetico. En consecuencia Ia energIa potencial depende del ángulo (véase la ecuaciOn 10-22, el principio de trabajoenergIa para el movimiento rotacional) de acuerdo a U =
JTdo = JNIABsenOdo =
Bcos9 + C.
Si se elige U = 0 en U = 1T/2, entonces Ia constante arbitraria C es cero y la energIa potencial es
U = p.BcosU = p. B,
(27-12)
como era de esperarse. Los imanes en forma de barra y las bnjulas de aguja, asi como las bobinas de corriente, se pueden considerar como dipolos magnéticos. Observe las sorprendentes similitudes entre los campos que producen un imán tipo barra y una bobina de corriente, figuras 27-3b y 27-10.
Par en una bobina. Una bobina circular de alambre tiene un cm y contiene 10 vueltas. La corriente en cada vuelta es 3.00 A y Ia bobina se coloca en un campo magnetico de 2.00 T. Determine el par máximo y el mlnimo que ejerce el campo en Ia bobina.
dimetro de
SOLUCION La ecuaciOn 27-9 es válida para una bobina de cualquier forma, incluyendo Ia circular, el area es
A = irr2
= IT(0.lOOm)2 = 3.14 X 102m2.
El par máximo sucede cuando Ia bobina es paralela al campo magnético, en consecuencia 0 = 90° en la figura 27-21c, y sen 0 = 1 en Ia ecuación 27-9: T
= NIABsenO = (10)(3.00A)(3.14
El par mInimo sucede cuando sen ecuación 27-9. 696
CAPITULO 27
Magnetismo
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9
X
102m2)(2.00T)(1) = 1.88mN.
= 0, en tal caso
9
= 0°, entonces i- = 0 de Ia
Momento magnético de un átomo de hidrógeno. Determine o ulpolar magnetico del electrOn que gira alrededor del proton de un tomo de hidrOgeno (en el modelo de Bohr), suponga que se encuentra en su estado de reposo con una órbita circular de radio 0.529 X 10-10 m. [Nota: Esta es una imagen muy burda de la estructura atOmica; sin embargo, produce un resultado preciso.] ci
SOLUCION De la segunda ley de Newton, F = ma, se tiene lo siguiente, ya que el electron se mantiene en su Orbita debido a Ia fuerza de coulomb my2
47T0r2 - r 0
v= 74ir0mr -
/(8.99 X i09 N m2/C2)(1.60 x 10
C)2
(9.11 X 10H3 kg)(0.529 x 10°m)
V
= 2.19 x i0 rn/s.
como Ia corriente es la carga eléctrica que circula en un punto determinado por unidad de tiempo, el electrOn que describe una Orbita es equivalente a una corriente e
ev
T
2lTr
donde T = 2irr/v es el tiempo que se requiere para una Orbita. Como el area de Ia Orbita es A = irr2, el momento dipolar magnetico es
= IA =
ev 2lTr
(irr2) =
evr
(1.60 x 1019C)(2.19 X 106m/s)(0.529 X 101°m) = 9.27 X 1024Am2,
o9.27 X 10J/T.
Aplicaciones: galvanómetros, motores v bocinas El componente básico de los medidores analOgicos (aquellos que tienen aguja y escala indicadora), incluyendo los amperImetros, voltImetros y Ohmetros analogicos, es un galvanOmetro. Ya se ha visto cOmo se diseflan estos instrumentos, (secciOn 26-5), y ahora se va a analizar cOmo funciona el elemento crucial, el galvanOmetro. Como se indica en la figura 27-22, un galvanómetro está formado por una bobina de alambre (que tiene conectada la aguja indicadora) que está suspendida en el campo magnético de un iman permanente. Cuando fluye una corriente en la bobina de alambre, el campo magnético ejerce un par en Ia bobina, como lo indica Ia ecuaciOn 27-9, T = NIAB sen 0. Este par es vencido por la acción de un resorte que ejerce un par Ts, que es aproximadamente proporcional al ángulo 4) en el que gira el resorte (ley de Hooke). Es decir, T = k4), donde k es la constante de rigidez del resorte. En consecuencia Ia bobina y la aguja indicadora girarán solamente hasta el punto donde el par del resorte balancee el par que produce el campo magnético. De Ia ecuación 27-9 se tiene que k4) = NIAB sen 0 o
,,/Pivote\( FIGURA 27-22
NIABsenO k
FIGURA 27-23
Por tanto Ia deflexiOn de Ia aguja indicadora 4) es directamente proporcional a la corrien-
te I que fluye en Ia bobina. Pero también depende del ángulo 9 que forma Ia bobina con respecto a B. Para que el medidor sea Otil se necesita que 4) dependa solamente de la corriente, independientemente de 9. Para resolver este problema se utilizan imanes permanentes que tienen polos curvos, y Ia bobina del galvanometro se coloca alrededor de un nOcleo cilIndrico de hierro como se indica en la figura 27-23. El hierro tiende a concentrar las lIneas de campo magnético de tal forma que B apuntará siempre en forma paralela a Ia cara de La bobina (el embobinado de alambre) que está fuera del nOcleo. Entonces La fuerza siempre será perpendicular a La cara de la bobina y el par no variará con el ángulo. En consecuencia, 4) será proporcional a I como se requiere.
*sEccION 27-6
GalvanOmetro.
Bobina de un
galvanOmetro montada en un nücleo de hierro. Aguja indicadora
\-_
NOcleo de hierro
Aplicaciones: galvanometros, motores y bocinas
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697
Terminales de alambre a Ia bobina de Ia armadura
Armadura
Conmutador\,.
'F
I
I
scobillas/ 1 Fuente de voltaje
/'
Escobillas BaterIa
decd
Diagrama de un motor sencillo de cd. FIGURA 27-24
f
FIGURA 27-25 El arreglo conmutador-escobilla en un motor asegura Ia alternaciOn de La corriente en La armadura para que Ia rotación sea continua. Los conmutadores están unidos al eje del motor y giran con éI, mientras que Las escobillas permanecen estacionarias.
Un motor eléctrico cambia La energIa eléctrica a energIa mecnica (rotacional). Un motor opera con el mismo principio que un galvanometro, con Ia excepción de que no existen resortes, en consecuencia Ia bobina puede girar en forma continua en una dirección. La bobina es ms grande y se monta en un cilindro largo que se denomina rotor o armadura, figura 27-24. En realidad, el rotor tiene varias bobinas, aunque en el dibujo sOlo se indica una. La armadura se monta en un eje. En el momento que se muestra en la figura 27-24, el campo magnético ejerce una fuerza en la corriente de Ia bobina como se indica. Sin embargo, cuando Ia bobina (que gira en sentido contrario a las manecillas del reloj en Ia figura 27-24) pasa más alI de Ia posicion vertical, las fuerzas actOan para regresar a Ia bobina a Ia posición vertical si La corriente permanece sin cambio. Pero si Ia corriente puede invertirse en cierta forma en ese momento crItico, las fuerzas se mvertirán y Ia bobina continuará girando en la misma direcciOn. En consecuencia, se necesita que Ia corriente se modifique (alterne) para que el motor gire en forma continua en una dirección. Esto se puede lograr si se utiliza un motor de cd con conmutadores y escobillas,
7,',
como se muestra en Ia figura 27-25. Las escobillas son contactos estacionarios que ejercen presiOn sobre los conmutadores conductores que están montados en el eje del motor. En
FIGURA 27-26 Motor con muchos devanados.
FIGURA 27-27
Bocina.
Cubierta rIgida de metal Bobina de alambre (montada en el cono de la bocina)
\
,
L
Imán
111
Tern,iinale-
de entrad
698
Cono
CAPITULO 27
Magnetismo
Ia mitad de cada revoluciOn, cada conmutador cambia su conexiOn a Ia otra escobilla. Esto hace que se invierta Ia corriente en La bobina cada media revoLuciOn para producir Ia rotación continua de La armadura. La mayor parte de los motores contienen varias bobinas, que se denominan "devanados", cada una se Localiza en una posición diferente en Ia armadura, figura 27-26. La corriente fLuye a través de cada bobina solamente durante una parte pequena de cada revolución, justo en el momento en que su orientaciOn produce el par máximo. De esta forma, un motor produce un par bastante más estable en comparacion con el par que se obtendrIa con una sola bobina. Un motor de Ca, que se conecta a una corriente alterna, puede trabajar sin necesidad de conmutadores ya que La corriente alterna varla por si misma. Muchos motores utilizan bobirias de alambre para producir un campo magnetico (electroimanes) en lugar de utilizar un imn permanente. De hecho el diseño de Ia mayor parte de los motores es más complejo que lo que se describiO en esta secciOn, pero los principios generales de operacion son Los mismos. Una bocina funciona también con el principio de que un imán ejerce una fuerza en un alambre que transporta corriente. La salida eLéctrica de un receptor estereofOnico o televisor se conecta a las terminales de una bocina. Las terminales de Ia bocina estan conectadas internamente a una bobina de alambre, que a su vez está acoplada al cono de La bocina, figura 27-27. El cono de Ia bocina está hecho de cartOn endurecido y se monta de tal forma que se puede mover libremente hacia delante y hacia atrás. Un imn permanente se monta directamente en lInea con Ia bobina de alambre. Cuando La corriente alterna de una sefial de audio circula por La bobina de alambre (que se puede mover Libremente en el interior del imn permanente), Ia bobina experimenta una fuerza debido al campo magnético del imn. Conforme La corriente alterna su valor a Ia frecuencia de Ia seflal de audio, el conj unto que forman Ia bobina y el cono móvil se mueven hacia delante y hacia atrás a esa misma frecuencia, Lo que provoca compresiones y expansiones alternadas del aire circundante, con Ia consiguiente generaciOn de ondas sonoras. En consecuencia una bocina convierte la energIa eléctrica a energIa sonora, y las frecuencias e intensidades de las ondas de sonido que se emiten pueden ser una reproducciOn exacta de Ia señal eléctrica de entrada.
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Descubrimiento y propiedades del electron En Ia actualidad, el electron juega un papel básico en la comprensiOn de la electricidad y el magnetismo. Pero su existencia no fue sugerida sirio hasta la década de 1890. En esta sección analizaremos el descubrimiento del electrOn, ya que los campos magnéticos fueron cruciales para medir sus propiedades. A fines del siglo XIX, se realizaron estudios relativos a la descarga de electricidad a través de gases enrarecidos. El aparato que se muestra en Ia figura 27-28 consiste en un tubo de vidrio que tiene dos electrodos y a! que se le ha practicado vaclo, solo contiene una pequena cantidad de gas. Cuando se aplica un voltaje muy elevado a los electrodos una mancha oscura parece extenderse lejos del ctodo (electrodo negativo) hacia el extremo opuesto del tubo; entonces el extremo lejano del tubo comienza a resplandecer. Si se insertan una o más rejillas que tienen una perforaciOn como se indica en Ia figura, el resplandor se reduce a un punto pequeno que aparece al final del tubo. Parecla que el cátodo hubiera emitido algo que viajO hacia el extremo opuesto del tubo. Este "álgo" se identificO como rayos catódicos. Hubo mucha discusiOn acerca de qué podrIan ser estos rayos. Algunos cientIficos pensaron que podrIan ser similares a Ia luz. Pero la observaciOn de que el punto briliante al final del tubo podrIa desviarse hacia un lado debido a la acciOn de un campo eléctrico o magnético sugerIa que los rayos catOdicos podIan ser partIculas con carga; y Ia direcciOn de Ia deflexión era consistente con una carga negativa. ACm mOs, si el tubo contenfa cierta clase de gas enrarecido, la trayectoria de los rayos catOdicos se hacla visible mediante un destello suave. Desde 1897 se han realizado estimaciones con relaciOn a Ia carga e de las (supuestas) partIculas de los rayos catOdicos, también se ha calculado Ia razOn carga-masa e/m. Pero en ese aflo J. J.Thomson (1856-1940) logrO medir directamente el cociente e,4n, utilizando el aparato que se muestra en Ia figura 27-29. Los rayos catOdicos se aceleran con un voltaje elevado y luego se hacen pasar entre un par de placas paralelas que se encuentran en el interior del tubo. El voltaje que se aplica a las placas produce un camp0 eléctrico, y un par de bobinas producen un campo magnético. Cuando solamente está presente el campo eléctrico, y por ejemplo la placa superior es positiva, los rayos catOdicos se desvfan hacia arriba en la trayectoria que se muestra en Ia figura 27-29. Si sOlo existe un campo magnético, y si éste se dirige hacia abajo, los rayos se desvIan hacia la parte inferior siguiendo Ia trayectoria c. Estas observaciones eran lo esperado pa-
Pantallas
/
Cátodo
(
Resplandor
-7
Anodo
-. Alto + voltaje
FIGURA
27-28 Thbo de descarga.
En algunos modelos una de las pantallas es el ánodo (placa positiva).
ra una partIcula que tiene carga negativa. La fuerza en los rayos debido al campo magnético es F = evB, donde e es Ia carga y v es Ia velocidad de los rayos catOdicos. En ausencia de un campo eléctrico, los rayos se desvfan siguiendo una trayectoria curva,
por tanto, a partir de F = ma se tiene
evB = mr y
e V m Br El radio de curvatura r se puede medir y también B. La velocidad v se puede calcular si se aplica un campo eléctrico además del campo magnético. El campo eléctrico E se ajusta para que los rayos catódicos no sean desviados y sigan Ia trayectoria b de Ia figura 27-29. Esto FIGURA
27-29 Los rayos catOdicos
son desviados por los campos eléctrico y magnético.
. Alto . voltaje
Placas de campo eléctrico
Bobinas que producen campo magnético
(a)
SEcCION 27-7
Descubrimiento y propiedades del electron
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699
es similar a! selector de velocidad del ejemplo 27-7, donde Ia fuerza que genera el campo eléctrico F = eE es balanceada por Ia fuerza que produce el campo magnético, F = evB. En consecuencia eE = evB y v = E/B. Al combinar estas ecuaciones con la ecuación anterior se tiene e E m = B2r
(27-13)
Todas las cantidades del lado derecho se pueden medir, aunque e y m no se pueden determinar en forma independiente, se puede determinar la razón e/m. El valor que se acepta en Ia actualidad es elm = 1.76 X 1011 C/kg. Muy pronto los rayos catOdicos cambiaron su nombre por el de electrones. Se sabe que el descubrimiento del electron, como muchos otros descubrimientos de la ciencia, no es tan obvio como La obtenciOn de oro o petróleo. ,Acaso el descubrimiento del electron se debe acreditar a Ia persona que lo descubrió por primera vez en el destello del tubo? ,O se debe acreditar a Ia persona que los identificO primero como rayos catOdicos? Quizás Ia respuesta es ninguna de las dos, ya que no concebIan a! electrOn como lo conocemos en Ia actualidad. De hecho el crédito por el descubrimiento del electrOn se otorga a Thomson, pero no porque hubiera sido el primero en observar el destello en el tubo. En vez de esto le fue otorgado porque pensó que este fenOmeno era producido por partIculas pequefias con carga negativa y realizó mediciones precisas de estas partIculas. De hecho, él argumentO que estas partIculas eran constituyentes de los átomos, y no se trataba de jones o átomos en sí como podrIa pensarse. También desarrolló una teorIa de Ia materia que involucra al electrOn. Su punto de vista estuvo tan cerca de lo que se acepta en la actualidad, que por este motivo le fue otorgado el crédito de este "descubrimiento" a Thomson. Sin embargo hay que indicar que ni él ui cualquiera en Ia actualidad ha podido ver en realidad un electron. Analizaremos esto brevemente, ya que este punto ilustra el hecho de que los descubrimientos en la ciencia no siempre son asuntos tangibles. De hecho algunos filOsofos de La ciencia piensan que Ia palabra "descubrimiento" no resulta apropiada, como en este caso. Thomson pensó que el electron no era un átomo, sino que en vez de esto era un elemento constituyente o una parte del átomo. Pronto llegO a la evidencia convincente de lo anterior, cuando se determinO Ia carga y Ia masa de los rayos catódicos. El discIpulo de Thomson, J. S. Townsend realizO las primeras mediciones directas de e en 1897. Pero fue el refinado experunento de Ia gota de aceite de Robert A. Millikan (1868-1953) lo que produjo un valor exacto de La carga del electrOn y demostró que la carga viene en cantiAtomizador
Experimento de La gota de aceite de Millikan. FIGURA 27-30
dades discretas. En este experimento, unas gotas pequenas de aceite mineral que transportan una carga eléctrica se dejan caer bajo Ia acciOn de la fuerza de gravedad entre dos placas paralelas, véase Ia figura 27-30. El campo eléctrico E entre las placas se ajustó hasta que Ia gota quedo suspendida en el aire. En ese momento el empuje hacia abajo de Ia gravedad (mg) quedO balanceado por Ia fuerza que se dirige hacia arriba generada por el campo eléctrico. En consecuencia qE = mg, por lo que Ia carga es q = mg/E. La masa de La gota se determinO midiendo su velocidad terminal en ausencia de campo eléctrico. Algunas veces Ia gota tenla carga negativa, y otras carga positiva, esto sugerIa que Ia gota habla adquirido o perdido electrones (por fricciOn, al momento que salfa del atomizador). Las cuidadosas observaciones de Millikan y el análisis que presentó eran evidencia convincente que demostraba que cualquier carga era una integral mUltiple de una carga más pequefia, e, que se describla como un electrOn, el valor de e era
1.6 X 1019 C. (Como ya se ha mencionado en el capItulo 21, el valor real de e es 1.602 X 10 C.) Este valor de e, combinado con Ia mediciOn de e/m proporciona Ia del electrOn (1.6 x 1019 C)/(1.76 X lO C/kg) = 9.1 X iO' kg. Esta inferior a una milésima parte de Ia masa del átomo más pequeno, y en consecuencia confirma Ia idea de que el electrOn solamente es una parte del átomo. El valor que se ha aceptado en La actualidad para La masa del electrOn es me = 9.11 X 1031 kg.
' 'vir r' -s(C' Tp- r Un virtazr ii El tubo de rayos catOdicos (TRC), que es el tubo de imagen de un receptor de televi-
siOn, de un osciloscopio, o de un monitor de computadora, se analizO en el capItulo 23. En Ia figura 23-19 se analizó un diseno que utiliza placas eléctricas de deflexiOn para dirigir el haz de electrones. Sin embargo, Ia mayor parte de los tubos de rayos catOdicos utilizan el campo magnetico que producen unas bobinas para dirigir el haz de electrones. Estas bobinas funcionan en forma similar a las bobinas de La figura 27-29. En Ia actualidad se utilizan sistemas de deflexiOn que pertenecen a ambos tipos, tanto eléctrica como magnética. 100
CAPITULO 27
Magnetismo
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Efecto Hall Cuando un conductor que transporta corriente se mantiene firmemente en un campo magnético, el campo ejerce una fuerza lateral en las cargas que se mueven en el conductor. Por ejemplo, silos electrones se mueven a Ia derecha en el conductor rectangular que se muestra en Ia figura 27-31a, el campo magnético que se dirige al interior ejercerá una fuerza hacia abajo en los electrones, FB = -evd x B, donde Vd es Ia velocidad de deriva de los electrones (sección 25-8). En consecuencia los eJectrones tratarán de moverse más cerca de la cara D que de Ia cara C. En consecuencia se generará una diferencia de potencial entre las caras C y D del conductor. Esta diferencia de potencial aumentará hasta que el campo eléctrico EH que produce ejerza una fuerza eE en las cargas mOviLes que sea igual y opuesta a Ia fuerza magnética. Este efecto se conoce como efecto Hall, ya que fue descubierto por E. H. Hall en 1879. La diferencia de potencial que se produce se conoce como fern de efecto Hall. El campo eléctrico que genera La separaciOn de las cargas se denomina campo Hall, EH, y apunta hacia abajo en la figura 27-31a. En el equilibrio, Ia fuerza que genera este campo eléctrico estará balanceada con la fuerza magnetica evd B, por tanto eEH = eVdB.
En consecuencia EH = Vd B. Entonces la fern de efecto Hall será (suponiendo que el conductor sea Largo y delgado para que EH sea uniforme) (27-14) = EHI = VdBI, donde I es el ancho del conductor. Una corriente de cargas negativas que se mueven a la derecha equivale a una corriente de cargas positivas que se mueven a la izquierda, al menos esto se curnple en Ia mayor parte de las propuestas. Pero el efecto Hall puede distinguir las diferencias entre ambas. Como se puede observar en Ia figura 27-31b, las partIculas positivas que se mueven a [a izquierda se desvIan hacia abajo, en consecuencia Ia superficie inferior es positiva con respecto a Ia superficie superior. Esto es lo contrario a la parte (a). De hecho, La dirección de la fern en el efecto Hall revelO por vez primera que en los conductores de metal se mueven las partIculas negativas. La magnitud de la fern de efecto Hall es proporcional a La fuerza del campo magnético. En consecuencia el efecto Hall se puede utilizar para medir la fuerza de los campos magnéticos. Para esto se calibra primero el conductor, que se conoce como sonda de Hall, en presencia de campos rnagnéticos conocidos. Luego, para ese rnismo valor de corriente, La fern de salida será una indicación de B. Las sondas de Hall pueden ser muy pequefias y son iitiles y precisas en su forma de uso. El efecto Hall también se puede utilizar para medir Ia velocidad de deriva de los portadores de cargas cuando se conoce el campo magnético externo B. Estas mediciones permiten también Ia determinación de la densidad de portadores de carga en un material.
X
X XDX
x
x xx x +
X
+ X
4-
+
XDX
p
X
x
-
j x
iX
X
FIGURA 27-31 Efecto Hall. (a) Las cargas negativas se mueven a la derecha como La corriente. (b) Las cargas positivas se mueven a La izquierda conio La corriente.
Velocidad de deriva usando el efecto hail. Una cinta larga de coore que tiene 1.8 cm de ancho y 1.0 mm de espesor se coloca en un campo magnético de 1.2 T como se indica en La figura 27-31a. Cuando una corriente estable de 15 A circula a través de Ia cinta, se mide la fern de efecto Hall y es 1.02 /LV. Determine Ia velocidad de deriva de Los electrones y la densidad (cantidad por unidad de volurnen) de los eLectrones libres (conductores) en el cobre. SOLUCION La velocidad de deriva (ecuación 27-14) es
=
H
BI
=
1...Xi'J i Cr)
(1.2T)(1.8 x 102m)
= 4.7 X 10 rn/S.
La densidad de los portadores de carga n se obtiene de Ia ecuaciOn 25-13, I = nevd A donde A es el area de La sección transversal a través de la cual fluye la corriente I. Entonces
I
15 A
evd A
(1.6 X 10-19 C)(4.7 X 105m/s)(1.8 X 10m)(1.0 X 10rn)
= 11 X 10rn3. Este valor de la densidad de electrones Libres en el cobre, n = 11 X 10 por m3, es el valor experimental. Este valor representa más de un electron libre por cada átomo, como ya se vio anteriormente en el ejemplo 25-12 el resultado es 8.4 x 10 m3. *SECCION 27-8
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Efecto HaIl
101
*
S2
L
S I
E
BI
\'
\
2r
Espectrómetro de masa A principios del siglo XX se desarrollaron varios métodos para medir las ma.sas de los átomos. Uno de los métodos ms precisos es el espectrómefro de masa de La figura 27-32. Los jones se producen por calentamiento, o debido a una corriente eléctrica en Ia fuente S. Las partIculas se aceleran y luego se hacen pasar por la abertura S1 con la ayuda de un selector de velocidad de campos magnéticos y eléctricos cruzados (como en el ejemplo 27-7). Solamente los jones que tienen una velocidad v = E/B pasaran sin desviarse y sa1drin por la abertura 52. En Ia segunda region que se localiza despues de S2, solamente existe un campo magnético B', en consecuencia los jones seguirn una trayectona circular. El radio de su trayectoria se puede medir porque Los jones oscurecen La placa fotografica cuando golpean en ella. Como qvB' = mv2/r y v = E/B, entonces
m=
PelIcula fotográfica
Espectrómetro de masa Bainbridge. Los campos magn&icos B y B' salen del papel (como lo indican los puntos). FIGURA 27-32
qB'r
qBB'r
= E Al medir las cantidades de Ia derecha se puede determinar m. Observe lo siguiente: para los jones que tienen Ia misrna carga, la masa de cada uno es proporcjonal al radio de su trayectoria. Las masas de muchos átomos se han determinado en esta forma. Cuando se utiljza una sustancia pura, algunas veces aparecen dos (o más) marcas muy cerca una de otra en Ia peLIcula fotográfica. Por ejemplo el neOn produce dos marcas cuyos radios corresponden a átomos que tienen una masa de 20 y 22 unidades de masa atOmica (u). La idea de impurezas se eljmjnO y se llegó a Ia conclusiOn de que deberlan existir dos clases diferentes de neOn con masas diferentes. Estas formas diferentes se denominan isótopos. Luego se descubriO que La mayor parte de los elementos están formados por mezclas de isótopos, y Ia diferencia en las masas se debe a una diferencja en la cantidad de neutrones. Los espectrOmetros de masa se pueden utilizar para separar elementos djferentes y sus isOtopos, además de moléculas diferentes. EspectrometrIa de masa. Los átomos de carbOn tienen una IL.O u y están mezclados con otro elemento desconocido. En un espectrómetro de masa el carbOn dibuja una trayectoria cuyo radio es 22.4 cm y La trayectoria del elemento desconocido tiene un radio de 26.2 cm. ,Cuál es el elemento desconocido? Suponga que ambos tienen la misma carga. SOLUCION Como Ia masa es proporcional al radio, se tiene m 26.2cm 117 22.4 cm mc Entonces m = 1.17 X 12.0 u = 14.0 u. Probablemente ci otro elemento es nitrógeno (véase Ia tabla periódjca en La página A-36). Sin embargo podrIa tratarse de un isótopo del carbon u oxigeno. En consecuencia se necesita mayor análisis fIsico o quImico. lIldSd 0U i
ii
Resumen Un imn tiene dos polos, forte y sur. El pOlO forte es el extremo que apunta hacia el forte geográfico cuando el imán se suspende libremente. Los polos opuestos de dos imanes se atraen, en tanto que polos iguales se repelen. Se puede imaginar que un campo magnético rodea a Cada imán. La unidad del SI para el campo magnetico es el tesla (T). Las corrientes eléctricas producen campos magnéticos. Por ejemplo, las ilneas de campo magnético que genera Ia corriente que circula en un alambre recto forman un cIrculo airededor del alambre, y el campo ejerce una fuerza en los imanes que se colocan cerca del alambre. Un campo magnético ejerce una fuerza en una corriente eléctrica. La fuerza en una longitud infinitesimal de alambre 702
CAP1TULO 27
dl que transporta una corriente I en un carnpo magnetico B es
dF = I dl x B.
Si el campo B es uniforme en una longitud I de alambre recto, entonces la fuerza es
F = II x B
y tiene una magnitud
F = JIB sen6 donde 0 es el angulo entre el campo magnetico B y el alambre. La dirección de Ia fuerza es perpendicular al alambre y al campo magnético, y está determinada por Ia regla de La mano derecha. Esta relaciOn sirve como definiciOn del camP0 magnetico B.
Magnetismo
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En forma similar, un campo magnético B ejerce una fuerza en una carga q que se mueve a una velocidad v,
= p. X B,
F = qv X B. La magnitud de Ia fuerza es
F = qvB sen 0,
donde 0 es el ángulo entre v y B. La trayectoria de una partIcula con carga que se mueve en forma perpendicular a un campo magnético uniforme es un cIrculo. Si estn presentes campos magnéticos y eléctricos, Ia fuerza es
F = qE + qv x
El par en una bobina que transporta corriente y se en-
cuentra en un campo magnético B es
B.
donde p. es el momento dipolar magnélico de Ia bobina: p. = NIA. N es Ia cantidad de vueltas que transportan una corriente I en Ia bobina, A es ei vector perpendicular al piano de Ia bobina (utilice Ia regla de Ia mano derecha) y su magnitud es igual al area de Ia bobina. La mediciOn del cociente cargamasa (e4n) dei electron se realizó utilizando campos eléctricos y magnéticos. La carga e del electrOn se midiO por primera vez en el experimento de ha gota de aceite de Millikan, entonces se determinó la masa del electrOn a partir del valor medido en el cociente e,4n.
Preci u ntas Una brOjula de aguja no siempre se balancea en forma paralela a la superficie terrestre, pero uno de sus extremos puede inchnarse hacia abajo. Explique. Dibuje las lIneas de campo magnetico airededor de una secciOn
recta de alambre que transporta una corriente que circula en
forma horizontal hacia la izquierda. ,En qué dirección estarán las lIneas de campo magnético que
rodean un alambre recto que transporta una corriente que se
dirige hacia usted? Un imán con forma de herradura se mantiene en forma vertical con el pOlO forte en la izquierda y con el polo sur a la derecha. Un alambre pasa entre los polos, a una misma distancia de ambos, y transporta una corriente que se aleja de usted. ,En qué dirección actOa la fuerza en el alambre? En Ia rehaciOn F = II x B, ,qué pares de vectores (F, 1, B) se encuentran siempre a 900? Qué puede estar a otros ángulos? El campo magnético que genera Ia corriente que circuha en los alambres de una casa puede afectar a una brüjula de aguja. Analice los efectos en términos de las corrientes, incluyendo si se trata de cd o ca.
Si una particula que tiene carga negativa entra a una region
donde el campo magnético es uniforme y es perpendicular a Ia velocidad de Ia partIcula, la energIa cinética de Ia partIcula aumentará, disminuirá o se mantendrO sin cambio? Explique su respuesta. (Ignore Ia fuerza de gravedad.) En Ia figura 27-33 las partfculas con carga se mueven en los airededores de un alambre que transporta corriente. Para cada partIcula con carga Ia flecha indica Ia dirección del movimiento de Ia particula y los signos + o - indican el signo de Ia carga. Para cada una de las partIculas indique ha dirección de Ia fuerza magnética debido al campo magnético que produce el alambre.
Observe que ei patrOn de las lIneas de campo magnetico que rodean a un imán tipo barra es similar al patrOn del campo ehéctrico airededor de un dipoio eléctrico. A partir de este hecho, indique cOmo cambiar el campo magnético con respecto a Ia distancia si (a) se encuentra cerca de uno de los polos de un imán tipo barra de gran longitud, (b) se encuentra lejos de un imn como un todo. Exphique por qué se distorsiona ha imagen de un receptor de televisiOn cuando se acerca un imn a Ia pantalla. Explique ade-
más por qué se oscurece completamente Ia imagen cuando el campo es muy fuerte. [Pero no se arriesgue, no trate de hacer esto ya que podrIa daflar su televisor.] Describa Ia trayectoria de una partIcula que tiene carga negativa en el filtro de velocidad de La figura 27-20 Si SU velocidad supera al cociente E/. ,,Cuál serO su trayectoria SI V < E/B? Habrá alguna diferencia si La partIcula tiene carga positiva? Puede hacer que un electron que estO en reposo comience a moverse con un campo magnético? (,Con un campo ehéctrico? Una partIcuha con carga se mueve en un circulo bajo Ia influencia de un campo magnético uniforme. Si se enciende un campo eléctrico que apunta en [a misma direcciOn deh campo magnético, describa Ia trayectoria de ha partIcuha con carga. La fuerza en una partIcuha que se encuentra en un campo magnético es eh principio de operaciOn del bombeo electromagnético. Se utiliza para bombear fluidos metáhicos (como eh sodio) y
en tiempos recientes se utiliza para bombear sangre en los corazones artificiales. El diagrama bOsico se muestra en ha figura 27-35. Un campo eléctrico se aplica en forma perpendicuhar ah
vaso sanguIneo y al campo magnético. Explique cómo es que los iones se mueven. tLos jones positivos y negativos experimentan una fuerza que tiene Ia misma direcciOn?
t
t FIGURA
27-33
Pregunta 8.
-S
FIGURA
27-34 Pregunta 9.
9. Una partIcula con carga positiva en un campo magnético no
uniforme sigue Ia trayectoria que se muestra en Ia figura 27-34. Indique Ia direcciOn del campo magnético en cualquier punto del espacio, suponiendo que la trayectoria siempre se encuentra en el piano de Ia pOgina, e indique las magnitudes reiativas del campo en cada region.
FIGURA
27-35 Bombeo ehectromagnético en unvaso
sanguIneo, pregunta 15.
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Preguntas
703
16.
Un haz de eiectrones se dirige hacia un alambre horizontal que transporta una corriente de izquierda a derecha (véase Ia figura 27-36). c!,En qué direcciOn se desvIa el haz?
I
Dirección del electron
FIGURA 27-36
Pregunta 16.
clase de campo o campos rodean a una carga eléctrica que está en movimiento? ,Se podria haber definido la direcciOn del campo magnético B para que estuviera en Ia direcciOn de Ia fuerza en una particula
tQué
móvil con carga? Explique. Una partIcula con carga se mueve en lInea recta a través de una
,COmo puede fabricarse una brOjula de aguja sin usar hierro o cualquier otro material ferromagnetico?
Indique cOmo podrIa determinar ci momento dipolar de un imán tipo barra o de una brCijula de aguja. ,En qué posiciones (si existe aiguna) una bobina dc corricntc quc sc coioca en un campo magnético uniforme se encontrarO (a) en cquilibrio cstable. (b) en cquiiibrio inestable?
Una picza rectangular dc material semiconductor sc inscrta en un campo magnético y se conccta una baterfa en sus extrcmos como se indica en Ia figura 27-37 Cuando se conecta un voitImctro sensible cntre los puntos ay b se descubre que ci punto a se encuentra a mayor potencial quc ci punto b. LCuai scrO ci signo de los portadores dc carga en ci material semiconductor?
region particular del espacio. LAcaso puede existir un campo magnético diferente de cero en esta region? En caso afirmativo
B
HI,t
indique dos situaciones posibies. Si una partIcula móvil con carga se desvIa hacia un lado en cierta en esa region? regiOn del espacio, ,se puede conciuir que B Explique. En una regiOn particular del espacio existe un campo magnético uniforme B. Fuera de esta region B = 0. ,Podrá inyectar un electrOn desde ci exterior hacia el campo en forma perpendicu-
lar para que el electron se mueva en una trayectoria circular y cerrada en el campo? j,Qué sucederO si ci electrOn se inyecta cerca del centro? (,Cómo se pucde saber si los electrones que se desplazan en cierta region dcl espacio serán desviados por un campo ciéctrico o un campo magnético (o por ambos)?
1. I
FIGURA 27-37
Pregunta 26.
Dos ioncs ticncn Ia misma masa, pero uno está ligcramcnte ionizado y ci otro cstá doblemcnte ionizado. (,En qué forma diferirán sus posicioncs en Ia pclIcuia del espectrOmetro de masa de Ia figura 27-32?
Problemas
(I) (a) Cuál será Ia fuerza por metro de longitud en un alambre recto que transporta una corriente de 7.40 A cuando ci alambre es perpendicular a un campo magnético uniforme de 0.90 T? (b) 6Qué sucederá si ci ángulo entre ci alambre y el campo es 45°? (I) Calcule Ia fucrza magnética en un alambre cuya longitud es 240 m si se coloca entre dos torres que transportan una corriente de 150 A. El campo magnético de La Tierra cs 5.0 X i0 T y forma un ángulo de 60° con ci alambre. (I) Cuánta corriente fluirá en un alambre que tiene una Iongitud de 4.20 m si La fuerza maxima en ci aiambre es 0.900 N cuando sc coloca en un campo magnético uniforme de 0.0800 T? (I) Un alambre cuya longitud es 1.5 m y transporta una corriente de 4.5 A se coloca en forma horizontal. En ese punto de la superficic terrestre, ci ángulo de inmersiOn dcl campo magnético de Ia Tierra forma un angulo de 40° con ci alambre. Calcule la fuerza magnética en ci alambre debido a! campo magnético
de Ia Tierra de 5.5 X i0 T en ese punto. La fuerza en un alambre que transporta una corriente de 8.75 A tiene un valor mOximo de 1.18 N cuando cI alambrc se coloca entrc los poios de un imán. Si las caras de los polos dci imán tienen un diámetro de 5.5 cm, cuái será Ia fucrza aproxi-
mada dcl campo magnético? Se midc Ia fuerza magnética por metro en un alambre y csta es solamente ci 45 por ciento dc su valor máximo posible. Obtenga la relaciOn cntre ci alambre y ci campo si Ia fucrza es maxima, y obtcnga la relaciOn real, para esto caicule ci Ongulo entre ci alambre y ci campo magnético. 704
CAPITULO 27
Magnetismo
(II) La fuerza en un aiambre ticne un valor mOximo de 5.30 N cuando ci alambre sc coloca cntrc los polos de un imán. La corricnte fiuye en forma horizontal hacia La dcrecha y ci campo magnético es vertical. Se observa quc ci alambre "salta" hacia ci obscrvador cuando sc cnciendc Ia corriente. (a) ,Qué ciase de polo magnético ticnc La partc superior dc La cara dcl imOn? (b) Si las caras dc los poios ticnen un diOmetro dc 10.0 cm, caicuic Ia corriente en ci aiambrc si ci campo cs 0.15 T. (c) Si ci alambre sc levanta para quc formc un ánguio de 10° con la horizontal, quc fucrza cxperimcntará? (II) Suponga quc Los alambre rcctos quc se concctan al conductor sc dobian formando un semicIrcuio en Ia figura 27-15, pero todavIa sc encuentran en ci piano de ia pOgina, dc tal forma que son horizontalcs en La base dci scmicIrculo. Si una longitud L de cada uno permanccc en ci campo B, Lcuál scrá la fucrza total en ci conductor?
(II) Un aiambrc rccto de cobrc cuyo diámctro es 2.0 mm puede fiotar en forma horizontal en el aire porquc Ia fuerza dcl campo magnético de Ia Tierra (B) (quc es horizontal) cs al mismo tiempo perpendicular al alambre y tiene una magnitud de 5.0 >< 105T. Cuái cs Ia corricntc que transporta ci alambre? (II) Un aiambrc largo se ticnde a lo largo dcl eje x y transporta una corriente dc 3.0 A hacia La dcrccha (+x). El alambrc pasa a
través dc un campo magnético uniformc B = (0.201-0.30j +
0.25k)T. Determine las componentes dc Ia fucrza en ci aiambre por cm dc Longitud.
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(III) Un alambre curvo, que conecta dos puntos a y b, descansa en un piano perpendicular a un campo magnético uniforme B y transporta una corriente 1. Demuestre que Ia fuerza magnética
resultante en el alambre, sin importar cuál es su forma, es Ia misma que en un alambre recto que se conecta a dos puntos que transportan Ia misma corriente I. Véase la figura 27-38.
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FIGURA 27-38
X
X
Probiema 11.
FIGURA 27-39
Problerna 12.
(III) Una bobina circular de alambre de radio r transporta una corriente I. La bobina se coloca en un campo magnético cuyas IIneas rectas parecen apartarse de un punto que está a una distancia d por debajo del eje del anillo. (Es decir, el campo forma un ángulo 0 con Ia bobina en todos los puntos, figura 27-39, en tanto que tan 0 = rid.) Determine Ia fuerza en Ia bobina.
(I) Determine Ia magnitud y direcciOn de Ia fuerza en un electrOn que viaja a 7.75 x iO rn/s en forrna horizontal al este y en un campo rnagnético vertical que se dirige hacia arriba y tiene una fuerza de 0.85 T. (I) Encuentre Ia direcciOn de Ia fuerza en una carga negativa para cada diagrarna de Ia figura 27-40, donde v es Ia velocidad de la carga y B es Ia direcciOn del campo magnético. (® significa que el vector apunta hacia dentro, ® significa que apunta hacia fuera, hacia el lector.) B B
v
Iv
'B
(a)
V
(b)
(d)
(c) B
V V
B
(f)
(e) FIGURA 27-40
3.5 x i1IY T, respectivamente. (,Cuál es el radio de la Orbita del electron si se apaga el carnpo eléctrico? Para una partIcula de rnasa m y carga q que se mueve en una trayectoria circular en un campo magnético B, (a) dernuestre que su energfa cinética es proporcional a r2, el cuadrado del radio de curvatura de su trayectoria, y (b) dernuestre que su momento angular es L = qBr2 cerca del centro del cIrculo.
(II) Un electron se mueve a una velocidad v = (4.Oi-6.Oj) X iO4 rn/s en un carnpo rnagnético B = (-0.80i + 0.60j)T. Deterrnine Ia magnitud y dirección de la fuerza que actOa en el
positiva y se rnueve a una velocidad v.
F
(c)
(II) Un átorno de helio con carga doble cuya rnasa es 6.6 x 10_27 kg se acelera con un voltaje de 2100 V. (a) ,CuOl
será su radio de curvatura si se rnueve en un plano perpendicular a un campo uniforme de 0.340 T? (b) (,Cuál serO su periodo de revoluciOn? (II) Una bala de 3.40 g se rnueva a una velocidad de 160 rn/s perpendicular al carnpo magnético de Ia Tierra de 5.00 x iO T. Si Ia bala posee una carga neta de 13.5 X i0 C, j,a qué distancia se desviará de su trayectoria debido al campo magnético de Ia Tierra después que ha recorrido 1.00 km? (II) Suponga que el campo magnético de Ia Tierra en el ecua-
dor tiene una magnitud de 0.40 X 10 T y se dirige al forte en todos los puntos. Con qué rapidez se debe rnover un iOn de uranio (m = 238u, q = e) para recorrer Ia tierra 5.0 km por encirna del ecuador? Se puede ignorar La gravedad? Un proton (masa mr), un deuterión (m = 2mg, Q = e), y una partfcula alfa (m = 4in, Q = 2e) se aceleran con una misma diferencia de potencial V y después entran a un campo magnético uniforme B donde se rnueven en trayectorias circulares perpendiculares a B. Deterrnine el radio de las trayectorias pa-
ra el deuteriOn y Ia partIcula alfa en térrninos del protOn. (II) Un protOn se mueve a través de una regiOn en el espacio donde ya existe un campo rnagnético B = (0.45i + 0.20j)T, y un campo eléctrico E = (3.Oi-4.2j) X iO V/rn. En un instante determinado, Ia velocidad del protOn es v = (6.01 + 3.Oj-5.Ok) X protOn.
donde F representa Ia fuerza en una partIcula que tiene carga
V
(II) Un protOn que tiene una energIa cinética de 5.0 MeV entra a un campo magnético de 0.20 T, en un piano perpendicular al campo. Cuál es el radio de su trayectoria? (II) Un electrOn experimenta Ia mayor de las fuerzas conforme viaja a 2.9 x 106 rn/s en un campo magnético cuando se desplaza hacia el norte. La fuerza se dirige hacia arriba y su magnitud es 7.2 X 1013 N. ,Cuál será Ia magnitud y direcciOn del campo magnético?
iO rn/s. Determine las cornponentes de Ia fuerza total en el
Problema 14.
(I) Determine Ia direcciOn de B en cada caso de Ia figura 27-41,
(b)
y rnagnéticos cruzados cuya rnagnitud es 8.8 X i0 V/rn y
electrOn.
x L
Una partIcula con carga q se rnueve en una trayectoria circular de radio r en un carnpo rnagnético uniforrne B. Demuestre que su rnornento es p = qBr. (H) ,CuOl serO la velocidad de un haz de electrones que avanza sin desviarse cuando pasa a través de unos carnpos eléctricos
FIGURA 27-41
Problema 15.
(I) Un electron se proyecta verticalmente hacia arriba a una yelocidad de 1.80 X 106 rn/s hacia un campo rnagnético uniforme de 0.250 T que se dirige en forma horizontal y se aleja del observador. Describa la trayectoria del electrOn en este campo.
(II) Un electrOn experimenta una fuerza F = (3.8i-2.7j) X 10 N cuando pasa a través de un campo magnético B = (0.35T)k. Determine Ia velocidad del electrOn. (II) Un electrOn entra a un campo magnético uniforme B = 0.23 T en un Ongulo de 45° con respecto a B. Deterrnine el radio r y el paso p (distancia entre las vueltas) de Ia trayectoria helicoidal del electrOn suponiendo que su velocidad es 3.0 X 106 m/s, véase Ia figura 27-42.
iicicic
'V
)
(-J
HH
B
FIGURA 27-42
Problerna 29.
2r B
Problemas
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105
(II) La trayectoria de los protones que salen de un acelerador debe doblarse en 900 en un imán que dobla para que no choquen con Ia barrera en su trayectoria, Ia cual se enduentra a una distancia I de su agujero de salida en el acelerador. Demuestre que el campo B en el imán que dobla, se supone uniforme y puede ejercer en un area i x I, debe tener una magnitud minima de (2mK/e2I2), donde m es Ia masa del proton y K es la B energIa cinOtica. (II) Un protOn que se mueve a una velocidad v = 2.0 X i0 rn/s
en una regiOn libre de carnpo entra abruptamente a un campo magnético esencialmente uniforme B = 0.850 T como se muestra en Ia figura 27-43, (B v). Si el protOn entra a la regiOn de campo rnagnético a un ángulo de 450 como se indica, (a) cuál es el Ongulo de salida (b) a qué distancia x sale del campo.
I
(I) La aguja de un galvanórnetro tiene una deflexión a maxima escala a una corriente de 63.0 p.A. Que corriente proporcionará una deflexión de maxima escala si el campo magnético disminuye en un 0.860 de su valor original? (I) El resorte de un galvanórnetro se debilita un 20 por ciento con ci paso de los aflos, ,que corriente proporcionara una defiexiOn de maxima escala si La corriente original era de 36.0 MA?
(I) Si la corriente en un motor disrninuye un 18 por ciento, (,en qué factor cambia el par de salida?
(I) ,Cuál es el valor de q/m para un partIcula que se mueve en un cIrcuio de 8.0 mm de radio en un campo magnético de 0.46 T Si un campo eléctrico cruzado de 200 V/rn hace que Ia trayectona sea recta?
(11) Una gota de aceite cuya masa es 3.3 x 10' kg se mantiene en reposo entre dos placas grandes que están separadas a una distancia de 1.0 cm corno en Ia figura 27.30. Si Ia diferencia de potencial entre las placas es 340 V, cuántos electrones en exceso tiene La gota?
FIGURA 27-43
450
Problema 31.
(I) Una bobina circular cuyo diárnetro es 13.0 cm se coloca con su cara paralela a un campo magnético uniforme entre los polos de un imOn grande. Cuando fluye una corriente de 7.10 A en la bobina el par en ella es 0.185 rnN, cuál es Ia fuerza del campo magnético? ,Cuánto trabajo se requiere para hacer girar una bobina de
corriente (figura 27-21) en un campo magnético uniforme B desde (a) 0 = 0, (1B) a 0 = 180°, (b) 0 = 90° a 90°? Demuestre que el momento dipolar magnético .t de un
electron que orbita el nUcleo de un Otomo de hidrogeno se relaciona con el momento orbital L del electrOn de acuerdo a e
L. 2m (II) Una bobina circular de alambre cuyo diámetro es 17.0 cm y contiene 12 vueltas descansa en forma plana a la Tierra. El camp.
=
P0 magnético de Ia Tierra en esa ubicación tiene Ia siguiente magnitud 5.5 X i0 T y apunta hacia la Tierra a un Ongulo de 66° por debajo de la lInea que apunta al forte. Si una corriente
de 7.10 A circula por Ia bobina en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, (a) determine el par en Ia bobina, (b) cuOI borde de Ia bobina se levantarO, el del norte, del este, del sur o del oeste? (II) Una bobina circular de alarnbre cuyo diOmetro es 20.0 cm descansa en el piano xy. La corriente en cada vuelta de Ia bobina es 7.6 A y fluye en el sentido del giro de las manecilias del reIoj, y un campo magnético externo B = (0.801 + 0.60j-0.65k)T pasa a través de Ia bobina. Determine (a) el momento magnético de Ia bobina , (b) el par en Ia bobina debido at campo magnético cxterno, (c) Ia energia potencial U de Ia bobina en el campo (iguale U a cero como se realizO en el análisis de Ia figura 27-21).
(III) Suponga que Ia barra no conductora de longitud I transporta una carga Q que estO distribuida de manera uniforme. La barra se hace girar a una velocidad angular w airededor de un eje perpendicular a Ia barra en uno de sus extremos. Demuestre que el momento dipolar magnetico de esta varilla es QwI2. [Sugerencia: considere el movimiento de cada longitud infinitesinial de varilla.] 706
CAPITULO 27
(II) Una muestra rectangular de un metal tiene una achura de 3.0 cm y 500 p.m de espesor. Cuando la muestra transporta una corriente de 42 A y Se coloca en un campo magnético de 0.80 T se produce una fern de efecto Hall de 6.5 MV. Determine (a) el
carnpo Hall en el conductor, (b) Ia velocidad de deriva en los electrones de conducciOn, (c) Ia densidad de electrones libres en el metal.
(II) En una sonda que utiliza el efecto Hall para medir campos magnéticos, una corriente de 12.0 A circula a través de una cmta de metal de sodio de 1.50cm de ancho y 1.30 mm de espesor. Si Ia fern de efecto Hall es 2.42 p.V, cuál serO Ia magnitud del campo rnagnético (que se torna perpendicular a Ia superficie plana de la cinta)? Suponga un electrOn libre por átomo de Na, y Ia gravedad especifica del Na es 0.971. (II) El efecto Hall se puede utilizar para medir Ia rapidez del flujo sanguIneo porque Ia sangre contiene jones que constituyen una corriente eléctrica. (a) El signo de los iones modifica en alguna forma Ia fern? (b) Determine Ia velocidad de flujo en una arteria cuyo diametro es 3.3 mm si la fern medida es de 0.10 rnV y B es 0.070 T. (En Ia práctica real Se utiliza un campo magnetico variable.)
En un espectrOrnetro de masa, los Otornos de gerrnanio tienen los siguientes radios de curvatura 21.0,21.6,21.9,22.2 y 22.8 cm. El radio mayor correSponde a una masa atOmica de 76 u. CuáIes son las masas atOmicas de los isOtopos restantes? Suponga que el campo eléctrico entre las placas del espec-
trOmetro de masa de Ia figura 27-32 es 2.48 X iO V/rn y el
campo magnético es B = B' = 0.58 T. La fuente con tiene isOto05 de carbOn cuyos nOmeros de masa son 12, 13 y 14, los cuales provienen de la raIz seca de un arbol. (Para calcular las masas atOrnicas, multiplique por 1.66 x 10 kg.) cCuál será Ia separaciOn entre las IIneas que forman los jones con carga de cada cIase en Ia pelIcula fotografica? Qué sucederIa silos iones tuvieran el doble de carga?
Magnetismo
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(II) Un espectrOmetro de masa se utiiza para monitorear Ia contaminaciOn del aire. Sin embargo, es difIcil separar las moléculas que tienen masas casi idénticas como es el CO (28.0106 u) y N2 (28.0134 u). ,Cuál será el radio de curvatura que debe tener el espectrOmetro de masa si ambas moléculas están separadas en La pelIcuIa por una distancia de 0.50 mm?
(II) Una clase de espectrOmetro de masa acelera los iones con un voLtaje V antes que estos puedan entrar a un campo magnético B. Se supone que los iones arrancan del reposo. Demuestre que Ia masa de un ion es in = qB2R2/2V, donde R es el radio de Ia trayectoria de Los jones en el campo magnético y q es su carga.
Problemas eneraIes Los protones se mueven en un circulo de radio 5.10 cm y un campo magnetico de 0.725 T. j,Qué valor del campo eléctrico hará que las trayectorias sean rectas? ,En qué dirección debe apuntar el campo eléctrico? Los protones que tienen un momento 4.8 X 1016kgm/s se dirigen magnéticamente en el sentido del giro de las manecillas del
reloj en una trayectoria circular cuyo diámetro es 2.0 km en el acelerador del laboratorio nacional Fermi en Illinois. ,Cudl es Ia magnitud y direcciOn del campo en los irnanes que rodean al tubo de haz? Un proton y un electrOn tienen Ia misma energIa cinética después que han entrado a una region donde el campo magnético es constante. LCuál será Ia relación entre el radio de sus trayectorias circulares? Cerca del ecuador, el campo magnetico terrestre apunta casi en
forma horizontal hacia el forte y tiene una magnitud de B = 0.50 X 104T. LCul deber ser Ia magnitud y dirección
de Ia velocidad del electron si su peso se va a balancear exactamente con Ia fuerza magnetica? Calcule Ia fuerza en un aeroplano que ha adquirido una carga neta de 1550 .tC y viaja a una velocidad de 120 rn/s en lorma perpendicular al campo magnético terrestre 5.0 X i0 T. El cable de aiirnentaciOn de un tranvIa eléctrico transporta una corriente horizontal de cd de 330 A hacia el este. El campo magnético terrestre es 5.0 x 105T y forrna un ánguLo de inmersión de 22° en esta ubicación. Calcule Ia magnitud y direcciOn de Ia fuerza rnagnetica en una longitud de 10 m de este cable. Dos alambres paralelos están separados por una distancia I en el piano horizontal y sirven como rieles para soportar una barra ligera de metal cuya masa es m (y es perpendicular a cada riel),
figura 27-44. Un campo magnético B se dirige verticalmente hacia arriba (hacia fuera en el diagrama) y actOa en el sistema. En t = 0, los alambres que se conectan a los rieles se conectan a una fuente de corriente constante y una corriente I cornienza a circular en el sisterna. Determine La velocidad de La barra, que cornienza desde eL reposo en t = 0, como funciOn del tiempo (a) suponga que no hay fricción entre La barra y Los rieles, y (b)
Suponga que Ia barra de La figura 27-44 (problema 56) tiene una masa m = 0.40 kg, una longitud de 22.0 cm y Ia corriente que circula a través de esta es I = 40 A. Si el coeficiente de fricciOn estática es p. = 0.50, determine el campo magnético mInimo B (no necesariamente es vertical) que hará que La barra se deslice. Indique La magnitud de B y su direcciOn en relaciOn a Ia vertical. Calcule Ia deflexiOn mOxirna aproximada del haz de electrones cerca del centro de Ia pantalla de un receptor de TV debido al campo magnético de La Tierra de 5.0 X iO T. Suponga que La pantalLa estd a 20 cm del cañon de electrones donde se aceleran los electrones (a) con un voltaje de 2.0 kV, (b) con 30 kV. Cabe indicar que en los televisores a color eJ haz debe dirigirse
en forma precisa a menos de 1 mm para golpear Ia capa de fOsforo en ci Lugar adecuado. Corno el campo magnetico de La
Tierra es considerable, se utilizan blindajes de metal mu para reducir ci campo magnético terrestre en eL TRC. (Véase Ia sec-
ciOn 23-9).
EL cidoirOn (figura 27-45) es un dispositivo que se utiliza para acelerar partIcuLas elementales, como son Los protones, a veloci-
dades elevadas. Las partIculas comienzan en el punto A con cierta veLocidad inicial y viajan en Orbitas circuLares en el camP0 magnético B. Las partIcuLas se van acelerando a velocidades
cada vez mayores cada vez que pasan por Ia abertura entre las placas de metal, donde existe un campo eléctrico E. (No hay ningOn campo eléctrico en ci interior de Ia cavidad de las placas de metal.) El campo eléctrico cambia su direcciOn cada medio cicLo debido a un voltaje de ca V = V0sen2lTft de tal forma que Las partIcuLas aumentan su velocidad cada vez que pasan por La abertura. (a) Demuestre que Ia frecuenciafdel voltaje debe ser f = Bq/2irm donde q es La carga de las partIculas, m es su masa. (b) Demuestre que Ia energIa cinética de Las partIculas aumenta en 2qV0 en cada revoluciOn, suponiendo que La abertura es pequena. (c) Si eL radio del ciclotrOn es 2.0 m y La
magnitud del campo magnetico es 0.50 T, ,cuOl serO el valor máximo de Ia energIa cinética de los protones acelerados en MeV?
considere que el coeficiente de fricción es tk. (c) ,En qué dirección se mueve Ia barra, hacia el este o el oeste, si La corriente que circula por ella se dirige al forte? Norte
I
OO®OOE®®®OC)O /Este I
00000® 000000
B(
U U U U U U U U U 1) Sur
U11
FIGURA 27-44 Vista inferior de una barra que se desliza sobre unos rieles. Problemas 56 y 57.
Abertura Placas FIGURA 27-45
N
7-I Oeste
-r-
BG) () 12) ') 12) 12) (2) 12) (2) 12) (Th 12)8
Un cicLotrOn, probLema 59.
Problemas generales
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107
La bobina rectangular de alambre que se muestra en La figura 27-21 tiene una masa m y transporta una corriente I. Demuestre que si Ia bobina se orienta en un ángulo 0 R), y (b) que apunta hacia el interior del conductor (r < R). Véase Ia figura 28-9. Suponga que r, la distancia radial del eje, es mucho menor que Ia longitud del alambre. (c) Si R = 2.0 mm e I = 60 A, cuál es el valor de B en r = 1.0 mm, r = 2.0 mm y r = 3.0 mm? SOLUCION
(a) Como el alambre es largo, recto y cilIndrico, debido a Ia simetrIa de
Ia situación se espera que el campo magnético sea el mismo en todos los puntos que están a la misma distancia del centro del conductor, no hay ninguna razón por Ia que cualquier punto deba tener preferencia sobre los demás si todos están a una
misma distancia del alambre (los puntos son fIsicamente equivalentes), en consecuencia B debe tener el mismo valor en todos los puntos que se encuentran a Ia misma distancia del centro. También se espera que B sea tangente a los cIrculos que rodean al alambre (figura 28-1) en consecuencia se seleccionará una trayectoria circular de integraciOn fuera del alambre (r > R) pero en forma concéntrica a ella, como sucediO en Ia figura 28-7. Entonces 'end = I por tanto
B
0
r=R
r
(b)
FIGIJRA 28-9 Campo magnético en el interior y en el exterior de un conductor cilIndrico.
5lBdl = B(2rr) = ILOIencI 0
B
[r
- 2irr
>R I
que es el resultado para un alambre delgado. (b) En el interior del alambre (r < R), de nuevo se elige una trayectoria circular concéntrica con el cilindro, se espera que B sea tangencial a esta trayectoria, y nuevamente debido a Ia simetrIa, el campo tendr La misma magnitud en todos los puntos del cIrculo. La corriente que encierra en este caso es inferior a I por un factor que es Ia relaciOn entre las areas:
'end =
rrr2
irR 2
De Ia ley de Ampere se tiene
B dl = PO'encI B(2lTr) = por tanto B
p0Ir
[r < R]
2irR2
El campo es cero en el centro del conductor y aumenta en forma lineal con r hasta que r = R; más allá de r = R, B disminuye conforme hr. Esto se indica en Ia figura 28-9b. Observe que estos resultados son válidos solamente para los puntos que se encuentran cerca del centro del conductor en comparacióri a su longitud. Para que fluya la corriente, deben existir alambres de conexiOn (digamos a Ia baterIa) y el campo que generan estos alambres conductores (si no estan muy lejos) destruirá Ia supuesta simetrIa.
(c) En r = 2.0 mm La superficie del alambre es r = R, por tanto B
(41T
2rR
X 107Tm/A)(60A) (2ir)(2.0 X 103m)
= 6.0 x 103T.
Como se vio en (b), en el interior del alambre B es lineal en r. En consecuencia, en r = 1.0 mm B tendra La mitad del valor que tendrIa en r = 2.0 mm o 3.0 x iO T. Fuera del alambre, B disminuye conforme 1/r, de tal modo que en r = 3.0 mm será 2/3 más grande que en r = 2.0 mm, o B = 4.0 X 103T. Para verificar se utiliza el resultado de (a), B = ,a0I/2irr, lo que produce el mismo resultado. 114
CAPITULO 28
Fuentes de campo magnético
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-
"
-
-r Cable coaxial. Un cable coaxial está formado un aidilluic que está rodeado por una malla cilIndrica de metal, como se muestra en la figura 28-10. Los dos conductores están separados por una cubierta aislante. El -
-
alambre central transporta una corriente hacia el otro extremo del cable, y Ia malla exterior transporta Ia corriente de retorno y normalmente se considera el conductor de tierra. Describa el campo magnético (a) en el espacio entre los conductores y (b) fuera del cable. RESPUESTA (a) En el espacio entre los conductores se puede aplicar la ley de Ampere para una trayectoria circular alrededor del centro del alambre, tal como se realizó en el caso de Ia figura 28-7, y Ia magnitud del campo está determinada por La ecuación 28-1. La corriente en el conductor exterior no tiene presencia en este resultado (la ley de Ampere utiliza solamente Ia corriente que se encierra en el interior de la trayectona; siempre que las corrientes que se localizan en el exterior de la trayectoria no afecten La simetrIa del campo, en este caso las corrientes en el exterior de Ia trayectoria no contribuirán al campo a lo largo de toda la trayectoria). (b) Fuera del cable se puede dibujar una trayectoria circular similar, donde se espera que el campo tenga la misma simetrIa circular. Sin embargo, en este caso existen dos corrientes que encierra Ia trayectoria, y Ia suma de ambas es cero. El campo en el exterior del alambre es cero. Esta caracterIstica ütiI del cable coaxial se conoce como blindaje inherente, en consecuencia ningiTh campo magnético disperso puede escapar del cable. El conductor cilIndrico externo también evita que los campos eléctricos externos perturben la señal que circula por el conductor interno (véase también el ejemplo 21-13). Esto hace que el cable coaxial sea ideal para transportar seflales en equipos sensibles. Los audiOfilos utilizan cable coaxial entre los componentes de los equipos estereofónicos y en las bocinas.
e
Malla cilIndrica
Alambre sólido Cable coaxial. Ejemplo conceptual 28-5. FIGURA 28-10
Uso de Ia ley de Ampere. Utilice Ia ley de Ampere para demostrar que en cualquier region del espacio donde no hay corrientes el campo magnetico no puede ser unidireccional y no uniforme como se indica en la figura 28ha.
SOLUCION La mayor separaciOn entre las lIneas cerca de la parte superior en Ia figura 28ha indica que el campo tiene menor magnitud en La parte superior que en Ia parte inferior. Ahora se va a aplicar Ia ley de Ampere a Ia trayectoria rectangular abcd que se muestra en lIneas punteadas en el diagrama. Como esta trayectoria no encierra ninguna corriente,
B-dI = 0. La integral a lo largo de las secciones ab y cd es cero. Ya que B I dl. En consecuencia
B dl = BbCI - Bdal =
(BbC - Bda)l,
que es diferente de cero porque el campo BbC en Ia trayectoria bc es inferior que el campo Bda en la trayectoria da. En consecuencia se tiene una contradicciOn: B dl no puede ser cero (ya que I = 0) y al mismo tiempo diferente de cero. En consecuencia se ha demostrado que un campo unidireccional no uniforme no es consistente con Ia ley de Ampere. Un campo no uniforme cuya dirección varle también, como se mdica en Ia figura 28lib, es consistente con Ia ley de Ampere (puede convencerse a sí mismo de este hecho) y es posible. La deformación de un campo magnetico permanente (figura 27-7) tiene esta forma. FIGURA 28-11
Ejemplo 28-6.
B
B
(a)
(b) SECCION 28-4
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115
RESO LU C IO N
Ley de Ampe
DE PROBLEMAS Utilice Ia simetrIa para determinar la direcciOn de B a lo largo de Ia trayectoria de integración. Si se elige una trayectoria adecuada, B será paralelo o perpendicular a dicha trayectoria. Evalüe el lado derecho de la ecuaciOn de la ley de Ampere a! determinar Ia corriente que encierra la trayectoria. Tenga cuidado con los signos. Deje que los dedos de la mano derecha se cierren en direcciOn de B para que el dedo pulgar indique Ia dirección de la corriente positiva. Si el problema involucra un conductor sOlido y su trayectona de integración no encierra a toda la corriente, calcule la corriente que encierra la trayectoria utilizando Ia densidad de corriente (corriente por unidad de area) multiplicada por el area encerrada (como en el ejemplo 28-4).
