Física 1 Tercera Edición Full

FÍSICA 1 Esta caricatura es la interpretación del artista Dundo acerca de la física. Con ella comenzamos aplicando uno de los objetivos del enfoque por competencias: la sensibilidad al arte, de manera tal que puedas establecer, desde la primera página, una relación creativa entre tú y el significado de esta materia.

FÍSICA 1

Díaz Velázquez, Jorge Física, 1 / Jorge Díaz Velázquez; ilustraciones Diego Cabrera. -- Tercera edición. -- México: ST Editorial: ST Distribución, 2013. 176 páginas: ilustraciones; 28 cm. -- (Colección bachillerato) Bibliografía: página 176 En la cubierta: Desarrolla competencias Incluye Guía para el maestro ISBN 978 607 508 141 0 ISBN 978 607 508 142 7 (e-book) 1. Física – Estudio y enseñanza (Superior). 2. Física – Problemas, ejercicios, etc. 3. Física – Manuales de laboratorio. I. Cabrera, Diego, ilustrador. II. título. III. Serie. 530.0711 -scdd21

Biblioteca Nacional de México

ST Distribución, S.A. de C.V. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, registro número 3342. © Derechos reservados 2013 Primera edición: Estado de México, mayo de 2010 Segunda edición: México, DF, junio de 2012 Tercera edición: México, DF, agosto de 2013 © 2013, Jorge Díaz Velázquez ISBN: 978 607 508 141 0 ISBN e-book: 978 607 508 142 7

Presidente: Alonso Trejos Director general: Joaquín Trejos Publisher: Giorgos Katsavavakis Coordinadora editorial: Marina Rodríguez Edición: Alfredo López Asistente editorial: Daniel Rendón Director de arte: Miguel Cabrera Diseñadora: Milagro Trejos Portada: Monfa Ilustraciones: Diego Cabrera Asistentes de producción: Diana Flores y Alicia Pedral Fotografías: Stockxchange, archivo ST Editorial Prohibida la reproducción total o parcial de este libro en cualquier medio sin permiso escrito de la editorial. Impreso en México. Printed in Mexico.

muestras digitales POR EL AMBIENTE

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PRESENTACIÓN Este libro tiene como propósito que el alumno desarrolle y fortalezca sus competencias en el campo de las ciencias experimentales para lograr la construcción de su propio conocimiento; de esta forma se constituye en una herramienta de aprendizaje en donde se presentan los conceptos partiendo de las situaciones cotidianas que se han experimentado, o bien que se pueden realizar reflexionando en forma crítica sobre lo que sucede a nuestro alrededor. Sus contenidos están basados en el programa de Física 1 correspondiente a la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS) planteada por la Dirección General de Bachillerato (DGB). El diseño de contenidos, al igual que en el programa, tiene un enfoque por competencias, con la intención de que el estudiante se desarrolle integralmente en todos los ámbitos de su vida: personal, escolar, social y laboral. Física 1 se ha diseñado con un lenguaje sencillo que invita a la lectura, y evita el uso de términos demasiado técnicos que compliquen y desalienten el autoaprendizaje. Cada bloque presenta una evaluación diagnóstica que permite a los estudiantes saber tanto el nivel de conocimiento que han adquirido, como las habilidades que han desarrollado en forma previa; presenta ejemplos resueltos y actividades complementarias que les permiten entender de una mejor manera los fenómenos que se relacionan con el tema que se estudia; además, contiene lecturas que los invitan a la reflexión o a la discusión sobre temas de su interés, y como complemento ofrece prácticas de laboratorio sencillas que los estudiantes pueden realizar en casa. La estructura general consta de cuatro bloques, en el primero se abordan los temas relacionados con el desarrollo histórico de la física, el método científico, las magnitudes físicas y su importancia en la experimentación, qué sistemas de unidades se emplean, cómo se manejan las cifras y los posibles errores en el proceso de medición, finalmente se inicia al alumno en el proceso de pensamiento abstracto con la presentación de una herramienta indispensable para comprender el comportamiento de diversas variables, los vectores. El segundo bloque presenta los temas relacionados con las formas básicas de movimiento de un cuerpo a partir del análisis del movimiento en una dimensión –¿qué es?, ¿cómo se describe? Después nos adentramos al movimiento en dos dimensiones tal como sucede en un tiro parabólico o en un movimiento circular. El tercer bloque nos muestra la validez de un conjunto de principios que son la base para el diseño y construcción de un sinfín de dispositivos y sistemas. En el cuarto bloque se revisa la importancia de la energía en todo proceso o actividad humana y las implicaciones que tiene, pues es sabido por todos que su uso adecuado nos llevará a etapas de progreso armónico entre la sociedad y la naturaleza. Iniciemos pues una fascinante aventura en el mundo de la física. De antemano, se agradece cualquier comentario o sugerencia por parte de los lectores que sirva para mejorar esta obra; se pueden enviar al autor a la siguiente dirección electrónica: [email protected]

No, la física no es abstracta, es divertida porque nos permite crear sistemas que resultan de la observación de la naturaleza y la consecuente experimentación para que se obtenga un beneficio directo para el ser humano, quizá el razonamiento y la construcción de modelos sea abstracta para cualquier principiante. Aprende y disfruta.

CONTENIDO Secciones del libro Reconoce tus competencias

6 7

Bloque 1 Reconoces el lenguaje técnico básico de la física Para comenzar...

11

Reto

13

Tema 1: Método científico Métodos de la investigación científica

15 17

Tema 2: Magnitudes físicas y su medición

19

Tema 3: Notación científica Transformación de unidades de un sistema a otro

22 23

Tema 4: Instrumentos de medición Tipos de errores en las mediciones

26 27

Tema 5: Vectores Características Suma Descomposición y composición rectangular de vectores por métodos gráficos y analíticos

31 32 33 33

Evaluación sumativa

44

Bloque 2 Identificas diferencias entre distintos tipos de movimiento Para comenzar...

51

Reto

53

Tema 1: Nociones básicas sobre movimiento Sistemas de referencia absoluto y relativo

55 58

Tema 2: Movimiento en una dimensión Movimiento rectilíneo uniforme Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

61 61 62

Tema 3: Movimiento en dos dimensiones Tiro parabólico: horizontal y oblicuo Movimiento circular: uniforme y uniformemente acelerado

73 73 78

Evaluación sumativa

90

Bloque 3 Comprendes el movimiento de los cuerpos a partir de las leyes de dínámica Newton Para comenzar...

95

Reto

97

Tema 1: Leyes de la dinámica Antecedentes históricos del estudio del movimiento mecánico Tipos de fuerzas y las tres leyes de dinámica de Newton

99 99 101

Tema 2: Ley de la gravitación universal

115

Tema 3: Leyes de Kepler Leyes de Kepler

119 120

Evaluación sumativa

124

Bloque 4

SECCIÓN FINAL

Relacionas el trabajo con la energía

Prácticas de laboratorio Evaluación final Para terminar. Autoevalúa tus competencias Fuentes consultadas

Para comenzar...

129

Reto

131

Tema 1: Trabajo La expresión matemática y unidades de medición del trabajo

133 136

Tema 2: Energía cinética y energía potencial Energía cinética Energía potencial

141 143 146

Tema 3: Ley de la conservación de la energía mecánica

152

Tema 4: Potencia

157

Evaluación sumativa

162

166 171 175 176

SECCIONES DEL LIBRO Los libros de la Colección Bachillerato de ST Editorial apegados a los programas de estudios del Sistema Avanzado de Bachillerato y Educación Superior (SABES), se distinguen por brindar una estructura didáctica apegada al enfoque didáctico por competencias. Contienen, al inicio de cada bloque, las competencias y las evidencias que se señalan en los programas de estudios de las diferentes asignaturas, así como la secuencia de cada bloque, introducción y mapa conceptual. También ofrecen diferentes tipos de actividades y evaluaciones, así como secciones complementarias que facilitan el proceso de enseñanza-aprendizaje.

INICIO Reconoce tus competencias

Se enlistan las once competencias genéricas y las competencias disciplinares respectivas. Se acompañan de siglas para que sea posible identificar en cuáles actividades del libro se desarrollarán.

Secuencia de los bloques

Se incluyen todos los bloques del libro y se destaca gráficamente el que se estudiará.

Introducción al bloque y mapa conceptual

Se incluyen un texto introductorio con una breve explicación de lo que se estudiará y un mapa conceptual con los temas más importantes del bloque.

ACTIVIDADES Y EVALUACIONES Reto

Actividad en donde se plantea una situación problemática que invita al alumno a estudiar el bloque.

Actividad de apertura

Al comienzo del tema, se incluye una actividad motivadora pensada para que el alumno reflexione y se interese en el estudio de cada tema.

Actividades individuales y grupales Con estas se pretende que el estudiante desarrolle sus competencias de forma integral.

Evaluaciones

Incluye evaluación diagnóstica que identifica los conocimientos y habilidades que el estudiante posee antes de iniciar el estudio del bloque (Para comenzar...), y aquellos que adquirió al finalizar el estudio del bloque (evaluación sumativa). También se evalúan los aprendizajes obtenidos durante el curso (Evaluación final).

COMPLEMENTARIAS Ilustraciones, infográficos

Refuerzan y abordan los contenidos de manera creativa y explicativa, como una estrategia visual y efectiva para el proceso de aprendizaje.

Glosario

Se incluye la definición de términos de difícil comprensión que aparecen en cada página.

Retrato

Se incluye información relevante sobre algunos de los personajes clave en el desarrollo de los temas de cada materia.

El mundo que te rodea. En la web Información complementaria y de reflexión que vincula los conocimientos que el estudiante va construyendo con el entorno inmediato.

Lecturas

Se incluyen lecturas cuyas temáticas refuerzan los contenidos desarrollados en cada uno de los bloques.

RECONOCE TUS COMPETENCIAS Las competencias son capacidades que una persona desarrolla en forma gradual durante el proceso educativo, que incluyen conocimientos, habilidades, actitudes y valores, en forma integrada, para dar satisfacción a las necesidades individuales, académicas, laborales y profesionales. Existen principalmente tres tipos de competencias: genéricas, disciplinares y laborales. Las competencias genéricas le permiten al individuo comprender el mundo, aprender a vivir en él. Estas competencias son aplicables a todas las áreas del conocimiento, y por lo tanto a todas las asignaturas.

G

D

COMPETENCIAS GENÉRICAS

1 Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y

retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2

Por su parte, las competencias disciplinares engloban los requerimientos básicos –conocimientos, habilidades, destrezas y actitudes– que se necesitan en cada campo disciplinar, para que los estudiantes los apliquen en diferentes contextos y situaciones de su vida. Estas competencias se podrán entretejer más adelante con las competencias laborales, para conformar un todo armónico que le da pleno sentido al proceso educativo, de tal manera que los estudiantes adquieran las destrezas y capacidades necesarias para desenvolverse en el mundo actual.

Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3 Elige y practica estilos de vida saludables. 4 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en

distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

1 Establece la interrelación entre la ciencia, la tecnología, la sociedad y el ambiente en contextos históricos y sociales específicos.

2 Fundamenta opiniones sobre los impactos de la ciencia y la tecnología en su vida cotidiana, asumiendo consideraciones éticas.

3 Identifica problemas, formula preguntas de carácter científico y plantea las hipótesis necesarias para responderlas.

4 Obtiene, registra y sistematiza la información para responder a preguntas de carácter científico, consultando fuentes relevantes y realizando experimentos pertinentes.

5 Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

5 Contrasta los resultados obtenidos en una investigación o experimento con hipótesis previas y comunica sus conclusiones.

6 Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

COMPETENCIAS DISCIPLINARES del campo de ciencias experimentales

6 Valora las preconcepciones personales o comunes sobre diversos fenómenos naturales a partir de evidencias científicas.

7 Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la

7

Hace explícitas las nociones científicas que sustentan los procesos para la solución de problemas cotidianos.

8 Participa y colabora de manera efectiva en equipos

8

Explica el funcionamiento de máquinas de uso común a partir de nociones científicas.

9 Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de

9

Diseña modelos o prototipos para resolver problemas, satisfacer necesidades o demostrar principios científicos.

vida.

diversos.

su comunidad, región, México y el mundo.

10 Mantiene una actitud respetuosa hacia la intercul-

10 Relaciona las expresiones simbólicas de un fenómeno de la naturaleza y

11 Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica,

11 Analiza las leyes generales que rigen el funcionamiento del medio físico y

turalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. con acciones responsables.

los rasgos observables a simple vista o mediante instrumentos o modelos científicos. valora las acciones humanas de impacto ambiental.

12 Decide sobre el cuidado de su salud a partir del conocimiento de su cuer-

po, sus procesos vitales y el entorno al que pertenece.

Ubica estas competencias genéricas en cada actividad, grupal e individual, así:

COMPETENCIAS GENÉRICAS

4

6

Estas son competencias disciplinares y disciplinares extendidas. Ubícalas en cada actividad, grupal e individual, así:

8

COMPETENCIAS DISCIPLINARES

2

5

8

Desempeños del estudiante

Bloque 1 Reconoces el lenguaje técnico básico de la física

a. Identifica la importancia de los métodos de investigación y su relevancia en el desarrollo de la ciencia como la solución de problemas cotidianos. b. Reconoce y comprende el uso de las magnitudes físicas y su medición como herramientas en la actividad científica de su entorno. c. Interpreta el uso de la notación científica y de los prefijos como una herramienta de uso que le permita representar números enteros y decimales. d. Identifica las características y propiedades de los vectores que le permitan su manejo en la solución de problemas cotidianos. Estos desempeños pueden identificarse en cada una de las actividades del bloque, de la siguiente manera: DEsEMpEÑOs DEL EstuDiANtE

a

b

c

d

Bloque 1

Bloque 2

Bloque 3

Reconoces el lenguaje técnico básico de la física

Identificas diferencias entre distintos tipos de movimiento

Comprendes el movimiento de los cuerpos a partir de las leyes de dinámica de Newton

Objetos de aprendizaje • • • • •

Método científico Magnitudes físicas y su medición Notación científica Instrumentos de medición Vectores

Bloque 4 Relacionas el trabajo con la energía

Introducción Desde el inicio de los tiempos, el ser humano ha buscado respuesta a la infinidad de fenómenos que lo rodean y aunque inicialmente encontró explicaciones en diversas religiones y en lo sobrenatural, su inquietud constante lo llevó a la búsqueda de métodos para reproducir lo que ocurre a su alrededor. De esta forma, el conocimiento humano se mantiene en constante evolución y perfeccionamiento, lo que trae como consecuencia el desarrollo científico y de sus aplicaciones en la industria y en todas las esferas de la sociedad. En este primer bloque comenzaremos el estudio de la física y abordaremos su contribución a nuestro desarrollo como especie humana; conoceremos los principales métodos y procedimientos que se

emplean para estudiar y comprender el universo que nos rodea. El estudio de este bloque te permitirá capacitarte para abordar el análisis riguroso de la física, ya que te proporcionará la habilidad necesaria para comprender, modelar y resolver problemas relacionados con las magnitudes fundamentales que se emplean en esta ciencia, así como la interpretación de cantidades escalares o vectoriales, al aplicar el método científico en el análisis de diversas situaciones de nuestra vida cotidiana que se relacionan con la física. De este modo podrás desarrollar una actitud e interés de carácter científico en la investigación de cualquier evento que ocurra a tu alrededor. Observa el siguiente mapa conceptual con los contenidos del presente bloque.

Conocimiento científico y magnitudes físicas

se conforman por

emplean

método científico

campos de estudio de la física

comprueba en forma objetiva el conocimiento

cada disciplina incide en diversos aspectos de nuestra vida diaria

magnitudes físicas se dividen según su

origen

naturaleza

en

en

por ejemplo

define el problema a resolver plantea hipótesis de trabajo soluciona problemas y elabora reporte final

fundamentales

escalares

derivadas

vectoriales

su aplicación práctica es determinante en el desarrollo de la ciencia y de la tecnología

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Para comenzar... Para que puedas comprender los temas de este bloque, es necesario

que rescates las competencias (conocimientos, habilidades, actitudes y valores) que ya has adquirido a lo largo de tu vida. Haz tu mejor esfuerzo para responder y detecta aquellos aspectos que no conoces o dominas para enfocar tu estudio.

I. Escribe en el paréntesis la letra que corresponda a la respuesta correcta. 1. ( ) La física estudia: a. la naturaleza y las transformaciones de la energía. b. la vida, su origen, su evolución y sus propiedades. c. la estructura, las propiedades y la transformación de los seres vivos. d. las cantidades, las fuerzas y sus relaciones. 2. ( ) Tres   de las etapas del método científico son: a. observación, hipótesis y muestreo. b. comparación, problema y conclusiones. c. restricciones, hipótesis y levantamiento de datos. d. observación, restricciones y muestreo. 3. ( ) Los sistemas de unidades sirven para: a. uniformar los procesos de medición. b. medir sin cometer errores. c. efectuar operaciones de equivalencia. d. realizar transacciones comerciales. 4. ( ) Algunos instrumentos de medición son tan precisos que: a. sólo el ser humano comete errores por no saber manejarlos. b. su vida útil es muy corta. c. deben emplearse con poco cuidado. d. nunca fallan. 5. ( ) Los vectores son: a. segmentos de recta dirigidos. b. flechas que representan cantidades. c. fuerzas asociadas a diversos fenómenos. d. escalas numéricas para especificar valores. II. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. 1. Efectúa las conversiones que se indican. a. 5 cm a m. b.  18 pul a cm. c.  56 pul2 a m2. d. 8 l a m3. e.  5 J a cal.

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2. E  l registro de la estatura respectiva de los ocho alumnos que constituyen el equipo de baloncesto

de la escuela secundaria “El caracol” es el siguiente: 1.72, 1.76, 1.80, 1.65, 1.79, 1.73, 1.80 y 1.67 m. Determina la estatura promedio que requieren los aspirantes a formar parte de este equipo. 3. Un árbol proyecta una sombra de 5 m sobre una superficie plana. Calcula su altura considerando que un observador se coloca al final de tal sombra y al mirar a la punta del árbol determina que hay un ángulo de 80° entre la dirección de su vista y la punta del árbol. Asume que la estatura del observador no es importante al compararse con la altura del árbol en cuestión. 4. Calcula la longitud del lado desconocido en el triángulo que se presenta a continuación. ¿Cuánto miden los ángulos internos?

c = 19 cm a

b = 12 cm

III. ¿Qué objetos tecnológicos de tu entorno crees que tienen relación con la física?

12

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RECONOCES EL LENGUAJE TÉCNICO BÁSICO DE LA FÍSICA

Reto (problema) El avance de la tecnología es una consecuencia de la puesta en práctica de los avances que día a día se presentan en las diferentes ramas de la ciencia. Por ejemplo, ¿qué hay a tu alrededor? Un refrigerador con conexión a Internet, una memoria con capacidad para almacenar millones de datos en un espacio de menos de 1 cm2, medios de transporte más eficientes en todos los aspectos, telas que permiten confeccionar ropa que brinda mayor comodidad, alimentos con mayor valor nutrimental, nuevos sistemas de alumbrado, etc.

I. En equipos de 4 integrantes, analicen cada uno de los siguientes puntos y respondan en su cuaderno.

1. A partir de la manera más apropiada de resolver un problema en beneficio de la sociedad, contesten lo siguiente.

a. ¿   Qué diferencias y similitudes existen entre resolver un ejercicio que les dejan

como tarea en la escuela y desarrollar un nuevo producto que satisfaga una necesidad social? b. ¿Es diferente el procedimiento cuando se trata de desarrollar una nueva teoría científica?, ¿por qué? c. R  epresenten gráficamente la relación entre ciencia, tecnología y los dispositivos que satisfacen las necesidades de la sociedad.

2. A partir de la relación entre la geometría y funcionalidad de un prototipo de la innovación técnica, contesten lo siguiente.

a.  ¿Qué consideraciones harían para que una estufa consuma menos gas (o electricidad) y ocupe el menor espacio posible?

b. ¿Qué dimensiones son fundamentales tomar en cuenta para el desarrollo de su propuesta?

c.  ¿Emplearían los mismos instrumentos de medición para la fabricación de una nue-

va estufa que los requeridos para vender telas o medir la estatura de los pacientes de un médico? d. ¿Todos los procesos de medición son universales?

3. A partir de la forma en que se manejan las cifras que se emplean en el desarrollo de

una actividad productiva o cotidiana para formar un “lenguaje común” para todos, contesten lo siguiente. a.  ¿De qué manera podemos medir cantidades microscópicas?, ¿cómo las expresamos? b.  ¿Es correcto hacer la referencia de una distancia como una longitud de cientos de miles de brazadas?, ¿por qué? c.  La micromecánica y la nanotecnología aportan avances sorprendentes cada día y las variables que involucran son diminutas, ¿cuáles son sus magnitudes? d.  ¿De qué orden serían las magnitudes que se manejarían en una mega ciencia?

4. Según la naturaleza de las variables y parámetros que se consideran para realizar actividades recreativas o cotidianas, contesten lo siguiente.

a.  ¿Cuál es la diferencia entre masa y peso?, ¿de qué les sirve en su vida saberlo? b.   Te lanzas al vacío en paracaídas, ¿qué variables físicas intervienen?, ¿cómo podrías controlarlas?, ¿qué factores intervienen para que evites una caída que sea fatal?

II. Preparen una presentación al grupo acerca de las conclusiones a que llegan sobre cada punto.

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Coevaluación En la siguiente lista de cotejo se presentan una serie de aspectos para que evalúes el desempeño de uno de tus compañeros durante la realización del reto. Aspecto

Siempre

Algunas veces

Nunca

Participó activamente en la discusión. Respetó las ideas de los compañeros y buscó un consenso. Propuso ideas para estructurar la presentación al grupo. Trabajó con limpieza y orden. Cumplió con los acuerdos y normas de trabajo establecidos.

Autoevaluación Con esta rúbrica evalúa tu desempeño durante el reto. Cada indicador tiene un valor en puntos, que deberás sumar para determinar tu nivel de desempeño inical. Aspectos a evaluar

Indicadores de desempeño 4 puntos

3 puntos

2 puntos

1 punto

Métodos de investigación y su relevancia en el desarrollo de la ciencia como la solución de problemas cotidianos.

Identifiqué la importancia de todos los métodos de investigación y su relevancia en el desarrollo de la ciencia como la solución de problemas cotidianos.

Identifiqué la mayoría de los métodos de investigación y su relevancia en el desarrollo de la ciencia como la solución de problemas cotidianos.

Identifiqué vagamente los métodos de investigación y su relevancia en el desarrollo de la ciencia como la solución de problemas cotidianos.

No identifiqué la importancia de los métodos de investigación ni su relevancia en el desarrollo de la ciencia como la solución de problemas cotidianos.

Uso de las magnitudes físicas y su medición como herramientas de uso en la actividad científica de su entorno.

Reconocí y comprendí el uso de todas las magnitudes físicas y su medición como herramientas de uso en la actividad científica de mi entorno.

Reconocí y comprendí el uso de algunas magnitudes físicas y su medición como herramientas de uso en la actividad científica de mi entorno.

Reconocí y comprendí vagamente el uso de las magnitudes físicas y su medición como herramientas de uso en la actividad científica de mi entorno.

No reconocí ni comprendí el uso de las magnitudes físicas, tampoco su medición como herramientas de uso en la actividad científica de mi entorno.

Uso de la notación científica y de los prefijos como una herramienta de uso que permite representar números enteros y decimales.

Interpreté el uso de la notación científica y de los prefijos como una herramienta de uso que me permite representar números enteros y decimales.

Interpreté vagamente el uso de la notación científica y de los prefijos como una herramienta de uso que me permite representar números enteros y decimales.

No interpreté el uso de la notación científica ni de los prefijos como una herramienta de uso que me permite representar números enteros y decimales.

Características y propiedades de los vectores que permitan su manejo y aplicación en la solución de problemas cotidianos.

Identifiqué todas las características y propiedades de los vectores que me permiten su manejo y aplicación en la solución de problemas cotidianos.

Interpreté parcialmente el uso de la notación científica y de los prefijos como una herramienta de uso que me permite representar números enteros y decimales. Identifiqué algunas características y propiedades de los vectores que me permiten su manejo y aplicación en la solución de problemas cotidianos.

Identifiqué vagamente las características y propiedades de los vectores que me permiten su manejo y aplicación en la solución de problemas cotidianos.

No identifiqué las características ni propiedades de los vectores que me permiten su manejo y aplicación en la solución de problemas cotidianos.

Valoración Excelente: 15 a 16 puntos. Bueno: 11 a 14 puntos. 14

Suficiente: 7 a 10 puntos.

Mi puntaje

Mi total Insuficiente: 4 a 6 puntos. st-editorial.com

Tema 1

Tema 2

Tema 3

Tema 4

Método científico

Magnitudes físicas y su medición

Notación científica

Instrumentos de medición

Continúa

En forma accidental, un investigador consigue que una mezcla de dos sustancias sólidas y un líquido formen un material de tipo arcilloso que ofrece buenas propiedades para la construcción de viviendas a bajo costo, sin embargo, no tiene la manera de reclamar los derechos del “invento” pues le ha sido difícil repetir el “accidente”, cuando ha intentado repetir la mezcla, los resultados son siempre diferentes y no encuentra en dónde está la falla. ¿Cómo le ayudarías a resolver esta situación? ¿De qué manera tendría que trabajar el investigador para obtener un resultado óptimo que sea único y le permita mostrar su desarrollo?