La ley de Ampere, al igual que Ia ley de Gauss, siempre es
un enunciado válido. Pero su uso como herramienta de cálculo está limitado principalmente a sistemas que tienen un alto grado de simetrIa. El primer paso al aplicar la ley de Ampere es identificar cualquier simetrIa que pueda ser de utilidad. Seleccione una trayectoria de integración que refleje la simetrIa (véanse los ejemplos para comprender mejor este punto). En especial se deben buscar trayectorias en las que B tenga una magnitud constante B a lo largo de toda la trayectoria o en segmentos de la trayectoria. Compruebe que Ia trayectoria de integraciOn pase a través del punto donde se desea evaluar el campo magnético.
Campo magnético en un solenoide v en un toroide Una bobina larga de alambre que tiene muchas vueltas se denomina sojenoide. Cada vuelta produce un campo magnético como se indicó en Ia figura 27-10. En Ia figura 28-12a se observa el campo que genera un solenoide cuando sus vueltas están muy Separadas. Cerca de cada alambre, las Ilneas de campo son circulos prOximos como sucede en un alambre recto (es decir, a distancias que son pequenas en comparación con la curvatura del alambre). Entre dos alambres cualquiera, los campos que produce cada vueita tienden a cancelarse. Hacia ai centro del solenoide, los campos se suman para producir un campo que puede ser bastante grande y uniforme. Para un solenoide largo, cuyas vueltas están muy cerca unas de otras, el campo es casi uniforme y paralelo a los ejes del solenoide en toda la sección transversal, como se indica en la figura 28-12b. El campo en el exterior del solenoide es muy pequeno en comparaciOn con el campo que se genera en su interior, excepto cerca de los extremos del solenoide. Observe que la misma cantidad de lIneas de campo que se concentran en el interior del solenoide se esparcen en ci vasto espacio que existe en ci exterior del solenoide.
I
(a)
(b)
28-12 Campo magnético que produce un soienoide (a) cuyas vueitas están muy separadas, (b) cuyas vueltas están cerca unas de otras. FIGURA
716
CAPiTULO 28
Fuentes de campo magnético
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Corriente que sale
OOOOO®OGOOEYde1ahoia B
-1d
bL----
Corriente que entra a Ia hoja
-1a
El campo magnético en el interior de un solenoide muy largo es uniforme. Las lIneas punteadas indican La trayectoria que se eligió para usarse en Ia ley de Ampere. FIGURA 28-13
Ahora se va a utilizar la ley de Ampere para determinar el campo magnético en el interior de un solenoide muy largo (idealmente la longitud es infinita) cuyas vueltas están embobinadas muy cerca. Se elige la trayectoria abcd que se muestra en la figura 28-13, lejos de cualquiera de los extremos, para aplicar la ley de Ampere. Se considerará que esta trayectoria está integrada por cuatro segmentos, que son los lados de un rectángulo: ab, be, cd y da. Entonces el lado izquierdo de la ecuación 28-3 de Ia ley de Ampere es 1d ra r 4B.dI = I BdI+ I Bd1+ I Bd1+ I Bd1. Ja
J
Jc
Jb
Jd
El campo en el exterior deJ solenoide es tan pequeflo que es despreciable si se compara con el campo en el interior. En consecuencia el primer término de esta suma será cero. Aün más, B es perpendicular a los segmentos be y da que se localizan en el interior del solenoide, y es cercano a cero entre y fuera de las bobinas, por lo anterior estos términos también son cero. Entonces se ha reducido la integral al segmento cd donde B es un campo casi uniforme en el interior de solenoide, y es paralelo a dl, por tanto
oBdi
=
Jc
Bdl = BI,
donde / es Ia longitud de cd. Ahora se va a determinar la corriente que encierra esta bobina para el lado derecho de Ia ley de Ampere, ecuación 28-3. Si Ia corriente I fluye por el alambre del solenoide, la corriente total que encierra Ia trayectoria abed es NI donde N es la cantidad de vueltas que encierra nuestra trayectoria (cinco en la figura 28-13). En consecuencia la ley de Ampere indica
BI = ,a0NI. Si n = N/I es Ia cantidad de vueltcts por unidad de Ion gitud, entonces
B = ji.0nI.
[solenoide]
(28-4)
Esta es la magnitud del campo magnetico en el interior de un solenoide. Observe que B depende solamente de la cantidad de vueltas por unidad de longitud y de Ia corriente I. El campo no depende de Ia posicion en el interior del solenoide, por tanto B es uriiforme. Esto es estrictamente cierto solo para un solenoide infinito, pero es una buena aproximacion para los solenoides reales para los puntos que no están cerca de los extremos del solenoide. Campo en el interior de un solenoide. Un solenoide delgado de 1U cm de largo para aplicaciones que utilizan la conmutaciOn electromecánica rápida tiene un total de 400 vueltas de alambre y transporta una corriente de 2.0 A. Calcule el campo en el interior del solenoide cerca del centro.
SOLUCION La cantidad de vueltas por unidad de longitud es n = 400/0.10 m = 4.0 X i0 m'. por tanto
B = it0nI = (12.57 X 107Tm/A)(4.0 X 10 m1)(2.0A) = 1.0 x 102T. SECCION 28-5
Campo magnético en un solenoide y en un toroide
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117
Un examen a la figura 28-12 muestra que el campo en el exterior de un solenoi-
de es muy similar a! campo de un inián tipo barra (figura 27-3). No obstante, el solenoide
actt.ia como un imn, uno de sus extremos sirve como polo forte y el otro como polo
sur, dependiendo de Ia dirección de La corriente que circula en las vueltas. Como las lIneas de campo magnetico salen del POlO forte de un imán, ci POlO forte de los solenoides de
la figura 28-12 se encuentra a la derecha. Los solenoides tienen muchas aplicaciones prcticas, algunas de las cuales se analizarán en Ia sección 28-8 de este capitulo. Toroide.
Utilice La ley de Ampere para determinar el campo mag-
netico (a) en el interior y (b) en el exterior de un toroide, que es como un solenoide que esth doblado en forma de un cIrculo como se indica en la figura 28-14a. SOLUCION
Las lIneas de campo magnético en el interior de un toroide son cIrcuios concéntricos al toroide (si usted piensa que el toroide es un solenoide que se ha doblado en forma de cIrculo, entonces las IIneas de campo se doblan junto con el solenoide). Una de estas IIneas cuyo radio es r y se encuentra en el interior del toroide se elige como Ia trayectoria de integración como se indica en Ia lInea punteada identificada como "trayectoria 1" en Ia figura 28-14a. Se toma esta elecciOn para utilizar Ia simetrIa de la situaciOn, en consecuencia B debe ser el mismo en todos los puntos a lo largo de Ia trayectoria (aunque no es necesariamente el mismo a través de toda la secciOn transversal del toroide), por tanto de Ia ley de Ampere se tiene Trayectona I
B dl = PO'encI
Trayectona 2 (a)
que se transforma en
B(2iTr) =
donde N es Ia cantidad total de vueltas e I es Ia corriente en cada una de las vueltas. Entonces 1i0NI
B
2i,-r
(b) (a) Un toroide. (b) Sección transversal de un toroide que muestra Ia dirección de Ia corriente en tres vueltas: 0 significa que Ia corriente se dirige hacia el lector, ® significa que Ia corriente se aleja del lector. FIGURA 28-14
El campo magnetico B no es uniforme en el interior del toroide; es mayor en el borde interior (donde r es más pequeflo) y es menor en el borde exterior. Sin embargo, si el toroide es grande, pero delgado (de tal forma que Ia diferencia entre el radio interior y exterior es pequena en comparación con el radio promedio) el campo será esencialmente uniforme en el interior del toroide. En este caso Ia fOrmula para B se
reduce a Ia de ut-i solenoide recto B = p0nI donde n = N/(2-r) es Ia cantidad de
vueltas por unidad de longitud. (b) Fuera del toroide Ia trayectoria de integración es un cIrculo concéntrico a! toroide, el cual está identificado como "trayectoria 2" en la figura 28-14a. Esta trayectoria encierra N vueltas que transportan una corriente I en una direcciOn y N vueltas que transportan La misma corriente en direcciOn opuesta. (La figura 28-14b muestra Ia direcciOn de la corriente para las partes de las bobinas en el interior y en el exterior del toroide.) En consecuencia la corriente neta que encierra Ia trayectoria 2 es cero. Para un toroide cuyas vueltas están muy cerca unas de otras, todos los puntos de Ia trayectoria 2 Son equidiStantes del toroide y equivalentes, por tanto B debe ser ci mismo en todos los puntos de la trayectoria. De ahI que Ia ley de Ampere indique B
dl = /O'encI
B(2lTr) = 0 0
B = 0.
Lo mismo se cumple para una trayectoria cuyo radio es más pequeno que el radio del toroide. En consecuencia no existe campo en ci exterior de un toroide cuyas vueltas estén muy cerca unas de otras. Todo ci campo se iocaiizará en ci interior de las vueltas. 718
CAP1TULO 28
Fuentes de campo magnético
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Le de Biot-Savart La utilidad de Ia ley de Ampere para determinar el campo magnético B que producen corrientes eléctricas particulares está limitada a situaciones donde Ia simetrIa de las corrientes permite evaluar B dl con facilidad. Claro está que lo anterior no invalida a Ia ley de Ampere, ni reduce su importancia fundamental. Cabe recordar el caso eléctrico, donde se considera que La ley de Gauss es fundamental pero en Ia realidad su uso está limitado a Los cálcuios de E. Con frecuencia se tiene que determinar el campo eléctrico E con otro método sumando las contribuciones de Los elementos infinitesimales de carga dq a través de Ia ley de Coulomb: dE = (1/4ire0)(dq/r2). El equivalente magnetico de esta forma infinitesimal de Ia ley de Coulomb serIa itii para Las corrientes que no tienen mucha simetrIa. Esta Icy fue desarroliada por Jean Baptiste Biot (1774-1862) y Felix Savart (1791-1841) poco después del descubrimiento de Oersted en 1820 que indicaba que una corriente produce un campo magnético. De acuerdo con Biot y Savart, una corriente I que fluye en cualquier trayectoria se puede considerar como muchos elementos infinitesimales (pequenos) de corriente como sucede en el alambre de Ia figura 28-15. Si dl representa una longitud infinitesimal a lo largo de Ia trayectoria de flujo de Ia corriente, entorices el campo magnetico, dB, en cualquier punto P en ci espacio (debido a este elemento de corriente) está determinado por
dB=
I dl X r 41r
(28-5)
r2
donde r es ci vector de despiazamiento desde ci eiemento dl hasta ci punto P, y r = nT es ci vector unitario en dirección de r (véase la figura 28-15). La ecuaciOn 28-5 se conoce como Ia ley de Biot-Savart. La magnitud de dB es dB =
,u01 disenO 417-r
2
(28-6)
'
donde 6 es ci ángulo entre dl y r (figura 28-15). El campo magnético total en ci punto P se calcula sumando (integrando) sobre todos los elementos de corriente:
B = JdB. Observe que este es ci vector suma. La icy de Biot-Savart es ci equivalente magnético de Ia Icy de Coulomb en su forma infinitesimal. Dc hecho es una Icy del cuadrado inverso, al igual que Ia ley de Coulomb. Una diferencia importante entre Ia icy de Biot-Savart y Ia icy de Ampere es que en ia icy de Ampere [B dl = /-LoJenc!I, B noes producido totalmente por La corriente que encierra La trayectoria de integraciOn. Pero en Ia Icy de Biot-Savart ci campo dB en Ia ecuación 28-5 es producido completamente por ci elemento de corriente I dl. Para calcuiar ci campo total B en cuaiquier punto dcl espacio, es necesario incluir todas las corrientes. dB (hacia el exterior)
P
28-15 Ley de Biot-Savart: el campo en P debido al elemento de corrienFIGUR.A
te I dies dB = (p, I/4'ir)(dl x I/r2).
r dl
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SECCION 28-6
Ley de Biot-Savart
719
p
B debido a una corriente I en un alambre recto. Para el
dB (hacia el interior)
campo que esta cerca de un alambre recto y largo que transporta una corriente I, demuestre que la ley de Biot-Savart produce el mismo resuitado que La ecuación 28-1,
B = i0I/2rrr.
SOLUCION Se calcula el campo magnetico en la figura 28-16 en el punto P, que se encuentra a una distancia perpendicular R de un alambre infinitamente largo. La corriente se mueve hacia arriba, y tanto dl como r, que aparecen en el producto cruz de Ia ecuacion 28-5, se encuentran en el piano de La página. En consecuencia Ia direcciOn del camp0 dB debido a cada elemento de corriente deberá dirigirse hacia el piano de La página como se indica (regla de Ia mano derecha para el producto cruz dl X I. Por tanto, todo dB tiene la misma direcciOn en el punto F, y se suma para dar la misma dirección a B de acuerdo con los resultados anteriores (figuras 28-1,28-7 y 28-9). La magnitud de B será Determinación de B debido a un alambre largo y recto utilizando Ia ley de Biot-Savart. FIGURA 28-16
B-Ap0IIT Jy=oo
2'
dy = +Rcsc2OdO
- sen2O - (R/r)2 -
dysenO r donde dy = dl y r2 = R2 + y2. Observe que se integra sobre y (La longitud del alambre) y en consecuencia R se considera constante. Tanto y como U son variables, pero no son independientes. De hecho y = -R/tanO. Observe que y se mide en dirección positiva a partir del punto 0, por tanto, para el elemento de corriente que se está considerando y < 0. Entonces r2dO RdO RdU I
R
For tanto Ia integral se vuelve
B=
/101 1 f
/LØI
- I senOdU = - 47TR cosO 4ir R Jo=o
=
/.L0I
2ITR
que es la ecuaciOn 28-1 para ei campo cerca de un alambre largo, donde se ha utilizado R en lugar de r. DeterminaciOn de B debido a una bobina de corriente. FIGURA 28-17
n
t -i- Li
LC
Bobina de corriente. Determine B para los puntos que están ina circular de alambre de radio R que transporta una corriente 1,
figura 28-17.
SOLUCION Para un elemento de corriente que se localiza en La parte superior de la bobina, el campo magnetico dB en el punto P del eje tiene la direcciOn y magnitud que se indican (ecuaciOn 28-5) dB
/101d1 4ITr2
= dl. Se puede dividir a dB
ya que dl es perpendicular a r de tal forma que dl x
fldentro)
en las componentes dB11 y dB1, que son paralelas y perpendiculares al eje como se indica. Cuando se suman todos los elementos del lazo Ia simetrIa indica que las componentes perpendiculares se cancelarán en lados opuestos, por tanto B1 = 0. De ahI que el campo total B apuntará a lo largo del eje, y tendrá Ia siguiente magnitud
B = B11 = IdBcos4 =
j
IdB J
-r
=
IdB J
(R2+x2)
donde x es Ia distancia de P desde el centro del anillo, y r2 = R2 + x2. Ahora nos colocamos en dB de la ecuaciOn anterior e integramos alrededor de la bobina de corriente, indicando que todos los segmentos de corriente dl están a la misma distancia, (R2 + x2), del punto P: B
t0I
R
I dl
/101R2
2(R2 + x2) (R2 + x2) J como f dl = 2IrR, es Ia circunferencia de La bobina. Justo en el centro de la bobina (donde x = 0) el campo tiene su valor máximo B
720
CAP1TLILO 28
I_to I
= 2R
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[en el centro de Ia bobina]
Recuerde de la secciOn 27-5 que una bobina de corriente, similar a Ia que ya se ha analizado, se considera un dipolo magnético. Ya se vio que un dipolo magnetico tiene un momento dipolar
= NL4, donde A es el rea de La bobina y N es la cantidad de vueltas de Ia bobina, cada una transporta una corriente 1. También se vio en el capftulo 27 que un dipolo magnetico que se coloca en un campo magnético externo experimenta un par y posee energIa potencial, como un dipolo eléctrico. En el ejemplo 28-10 se analizó otro aspecto de un dipolo magnético: el campo magnético que produce un dipolo magnético tiene una magnitud (a lo largo del eje del dipolo) igual a
B= 2(R2
+
Esta expresión se puede escribir en términos del momento dipolar magnético = IA = Iii-R2
B
(para una sola bobina N = 1): /10
-
11
[dipolo magnetico]
2i-(R2+x2)
(28-7a)
(Cabe iridicar La distinciOn entre del momento dipolar y p. que es la constante de permeabilidad magnetica.) Para distancias que estn lejos de la bobina, x >> R, en consecuencia B 2ir
[en el eje, dipolo magnético, x >> R]
x3
(28-7b)
El campo magnético en el eje de un dipolo magnetico disminuye con el cubo de Ia distancia, al igual que en el dipolo eléctrico. B disminuye también con el cubo de La distancia para los puntos que no estän en el eje, aunque el factor de multiplicaciOn no es el mismo. El campo magnético que produce una bobina de corriente se puede determinar en varios puntos utilizando la ley de Biot-Savart. La figura 28-18 muestra Las lIneas de campo alrededor de una bobina de corriente.
B debido a un segmento de alambre. Una cuarta parte de una booina circular de alambre transporta una corriente I como se indica en La figura 28-19. La corriente I entra y sale de Los segmentos rectos de alambre segtin se indica, los alambres rectos se encuentran en direcciOn radial con relaciOn al centro de C en Ia porción circular. Calcule el campo magnetico en el punto C.
FIGURA 28-18 Campo magnético debido a una bobina circular de alambre (igual que en Ia figura 27-10.)
FIGURA 28-19
Ejemplo 28-11.
I
dl
dB = donde 90° =
r = R
p I dl 4rR2
es el radio de La secciOn curva, y sen U en Ia ecuaciOn
28-6
1. Como r = R para todas las piezas dl, entonces
B = JdB
1d1 4irR2
J
/1I 41TR2
(2R)
es sen
/1I - 8R SECCION 28-6
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Ley de Biot-Savart
121
*
Materiales mannéticos; ferromaenetismo Los campos magnéticos se pueden producir por (a) materiales magneticos (imanes) y (b) por corrientes eléctricas. Estas ültimas se han estudiado ampliamente en este capitulo. Ahora se analizarán los materiales magnéticos, los cuales están presentes en nuestra vida diana: imanes, nücleos de hierro de los motores y electroimanes, cintas para grabación magnética y discos para almacenar datos en las computadoras, La cinta magnetica de las tarjetas de crédito. En La sección 27-1 se vio que el hierro (y algunos materiales ms) puede formar imanes fuertes. Se dice que estos materiales son ferromagnéticos. A continuación se estudiarán con mayor detalle las fuentes de ferromagnetismo. Un imn tipo barra, que tiene dos polos opuestos cerca de sus extremos, se asemeja a un dipolo eléctrico (cargas positiva y negativa de igual magnitud que están Se-
paradas por una distancia). De hecho un imán tipo barra se conoce como "dipolo
2
,1
(a)
(b)
FIGURA 28-20 (a) Una pieza de hierro sin magnetizar está formada por dominios que se arreglan al azar. Cada dominio es como Un imn pequefio, las flechas representan La dirección de magnetización, La punta de flecha es el polo forte. (b) En un imán, los dominios se alInean preferentemente en una direcciOn, el tamaflo de los dominios se puede alterar durante el proceso de magnetización.
Las limaduras de hierro se aiInean a lo largo de las iIneas de campo magnëtico. FIGURA 28-21
magnetico". Existen polos opuestos separados por una distancia. Y las LIneas de cam0 magnetico de un imán tipo barra forman un patron similar a! del campo eléctrico de un dipolo eLéctrico: compare Ia figura 21-33a con La figura 27-3b. Un examen microscOpico revelarla que en realidad un imán está formado por regiones pequefias que se denominan dominios, cuya longitud o anchura es de aproximadamente 1 mm. Cada dominio se comporta como un imán pequeno que tiene polos norte y sur. En una pieza de hierro sin magnetizar, estos dominios están dispuestos al azar, como se muestra en La figura 28-20a. Los efectos magnéticos de Los dominios se cancelan entre Si de tal forma que esta pieza de hierro no es un imán. En un imán los dominios estn alineados en forma preferenciaL en una dirección como se indica en la figura 28-20b (en este caso hacia abajo). Se puede crear un imán a partir de una pieza de hierro sin magnetizar si esta se coloca en un campo magnetico fuerte. (Una aguja se puede magnetizar si se frota en uno de los polos de un imán fuerte.) Observaciones precisas mdican que en realidad Ia magnetizacion de Los dominios se puede girar Ligeramente para que sea más paralela al campo externo. 0 con mayor frecuencia, Los bordes de los dominios se mueven para que aquellos dominios cuya orientaciOn magnetica sea paralela al campo externo crezcan en tamaflo a expensas de otros dominios, como puede ver si se comparan las figuras 28-20a y 28-20b. Esto explica porqué un irnán puede recoger piezas de hierro que no están magnetizadas como son los clips para papeL. El campo magnetico provoca Ia ligera aLineación de Los dominios en el objeto desmagnetizado de tal forma que el objeto se transforma en un imán temporal cuyo polo norte se dirige al polo sur del imán permanente, y viceversa; por tanto se produce una atracción. En forma similar, Las limaduras de hierro se arregLarán entre si en un campo magnético como lo hace una brUjuLa de aguja, y con esto revelarn La forma del campo magnético, figura 28-21. Un imán de hierro puede permanecer magnetizado durante largo tiempo, y en
este caso se conoce como un "imán permanente". Sin embargo, si usted avienta un
imán al sueLo o Lo golpea con un martillo puede hacer que los dominios se coloquen al azar. En consecuencia el imán puede perder algo o todo de su magnetismo. El hecho de caLentar un imán también puede hacen que pierda su magnetismo, ya que a! aumentar La temperatura se incrementa el movimiento térmico aleatonio de los átomos, a su vez esto desordena los dominios del imán. Pon encima de cierta temperatura que se conoce como temperalura Curie (1043 K para el hierro) un imán pierde sus propiedades magnéticas.t La sorprendente semejanza que existe entre los campos que produce un imn tip0 barra (figura 27-3b) y La corniente eLéctrica en una bobma (figura 28-18) sugiere que el campo magnético que produce una corriente puede tener cierta relaciOn con el ferromagnetismo, esta idea fue propuesta por Ampere en el siglo XIX. De acuerdo con La teorIa atOmica moderna, los átomos que integran cuaLquier material se pueden visualizar burdamente como si contuvieran electrones que giran alrededor de un nücleo central. Como Los electrones tienen carga, éstos constituyen una corriente eLéctnica y en consecuencia producen un campo magnetico. Pero si flO existe un campo externo, Los electrones que giran en diferentes átomos se acomodan aL azar, en consecuencia Los efectos magnéticos que producen Las diferentes Orbitas de todos Los átomos del material se El hierro, nIquel, cobalto, gadolinio y ciertas aleaciones son ferromagnéticas a temperatura ambiente; algunos otros elementos y aleaciones tiene temperaturas Curie más bajas y en consecuencia solo son ferromagnéticos a bajas temperaturas.
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CAPITULO 28
Fuentes de campo magnético
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cancelan. Sin embargo, los electrones en sí mismos producen un campo magnético adicional e intrInseco, estas partIculas poseen un momento magnético intrInseco que se conoce
como su momento magnetico o "spin"t. En la actualidad se cree que el campo magnetico que produce el "spin" del electrOn es el que genera el ferromagnetismo. En la mayor parte de los materiales, los campos magneticos que genera el "spin" del electrOn se cancelan porque están orientados a! azar. Pero en el hierro y otros materiales ferromagnéticos opera un complicado mecanismo de cooperaciOn que se denomina "acoplamiento de intercambio". El resultado es que el "spin" del electron contribuye a! ferromagnetismo en un punto de dominio en Ia misma direcciOn. En consecuencia el campo magnético débil que produce cada uno de los electrones se suma para producir el campo magnético de un dominio. Cuando los dominios están alineados, como ya se ha visto, se produce un imn fuerte.
Electroimanes y solenoides Un solenoide está integrado por una bobina larga con muchas vueltas de alambre como ya se vio en la secciOn 28-5. El campo magnético en el interior de un solenoide puede ser muy grande ya que será Ia suma de los campos que genera la corriente en cada una de las vueltas de alambre (véase la figura 28-22). El solenoide actOa como un imán, un extremo se puede considerar como el pOlO forte y el otro el polo sur, dependiendo de la direcciOn de Ia corriente que circula en las vueltas (utilice Ia regla de Ia mano derecha). Como las lIneas de campo magnético salen del poio forte de un imán, el polo forte del solenoide de Ia figura 28-22 está a la derecha. Si una pieza de hierro se coloca en el interior de un solenoide, el campo magnético aumentará enormemente porque los dominios del hierro se alInean con el campo magnético que produce Ia corriente. El campo magnetico resultante es la suma del camP0 que genera la corriente y el campo del hierro, y puede ser cientos o miles de veces ms grande que el campo que genera solamente Ia corriente (véase Ia secciOn 28-9). Este arreglo se conoce como un electroimán. El hierro que se utiliza en los electroimanes adquiere y pierde su magnetismo con mucha rapidez cuando se enciende y se apaga La corriente, este hierro se conoce como "hierro suave". (Solamente se considera "suave" en el contexto magnetico.) El hierro que mantiene su magnetismo aun cuando no se aplica un campo externo se denomina "hierro fuerte". El hierro fuerte se utiliza en imanes permanentes. El hierro suave se utiliza normalmente en electroimanes doride el campo se puede encender y apagar con rapidez. El hecho de que el hierro sea suave o fuerte depende del tratamiento térmico y de otros factores. Los electroimanes se utilizan en muchas aplicaciones prácticas, desde motores y generadores hasta Ia producción de campos magnéticos muy elevados para fines de investigacion. En ciertas aplicaciones no se utiliza un nOcleo de hierro, el campo magnético proviene solamente de la corriente que circula en las bobinas de alambre. Cuando Ia corriente fluye en forma continua en un electroimán normal, se puede producir una gran cantidad de energIa que se desperdicia en forma de calor (potencia = 12R). En estos casos Se utilizan bobinas de enfriamiento (que están formadas por una tuberIa de agua) para absorber el calor en las aplicaciones industriales. En ciertas aplicaciones se utilizan imanes superconductores. Los alambres que transportan corriente están fabricados con material superconductor (sección 25-9) para mantener a las bobinas debajo de la temperatura de transiciOn. En Ia ausencia de un nücleo de hierro se pueden producir campos muy grandes (debido a Ia saturaciOn de nOcleo de hierro, véase Ia siguiente secciOn), estos campos son mayores a los campos que se obtienen cuando se utilizan nCicleos de hierro. En estos casos no se necesita energIa para mantener una corriente elevada en las bobinas superconductoras, lo que significa un ahorro considerable de electricidad, tampoco se disipan enormes cantidades de calor. Desde luego que se necesita energIa para mantener a las bobinas superconductoras a Ia temperatura deseada (que es muy baja). Otro dispositivo ütil está formado por un solenoide en el que una barra de hierro se inserta parcialmente en el nOcleo del solerioide. Esta combinaciOn también se
FIGURA 28-22 Campo magnético de un solenoide. El polo forte de este solenoide, similar al de un imán, está a la derecha, y el polo sur está a Ia izquierda.
tEl nombre "spin" proviene de una sugerencia que indica que este momento magnético intrinseco es resultado del giro del electron sobre su eje (asi cowo del giro del electron airededor del nOcleo) para producir el campo adicional. Sin embargo, este punto de vista del giro del electron está bastante simplificado y no es válido.
*SECCION 28-8
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Electroimanes y solenoides
723
Varilla de hierro
/
conoce como solenoide. Un uso simple es el timbre o campana eléctrica (figura 28-23). Cuando se aprieta el botOn se cierra el circuito, Ia bobina se transforma en un imán y ejerce una fuerza en Ia barra de hierro. La barra es jalada al interior del nücleo y gotpea la campana. En la marcha de los automOviles se utiliza un solenoide de gran tama-
rnbre
Resorte
no. Cuando se acciona el interruptor de encendido de un automóvil se cierra un circuito que además de encender el motor de la marcha activa un solenoide que permite el contacto directo del motor de Ia marcha con eJ engrane de giro (bendix) que se conecta directamente al ciguenal del motor. Los solenoides se utilizan como interruptores en otros dispositivos, como sucede en los grabadores de cinta. Los solenoides tienen Ia ventaja de que pueden mover partes mecánicas de manera rapida y precisa.
Interruptor 120 V
* 20 V
Solenoide que se utiliza como una campana eléctrica. FIGURA 28-23
Campos magnéticos en materiales magnéticos; histéresis El campo en un solenoide largo es directamente proporcional a La corriente. De hecho Ia ecuación 28-4 indica que el campo en el interior de un solenoide (B0) está determinado por
B0 = ,a0nJ. Esta relación es válida si el interior del n(icleo solamente contiene aire. Si se coloca una pieza de hierro o cualquier otro material ferromagnetico en el interior del solenoide, el campo aumentará en gran forma, con frecuencia cientos o miles de veces. Esto sucede porque los dominios del hierro se a!Inean preferentemente con el campo externo. El campo magnético resultante es Ia suma del campo que genera Ia corriente y el campo que produce el hierro. Algunas veces es conveniente indicar el campo total como una suma de dos términos:
B = B0 + BM. -4
FIGURA 28-24
Toroide con n0cleo
B(T)
b 1.00
0.60
0.40 0.20
i.o
o.o B0 (103 T)
724
(28-9)
es Ia permeabilidad magnética del material (no hay que confundirla con .t para el momento magnético). En los materiales ferromagnéticos es bastante superior que t0. Para los demás materiales, su valor es muy cercano a .t0 (sección 28-10). Sin embargo, el valor de no es constante en los materiales ferromagneticos, depende del valor del campo externo B0, como lo demuestra el siguiente experimento. En general las mediciones en materia[es magnéticos se realizan utilizando un toroide, el cual es en esencia un solenoide largo que se dobla en forma de cIrculo (figura 28-24), para que prácticamente todas las lIneas de B permanezcan en el interior del to-
roide. Suponga que el toroide tiene un nécleo de hierro que en un principio no está
0.80
o
indicar si se reemplaza Ia constante en Ia ecuación 28-4 con otra constante , que es caracterIstica del material que se encuentra en el niicleo de Ia bobina:
B = ,anl;
FIGURA 28-25 Campo magnético total B en un toroide con n0cleo de hierro en función del campo externo B0 (B0 es producido por Ia corriente I que circula en Ia bobina). 1.20
En esta expresión B0 se refiere al campo que produce Ia corriente en el alambre (el campo "externo"). Este es el campo que estarIa presente en ausencia de un material ferromagnético. Luego BM representa el campo adicional que produce el material ferromagnético en sí, con bastante frecuencia BM >> B0.
En este caso el campo total en el interior de un solenoide también se puede
Ju-de hierro.
(28-8)
CAPITULO 28
magnetizado y no existe corriente en los devanados del toroide. Entonces La corriente I aumenta lentamente, y B0 aumenta linealmente con relación a I. El campo total B también aumenta, pero sigue La Ilnea curva que se indica en La gráfica de Ia figura 28-25. (Observe que las escalas son diferentes: B >> B0.) En un principio, punto a, los dominios estn orientados al azar (sección 28-7). Conforme aumenta B0, los dominios se ailnean cada vez mns hasta Ilegar al punto b, cuando casi todos están alineados. Entonces se dice que el hierro se aproxima a La saturación. El punto b se encuentra tIpicamente a un 70 por ciento de Ia saturación completa. (Si B0 aumenta aün ms, Ia curva sigue creciendo lentamente y alcartza una saturación del 98 por ciento solamente cuando B0 alcanza un valor que supera un centésimo del valor que est arriba del punto b; los ültimos dominios son los más difIciles de alinear.) Luego suponga que el campo externo B0 se reduce
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porque disminuye la corriente en las bobinas. Conforme se reduce la corriente hasta liegar a cero, mdicado como el punto c en la figura 28-26, el dominio no se vuelve completamente aleatorio. AUn queda cierto magnetismo permanente. Si Ia corriente invierte su direcciOn se puede provocar el giro de una cantidad importante de dominios, de tat forma que B = 0 (punto d). Conforme aumenta el valor de Ia corriente invertida, el hierro se aproxima a La saturaciOn en Ia direcciOn opuesta (punto e). Por ültimo, si Ia corriente se reduce nuevamente a cero y luego aumenta en Ia direcciOn original, el campo total sigue la trayectoria efgb, y de nuevo se aproxima a Ia saturaciOn en el punto b. Observe que en este ciclo el campo no paso a través del origen (punto a). El hecho de que La curva no se dibuje a sI misma en la misma trayectoria se conoce como histéresis. La curva bcdefgb se conoce como lazo e histéresis. En este ciclo gran parte de la energIa se transforma a energia térmica (fricciOn) debido a la realineaciOn de los dominios. Se puede demostrar que Ia energIa que se disipa en esta forma es proporcional at irea del lazo de histéresis. En los puntos c y f, el nOcleo de hierro se magnetiza aun cuando no existe corriente en Las bobinas. Estos puntos corresponden a un imán permanente. En un imán permanente se desea que ac y af tengan Ia mayor longitud posible. Se dice que los materiales en los que se cumple esta condición tienen una retentividad elevada. Los materiales que tienen una curva de histéresis ms amplia como sucede en Ia figura 28-26 se conocen como materiales magnéticamente "duros". Por otra parte, una curva de histéresis similar a Ia figura 28-27 sucede en el "hierro suave". Este es el que se prefiere en los electroimanes y transformadores (secciOn 29-6) ya que el campo se puede apagar con mayor rapidez, y se puede invertir con menor pérdida de energia. Un material ferromagnetico se puede desmagnetizar, es decir perder su magnetismo. Esto se puede realizar si se invierte varias veces Ia corriente de magnetizaciOn mientras disminuye su magnitud. Esto produce la curva de Ia figura 28-28. Las cabezas de un equipo de grabacion se desmagnetizan en esta forma. El campo magnético alternante que actOa en las cabezas debido a Ia acciOn del instrumento desmagnetizador es fuerte cuando se coloca cerca de las cabezas y disminuye conforme se aleja lentamente de las cabezas. Las cintas de video y audio pueden borrarse y resultar dañadas debido a Ia acciOn de campos magneticos, at igual que los discos para computadora.
*
Paramagnetismo y diamagnetismo Todos los materiales son magnéticos hasta cierto grado. Los materiales que no son ferromagnéticos caen en dos categorIas principales: paramagnéticos cuando la permeabilidad magnetica a es ligeramente mayor que r0; y diamagnéticos cuando r es ligeramente inferior que p.o. La razón de a p1 para cualquier material se conoce como permeabilidad relativa Km Km
e
Curva de histéresis.
FIGURA 28-26
FIGURA 28-27 Curva de histéresis para el hierro suave. B
FIGURA 28-28 Lazos sucesivos de histéresis durante Ia desmagnetizaciOn. B
I-0 H
Otro parmetro Otil es Ia susceptibilidad magnética X que se define como:
B0
Xm = Km - 1. > 1 y Xm > 0, en tanto que en las sustancias Las sustancias paramagneticas tienen diamagnéticas Km < 1 y Xm < 0. Véase Ia tabla 28-1. T' BI
'8- I
-
iéticas
Sustancia diamagnética
Sustancia paramagnética Aluminio Calcio Magnesio Oxigeno (PTS) Platino Tungsteno
e;ceç tibilici.ades' na
Parama'ji netismo y ciamagi letismo:
2.3 >< 10
1.9 x 10 1.2 x 10 2.1 X 10
Xm
-9.8 X 10 -2.2 X 10
Cobre Diamante Oro
2.9 x i0
Plomo NitrOgeno (PTS)
6.8 X iO
Silicio
-3.6 X i0 -1.7 X i0 -5.0 )< iO -4.2 X 1O
*sEcclON 28-10
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Paramagnetismo y diamagnetismo
725
La diferencia entre los materiales paramagnéticos y diamagnéticos se puede entender teóricamente en el nivel molecular, en funciOn de Ia existencia o ausencia de un momento dipolar magnético permanente en las moléculas. El paramagnetismo sucede en los materiales cuyas moléculas (o jones) tienen un momento dipolar magnetico permanente.t En ausencia de un campo externo, las moléculas se orientan al azar y no se observan efectos magneticos. Sin embargo, cuando se aplica un campo magnético externo, por ejemplo cuando se coloca el material en un solenoide, el campo aplicado ejerce un par en los dipolos magnéticos (sección 27-5), lo que tiende a alinear a los dipolos magnéticos con el campo. El campo magnético total (campo externo más el campo que generan los dipolos magnéticos alineados) ser ligeramente mayor que B0. Sin embargo el movimiento térmico de las moléculas reduce la alineación. Una cantidad ütil es el vector de magnetización, M, que se define como el momento dipolar magnetico por unidad de volumen.
M= donde ji es el momento dipolar magnético de la muestra y V es su volumen. Se ha encontrado en forma experimental que M es directamente proporcional a! campo magne-
tico externo (que trata de alinear a los dipolos) e inversamente proporcional a la temperatura Kelvin T (que trata de aleatorizar a las direcciones de los dipolos). Esta es Ia ley de Curie, fue Pierre Curie (1859-1906) quien expresO por primera vez:
M=C donde C es una constante. Si La relaciOn BIT es muy grande (B muy grande o T muy pequefla) Ia !ey de Curie deja de ser precisa; conforme aumenta B (o T disminuye), la magnetizaciOn se aproxima a cierto valor máximo Mmáx. Esto tiene sentido, desde luego, ya que Mmdx corresponde a Ia alineación total de todos los dipolos magnéticos permanentes. Sin embargo, aün con campos magnéticos muy grandes =2.0 T, se observan normalmente desviaciones de Ia ley de Curie a temperaturas muy bajas, en el orden de pocos grados Kelvin. Como ya se mencionO en la secciOn 28-7, los materiales ferromagnéticos dejan de serb por encima de una temperatura caracterIstica que se conoce como temperatura Curie (1043 K para el hierro). For encima de esta temperatura Curie generalmente estos materiales se vuelven paramagneticos. Los materiales diamagnéticos (en los que Lm es ligeramente inferior a bto) estn integrados por moléculas que no tienen un momento dipolar magnético permanente. Cuando se aplica un campo magnético externo, se inducen dipolos magneticos, pero el momento dipolar magnético se induce en dirección opuesta a Ia del campo. De ahI que e! campo total puede ser ligeramente inferior que el campo externo. El efecto del camp0 externo (en el modelo burdo de los electrones que giran airededor del nücleo) es un aumento en la velocidad "orbital" de los electrones que giran en una direcciOn, y La disminución de Ia velocidad de los electrones que giran en direcciOn contraria; e! resultado neto es un momento dipolar que se opone al campo externo. El diamagnetismo está presente en todos los materiales, pero es todavIa ms débil que el paramagnetismo y por tanto es eliminado por los efectos paramagnéticos y ferromagnéticos en los materiales que presentan otras formas de magnetismo.
tOtros tipos de paramagnetismo también ocurren cuyo origen es diferente de los descritos aqul, como con los metales en los que pueden contribuir los electrones libres.
726
CAPITULO 28
Fuentes de campo magnético
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Resumen La Icy de Ampere indica que Ia integral de ilnea del campo magnético B alrededor de cualquier bobina cerrada es igual a p. veces Ia corriente total neta 'end que encierra la bobina:
B dl =
/-0'enct
El campo magnetico B a una distancia r de un alambre recto y largo es directamente proporcional a Ia corriente I que circula en el alambre e inversamente proporcional a r. Las lIneas de campo magnético son cIrculos que estn centrados con relación a! alambre. El campo magnetico en el interior de un solenoide delgado que tiene muchas vueltas de alambre es B = 1tt0nI, donde n es la cantidad de vueltas por unidad de longitud e I es Ia corriente que circula en cada bobina. La fuerza que ejerce un alambre largo que transporta corriente sobre otro alambre paralelo que también transporta corriente, el cual est a una distancia I del primero, sirve como definiciOn para La unidad ampere, asI como para el coulomb.
La ley de Biot-Savart es ütil para determinar el campo magnético que produce un arreglo determinado de corrientes. Esta ley indica que dB
donde dB es Ia contribuciOn al campo total en algün punto P debido a una corriente I que fluye por una longitud infinitesimal dl de esta trayectoria, y r es el vector unitario a lo largo de la direcciOn del vector de desplazamiento r de dl a P. El campo total B será La integral en todo dB. El hierro y otros materiales pueden convertirse en imanes fuertes y permanentes. Se dice que estos son materiales ferromagnéticos. Los materiales ferromagnéticos están integrados por dominios pequeños (cada uno es un imán pequeflo) que
están alineados preferiblemente en un imán permanente, pero están alineados at azar en una muestra que carece de magnetismo.
Cuando un material ferromagnetico se coloca en un camP0 magnético B0 que produce una corriente, por decir en el interior de un solenoide o toroide, el material se magnetiza. Sin embargo cuando cesa el flujo de corriente, el material permanece magnetizado. Cuando Ia magnitud de la corriente
aumenta en dirección opuesta (y se invierte de nuevo) se
puede elaborar una gráfica del campo total B contra B0, que se conoce como lazo de histéresis, el hecho de que las curvas no se formen de nuevo se conoce como histéresis.
i0Idlx 4r
r2
Prequntas El campo magnético que genera la corriente que circula en los alambres de su casa puede afectar a una briijula. Ana]ice el problema en términos de las corrientes, dependiendo de si se trata de cd o Ca, y de Ia distancia que separa a los alambres. Compare el campo magnético que genera una corriente que circula por Ufl Conductor recto y largo con el campo eléctrico que produce una lInea de carga eléctrica en reposo, que es recta y larga (sección 21-7). Dos alambres largos que transportan corrientes iguales I se encuentran a ángulos rectos entre si, pero no se tocan. Describa La fuerza magnética que ejercen entre si. Un alambre horizontal transporta una corriente considerable. Otro alambre que transporta corriente en Ia misma dirección se suspende debajo del primero. ,La corriente que circula en el primer alambre puede mantener suspendido at segundo alambre desafiando a Ia fuerza de gravedad? En qué condiciones se logrará el equilibrio? Un alambre horizontal que transporta corriente y tiene libertad de movimiento en el campo gravitacional de Ia Tierra se suspende directamente encima de otro alambre paralelo que transporta corriente. (a) LEn qué dirección circula la corriente en el alambre inferior? (b) ,El alambre superior se puede mantener en equilibrio estable debido a Ia fuerza magnética en el alambre inferior? Explique (a) Escriba la ley de Ampere para una trayectoria que rodea a los dos conductores de Ia figura 28-8. (b) Repita (a) suponiendo que Ia corriente inferior '2 tiene dirección opuesta (12 = Suponga que el conductor cilIndrico de la figura 28-9a tiene una abertura concéntrica de forma cilIndrica en su interior (lo que hace que se parezca a un tubo). tQué puede decir de B en
Explique por qué un campo como el que se muestra en La figura
28llb es consistente con Ia ley de.Ampere. Las lIneas se pueden curvar hacia arriba en vez de hacerlo hacia abajo? LCuáI serIa el efecto de B en el interior de un solenoide largo Si (a) se duplica el diimetro de todas sus vueltas, (b) se duplica Ia separaciOn entre las vueltas, (c) se duplica Ia longitud del solenoide además de La cantidad total de vueltas? Utitice Ia ley de BiotSavart para convencerse a sí mismo de que el campo en Ia bobina de corriente de la figura 28-18 es correcto en los puntos que están fuera del eje. Piensa que B será el mismo para todos los puntos que están en el pIano de Ia bobina de corriente de Ia figura 28-18? ,Porqué el hecho de torcer los cables de los dispositivos eléctricos reduce los efectos magnéticos en las terminales? Compare La ley de Biot-Savart con La ley de Coulomb, Lcuáles son las similitudes y diferencias? El relevador es una clase de interruptor magnético similar al solenoide. El relevador es un electroimán (Ia barra de hierro en el interior de La bobina no se mueve), cuando este se activa atrae
a una pieza de hierro suave en el pivote. Diseñe un relevador (a) para hacer un timbre, (b) para cerrar un interruptor eléctrico. El relevador se utiliza en el ültimo caso cuando Se necesita un interruptor en un circuito que transporta mucha corriente pero no se desea que esa corriente elevada fluya a través del interruptor principal. Por ejemplo el interruptor de encendido de un automóviL se conecta a un relevador de tal forma que Ia corriente elevada que se necesita para el arranque no circule a través del interruptor del tablero.
Ia cavidad?
Preguntas
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727
COmo podria medir el momento dipolar magnético de Ia Tierra?
Cómo podrIa definir o deterrninar Ia fuerza del poio magnético (Ia equivalente magnética de una sola carga eléctrica) para (a) un imán tipo barra, (b) un lazo de corriente? Un imán fuerte atrae a un bloque pesado (partiendo del reposo) de hierro. Antes que el bloque golpee al imán este habrá adquirido una cantidad considerable de energIa cinética. (a) LCuál es Ia fuente de esta energIa cinética? (b) Cuando el bloque golpea al imán, algunos de los dominios del imán cambian a! azar; describa las transformaciones de energIa. LUn imán atraerá a cualquier objeto metálico o a cualquiera que esté hecho de hierro? (Pruebe y yea.) Porqué sucede lo anterior? Un clavo sin magnetizar no atraerá a un clip que no este magnetizado. Sin embargo, si uno de los extremos del clavo toca a un imán, el otro extremo atraerá al clip. Explique.
,COmo supone que se encontraron los primeros imanes en
Magnesia? ,Porqué cualquiera de los polos de un imán atraerá a una pieza de hierro sin magnetizar?
Suponga que tiene tres barras de hierro, dos están magnetizadas pero Ia tercera no lo está. Córno podrIa determinar cuáles están magnetizadas sin utilizar ningOn objeto adicional? Dos barras de hierro se atraen entre sI sin irnportar cuáles son los extrernos que se tocan. Se tratará de dos imanes? Explique *24. Describa Ia curva de magnetización para (a) una sustancia paramagnética, (b) una sustancia diarnagnética y compare con Ia curva de una sustancia ferromagnética (figura 28-26). * 25. LTodos los materiales se pueden considerar como (a) diamagnéticos (b) paramagnéticos (c) ferromagnéticos?
Problemas (I) Los cables que se utilizan para pasar corriente a un automOvii normalmente transportan una corriente de 65 A. ,Cuál será Ia fuerza del campo magnético a una distancia de 7.5 cm? Compare este resultado con el campo magnético de La Tierra. (I) Un conductor eléctrico produce un campo magnético que no es superior a! campo de Ia Tierra (0.55 )< 10 T) a una distancia de 25 cm. ,Cuál es Ia corriente maxima que puede transportar el conductor?
Dos alambres delgados, largos y paralelos que están separados a una distancia de 15 cm transportan corrientes de 25 A en Ia misma dirección. Determine Ia fuerza del campo magnético en un punto que se encuentra a una distancia de 12.0 cm de un alambre y 5.0 cm del otro (figura 28-30).
(I) ,Cuái es Ia magnitud y dirección de Ia fuerza entre dos alambres paralelos cuya longitud es de 45 cm y están separados a una distancia de 6 cm, cada uno transporta una corriente de 35 A en Ia misma dirección?
(I) Un alambre recto y vertical que transporta (hacia arriba) una corriente de 22 A ejerce una fuerza de atracción por unidad de longitud igual a 8.8 x 10 N/rn sobre otro alambre pa-
ralelo que está a una distancia de 7.0 cm. Cuál es La magnitud y dirección de la corriente que fluye en el segundo alambre? En Ia figura 28-29, un alambre recto y largo transporta una corriente I que sale de Ia página y se dirige al lector. Indique con las flechas adecuadas Ia dirección de B en cada uno de los puntos C, D y E en el plano de Ia página.
FIGURA
28-30
Problema 7.
(II) Una brCijula horizontal se coloca a 20 cm del sur con respecto a un alambre recto y vertical que transporta una corriente de 40 A (que se dirige hacia abajo). ,En qué dirección apunta Ia aguja de Ia brOjula en esta ubicación? Suponga que La corn-
ponente horizontal del campo de La Tierra en este punto es
0.45 X 10 T y Ia declinación magnética es 00. (II) Un alambre largo y horizontal transporta una corriente de 22 A que se dirige a! forte. Cual es el campo magnético neto a 20.0 cm del oeste del alambre si el campo de Ia Tierra en ese punto apunta hacia abajo, a 40° por debajo de La horizontal, y
IC. I
tiene una magnitud de 5.0 X i0 T? (II) Un haz recto de protones pasa por un punto determinado en el espacio a una rapidez de 1.5 x iO protones/s. ,Cual será el campo magnético que se produce a una distancia de 2.0 m
E FIGURA
del haz?
28-29 Problema 5.
Se realiza un experimento que involucra a! campo magnético de laTierra a una distancia de 1.00 rn de un cable eléctrico. ,Cuál es Ia corriente maxima permisible en el cable si Ia exactitud del
experirnento es de t1 por ciento. 728
CAPITULO 28
(II) Determine el campo magnético en el punto medio entre dos alambres largos y rectos que estan separados por una distancia de 2.0 cm en términos de La corriente I en un alambre cuando el otro transporta una corriente de 15 A. Suponga que estas corrientes están (a) en Ia misma dirección y (b) en direcciones opuestas.
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Un par de alambres largos se utiliza para conducir una corriente de 25 A de cd hacia el interior y el exterior de un instrumento. Si ci diámetro de los alambres es despreciable y están separados por una distancia de 2.8 mm, j,cuál es el campo magnético a una distancia de 10.0 cm de su punto medio, en su piano (figura 28-31)? Compare el resultado con el campo magnetico de Ia Tierra.
(II) Repita el probtema 15 si el alambre en x = 0 transpQrta el doble de corriente (21) que el otro alambre, y esta corriente tiene sentido opuesto. (II) Dos alambres largos están orientados de tal forma que sean perpendiculares entre Si, y en eJ punto más cercano, están separados por una distancia de 20.0 cm (figura 28-34). ,Cuál es La magnitud del campo magnético en el punto medio entre los dos alambres si el alambre superior transporta una corriente de 20 A y ci inferior una corriente de 5.0 A?
10.0 cm
B=?
10.0cm
FIGURA 28-34
Problema 17.
10.0 cm C
Alambre inferior
(II) Dos alambres largos y paralelos que están separados por
2.8 mm FIGURA 28-3 1
una distancia de 7.0 cm transportan una corriente de 16.5 A que fluye en La misma direcciOn. Determine Ia fuerza del campo magnetico en ci punto P que está a una distancia de 12.0 cm de un alambre y 13.0 cm del otro. Véase Ia figura 28-35.
Problema 12.
(II) Una brOjula tipo compás apunta a 20° aL NE hacia ei exte-
rior. Sin embargo, cuando se coloca a 12.0 cm del este de un alambre vertical que se encuentra en el interior de un edificio, Ia aguja apunta a 55° NE. j,Cuál es Ia magnitud y direcciOn de Ia
corriente en el alambre? El campo magnético de La Tierra es 0.50 X 10 T en dirección horizontal.
(II) Una bobina rectangular de alambre se coloca cerca de
un alambre recto, como se muestra en Ia figura 28-32. En ambos alambres circula una corriente de 2.5 A. ,Cuál es Ia magnitud y direcciOn de Ia fuerza neta en La bobina?
-
12.0cm
13.0cm
2.5 A 2.5 A
FIGURA 28-35
3.0 cm
Problema 18.
I-
I
(III) Una cinta conductora muy larga y plana de anchura L y espesor despreciable descansa en el piano horizontal y transporta una corriente uniforme I a través de su secciOn transversal. (a) Demuestre que en Los puntos que se encuentran a una
5.0 cm
I
k
10.0cm
FIGURA 28-32
distancia y justo encima del centro de Ia cinta el campo está determinado por
.1
B=
Problema 14.
(II) Dos alambres Largos y paralelos están separados por una distancia d y transportan corrientes de igual magnitud I en La misma direcciOn. Un alambre se encuentra en x = 0, eL otro en x = d, figura 28-33. Determine B entre los alambres en funciOn de x.
FIGURA 28-33
Problemas 15 y 16.
u01
irL
tan
_1L
2y
suponiendo que Ia longitud de La cinta es infinita. [Sugerencia: divida Ia cinta en muchos "alambres" delgados y sume (integre) en Ia cinta.] (b) ,CuáL es el valor de B cuando y >> L? ,Esto tiene sentido? Explique. (III) Un electron se mueve en un piano que también contiene un alambre Largo y recto que transporta corriente. El electrOn forma un ángulo de 45° con respecto al alambre, y se desplaza a una velocidad de 3.4 x 106 m/s, cuando se mantiene a una distancia de 50 cm. El electrOn se aproxima un máximo de 1.0 cm anteS de ser repelido, pero siempre se mueve en el mismo pIano. j.Cuál es La corriente que circula en el alambre?
(I) Un solenoide que tiene una longitud de 40.0 cm y dimetro de 1.35 cm debe producir un campo de 0.385 mT en su centro. j.Cuánta corriente debe transportar el solenoide si tiene 1000 vueltas de alambre?
Problemas
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729
(II) Un alambre (en un piano) tiene La forma quc se indica en La figura 28-37, dos arcos de un cIrculo estén conectados por longitudes radiales dc alambre. Determine B en ci punto C en
(I) Un solenoide de 32 cm de longitud y 1.8 cm de diámetro debe producir un campo magnético de 0.30 T en su centro. Si la corriente maxima es 5.7 A. ,,Cuántas vueltas debe tener el solenoide?
términos de R1, R2, 0 y ia corriente I.
(1) Un alambre de cobre con diámetro de 2.5 mm transporta una corriente de 40 A. Determine el campo magnético: (a) en Ia superficie del alambre, (b) en el interior del alambre, a 0.50 mm por debajo de su superficie y (c) en el exterior del alambre, a 2.5 mm de su superficie?
(II) Un toroide (figura 28-14) tiene un diámetro interior de
50.0 cm y un diámetro exterior de 54.0 cm. Transporta una corriente de 25.0 A y tiene 500 vueltas. Determine el intervalo de valores de B en el interior del toroide. (II) Un alambre de cobre que mide 20.0 cm de largo y tiene un diámetro de 2.0 mm, incluyendo ci aisiamiento, se embobina fortnando una sola capa, las bobinas adyacentes se tocan unas
C
a otras, para formar un solenoide cuyo diámetro es 2.50 cm. ,Cuái es (a) Ia longitud del solenoide y (b) ci campo en ci
centro del solenoide cuando La corriente que circula en el alambre es 20.0 A? (II) (a) Utihce la ecuación 28-1 y Ia naturaleza vectorial de B para demostrar que las lIneas de campo magnético alrededor de dos alambres paralcios y Largos que transportan corricntcs iguales i = '2 son como se indica en Ia figura 28-8. (b) Dibuje las iIneas equipotenciales airededor de dos cargas positivas cstacio-
FIGURA 28-37
-
Problema 30.
(II) Un aniilo conductor de forma circular y radio R cstá conectado a dos aiambrcs rcctos y exteriores quc tcrniinan en ambos extremos dc un diámctro (figura 28-38). La corriente I se divide en dos partes desiguaies mientras pasa a través dci aniilo como sc indica. ,Cuál es ci valor de B en ci centro dci aniHo?
narias. (c) ,Los dos diagramas son simiiarcs? ,Son idénticos? tPor qué si o por qué no? (H) Un cable coaxial está formado por un conductor interno y
-
1 41
sóIido cuyo radio es R1, ci cual está rodeado por un tubo cilIndrico y concéntrico cuyo radio interior es R2 y radio exterior es R3 (figura 28-36). Los conductores transportan corrientes iguales y
opuestas I quc cstán distribuidas de mancra uniforme a través de sus secciones transversales. Determine ci campo magnético a una distancia R dci eje para: (a) R < R1; (b) R1 < R <
(c) R2 < R < R3; (d) R> R3.
FIGURA 28-38
Problema 31.
(II) Una bobina pequcna de alambre cuyo radio es 1.8 cm se coloca en ci centro dc una bobina de alambre de 25.0 cm. Los pianos de Las bobinas son perpcndicuiares entre si, y en cada uno fluyc una corriente de 7.0 A. Determine ci par quc ejerce FIGURA 28-36
Problemas 27 y 28.
(III) Suponga que Ia corriente en ci cable coaxial dci probiema 27, figura 28-36, no cstá distribuida de mancra uniforme, en vez de eso La densidad de corriente j varIa linealmente con Ia dis-
tancia desde ci centro: j = C1R para ci conductor interior y = C2R para ci conductor exterior. Cada conductor transporta la misma corriente total 1, en direcciones opuestas. Determine ci campo magnético en términos de 1 en las cuatro regiones
Ia bobina grande en Ia bobina pequcna, qué suposición dc simplificación tuvo que rcahzar? (II) Un alambre adquiere Ia forma de dos mitades de un cIrduio que cstán conectadas por secciones rectas de igual iongitud coma se indica en Ia figura 28-39. La corricnte I fluyc en sentido contrario al giro de Las manecillas dci rcioj en el circuito. Deter-
mine (a) ia rnagnitud y dirección dci campo magnético en ci
centro C, y (b) ci momento dipolar magnético dcl circuito.
j2
dcl espacio quc se indican en ci problema 27.
(I) El campo magnético de La Tierra es esencialmente ci de un dipolo magnético. Si ci campo cerca dcl Polo Norte es aproximadamente 1.0 X 10 T, ,cuá1 será ci campo (aproximado) a 13,000 km por encima de La superficic dci Polo Norte? 130
CAPITULO 28
Fuentes de campo magnético
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FIGURA 28-39
Problema 33.
(II) Utilice Ia ley de BiotSavart para demostrar que el campo magnético B que genera una sola carga puntual q que se mueve a una velocidad v en un punto P cuyo vector de posición con relaciOn a Ia carga es r (figura 28-40), está determinado por B
qv X r
i.t0
- 4ir
(II) Un segmento de alambre cuya longitud es I transporta una corriente I como se indica en Ia figura 28-43. (a) Demuestre que para los puntos que se encuentran a lo largo del eje x positivo (el eje del alambre), como es el punto Q, Ia magnitud del camp0 B es cero. (b) Determine una formula para el campo en los puntos que se localizan a lo largo del eje y, como el punto P.
r3
y
(Suponga que v es mucho menor que Ia velocidad de la luz.)
-
p
I
p
x Q
FIGURA 28-43
Problema 37.
V
FIGURA 28-40
Problema
34.
(U) Un disco circular y no conductor, de radio R, transporta
una carga eléctrica Q que está distribuida de manera uniforme. El plato comienza a girar a una velocidad angular w alrededor de un eje que es perpendicular al disco y se localiza en su centro (figura 28-41). Determine (a) su momento dipolar magnético y (b) el campo magnético en los puntos que se encuentran en su eje a una distancia x de su centro; (c) j,la ecuaciOn 28-7b se aplica en este caso cuando x >> R?
Problema
P
I FIGURA 28-44
Problema 38.
(II) Un alambre se dobla formando un polIgono regular que tiene n lados, cuyos vertices se encuentran a una distancia R del centro. (Véase Ia figura 28-45, Ia cual muestra el caso especial para n = 6.) Si el alambre transporta una corriente jo' (a) determine el campo magnético en el centro; (b) si se permite que n sea oo), demuestre que Ia fOrmula de la parte (a) muy grande (n se reduce a La fOrmula para una bobina circular (ejemplo 28-10).
x
FIGURA 28-41
(II) Utilice el resultado del problema 37 para calcular el campo magnético en el punto P de La figura 28-44 debido a la corriente que circula en la bobina cuadrada.
35.
(II) Considere una secciOn recta de alambre cuya longitud es 1,
como se indica en Ia figura 28-42, la cual transporta una corriente I. (a) Demuestre que el campo magnético en el punto P a una distancia R del alambre a lo largo de su bisector perpendicular es
FIGURA 28-45
B=
Problema 39.
/h0' 2irR (2 + 4R2)
(b) Demuestre que esto es consistente con el ejemplo 28-9 para un alambre infinito.
21 R
(III) Comience con el resultado del ejemplo 28-10 para el campo magnético a lo largo del eje de una sola bobina para obtener el campo en el interior de un solenoide muy largo (ecuaciOn 28-4). (III) Una sola bobina rectangular de alambre, cuyos lados son a y b, transporta una corriente I. El origen del sistema de coordenadas xy se coloca en Ia esquina inferior izquierda del rectOngulo, el eje x es paralelo al lado b (figura 28-46). Determine el campo magnetico B en todos los puntos (x, y) que se localizan en el interior de Ia bobina. y
.P I 1
2
"VI
10 FIGURA 28-42
Problema
36.
I
b
It]
x
FIGURA 28-46
Problema 41.
Problemas
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731
(III) Una bobina cuadrada de alambre, cuyo lado es 1, transporta una corriente I. (a) Determine el campo magnético B en los puntos de una Ilnea que es perpendicular ai piano del cuadrado, Ia cual pasa a través del centro del mismo, figura 28-47. Exprese B en funciOn de x, que es Ia distancia a lo largo de Ia !Inea que parte del centro del cuadrado. (b) Para x >> 1, el cuadrado pa-
rece ser un dipolo magnético? En caso afirmativo, ,cuil es el momento dipolar?
I
(I) A continuaciOn se presentan varios valores de B una pieza de hierro conforme esta se magnetiza:
y
B0 para
B0(104T)
0
0.13
0.25
0.50
0.63
0.78
1.0
B(T1
0
0.0042
0.010
0.028
0.043
0.095
0.45
0.67
B0(104T)
1.9
2.5
6.3
13.0
130
1,300
10,000
B(T)
1.01
1.18
1.44
1.58
1.72
2.26
3.15
1.3
I
x FIGURA 28-47
Problema 42.
(II) Un átomo de hierro tiene un momento dipolar magnético de 1.8 X 1023 A.m2. (a) Determine el momento dipolar de una barra de hierro que tiene 12 cm de longitud, 1.2 cm de ancho y 1.2 cm de espesor si está saturada al 100 por ciento. (b) ,Que par se ejercerá sobre esta barra cuando se coloca en un campo de 1.2 T que actila en angulos rectos con relación a Ia barra?
Determine Ia permeabilidad magnética j para cada valor y realice una gráfica de j contra B0. Un toroide grande y delgado tiene 400 vueltas de alambre por metro y por el alambre fluye una corriente de 20 A. Si Ia permeabilidad relativa del hierro es 3000, ,cuál es el campo total B en el interior del toroide? Un solenoide con nOcleo de hierro tiene 38 cm de longitud, 1.8cm de diámetro y 600 vueltas de alambre. Cuando circula una corriente de 48 A por el alambre Se produce un campo magnético de 2.2 T. ,CuáI es Ia permeabilidad j. con esta magnitud del campo?
Problemas generales Tres alambres largos y paraielos están a una distancia de 38.0 cm entre si. (Al mirar entre ellos, se observa que forman las tres esquinas de un triángulo equiiátero.) La corriente en cada alambre
es 8.00 A, pero Ia dirección de Ia corriente del alambre M se opone a la de los alambres N y P, figura 28-48. Determine Ia fuerza magnética por unidad de longitud en cada alambre debi-
Una vuelta rectangular de alambre transporta una corriente de 2.0 A y descansa en un piano que también contiene un alambre muy recto que transporta una corriente de 10.0 A como se mdica en Ia figura 28-49. Determine (a) Ia fuerza neta y (b) el par neto en Ia bobina debido al alambre recto.
do a los dos restantes.