La palabra física proviene del griego physiké, que significa “naturaleza de las cosas que se mueven por sí mismas”. Antes se aceptaba un concepto rígido de la física: “el estudio de las propiedades de los cuerpos y las leyes que rigen su comportamiento”; actualmente, la física es la ciencia que estudia las propiedades de la materia y la energía, la relación que existe entre ambas, sus transfor-

maciones y cómo se vinculan con el espacio y el tiempo. La física nos explica, por ejemplo, cómo y por qué se mueven los cuerpos, cómo la energía se transforma en calor o en trabajo y que la materia ocupa un lugar en el espacio por sus características de masa, peso y volumen. La física se sustenta en métodos con rigor científico, los cuales se han consolidado a través de la historia del

Materia. Todo lo que ocupa un lugar en el espacio. Peso. Fuerza con que la Tierra atrae a los cuerpos por la acción del campo gravitacional. st-editorial.com

Glosario 15

BLOQUE 1

conocimiento y el desarollo tecnológico y científico. A través de este despliegue, la física se ha dividido en diversas áreas de investigación. En este bloque nos interesaremos únicamente de la física clasíca, de la que se derivan las disciplinas que se presentan en el siguiente infográfico:

Infográfico 1 Disciplinas de la física clásica

Acústica Estudia los fenómenos relacionados con la producción, transmisión y recepción del sonido. Los investigadores plantean que la

comunicación acústica de los murciélagos es la más rica existente en los mamíferos, después de la de los humanos.

Electromagnetismo Se dedica al estudio de los fenómenos eléctricos y su interrelación con los fenómenos magnéticos. En la actualidad, existe un tren capaz de trasladarse a una velocidad de 518 km/h

utilizando la levitación magnética, que es uno de los principios del magnetismo: la repulsión entre polos iguales.

Termodinámica Estudia las propiedades térmicas de los cuerpos y su capacidad para transformar el calor y la energía en trabajo. El origen de esta

disciplina fue sin lugar a dudas, la curiosidad que despertó el movimiento producido por la energía del vapor de agua.

Hidráulica Investiga el comportamiento de los fluidos en reposo y en movimiento. Desde hace más de un siglo, se aprovecha la energía hidráulica para generar electricidad, y de hecho ésta fue una de las primeras formas que se emplearon para producirla.

La polémica represa Tres Gargantas, (185 metros de alto y 2 300 de largo) en China, obligó el traslado de más de un millón de personas que vivían donde se creó un lago artificial de 660 km para alimentar las turbinas que producirán electricidad.

Óptica Se ocupa de las propiedades de los cuerpos luminosos y de la luz en sí. Por ejemplo, la física

moderna proveyó las herramientas teóricas para explicar cómo se inició el universo.

Mecánica Analiza el movimiento y las causas que lo originan; se divide, a su vez, en cinemática –que analiza el movimiento por sí mismo– y en dinámica –que investiga las causas del movimiento– , un caso particular de la dinámica es la estática, que estudia las condiciones de equilibrio ya sea en reposo o en movimiento a velocidad constante de un cuerpo. La investigación

16

en los campos de las vibraciones, de la estabilidad, de la resistencia de estructuras y máquinas, de los cohetes y naves espaciales, el control automático, la fabricación de motores, circulación de fluidos, de los aparatos y maquinaria eléctrica, y del comportamiento molecular, atómico y subatómico dependen en gran parte de los principios fundamentales de la mecánica.

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RECONOCES EL LENGUAJE TÉCNICO BÁSICO DE LA FÍSICA

Actividad individual

competencias genéricas

4 7

competencia disciplinar

4

desempeño del estudiante

a

Investiga en qué consiste la física moderna y las ramas que la constituyen; posteriormente, realiza una comparación con la física contemporánea.

Métodos de la investigación científica

¿Qué es la ciencia? ¿Cómo se “hace” la ciencia? Para el filósofo griego Aristóteles (384-322 a. C.), el conocimiento humano se fundamenta en la experiencia y se adquiere por medio de los sentidos, por lo que la explicación de los fenómenos está en su propia esencia y manifestación; éste es el principio aristotélico de la investigación científica. En cambio, la lógica formal estudia las relaciones entre diferentes propuestas sin importar su contenido. En consecuencia, se asume que la ciencia es un conocimiento razonado, sobre todo por la gran contribución que la tecnología le ha brindado y por cuestionar creencias y tradiciones. La estructura de la lógica como conjunto se ha desarrollado en forma metódica y sistemática, de tal manera que es verificable y nos permite predecir en cierta medida el comportamiento de la naturaleza por medio de leyes. ¿Por qué el conocimiento científico es un conjunto de métodos? Si un método es el procedimiento ordenado para alcanzar un objetivo, entonces un método científico es la manera ordenada de buscar la verdad en determinado campo disciplinario. Por lo general, encontrarás que toda actividad científica consta de dos etapas: el planteamiento de principios o hipótesis y su demostración para obtener conclusiones. Habrás notado que hablamos de un método científico y no de “el método científico”, ya que un investigador puede seguir diversas metodologías para un fin específico. Entre los métodos más utilizados por los científicos se encuentran los definitorios, los clasificatorios, los estadísticos, los deductivos por hipótesis y los que emplean la medición. Uno de los pensadores más destacados en métodos de investigación fue el inglés Francis

FIGURA 1

La aplicación del método científico implica la relación entre cálculos matemáticos y observación de la naturaleza.

Bacon (1561-1626), quien aseguraba que no es suficiente la experiencia brindada por nuestros sentidos ni la razón: debemos evitar los dogmas, la única forma de descubrir los secretos de la naturaleza es mediante la experimentación. No es suficiente realizar un experimento; debemos repetirlo y registrar los datos que obtengamos para conseguir una conclusión satisfactoria. Para el físico y matemático italiano Galileo Galilei (1564-1642), el mejor método consistía en la demostración rigurosa por medio de modelos matemáticos, pues se aplican a postulados comprobables por la experiencia. Si se trabaja de manera objetiva y meticulosa, la probabilidad de errores es mínima porque se usa un modelo matemático: no hay verdades a medias, se cumple el postulado y es cierto o no se cumple y es falso.

Ley. Conclusión general sobre la relación constante entre las causas (o antecedentes) y los efectos (o consecuencias) en los fenómenos de la naturaleza. Hipótesis. Suposición que se hace para explicar un fenómeno y que resulta fundamental en el método científico. st-editorial.com

Glosario 17

BLOQUE 1

Infográfico 2 Método científico en física

1

Motivo de la investigación

2

Definición del problema

3

A partir de la observación previa de un fenómeno se establece un supuesto para proceder a delinear el proyecto de investigación.

Se debe delimitar concretamente el fenómeno bajo estudio, para definir y entender con claridad cuáles son las metas por alcanzar.

Planteamiento de restricciones Se demarcan los datos o parámetros que intervienen en el problema por solucionar, tomando en cuenta los resultados y avances científicos que se tengan en el momento de realizar la investigación. Esto evitará que se desvíe el curso del trabajo.

4

Planteamiento de la(s) hipótesis de trabajo A partir de los datos se formulan una o varias hipótesis; se predice el comportamiento del fenómeno como guía para verificar por qué ocurre un evento de acuerdo a un campo específico de estudio.

5

Sistematización del conocimiento y solución Toda la información se ordena en una secuencia lógica para modelar el fenómeno y reproducirlo bajo condiciones controladas; así se obtiene una solución dentro del marco teórico de la hipótesis.

6

18

Levantamiento de datos Se elabora una síntesis o reporte del caso de estudio donde se indique la metodología de experimentación y la estadística obtenida de los resultados; además, se deben presentar posibles soluciones, conclusiones y recomendaciones para desarrollar el producto teórico o tecnológico.

El matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650) afirmaba que el método en la ciencia es un conjunto de reglas fáciles de seguir; si se es cuidadoso, no habrá equivocación y lo falso no se tomará por cierto, y viceversa. De esta manera, se podrá adquirir todo el conocimiento posible. Las etapas del método de Descartes son las siguientes: • No aceptar como cierta una evidencia si antes no se comprueba. • Dividir cada problema en tantas partes como sea posible para resolverlo más fácilmente. • Colocar por orden de dificultad el conocimiento: se inicia con lo más sencillo y se termina con lo más complejo. • Enumerar en forma general y completa todos los elementos con los que se cuenta para no omitir ningún dato. En el siglo xix, el pensador de mayor impacto fue el inglés John Stuart Mill (1806-1873). Desde su punto de vista, hay cinco métodos para trabajar tanto en las ciencias sociales como en las ciencias naturales: Método de la concordancia. Estudia casos diferentes para establecer en qué puntos concuerdan. Si hay una circunstancia común, ésta debe ser la causa o el efecto del fenómeno bajo estudio. Método de la diferencia. Toma fenómenos que presentan circunstancias comunes, pero si difieren en un solo hecho, éste constituye la causa de que ocurra o no tal fenómeno Método de la concordancia y de la diferencia. Retoma al mismo tiempo los dos anteriores. Método de las variaciones concomitantes. Establece relaciones entre dos fenómenos, los cuales podrían ser efectos de una misma causa. Método de los residuos. Analiza por qué la presencia de un dato particular no puede ser eliminada mediante la experimentación. Como podrás observar, en todos los casos el propósito específico es validar el conocimiento mediante experimentos y modelos. Las aportaciones de los filósofos y científicos que hemos mencionado revolucionaron la manera de crear el conocimiento en su época. En las ciencias naturales como la física, se emplean los métodos estadístico y deductivo por hipótesis, y por ello consideramos que un método científico apropiado para esta ciencia es el que refleja el infográfico 2.

Actividad individual

competencia genérica

4

competencias disciplinares

1 2

3

desempeño del estudiante

a

Elabora una lista en tu cuaderno de diversos problemas ambientales que se presenten en tu comunidad, región o país y que puedan ser estudiados y resueltos con la aplicación de un método de la investigación científica. Elije uno de ellos y elabora una hipótesis del porqué consideras que existe ese problema. Investiga acerca de si ya hay alguna institución que se esté haciendo cargo de resolver la situación y cómo. Presenta tus resultados al docente. st-editorial.com

Tema 2

Tema 3

Tema 4

Tema 5

Magnitudes físicas y su medición

Notación científica

Instrumentos de medición

Vectores

Reflexiona acerca de lo siguiente: una parte importante en el desarrollo de una investigación es la experimentación (como parte de la solución práctica a un problema), y en ella se reproduce un fenómeno a partir de controlar en forma adecuada las variables que intervienen. ¿Cómo consideras que pueden controlar las variables y registrar los datos que se obtengan? ¿Cómo piensas que se pueden poner de acuerdo los científicos en comunicar sus resultados, de manera que la comunidad científica mundial pueda entenderlos?

Magnitudes físicas y su medición

En la física toda magnitud es susceptible de ser medida; es decir, de ser comparada con respecto a un valor de referencia tomado como patrón. Por tanto, la física requiere del uso de un sistema de medición para poder evaluar todos los parámetros y especificar mediante valores numéricos si se cumple o no con nuestras expectativas. En general, cualquier sistema de unidades se establece partiendo de unidades que reconoce como fundamentales porque sirven como patrón y definen un sistema de medición que es reconocido o aceptado por la comunidad científica, tienen un carácter único y permiten que a partir de ellas se obtengan unidades para expresar diferentes variables físicas que son conocidas como derivadas, que resultan de la combinación de las unidades fundamentales st-editorial.com

y nos permiten medir eventos tan dispares como la velocidad o la intensidad de corriente eléctrica. Sistema cgs o cegesimal. Fue uno de los primeros sistemas. Es un sistema absoluto en el que las unidades fundamentales son el centímetro, el gramo y el segundo, y aunque fue ampliamente utilizado es completamente obsoleto. Sin embargo, no es de extrañar que encuentres dispositivos para medir fuerza que se denominan dinamómetros aunque su escala nos indique valores de fuerza en el sistema internacional de unidades y no precisamente dinas, que son las unidades (derivadas) de fuerza en tal sistema. Sistema inglés de unidades. Es un sistema gravitacional, las unidades fundamentales son el pie, la libra y el segundo, su origen corresponde a los países del Reino Unido, pero se difundió ampliamente en los Estados Unidos y en la mayoría de los países de habla inglesa, y 19

BLOQUE 1

aunque reciben una denominación común, tienen algunas variaciones en cuanto al valor numérico que se les asigna. En los Estados Unidos se le reconoce como sistema fps –foot (pie), pound (libra), second (segundo)– o usc (United States Customary) y su uso se ha limitado a la transición que implica el cambio al Sistema Internacional de Unidades (si). El sistema inglés ha caído en desuso porque la economía mundial ha impuesto un “lenguaje común”, y los sistemas de unidades son un componente importante de tal lenguaje. Observa que en muchos países en vías de desarrollo es común que aún encontremos equipos, maquinaria y dispositivos que contienen componentes cuyas especificaciones corresponden a estos sistemas. En 1875 se estableció en Francia el Buró Internacional de Pesos y Medidas (bipm) con el propósito de normar los patrones de medición existentes, ya que algunas mediciones todavía se realizaban conforme a costumbres y usanzas de cada país o región, de tal manera que no existía uniformidad en muchos aspectos. Por ejemplo, en las actividades relacionadas con la construcción y el comercio una unidad de medida recibía el mismo nombre, pero no equivalía precisamente a la misma cantidad en las diferentes regiones que mantenían relaciones comerciales. A través de diversas conferencias se llegaron a acuerdos de carácter internacional y se definieron las unidades fundamentales del Sistema Internacional de Unidades (si), el cual fue adoptado en 1960 por el gremio de físicos para presentar los resultados de sus investigaciones. Se estimaba que en el año 2000 su empleo sería universal pero no ha sucedido así, quizá pasarán todavía algunos años para que en todos los ámbitos de nuestra vida se emplee este sistema, el cual tiene un carácter absoluto. A diferencia de otros sistemas, sus unidades fundamentales son siete (cuadro 1). CUADRO 1. MAGNITUDES FUNDAMENTALES DEL SI Magnitud Nombre Símbolo Longitud (l) metro m Masa (m) kilogramo kg Tiempo (t) segundo s Temperatura kelvin K termodinámica (T) Corriente eléctrica (i) ampere A Intensidad luminosa (I)

candela

cd

Cantidad de sustancia (n)

mol

mol

En el cuadro 2 podrás apreciar que el si tiene además como unidades complementarias, las que corresponden a la medición de ángulos. CUADRO 2. UNIDADES DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS Magnitud complemento Nombre Símbolo Ángulo plano (q)

radián

rad

Ángulo sólido (W)

estereorradián

sr

20

FIGURA 2

Durante el feudalismo no existía un sistema único de medición de unidades; por eso, con la llegada del capitalismo, se requirió la creación de un sistema internacional.

Cada una de las unidades mencionadas en los cuadros anteriores se define de la manera siguiente: Metro. Es una longitud igual a 1 650 763.73 longitudes de onda en el vacío de la radiación que corresponde a la transición entre dos niveles de un átomo de criptón. Kilogramo. Es la masa de un prototipo de platino irradiado, aprobado en la Conferencia General de Pesos y Medidas de 1889 y se conserva en el pabellón de Breteuil en Sèvres, Francia. Segundo. Es la duración de 9 192 631 770 ciclos de la radiación asociada a la transición entre dos niveles de un átomo de cesio. Grado kelvin. Corresponde a la escala termodinámica de la temperatura absoluta en la que la temperatura del punto triple del agua es de 273.15 grados Ampère. Es la intensidad de una corriente constante que al circular a través de dos conductores paralelos, rectilíneos de longitud infinita y sección transversal circular despreciable, produce una fuerza de 2×10-7 N por cada metro de longitud de los conductores cuando éstos se colocan en el vacío a una distancia de un metro entre ellos. Candela. Es la intensidad luminosa en una dirección determinada por una abertura perpendicular a esta dirección y cuya área es de 1/60 centímetro cuadrado y que radia como un cuerpo negro (radiador integral) a la temperatura de solidificación de platino. Mol. Es la cantidad de partículas elementales en un sistema cualquiera y, es igual al número de átomos existentes en 12 gramos de carbono 12. Radián. Es el ángulo plano que tiene su vértice en el centro de un círculo y que intercepta sobre la circunferencia de tal círculo un arco de longitud igual al radio del círculo. Estereorradián. Es un ángulo sólido cuyo vértice se encuentra en el centro de una esfera y que corta en la superficie de tal esfera un área igual a la de un cuadrado cuyos lados son iguales al radio de la esfera. st-editorial.com

RECONOCES EL LENGUAJE TÉCNICO BÁSICO DE LA FÍSICA

Actividad grupal

competencias genéricas

4 8

4 10

competencias disciplinares

desempeños del estudiante

b

c

I. Reúnanse en equipos y en un cuadro comparativo indiquen el uso en diferentes disciplinas como la biología, la astronomía, la física, la química, entre otras, de cada uno de los prefijos enlistados en el siguiente cuadro de unidades derivadas de uso común. ¿Qué unidades son de uso común en varias disciplinas? Unidad derivada Superficie

Volumen

Masa

Tiempo

Nombre de la unidad metro cuadrado

Símbolo del múltiplo o submúltiplo

Unidad derivada

m2

metro cúbico

m3

decímetro cúbico

dm3 = 10-3 m3

centímetro cúbico

cm3 = 10-6 m3

Frecuencia

terahertz

THz = 1012 Hz

megahertz

MHz = 106 Hz

kilohertz

kHz = 103 Hz

hertz

Hz

kilogramo por metro cúbico gramo por centímetro cúbico

mm3 = 10-9 m3

hectolitro

hL = 100 L

decalitro

daL = 10 L

newton

litro

L = 1 dm3

meganewton

MN = 106 N

decilitro

dL = 0.1 L = 100 cm3

kilonewton

kN = 103 N

centilitro

cL = 0.01 L = 10 cm3

decanewton

daN = 10 N

mililitro

mL = 0.001 L = 1 cm

milinewton

mN = 10-3 N

tonelada

t = 1 000 kg

newton-metro

N·m

quintal

q = 100 kg

joule

J

gramo

g = 10-3 kg

megajoule

MJ = 106 J

miligramo

mg = 10-3 g = 10-6 kg

kilojoule

kJ = 103 J

microgramo

µg = 10-6 g = 10-9 kg

kilowatt-hora

kWh = 3.6 MJ

día

d = 86 400 s

watt-hora

Wh = 3.6 kJ

hora

h = 3 600 s

caloría

cal = 4.1855 J

minuto

min = 60 s

watt

W

milisegundo

ms = 10-3 s

megawatt

MW = 106 W

microsegundo

µs = 10-6 s

kilowatt

kW = 103 W

nanosegundo

ns = 10-9 s

miliwatt

mW = 10-3 W

kilómetro por hora

km/h = m/s

microwatt

µW = 10-6 W

metro por segundo

m/s

pascal

Pa

centímetro por segundo

cm/s = 10-2 m/s

hectobar o decanewton por milímetro cuadrado

hbar o daN/mm2 = 107 Pa

nudo

n = 1 mi/h = 0.514 m/s Esfuerzo y presión

megapascal

MPa = 106 Pa

m/s2

bar

bar = 105 Pa

cm/s2 = 10-2 m/s2

kilopascal

kPa = 103 Pa

rad/s o rd/s

milipascal

mPa = 10-3 Pa

metro por segundo cuadrado centímetro por segundo cuadrado radián por segundo

Velocidad angular

Símbolo del múltiplo o submúltiplo

milímetro cúbico

Densidad o masa volumétrica

Fuerza 3

Momento o par

Energía, trabajo y cantidad de calor

Potencia

Velocidad

Aceleración

Nombre de la unidad

kg/m3 g/cm3 = 10-3 kg/m3 N

revolución por segundo rps o r/s = 2p rad/s revolución por minuto rpm o r/min = rad/s

II. Guarden su cuadro comparativo en el portafolio de evidencias. st-editorial.com

21

Tema 3

Tema 4

Tema 5

Notación científica

Instrumentos de medición

Vectores

¿Cómo representarían en cifra numérica la distancia en kilómetros que hay de la Tierra a la Luna?, ¿cómo lo harían para indicar cuánto mide una bacteria intenstinal? Reflexionen acerca del empleo de unidades de medida que sean útiles y prácticas para brindar datos manejables para la práctica científica y comenten sus conclusiones en la clase.

CUADRO 3. MÚLTIPLOS Prefijo de Símbolo la unidad 1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 iotaI 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000 zetaZ 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 exaE 15 10 = 1 000 000 000 000 000 petaP 1012 = 1 000 000 000 000 teraT 109 = 1 000 000 000 gigaG 106 = 1 000 000 megaM 103 = 1 000 kilok 102 = 100 hectoh 101 = 10 decada Factor para multiplicar la unidad

22

Dado que en la ciencia se utilizan cantidades que pueden ir de lo microscópico, como el tamaño de un electrón, a lo macroscópico, como la cantidad de estrellas en el universo, es común que se facilite la lectura de datos y mediciones empleando la notación científica, la cual se basa en el uso de potencias de base 10 y de los múltiplos y submúltiplos de una unidad. En los primeros se presenta una sucesión que aumenta en 103 cada vez, mientras que en los submúltiplos la sucesión se reduce en 10-3. Se definen de este modo los prefijos que aparecen en los cuadros 3 y 4 de la siguiente página. Para usar cualquier cantidad se debe tener en cuenta lo siguiente: • Separar los números grandes en grupos de tres antes del punto decimal, con un pequeño espacio entre ellos. Además, para los submúltiplos se requiere colocar un cero antes del punto decimal. • Los nombres de las unidades son comunes y se escriben siempre con minúscula, aunque se trate del nombre de un científico; en este caso sólo el símbolo se escribe en mayúscula. • En las unidades compuestas, los símbolos se combinan con un punto (·) para el producto y con una diagonal (/) para el cociente. Nunca se emplea más de una diagonal. • Cuando el símbolo del múltiplo o submúltiplo de una unidad involucra un exponente, éste se relaciona con toda la unidad representada; por ejemplo, cuando escribimos mm2 se refiere a (mm)2. • Se pueden emplear exponentes negativos. st-editorial.com

RECONOCES EL LENGUAJE TÉCNICO BÁSICO DE LA FÍSICA

• Los prefijos no se combinan, no es correcto que se registre, por ejemplo, un valor de tiempo de 1 Mµs (un megamicrosegundo) ya que esto es 1 × 106 × 10-6 = 1 s. • Los ángulos planos siempre se expresan en radianes (rad) y se emplea adicionalmente el símbolo de grados (°). • Como prefijo compuesto, el kilogramo se usa sólo en el denominador de una expresión. O sea, no es correcto expresar metros sobre miligramos (m/mg); lo correcto es megametro sobre kilogramo (Mm/kg). • Los símbolos nunca se pluralizan. Actividad grupal

competencias genéricas

4 5 8

competencias disciplinares

4 10

desempeño del estudiante

c

CUADRO 4. SUBMÚLTIPLOS

10-1 = 0.1 10-2 = 0.01 10-3 = 0.001 10-6 = 0.000 001 10-9 = 0.000 000 001 10-12 = 0.000 000 000 001 10-15 = 0.000 000 000 000 001

Prefijo de Símbolo la unidad decid centic milim microm nanon picop fentof

10-18 = 0.000 000 000 000 000 001

ato-

Factor para multiplicar la unidad

10-21 = 0.000 000 000 000 000 000 001 zepto10-24 = 0.000 000 000 000 000 000 000 001 iocto-

a z i

Reúnete con dos compañeros para llevar a cabo las actividades. Trabajen en su cuaderno. I. Dadas las siguientes cantidades, exprésenlas en notación científica e indiquen cuál es el prefijo a emplear para denotar una unidad asociada, tal como muestra a continuación: 15897000000 En primer término agrupamos considerando tres cifras: 15 897 000 000, y en base a esto podemos establecer que el exponente a emplear es nueve, pues tenemos tres grupos de tres cifras, es decir, la cifra se expresa como: 15.897 × 109, y el prefijo más adecuado es el asociado a tal exponente: giga, (G). Resuelvan:

1. 0.0000016789 2. 3875/0.100096 3. 318760540032×9403456 4. 323538/835323 5. 0.00000000000123415/53421 6. 9864532/1232425178992781262 7. 7612354×14598765432 II. Investiguen las siguientes magnitudes y exprésenlas en notación científica.

1. Longitud: a. Un año luz. b. Distancia media Tierra-Luna. c. Un lápiz nuevo. 2. Masa: a. Júpiter. b. Sol. c. Átomo de hidrógeno. 3. Tiempo: a. Edad de la Tierra. b. Oscilaciones de onda en el vacío, de la radiación emitida en la transición entre dos niveles de un átomo de criptón.

III. Realicen un cuadro comparativo que muestre la diferencia entre las unidades

Cigüeñal

fundamentales y las unidades derivadas del sistema inglés y del internacional. IV. Anexen al portafolio de evidencias la actividad desarrollada.