Hiocm-
2.OA
2.0A
I-
'I
12cm
FIGURA 28-49
FIGURA 28-48
Problemas 47 y 48.
En Ia figura 28-48 el alambre superior es de cobre y tiene un diá-
metro de 2.0 mm y se suspende en el aire debido a las fuerzas magnéticas que producen los alambres inferiores. La corriente que circula en los dos alambres inferiores es 20.0 A. Caicule el flujo de corriente que se requiere en el alambre que estd sus-
26 m
Problema 50.
Una hoja conductora y muy larga cuyo espesor es t transporta una densidad de corriente uniforme j a través de su secciOn transversal (figura 28-50). Determine el campo magnético (magnitud y direcciOn) a una distancia y por encima del piano. (Suponga que el piano tiene una longitud y anchura infinitas.)
pendido. Un electron entra a un solenoide largo con un ángulo de 70 con
respecto a! eje. Si el campo de 3.3 X 10 T es uniforme, determine el radio y el paso (distancia entre las vueltas) de Ia trayectoria helicoidal del electron si su velocidad es 1.3 X i07 m/s. 732
CAPITULO 28
Fuentes de campo magnético
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FIGURA 28-50
Probiema 51.
Un alambre largo y horizontal transporta una corriente de 48 A. Otro alambre de cobre que tiene un diámetro de 2.5 mm es paralelo al primero pero está situado a 15 cm por debajo del primero, y se mantiene suspendido debido al campo magnético (figura 28-51). (a) ,,Cuál es Ia magnitud y dirección de Ia corrjente en el alambre inferior? (b) El alambre inferior se encuentra en equilibrio estable? (c) Repita los incisos (a) y (b) si el Segundo alambre se suspende 15 cm encima del primer alambre debido al campo magnético del primero.
-
1= 48 A 15 cm
1=?
Un aeroplano de juguete de 175 g que tiene una carga de 18.0 mC
y viaja a 2.8 m/s pasa a una distancia de 8.6 cm de un alambre, casi paralelo a su trayectoria, el cual transporta una corriente de 30 A. ,Qué aceleraciOn (en g) proporciona esta interacción al aeroplano? Suponga que un electroimán utiliza una bobina cuyo diámetro es 2.0 m (Ia cual está hecha de alambre de cobre cuyo lado mide 2.0 mm). La fuente de energIa proporciona 50 V a una potencia maxima de salida de 1.0 kW. (a) Cuántas vueltas se necesitan para que Ia fuente de poder opere a su capacidad maxima? (b) ,,Cuál es Ia fuerza del campo magnético en el centro de Ia bobina? (c) Si utiliza una mayor cantidad de vueltas y Ia misma fuente de energIa, ,se generará un campo con mayor fuerza? Explique.
FIGURA 28-51
Cuatro alambres paralelos y largos se localizan en las esquinas de un cuadrado cuyo lado es 1, y transportan corrientes iguales
Problema 52.
Se tiene 1.0 kg de cobre y se desea fabricar un solenoide que produzca el mayor campo magnético posible. Considere las variables de diámetro del solenoide, su longitud y demás para determinar si deber utilizar un alambre de cobre largo y delgado
10 que son perpendiculares a Ia página como se indica en Ia figura 28-53. Determine Ia magnitud y direcciOn de B en el centro del cuadrado.
U otro corto y grueso. Para dos alambres largos y paralelos que están separados a una distancia L, los cuales transportan corrientes I e '2 como se indica en Ia figura 28-8, demuestre que para Ia trayectoria circu-
/
r
lar de radio r(r < L) que está centrada en I
51B.dl = de acuerdo a Ia ley de Ampere. (Pero no utilice La ley de Ampere.) Cerca de los polos de Ia Tierra el campo magnético es de 1 G (1 x 10 T). Imagine un modelo simple en el que el campo de Ia Tierra es prod ucido por una sola bobina de corriente airededor del ecuador. LCuál será Ia corriente que transporta esta bobina? Una bobina cuadrada de alambre, cuyo lado es L, transporta una corriente I. Demuestre que el campo magnético en el ceotro de Ia bobina es B
2\/ji0l irL
[Sugerencia: Determine B para cada segmento de longitud L.]
En el problema 56, si se modifica la forma de Ia bobina para que sea un cIrculo, tB aumentará o disminuirá en el centro?
S®
C
C
1
FIGURA 28-53
Problema 61.
Determine el campo magnético en el punto P que produce un alambre largo que tiene un doblez en forma cuadrada como se indica en Ia figura 28-54. El punto P está a Ia mitad del camino entre las dos esquinas. [Sugerencia: puede utilizar el resultado de los problemas 36 y 37.]
F-a -H
Explique. Dos bobinas grandes de alambre, cada una tiene N vueltas que transportan una corriente I y están separadas a una distancia igual al radio R de las bobinas, se conocen como bobina.s Helmholtz (véase Ia figura 28-52). (a) Determine B en los puntos x a lo largo de Ia lInea que une a sus centros. Sea x = 0 en el centro de una bobina,x = R en el centro de Ia otra. (b) Realice un gráfica de B contra x desde x = 0 hasta x = R. (c) Determine B en el eje en el punto medio entre las bobinas (x = R/2) si R = 20.0 cm, I = 35 A, y cada bobina tiene N = 350 vueltas. (d) Demuestre que el
S
P
FIGURA 28-54
Problema 62.
campo en el punto medio ernie las bobinas es particularmente
uniforme al demostrar que cuando Ia separación entre las bobinas es R, entonces dB/dx = 0 y d2B/dx2 = 0 en el punto medio.
Suponga que se desea tener una idea del campo magnético que producen Las lIneas de transmisión de energIa eléctrica. Usted calcula que los dos alambres que se colocan a 30 m por encima del nivel del suelo están separados por una distancia de 3 m. Una Ilamada a La conipaflIa local que produce energIa proporciona La información siguiente: las lIneas operan a 10 kV y proporcionan un máximo de 40 MW a La población local. Calcule el valor máximo del campo magnético que puede experimentar cuando camina debajo de estas Ilneas de transmisión de energfa, y compare el resultado con el campo de Ia Tierra. Cabe in-
dicar que si la corriente es Ca, el campo magnético también cambiará. FIGURA 28-52
Problema 58.
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Problemas generales
733
Una de las leyes más importantes de Ia fIsica es la ley de inducción de Faraday, Ia cual indica que un campo magnético cambiante produce una fern inducida. La foto muestra un irnán tipo barra que se mueve en el interior de una bobina, y el galvanómetro registra una corriente inducida. Este fenOmerio de inducción electromagnética es la base de muchos dispositivos, desde generadores, alternadores, transformadores, grabadoras de cinta y lectura de las memorias de las computadoras.
S
Inducción electromagnética y ley de Faraday el capItulo 27 se analizaron dos formas en las que se relacionan la electricidad y el magnetismo: (1) Ia corriente eléctrica produce un campo magnético, y (2) eI campo magnético ejerce una fuerza en Ia corriente eléctrica o carga eléctrica que está en movimiento. Estos descubrimientos se realizaron en 1820-1821. En ese entonces los cientIficos empezaron a preguntarse: silas corrientes eléctricas producen un campo magnético, será posible que un campo magnético pueda producir una corriente eléctrica? Diez años después el norteamericano Joseph Henry (1797-1878) y el inglés Michael Faraday (1791-1867) descubrieron en forma independiente que esto era posible. Pero Faraday publicó sus resultados primero e investigO el asunto con más detalle. Ahora analizarernos este fenOmeno y algunas de sus aplicaciones en este mundo moy cambiante, como es el generador eléctrico. dem
En
FEM inducida En su intento por producir una corriente eléctrica a partir de un campo magnetico, Faraday utilizO un aparato similar al que se indica en la figura 29-1. Una bobina de alambre, X, se conectaba a una baterIa. La corriente que flula por X producla un campo magnetico que era intensificado por el nücleo de hierro. Faraday esperaba que al utilizar una baterfa con la energIa suficiente, Ia corriente estable que circulaba en X generara un campo magnético considerable, lo cual a su vez producirIa corriente en una segunda bobina Y. Este segundo circuito, Y, está conectado a un galvanometro para detectar cualquier corriente, pero no tiene ninguna baterIa. Faraday no tuvo ningün éxito con 734
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FIGURA 29-1 Experirnento de Faraday para inducir una fern.
corrientes estables. Pero el efecto a largo plazo se observO finalmente cuando Faraday notó que Ia aguja del galvanOrnetro (en ci circuito Y) se desplazaba con fuerza cuando cerraba el interruptor en ci circuito X. Además Ia aguja del galvanómetro se despiazaba en dirección opuesta cuando abrIa el interruptor. Una corriente estable en X no producIa ninguna corriente en Y. Solamente cuando la corriente en X cornenzaba a fluir o se detenIa se producla una corriente en Y. Faraday conciuyó que un carnpo magnetico estabie no produce corriente, pero un campo magnético variable si puede producir corriente eléctrica. Esta corriente se conoce corno corriente inducida. Cuando cambia ci campo magnético en Ia bobina Y, fluye una corriente corno i ahI existiera una fuente de fern. En consecuencia se puede decir que una fern inducida se produce debido a un campo rnagnético cambiante. Faraday realizO rns experirnentos relacionados con Ia inducción eiectromagnétiCa, asI es corno se conoce este fenórneno. Por ejernpio, Ia figura 29-2 muestra lo siguiente: si se introduce con rapidez un imán en ci interior de una bobina de aiarnbre, se induce corriente en ci aiarnbre. Si ci irnán se quita rápidarnente entonces se induce una corriente que tiene sentido opuesto. Aün más, si se rnantiene fijo ci irnn y Ia bobina de alambre se acerca o se aieja del irnán, o se gira Ia bobina, de nuevo se induce una fern y fluye corriente. Se requiere rnovimiento o carnbio de Ia posiciOn para generar
una fern. No importa si se mueve ci irnán o Ia bobina, lo que irnporta es ci movimiento relativo.
29-2 (a) Una corriente se induce cuando ci imán se mueve hacia Ia bobina. (b) La corriente inducida es opuesta cuando ci irnán se mueve para aiejarlo de Ia bobina. Observe que ci cero dci gaivanometro esta en ci centro de Ia escaia y La aguja se despiaza hacia Ia izquierda o Ia derecha, dependiendo de Ia direcciOn de la corriente. En (c) no se induce corriente Si ci imán no se mueve con reiaciOn a La bobina. Lo que importa es el movimiento relativo. El imán pucde mantenerse fijo y se puede mover Ia bobina, esto inducirá tarnbién una fern. FIGURA
0
I
-
/
/ Elimánse
mueve hacia bobina.
(a)
Sin movimiento
I iEiimán
arribaenia
-
(b)
se mueve hacia abajo
(c)
SECCION 29-1
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FEM inducida
135
Ley de inducción de Faraday; ley de Lenz
B11
0 B1
'
'
I
-
= B1A = BA cos0 = B A.
Al2
Determinación del flujo a través de una bobina de alambre piano. Esta bobina es cuadrada, su lado mide I y su area es FIGURA 29-3
A=
Faraday investigO en forma cuantitativa qué factores influIan en Ia magnitud de Ia fern inducida. Antes que nada descubriO que a mayor rapidez de cambio del Ilujo magnético, Ia fern inducida es mayor. Pero Ia fern no es meramente proporcional a Ia rapidez de cambio del Ilujo magnético B. En vez de eso Ia fern es proporcional a la rapidez de cambio del flujo niagnético 1B que circula a través del circuito o bobina cuya area es A. El flujo magnético de un campo magnético uniforme se define corno
12.
El flujo magnético (I es proporcional a la cantidad de Ilneas de B que atraviesan Ia bobina. FIGURA 29-4
B
III
0=900
0=45°
0=0°
(a)
(b)
(c)
[B uniforme]
(29la)
De ahI que B1es la componente del campo magnético B que es perpendicular a Ia Cara de la bobina, y 0 es el angulo entre B y el vector A (que representa el drea) cuya direcciOn es perpendicular a Ia cara de Ia bobina. Estas cantidades se muestran en la figura 29-3 para una bobina cuadrada de lado / y area A = 2 Si el area tiene otra forma, o B no es uniforme, el flujo magnético se puede indicar comot
= JB dA.
(29lb)
Como ya se vio anteriormente, las lIneas de B (al igual que Las lineas de E) se pueden dibujar de tal forma que La cantidad de lIneas por unidad de area sea proporcional a Ia fuerza del carnpo. Entonces el flujo D, se puede pensar como si fuera proporcional a Ia cantidad total de /Ineas que pasan a través de Ia bobina. Lo anterior se muestra en Ia figura 29-4, donde Ia bobina es vista desde un lado (en el borde). Para 0 = 90°, no hay lIneas que atraviesen Ia bobina y i?B = 0, en tanto que ?8 es máximo cuando 0 = 0. La unidad de flujo magnético es el teslametro2 o weber: 1 Wb = 1Tm2. Con esta definición del flujo, ahora se pueden indicar los resultados de las investigaciones de Faraday: la fern inducida en un circuito es igual a La rapidez de cambio del flujo magnético que pasa a través del circuito:
dB dt
(29-2a)
Este resultado fundamental se conoce como ley de inducción de Faraday y es una de las leyes basicas del electromagnetismo. Si el circuito contiene N vueltas (que están embobinadas una cerca de Ia otra) las ferns que se inducen en cada una se surnan, en consecuencia
= N dB dt
(29-2b)
El signo rnenos en la ecuación 29-2 se coloca para indicar en qué dirección actüa La fern inducida. Los experirnentos han demostrado que:
Una fern inducida produce una corriente cuyo campo magnético se opone al carnbio original en el flujo. Esta se conoce corno ley de Lenz. Dicho de otra forrna, esta ley es válida aim cuando la corriente no puede fluir (como sucede cuando el circuito no estim completo):
La fern inducida siempre tiene una dirección que se opone al carnbio original en el flujo que Ia produjo. Ahora se va a aplicar la ley de Lenz al caso de rnovimiento relativo entre un irnán y una bobina, figura 29-2. El flujo cambiante a través de Ia bobina induce una fern, que a su vez produce una corriente en Ia bobina. Esta corriente inducida produce su propio carnpo
tLa integral se realiza sobre una superficie abierta, es decir, una superficie que está delimitada por una curva cerrada como un cIrculo o por un cuadrado. En este análisis el area está envuella por Ia bobina. El area no es una superficie cerrada como Ia que se utilizó en Ia Icy de Gauss del capitulo 22.
136
CAPTULO 29
InducciOn electromagnética y ley de Faraday
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magnético. En Ia figura 29-2a se observa que Ia distancia entre Ia bobina y el imán disminuye. El campo magnético (y Ia cantidad de ilneas de campo), y en consecuencia ci flujo,
a través de la bobina aumenta. El campo magnético del imàn apunta hacia fuera. Para oponerse a este aurnento, ci campo en ci interior de Ia bobina que produce Ia corriente inducida apunta hacia abajo. En consecuencia Ia Fey de Lenz indica que Ia corriente se mueve como se indica (utilice Ia regla de Ia mano derecha). En Ia figura 29-2b, el flujo disminuye (porque el imàn se aleja), en consecuencia Ia corriente inducida produce un campo magnético que se dirige hacia arriba en el interior de Ia bobina, este camp0 "trata" de mantener el estado de las cosas. La corriente es como se indica. Ahora se va a considerar qué sucederIa si Ia ley de Lenz no fuese cierta, pero fuera válida a Ia inversa. La corriente inducida en esta situaciOn imaginaria producirá un flujo que tiene Ia misma dirección que el cambio original. Este gran cambio en el flujo producirá una corriente aün mayor seguida de un cambio todavIa mayor en el flujo, y asI sucesivarnente. La corriente seguirá aumentando en forma indefinida, to que producirá una potencia (= 12R) aun después que hubiera terminado ci estImulo inicial. Lo anterior es una violaciOn a Ia conservaciOn de là energIa. Estos "dispositivos de movimiento perpetuo" no existen. En consecuencia Ia Fey de Lenz (corno se indicO Ia prirnera vez, no en este ejemplo) es consistente con Ia ley de conservación de Ia energIa.
xxxxxxxxxx XXX XXX X X 4c
xxxxxxxxxx )< x x )c X X X '<
'C
)(
x x x x -de44
Elfiujo EE
XXx
B
xxxx
<
a través de La bobina disminuye
(hacia adentro)
XXXXXXXXXX
XxxXXXXxXx
29-5 Una corriente se puede inducir a] modificar el area de Ia bobina. En este caso y en La figura 29-6 el flujo que pasa a través de Ia bobina se reduce. En este ejemplo Ia corriente inducida actàa en Ia dirección que se indica para tratar de mantener ci flujo original (I = BA) al producir su propio campo magnético hacia Ia página. En otras palabras, como ci area A disminuye Ia corriente actiia para aumentar B en Ia direcciOn original (hacia adentro). FIGURA
Flujo rnáxirno
rr
XXXXXxXXXX xxXx xx X:-:(>;:r x X
XX,,.
X X X .'C X X X
><
x
a
FIGURA
29-6 Se puede inducir
una corriente at girar Ia bobina en un campo magnético.
NX
disrninuye
xxxxxkXX
XXXX
xxXXX)eXX
EIflujo' )(
.
(hacia adentro)
x
X
e
)<
x/\cxx
)<
x
x; ,. xx:'xxx x:
B
'X "C )<
>'
x::Txxxx.1. I x x :: X
xxxxxxxxxx
>' 'xx .;;;-_.
x )<
XX1;
xxxxxxx xxx
xXxx: x xx
-
x x
'< X XXX
Es importante indicar que siempre que exista un cambio en el flujo se inducirá una fern. Corno ci flujo magnético es = fB.dA = J'Bcose dA, se observa que Ia fern se puede inducir en tres formas: (1) por un campo magnético variable, (2) por un carnbio en ci area A de Ia bobina en ci carnpo, (3) por un cambio en Ia orientaciOn de la bobina 0 con respecto at campo. Las figuras 29-1 y 29-2 muestran el caso 1. Los ejemplos de los casos 2 y 3 se indican en las figuras 29-5 y 29-6 respectivamente.
Fiujo cero SECCION 29-2
Ley de inducciOn de Faraday; ley de Lenz
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737
FIGURA 29-7
(c) Se jala la bobina hacia la derecha, fuera del campo magnético que apunta hacia el exterior de la página.
(b)
(a) El polo magnético N se mueve hacia la bobina en ei interior de la página.
El polo magnético N se mueve hacia la bobina en el piano de la pagina.
(e)
(d) La bobina se encoge en un campo magnético que apunta hacia Ia página.
La bobina gira sobre el diánietro vertical, su lado izquierdo se dirige hacia el lector y el lado derecho Se aleja del lector, en un campo magnético que apunta de derecha a izquierda en el plano de la página.
Ejemplo 29-1.
C" "'TUAL 29-1 Práctica con Ia ley de Lenz. 1,En qué dirección inducirá corriente en la bobina para cada situación de Ia figura 29-7? RESPUESTA (a) Las lIneas de campo magnético apuntan hacia el exterior del polo N del irnán, en consecuencia, conforme el irnn se mueve hacia la bobina el campo apunta hacia La página y se hace rnás fuerte. La corriente se inducirá en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj para producir un campo B fuera de La página para que su propio flujo contrarreste el cambio externo. El campo está en el plano de la página, en consecuencia el flujo que pasa a través de la bobina es cero durante todo el proceso; de ahI que no hay carnbio en el flujo rnagnético con respecto al tiempo y en consecuencia no existirá fern o corriente inducida en Ia bobina. En un principio el campo magnetico que apunta hacia el exterior de la pagina pasa a través de la bobina. Si se saca a Ia bobina fuera del campo, Ia corriente inducida estará en una dirección para hacer la deficiencia: el flujo de corriente será en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj para producir un campo magnético hacia el exterior (hacia el lector). El flujo se dirige hacia la página y el area de la bobina se encoge para que el flujo disrninuya; de ahI que la corriente inducida fluye en el sentido del giro de las manecillas del reloj para tratar de producir su propio flujo en Ia página y hacer que el flujo
disminuya.
En un principio no existe flujo a través de la bobina (,por que?). Cuando comienza a girar Ia bobina, el flujo comienza a pasar a través de la bobina y se incrementa hacia el lado izquierdo. Para contrarrestar esto, Ia bobina debe tener una corriente inducida en una direcciOn contraria al giro de las manecillas del reloj para producir su propio flujo hacia la derecha. B =0.600T x x
B=0
--F
ex
k 5.00 cmH Ejemplo 29-2. La bobina cuadrada en un campo magnético B = 0.600T se empuja en forma repentina hacia Ia derecha a una region donde B = 0. FIGURA 29-8
Jalar una bobina de un campo magnético. Una bobina cuadrada de alambre que rnide 5.00 cm de lado contiene 1000 vueltas y se coloca en forma perpendicular a una carnpo magnético uniforme de 0.600 T, como se indica en Ia figura 29-8. La bobina se saca en forrna rápida y uniforme del campo (se mueve en forma perpendicular a B) hacia una region donde B disrninuye abruptarnente hasta cero. En t = 0, el borde derecho de la bobina se encuentra en La esquina del campo. Se necesitan 0.100 s para que toda la bobina alcance La region del campo libre. Calcule (a) la rapidez de cambio del flujo a través de la bobina, (b) Ia fern y Ia corriente inducida, y (c) la energIa que se disipa en Ia bobina si su resistencia es 100 fl. (d) Cuál es Ia fuerza promedio que se requiere? SOLUCION (a) Primero se calcula el cambio en el flujo magnetico durante el intervalo de tiempo t = 0.100 s. El area de la bobina es A = (5.00 X 102m)2 = 2.50 X 103m2. En un pnncipio el flujo es I = BA = (0.600T)(2.50 X 103m) = 1.50 x i0 Wb. Después de 0.100 s, eL flujo es cero. La rapidez de cambio en el flujo es constante (porque la bobina es cuadrada) e igual a
0 - 1.50x103Wb = -1.50
X
102Wb/s.
(b) La fern inducida (ecuaciOn 29-2) durante este periodo es 738
CAPITULO 29
= -N dI8 = -(100)(-1.50 X 10Wb/s) = 1.50 V. www.FreeLibros.me
La corriente es
1.50V
=
= 100 fl
= 15.0 mA,
y por la ley de Lenz Ia corriente debe tener el sentido del giro de las manecillas del reloj para oponerse al flujo que disrninuye en Ia página. La energIa total que se disipa es
E = Pt = I2Rt = (1.50 x 10_2A)2(looc)(o.loos) = 2.25 x 10-3J. Ahora se puede calcular Ia fuerza directamente utilizando F = Ii X B, que es Ia ecuaciOn 27-3 cuando B es constante. La fuerza que ejerce el campo magnético en las secciones superior e inferior de Ia bobina cuadrada de la figura 29-8 tiene sentidos opuestos y se cancela. La fuerza magnética FM que se ejerce en Ia secciOn vertical izquierda de Ia bobina cuadrada actüa a Ia izquierda como se indica porque Ia corriente se dirige hacia arriba (en el sentido del giro de las manecillas del reloj). El lado derecho de Ia bobina está en Ia regiOn donde B = 0. De ahI que Ia fuerza externa que se necesita (hacia la derecha) tiene una magnitud Fext = NI/B = (100)(0.0150A)(0.0500m)(0.600T) = 0.0450N, ya que existen N = 100 bobinas que transportan corriente. También se puede calcular Ia fuerza promedio utilizando el resultado de La parte (c): de Ia conservaciOn de Ia energIa se tiene que la energia disipada E es igual al trabajo
W que se necesita para jalar a Ia bobina fuera del campo. Como W = Fd donde
d = 5.00 cm, entonces
F
w d
2.25 x 10-3J = 0.0450N 5.00 X 102m
que es el mismo resultado, como era de esperarse.
FEM inducida en un conductor móvil La figura 29-9 muestra otra forma de inducir una fern, y esta situación ayuda a cornprender la naturaleza de la fern inducida. Suponga que un campo magnético uniforme B es perpendicular al area que lirnita un conductor que tiene forma de U y Ia barra rnOvil que descansa en el conductor. Si Ia barra se puede mover a una velocidad v, viajará una distancia dx = v dt en un tiempo dl. Por tanto, el area de Ia bobina aumenta cierta cantidad que es dA = ldx = lv dl en un tiempo dt. De acuerdo a Ia ley de Faraday, existirá una fem inducida cuya magnitud es
dIB
BdA
Blvdt
= Blv.
(29-3)
= dt = dt = dl Esta ecuaciOn es válida siempre que B, 1, y v sean mutuamente perpendiculares. (En caso contrario solamente se utilizan las componerites de cada una que son perpendiculares entre sI.) La fern que se induce en un conductor que se mueve en un campo magnético se conoce como fern de movimiento. También se puede obtener la ecuación 29-3 sin usar Ia ley de Faraday. En el capItub 27 se vio que una partIcula con carga que se mueve en forma perpendicular a un campo rnagnético B a una velocidad v experimenta una fuerza F = qv x B. Cuando Ia barra de Ia figura 29-9a se mueve a Ia derecha con una velocidad v, los electrones de Ia
barra se mueven a esta misma velocidad. En consecuencia, como v J B, cada electrOn experirnenta una fuerza F = qvB, Ia cual actOa hacia arriba como se indica en Ia figura 29-9b. Si Ia barra no estuviera en contacto con el conductor que tiene forma de U, los electrones libres se agruparlan en el extremo superior de Ia barra, dejando al otro extremo con carga positiva. En consecuencia también se inducirfa una fern. Si Ia barra se desliza en el conductor que tiene forma de U, los electrones fluirán en Ia barra. Entorices existirá una corriente (convencional) que fluira en el sentido del giro de las manecillas del reloj en Ia bobma. Para calcular Ia fern, se deterrnina el trabajo W que se necesita para mover una carga q desde un extremo de la barra al otro en contra de esta diferencia de potencial: W = fuerza X distancia = (qvB)(1). La fern es igual al trabajo realizado por unidad de carga, entonces = W/q = qvBl/q = Blv, como se indicO arriba.t Este argurnento, que es básicamente el mismo que para el efecto Hall (secciOn 27-8), explica esta forma de inducir una fern. No explica el caso general de inducciOn electromagnética.
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29-9 (a) Una barra conductora se mueve a Ia derecha en un conductor que tiene forma de U, en un campo magnetico uniforme B que apunta hacia el exterior de Ia página. (b) Se observa Ia barra solamente, se indica Ia fuerza en un electrOn. FIGURA
00000-0 / 0000 j0
000090 0 00 B (hacia fuera)
(a)
000 000 000 000
-t-4--LA
0_H® -
0
vdt
I
rL
oofl (b)
SECCON 29-3
739
La fern produce un campo eléctrico E en Ia barra, el cual hace que los electrones se muevan a lo largo (como en Ia secciOn 25-8). Suponiendo que E es uniforme en Ia barra, entonces E = /I = By.
LUn avión que se mueve desarrolla una fern considerable? Un aeroplano viaja a 1000 km/h en una region donde el campo magnético de la Tierra es 5.0 x iO T y es casi vertical (figura 29-10). i,Cuál es la diferencia de potencial que se induce entre las puntas de las alas que están separadas por una distancia de 70 m? SOLUCION
Como v = 1000 km/h = 280 m/s, y v I B, se tiene que
= BIv = (5.0 x 105T)(70m)(280m/s) = 1.0 V. No hay que preocuparse. FIGLIRA 29-10
Ejemplo 29-3.
Fuerza en Ia barra. Para hacer que Ia barra de la figura 29-9a se mueva a La cierecna con una velocidad v, se debe aplicar una fuerza. (a) Explique y determine La magnitud de Ia fuerza requerida. (b) j,Qué potencia externa se necesita para mover Ia barra? SOLUCION (a) Cuando Ia barra se mueve a la derecha, La corriente fluye hacia abajo en Ia barra, como ya se analizO. Esto se puede ver de Ia ley de Lenz: el flujo magnetico que se dirige hacia arriba a través de Ia bobina aumenta, en consecuencia La corriente inducida deberá oponerse a este aumento. En consecuencia Ia corriente fluye en el sentido del giro de las manecillas del reloj para producir un campo magnético en la página (regla de Ia mano derecha). La fuerza en Ia barra mOvil es F = II >< B cuando B es constante (ecuación 27-3). La regla de Ia mano derecha indica que esta fuerza se dirige a Ia izquierda, y en consecuencia es una "fuerza de arrastre" que se opone al esfuerzo de mover Ia barra a La derecha. La magnitud de Ia fuerza externa, que se dirige a La derecha, debe ser F = JIB, donde Ia
corriente es J = C/R = BIv/R. La resistencia R es Ia resistencia de todo el circuito, Ia barra y el conductor en forma de U. La fuerza F que se requiere para mover la barra es
F = JIB
B212
P=Fv=
B212v2
= R Si B, I y R son constantes, entonces se produce una velocidad constante v debido a Ia acciOn de una fuerza constante. El hecho de que R sea constante implica que toda Ia resistencia está en la barra no asI en el conductor que tiene forma de U. (b) La potencia externa que se necesita para mover Ia barra cuando R es constante es R
La potencia que se disipa en La resistencia es P = 12R. Pero I = /R = BIv/R,
P = J2
=
B212v2
R en consecuencia La potencia de entrada es igual a Ia potencia que se disipa en Ia resistencia en cualquier momento.
Generadores eléctricos FIGURA 29-11
Un generador de Ca.
El eje gira mecánicamente
, Anillos
-' colectores
Escobillas
740
CAP1TULO 29
Probablemente el resultado práctico más importante del gran descubrimiento de Faraday fue el desarrollo del generador eléctrico o dInamo. Un generador convierte Ia energia mecánica a energIa eléctrica. Esto es lo contrario a lo que hace un motor. Básicamente, un generador es lo inverso de un motor. La figura 29-11 muestra el diagrama simplificado de un generador de Ca. Un generador está integrado por muchas vueltas de alambre (en Ia figura solamente se muestra una) que se embobinan en una armadura que puede girar en un campo magnético. El eje se hace girar en forma mecánica (debido a Ia acciOn de una caida de agua, una banda que se conecta a un motor), y se induce una fern en Ia bobina giratoria. En consecuencia La salida del generador es una corriente eléctriCa. En Ia figura 29-11, Ia ecuaciOn F = qv >< B indica lo siguiente: cuando La armadura gira en sentido contrario al de las manecillas del reLoj, la corriente (convencional) en el alambre identificado como A se dirige hacia fuera, en consecuencia La corriente sale de Ia escobilla A, como se indica. (Cada escobilla ejerce presión sobre un anillo colector continuo.) Después de media revoluciOn, el alambre A se encontrará en el lugar donde ahora está el alambre C en el dibujo, y La corriente en la escobiLla A se dirigirá hacia adentro. En consecuencia la corriente que se produce es alterna. A continuaciOn se va a analizar lo anterior con más detalle.
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Supongase que [a bobina está hecha para que gire en un campo magnético uniforme B a una velocidad angular constante w. De La ley de Faraday (ecuación 29-2a), se tiene que Ia fern inducida es d -
JB
dA = -
[BA cos 0]
fern 'go
donde A es el area de La bobina y 0 es el angulo entre B y A. Como w = dO/dt, entonces 0 = 0 + at. En forma arbitraria se liace que Oo = 0, entonces
Tiempo
0
= -BA-(coswt) = BAwsenwt. Si la bobina que gira contiene N vueltas = NBAüisenwt = 0senwt.
(29-4)
En consecuencia Ia fern de salida es senoidal (figura 29-12) y tiene una amplitud = NBAw. Esta bobina giratoria en un campo magnetico es el principio básico de operaciOn de un generador de Ca. Cerca de un 99 por ciento de la electricidad que se utiliza en Estados Unidos es producida por generadores (véase Ia figura 29-13). La frecuencia f = w/2ii- es 60 Hz para el uso general en Estados Uriidos y Canada, aunque en muchos paIses se utiliza la frecuencia de 50 Hz. En las plantas generadoras de electricidad, la armadura de los generadores se monta en un eje y se conecta a una turbina, que es el equivalente moderno de una rueda de agua. La presión del agua en una presa puede hacer girar a Ia turbina en una planta hidroeléctrica. Sin embargo Ia mayor parte de la energia eléctrica que se genera en Ia actualidad en Estados Unidos se produce en plantas de vapor, donde Ia quema de combustibles fósiles (carbon, aceite, gas natural) hace que hierva el agua para producir vapor de alta presiOn que a su vez hace girar a las turbinas. Mientras tanto en las plantas nucleares, Ia energIa nuclear que se libera se utiliza para producir vapor que hace girar a las turbinas. En consecuencia, una máquina térmica (capItulo 20) que se conecta a un generador es el medio principal para generar corriente eléctrica. Las compafiIas que generan energIa eléctrica mantienen en forma precisa la frecuencia de 60 Hz. En la resoluciOn de problemas se suporidrá que esta frecuencia es tan precisa como las demás cantidades que se indican.
Un generador de ca produce una corriente alterna. La fern de salida es = C0 sen wt, donde = NABw (ecuaciOn 29-4). FIGURA 29-12
FIGURA 29-13 generadores accionados por agua en Ia base de La presa Boulder, en Nevada.
Un generador de Ca. La armadura de un generador de ca que opera a OU Hz gira en un carnpo magnetico de 0.15 T. Si el area de Ia bobina es = 170 V? 2.0 X 10-2 m2, ,cuántas vueltas se necesitarán para generar una salida pico = NBAa. SOLUCION De Ia ecuaciOn 29-4 se observa que Ia fern maxima es Como o = 2irf = (6.28)(60s) = 377s entonces 170V = 150 vueltas. N = BAw = (0.15 T)(2.0 >K i0 m2)(377 s-') Un generador de cd es muy parecido a un generador de Ca, excepto que los anillos colectores son reemplazados por un conmutador que está formado por varias secciones de anillos divididos, figura 29-14a. La salida de este generador se puede "suavizar" o filtrar Si se conecta un capacitor en paralelo con Ia salida (sección 26-4). El uso de muchos devanados en la armadura es más comün, como en Ia figura 29-14b, lo que produce una salida más suave. (a) Un generador de cd con un par de conmutadores, y (b) un generador de cd con muchos pares de conmutadores y devanados. FIGURA 29-14
V
V
(a)
(b)
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SECCION 29-4
741
En el pasado los automOviles utilizaban generadores de cd. Sin embargo en la actualidad se utilizan generadores de ca o alternadores, estos evitan los problemas que genera el desgaste y el arqueo eléctrico (chispas) entre los anillos divididos del conmutador de los generadores de cd. Los alternadores son diferentes de los generadores de cd que se analizaron anteriormente en los siguientes aspectos: en un alternador Ia corriente que proviene de Ia baterIa genera un campo magnetico en un electroimn, que se conoce como rotor, el cual está hecho para girar gracias a que se conecta con una banda a! motor. Airededor del rotor se encuentra una serie de bobinas estacionarias que se conocen como estator, figura 29-15. El campo magnético del rotor pasa a través de las bobinas del estator, y como el rotor está girando, el campo a través de las bobinas fijas del estator varfa. En consecuencia se induce una corriente alterna en las bobinas del estator, que es la salida. Esta salida de ca se transforma en cd para cargar a La baterIa con
la ayuda de diodos semiconductores, que permiten el flujo de corriente solamente en una direcciOn.
29-15 (a) Diagrama esquematico simplificado de un alternador. La corriente de entrada del electroimán del rotor se conecta a través de anilios colectores continuos. Aigunas veces el electroimán del rotor es reempiazado pot un imán permanente. (b) Apariencia real del alternador. El rotor est hecho para girar gracias a la energIa que le transmite una banda que se conecta al motor. La corriente en Ia bobina de alambre del rotor produce un campo magnético en su interior (sobre su eje) que apunta horizontaimente hacia Ia izquierda, en consecuencia esto crea los polos norte y sur en las cubiertas que se localizan en los extremos del rotor. Estas cubiertas tienen forma de dedos triangulares que se dobian sobre Ia bobina, esta configuración produce polos norte y sur que están muy cerca e intercalados entre si. Las iIneas de campo magnético se indican con lIneas azules en Ia figura 29-15b. Conforme gira el rotor estas lIneas de campo pasan a través de las bobinas fijas del estator (que para facilitar Ia comprensión se muestran a la derecha en Ia figura, pero en realidad el rotor gira en el interior del estator) induciendo una corriente en ellas, que es Ia salida. FIGURA
Vueltas de alambre (donde se induce Ia corrierne)
Bobina del estator (donde se induce Ia fern) Corriente que produce ci
Corriente Polo de entrada sur
cam oB
Anilios colectores
I
Corriente de salida (inducido)
Polo norte
N'
"-I
(Eiectroimán
- giratorio)
Bobina del estator (donde se induce Ia fern)
(I
Anillos colectores Bobina (produce B)
Gira Rotor
Ensamble del estator (b)
(a)
*
N
Fuerza contraelectromotriz y contrapar; corrientes parásitas
* Fuerza contraelectromotriz Un motor gira y produce energIa mecánica cuando fluye una corriente en el. A partir
142
CAPITULO 29
de Ia descripciOn de la secciOn 27-6 de un motor sencillo de cd, usted puede esperar que La armadura se acelere en forma indefinida debido al par que existe en ella. Sin embargo, conforme gira Ia armadura del motor, el flujo magnetico a través de Ia bobina cambia y se genera una fem. Esta fem inducida actüa para oponerse al movimiento (ley de Lenz) y se conoce como fern inversa o fuerza contraelectromotriz. Mientras mayor sea la velocidad del motor Ia fuerza contraelectromotriz también aumentará. Normalmente un motor gira y realiza trabajo en algo, pero si no existe carga en el motor, su velocidad aumentará hasta que Ia fuerza contraelectromotriz sea igual a! voltaje de entrada. Cuando existe carga mecánica en el motor, su velocidad estará limitada por esta carga. Entonces Ia fuerza contraelectromotriz será menor que el voltaje externo que se aplica a! motor. Mientras mayor sea Ia carga mecánica, el motor girará a una menor velocidad y w, ecuaciOn 29-4). la fuerza contraelectromotriz también será menor (
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Fuerza contraelectromotriz en un motor. Los devanados de la armadura de un motor de cd tienen una resistencia de 5.0 fl. El motor se conecta a una lInea de 120 V y cuando este alcanza su velocidad mxima con la carga normal, la fuerza contraelectromotriz es 108 V. Calcule (a) Ia corriente en el motor justo cuando comienza a arrancar y (b) la corriente cuarido alcanza su velocidad maxima.
Fuerza contraelectromotriz inducida en ci devanado de Ia armadura II
Devanados del motor 5.0 Q
inducida = 108 V
(a) En un principio el motor no está girando (o lo hace muy despacio), de tal forma que no hay fuerza contraelectromotriz inducida. Entonces a partir de Ia Jey de Ohm Ia corriente es SOLUCION
I=
120V
V
=
5.0
II
= 24A.
= 120V
A maxima velocidad, Ia fuerza contraelectromotriz es una fuente de fern que se opone a Ia fuente exterior. Esta fuerza contraelectromotriz se representa como una baterIa en el circuito equivalente de Ia figura 29-16. En este caso la ley de Ohio (o Ia ley de Kirchhoff) indica que (b)
120V -
Circuito de un motor que muestra la fuerza contraelectromotriz inducida. FIGURA 29-16
108V = I(5.Ofl).
Por tanto
I
12V
= 2.4A.
=
Este resultado demuestra que Ia corriente puede ser muy elevada cuando el motor cornienza a girar. Por esta razóri las luces de su casa disminuyen un poco cuando el motor del refrigerador (o cualquier otro motor de gran tamafio) comienza a funcionar. Esta corriente inicial de alto valor hace que ci voltaje en los contactos de La casa disminuya, como ci alambrado de Ia casa tiene cierta resistencia, entonces existirá una calda de voltaje en este alambrado cuando se consumen corrientes elevadas.
-
a_
.
I
7
Sobrecarga de un motor. Cuando se utiliza un electrociomesuco corno es una ticuadora, un taladro, o una maquina de coser, puede suceder que ci aparato se sobrecargue, o se atasque, de tal forma que el motor dismmuye su velocidad en forma considerable o se detienen cuando está conectado a la energIa el aparato se puede quemar. Explique por qué sucede esto. I
Los motores están diseñados para operar a cierta velocidad a un voltaje determinado, ci diseflador de los mismos debe considerar la fuerza contraelectromotriz. Si Ia velocidad de rotación disrninuye entonces la fuerza contraelectromotriz no será tan elevada como es de esperarse ( c< a, eduación 29-4) y la corriente aumentará hasta ilegar a un nivel que provocara ci sobrecalentamiento de los devanados del motor, a tal grado que se producirán daños irreparables en ci motor. RESPUESTA
* Contrapar En un generador Ia situación es inversa a Ia de un motor. Corno ya se vio anteriormente, ci giro mecánico de Ia armadura induce una fern en las bobinas del estator, que es Ia salida del generador. Si el generador no se conecta a un circuito externo, la fern estará presente en sus terminales pero no habrá flujo de corriente. En este caso se necesita poco esfuerzo para hacer girar Ia armadura. Pero si ci generador Se conecta a un dispositivo que consume corriente, entonces fluye una corriente en las bobinas de Ia armadura. Como esta bobina que transporta corriente se encuentra en un campo magnético, se ejercerá un par en ella (como sucede en un motor) y este par se opondrá al movimiento (utilice Ia regla de la mano derecha para la fuerza en un alambre, figura 29-11). Este par se denomma confrapar. Cuanto mayor sea Ia carga eléctrica ci contrapar aumentará. Dc aqul que ci par que se aplica externamente tenga que ser mayor para que ci generador continue operando. Esto tiene sentido desde el punto de vista del principio de conservación de Ia energIa. Sc necesita una mayor cantidad de encrgIa rnecánica de entrada para producir más cncrgIa eléctrica de salida. *SECCION 29-5
Fuerza contraelectromotriz y contrapar; corrientes parásitas
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/
* Corrienteslarásitas
0 'N
1
B (hacia adentro
Las corrientes inducidas no tienen que estar confinadas en trayectorias bien definidas como sucede en los alambres. Por ejemplo considere la rueda giratoria de metal de la figura 29-17a. Se aplica un campo magnético a un area Jimitada como se iridica en los puntos que están en el papel. La sección de Ia rueda que se encuentra en el campo magnético tiene una fern inducida en ella debido al movimiento del conductor, en consecuencia Ia secciOn transporta electrones. El flujo (convencional) de corriente se dirige hacia arriba en Ia regiOn del campo magnético (figura 29-17b), y la corriente sigue una trayectoria de retorno hacia abajo fuera de esta regiOn. ,Por qué? De acuerdo con Ia ley de Lenz, las corrientes inducidas se oponen al cambio que las genera. Considere la parte de Ia rueda que estO identificada como c en La figura 29-17b, donde el campo magnético es cero, pero está a punto de entrar en Ia region donde B apunta hacia la pagina. Para oponerse a este cambio, Ia corriente inducida fluye en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj para producir un campo que se dirige fuera de la página (regla de Ia mano derecha). En forma similar, Ia regiOn d estO a punto de moverse a e, donde B es cero. De ahI que la corriente fluya en el sentido del giro de las manecillas del reloj para producir un carnpo (que se dirige hacia Ia pagina) que se opone a este cambio. Estas corrientes se denominan corrientes parásitas y se pueden producir en cualquier conductor que se mueve a través de un campo magnético, o en una zona donde varIa el campo magnético. En la figura 29-17, el campo magnético ejerce una fuerza F en las corrientes inducidas que ha generado, y esa fuerza se opone al movimiento de giro. De ahI que las co-
rrientes parásitas se pueden utilizar como un dispositivo de frenado suave en un Producción de corrientes parásitas en una rueda que FIGURA 29-17
gira.
Reparación de un transformador reductor en un poste. FIGURA 29-18
automOvil. Para detener el automOvil se puede encender un electroiman que aplicarO su campo ya sea en las ruedas o en el riel de acero que se mueve en Ia parte inferior de las mismas. Las corrientes parOsitas también se pueden utilizar para amortiguar (reducir) la oscilaciOn de un sistema vibratorio. Sin embargo las corrientes parOsitas pueden ser un problema. Por ejemplo las corrientes parásitas que se inducen en La armadura de un mo-
tor o generador producen calor (P = I) y Ia consiguiente pérdida de energIa. Para reducir las corrientes parásitas las armaduras estan laminadas, es decir, están integradas
por una serie de láminas delgadas de hierro que están aisladas una de otra (véase La figura 29-19 de La siguiente sección). En consecuencia, Ia longitud de La trayectoria total de las corrientes parásitas estará confinada a cada bloque, lo que aumentarO La resistencia total, en consecuencia Ia corriente parásita y las pérdidas por calor serán inferiores.
Transformadores y transmisión de enerqIa El transformador es un dispositivo que aumenta o disminuye un voltaje de ca. Los transformadores se encuentran en cualquier lugar: en los receptores de TV para generar el alto voltaje que necesita el cinescopio, en los reproductores portOtiies de cinta
FIGURA 29-19 Transformador elevador (N = 4, N = 12).
Secundario Prirnario VP
:
.1 IIIiNp
(entrada) .1 Hhlvueltas :
salida)
.111111
Ns
vueltas
VsNs dcIdl
Nücleo de hierro laminado 144
CAPiTULO 29
("WaLkman"), en los postes de alumbrado (figura 29-18) para reducir eL alto voltaje que proviene de Ia companIa eléctrica a un nivel utilizable en los hogares (110 V o 220 V), y en muchas aplicaciones adicionales. Un transformador está formado por dos bobinas de alambre que se denominan devanado primario y secundario. Los dos devanados (o bobinas) pueden estar embobinados uno en el interior del otro (se utiliza alambre aislado); o pueden estar enlazados con un nOcleo de hierro suave (que está Laminado para evitar las perdidas que generan Las corrientes parásitas, sección 29-5), como se indica en Ia figura 29-19. Los transformadores estOn diseñados para que (casi) todo el flujo magnético que produce Ia corriente en el devanado primario pase a través del devanado secundario, de aquI en adelante asumiremos que esto es cierto. También asumiremos que las pérdidas de energIa en la resistencia de las bobinas y la histéresis del hierro son despreciables, lo cual es una buena aproximaciOn para Los transformadores reales, ya que en ocasiones su eficiencia es superior al 99 por ciento. Cuando se aplica un voltaje de ca al primario, el campo magnético variable que produce inducirá un voltaje de La misma frecuencia en el secundario. Sin embargo eL voltaje será diferente de acuerdo a Ia cantidad de vueltas de cada bobina. De La ley de Faraday se tiene que eL voltaje inducido en el secundario es
donde N5 es La cantidad de vueltas en el devanado secundario y dt'/dt es La rapidez con La que cambia el flujo magnético.
lnducciOn electromagnetica y ley de Faraday
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El voltaje de entrada en el primario (Vp) también se relaciona con la rapidez de cambio del flujo magnético
Vp = N
d18 dt
donde N es la cantidad de vueltas en el devanado primario. La anterior se cumpte porque el flujo variable produce una fuerza contraelectromotriz NpdB/dl, en el pri-
mario que balancea exactamente al voltaje aplicado (Vp) si Ia resistencia en el primario es despreciable (leyes de Kirchhoff). Al dividir ambas ecuaciones suponiendo que las pérdidas en el flujo son muy pequenas o inexistentes, se tiene V5
(29-5)
-
Esta ecuación del transformador indica cOma se relaciona el voltaje del secundario (salida) con el voltaje del primario (entrada): V y V en la ecuación 29-5 pueden ser vol-
tajes rcm o voltajes pica. (Los voltajes de CD no funcionan en un transformador
porque no producen cambios en el flujo magnetico.) Si N5 es mayor que N, entonces se tiene un transformador elevador. El voltaje en el secundario es mayor que el voltaje en el primaria. Por ejemplo, si Ia cantidad de vueltas en el devanado secundario es el doble que en el devanado primario, entonces el voltaje en el secundario será dos veces el voltaje en el primario. Si N5 es menor que N, entonces se tiene un transformador reductor. Aunque un voltaje de ca se puede aumentar a disminuir en un transformador, no se puede dar nada par hecho. La conservación de energIa indica que Ia potencia de salida no puede ser mayor que Ia potencia de entrada. La eficiencia de un transformador bien disenado puede ser superior a! 99 por ciento, en consecuencia se pierde poca energla en forma de calor. La potencia de salida es esencialmente igual a Ia potencia de entrada. Coma la potencia es P = VI (ecuación 25-6), se tiene
VPIP = VsIs, 0
(29-6)
Transformador de un radio portátil. Un receptor portátil de radio ut11iza un transformador que reduce el voltaje de 120 V a 9.0 Vca. (El circuita del secundario contiene diodos para cambiar los 9 Vca a cd.) El secundario tiene 30 vueltas y el receptor consume 400 mA. Calcule: (a) Ia cantidad de vueltas en el primario, (b) la corriente en el primario y (c) Ia potencia transformada. SOLUCION
(a) Se trata de un transformador reductor, y de la ecuaciOn 29-5 se tiene
N = N5
V
(30)(120V) = 400 vueltas. = (9.0V)
De Ia ecuación 29-6,
= 's
N5
= (0.40A)400) = 0.030A.
La patencia transformada es
P = l5V = (9.OV)(0.40A) = 3.6W, si se supone que la eficiencia es del 100 par ciento, entonces esta potencia es igual a la patencia del primaria, P = (120 V)(0.030 A) = 3.6W. SECCION 29-6
Transformadores y transmisiOn de energIa
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Interruptor
- Interruptor
V cerrado
abierto
(a)
Tiempo
Un transformador funciona solamente con ca. Una corriente de cd en el prirnario no producirá un cambio en el flujo y en consecuencia no inducirá fern en el secundario. Sin embargo, si se aplica un voltaje de cd en el primario a través de uri interruptor, justo en el instante que se cierra o se abre el interruptor se inducirá una corriente en el secundario. For ejemplo si Ia cd se enciende y se apaga como se indica en la figura 29-20a,
el voltaje que se induce en el secundario ser corno se indica en la figura 29-20b.
VSk
Tiempo
(b) El voltaje de cd que Se enciende y se apaga como se indica en (a) genera pulsos de voltaje en el secundario (b). Las escalas de voltaje en (a) y (b) no necesariamente son FIGURA 29-20
Observe que el voltaje en el secundario disminuye hasta cero cuando el voltaje de cd es estable. Esta es bsicamente Ia forma como se produce el alto voltaje en el sistema de encendido de un automOvil, el alto voltaje se crea para producir una chiSpa en el entrehierro de una bujIa para encender Ia mezcla gasolinaaire. El transforrnador se conoce sencillamente como "bobina de encendido" y transforma el voltaje de 12 V de la baterIa (cuando se apaga Ia corriente) a un pico hasta de 25 kV. Alto voltaje en
Ia Imnea de transmisión
iguales.
Planta generadora de energfa FIGURA 29-21
En Ia transmisión de energIa eléctrica desde Ia planta generadora hasta los hogares se utiiizan transformadores en varias etapas.
.LJ
Transformador reductor (subestación)
Transformador
Transformador reductor
L
iILii
12,000 V
240 000V
II
2400 V 240V
Los transformadores juegan un papel importante en Ia transmisión de Ia electricidad. Con frecuencia las plantas generadoras de energIa se localizan a cierta distancia de las areas metropolitanas, en consecuencia la electricidad debe transmitirse a través de grandes distancias (figura 29-21). Siernpre existirá cierta cantidad de energIa que se pierde en las IIneas de transmisión, pero estas pérdidas se pueden rninimizar si Ia energIa se transmite a altos voltajes con la ayuda de transformadores elevadores, como se mdica en el siguiente ejemplo. Lineas de transmisión. La planta generadora de energIa eléctrica envIa una potencia eléctrica promedio de 120 kW a un poblado pequeno que está situado a una distancia de 10 km. Las lIneas de transrnisiOn tienen una resistencia total de 0.40 fl. Calcule Ia pérdida de energIa si esta se transmite a (a) 240 V, (b) 24,000 V.
No se puede utilizar Ia ecuaciOn P = V2/R porque R es Ia resistencia de las lIneas de transmisión, y no se conoce la caIda de voltaje que hay en ellas; los voltajes que se indican se aplican en las lIneas además de la carga (el poblado). Pero en cada caso se puede determinar Ia corriente I que circula en las IIneas, para luego calcular la pérdida de potencia en P = 12R. (a) Si los 120 kW se envIan a 240 V, la corriente total ser SOLUCION
= P
1.2x105W = 500 A. = 2.4 x 102 V
La pérdida de energIa en las lIneas PL es
= 12R = (500A)2(0.40fl) = 100kw. En consecuencia ms de un 80 por ciento de toda La energIa se perderá en forma de calor en la IIneas de transmisión! 746
CAPITULO 29
InducciOn electromagnetica y ley de Faraday
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ib0'
(b) Si Los 120 kW se envIan a 24,000 V, la corriente total ser1
j=
V
2.4x104V
= 5.OA.
Entonces Ia pérdida de energIa en las Imneas será
= JR = (5.OA)2(0.40fl) = lOW, que es mucho menor a por ciento. Se observa que mientras mayor sea el voltaje Ia corriente será menor y en consecuencia se desperdiciará menos energIa en la Ilnea de transmisiOn. For esta razón la energia se transmite normalmente a voltajes muy elevados, tan altos como 7100 kV. La gran ventaja de la ca, y La razón principal por la que su uso es casi universal, es que el voltaje se puede aumentar o disminuir con facilidad con un transformador. El voltaje de salida de una planta generadora de electricidad se eleva antes de enviarse a las Ilneas de transmisión. Después que llega a una ciudad, el voltaje se reduce en etapas en subestaciones eléctricas antes de ser distribuido. El voltaje que circula en las lIneas eléctricas de las ciudades es de 2400 V, y se reduce en transformadores a 240 V o 120 V para su uso doméstico (figuras 29-18 y 29-21).
Un flujo magnético variable produce un campo eléctrico Ya se ha visto en los capItulos anteriores (en especial en el capItulo 25, secciOn 25-8) que cuando una corriente eléctrica fluye en un alambre, se produce un campo eléctrico en el alambre que realiza el trabajo de mover a los electrones. En este capitulo se ha visto que un flujo magnetico variable induce una corriente en el alambre, esto implica Ia existencia de un campo eléctrico en el alambre que es inducido por el flujo magnético variable. En consecuencia se puede liegar a Ia siguiente conclusiOn que es muy importante
un flujo magnético variable induce un canipo eléctrico.
Este resultado se aplica no solamente a los alambres y otros conductores, en realidad es un resultado general que se aplica a cualquier region del espacio. De hecho, se producirá un campo eléctrico en cualquier punto del espacio donde exista un campo magnético variable. Leu de Faraday, forma general Estas ideas se pueden expresar matemáticamente al generalizar Ia relación que existe entre el campo eléctrico y La diferencia de potencial entre dos puntos a y b: Vb = E dl (ecuaciOn 23-3) donde dl es un elemento de desplazamiento a lo largo de Ia trayectoria de integraciOn. La fem que se induce en un circuito es igual a! trabajo que realiza el campo eléctrico por unidad de carga, el cual es igual a Ia integral de E dl alrededor de Ia trayectoria cerrada:
=
dl.
(29-7)
Al combinar esta expresiOn con la ecuación 29-2a se obtiene una forma más elegante de Ia ley de Faraday
51EdI
d8
(29-8)
La cual relaciona un flujo magnético variable con el campo eléctrico que produce. La integral del lado izquierdo se realiza alrededor de una trayectoria que encierra el grea en La que varIa el flujo magnético ct. Esta forma más e!egante de Ia ley de Faraday (ecuaciOn 29-8) es válida no solo en los conductores, sino en cualquier region del espacio. Lo anterior se va a mostrar en el siguiente ejemplo. SECCION 29-7
Un flujo magnético variable produce un campo eléctrico
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E producida por B variable. Un campo rnagnético B entre las caras cie un etectroirnán es casi uniforme en cuaiquier instante sobre un area circular de radio r0 como se indica en las figuras 29-22a y b. La corriente en los devanados del electroirnán aurnenta en el tiempo de tal forma que B varIa a una razón constante dB/dt en cada punto. Más allá de Ia region circular (r > r0) se supone que B = 0 todo el tiempo. Determine ci campo eléctrico E en cualquier punto P que está a una distancia r del centro del area circular. SOLUCION El flujo magnético cambiante a través del circulo que tiene radio r (que se muestra con lIneas punteadas en Ia fig. 29-22b) producirá una fern airededor de este cIrculo. Como todos los puntos en el cIrculo de lIneas punteadas son fIsicarnente equivalentes, ci campo eléctrico tarnbién rnostrará esta sirnetrIa y se localizará en ci piano perpendicular a B. En consecuencia se puede esperar que E sea perpendicular a B y que además sea tangente a al cIrcuio de radio r. La direcciOn de E se indica en Ia figura 29-22b y c, ya que de acuerdo a Ia ley de Lenz el campo E que se induce debe ser capaz de prod ucir una corriente que a su vez genere un campo magnético que se opone al carnbio original en B. Por simetrIa, tarnbién se espera que E tenga Ia misma magnitud en todos los puntos del circulo cuyo radio es r. En consecuencia este cIrcuto será Ia trayectoria de integración en Ia ecuación 29-8 (si se ignora ci signo de menos se puede centrar Ia atenciOn en Ia rnagnitud porque ya se tiene La dirección de E de Ia Icy de Lenz). Dc lo anterior se obtiene
S
N
óoo
/'000o G') 0'0 or"
rO
0'0 ®T® 00
®:' 0 ®:
0'
E(2r) = (r2), E
ya que
[r < roI
= BA = B(r2) en cuaiquier instante. Al resolver para r dB E=d
E se obtiene
[r r0, ci flujo a través del cIrculo de ra= rrB. Entonces Ia ecuación 29-8 indica dio r será dB [r > ro] E(2irr) = rr
dt
0
r dB
[r>ro]
E=2r
dl En consecuencia la magnitud del campo eléctrico aumenta linealmente desde cero en ci centro del electroimán hasta E = (dB/dt)(r0/2) en ci borde, y entonces disrninuye en forrna inversamente proporcional a Ia distancia en Ia regiOn que se encuentra rnás allá del carnpo magnético. Las lIneas de campo eléctrico son cIrculos como se indica en Ia figura 29-22c. La figura 29-22d muestra una grafica de E versus r. E
*r
r0
r
Ejemplo 29-10. (a) Vista lateral de B constante. (b) Vista superior para determinar el campo eléctrico E en el punto P. (c) LIneas de E que son consecuencia de un aumento en B (que apunta hacia fuera). (d) Gráfica de E versus r. FIGURA 29-22
' qr 'eneran porque los cambios en B no son conservativos
El ejemplo 29-10 rnuestra una diferencia irnportante entre los carnpos eléctricos que son producidos por los campos rnagnéticos variables y los campos eléctricos que son producidos por las cargas eléctricas en reposo (campos electrostaticos). Las Ilneas de campo eléctrico que se producen en ci caso electrostático (capItuios 21 a 24) comienzan y terminan en las cargas eléctricas. Pero las ]Ineas de campo eléctrico que produce un campo magnético variable son continuas, forman lazos o trayectorias cerradas. Esta distinciOn va aOn mas adelante y es muy importante. En ci caso electrostático la diferencia de potencial entre dos puntos está determinada por
= Va
Vb
dl.
Si Ia integral se toma airededor de una trayectoria cerrada, de tal forrna que los puntos a y b sean los mismos, entonces Vab = 0. Dc ahI que Ia integral de E dl en una trayectoria cerrada sea cero: E
dl = 0.
[campo e]ectrostático]
Lo anterior se justifica en el hecho de que Ia fuerza electrostática (ley de Coulomb) es una fuerza conservativa, y en consecuencia se puede definir como una funciOn de Ia 748
CAPITULO 29
inducción eiectromagnética y iey de Faraday
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energia potencial. De hecho la relación anterior, E dl = 0, indica que el trabajo rcalizado por unidad de carga en cualquier trayectoria cerrada es cero (a ci trabajo realizado entre dos puntos cualesquiera es independiente de Ia trayectoria (véase el capItulo 8), que es una propiedad que solamente pertenece a Las fuerzas conservativas. Pero en el caso no electrosttico, cuando el campo eléctrico es producido por un campo magnético variable, Ia integral alrededor de una trayectoria cerrada es distinta de cero, y está determinada por La ecuación 29-8:
oEdl = - dcIB dt En consecuencia liegarnos a Ia conclusiOn de que las fuerzas que son generadas por camP05 magnéticos variables son no conservativas. Sin embargo todavIa no se puede definir una energIa potencial, o funciOn potencial, en cualquier punto del espacio para ei caso no electrostático. Aunque los campos eléctricos estáticos son campos conservativos, el camp0 eléctrico que produce un campo magnético variable es un campo no conservativo.
Aplicaciones de Ia inducción: sistemas de sonido, memorias para computadoras, sismógrafos Existen varias clases de microfonos, Ia mayor parte de ellos funcionan bajo el principio de inducciOn. En cierta forma un micrOfono es lo inverso de una bocina (secciOn 27-6). Una bobina pequena que se conecta a una membrana est suspendida cerca de un imán permanente pequeno, como se muestra en la figura 29-23. La bobina se mueve en el campo magnético cuando las ondas sonoras golpean Ia membrana. La frecuencia de la fern inducida es igual a la frecuencia de las ondas sonoras que golpean Ia membrana, y esta fern es la "senal" que se puede amplificar para enviarla posteriormente a las bocinas, o se puede enviar a un grabador de cinta para su registro en una cinta magnética. En un micrófono de "cinta" una cinta delgada de metal se suspende entre los poios de un imn permanente. La cinta vibra en respuesta a las ondas sonoras y Ia fern que se induce en Ia cinta es proporcional a su velocidad. La grabacion y lectura en cinta magnética se realiza en las cabezas que se encuentran en el interior del reproductor de cinta. La cinta de grabacion que se utiliza en los equipos de grabaciOn de audio y video está formada por una capa delgada de óxido magnético que se deposita en Ia superficie de una cinta de plástico. Durante el proceso de grabaciOn, la señal de voltaje de audio o video se envia a la cabeza de grabacion, que actOa como un electroirnán pequeno (figura 29-24) que magnetiza Ia sección estrecha de cinta que pasa sobre el entrehierro angosto de Ia cabeza en cada instante. Durante Ia grabaciOn, el magnetismo variable de Ia cinta magnética mOvil en el entrehierro produce cambios correspondientes en el campo magnético en el interior de Ia cabeza de hierro suave, lo que a su vez induce una fern en la bobina (ley de Faraday). La fern inducida es la sefal de salida que se puede amplificar y enviar a una bocina (o en el caso de una señal de video al tubo de imagen). En los equipos de grabacion de audio y video las seflales pueden ser analógicas (si su amplitud varia continuamente en el tiernpo). La variaciOn en el grado de magnetizacion de la cinta en cualquier punto refleja Ia variaciOn en amplitud de la señal de audio o video. La informaciOn digital, como la que se utiliza en los discos (duros y flexibles) para computadora o en Ia cinta magnética para computadoras y cierta clase de grabadoras digitales, se lee y escribe con Ia ayuda de cabezas que son básicarnente iguales a las que se describieron anteriormente (figura 29-24). La diferencia esencial se encuentra en las senales, que no son anaiOgicas sino digitales, y en especial pertenecen al tipo binario, lo que significa que solamente hay dos valores posibles para cada uno de los espacios predeterminados que se presentan en una cantidad extremadarnente elevada en los discos o cinta. Los dos valores posibles se denominan 1 y 0. El voltaje de Ia seflal no varfa en forma continua, en vez de eso adquiere solamente dos valores, digarnos +5 volts y 0 volts, que corresponden al 1 y al 0 respectivamente. En consecuencia Ia información se transporta en series de "bits", cada uno de los cuales puede tener solamente uno de dos valores, 1 a 0. En otro campo, Ia geofisica, existe un dispositivo importante cuya operación se basa en Ia inducciOn electrornagnetica, el sismografo. Este equipo se instala en contacto directo con Ia superficie de Ia Tierra y convierte el movimiento de Ia Tierra que se produce debido a un sisrno o a una explosion (estas se producen cuando se buscan minerales a se realizan pruebas de explosivos) a una señal eléctrica. Un sismógrafo contiene un imán y una bobina de alarnbre, uno de estos elementos se fija rigidarnente a La cubierta *SEccION 29-8
Bobina pequefia
Membrana
/ de alambre
/
,'\I'
s(
mnJ
}
/ Al grabador de cinta a amplificador FIGURA 29-23 Diagrarna de un rnicrOfono que opera par inducciOn.