Transformación de unidades de un sistema a otro

Existe una estrecha relación entre los sistemas de unidades. Por eso es posible realizar conversiones y establecer equivalencias de las diversas variables de la física. En el cuadro 5 de la siguiente página se muestran los factores de conversión entre el sistema inglés (fps) y el Sistema Internacional de Unidades (si). Después del cuadro se presentan ejemplos de ejercicios de transformación de unidades entre el fps y el si que incluyen el empleo de unidades derivadas [Ej. 1, 2 y 3]. Cada uno te ayudará a reforzar los conceptos estudiados; además, la solución presenta una secuencia de análisis aplicable a la física y a otras ciencias. Debes tomar en cuenta que no siempre se puede seguir la misma secuencia, ya que cada rama tiene sus particularidades específicas. st-editorial.com

Pistones

FIGURA 3

En los motores de vehículos, los gases en combustión provocan una presión en los cilindros que empuja los pistones con determinada fuerza, que es transmitida hacia el cigüeñal y lo hacen girar debido al torque originado. 23

BLOQUE 1

En la web Para conocer más acerca de este tema visita st-editorial.com/enlaweb/fisica1 y consulta el link número 01

CUADRO 5. CONVERSIÓN DE UNIDADES DEL FPS AL SI fps Magnitud

Multiplica por

si

pulgada (in) Longitud

Masa

2.54 × 10-2

pie (ft)

3.048 × 10-1

metro (m)

milla (mi)

1.6093 × 103

milla náutica (mi)

1.852 × 103

libra masa (lbm)

4.5359 × 10-1

slug (lb-sec2/ft)

kilogramo (kg)

ton (2 000 lbm) Fuerza Área Volumen

9.0718 × 102

libra (lb)

4.4482

newton (N)

kip (1 000 lb) pulgada2 (in2)

4.4482 × 103 6.4516 × 10-4

metro2 (m2)

pie2 (ft2) pulgada3 (in3)

9.2903 × 10-2 1.6387 × 10-5

metro3 (m3)

pie3 (ft3)

2.8317 × 10-2

pie/segundo (ft/s) Velocidad

3.048 × 10-1

milla/hora (mi/h)

metro/segundo (m/s)

nudo (milla náutica/h)

Densidad o masa volumétrica Momento de una fuerza

kilómetro/hora (km/h)

pulgada/segundo2 (in/s2) pie/segundo (ft/s ) libra masa/pulgada3 (lbm/in3) 2

2

libra masa/pie (lbm/ft ) 3

3

libra-pulgada (lbin)

metro/segundo2 (m/s2) kilogramo/metro3 (kg/m3) newton-metro (N · m)

libra-pie (lbft) unidad térmica británica (btu)

Trabajo y energía

pie-libra (ft-lb)

joule (J)

pie-libre/minuto (ft-lb/min) caballo de potencia (hp = 550 ft-lb/s) atmósfera (14.7 lb/in ) libra/pie2

2.54 × 10-2 3.048 × 10-1 2.7680 × 104 16.018 0.11298 1.3558 1.3558 3.60 × 106 2.2597 × 10-2

watt (W)

745.70

2

Presión y esfuerzo libra/pulgada2 (psi)

1.6093

1.0551 × 103

kilowatt-hora (kW-h) Potencia

4.4704 × 10-1 5.1444 × 10-1

milla/hora (mi/h) Aceleración

14.594

newton/metro (N/m2 o Pa)

2

1.0133 × 105 6.8948 × 103 47.880

Ejemplo 1 Para apretar los pernos de una estructura es necesario aplicar un torque de 70 lb–in. ¿A cuánto se debe ajustar la herramienta si se encuentra calibrada en N · m?

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Torque: 70 lb–in. • Incógnita: equivalente del torque en unidades del si. b. ¿Qué vamos a hacer? Convertir el dato del valor del torque de un sistema de unidades a otro para poder ajustar la herramienta. 24

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RECONOCES EL LENGUAJE TÉCNICO BÁSICO DE LA FÍSICA

c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Aplicamos el factor de conversión correspondiente y buscamos la variable de torque o momento de una fuerza; para este caso debemos multiplicar por 0.11298 para obtener el torque en N · m.

¿Cuál es el volumen en litros de un tanque de almacenamiento que se puede aproximar a un cilindro de 3.25 ft de radio y 10.5 ft de altura?

Solución

d. Operaciones. M = 70 lb–in #

Ejemplo 3

a. ¿Con qué datos contamos? • Radio del cilindro: 3.25 ft. • Altura: 10.5 ft.

0.11298 N.m = 7.9086 N.m 1 lb–in

e. Resultado. La herramienta se debe ajustar a 7.909 N · m.

b. ¿Qué vamos a hacer? Transformar el volumen del recipiente de unidades del si a litros.

Ejemplo 2 ¿Cuál es la potencia en watts que genera el motor de un auto cuya especificación señala 150 hp?

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Potencia: 150 hp.

c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Convertimos los datos a metros y calculamos el volumen. Debemos recordar que para un cilindro, V = πr2h. Una vez que se tenga el volumen en m3, calculamos los litros. d. Operaciones.

b. ¿Qué vamos a hacer? Convertir el valor de potencia del fps al si. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Aplicamos el factor de conversión que según nuestro cuadro es de 745.7. d. Operaciones. P = 150 hp #

745.7 W. = 111 855 W 1 hp

r = 3.25 ft #

0.3048 m = 0.991 m 1 ft

h = 10.5 ft #

0.3048 m = 3.20 m 1 ft

V = π × (0.991)3 × 3.20 = 9.87 m3 e. Comprobación y resultado. En el cuadro de múltiplos y submúltiplos, 1 L equivale a 1 dm3. Éste es equivalente a la milésima parte de 1 m3. Entonces la capacidad del tanque es de 9 870 L.

e. Resultado. La especificación de potencia en el si es 112 kW.

Actividad individual

competencias genéricas

4

5

7

competencia disciplinar

7 10

desempeño del estudiante

b

c

Resuelve en tu cuaderno los problemas siguientes; para ello debes consultar el cuadro 5. Si empleas la calculadora, recuerda que debes ajustarla al modo científico (sci) o de ingeniería (eng) para obtener directamente las cantidades en notación científica. Puedes anotar aquí las respuestas.

1. Para el desarrollo del prototipo de un auto eléctrico, un grupo de estudiantes consiguió un panel

de instrumentos que marca la velocidad en millas por hora en un rango de 0 a 40 con incrementos de 5. ¿A cuánto equivale cada división en kilómetros por hora? 2. Cuando un carguero se encuentra a 12 km de un puerto empieza una tormenta que lo obliga a reducir su velocidad de 30 a 5 nudos. ¿Cuál es la velocidad en metros por segundo para tal condición? ¿Llegará en menos de una hora a un lugar seguro que está a 1 km de distancia del puerto? 3. Una chef prepara un asado especial de cordero y sigue una receta de su abuela, que indica las cantidades de algunos ingredientes en libras masa (lbm): cordero, 120; ajo, 1/4; cebolla, 20; sal, 3; hierbas finas, 1/2; tomate, 15; y arándanos, 3/4. Determina estas cantidades en kilogramos o en gramos. 4. Una motocicleta tiene una cilindrada de 1 L. ¿A cuánto corresponde este valor en centímetros cúbicos? 5. La grúa de un barco tiene un rótulo que indica que el peso máximo que puede soportar es de 10 000 kip. ¿A cuántos newtons se refiere el rótulo? ¿Cuánto es este valor en masa? st-editorial.com

25

Tema 4

Tema 5

Instrumentos de medición

Vectores

Considera el caso de dos competencias de atletismo, una en tu escuela y otra de carácter mundial, supongamos, los 100 m planos. ¿Qué diferencia puede haber? ¿Qué tipo de reloj emplearán los jueces? ¿En dónde se requiere mayor rigurosidad para la medición del tiempo?

Un instrumento de medición puede ser tan simple como una regla graduada o tan complejo como el sensor de la presión del aire en la llanta de un auto. Actualmente existen dos tipos de indicadores: Indicadores analógicos. Muestran el valor de la medición mediante una aguja o un indicador luminoso que se desplaza en una escala numerada. Cuando la manecilla o guía se ubica en una posición intermedia se establece el valor en forma aproximada, de tal manera que es determinante la habilidad de la persona que realiza la medición para poder expresar el valor con la mayor precisión posible. Indicadores digitales. Proporcionan los valores de la magnitud en números decimales, según la escala seleccionada. Aunque esto evita una lectura aproximada, podrían presentarse lecturas erróneas o incluso ocurrir desperfectos en los instrumentos. 26

Es común que algunas de las cualidades de los instrumentos de medición te puedan llegar a confundir; sin embargo, debes evitarlo tendiendo presente los siguiente: un instrumento es exacto cuando se realiza una medición y se obtiene con él, el valor real de la magnitud física; hablamos de la precisión de un instrumento cuando con él puedes realizar una medición y se presenta una variación mínima con respecto al valor real, y afirmaremos que tiene una sensibilidad específica cuando el instrumento es capaz de medir valores muy pequeños. En actividades de investigación, en la industria y en el comercio, se emplean diversos equipos e instrumentos de medición que deben ser calibrados en forma periódica, ya que es la única forma en que pueden asegurar la calidad dimensional de los procesos, productos y/o servicios que ofrecen. El proceso de calibración consiste en comparar los instrumentos st-editorial.com

RECONOCES EL LENGUAJE TÉCNICO BÁSICO DE LA FÍSICA

FIGURA 4

En casi todos los aviones y controles de vuelos de los aeropuertos se utilizan instrumentos muy sofisticados de medición con indicadores digitales.

de medición contra patrones previamente certificados por un organismo reconocido a nivel nacional para asegurar que cumplen con la precisión requerida y con ello, que las diferentes mediciones que se realizan sean repetibles y se tenga certeza sobre los valores que se obtienen. Recuerda: para cada actividad existe un instrumento de medición adecuado, y dependiendo de la precisión requerida es como debes seleccionarlo. Actividad grupal

competencias genéricas

4 5 8

competencias disciplinares

3 5

7

desempeños del estudiante

b

c

En grupos de tres o cuatro estudiantes, realicen lo siguiente. 1. Investiguen cuáles instrumentos son los que sirven para medir cada una de las siguientes magnitudes: energía, masa, peso, volumen, presión y temperatura. Investiguen también cómo funcionan y por qué son importantes estos instrumentos en la vida cotidiana. 2. Con la ayuda de una cinta métrica midan al menos cinco veces el perímetro de una botella de agua, registra el dato y posteriormente con un calibrador (pie de rey) midan en igual número de ocasiones el diámetro de la misma botella. Con la ayuda de una calculadora determinen a partir del perímetro, el diámetro de la botella. Realicen, en su cuaderno, un cuadro comparativo en el que indiquen los valores obtenidos y los errores que se tuvieron al tomar las lecturas. ¿Cuál es la precisión de cada instrumento? ¿Cuál es su sensibilidad?

Tipos de errores en las mediciones

El trabajo cotidiano en muchos ámbitos de nuestra vida requiere que midamos magnitudes. En general, decimos que medir es determinar en forma experimental el valor de una magnitud física con instrumentos o dispositivos adecuados. La investigación científica y muchos procesos productivos requieren de la medición de magnitudes en diversos fenómenos con métodos diferentes. Dependiendo del contexto en que nos encontremos y de las herramientas a nuestro alcance podremos realizar mediciones en forma directa o indirecta. Métodos directos de medición. Son aquellos que nos permiten tomar una lectura en forma directa al colocar un instrumento de medición, por ejemplo, cuando vas a una mercería para comprar un metro de listón, el encargado toma una cinta métrica y mide la longitud de listón que necesitas para cortarlo y entregártelo. En la elaboración st-editorial.com

El mundo que te rodea Por normatividad se realizan inspecciones a cada una de las estaciones de servicio que venden gasolina y diesel en nuestro país, debido a que los sistemas electrónicos que se emplean para surtir tales energéticos son alterados de tal manera que en algunas no se venden la cantidad de litros que marca el indicador de los despachadores.

27

BLOQUE 1

de bebidas gaseosas, en una etapa del proceso un termómetro y un manómetro miden la temperatura y la presión del gas carbónico que se agrega al líquido y mediante un dispositivo electrónico, se mantienen constantes tales valores. Métodos indirectos de medición. En otras situaciones se requiere una mayor certeza en cuanto a las lecturas obtenidas; por ello se dice que se emplean métodos indirectos. Una magnitud se mide en varias ocasiones para que mediante algunos cálculos se determine el valor buscado, esto sucede, por ejemplo, en los dispositivos que algunos autos traen instalados de fábrica para medir la presión del aire en las llantas: los sensores detectan el volumen de aire, el radio de la llanta y determinan la presión que existe, cuando los cálculos del procesador del auto establecen un valor de presión fuera del rango permitido para que el auto ruede con seguridad, emite la señal de llanta sin aire o “ponchada”. La exactitud de un instrumento está determinada por su capacidad de aproximación a una magnitud real de medida. En cambio, la precisión es la probabilidad de que se repita un mismo resultado. Es muy difícil que en un proceso de medición se obtenga un valor absoluto idéntico al de la magnitud física medida; siempre se presentará un error, que puede ser absoluto o relativo. Error absoluto. Corresponde a la diferencia entre la medida real de la magnitud (M) y la medida obtenida en forma experimental (m): FIGURA 5

Los errores sistemáticos son corregibles y entre ellos están, por ejemplo, los errores de calibración de escalas, el atraso o adelanto de un reloj de acuerdo con un ritmo conocido, etc.

1. ∆e = M – m Error relativo. Corresponde al cociente entre el error absoluto (∆e) y la magnitud

real de la magnitud (M). Se puede expresar como un porcentaje: 2. er = ∆e/M

Según sus causas, los errores pueden ser sistemáticos o accidentales: Errores sistemáticos. Tienen causas diversas y, aunque la mayoría de las veces son atribuidos a los instrumentos de medición, no siempre son éstos el origen [Ej. 4]. Estos errores pueden ser de diferentes tipos, entre ellos teórico, instrumental, ambiental y de legibilidad (figura 5). • Teórico: este error se asocia al modelo matemático que se emplee en el diseño o la calibración del instrumento de medición. También puede corresponder al modelo utilizado para los cálculos intermedios en una medición indirecta. • Instrumental: corresponde al instrumento de medición y es el fabricante quien indica cuál es la posibilidad de error máxima del dispositivo. • Ambiental: ocurre por el cambio del medio en el que se realiza la medición. Por esta razón, en algunos procesos industriales hay equipos que operan en habitaciones especiales donde se controlan las condiciones ambientales, como temperatura, humedad, luz, etc. • De legibilidad: se produce cuando el valor que se observa queda ubicado entre dos divisiones de la escala empleada, y la persona debe seleccionar el valor inferior o el superior. Errores accidentales. Están asociados al proceso de medición indirecta. Se observan cuando al repetir una medición no se obtiene el mismo valor. Este error se relaciona con las condiciones físicas y anímicas de la persona que toma la lectura o con las condiciones del entorno en que se realiza [Ej. 5]. La situación se corrige cuando se realizan varias lecturas por distintos operarios, se hacen los registros y se toma la media aritmética como el valor medido: suma de lecturas 3. x = total de lecturas Cuando ocurre que bajo las mismas circunstancias los diferentes operarios obtienen la misma lectura, se dice que las mediciones tienen buena precisión. 28

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Actividad grupal

competencias genéricas

4 8

competencias disciplinares

4 8

desempeños del estudiante

b

c

En su comunidad o estado, hagan una visita guiada a un laboratorio de física. Realicen un informe donde tomen en cuenta las características del laboratorio, el tipo de instrumentos con los que cuenta y para qué sirven (mencionen al menos cinco), las investigaciones que se llevan a cabo allí, las medidas de seguridad (o precautorias) que se toman para trabajar con dispositivos y equipos, etc. Si no tienen la posibilidad de ir, realicen la investigación en la biblioteca o en Internet. Anexen el informe al portafolio de evidencias.

Ejemplo 4 En una inspección sorpresa a una papelería por parte de la oficina central de protección al consumidor, la inspectora pide un tubo que contiene rollos de papel para forrar libros, y encuentra que cada uno de los diez pliegos tiene el mismo ancho pero las longitudes varían.

Pliego

1

Longitud 86 (cm)

2

3

4

5

6

87

85

87.5 85.5 88

7

8

9

85.5 86.5 84

10

85

El dueño de la papelería afirma que su cinta métrica es la que falló, pues hizo todos los cortes a 88 cm y cuando muestra su instrumento de medición, resulta ser un trozo de cuerda. ¿Cuál es el error en cada medición? ¿Es un error accidental o sistemático? ¿Multarías al dueño?

e. Resultado. El error es sistemático. Si consideramos el instrumento de medición, concluimos que el dueño merece una multa, pues no usó el instrumento correcto.

Ejemplo 5 En una fábrica de tubos de pvc se ha capacitado a los operarios para que verifiquen las dimensiones de cada sección de tubo que se fabrica en una máquina determinada. Si el producto presenta más de 10% de desviación en alguna de sus dimensiones, la persona que trabaja en esa máquina debe efectuar los ajustes necesarios para corregir tal situación. La máquina de Pedro fabrica un tubo de 10.0 cm de diámetro exterior, 2.0 mm de espesor y 3.00 m de longitud. ¿Qué ajustes debe realizar Pedro en su máquina si cuenta con los siguientes datos? Lectura

Diámetro exterior (cm)

Espesor (mm)

Longitud (m)

1

10.5

2.0

3.01

Solución

2

10.5

2.5

3.02

a. ¿Con qué datos contamos? • Longitudes de acuerdo al cuadro. • Longitud real: 88 cm.

3

10.1

1.8

2.99

4

10.1

2.0

2.97

5

10.0

1.9

3.01

b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular el error absoluto.

Solución

c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Empleamos la ecuación 1, que nos permite determinar el error absoluto en forma directa para cada uno de los rollos: ∆e = M – m.

a. ¿Con qué datos contamos? • Diámetro exterior: 10.0 cm. • Espesor: 2.0 mm. • Longitud: 3.00 m. • Error relativo permitido: 10%. • Mediciones obtenidas según el cuadro.

d. Operaciones. Pliego 1: ∆e = M – m = 88 – 86 = 2 cm. Pliego 2: ∆e = M – m = 88 – 87 = 1 cm... Al proceder de la misma manera con todos los pliegos, los errores encontrados son:

b. ¿Qué vamos a hacer? Determinar el valor asociado a las 5 lecturas y luego calcular el error absoluto.

Pliego

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Primero, aplicamos la ecuación 3, correspondiente a la media aritmética para calcular la dimensión medida: suma de lecturas x = total de lecturas

Error absoluto ∆e en cm

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2

1

3

0.5

2.5

0

2.5

1.5

4

3

Después, para determinar el error relativo, aplicamos la ecuación 1: εr = Δε/M 29

BLOQUE 1

• Diámetro exterior.

d. Operaciones. Valor medido: • Diámetro exterior. De =

Tf 10.24 – 10.0 fr = M = = 0.024 = 2.4% 10.0

10.5 + 10.5 + 10.1 + 10 = 10.24 cm 5

• Espesor. Tf 2.22 – 2.0 fr = M = = 0.11 = 11% 2.0

• Espesor. e=

2.1 + 2.4 + 2.2 + 2.3 + 2.1 = 2.22 mm 5

• Longitud. Tf 3.00 – 3.00 fr = M = = 0 = 0% 3.00

• Longitud. L=

3.01 + 3.02 + 2.99 + 2.97 + 3.01 = 3.00 mm 5

e. Resultado. La dimensión que presenta una desviación es el espesor: 11%. Este es el único ajuste que debe realizar el operario.

Error relativo:

Actividad individual

5

competencia genérica

competencias disciplinares

5 10

desempeños del estudiante

b

c

I. Resuelve los siguientes problemas; para ello, repasa el procedimiento seguido en los ejemplos anteriores y consulta las ecuaciones de la 1 a la 3 (pág. 28).

1. En un experimento se mide la deformación de un resorte cuando se le aplica una fuerza específica. Este proceso se repite 12 veces incrementando en forma proporcional la magnitud de la fuerza para calcular la rigidez elástica del resorte (k). Los valores calculados son los siguientes:

Resorte Rigidez elástica (k) (N/m)

1

2

25.1

3

23.2

24.8

4 25.3

5 24.7

6 25.2

7

8

24.8

9

24.7

25.3

10

11

12

24.9

25.2

25.1

A partir de estos datos determina el valor de la constante k.

2. Para verificar en forma experimental los errores que se cometen al usar un instrumento de medición, una profesora de física escoge al azar a 10 de sus estudiantes y les proporciona un flexómetro y una regla de 1 m graduada en centímetros. Cada estudiante mide con ambos instrumentos la rama de un árbol, cuya longitud real es de 123.7 cm. Estudiante Longitud (cm) usando la regla Longitud (cm) usando el flexómetro

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

124

123.5

124

123

123

123.5

124

123

123

124

123.5

123.8

123.8

123.5

123.8

123.9

123.5

123.6

123.5

123.8

Calcula el error absoluto y el error relativo que cometió cada estudiante al tomar la medida de la rama del árbol.

II. Anexa esta actividad al portafolio de evidencias. 30

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Tema 5 Vectores

¿Qué se utiliza para representar la acción de la fuerza? Ahora, supón que eres el piloto de un avión: ¿cómo estableces la ruta a seguir en un viaje de un continente a otro? Además: ¿por qué en el tablero de un auto se puede leer la rapidez a la que viaja pero no se conoce su dirección precisa? ¿Sabes qué es un vector y cómo se emplea?

Sabemos que en todo proceso de medición se requiere de un sistema de unidades compuesto por unidades fundamentales y unidades derivadas. Las magnitudes –valor numérico cuantitativo referente a alguna propiedad de un cuerpo, como la longitud o el área– son de dos tipos: escalares y vectoriales. Magnitudes escalares. Como su nombre lo indica, requieren sólo de una escala para especificar su valor y no están relacionadas con los conceptos de dirección o sentido. La energía, la masa, el peso, el volumen, la presión atmosférica y la temperatura, entre otras, son magnitudes escalares. Algunos ejemplos son: el registro de temperatura en un día caluroso, de 39°C; la energía que te proporciona una barra de chocolate, 54 kJ; la longitud del pie st-editorial.com

de una persona, de 24.5 cm, para los efectos de la talla del calzado. Magnitudes vectoriales. Antes de referirnos a las magnitudes vectoriales es necesario definir que un vector es un segmento de recta dirigido en el espacio, que siempre requiere la especificación de un punto de aplicación, una magnitud, una dirección y un sentido. Las magnitudes vectoriales requieren de un vector para quedar completamente especificadas, y además de expresar la cantidad numérica es necesario precisar la forma en que está actuando la variable, por lo que hay que indicar la dirección y el sentido. Por ejemplo, el viento se desplaza a 15 km/h con dirección sureste; una persona camina 10 km hacia el norte. 31

BLOQUE 1

T

FIGURA 6

FIGURA 7

El barómetro es un instrumento que se emplea para medir la presión atmosférica, que es una magnitud escalar.

Actividad grupal

competencias genéricas

4 8

Cuando una persona se lanza en bungee se crea en el cable una fuerza de tensión, que es una cantidad vectorial.

competencias disciplinares

3 4

desempeño del estudiante

d

En grupos de tres o cuatro estudiantes realicen las siguientes actividades:

1. Investiguen qué es el peso y qué es la masa de un cuerpo, qué es una fuerza eléctrica y qué es una resistencia eléctrica. Desarollen, en su cuaderno, un cuadro en el que comparen cada una de estas magnitudes e indiquen cuáles son escalares y cuáles vectoriales, cómo se originan, en qué se asemejan, en qué difieren y qué tienen en común. 2.Busquen las cantidades vectoriales de mayor uso en la física, ¿cuáles de ellas estudiarán en esta asignatura? Revisen el temario que les proporcionó el profesor al inicio del curso, ¿por qué son importantes? Realicen un reporte y discutan en el aula sobre la importancia de conocer una herramienta analítica de este tipo.

Características Un vector es un conjunto ordenado de números reales –o complejos– que definen una magnitud y una dirección a la variable física a la que se asocian; su representación gráfica se vincula con un segmento de recta dirigido, que puede ser ubicado en un plano cartesiano o bien en un espacio de tres dimensiones. La nomenclatura o simbología para representar una cantidad vectorial consiste en la representación por medio de una letra mayúscula con una flecha encima ( A ), o una letra mayúscula en negrita (A). La magnitud se expresa como | A | o como A. En este tema emplearemos la negrita para indicar el vector y la cursiva para indicar su magnitud. Observa en el gráfico 1 un vector cualquiera, donde se distinguen los elementos que lo caracterizan.

Glosario 32

GRÁFICO 1 A A

Origen

Extremo

q

Origen o punto de aplicación. Es donde inicia la recta que representa a la cantidad vectorial. Extremo. Punto final de la recta. Se debe colocar una punta de flecha en el extremo de la recta. Magnitud o módulo. Indica la longitud total del vector. Depende de la distancia entre el origen y el extremo.

Cantidad vectorial. Cantidad asociada a una variable física que requiere de magnitud y dirección para su descripción.

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Dirección. Se mide en sentido de movimiento opuesto al de

las agujas del reloj; se expresa mediante el ángulo q.

Cuando hay dos o más vectores, se recomienda definir un sistema de coordenadas rectangulares como referencia, para representarlos gráficamente, y para hacer el análisis se toma en cuenta el sentido o la dirección de cada vector. En el gráfico 2 se puede observar que mientras los vectores P y Q tienen sentido positivo, el vector S tiene sentido negativo, opuesto al de P.

Suma

Las coordenadas cartesianas permiten describir vectores a partir de distintos ejes. • Si es sólo un eje, nos referimos al vector en una recta. • Si son dos ejes, los vectores se ubican en un plano. • Si son tres ejes, las magnitudes vectoriales son descritas en un espacio. Los sistemas de vectores, según su ubicación en el plano o dimensión, se pueden clasificar en: • Coplanares. • No coplanares. • Deslizantes. • Libres. • Colineales. • Concurrentes.

FIGURA 8

La ilustración vectorial utiliza vectores para generar figuras.

GRÁFICO 2

y

P α

q

S

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Q x

GRÁFICO 3

y P

Descomposición y composición rectangular de vectores por métodos gráficos y analíticos

Consideremos ahora un sistema coordenado rectangular de referencia (scr) en el plano, que tiene dos dimensiones: el eje horizontal (x) se llama abscisa, el eje vertical (y) se denomina ordenada y a la intersección de ambos ejes se le conoce como origen (o). En el gráfico 3 se representa a escala, y a partir del origen, un vector cuya magnitud es de 5 unidades, con una orientación cualquiera sobre el cuadrante positivo. Para conocer las componentes del vector, se traza una línea paralela a cada uno de los ejes, de tal manera que cada una pase por el extremo del vector (punta de flecha) (gráfico 4). ¿Cuánto valen las componentes del vector en el sistema de referencia empleado? Para responder, procedemos a medir de acuerdo a la escala. La longitud de los segmentos ox1 y oy1 es de 3.9 unidades para la horizontal y de 3.1 unidades para la vertical, tal como se muestra en el gráfico 5. En el análisis anterior se pasó por alto la dirección específica del vector y que éste no se ubica en el origen del sistema de referencia. Aunque estos puntos son importantes, no complican la descomposición del sistema de vectores. En la siguiente página puedes ver la clasificación de los vectores.

α

P=5u x

o

GRÁFICO 4

y P P=5u x

o

GRÁFICO 5

y P

y1 3.1 u

P=5u o

3.9 u

x1

x

33

BLOQUE 1

Infográfico 3 Clasificación de los vectores

1

2

Vectores coplanares Todos los elementos se encuentran en un mismo plano.

Vectores no coplanares Son los que se encuentran en distintos planos. El gráfico muestra el vector Z en el eje e3, el cual no es coplanar con los vectores P, Q y R ya que estos se hallan en otro plano definido por los ejes e1 y e2. Es, entonces, un sistema no coplanar. R

e2 Q

P R

Q

P

e1 Z e3

3

Vectores deslizantes Son las magnitudes que pueden moverse en la misma dirección o línea de acción cuando se ubican sobre un cuerpo. Una fuerza que actúa sobre un cuerpo y lo desplaza en línea recta es un ejemplo de vector deslizante.

4

Vectores libres En estos vectores se especifica uno de sus dos componentes, ya sea el extremo o el origen, sin importar su ubicación en el espacio.

A

5

Vectores colineales Este sistema está formado por vectores que se encuentran ubicados sobre una misma línea de acción, pero no necesariamente comparten la misma dirección. Los vectores A, B y C son colineales entre sí, mientras que D y E, además de ser colineales entre ellos, son paralelos a los primeros.

6

Vectores concurrentes Todas las magnitudes que intervienen se ubican sobre un mismo punto sin importar su dirección.

e2

e2

T S

C E A

B

R Q

D e1

P e1

34

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Actividad grupal

competencias genéricas

4 5 8

competencias disciplinares

1 4 6 10

desempeño del estudiante

d

I. En equipos de tres integrantes observen detenidamente cada una de las siguientes imágenes.

II. Para cada una de ellas realicen lo siguiente:

1. Identifiquen los vectores actuantes. 2. Represéntenlas en forma gráfica, indicando dirección y punto de aplicación. 3. Señalen los tipos de vectores presentes. 4. Indiquen la magnitud que tienen. 5. Anoten sus conclusiones. III. Anexen esta actividad a su portafolio de evidencias.

Toma el vector de 5 unidades, coloca el origen en la coordenada (2, 3) y orienta el vector con una dirección de 30° medida con respecto a la horizontal en la dirección opuesta al giro de las manillas del reloj (gráfico 6). Para el siguiente caso se trazan dos rectas paralelas a cada uno de los ejes de coordenadas (gráfico 7). La medición con respecto a la escala resulta en los valores de 4.3 unidades para la horizontal y 2.5 unidades para la vertical. Se puede obtener el mismo resultado empleando el método analítico de descomposición rectangular. En éste se emplean las funciones trigonométricas básicas de seno y coseno para analizar un vector a partir de sus componentes rectangulares. No es necesario conocer con precisión la ubicación del origen del vector en el sistema de referencia. Sea el vector A con una dirección q medida con respecto al eje x, y una magnitud de A unidades, que se coloca en el origen de un sistema de referencia x,y (gráfico 8). De acuerdo a la trigonometría, la función coseno de un ángulo proporciona el valor del cateto adyacente del triángulo rectángulo con respecto a la hipotenusa. Es decir, define la componente horizontal del vector, cuando el ángulo se mide respecto a dicho eje. En el gráfico 9, la función seno indica el valor del cateto opuesto del triángulo rectángulo con respecto a la hipotenusa, por lo que determina la magnitud de la componente vertical. Si la hipotenusa del triángulo formado es de A unidades, las componentes del vector son:

GRÁFICO 6 y V

3

o

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x

2

GRÁFICO 7 y V 5 3

O

GRÁFICO 8

2.5 u

30° 4.3 u

(2, 3)

2

x

6

y A A

4. Ax = A cos q 5. Ay = A sen q

30°

(2, 3)

q o

x

35

BLOQUE 1

GRÁFICO 9

Observa que si el vector no se coloca en el origen del sistema de referencia y se respeta su magnitud y dirección, las componentes toman el mismo valor. En el caso de que el ángulo q se mida con respecto al eje y, como se ilustra en el gráfico 10, el uso correcto de las funciones trigonométricas nos da los siguientes valores para las componentes del vector:

y A

A

Ay

q o

x

Ax

4 a. Ax = A sen q 5 a. Ay = A cos q.

GRÁFICO 10

Mediante la comparación de estas igualdades con las dos anteriores se determina que el valor de las componentes se puede obtener al considerar la dirección, ya sea con el eje horizontal o respecto al eje vertical. Sólo es necesario invertir el orden de las funciones trigonométricas para que se obtenga la componente respectiva en la horizontal o en la vertical (cuadro 6).

y A

CUADRO 6. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA A EMPLEAR EN EL CÁLCULO ANALÍTICO DE COMPONENTES

A

Ay

q o

x

Ax

GRÁFICO 11

3u (0,2)

4u

GRÁFICO 12

(1,0)

B (5,0)

x

y A

(0,5)

3u (0,2)

4u 0

36

Horizontal

cos q

sen q

Vertical

sen q

cos q

Composición gráfica y analítica de un vector en un sistema de referencia rectangular

A

0

Componente en el eje y

Si un vector puede ser descompuesto en sus proyecciones horizontal y vertical, también podemos proceder en forma inversa, pero antes debemos considerar que la composición involucra leyes para los métodos gráficos. Vayamos por partes e iniciemos con la composición simple de un vector de acuerdo a las proyecciones horizontal y vertical.

y (0,5)

Componente en el eje x

Ángulo medido con la

(1,0)

B (5,0)

x

Sean dos vectores que se dirigen exactamente en la dirección de los ejes x y y respectivamente del scr. El vector A tiene una magnitud de 3 unidades y el vector B, 4 unidades; el primer vector se coloca en el punto (0, 2) y el segundo en el punto (1, 0) (gráfico 11). Se trazan dos líneas paralelas para cada vector, que a la vez son perpendiculares a los vectores considerados (gráfico 12). La distancia que las separa corresponde a su magnitud. Cada línea horizontal se cruza con una línea vertical. Cada punto de intersección corresponde al origen y al extremo del vector que se ha compuesto (gráfico 13). Luego se unen mediante una línea recta para representar el vector composición; su magnitud corresponde a la longitud de la línea trazada según la escala. La dirección se mide con un transportador. La magnitud es de 5 unidades y la dirección de 37° con respecto a la horizontal. Procedamos a realizar ahora el ejercicio. ¿Cuánto difiere de los valores numéricos presentados antes? ¿Puedes calcular el error relativo? ¿Cómo puedes obtener un resultado más preciso? Al tratarse de componentes rectangulares, se recurre a la composición analítica: el vector composición forma un triángulo rectángulo y entonces, de acuerdo al teorema de Pitágoras, la magnitud es: st-editorial.com

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6. Vc = V2cx + V2cy

GRÁFICO 13

Y la dirección del vector se obtiene así:

y Vc

A

(0,5)

Vc = 5 u

Vcy 7. q = arctan c m Vcx

3u

(0,2)

37° B

4u

De las dos fórmulas anteriores se deduce que:

0

(1,0)

x

(5,0)

8. Vcx = Vc cos q 9. Vcy = Vc sen q

y

GRÁFICO 14

El resultado es justamente como ya se había determinado con el método gráfico explicado anteriormente.

B 4u

Composición gráfica y analítica de dos o más vectores en un sistema de referencia rectangular

¿Cómo se hace el análisis si hay dos o más vectores? ¿Cómo se efectúa la composición para tener un vector equivalente? Para la composición gráfica de dos vectores se emplean la ley del paralelogramo y la ley del triángulo. Ley del paralelogramo. Esta ley señala que el vector composición (o resultante) de un par de vectores se obtiene al formar con ellos un paralelogramo. La diagonal de tal polígono es el vector buscado. Sean los vectores A y B, cada uno con la dirección y la magnitud indicadas en el gráfico 14. Para formar el paralelogramo, se traza una línea paralela a cada uno de los vectores hasta que se intercepten. Luego se une el origen con el punto que interseca la línea. La diagonal formada es el vector composición o la resultante para la suma vectorial de A y B. La magnitud y la dirección se obtienen directamente del gráfico. En este caso es de 10.2 unidades con una dirección q = 32°, medido con respecto al eje horizontal x (gráfico 15). Cuando se presentan más de dos vectores, como P, Q y R (gráfico 16), el trazo se hace considerando dos vectores a la vez. Primero se componen P y Q juntos. El vector resultante se compone a la vez con R. La última diagonal que se traza es el vector composición para los tres vectores considerados (gráfico 17). Ley del triángulo. La ley del triángulo indica que el vector composición para un par de vectores corresponde a la suma vectorial de éstos. Se obtiene colocando el origen del segundo en el extremo final del primero; la línea que une el origen del primer vector con el extremo final del segundo vector corresponde a la línea de acción del vector composición. El gráfico 18 ilustra este postulado. Se consideran de nuevo los vectores A y B; el resultado obtenido es el mismo. Para dos vectores el procedimiento es similar al de la regla del paralelogramo: se toman dos vectores y se obtiene un vector resultante. A éste se agrega el siguiente vector y se obtiene una nueva resultante. Se continúa de esta manera hasta incluir todos los vectores de la composición. Para obtener un resultado con un error más reducido podemos emplear los métodos de composición analítica en dos formas: • La construcción gráfica para resolver triángulos empleando las relaciones trigonométricas conocidas como ley de senos y ley de cosenos. • La descomposición en componentes horizontales y verticales para efectuar la suma vectorial. st-editorial.com

7u

60°

A

15°

x

y

GRÁFICO 15

C B 4u 32°

60°

7u A

15°

x

y

GRÁFICO 16

P R

45° Q 30°

115° x

y

GRÁFICO 17

VC

R

V1

P Q

GRÁFICO 18

x

y C 10.2 u 32° 15°

B 4u 7u

60° A

x

37

BLOQUE 1

Composición geométrica-analítica: ley de senos y ley de cosenos. Considera los vectores A y B con las magnitudes y direcciones indicadas en el gráfico 19. Para obtener una solución más precisa construimos primero un triángulo siguiendo la ley del mismo nombre, y en lugar de tomar los valores del vector composición en forma directa, procedemos a aplicar la ley de los cosenos para obtener la magnitud, y la ley de los senos para obtener la dirección con respecto al vector de referencia A (gráfico 20).

10. c = a2 + b2 ! 2ab cos q FIGURA 9

Los egipcios realizaron grandes construcciones como las pirámides empleando relaciones analíticas similares a la ley de senos y ley de cosenos.

Toma en cuenta que en la ecuación aparece el símbolo (±) y en la sustitución se emplea el signo positivo (+) porque el ángulo es menor que 90°; si el ángulo (o el complemento del ángulo) fuera mayor que 90 se emplea el signo negativo (–). 11.

GRÁFICO 19

La magnitud buscada es: c = 62 + 32 + 2 # 6 # 3 # cos 25c = 8.81 unidades y la dirección con respecto al vector A es:

y B 3u

6u

45°

GRÁFICO 20

x

y

γ

α b 25°

Vector

20°

x

Componente horizontal (eje x)

Componente vertical (eje y)

A

6 cos 20° = 5.63

6 sen 20° = 2.05

B

3 cos 45° = 2.12

3 sen 45° = 2.12

C=A+B

7.76

4.17

La magnitud del vector resultante es: c = ^7.76h2 + ^4.17h2 = 8.81 unidades

y B 3u 45°

38

3sen155c 8.81 l = 8.27c

Si hay más de dos vectores es preferible realizar la composición por adición de componentes escalares. Composición analítica por suma de componentes escalares. Recuerda que la suma es una composición vectorial. Para efectuarla no es indispensable dibujar los vectores en un sistema coordenado de referencia [Ej. 6, 7 y 8] . Analicemos la composición geométrica analítica con los vectores A y B (gráfico 21). De acuerdo a las reglas de descomposición tenemos:

a

β

GRÁFICO 21

b = sen- 1 b

A

20°

c

sena senb senc a = b = c

6u 20°

Y la dirección con respecto al eje horizontal x es:

4.17 q = arctan b 7.76 l = 28.27c

A

x

¿Notas alguna diferencia en los resultados? Seguro que sí. ¿Por qué? Pues porque al emplear la ley de los cosenos y la ley de los senos hemos calculado la dirección con respecto a uno de los vectores, mientras que con este método indicamos la dirección con respecto a uno de los ejes de referencia: el horizontal. El valor del ángulo q obtenido aquí, corresponde a la suma del ángulo de 20° de la dirección del vector A con el eje x, más el ángulo de 8.27° del vector composición con respecto al vector A: st-editorial.com

RECONOCES EL LENGUAJE TÉCNICO BÁSICO DE LA FÍSICA

q = 20° + ß = 20° + 8.27° = 28.27°.

GRÁFICO 22

y

Es común que la dirección del vector resultante se exprese con respecto a uno de los ejes de referencia, el eje x por regla general. En la mayoría de las aplicaciones se calculan la magnitud y la dirección del vector, aunque no siempre se requiere; es suficiente con expresar el vector en sus componentes rectangulares. Para ello, se emplean los vectores unitarios. Como su nombre lo indica, tienen una magnitud correspondiente a la unidad y su dirección se asocia con cada uno de los ejes de referencia. Para el eje x se designa i, y para el eje y se denomina j. La forma vectorial de la resultante es: c = 7.76i + 4.17j unidades

S VC

Q

y

c = 8.81 unidades a 28.27° respecto a la horizontal (eje x).

Vector

Componente horizontal (eje x)

P x

GRÁFICO 23

Para tres o más vectores, debes seguir el mismo procedimiento y considerar la colocación de un vector tras otro, respetando su dirección, sumando los dos primeros vectores; el resultado lo sumas al tercero, la resultante al cuarto y así sucesivamente. Sean los vectores P, Q, R y S con las características representadas en el gráfico 22. La solución gráfica la efectuaremos justo como hemos descrito. La representación del gráfico 23 que hemos realizado se conoce como polígono vectorial, y como no siempre contamos con todos los instrumentos para un trazo adecuado y preciso tenemos que la solución analítica es la siguiente:

R

Q 5u 3u

30°

60° R P 45° 2u 30°

x

4u S

Componente vertical (eje y)

P

2 cos 30° = 1.73205

2 sen 30° = 1

Q

5 cos 60° = 2.5

5 sen 60° = 4.33012

R

1cos 45° = 0.70710

1 sen 45° = 0.70710

S

4 cos 210° = – 3.46410

4 sen 210° = – 2

VR = P + Q + R + S

1.47505

4.03723

El vector resultante es: VR = 1.47505i + 4.03723j unidades

Con VR = 4.29826 unidades a 69.9295° respecto a la horizontal (eje x)

Ejemplo 6 Obtén el vector composición en forma gráfica y analítica para cada uno de los vectores. Ax = 7 u, Ay = 3.5 u. Bx = 6 u, By = 5 u.

Vectores unitarios. Todo vector cuya magnitud es la unidad para un sistema de referencia cartesiano (x, y, z); se le designa i para el eje x, j para el eje y, y k para el eje z. st-editorial.com

Glosario 39

BLOQUE 1

Solución a. ¿Con qué datos contamos? Las componentes horizontal y vertical de cuatro vectores. b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular la magnitud y la dirección del vector composición para cada caso. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Graficamos los ejes de referencia y colocamos el origen de cada componente. Trazamos las perpendiculares a los ejes para obtener el punto de intersección que define la magnitud del vector composición. Medimos la longitud y la dirección en los gráficos 24 y 25. En la forma analítica aplicamos el teorema de Pitágoras para obtener la magnitud y dirección del vector resultante (ecuaciones 6 y 7). d. Gráficos y operaciones. La composición analítica nos indica que: A=

7 2 + 3.5 2 = 7.82 u

En este ejemplo habrás notado que la solución analítica muestra componentes negativas en el segundo caso. ¿Qué significa el signo? El signo señala que el ángulo se mide con respecto a la horizontal en el sentido del movimiento de las manillas del reloj. Además, toma en cuenta que la diferencia entre el método gráfico y el método analítico es mínima cuando somos lo suficientemente hábiles para dibujar los vectores.

Ejemplo 7 Un vector actúa sobre el punto Q (1,1) de un sistema coordenado de referencia y su magnitud es de 3.5 unidades; asimismo, la componente horizontal es de 2.2 unidades. Determina la dirección y la magnitud de la componente vertical.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? •El origen del vector se ubica en Q (1,1). • La magnitud es de 3.5 unidades. • La componente horizontal tiene una magnitud de 2.2 unidades.

Y la dirección es: b. ¿Qué vamos a hacer? Buscar la dirección del vector y su componente vertical.

3.5 i = arctan a 7 k = 26.56c GRÁFICO 24

y A 7.7 u

Ay = 3.5 u

q = 27°

x

Ax = 7 u

GRÁFICO 25

y

Bx = -6 u

x

q = 40° 7.9 u

By = -5 u

c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Para la solución gráfica trazamos a partir del origen (punto Q) la componente horizontal. Luego, en el extremo de ésta dibujamos una línea perpendicular, paralela al eje coordenado. En el origen colocamos el vector de 3.5 unidades de magnitud; trazamos la línea que lo representa de manera que intercepte a la perpendicular trazada anteriormente. De este modo obtenemos la dirección y la magnitud de la componente vertical. La solución analítica requiere la función coseno para determinar la dirección y así calcularemos la magnitud de la componente vertical (gráfico 26). d. Gráficos y operaciones. GRÁFICO 26

y

La composición analítica nos indica que: B=

^- 6h2 + ^- 5h2

Vy = 2.7 u

= 7.81 u

Y la dirección es: 3.5 i = arctan a 7 k = 26.56c 40

3.5 u 52° Q

Vx = 2.2 u x

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RECONOCES EL LENGUAJE TÉCNICO BÁSICO DE LA FÍSICA

magnitud y la dirección del vector resultante (gráfico 28).

Al medir la longitud de la línea que intercepta a los vectores conocidos, la componente vertical tiene una magnitud de 2.7 unidades y una dirección de 52°.

GRÁFICO 27

Para la solución analítica partimos de la ecuación 8 para despejar la dirección: cosi =

vx 2.2 k = 51.06c & i = arcos a v 3.5

30 u

28 u

35°

y la componente vertical es: vy = 3.5 sen 51.05° = 2.722 u.

20°

27 u

10° 25 u

e. Resultado. La respuesta analítica es q = 51° y v y = 2.72 unidades. GRÁFICO 28

Ejemplo 8

28 u

v = 23 u

20°

Encuentra la resultante en forma gráfica para el sistema de vectores del gráfico 27.

30 u

92° 25 u

35°

Solución

27 u

a. ¿Con qué datos contamos? Se muestran en el gráfico 27. b. ¿Qué vamos a hacer? Determinar la resultante para los cuatro vectores.

d. Resultado. La resultante tiene una magnitud de 23 unidades y una dirección de 92° con respecto a la horizontal medida en el sentido de giro opuesto al de las manillas del reloj.

c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Para realizar la solución gráfica formamos un polígono vectorial y medimos directamente la

Actividad grupal

10°

competencias genéricas

4 6 8

competencias disciplinares

3 6

desempeño del estudiante

d

I. Las características básicas de un vector son origen, magnitud, dirección y sentido. Reunidos en equipos realicen lo siguiente en su cuaderno:

1. Consideren los vectores P y Q con una magnitud cualquiera no mayor a 5 unidades y una dirección que los ubica en el primer cuadrante de un sistema de referencia x, y.

2. Tomen un vector S de 3 unidades de magnitud con una dirección de 210°, y efectúen la suma de los vectores en forma analítica.

3. Notarán que en la adición de componentes no agregamos signo alguno, resulta sufi-

ciente respetar la dirección que se marca para obtener un signo negativo en el resultado parcial: no hay ninguna necesidad de hablar de un “sentido”, ya que la dirección te indica la orientación completa del vector y la ubicación de su línea de acción respecto a una referencia. 4. ¿Es correcta la última afirmación? Discutan en el grupo y elaboren conclusiones sobre la necesidad de definir un vector con magnitud, dirección y sentido.

II. Anexen esta actividad al portafolio de evidencias.

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41

BLOQUE 1

Actividad individual

competencias genéricas

1

5

competencia disciplinar

7

desempeño del estudiante

d

I. Otra herramienta de cálculo para vectores y escalares son los tensores. Investiga sobre sus características y cuáles son las aplicaciones prácticas del cálculo tensorial en la física. ¿Tiene relación con los sistemas de coordenadas? Realiza en hojas blancas, un informe de tu investigación e ilustra con ejemplos.

II. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. 1. V  erifica el resultado del ejemplo 9 trazando un polígono que tenga un orden diferente

al que hemos sugerido. Comprueba el resultado en forma analítica con la suma de componentes rectangulares para cada vector. 2. Determina las componentes rectangulares de un vector cuya magnitud es de 35 cm y que tiene una dirección de 65° con respecto al eje vertical de un sistema coordenado de referencia. 3. Determina la magnitud y la dirección para cada uno de los siguientes vectores y represéntalos gráficamente. ¿Qué tienen en común? Vector

Componente horizontal (m)

Componente vertical (m)

A

–8

12

B

9

6

C

4

–6

4. Realiza la composición gráfica de los tres vectores del ejercicio anterior ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la resultante?

5. Emplea las leyes del paralelogramo, de senos y de cosenos para realizar la composición gráfica y analítica de los vectores P y Q. El primero tiene una magnitud de 12.5 cm y su dirección es de 45° medido con respecto a la horizontal en el sentido de giro de las agujas del reloj. La magnitud del segundo vector es de 17.5 cm y su dirección es de 235° medido en la misma forma que el primero. 6. Determina en forma gráfica la resultante de los siguientes vectores. Verifica analíticamente el resultado.

42

Dirección (°) con respecto al eje x

Vector

Magnitud (cm)

A

6.75

15

B

8.5

270

C

12.25

125

D

5.15

150

E

2.5

290

F

9.35

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RECONOCES EL LENGUAJE TÉCNICO BÁSICO DE LA FÍSICA

Lee LosLos sesenta… sesenta... Corre el año 2060, la humanidad ha sido derrotada por ella misma, la naturaleza no se adaptó en tan pocas décadas a los cambios del medio ambiente. La tecnología desarrollada por los grandes científicos de las últimos años brinda toda clase de comodidades, es suficiente con ingresar a la Red para trabajar desde la comodidad de la sala de tu casa; cuando necesitas realizar alguna actividad extraordinaria fuera de tu domicilio, subes al transbordador personal, defines los vectores de posición de tu ruta y listo; no hay calles, avenidas o carreteras, todo eso desapareció hace 40 años. Cuando cumples con tus actividades, preparas tu retorno avisando desde tu centro de comunicaciones personal al centro de menaje de tu casa, que ajuste la temperatura de las habitaciones, ilumine en forma tenue la sala, el garage y la tina, para que se prepare en forma automática un baño de burbujas relajantes para tu arribo. La merienda estará lista en el centro de alimentos de la cocina, si no quieres salir es suficiente con solicitar el envío a casa de todo lo necesario

para disfrutar de la estancia en el propio domicilio, ¡maravilloso! Si no fuera por las restricciones… y esos pequeños detalles que en ocasiones tornan la vida incomoda, ¡ah! el siglo pasado… sí, el tiempo se fue como el agua que se desperdició y que ahora se fabrica: ya no hay fuentes naturales, se agotaron o se contaminaron, los vectores epidemiológicos más terribles han provocado el deceso de millones de seres vivos, no hay especies vegetales, los alimentos de este tipo son simples preparados químicos, los animales caseros desaparecieron como tales, en su lugar hay pequeños robots, y se deben usar vestimentas especiales para salir de las casas que se encuentran aisladas. Para todo hay protocolos, se debe esperar un tiempo razonable antes de abandonar los transportes; para entrar a edificios de tramites gubernamentales o las instalaciones fabriles se debe cumplir con la identificación positiva y la desinfección corporal, quién diría que en los espacios subterráneos se crearía una infraestructura industrial en donde

se realizan actividades antes inimaginables, desde la cría de aves, peces y ganado para consumo “humano”, hasta bebidas, ropa, robots, etc. Algunos afortunados ya pueden caminar en la nueva atmósfera sin la molesta indumentaria, se dice que son los humanos del nuevo milenio, aunque en realidad son el resultado de un experimento genético exitoso. El ser humano ha mutado lo suficiente para respirar el aire que ahora es un compuesto de gases venosos para nosotros, los del último eslabón, tengo 97 años y ya no puedo correr aunque todavía camino y me gusta mostrar a los jóvenes de hoy las imágenes de las playas, los bosques, las grandes ciudades amuralladas que fueron derruidas por el cambio climático, -70° C de noviembre a marzo o bien 80° C de abril a octubre sin valores intermedios, y algunos temporales ocasionales que descomponen la tierra por lo tóxico de la “lluvia”, en fin, qué tiempos, si los físicos hubieran desarrollado métodos seguros para crear tecnología sin acabar con la naturaleza y el ser humano hubiera dedicado un poco de su tiempo a cuidar de sí mismo… Si Dios existiera… Jorge Díaz

De manera individual, responde las siguientes preguntas.