FIGURA 29-24 Cabeza de grabaciOn y reproducción de un reproductor de cinta o una unidad de disco. Durante Ia grabaciOn (o escritura) Ia senal deetrica de entrada de La cabeza (que actüa coma un electroirnán) magnetiza Ia cinta a el disco. En Ia reproducciOn (o lectura) el campo magnetico variable que proviene de Ia cinta a el disco induce un campo magnético variable en Ia cabeza, Ia que a su vez induce utia fern en Ia bobina que corresponde a Ia señal de salida. Senal eléctrica de entrada (o salida)
Cabeza de
-
Bobina
lectura a /
grabaciOn
(entrehicrrC
Linta a disco magnético en rnovirniento
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749
que se mueve conforme se desplaza Ia Tierra. El otro elemerito es inercial y está suspendido de Ia cubierta con un resorte. En el instrumento que se muestra en Ia figura 29-25 la bobina se mueve con Ia Tierra y el movimiento relativo del imán y La bobina produce una fern inducida en Ia bobina, que es Ia salida del dispositivo. En la mayor parte de los sismografos La bobina es el elemento inercial y el irnán se mueve con la Tierra.
(a) Un sisrnografo. (b)Indicación de un sismOgrafo (sismo en Northridge, California; 17 de enero de 1994). FIGURA 29-25
Bobina
Resortes de suspensiOn
-
- -Imán
permanente
(b)
(a)
Resumen El flujo magnético que circula a través de una bobina es igual al producto del area de Ia bobina por la componente perpendicular del campo magnético (uniforme): = B1 A = BA cos 0. Si B no es uniforme entonces
JB.dA.
=
Si el campo magnético a través de una bobina de alambre
varfa con respecto al tiempo, entonces se inducirá una fern en Ia bobina. La magnitud de Ia fern inducida es igual a Ia rapidez de cambio del flujo magnético que pasa a través de Ia bobina por la cantidad de vueltas de Ia bobina N:
= N d18 dt
Un generador eléctrico convierte Ia energIa rnecánica en energIa eléctrica. Su funcionamiento se basa en La ley de Faraday: una bobina de alambre se hace girar de manera uniforme por medios mecánicos en un campo magnetico, y el
flujo cambiante a través de Ia bobina induce una corriente senoidal, que es Ia salida del generador. Un motor, que funciona en forma inversa a! generador, actéa como un generador ya que Ia fuerza contraeleclromotriz se induce en su bobina giratoria; como esta fuerza contraelectrornotriz se opone al voltaje de entrada, puede actuar para limitar Ia corriente en Ia bobina del motor. En forma similar, un generador actOa como un motor en lo que respecta a! contrapar que actüa en su bobina giratoria. El transformador es un dispositivo que cambia Ia magnitud
Es decir La ley de inducción de Faraday.
La fern inducida, y Ia corriente que produce, tienen una dirección que se opone a! carnbio en el flujo que La provoca (ley de Lenz). También, a partir de Ia ley de Faraday, se observa que un alambre delgado cuya longitud es / y se mueve a una vetocidad v en forma perpendicular a un campo magnético cuya fuerza es B tiene una fern inducida entre sus extrernos igual a:
= Blv.
de un voltaje de ca. Está integrado por un devanado primario y secundario. El flujo cambiante que produce el voltaje de ca en el primario induce un voltaje de ca en eI secundario. En un transformador que tiene una eficiencia del 100 por ciento, La razón entre los voltajes de salida y entrada (V5/V) es igual a La razOn de la cantidad de vueltas N en el secundario y la cantidad de vueltas en el prirnario N: V
La ley de Faraday también indica que un campo magnetico variable produce tin campo eléctrico. La relación maternática es
5EdI
d
N
V-N
La razOn entre la corriente del secundario y el prirnario es inversa a Ia relación de vueltas:
y es la forma general de Ia ley de Faraday. La integral de Ia izquierda se toma en el lazo (o bobina) donde varIa el camP0 rnagnético
Preci u ntas (,CuáI serO la ventaja que presenta el uso de bobinas con muchas vueltas en los experimentos de Faraday? Suponga que usted detiene una bobina circular de alambre y en forma repentina se impulsa un imOn (primero el polo sur) hacia el centro de Ia bobina. i,Se induce una corriente en el alambre? LSe induce una corriente cuando el imOn se mantiene estable en el interior de Ia bobina? LSe induce una corriente cuando se retira el imán? Si su respuesta es afirmativa en cada caso indique Ia direcciOn.
150
CAPiTULO 29
Suponga que observa a lo largo de una IInea que se encuentra entre los centros de dos bobinas circulares (pero separadas) de alambre, una está detrás de Ia otra. De repente se conecta una baterIa en la bobina frontal, estableciendo asI una corriente en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj. (a) LSe inducirO una corriente en Ia segunda bobina? (b) En caso afirmativo. LCuándo inicia esta corriente? (c) cCuándo se detiene? (d) LQué direcciOn tiene? (e) LExiste una fuerza entre las dos bobinas? (f) En caso afirmativo, Len qué dirección?
lnducciOn electromagnética y ley de Faraday
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Suponga que se desconecta La baterIa en Ia pregunta 3. ,Se inducirá una corriente en Ia segunda bobina? De ser asi, ,cuándo inicia y cuándo se detiene? ,Qué dirección tiene esta corriente? Dos bobinas de alambre se mueven en los airededores de un alambre recto de gran longitud que transporta una corriente estable como se indica en La figura 29-26. Calcule La dirección de Ia corriente inducida en cada bobina.
coy tI
* 14. ,Un freno que opera a base de corrientes parásitas (figura
29-17) trabajará en una rueda de cobre o aluniinio, o esta solamente tiene que ser ferromagnética? * [5. Se ha sugerido que las corrientes parOsitas se utilicen para ayudar a clasificar los desechos sólidos con fines de reciclado. Primero los desechos se clasifican en piezas pequenas y luego se separan los desechos de hierro con Ia ayuda de un imán de cd. Entonces los desechos se hacen pasar por una rampa y se dirigen a irnanes permanentes. tCOmo ayudará esto en La separaciOn de metales no ferrosos (Al, Cu, Pb, bronce)? * 16. La barra de metal de Ia figura 29-27 que tiene un pivote en un extremo y aberturas en el otro cae con mayor rapidez a través de un carnpo magnético que una barra sOlida. Explique.
FIGURA 29-26 Pregunta 5.
Existirá una fuerza entre las dos bobinas de Ia pregunta 5? Si La respuesta es afirmativa, cuál será su direcciOn? ,En qué dirección fluirá Ia corriente en Ia figura 29-9 si Ia barra se mueve hacia La izquierda, lo que hace que ci area de Ia bobina disminuya a Ia izquierda? Algunos quemadores de estufas modernas operan gracias a Ia inducción. Es decir, una corriente de ca pasa a través de una bobina que es ci "quemador", uno que nunca se calienta. Explique por qué razón el quernador calentará una charola de metal no asI un contenedor de vidrio. Una region donde no se desea campo magnético estO rodeada por una hoja de metal que tiene baja resistividad. (a) La hoja blindará ci interior de un campo magnético que varIa rOpidamente en el exterior? Explique. (b) ,Actuará como un blindaje ante el campo magnético estático? (c) ,Qué sucederá si Ia hoja está hecha de material superconductor (resistividad = 0)? Demuestre utilizando Ia ley de Lenz que Ia fem que se induce en Ia varilla mOvil de Ia figura 29-9 es positiva en la parte inferior y negativa en La parte superior, de tal forma que Ia corriente fluye en ci sentido del giro de las manecillas del reloj en Ia bobina del circuito de Ia izquierda. CuM será Ia ventaja que se obtiene al colocar dos alambres conductores y aislados que transportan ca cerca uno del otro, o qué sucede cuando se trenzan? Explique exactarnente porqué las luces pueden disminuir brevemente cuando arranca el motor de un refrigerador. Cuando se conecta un calentador eléctrico las luces pueden disminuir su intensidad y permanecer asI todo el tiempo que esté conectado el calentador. * 13. Utilice Ia figura 29-11 y Ia regla de Ia mano derecha para demostrar porqué el contrapar en un generador se opone al movimiento.
x
x
FIGURA 29-27
Pregunta 16.
Una hoja de aLurninio se mantiene entre Los polos de un imán en forma de barra de grandes dimensiones, se requiere cierta fuerza para retirar La hoja del campo magnético aun cuando esta no sea ferromagnética y no toque los polos. Explique. Una barra de metal tiene un pivote en su extrerno superior y oscila libremente en ausencia de campo magnético; pero cuando existe un campo magnético Las oscilaciones se arnortiguan con facilidad. Explique. (Este amortiguamiento magnético se utiliza en una gran cantidad de dispositivos prácticos.)
Un transformador blindado tiene cuatro terminales que salen de su cubierta. LCOmo podria determinar la relaciOn de vueltas de ambos devanados sin tener que desarmar ci transformador? COmo podrIa saber qué alambres corresponden a cada devanado? Un transforrnador que está disenado para una entrada de 120 Vca se quernarO si se conecta a una fuente de 120 Vcd. Explique. [Sugerencia: normalmente La resistencia del devanado primario es muy pequena.] Ya que un rnicrOfono rnagnético es muy similar a una bocina, se podrá utilizar una bocina (secciOn 27-6) como rnicrOfono?
Es decir, ,podrIa hablar en una bocina y obtener una senal de salida que se pueda amplificar? Explique. Cornente de acuerdo a su respuesta, en qué difiere La construcciOn de un micrOfono de Ia de una bocina?
Problemas (I) El flujo magnético a través de una bobina de alambre que contiene dos vueltas varIa uniformemente desde -80 Wb hasta +58 Wb en 0.72 s. LCuál es Ia fern que se induce en La bobina? (1) Una bobina circular cuyo diámetro es 26 cm descansa en un piano perpendicular a un campo magnético de 0.90 T. Si Ia bobina se quita del campo después de 0.15 s, ,cuá1 es Ia fern inducida promedio? (I) La bobina rectangular que se muestra en La figura 29-28 se
empuja hacia un campo magnético que apunta hacia adentro como se indica. tCuál es la dirección de Ia corriente inducida? Explique.
x x
.x
"x xxxx FIGURA 29-28 Problema 3.
R
FIGURA 29-29 Problerna 4.
(I) El polo norte del imán de la figura 29-29 se inserta en una bobina. ,En que direcciOn fluye La corriente inducida en eI resistor R? Explique.
Problemas
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751
(I) Una bobina de aiarnbre cuyo diámetro es 7.2 cm se orienta en un principio en forma perpendicular a un campo magnético de 1.3 T. La bobina se gira para que su piano sea paralelo a Ia dirección del campo en 0.20 s. Cuál es Ia fern promedio que se induce en La bobina?
Una bobina de alambre cuyo diárnetro es 9.2 cm se orienta para que su piano sea perpendicular a un carnpo magnético de 0.63 T que apunta hacia arriba. Durante 0.15 s ei cambio varIa a 0.25 T y apunta hacia abajo. LCul es Ia fern promedio que se induce en La bobina? Cuál será Ia dirección de Ia corriente inducida en Ia bobi-
na circular debido a la corriente que se rnuestra en cada parte de Ia figura 29-30? Explique. I disminuye
I aurnenta (a)
0
(b)
I constante
(II) Una vuelta circular y eIstica en ci piano del papel permanece en un campo rnagnético de 0.75 T que apunta hacia el papel. Si ci diámetro de Ia bobina cambia de 20.0 cm a 6.0 cm en 0.5 s, (a) cuál es Ia direcciOn de Ia corriente inducida? (b) ,Cuál es Ia magnitud de la fern inducida promedio? (c) Si La resistencia de Ia bobina es 2.5 1, ,cuáI será la corriente inducida promedio durante 0.50 s? (II) Una vuelta de alambre cuyos lados rniden 15 cm se hace girar de rnanera uniforme airededor de un eje que está en su centro y es paraieio a dos lados. La bobina gira 360° en un campo magnético B que es perpendicular a su eje en 45 rns. Si Ia fern inducida es 70 mV, ,cuái es ci valor prornedio de B? (II) Una vuelta circular de alambre cuyo diárnetro es 20 crn tiene una resistencia de 150 fl. En un principio se encuentra en un campo magnético de 0.40 T, cuyo piano es perpendicular a B, pero Ia bobina se quita del carnpo después de 100 rns. Calcule La energIa eléctrica que se disipa en este proceso. (II) Una sola vuelta rectangular de alambre cuyas dimensiones se muestran en Ia figura 29-33 se coloca de tal forma que una parte de elia se encuentra en ci interior de una region donde ci campo magnetico es uniforme y es 0.450 T, pero otra parte de Ia misma bobina se encuentra fuera de este campo. La resistencia total de Ia bobina es 0.230 fi. Caicuie La fuerza que se requiere para sacar a La bobina del campo (a Ia derecha) a una veiocidad constante de 3.40 rn/s. La gravedad es despreciabie.
I aurnenta
x x
(d)
(c)
FIGURA 29-30
xx
0.350m X
Problerna 7.
(II) (a) Si La resistencia del resistor de Ia figura 29-31 aumenta lentamente, cul ser Ia dirección de Ia corriente inducida en Ia bobina circular pequena que está en ei interior de Ia bobina grande? (b) CuáI será si La bobina pequena se coloca fuera y a Ia izquierda de Ia bobina grande? Explique.
F
x x
1
x F
0.750rn
FIGURA 29-33
FIGURA 29-3 1
Problema 8. (II) Si el solenoide de La figura 29-32 se saca de Ia bobina corno se indica, qué direcciOn tendrá Ia corriente que se induce en Ia bobina? Explique.
FIGURA 29-32
Problerna 9.
(II) El campo magnético perpendicular a una bobina circular de alambre que tiene 20 cm de dirnetro cambia de 0.52 T a -0.45 T en 180 rns, donde ei signo + significa que ci campo apunta hacia fuera de un observador, y el signo - significa que el campo apunta hacia ci observador. (a) Caicule Ia fern inducida. (b) ,En qué dirección fluirá Ia corriente inducida? 152
CAPITULO 29
Problema 14.
(II) El campo magnético perpendicular a una sola vuelta circular de alambre de cobre cuyo diárnetro es 15.6 cm disminuye de rnanera uniforme de 0.550 T hasta 0. Si ci diárnetro del alambre es 2.05 mm, cuánta carga se mueve a través de Ia bobina durante esta operaciOn? (II) El flujo magnético a través de cada vuelta de una bobina que tiene 60 vueltas está deterrninado por (8.81 - 0.5it) x 102Tm2, donde ci tiempot está en segundos. (a) Determine fern °4 en función dci tiempo. (b) LCuáI es ci valor de °4 en t = lOs y i = SOs? (II) Una bobina cuyo diOrnetro es 35.0 cm está formada por 20 vueltas de aiarnbre circular de cobre cuyo diárnetro es 2.0 mm.
Un carnpo magnético uniforme perpendicular ai piano de Ia bobina varla a una rapidez de 3.20 x 103T/s. Determine (a)
Ia corriente en La bobina, y (b) Ia rapidez a Ia que se produce Ia energia térmica. (II) Una sola vuelta circular de alambre se coloca en ci interior de un solenoide largo cuyo piano es perpendicular at eje del solenoide. El area de Ia vueita es A1 y ci area del solenoide es A2,
ci solenoide tiene n vueltas por unidad de iongitud. Una corriente I = I cos wt fluye por Las vueltas del solenoide. LCual es Ia fern que se induce en Ia vuelta circular pequena?
(II) El area de una vuetta circular y elástica disrninuye a una rapidez constante, dA/dt = -3.50 >< 10 rn2/s. La vuelta está en un campo magnético B = 0.48 T cuya direcciOn es perpendicular al piano de La vuelta. En z = 0, Ia vueIta tiene un Orea A = 0.285 rn2. Determine La fern inducida en t = 0 yt = 2.00 s.
Inducción electromagnética y ley de Faraday
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Suponga que el radio de La vuelta elástica del probLema 19
aumenta a una rapidez constante dr/dt = 7.00 cm/s. Determine Ia fem inducida en Ia vuelta en t = 0 y I = 1.00 s. Determine el flujo magnético a través de una vuelta cuadrada cuyo lado es a (figura 29-34) si un lado de La vuelta es paralelo a un alambre recto que transporta una corriente I. La distancia entre La vuelta y el alambre es a.
(III) Una secciOn pequena de alambre, de longitud a, se mueve a una velocidad v en forrna paralela a un alambre de gran longitud que transporta una corriente I como se indica en Ia figura 29-36. El extremo cercano del alambre pequeno estO a una distancia b del alambre Largo. Suponiendo que el alambre vertical es muy Largo si se compara con a + b, determine Ia fern entre los extremos del alambre pequeno. Suponga que v (a) tiene Ia misma dirección que 1, (b) tiene dirección contraria a I.
a
It r
dr
a
b
FIGURA 29-34
Problema 21.
La barra mOvil de La figura 29-9 tiene una longitud de 19.0 cm y se mueve a una velocidad de 25.0 cm/s. Si el campo magnético es 0.750 T, calcule La fern que se genera. En Ia figura 29-9, Ia barra se mueve a una velocidad de 1.8 m/s, tiene una longitud de 24.0 cm y su resistencia es 2.2 fi. El campo magnético es 0.35 T y Ia resistencia del conductor que tiene forma de U es 26.0 LI en un instante determinado. Calcule: (a) La fem inducida; (b) Ia corniente que fluye en el conductor que tiene forma de U; (c) La fuerza externa que se necesita para mantener constante Ia velocidad de Ia barra en ese instante. (II) Si el conductor de Ia figura 29-9 que tiene forma de U tiene una resistividad p, en tanto que La resistividad de Ia barra móvil es despreciable, obtenga La formula para la corniente I en función del tiempo. Suponga que La longitud de La barra es 1, comienza en Ia parte inferior de U en I = 0, y se mueve a una
velocidad uniforme v en el campo magnético B. La secciOn
transversal de Ia barra y de todas las parteS de U es A. (II) Una barra conductora descansa sobre dos rides paralelos sin fricciOn que a su vez estan en un campo magnético B que es I a los rieles y La barra, como se indica en La figura 29-35. (a) Si los rides son horizontales y se le da un empuje inicial a Ia barra, la barra viajarO a velocidad constante aun cuando esté presente un campo magnético? (b) Suponga que en t = 0 cuando La
barra tiene una velocidad v = v0 los dos rieles se conectan eléctricamente con un alambre del punto a al punto b. Supo-
niendo que La barra tiene una resistencia R y La resistencia de los rieles es despreciable, determine Ia velocidad de La harra en funciOn del tiempo. Analice su respuesta.
a
(.)
b
® & 0-
B
(Q
V
FIGURA 29-36 Problerna 27.
(I) El generador de un carro cuyo motor gira a 950 rpm produce 12.4 ft ,CuOl serO Ia salida si La velocidad de giro es 2400 rpm, suponiendo que lo demás permanece constante?
Demuestre que Ia salida rcm de un generador de ca es
Vrcm = NABw/\/.
Un generador sencillo tienen una bobina cuadrada de 420 vueltas y el Lado de las vueltas rnide 21.0 cm. ,A qué rapidez debe girar en un campo de 0.350 T para producir una saLida pico de 120 V? (IL) La bobina de una arrnadura circular que tiene un diOmetro
de 10.0 cm y 350 vueltas gira 60 revoluciones/segundo en un
campo magnético uniforme de 0.45 T. ,CuáL serO el voltaje rcm de salida del generador? ,COmo se debe modificar La frecuencia de giro para duplicar Ia salida de voltaje rem?
La armadura de un motor tiene una resistencia de 3.75 LI. Si el motor consume 9.20 A cuando opera a velocidad mOxima y se conecta a una IInea de 120 V, cuáL es el valor de La fuerza contraelectromotniz? (1) La fuerza contraelectromotniz en un motor es 72 V cuando este opera a 1800 rpm. ,CuOl será La fuerza contraeLectnomotniz a 2500 rpm si el campo magnético no cambia?
C:)
0
®®GO S®
FIGURA 29-35 Problemas 25 y 26.
(LII) Suponga que una barra conductora (de masa m y resistencia R) descansa sobre dos rides paralelos sin fricción y resistencia que están separados por una distancia I de un campo magnético uniforme B que es I a los nieles y La barra, como se indica en Ia figura 29-35. En I = 0, Ia barra está en reposo y se conecta una fuente de fern en Los puntos a y b. Determine la velocidad de La barra en funciOn del tiempo (a) si Ia fuente genera una corriente constante I, (b) si La fuente proporciona una 10 constante. (c) jLa barra alcanza una velocidad terminal en cuaLquier caso? En caso afirmativo, ,cuOL es?
La fuerza contraelectromotriz en un motor es 100 V cuando el motor opera a 1000 rpm. COmo debe cambiar eL campo magnético del motor si se desea reducir Ia fuerza contraelectnomotriz a 75 V cuando el motor opera a 2500 rpm? (II) LCuOL serO La corniente en el motor del ejemplo 29-6 si La carga hace que el motor funcione a La mitad de su velocidad? (II) Un generadon de cd está especificado a 10 kW, 200 V y 50 A cuando gira a 1000 rpm. La resistencia del devanado de La anmadura es 0.40 LI. (a) CalcuLe el voltaje "sin carga" a 1000 rpm (cuando no hay un circuito conectado a Ia salida del generador).
(b) Calcule el voltaje a carga completa (par ejempLo a 50 A) cuando el generador opera a 800 rpm. Suponga que La magnitud del campo magnético permanece constante.
Problemas
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753
Determine ci campo eiéctrico en ia barra mOvii dcl probie-
(I) Un transformador está disenado para cambiar 120 V a 8500 V, y tiene 500 vueltas en ci primario. Cuántas vueltas debe tener en ci secundario suponiendo que La eficiencia es del 100 por cicnto? (I) Un transformador tiene 720 vueitas en el primario y 120 vuei-
ma 22. En La figura 29-22c, dibuje dos cIrcuios pequcfios e idénticos,
Suponiendo que La eficiencia es del 100 por ciento, ,en qué factor modifica ei voitaje? tEn qué factor modifica La corriente? (I) Un transformador elevador aumenta de 22 V a 120 V. Cuál es Ia corriente en ei secundario si se compara con Ia corriente en ci primario? Suponga que La eficiencia es del 100 por ciento. Las luces de neon requicren un voltaje de 12 kV para fun-
troncs y proporcionar aita energia, cstá formado por un tubo
tas en el secundario. De qué clase de translormador se trata?
cionar. Para operar con una ilnea de 220 V. ,Cuái debe ser La relación de vueltas entre el secundario y ei primario del transformador? Cuái será el voitaje de salida Si el transformador se conecta al revés? (ii) El transformador de un tren a escala se conecta a 120 Vca, y consume 0.65 A cuando suministra una corriente de 15 A al tren. (a) ,Cuái es ci voitaje en Los rides? (b) ,Se trata de un transformador eLevador o reductor de voltaje? ci voitaje de salida de un transformador de 100 W es 12 V y La corriente de entrada es 26 A. (a) ,Se trata de un transformador eLevador o reductor? (b) ,En qué factor sc multiplica ci
coioque uno cerca dcl centro de ia region dci carnpo magnético y ci otro ccrca dci borde (sin ir mOs aiiO dcl borde). Dcmuestrc quc Ia fern airededor dc cada cIrculo es La misma, aun cuando E sea mayor en Ia regiOn del cfrcuio exterior. (II) Ei betatrón es un dispositivo quc se utiliza para acelerar cieccircular al quc sc Ic practicO vacIo, ci cuai sc coloca en un campo magnético (figura 29-37), iuego se inyectan electrones en el tubo. El cicctroimán produce un campo que (1) mantienc a los eiectro-
nes en su Orbita circular en ci interior dci tubo, (2) aumenta ia velocidad de ios electrones cuando cambia B. (a) Expiiquc cOmo se aceleran Los ciectroncs (véase La figura 29-37). (b) LEn qué direcciOn se muevcn los electroncs en ia figura 29-37 (indiquc La direcciOn como si estuvicra viendo dcsdc arriba)? (c) tB debc aumcntar o disminuir para aceicrar a Los ciectrones? (d) EL campo magnético cs en realidad de 60 Hz, ca. Demuestrc quc ios dcctrones se pueden acelerar soiamentc durante de ciclo ( s).
(Durantc este tiempo hacen cientos de miles de revoiuciones y adquieren una encrgIa muy elevada.)
voltaje?
(II) Un transformador tiene 330 vueitas en ci primario y 1510 vueitas en el sccundario. El voltaje de entrada es 120 V y Ia corriente de salida es 15.0 A. iCuál es ci voitaje de salida y Ia corriente de entrada suponiendo que Ia eficiencia es dcl 100 por
J
B
f t
t
ciento?
/
(II) Si Ia potencia que ilega a un pobiado es 30 MW a 45 kV (rcm) y proviene de un generador a través de lIneas de transmisión de 3.0 fl, caicuie (a) La fern en ci punto donde se conecta ci generador a las lIneas de transmisión, (b) Ia fracciOn de la potencia gencrada quc se pierde en las ilneas de transmisión. (III) Si se van a transmitir 65 kW en dos iIneas de transmisión de 0.100 fi, calcule cuánta potencia se ahorra si el voitaje se dcva de 120 V a 1200 V y luego se reduce, en iugar de transmitir
a 120 V. Suponga que Ia eficiencia de los transformadores es dci 99 por ciento. (III) Discñe una iInea de transmisión de cd que pueda transmitir 300 MW de eiectricidad a 200 km con tan sóio un pérdida dci 2 por ciento. Los alambres tienen quc ser de aiuminio y ci voltaje es 600 kV.
Tubo en el que viajan los eiectrones
FIGURA
29-37
Probiemas 49 y 50.
(III) Demuestre que en ci betatrOn los cLcctrones (probLema 49
y figura 29-37) se aceleran en un radio constante si ci campo
magnético B0 en La posiciOn de La Orbita dc ios ciectrones en ci tubo es iguai a La mitad del valor promcdio dci campo magndtico (Bpron) sobre ci area de La órbita circular en cada momento:
Bv. (Por esta razón ias caras dci polo tienen una forma extrafia, como se indica en Ia figura 29-37.) (III) Encuentre una formula para ci campo eléctrico neto en La barra mOvil dci probiema 26 en funciOn dcl ticmpo para cada caso, (a) y (b). B0
Problemas ceneraIes Suponga quc está viendo los dos lazos de corriente en ci piano de Ia página como se indica en Ia figura 29-38. Cuando se cierra ci interruptor que está en Ia bobina dci lado izquierdo, (a) Lcuái cs ia dirccciOn de Ia corriente inducida en ci otro lazo? (b) Cuái es Ia situaciOn después dc un tiempo considerable? (c) Cuái es ia direcciOn de ia corriente inducida en ci segundo lazo si este sc jaia rápidamentc en forma horizontal a ia derecha?
Un gcnerador sencillo sc utiiiza para gencrar un voitaje pico de salida dc 24.0 V. La armadura cuadrada está formada por devanados cuyos Lados miden 7.0 cm y gira en un campo de 0.420 T con una rapidez de 60 rev/s. LCuOntas vucitas de aiambrc se deben embobinar en La armadura cuadrada? Una bobina cuadrada cuyos lados miden 24.0 cm tiene una rcsistencia de 6.50 fl. En un principio se cncuentra en un campo magnético de 0.755 T, quc es perpendicular aL piano de B, luego
Ia bobina se quita dcl campo dcspués de 40.0 ms. Caicule Ia
FIGURA
754
CAPITULO 29
29-38 Probiema 52.
energIa cléctrica que se disipa en cstc proceso. Dos rides conductores cuya resistencia es despreciabic estOn separados por una distancia de 30 cm, descansan en una pendiente de 50 Los rides están unidos en Ia parte inferior con un resistor dc 0.60 fl, y en La parte superior estOn unidos por una barra dc cobre (cuya masa cs 0.040 kg) quc descansa atravesada en ios rieies. Todo ci aparato se sumerge en un campo vertical dc 0.55T. LCuál es La vciocidad terminal (estable) de ia barra conforme esta se desiiza sin fricciOn hacia abajo sobre los rieles?
Inducción electromagnética y ley de Faraday
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Un par de Imneas de transmisiOn tienen una resistencia de 0.80 fi y transportan 700 A a una distancia de 9.0 km. Si el voltaje rcm de entrada es 42 kV, calcule (a) el voltaje en el otro extremo de las lIneas, (b) Ia potencia de entrada, (c) Ia pérdida de potencia en las lIneas, (d) Ia potencia de salida. Una planta generadora produce potencia a 24 kV, la planta se localiza a 24 km de distancia de un poblado que requiere 50 MW de energia a 12 kV. Las Ilneas de transmisiOn que van de la plan-
ta al poblado tienen una resistencia total de 0.10 fl/km. Cuál debe ser el voltaje de salida del transformador de La planta generadora para obtener una eficiencia global en la transmisión de energia del 98.5 por ciento, suponiendo que el transformadot es perfecto? Una bobina que tiene 150 vueltas, 5.2 cm de radio y una resistencia de 11.0 fi rodea a un solenoide que tiene 200 vueltas/cm y 4.5 cm de radio. La corriente en el solenoide varla a una ra-
zOn constante de 0 a 2.0 A en 0.10 s. Caicule la magnitud y dirección de Ia corriente que se induce en la bobina. Un anillo que tiene 3.0 cm de radio y resistencia de 0.025 fi se hace girar alrededor de un eje a través de su diámetro en 90° debido a Ia acciOn de un campo magnético de 0.15 T que es perpendicular a ese eje. 1,Cuál será la mayor cantidad de electrones que fluirán desde un punto fijo en el anillo cuando se termine este proceso? Calcule el voltaje pico de salida de un generador sencillo que tiene unã armadura con bobina.s cuadradas, sus lados nuden 6.60 cm, la armadura contiene 125 vueltas y gira en un campo de 0.200 T a razón de 120 rev/s.
Un carro eléctrico y pequeno supera una fuerza de fricción de 250 N cuando viaja a 30 km/h. El motor eléctrico es alimentado por diez baterIas de 12.0 V que se conectan en serie, y está acoplado directamente a las ruedas cuyo diámetro es 50 cm. La armadura está integrada por 300 vueltas que tienen forma rectangular (10 cm x 15 cm) y gira en un campo magnético de 0.60 T. (a) ,Cuánta corriente consume el motor para producir el par necesario? (b) tCuál es Ia fuerza contraelectromotriz? (,Cuánta potencia se disipa en las bobinas de La armadura? LQué porcentaje de Ia potencia de entrada se utiliza para operar el carro? La bobina de bñsqueda que se utiliza para medir B (también conocida como bobin.a exploradora) es una bobina pequena que tiene N vueltas, cada una tiene una sección transversal A. Esta se conecta a un galvanómetro balIstico, que es un dispositivo que se utiliza para medir Ia carga total Q que pasa a través de ci en un tiempo breve. La bobina exploradora se coloca en el campo magnético que se va a medir, el frente de Ia bobina debe ser perpendicular al campo. Luego Ia bobina se gira 180°. Demuestre que Ia carga total Q que fluye en Ia corriente inducida durante este tiempo breve de exploración es proporcional al campo magnético B. En especial demuestre que B está determinado pot B
QR
= 2NA
donde R es Ia resistencia total del circuito, incluyendo la resistencia de la bobina y la resistencia del galvanOmetro balIstico que mide Ia carga Q. Los devanados primarios de un transformador que tiene una eficiencia del 80 por ciento se conectan a 110 Vca. Los devanados secundarios se conectan a través de una lámpara incandescente de 2.4 fi, 75W. (a) Calcule la corriente que circula en el devanado primario del transformador. (b) Calcule Ia relaciOn en el nOmero de vueltas del devanado primario y el devanado secundario del transformador.
,Cuál será la energIa que se disipa en función del tiempo en
una bobina circular que tiene 10 vueltas de alambre, 10.0 cm de radio y su resistencia es 2.0 fi, si el piano de La bobina es perpendicular al campo magnético, el cual está determinado por
B(t) = Boe1h
con B0 = 0.50T y T = 0.lOs? Una barra delgada de metal cuya longitud es L gira a una velocidad angular w airededor de un eje en uno de sus extremos. El eje de giro es perpendicular a Ia barra y es paralelo a un campo magnético uniforme B. Determine Ia fem que se produce entre los extremos de Ia barra. Las Lámparas de escritorio de alta intensidad están especificadas a 40 fi, pero requieren 12 V. Estas lámparas contienen un transformador que convierte el voltaje residencial de 120 V. (a) ,El transformador que se utiliza es reductor o elevador? (b) CuáL es Ia corriente en el devanado secundario cuando se enciende La lámpara? (c) £,Cuál es Ia corriente en el primario? (d) ,CuáI es La resistencia de La lámpara cuando esté encendida? Demuestre que la pérdida de potencia en las lIneas de transmisiOn L está determinada por L = (PT)2 RL/V2, donde T es la potencia que se transmite al usuario, V es el voltaje entregado y RL es Ia resistencia de las LIneas de energla. El campo magnético de un motor de cd del tipo "devanado en derivación" es producido por las bobmas de campo que se conectan en paralelo con las bobinas de Ia armadura. Suponga que Ia resistencia de las bobinas de campo es 36.0 fi y de Las bobinas de La armadura es 3.00 fi. La fuerza contraelectromotriz a velocidad maxima es 105 V cuando el motor se conecta a 115 Vcd. (a) Dibuje ci circuito equivalente para Ia situación que surge cuando el motor acaba de arrancar y cuando opera a velocidad maxima. (,Cuál es Ia corriente total que consume el motor al inicio?,
,Ciiál es Ia corriente total que consume el motor cuando
opera a velocidad maxima? Aplique La icy de Faraday, en la forma de Ia ecuación 29-8, para demostrar que el campo de electricidad estática entre las placas de un capacitor de placas paralelas no puede disminuir en forma repentina a cero en Los bordes, pero de hecho debe dispersarse. Utilice La trayectoria punteada de La figura 29-39.
FIGURA 29-39 ProbLema 69.
Un disco metálico y circular de radio R gira a una velocidad angular w airededor de su eje (en el centro) que es perpendicular a su cara. EL disco gira en un campo magnético uniforme B cuya dirección es paraLela al eje de giro. Determine La fem que se induce entre el centro y los bordes. ,Cithl será La magnitud y dirección del campo eléctrico en cada punto del disco giratorio del probLema 70? Suponga que el "freno magnético" de Ia figura 29-17 actOa en un disco metáLico de forma circular de radio R, espesor d, y resistividad eléctrica p. El campo magnético B es perpendicular al disco y actOa sobre un area pequefia A cuyo centro se encuentra a una distancia I del centro del disco. Cuando el disco gira a una velocidad angular w, sobre un eje que está en su centro, determine una formula aproximada que defina el par que actda para reducir la velocidad del disco.
Problemas generales
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155
La bujIa de un automóvil recibe alto voltaje, el cual a su vez produce un campo eléctrico en el aire que rodea al electrodo de Ia bujIa. Este campo tiene Ia fuerza suficiente como para sacar a los electrones de los átornos de La rnezcla de aire-gaso-
lina y formar una chispa. El alto voltaje se produce de Ia baterIa del autornóvil básica de 12V en una bobina de inducciOn, que es básicarnente un transforrnador o inductancia mutua. Cualquier bobina de alambre tiene inductancia propia (o autoinductancia). Una variación en Ia corriente que circula por Ia bobina provoca una fern inducida. Estos inductores son Otiles en muchos circuitos.
Inductancia y oscilaciones electromagnéticas el capItulo anterior se analizO La forma en La que un flujo magnético cambiante en un circuito induce una fern en ese circuito. Anteriormente se vio que una corriente eléctrica produce un campo magnético. Al combinar ambas ideas es de esperarse que un cambio en Ia corriente de un circuito pueda inducir una fern y una corriente en otro circuito que está cerca del primero, y aün más inducir una fern en sí misma. Ya vimos un ejemplo en el capItulo anterior (transformadores), pero ahora tra-
En
tarernos este efecto en una forma rnás general en términos de La inductancia mutua y Ia
inductancia propia. El concepto de inductancia proporciona eL punto de partida para tratar eL almacenarniento de energIa en un campo magnetico. Este capItuLo termina con el análisis de circuitos que contienen inductancia asI corno resistencia yb capacitaricia.
Inductancia mutua Bobina 1
Bobina 2
j 111111
'WI'
In
Si dos bobinas se colocan una cerca de la otra, corno en La figura 30-1, Ia corriente cambiante que circula en una inducirá una fern en Ia otra. De acuerdo con La ley de Faraday, Ia fern 2 que se induce en la bobina 2 es proporcional a Ia rapidez de cambio del flujo que pasa a través de ella. El flujo es producido por La corriente I en La bobiria 1, y con frecuencia es conveniente expresar La fern en La bobina 2 en términos de Ia corriente en La bobina 1.
FIGURA 30-1 Una corriente variable en una bobina inducirá corriente en La segunda bobina.
Dejamos que (1)2! sea el flujo magnetico en cada vuelta de Ia bobina 2 que es generado por Ia corriente que circuLa en La bobina 1. Si La bobina 2 contiene N2 vueltas, entonces N2 (1)21 es eL flujo total que pasa por La bobina 2. Si ambas bobinas están fijas en el espacio, N2 'p21 es proporcional a la corriente I en La bobina 1; Ia constante de proporcionalidad se conoce como induclancia mutua, M21, y está definida por M21
=(30-1) N1)
De acuerdo con La ley de Faraday, Ia fern corriente que varIa en La bobina 1 es:
que se induce en La bobina 2 debido a Ia
= N2 dc1)21 dt 756
Al cornbinar esta ecuación con La 30-1 reescrita como (1)21 = M2111/N2, para luego caLcular Ia derivada se obtiene
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d11
=
(30-2)
Esta expresiOn relaciona el cambio en la corriente de La bobina 1 con Ia fern que se induce en Ia bobina 2. La inductancia mutua de Ia bobina 2 con respecto a Ia bobina 1, M1, es una "constante" en el sentido de que no depende de 1. M21 depende de factores "geométricos" corno son el tamaflo, Ia forma y La cantidad de vueltas, las posiciones relativas de ambas bobinas y la presencia de hierro (o cualquier otro material ferromagnético). For ejemplo, mientras más se alejeri entre silas dos bobinas de Ia figura 30-1, pasará una menor cantidad de lineas de flujo en Ia bobina 2, de tal forma que M21 ser menor. En ciertos arreglos se puede calcular la inductancia mutua (véase ci ejemplo 30-1), pero con mayor frecuencia la inductancia mutua se determma en forma experimental. Supongase ahora Ia situación inversa, cuando una corriente variable en la bobina 2 induce una fern en la bobina 1. En este caso d12
=
dt
donde M12 es Ia inductancia mutua de Ia bobina I con respecto a Ia bobina 2. Se puede dernostrar (aunque esto no se hará aqul) que M12 = M21. En consecuencia, en cualquier arreglo de bobinas no se necesitan los subIndices y Ia expresiOn se transforma en
ill = fyi12 = M21, de tal forma que d12
y
(30-3a)
Md11
(30-3b)
La unidad del SI para Ia inductancia mutua es el henry (H), donde 1 H = 1 V s/
A = lfls.
Solenoide y una bobina. Un solenoide largo y delgado cuya iongitua es i y secciOn transversal A contiene N1 vueltas de alambre. Alrededor de este solenoide se devana una bobina con N2 cantidad de vueltas, figura 30-2. Suponga que todo el flujo que proviene de la bobina 1 (solenoide) pasa a través de la bobina 2, calcule Ia inductancia rnutua. SOLUCION Primero se determina el flujo que produce el solenoide, ci cual pasa de manera uniforrne a Ia bobina N2: ci carnpo rnagnético en el interior del solenoide se obtuvo en el capItulo 28, ecuación 28-4:
B=
FIGURA 30-2
Ejemplo 30-1.
N1
donde i es la corriente que circula en el solenoide. Las vueltas del solenoide están rnuy cerca, en consecuencia se supone que todo ci flujo del solenoide se transfiere a Ia bobina. Entonces el flujo (1)21 en La bobina 2 es N1
21 = BA = a0-1--I1A. De ah.I que la inductancia mutua sea M
N21)21
-
I
En este caso se calculó M21, sin embargo Ia obtenciOn de M12 es más complicada. Ya que M21 = M12 = M, se puede efectuar el cálculo más senciiio para obtener M. Cabe indicar que M depende solarnente de factores geométricos, no asI de las corrientes.
SECCION 30-1
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Inductancia mutua
757
El transformador es un ejemplo de inductancia mutua en el que se maxirniza el acoplarniento para que casi todas las lIneas de flujo pasen a través de ambas bobinas. Sin embargo, la inductancia rnutua tiene otros usos. Por ejemplo, en algunos marcapaSOS (que se utilizan para regular los latidos del corazón para mantener el flujo sanguIneo en el paciente) son alirnentados desde el exterior. La potencia de una bobina externa se transrnite a través de La inductancia rnutua a una segunda bobina que se encuentra en el marcapasos que se aloja en el corazón. Este equipo tiene muchas ventajas con relación a los marcapasos que operan con baterIas, ya que se elirnina Ia cirugIa para reemplazar Ia baterla que ha perdido su carga. Sin embargo, algunas veces Ia inductancia mutua puede ser un problema. Cualquier corriente que varIe en un circuito puede producir una fern en otra parte del rnismo circuito o en un circuito diferente, aün cuando Los conductores no tengan La forma de una bobina. Norrnalrnente, Ia inductancia rnutua M es muy pequefla, a no ser que las bobinas tengan rnuchas vueltas yb se utilicen nücleos de hierro. No obstante, en situaciones donde existen senales pequefias, pueden surgir problemas de inductancia rnutua. En estos casos se utiliza cable blindado (que tiene un conductor interior rodeado por un conductor cilIndrico que se conecta a tierra) para resolver el problema.
Inductancia propia o autoinductancia El concepto de inductancia se aplica tarnbién a una sola bobina aislada que tiene N vueltas. Cuando una corriente variable pasa a través de Ia bobina (o solenoide), se pro-
duce un flujo magnético variable en el interior de Ia bobina, el cual induce a su vez una fern en Ia misrna bobina. Esta fern inducida se opone a las variaciones en el flujo (ley de Lenz). Por ejernplo, si aurnenta La corriente que circula en Ia bobina, el flujo rnagnetico creciente induce una fern que se opone a Ia corriente original y trata de retardar este aurnento. Si la corriente disrninuye en La bobina, Ia disrninuciOn en el flujo induce una fern que tiene Ia misrna dirección que la corriente, en consecuencia trata de rnantener Ia corriente original. El flujo rnagnético I que pasa a través de N vueltas de una bobina es proporcional a Ia corriente I de la bobina, en consecuencia Ia inductancia propia L se define corno (en analogla a Ia inductancia rnutua) L
NB =
(30-4)
En consecuencia Ia fern que se induce en La bobina con inductancia propia L es, a partir de 12 a ley de Faraday
dl = L -_. = N dB dt
(30-5)
Al igual que la inductancia mutua, la inductancia propia se rnide en henrys. La rnagnitud de L depende de la geornetrIa y la presencia de material ferrornagnetico. La inductancia propia se puede definir, como ya se hizo anteriormente, para cualquier circuito o parte de un circuito. Los circuitos siernpre contienen cierta inductancia, pero esta es pequena a menos que el circuito tenga una bobina con muchas vueltas. Una bobina que tiene una inductancia propia considerable L se denomina inductor. El inductor se representa en los diagrarnas esquernáticos de un circuito por el sImbolo
'bb1i'---.
[sIrnbolo de un inductor]
Este puede ser ütil en algunos circuitos. Con frecuencia se desea evitar La inductancia en un circuito. Los resistores de precision están integrados por una bobina de alambre y en consecuencia pueden terier cierta inductancia adernás de Ia resistencia. La inductancia se puede minirnizar si el ernbobinado de alarnbre se divide en dos secciones y cada una se embobina en sentido opuesto, de esta forrna La corriente que fluye en direcciones opuestas produce un flujo rnagnético neto pequefio, este tipo de ernbobinado se conoce como "devanado no inductivo". 758
CAP1TULO 30
Inductancia y oscilaciones electromagnéticas
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Si la resistencia de un inductor es despreciable, entonces la inductancia (o fern in-
ducida) es Ia que controlará a una corriente que varIa. Si una fuente de voltaje cambiante o alterno se conecta a Ia bobina, este voltaje aplicado se balanceará debido a Ia fern que se induce en Ia bobina, Ia cual estará determinada por Ia ecuación 30-5. Como se puede ver de la ecuación 30-5, para una determinada, si Ia inductancia L es grande entonces el cambio en La corriente (y en consecuencia Ia corriente en sí Si se trata de ca) será pequeno. Si Ia inductancia aumenta entonces La corriente de ca disminuirá. En consecuencia un inductor acttia como una resistencia para impedir el flujo de corriente alterna. Se utiliza el término reactancia o impedancia para designar esta propiedad de los iriductores. En el capItulo 31 se analizará con mayor detalle Ia reactancia (o impedancia), se vera que no solo depende de L, también de la frecuencia. A continuaciOn se rnencionará un ejemplo de La importancia que tiene La impedancia. Normalmente la resistencia del devanado primario de un transformador es muy pequena, quizás inferior a 1 fi. Si Ia resistencia fuera el ünico factor que lirnita Ia corriente en un transformador, justo en el momento que se aplica un voltaje al transformador circularIan corrientes rnuy elevadas. Por este motivo cuando se conecta un transformador (diseflado para operar en ca) a una fuente de cd se puede quemar el devanado primario. La fern inducida (o reactancia) de Ia bobina es lo que lirnita La corriente a un valor razonable.
Los inductores tienen inductancias que van desde 1 .tH hasta I H (1H =
henry = 1 fls).
1
, ,-.i Dirección de Ia fern en un inductor. (a) SuL) ... .1.. ponga que una corriente circula a través de la bobina de Ia figura 30-3, de izquierda a derecha, y aumenta con respecto al tiempo. j,Cuál es Ia dirección de la fern inducida? (b) Si la corriente pasa a través de la bobina en La misma direcciOn, pero disrninuye con respecto al tiempo, i,cuál será entonces Ia direcciOn de la fern inducida? (a) De la ley de Lenz se sabe que la fern inducida se debe oponer al cambio en el flujo magnético. Si Ia corriente aumenta, lo mismo sucede con el flujo RESPUESTA
magnético. La fern inducida se opone a un aurnento en el flujo, esto significa que actüa corno una fuente de fern que se opone a Ia fuente externa de fern que excita Ia corriente. En consecuencia Ia fern que se induce en La bobina se opone a I en La figura 30-3a. En otras palabras el iiiductor se puede pensar corno una baterla que tiene su terminal positiva en el punto A en la izquierda y Ia terminal negativa en el punto B a la derecha. (b) Si la corriente disminuye, entonces por ley de Lenz, La fern inducida actüa para aumentar el flujo, como una fuente de fern que refuerza Ia fern externa. La fern induci-
___
incremento
--
decremento -
o_j_o_o_o_'
'
+
FIGURA 30-3 Ejemplo 30-2. Los signos + y - se refieren a Ia fern inducida, debido a la corriente cambiante, como silos puntos A y B fueran las terminales de una baterIa.
da actüa para incrementar I en Ia figura 30-3b, por tanto en esta situaciOn se puede pensar que la fern inducida es una baterla cuya terminal positiva está en Ia derecha en el punto B. Inductancia de un solenoide. (a) Determine Ia formula para La inductancia propia L de un solenoide cuyas vueltas están devanadas muy cerca unas de otras. El solenoide está formado pOT una bobina de gran longitud 1, tiene N vueltas de aLambre y su secciOn transversal es A. (b) CaLcule el valor de L si N = 100,1 = 5.0 cm,
y el nOcleo es de aire. (c) Calcule L si el solenoide tiene un nOcLeo de hierro con .t = 4000 i.t0.
A = 0.30 cm2
(a) Para determinar la inductancia L, lo más sencillo es comenzar con Ia ecuaciOn 30-4, prirnero se debe deterrninar el flujo. De acuerdo con Ia ecuación 28-4, el campo rnagnético en el interior de un solenoide es conStante: B = ji0nl, donde n = N/I. El flujo es 1B = BA = 1a0NIA/1, por tanto SOLUCION
L
N4B
1i0N2A
I
I
X 107T rn/A (4 X 10-v T.m/A)(100)2(3.0 X 105m2) = 7.5pH. L = (5.0 x 102 m)
Corno /L0 = 4ir
Se reemplaza
j.
por t
= 4000 t0 de tal forma que L será 4000 veces superior.
L = 0.030 H = 30 rnH.
SECCION 30-2
Inductancia propia o autoinductancia
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759
XXXXXXXXxXXX I x xxx xx >< x xxx x)dr x x x x >< xix x x x x >< 2r1
L
-
ccoo
ccc
B
FIGURA 30-4 Ejemplo 3. Cable
coaxial (a) vista posterior, (b) vista lateral (secciOn transversal).
0 0 000 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 000
'
(b)
(a)
Inductancia de un cable coaxial. Determine Ia inductancia por uniLac e tongitud de un cable coaxial, el radio del conductor interior es r1 y el radio del conductor exterior es r2, figura 30-4. Suponga que los conductores son delgados, de tal forma que el campo magnético en su interior es despreciable. Los conductores transportan corrientes iguales I en direcciones opuestas. SOLUCION De nuevo se tiene que calcular el campo magnético J?B = fB dA, entre los conductores. Las lIneas de B son cIrculos que rodean al conductor interior (solo se muestra una lInea en Ia figura 30-4a). De Ia ley de Ampere se tiene B dl = pI, La magriitud del campo a una distancia r del centro, cuando el conductor interior transporta una corriente I, es (véase también el ejemplo 28-4): B
2lTr
El flujo magnético a través de un recungulo de anchura dr y longitud / (a lo largo del cable, figura 30-4b) que está a una distancia r del centro es
dB = B(ldr) =
/10!
Id
El flujo total en una longitud 1 del cable es fr2 dr f Po11 = = ln-r2r1 r 21T 2ir j Jr Como Ia corriente I fluye completamente en una dirección en el conductor interior, pero La misma corriente I fluye en direcciOn opuesta en el conductor exterior, solamente se tiene una vuelta, de tal forma que N = 1. De ahI que Ia inductancia propia para una longitud I es
I-
d8 =
L== In B
I
/1l 2-
r2 r1
La inductancia por unidad de longitud es
L -= I
r2 lnr1 21T /10
Observe que L depende solamente de los factores geométricos, no asI de Ia corriente 1.
EnergIa almacenada en un camno maqnético Cuando un inductor de inductancia L transporta una corriente I que varla con una rapidez di/dI, Ia energIa alimenta al inductor con una rapidez
P = 1 = LI donde P es la potencia luego de aplicar la ecuaciOn 3O-5. Ahora vamos a calcular el trabajo que se requiere para incrementar La corriente en un inductor desde cero AquI no hay un signo de menos porque estarnos proporcionando poder para oponerse a Ia fern del inductor.
760
CAPITULO 30
Inductancia y oscilaciones electromagneticas
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hasta cierto valor I. Al utilizar estas ecuaciones el trabajo dW que se realiza en el tiempo di' es
dW = Pdt = LId!. Entonces el trabajo total que se realiza para incrementar Ia corriente desde cero hasta I es W =
IdW =
J
I
Jo
LIdI =
LJ2.
El trabajo realizado es igual a Ia energIa U que se almacena en el inductor cuando este iltimo transporta una corriente I (Se tiene que U = 0 cuando I = 0):
U=
(30-6)
Esto se puede comparar con La energIa que se almacena en un capacitor C, cuando la diferencia de potencial en sus terminales es V (véase la secciOn 24-4):
U=
CV2.
Se puede considerar que la energIa que se almacena en un capacitor reside en el campo eléctrico entre sus placas, de igual forma se puede decir que Ia energIa que se almacena en un inductor se guarda en su campo magnetico. Para escribir la energIa en términos del campo magnético se puede utilizar el resultado del ejemplo 30-3, el cual inclica que Ia inductancia en un solenoide ideal (despreciando los efectos en los bordes) es L = aoN2A/l. El campo magnético B en un solenoide se relaciona con Ia corriente I por B = pNI/l. En consecuencia
U=
i(oN2A)(Bi)2
LI
= 2-Al. j-t0
Se puede pensar que esta energia reside en el volumen que ocupan los devanados, que es Al. Entonces la energIa por unidad de volumen o densidad de energIa es 1 B2 2
u = densidad de energIa = -
(30-7)
Se puede demostrar que esta fOrmula, que se obtuvo para el caso especial de tin solenoide, es válida para cualquier regiOn del espacio donde existe un campo magnetico. Si se sustituye por p.. Esta ecuación es anáestá presente un material ferromagnetico, loga a La de un campo eléctrico, 0E2, ecuación 24-6. Energia almacenada en un cable coaxial. (a) (,Cuánta energia por unidad de longitud se puede almacenar en un cable coaxial cuyos conductores tienen radios r1 y r2? (ejemplo 30-4, figura 30-4), jcuál de los conductores transportará una corriente I? (b) Dónde es mayor Ia densidad de energIa? SOLUCION
(a) La inductancia por unidad de longitud, como ya se vio en el ejem-
plo 30-4, es
-L = I
p.o
r2
2ir
r
Se desea obtener La energIa almacenada por unidad de longitud, la cual es
-= U I
LI2 I
=
p.0!2 41T
ln-rr1
(b) Como B = u0I/2irr, el campo es mayor cerca de Ia superficie del conductor interno, en consecuencia la densidad de energIa u = B2/2p.o, será mayor en ese punto. SECCION 30-3
EnergIa almacenada en un campo magnético
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161
Circuitos LR C L
It Interruptor
(a)
V0
I A'maxO/R 0.63 'max
Cualquier inductor tendrá cierta resistencia. El inductor Se representa considerando una inductancia L y una resistencia R en forma independiente, como se indica en Ia figura 30-5a. La resistencia R también puede incluir un resistor independiente conectado en serie. Ahora cabe preguntarse ,que sucede cuando una baterIa o cualquier otra fuente de voltaje de cd (V0) se conecta en serie a un circuito LR? La corriente comienza a fluir justo en el instante en el que se cierra el interruptor que conecta Ia baterla. La corriente aumenta comenzando desde cero. La fern que se induce en el inductor se opone a esta corriente, lo que significa que el punto B en La figura 30-5 es positivo con relación al punto C. Sin embargo, en cuanto comienza a fluir La corriente también se produce un voltaje (= IR) en Ia resistencia. De ahI que el voltaje que se aplica a La inductancia disminuye y Ia corriente aumenta rápidamente. En consecuencia Ia corriente se incrementa en forma gradual como se indica en Ia figura 30-5b, y se aproxima a un valor fijo 'max = VO/R cuando toda Ia caIda de voltaje está presente en La resistencia.
Lo anterior se puede dernostrar en forma anailtica al aplicar Ia ley del lazo de Kirchhoff al circuito de Ia figura 30-5a. Las ferns que existen en el circuito son el vol-
TRL
Tiempo
taje de La baterIa V0 y Ia fern
(b) (a) Corriente en un circuito LR, (b) aumento en Ia corriente cuando se conecta a Ia baterla.
= L(dI/dt) en el inductor que se opone a La corrien-
te que aumenta. De ahI que Ia surna de Ia caldas de potencial en el lazo es
V0LIR = 0,
FIGURA 30-5
donde I es Ia corriente que fluye en el circuito en cualquier instante. Al cambiar los términos de Ia ecuaciOn se obtiene
L'+RI
= V0.
(30-8)
Esta es una ecuación diferencial lineal que se puede integrar en forma similar como se hizo en Ia secciOn 26-4 para el circuito RC. Al modificar e integrar la ecuaciOn 30-8 se obtiene:
dl
J1=0V0IR -
('dl
ln (v0IR
Entonces
1
0
0,
I= donde
V0
- e_h/T)
L R
(30-9) (30-10)
es Ia constante de tiempo del circuito LR. El sImbolo T representa el tiempo que nec sita la corriente para alcanzar (1 - l/e) = 0.63 o el 63 por ciento de su valor máximo (V0/R). La ecuaciOn 30-9 se grafica en Ia figura 30Sb. (Comparela con el circuito RC, El interruptor se acciona rápidamente de tal forma que La baterIa se desconecta pero todavIa se tiene un circuito. La corriente en FIGURA 30-6
este momento (sea t = 0) es I.
secciOn 26-4.)
Ahora supongase que el interruptor de Ia figura 30-5a cambia de posiciOn para eliminar a Ia baterIa del circuito, los puntos A y C se conectan eritre si como se indica en La figura 30-6. En el momento que ocurre La conmutaciOn (digamos en t = 0) Ia corriente es It,. Entonces Ia ecuación diferencial (ecuación 30-8) se transforma en (ya
que l' = 0)
= 0. AL reorganizar e integrar la ecuación se obtiene
f'dI
V0
762
CAPITULO 30
=
I'R
donde I = I, en t = 0, e I = I en el tiernpo t.
Inductancia y oscilaciones electromagnéticas
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Luego esta ecuación Se integra para obtener
myI = 0
R
t
I = I0e
(30-11)
de nuevo la constante de tiempo es T = L/R. Entonces Ia corriente disminuye en forma exponencial hasta ilegar a cero como se indica en La figura 30-7. El análisis muestra que siempre existe un "tiempo de reacción" cuando por ejemplo se enciende o apaga un electroimán. También se observa que un circuito LR tiene propiedades similares a las de uii circuito RC (secciOn 26-4.) Sin embargo, a diferencia del caso del capacitor, en este caso La constante de tiempo es inversamenle proporcional a R. Circuito LR. En t = 0, se conecta una baterIa de 12.0 V en serie con un resistor de 30 fl y un inductor de 220 mH, como se muestra en Ia figura 30-8. Cuál es La corriente en t = 0? (b) Cuál es La constante de tiempo? (c) CuáI es Ia corriente maxima? (d) j,Cuánto tiernpo necesitará la corriente para alcanzar su valor maximo posible? (e) En este instante, ,con qué rapidez entrega energIa Ia baterIa? (f) j,Con qué rapidez se almacena energIa en el campo magnético del inductor?
(a) La corriente no puede saltar en forma instantánea desde cero hasta cualquier otro valor cuando se cierra el interruptor porque el inductor se opone a! cambio (< i0
C.
La corriente maxima, 'max' es (véase la ecuación 30-15) 'max
= wQ0
\/LC
=
(6.0 x i0 C) = 63 mA. \/(0.075H)(1.2 X iO F)
La frecuencia se calcula con Ia ecuaciOn 30-14
f
1
2
(2\/Lc)
= 17kHz,
y el periodo T es
T = 1 = 6.OX10-5s. (d) Por ültimo Ia energIa total (ecuación 30-16) es
U=
(6.0 x iO C)2 Q = 2C 2(1.2 x 10-9F)
= 1.5 x 104W.
SECCION 30-5
Circuitos LC y oscilaciones electromagneticas 765
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Oscilaciones con resistencia (circuito RLC) El circuito LC que se analizO en Ia secciOn anterior es ideal. Siempre existirá cierta resistencia R en cualquier circuito. Ahora analizaremos un circuito sencillo tipo RLC,
figura 30-12. De nuevo vamos a suponer que el capacitor tiene inicialmente una carga Q0 y la baterIa o cualquier otra fuente de energIa se elimina del circuito. El interruptor se cierra en el tiempo t = 0. Como ahora existe una resistencia en el circuito, es de esperarse que una parte de Ia energIa se convierta a energIa térmica, y en consecuencia no se esperan oscilaciones no amortiguadas como sucede en un circuito LC puro. De nuevo se utiliza Ia ley del lazo de Kirchhoff en este circuito, y se obtiene FIGURA 30-12
Circuito RLC.
= 0, que es la misma ecuaciOn de La sección 30-5 con Ia adiciOn de Ia caIda de voltaje JR en
el resistor. Ya que I = dQ/dt, como ya se vio en Ia secciOn 30-5, esta ecuaciOn se transforma en
L FIGURA 30-13 La carga Q en el capacitor de un circuito RLC es una función del tiempo: Ia curva A corresponde a una oscilaciOn subamortiguada (R2 < 4L/C), Ia curva B corresponde a un amortiguamiento critico y Ia curva C corresponde a una oscilación sobreamortiguada. Qo
A
d2Q dt2
+R
dQ + dl
1
=
(30-17)
Esta ecuación diferencial de segundo orden en Ia variable Q tiene exactamente la misma forma que la del oscilador armónico amortiguado, ecuación 14-15: d2x dx md2bd+kx = 0.
De ahI que se puede analizar nuestro circuito RLC en Ia misma forma que el movimiento armónico amortiguado, sección 14-7. Nuestro sistema puede experimentar oscilaciones amortiguadas: Ia curva A de Ia figura 30-13 (sistema subamortiguado), o puede estar crIticamente amortiguado (curva B), o sobreamortiguado (curva C), dependiendo de los valores relativos de R, L y C. Al utilizar los resultados de Ia secciOn 14-7 y reemplazar m por L, b por R y k por C', se encuentra que el sistema estará subamortiguado cuando
R2 <
4L
y sobreamortiguado cuando R2 > 4L/C. El amortiguamiento crItico (curva B de Ia figura 30-13) sucede cuando R2 = 4L/C. Si R es más pequeno que \/4L/C, entonces Ia frecuencia angular w' será
(U' =
1
R2
LC
4L2
(30-18)
(compárela con Ia ecuaciOn 14-20). Y Ia carga Q como función del tiempo será
Q = Qe
R
2L'cos(w't + 4,)
(30-19)
donde 4) es una fase constante (compárela con Ia ecuación 14-19). Los osciladores son un elemento importante en muchos dispositivos electrOnicos: los receptores de radio y television los utilizan para sintonizar frecuencias, los reproductores de cinta los utilizan cuando graban (Ia "frecuencia de polarizaciOn"), etc. Como siempre existirá cierta resistencia, es comtin que los osciladores eléctricos necesiten una entrada periOdica de energIa para compensar la energia que se convierte a energIa térmica en Ia resistencia.