1. ¿Cómo imaginas el mundo en el futuro? 2. ¿Qué acciones has realizado para preservar de la naturaleza? 3. ¿La ciencia y la tecnología avanzan cuidando de la naturaleza y del ser humano? Justifica tu respuesta. 4. ¿Es un atentado a la vida experimentar con seres humanos para mutarlos genéticamente?, ¿por qué? 5. ¿Consideras que el ser humano requiere de un apoyo divino para progresar? Justifica tu respuesta.

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Evaluación sumativa Heteroevaluación I. Pide a tu profesor que aplique la siguiente rúbrica, con el fin de que pueda registrar tus avances. Cómo verás es la misma que respondiste en el reto; ahora servirá para medir cuál fue tu desempeño durante el estudio de este bloque. Indicadores de desempeño Aspectos a evaluar Métodos de investigación y su relevancia en el desarrollo de la ciencia como la solución de problemas cotidianos.

4 puntos

Identifiqué la importancia de todos los métodos de investigación y su relevancia en el desarrollo de la ciencia como la solución de problemas cotidianos. Uso de las Reconocí magnitudes físicas y comprendí el y su medición uso de todas las como herramientas magnitudes físicas de uso en la y su medición como actividad científica herramientas de de su entorno. uso en la actividad científica de mi entorno.

3 puntos

2 puntos

Identifiqué la mayoría de los métodos de investigación y su relevancia en el desarrollo de la ciencia como la solución de problemas cotidianos. Reconocí y comprendí el uso de algunas magnitudes físicas y su medición como herramientas de uso en la actividad científica de mi entorno.

Identifiqué vagamente los métodos de investigación y su relevancia en el desarrollo de la ciencia como la solución de problemas cotidianos. Reconocí y comprendí vagamente el uso de las magnitudes físicas y su medición como herramientas de uso en la actividad científica de mi entorno. Uso de la notación Interpreté el uso Interpreté Interpreté científica y de los de la notación parcialmente el vagamente el uso prefijos como una científica y de uso de la notación de la notación herramienta de los prefijos como científica y de los científica y de uso que permite una herramienta prefijos como una los prefijos como representar de uso que me herramienta de uso una herramienta números enteros y permite representar que me permite de uso que decimales. números enteros representar me permite y decimales. números enteros representar y decimales. números enteros y decimales. Características Identifiqué todas Identifiqué algunas Identifiqué y propiedades las características características vagamente las de los vectores y propiedades de y propiedades de características que permitan su los vectores que los vectores que y propiedades de manejo me permiten su me permiten su los vectores que y aplicación manejo y aplicación manejo me permiten su en la solución en la solución y aplicación manejo de problemas de problemas en la solución y aplicación cotidianos. cotidianos. de problemas en la solución cotidianos. de problemas cotidianos.

Mi puntaje

1 punto No identifiqué la importancia de los métodos de investigación ni su relevancia en el desarrollo de la ciencia como la solución de problemas cotidianos. No reconocí ni comprendí el uso de las magnitudes físicas, tampoco su medición como herramientas de uso en la actividad científica de mi entorno.

No interpreté el uso de la notación científica ni de los prefijos como una herramienta de uso que me permite representar números enteros y decimales.

No identifiqué las características ni propiedades de los vectores que me permiten su manejo y aplicación en la solución de problemas cotidianos.

Valoración Excelente: 15 a 16 puntos.

Bueno: 11 a 14 puntos.

Suficiente: 7 a 10 puntos.

Mi total Insuficiente: 4 a 6 puntos.

II. Ha llegado el momento de que entregues a tu profesor todos los productos de las actividades que realizaste durante este bloque y que guardaste en tu portafolio de evidencias, ya que con esto podrá evaluarte.

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ANALIZA LOS PROCESOS DE CREACIÓNY CONFORMACIÓN DE MÉXICO COMO NACIÓN

Autoevaluación I. Relaciona las columnas; después regresa al bloque para verificar que tus respuestas sean correctas y modifica aquellas que no lo sean. 1.  ( ) Causa de que ocurran los errores sistemáticos.

2.  ( ) Prefijo empleado para designar la millonésima parte de la unidad.

3.  ( ) Científico griego que sistematizó los conocimientos de la física de su tiempo.

4.  ( ) Algunas variables de la física se pueden expresar empleando estas cantidades.

5.  ( ) Un sistema de medición se establece a partir de…

a. Arquímedes b. Vectoriales c. Unidades derivadas d. Mega e. La persona que mide elige el valor a reportar f. Unidades fundamentales g. Las condiciones anímicas de quién mide no son adecuadas

h. Micro i. Escalares j. Aristóteles

II. Lee el siguiente texto y en tu cuaderno contesta las preguntas posteriores. El cáncer en México se ha convertido en un problema de salud pública; es la segunda causa de muerte después de los padecimientos del corazón, pero actualmente el adecuado proceso de investigación desarrollado por científicos, médicos y empresas farmacéuticas ha reducido el tiempo empleado para la creación de medicamentos y vacunas de nueva generación.

1. ¿Cuál es la situación en los países desarrollados? 2. ¿Por qué se ha reducido el tiempo para el desarrollo de nuevas vacunas? 3. ¿En qué otras áreas se han producido beneficios por el empleo adecuado de los métodos de investigación? Menciona diez.

III. Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno. 1. Una bacteria es un organismo vivo que puede producir diferentes tipos de afecciones, dependiendo de su forma se le asigna un nombre específico, mientras que su tamaño se encuentra entre 0.2 y 15 μm, así encontramos bacilos, cocos, etc. Investiga lo siguiente: a. Existen organismos más pequeños, ¿qué dimensiones tienen? b. ¿Cuántas veces es mayor un elefante a un bacilo? c. ¿Qué cantidad de bacterias se requiere para producir difteria?

2. Dibuja un poste de luz inclinado a 45 grados del suelo y responde lo siguiente: a. ¿En dónde y por qué colocarías un cable que permita al poste mantenerse en posición vertical? b. Indica las características del vector fuerza que se presenta en tal cable para que cumpla con la función indicada.

c. ¿ En dónde has observado el empleo de cables o cuerdas que producen una fuerza que permite el equilibrio de un objeto?

3. En una fábrica de tornillos recibieron un pedido especial, el cliente desea que se fabrique un millón de tornillos cuyo paso sea de 1/16 de pulgada con una longitud de pulgada y media; el jefe de producción consciente de que todos los productos sólo se fabrican empleando el sistema internacional de unidades, indica al gerente de ventas que no cuenta con los aditamentos necesarios para fabricar el producto solicitado por lo que no es posible cumplir con el pedido, el gerente no desea escapar el pedido y ordena a los operarios que se trabaje adaptando “las medidas” al si. Una semana después de entregado el producto el cliente lo devuelve a la empresa indicando que no cumplen con lo solicitado pues sólo tienen menos de 1.4 pul de longitud y 0.05 pul de paso. Elabora un reporte que indique, entre otras cosas, lo siguiente:

a. ¿Qué valores (expresados en mm) tomaron los operarios como factores de conversión?

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b. ¿Cuáles son las equivalencias correctas?

c. ¿Cuál fue el error?

d. ¿Qué se tenía que hacer?

e. ¿Qué tipo de instrumentos se deben emplear?

f. ¿Cómo se debe solucionar el problema?

IV. Para reducir el daño a la salud, provocado por el tránsito vehicular en zonas con un alto índice de población se decide colocar barreras acústicas que aíslen el ruido y restringir el tránsito de vehículos las 24 horas del día. Después de las medidas tomadas la gente protesta y realiza manifestaciones que provocan conflictos viales en toda la ciudad.

Analiza la situación y siguiendo un método de investigación define:

1. Problema y restricciones.

2. Hipótesis de trabajo.

3. Propuestas de solución.

4. Selección de solución.

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5. Forma de poner en práctica la solución.

V. En un accidente aéreo se dictamina que el piloto es el responsable pues no respetó los vectores de aproximación a la pista asignada; ¿es correcto afirmar que tales vectores no existen? Argumenta tu respuesta en no más de 10 líneas.

VI. Responde, en tu cuaderno, cada una de las siguientes preguntas. 1. ¿Qué tan importante es para ti el estudio de la física? 2. ¿Este bloque te ha aportado conocimientos que emplearás en otros campos? 3. ¿Se te dificultó el estudio del tema de vectores? 4. ¿En qué situaciones de tu vida diaria aplicas o ves reflejados los conocimientos que has adquirido? 5. ¿Te consideras apto para estudiar por tu cuenta temas afines a los vistos en este bloque? VII. Contesta la siguiente lista de cotejo para que reconozcas cuáles fueron tus actitudes durante este bloque.

Aspecto

Siempre

Algunas veces

Nunca

Me integré al trabajo en equipo. Realicé comentarios acertados de acuerdo con el tema. Mostré una actitud de respeto y compañerismo. Participé en todas las actividades.

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Desempeños del estudiante

Bloque 2 Identificas diferencias entre distintos tipos de movimiento

a. Define conceptos básicos relacionados con el movimiento. b. Identifica las características del movimiento de los cuerpos en una y dos dimensiones. c. Reconoce y describe, en base a sus características, diferencias entre cada tipo de movimiento.

Estos desempeños pueden identificarse en cada una de las actividades del bloque, de la siguiente manera: desempeños del estudiante

a

b

c

Bloque 1

Bloque 2

Bloque 3

Reconoces el lenguaje técnico básico de la física

Identificas diferencias entre distintos tipos de movimiento

Comprendes el movimiento de los cuerpos a partir de las leyes de dinámica de Newton

Objetos de aprendizaje • Nociones básicas sobre movimiento • Movimiento en una dimensión • Movimiento en dos dimensiones

Bloque 4 Relacionas el trabajo con la energía

Introducción Después de concluir un largo y arduo día, decides que la mejor manera de reponer la energía perdida es el reposo. Pero, ¿sabías que aun al dormir tu cuerpo se mueve? Sí, tus pulmones ayudan a oxigenar el cuerpo, tu corazón trabaja y la sangre circula, tu estómago hace que la digestión sea continua… ¡Hasta la más pequeña célula de tu organismo se mueve! Desde lo más pequeño hasta lo más grande, nada está en reposo absoluto: la

Tierra se encuentra en movimiento continuo y por eso hay día, noche y cuatro estaciones. En esta unidad estudiarás el movimiento en una y dos dimensiones; analizarás conceptos como distancia, aceleración, caída libre, movimiento circular y tiro parabólico, además de sus aplicaciones prácticas en la vida cotidiana. A continuación verás un mapa conceptual con los conceptos más relevantes de este bloque.

Movimiento lo estudia la

está presente en cualquier

dinámica

cuerpo

que se divide en

ya sea

cinemática

50

cinética

partícula

puede efectuarse en

una dimensión

dos dimensiones

puede ser

cuerpo rígido

uniforme (horizontal) uniforme acelerado (horizontal o vertical)

puede ser

parabólico circular uniforme circular uniforme acelerado

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Para comenzar... Para que puedas comprender los temas de este bloque, es necesario

que rescates las competencias (conocimientos, habilidades, actitudes y valores) que ya has adquirido a lo largo de tu vida. Haz tu mejor esfuerzo para responder y detecta aquellos aspectos que no conoces o dominas para enfocar tu estudio.

I. Escribe en el paréntesis la letra que corresponda a la respuesta correcta. 1. ( ) ¿Qué es el movimiento? a. Un cambio de posición con respecto al espacio. b. Un cambio de posición que sucede en un tiempo específico. c. Un desplazamiento en una dirección específica. d. La manifestación molecular de un cuerpo. 2. ( ) ¿Qué diferencia hay entre rapidez y velocidad? a. Ninguna, porque se refieren al mismo fenómeno. b. La primera es una magnitud escalar y la segunda es un vector. c. La rapidez sí depende del tiempo, la velocidad no. d. Las opciones b y c son correctas. 3. ( ) Los sistemas de referencia del movimiento de un cuerpo sirven para: a. medir la velocidad de un cuerpo. b. ubicar un objeto en movimiento. c. medir la cantidad de movimiento. d. realizar operaciones de composición vectorial. 4. ( ) El movimiento se puede clasificar en: a. rectilíneo y curvilíneo. b. uniforme y variable. c. acelerado y uniforme. d. libre y parabólico. 5. ( ) La caída libre de un objeto es un movimiento: a. con velocidad constante. b. con aceleración constante. c. con aceleración variable. d. rectilíneo con velocidad variable.

II. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. 1. Mientras un niño juega en un parque se da cuenta de que hay un vendedor de hela-

dos en una esquina. Entonces camina 20 m hacia el norte, gira hacia el este y recorre 5 m; finalmente recorre 6 m hacia el norte y llega hasta donde está el vendedor. Determina la distancia recorrida por el niño y la magnitud del desplazamiento total. 2. Un auto viaja de una ciudad a otra y recorre 72 km en 45 min. ¿Con qué rapidez se realizó el viaje? 3. ¿En qué medida un autobús aumenta su rapidez si sufre un cambio de 3 km/h cada 2 s? 4. Determina el tiempo que tarda una pelota en subir y bajar cuando se lanza verticalmente con una velocidad de 5 m/s. 5. Calcula la velocidad tangencial de una avioneta que describe una trayectoria circular con una velocidad angular de 3 rad/s y un radio de 40 m. st-editorial.com

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BLOQUE 2

III. Lee el siguiente texto, reflexiona e investiga. Julio Verne realizó estudios de leyes en París y por su afición al arte escribió libretos de óperas y obras de teatro. Se dice que su pasión por la lectura lo condujo a leer diversos textos de geología, ingeniería y astronomía, por lo que con facilidad podía documentar sus fantásticas aventuras, prediciendo con asombrosa exactitud muchos de los logros científicos del siglo xx. En sus novelas habla de cohetes espaciales, submarinos, helicópteros, aire acondicionado, misiles dirigidos e imágenes en movimiento, todo ello situado en una época en la que se consideraban estos inventos como mera fantasía, razón por la que es considerado como el creador de la ciencia ficción.

1. ¿Qué sistemas de transporte son considerados hoy en día como un sueño a transformarse en realidad en las próximas décadas?

2. ¿Cómo afecta al medio ambiente el movimiento de un cuerpo a alta velocidad?

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Reto (problema) El movimiento siempre ha representado un reto para el ser humano. Por ejemplo, los retos que imponen las diversas disciplinas deportivas son cada día mayores, incluso se innova en tecnología para nuevos materiales para uniformes y accesorios que hacen posible alcanzar nuevas metas, por ejemplo, en cada estilo de la natación se perfeccionan las técnicas, y tanto en el salto de altura como en el salto con pértiga se requiere de cierta habilidad para superar el listón, y así en diversas disciplinas, en cada uno de los deportes que hemos mencionado se coordinan los músculos del cuerpo para conseguir que el deportista logre un determinado movimiento. Reúnete con dos compañeros para analizar las cuestiones siguientes; en cada una intercambien el rol de líder y discutan sobre lo solicitado respondiendo los incisos a manera de conclusión.

1. Del concepto general de movimiento y su importancia en el deporte: a. ¿El movimiento es sólo un cambio de posición? b.  ¿Por qué es importante estudiar el movimiento de un cuerpo? c. ¿Qué existe en común entre una vuelta de una carrera de Fórmula 1 y una competencia de 400 metros planos?

d.  ¿Cuáles son las variables fundamentales en el atletismo? e. ¿Qué deporte implica que no se realice ningún tipo de movimiento? 2. De los diferentes tipos de movimiento y cómo se pueden agrupar: a.   Un bateador pega un hit y corre hacia la primera base; un corredor de atletismo escucha el disparo

y se “lanza” para ganar la prueba de los 60 m planos bajo techo. ¿Qué trayectoria siguió cada uno?

b.  En otros escenarios, un nadador se prepara para competir en 50 m de estilo libre, mientras que

otro se concentra para la prueba de salto de altura, ¿difiere la trayectoria seguida con respecto a los casos del inciso anterior? c.  ¿Qué caracteriza al efecto de "chanfle" en el fútbol, o un saque “bombeado” en el voleibol? ¿Cuál es la diferencia respecto a los otros movimientos? d.  ¿Qué variables influyen en el movimiento de una pelota, ya sea en un tiro de fútbol o un pase largo en fútbol americano? e.  ¿Cómo clasificas el movimiento?

3. De nuestras actividades cotidianas y el movimiento: a.  ¿Qué tipo de movimiento es el que realizas con mayor frecuencia? ¿Qué características tiene? ¿Lo realizas tú o empleas algún medio para que se efectúe?

b.  ¿Qué movimiento realizan las aves al viajar de rama en rama? c.  Si pones una lavadora a funcionar, ¿qué movimiento realizan las aspas? ¿Cómo se comportan el agua y la ropa?

d. Observa el movimiento de un carrusel, ¿qué movimiento tienen los caballos? e.  Un manipulador industrial puede realizar un movimiento similar al de nuestras manos, ¿de qué tipo es este movimiento?

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Coevaluación En la siguiente lista de cotejo se presentan una serie de aspectos para que evalúes el desempeño de uno de tus compañeros durante la realización del reto. Aspecto

Siempre

Algunas veces

Nunca

Participó activamente en la discusión. Respetó las ideas de los compañeros y buscó un consenso. Propuso ideas para estructurar la presentación al grupo. Trabajó con limpieza y orden. Cumplió con los acuerdos y normas de trabajo establecidos.

Autoevaluación Evalúa tu desempeño durante la realización del reto. Para ello marca la siguiente rúbrica según corresponda. Posteriormente, verifica la escala de valoración. Indicadores de desempeño

Aspectos a evaluar

4 puntos

3 puntos

2 puntos

1 punto

Conceptos básicos relacionados con el movimiento.

Definí plenamente conceptos básicos relacionados con el movimiento.

Definí la mayoría de conceptos básicos relacionados con el movimiento.

Definí vagamente conceptos básicos relacionados con el movimiento.

No definí conceptos básicos relacionados con el movimiento.

Características del movimiento de los cuerpos en una y dos dimensiones.

Identifiqué todas las características del movimiento de los cuerpos en una y dos dimensiones.

Identifiqué la mayoría de las características del movimiento de los cuerpos en una y dos dimensiones.

Identifiqué algunas de las características del movimiento de los cuerpos en una y dos dimensiones.

No identifiqué las características del movimiento de los cuerpos en una y dos dimensiones.

Características y diferencias entre cada tipo de movimiento.

Reconocí y describí, con base en sus características, todas las diferencias entre cada tipo de movimiento.

Reconocí y describí, con base en sus características, la mayoría de diferencias entre cada tipo de movimiento.

Reconocí y describí, con base en sus características, algunas diferencias entre cada tipo de movimiento.

No reconocí ni describí, con base en sus características, diferencias entre cada tipo de movimiento.

Valoración Excelente: 11 a 12 puntos.

54

Bueno: 8 a 10 puntos.

Suficiente: 5 a 7 puntos.

Mi puntaje

Mi total Insuficiente: 3 a 4 puntos.

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Tema 1

Tema 2

Tema 3

Nociones básicas sobre movimiento

Movimiento en una dimensión

Movimiento en dos dimensiones

Imagina que te encuentras en el tercer carril de una alberca que tiene 8 carriles, practicando para una competencia en estilo libre de natación. Cada competidor debe nadar en su carril una distancia de 50 m en cada ocasión para completar 100 m, ¿qué trayectoria sigues? Si en alguna ocasión, cuando eras pequeño, viste un tren de juguete, debes recordar que éste circulaba sobre rieles ensamblados en forma de círculo que definían su trayectoria en un plano, ¿no es así?; pero en el caso de una competencia de natación, asumimos que el recorrido corresponde al de una línea recta, pues un desvío implica un mayor tiempo y esto te dejaría fuera de los primeros lugares; por lo que existe una gran diferencia. Cuando es factible realizar el análisis del movimiento empleando sólo una de las coordenadas de un sistema de referencia, se dice que el movimiento tiene una dimensión, como el de un atleta que recorre 100 m sin obstáculos en 10 s. Para todo movimiento en el que se ven involucrados los dos ejes de un sistema de referencia, al igual que el tren de juguete, se dice que el movimiento es bidimensional o de dos dimensiones.

De estudios anteriores debes recordar que la dinámica es la parte de la física que se encarga del análisis

del movimiento de los cuerpos y todo lo que ello implica, y para facilitar su estudio se divide en cinemática y cinética. La cinemática se encarga de la geometría del movimiento, que es lo que ahora nos ocupa. ¿Qué es el movimiento?, ¿cómo lo definimos? Imagina la siguiente situación. Supón que un día cualquiera visitas en auto a un amigo que vive a 22 km de tu casa. Ya de camino en el auto, te detienes ante un semáforo con luz roja, hasta que, después de unos minutos, aparece la verde. Avanzas de nuevo y después de recorrer algunas cuadras te detiene otro semáforo; esto se repite hasta que por fin llegas a tu destino. ¿Qué ha ocurrido? Pues te has desplazado en cierta dirección, has recorrido cierta distancia con cambios de velocidad y aceleración, lo cual puede representarse gráficamente.

Velocidad. Desplazamiento de un cuerpo en la unidad de tiempo. A diferencia de la rapidez, la velocidad es una cantidad vectorial.

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Glosario 55

BLOQUE 2

El mundo que te rodea El estudio del movimiento en tres dimensiones es más complejo. Aunque se podría pensar que sólo es cuestión de agregar un eje coordenado más, esto no es así. Por ello resulta fundamental tener en cuenta esta complejidad para el diseño de aplicaciones robóticas y el desarrollo de autómatas.

Vuelta a la izquierda 3 km Vuelta a la izquierda 3 km Destino Vuelta a la derecha 1 km Vuelta a la izquierda 5 km

Vuelta a la derecha 4 km

Vuelta a la izquierda 1 km

Vuelta a la derecha 2 km

3 km al norte

Origen FIGURA 1

Representación gráfica del desplazamiento de un móvil.

Al observar la figura 1, te percatarás que hemos señalado el punto de partida del auto como origen, el cual corresponde a la posición, que no es otra cosa que la ubicación precisa de un cuerpo en un marco de referencia fijo o móvil; el movimiento es el cambio de posición en el tiempo de un cuerpo con respecto a la referencia previamente definida, de tal manera que el tiempo lo concebimos como una sucesión de eventos. Las dos características del movimiento son la distancia y el desplazamiento. Los 22 km constituyen la cantidad escalar que nos indica la distancia que recorriste para alcanzar el objetivo. Si no fuera porque el sentido del tráfico en las calles te limita, habrías hecho el recorrido con menos cantidad de vueltas. Para efectuar el recorrido seguiste en cada tramo una dirección específica. El desplazamiento es una cantidad vectorial porque requiere de magnitud, dirección y sentido. La distancia total recorrida (22 km) es mayor que la magnitud del vector desplazamiento resultante (11.4 km). Observa el gráfico 1. El vector S corresponde al desplazamiento total. Si se aplica el teorema de Pitágoras su magnitud es de 11.4 km y su dirección es de 105.25° con respecto al eje horizontal x. GRÁFICO 1

y H= 3 i km F= 3 i km G= 1 i km

S= A +B + C + D+ E + F + G + H S= 3 i + 11 j C= 2 j km

E= 5 j km D= 4 i km B= 1 i km A= 3 j km Origen

x

Si al regresar directamente a tu casa, sigues el mismo camino pero en sentido inverso, al final habrás recorrido una distancia de 44 km y el desplazamiento total será 0 pues has regresado 56

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IDENTIFICAS DIFERENCIAS ENTRE DISTINTOS TIPOS DE MOVIMIENTOS

al mismo punto de partida. Es un vector que resulta de la suma de todos los vectores de desplazamiento parciales. Otras dos características del movimiento son la rapidez y la velocidad. Erróneamente, ambas son usadas en forma indistinta. Rapidez (v). Es una cantidad escalar; es un cambio de posición en una fracción de tiempo. No afecta la dirección o el sentido de movimiento: sólo se recorre una distancia en un determinado tiempo. Dx x f – x i = t –t 1. v = f i Dt

Donde: v = rapidez expresada en m/s ∆x = distancia neta recorrida entre los puntos final (xf) e inicial (xi) expresada en m. ∆t = lapso transcurrido para recorrer la distancia total expresado en s. Velocidad (v). Es una cantidad vectorial; es el cambio del vector desplazamiento con respecto al tiempo. Su fórmula se escribe de la siguiente manera:

P

v Q

FIGURA 2

Cuando un avión hace maniobras para aterrizar, la trayectoria curvilínea determina el vector velocidad. En la figura se muestra cómo cambia la dirección del vector velocidad para los puntos P y Q, aunque la maniobra sea ejecutada con una rapidez constante.

s 2. v = t

Esta expresión se lee así: v = vector velocidad expresado en m/s. s = vector desplazamiento. t = lapso en el que se mide el cambio del vector desplazamiento. La dirección del vector de velocidad es la misma que la del vector desplazamiento, y en trayectorias rectas pasa desapercibido. Esta situación es más visible en las trayectorias curvas. La aceleración es una cantidad vectorial que corresponde al cambio del vector velocidad con respecto al tiempo. v 3. a = t

Donde: a = vector aceleración expresado en m/s2. v = vector velocidad. t = lapso en el que cambia el vector velocidad. La dirección de la aceleración depende directamente del vector velocidad, ya que este puede cambiar en magnitud y/o en dirección.

Retrato Christian Huygens. Nació en 1629 y murió en 1695. Físico holandés, desarrolló en 1678 la teoría del movimiento ondulatorio de la luz, movimiento mucho más complejo que las formas estudiadas hasta aquí. Mediante esta teoría él explicó las características de la reflexión y la refracción, las cuales expuso en su famoso Tratado de la luz. Su propuesta cayó en el olvido, al ser sustituida por la imagen y el prestigio alcanzados por Newton.

Vector desplazamiento. Indica el cambio de posición de un punto desde su ubicación inicial hasta la final; generalmente es diferente a la distancia real recorrida.

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Glosario 57

BLOQUE 2

Sistemas de referencia absoluto y relativo

Los sistemas de referencia describen el movimiento o la ubicación de un cuerpo con respecto a otro. Entre ellos, el más común para analizar el movimiento es el Sistema de Coordenadas Cartesianas o Rectangulares (scr). Según el caso, se emplea un sistema de carácter absoluto o uno relativo, sin que ello implique que uno sea mejor que otro. Sistema de referencia absoluto. Describe la posición y el comportamiento de varios objetos al mismo tiempo, y es universalmente aceptado. Por ejemplo, la torre de control de un aeropuerto recibe la señal de identificación de varios aviones y tomando como origen al propio aeropuerto ubica a todos los aviones en un espacio aéreo determinado. Sistema de referencia relativo. En este caso el punto de referencia está en movimiento, al igual que el objeto. Por ejemplo, el piloto de un avión que se encuentra en el aire y trata de ubicar la posición de otro avión en su espacio aéreo. La posición de cada avión será relativa porque dependerá de la ubicación de la otra aeronave, como se observa en el gráfico 2. GRÁFICO 2

y

( x2, y2 ) ( x1, y1 )

( x3, y3 )

( x4, y4 ) x

Las ecuaciones generales asociadas al estudio de la cinemática empleando sistemas de referencia relativos son las siguientes [Ejs. 1, 2 y 3]: Para la posición: 4. sA/B = sA - sB [m] Donde: sA/B = posición relativa (o aparente) del cuerpo A observado desde el cuerpo B. sA = posición del cuerpo A. sB = posición del cuerpo B. Para la velocidad: 5. vA/B = vA-vB [m/s] Donde: vA/B = velocidad relativa (o aparente) del cuerpo A observado desde el cuerpo B. vA = velocidad del cuerpo A. vB = velocidad del cuerpo B. La aceleración se calcula así: 6. aA/B = aA - aB

[m/s2]

Donde: aA/B = aceleración relativa (o aparente) del cuerpo A observado desde el cuerpo B. aA = aceleración del cuerpo A. aB = aceleración del cuerpo B. 58

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IDENTIFICAS DIFERENCIAS ENTRE DISTINTOS TIPOS DE MOVIMIENTOS

Ejemplo 1 Para ir de excursión al bosque, Laura se reunirá con sus amigos en el Valle de los Osos. Cuando llega al campamento de base para registrarse, se percata de que no lleva mapa, pero sí una brújula. Los paramédicos le indican los peligros del bosque y le dicen que debe viajar 6 km al noroeste, después subir 4 km en dirección norte y regresar 2 km al sureste para esquivar un risco peligroso. Así podrá llegar al valle que busca. Determinemos el desplazamiento total y la distancia recorrida por esta inquieta exploradora.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? Recorrido: • 6 km NO. • 4 km N. • 2 km SE. b. ¿Qué vamos a hacer? Tomamos cada valor numérico para calcular desplazamiento, distancia y posición final. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Identificamos cada dato numérico como vector. Efectuamos las operaciones correspondientes valiéndonos de un polígono vectorial. d. Operaciones. Para el desplazamiento de la excursionista (gráfico 3):

B A

-45° C

S (-y)

E (x)

Trazamos un SRC en el que el origen coincide con la ubicación del sitio de registro. Dibujamos los vectores considerando que 1 cm equivale a 2 km y obtenemos el vector resultante de desplazamiento D. Vector A = 6 km a 135° con respecto al eje horizontal (x), que correspondería al este. Vector B = 4 km a 90° con respecto al eje horizontal. Vector C = 2 km a -45° con respecto al eje horizontal. Medimos directamente en el dibujo de acuerdo a nuestra escala. D tiene una magnitud de 7.3 km y su dirección q es de 66° con respecto a la horizontal medidos a partir del oeste. st-editorial.com

Ejemplo 2 Al iniciar un viaje por autobús de México a Acapulco, el conductor anuncia que el tiempo estimado para el recorrido será de 6.0 h, debido a las intensas lluvias en algunos tramos de la carretera. Estimemos la rapidez del autobús considerando que la distancia entre ambas ciudades es de 465 km.

Solución

D 135°

O (-x)

e. Resultado. El vector desplazamiento es D y tiene una magnitud de 7.3 km a 66° del eje que señala al oeste; además, la distancia recorrida es de 12 km. Verifica la precisión de este resultado empleando cualquier método analítico de los que tratamos en la primera unidad de este texto. ¿No te ha sucedido que en algunas ocasiones debes recorrer una gran distancia debido a todos los recovecos que hay en un lugar que deseas visitar? La ubicación final del grupo de amigos se registra mediante el vector desplazamiento; éste se toma como referencia inicial por parte de los equipos de rescate cuando se reporta un accidente.

a. ¿Cón qué datos contamos? • Tiempo: t = 6.0 h. • Distancia: d = 465 km. • Incógnita: rapidez del autobús.

N (y)

GRÁFICO 3

Para la distancia: Efectuamos la suma escalar de la magnitud de cada desplazamiento: d = 6 + 4 + 2 = 12 km

b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular la rapidez del autobús considerando los datos de distancia y tiempo. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Sustituimos directamente en la ecuación 1 los datos proporcionados. d. Operaciones. v=

465 6 = 77.5 km/h

e. Resultado. La rapidez será de 77.5 km/h. Observa que este resultado es un promedio, ya que se menciona que llueve y se hace un estimado del tiempo que se empleará; no hay certeza en cuanto a la manera en que se recorrerá el trayecto. 59

BLOQUE 2

Ejemplo 3 El autobús en que te trasladas de la Ciudad de México al parque industrial Lerma viaja a 80 km/h a partir de la caseta de cobro de la autopista hasta el entronque con el paseo Tollocan, donde se ve obligado a reducir la velocidad hasta 55 km/h en 8 s. Determinemos el cambio de velocidad con respecto al tiempo.

a. ¿Con qué datos contamos? • Velocidad inicial: vo = 80 km/h. • Velocidad final: vf = 55 km/h. • Tiempo: t = 8.0 s.

km 1h 1000 m vo = 80 h # 3600 s # 1 km = 22.222 m/s

Sustitución numérica: a=

b. ¿Qué vamos a hacer? Calculamos la desaceleración que sufre el autobús en forma repentina. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Empleamos la ecuación 3 en forma escalar, ya que se desconoce cualquier dato acerca de la

competencias genéricas

d. Operaciones. Transformación de unidades.

km 1h 1000 m vf = 55 h # 3600 s # 1 km = 15.278 m/s

Solución

Actividad grupal

dirección del vector velocidad. La sustitución numérica requiere que primero hagamos el cambio de unidades.

4 5 8

15.278 – 22.222 = - 0.868 m/s2 8

e. Resultado. El autobús se desacelera a razón de 0.87 m/s2; observa que el signo menos de la operación numérica tiene el significado físico de la reducción de velocidad, los factores del numerador tienen el orden que escribimos porque estamos evaluando el cambio entre una condición final y una condición inicial.

competencias disciplinares

3 7

desempeño del estudiante

a

Reúnete con dos compañeros y resuelvan en sus cuadernos los ejercicios de esta sección. Primero, definan los conceptos involucrados y repasen los ejemplos y las ecuaciones del 1 al 6. Después, tengan a la mano un juego de geometría y una calculadora. Cuando sea necesario, dibujen los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración, no lo hagan a mano alzada, deben realizar los trazos a escala y verificar los resultados en forma analítica.

1. Un repartidor de pizza arma su itinerario para el último viaje de reparto de su turno de tal manera que

después de la última entrega irá directamente a su casa, donde guarda la moto. Primero debe viajar 45 m al norte, después realiza otra entrega viajando al este 300 m, y finalmente entrega su último pedido viajando 70 m al sur. A partir de aquí recorre 50 m al oeste para llegar a su casa. Determina la distancia total recorrida y la magnitud del desplazamiento total. Supón ahora que puede hacer las entregas sin restricción de la dirección a seguir. ¿Pueden sugerir un recorrido diferente que sea más conveniente? 2. Calculen la rapidez de un motociclista que recorre una distancia de 375 m en un tiempo de 8.0 s. ¿Qué aceleración debe aplicar a la moto para que su velocidad se incremente en un 30% en 2.0 s? 3. Un corredor de 100 m planos desea lograr tal recorrido en 8.0 s. ¿Cuál es la rapidez que debe tener? ¿Pueden estimar a cuánto ascenderá su aceleración? 4. Un aficionado a las aves se sienta sobre unas rocas a observar un cóndor que vuela hacia el oeste a 12.0 m/s respecto al viento, mientras que éste sopla hacia el norte a 15.0 m/s. ¿Cuál es la rapidez del ave con respecto al aficionado? 5. Un avión de pasajeros vuela en dirección noreste a una velocidad de 500 km/h cuando el piloto capta en su radar que se acerca una nave no identificada desde el sur a una velocidad de 750 km/h. Calculen la velocidad aparente entre la nave sin identificación con respecto al avión.

60

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Tema 2

Tema 3

Movimiento en una dimensión

Movimiento en dos dimensiones

El tren suburbano es una solución de transporte que se promociona como rápida y eficiente, una condición necesaria para que el tiempo de recorrido sea mínimo es que la trayectoria que presente tenga ciertas características… Realiza un recorrido en el tren, ¿cómo es la trayectoria?, ¿cómo se mueve el tren?, ¿qué otro medio de transporte presenta un movimiento similar?

Ya conoces las características básicas del movimiento y la forma en que se divide para su estudio, pasemos ahora a detallarlo.

Movimiento rectilíneo uniforme

Este tipo de movimiento es el más simple porque se considera que el móvil se caracteriza por no presentar un cambio de velocidad en un lapso específico, lo cual significa que no hay aceleración ya que el objeto bajo estudio incrementa la distancia que recorre, empleando siempre el mismo tiempo. Aquí el cuerpo sólo se desplaza en una dirección y el desplazamiento coincide con la distancia o espacio recorrido, cuando no existe cambio de sentido durante del movimiento. Si representamos el movimiento dentro de un sistema de st-editorial.com

coordenadas, se tomará el eje x cuando el movimiento sea horizontal y el eje y cuando sea vertical. El auto del gráfico 4 tiene una rapidez v en el instante de referencia to = 0; después le lleva un tiempo t, recorrer la distancia d y siempre ocurre de esta manera. La ecuación escalar de la que nos valdremos es la siguiente: d 7. v = t

Donde: v = velocidad (o rapidez) del cuerpo. d = distancia recorrida (el incremento es constante, no cambia en el tiempo). t = tiempo que toma al móvil recorrer la distancia d (se mantiene constante). 61

BLOQUE 2 GRÁFICO 4

t

v

t=0

t

v

d A

D

C

d

9. vm =

d

3 000 m

Observa que la ecuación es similar a la de rapidez y es importante señalar que es común que en este tipo de análisis se hable en forma indistinta de rapidez o velocidad, ya que por tratarse de una trayectoria rectilínea el vector no cambia de dirección y su magnitud es constante, de tal manera que se puede considerar que el movimiento siempre coincide con el eje horizontal (x) de un sistema coordenado de referencia. Si analizas el gráfico 5, verás que el corredor se desplaza sobre una superficie plana de tal manera que su dirección siempre coincide con el eje x. GRÁFICO 5

y

x

Podemos observar el movimiento a velocidad constante en casi todos los medios de transporte cuando “alcanzan ruta”; por ejemplo, cuando un autobús que ha salido de una terminal llega a una autopista, el chofer mantiene la velocidad en 90 km/h, ya que los dispositivos de seguridad no permiten que sea mayor y en situaciones de emergencia los sensores permiten una rápida reducción de la velocidad. El propósito de mantener la velocidad constante es reducir el consumo de combustible, cumplir con el tiempo de viaje, y evitar los retrasos que puedan ser molestos para los pasajeros. No estamos considerando las curvas de la carretera porque éstas no siguen precisamente una línea recta. Observa que iniciamos esta explicación señalando que el movimiento es a velocidad constante, no hicimos mención a la trayectoria; por ello, para estimar la velocidad en una situación como la señalada, donde por la trayectoria se requiere modificar la rapidez, se emplea el concepto de velocidad promedio, cuya expresión algebraica es la siguiente: 62

d f – d0 t

Donde: vm = velocidad promedio. df = distancia al final del recorrido. do = distancia al inicio del recorrido. t = lapso empleado para el recorrido. O bien:

d B

d

8. vm =

v

v f + v0 2

Donde: vm = velocidad promedio. vf = velocidad al final del recorrido. vo = velocidad con la que se inicia el recorrido. Por ejemplo, si en un recorrido de 90 km se emplean 2h, diremos que la velocidad promedio fue de 45 km/h; pero si conocemos que se inició el recorrido con una velocidad de 30 km/h y se finalizó con una velocidad de 50 km/h, la velocidad promedio es entonces de 40 km/h.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Aunque en el caso del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado la trayectoria también es rectilínea, se observa que el móvil puede incrementar o reducir su velocidad en forma uniforme, ya que el vector de aceleración se mantiene constante tanto en magnitud como en dirección, siempre que sucede así se dice que el movimiento es uniformemente acelerado. Las ecuaciones escalares que emplearemos las podemos obtener a partir de las ecuaciones 1, 2, 3, 7, 8 y 9 bajo algunas consideraciones. Empecemos por recordar que en la ecuación 3 el vector v representa el cambio de velocidad en un lapso t; de esta forma tenemos: 10. a =

v f – vo t

De lo anterior se deduce que la velocidad que alcanza un móvil con aceleración constante después de transcurrido un tiempo t es: 11. vf = vo + at Donde: vf = velocidad final del móvil. vo = velocidad inicial del móvil. a = aceleración del móvil. t = tiempo en el que se mide el cambio de velocidad. Consideremos ahora el comportamiento bajo la condición de la velocidad promedio: 12. vm =

d f – do v f + vo = t 2

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IDENTIFICAS DIFERENCIAS ENTRE DISTINTOS TIPOS DE MOVIMIENTOS

Al despejar en esta igualdad la velocidad final, tenemos: 2^d f – doh vf = – vo t Al sustituir en la ecuación 11 obtenemos la igualdad: 2^d f – doh – vo = vo + at t De donde se obtiene una ecuación que nos permite calcular la distancia (o posición) que alcanza un móvil que viaja con aceleración constante: at2 13. d f = do + vo t + 2

Donde: df = distancia (o posición) final del objeto. do = distancia (o posición) inicial del objeto. vo = velocidad inicial del móvil. a = aceleración del móvil. t = tiempo en el que ocurre el cambio de posición.

FIGURA 3

En las carreras de autos se pueden observar los movimientos rectilíneos uniforme y uniformemente acelerado e incluso hay tramos de la pista en la que se describe un movimiento circular.

Para obtener una expresión que relacione la velocidad con la aceleración y la distancia recorrida, despejamos de la ecuación 12 el tiempo transcurrido: 2^d f – doh t = v +v f o Sustituyendo este valor de tiempo en la ecuación 11: 2^d f – doh v f = vo + a = v + v G f o (vf – vo) ⋅ (vf + vo) = 2a (df – do) Lo anterior finalmente nos conduce a: 14. v f = v2o + 2a ^d f – doh Donde: vf = velocidad final del objeto. vo = velocidad inicial del objeto. a = aceleración del objeto. df = distancia (o posición) final del objeto. do = distancia (o posición) inicial del objeto. En las ecuaciones anteriores debes tener presente que al hablar de un cambio de velocidad no necesariamente estamos haciendo referencia a un incremento como el que ocurre cuando un auto aumenta la velocidad en una carretera para rebasar a otro. Se puede dar el caso de una reducción como la de un corredor de atletismo, que disminuye su velocidad para detenerse después de cruzar la meta. En este tipo de situaciones se afirma que el móvil ha sufrido una desaceleración y para su manejo algebraico se incluye un signo menos a su valor numérico; este signo se asocia al comportamiento físico del sistema: la aceleración actúa en una dirección opuesta a la del movimiento [Ejs. 4, 5, 6 y 7]. st-editorial.com

63

BLOQUE 2

Ejemplo 4

Ejemplo 6

En un viaje de Cuernavaca a la Ciudad de México, el conductor del auto toma la curva conocida como “La Pera” con una velocidad de 60.0 km/h y cuando llega al parador Tres Marías se percata de que su velocidad es de 85.0 km/h. ¿De cuánto es la magnitud de la velocidad promedio?

En las pruebas para el desarrollo del prototipo de un miniauto eléctrico se registraron los siguientes datos sobre su recorrido en un piso empedrado.

a. ¿Con qué datos contamos? • Velocidad inicial: vi = 60 km/h. • Velocidad final: vf = 85 km/h. b. ¿Qué vamos a hacer? Calculamos la magnitud de la velocidad promedio del auto. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Dado que se conocen los valores inicial y final de la velocidad del auto empleamos la ecuación 9 para sustituir directamente los datos. d. Operaciones. vm =

vf + vi 85.0 + 60.0 km/h 2 = 2

e. Resultado. La velocidad promedio de acuerdo a los registros del conductor del auto es de 72.5 km/h.

Ejemplo 5 Determinemos la magnitud de la velocidad que debe mantener en forma uniforme un nadador para recorrer 200 m en 18.0 s durante una competencia para atletas superdotados.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Tiempo: t = 18.0 s. • Distancia a recorrer: 200 m. • Incógnita: velocidad constante del nadador. b. ¿Qué vamos a hacer? Calculamos la velocidad con la que nada un atleta. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Sustituimos directamente en la ecuación 7 los datos de distancia y tiempo. d. Operaciones. 200 v = 18 = 11.1 m/s

e. Resultado. La velocidad es constante e igual a 11.1 m/s. 64

0

10 12.5 15 17.5 20 22.5 25 27.5 30 32.5 35

0

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Realicemos el gráfico de distancia contra tiempo y determinemos el tipo de movimiento del auto y sus características.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? Los que se muestran en el cuadro anterior. b. ¿Qué vamos a hacer? Calculamos las variables de velocidad, aceleración, etc., a partir del gráfico de distancia contra tiempo. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Realizamos la gráfica tomando pares de puntos (t, d). El primer valor corresponde al eje x y el segundo al eje y. La interpretación de la gráfica nos permite identificar el movimiento. De acuerdo a los datos y al gráfico 6, podemos observar que los dos primeros registros indican que el prototipo se acelera en forma continua y cuando alcanza una velocidad específica, la mantiene constante hasta el final de la prueba, cuando ha recorrido 60 m. Concluimos que el movimiento es uniformemente acelerado en su primera etapa y uniforme en la segunda. GRÁFICO 6 y

Distancia (m)

Solución

Tiempo (t [s]) Distancia recorrida (d [m])

70 60 50 40 30 20 10 0

0 10

12.5

15

17.5

20

22.5

25

27.5

30

32.5

x

Tiempo (s)

d. Operaciones. Las operaciones se dividen en dos etapas. • Etapa de movimiento uniforme: en esta etapa del movimiento se observa que por cada 2.5 s existe un incremento constante en la distancia recorrida, que es igual a 5 m. Al sustituir en la ecuación 7 tenemos: d 5 v = t = 2.5 = 2 m/s st-editorial.com

IDENTIFICAS DIFERENCIAS ENTRE DISTINTOS TIPOS DE MOVIMIENTOS

• Etapa de movimiento uniformemente acelerado: puesto que se conocen la distancia recorrida, la velocidad inicial (la que parte del reposo), y la velocidad final (a los 10 s), calculamos la aceleración que impulsa al prototipo valiéndonos de la ecuación 10 o de la ecuación 14. Tomemos esta última y sustituyamos los datos: a=

2

2

v f – v0

2 ^df – d0h

=

22 – 02

2 ^10 – 0h

= 0.2 m/s2

Comprobamos con la ecuación 10, que reproduce el valor calculado previamente. vf = vo + at = 0 + 0.2 (10) = 2 m/s e. Resultado. El auto inicia con una aceleración constante de 0.2 m/s2 que mantiene durante 10 s. Luego mantiene una velocidad constante de 2 m/s, que alcanza al concluir la etapa anterior (movimiento uniformemente acelerado).

Ejemplo 7

c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Como se tienen todas las características del movimiento acelerado, primero analizamos esta etapa y luego escribimos la ecuación de distancia total y calculamos el tiempo total, para determinar la distancia recorrida por sección del trayecto. Para ello ajustamos previamente las unidades de los datos proporcionados. d. Operaciones. Para este caso tenemos que: km 1h 1000 m v1 = 100 h $ 3600 s $ 1 km = 27.778 m/s km 1h 1000 m v3 = 60 h $ 3600 s $ 1 km = 16.667 m/s

Estos datos nos permiten calcular la desaceleración en el segundo tramo del recorrido, y entonces, de acuerdo a la ecuación 11:

En el recorrido de una distancia de 3.0 km un automovilista parte del sitio A con una velocidad de 100 km/h y la mantiene constante hasta que al llegar al sitio B se ve obligado a frenar durante 4.0 s para reducir la velocidad hasta 60 km/h en el sitio C; desde este punto continúa a velocidad constante hasta llegar a su destino en D (gráfico 7). Calculemos la distancia recorrida en cada sección del trayecto y el tiempo total de recorrido, suponiendo que el tiempo empleado de A a B es igual al que necesitó para ir de C a D. GRÁFICO 7 A

B

d1

C

d2

D

d3

3 000 m

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Distancia total: d = 3 000 m. • Velocidad inicial del auto: v1 = 100 km/h (constante). • Velocidad final del auto: v3 = 60.0 km/h (constante). • Tiempo de recorrido de B a C: tfreno = 4.00 s. • Tiempo de recorrido de A a B y de C a D: t. • Incógnitas: distancia recorrida en cada etapa del movimiento y tiempo total de recorrido. b. ¿Qué vamos a hacer? Calculamos la distancia que se requiere para cada tramo del trayecto considerando que la primera etapa y la última se realizan a velocidad constante y requieren el mismo st-editorial.com

tiempo, mientras que en la parte intermedia existe un movimiento desacelerado porque el auto frena.

a=

vf – vo 16.667 – 27.778 = = - 2.78 m/s2 t 4

Con el valor de desaceleración obtenido, calculamos la distancia requerida para el frenado (d2): - 2.78 ^ 4 h at 2 d2 = do + vo t + 2 = 0 + 27.778 ^ 4 h + = 88.9 m 2 2

Ahora, procedemos al análisis del movimiento uniforme y el cálculo del tiempo total de recorrido. La ecuación 7 nos permite escribir: d1 = v1t y d2 = v2t Se cumple: d = d1 + d2 + d3 3 000 = 27.8 t + 88.9 + 16.7 t Y por esta razón: t = 65.5 s. El tiempo total es entonces: tT = 2 (65.5) + 4.00 = 135 s. Y la distancia en cada tramo del recorrido es: d1 = 27.8 (65.4) = 1 819 m. d2 = 89 m. d3 = 16.7 (65.4) = 1 092 m. e. Resultado. La distancia recorrida en cada sección del trayecto es de 1 819 m, 89 m y 1 092 m, respectivamente, y el tiempo empleado es 135 s. Por lo general, encontramos un comportamiento de este tipo en los automovilistas que circulan en los llamados ejes viales de la Ciudad de México, donde no hay una distancia de separación específica entre los semáforos, ni una clara señalización sobre el límite de velocidad.

65

BLOQUE 2

Actividad individual

competencias genéricas

4

5

3

competencias disciplinares

7 10

desempeño del estudiante

b

I. En los ejercicios siguientes se te presentan problemas de movimiento uniforme y de movimiento uniformemente acelerado. Elabora tu propio formulario con las ecuaciones de la 7 a la 14, prepara tu calculadora y dibuja en la medida de lo posible cada una de las situaciones que se te plantean, para que identifiques con claridad qué es lo que ocurre en cada uno de los problemas, considerando todas las variables e incógnitas que intervienen.

1. Calcula la distancia recorrida por un corredor de fondo en su entrenamiento matutino durante un lapso de 42 min, a sabiendas de que ha mantenido una velocidad constante e igual a 20 km/h.

2. Determina la aceleración que debe proporcionar el dispositivo lanzador a un avión en la pista de un portaaviones para que la velocidad de despegue con respecto al portaviones sea de 300 km/h en 80 m.

3. La gráfica siguiente muestra el registro de la distancia que recorre un objeto a partir del reposo. Determina la velocidad y la aceleración del mismo para cualquier instante.

Distancia (m)

y 45 30 15 0

0

5

10

15

20

25

30

x

Tiempo (s)

4. Calcula la aceleración que debe suministrar el motor a un automóvil deportivo para que su velocidad sea de 100 km/h en 7.2 s a partir del reposo. ¿Qué distancia recorre en ese lapso?

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IDENTIFICAS DIFERENCIAS ENTRE DISTINTOS TIPOS DE MOVIMIENTOS

5. En la validación de capacidad de frenado de un auto se realizan diversos ensayos. Con una velocidad de

80 km/h, el automóvil recorre 30 m antes del alto total, siempre aplicando la misma fuerza de frenado para producir una desaceleración constante. Determina la distancia que requiere para detenerse a una velocidad de 40 km/h y 120 km/h considerando que la desaceleración producida al auto por los frenos es siempre igual.