Oscilaciones amortiguadas. En t = 0 se conecta un inductor de 4U mH en serie con un resistor R = 3.0 y un capacitor cargado C = 4.8 F. (a) Demuestre que este circuito oscilará. (b) Determine La frecuencia. (c) Cuá1 será el tiempo necesario para que La amplitud de La carga disminuya a Ia mitad de su valor inicial? (d) será La amplitud actual? (e) Qué valor de R hará que el circuito deje de oscilar? 766
CAPiTULO 30
Inductancia y oscilaciones electromagneticas
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(a) Para que esté subamortiguado, se debe tener R2 < 4L/C. Como
SOLUCION
R2 = 9.02 y 4L/C = 4(0.040H)/(4.8 x 10F) = 3.3 x 104fl2, esta relación se cumple, en consecuencia el circuito oscilará. Se utiliza Ia ecuación 30-18:
= 2.3x103
=
= 2r\JLC 4L2 De la ecuaciOri 30-19, Ia amplitud será Ia mitad cuando
Lt _1
R
e
0
2L = R 1n2 = l8ms.
Al diferenciar Ia ecuaciOri 30-19 se obtiene I = -dQ/dt (consulte los comentarios que estn justo antes de Ia ecuación 30-12), observe que 4) = 0 ya que Q = en t = 0: R/R dQ 1 = =
-
Qoe2Ltcosüt +
\/LC)
donde se aproxima w' \/l/LC. Como R es mucho menor que \/4L/C (véase el inciso a anterior) se puede ignorar el término cos w't, entonces
I
Qo
\/LC
e
-
senat.
En consecuencia Ia amplitud de Ia corriente inicial es Q0/'/LC. No se tiene Q0, pero si por ejemplo esta fuera 1 C, entonces jo = (1.0 x 1O6 C)! 10-6 F) X x i0 H)(4.8 = 2.3 mA. Para que le circuito tenga amortiguamiento crItico o esté sobrearnortiguado, se
Resumen Una corriente cambiante en una bobina de alambre inducirá una fern en una segunda bobina que se coloque cerca de Ia primera. La inductancia mutua, M, se define corno Ia constante de proporcionalidad que existe entre la fern inducida en la segunda bobina y la rapidez de cambio de la corriente en Ia prirner bobina:
= -MdI/d(.
M= N8
donde t es el flujo magnetico a través de una bobina (o circuito) que tiene N vueltas, el cual es generado por Ia corriente I que circula en una segunda bobina o circuito.
En el interior de una sola bobina, una corriente variable induce una fern en oposición X, entonces 'v
> V en la figura 31-8.
P = JrcmVrcmCO54) = (1.25 A)(90.OV)(25.0fl/72.2fl) = 39.0W.
Al comienzo de esta secciOn se eligiO Ia fase de Ia corriente de tal forma que I = I0senwL Desde luego que esta elección es arbitraria. (Lo que es fIsicamente importante es Ia diferencia de fase 4) entre Ia corriente y el voltaje.) Si en vez de lo anterior se hubiera elegido V = V0senwt, entonces Ia corriente I serIa
I = Isen(ot
4')
donde 4) e I tendrIan los mismos valores que indican las ecuaciones 31-8, 31-9 y 31-10.
SECCION 31-5
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Circuito de CA tipo LRC en serie
779
Resonancia en los circuitos de CA La corriente rcm en un circuito LRC en serie está determinada por (véanse las ecuaciones 31-8 y 31-9): V
V
'rcm
z
(31-12)
\/R2 + (oiL
wC) Como La impedancia de los inductores y capacitores depende de Ia frecuencia f ( w/2ii-) de Ia fuente, La corriente en un circuito LRC dependerá de Ia frecuencia. De Ia ecuación 31-12 se puede observar que Ia corriente ser maxima a una frecuencia tal que
/
oiL-
1
wCJ
0.
Al resolver esta ecuación para w La solución es w0: = 'rcm
Para R pequeña
Para R grande
0 0.90 w0
1.10w0
FIGURA 31-9 Corriente en un circuito LRC en función de La
frecuencia, el pico de resonancia se en w = w0 = \/1/LC.
(31-13)
\/LC
Cuando w = w0, el circuito está en resonancia y f0 = wo/2ir es Ia frecuencia de resonancia del circuito. En esta frecuencia, Xc = XL, en consecuencia Ia impedancia es meramente resistiva y cos = 1. En Ia figura 31-9 se muestra una grafica de 'rcm versus w para valores particulares de R, L y C. Si R es pequena en comparaciOn de XL y X, el pico de resonancia sera elevado y afilado. Cuando R es muy pequefia el circuito se aproxima a! circuito puro LC que se analizO en Ia sección 30-5. La resonancia eléctrica es análoga a La resonancia mecánica, la cual se analizO en el capItulo 14. La energIa que Ia fuente transfiere al sistema es maxima en Ia resonancia, ya sea que se trate de resonancia eléctrica, la oscilación de un resorte, o los ejempbs de Ia sección 14-8. Esto es cierto en el caso eléctrico y se puede comprobar en la ecuación 31-11. En la resonancia cos4 = 1, e l,, es maxima. Cuando el voltaje Vrcm es constante, Ia potencia es maxima en Ia resonancia. Una gráfica de potencia versus picos de frecuencia es similar a La gráfica de corriente de La figura 31-9. La resonancia eléctrica se utiliza en muchos circuitos. Por ejemplo los receptores de radio y televisiOn utilizan circuitos resonantes para sintonizar las estaciones. La mayor parte de las frecuencias Ilegan al circuito, pero una cantidad considerable de corriente fluye solamente en las frecuencias que están cerca o en el valor exacto de Ia frecuencia de resonancia. L o C pueden ser variables para permitir Ia sintonfa de diferentes estaciones.
Oscilador de una estación de radio. Una estaciOn de radio tiene autorizaciOn para transmitir en una frecuencia de 1040 kHz. Si usted va a discñar un circuito receptor que sintonice esa estación, y cuenta con una bobina cuya inductancia es 4.0 mH, cuál es La capacitancia que se necesita?
SOLUCION El circuito sintonizado debe tener una frecuencia de resonancia de 1040 kHz. El uso de un inductor en serie con un capacitor realizará La Labor. Como La resonancia está en
/1
fo=ILc 1
usted necesita un capacitor cuyo valor sea C
780
CAPTULO 31
1
1
L(2-f0)2
(4.0 x 10-s H)(2->< 1.04 x 106 sI)2
Circuitos de CA
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= 5.85 X 1012F = 5.85 pF
*
Acoplamiento de impedancias El hecho de conectar un circuito eléctrico a otro es muy comün. For ejemplo, Ia antena de TV se conecta a un receptor de TV; un sintonizador de FM se conecta a un amplificador; Ia salida de un amplificador se conecta a una bocina; los electrodos de un ECG o EEG (electrocardiograma y electroencefalograma, que son trazos de las seflales que provienen del corazOn y cerebro respectivamente) se conectan a un amplificador o a un registrador. En la mayor parte de los casos es muy importante la transferencia mixima de potencia de un circuito a otro, con un mInimo de pérdidas. Esto se puede realizar cuando Ia impedancia de salida de un circuito está acoplada con la impedancia de entrada del otro.
Para demostrar porqué es cierto to anterior, vamos a considerar un circuito sen-
que solamente contiene resistencia. En Ia figura 31-10 la fuente del circuito 1 puede representar una fuente de alimentación, Ia salida de un amplificador, la sefial que procub
viene de una antena, Ia punta de prueba de un equipo de laboratorio, o un conjunto de electrodos. R1 representa Ia resistencia de este dispositivo e incluye la resistencia interna de Ia fuente. R1 se conoce como impedancia de salida (o resistencia) del circuito 1. La salida del circuito 1 se encuentra entre las terminales a y b, que a su vez están conectadas a Ia entrada del circuito 2. Esto puede ser un tanto complicado. R2 es Ia "resistencia equivalente de entrada" del circuito 2. La potencia que se entrega at circuito 2 es P = 12R2, donde I = V/(R1 + R2). For tanto
P -- IR2
V2R2
- (R1 + R2)2 Al dividir Ia parte superior e inferior del lado derecho por R se tiene
V
Fuente
devoltaje Circuito 1
R2
b Circuito 2
La salida del circuito de Ia izquierda es Ia entrada del circuito de ]a derecha. FIGURA 31-10
P= La pregunta es Ia siguiente: si Ia resistencia de Ia fuente es R1, qué valor debe tener R2 para transferir la potencia mixima al circuito 2? Para determinar lo anterior, se calcuIa la derivada de P con respecto a R2, y se iguala a cero: 0
dP
V2 (1 - R2/R1)
- dR2 - R (1
+ R2/R1)3 Esta expresión puede ser cero sOlo si (1 - R2/R1) = 0, o R2 = R1. En consecuencia, Ia potencia maxima se transmite cuando la impedancia de salida de un dispositivo es igual a Ia impedancia de enirada de otro dispositivo (el segundo). Esto se conoce como acoplamiento de impedancias. En un circuito de ca que contiene capacitores e inductores, las diferentes fases son importantes y el análisis es más complicado. Sin embargo se Ilega al mismo resultado: para maximizar Ia transferencia de potencia es importante el acoplamiento de las impedancias (Z2 = Z1). Además, se debe tener conocimiento de que se puede distorsionar en forma considerable una seflal. Por ejemplo, cuando se conecta un circuito adicional, éste puede hacer que el primer circuito entre en resonancia, o puede eliminar la resonancia a cierta frecuencia. Sin las consideraciones adecuadas en las impedancias que están involucradas, una persona puede efectuar mediciones que carezcan completamente de sentido. Normalmente, los ingenieros examinan estas consideraciones cuando diseflan un conjunto de aparatos. Han habido ocasiones en las que los investigadores han conectado entre si varias componentes sin tomar en cuenta el acoplamiento de sus impedancias, para luego anunciar un "descubrimiento nuevo" que posteriormente se determinO que era penoso debido a Ia falla en el acoplamiento de las impedancias, y dejO de ser el fenOmeno natural que habIan pensado. En algunos casos se utiliza un transformador para modificar una impedancia, de tal forma que se puede acoplar a otro circuito. Si Z, es la impedancia del secundario y *SECCION 31-7
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Acoplamiento de impedancias
781
Z, es Ia impedancia del primario, entonces pico o rcm de corriente y voltaje). De ahI que
= JZ, y V, =
(I y V son valores
(N'2
VI
Z - VI - N)
ya se han utilizado las ecuaciones 29-5 y 29-6 para un transformador. En consecuencia Ia impedancia se puede modificar con Ia ayuda de un transformador. Ciertos instrumentos, como son los osciloscopios, requieren solamente una señal de voltaje y muy poca potencia. En este caso Ia transferencia maxima de potencia no es tan importante y en consecuencia estos instrumentos pueden tener una impedancia de entrada elevada, lo que proporciona Ia ventaja de que el instrumento toma muy poca corriente y molesta lo menos posible al circuito original.
CA trifásica Normalmente las lIneas de transmisiOn están integradas por cuatro alambres, en vez de dos como usted podrIa esperar. Uno de estos alambres es tierra; los tres restantes se utilizan para transmitir la energia trifásica de ca, que Cs una superposiciOn de tres voltajes de ca que estan desfasados 120° entre Si: V1 = V0senwt
V2 = V0sen(wt + 21T/3)
V3 = Vosen(wt + 4ii-/3).
(Véase Ia figura 31-11.) Por qué se utiliza Ia energIa trifásica? Ya se vio en Ia figura 25-20 que Ia ca monofásica (por ejemplo el voltaje V1 en sI) entrega energIa a una carga en forma de pulsos. Se puede entregar un flujo mucho mas suave de energIa Si SC utiliza la alimentaciOn trifasica. Suponga que cada uno de los tres voltajes que integran una fuente trifásica se conectan a un resistor R. Entonces Ia potencia entregada es:
P= Se puede demostrar que esta energIa es constante e igual a 3V/2R, que es tres veces la potencia rem que entrega una fuente monofésica. El flujo suave de energIa hace que el equipo eléctrico opere con mayor facilidad. Aunque los hogares utilizan alimentación monofásica de Ca, Ia mayor parte de la maquinaria tipo industrial está diseñada para operar con alimentaciOn trifésica. Tres voltajes fuera IT radianes), en de fase en 1200 ( una IInea de alimentación trifásica. FIGURA 31-11
vI
7L
-\:
t(s) V2
'V3
Circuito trifásico. En un circuito trifásico hay 266 Vrcm entre Ia lInea 1 y tierra. ,Cuál es el voltaje rem entre las lIneas 2 y 3?
SOLUCION Se tiene
Vrcm = v0iV = 266 V. De ahI que V0 = 376 V. Ahora V3 - V2 = Vo[sen(wl + 4ir/3) - sen(wt + 2ir/3)] = 2V0sen()cos(2wt) pero se utiliza Ia identidad senA - senB = 2sen(A - B) cos(A + B). El voltaje
rem es
(V3 - V2)rcm
782
CAPiTULO 31
1
2V0sen
Circuitos de CA
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IT
3
= \/(376V)(0.866) = 460 Vrms.
Resumen La capacitancia y La inductancia ofrecen cierta impedancia (o resLstencia) a! flujo de La corriente alterna, como sucede con La resistencia. Esta impedancia se conoce como reactancia X. Para La capacitancia y La inductancia La reactancia se define, como sucede con los resistores, como la constante de proporcionalidad entre el voltaje y Ia corriente (ya sea que se trate de valores rem o pico). En un capacitor
V0 = I0X, y en un inductor
En un circuito de ca tipo LRC en serie, la impedancia total Z se define como el equivalente de V = JR para Ia resistencia, ya sea V0 = 10Z o Vtçm = jrcmZ. Z se relaciona con R, C y L de acuerdo a
Z=
+ (XL - x)2.
La corriente en el circuito se retrasa (o adelanta) con respecto a! voltaje de Ia fuente en un ánguLo 4) que está determinado por cos4) = R/Z. En un circuito LRC solamente Ia resistencia disipa energIa con una rapidez
V0 = JOXL.
= 1crnZc0s4)
La reactancia de un capacitor disminuye con Ia frecuencia:
donde el factor cos 4) se conoce como factor de potencia.
X = 1/wC, donde w = 2-f, y f es Ia frecuencia. La reactancia de un inductor aumenta con Ia frecuencia:
Un circuito RLC en serie resuena a una frecuencia que está determinada por
wo -
XL = wL.
En un resistor Ia corriente siempre estará en fase con el
voltaje, pero esto no es cierto en los inductores y capacitores: en un inductor La corriente sé retrasa con relación al voltaje en 90°, y en un capacitor Ia corriente se adelanta al voltaje en 90°.
1
\/LC
0
fo---2r 27r\/LC (O
1
La corriente rem en el circuito es maxima cuando el voltaje aplicado tiene una frecuencia f. Mientras menor sea La resistencia R, el pico de resonancia será más grande y afilado.
Preq u ntas ,Bajo qué condiciones Ia impedancia de un circuito LRC es
Si cos 4) es inferior a cero, ecuación 31-11, esto indica que
minima? LPor qué se puede suponer que La corriente en un circuito LRC tendrá La misrna frecuencia que Ia fern aplicada?
plique.
En un circuito LRC, si XL > X se dice que el circuito es predominanternente inductivo. Si X > XL se dice que el circuito es predorninantemente capacitivo. Analice las razones de estos términos. ,Indican algo acerca de los valores relativos de L y C en una frecuencia determinada? ,Acaso los resuttados de Ia secciOn 31-5 se aproxirnan a los resultados adecuados que se esperan cuando w se aproxima a cero? jCuáles son los resultados esperados? Cuando un generador de ca se conecta a un circuito LRC, Lde dónde proviene La energIa en ültirna instancia? AdOnde va? LEn qué forma afectan los valores de L, C y R a Ia energIa que suministra el generador? Analice Ia validez de las dos leyes de Kirchhoff (secciOn 26-3) cuando se aplican a circuitos de ca que contienen varios lazos.
,Es posible que Ia potencia de salida instantánea de un generador de ca se conecte a un cirduito LRC aiin cuando esta p0tencia sea negativa? Explique. j,Puede indicar si Ia corriente en un circuito LRC se adelanta o se retrasa con respecto al voltaje aplicado si se conoce el factor de potencia cos 4)?
P < 0. LEsto puede suceder? LCos cb puede ser negativo? ExE] factor de potencia (cos 4)) depende de la frecuencia? LLa p0tencia disipada en un circuito LRC depende de la frecuencia? Cuál es el significado del signo de 4) (+ o )? Se trata de una convención o una regla fija? Describa brevemente en qué rnanera afecta la frecuencia de Ia fuente de fern a Ia irnpedancia de (a) una resistencia pura, (b) una capacitancia pura, (c) una inductancia pura, (d) un circuito LRC que está cerca de La resonancia (R pequena), (e) un circuito LRC que está lejos de Ia resonancia (R pequena).
Analice Ia respuesta de un circuito LRC conforrne R -* 0
cuando Ia frecuencia est (a) en resonancia, (b) cerca de resonancia, (c) lejos de resonancia. Hay disipación de energIa en cada caso? Analice las transformaciones de energia que ocurren en cada caso. i,Puede indicar si un circuito está o no en resonancia Si tiene el valor del factor de potencia, cos 4)? Un circuito resonante LRC se conoce corno circuito oscilador. LQue es lo que oscila? Compare Las oscilaciones de un circuito LRC con La vibración de una masa m en un resorte. LA qué corresponden L y C en el sistema rnecánico?
Preguntas
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783
Problemas F a una frecuencia de (a) 60 Hz, (b) 1.0 MHz? (I) ,A qué frecuencia un inductor de 22.0 mH tendrá una reactancia de 660 1? (I) A qué frecuencia un capacitor de 2.40 iF tendrS una reactancia de 6.70 kfl? (I) Realice una gráfica de Ia impedancia de un capacitor de 5.8 en función de Ia frecuencia, desde 10 Hz hasta 1000 Hz. Realice una grafica de Ia impedancia de un inductor de 5.00 mH en funciOn de Ia frecuencia, desde 100 Hz hasta 10,000 Hz. (1) Calcule La impedancia de, y Ia corriente rem, en una bobina de radio de 36.0 mH que se conecta a una Imnea de ca de 750 V (rcm), 33.3 kHz. Ignore Ia resistencia. ,CuáI será La inductancia L del primario de un transformador cuya entrada es 110 V a 60 Hz y Ia corriente que consume es 2.2 A? Suponga que no fluye corriente en el secundario. (II) (a) LCuál será Ia impedancia de un capacitor de 0.036 F que se conecta a una Ilnea de 22 kV (rcm) y 600 Hz? (b) jCuál será el valor pico de Ia corriente y su frecuencia? (11) En lugar de comenzar nuestro análisis de los circuitos de ca con La ecuación 31-1, suponga que hemos asumido que eL voLtaje externo era V = V0 sen wt. Demuestre que cuando este voltaje (a) se conecta solamente a un capacitor C, La corriente será I = wCV0 cos wi = wCV0 sen (wt + 90°), y (b) cuando (I) Cuá1 es La reactancia de un capacitor de 7.2
ta solamente a un inductor L, Ia corriente será I = -(V0/wL) coswt = (Vo/wL) sen(wi - 90°). (II) Una corriente I = 1.80 cos3771 (len amperes, ten segundos y el "ángulo en radianes") fLuye en un circuito LR tipo Sen
en el que L = 3.85 mH y R = 260 Ii CuáL es Ia potencia
disipada promedio? (II) Un capacitor se conecta en paralelo con cierto dispositivo B, como se muestra en La figura 31-4b, para eliminar las señales parásitas de alta frecuencia, pero debe permitir el paso de Ia corriente de lInea de 60 Hz con pocas pérdidas. Suponga que el circuito B de La figura 31-4b tiene una resistencia R = 400 1 conectada a tierra, y C = 0.35 tE ,,Qué porcentaje de La corriente de entrada pasani a través de C en vez de pasar por R si (a) Ia frecuencia es 60 Hz, (b) Ia frecuencia es 60,000 Hz?
(I) Un resistor de 1.20 kfl y un capacitor de 6.8 F se conectan en serie a una fuente de ca. Calcule La impedancia del circuito si Ia frecuencia de Ia fuente es (a) 60 Hz, (b) 60,000 Hz. (I) Un resistor de 90 kfl se conecta en serie con un inductor de 26.0 mH a una fuente de ca. Calcule La impedancia del circuito Si La frecuencia de Ia fuente es (a) 50 Hz, (b) 50.000 Hz. Para un voLtaje de 120 Vca 60 Hz, el flujo de una corriente
(IL) (a) CuáI será La corriente rcm en un circuito serie LR cuando se aplica un voltaje de 120 V, 60 Hz, donde R = 765 2 y L = 250 mI-i? (b) ,,Cuál será el anguLo de fase entre el voltaje y La corriente? (c) Cuánta potencia se disipa? (d) ,CuáLes serán Las lecturas de un voLtImetro rcm en R y L? (II) Un inductor de 35 mH que tiene una resistencia de 2.0 fi se conecta en serie con un capacitor de 20 j.tF a una fuente de 45 V, 60 Hz. CaLcule (a) La corriente rem, (b) eL ángulo de fase, (c) La potencia que disipa eL circuito.
(IL) Una bobina de 40 mH cuya resistencia es 0.80 ft se conecta a un capacitor y a una fuente de voLtaje de 360 Hz. LSi La corriente y eL voltaje están en fase, cuál será eL valor de C? (II) ,CuáI será La resistencia de una bobina si su impedancia es 335 ft y su reactancia es 45.5 fl?
(II) En el circuito LRC de La figura 31-6, suponga que I = J
senwt y V = V0sen(wt + c/). Determine Ia potencia instanninea que disipa eL circuito a partir de P = IV, utilice estas ecuacio-
nes y demuestre que en el promedio P = V0 l cos , Lo cual confirma La ecuación 31-11. (IL) Si V = V0sen wt, LcuáL será el valor promedio de V en (a) un ciclo completo, (b) La mitad de un cicLo? ,COmo se compara esto con Vrem?
(IL) Un circuito está integrado par un resistor de 150 ft en serie con inductor de 40.0 mH y un generador decade 60.0 V. La potencia que disipa el circuito es 15.5 W. CuáL es Ia frecuencia del generador? (II) ,CuáI es Ia impedancia total, el ángulo de fase, y Ia corriente rem en un circuito LRC que se conecta a una fuente de 800 Vrcm, 10.0 kHz si L = 32.0 mH, R = 8.70 kft, y C = 5000 pF?
Un capacitor de 3200 pF se conecta en serie con un inductor de 26.0 H cuya resistencia es 2.00 ft. ,CuáI es La frecuencia de resonancia del circuito? (1) Cuoil es La frecuencia de resonancia del circuito LRC del ejemplo 31-3? ,,Con qué rapidez se toma Ia energia del generador, en el promedio, a esta frecuencia? Un circuito LRC tiene L = 4.15 mH y R = 220 ft. (a) ,Qué valor debe tener C para generar La resonancia a 33.0 kHz? (b) LCuáL será La corriente mxima en La resonancia si el voltaje cxterno pica es 136 V?
(Ii) ,CuáL seni Ia corriente pico en eI problema 26 si el valor del capacitor se elige para que Ia frecuencia de resonancia sea el doble de Ia frecuencia aplicada de 33.0 kHz? (IL) Un circuito resonante que utiliza un capacitor de 220 tF debe resonar a 18 kI-Iz. EL inductor con nOcleo de aire debe ser un solenoide cuyas vueltas están cerca unas de otras, y debe embobinarse con 12.0 m de alambre aislado cuyo diámetro es 1.1 mm. Cuántas vueltas debe tenet el inductor? (II) (a) Demuestre que La osciLación de Ia carga Q en el capacitot de un circuito LRC tiene una amplitud
de 70 mA a través del cuerpo durante 1.0 s puede ser letal. ,CuáI debe ser Ia impedancia del cuerpo para evitar que esto suceda? (a) Cuál es Ia corriente rcm en un circuito RC tipo serie si R = 6.0 kfl, C = 0.80 F, y el voLtaje rem aplicado es 120 V a 60 Hz? (b) LCuáL es el ángulo de fase entre eL voltaje y La co-
rriente? (c) Cuil es La potencia que disipa el circuito? (d) ,Cules serlan Las lecturas de un voltImetro en R y C? 784
CAPITULO 31
Circuitos de CA
V0
=
(wR) +
(W2L
-
A qué frecuencia angular w' será máximo el valor de Q0? Compare eI resultado con un oscilador armónico amortiguado y analice su respuesta (véase también Ia pregunta 16 de este capituLo).
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(II) Demuestre que Ia anchura de un pico de resonancia, que se define como Ia diferencia en frecuencia (angular) entre dos fre \/R/L. está determinada por w cuencias donde I =
(II) (a) Determine una fOrmula para Ia potencia promedio P que se disipa en un circuito LRC en términos de L, R, C, w y V0. (b) A qué frecuencia es maxima La potericia? (c) Determine una fOrmula aproximada para el ancho del pico de resonancia en Ia potencia promedio, w, que es la diferencia entre dos frecuencias angulares, donde P tiene [a mitad de su valor mOximo. Suponga que el pica es puntiagudo.
(I) La salida de un amplificador ECG tiene una impedancia de 35 kIt, y se va a conectar a una bocina de 8.0 It con La ayuda de un transformador. j,Cudl deberd set Ia relaciOn de vueltas del transformador? (I) Un amplificador de audio tiene conexiones de salida de 411, 811 y 16 It. Si se van a conectar dos bocinas de 8 11 en paraLelo, a qué terminal se deben conectar?
Problemas generales Suponga que el circuito B de Ia figura 31-4a está formado por una resistencia R = 800 fl y una capacitancia C = 1.2 F. Este capacitor actuarO para eliminar Ia corriente de 60 Hz pero dejará pasar Ia senal de alta frecuencia de 60,000 Hz? Para compro-
bar lo anterior determine La caIda de voltaje en R para una senal de 130 mV cuya frecuencia es (a) 60 Hz, (b) 60,000 Hz. Una bobina de 230 mH cuya resistencia es 18.5 fl se conecta a un capacitor C y a una fuente de voltaje de 3360 Hz. Cuál debe ser el valor de C para que Ia corriente y el voltaje estén en fase?
Un circuito contiene dos elementos pero no se sabe si se trata de L, R a C. La corriente en este circuito es 5.6 A cuando se conecta a una fuente de 120 V, 60 Hz. La corriente estO retrasada
con relaciOn al voltaje en 50g. CuOles son los dos elementos y cud les son sus valores? Una bobina opera a 240 V y 60 Hz y consume 22.8 A. ,Cudl es La inductancia de La bobina? (a) LCudl serd Ia impedancia de un capacitor aislado de 0.038 F que se conecta a una Linea de 4.0 kV (rcm) de 700 Hz? (b) ,Cudl serd el valor pico de Ia corriente?
Un resistor de 3.5 kIt se conecta en serie con un inductor de 620 mH, ambos se energizan con una fuente de ca. ,A qué frecuencia se duplicard Ia impedancia con respecto a Ia impedancia a 60 Hz?
(a) ,Cudl serd Ia corriente rcm en un circuito RC si R = 8.80 kIt, C = 1.80 F, y el voltaje rcm aplicado es 120 V a 60 Hz?
En el andlisis del circuito serie LRC de Ia figura 31-6, suponga que V = V0 sen at. (a) Construya el diagrama de fasores, como el de La figura 31-8. (b) Escriba una fOrmula para La corriente I, defina todos los términos. Un voltaje V = 0.95 sen 754t se aplica a un circuito LRC (I estO en amperes, t en segundos, y el anguLo en radianes) donde L = 22.0 mH, R = 23.2 kIt y C = 0.30 F. (a) Cudl serO Ia impedancia y eL ángulo de fase? (b) ,Cudnta potencia se disipa en el circuito? (c) LCuál serd La corriente y el voltaje rem en cada elemento? Circuito de fihtro. La figura 31-12 muestra el circuito de un filtro sencillo que fue disenado para permitir el paso de voltajes de cd con minima atenuación, y eliminar tanto como sea posible, cualquier componente de ca (como el voltaje de Ilnea de 60 Hz que puede provocar ruido en un receptor estereofOnico). Suponga que V00 = V1 + V2, donde V1 es cd y V2 = V20 sen wE. Suponga ademds que cualquier resistencia es muy pequena. (a)
Determine Ia corriente que pasa por el capacitor, indique Ia amplitud y Ia fase (suponga que R = 0 y XL > Xc). (b) Demuestre que Ia componente de ca del voltaje de salida V,,ai es igual a (Q/C) - V1, donde Q es La carga en el capacitor en cualquier instante, y determine Ia amplitud y Ia fase de V2001 (c) De-
muestre que Ia atenuación del voltaje de ca es mayor cuando X r0, por lo que para puntos más allá del borde de las placas todo el flujo está contenido dentro de las placas (area = irr) y Dff = E1Tr. La ley de Ampere da entonces
B(2irr) = i.ocof(1TrE) =
p00Trr0-
0
oEor dE
B
2r
[r
dt
ro]
B tiene su valor máximo en r = r0 que, por cualquiera de las relaciones anteriores (usando r0 = \/A/ir = 5.6 cm), es B
=
ri00r0
2
dE dl
(4i X i0 T' m/A)(8.85 X 10-12 C2/N rn2)(5.6 x 102 m)(4.0 X 10 V/rn. s)
= 1.2 x 104T.
Este es un campo muy pequeflo y dura sOlo brevemente (la constante de tiempo RC = 6.0 X 10s) por lo que serIa muy difIcil de medir. Escribamos el campo magnético B fuera de las placas del capacitor del ejemplo 32-1 en términos de Ia corriente I que sale de las placas. El campo eléctrico entre las placas se puede escribir E = cr/e0 = Q/e0A, como lo acabamos de ver (parte b). Por consiguiente, B para r > r0 es, con dQ/dt = I, B
-
p00r dE 2r dl
-
ii0e0r 2r
I
ttoI
0rr - 2irr
Esta es Ia misma fOrmula para el campo que rodea a un alambre (ecuación 28-1). AsI, el campo B fuera del capacitor es el mismo que el que se encuentra fuera del alambre. En otras palabras, el campo magnético producido por ci campo eléctrico variable entre las placas es el mismo que el producido por Ia corriente en el alambre. 790
CAPITLILO 32
Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneticas
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Corriente de desplazamiento Maxwell consideró conveniente interpretar el segundo término a Ia derecha en la ecuación 32-1 como equivalente a una corriente eléctrica. Ella llamO corriente de desplazamiento, 'D Una corriente ordinaria I es liamada entonces una corriente de conducción. La ley de Ampere puede entonces escribirse como
B dl =
(32-2)
+ 1D)encl
donde d1)E
(32-3) dt El término "corriente de desplazamiento" se basO en una vieja teorla descartada; no se confunda usted: I, no representa un flujo de carga eléctricat ni tampoco hay un desplazamiento. =
Ley de Gauss para el maqnetismo Estamos casi en una posiciOn de poder establecer las ecuaciones de Maxwell, pero primero tenemos que analizar el equivalente magnético de la ley de Gauss. Como vimos en el capItulo 29, para un campo magnético B, el flujo mcignétiCO 'B a través de una superficie se define como
=
fB
dA
donde la integral es sobre el area de una superficie abierta o cerrada. El flujo magnético a través de una superficie cerrada, es decir, una superficie que encierra completamente un volumen, se escribe (1)8 =
B dA.
En el caso eléctrico, vimos en La secciOn 22-2 que el flujo eléctrico 1)E a través de una superficie cerrada es igual a Ia carga neta total Q encerrada por la superficie, dividida entre (ecuación 22-4):
E dA =
0
Esta relaciOn es Ia ley de Gauss para la electricidad. Podemos escribir una relación similar para el flujo magnético. Sin embargo, hemos visto que a pesar de bflsquedas intensas, jamás se han observado polos magnéticos aislados (monopolos), esto es, el equivalente magnético de simples cargas eléctricas. Por consiguiente, Ia ley de Gauss para el magnetismo es
B dA = 0.
(32-4)
LIneas de campo magnético para una barra imantada. FIGURA 32-5
En términos de IIneas de campo magnético, esta relación nos dice qué tantas ilneas entran como salen al volumen encerrado. Si los monopolos magnéticos no existen, entonces no hay "fuentes" o "sumideros" donde las Ilneas de campo magnético se inicien o se detengan, tal como las lmneas de campo eléctrico se inician en cargas positivas o se detienen en cargas negativas. Las lIneas de campo magnético deben ser entonces continuas. Ain para una barra imantada existe un campo magnetico B tanto dentro como fuera del material magnético, y las lIneas de B son lazos cerrados, como se muestra en Ia figura 32-5. La interpretaciOn del campo eléctrico variable como una corriente de desplazamiento concuerda bien con nuestro análisis en el capItulo 31 donde vimos que una corriente alterna parece pasar por un capacitor (aunque no La carga). También significa que Ia regla del punto de Kirchhoff será válida aun en una placa de capacitor: pues La corriente de conducción fluye hacia La placa, pero ninguna corriente de conducciOn fluye hacia afuera de Ia placa. Más bien una "corriente de desplazamiento" fluye desde una placa (hacia Ia otra).
SECCION 32-2
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Ley de Gauss para el magnetismo
791
Ecuaciones de Maxwell Con Ia extensiOn de la ley de Ampere dada por Ia ecuaciOn 32-1 más Ia ley de Gauss para el magnetismo (ecuación 32-4), estamos ahora listos para establecer las cuatro ecuaciones de Maxwell. Las hemos visto todas antes en los pasados capItulos. En ausencia de materiales dieléctricos o magnéticos, las ecuaciones de Maxwell son:
ECL)ACIONES
DL AI4XWELL
EdA = 0Q BdA = 0
(32-5a) (32-5b)
Edl = dB dt 5Bd1 =
(32-5c) dt
(32-5d)
Las primeras dos ecuaciones de Maxwell son simplemente Ia ley de Gauss para Ia electricidad (capItulo 22, ecuaciOn 22-4) y la ley de Gauss para el magnetismo (secciOn 32-2, ecuación 32-4). La tercera es Ia ley de Faraday (capftulo 29, ecuaciOn 29-2) y Ia cuarta es la ley de Ampere modificada por Maxwell (ecuación 32-1). (Suprimimos los subIndices por simplicidad.)
Ellas se pueden resumir en palabras: (1) una forma generalizada de la ley de
Coulomb, relacionando el campo eléctrico a sus fuentes, o cargas electricas; (2) lo mismo para el campo magnético, excepto que Si 110 hay monopolos magneticos, las lIneas de campo magnético son continuas, esto es, no comienzan o terminan (como lo hacen las lIneas de campo eléctrico en las cargas); (3) un campo eléctrico es producido por un campo magrletico variable; (4) un campo magnético es producido por una corriente eléctrica o por un campo eléctrico variable. Las ecuaciones de Maxwell son las ecuaciones básicas para todo el electromagnetismo. Todo el electromagnetismo est contenido en este conjunto de cuatro ecuaciones. Son tan fundamentales como las tres leyes del movimiento de Newton y Ia ley de Ia gravitación universal. En capItulos previos hemos visto que podemos tratar los campos eléctricos y magnCticos por separado si no varIan con el tiempo. Pero no los podemos tratar de manera independiente si cambian con el tiempo, ya que un campo magnCtico variable produce un campo elCctrico, y un campo eléctrico variable produce un campo magnético. Un resultado importante de esas relaciones es la producciOn de ondas electromagnéticas.
Producción de ondas electromagneticas I
o
®
FIGURA
oitT O
bién variable. Este campo eléctrico variable producirá a su vez un campo magnético
-1
+1 B es hacia afuera
De acuerdo con Maxwell, un campo magnetico será producido en el espacio vaclo si hay un campo eléctrico variable. De esto, Maxwell derivO otra sorprendente conclusiOn. Si un campo magnético variable produce un campo eléctrico, ese campo eléctrico será tam-
0 0
®
I- 0
B es
0
adentro
32-6 Campos producidos
por carga fluyendo en conductores. Toma tiempo para los campos E y B viajar hacia afuera a puntos distantes.
192
CAPITULO 32
que a su vez será variable y producirá un campo eléctrico variable, etc. Cuando Maxwell manipulO sus ecuaciones, encontrO que el resultado neto de esos campos variables interactuantes era una onda de campos eléctricos y magnéticos que puede realmente propagarse (viajar) por el espacio. Examinaremos ahora, de manera simplificada, cOmo tales ondas electromagnéticas pueden ser producidas. (En Ia sección 32-5 las examinaremos más cuantitativamente.)
Consideremos dos barras conductoras que servirán como una "antena", figura 32-6a. Supongase que esas dos barras están conectadas por un interruptor a las terminales opuestas de una baterIa. Tan pronto como el interruptor se cierra, Ia barra superior se carga positivamente y Ia inferior se carga negativamente. Las IIneas de campo eléctrico se forman como se iridica por los cIrculos en Ia figura 32-6b. Cuando las cargas fluyen, existe una corriente cuya dirección está indicada por las flechas. Se produce por tanto un campo magnético cerca de Ia antena. Las lIneas de campo magnético encierran
Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneticas
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los alambres y por consiguiente, en el piano de la página, B seflala hacia el papel (®) a Ia derecha y hacia afuera del papel (0) a Ia izquierda. Preguntamos ahora, ,qué tan lejos se extienden esos campos eléctricos y magneticos? En el caso esttico, los campos se extienden hacia afuera iridefinidamente lejos. Sin embargo, cuando el interruptor en la figura
32-6 se cierra, los campos rápidamente aparecen en Ia cercanla, pero les toma tiempo aicanzar puntos distantes. Ambos campos, ei eléctrico y el magnético, almacenan energla y esta energIa no puede ser transferida a puntos distantes con rapidex infinita. Veremos ahora la situación de Ia figura 32-7 donde nuestra antena está conectada a un generador de ca. En Ia figura 32-7a, la conexión ha sido justamente estabiecida. La carga empieza a acumularse y los campos se forman como en Ia figura 32-6. Los signos + y - en Ia figura 32-7a indican Ia carga neta en cada barra. Las flechas negras indican Ia direcciOn de Ia corriente. El campo eléctrico es representado por las curvas en el plano de Ia pagina; y el campo magnético, de acuerdo con la regla de Ia mano derecha es hacia (®) o saliendo (0) de Ia página. En Ia figura 32-7b, el voltaje del generador de ca ha invertido su dirección, asI como la corriente y el nuevo campo magnético. Como los nuevos campos han cambiado de dirección, las ilneas viejas se pliegan para conectarse a algunas de las lIneas nuevas y forman lazos cerrados como se muestra.t Sin embargo, los campos viejos no desaparecen repentinamente, están en camino a puntos distantes. Como un camP0 magnético variable produce un campo eléctrico, y un campo eléctrico variable produce un campo magnético, esta combinaciOn de campos eléctricos y magneticos variables que se mueven hacia afuera es autosoportante y no depende más de las cargas en Ia antena. Los campos no lejanos de Ia antena, ilamados campo cercano, se vuelven muy complicados, pero no estamos interesados en ellos. Nos interesan más bien los campos alejados de Ia antena (ellos son en general lo que detectamos), a los que llamamos el campo de radiación. Las lIneas de campo eléctrico forman lazos, como se muestra en la figura 32-8, y continüan moviéndose hacia afuera. Las lineas de campo magnético también forman lazos cerrados, pero no se muestran ya que son perpendiculares a Ia pagina. Aunque las Ilneas se muestran sOlo a Ia derecha de Ia fuente, los campos también viajan en otras direcciones. Las intensidades de campo son maximas en direcciones perpendiculares a las cargas oscilantes, y caen a cero a lo largo de Ia direcciOn de la oscilación, arriba y abajo de Ia antena en Ia figura 32-8. Se encontró que las magnitudes de E y B en el campo de radiación decrecen con Ia distancia hr. (Compare esto con el campo eléctrico estático dado por Ia ley de Coulomb donde E decrece con hr2.) La energIa ilevada por la onda electromagnetica es propor-
Secuencia que muestra campos eléctricos y magnéticos que se dispersan hacia afuera a partir de cargas oscilantes sobre dos conductores conectados a una fuente de ca (véase el texto). FIGURA 32-7
cional (como para cualquier onda, capItulo 15) a! cuadrado de la amplitud, E2 o B2, como
veremos en la sección 32-7, por lo que La intensidad de la onda decrece con hr2. Varias cosas acerca del campo de radiación pueden notarse en Ia figura 32-8. Primero, los campos eléctrico y magnético en cualquier p unto son perpendiculares entre si y a Ia dirección del movimiento. Segundo, podemos ver que los campos alternan su direcciOn
(B entra a Ia página en algunos puntos y sale de la página en otros, y similarmente para E). AsI, Ia intensidad de los campos varla de un máximo en una dirección, a cero, a un máximo en la otra dirección. Los campos eléctrico y magnético están "en fase", esto es, son cero en los mismos puntos y alcanzan sus máximos en los mismos puntos en el espacio. Finalmente, muy lejos de la antena (figura 32-8b) las Ilneas de campo son bastante planas sobre un area razonablemente grande, y a las ondas se les llaman ondas planas.
tEstamOs considerando ondas que viajan por el espacio vaclo, por 10 que no hay cargas para las lIneas de E donde éstas comiencen o se detengan, y formen entonces lazos cerrados. Las lineas de campo magnético siempre forman lazos cerrados ya que parece no haber polos magnéticos (separados).
(a) Los campos de radiaciOn (lejos de Ia antena) producidos por una señal senoidal sobre Ia antena. Los lazos cerrados representan lIneas de campo eléctrico. Las lIneas de campo magnético, perpendiculares a la página y representadas por ® y 0, también forman lazos cerrados. (b) Muy lejos de La antena, los frentes de onda (lIneas de campo) son esencialmente pianos sobre un area bastante grande, y son llamados ondas planas. FIGURA 32-8
DirecciOn .1
Antena
viaje
(a)
SECCION 32-4
ProducciOn de ondas electromagnéticas
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193
FIGURA 32-9 Intensidades de campo eléctrico y magnético en una onda electromagnética. E y B están en angulos rectos entre si. El patron total se mueve en una direcciOn perpendicular a E y a B.
/
Si el voltaje fuente varfa senoidalmente, entonces las intensidades en los campos eléctrico y magnético en el campo de radiaciOn variarOn también senoidaimente. El CarOcter senoidal de las ondas se muestra en la figura 32-9 donde las intensidades de cam0 estOn graficadas como funciOn de Ia posición. NOtese que B y E son perpendiculares entre si y a la direcciOn de viaje, como se indicO arriba. Liamamos a esas ondas, ondas electromagnéticas (EM). Son ondas transversales y se parecen a otros tipos de ondas (capItuio 15). Sin embargo, las ondas EM son siempre ondas de campos, no de materia como las ondas en el agua o en una cuerda. Como son campos, las ondas EM se pueden propagar en el espacio vacIo. Hemos visto en el análisis anterior que las ondas EM son producidas por cargas eléctricas que oscilan en una antena, y por consiguiente estOn siendo aceleradas. De hecho, podemos decir en general que las cargas eléctricas aceleradas dan lugar a ondas electromagnéticas. Las ondas eiectromagneticas se pueden producir también de otra manera, Ia cual requiere Ia descripciOn de los niveles atOmicos y nucleares, que veremos después. E
y
x
7-----;
V
-
A
DirecciOn del movimiento de la onda
B
Ondas electromagneticas, y su rapidez, a partir de las ecuaciones de Maxwell Examinemos ahora cOmo Ia existencia de las ondas EM se deriva de las ecuaciones de Maxwell. Veremos que Ia predicciOn de Maxwell de Ia existencia de las ondas EM fue sorprendente. Igualmente sorprendente fue la predicción de Ia rapidez a Ia que viajan. Comenzamos considerando una region de espacio libre, donde no hay cargas ni corrientes de conducción, esto es, lejos de Ia fuente de manera que los frentes de onda (las lIneas de campo en Ia figura 32-8) son esencialmente pianos sobre un area razonable. Se Ilaman entonces ondas planas, esto es, que en cualquier instante, E y B son uniformes sobre un piano razonablemente piano perpendicular a la direcciOn de propagaciOn. Suponemos también, en un sistema coordenado particular, que Ia onda estO viajando en Ia dirección x con velocidad v = vi, que E es paralelo al eje y, y que B es paralelo al eje z, como en Ia figura 32-9. Las ecuaciones de Maxwell, con Q = I = 0, son entonces E
dA = 0
B dA = E
(32-6a) (32-6b)
0
dI= dB
B dl =
dt
dcIE dt
(32-6c)
(32-6d)
NOtese Ia hermosa simetrIa de estas ecuaciones. El término a la derecha en la Oltima ecuación, concebida por Maxwell, es esencial para esta simetria. Es también esencial para que se produzcan ondas electromagnéticas, como veremos ahora. 794
CAPITULO 32
Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneticas
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Si Ia onda es senoidal con longitud de onda A y frecuencia f, entonces, como vimos en el capItulo 15, sección 15-4, una tal onda viajera se puede escribir como
donde
E = E = E0sen(kx - wE) B = B = B0sen(kx - wt)
k=
w=2irf,
(32-7)
y
fA==v,
(32-8)
en donde v es Ia rapidez de Ia onda. Aunque visualizar la onda como senoidal es conveniente, no tendremos que suponer esto en lo que sigue. Consideremos ahora un pequeno rectánguio en ci piano del campo eléctrico como se muestra en Ia figura 32-10. Este rectángulo tiene una altura finita iy y un ancho muy deigado que lo tomamos como la distancia infinitesimal dx. Para mostrar que E, B, y v están en la orientaciOn mostrada, aplicamos Ia ley de Lenz a este lazo rectangular. El flujo magnético variable a través de este lazo está relacionado con el campo eléctrico alrededor del lazo por la ley de Faraday (tercera ecuación de Maxwell, ecuación 32-6c).
Para el caso mostrado, B a través del lazo está decreciendo con el tiempo (Ia onda
se mueve hacia Ia derecha). El campo eléctrico debe tener entonces una dirección que se oponga a este cambio, o sea que E debe ser mayor del lado derecho del lazo que del izquierdo, tal como se muestra (para que produzca una corriente antihoraria cuyo campo magnético actiie oponiéndose al cambio en clB, pero por supuesto que no hay corriente). Este breve razonamiento muestra que Ia orientación de E, B y v tienen Ia relación correcta asI como se muestra. Esto es, v está en la dirección de E >< B. Apliquemos ahora Ia ley de Faraday, que es Ia tercera ecuaciOn de Maxwell (ecuación 32-6c),
E dl =
FIGURA 32-10
Apiicación de Ia icy
de Faraday al rectangulo (y)(dx).
dB di
al rectánguio de aitura Iy y ancho dx mostrado en la figura 32-10. Primero consideradl. A lo argo de las cortas secciones superior e inferior de longitud dx, E es mos perpendicular a dl, por lo que E dl = 0. A lo largo de los lados verticales, hacemos E ci campo eléctrico a lo largo del lado izquierdo, y sobre el lado derecho, donde será ligeramente mayor, lo hacemos E + dE. Entonces, si tomamos el lazo en sentido antihorario,
Edl = (E+dE)y-Ey = dEy. Para el lado derecho de Ia Icy de Faraday, el fiujo magnético a través deJ lazo cambia segCin
dB dB =-dxLy, di
ya que el rea del lazo, (dx)(z\y) no cambia. AsI, la ley de Faraday nos da
dEzy = -dxy 0
dE
dx -
di
En realidad, E y B son furiciones de la posición x y del tiernpo t. Debemos por tanto usar derivadas parciales: 0E 8x
-
(32-9)
8t
donde aE/ax significa Ia derivada de E con respecto a x mientras t se mantiene constante, y aB/at es la derivada de B con respecto a t mientras x se mantiene constante. SECCION 32-5
Ondas electromagnéticas, y su rapidez, a partir de las ecuaciones de Maxwell
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795
1JY
Aplicación de Ia cuarta ecuaciOn de Maxwell FIGURA 32-11
al rectángulo (z)(dx).
Podemos obtener otra importante relación entre E y B en adiciOn a Ia ecuaciOn 32-9. Para hacerlo, consideremos ahora un pequeno rectángulo en el piano de B, cuya longitud y ancho sean LIz y dx, corno se muestra en la figura 32-11. A este lazo rectangular aplicamos la cuarta ecuaciOn de Maxwell (la extensiOn de la ley de Ampere):
dE
B dl =
dl donde hemos tornado / = 0 ya que suponemos Ia ausencia de corrientes de conducción. A lo largo de los lados cortos (dx), B dl es cero ya que B es perpendicular a dl. A lo largo de los lados largos (LIz), B es el campo magnético a lo largo del lado izquierdo de longitud LIz, y B + dB es el campo a lo largo del lado derecho. De nuevo integramos en sentido antihorario, y
B dl = B LIz - (B + dB) LIZ = dB LIZ. El lado derecho de la cuarta ecuación de Maxwell es =
P0Odl
dE
100dx LIz.
Igualando las dos expresiones, obtenemos dE
dB LIz = /ioojdx LIz 0
(32-10)
=
donde hemos reemplazado dB/dxr y dE/dI por las derivadas parciales apropiadas, igual que antes.
Podemos usar las ecuaciones 32-9 y 32-10 para obtener una relación entre las
magnitudes de E y B, y la velocidad v. Sean E y B dadas por las ecuaciones 32-7 como funciOn de x y I. Cuando aplicamos Ia ecuaciOn 32-9, tomando las derivadas de E y B como son dadas por las ecuaciones 32-7, obtenemos
kE0cos(kx - WI) = wBocos(kx 0 E0
W
y BE están en fase, vemos como v = w/k (véase Ia ecuaciOn 32-8 o la 15-12). Como que E y B están relacionadas por E -
(32li)
=v
en cualquier punto del espacio, donde v es Ia velocidad de la onda. Ahora aplicarnos La ecuaciOn 32-10 a los campos senoidaies (ecuaciones 32-7) y obtenemos
kB0cos(kx - WI) = io0WE0cos(kx - WI) 0 B0
E0 196
CAPITULO 32
=
/i0E0W
k
= /L0E0V.
Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneticas
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Pero B0/E0 = 1/v de la ecuaciOn 32il, por lo que 1
/J,00V = 0 1
V=
(32-12)
V o /to
AsI, Ia velocidad de las ondas electrornagnéticas en el espacio libre es una constante, independiente de Ia longitud de onda o de Ia frecuencia. Si le damos valores a y encontramos
v=
1
Ve0/Lo - V(8.85 x 1012C2/N.m2)(4 X 107T.rn/A) = 3.00 x 108 rn/s.
Este es un resultado sorprendente, pues es precisamente igual a Ia velocidad medida de Ia luz.
* Obtenciôn de Ia velocidad de Ia Iuz (en general) Podernos obtener la velocidad de las ondas EM sin tener que suponer ondas senoidales,
combinando las ecuaciones 32-9 y 32-10 corno sigue. Tomamos la derivada con respecto a t de Ia ecuaciOn 32-10 a2B
92E L0
atax -
at2
Luego tomamos Ia derivada de Ia ecuación 32-9 con respecto a x: a2E
a2B
ax2 -
atax
Corno a2B/at ax aparece en ambas relaciones, obtenernos 2E at2
=
1
a2E
p00 ax2
(32-13a)
Tomando otras derivadas de las ecuaciones 32-9 y 32-10, obtenemos Ia misma relaciOn para B: 2B
1
2B
at2 - /.L00 ax2
(32-13b)
Ambas ecuaciones 32-13 tienen La forma de Ia ecuación de onda para una onda plana viajando en la dirección x, a2y at2
2a2y
- V ax2'
corno vimos en Ia sección 15-5 (ecuación 15-16). Vemos que Ia velocidad v está dada por
=
1
IL0 0
de acuerdo con La ecuación 32-12. Vernos asf que un resultado natural de las ecuaciones de Maxwell es que E y B obedecen la ecuaciOn de onda para ondas viajando con rapidez v = l/VILOEo. Fue con base en esto que Maxwell predijo La existencia de las ondas electrornagnéticas. SECCION 32-5
Ondas electromagneticas, y su rapidez, a partir de las ecuaciones de Maxwell
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791
La Iuz como onda electromagnética
"el esoectro electromarnético Los cálculos en Ia secciOn 32-5 dieron el resultado que Maxwell mismo determinO: que Ia velocidad de las ondas EM es de 3.00 >< l0 m/s, misma que Ia velocidad medida para Ia luz.
Se habIa mostrado hace unos 60 años que La luz se comporta corno una onda (veremos esto en el capItulo 35). Pero nadie sabIa qué clase de onda era, esto es, 1que es lo que oscila en una onda de luz? Maxwell, con base en Ia velocidad calculada de las ondas EM, considerO que Ia luz debe ser una onda electrornagnética. Esta idea pronto fue aceptada generalmente por los cientIficos, pero no plenamente sino hasta que las ondas EM fueron detectadas experimentalmente por Heinrich Hertz (1857-1894) en 1887, ocho años después de Ia muerte de Maxwell. Hertz usO un aparato centellador en el que Ia carga se desplazaba de ida y vuelta durante un cierto tiempo pequeflo, generando ondas cuya frecuencia era de aproximadarnente iO Hz. El las detectO a cierta distancia usando un lazo de alambre en el que se producIa una fern cuando pasaba a través de él un campo magnético variable. Se rnostrO luego que esas ondas viajan a la velocidad de Ia Iuz, 3.00 X 10 m/s, y que exhiben todas las caracterIsticas de la luz como reflexión, refracción e interferencia. La (mica diferencia consistla en que no eran visibles. El experirnento de Hertz fue una fuerte confirrnaciOn de Ia teorIa de Maxwell. Las longitudes de onda de Ia luz visible fueron medidas en la primera década del siglo XIX, antes que nadie irnaginase que Ia luz fuese una onda electrornagnética. Se determinó que las longitudes de onda se encontraban entre 4.0 x 1O m y 7.5 x i0 m; o bien, entre 400 nm y 750 nrn (1 nm = iO m). Las frecuencias de Ia luz visible se pueden encontrar usando Ia ecuaciOn 15-1, que reescribimos aquI: (32-14)
fik = c
donde fy A son Ia frecuencia y longitud de onda, respectivarnente, de Ia onda. AquI c es Ia velocidad de Ia luz, 3.00 x 10 rn/s, y recibe el sImbolo especial c debido a su universalidad para todas las ondas EM en el espacio libre. La ecuaciOn 32-14 nos dice que las frecuencias de Ia luz visible son de entre 4.0 >< 1014 Hz y 7.5 )< i0 Hz. (Recuérdese
que 1 Hz = 1 ciclo por segundo = 1 s.)
Pero la luz visible es solo un tipo de onda EM. Corno hemos visto, Hertz produjo ondas EM de frecuencia mucho menor, de aproximadamente iO Hz. Estas se Ilaman ondas de radio, ya que las frecuencias en este rango son usadas para transrnitir seilales de radio y de television. Las ondas electromagnéticas, o radiación EM como a veces las liamarnos, han sido producidas o detectadas en un amplio rango de frecuencias. Son usualmente categorizadas corno se muestra en La figura 32-12, que se conoce corno el espectro electromagnético. Las ondas de radio y las microondas se pueden producir en el laboratorio usando equipo electrOnico, corno lo vimos en la figura 32-7. Las ondas de alta frecuencia son muy difIciles de producir electrOnicamente. Esas y otros tipos de ondas EM son producidas en procesos naturales, como ernisiones de átomos, moléculas y nOcleos. Las ondas EM
FIGURA 32-12
Espectro electromagnético. Longitud de onda (m) 3m
3x1Om
3x104m I
I
I
Infrarrojo Ondas de radio
6',r1L
Radio a,npilud
mad.4)
ITI
I
102
I
106
Rayos X
TeIéf000, cchdo,oS
I
I
I
l0
I
i0
Rayos gamma
Ultravioleta
Microondas (porej., radar FM
(ca)
3x 10'2m
3 x 10-8m
I
I
I
10'°
I
1012
10
I
I
1018
Frecuencia (Hz)
f.4x 10'
798
CAPITULO 32
Luz visible
Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneticas
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I
1020
se pueden producir por Ia aceleraciOn de electrones u otras partIculas cargadas, como los electrones acelerados en Ia antena de Ia figura 32-7. Otro ejemplo son los rayos X, que Se producen (capItulo 36) cuando electrones rpidos son rpidamente desacelerados a! golpear un blanco metálico. Incluso Ia luz visible emitida por un foco incandescente ordinarjo es debjda a electrones sometidos a aceleración dentro del filamento caliente. Veremos luego varios tipos de ondas EM. Sin embargo, vale Ia pena mencionar aquI que Ia radiaciOn infrarroja (IR) (ondas EM cuya frecuencia es justamente menor que Ia de Ia luz visible) es principalmente responsable del efecto térmico del Sol, el cual emite no solo luz visible, sino también considerables cantidades de JR y UV (ultravioleta). Las moléculas de nuestra piel tienden a "resonar" a frecuencias infrarrojas, por lo que son las absorbidas preferentemente y nos calientan. Los humanos experimentarnos las ondas EM de manera diferente dependiendo de sus longitudes de onda: nuestros ojos detectan longitudes de onda entre 4 y 7 X i0 m (luz visible), mientras que nuestra piel detecta longitudes de onda mOs largas (IR). Muchas longitudes de onda EM no podernos detectarlas directamente en absoluto. Longitudes de onda de las ondas EM. Calcule Ia longitud de onda: (a) de una onda EM de 60 Hz, (b) de una onda de radio FM de 93.3 MHz, y (c) de un rayo de luz roja visible de un lOser de frecuencia 4.74 X iO Hz. S0LUCION
(a) Corno c = Af,
3.0 x 108 rn/s = 5.OXlO6m 60s
A = -c =
f
o 5000 km. 60 Hz es la frecuencia de Ia corriente alterna en Estados Unidos, y, como vemos aquI, una longitud de onda se extiende a través de todo ese pals.
3.00 x 108 rn/s
93.3 x i0
=3.22m.
La longitud de una antena FM es aproxirnadarnente Ia mitad de esto (A).
A=
3.00 X 108 rn/s
4.74 X 10's'
= 6.33 x i0 m (= 633 nrn).
Determinación de E y B en ondas EM. SupOngase que La onda EM de 60 Hz en el ejemplo 32-2 es una onda senoidal que se propaga en Ia dirección z con E seflalando en Ia direcciOn x, y E0 = 2.0 V/rn. Escriba expresiones vectoriales para E y B como funciones de Ia posición y el tiempo. SOLUCION
De la ecuación 32-8, tenemos 2
k = 2w/A
5.0 X 106m
= 1.26 X 106rn1
w = 2irf = 27T(6OHz) = 3.77 X 102 rad/s. De Ia ecuaciOn 32-11 con v = c, encontramos que
B0 =
E0 C
=
2.0 V/rn = 6.7 x 109T. 3.0 X 108 rn/s
La direcciOn de propagación es Ia de E x B, como en la figura 32-9. Con E señalando en Ia direcciOn x, y Ia onda propagOndose en Ia direcciOn z, B debe señalar en Ia direcciOn y. Usando las ecuaciones 32-7, hallamos:
E = i(2.OV/rn)sen[(1.26 >< 10m1)z - (3.77 X 102 rad/s)t]
B = j(6.67 X 109T)sen[(1.26 X lcr6m')z - (3.77 X 102 rad/s)t] SECCION 32-6
La Iuz como onda electromagnetica y el espectro electromagnetico
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199
Las ondas electromagneticas pueden viajar a lo largo de lIneas de transrnisión, asI como en el espacio vaclo. Cuando una fuente de fern es conectada a una ilnea de transrnisión, sean dos alambres paralelos 0 un cable coaxial (figura 32-13), el campo eléctrico dentro de los alarnbres no se establece inmediatarnente en todos los puntos a lo largo de ellos, tal corno vimos en la sección 32-4 con referencia a la figura 32-7. Se puede mostrar que silos alarnbres están separados por aire, Ia señal eléctrica viaja a Jo largo de los alambres con rapidez c = 3.0 x 108 rn/s. For ejemplo, cuando se acciona un interruptor de corriente eléctrica, la luz tarda en manifestarse una pequena fracciOn de segundo después. Si los alarnbres estn en un rnedio cuya permisividad eléctrica es y la permeabilidad magnética es jt, Ia rapidez no es dada por la ecuación 32-12, sino por FIGURA 32-13
Cable coaxial.
EnerqIa en las ondas EM; el vector Poynting Las ondas electrornagnéticas ilevan energIa de una regiOn del espacio a otra. Esta energIa está asociada con los campos rnóviles eléctrico y magnético. En Ia secciOn 24-4 vimos que la densidad de energIa (J/m3) alrnacenada en un campo eléctrico E es UE = donde UE es Ia energIa por unidad de volurnen. La energIa almacenada en un carnpo magnético B, corno lo virnos en la secciOn 30-3, está dada por Ufi = B2/to. AsI, Ia energfa total almacenada por volumen unitario en una regiOn del espacio donde hay una onda electromagnética es
u=
1
E2 +
-
lB2
(32-15)
En esta ecuación, E y B representan las intensidades de los carnpos eléctrico y magnético de Ia onda en cualquier instante en una pequena region del espacio. Podemos escribir Ia ecuaciOn 32-15 en términos solo del carnpo E, ya que de Ia ecuación 32-12 tenernos \/o1Lo = 1/c, y de la ecuación 32-11, B = E/c. Insertarnos esto en la ecuaciOn 32-15 y obtenemos
u=
+
2
i-t0
(32-16a)
E2.
Observe que Ia densidad de la energIa asociada con el campo B es igual a la asociada con el compo E, asI que cada una contribuye con Ia mitad de la energIa total. Podemos escribir también la densidad de Ia energIa sOlo en términos del carnpo B: B2
u = E = 0c2 B2 =
/-to
0 B2 U
(32-16b)
1-to
Podemos tarnbién escribir u en un término que contenga a E y B:
u=0E2=0EcB-
/
EB
V 0 P'o
0
u=
IE /JØ
(32-16c)
Las ecuaciones 32-16 dan Ia densidad de energIa en cualquier region del espacio en cualquier instante. 800
CAPITULO 32
Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
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/
y x
E
FIGURA
32-14 Onda electromag-
nética que porta energIa a través del area A.
dx = cdt
Determinemos ahora Ia energIa que la onda transporta por unidad de tiempo y por unidad de area. Esto es dado por un vector S, que se llama vector de Poynting.t Las unidades de S son W/m2. La direcciOn de S es la direcciOn en que Ia energIa es transportada, que es Ia direcciOn en que Ia onda se mueve. Imaginemos que la onda pasa por
un area A perpendicular a! eje x como se muestra en la figura 32-14. En un tiempo corto dt, la onda se mueve hacia la derecha una distancia dx = c di, donde c es Ia rapidez de Ia onda. La energIa que pasa por A en el tiempo di es la energIa que ocupa el volumen dV = A dx = Ac dt. La densidad de energIa u es u = 0E2 donde E es el campo eléctrico en este volumen en el instante dado. La energIa total dU contenida en este volumen dV es entonces Ia densidad de energIa u por el volumen: dU = u dV = (e E2)(Ac di). Por tanto, La energIa que pasa por el area A en el tiempo di es
S=
ldU = 0cE. 2
Como E = cB y c =
i/V0.t0,
S = cE = 2
(32-17)
esto puede también escribirse como
cB2 /to
EB /L
La dirección de S es a lo largo de v, perpendicular a E y B, por lo que el vector Poynting S se puede escribir
(E x B).
S
(32-18)
La ecuación 32-17 o Ia 32-18 da la energIa transportada por unidad de area y por unidad de tiempo en cualquier instanle. A meriudo queremos conocer el promedio sobre un periodo extenso de tiempo ya que las frecuencias son usualmente tan al1 que no detectamos Ia rápida variación en tiempo. Si E y B son senoidales, entonces E2 = E/2, justo como para las corrientes eléctricas y los voltajes (sección 25-7), donde E0 es el valor máximo de E. Podemos escribir, en promedio, para Ia magnitud del vector Poynting,
-S =1 e0cE = lc ---B = 2jt0
2
E0B0
(32-19a)
2I-to
donde B0 es el valor maximo de B. Este valor promediado de S es Ia intensidad, defini-
da como Ia potencia promedio transferida a través de una unidad de area (sección 15-3). Podemos también escribir E1.01 Brms
(32-19b)
I-to
donde Erms y Br,s son los valores rms (Erms =
Brms =
\/B2rms)\
tEn honor de J. H. Poynting (1852-1914).