6. Un automovilista que viaja en una autopista con una velocidad constante de 90 km/h observa que la luz

roja de un cruce de ferrocarril empieza a parpadear y entonces inicia el frenado. El auto se halla a 60 m del cruce, el tren viaja con una velocidad constante de 80 km/h y se encuentra a 50 m del cruce. ¿Por qué debe frenar el automovilista?

7. En una situación de emergencia, un avión debe aterrizar en una pista corta de 500 m de longitud. Calcula el lapso del recorrido sobre la pista y la aceleración de frenado del aparato mecánico para reducir la velocidad de 300 km/h cuando toca tierra a 0 km/h al llegar al final de la pista.

8. Un tren que inicialmente viaja a lo largo de una vía recta con una rapidez de 40 km/h desacelera a una razón

constante de 1.0 m/s2 durante 5.0 s, y durante los 3.0 s siguientes la desaceleración constante es ad. Determina la magnitud de esta desaceleración para que el tren se detenga por completo en el lapso de 8.0 s.

II. Anexa esta actividad a tu portafolio de evidencias.

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Caída libre y tiro vertical y

x Movimiento

FIGURA 4

La caída libre es un movimiento uniformemente acelerado influenciado por el campo gravitacional.

Analicemos ahora otro movimiento cuya trayectoria es rectilínea. A diferencia del caso anterior la dirección coincide por completo con el eje vertical (y) de un sistema coordenado de referencia. Debido a que el movimiento se realiza sobre el eje vertical, es fácil observar que se puede llevar a cabo hacia arriba o hacia abajo. En el primer caso se denomina tiro vertical, y en el segundo, caída libre. En ambos se trata de un movimiento uniformemente acelerado porque está influenciado por la acción del campo gravitacional cuya constante de aceleración para fines prácticos es g = 9.81 m/s2, y actúa en forma radial hacia el centro de la Tierra. Caída libre. Se denomina así al movimiento en el que un objeto cae por su propio peso. Por ejemplo, toma el borrador del pizarrón y una goma para lápiz, colócalos frente a tus ojos y déjalos caer al piso. ¿Qué sucede?, ¿cuál tocó primero el piso? Ambos llegaron al mismo tiempo. ¿La vista te engaña? Escucha atentamente y trata de distinguir el ruido de cada uno al caer. Repite esta experiencia con una pelota de golf y con una canica. ¿Qué sucedió ahora? No hay diferencia apreciable, ambos tocaron el piso al mismo tiempo. Sube a un árbol o a algún lugar alto y seguro. Repite el experimento con la canica y una hoja de papel. Observarás que la canica llega “más rápido” al piso. ¿Qué pasó? Cuando realizas el experimento con objetos de forma geométrica semejante no hay diferencia apreciable, pero cuando se trata de objetos de forma desigual y en condiciones ambientales distintas es posible que puedas llegar a observar una gran diferencia. Los objetos de forma esférica son los que se comportan siempre en forma semejante, independientemente de cómo los dejes caer y de cómo se alteren las condiciones ambientales en las que realizas el experimento, la manera en que se presenta la caída es similar a la de los objetos que se dejan caer en el vacío donde hay ausencia de cualquier agente externo, como una corriente de aire o una fuerza de fricción que afecte el movimiento. Lo anterior se toma como referencia y se supone que la forma, el tamaño y la masa del objeto son importantes cuando se analiza la caída de un objeto desde una altura muy grande, ya que son múltiples los factores que se deben tomar en cuenta para un análisis preciso. En este curso consideramos un comportamiento de tipo ideal, por lo que las ecuaciones son las asociadas al movimiento uniformemente acelerado con las modificaciones pertinentes al nombre de las variables y a la ubicación del origen del sistema de referencia. Veamos: • Velocidad con la que choca un objeto contra el piso en caída libre. 15. vf = vo - gt Donde: vf = velocidad con la que el móvil toca el piso. vo = velocidad inicial del móvil. g = constante de aceleración del campo gravitacional. t = lapso en el que se mide el cambio de velocidad. • Distancia que recorre de acuerdo al tiempo y la velocidad promedio. 16. d = b

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v f + vo lt 2

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IDENTIFICAS DIFERENCIAS ENTRE DISTINTOS TIPOS DE MOVIMIENTOS

Donde: d = distancia recorrida en la caída. vf = velocidad al final del recorrido. vo = velocidad con la que se inicia el recorrido. t = lapso que toma al objeto caer. • Distancia que recorre cuando se conoce el tiempo y la velocidad inicial de caída. gt2 17. d = vo t – 2 Donde: d = distancia recorrida en la caída. vo = velocidad con la que se inicia el recorrido. g = constante de aceleración del campo gravitacional. t = lapso que toma al objeto caer. • Velocidad con la que un objeto toca el piso como una función de la aceleración y la distancia recorrida. 18. v f = v2o – 2g ^ y f – yoh Donde: vf = velocidad final del objeto. vo = velocidad inicial del objeto. g = constante de aceleración del campo gravitacional. d = distancia recorrida (diferencia de alturas). Tiro vertical. Es todo movimiento en el que un objeto es lanzado en

dirección vertical contra el sentido de acción del campo gravitacional. Quizá lo has visto, por ejemplo, cuando lanzan un arnés hacia la estructura de un puente y mediante un dispositivo simple una persona se eleva para realizar actividades de mantenimiento. El interés básico en el estudio de este movimiento reside en la descripción de sus características, ya que es fácil observar que la velocidad del objeto disminuye conforme va elevándose, de tal manera que cuando alcanza su altura máxima, la velocidad es cero, para luego incrementarse en la medida que desciende hasta llegar al punto de lanzamiento con la misma velocidad con la que se realizó el disparo. Además, el tiempo que le toma subir es igual al que requiere para descender porque se mueve con una aceleración constante e igual a la que ejerce el campo gravitatorio, de tal manera que el movimiento es uniformemente acelerado [Ejs. 8 y 9 ]. Las ecuaciones que modelan este movimiento las podemos obtener fácilmente partiendo de la ecuación 15. vf = vo - gt Debido a que la velocidad al final del recorrido es nula se afirma que: 0 = vo - gt Entonces, el tiempo (t) de ascenso es:

v 19. t = go

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FIGURA 5

Al lanzar un arnés hacia arriba se está realizando un tiro vertical.

69

BLOQUE 2

Debido a que el descenso se sujeta a la misma aceleración, el tiempo es igual y entonces el tiempo total del recorrido (tr) es: 2v 20. t r = 2t = g o

Al sustituir el valor del tiempo de ascenso en la ecuación 17, obtenemos la altura máxima que alcanza un objeto cuando es disparado verticalmente con una velocidad inicial vo. gt2 h = vo t – 2 g v 2 v h = vo b go l – 2 b go l v2 21. hmáx = 2 go

Ejemplo 8

Ejemplo 9

Antonio se sube a un trampolín y deja caer una pelota sobre la alberca. El juguete toca el agua 0.85 s después de que el joven la dejó caer. Determinemos la altura desde la que se cayó la pelota y la velocidad con la que choca contra la alberca.

Pedro, el vecino de uno de los pisos superiores, le pide a Juan que le preste unas pinzas, y éste, para ahorrarse tiempo, le dice que se las hará llegar por la ventana. Juan lanza las pinzas hacia arriba en forma vertical con una velocidad de 17.5 m/s y Pedro las atrapa a 6 m por encima de donde Juan las lanzó. Calculemos la velocidad que llevaban las pinzas cuando Pedro las atrapó y el tiempo que duró el trayecto.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Velocidad inicial: vo = 0 m/s. • Tiempo: t = 0.85 s. • Incógnitas: velocidad con la que la golpea el agua y altura desde la que se dejó caer. b. ¿Qué vamos a hacer? Determinar la velocidad final de la pelota y la altura desde la que se dejó caer. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Calculamos las variables indicadas considerando que se trata de la caída libre de un cuerpo. d. Operaciones. De acuerdo a la ecuación 17, tenemos que la altura que recorre la pelota es: 9.81 ^0.85h = - 3.54 m 2

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Velocidad inicial: vo = 17.5 m/s. • Distancia: d = 6.00 m. • Incógnitas: velocidad con la que se atrapa las pinzas (vf), y tiempo del recorrido (t). b. ¿Qué vamos a hacer? Determinar la velocidad final de las pinzas y el tiempo del trayecto vertical. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Calculando las variables indicadas a partir de las ecuaciones del movimiento uniforme acelerado en el movimiento vertical.

2

d = 0#2–

Y la velocidad con la que choca contra el agua es: v = vo – gt = 0 – 9.81 ^0.85h = - 8.33 m/s. e. Resultado. La velocidad de la pelota es 8.33 m/s hacia abajo. Esto nos lo indica el signo negativo ya que el punto inicial del movimiento se encuentra por encima del nivel de la alberca; la altura desde la cual se dejó caer la pelota es 3.54 m.

70

d. Operaciones. La ecuación general de la altura recorrida por un objeto en movimiento vertical ascendente nos permite calcular el tiempo. En principio, tenemos: 6.00 = 17.5 t –

9.81 t 2 2

Lo cual nos conduce a la ecuación cuadrática siguiente: -4.90 t 2 + 17.5 t - 6 = 0 La solución de esta ecuación es: t1 = 0.384 s. st-editorial.com

IDENTIFICAS DIFERENCIAS ENTRE DISTINTOS TIPOS DE MOVIMIENTOS

t2 = 3.184 s. La velocidad que llevan las pinzas en el momento en que Pedro las atrapa es: v = vo – gt = 17.5 - 9.81 (0.384) = 13.731 m/s e. Resultado. La velocidad de las pinzas es de 13.7 m/s, y Pedro las atrapa en forma “instantánea” ¿Por qué? La respuesta es sencilla: en un tiro vertical el objeto sube y baja, por lo que hay dos instantes de tiempo para cada posición, uno para el ascenso y otro para el descenso. Al suponer que Pedro atrapó las pinzas cuando viajaban hacia arriba, el tiempo es el menor, 0.384 s aunque esto no significa que también pudiera ocurrir que las atrape cuando regresaban, en tal caso el tiempo sería 3.184 s.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Tiempo del recorrido: tr = 5.00 s. • Incógnitas: altura del edificio (h). b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular la altura del edificio a partir del dato del tiempo. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Con el dato del tiempo podemos calcular la velocidad inicial del lanzamiento, y con esto determinamos la altura máxima que alcanza la piedra. d. Operaciones. tr g 5.00 # 9.81 = 24.5 m/s vo = 2 = 2

Ejemplo 10

La altura máxima que alcanza la piedra desde el punto de lanzamiento es:

Para medir la altura de un edificio se les ocurre a un par de amigos hacer lo siguiente: Arturo lanzará una piedra y Roberto tomará el tiempo que ésta tarda en subir y bajar. Repiten el experimento varias veces hasta que por fin quedan satisfechos, pues la piedra, en tres ocasiones, alcanzó la parte superior del edificio y regresó en 5.00 s. ¿Cuál es la altura del edificio?

Actividad grupal

competencias genéricas

4

5

8

competencias disciplinares

^24.5h v o2 hmáx = 2 g = 2 # 9.81 = 30.7 m 2

e. Resultado. Si consideramos que no se conoce la posición exacta desde la cual se lanza la piedra, podemos concluir que de manera aproximada, el edificio tiene una altura de 32 m.

3

7 10 11

desempeños del estudiante

b

c

Reúnete con dos compañeros para resolver los problemas que se presentan; todos corresponden exclusivamente al tema de caída libre y tiro vertical. Aunque ambos son movimientos uniformemente acelerados, les sugerimos dibujar lo que está ocurriendo en cada situación para que sepan cuál de las fórmulas deben emplear. Las fórmulas con las que trabajarán en esta sección son de la 15 a la 21.

1. Un niño entrena béisbol y para distraerse lanza la pelota hacia arriba con una velocidad de 15.0 m/s. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar un punto situado a 10.0 m del piso en el trayecto de caída?

2. Se lanza un prototipo de misil verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 240.0 m/s. Calcula la altu-

ra máxima que alcanzará y el tiempo que le llevará regresar al suelo desde el momento del disparo. Desprecia cualquier efecto de fricción o de desviación de la trayectoria del misil por la acción de algún otro agente.

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BLOQUE 2

3. A una niña que se encuentra en un globo aerostático observando el paisaje se le caen de repente sus gafas; el globo se encuentra fijo a una altura de 300 m. Determina el tiempo que tardan las gafas en tocar el suelo.

4. Una muchacha está en la orilla de un mirador y lanza una pelota en dirección vertical hacia arriba. La velocidad inicial de la pelota es de 15.0 m/s y la profundidad del barranco que da al mirador es de 40.0 m. Determina la distancia total que recorre la pelota desde el sitio en que es lanzada hasta el punto en que golpea el fondo del barranco.

5. Un helicóptero deja caer una carga de provisiones desde una altura de 25 m con una velocidad inicial de 2.0 m/s. Calcula el tiempo que tarda la carga en llegar al suelo y la velocidad con la que choca.

¿Qué sucede cuando dejas caer una canica? ¿Qué pasará si cambias la canica por una pelota de esponja? ¿Qué tipo de movimiento es el que sigue la pelota? Habrás observado que inició como una caída libre y después cambió por completo, porque en cada rebote de la pelota se modificaba un tanto la trayectoria, de tal manera que es necesario que empleemos un plano cartesiano con los ejes coordenados x y y colocados adecuadamente para describir la geometría del movimiento. Éste es el objeto de estudio del movimiento bidimensional o en un plano. 72

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Tema 2 Movimiento en dos dimensiones

En los parques de diversiones hay numerosos juegos en los que el propósito es que los usuarios desciendan con malestares diversos como vértigo, sudoración, etc., pues en eso consiste lo “divertido” del mismo; ¿has hecho un viaje en un juego de tal tipo?, ¿bajo qué condiciones ocurre el movimiento?, ¿es un movimiento simple o es el resultado de una combinación de trayectorias?

El movimiento de los cuerpos en dos dimensiones o también llamados movimientos curvilíneos, pueden ser tratados como una composición de dos movimientos rectilíneos: uno horizontal y otro vertical. Enseguida los estudiaremos.

GRÁFICO 8

y Movimiento acelerado (-g)

Tiro parabólico: horizontal y oblicuo

Recibe la denominación de tiro parabólico todo movimiento que describe una parábola en su trayectoria y que puede ser analizado en dos dimensiones, ejemplo de ello es el disparo de una bala por medio de un cañón, el fluir del agua desde una abertura en lo alto de un recipiente, etc. Este movimiento en sí es el resultado de la combinación de los movimientos rectilíneos que ya hemos estudiado: el uniforme y el uniformemente acelerado. En el gráfico 8 podrás observar cómo una pelota es lanzada por un jugador de golf. st-editorial.com

Altura máxima

Movimiento uniforme x Distancia recorrida

El movimiento en el eje vertical se encuentra sujeto a la acción de la aceleración del campo gravitacional mientras que en el eje horizontal la pelota viaja a velocidad constante, ¿cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?, ¿qué distancia recorrerá sobre la horizontal?, ¿en cuánto tiempo la pelota alcanza el objetivo? Para conocer estos 73

BLOQUE 2

En la web Para conocer más acerca de este tema visita la página web st-editorial.com/ enlaweb/fisica1 y consulta el link número 02

valores no sólo debemos saber los tipos de movimiento, también requerimos de dos datos básicos que no se muestran en la figura y que son indispensables: • La velocidad con la que viaja inicialmente el objeto. • El ángulo con que sale disparado. Tiro oblicuo. Cuando el ángulo es mayor

a 0° y menor a 90°. Ver gráfico 8 [Ej. 11 y 13]. Tiro horizontal. Cuando el disparo o lanzamiento se realiza a 0° exactamente [Ej. 12]. Las ecuaciones que te presentamos a continuación son generales y las puedes aplicar en forma indistinta, sólo es necesario que recuerdes cuál es la diferencia entre uno y otro tipo de tiro. Consideremos entonces que la velocidad inicial del lanzamiento es vo y que forma un ángulo q con la horizontal. Para el movimiento horizontal a velocidad constante tenemos: • Velocidad del proyectil (m/s). 22. vx = vocosq • Distancia que recorre el proyectil (m). 23. x = (vocosq)t En el movimiento vertical la aceleración es constante e igual a g, de tal manera que se verifica: • Velocidad inicial del proyectil (m/s). 24. (vo)y = (vosenq) • Velocidad final del proyectil (m/s). 25. vy = vosenq - gt O bien cuando existe una diferencia de alturas: 26. v y = ^vo seni h2 – 2 g ^ y f – yoh [m/s] • Recorrido vertical (m). gt2 27. h = ^vo seni h t – 2 Para este conjunto de ecuaciones debes tener presente que es posible conocer

74

en cualquier instante de tiempo la magnitud (v) y dirección (b) de la velocidad, es suficiente recordar que el teorema de Pitágoras nos permite obtener la magnitud de un vector cuyas componentes son conocidas: v = v2x + v2y

vy b = arctan b v l x

Y que de acuerdo a la ecuación 23 podemos calcular el tiempo (s) de recorrido para cualquier distancia horizontal como: 28. t =

x vo cos i

La sustitución de esta ecuación en la expresión 17 nos permite obtener la ecuación de la altura vertical (m) expresada en la forma general de la ecuación de una parábola: gx2 29. h = ^tan i h x – 2^vo cos i h2 De acuerdo a la ecuación 21 la altura máxima (m) en el tiro es: ^vo seni h2 30. hmax = 2g ¿Y cómo determinas la distancia máxima? Recordarás que en el tiro vertical el tiempo total de recorrido es: 2v tr = g o

Entonces, al sustituir la componente vertical de velocidad inicial tenemos que en este caso el tiempo de recorrido (s) es: 31. tr =

2 vo seni g

Con esta expresión del tiempo total podemos entonces retomar la ecuación de distancia horizontal recorrida (x), y la sustitución y reducción de términos nos conduce a la ecuación que nos permite calcular la distancia máxima recorrida (m) a partir de los datos básicos, velocidad inicial y dirección con la que efectuó el lanzamiento: 32. L =

v2o sen2i g

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IDENTIFICAS DIFERENCIAS ENTRE DISTINTOS TIPOS DE MOVIMIENTOS

Ejemplo 11 El jardinero central de un equipo de béisbol atrapa la pelota momentos después de que un oponente la golpea con el bate y rápidamente la lanza hacia el jugador de tercera base con un ángulo de 25° respecto a la horizontal y una velocidad de 20 m/s. Considerando que la posición a la que hizo el lanzamiento se encuentra a 45 m y el jugador que espera la pelota la recibirá a la misma altura del lanzamiento, determinemos si su lanzamiento es apropiado o no.

Solución a. ¿Con que datos contamos? • Ángulo del lanzamiento, q = 25°. • Velocidad inicial, vo = 20 m/s. • Distancia entre el lanzador y el receptor, x = 45 m. • Incógnitas: alcance del lanzamiento, L. b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular si el lanzamiento tiene el alcance suficiente o no para que el receptor de tercera base atrape la pelota. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Con los datos analizamos el lanzamiento como un tiro parabólico y sustituimos directamente en la ecuación 32: d. Operaciones. L=

v o2 sen2i 20 2 sen50c = = 31.235 m g 9.81

e. Resultado. El alcance del lanzamiento es de 31.235 m por lo que entonces no es factible que el jugador de tercera base atrape a la pelota, el impulso necesario para lanzar la pelota no es suficiente ya que caerá aproximadamente 14 m antes del blanco previsto.

Ejemplo 12 El puente suspendido que atraviesa un río se cayó en la última tormenta y los habitantes de una de las orillas quieren ayudar a los damnificados de la otra, arrojándoles medicamentos y alimentos en pequeños paquetes, con un dispositivo que los lanza horizontalmente. Si los lanzamientos se hacen a 3.5 m por encima de la orilla que se inundó, determinemos la velocidad que deben procurar los benefactores al momento de arrojar los paquetes para que se alcancen a librar los 24 m de ancho que tiene el río. st-editorial.com

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Ángulo del lanzamiento, q = 0°. • Altura del sitio de lanzamiento, y = 3.5 m. • Separación entre objetivo y lugar de disparo, x = 24 m. • Incógnitas: velocidad de cada paquete al ser lanzado, vo. b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular la velocidad con que deben lanzarse los paquetes para que atraviesen el río. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Con los datos analizamos el lanzamiento como un tiro horizontal, de tal manera que tomamos el movimiento horizontal y el vertical. d. Operaciones. La ecuación 23 nos indica que el recorrido horizontal es: x = (vocosq)t Y la sustitución de datos nos lleva a: 24 = vot De acuerdo a los datos, la distancia vertical a la que caerán los paquetes es de 3.5 m, entonces para el movimiento vertical tomamos la ecuación 27 y sustituimos datos: -3.5 = ^vo sen0ch t –

9.81 t 2 2

De donde se tiene finalmente que el tiempo del recorrido es: t=

2#7 9.81 = 1.194 s

Así, podemos concluir entonces, que la velocidad inicial debe ser: vo = 24/1.194 = 20.090 m/s. e. Resultado. La velocidad de lanzamiento debe ser de 20.09 m/s. Observa que en la sustitución de la altura se tomó el dato como negativo porque el origen del sistema de referencia siempre se coloca en el sitio de lanzamiento o disparo y el “blanco” se encuentra por debajo de tal origen.

Ejemplo 13 Se coloca un mortero a 6 km de la cima de una colina y se ajusta a 45° para que cualquier proyectil que se lance pueda librar el pico de tal colina. Calculemos la magnitud de la velocidad inicial y la altura de la colina sobre el nivel del mar en el entendido de que el mortero se encuentra a 250 m sobre el nivel del mar. 75

BLOQUE 2

d. Operaciones. Sabemos que en un tiro vertical la velocidad es nula en la parte más alta de la trayectoria, entonces, de acuerdo a la ecuación 25: 0 = vosenq - gt

` t=

vo

Que es el tiempo necesario para que el proyectil alcance la cima y la libre, al sustituir este valor de tiempo en la ecuación de desplazamiento en el recorrido horizontal tenemos entonces que:

q

Nivel del mar

v0 sen q g

FIGURA 6

Observa que los datos del ejemplo 13 aparecen aquí representados.

x = (vocosq)t =

Solución

v o2 cos

g

sen

La velocidad inicial es entonces:

a. ¿Con qué datos contamos? • Ángulo del lanzamiento, q = 45°. • Altura del sitio de lanzamiento, yo = 250 m. • Separación entre el pico de la colina y lugar de disparo, x = 6 000 m. • Incógnitas: velocidad del misil al ser lanzado, vo y altura del pico sobre el nivel del mar, h.

vo =

t=

4

5

=

6000 # 9.81 cos45c sen45c = 343.103 m/s

343.103 sen45c = 24.731 s 9.81

Con estos datos sustituimos en la ecuación 27 y obtenemos la altura total de la colina: h = 250 + ^343.103 sen45ch # 24.731 –

c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Debemos primero determinar el tiempo que requiere cada misil para alcanzar la altura de la colina y librarla. Con los datos analizamos el lanzamiento tomando el movimiento horizontal y el vertical

competencias genéricas

xg sen

Con un tiempo de recorrido de:

b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular la velocidad con que se lanza cada misil y la altura de la colina.

Actividad individual

cos

9.81 # 24.731 2 = 3250 m 2

e. Resultado. La velocidad de lanzamiento debe ser de 343.103 m/s, mientras que la altura de la colina es de 3 250 m sobre el nivel del mar. Observa que en este caso la altura dato se adiciona para calcular el total que se solicita.

7

competencias disciplinares

3

7 10

desempeños del estudiante

b

c

I. Para que puedas resolver con más facilidad estos ejercicios, te recomendamos consultar las ecuaciones de la 22 a la 32, correspondientes al tiro parabólico. No olvides realizar los dibujos o diagramas necesarios para visualizar lo que sucede. Evita los errores en la consideración de la altura a la que se realiza un disparo.

1. En una práctica de fútbol americano, el mariscal de campo lanza un pase en donde el balón sigue una trayectoria que forma un ángulo de 45° con respecto a la horizontal y con una velocidad vo. En el mismo instante, un receptor que se encuentra a 6 m de distancia empieza a correr con una velocidad constante de 3 m/s hacia el fondo del campo. Determina la velocidad con que se lanzó la pelota y la distancia recorrida por el corredor, si el receptor atrapa la pelota a la misma altura a la que fue lanzada.

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IDENTIFICAS DIFERENCIAS ENTRE DISTINTOS TIPOS DE MOVIMIENTOS

2. Desde lo alto de un acantilado de 140 m de altura se lanza un proyectil horizontalmente con una veloci-

dad de 60 m/s. Determina el tiempo necesario para que se impacte en el blanco que se ubica en el piso del acantilado. Si el blanco se encuentra a 300 m del pie del acantilado, ¿hubo error en el lanzamiento?

3. El personal de limpieza de una compañía de servicios deja una manguera tendida en el piso y acciden-

talmente alguien abre la llave del agua. Debido a la presión y el caudal, el agua sale disparada hacia arriba con un ángulo de 40° con respecto a la horizontal y una velocidad de 10 m/s, ¿A qué altura golpeará una pared a 6 m de distancia sobre la que algunos clientes hacen fila?

4. El piloto de un avión debe arrojar una caja con medicinas y alimentos en una zona montañosa afectada

por un sismo, y hacer que caiga en un blanco marcado en tierra. El avión vuela horizontalmente con una velocidad de 193 km/h y a una altura de 152 m por encima del suelo.¿Qué ángulo con la horizontal debe formar la visual al blanco en el instante del lanzamiento?