SECCION 32-7
EnergIa en las ondas EM; el vector Poynting
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801
E y B del Sol. La radiación del Sol llega a la Tierra (arriba de la auiiosiera a Iazon de aproximadamente 1350 W/m2. Suponga que se trata de una soIa onda EM y calcule los valores mximos de E y B.
SOLUCION Como S = 1350W/rn2 = EocE/2, entonces 2S
E0 =
EQC
2(1350 W/rn2)
=\/ (8.85 X 10-12 C2/N . m2)(3.0 x 108 m/s) = 1.01 X iO V/rn. De La ecuación 32-11, B = E/c, entonces B0
-
E0 C
1.01 X i0 V/rn - 3.00>< 108 rn/s
3.37
x 10T.
Este ejemplo ilustra que B tiene un valor numérico pequeno comparado con el de E. Esto se debe a las diferentes unidades para E y B y Ia manera en que esas unidades estan definidas. Pero, como vimos antes, B contribuye con la misma energIa E que en la onda.
*
Presión de Ia radiaciOn Si las ondas electromagnéticas contienen energIa, como lo acabamos de ver, entonces podrIamos esperar que contengan también momentum lineal. Cuando una onda electromagnética encuentra La superficie de un objeto y es absorbida o reflejada, habrá una fuerza ejercida sobre Ia superficie como resultado de Ia transferencia del momentum lineal (F = dp/dt), justo como cuando un objeto golpea una superficie. La fuerza por unidad de area ejercida por las ondas se llama presión de Ia radiación, y su existencia fue predicha pot Maxwell, quien mostrO que Si Ufl rayo de radiación EM (por ejemplo, Iuz) es completamente absorbido por un objeto, entonces el momentum lineal transferido es '-'U C
donde zU es Ia energIa absorbida por el objeto en un tiempo Lt y c es La rapidez de La luz. Si en vez de esto, la luz es totalmente reflejada (suponga que el objeto es un espeJo), entonceS el momentum lineal transferido es dos veces más grande, taL como en eL caso de una pelota que rebota elásticamente en una superficie (capItulo 7):
2U C
Si una superficie absorbe parte de La energIa y refleja parte de ella, entonces = k zU/c, donde k es una constante entre 1 y 2.
Usando Ia segunda ley de Newton, podemos calcular la fuerza y la presiOn ejercidas por Ia radiaciOn sobre eL objeto. La fuerza F esta dada por
F=--dp La razOn promedio con que la energIa es entregada al objeto está relacionada con el vector Poynting por = donde A es el area de la sección transversal del objeto que intercepta Ia radiación. 802
CAPITULO 32
Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneticas
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La presiOn P de Ia radiación (suponiendo absorción total) está dada por
Fld 1 dUS - A - A dt - Ac dt - c
Si Ia luz es totalmente reflejada, Ia presiOn es el doble de grande:
P=. Presión solar. La radiaciOn del Sol que llega a Ia superricle cie Ia I terra transporta energIa a razOn de aproximadamente 1000 W/m2. Estime Ia presión y Ia fuerza ejercidas por el So! sobre su mano exteridida.
SOLUCION La radiaciOn es parcialmente reflejada y parcialmente absorbida, por !o que estimaremos simplemente P = S/c, lo que da
p= c
1000W/rn2
3 X 10 rn/s
3X106N/m2.
Una estimaciOn del area de Ia mano extendida serIa de aproximadarnente 10 cm por 20 cm, o A = 0.02 m2. La fuerza es entonces
F = PA
(3
x 10N/m2)(0.02m2)
6 >< 108N.
Esos nümeros son pequenos. En comparaciOn, Ia fuerza de la gravedad sobre !a mano es de airededor de media libra, o m = 0.2 kg, rng (0.2 kg)(9.8 m/s2) 2 N. Vemos que Ia presión de Ia radiaciOn sobre Ia mano es imperceptible.
Aunque usted no puede sentir directamente los efectos de Ia presiOn de Ia radiaciOn, el fenómeno es muy sorprendente a! aplicarlo a tomos irradiados por un rayo Iaser. Un átomo tiene una masa del orden de 1027 kg, y un laser puede entregar energIa a razOn de 1000 W/m2. Esta es Ia misma intensidad usada en el ejemplo 32-5, pero aquI una presión de radiación de 10 N/rn2 serIa muy considerable sobre una molécula cuya masa fuese de entre 10_23 y 10_26 kg. Dc hecho, es posible mover átomos y moléculas dirigiendolos con un rayo laser, en un dispositivo liamado "pinzas Opticas". Las pinzas ópticas tienen algunas aplicaciones sorprendentes. Son de gran interés especial para los biólogos, ya que las pinzas ópticas pueden manipular organismos vivos sin dafiarlos. Las pinzas Opticas se han usado para medir las propiedades elásticas del DNA jalando cada extremo de Ia molécula con esas pinzas.
*
Radio v television Las ondas electromagnéticas ofrecen la posibilidad de transmitir información a grandes distancias. Entre los primeros en considerar esto y ponerlo en práctica se encontraba Guglielmo Marconi (1874-1937) quien, a finales del siglo XIX, inventó y desarrollO Ia telegraffa inalámbrica. Con ella pudieron enviarse mensajes a cientos de kilórnetros a Ia velocidad de Ia Iuz sin usar alambres. Las primeras señales fueron meramente pulsos largos y cortos que podlan traducirse en palabras por rnedio de un cOdigo consistente en "puntos" y "rayas" del cOdigo Morse. En la década siguiente se desarrollaron los tubos de vaclo o bulbos, de Los cuales nacieron el radio y Ia televisiOn. Analizarernos brevemente (1) cómo son transmitidas las seflales de radio y de television, y (2) cOmo son recibidas en los hogares. *SECCION 32-9
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Radio y television
803
Antena transmisora
Señal
Ondas de sonido
de audio
Senal de audio ,IIn
Senal
- (amplificada)
modulada
zclador
I
Micrófono
Amplificador RF
-
Señal RF = portadora
FIGURA 32-15
Diagrama de bloques de un transmisor de radio.
El proceso por medio del cual una estación de radio transmite informaciOn (palabras y mOsica) está delineado en Ia figura 32-15. La información audible (sonido) se cambia a una seflal eléctrica de la misma frecuencia por medio de un micrófono o una grabadora de cinta. Esta seflal eléctrica se llama audiofrecuencia (AF), ya que las frecuencias estn en el mismo rango auditivo (20 a 20,000 Hz). La señal es amplificada electrónicamente y luego es mezclada con una señal con frecuencia de radio (RF) hamada su frecuencia portadora. Las estaciones de radio AM tienen frecuencias portadoras de entre 530 kHz y 1600 kHz. Por ejemplo, "710 en su banda" significa una estación cuya frecuencia portadora es de 710 kHz. Las estaciones de radio FM tienen frecuencias portadoras mucho más altas, entre 88 MHz y 108 MHz. Las frecuencias portadoras para
estaciones de televisiOn en Estados Unidos se encuentran entre 54 MHz y 88 MHz para los canales del 2 al 6, y entre 174 MHz y 216 MHz para los canales del 7 al 13; las estaciones UHF (frecuencias ultraaltas) tienen frecuencias portadoras aOn más altas, entre 470 MHz y 890 MHz. La mezcla de las frecuencias de audio y portadoras se hace de dos maneras. En la
modulación de Ia amplitud (AM), la amplitud, la onda portadora de frecuencia ms grande se hace variar en proporciOn a Ia amplitud de La seflal de audio, como se muestra en la figura 32-16. Esto se llama "modulaciOn de Ia amplitud" porque La amplitud de Ia
portadora es alterada ("modulada" significa cambiar o alterar). En La modulación de Ia frecuencia (FM), La frecuencia de Ia onda portadora se cambia en proporción a Ia amplitud de Ia señal audio, como se muestra en Ia figura 32-17. La senal mezclada es amphificada ms aOn y es enviada entonces a La antena, desde donde Ia mezcla compLeja de frecuencias es enviada en forma de ondas EM. Un transmisor de teLevisiOn trabaja de manera similar, usando modulaciOn de Ia frecuencia, excepto que tanto las senales de audio como las de video son mezcladas con frecuencias portadoras. FIGURA 32-16 En Ia modulaciOn de Ia amplitud (AM), Ia amplitud de Ia senal portadora se hace variar en proporciOn a la amplitud de La senal de audio.
FIGURA 32-17 En la modulaciOn de frecuencia (FM), la frecuencia de La senal portadora se hace cambiar en proporción a Ia amplitud de Ia senal de audio. Este método se usa por Ia radio FM y televisiOn.
Programa (audio)
?rograma (audio)
Portadora
Portadora 0 4 $
V
Señal total (AM)
804
CAPITULO 32
Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
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Senal total (FM)
Antena receptora Señal
RF
Sintonizador y amplificador RF
Detector
Señal de audio
(demodulaciOn)
FIGURA 32-18 Diagrama de bloques de un receptor simple de radio.
Bocina
Amplificador AF
Vearnos ahora el otro extremo del proceso, La recepción de los programas de radio y de televisiOn en casa. En La figura 32-18 se muestra el diagrarna de un simple radio-
rreceptor. Las ondas EM enviadas por todas las estaciones son recibidas por Ia antena. Un tipo de antena consiste en una o ms barras conductoras; el campo eléctrico en las ondas EM ejerce una fuerza sobre los electrones en el conductor, ocasionando que se muevan de ida y vuelta con las frecuencias de Las ondas (figura 32-19a). Un segundo tipo de antena consiste en una bobina tubular de alambre, que se encuentra a menudo en los radios de AM, o eJ simple lazo de una antena de televisiOn UHF. Estas antenas detectan el campo magnético de La onda, pues el campo B variable induce una fern en Ia bobina (figura 32-19b).
FIGURA 32-19 Antenas. (a) El campo eLéctrico de una onda EM produce una corriente en una antena que consiste en barras o aLambres rectos. (b) Un campo magnético variable induce una fern y una corriente en una antena de lazo.
Antena de barra Antena
4j Corriente producida
F
por Un campo eléctrico
de Lazo
B
Corriente inducida
Dirección de onda EM
Al receptor
(a)
Al receptor (aparato de TV)
P
(b)
La seflal que La antena detecta y envIa al receptor es rnuy pequena y contiene frecuencias de muchas estaciones diferentes. El receptor selecciona una frecuencia de RF particular (en un rango estrecho de frecuencias) correspondiente a una estaciOn particular usando
un circuito resonante LC (secciones 30-5 y 31-6) con un capacitor o inductor variable. Un ejemplo simple se muestra en Ia figura 32-20. Una estaciOn particular es "sintonizada" ajustando L y C de manera que Ia frecuencia resonante del circuito iguale a La frecuencia de La portadora de Ia estaciOn. La senal, que contiene las frecuencias de audio y de Ia portadora pasa a continuaciOn al detector (figura 32-18) donde tiene lugar Ia "demoduIación", esto es, Ia frecuencia portadora RF es separada de La seflal de audio, La cual es amplificada y enviada a una bocina o a unos audIfonos. Los receptores modernos tienen más elementos o etapas que los mostrados. Se usan varios métodos para incrementar La sensibilidad y selectividad (capacidad de detectar senales débiles y distinguirlas de las de otras estaciones), y minimizar La distorsión de Ia senal original.t Un receptor de televisiOn hace cosas similares con las seflaLes de audio y de video. La seflal de audio pasa finalmente a La bocina y La señal de video a la pantalla o tubo de rayos catódicos (CRT) cuya operaciOn vimos en las secciones 23-9 y 27-7.
FIGURA 32-20 Etapa simple de sintonizaciOn de un radio. Antena
Transistor amplificado Circuito de sintonización
tPara transmisión en estéreo FM, dos señales son Ilevadas por Ia onda portadora. Una de esas señales contiene frecuencias de hasta 15 kHz, que incluye Ia mayor parte de las audiofrecuencias. La otra señal incluye el mismo rango de frecuencias, pero se afladen a ella 19 kHz. Un receptor est6reo resta esta seflal de 19,000 Hz y distribuye las dos senales a los canales izquierdo y derecho. La primera seflaJ consiste en Ia suma de los canales izquierdo y derecho (L + R), por lo que los radios monoaurales detectan todo el sonido. La segunda sefia! es Ia diferencia entre los canales izquierdo y derecho (L - R). Por consiguiente, el receptor debe sumar y restar Las dos senales para obtener seflal izquierda y derecha de cada canal.
*scc\j 32-9 www.FreeLibros.me
Radio y televisiOn
805
Sintonización de una estación. Una estación de radio FM i1Hz. Calcule (a) Ia longitud de onda transmisora, y (b) el valor de Ia capacitancia en el circuito sintonizador si L = 0.40H. transmite a 1O
(a) La frecuencia portadora es f = 100MHz = 1.0 x 108s1, por lo
SOLUCION que A
(3.0 x 108m/s) = 3.Om. (1.0 x lo8sH)
c
=
Las longitudes de onda de otras seflales FM (88 MHz a 108 MHz) son cercanas a ésta. Las antenas FM son tIpicamente de 1.5 m de longitud, o aproximadamente una media longitud de onda. Esta longitud se escoge de manera que Ia antena reaccione de modo resonante y sea entonces más sensitiva a las frecuencias FM.
(b) De acuerdo a Ia ecuaciOn 30-14 o la 31-13, la frecuencia resonante es fo = 1/ (2ir\/LC). Por tanto, 1
4ir2fL
4(3.14)2(1.0 x 10s_')2(4.0 X 10 H)
= 6.3 pF.
Por supuesto, el capacitor o inductor es variable, de manera que también se puedan seleccionar otras estaciones.
Las diversas regiones del espectro de ondas de radio son asignadas por dependencias del gobierno para varios fines. Además de las mencionadas antes, hay "bandas" asignadas para su uso en barcos, aviones, policla, fuerzas armadas, aficionados, satélites, espacio y radar. Por ejemplo, los teléfonos celulares ocupan una banda de 824 MHz a 894 MHz.
Resumen James Clerk Maxwell sintetizO una elegante teorIa en La que todos los fenómenos eléctricos y magnéticos pueden ser descritos usando cuatro ecuaciones, Ilamadas ahora ecuaciones de Maxwell. Se basan en ideas previas, pero Maxwell agrego una más, esto es, que un campo eléctrico variable produce un campo magnético. Las ecuaciones de Maxwell son
d;E.dA = J
oBdA
0
= 0
Ed1 Bd1
dc18
=
=
dt
dE
Poi+PoEodt
Los campos eléctrico y magnético en una onda EM son perpendiculares entre si y a La dirección de propagaciOn. Después que las ondas EM fueron detectadas experimentalmente a fines del siglo XIX, la idea de que Ia luz es una onda EM (aunque de una frecuencia mucho mayor que las de aquellas detectadas directarnente) vino a ser generalmente aceptada. El espectro electromagnético incluye ondas EM de una amplia variedad de longitudes de onda, desde microondas y ondas de radio hasta luz visible, rayos X y rayos gama,
todas las cuales viajan por el espacio con una rapidez de
Las dos a Ia izquierda son las leyes de Gauss para Ia electri-
c = 3.00 x 108 rn/s. La energIa Ilevada por las ondas EM puede ser descrita por el vector Poynting
Faraday y La ley de Ampere (ampliada por Maxwell). La teorfa de Maxwell predice que las ondas electromag-
S = ExB
cidad y el magnetismo; las dos a Ia derecha son Ia ley de
néticas (EM) transversales se producen acelerando cargas eléctricas y que esas ondas se propagan por el espacio con Ia rapidez de la Iuz c, dada por
C-
1
V0/L0
que da Ia razOn de energfa por unidad de tiempo o por unidad de area al cruzarla cuando los campos eléctrico éctrico y magnético en una onda EM en el espacio libre son E y B.
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Preq u ntas Suponga que usted mira en Ia misma dirección en que un campo
eléctrico E crece. ,Tendr sentido horario o antihorario el camp0 magnético inducido? ,COmo será ese campo si E señala hacia usted y está decreciendo?
,Cuál es Ia direcciOn de Ia corriente de desplazamiento en Ia figura 32-3? (Nota: El capacitor se está descargando.) ,Por qué es el campo magnético de una corriente de desplazamiento en un capacitor mucho mds difIcil de detectar que el campo magnético de una corriente de conducción? Hay buenas razones para ilamar al término pOEQdctE/d1 en Ia ecuación 32-1 una "corriente"? ExplIquelo. El campo eléctrico en una onda EM viajando al forte oscila en
un piano este-oeste. Describa Ia dirección del vector campo magnético en esta onda. ,Es ei sonido una onda electromagnética? Si no, qué ciase de onda es?
Pueden las ondas EM viajar a través de un vacIo perfecto? Pueden hacerlo las ondas de sonido?
Cuando se acciona un interruptor de luz, aparece ésta inmediatamente? ExplIquelo. ,Son las longitudes de onda de las senales de radio y de televisiOn más largas o mds cortas que las detectables por el ojo humano? Qué le dice et resultado del ejemplo 32-2 acerca de Ia fase de
Cuando usted conecta dos bocinas a Ia salida de un amplificador estéreo, deberá asegurarse que los alambres conductores sean de Ia misma longitud de manera que no exista un retraso en tiempo entre las bocinas? Explique. En el espectro electromagnético, ,qué tipo de onda EM tendrá una longitud de onda de iO km, 1 km, I m, 1 cm, 1 mm, 1 m? Una persona extraviada puede enviar mensajes por destellos de una lámpara usando el codigo Morse. Esta es en realidad una onda EM modulada. Se trata de AM o de FM? Cuál es aproximadamente La frecuencia de Ia onda portadora? ,Pueden dos estaciones de radio o de televisiOn transmitir con Ia misma frecuencia portadora? ExplIquelo.
Si un transmisor de radio tiene una antena vertical, deberá una antena receptora (tipo barra) ser vertical u horizontal para obtener Ia mejor recepciOn? Las frecuencias portadoras de transmisiones en FM son mucho mayores que para transmisiones en AM. Con base en lo que usted aprendió en el capItulo 15 sobre difracciOn, explique porqué Ia senales de AM pueden ser detectadas más fácilmente que Las señales de FM detrás de pequenas colinas o de edificios. Analice cOmo Los teléfonos inalámbricos hacen uso de Las ondas EM. COmo Lo hacen los teléfonos celulares?
una corriente alterna de 60 Hz que comienza en una planta de potencia en comparaciOn con La fase en una casa a 200 km de distancia?
Problemas (1) Determine la razón a Ia que ei campo eléctrico cambia entre las piacas redondas de un capacitor, de 6.0 cm de didmetro, silas placas están a 1.3 mm entre si y el voltaje entre ellas está cambiando a razón de 120 V/s. Calcule La corriente de desplazamiento I entre las placas cuadradas, con 3.8 cm de lado, de un capacitor si el campo eléctrico está cambiando a razón de 2.0 X 106 V/ms.
(II) Si existiesen los monopolos magnéticos, cudL de las ecuaciones de Maxwell se alterarIa y cuál serIa su nueva forma? Considere que Qm es La intensidad de un monopolo magnético,
En un instante dado, una corriente de 1.8 A f]uye en los alambres conectados a un capacitor de placas paralelas. Cul es La razón a La que el campo eléctrico est cambiando si las
(t) Si el campo magnético en una onda EM viajera tiene un valor pico de 17.5 nT, cuál es el valor pico de Ia intensidad del campo eléctrico? (I) Si el campo eléctrico en una onda EM tiene un valor pico de 0.43 X 10 V/m, Lcual es el valor pico de Ia intensidad del campo magnético? En una onda EM que viaja hacia el oeste, el campo B oscila verticalmente y tiene una frecuencia de 80.0 kHz y una intensidad rms de 6.75 X 109T, cuáI es La frecuencia y La intensidad rms del campo eléctrico y cudl su direcciOn? El campo eléctrico de una onda EM plana está dado por E = E0cos(kz + o1), E = E = 0. Determine (a) Ia magnitud y direcciOn de B, y (b) Ia direcciOn de propagaciOn.
piacas cuadradas tienen 1.60 cm de lado? (LI) Un capacitor de 1200 nF con piacas circulares paralelas de 2.0 cm de diámetro está acumulando carga a razón de 35.0 mC/s en algOn instante. ,Cuál será La intensidad del campo magnético inducido a 10.0 cm radialmente hacia afuera desde el centro de las placas? CuáI serd el valor de La intensidad del campo después que ei capacitor está totalmente cargado?
(IL) Muestre que Ia corriente de desplazamiento a través de
un capacitor de placas paralelas puede escribirse como Jo = CdV/dt, doncle V es el voltaje a través del capacitor en cualquier instante. (II) Suponga que un capacitor con intervalo de aire tiene placas circulares de radio R = 2.5 cm y separaciOn d = 2.0 mm. Una fem de 96.0 Hz, Cf = lcoswt, es aphcada al capacitor. La corriente de desplazamiento máximo es de 35 A. Determine (a) , (c) el Ia corriente de conducción maxima 1, (b) el valor de valor máximo de d(P/dt entre las placas. Desprecie los efectos
análogo a La carga eléctrica Q.
marginales.
Problemas
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807
(I) ,Cuá1 es Ia frecuencia de una microonda cuya longitud de onda es de 1.80 cm?
(I) (a) ,Cuâl es Ia longitud de onda de una señal de radar de 27.75 X i0 Hz? (b) Cual es Ia frecuencia de Un rayo X con longitud de onda de 0.10 nm? (I) Una onda EM tiene una longitud de onda de 850 nm. LCuál es su frecuencia, y cómo Ia clasificarlamos? (I) Una onda EM tiene una frecuencia de 9.56 x 1014 Hz. ,Cuál es su longitud de onda y cOmo Ia clasificarIamos?
Un año luz es una medida de distancia (no de tiempo). LCuantos metros viaja La luz en un aOo?
j,Cuánto tiempo tomarfa a un mensaje enviado como ondas de radio desde Ia Tierra Ilegar a (a) Marte, (b) una nave espacial cerca de Saturno? (II) Los kser pulsantes usados en ciencia y medicina producen ráfagas muy cortas de energIa electromagnética. Si La longitud de onda de Ia luz laser es de 1062 nm (esto corresponde a un Laser NeodimioYAG), y el pulso dura 30 picosegundos, ,cuántas
longitudes de onda se encuentran dentro del puiso del laser? ,Qué tan corto tendrIa que ser el puiso para que tuviera solo una longitud de onda?
El campo E en una onda EM tiene un pico de 36.5 mV/rn. LCuál es Ia razOn promedio con La que esta onda Ileva energIa por unidad de area por unidad de tiempo? El campo magnético en una onda EM viajera tiene una intensidad rms de 32.5 nT. ,Cuánto tiempo le toma entregar 335 J de energia a 1.00 cm2 de una pared en Ia que incide perpendicularmente? (II) ,CuOnta energIa es transportada a través de 1.00 cm2 por hora por una onda EM cuyo campo E tiene una intensidad rrns de 28.6 rnV/m? (II) Una onda EM que se dispersa esféricamente parte de una fuente de 1000W. A una distancia de 10.0 m, 1cuOl es Ia intensidad y cuál es el valor rms del campo eléctrico? (II) ,CuáI es Ia energIa contenida en un volumen de 1.00 m3 cerca de Ia superficie de Ia Tierra debido a Ia energia radiante del Sol? Véase el ejemplo 32-4. (II) Un laser de 12.8 rnW forma un rayo estrecho de 2.00 mm de diámetro. ,Cuáles son los valores (rms) promedio de E y B en ci rayo?
(II) Estime Ia salida promedio de potencia del Sol, dado que aproximadamente 1350 W/m2 Ilegan a La atmósfera superior de Ia Tierra. (II) Un laser pulsante de alta energIa emite un pulso de 1.0 ns
de duración con potencia promedio de 2.5 X 10" W. El rayo tiene 2.2 x i0 m de radio. Determine (a) Ia energIa entregada en cada pulso, y (b) ei valor rms del campo eléctrico.
808
CAPiTULO 32
(HI) (a) Muestre que el vector Poynting S apunta radialmente hacia ei centro de un capacitor de placas circulares paralelas cuando está siendo cargado como en eL ejempLo 32-1. (b) Integre S sobre La frontera cilIndrica del intervalo del capacitor para mostrar que La razón a La que La energIa entra aL capacitor es igual a La razón a Ia que la energia electrostática está siendo almacenada en el campo eléctrico del capacitor (sección 24-.4). Ignore los efectos marginales de E.
Estime La presiOn de Ia radiación debida a un foco de 100W
a una distancia de 8.0 cm desde el centro del foco. Estime La fuerza ejercida en Ia punta de uno de sus dedos si to coloca a esa distancia. Cuando el Sot de volvió luminoso y caliente tiempo atrás, se cree que emitIa partIcuLas de polvo y átomos individuales hacia afuera del sisterna solar usando presiOn de radiaciOn. Calcule qué pequeflas tenIan que ser las partIculas de polvo para ser lanzadas comparando La fuerza de radiaciOn con Ia fuerza gravi-
tatoria sobre las partIculas. Suponga que las partIculas eran esféricas, con densidad de 2.0 X i0 kg/rn3, y que absorbIan
totalmente La radiaciOn del Sot, el cual tiene una potencia promedio de salida de 3.8 x 1026 W. Analizarnos en el texto dos ecuaciones diferentes para La transmisiOn de momentum lineal por radiaciOn, una válida para absorciOn total, y La otra váiida para refLexión total. La Oltima ecuaciOn es idéntica a Ia primera con Ia excepciOn de un factor
de dos. Dé un argumento mecánico simple para este factor de dos tratando La luz corno partIculas sin masa (fotones) cada una con momentum lineal p. En el caso de absorciOn, Las partIcuLas de Iuz chocan en forma completamente inelOstica con un objeto
masivo, mientras que en el caso de reflexión chocan elasticamente. Analice esas coLisiones y explique el factor de dos.
(I) EL capacitor variable en el sintonizador de un radio de AM tiene una capacitancia de 2400 pF cuando eL radio estO en sintonIa con una estaciOn de 550 kHz. ,CuOl debe ser Ia capacitancia de una estaciOn al otro lado de Ia banda con 1550 kHz? El oscilador de una estaciOn FM de 96.1 MHz tiene una inductancia de 1.8 H. ,Qué valor debe tener Ia capacitancia? Cierto circuito de sintonización de radio de FM tiene un capacitor fijo de C = 840 pF. La sintonizaciOn se hace por medio de una inductancia variable. ,Qué rango de valores debe tener Ia inductancia para sintonizar estaciones de entre 88 MHz y 108 MHz?
(11) Un operador aficionado de radio desea construir un receptor que pueda sintonizar un rango de frecuencias de entre 14.0 MHz y 15.0 MHz. Un capacitor variable tiene una capacitancia minima de 92 pF. (a) ,Cuá1 es el valor requerido de Ia in-
ductancia? (b) cCuál es La capacitancia maxima usada en el capacitor variable?
Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneticas
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Problemas generales (a) (,Cuál es la longitud de onda de una estación de AM de 680 kHz? (b) Una estaciOn de FM transmite a 100.7 MHz. LCuál es Ia longitud de onda de esta onda? Compare 940 sobre la banda de AM con 94 sobre La banda de FM. é,Cuál tiene Ia longitud de onda más grande, y por qué factor es más grande? Las frecuencias de las transmisiones de television varfan entre 54.0 MHz para el canal 2 y 806 MHz para el canal 69 (y más allá). Cuáles son las Longitudes de onda de esos dos canales? Si eL Sol fuese a desaparecer o en alguna forma fuese a cambiar radicalmente su rendimiento, ,cuánto tiempo nos tomarIa en La Tierra enterarnos acerca de ello? (a) Qué tiempo tardó un mensaje enviado desde Ia Tierra en Ilegar a los primeros astronautas en Ia Luna? (b) Cuánto tiempo tardará un mensaje enviado desde La Tierra en llegar a Los primeros astronautas que Ileguen a Marte; suponga que Marte
estarO en su posición más cercana a La Tierra (78 >< 106 km)? Una senal de voz por radio desde la tripulación del Apolo en Ia Luna se envIa a una multitud de espectadores desde un micrOfono. Si usted estO a 50 metros de La bocina, Lcuál es el tiempo total de retraso entre el momento en que usted oye el sonido y cuando el sonido parte de La Luna?
Una fuente puntual emite energIa Luminosa uniformemente en todas direcciones a una razón promedio P0 con una sola frecuencia f. Demuestre que el campo eléctrico pico en la onda está dado por
E0
/pocPo
1V 2r2
,Cuáles son E0 y B0 a 2.00 m de una fuente luminosa de 100 W? Suponga que el foco emite radiaciOn de una sola frecuencia uniformernente en todas direcciones. Estime el campo eléctrico rms en Ia luz solar que ilega a Marte, si sabemos que la Tierra recibe aproximadamente 1350 W/rn2 y que Marte estO 1.52 veces más lejos del Sol (en promedio) que
Suponga que una estaciOn de radio de 50 kW emite ondas EM uniformemente en todas direcciones. (a) Cuánta energIa por segundo cruza un area de 1.0 m2 a 100 m desde Ia antena trans-
misora? (b) ,Cuál es la magnitud rms del campo E en este
punto, suponiendo que Ia estaciOn estO operando con plena p0tencia? (c) ,CuOl es el voltaje inducido en una antena vertical de 1.0 m de longitud de un automOvil a esta distancia? Repita el problema 47 para una distancia de 100 km desde Ia estación. Con referencia a! problema 47, cuOl es el nivel máximo de potencia de Ia estaciOn de radio para evitar ruptura eléctrica del aire a una distancia de 1.0 m desde la antena? Suponga que la antena es una fuente puntual. La ruptura del aire tiene lugar en un campo eléctrico de aproximadamente 3 x 106 V/rn. [Sugerencia: véase el problema 411
j,Qué tan grande serO generado un fem (rms) en una antena que consiste en una bobina circular con 380 vueltas de alambre de 2.2 cm de diámetro si Ia onda EM tiene una frecuencia de 810 kHz y transporta energIa a una razón prornedio de 1.0 x 10 W/m2 en Ia antena? [Sugerencia: usted puede usar la ecuación 29-4 para un generador, ya que podrIa aplicarse a un
observador inoviéndose con Ia bobina de manera que el campo magnético oscilase con Ia frecuencia f = w/2ir.] La capacitancia variable de un sintonizador de radio consiste en seis placas conectadas entre Si alternadamente entre otras seis placas, también conectadas entre Si (fig. 32-22). Cada pLaca está separada de su vecina por 1.1 mm de aire. Un conjunto de placas se puede mover de manera que el area de trasLape varIa de 1.0 cm2 a 9.0 cm2. (a) i,Están esos capacitoreS conectados en serie o en paralelo? (b) Determine el rango de valores de Ia capacitancia. (c) Qué valor de inductor es necesario si el radio va a sintonizar estaciones con amplitud modulada de 550 kHz a 1600 kHz?
La Tierra.
En un instante dado, se nota que una onda EM viajera tiene su
mOximo campo magnético señalando al oeste y su mOxirno campo eléctrico senalando al sur. (,En qué direcciOn está viajando Ia onda? Si la razón de flujo de energia es de 500 W/m2, cuOles son los valores mOxirnos para Los dos campos? Quién oirá Ia voz de un cantante prirnero: una persona en una
localidad a 50 m del escenario (véase La figura 32-21), o una persona a 3000 km en casa cuyo oIdo está prOxirno a Ia radio? ,Cuánto tiempo aproximadamente antes? Suponga que el micrOfono está a unos cuantos centimetros del cantante y que Ia temperatura es de 20°C. FIGURA 32-22
50.Om
liIiIF1
:I7
FIGURA 32-21
Problema 51.
Un conductor cilIndrico de radio r y conductividad cr Ileva una corriente permanente I distribuida uniformemente a travéS de su secciOn transversal. (a) Determine E dentro del conductor. (b) Determine B justo afuera del conductor. (c) Determine el vector Poynting S en Ia superficie del conductor y muestre que
I
es normal a Ia superficie y senala hacia adentro. (d) Integre sobre S para mostrar que Ia razOn a Ia que la energIa electro-
Problema 45.
Una antena receptora de FM de 1.80 m de largo está orientada
paralelamente al campo eléctrico de una onda EM. Que tan grande debe ser Ia intensidad del campo E para producir un voltaje de 1.0 mV rms entre los extrernos de la antena? ,Cuál
magnética entra por los lados del conductor es igual a Ia razOn a Ia que Ia energIa es disipada, PR. AsI, podemoS pensar sobre la energIa que entra al conductor en forma de campos electromagnéticos por los lados en vez de por los extremoS.
es Ia razOn de transporte de energIa por unidad de area?
Problemas generales
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El reflejo en aguas tranquilas, asi como en un espejo, puede analizarse usando el modelo de rayo de iuz. Esta fotografIa está orientada al derecho o invertida? ,COmo puede usted decidirlo? Cuáles son los indicios? Véase ci ejemplo 33-2. En este primer capItulo sobre luz y Optica, usaremos ci modelo de rayos de Iuz para entender Ia formaciOn de imágenes por espejos, tanto pianos como curvos (esféricos), y comenzaremos a examinar La refracciOn de Ia luz en medios transparentes, lo que nos conducirá a! estudio de las lentes en el próximo capItuio.
Luz:
ref Iexión y ref racción
El
sentido de La vista es extremadamente importante para nosotros, pues nos proporciona gran parte de nuestra información acerca del mundo. ,COmo vemos? ,Qué es lo que ilamamos luz que entra a nuestros ojos y causa Ia sensación de ver? j,Cómo se comporta Ia iuz de manera que podemos ver todo lo que deseamos? En ci capItuio 32 vimos que ia luz puede ser considerada como una forma de radiaciOn electromagnética. Examinaremos ci tema de Ia iuz con todo detalle en los siguientes capItuios.
Vemos un objeto en una de dos maneras: (1) ci objeto puede ser una fuente de luz, como un foco, una fiama o una estrelia, en cuyo caso vemos Ia luz emitida directamente desde ia fuente; o, (2) más comünmente, vemos un objeto por Ia iuz reflejada por éi. La luz puede haberse originado en ci So!, en luces artificiales, o en una fogata. La forma en que los cuerpos emilen luz se entendió solo hasta alrededor de 1920. La manera en que ia luz es reflejada por los objetos se comprendiO mucho antes, ia cual trataremos en Ia secciOn 33-3.
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El modelo de rayo de Juz Una gran cantidad de evidencias sugieren que Ia luz viaja en lIneas rectas bajo una amplia variedad de circunstancias. For ejemplo, una fuente puntual de luz como el Sol produce sombras y el haz de una linterna parece ser una lInea recta. De hecho, inferimos Las posiciones de Los objetos en nuestro ambiente suponiendo que La Iuz se mueve del objeto a los ojos en trayectorias rectas. Nuestra orientación en el mundo fIsico se basa en esta suposiciOn. Esta razonable suposición ha conducido a! modelo de rayo de luz. Este modelo supone que La luz viaja en trayectorias rectas liamadas rayos. En realidad, un rayo es una idealizaciOn; pretende representar un haz extremadamente deLgado de Iuz. Cuando vemos un objeto, de acuerdo con el modelo de rayos, Ia luz Ilega a Los ojos desde cada punto sobre el objeto. Aunque los rayos de Iuz salen de cada punto en muchas direcciones diferentes, normalmente solo un pequeho haz de esos rayos puede entrar a los ojos de un observador, como se muestra en la figura 33-1. Si La cabeza de una persona se mueve hacia un lado, un haz diferente de rayos entrará a Los ojos desde cada punto. Vimos en el capItulo 32 que La Luz puede ser considerada como una onda electromagnética. Aunque el modelo de rayo no trata este aspecto de La luz (veremos su naturaleza ondulatoria en los capitulos 35 y 36), eL modelo de rayo ha tenido mucho éxito en describir muchos aspectos de Ia luz como Ia reflexión, Ia refracción y Ia formaciOn de imágenes mediante espejos y lentes. Como estas explicaciones impLican rayos en lInea recta segOn varios ánguLos, este tema se llama óptica geométrica. Al ignorar Las propiedades ondulatorias de Ia lu.z debemos ser cuidadosos de que cuando Los rayos de luz pasan por objetos o a través de aberturas, deben ser grandes comparados con Ia longitud de onda de La Iuz (de modo que los fenOmenos ondulatorios de interferencia y difracciOn
Este haz entra a Los ojos.
I FIGURA 33-1 Los rayos de luz salen de cada punto de un objeto. Un pequeno haz de rayos que saien de un punto se muestra entrando a los ojos de una persona.
puedan ser ignorados), y omitiremos lo que sucede a Ia luz en los bordes de objetos hasta que Ileguemos a los capItulos 35 y 36.
La velocidad de Ia Iuz y el Indice de ref racción Galileo intentO calcular La velocidad de La luz tratando de medir el tiempo requerido por ésta para viajar una distancia conocida entre las cimas de dos coLinas. SituO a su asistente en una cima, él mismo se colocó en Ia otra y le orclenó a! ayudante que retirase La
cubierta de su Impara en el instante en que viese una luz en Ia hmpara de Galileo,
quien midió eL tiempo entre el destello de su lmpara y el instante en que recibió La luz de La lámpara del asistente. El tiempo fue tan corto que Galileo concluyO que meramente representaba el tiempo de reacciOn humana y que Ia velocidad de Ia luz debIa ser extremadamente alta. La primera determinaciOn con éxito de que La velocidad dela Iuz es finita fue hecha por el astrOnomo danés OLe Roemer (1644-1710). Roemer habIa notado que eL periodo cuidadosamente medido de Jo, una de Ia lunas de JOpiter con un periodo promedio de 42.5 horas, variaba ligeramente, dependiendo del movimiento relativo de La Tierra y de Jupiter. Cuando La Tierra se alejaba de JOpiter, el periodo de Jo era ligeramente mayor, y cuando Ia Tierra se movIa hacia JOpiter, el periodo era ligeramente más corto. Atribuyo esta variaciOn a! tiempo extra necesario para que Ia Luz recorriese Ia creciente distancia a La Tierra cuando ésta estaba retrocediendo, o a! menor tiempo de viaje para Ia distancia decreciente, cuando Los dos planetas se aproximaban entre si. Roemer concluyó que Ia velocidad de La luz, si bien era muy grande, era finita. Desde entonces, se han usado un gran nOmero de procedimientos para medir La velocidad de Ia luz. Entre los más importantes fueron los realizados por el fIsico norteamericano Albert Michelson (1852-1931). Michelson usó el aparato con un espejo giratorio mostrado en La figura 33-2 para una serie de experimentos de gran precisiOn ILevados
SECCION 33-2
La velocidad de Ia Iuz y el Indice de ref racción
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Observador Espejo estacionario
Espejo giratorio de ocho lados I:
Fuente
deluz
TABLA 33-1 Indices de refraccion' C
Material
n
Vaclo
1.0000
T e( ;?S)
Am
V
1.0003
Agt ;'Ia
1.33
A- IcoholHetilico
1.36
Vidrio Cuarzo tundido v'idrio :rown
1.46
edernal Iigerc. *z P. 1
.32
i.58 1.51
Lu cita a Plexiglas
1.53 _________
-. nuro cle sod -. Cl
A = 589nm
Indict de refraccion
35 km
a cabo de 1880 hasta fines de los años 20. La luz de una fuente fue dirigida hacia una cara de un espejo giratorio de ocho caras. La Iuz reflejada viajO a un espejo estacionario situado a gran distancia y de regreso como se muestra en la figura. Si el espejo giraba justamente a Ia velocidad angular correcta, el rayo de luz de retorno se reflejaba en una de las dos caras hacia un pequefio telescopio a través del cual el observador vela. Si la velocidad angular era sOlo ligeramente diferente, el rayo serIa desviado a un lado y no serIa visto por el observador. De La velocidad angular requerida del espejo giratorio y La distancia conocida al espejo estacionario, pudo calcular Ia velocidad de Ia luz. En la década de 1920, Michelson fijO el espejo giratorio en Ia cima del Monte Wilson en el sur de California y el espejo estacionario en el Monte San Antonio, a 35 km de distancia. MidiO luego Ia velocidad de Ia Juz en el vacIo usando un largo tubo a! vacIo. El valor aceptado actualmente para Ia velocidad de la luz c, en el vacIo es c = 2.99792458 X 108 rn/s. Usualmente redondearnos este valor a 3.00 X 108 rn/s cuando no se requieren resultados muy precisos. En el aire, la velocidad es ligeramente menor. En otros materiales transparentes corno el vidrio y el agua, Ia velocidad es siempre menor que en el vacIo. Por ejemplo, en el agua viaja aproximadamente a c. La razOn de la velocidad de la luz en el vacIo a la velocidad v en un material dado se llama Indice de refracción n de ese material: C = _.
242
Diaraarne
(Monte San Antonio)
(Monte Wilson)
FIGURA 33-2 Aparato de Michelson para medir La velocidad de la luz (no está a escala).
(33-1)
El Indice de refracción nunca es menor que 1, y su valor para diferentes materiales se da en la tabla 33-1. Por ejemplo, como n = 2.42 para el diamante, Ia velocidad de Ia luz en el diamante es (3.00 >< 108 rn/s)
= 1.24 )< 108 rn/s. = = 2.42 Como veremos más adelante, n varla un poco con la longitud de onda de La luz, excepto en el vacIo, por lo que se especifica una longitud de onda particular; la tabla 33-1 está referida a la luz amarilla con longitud de onda A = 589 nm. V
Ref lexión; formación de imágenes mediante un espejo piano Cuando Ia luz toca Ia superficie de un objeto, parte de ella es reflejada. El resto es absorbido por el objeto (y transformado en energIa térmica), 0 S el objeto es transparente como el vidrio o el agua, entonces pasa a través de éste. En un objeto muy brillante como un espejo plateado, más del 95% de Ia luz puede ser reflejada. Cuando ci metro foe redefinido en 1983, se Ic dio este valor fijo a Ia velocidad de La luz, y ci metro fue entonces definido en términos de ese valor (véase Ia sección 1-4).
812
CAP1TULO 33
Luz: reflexiOn y ref racciOn
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Normal a Ia superficie
Normal a Ia superficie
Angulo de Angulo de incidencia reflexión
Rayo de luz incidente
Rayo de
luzreflejado
Angulo de Angulo de incidencia reflexión Rayo de luz
(a)
Or
Ui
(b)
FIGURA 33-3 Ley de reflexión: (a) Muestra un rayo incidente reflejado en Ia parte superior de una superficie plana; (b) muestra una vista lateral o de perfil, que usaremos debido a su claridad.
Cuando un haz estrecho de luz toca una superficie plana (figura 33-3), definimos el ángulo de incidencia O como el ángulo que un rayo incidente forma con la normal a Ia superficie, y el ángulo de reflexión 0, como el ángulo que el rayo reflejado forma con la normal. Se encuentra que los rayos incidentes y reflejados se hallan en el mismo piano con Ia normal a Ia superficie, y que el angulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Esta es Ia ley de reflexión y se indica en Ia figura 33-3, Ia cual era conocida por los antiguos griegos. Usted puede confirmarla haciendo incidir el haz angosto de una lámpara en un espejo en una habitación oscurecida. Cuando la luz incide sobre una superficie rugosa, aun microscópicamente rugosa como esta página, es reflejada en muchas direcciones, figura 33-4. Esto se llama reflexión difusa. Sin embargo, Ia ley de Ia reflexión es atm válida, en cada pequena secciOn de Ia superficie. Debido a la reflexión difusa en todas direcciones, un objeto ordinario puede ser visto desde muchos ángulos diferentes. Cuando usted mueve la cabeza lateralmente, rayos reflejados difererites Ilegan a! ojo desde cada punto del objeto (como los de esta pgina), figura 33-5a. Comparemos la reflexiOn difusa con Ia reflexión de un espejo, que se conoce como reflexión especular. ("Speculum" es Ia palabra latina para espejo.) Cuando un rayo estrecho de luz toca un espejo, Ia luz no 11egar a los ojos a menos que estén situados en el lugar correcto donde se satisfaga la ley de reflexión, como se muestra en Ia figura 33-5b. Esto es lo que da lugar a las propiedades especiales de formación de imagenes de los espejos.
33-4 ReflexiOn difusa en una superficie rugosa. FIGURA
Espejo.s (reflexiOn especular,)
Cuando usted se ye directamente en un espejo, observa lo que parece ser usted mismo, asI como los varios objetos que están alrededor y detrás de usted, figura 33-6. La cara y los otros objetos se yen como si estuviesen enfrente de usted, más aIIá del espejo; pero, por supuesto, no lo están. Lo que usted ye en el espejo es una imagen de los objetos. El ojo en ambas posiciones ye la luz reflejada
Este ojo no ye la luz
Ia luz
V (a)
Este ojo ye
(b)
FIGURA 33-5 Un rayo de luz de una linterna brilla sobre (a) papel blanco, y (b) en un espejo. En Ia parte (a) usted puede ver Ia luz blanca reflejada en varios puntos debido a Ia reflexiOn difusa. Pero en Ia parte (b), usted ye Ia luz reflejada solo cuando el ojo está colocado correctamente (o = Of); esto se conoce como reflexión especular. (Galileo, usando razonamientos semejantes, indicO que Ia Luna debe tener una superficie rugosa ms que una superficie altamente pulida como un espejo, como algunos pensaban.)
SECCION 33-3
FIGURA
33-6 Cuando se ye en un
espejo, ye Ia imagen de usted mismo y de los objetos a su alrededor. NOtese que no se ye a sí mismo como otros le yen, porque Ia izquierda y Ia derecha aparecen invertidas en Ia imagen.
ReflexiOn; formaciOn de imágenes mediante un espejo piano
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813
Espejo piano
B'
FIGURA
D
33-7 Formación de una
imagen virtual med iante un espejo piano.
fJLsiancia imagen = distoncia objeto
lmágenes teaks y wruwfes
d0
d1
H
La figura 33-7 muestra cOmo se forma una imagen en un espejo piano, de acuerdo con ci modelo de rayo. Vemos ci espejo, de borde, en ci diagrama de la figura 33-7 y los rayos se muestran reflejados desde la superficie frontal. (Por to general, los espejos de buena calidad se construyen poniendo un recubrimiento metálico altamente reflejante sobre una superficie de una pieza muy plana de vidrio.) Los rayos de dos puntos diferentes sobre un objeto se muestran en la figura 33-7: los rayos parten de un punto sobre Ia parte superior de una botella, y desde un punto dcl fondo de Ia misma. Los rayos parten de cada punto sobre el objeto en muchas direcciones, pero solo se muestran aqucilos dentro dci haz de rayos que ilegan a los ojos desde Los dos puntos. Los rayos divergentes que entran a los ojos parecen venir de detrs dcl espejo como se muestra por las lIneas punteadas. Es decir, los ojos y ci cerebro interpretan cualesquier rayos que entran a los ojos como si hubiesen seguido una trayectoria en lInea recta. El punto desde ci cual cada haz de rayo parece provenir es un punto de Ia imagen. Para cada punto dcl objeto, hay un punto imagen correspondiente. Concentrémonos en los dos rayos que parten del punto A sobre ci objeto y tocan ci espejo en los puntos B y B'. Los ingulos ADB y CDB son ngulos rectos; y los angulos ABD y CBD son iguales debido a la icy de Ia reflexión. Por tanto, los dos tringuios ABD y CBD son congruentes, y la longitud AD = CD. La imagen aparece asI tan lejos dctrás dci espejo como ci objeto está a! frente: Ia distancia imagen, d (distancia del espejo a Ia imagen, figura 33-7), es igual a Ia distancia objeto, d0. Dc la geometrIa, vemos también que Ia aitura de Ia imagen es La misma que Ia dci objeto. Los rayos de luz no pasan realmente por ia ubicación misma de Ia imagen. Meramcntc parece como si Ia luz viniese de Ia imagen porque ci ccrcbro interpreta cualquicr rayo de luz que entra a los ojos como si tuviesc una trayectoria en Ilnea recta desde el frente de nosotros. Como los rayos no pasan realmente por la imagen, ésta no aparecerá sobre un papel o una pelIcuia colocado en la posiciórl de La imagen. Por tanto, se llama imagen virtual. Esto cs para distinguirla de una imagen real en la que Ia luz pasa por
la imagen y por ello podrIa aparecer sobre papel o pelIcula colocado en Ia posición de Ia imagen. Veremos quc los cspcjos y lentes curvos pueden formar imágenes reales. La lente dc un proyector de peilculas, por cjcmplo, produce una imagen real que es visible sobre la pantalla.
.-.
Qué tan alto debe ser un espejo de cuerpo . .. . .JA entero' Una mujcr con una estatura de 1.60 m cstá parada frente a un espejo piano EJEMPL(,
vertical. ,CuáI es ia altura minima dcl espejo y qué tan alto debe estar su bordc inferior arriba dcl sucio para que ella yea todo su cuerpo? Suponga que los ojos están 10 cm debajo de la parte superior de Ia cabeza. La situación sc muestra en ci diagrama de La figura 33-8. Primero considere ci rayo que sale dcl pie, AB, que al reflejarse se vuelve ci BE y entra al ojo E. La luz del punto A (ci pie) entra al ojo dcspués de reflejarse en B; ci espejo no necesita extenderse más abajo que B. Como ci ángulo dc reflexiOn cs igual at ángulo de incidencia, la aitura BD es la mitad de Ia altura AE. Como AE = 1.60 m - 0.10 m = 1.50 m, entonces BD = 0.75 m. Similarmente, si Ia mujer debe ver Ia parte superior de la cabeza, ci borde superior dcl espejo necesita alcanzar sOlo ci punto F, que est a 5 cm debajo RESPUESTA
814
CAP1TULO 33
Luz: reflexiOn y refracciOn
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G
H F
0.10 m -V
0 0. LL
1.50 m B
'S
Imageri
'S
'S
'S
A
D
'S
'S
'S
FIGURA 33-8 Viéndose a sí misma en un espejo. Ejemplo 33-1.
S.
C
de Ia parte superior de Ia cabeza (mitad de GE = 10 cm). Entonces, DF = 1.55 m, y el espejo tiene que tener una altura vertical de sOlo (1.55 m - 0.75 m) = 0.80 m. El borde del fondo del espejo debe estar entonces a 0.75 m arriba del piso. En general, un espejo necesita ser sOlo Ia mitad de alto que una persona para que ésta pueda verse completa en ci espejo. ,Depende este resultado de Ia distancia de Ia persona a! espejo? EJEMPLO CONCEPTUAL 3-2 LEstá Ia foto de cabeza? Un examen de la fotografla presentada en Ia primera pgina de este capItulo revela que en Ia porciOn superior Ia imagen del Sol se ye claramente, mientras que en Ia porciOn inferior, la imagen del So! está parcialmente bloqueada por las tres ramas. ,Por qué no es Ia refiexiOn en el agua una replica exacta de !a escena real? Ilustre su respuesta dibujando un croquis de esta situaciOn, mostrando ci Sol, Ia cámara, las ramas, y dos rayos del Sol a Ia cámara (uno directo y otro reflejado). ,Aciara su croquis si Ia fotografla est derecha o de cabeza?
Tenemos que dibujar dos diagramas, uno suponiendo que Ia foto en Ia pgina 810 está derecha y otro suponiendo que está invertida. La figura 33-9 está dibujada suponiendo que la foto est invertida. En este caso, ci Sol bloqueado por el árboi serIa Ia vista directa y Ia vista completa del Sol serIa Ia reflexión. Entonces, dibujado como en Ia figura 33-9, el rayo que se refleja en el agua y hacia Ia cmara viaja segt'm un ánguio bajo Ia rama, mientras que ci rayo que viaja directamente hacia Ia cimara pasa por las ramas. Esto funciona. Trate de dibujar un diagrama suponiendo que Ia foto está derecha (suponiendo entonces que Ia imagen del Sol en Ia reflexiOn está ms alto por arriba del horizonte que como se ye directamente). Esto no funcionart La foto presentada en Ia página 810 está invertida. Además, ,qué pasa con Ia gente en Ia foto? Trate de dibujar un diagrama que muestre porque Ia gente no aparece en la reflexión. [Sugerencia: suponga que ellos no están sentados sobre el borde del estanque, sino un poco atrás del borde.] Luego trate de dibujar un diagrama de lo inverso (es decir, suponga que Ia foto es derecha de maneRESPUESTA
ra que las personas son visibles solo en la reflexión). En general, las imágenes reflejadas no son replicas perfectas cuando están implicados pianos diferentes (distancias). Ramas
FIGURA 33-9
Rayodirecto Sol
-
Ejemplo 33-2.
Cámara U
ojo
Rayo reflejado
I Agua
SECCION 33-3
Ref IexiOn; formadOn de imagenes mediante un espejo pIano
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815
FIGURA 33-10 Espejos con superfides esféricas convexa y cOncava. Note
Normal a Ia supefficie
o.
que O = 0 para cada rayo.
Normal a la superficie 3pejo
Espejo convexo
(a) FIGURA 33-11 (a) Un espejo cOncavo cosmético da una imagen ampliada. (b) Un espejo convexo en una tienda reduce las imágenes e incluye un amplio campo visual.
cóncavo
(b)
Formación de imágenes mediante espejos esféricos Las superficies reflectantes no tienen que ser planas. Los espejos curvos más comuries son esfericos, lo que significa que forman una secciOn de una esfera. Un espejo esférico se llama convexo si Ia reflexiOn tierie lugar sobre Ia superficie exterior de Ia forma esférica de manera que el centro de la superficie del espejo se curva hacia fuera, hacia el observador (figura 33-lOa). Un espejo se llama cóncavo Si la superficie reflectora está sobre la superficie interior de Ia esfera de manera que el centro del espejo se curva hacia adelante, es decir, alejándose del observador (como una "cueva"), figura 33-lOb. Los eSpejoS cóncavos se usan como espejos cosméticos o para rasurarse (figura 33-ha) y los espejos convexos se usan a veces en autos y camiones (espejos retrovisores) y en tiendas (para detectar ladrones), porque abarcan un amplio campo visual (figura 33-lib).
Estos rayos son los dnicos que tocarán el espejo, y son esencialmente paralelos si el objeto está muy lejos. Si la distancia al objeto es grande comparada con el tamano del espejo (o lente), los rayos son casi paralelos. Son paralelos para un objeto en el infinito (oo).
FIGURA 33-12
Para ver cOmo los espejos esféricos forman imágenes, consideremos primero un objeto que esté muy lejos de un espejo cóncavo. Para un objeto distante, como se muestra en la figura 33-12, los rayos desde cada punto del objeto que llegan al espejo serán casi paralelos. Para un objeto infinitamente lejano (por ejemplo, el Sol y las estrellas), los rayos serIan precisamente paralelos. Ahora consideremos tales rayos paralelos incidiendo sobre un espejo cOncavo como en la figura 33-13. La ley de Ia reflexión es válida para FIGURA 33-13 Los rayos paralelos que tocan un espejo esférico cOncavo no se enfocan precisamente en un solo punto.
816
CAP1TULO 33
Luz: ref IexiOn y refracciOn
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rfi- :2 A
r
Eje principal
f
FIGURA 33-14 Los rayos paralelos a! eje principal de un espejo esférico liegan a un foco en F, ilamado punto focal, siempre que el espejo sea pequeflo comparado con su radio de curvatura r, de modo que los rayos sean "paraxiales", es decir, que formen sOlo angulos pequeflos con el eje.
cada uno de esos rayos en el punto en que tocan al espejo. Como puede verse, no todos ellos liegan a un solo punto. Para formar una imagen nItida, los rayos deben liegar a un punto. AsI, un espejo esférico no formará una imagen tan nItida como un espejo piano. Sin embargo, como mostraremos abajo, si ei espejo es pequeflo comparado con su radio de curvatura, de manera que los rayos refiejados forman sOlo angulos pequeños a! reflejarse, entonces los rayos se cruzarán entre ellos en prcticamente Un solo punto, 0 foco, como se muestra en la figura 33-14. En el caso mostrado, los rayos son paralelos a! eje principal, que se define como Ia iInea recta perpendicuiar a la superficie curva en su centro (linea CA en el diagrama). El punto F, donde los rayos paralelos ai eje principal llegan después de reflejarse, se llama punto focal del espejo. La distancia entre F y ei centro del espejo, longitud FA, se llama longitud focal,f, del espejo. Otra manera de definir el punto focal es decir que es el punto imagen para un objeto infinitamente alejado a lo largo del eje principal. La imagen del Soi, por ejemplo, estarIa en F. Ahora mostraremos, para un espejo cuya superficie reulectora es pequena comparada con el radio de curvatura, que los rayos casi se encuentran en un punto comün, F, y calcularemos también la longitud focal f. En esta aproximaciOn, consideramos solo rayos que forman un pequeno ángulo con el eje principal, los cuales se llaman rayos paraxiales, y sus ángulos se muestran exagerados para mayor clarjdad en Ia figura 33-14.
Primero consideramos un rayo que toca el espejo en B en la figura 33-14. El punto C es el centro de curvatura del espejo (el ceritro de la esfera de la cual el espejo es una parte). La lInea CB es entonces igual a r, o radio de curvatura, y CB es normal a Ia superficie del espejo en B. El rayo incidente que toca al espejo en B forma un ingulo 0 con eSta normal, y por consiguiente el rayo reflejado, BF, también forma un ngulo 6 con la
normal. NOtese también de Ia geometrIa que el ángulo BCF es también 0 como se muestra. El triangulo CBF es isOsceles porque dos de sus angulos son iguales. AsI entonces, Ia longitud CF = BE Suponemos que el espejo tiene un ancho o diámetro que es pequeno comparado con su radio de curvatura, por Jo que los ángulos son pequefios, y la longitud FB es casi igual a Ia longitud FA. En esta aproximaciOn, FA = FC. Pero
FA = f, La longitud focal, y CA = 2 FA = r. La longitud focal es entonces Ia mitad del radio de curvatura:
f=
(33-2)
Este razonamiento supuso sOlo que el ángulo 0 era pequeno, por lo que el mismo resultado es aplicable para todos los otros rayos paraxiales.Todos los rayos paraxiales pasan entonces por el mismo punto F en Ia aproximaciOn paraxial. Como es solo aproximadamente cierto que los rayos Ilegan a un foco perfecto en F, entre más curvo sea el espejo, peor será Ia aproximaciOn (figura 33-13) y ms borrosa será Ia imagen. Este "defecto" de los espejos esféricos se llama aberración esférica; Ia analizaremos con más detalle con respecto a las lentes en el capItulo 34. Por otra parte, un reflector parabólico refleja los rayos a un foco perfecto. Sin embargo, debido a que las formas parabólicas son ms difIciles de fabricar y mucho más caras, los espejos esféricos se usan para Ia mayor parte de los propOsitos. (Muchos telescopios astronOmicos usan reflectores parabolicos.) AquI consideramos sOlo espejos esféricos y supondremos que son pequenos comparados con sus radios de curvatura de modo que Ia imagen es nItida y que se cumple la ecuaciOn 33-2. SECCION 33-4
Formación de imágenes mediante espejos esféricos
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Vimos que para un objeto en el infinito La imagen está localizada en el punto focal de un espejo esférico cóncavo, donde f = r/2. Pero, dónde se encuentra Ia imagen para un objeto que no está en el infinito? Primero consideremos el objeto mostrado como una flecha en Ia figura 33-15, que est colocado en el punto 0 entre F y C. Determinemos dOnde estará Ia imagen para un punto dado 0' sobre el objeto. Para hacer esto p0demos dibujar varios rayos y nos aseguramos que se refiejen en el espejo de modo que el ángulo de reflexión sea igual al ngulo de incidencia. La determinaciOn de Ia posiciOn de Ia imagen se simplifica si tratamos con tres rayos particularmente simples. Esos son los rayos llamados 1, 2 y 3 en Ia figura 33-15 y los dibujamos partiendo del punto 0' del objeto como sigue: El rayo 1 se dibuja paralelo al eje; por tanto, después de reflejarse debe pasar a lo largo de una IInea por F (como vimos en la figura 33-14, y to dibujamos aquI en Ia figura 33-iSa). El rayo 2 parte de 0' y se hace pasar por F; por tanto, debe reflejarse de manera que sea paralelo al eje (figura 33-15b). El rayo 3 se escoge perpendicular al espejo y entonces se dibuja de modo que pase por C, el centro de curvatura; este rayo está a to largo de un radio de Ia superficie esférica, y como es perpendicular al espejo se reflejará sobre 51 mismo (figura 33-15c).
El punto en que esos rayos se cortan es el punto imagen 1'. Todos los otros rayos del mismo punto objeto pasaran por este punto imagen. Para encontrar el punto imagen para cualquier punto, sOlo tienen que usarse esos tres rayos particulares. En rea]idad, solo dos de esos rayos son necesarios, pero el tercero sirve como comprobación. Hemos mostrado el punto imagen en Ia figura 33-15 sOlo para un solo punto sobre el objeto. Otros puntos sobre el objeto tienen su imagen cerca, por lo que se forma una imagen completa del objeto, como se muestra por Ia flecha rayada en Ia figura 33-15c. Como la luz pasa realmente por Ia imagen misma, esta es una imagen real que aparecerá sobre un pedazo de papel o pelIcula situadas ahI. Esto puede compararse con la imagen virtual formada por un espejo pIano (la luz no pasa realmente por esa imagen, figura 33-7). La imagen en la figura 33-15 puede verse por el ojo cuando está situado a Ia izquierda de Ia imagen de modo que algunos de los rayos divergiendo de cada punto sobre La imagen (como el punto I') puedan entrar a! ojo como se muestra en Ia figura 33-15c. (Véanse también las figuras 33-1 y 33-7.) Rayos dejan el punto 0' sobre el objeto (una flecha). Se muestran los tres rayos más ütiles para determinar dónde se forma Ia imagen I'. [Nótese que Ia altura de nuestro espejo no es pequena comparada con f, por lo que nuestro diagrama no dará Ia posición precisa de Ia imagen.] FIGURA 33-15
0'
(a) El rayo 1 sale de 0' paralelo al eje y Se refleja por F.
(b)
El rayo 2 pasa por F y luego se refleja de regreso paralelamente al eje.
(c)
El rayo 3 llega perpendicularmente al espejo y luego se refleja de regreso sobre si inismo y pasa por C (centro de curvatura).
C
1
I
2
Rayos divergentes dirigiéndose hacia el ojo 818
CAP1TULO 33
I
Luz: reflexiOn y ref racciOn
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I'
33-16 Diagrama para obtener Ia ecuaciOn de los espejos. Para Ia derivaciOn, suponemos que el tamano del espejo es pequeno comparado con su radio de curvatura. FIGURA
I.
d0
d
Los puntos imagen pueden determinarse, burdamente, dibujando los tres rayos como se describió arriba, pero una alta precisiOn es difIcil de obtener. Por una parte es difIcil dibujar ángulos pequenos para los rayos "paraxiales" coma los supusimos. Sin embargo, es posible obtener una ecuaciOn que dé Ia distancia imagen si se conocen Ia distancia objeto y el radio de curvatura del espejo. Para hacerlo, nos referimos a Ia figura 33-16. La distancia del objeto a! centro del espejo, Ilamada distancia objeto, está designada par d0. La distancia imagen se designa d. La altura del objeto 00' se llama h0 y Ia altura de Ia imagen J'I es h,. Dos rayos se muestran, ei O'FBI' (mismo que el rayo 2 en Ia figura previa) y el 0'AI'. El rayo O'AI' obedece Ia ley de Ia reflexiOn, por supuesto, par lo que los dos triángulos rectos O'AO e I'Al son semejantes. For tanto, tenemos d0
h1 - d1 Para el otro rayo, O'FBI', los triángulos O'FO y AFB son también semejantes ya que Ia longitud AB = h (en nuestra aproximación de un espejo que es pequefio comparado con su radio) y FA = f, la longitud focal del espejo. Por tanto,
d0-f
OF h1 FA f Los lados izquierdos de las dos expresiones precedentes son iguales, por lo que podeh0
mos igualar los lados derechos: d0
d0
d1
-f f
Dividimos ahora ambos lados entre d0 y reordenando obtenemos 1
1
1
(333)
= Esta es Ia ecuación que buscábamos, se llama ecuación de los espejos y relaciona las distancias del objeto e imagen con Ia longitud focal f (donde f = r/2). El aumento lateral, m, de un eSpejo se define coma Ia altura de Ia imagen dividida entre Ia altura del objeto. Dc nuestro primer conjunto de triángulos semejantes anteriores, podemos escribir:
m=
=
d,
(33-4)
El signo menos en Ia ecuación 33-4 es irisertado como una convenciOn. Tenemos
que ser cuidadosos con los signos de todas Las cantidades en las ecuaciónes 33-3 y 33-4. Las convenciones de signos se escogen para dar las localizaciones y orientaciones correctas de las imágenes, tal coma son predichas par los diagramas de rayos. La convención de signos que usamos son: Ia altura de Ia imagen h es positiva si la imagen está derecha, y negativa si está invertida, relativa al objeto (suponiendo que h0 se toma como positiva); d, y d0 son positivas si La imagen y el objeto están en el lado reflejante
del espejo (coma en Ia figura 33-16), pero si Ia imagen o el objeto están detrás del espejo, Ia distancia correspondiente es negativa (un ejemplo, 33-5, puede verse en Ia figura 33-17). El aumento (ecuaciOn 33-4) es entonces positivo para una imagen derecha y negativo para una imagen invertida. Resumiremos Ia convenciOn de signos con ms detalles después de que veamos los espejos convexos en esta secciOn. SECCION 33-4
FormaciOn de imágenes mediante espejos esféricos
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Imagen en un espejo cóncavo. Un anillo de diamante de 1.50 cm de alto se coloca a 20.0 cm de un espejo cóncavo cuyo radio de curvatura es de 30.0 cm. Determine (a) Ia posicion de Ia imagen, y (b) su tamaño.
La longitud focal es f = r/2 = 15.0 cm. El diagrama de rayos es básicamente como el mostrado en La figura 33-15 y figura 33-16, ya que el objeto está entre F y C. Con referencia a Ia figura 33-15 o a la figura 33-16, tenemos CA = r = 30.0 cm, FA = f = 15.0 cm, y OA = d0 = 20.0 cm. (a) De Ia ecuaciOn 33-3 SOLUCION
1
=
d1
RESOLUCION DEL PROBLEMA
1
f
-
1
d
=
1
1
15.0 cm
20.0 cm
= 0.0167 cm
-1
d1 = 1/0.0167 cm' = 60.0 cm. La imagen está a 60.0 cm del espejo del mismo Iado que el objeto. (b) De la ecuación 33-4, el aumento lateral es
AsI,
m=
60.0 cm 20.0 cm
=-3.00.
Por lo tanto, Ia altura de Ia imagen es h1
= mh0 = (-3.00)(1.5 cm) = 4.5 cm.
El signo menos nos recuerda que Ia imagen es invertida, como en las figuras 33-15 y 33-16.
-'
Rayos reversibles. Si el objeto del ejemplo 33-3 Se cotoca cioncie esta Ia imagen (vease Ia figura 33-16), i,dOnde estará Ia nueva imagen? RESPUESTA La ecuación de espejos es simétrica en d0 y d,. Entonces la nueva imagen estará donde estaba el viejo objeto. De hecho, en Ia figura 33-16 sOlo tenemos que invertir la direcciOn de los rayos para obtener nuestra nueva situaciOn.
Objeto más cercano al espejo cóncavo. Un objeto de 1.00 cm de alto se coloca a 10.0 cm de un espejo cóncavo cuyo radio de curvatura es de 30.0 cm. Dibuje un diagrama de rayos para localizar (aproximadamente) Ia posiciOrl de la imagen. (b) Determine anailticamente Ia posiciOn de Ia imagen y el aumento. SOLUCION
(a) Como f = r/2 = 15.0 cm, el objeto está entre el espejo y el punto
focal. Dibujamos los tres rayos como se describiO antes (figura 33-15) y esto se muestra en Ia figura 33-17. El rayo 1 sale de Ia punta de nuestro objeto dirigiéndose hacia el espejo paralelamente al eje y se refleja pasando por F. El rayo 2 no puede dirigirse hacia F porque no tocarla el espejo; el rayo 2 debe dirigirse como si comenzara en F (lInea punteada) y se dirige al espejo de donde se refleja paralelamente al eje principal. El rayo 3 es perpendicular al espejo, como antes. Los rayos reflejados del espejo
divergen y nunca se encuentran en un punto. Sin embargo, parecen provenir de un punto detrás del espejo. Este punto es la imagen que está entonces detrás del espejo y es virtual (Por qué?) Usamos Ia ecuación 33-3 para hallar d cuando d0 = 10.0 cm: 1
1
1
2-3
1
d1
15.0cm
10.0cm
30.0cm
30.0cm
Por tanto, d = 30.0 cm. El signo menos significa que Ia imagen está detrás del espejo.
El aumento lateral es m =
d/d0
= (-30.0 cm)/(10.0 cm) = +3.00. La imagen es
entonces 3.00 veces mayor que el objeto; el signo más indica que la imagen está derecha (10 que es consistente con el diagrama de rayos, figura 33-17). [Nótese que Ia distancia a Ia imagen no puede obtenerse exactamente midiendo en Ia figura 33-17, porque nuestro diagrama viola Ia suposiciOn de rayos paraxiales (tuvimos que hacerlo asI, para hacer a todos los rayos claramente visibles).]
820
CAPiTULO 33
Luz: ref IexiOn y ref racción
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2
1
,'
'p
Objeto colocado dentro del punto focal F. La imagen está delrás del espejo y es virtual, ejemplo 33-5. [NOtese que Ia escala vertical (altura del objeto = 1.0 cm) es diferente de Ia horizontal (OA = 10.0 cm) pot facilidad de dibujo, y esto afecta Ia precision del mismo.I FIGURA 33-17
0
A
Es Otil comparar las figuras 33-15 y 33-17. Podemos ver que si el objeto está dentro del punto focal, como en Ia figura 33-17, Ia imagen es virtual, derecha y amplificada. AsI es como se usa un espejo de rasurar; usted debe colocar su cabeza dentro del punto focal para verse de pie (figura 33ha). Si el objeto está más allá del punto focal, como en Ia figura 33-15, Ia imagen es real e invertida (de cabeza y difIcil de usar). Si el aumento es mayor o menor que 1.0 en el Oltimo caso, depende de la posición del objeto respecto al centro de curvatura o punto C. La ecuaciOn de los espejos también es válida para un espejo piano: la longitud focal es f = r/2 = 0°, y Ia ecuaciOn 33-3 da d = d0. El anlisis usado para espejos cOncavos se puede aplicar a espejos convexos. La ecuaciOn de los espejos (ecuación 33-3) es vlida para un espejo convexo, aunque las cantidades implicadas deben ser cuidadosamente definidas. La figura 33-18a muestra rayos paralelos que caen sobre un espejo convexo. De nuevo, Ia aberraciOn esférica estará presente, pero suponemos que el tamaño del espejo es pequeno comparado con su radio de curvatura. Los rayos reflejados divergen, pero parecen venir del punto F detrás del espejo. Este es el punto focal, y su distancia al centro del espejo es Ia longitud focal, f. Es fácil mostrar que de nuevo f = r/2. Vemos que un objeto en el infinito produce una imagen virtual en un espejo corivexo. Sin importar dOnde esté colocado el objeto sobre ellado reflejante de un espejo convexo, Ia imagen será virtual y derecha, como se indica en Ia figura 33-18b. Para hallar la imagen, dibujamos los rayos 1 y 3 de acuerdo con las reglas usadas antes sobre el espejo cOncavo, como se muestra en Ia figura 33-18b. NOtese que aunque los rayos 1 y 3 no pasan realmente por los puntos F y C, Ia lInea a io largo de Ia cual están dibujados si pasa (mostrados con lIneas de rayas).
Espejo convexo: (a) el punto focal está en F, detrás del espejo; (b) Ia imagen I del objeto en 0 es virtual, derecho, y más pequena que el objeto. [No está a escala para el ejemplo 33-6.] FIGURA 33-18
F
H-f
'
3
C
0
A
1F
C
- d0+- d1=
(a)
(b)
SECCION 33-4
FormaciOn de imágenes mediante espejos esféricos
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821
La ecuación de los espejos, ecuaciOn 33-3, es válida para espejos convexos pero Ia longitud focal f debe considerarse negativa, asI como también el radio de curvatura. La demostración se deja como un problema. Se deja también como un problema el demostrar que la ecuación 33-4 para el aumento es también válida. Espejo retrovisor convexo. Un espejo retrovisor convexo de un auto tiene un raaio de curvatura de 16 m. Determine Ia localizaciOn de Ia imagen y su aumento para un objeto a 10.0 m del espejo.
El diagrama de rayos será como el de la figura 33-18, pero La distancia grande a! objeto (d0 = 10.0 m) hace difIcil un dibujo preciso. Tenemos un espejo convexo, por to que r es negativo por convenciOn. EspecIficamente, r = 16 m, por lo que SOLUCION
111 f
f = 8.0 m. La ecuaciOn de los espejos da d
d
1
1
8.0 m
10.0 m
18 80 m
Entonces, d = 80 m/18 = 4.4 m, o 4.4 m detrás del espejo. El aumento lateral es
m = d/d0 = (-4.4m)/(10.Om) = 0.44.
La imagen de pie es un poco menor que la mitad del tamaño del objeto. Los espejos retrovisores a veces tienen Ia advertencia de que los objetos se yen más lejos (Se yen más pequenos) de lo que realmente están; juzgar distancias en un espejo esférico requiere de cierta habilidad.
RESO LU C IO N
Espejo
DE PROBLEMAS
Siempre dibuje un diagrama de rayos aun cuando vaya a efectuar un cálculo analItico; el diagrama sirve como comprobación, aunque no precisa. Dibuje por to menos dos, de preferencia tres rayos, de los fácites de dibujar, como se describió en la figura 33-15. Dibuje por to general los rayos comenzando desde un punto sobre el objeto a Ia izquierda del espejo y procediendo hacia la derecha. Use las ecuaciones 33-3 y 33-4; es crucialmente importante seguir ta convención de signos.
Convención de signos Cuando el objeto, Ia imagen o el punto focal estdn sobre el tado reflector del espejo (a Ia izquierda en todos nuestros dibujos), Ia distancia correspondiente se consi-
dera positiva. Si cualquiera de esos puntos está detrás del espejo (a Ia derecha) Ia distancia correspondiente es
negativa.t La altura h1 de Ia altura es positiva Si La imagen está derecha, y negativa si está invertida con relación at objeto (es decir, si h0 se toma como positiva).
Las distancias de los objetos son positivas para objetos materiales, pero pueden ser negativas en sistemas con más de un espejo o lente; vOase Ia secciOn 34-3.
Ref racciOn; ley de Snell Cuando Ia luz pasa de un medio a otro con un Indice diferente de refracción (secciOn 33-2), parte de La Iuz incidente es reflejada en Ia frontera. El resto pasa at nuevo medio. Si un rayo de luz es incidente formando un ángulo con Ia superficie (que no sea perpendicular), el rayo se inclina at entrar at nuevo medlo. Esta desviaciOn se llama refracción. La figura 33-19a muestra un rayo que pasa del aire al agua. El nguLo 1 es et angulo que el rayo incidente forma con La perpendicular a Ia superficie y se llama ángulo de incidencia. El ángulo 02 es el ángulo de refracción, o sea el angulo que el rayo refractado forma con Ia perpendicular. NOtese que el rayo se desvIa hacia la normal cuando entra at agua. Este es siempre el caso cuando el rayo entra a un medio donde 822
CAPTULO 33
Luz: ref Iexión y refracción
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Normal
Normal Rayo reflejado
Rayo '-t incidente
Rayo reflejado
0
02
Aire (n2)
Aire (n1)
Rayo reflejad
Agua (n2) 02
v
Agua(n1)
l._:\\ Rayo 101
Refracción. (a) Luz refractada al pasar del aire (n1) al agua (n2): n2 > n1. (b) Luz refractada al pasar del agua (n1) a! aire (n2): (n2): FIGURA 33-19
incidente
Rayo reflejado
(a)
n2>ni
(b)
nI > n2.
izi>n2
La velocidad de La luz es menor. Si Ia luz viaja de un medio a otro donde su velocidad es mayor, el rayo se desvfa alejándose de La normal; esto se muestra en Ia figura 33-19b para un rayo que viaja del agua a! aire. La refracción es responsable de cierto nümero de ilusiones Opticas comunes. For ejemplo, cuando una persona está parada y metida en el agua hasta Ia cintura, parece tener piernas cortas. Como se muestra en La figura 33-20, los rayos que parten del pie de la persona son desviados en Ia superficie. El cerebro del observador supone que los rayos han viajado por una trayectoria recta, por lo que los pies parecen estar más arriba de lo que en realidad esthn. Similarmente, cuando usted introduce un lápiz en agua, parece que se dobla (figura 33-21). El angulo de refracción depende de Ia velocidad de la luz en los dos medios y del ángulo incidente. Una reLación analItica entre 0 y 02 fue obtenida de manera experimental alrededor de 1621 por WiI!ebrord Snell (1591-1626), y se conoce como Icy de Snell y se escribe
(33-5)
n1senO1 = n2senO2.
es el ángulo de incidencia y 02 es el ángulo de refracción; n1 y n2 son los respectivos Indices de refracciOn en los materiales. Véase La figura 33-19. Los rayos incidentes y refractados se encuentran en el mismo piano, que también incluye La perpendicular a Ia superficie. La ley de Snell es Ia ley de refracción básica. La ley de Snell puede obtenerse de Ia teoria ondulatoria de la luz (capitulo 35), y de hecho Ia obtuvimos en Ia secciOn 15-10 donde Ia ecuación 15-19 esjusto una combinaciOn de las ecuaciones 33-5 y 33-1. Es claro de la ley de Snell que si n2 > n1, entonces 02 < 0. Es decir, Si la luz en-
tra a un medio donde n es mayor (y menor su velocidad), el rayo es desviado hacia la normal. Y si n2 < n1, entonces 02 > 0, de manera que el rayo se desvIa alejndose de Ia normal. Esto lo vimos en Ia figura 33-19. FIGURA 33-20 El diagrama de rayos muestra por qué las piernas de una persona se yen más cortas cuando está metida en el agua hasta Ia cintura: Ia trayectoria de La luz que viaja de los pies del bañista a los ojos del observador se desvIa hacia La superficie del agua, y el cerebro interpreta Ia luz como que viaja en linea recta, desde un punto más arriba (lmnea punteada).
Un lápiz en el agua se ye como doblado aunque en realidad no lo está. FIGURA 33-21
El pie parece estar aquf
SECCION 33-5
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RefracciOn; ley de SnelI
823
Refracción a través de un vidrio piano. Un haz de luz toca una pieza plana cie vidrio uniformemente espeso con un ngulo de incidencia de 600, como se muestra en la figura 33-22. Si el Indice de refracciOn del vidrio es de 1.50, (a) cuál es el ángulo de refracciOn 0A en el vidrio?; (b) ,cuál es el ngulo O con que el rayo emerge del vidrio? SOLUCION (a) Suponemos que el rayo incidente está en el aire, por lo que n1 = 1.00 y. n2 = 1.50. Entonces, de Ia ecuaciOn 33-5 tenemos sen °A
Rayo del objeto
/
/
/
''Imagen" (donde parece estar el objeto)
FIGURA 33-22
sen 60° = 0.577,
=
por lo que °A = 35.2. (b) Como las caras del vidrio son paralelas, el ángulo de incidencia en la segunda superficie es justamente 0A' por Jo que sen 0A = 0.577. Esta vez n1 = 1.50 y n2 = 1.00. AsI, °B ( 02) es
Luz pasarido a través
sen 0
de una pieza de vidrio (ejemplo 33-7).
1.50
= 1.00
sen 0A = 0.866,
y 08 = 60.0°. La dirección del haz no cambia entonces al pasar a través de una pieza de vidrio de espesor uniforme. Deberla ser claro que esto es asI para cualquier ángulo de incidencia. Sin embargo, el rayo es desplazado hacia un ado. Usted puede observar esto mirando a través de una pieza de vidrio (cerca de su borde) algün objeto y luego moviendo Ia cabeza hacia un lado de manera que pueda ver el objeto directamente.
Profundidad aparente de una alberca. Un baflista dejó caer sus
lentes de sol en el lado poco profundo de una alberca, marcado con 1.0 m de profundidad. Pero éstos no parecen estar a tal profundidad. LPor qué? jQué tan profundo parecen estar los lentes cuando usted los ye directamente hacia abajo en el agua? FIGURA 33-23
Ejemplo 33-8.
SOLUCION
El diagrama de rayos de la figura 33-23 muestra por qué eJ agua parecc ser menos profunda que en Ia realidad. Los rayos que viajan hacia arriba desde los anteojos que están en el fondo de Ia alberca son refractados alejándose de Ia normal
cuando salen del agua. Los rayos parecen divergir desde un punto más alto en el agua. Para calcular Ia profundidad aparente d', dada una profundidad real d = 1.0 m, usamos Ia ley de Snelt con n1 = 1 para el aire y n2 = 1.33 para el agua: sen 01 = sen 02. Estamos considerando sOlo ángulos pequenos, por lo que sen 0 tan 0 0, con 0 en radianes. La ley de Sitell toma entonces la forma
if
d = 1.0 m
01
Dc la figura 33-23, vemos que 01
Liafas
protectoras
tan 01 =
Y
02
tan 02 =
Poniendo estas expresiones en Ia ley de Snell, 01 n202, obtenemos x x d 1.Om o = 0.75 m.
= 1.33
La piscina parece ser sOlo tres cuartas partes tan profunda de lo que realmente es.
Espectro visible y dispersion Una propiedad obvia de la luz visible es su color, el cual está relacionado con las longitudes de onda o con las frecuencias de Ia luz. (La forma en que esto fue descubierto se vera en el capItulo 35.) La luz visible, a Ia que son sensibles los ojos, cae en el rango de longitudes de onda de aproximadamente 400 nm a 750 nm.t Esto se conoce como el 5A veces Se usa Ia unidad angstrom (A) con referencia a Ia uz: iA = 1 x 10°m. La Iuz visible cae entonces en el rango de longitud de onda de 4000 A a 7500 A.
824
CAPITULO 33
Luz: reflexiOn y ref racciOn
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Uv
JR
I
I
I
I
I
700 nm
600 nm
500 nm
400 nm
I
I
I
espectro visible, y dentro de él se encuentran los colores diferentes que van del violeta al rojo, como se muestra en Ia figura 33-24. La luz con longitud de onda más corta que 400 nm se llama ultravioleta (UV), y Ia luz con longitud de onda mayor que 750 nm se llama infrarroja (IR). Aunque los ojos humanos no son sensibles a la UV o a La IR, algunos tipos de pelIcula fotogrfica sI responden a ellas. Un prisma separa La luz blanca en un arcoiris de colores, como se muestra en La figura 33-25. Esto sucede porque el Indice de refracciOn de un material depende de Ia longitud de onda, como se muestra para diferentes materiales en Ia figura 33-26. La luz blanca es una mezcla de todas las longitudes de onda visibles, y cuando incide en un prisma, como en Ia figura 33-27, las diferentes longitudes de onda son desviadas con ángulos diferentes. Como el mndice de refracciOn es mayor para las longitudes de onda corta, Ia luz violeta es Ia ms desviada y Ia roja la menos desviada como se indica. Esta division de la iuz bianca en el espectro total se llama dispersion.
FIGURA 33-24 Espectro de luz visible, mostrando ci rango de longitudes de onda para los diversos colores.
La Iuz blanca al pasar a través de un prisma se descompone en sus colores constituyentes. FIGURA 33-25
Luz blanca dispersada por un prisma en el espectro visible.
FIGURA 33-26 Indice de refracciOn como funciOn de Ia longitud de onda
FIGURA 33-27
para diferentes sólidos transparentes. 1.7
Vidrio de silicato de pedernal
Vidrio de borato de pdemaI
Pared o pantalla
Cuárzo
Silicato de vidrio crown Cuarzo fundido
1.4
400 Violeta
500 600 Longitud de onda (nm) Azul
Verde Amarillo
700
Naranja
ROJO
Los arcoiris son un ejemplo espectacular de dispersion por las gotas de agua. Usted puede observar un arcoiris cuando ye caer gotas de agua con el Sol a su espalda. La figura 33-28 muestra cOmo los rayos rojos y violetas son desviados por gotas esféricas de agua y son reflejados desde su superficie posterior. La luz roja es la menos desviada y Ilega entonces a los ojos del observador desde las gotas en el cielo, como se muestra en el diagrama. AsI entonces, Ia parte superior del arcoiris es roja. El especlro eleclromagnélico cOmplelo eslá ilustrado en Ia figura 32-12.
Estos dos rayos son vistos por el observador (no está a escala)
Rojo Naranja Ar tarillo
Violeta
Verde
Anti Violeta
Violeta
(a) FIGURA 33-28
(b)
(a) Diagrama de rayos que explica como se forma un arcoiris (b).
SECCION 33-6
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Espectro visible y dispersion
825
Ref Iexión total interna; fibras ópticas Cuando Ia Iuz pasa de un material a un segundo material donde el Indice de refracciOn es menor (digamos, del agua al aire), Ia luz se inclina alejándose de Ia normal, como en el caso de los rayos I y J en Ia figura 33-29. Para un ángulo de incidencia particular, el ángulo de refracción será de 90°, y el rayo refractado rozará Ia superficie (rayo K) en este caso. El ángulo incidente para el cual esto ocurre se llama el ángulo crItico, Oc. De Ia ley de Snell, el 0 está dado por
sen 0 =
nl
sen 90° =
(33-6)
nl
Para cualquier ángulo incidente menor que O habrá un rayo refractado, aunque parte de Ia luz se reflejará también en Ia frontera. Sin embargo, para angulos iricidentes mayores que 0c la ley de Snell nos dirIa que sen 02 es mayor que 1.00. Sin embargo, el Seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1.00. En este caso no hay rayo refractado en absoluto, y toda Ia Iuz es reflejada, como el caso del rayo L en La figura 33-29. Este efecto se llama reflexión total interna. Pero nótese que la reflexiOn total interna puede ocurrir sOlo cuando Ia luz toca una frontera donde el medio posterior tiene un Indice merior de refracción. FIGURA33-29 Comon2 < n1,los rayos de luz son reflejados interna-
mente en forma total si 0 > 0, como en el rayo L. Si 0 < 0, como en los rayos I y J, solo una parte de Ia luz es reflejada, y el resto es refractada.
L. L.. .. .J4 ..-J Vision desde abajo del agua. Describa lo que veria una persona que mirase hacia arriba desde el fondo de una superficie perfectamente lisa como la de un lago o de una alberca. RESPUESTA Para una interfaz aire-agua, el Ongulo crItico estO dado por sen O
1.00
= 1.33
= 0.750.
Por tanto, O = 49°. La persona verIa entonces el mundo exterior comprimido en un cIrculo cuyo borde formarIa un Ongulo de 49° con Ia vertical. MOs allO de este Ongulo, Ia
persona verIa reflexiones de los lados y fondo de Ia alberca o del lago (figura 33-30).
(a) Rayos de luz, y (b) vista hacia arriba desde abajo del agua (Ia superficie del agua debe estar muy lisa). FIGURA 33-30
v90 (a)
(b)
Los diamantes obtienen su brillo a partir de una combinaciOn de dispersion (sección anterior) y reflexiOn total interna. Como los diamantes tienen un Indice de refracciOn
muy alto, de aproximadamente 2.4, el Ongulo crItico para Ia reflexiOn total interna es de solo 25°. La luz incidente toca por tanto muchas de las superficies internas antes de tocar una con menos de 25° y luego emerger. Después de muchas reflexiones, Ia luz 826
CAP1TULO 33
Luz: ref lexiOn y refracciOn
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Reflexión total interna de Ia luz por prismas en binoculares. FIGURA 33-31
Luz reflejada totalmente en Ia superficie interior de una fibra de vidrio o una fibra plástica transparente.
FIGURA 33-32
ha viajado lo suficiente como para que los colores queden separados y sean vistos de forma individual y brillante por los ojos, antes de salir del cristal. Muchos instrumentos ópticos, como los binoculares, hacen uso de Ia reflexión total interna dentro de un prisma para reflejar Ia luz. La ventaja es que casi el 100% de Ia luz es reflejada, mientras que aun los mejores espejos reflejan algo menos que el 100%. La imagen es entonces más brillante. Para el vidrio con n = 1.50, O = 41.8°. Por tanto, los prismas a 45° reflejan toda Ia luz internamente, Si se orientan como se muestra en los binoculares de Ia figura 33-31. La reflexiOn total interna es el principio detrás de las fibras ópticas. Ahora pueden fabricarse fibras de vidrio y de plstico tan deigadas como de unos cuantos micrometros de diámetro. Un mazo de esas fibras diminutas se llama tubo de Iuz o cable, y Ia luz puede ser transmitida a lo largo de él con casi ninguna pérdida debido a Ia reflexiOn total interna. La figura 33-32 muestra cOmo Ia luz que viaja por una fibra delgada tiene sOlo colisiones de roce con las paredes, de tal manera que ocurre una reflexiOn total interna. AOn si el tubo de luz es doblado en una forma complicada, el ángulo cr1tico no se excederá, por lo que la luz es transmitida prácticamente sin disminuciOn en su intensidad (véase Ia figura 33-33). Ocurren pérdidas muy pequenas, principalmente por reflexión en los extremos y absorciones dentro de Ia fibra. Importantes aplicaciones de los cables de fibras Opticas tienen lugar en las telecomunicaciones y en medicina. Se usan para transmitir llamadas telefOnicas, señales de video y datos de computadoras. La seflal es un rayo de luz modulado (un rayo de luz cuya intensidad puede ser variada) y es transmitida a una velocidad mucho mayor y con menor pérdida y menor interferencia que una sejial eléctrica en un alambre de cobre. Han sido desarrolladas fibras Opticas que pueden soportar más de 100 longitudes de onda separadas, cada una modulada para Ilevar hasta 10 gigabits (1010 bits) de informaciOn por segundo. Esto significa un terabit (1012 bits) por segundo para las 100 longitudes de ondas completas. El uso sofisticado de las fibras opticas para transmitir una
ReflexiOn total interna dentro de las pequenas fibras de este tubo de Iuz, hace posible transmitir luz en trayectorias complejas con pérdida minima. FIGURA 33-33
(a) Cómo se hace una imagen de fibra óptica. (b) Ejemplo de un dispositivo de fibra óptica insertado a través de Ia nariz, y Ia imagen que se ye. FIGURA 33-34
A
imagen clara es particularmente Otil en medicina, figura 33-34. For ejemplo, los pulniones de un paciente pueden ser examinados insertando un tubo de luz conocido como bron-
coscopio a través de Ia boca y hacia abajo por el tubo bronquial. La luz se envIa hacia abajo por un conjunto exterior de fibras para iluminar los pulmones. La luz reflejada regresa hacia arriba por un nOcleo central de fibras. La luz directamente enfrente de cada fibra viaja hacia arriba por esa fibra. En el extremo opuesto, un observador ye una sen de puntos brillantes y oscuros, como en una pantalla de television, es decir, una imagen de lo que se encuentra en el extremo opuesto. Se usan lentes en cada extremo: en el extremo del objeto para traer los rayos en paralelo, y en el extremo de observaciOn como en un telescopio. La imagen pueden ser vista directamente o en un monitor o pelicula de television. Las fibras deben estar ópticamente aisladas una de otra, usualmente por un recubrimiento delgado de material cuyo indice de refracciOn es menor que el de Ia fibra. Las fibras deben disponerse precisamente en forma paralela una con otra para que Ia imagen sea clara. Entre más fibras haya y sean ms pequenas, Ia imagen resultari ms detallada. Tales instrumentos, incluidos los broncoscopios, colonescopios (para ver el colon) y endoscopios (para ver el estomago u otros organos) son extremadamente ütiles para examinar los lugares dificiles de Ilegar. SECCION 33-7
(a)
A
(b)
Reflexión total interna; fibras Opticas
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827
nl
FIGURA 33-35 Los rayos desde un punto 0 sobre un objeto se enfocarán en un solo punto imagen I por una frontera esférica entre dos materiales transparentes ( n2 > n1), siempre que los rayos formen ángulos pequeflos con el eje.
C 0
*
Ref racción en una superficie esférica Examinaremos ahora la refracción de rayos en la superficie esférica de un material transparente. Una superficie de esas podrIa ser Ia cara de una lente o la cornea del ojo. Por lo general, consideremos un objeto que está ubicado en un medio cuyo Indice de refracciOn es n1, y los rayos desde cada punto del objeto pueden entrar a un medio cuyo Indice de refracciOn es n2. El radio de curvatura de Ia frontera esférica es R, y su centro de curvatura está en el punto C, figura 33-35. Mostramos ahora que todos los rayos que dejan un punto 0 sobre el objeto estarn enfocados en un solo punto I, que es el punto imagen, si consideramos sOlo rayos paraxiales, o sea, rayos que forman un Ongulo pequeno con el eje. Consideremos entonces un solo rayo que deja el punto 0 como se muestra en la figura 33-36. Por Ia ley de Snell, ecuación 33-5, tenemos n1sen61 = n2senO2.
Estamos suponiendo que los ángulos O, 02, a, /3, y y son pequenos, por lo que sen 0
0 (en radianes), y La ley de Snell puede expresarse aproximadamente como n101 = n202
Además, /3 + 4 = 180° y 02 + y + 4 = 180°, por lo que
/3 = Similarmente, para e] triángulo OPC,
= a + j3. Esas tres relaciones se pueden combinar y dar
na + n2y = (n2 - n1)/3. Como estamos considerando sOlo el caso de ángulos pequeflos, podemos escribir, aproximadamente,
an-'h
h
/3=-k,
h
>'=-'
donde d0 y d son las distancias del objeto y Ia imagen y h es la altura como se muestra en la figura 33-36. Sustituimos estos valores en la ecuación previa, dividimos entre h, y obtenemos /l
fl2
=
R
(337)
Para una distancia al objeto dada d0, esta ecuaciOn nos dice que d1 o distancia a Ia imagen no depende del angulo de un rayo. For consiguiente, todos los rayos paraxiales se Diagrama para probar que todos los rayos paraxiales desde 0 tienen su foco en el mismo FIGURA 33-36
punto I (n > n1).
828
CAPITULO 33
Luz: ref lexiOn y ref racciOn
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0
FR--- I
C
1
d0
I
nl
n..
FIGURA 33-37 Los rayos desde 0 son refractados por una superficie cOncava para formar una imagen virtual ( n2 > n1).
encuentran en el mismo punto 1. Esto es cierto, por supuesto, solo para rayos que forman ngulos pequenos con el eje y con cada otro rayo. Esto es equivalente a suponer que el ancho de Ia superficie esférica refractante es pequeno comparado con su radio de curvatura. Si esta suposición no es cierta, los rayos no convergirn a un punto; habr aberraciOn esférica, como en el caso de un espejo (véase la figura 33-13), y Ia imagen Será borrosa. (La aberración esférica se analizará con mayor detaUe en la sección 34-10.)
Obtuvimos Ia ecuaciOn 33-7 usando Ia figura 33-36 para Ia cual Ia superficie esférica es convexa (como es vista por el rayo incidente). Es también válida para una superficie cOncava, como puede verse usando Ia figura 33-37 si hacemos las siguientes convenciones:
Si Ia superficie es convexa (de manera que el centro de curvatura C esté sobre el lado de Ia superficie opuesto a aquel de donde viene Ia luz), R es positiva; si la superficie es cóncava (C sobre el mismo lado del que viene Ia luz) R es negativa. La distancia a Ia imagen, d1, sigue Ia misma convenciOn: positiva Si est sobre el lado opuesto de donde viene Ia ]uz (imagen real), negativa si está del mismo lado (imagen virtual). La distancia al objeto es positiva si est del mismo lado de donde viene la luz, objeto real (éste es el caso normal, aunque cuando varias superficies doblan Ia Iuz puede que no sea asI), de otra manera es negativa; objeto virtual. Para el caso mostrado en Ia figura 33-37 con una superficie cOncava, R y d, son negativas cuando se usan en Ia ecuación 33-7. NOtese, en eSte caso, que Ia imagen es virtual.
abajo cii uu tanque?
iai
Profundidad aparente II. Una persona ye verticalmente hacia Je de 1.0 m de profundidad. ,Qué profundidad parece tener el CS-
SOLUCION
El ejemplo 33-8 resolviO este problema usando Ia ley de Snell. Aqul usamos Ia ecuación 33-7. Un diagrama de rayos se muestra en Ia figura 33-38. El punto 0 representa un punto sobre el fondo de Ia piscina. Los rayos divergen y parecen venir del punto I o imagen. Tenemos d0 = 1.0 m y, para una superficie plana, R = GX. La ecuaciOn 33-7 toma entonces Ia forma 1.33
1.Om
+
1.00 d,
=
(1.00 - 1.33) 00
=0
Por consiguiente, d, = -(1.0 m)/(1.33) = -0.75 m. La piscina parece ser sOlo tres cuartas partes tan profunda como to es realmente; obtenemos el mismo resultado que en el ejemplo 33-8. El signo menos nos dice que el punto imagen I está del mismo lado de La superficie que 0, y la imagen es virtual. Para otros ingulos que no sean verticales, esta conclusiOn debe modificarse. FIGURA 33-38
Ejemplo 33-10.
Aire:,12= 1.00 Agua: n1 = 1.33
SECCION 33-8
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Ref racción en una superficie esférica
829
Una "Iente esférica. Una fuente puntual de luz es colocada a una distancia de 25.0 cm del centro de una esfera de vidrio ( n = 1.5) de radio 10.0 cm, igura 33-39. Encuentre Ia imagen de Ia fuente.
SOLUCION Como se muestra en la figura 33-39, hay dos refracciones, y las trataremos sucesivamente, una a La vez. Los rayos de luz de La fuente se refractan primero desde Ia superficie convexa de vidrio de cara a la fuente. Analizamos esta refracción despreciando el lado posterior de Ia esfera, tratándola como si tuviese Ia forma mostrada en Ia figura 33-35. Usando Ia ecuación 33-7, suponiendo rayos paraxiales, con n1 = 1.0, n2 = 1.5, R = 10.0 cm y d0 = 25.0 cm - 10.0 cm = 15.0 cm, despejamos Ia distancia a La imagen formada en La superficie 1, d1: 1
d
i /1.5 - 1.0
- 1.5
\ 10.0 cm
'
1.0
1
15.0 cm) -
90.0 cm
AsI entonces, Ia imagen de La primera refracción está ubicada a 90.0 cm a La izquierda de Ia superficie frontal. Esta imagen sirve ahora como el objeto para La refracción que ocurre en Ia superficie posterior (superficie 2) de la esfera. Esta superficie es cOncava y R = - 10.0 cm, y consideramos un rayo cercano al eje. La distancia a! objeto es entonces d02 = 90.0 cm + 2(10.0 cm) = 110.0 cm, y La ecuación 33-7 da, con n1 = 1.5, n2 = 1.0, 1.
/1.0-1.5
d12 - 1.0 \-10.Ocm
1.5
4.0
110.0 cm
110.0cm
por to que d,2 = 28 cm. La imagen final está entonces localizada a una distancia de 28 cm desde el lado posterior de La esfera.
Ejemplo 33-11.
FIGURA 33-39
Fuente
'I
= 10.0 cm
'2
Resumen La Iuz parece viajar a to largo de trayectorias en Ilnea recta, Ilamadas rayos, con una velocidad v que depende del Indice de refracción n del material; es decir C
V = n-, donde c es Ia velocidad de ta luz en el vacIo.
Cuando Ia luz se refleja desde una superficie plana, el
angulo de reflexion es igual a! angulo de incidencia. Esta ley de reflexión explica porqué los espejos pueden formar imágenes. En un espejo piano, la imagen es virtual, derecha, del mismo tamaflo que el objeto, y está tan atrs del espejo como el objeto está a! frente de él. Un espejo esférico puede ser cóncavo o convexo. Un espejo esférico cOncavo enfoca rayos paralelos de luz (luz de un objeto muy distante) a un punto Ilamado el punto focal. La distancia de este punto desde el espejo es La longitud focal f del espejo y
f=. donde r es el radio de curvatura del espejo. 830
CAPITULO 33
Luz: ref lexiOn y refracciOn
Los rayos paralelos que caen sobre un espejo convexo se reflejan desde el espejo como si divergiesen desde un punto comün detrás del espejo. La distaricia de este punto desde el espejo es La longitud focal y se considera negativa para un espejo convexo. Para un objeto dado, La posicion y el tamaflo de Ia imagen formada por un espejo se pueden encontrar por el trazo de rayos. Algebraicamente, Ia relación entre distancias de imagen y objeto, d y d0, y la longitud focal f, está dada por Ia ecuación de los espejos: 1
1
d0
d1
=
1
f
La razón de aitura de imagen a altura de objeto, que es
igual at aumento m, es
h,
d1
Si los rayos que convergen para formar una imagen pasan realmente por Ia imagen, de manera que la imagen aparecerá sobre una pelIcula o pantalla situada ahI, se dice que Ia imagen es una imagen real. Si Los rayos no pasan realmente por La imagen, se dice que ésta es una imagen virtual.
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Cuando Ia luz pasa de un medio transparente a otro, los rayos se desvfan o refractan. La ley de Ia refracción (ley de Snell) establece que n1senO1 = n2sen02,
donde n1 y 0 son el Indice de refracciOn y el ángulo con Ia normal a Ia superficie para el rayo incidente, y n2 y 02 lo son para el rayo refractado. La longitud de onda de Ia luz determina su color; el es-
Los prismas de vidrio (y otros materiales trartsparentes) pueden separar la iuz blanca en su colores constituyentes debido a que el Iridice de refracciOn varfa con ia longitud de onda, fenOmeno conocido como dispersion. Cuando los rayos de luz aicanzan la frontera de un material donde decrece el Indice de refracciOn, los rayos sern reflejados totalmente de manera interna si el ángulo incidente 0 es tal que Ia Icy de Sneil predecirfa sen 02 > 1; esto ocurre si 0 excede el ángulo crItico c dado por
pectro visible se extiende de 400 nm (violeta) a cerca de
sen0 =
750 nm (rojo).
nl
Preciuntas Cuál serIa La apariencia de Ia Luna si tuviera (a) una superficie rugosa; (b) una superficie pulida tipo espejo?
Se dice que ArquImedes quemO toda Ia flota romana en ci
puerto de Siracusa enfocando los rayos solares con un enorme espejo esférico. ,Es esto razonable? Si un espejo cóncavo produce una imagen real, es Ia imagen necesariamente invertida? Cuando emplea un espejo cóncavo, no puede ver una imagen invertida de usted mismo a menos que coloque Ia cabeza más aiiá del centro de curvatura C. Sin embargo, usted puede ver una imagen invertida de otro objeto colocado entre C y F, como en Ia figura 33-IS. ExpIfquelo. [Sugerencia: usted puede ver una imagen real sOlo si ci ojo está detrás de Ia imagen, de modo que esta se pueda formar.] ,Cuál es Ia longitud focal de un espejo piano? Cuái es el aumento de un espejo piano? Es Ia ecuación de los espejos, ecuación 33-3, váiida para un espejo piano? ExpiIqueio. ,COmo podrIa usted determinar Ia veiocidad de La Iuz en un objeto sOhdo, rectangular y transparente? Cuando usted ye el reflejo de Ia Luna en un mar ondulado, aparece aiargada (figura 33-40). ExplIquelo.
,Cuiil es ci anguio de refracción cuando un rayo de luz encuentra Ia frontera entre dos materiales perpendicularmente? Cuando usted ye hacia abajo en una aiberca o en un lago, usted es propenso a subestimar su profundidad. COmo varIa Ia profundidad aparente con ei ánguio de visiOn? (Use diagramas de rayos.)
Dibuje un diagrama de rayos para mostrar porqué una barra recta se ye doblada cuando parte de ella está bajo ci agua (fi-
gura 33-21). Cuando un haz ancho de luz paraieia entra al agua con cierto ánguio, ci haz se ensancha. ExpiIquelo. Usted está en un acuario y yen un pez dentro de él. Un rayo de iuz que emerge del tanque desde ci pez se muestra en ia figura 33-41. También se muestra Ia posiciOn aparente del pez como es visto por ci ojo. En ci dibujo, indique Ia posición real aproximada dci pez. Justifique brevemente su respuesta.
FIGURA 33-41
Pregunta 13.
COmo puede usted "ver" una gota redonda de agua sobre una mesa aOn cuando ci agua es transparente e incolora? Puede un rayo de iuz que viaja en ci aire ser totaimente reflejado cuando toca una superficie lisa de agua si ci anguio mcidente es recto? Cuando usted ye hacia arriba un objeto en ci aire desde ci fondo de una aiberca, i,se ye ci objeto dcl mismo tamaño que cuando io ye directamente en ci aire? ExpiIqueio. Qué tipo de espejo se muestra en La figura 33-42?
FIGURA 33-40
Pregunta 8.
FIGURA 33-42
Pregunta 17.
Preguntas
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831
Problemas -
(I) ,Cuái es Ia velocidad de Ia luz en (a) alcohol etilico, (b) en lucita?
(II) Dos espejos pianos se encuentran segOn un ánguio de 135°, figura 33-45. Si los rayos de Iuz tocan un espejo a 40° como se muestra, ,con qué anguio 4) saien del segundo espejo?
(I) La velocidad de Ia luz en hielo es de 2.29 X 108 rn/s. ,CuáI es el Indice de refracciOn del hielo? (I) ,Qué tiempo le torna a La luz ilegar a La Tierra desde el Sol que está a 1.50 x 108 km de distancia? Nuestra estreila más cercana (aparte del Sol) está a 4.2 altos luz. Es decir, le toma a La luz 4.2 años liegar a Ia Tierra desde ella. tQué tan lejos está Ia estrella en metros?
La luz es emitida desde el filamento de un foco ordinario de Iuz en ráfagas de trenes de ondas de aproximadamente 10 s de duración. CuáI es La longitud en el espacio de tales trenes de ondas? (II) La velocidad de Ia iuz en cierta sustancia es 92% de su valor en el agua. ,Cuál es el Indice de refracciOn de esa sustancia? (II) ,Cuál es Ia minima rapidez angular con Ia que ei espejo de ocho lados de Michelson tendrIa que girar para que Ia iuz se reflejase hacia el ojo de un observador desde caras sucesivas del espejo (figura 33-2)?
Suponga que quiere tornar una fotografia de usted mismo viendo su imagen en un espejo situado a 1.8 m de distancia.
,Para qué distancia debe enfocarse La lente de Ia cimara? Coloque dos espejos pianos de manera que formen un angulo recto corno en Ia figura 33-43. Cuando usted se ye en este espejo doble, se ye tal como otros lo yen, en vez de en posición
40°
FIGURA 33-45 Probierna 11.
(II) Suponga que usted está a 80 cm de un espejo piano. Qué area del espejo se usa para reflejar los rayos que provienen de un punto en Ia punta de ia nariz y entran a uno de los ojos, Si ei cliámetro de Ia pupila es de 5.0 mm?
Demuestre que si dos espejos pianos forman un ánguio cb, un solo rayo reflejado sucesivamente en ambos espejos es desviado un ánguio de 24) independienternente del ángulo incidente. Suponga 4) < 90° y que tienen iugar solo dos refiexiones, una desde cada espejo. Suponga que un tercer espejo se coloca debajo de los dos mostrados en Ia figura 33-43, de manera que los tres son perpendiculares entre si. (a) Demuestre que para tal "reflector de esquina", cuaiquier rayo incidente regresará con su direcciOn original después de tres reflexiones. (0) Qué sucede si el rayo efectlta sOlo dos reflexiones?
invertida como en un espejo simple. Haga un diagrama para
mostrar cómo ocurre esto.
(I) Un espejo cóncavo dirigido ai Sal enfoca Los rayos de éste en un punto situado a 18.2 cm frente al espejo. Cuál es ei radio de Ia superficie esférica con ia que fue hecho ei espejo? LQué tan iejos de un espejo cOncavo (radio de 22.0 cm) debe colocarse un objeto para que su irnagen esté en el infinito?
Muestre con diagramas de rayos que el aumento de un espejo cOncavo es menor que 1 si ei objeto está rnás alla del centro de curvatura C, y es mayor que 1 si está entre este punto y ei espejo. FIGURA 33-43 Probiemas 9 y 14.
(II) Una persona cuyos ojos están a 1.54 m por arriba del piso está a 2.30 m enfrente de un espejo piano vertical cuyo borde inferior está a 40 cm por arriba del piso, figura 33-44. LCuái es Ia distancia horizontal x a La base de Ia pared que soporta ei espejo desde el punto rnás cercano sobre el piso que se puede ver reflejado en ei espejo?
F-2.30 m-H
if
1.54 m
b.
832
CAPiTULO 33
_-'1T40 cm
FIGURA 33-44 Problema 10.
(II) Si usted se ye en una esfera de Navidad con diOmetro de 9.0 cm cuando su cara está a 25.0 cm de distancia de ella, dOnde está su imagen? Es reai a virtual? ,Es derecha o invertida? (II) Un espejo en un parque de diversiones muestra una imagen derecha de cualquier persona que esté a 1.5 m enfrente de éi. Si La imagen es tres veces La estatura de Ia persona, ,cuái es el radio de curvatura del espejo?
(II) Un dentista quiere un espejo pequeflo que, cuando esté a 2.00 cm de un diente, produzca una imagen derecha con un aumento de 5.0x. ,Qué tipo de espejo debe usarse y cuál debe ser su radio de curvatura? (II) Aigunos espejos retrovisores producen imágenes de los autos detrfls de usted que son menores de io que serIan si el espejo fuese pIano. ,Son los espejos cOncavos 0 convexos? Cuál es el radio de curvatura de un espejo silos autos que estan a 20.0 m atrás aparecen de 0.33 de su tamaflo normal?
Luz: ref IexiOn y refracciOn
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(11) Un objeto luminoso de 3.0 mm de altura se coloca a 20 cm de un espejo convexo de 20 cm de radio de curvatura. (a) Demuestre trazando rayos que La imagen es virtual, y estime Ia distancia a Ia imagen. (b) Demuestre que para calcular esta distancia (negativa) a La imagen con Ia ecuaciOn 33-3, es suficiente hacer igual a 10 cm La longitud focal. (c) Caicule ci tamaño de La imagen usando Ia ecuaciOn 33-4.
Los rayos solares en cierta posiciOn forman un ánguio de 43.0° con Ia vertical debajo dcl agua. A qué ángulo sobre ci horizonte está el Sol? Un haz dc iuz incide sobre un prisma equiiátero de vidrio formando un ngulo de 45.0° con una cara, figura 33-46. CalcuIc ci ánguio con que Ia iuz emerge dc La cara opucsta. Suponga que n = 1.50.
(II) (a) DOnde debe colocarse un objeto frente a un espejo cOncavo para que produzca una imagen en Ia misma posición que ci objeto? (b) LEs Ia imagen real o virtual? (c) LEs Ia imagen invertida o derecha? (d) LCuOl es ci aumcnto de Ia imagen?
(II) La imagen de un rboi distante es virtual y muy pequena cuando se ye en un espejo curvo. La imagen se ye de 14.0 cm detrás dcl espejo. Qué tipo de espejo es este y cul es su radio de curvatura? (II) Use Ia ecuación de los espejos para mostrar que Ia magnitud del aumento de un espejo cóncavo es menor que 1 si ci objeto está detrás del centro de curvatura C (d0 > r), y es mayor que 1 si ci objeto está dentro de C (d0 < r).
(II) Demuestre, usando un diagrama de rayos, que ci aumento m de un espejo convexo es m = d1/d0, justo como para un espejo cóncavo. [Sugerencia: considere un rayo de Ia parte Superior dcl objeto que se refleje en ci centro dcl espejo.]
FIGURA 33-46 ProbIemas 36 y 52.
(II) Para inspeccionar ci fondo de una aiberca en Ia noche, un guardia La iiumina con un rayo dc iuz de su iinterna, situada ésta a 1.3 m por arriba del nivel dci agua; ci rayo toca La superficie dci agua en un punto a 2.7 m dc su pie situado en ci borde de Ia alberca (figura 33-47). DOnde toca ci rayo de luz ci fondo de La alberca, medido desde Ia pared debajo de sus Si Ia alberca tiene 2.1 m de profundidad?
(II) Use diagramas de rayos para mostrar que Ia ecuaciOn de los espejos, ecuación 33-3, es válida para un espejo convcxo siempre quc fse considere negativa. El aumento de un espejo convexo cs de +0.55x para objetos a 3.2 m del espejo. Cuái es Ia longitud focal de este espejo? (IT) Un objeto de 4.5 cm de altura se coloca a 28 cm enfrente de un espejo esfOrico. Se desea producir una imagen virtual quc es-
té derecha y sea de 3.5 cm de altura. (a) LQué tipo de espejo debe usarse? (b) j,DOnde se localiza Ia imagen? (c) ,Cuái es Ia longitud focal del espejo? (d) ,CuáI es ci radio de curvatura del espejo?
(TI) Un espejo para rasurarse está diseflado para amplificar La cara por un factor de 1.3 cuando esta colocada a 20.0 cm frente
al espejo. (a) De qué tipo de espejo se trata? (b) Describa el tipo de imagen que ci espejo forma de Ia cara. (c) Calcule ci radio de curvatura requerido para ci espejo.
Un objeto corto delgado (como un tramo corto de alambre) de longitud I es colocado sobre, y paraiclo al eje principal de un espejo esférico. Demuestre que La imagen tiene longitud 1' = ml si ci aumento longitudinal es igual a m2 donde m es ci aumento lateral (ecuaciOn 33-4). LPor qué ci signo menos? [Sugerencia: encuentre las posiciones de las imágencS para ambos cxtrcmos de Ia barra y suponga que I es muy pequcna.
(1) El haz de iuz de una linterna toca Ia superficie de una piaca de vidrio (n = 1.50) con un ánguio de 63° respecto a Ia normal. CuOl es ci ángulo de refracción?
I.3m
Ij
2.7 m
2.1 m
I
FIGURA 33-47
Probiema 37.
(II) Un rayo de iuz en ci aire toca una placa de vidrio crown (n = 1.52) y es parciaimente reflcjado y parciaimcntc refractado. Encuentre ci ángulo de incidencia si ci ánguio de rcfiexiOn cs doble que ci ánguio de rcfracciOn. (II) Si ci medio a La izquierda dcl vidrio en Ia figura 33-22 es diferente que ci de Ia dcrccha (de manera que hay tres matcriales diferentes de difcrcntc Indicc de refracciOn), muestre que ci angulo de refracciOn en ci terccr medio (a Ia derccha dci vidrio) es ci mismo que si Ia iuz pasara dci primer medio al tercero directamente (como si ci vidrio fuese de espesor cero). (IT) Un acuario ileno de agua tienc parcdcs de vidrio piano cuyo Indice de rcfracciOn es 1.58. Un rayo de iuz dci exterior al acuario toca ci vidrio con un ánguio de 43.5° a Ia perpendicular (figura 33-48). LCuái es ci ánguio de este rayo de luz cuando (a) entra al vidrio, y luego (b) al agua? (c) Cuái scrIa ci ángulo refractado si el rayo entrase al agua directamente?
(I) Un buzo desde abajo en ci agua emite con su linterna un rayo de luz, que forma un ángulo de 32.5° con Ia vertical. Con qué nguIo sale ci rayo de iuz dci agua?
(I) Un rayo de iuz desde una fuente bajo ci agua sale de ésta con un nguio de 76.0°. ,Con qué angulo de incidencia tocO el
Vidrio
Aire
Agua FIGURA 33-48
Probiema 40.
rayo La interfaz aireagua por debajo de La superficie?
Problemas
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833
Demuestre en general que para un rayo de Iuz incidente sobre una capa uniforme de material transparente, como en La figura 33-22, Ia dirección del rayo emergente es paralela al rayo incidente, independientemente del ángulo Ode incidencia. Suponga que el medio sobre los dos lados es el mismo.
Un rayo de luz incide sobre una pieza plana de vidrio como en la figura 33-22. Demuestre que si el ángulo 0 incidente es pequeno, eI rayo es desplazado una distancia d = t0(n - 1)/n, donde t es el espesor del vidrio y 0 está en radianes.
Un rayo de luz es emitido 8.0 cm por debajo de Ia superficie de un lIquido y toca Ia superficie a 7.0 cm del punto directamente arriba de La fuente. Si ocurre refLexión total interna, ,qué puede usted decir acerca del Indice de refracciOn del lIquido? Suponga que un rayo de luz toca Ia cara izquierda del prisma en Ia figura 33-46 a 45° como se muestra, pero es retlejado interna y totalmente en ci lado opuesto. Si el ángulo superior es 0 = 75°, ,qué puede usted decir acerca del Indice de refracciOn del prisma?
(III) Un rayo de Iuz entra por el extremo de una fibra Optica como se muestra en Ia figura 33-51. Demuestre que podemos (I) tEn qué porcentaje excede,aproximadamente, Ia velocidad de Ia luz roja (700 nm) Ia de Ia luz violeta (400 nm) en el vidrio de silicato de pedernal? (Véase La figura 33-26).
En qué porcentaje es Ia velocidad de Ia luz azul (450 nm)
garantizar reflexiOn total interna en La superficie lateral del ma-
terial (en el punto a), si el Indice de refracción es mayor que aproximadamente 1.42. En otras palabras, independientemente del ángulo a, el rayo de luz se refleja de regreso al material en el punto a.
menor que Ia velocidad de Ia luz roja (700 nm), en el vidrio de silicato de pedernal. (Véase Ia figura 33-26).
(TI) Un rayo de luz toca una pieza de vidrio con un angulo de incidencia de 60.00°. El rayo contiene dos longitudes de onda, 450.0 nm y 700.0 nm, para las cuales el Indice de refracción del vidrio es 1.4820 y 1.4742, respectivamente. LCuál es el angulo entre los dos rayos refractados? Un rayo paralelo de luz que contiene dos longitudes de onda, A1 = 450 nm y A2 = 650 nm, entra al vidrio de silicato de pedernal de un prisma equilátero como se muestra en Ia figura 33-49 ,Con qué ángulo sale cada rayo del prisma (dé el angulo con normal a Ia cara)?
45.0° FIGURA 33-49
Problema 46.
Aire
Material transparente
FIGURA 33-51
Problema 53.
(Lii) (a) CuáI es ci mInimo Indice de refracciOn para un prisma
de vidrio o de plástico para ser usado en binoculares (figura 33-31) de manera que ocurra reflexiOn total interna a 45°? (b) LFuncionarán Los binoculares si sus prismas (suponga n = 1.50)
están inmersos en agua? (c) Qué n mInimo se necesita si los prismas están inmersos en agua?
(II) Una pieza de vidrio piano (n = 1.50) de 12.0 cm de espesor se encuentra sobre La superficie de un estanque de 12.0 cm de profundidad. ,A qué profundidad desde Ia parte superior del vidrio se ye ci fondo del estanque, visto directamente desde arriba?
Cuál es el ánguLo critico para La interfaz entre el agua y Ia lucita? LDe qué material debe partir Ia luz para ser reflejada internamente? (1) El ángulo crItico para cierta interfaz liquido-aire es de 51.30. LCuál es el Indice de refracción del lIquido?
Un rayo de luz es emitido en una alberca Ilena de agua desde una profundidad de 82.0 cm. ,Dónde debe tocar Ia interfaz aireagua, respecto al punto directamente arriba de él, para que Ia luz no salga del agua?
(II) Un rayo de luz entra a una fibra Optica con un ángulo de 15.00 respecto al eje longitudinal de Ia fibra, como en Ia figura 33SO. Calcule Ia distancia que el rayo de luz viaja entre reflexiones sucesivas en los lados de La fibra. Suponga que La fibra tiene un Indice de refracción de 1.55 y es de 1.40 X 10 m de diámetro.
Un pez nada en una pecera de vidrio esférica delgada de espesor unifornie. Suponiendo que ci radio de curvatura de Ia pecera es de 25.0 cm, ubique Ia imagen del pez si éste se localiza: (a) en el centro de Ia pecera; (b) a 20.0 cm del lado de Ia pecera entre el observador y ci centro de Ia pecera. [Sugerencia: para (a), ,cuáI es ci ángulo de incidencia de La Iuz cuando toca La interfaz aguavidrio? Dado esto, j,donde está Ia imagen? Finalmente, verifique esto por cálcuio, notando que R debe ser negativo.]
(iLL) Demuestre que Ia ecuación 33-7 es válida para superficies esféricas convexas y cóncavas y para objetos e imagenes situadas en forma diferente, siempre que se acaten las convenciones vistas en La sección 33-8. Demuestre esto usando diagramas semejantes a La figura 33-36 para todos Los casos posibles. Suponga 2 > 1 y iuego n2 < n1.
Una moneda se encuentra en eL fondo de una alberca de 1.00 m de profundidad. Si un observador Ia ye a un dnguLo de 45°, ,dónde está La imagen de Ia moneda relativa a La moneda? [Sit-
gerencia: Ia imagen se encuentra trazando hacia atris hasta Ia intersecciOn de dos rayos.] FIGURA 33-50
834
CAPITULO 33
Problema 50.
Luz: ref IexiOn y ref racciOn
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Problemas generales Dos espejos pianos están uno frente at otro a 2.0 m de distancia como en La figura 33-52. Usted esta parado a 1.5 m de uno de
Si ci ánguio superior de un prisma es de 4 = 72° (véase La figura 33-55), cuál es ci mInimo ángulo de incidencia para un rayo si
de usted mismo. (a) LQué tan lejos esti de las primeras tres imágenes de usted mismo en el espejo? (b) ,En que direcciOn están esas tres primeras imagenes, viendo hacia usted 0 al revés?
éste debe emerger por ci lado opuesto (es decir, no ser totalmente reflejado internamente), dado que n = 1.56? Cuando Ia luz pasa a través de un prisma, ci angulo que ci rayo refractado forma respecto al rayo incidente se llama ángulo de
esos espejos y se ye en él. Usted observa imgenes mOltiples
desviaciOn 6, figura 33-55. Demuestre que este ánguio es minimo
cuando ci rayo pasa a través dci prisma simétricamente y perpendicular a La bisectriz del änguio superior , y demuestre que ci ánguio mInimo de dcsviaciOn 6m' está relacionado con ci indice de refracciOn dci prisma n por
l.5m
2.0 m
sen( + 8m)
FIGURA 33-52
sen/2
Problema 59.
Queremos determinar Ia profundidad de una piscina ilena de agua midiendo ci ancho (x = 5.50 m) y luego notando que ci borde del fondo de Ia alberca es visible a un ángulo de 14.0° sobre Ia horizontal, como se muestra en Ia figura 33-53. Calcule Ia profundidad de Ia alberca.
14.0
1-5.50 mAgua
T
LProfundidad?
I
Probiema 60.
FIGURA 33-53
Una persona de 1.70 m de estatura está parada a 3.80 m de un espejo convexo y nota que ye precisamente Ia mitad de Ia altura que observa cuando está frente a un espejo piano coiocado a Ia misma distancia. Cuál es el radio de curvatura del espejo convexo? (Suponga que sen 0 0.) El ángulo crItico de una pieza de plástico en el aire es O = 37.3°. Cuái es el ánguio crItico del mismo plástico si cstá inmerso en agua?
A cada estudiante en un iaboratorio de fIsica se ie asigna haliar La ubicaciOn en que un objeto brillante debe estar situado para que un espejo cOncavo con radio de curvatura r = 40 cm, pro-
duzca una imagen tres veces ci tamano del objeto. Dos estudiantes terminan Ia tarea en tiempos diferentes usando equipo idéntico, pero cuando comparan sus notas, descubren que sus respuestas para La distancia del objeto no son las mismas. Expli-
El principio de Fermat estabiece que "La iuz viaja entre dos puntos a lo largo de Ia trayectoria que requiere ci tiempo mInimo, en comparación con otras trayectorias cercanas". Dci principio de Fermat obtenga (a) Ia icy de Ia rcflexión (0 = Or) y (b) Ia Icy de La refracciOn (Ley de Sneii). [Sugerencia: escoja dos puntos apropiados de manera que un rayo entre eilos pueda expcrimentar reflexiOn o refracciOn. Dibuje una trayectoria burda para un rayo entre esos puntos, y escriba una expresión para ci tiempo requerido por Ia Iuz para viajar La trayectoria arbitraria escogida. Luego derive para encontrar ci mInimo.]
Las caras extremas de una barra ciiIndrica de vidrio (n = 1.54) son perpendiculares a los iados. Muestre que un rayo de luz que entrc por una cara extrcma a cuaiquier ánguio será totaimente reflejado internamente dentro de Ia barra cuando toque los Iados. Suponga quc Ia barra está en ci aire. LQué pasa si cstá en ci agua? Suponga que La figura 33-35 muestra una barra ciiIndrica cuyo cxtremo ticne un radio de curvatura R = 2.0 cm, y que La barra cstá inmersa en agua con Indice de refracción de 1.33. La barra tiene Indice de refracción dc 1.50. Encuentre La posición de Ia imagcn de un objcto de 2.0 mm de aitura iocahzado a 20 cm desde ci extremo de La barra.
Una fibra Optica es un ciiindro iargo transparente de diámetro d e Indice de rcfracciOn n. Si esta fibra es dobiada agudamente, parte dc La Iuz que toca ci iado del ciiindro pucde escapar en vez de reflcjarse hacia La fibra (figura 33-56). CuáI es el más pcqueflo radio de curvatura en una sccción corta doblada para Ia cuai una reflcxión total interna estar garantizada para Iuz viajando iniciaimcnte paralela al eje dc Ia fibra?
que por qué no tienen necesariamente que repetir Ia tarea, y
justilique su respuesta con un cálcuio.
Un caleidoscopio forma patrones simétricos con dos espejos pianos con ángulo de 60° entre elios, como se muestra en Ia figura 33-54. Dibuje Ia ubicaciOn de las im6genes (algunas de ellas imágenes de im6genes) del objeto situado entre los espejos.
F
*, 60°
FIGURA 33-54 Probiema 64.
FIGURA 33-55
Problemas 65 y
66.
dFIGURA 33-56
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Probiema 70.
Problemas generales
835
De los muchos dispositivos Opticos que veremos en este capItulo, Ia lente de aumento es el más simple. Aquf se muestra tal dispositivo amplificando una página que describe cómo funciona de acuerdo con el modelo de rayos. En este capItulo examinamos lentes delgadas en detalle, viendo cOmo determinar La posiciOn de La imagen como funciOn de La posición del objeto y de Ia longitud focal de Ia lente, con base en el modelo de rayos. Luego examinaremos varios dispositivos Opticos, desde cámaras y anteojos hasta telescopios y microscopios.
34-7
Magnifying Glass
luch ol lit remainder ti, hut chapter .11 deal with i'ptcal tics ices thu .0 cite. ;'ro.Ju e utijgnttieu umacs ol 0tipecl We lInt discusa lhc .lmplv rna*niikr. or
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F4GURE 31-26
it)aiiilt in
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hi,i .1 .,n.I ht In.igc .1
Fti.ik
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he .'i.tti Jitcat' laict and ulKile iii he tee" I bc mine S that P. Frc-att I iii, ol,cc I subtcflJs lit than in lb) thu.'' I
cloc to our eves s.
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illodale only up "ii pontt the near point I ..tnd we w tIl assume
of Seni .n the near point in wilal foIhow A magnihtnit gUs allows us in plait the obyeo closer 10 our eve so thai a stut'iencts i peak' ante. As nowfl in Ftg .4-2&r. the otijeci P. placed al the tsxal point or lust w,thtts ii. Then Ott conewiI lens produces a virtual Image, which must be ii Iea't oil Ir..m thee Sc. if the C is lo (cwus on tt. IliAc ese i rc Iacd. the image "ill be .fl nutintis. and n 'hi' 'asc the object is exactly at the (tx-al point. (You tuiikci'tt .td1tu'ttnc.tl LIUrI( when you "kus" on the object I-is mov
an object wiit wit i the object at the n
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W
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6
where 9 and tI' are shown in H Ientuh by noting that H = h/N Ii is the heighi " the object an
134
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Lentes e instrumentos ópticos (a) Lentes convergentes y (b) lentes divergentes. (c) Foto de una lente convergente (a Ia izquierda) y una lente divergente. (d) Lentes convergentes (arriba), y lentes divergentes, en posición plana sobre el papel, y separadas del papel para formar imágenes. FIGURA 34-1
Las
leyes de La ref]exiOn y La refracciOn, particularmente esta Ultima, son Ia base
para explicar La operaciOn de muchos instrumentos Opticos. En este capItulo analizaremos Las lentes simples usando ci modelo de los rayos Opticos tratado en ci capItulo anterior. Luego analizaremos varios instrumentos ópticos, como Ia lente de aumento, el ojo humano, Los telescopios y microscopios. La figura 34-1 muestra varios tipos de lentes.
0
Convexa Planoconvexa Menisco doble
convexo
(a) Lentes convergentes
Cóncava Pianocóncava Menisco doble
cóncavo
(b) Lentes divergentes 836
(c)(d) www.FreeLibros.me
Lentes delgadas; trazado de rayos El dispositivo Optico simple más importante es sin duda Ia lente delgada. El desarrollo de dispositivos Opticos usando lentes data de los siglos XVI y XVII, aunque el primer registro sobre anteojos se remonta al siglo XIII. Actualmente encontramos lentes en anteojos, cámaras, lupas, telescopios, binoculares, microscopios y muchos instrumentos especializados. Una lente delgada es usualmente circular en su secciOn transversal, y sus dos caras son porciones de una esfera. (Aunque las superficies cilindricas son también posibles, nos concentraremos en las esféricas.) Las dos caras pueden ser cóncavas, convexas, o planas; varios tipos se muestran en Ia figura 34-1 en sección transversal. La importancia de las lentes es que forman imágenes de objetos como se muestra en la figura 34-2.
La lente convergente (en soporte) forma una imagen ("F" grande sobre La pantalla a Ia derecha) de un objeto brillante (resplandeciente "F" a Ia izquierda). FIGURA 34-2
F'
Consideremos los rayos paralelos al eje de la lente doblemente convexa que se muestra en sección transversal en Ia figura 34-3a. Suponemos que la lente est hecha de vidrio o de plástico transparente, de manera que su Indice dc refracciOn es mayor que el del aire. El eje de una lente es una lInea recta que pasa por ci centro de Ia lente perpendicularmente a sus dos superficies (figura 34-3). De la ley de Snell, podemos ver que cada rayo en Ia figura 34-3a se desvIa hacia el eje en ambas superficies (nOtense las lIneas punteadas que indican las normales a cada superficie para el rayo superior). Si los rayos paralelos al eje caen sobre una lente delgada se enfocarn en un punto liamado punto focal F. Esto no será precisamente cierto para una lente con superficies esféricas. Pero será casi cierto, es decir, los rayos paralelos sern enfocados a una region pequena que es casi un punto, si el diámetro de Ia lente es pequefio comparado con los radios de curvatura de las dos superficies de Ia lente. Este criterio es satisfecho por una lente delgada, o sea, una que es muy delgada comparada con su diámetro, y consideraremos aqul solo estas lentes delgadas. Las pedras preciosas redondeadas usadas como amplificadores probablemente datan de muchos anos antes.
Rayos paralelos son Ilevados a un foco por una lente delgada convergente. FIGURA 34-3
f (a)
(b) SECCION 34-1
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Lentes deigadas; trazado de rayos
837
Los rayos de un punto sobre un objeto distante son esencialmente paralelos (véase Ia figura 33-12). Por tanto, podemos decir también que el punto focal es el punto iniagen
Imagen del Sol, casi abriendo un agujero sobre un pedazo de papel. FIGURA 34-4
para un objeto en el infinito sobre el eje principal. Asi, el punto focal de una lente se puede encontrar localizando el punto donde los rayos solares (o aquellos de aigün otro objeto distante) Ilegan a formar una imagen nItida, figura 34-4. La distancia del punto focal desde el centro de Ia lente se llama longitud focal, f. Una lente se puede voltear de manera que Ia luz pueda pasar por ella desde el lado opuesto. La longitud focal es Ia misma sobre ambos lados, como veremos luego, aun silas curvaturas de las dos superficies de Ia lente son diferentes. Si rayos paralelos caen sobre una lente segün cierto ángulo, como en la figura 34-3b, quedan enfocados en un punto F, El piano en el que caen todos los puntos como el F y F, se llama piano focal de Ia lente. Cualquier lentet que tiene mayor espesor en el centro que en los bordes hará que los rayos paralelos convergen a un punto, y ésta es Ilamada una lente convergente (véase La figura 34-la). Las lentes que son más deigadas en el centro que en los bordes (figura 34-Ib) se Ilaman lentes divergentes, porque hacen que Ia luz paralela diverja, como se muestra en Ia figura 34-5. El punto focal F de una lente divergente se define como el punto desde el cual los rayos refractados, que se originan de rayos incidentes paralelos, parecen emerger como se muestra en la figura. La distancia de F a la lente se llama longitud focal, igual que para una lente convergente. Los optometristas y los oftalmólogos, en vez de usar la longitud focal, usan el recIproco de la longitud focal para especificar Ia capacidad de los anteojos o de los lentes de contacto. Esto se llama potencia P de una lente: =
FIGURA 34-5
Lente divergente.
(34-1)
La unidad para Ia potencia de lentest es la dioptrfa (D), que es un metro inverso: 1 D = 1 rn-'. Por ejemplo, una lente con 20 cm de longitud focal tiene una potencia P = 1/0.20 m = 5.0 D. Usaremos principalmente aquI Ia longitud focal, pero nos referiremos de nuevo a Ia potencia de una lente cuando analicemos las lentes de anteo-
jos en Ia sección 34-6.
El parmetro ms importante de una lente es su longitud focal f. Para una lente
convergente, f se mide fácilmente encontrando el punto imagen del Sol u otros objetos distantes. Una vez conocida f, Ia posición imagen puede encontrarse para cualquier objeto. Encontrar el punto imagen dibujando rayos serfa difIcil si tuviésemos que determinar todos los ángulos de refracción. En vez de ello, podemos hacerlo muy simplemente usando ciertos hechos que ya conocemos, por ejemplo, que un rayo paralelo al eje de Ia
lente pasa (después de refractarse) por el punto focal. De hecho, para encontrar un
punto imagen, tenemos que considerar solo los tres rayos indicados en Ia figura 34-6, que muestra una flecha como el objeto y una lerite convergente formando una imagen a la derecha. Esos rayos, emanando de un solo punto sobre el objeto, están dibujados como si Ia lente fuese infinitamente delgada, y mostramos sOlo un quiebre agudo dentro de la lente en vez de las refracciones en cada superficie. Esos tres rayos se dibujan como sigue:
El rayo 1 se dibuja paralelo al eje; por tanto, es refractado por la lente de manera que pasa a lo largo de una IInea por el punto focal F, figura 34-6a. (Véase también Ia figura 34-3a.) El rayo 2 se dibuja sobre una linea que pasa por el otro punto focal F' (lado frontal de Ia lente en Ia figura 34-6) y emerge de Ia lente paralelo al eje, figura 34-6b. El rayo 3 está dirigido hacia el centro de la lente, donde las dos superficies son esencialmente paralelas una a otra; este rayo emerge entonces de Ia lente con el mismo ángulo con el que entró; como vimos en el ejemplo 33-8, el rayo se desplazará ligeramente hacia un lado, pero como supusimos que Ia lente es delgada, dibujamos recto ci rayo 3 tal como se muestra. En realidad, cualesquiera dos de esos rayos será suficiente para localizar el punto imagen, que es el punto donde se intersecan. El dibujo del tercer rayo puede servir como comprobaciOn. Estamos suponiendo que Ia lente tiene un Indice de refracción mayor que Ia del material que Ia rodea. como una lente de vidrio o de plástico en aire, lo que es Ia situación usual. tNOtese que Ia potencia de Ia lente nada tiene que ver con Ia potencia como razOn de efectuar trabajo o transformar energIa (secciOn 8-8).
838
CAP1TULO 34
Lentes e instrumentos ópticos
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El rayo 1 sale del punto superior sobre el objeto, viaja paralelo al eje y luego se refracta a través del punto focal.
El rayo 2 pasa por F'; por tanto, es paralelo al eje más alIá de Ia lente.
El rayo 3 pasa por ci centro de la lente (supuestamente muy delgada).
LocalizaciOn de Ia iniagen por trazado de rayos para una lente convergente. Los rayos salen de cada punto sobre eJ objeto. Se muestran los tres rayos más dtiles, saliendo de la punta del objeto, para determinar dónde se forma Ia imagen de ese punto. FIGURA 34-6
De esta manera podemos hallar el punto imagen para un punto del objeto (Ia parte superior de la flecha en Ia figura 34-6). Los puntos imagen para todos los otros puntos sobre el objeto pueden encontrarse en forma similar para determinar la imagen completa del objeto. Como los rayos pasan realmente por la imagen para el caso mostrado en Ia figura 34-6, se trata de una imagen real (véase Ia página 814). La imagen podrIa ser detectada por una pelIcula, o ser vista sobre una superficie situada en Ia posiciOn de Ia imagen (figura 34-2). La imagen podrIa también verse directamente por el ojo cuando éste se coloca detrs de Ia imagen, como se muestra en Ia figura 34-6c, de manera que algunos de los rayos que divergen de cada punto de la imagen entran al ojo.t Véase Ia figura 34-7. tEn La secciOn 34-6 veremos porque para ver a inlagen, los rayos deben diverger de cada punto sobre Ia imagen, pero es esencialmente porque vemos objetos reales cuando rayos divergentes de cada punto entran al ojo como se muestra en Ia figura 33-1.
FIGURA 34-7 (a) Una lente convergente puede formar una imagen real (aquI, de un edificio distante) sobre una pantalla. (b) Esa imagen real es también directamente visible al ojo. La figura 34-id muestra imágenes vistas por el ojo hechas por lentes tanto divergentes como convergentes.
(a)
(b)
SECCION 34-1
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Lentes delgadas; trazado de rayos
839
FIGURA 34-8
LocalizaciOn de La
imagen por trazado de rayos para una lente divergente.
Dibujando los mismos tres rayos podemos determinar Ia posición de Ia imagen para una lente divergente, como se muestra en Ia figura 34-8. NOtese que el rayo 1 se dibuja paralelo al eje, pero no pasa por el punto focal F' detrs de la lente. Más bien parece venir del punto focal F enfrente de la lente (Ilnea punteada). El rayo 2 está dirigido hacia F' y es refractado paralelamente por la lente. El rayo 3 pasa directa-
mente por el centro de La lente. Los tres rayos refractados parecen emerger de un
punto a Ia izquierda de La lente. Esta es La imagen I. Como los rayos no pasan por La imagen, se trata de una imagen virtual. Nótese que el ojo no distingue entre imágenes reales y virtuales; ambas son visibles.
La ecuación de las lentes Derivaremos ahora una ecuación que relaciona Ia distancia a La imagen con La distancia al objeto y La longitud focal de Ia lente. Esto hará la determinación de Ia posicion de La imagen más rápida y ms precisa que por medio del trazado de rayos. Sea d0 La distancia al objeto, o sea La distancia at objeto desde el centro de Ia Lente y d, La distancia a La imagen, esto es, La distancia de La imagen desde el centro de La lente; y sean h0 y h las
alturas del objeto y de Ia imagen, respectivamente. Considere Los dos rayos mostrados en La figura 34-9 para una Lente convergente (supuesta muy delgada). Los triángulos Obtención de Ia ecuación de las lentes para una lente convergente. FIGURA 34-9
f-H d0
FI'I y FBA (véase La figura 34-9) son semejantes porque el ángulo AFB es igual al ángulo IFI'; por tanto,
d-f f
h0
ya que Ia longitud AB = h0. Los triángulos OAO' e IA!' son semejantes. Por tanto, d1
h0 - d0 Igualamos los Lados derechos de estas dos ecuaciones, dividimos entre d,, y reordenamos para obtener 1
1
1
=I
(34-2)
Esta es Ia liamada ecuación de las Jentes. Relaciona Ia distancia a La imagen d con Ia distancia at objeto d0 y con La longitud focal f. Es Ia ecuación más ütiL en Ia Optica 840
CAPITULO 34
Lentes e instrumentos Opticos
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Obtención de Ia ecuación de las lentes para una lente divergente. FIGURA 34-10
geometrica. (Es interesante notar que es exactamente Ia misma que La ecuación de los espejos, ecuaciOn 33-3.) NOtese que si el objeto está en el infinito, entonces l/d. = 0, por to que d = f. AsI, la longitud focal es la distancia a Ia imagen para un objeto en el infinito, como se mencionO antes. Podemos obtener la ecuaciOn zle las lentes para una lente divergente usando Ia figura 34-10. Los triángulos IAI' y OAO' son semejantes; y los triángulos IFI' y AFB son semejantes. AsI, (notando que Ia longitud AB = h0) h1
d,
h0 - d0
f - d,
y
h0
f
Cuando estas expresiones se igualan y se simplifican, obtenemos 1
d0
1
1
d1 -
f
Esta ecuaciOn resulta ser La misma que La ecuación 34-2 si hacemosfy d, negativas. Es decir, tomamos f como negativa para una lente divergente, y d, como negativa cuando Ia imagen está sobre el mismo lado de Ia lente que del que viene la luz. AsI, la ecuaciOn 34-2 será válida tanto para lentes convergentes como para lentes divergentes, y para todas las situaciones, si usamos las siguientes convenciones de signo:
La longitud focal es positiva para las lentes convergentes y negativa para las
RESOLUCION DE PROBLEMAS
lentes divergentes. La distancia a! objeto es positiva Si está del lado de la lente de donde viene Ia luz (este es usualmente el caso, aunque cuando se usan lentes en combinación podrIa no ser asI); de otra manera es negativa.
La distancia a la imagen es positiva si está en el lado opuesto de la lente de donde viene la Luz; si está del mismo lado, d, es negativa. En forma equivalente, Ia
distancia a la imagerl es positiva para una imagen real y negativa para una imageti virtual. La altura de La imagen, h,, es positiva si Ia imagen es derecha, y negativa si La imagen está invertida respecto at objeto. (h0 se toma siempre como positiva.)
Amplificación El aumenlo lateral m de una lente se define como Ia razón de La aLtura de la imagen a Ia altura del objeto, m = h/h0. De las figuras 34-9 y 34-10 y de las convenciones hechas, tenemos
m=h
d1
(34-3)
Para una imagen derecha, el aumento es positivo, y para una imagen invertida m es negativo.
De Ia convenciOn 1, se sigue que Ia potencia (ecuaciOn 34-1) de una lente convergente, en dioptrIas, es positiva, mientras que Ia potencia de una Lente divergente es negativa. A una lente convergente se le llama a veces lente positiva, y a una lente divergente una lente negativa. SECCION 34-2
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La ecuaciOn de las lentes
841
Lentes delgadas
RESOLUCIO N
DE PHOBLEMAS
(ecuación 34 -3). TLa ecuaciOr1 Lde las lentes :ecw ;iOn 34-2) implic:a irecIprocos; evite el error obvio - )Ividai tomar el recIpr oca 4. Siga las Convenciones de signos daCias ntes. 5. Compruebe qiJe ris rest. .icstas ira LI Liiticas sears consi tentes con su -liagrama & rt Os I
Comc siernpre, lea V VI.jelva a teer el problema. Dibu un d ma Je rayos. ori )reicisión si es posible, ç ero auin uno- burd p ted set-''it cc mo confirmaciOn cl 1' os resi: Llltados ar ali - iti..coi Dit je por lo menos dos, y irIli.n ent, los tr's, dc, - o :&yos ' ' fáciles de dibujar ç rfen1.. d scritos en las 1ig.in. - 4-6 1 '3F Sc)l'.dCYC? i( anall '-ticas., d sneje ar incOgnitas en la eci iaciOri de las lentes (eciJaciOn 34-2 ) y la amplificaciOn
as
:
-
-
Imagen formada por las lentes convergentes. 1,Cul es (a) Ia posiciOn, y (b) el tamaño, de Ia imagen de una flor de 7.6 cm de alto colocada a 1.00 m de una lente de cmara con +50.0 mm de longitud focal?
SOLUCION La figura 34-11 es un burdo diagrama de rayos que muestra solo los rayos 1 y 3 para un solo punto sobre Ia for. Vemos que Ia imagen deberIa estar un poco detrás del punto focal F a Ia derecha de la lente. (a) Encontramos la posiciOn de la imagen analIticamente usando Ia ecuaciOn de las lentes o ecuaciOn 34-2. La lente de la cámara es convergente, con f = +5.00 cm, y d0 = 100 cm, por lo que la ecua-
111 d-f
ciOn de las lentes da
d
-
1
5.00 cm
1
100 cm -
20.0-1.0 100 cm
Entonces 100 cm
d1
=
19.0
= 5.26 cm,
o 52.6 mm detrás de Ia lente. NOtese que La imagen está 2.6 mm más lejos de Ia lente que Ia imagen para un objeto en el infinito. Ciertamente, cuando se enfoca Ia lente de una cámara, entre más cerca está el objeto de ella, más lejos debe estar Ia lente de la pelIcula.
(b) El aumento es
m=-
d1
cm = - 5.26 100 cm
= 0.0526;
por lo que h
= rnh0 = (-0.0526)(7.6cm) = 0.40cm.
La imagen tiene 4.0 mm de altura y está invertida (m < 0), como en Ia figura 34-9, y se muestra en nuestro croquis, figura 34-11. FIGURA 34-11
Ejemplo 34-1. (No está a escala.)
1
Eje
3
F' Flor
(F /
[magen
100cm
Objeto cercano a una lente convergente. Un objeto es colocado a 10 cm de una lente convergente con 15 cm de longitud focal. Determine Ia posiciOn de Ia imagen y tamaño, (a) analIticamente, y (b) usarido un diagrama de rayos. 842
CAPTULO 34
Lentes e instrumentos Opticos
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2
V
SOLUCION
(a) Dados f = 15 cm
1_ -
0
y d0
= 10 cm, entonces
1
1
15cm
-
F'
FIGURA 34-12 Un objeto colocado dentro del punto focal de una lente convergente produce una imagen virtual. Ejemplo 34-2.
1
10cm -
30cm'
RESOLUCION DEL PROBLEMA
y d, = 30 cm. (Recuerde tomar el recIproco.) Como
d, es negativo, Ia imagen debe ser virtual y estar del mismo lado de Ia lente que el objeto. El aumento
d,
30 cm
d0
10cm
=3.0.
La imagen es tres veces más grande que el objeto y está derecha. Esta lente est
siendo usada como una simple lente de aumento, to cual veremos con más detalle en Ia sección 34-7. (b) El diagrama de rayos se muestra en la figura 34-12 y confirma et resultado en Ia parte (a). Para el punto 0' en la parte superior del objeto, et rayo 1 es fácil de dibujar, pero el rayo 2 es algo más complejo: si to dibujamos dirigiendose hacia F', ira en sentido equivocado, por to que tenemos que dibujarlo como si viniese de F' (lInea punteada), tocase Ia tente y tuego saliese paralelo at eje principal. Lo proyectamos hacia atrás con una lInea punteada, como tenemoS que hacerto también para el rayo 1, para hatlar dOnde se encuentran. El rayo 3 es fácil de dibujar, a través del centro de Ia lente, y encuentra a los otros dos rayos en el punto imagen I'. De eSte Ultimo ejemplo y de la figura 34-12, vemos que siempre que un objeto se coloca entre una lente convergente y su punto focal, Ia imagen es virtual.
Lente divergente. ,DOnde debe colocarse un pequeno insecto si una lente divergente de 25 cm de tongitud focal debe formar una imagen virtual a 20 cm enfrente de Ia lente?
El diagrama de rayos es bsicamente el de la figura 34-10 porque nuestra tente aquf es divergente y Ia imagen est enfrente de Ia lente dentro de Ia distancia focal. (SerIa un buen ejercicio dibujar el diagrama de rayos a escala, precisamente ahora.) Como f = 25 cm y d = 20 cm, entonces Ia ecuaciOn 34-2 da SOLUCION
11 1 d0 f
-
1
1
25cm
4+5
1
+ 20cm - 100cm - 100cm
El objeto debe estar entonces a 100 cm enfrente de Ia lente.
Combinación de lentes Veremos ahora ejemplos que ilustran cOmo tratar con tentes utilizadas en combinaciOn. En general, cuando la luz pasa por más de una lente, encontramos Ia imagen formada por Ia primera lente como si ésta estuviese sola. Esta imagen es et objeto para Ia segunda lerite, y encontramos la imagen formada entonces por esta segunda lente, que es Ia imagen final si hay solo dos lentes. El aumento total será el producto de los aumentos por separado de cada lente, como veremos. SECCION 34-3
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CombinaciOn de lentes
843
F
I
S
F1
F
F2
S
S
S
80.0 cm
(a)
0 FIGURA 34-13
Ejemplo 34-4.
(b)
Un sistema de dos lentes. Dos lentes convergentes, con longi20.0 cm y f2 = 25.0 cm, están separadas 80.0 cm, como se muestra en iies j Ia figura 34-13a. Un objeto se coloca a 60.0 cm enfrente de Ia primera lente como se muestra en Ia figura 34-13b. Determine (a) Ia posición, y (b) ci aumento de Ia imagen final formada por Ia combinación de las dos lentes. iui
S IL
-
(a) El objeto está a una distancia d0 = +60.0 cm de Ia primera lente, y ésta forma una imagen cuya posiciOn se puede calcular usando Ia ecuaciOn de las SOLUCION
lentes:
11 - f1 - d
1
1
1
3-1
1
60.0 cm - 60.0 cm - 30.0 cm
- 20.0 cm
La primera imagen I esti entonces a d, = 30.0 cm detrás de la primera lente. Esta imagen se vuelve ci objeto para Ia segunda lente. Ella está a una distancia d02 = 80.0 cm - 30.0 cm = 50.0 cm enfrente de Ia lente 2, como se muestra en la figura 34-13b. La imagen formada por Ia segunda lente, de nuevo usando Ia ecuación de las lentes, está a una distancia d,2 de Ia segunda lente:
11
1
1
1
d2 - f2 - d0 - 25.0 cm
4-2
2
50.0 cm - 100.0 cm - 100.0 cm
For tanto, d2 = 50.0 cm detrás de la lente 2. Esta es Ia imagen final (véase Ia figura 34-13b). (b) La primera iente tiene un aumento (ecuación 34-3) m1
=
d1
d01
30.0 cm 60.0 cm
-
0.500.
AsI, Ia primera imagen es invertida y tiene Ia mitad de altura del objeto; de nuevo, por Ia ecuaciOn 34-3,
h1 = m1h01 = -0.500h01. La segunda lente toma esta imagen como objeto y cambia su altura por un factor
d2 m2=- d02
50.0 cm 50.0 cm
1.000.
La altura de Ia imagen final es (recuerde que h02 =
h12 = m2h02 =
= m2m1h01.
Vemos en esta ecuaciOn que el aumento total es el producto de m1 y m2, que aquI es igual a (-1.000)(-0.500) = +0.500, o 1/2 de Ia altura original y derecha. 844
CAPITULO 34
Lentes e instrumentos Opticos
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Punto imagen hecho por Ia primera lente (punto objeto para Ia segunda lente)
---
Jmagen hecha por la segunda lente (imagen final) DeterminaciOn de Ia longitud focal de una lente divergente. Ejemplo 34-5. FIGURA 34-14
fc
fT = 28.5 cm
Medición de f para una lente divergente. Para medir Ia iongitud ocaI de una lente divergente se coloca una lente convergente en contacto con aquella, como se muestra en la figura 34-14. Los rayos solares quedan enfocados por esta combinación en un punto 28.5 cm detrás de las lentes como se muestra. Si la lente convergente tiene una longitud focal f de 16.0 cm, ,cuiI es Ia longitud focal fde Ia lente divergente? Suponga que ambas lentes son delgadas y que el espacio entre ellas es despreciable.
SOLUCION Los rayos solares son enfocados 28.5 cm detrás de Ia combinación, por lo que la longitud focal de la combinaciOn total es fT = 28.5 cm. Si Ia lente divergente no estuviera presente, Ia lente convergente formarIa Ia imagen en su punto focal, esto es, a una distancia f = 16.0 cm detrás de ella (lIneas punteadas en Ia figura 34-14). Cuando La lente divergente se coloca próxima a Ia lente convergente, tratamos la imagen formada por Ia primera lente como el objeto para la segunda lente. Como este objeto se encuentra a Ia derecha de Ia lente divergente, esta es una situaciOn donde d0 es negativa (véase Ia convención de signo). AsI, para Ia lente divergente, el objeto es virtual y d0 = 16.0 cm. La Lente divergente forma la imagen de este objeto virtual a una distancia d, = 28.5 cm (esto fue dado). Entonces, = fD
d0
+
d,
1
1
16.0cm
28.5 cm
= 0.0274 cm1.
Tomamos el recIproco para hallar fD = 1/(0.0274 cmH) = 36.5 cm. Nótese que Ia lente convergente debe ser "más fuerte" que Ia lente divergente, esto es, debe tener una longitud focal cuya magnitud sea menor que Ia de Ia lente divergente, para que esta técnica funcione.
Ecuación del fabricante de lentes En esta secciOn probaremos que los rayos paralelos son Ilevados a un foco en un solo punto por una lente delgada. AL mismo tiempo, obtendremos una ecuación que relaciona la longitud focal de una lente con los radios de curvatura de sus dos superficies, que se conoce como ecuación del fabricante de lentes. En Ia figura 34-15, un rayo paralelo al eje de una lente es refractado en la superficie frontal de la lente en el punto A1 y es refractado en Ia superficie posterior en el punto A2. Este rayo pasa entonces por el punto F que Ilamamos el punto focal para este rayo. El punto A está a una altura h1 por arriba del eje, y el punto A2 a una altura h2 por arriba del eje. C y C2 son los centros de durvatura de las dos superficies de Ia lente; entonces, Ia Longitud CA = R1, es el radio de curvatura de Ia superficie frontal, y C2A2 = R2 es el radio de la segunda superficie. El espesor de la lente ha sido dibujado muy exageradamente para ver con claridad los diversos ángulos. Pero supondremos que la lente es en realidad muy delgada y que los ángulos entre los rayos y el eje son pequenos. En esta aproximacion, h1 h2, y los senos y las tangentes de todos los ngulos serán iguales a los mismos ángulos en radianes. Por ejemplo, sen 6 0 (en radianes). tan 01 SECCION 34-4
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EcuaciOn del fabricante de lentes
845
-
- - Scz C2
Diagrama de un rayo que pasa por una lente para Ia obtenciOn de Ia ecuación del fabricante de FIGURA 34-15
lentes.
Con esta aproximación, la ley de Snell nos dice entonces que = nO2
04 = nO3
donde n es el Indice de refracción del vidrio, y suponemos que Ia lente esth rodeada por aire (n = 1). NOtese también en Ia figura 34-15 que 01
a
senO1 =
h1
h2 R2
Esta ültima expresiOn se debe a que Ia distancia de F a Ia lente (supuesta muy delgada) es f. Del diagrama, el ángulo y es
y = 0 - 02. Un examen cuidadoso de Ia figura 34-15 muestra también que
a = 03 - y. Esto puede verse dibujando una lInea horizontal hacia Ia izquierda desde el punto A2, que divide al ángulo 03 en dos partes. La parte superior es igual a y y la parte inferior es igual a a. (Los ángulos opuestos entre una lInea oblicua y dos ilneas paralelas son iguales.) AsI, 03 = y + a. Finalmente, dibujando una IInea horizontal hacia Ia derecha desde el punto A2, dividimos 04 en dos partes. La parte superior es a y Ia inferior es /3. AsI,
04 = a + f3. Ahora combinamos todas estas ecuaciones:
a = O3
(0102) =
=
0 h2
h2
R2
nR2
Como la lente es delgada, h1 meradores. 846
CAPiTULO 34
h1
nf
R1
nR1
h2 y todas las h se pueden cancelar de todos los nu-
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Luego multiplicamos por n y reordenamos para encontrar que
(i
1
I
(34-4)
Esta es conocida como Ia ecuación del fabricante de lentes. Relaciona Ia longitud focal de una lente con los radios de curvatura de sus dos superficies y su Indice de refracciOn. NOtese que no depende de h o h2. Asi, Ia posiciOn del punto F no depende de dOnde el rayo toca Ia lente. Por consiguiente, todos los rayos paralelos al eje de una lente delgada pasarán por el mismo punto F, lo que querIamos demostrar. En nuestra derivación, ambas superficies son convexas y R y R2 son considerados positivos. La ecuaciOn 34-4 también funciona para lentes con una 0 ambas superficies cOncavas; pero para una superficie cOncava, ci radio debe ser considerado negativo. Nótese en Ia ecuación 34-4 que la ecuación es simétrica en R1 y R2. Entonces, si una lente se voltea de manera que Ia luz caiga sobre Ia otra superficie, Ia Jongitud focal es Ia misma aun silas dos lentes son diferentes.
f
Cálculo de fpara una lente convergente. Una lente de menisco convexo (figuras 34-la y 34-16) está hecha de vidrio con n = 1.50. El radio de curvatura de Ia superficie convexa es de 22.4 cm y el de Ia superficie cOncava es de 46.2 cm. (a) j,Cuál es Ia longitud focal? (b) ,DOnde quedará enfocado un objeto situado a 2.00 m de distancia?
'-Q1C1
-46.2cm
C2 1
(a) R1 = 22.4 cm y R2 = -46.2 cm; éste (iltimo es negativo porque se
SOLUCION
refiere a Ia superficie cOncava. Entonces
= (1.50
l.00)(i
FIGURA 34-16
46.2cm)
Ejemplo 34-6.
= 0.0115cm1. Por lo que
f=
0.0115 cm
=87cm
y Ia lente es convergente. NOtese que si volteamos la lente de manera que R1 = -46.2 cm y R2 = +22.4 cm, obtenemos el mismo resultado. (b) De la ecuaciOn de las lentes, con = 0.87 m y d0 = 2.00 m, tenemos
11 -1
d, - f
f
1
- 0.87m
2.00m
= 0.65 m1,
por lo que d, = 1/0.65 rn' = 1.53 m. Cálculo de fpara una lente divergente. Una lente planocOncava de tucita (véase Ia figura 34-ib) tiene una superficie plana y Ia otra tiene R = -18.4 cm. ,Cuál es la longitud focal?
Dc la tabla 33-1, n para La lucita es de 1.51. Una superficie plana tiene un radio de curvatura infinito; si lo Ilamamos R1, entonces l/R1 = 0. Por tanto, SOLUCION
= (1.51 - l.00)(_ AsI entonces, f
=
18.4cm)
(-18.4 cm)/0.51 = -36 cm, y la lente es divergente.
tAlgunos libros usan una convenciOn diferente, por ejemplo, R1 y R2 se consideran positivos si
SUS centros de curvatura están a La derecha de Ia lente, en cuyo caso un signo menos aparece en Ia equivalente ecuaciOn 34-4.
SECCION 34-4
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Ecuación del fabricante de lentes
847
*
Lente visor Lente
Diafragma Obturador iris o "stop" FIGURA 34-17
PelIcula
Una cámara simple.
Sobre esta cámara, los grados de abertura y el anillo de enfoque están sobre Ia lente de Ia cámara. La rapidez del obturador se selecciona sobre La pequefia rueda en La parte superior del cuerpo de Ia cámara. FIGURA 34-18
Cámaras En ci resto de este capItulo, veremos brevemente algunos de los instrumentos Opticos más comunes, incluidos la cámara, los ojos y las lentes correctivas, Ia lente de aumento, los telescopios y los microscopios. Los elementos bsicos de una cámara son una lente, una caja hermética a la luz, un obturaclor para dejar pasar la Iuz a través de la lente sOlo brevemente, y una placa o pelIcula sensibilizada (figura 34-17). Cuando se abre el obturador, Ia luz de los objetos externos en el campo visual es enfocada por Ia lente como una imagen sobre Ia pelIcula, La cual contiene productos quImicos sensibles que sufren cambios cuando Ia luz incide sobre ellos. En el proceso de revelado, las reacciones quImicas ocasionan que las Oreas modificadas se vuelvan opacas de manera que la imagen quede registrada sobre Ia pelIcula.t Puede ver Ia imagen de usted mismo si retira La parte posterior de Ia cámara y ye a través de una pieza de papel de seda o cera (sobre el cual se puede formar Ia imagen) colocada en Ia posiciOn de Ia pelIcula con el obturador abierto. Hay tres ajustes principales en las cámaras de buena calidad: rapidez del obturador, grado de abertura y enfoque (véase la figura 34-18), los cuales veremos ahora. Rapidez del obturador. Se refiere al tiempo en que está abierto el obturador y Ia peIlcula es expuesta. Puede variar de un segundo o més ("exposiciones de tiempo") a s
o menos. Para evitar lo borroso debido al movimiento de Ia cámara, una rapidez mayor s es Ia que se usa normalmente. Si el objeto se mueve, se requiere una rapidez del a obturador ms grande para "detener" Ia acción. Un obturador puede estar "detrás de Ia lente" como en Ia figura 34-17 o es un obturador de "piano focal", que es una cortina mOvil colocada justamente enfrente de La pelIcula. Grado de abertura. La cantidad de Iuz que llega a Ia pelIcula debe ser cuidadosamente controiada para evitar La subexposición (se muestra muy poca luz de los objetos, excepto de los más brillantes) o Ia sobreexposición (demasiada iuz, de modo que todos los objetos brillantes se yen igual con una consecuente falta de contraste y una apariencia como "lavada"). Para controlar Ia exposiciOn, se coloca un "stop" o diafragma de iris, cuya abertura es de diOmetro variable, detrás de La lente (figura 34-17). Se puede variar el tamaño de La abertura para compensar los dIas brillantes u oscuros, La sensibilidad de La pelIculat usada, y para diferentes velocidades del obturador. El tamaño de Ia abertura es especificado por ci grado de abertura, definido como
grado de abertura =
f
donde f es Ia longitud focal de Ia lente y D es ci dhmetro de La abertura. Por ejemplo, cuando una lente con Longitud focal de 50 mm tiene una abertura D = 25 mm, decimos que estO fija en f/2. Cuando La lente estO fija en f/8, Ia abertura es solo de 6 mm (50/6k = 8). Entre mayor es La rapidez del obturador, o mOs oscuro es ci dIa, mayor debe ser Ia abertura para obtener una exposiciOn adecuada. Esto corresponde a un menor grado de abertura. Entre menor es el grado de abertura, más luz pasa a trayes de La Lente hacia Ia pelIcula. El menor grado de abertura de una lente (maxima abertura) se Llama rapidez de Ia Lente. Es comOn encontrar hoy en dIa lentes con f/2.0 y algunas aOn més rapidas. La ventaja de una lente rápida es que permite tomar fotograflas bajo malas condiciones de iluminaciOn. Las Lentes de buena calidad consisten en varios elementos para reducir Los efectos presentes en Las lentes delgadas simples (secciOn 34-10). Las medidas estándar del grado de abertura en Las lentes de buena Calidad son 1.0, 1.4,2.0,2.8,4.0, 5.6, 8, 11, 16,22 y 32. Cada una de estas aberturas corres-
ponde a una reducción del diámetro por un factor de aproximadamente \/ = 1.4. Debido a que La cantidad de luz que Ilega a Ia pelIcula es proporcional al area de La abertura y por tanto proporcionai al cuadrado del diámetro, cada grado de abertura estandar corresponde a un factor de 2 en Ia intensidad de Luz que Llega a La pelicula.
tESto se llama un negatiro, porque las Ireas negras corresponden a objetos brillantes y viceversa. El mismo proceso ocurre durante Ia impresión para producir una fotografia "positiva" en blanco y negro a partir del negativo. Las pelIculas a color usan tres tintes correspondientes a los colores primarios. Diferentes pelIculas tienen diferentes sensitividades a Ia luz, liamadas "rapidez de Ia pelIcula", y se especifican con un ni'jmero "ASA'; una pellcula "rapida" es más sensitiva y necesita menos luz para producir una buena imagen.
848
CAPITULO 34
Lentes e instrumentos Opticos
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I
FIGURA 34-19
(a)
(b)
Fotos con cOmara
enfocada (a) sobre un objeto cercano con un objeto distante borroso, y (b) sobre un objeto más distante con un objeto cercano borroso.
Enfoque. El enfoque es Ia operación de colocar Ia lente en Ia posición correcta relativa a La peilcula para lograr Ia imagen más nItida posible. La distancia a Ia imagen es un mInimo para objetos en ci infinito (Se usa el sImbolo oo para infinito) y es igual a Ia longitud focal. Para objetos más cercanos, Ia distancia a Ia imagen es mayor que Ia longitud focal, como puede verse de Ia ecuación de lentes, 1/f = l/d0 + l/d. Para enfocar objetos cercanos, la lente debe por tanto alejarse de Ia pelIcula y esto se hace usualmente girando un anillo colocado sobre Ia lente. Si Ia lente se enfoca sobre un objeto cercano, se formará una imagen nItida de él, pero los objetos distantes pueden aparecer borrosos (figura 34-19). Los rayos de un punto sobre ci objeto distante estarán fuera de foco y formarán un cIrculo sobre Ia peIlcula como se muestra (en forma exagerada) en Ia figura 34-20. El objeto distante producirá asI una imagen que consiste en cIrculos trasiapados y se vera borrosa. Esos cIrculos se liaman cIrculos de confusion. Para incluir objetos cercanos y distantes en la misma fotograffa, usted puede tratar de fijar el foco de Ia lente en una posición intermedia. Para una distancia dada de fijación, hay un rango de distancias sobre las cuales los cIrculos de confusiOn senin suficientemente pequenos para que las imágenes sean razonablemente nItidas. Esto se llama profundidad de campo. Para una selecciOn particular del diametro del cIrculo de confusiOn como Ilmite superior (se toma tIpicamente igual a 0.03 mm para camaras de 35 mm), Ia profundidad de campo varIa con Ia abertura de Ia lente. Si ésta es pequefia, sOlo son aceptados los rayos que pasan por Ia parte central de Ia lente y forman cIrculos más pequenos de confusion para una distancia al objeto dada. For consiguiente, con aberturas más pequenas de Ia lente, un rango mayor de distancias al objeto caerá dentro del criterio del cIrculo de confusiOn, de manera que Ia profundidad de campo es mayor.
Rayos de Un objeto cercano Rayos de Un
objeto distante
S
"Cfrculo de confusion" para un objeto distante (muy exagerado)
FIGURA 34-20 Cuando Ia lente se coloca para enfocar un objeto cercano, los puntos sobre un objeto distante producen cIrculos borrosos. (El efecto se muestra muy exagerado.)
* SECCION 34-5
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Cámaras
849
Las lentes de las cámaras se clasifican en normales, telefoto y gran angular, segOn sea Ia longitud focal y el tamaño de Ia pelIcula. Una lente normal es una que cubre Ia pelIcula con un campo visual que corresponde aproximadamerite a Ia de La visiOn normal. Una lente normal para peilcula de 35 mm tiene una longitud focal en la vecindad de 50 mm.t Una lente telefolo, como su nombre lo indica, actOa como un telescopio para amplificar las imOgenes. Las lentes telefoto tienen longitudes focales ms largas que una lente normal. Como vimos en Ia secciOn 34-2 (ecuación 34-.3), Ia altura de Ia imagen para una distancia al objeto dada es proporcional a Ia distancia a Ia imagen y será mayor para una lente con longitud focal mOs grande. Para objetos distantes, la altura de la imagen es aproximadamente proporcional a Ia longitud focal (,puede usted probarlo?). AsI, una
lente telefoto de 200 mm para usarse con una cámara de 35 mm da una amplificaciOn 4 X sobre Ia lente normal de 50 mm. Una lente gran angular tiene una longitud focal mOs corta que Ia normal: se incluye un campo visual amplio y los objetos aparecen de menor tamaflo. Una lente zoom es aquella cuya longitud focal puede cambiarse de manera que usted puede acercarse o alejarse del objeto al cambiar la longitud focal.
P'') (' 4Rapidez del obturador. Para mejorar Ia profundidad de campo, usted detiene la lente de La cOmara dos grados de abertura (digamos, de f/4 a f/8). ,Qué debe hacer con la rapidez del obturador para mantener Ia misma exposición?
La cantidad de luz admitida por la lente es proporcional al Orea de Ia abertura de Ia misma. Reduciendo Ia abertura de Ia lente un grado de abertura se reduce el diámetro por Un factor de \/, y el Orea por un factor de 2. Bajando dos grados de abertura se reduce el Orea de Ia abertura de Ia lente por un factor de 4. Para mantener Ia misma exposiciOn, el obturador debe abrirse un tiempo 4 veces mayor. Entonces, si Ia rapidez del obturador era de 250 S tendrO que incrementarse a S. RESPUESTA
El ojo humano; lentes correctivas El ojo humano se parece a una cOmara fotográfica en su estructura básica (figura 34-21) pero es mOs complicado. El ojo es un volumen encerrado al cual Ilega Ia luz a través de una lente. Un diafragma, Ilamado iris (Ia parte coloreada del ojo), se ajusta automáticamente para controlar la cantidad de luz que le entra. El orificio en el iris a través del cual pasa la luz (pupila) es negro porque ninguna luz se refleja en él y muy poca luz se .ç-Retina refleja hacia afuera desde el interior del ojo. La retina, que juega el papel de la pelIcula de una cOmara, estO sobre la superficie posterior curva. Consiste en un arreglo comple\FOvea jo de nervios y receptores conocidos como bastones y conos que cambian la energIa de Ia luz en señales eléctricas que viajan a lo largo de los nervios. La reconstrucciOn de Ia
MOsculos
ciliares
L
Iris
Pupila
('
imagen desde todos esos pequenos receptores se hace principalmente en el cerebro,
Cornea
Nervio
Lente
Optico
MOsculos ciliares FIGURA 34-21
Diagrama de un ojo
humano.
aunque algOn análisis es hecho aparentemente en Ia red de nervios complejamente interconectada de Ia retina. En el centro de la retina hay una pequefia area Ilamada fovea, de aproximadamente 0.25 mm de diOmetro, donde los conos están muy cercanos entre si y ah.I se encuentra la imagen mOs nItida y Ia mejor discriminaciOn del color.
A diferencia de una cámara fotogrOfica, el ojo no tiene obturador. La funciOn equivalente es Ilevada a cabo por el sistema nervioso, que analiza las señales para formar imagenes a razón de aproximadamente 30 por segundo. Esto puede compararse con las cOmaras de cine o de televisiOn que operan tomando una serie de fotograffas estOticas a razOn de 24 (cine) o 30 (televisiOn americana) por segundo. Su rápida proyecciOn sobre una pantalla da Ia apariencia de movimiento. La lente del ojo hace poco respecto a Ia desviación de los rayos de luz. La mayor parte de Ia refracciOn se hace en Ia superficie frontal de la cornea (Indice de refracciOn = 1.376), que también actOa como una cubierta protectora. La lente actOa como tNOtese que una "cimara de con una longitud focal.
850
CAPITULO 34
35
mm" usa pelIcula que tene
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35
mm de ancho; estos
35
m.m no deben confundirse
Punto focal de lente y cornea
un ajuste fino para enfocar a diferentes distancias. Esto se logra por medio de los mOscu-
los ciliares (figura 34-21), que cambian Ia curvatura de Ia lente de manera que es modificada su longitud focal. Para enfocar un objeto distante, los müsculos se relajan y Ia lente se adelgaza, figura 34-22a, y los rayos paralelos se enfocan en el punto focal (sobre la retina). Para enfocar un objeto cercano, los msculos se contraen, ocasionando que ci centro de Ia lente se vuelva ms espeso, figura 34-22b, acortando asI Ia longitud focal y las imágenes de objetos cercanos para que puedan enfocarse sobre la retina, detrás del punto focal. Este ajuste del enfoque se llama acomodación. La distancia más cerca a Ia que el ojo puede enfocarse claramente se llama punto cercano del ojo. Para los jóvenes adultos es tIpicamente de 25 cm, aunque los adolescentes pueden a menudo enfocar Ia vision en objetos tan cercanos como 10 cm. Al ir aumentando Ia edad, Ia habilidad para acomodar se reduce y el punto cercano aumenta. El punto lejano de una persona dada es Ia distancia más lejana a Ia que un objeto puede verse claramente. Para algunos fines, es Otil habiar de un ojo normal (un tipo de promedio sobre la poblaciOn) que se define como uno que tiene un punto cercano de 25 cm y un punto lejano en ci infinito. Para revisar su propio punto cercano, coloque este libro cerca del ojo y muévalo lentamente alejndolo hasta que las letras se vean nItidas.
Una gran parte de Ia poblaciOn tiene ojos que no se acomodan dentro del rango normal de 25 cm a! infinito, o tienen algcin otro defecto. Dos defectos comunes son Ia miopIa y La presbicia. Ambos pueden ser corregidos en gran medida con lentes, ya sean anteojos o lentes de contacto. La miopIa se refiere a cuando los ojos sOlo pueden enfocarse sobre objetos cercanos. El punto lejano no está en el infinito, sino algo más cerca, por lo que los objetos distantes no son vistos claramente. La miopIa es causada usualmente por un giobo ocular muy grande, aunque a veces es Ia curvatura de Ia cOrnea Ia que es muy grande. En ambos casos, Las imágenes de objetos distantes se enfocan frente a Ia retina. Una lente divergente, al ocasionar que diverjan los rayos paralelos, permite que se enfoquen sobre Ia retina (figura 34-23a) y se corrija asI este defecto. La presbicia o hipermetropIa, se refiere a cuando ci ojo no puede enfocar los objetos cercanos. Si bien los objetos distantes usualmente se yen con claridad, el punto cercano es a veces mayor que los 25 cm "normales", lo que dificulta Ia lectura. Este defecto es causado por un globo ocular muy corto o (menos frecuente) por una córnea que no está suficientemente curvada. Esto se corrige por medio de una lente convergente, figura 34-23b. Similar a Ia hipermetropla es Ia presbiopIa, que se refiere a Ia decreciente capacidad del ojo de acomodarse con el paso de los años, y ci punto cercano se mueve hacia afuera. Las lentes convergentes también sirven para compensar esta
Punto focal de lente y cOrnea
34-22 AdaptaciOn por un ojo normal: (a) lente relajado, enfocado en el infinito; (b) lente engrosado, enfocado sobre un objeto cercano. FIGURA
a nomalIa
El astigmatismo es causado usualmente por una cOrnea o una lente fuera de redondez de manera que los objetos puntuales son enfocados como lIneas cortas, que empanan Ia itnagen. El astigmatismo se corrige usando una lente cilIndrica que, para los ojos con miopIa o presbicia, se sobrepone sobre Ia superficie esférica de manera que el radio de curvatura del lente corrector es diferente en pianos diferentes. FIGURA 34-23 Defectos del ojo corregidos con ientes: (a) un ojo miope, que no puede enfocarse clararnente sobre objetos distantes, puede ser corregido por medio de una lente divergente; (b) un ojo présbita, que no puede enfocarse claramente sobre objetos cercanos, puede ser corregido por medio de una lente convergente.
(b) Ojo présbita
SECCION 34-6
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El ojo humano; lentes correctivas
851
Lente
Imagen
A
Ojo
Objeto
d0
d
Anteojos de lectura
FIGURA 34-24
(Ejemplo 34-9).
Ojo présbita. Una persona présbita en particular tiene un punto cercano de 100 cm, qué potencia deben tener los anteojos de manera que pueda leer un periódico a una distancia de 25 cm? Suponga que Ia lente está muy cercana a los ojos.
Cuando el objeto se coloca a 25 cm de La lente, queremos que La imagen esté a 100 cm del mismo lado de la lente, por Lo que será virtual, figura 34-24. Asi, = 25 cm, d, = -100 cm, y La ecuación de las lentes da SOLUCION
1
=
1
1
-+
4-1
=
=
1
100cm 33 cm -100cm f AsI, f = 33 cm = 0.33 m. La potencia P de Ia lente es P = 1/f = +3.0 D. El signo 25 cm
más indica que se trata de una lente convergente.
Un ojo miope tiene puntos cercano y lejano de 12 cm
Ojo miope.
y 17 cm, respectivamente. (a) ,Qué potencia es necesaria para que esta persona yea objetos distantes cLaramente, y (b) dónde estará entonces el punto cercano? Suponga que Ia Lente est a 2.0 cm del ojo (tIpico para anteojos). (a) Primero determinamos Ia potencia de Ia lente necesaria para enfocar objetos en el infinito, cuando ci ojo está relajado. Para un objeto distante (d0 = ), como se muestra en Ia figura 34-25, la lente debe poner Ia imagen a 17 cm del ojo (su punto lejano), que esti a 15 cm enfrente de Ia lente; por consiguiente, d, = -15 cm. Usamos SOLUCION
2cm.
I
objeto en el infinito I
Ia ecuación de las lentes para encontrar Ia longitud focal de Ia lente necesaria: 1
17 cm
f
(punto lejano) FIGURA 34-25
Ejemplo 34-iDa.
FIGURA 34-26
Ejemplo 34-lOb.
1
15cm
+=1
1
00
15cm
AsI, f = -15cm = -0.15 m o P = i/f = -6.7 D. El signo menos indica que ella debe
ser una lente divergente. (b) Para determinar el punto cercano al usar los anteojos notamos que una imagen nItida estará a 12 cm del ojo (su punto cercano, véase Ia figura 34-26), que está a 10 cm de Ia lente; entonces d = -0.10 m y Ia ecuación de las lentes da
1_ 1_ - f - - - 0.15 m + 0.10 m - 0.30 m 1
II
1
1
d0 F.
12cm (punto cercano)
AsI, d0 = 30 cm, lo que significa que ci punto cercano, cuando Ia persona está usando
anteojos, está a 30 cm enfrente de Ia lente.
Los lentes de contacto podrIan usarse para corregir Ia vista en ci ejemplo 34-10. Como estos lentes se colocan directamente sobre Ia cornea, no restamos los 2.0 cm para las distancias a Ia imagen. Esto es, para objetos distantes, d, = -17 cm, por lo que P = 1/f = -5.9 D (dioptrias). El nuevo punto cercano estarIa a 41 cm. Vemos asI que una Lente de contacto y una lente de anteojo requerirán potencias ligeramente diferentes, o longitudes focales, para el mismo ojo debido a sus colocaciones diferentes con respecto al ojo. 852
CAPITULO 34
Lentes e instrumentos Opticos
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Lente de aumento Una buena parte del resto de este capItulo tratará con dispositivos ópticos que se usan para producir imágenes amplificadas de objetos. Analizaremos primero el amplificador simple, o lente de aumento, que es simplemente una lente convergente (véase la fotograffa at inicio del capItulo). Qué tan grande se ye un objeto y cwSntos detalles vemos en él, depende del tamano de Ia imagen que se forma en Ia retina. Esto a su vez depende del ángulo subtendido por el objeto en el ojo. Por ejemplo, una moneda sostenida a 30 cm del ojo se ye dos veces más grande que sostenida a 60 cm porque el ángulo que subtiende es entonces dos veces más grande (figura 34-27). Cuando queremos examinar detalles sobre un objeto, acercamos éste al ojo para que subtienda un mayor ngulo. Sin embargo, los ojos se pueden acomodar solo hasta cierto punto (el punto cercano), y para Ia siguiente supondremos una distancia estndar de 25 cm coma el punto cercano. Una lente de aumento nos permite colocar el objeto más cerca a los ojos de manera que subtienda un ángulo mayor. Como se muestra en Ia figura 34-28a, el objeto se coloca en el punto focal o justo dentro de éI. Entonces La lente convergente produce una imagen virtual que debe estar par Ia menos a 25 cm del ojo para que éste la enfoque. Si el ojo está relajado, Ia imagen estar en el infinito y en este caso el objeto está exactamente en et punto focal. (Usted hace este ligero ajuste cuando "enfoca" el objeto moviendo Ia lente de aumento.)
Imagen
Cuando el mismo objeto es vista desde una menor distancia, Ia imagen sabre Ia retina es mayor, par Ia que el objeto aparece mayor y pueden verse mOs detalles. El Ongulo 0 que el objeto subtiende en (a) es mayor queen (b). FIGURA 34-27
FIGURA 34-28 Hoja vista (a) a través de una lente de aumenta, y (b) con sob el ojo, con el ojo enfocada en su punto cercano. Imagen
/,\ /
L
L
to
L
F
(a)
N
(= 25 cm para un ojo normal) (b)
Una comparaciOn de Ia parte (a) de Ia figura 34-28 con Ia parte (b), en donde el mismo objeto se ye en el punto cercano con el ojo sin ayuda, revela que el Ongulo que
el objeto subtiende es mucho mayor cuando se usa tente de aumento. El aumento angular o potencia de aumento, M, de Ia lente se define como Ia razOn del ingulo subtendido por un objeto at usar Ia lente, al Ongulo subtendido par el ojo sin ayuda, con el objeto en el punto cercano N del ojo (N = 25 cm para el ojo normal):
M=+
(34-5)
donde 0 y 0' se niuestran en Ia figura 34-28. Podemos escribir M en términos de Ia langitud focal notando que 0 = h/N (figura 34-28b) y 0' = h/d0 (figura 34-28a), donde h es la altura del objeto y suponemos que los Ongulos son pequefios por lo que 0 y 0' son iguales a sus senos y tangentes. Si el ojo está relajado (para un esfuerzo minima en el), Ia imagen estarO en el infinito y el objeto estarO precisamente en el punto focal; véase Ia figura 34-29. Entonces, d0 = f y 0' = h/f. AsI,
M
h/f
0 - h/N - f
ojoenfocadoenoo;
-
LN = 25 cm para un ojo normal
FIGURA 34-29 Con el aja relajado, el abjeto se sitOa en el punta focal, y La imagen estO en el infinito. CompOrelo con Ia figura 34-28a donde Ia imagen estO en el punta cercano del ojo. Thmge.
en
linflno-
(34-6a)
Vemos que entre mOs corta es Ia longitud focal de Ia lente, mayor es el aumento. [Sin embargo, los amplificadores simples de una sola lente están limitados a cerca de 2 X a 3 >< SECCION 34-7
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Lente de aumento
853
debido a Ia distorsión por aberraciOn esférica (sección 34-10),I La amplificaciOn de una lente dada puede incrementarse un poco moviéndola y ajustando el ojo de modo
que se enfoque sobre la imagen en el punto cercano de éste. En este caso, d, = N
(véase Ia figura 34-28a) si el ojo está muy cerca del amplificador. La distancia al objeto d0 es entonces dada por 1
1
1
=f
= fN 1
1
Vemos en esta ecuación que d0 < 10-30 kg)(3.0 X 108 rn/s)2 = 8.68 )< 10'3J. Como 1 MeV = 1.60 x iO' J, Ia energIa liberada es 5.4 MeV. Cambio de masa en una reacción quImica. Cuando dos moles de hidrogeno y un mol de oxIgeno reaccionan para formar dos moles de agua, la energIa liberada es 484 kJ. (,Cuánto decrece la masa en esta reacciOn? SOLUCION Usando la ecuaciOn 37-12 tenemos para el cambio en la masa iXm: =
(-484 x iO J)
=
c2
(3.00 x 10 rn/s)2
= 5.38 X 1012kg.
La masa inicial del sistema es 0.002 kg + 0.016 kg = 0.018 kg. El cambio en Ia masa es relativamente muy pequeno y puede normalmente ser despreciado. [La conservaciOn de Ia masa es usualmente un principio razonable aplicable en las reacciones quImicas.]
La ecuaciOn 37lOa para la energIa cinética es
/ K=mc2I
1
1
I Para velocidades pequenas, v0. (g 51. (a) IR/e (constante); (b) _e_B2e2t/mR. 53. 31 vueltas. 55. v = 0.76 rn/s. 57. 184 kV. 59. 1.5 x 1017. 61. (a) 23 A; (b) 90 V; (c) 6.9 >< 102W; (d) 75%. 63. (a) 0.85 A; (b) 8.2. 65.
55. 3 X 109A. 57. B disrninuirá. 59. 2.1 X 106g. 61.
63.
21/Lir (izquierda). 4 x 10T,cerca del 10% del campo de Ia Tierra.
1. -3.8>< 102V. 3. Sentido contrario al giro del reioj. 5. 0.026 V.
7. (a) Sentido contrario al giro el reloj; sentido de giro del reloj; (c) cero; (d) sentido contrario at giro del reloj. 9. Sentido contrario al giro del reloj. 1L (a) Sentido de giro del reloj; (b) 43
mV;(c)l7mA.
del eje.
15. 4.21 C. 17. (a) 5.2 X 102 A; (b) 0.32 rnW. 19. 1.7 x 10_2 V.
21. (Ja/2ir) In 2. 23. (a) 0.15 V; (b) 5.4 X i0 A; 4.5 x 10 N. 25. (a) Se moverá a velocidad constante; (b) v = voe_mR.
27. (b)
pIv /a+b'\ ln
2
b
) a lo largo del
alambre largo.
Iv (b)
In
3. M/C = 5. M = (w/2ir) 7. 1.2 H.
(a+b'\
2ir b ) alambre largo. 31. 0.33 kV, 120 rev/s. 33. 100 V.
ln(2/1).
9. 2.5 X 106H. 11.
r1
2.5 mm.
13. 3. 15. (a) L1 + L2; (b) = L1L2/(L1 + L2). 17. 15.9J. 19. (a) uE = 4.4 X i0 J/rn3, u8 = 1.6 X 106J/m3,uB>>uE; E = 6.0 x 108 V/rn. 21. 4.4 J/m3, 1.6 x 10 J/m3. 23. (p0J 2/4.) ln(r2/r1).
25. t/T = 4.6. 27. (dl/dt)0 = V0/L. 29. (a) (LV2/2R2)(1 - 2e'1° + e2"°); (b) = 5.3.
150-
5,000
7. 0.13 H. 11. (a)5.0%;(b)98%. 13. (a) 9.0 kfl; (b) 10.2 kfl. 15. (a) 18 mA; (b) -29°; (c) 1.8W; (d)VR = 105V,V = 58V. 17. (a) 0.38 A; (b) -89°; (c) 0.29W. 19. 3320.. 2 2V' 21. (a) 0; (b)-V0 V112 = 23. 8.78 kfl, -7.66°, 91.1 mA. 25. 265 Hz,324W. 27. 52.5 mA. 29. (b) w'2 = [(1/LC) - (R2/2L2)]; (c) k R. 1/C, m -* L, b 31. (a) VR/[2R2 + 2(wL - 1/wC)2]; (b)w'2 = 1/LC;(c) = R/L.
33. 40.. 35. 9.76 nF. 37. 27.9 rnH. 39. 1.6kHz. 41. 14fl,75mH.
io Hz. 1.88 x 10 W; (c) 2.8 x 10 A, 0.66 V, 4.7 i0 V,
43. 2.2
X iO Hz, 1.1 X
23.6 k(1,
10.8°;
+ [w(L1 + L2) (C1 + C2)/wC1C2j2}'12.
51. 19(1,62mH.
47. 3.0 )< l03vueltas,95 vueltas. 51. (b) Colocando un bobina en forma perpendicular a la otra;
53./=
2M).
57. Vent
)sen(wI+4))
=
(_) [_()coswt +
=
()[()cos(wI+4))_cos(wI)],
=
4)
(XL - X)R i0 V/rn . s. iO' V/rn .
7. 9$ B . dA = /.LOQm, 9$
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+ cos(wt)],
XCXL
41. (a)5.2V;
(b) transforrnador reductor.
4))
I /XCXL\2 Z= 1R2+H--
tan
1"sal
(V0'\
1. 9.2 3. 7.9
Respuestas a problemas impares
(b)
49. ((R1 + R2)2
39. 0.18.
A-20
10,000
><
J.
(c) L1L2/(L1 + L2); (LIL2 - M2)/(L + L2 55. (a) 1(Q 2/C)e -Rt/L
f(Hz)
I
00
0.126 V.
lejos del
35. 13A. 37. 3.54 X i0 Vueltas.
300-
45. (a)
31. (a) 213 pF; (b) 46.5 H. 35. (a) Q = Q0/V'; (b) T/8. 37. R = 2.30 11. 41. Disminuye, 1.15 kQ. 43. 20 rnH, 95 vueltas. 45. (a) 21 mH; (b) 45 mA;
2.2 x i0
X(fl)
5.
-
1. M=NN2A/e.
t/r
13. 1.1 x 10J.
hacia el centro.
71. Bwr, en forma radial hacia el exterior
(direcciones opuestas en arnbos
lados). 53. A lo largo, delgado y corto, piano.
BwL2
1. (a) 3.7 x 102 fl; (b) 2.2 x 102 çl. 3. 9.90 Hz.
X ><
E . d = /:LO dQm/dI - d8/di.
9. 1.4 X 10'3T. 11. (a) B0 = E0/c, - y-dirección; (b) -z-dirección.
13. (a)
1.08 cm; (b) 3.0 x 1018 Hz. 15. 314 nm, ultravioleta. 17. (a) 4.3 mm; (b) 71 mm.
19. 1.77 x 1OW/m2. 21. 7.82 >< i0 J/h.
37. 4.6m. 43. 3.0%.
29. +1.15D. 31. f/2.3. 35. 41 mm. 37. +2.3 D. 39. Las lentes podrIan ser mejores. 41. (a) -1.33 D; (b) 38 cm.
45. 0.22°. 47. 61.7°,Jucite. 49. 93.5 cm. 51. flhiquido
1.5.
55. 17.0 cm debajo de Ia superficie del
43. -26.8 cm.
vidrio. 59. (a) 3.0 m, 4.0 m, 7.0 rn; (b) hacia usted, lejos de usted, hacia usted.
23. 4.50 x 10J. 25. 3.8 x 1026W.
45. 17 cm, 100 cm. 47. 8.3 cm. 49. A 6.3 cm de Ia lente, 3.9X.
61. -3.80m.
29. r