II. Anexa esta actividad a tu portafolio de evidencias.

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Movimiento circular: uniforme y uniformemente acelerado

Consideremos ahora un movimiento en dos dimensiones que no resulta de la combinación de un movimiento rectilíneo uniforme y uno uniformemente acelerado: el movimiento circular. Se dice que existe un movimiento circular cuando el cuerpo bajo análisis describe una trayectoria circular en su recorrido y al igual que en el movimiento rectilíneo se puede presentar un movimiento uniforme o un movimiento uniformemente acelerado. Es común emplear el término de rotación para describir este tipo de movimiento debido a que en ambos casos el cuerpo o algunos de sus elementos describen una trayectoria circular, pero no son sinónimos. Observa el siguiente infográfico. Infográfico 1 Movimiento circular: uniforme y uniformemente acelerado Resulta muy común que las personas utilicen como sinónimos movimiento circular y rotación para nombrar la idea de dar vueltas. Sin embargo, ten presente que hablamos de rotación cuando existe un eje fijo alrededor del cual ocurre tal comportamiento cinemático como es el caso de una rueda o una hélice. Algunas maniobras aéreas de los pilotos ayudan a ejemplificar cada tipo de movimiento.

Movimiento circular uniforme Un avión de propaganda que describe círculos mientras realiza sus anuncios tiene movimiento circular.

Dos aviones en un espectáculo aéreo se encuentran de frente en el aire; ambos cambian su trayectoria de recta a circular, y en algunos casos forman espirales.

Movimiento circular uniformemente acelerado Dos o más aviones se acomodan en una formación circular, conocida como “Luftberry”, en la que uno está detrás del otro; aumentan la velocidad pero sin chocar entre ellos y sin modificar las distancias, la aceleración de cada avión es la misma y aparenta viajar con movimiento uniforme.

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IDENTIFICAS DIFERENCIAS ENTRE DISTINTOS TIPOS DE MOVIMIENTOS

Retomemos el ejemplo del avión al que hacíamos referencia en el infográfico y ubiquemos uno en un sistema de referencia x, y en donde el origen se coloca precisamente en el centro de la trayectoria descrita (gráfico 9) GRÁFICO 9

y

A r x

o

La ubicación de nuestro móvil la realizamos empleando un vector de posición r, cuya magnitud es igual a la del círculo que describe. En este punto surge nuestra primera pregunta: ¿Cómo se efectúa el recorrido? Inicialmente se observa un desplazamiento angular (q), que corresponde al arco de circunferencia que recorre el avión (o cualquier objeto) al pasar del punto A al punto B (gráfico 10). GRÁFICO 10

y

B

A

r q o

r x

El desplazamiento angular se expresa en radianes de acuerdo al Sistema Internacional de Unidades, aunque también es común que se empleen los grados sexagesimales: un círculo contiene 360° o 2p radianes. Si ahora asumimos que en el punto A el tiempo de referencia es to y que al llegar al punto B el cronómetro nos indica un tiempo t1, tenemos entonces que el cambio de posición angular con respecto al tiempo se define como la velocidad angular (w) del cuerpo: i –i i 33. ~ = t B – t A = t 1 o Donde: w = velocidad angular expresada rad/s. q = qB – qA = desplazamiento angular expresado en radianes. t = t1 – to = lapso de tiempo en segundos que transcurre para el cambio de la posición A, a la posición B. st-editorial.com

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BLOQUE 2

Es importante enfatizar dos aspectos: el primero es que en muchas situaciones de la vida práctica se emplea como unidad de la velocidad angular las revoluciones por minuto (rev/min o rpm), y el segundo, que la ecuación 33 es análoga a la ecuación 7, sólo cambian las variables pues en lugar de ser “lineales” ahora son de tipo “angular”. Al igual que en el movimiento rectilíneo tenemos que cuando se sabe de una variación entre la velocidad inicial y la final, es posible calcular el promedio de la velocidad. En este caso tenemos: 34. ~m =

~ f + ~i 2

Donde: wf = velocidad angular final. wi = velocidad angular inicial. Consideremos ahora que debido a las condiciones del viento, el avión continúa describiendo una trayectoria circular, pero que reduce e incrementa su velocidad lineal en forma secuencial. Esto trae como consecuencia un cambio en la velocidad angular con la que está efectuando su recorrido. El cambio de velocidad angular con respecto al tiempo se le denomina aceleración angular, y se representa: ~ –~ ~ 35. a = t B – t A = t 1 o Donde: a = aceleración angular expresada en rad/s2. w = wB – wA = velocidad angular. t = t1 – to = lapso de tiempo en segundos que transcurre para el cambio de velocidad. ¿Cómo relacionamos el movimiento lineal con el angular? Para ello recurrimos a las ecuaciones 7 y 33, ¿Cuál es la variable en común? El tiempo t, despejemos de ambas ecuaciones esta variable e igualémoslas: d i t=v =~

La velocidad lineal del objeto de acuerdo al movimiento curvilíneo que sigue, conocida como velocidad tangencial es, entonces: v=

d ~ i

Y al recordar que la longitud de un arco de circunferencia se define como d  =  r θ,  (gráfico 11), se concluye que: 36. v = r w Donde: v = velocidad tangencial del objeto expresada en m/s. r = radio de la trayectoria circular, en m. w = velocidad angular con la que el objeto describe la trayectoria, en rad/s.

Glosario 80

Velocidad tangencial. Velocidad de un cuerpo que se mueve con movimiento circular y que es tangente a la trayectoria que se describe. st-editorial.com

IDENTIFICAS DIFERENCIAS ENTRE DISTINTOS TIPOS DE MOVIMIENTOS GRÁFICO 11

d = rq

q

r

La velocidad tangencial siempre mantiene la misma dirección (su nombre nos lo indica), pero su magnitud puede cambiar con el tiempo. Por lo tanto, el vector aceleración puede tener un cambio tanto en magnitud como en dirección. Tomemos dos puntos muy cercanos entre sí en una trayectoria circular, tanto que su separación no es apreciable a simple vista, en los que se presenta un cambio instantáneo de velocidad. El gráfico 12 ilustra este caso. GRÁFICO 12 y

v v

vB

q vB

vA x

vA Los puntos A y B casi coinciden

El vector de la diferencia de velocidad es: v = vB - vA El cambio respecto al tiempo de este vector (en magnitud y dirección) corresponde a la aceleración lineal del móvil (a) en la trayectoria curva: a = aB - aA Al proyectar el vector a sobre la línea de acción de vA y la perpendicular a este vector obtenemos el gráfico 13. GRÁFICO 13

a sen q

a q a cos q

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El cambio en magnitud de la aceleración en la dirección de la velocidad es acosq, mientras que la proyección perpendicular a la línea de acción del vector velocidad nos muestra el cambio de dirección del vector velocidad, y su magnitud es asenq. A la primera componente se le denomina aceleración tangencial y su magnitud es at = acosq Sustituyendo a = v/t y considerando que para ángulos muy pequeños cosq ≈ 1 se concluye que: v r~ at = t = t

Y puesto que al cambio de velocidad angular con respecto al tiempo se le denomina aceleración angular (a) se concluye que: 37. at = r a Donde: at = aceleración tangencial del objeto expresada en m/seg2. r = radio de la trayectoria circular, en m. a = aceleración angular con la que el objeto describe la trayectoria, en rad/s2. La segunda componente de aceleración nos muestra el cambio en la dirección de la aceleración

total y se denomina aceleración normal o centrípeta en este caso consideramos que senq ≈ q para ángulos muy pequeños y entonces al sustituir como en el caso anterior tenemos: vi an = t

Por la definición de velocidad angular se concluye entonces: 38. an = vw = r w2 Donde: an = aceleración normal (o centrípeta) del objeto expresada en m/s2. r = radio de la trayectoria circular, en m. v = velocidad tangencial del cuerpo, en m/s. w = velocidad angular con la que el objeto describe la trayectoria, en rad/s. Entonces la magnitud de la aceleración lineal es: 39. a = a2n + a2t Los ejemplos siguientes te muestran la forma en que debes emplear las ecuaciones de la 33 a la 39, que hemos obtenido en el análisis de problemas de movimiento circular [Ejs. 14, 15 y 16].

Ejemplo 14 Una rueda esmeriladora gira a 300 rev/min y disminuye su velocidad a 100 rev/min en 12 segundos. Calculemos el número de revoluciones en el tiempo indicado y la desaceleración angular que sufre.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Velocidad angular inicial, wo = 300 rev/min. • Velocidad angular final, wf = 100 rev/min. • Tiempo en que se reduce la velocidad angular, t = 12 s. • Incógnitas: numero de revoluciones que gira la rueda para reducir la velocidad y desaceleración angular que sufre. b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular desplazamiento angular neto y desaceleración angular de la rueda de esmeril. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Dado que sólo conocemos los valores inicial y final de velocidad angular, así como el tiempo que ocurre esto aplicaremos nuestras definiciones en forma directa.

Glosario 82

Aceleración normal o centrípeta. Aceleración que sufre un cuerpo en movimiento circular uniforme por el cambio de dirección del vector velocidad; esta aceleración se dirige hacia el centro de la trayectoria que describe el cuerpo. st-editorial.com

IDENTIFICAS DIFERENCIAS ENTRE DISTINTOS TIPOS DE MOVIMIENTOS

d. Operaciones. Antes que nada debemos ajustar unidades para la velocidad angular: rev 2r rad 1 min ~ f = 300 min 1 rev 60 s = 31.416 rad/s rev 2r rad 1 min ~ o = 100 min 1 rev 60 s = 10.472 rad/s

De la ecuación 33 tenemos que en general, el desplazamiento angular neto es:

d. Operaciones: Sabemos que la longitud de arco se define como: d = rq ∴ q = d/r = 6/0.6 = 10 rad Conocemos que la velocidad tangencial se calcula mediante v = rw, pero w = q/t, de donde se concluye que: v = rq/t ∴ t = rq/v Sustituyendo. t = 0.6(10)/0.55 = 10.909 s

qf – qo = q = wt

e. Resultado. En un tiempo de 10.909 s se desenredan los 6 m de cordel de tal manera que el carrete da 1.59 revoluciones.

De acuerdo a los datos, la velocidad angular a considerar es la promedio, es decir:

Ejemplo 16

~m =

31.416 + 10.472 = 20.944 rad/s 2

Entonces, el desplazamiento angular neto es: q = 20.944(12) = 251.328 rad o 40 revoluciones Y la aceleración angular: a=

10.472 – 31.416 = - 1.745 rad/s2 12

Para apagar el incendio de un bosque, un avión viaja a lo largo de una trayectoria circular que tiene un radio de 32 m. Determinemos la magnitud de la aceleración del avión si en un momento dado su aceleración tangencial es de 6 m/s2, mientras que su velocidad es de 25 m/s.

Solución

e. Resultado. La desaceleración angular es de 1.745 rad/s2 y se requieren de 40 revoluciones para reducir la velocidad angular de 300 rpm a 100 rpm.

a. ¿Con qué datos contamos? • Radio de la trayectoria, r = 32 m. • Aceleración tangencial, at = 6 m/s2. • Velocidad tangencial, v = 25 m/s. • Incógnitas: magnitud de la aceleración del avión.

Ejemplo 15

b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular la aceleración total del avión.

En un proceso de hilado el cordel de un carrete de 60 cm de radio se jala con una rapidez de 55 cm/s. Determinemos el tiempo y el número de vueltas que da el carrete para que se desenreden 6 m del cordel. Supongamos que la variación del radio no es apreciable.

c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Calcularemos la aceleración centrípeta y luego determinaremos la aceleración total.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Radio del carrete, r = 0.6 m. • Velocidad tangencial, v = 0.55 m/s. • Longitud de cordel desenredada, l = 6 m. • Incógnitas: número de revoluciones del carrete y tiempo que le toma desenredar 6 m. b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular desplazamiento angular neto y tiempo para que esto ocurra. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Primero tomamos la definición de longitud de arco y calculamos el desplazamiento angular, después determinamos la velocidad angular y calculamos el tiempo.

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d. Operaciones. Sabemos que la aceleración centrípeta se define como an = rw2, y dado que también se cumple que w = v/r, podemos definir: v2 25 2 an = r = 32 = 19.531

La aceleración total tiene una magnitud de: a=

a n2 + a t2 =

^19.531h2 + ^ 6 h2

= 20.432

e. Resultado. La aceleración total del avión es de 20.432 m/s2 y de acuerdo a los resultados, la componente centrípeta es mayor a la tangencial, de tal manera que la dirección de este vector es muy próxima al radio de la trayectoria.

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BLOQUE 2

Actividad grupal

competencias genéricas

1 4 5 8

competencias disciplinares

3 6 7 10

desempeños del estudiante

b

c

I. Reúnete con dos compañeros para resolver los ejercicios de esta sección. Además de

su calculadora, requieren consultar las ecuaciones de la 33 a la 39, correspondientes a los conceptos generales del movimiento circular. Si lo consideran necesario, dibujen en sus cuadernos los diagramas que representan el movimiento que ocurre en cada problema.

1. El prototipo de un nuevo auto se prueba en una pista circular cuyo radio es de 350 m.

La velocidad en la cual se realiza un ensayo se mantiene constante de modo tal que el acelerómetro registra una aceleración normal de 1.5 m/s2. Determina la rapidez a la cual está viajando el automóvil.

FIGURA 7

Cuando la avioneta se mueve a velocidad constante describiendo una trayectoria circular, se origina la aceleración normal o centrípeta.

2. Un globo meteorológico se ubica a una altura de 13 km. Encuentra la rapidez con la describe una trayectoria circular considerando que es afectado por una aceleración centrípeta de 7.63 m/s2.

3. Una rueda tiene una velocidad angular inicial en el sentido de giro de las agujas del reloj de 9 rad/s y una aceleración angular constante de 4 rad/s2. ¿Cuántas vueltas debe dar para que alcance una velocidad angular de 18 rad/s? ¿Qué tiempo le toma?

4. La rueda de un esmeril gira a 48 rad/s cuando se corta el suministro de energía eléctrica. Si el tiempo necesario para que la tina se detenga es de 8 s, determina la desaceleración angular constante del sistema y el número total de vueltas que realiza la tina para detenerse.

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IDENTIFICAS DIFERENCIAS ENTRE DISTINTOS TIPOS DE MOVIMIENTOS

5. Un auto viaja en una pista circular y en determinado instante su aceleración es de 7.5 m/s2 con una dirección de 50°, como se ilustra en el gráfico y una velocidad de 120 km/h. Determina el radio de la pista y la aceleración tangencial del auto.

II. Anexen esta actividad a su portafolio de evidencias. Movimiento circular uniforme. Se denomina movimiento circular uniforme a aquél

en que el objeto recorre arcos de circunferencia iguales en lapsos iguales, de tal manera que la velocidad angular permanece constante [Ej, 17, 18 y 19]. Existen algunas variables que son útiles cuando se asocia este tipo de movimiento a otros fenómenos: • El tiempo que le toma a un cuerpo recorrer toda la trayectoria circular (360° o 2p rad) se le denomina periodo (T) y su unidad de medida es el segundo (s). • Al número de veces que el cuerpo cubre completamente la trayectoria circular en la unidad de tiempo se le denomina frecuencia (f ) y su unidad de medida es ciclos/s (s-1) o hertz (Hz). 1 40. f = T

La sustitución de la frecuencia en la definición de velocidad angular nos lleva a obtener ecuaciones alternas para los movimientos lineal y angular: i ~ = T = if

Y si consideramos que el arco recorrido en el tiempo T es 2p rad tenemos que en general: 41. w = 2pf Y entonces la velocidad tangencial (m/s): 42. v = 2prf st-editorial.com

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Movimiento circular uniformemente acelerado. Este

tipo de movimiento ocurre –en forma similar al movimiento lineal– cuando la velocidad angular del objeto que describe una trayectoria circular cambia en el tiempo, incrementándose o reduciéndose de tal manera que la aceleración angular es constante. Se considera que la aceleración angular promedio es, en este caso, la relación entre la diferencia de velocidad angular final y velocidad angular inicial, en un lapso específico: 43. a =

~ – ~o t

Se establece que en general: 44. w = wo + at Si se toma en cuenta que el desplazamiento angular es el producto de la velocidad angular por el tiempo

(ecuación 33) y sustituimos la ecuación de velocidad angular promedio, se tiene que el desplazamiento angular en este tipo de movimiento es: at 2 45. i f = io + ~ot + 2

Donde: qf = ángulo (o posición angular) final del objeto expresaso en rad. qo = ángulo (o posición angular) inicial del objeto. wo = velocidad angular inicial del móvil. a = aceleración angular del móvil. t = tiempo en el que ocurre el cambio de posición angular. Se tiene que la velocidad angular final, como una función del cambio de posición angular y de la aceleración angular, es: 46. ~ f =

~2o + 2a^i f – ioh

Ejemplo 17 Un ventilador funciona a una velocidad angular constante de 150 rad/s. Calculemos la frecuencia de la rotación y la velocidad tangencial de cualquier punto situado en el borde de las aspas, a una distancia de 15 cm.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Velocidad angular w = 150 rad/s. • Radio de la trayectoria, r = 0.15 m. • Incógnitas: frecuencia del movimiento y velocidad tangencial en el borde de las aspas. b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular la frecuencia y la velocidad tangencial de las aspas. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Partimos de la consideración de que el movimiento es a velocidad angular constante y aplicamos directamente las ecuaciones. d. Operaciones. Al considerar que w = 2pf, la sustitución directa del dato nos conduce a: f = 150/2p = 23.873 Hz. Por lo que entonces la velocidad tangencial del borde de las aspas es: v = 2p(0.15)23.873 = 22.5 m/s2. e. Resultado. La frecuencia del movimiento circular es de 23.873 Hz y la velocidad tangencial del borde de las aspas es de 22.5 m/s.

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IDENTIFICAS DIFERENCIAS ENTRE DISTINTOS TIPOS DE MOVIMIENTOS

Ejemplo 18 Una rueda tiene una velocidad angular inicial de 10 rad/s en sentido horario y una aceleración angular constante de 3 rad/s2. Determinemos el número de revoluciones que debe ejecutar para alcanzar una velocidad angular de 25 rad/s en sentido horario. ¿Cuánto tiempo se requiere?

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Velocidad angular inicial, wo = 10 rad/s. • Velocidad angular final, wf = 25 rad/s. • Aceleración angular, a = 3 rad/s2 (constante). • Incógnitas: tiempo y número de revoluciones necesarias para que la rueda alcance la velocidad angular de 25 rad/s. b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular el tiempo y las revoluciones que da la rueda en un movimiento angular uniformemente acelerado. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Aplicamos directamente las ecuaciones del movimiento angular uniformemente acelerado. d. Operaciones. La velocidad angular se puede expresar como una función de la aceleración angular y del desplazamiento angular (ecuación 46), así podemos entonces sustituir los datos y despejar el valor del desplazamiento angular: (25)2 = (10)2 + 2(3)(q – qo) De esta ecuación tenemos: q = 525/6 = 87.5 rad Para el cálculo del tiempo empleamos la ecuación 44, donde también sustituimos en forma directa los datos: 25 = 10 + 3 (t - to), lo cual nos conduce a t = 15/3 = 5 s e. Resultado. El número de revoluciones que ejecuta la rueda para aumentar su velocidad de 10 rad/s a 25 rad/s es de 13.92 durante un lapso de 5 segundos.

Ejemplo 19 El volante de una troqueladora tiene una velocidad angular que se incrementa en forma uniforme desde 5 rad/s hasta 20 rad/s en 90 s. Si el

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diámetro del volante es de 61 cm, determinemos la magnitud de la aceleración normal y de la aceleración tangencial de un punto cualquiera del borde del volante en el instante en que t = 90 s, así como la distancia que tal punto viaja en el lapso de tiempo indicado.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Velocidad angular inicial, wo = 5 rad/s. • Velocidad angular final, wf = 20 rad/s. • Lapso de tiempo, t - to = 90 s. • Radio del volante, r = 0.305 m. • Incógnitas: Aceleración normal y aceleración tangencial, distancia que recorre un punto del borde del volante. b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular numéricamente las magnitudes de aceleración normal, aceleración tangencial y distancia recorrida por un punto del borde del volante. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Calculamos la aceleración normal con los datos que tenemos y después resolvemos el movimiento angular para determinar la aceleración angular, y con ésta, la aceleración tangencial. A continuación evaluamos el desplazamiento neto para calcular la distancia recorrida. d. Operaciones. Para la aceleración normal tenemos: an = r w2 = 0.305(20)2 = 122 m/s2 Para la aceleración tangencial se tiene que la ecuación 44 nos indica: 20 = 5 + a (90) \ a = 0.167 rad/s2 Por lo que: at = r a = 0.305(0.167) = 0.051 m/s2 El desplazamiento angular recorrido, de acuerdo a la ecuación 46, es: (20)2 = (5)2 + 2(0.167)(q – qo) De esta ecuación tenemos: q = 375/0.333 = 1125 rad Por lo que la distancia recorrida es: d = r q = 0.305(1125) = 343.13 m e. Resultado. La aceleración tangencial es de 0.051 m/s2; la aceleración normal, 122 m/s2; y la distancia total recorrida por un punto cualquiera del borde, 343.13 m. La aceleración normal se toma como referencia en el diseño dinámico de este tipo de elementos, ya que la fuerza que deben transmitir debe ser muy grande con el menor consumo de energía.

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BLOQUE 2

Actividad individual

competencias genéricas

1

4

5

competencias disciplinares

3

6 7 10

desempeños del estudiante

b

c

Para realizar los siguientes ejercicios, consulta las ecuaciones de la 40 a la 46 y repasa los ejemplos para que puedas identificar el tipo de movimiento que se te presenta en cada uno de los ejercicios siguientes. De ser necesario, realiza en tu cuaderno los dibujos o diagramas que creas convenientes para resolver los problemas propuestos.

1. Una rueda tiene una velocidad angular inicial en el sentido de las agujas del reloj de 10 rad/s, y 12 s después su velocidad es de 10 rad/s, en sentido opuesto. ¿Cuál es el valor de la aceleración?, ¿cuántas vueltas dio en total?

2. La velocidad angular de una piedra de esmerilar se incrementa uniformemente desde 3 rpm en t = 0 hasta 10 rpm en t = 4 s, para que se puedan realizar las operaciones de acabado superficial. Calcula la magnitud de la velocidad y de la aceleración de un punto de desbaste en la superficie exterior de la piedra, cuyo radio es de 80 cm.

3. La tina de una secadora trabajaba a 50 rad/s cuando hubo un corte de energía eléctrica, y se conoce que

le toma 15 segundos regresar al reposo. Calcula la desaceleración angular que se produce y el número de vueltas que giró la tina antes de detenerse por completo.

4. Un disco gira inicialmente a una velocidad angular de 8 rad/s cuando se sujeta a una aceleración angular constante de 6 rad/s2. Determina la magnitud de la velocidad y de las componentes normal y tangencial de la aceleración de un punto situado a 30 cm del centro de giro en el instante en que t = 3 s.

5. El dibujo muestra un arreglo simple para elevar pesos pequeños. La polea es operada por un motor que la mueve con una velocidad angular de 6 rad/s y le aplica una aceleración angular constante de 3 rad/s2. Determina la magnitud de la velocidad y aceleración del bloque B cuando t = 2 s.

Radio de la polea 15 cm

B

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IDENTIFICAS DIFERENCIAS ENTRE DISTINTOS TIPOS DE MOVIMIENTOS

Lee Los La sesenta… velocidad de la vida (Fragmento) Vivimos en un mundo cada vez más apresurado, y por nuestra lucha contra el reloj, nos rodeamos de dispositivos encargados de medir nuestro andar, y pretendemos ganar segundos aumentando nuestra velocidad. Cuando se desarrolló la rueda, el mundo se transformó, se aceleró la vida de los seres humanos hasta llegar a los niveles que hoy conocemos, al menos sobre la superficie terrestre. Con los avances científicos y tecnológicos, la humanidad ha sido capaz de conseguir velocidades difíciles de imaginar, gracias al uso de máquinas e implementos tecnológicos; hasta este momento, la máxima velocidad alcanzada es la de la nave X-43A, que es siete veces mayor que la del sonido (331 m/s); así que esta nave vuela a 2 317 m/s. Un ser humano normal camina a una velocidad promedio de 3 km/h. Hasta el momento de publicarse este artículo, el hombre más veloz sobre la faz de la Tierra era el jamaiquino Asafa Powell, quien batió el récord del mundo de los 100 m planos en un tiempo de 9.77 s; tal hazaña la logró durante una reunión atlética en el estadio olímpico de Atenas. Dicho de otra manera: Powell corre

a unos 97 km/h, pero, claro, sólo durante un trayecto de 100 m. Entre los animales de tierra firme, el que alcanza la mayor velocidad es el guepardo o chita, capaz de correr a 120 km/h, pero sólo en distancias cortas. Si se trata de mantener velocidad, encontramos a la gacela de Mongolia, que puede mantenerse corriendo a 100 km/h durante mucho tiempo. Existen otros corredores terrestres como la liebre de las planicies americanas, los caballos pura sangre, las cebras, el avestruz, el zorro de los desiertos, el canguro, el león africano, el gato doméstico, los elefantes, entre otros. En el agua, el animal más veloz es el pez aguja, capaz de nadar a 100 km/h, pero enfrenta una situación parecida a la del guepardo, ya que solamente puede mantener esa velocidad por poco tiempo. También en el medio acuático encontramos un pez volador del género Exocoetus, que nada a unos 80 km/h; no obstante, al salir del agua para capturar insectos y otros organismos que flotan en el aire, puede alcanzar en el momento del despegue velocidades de hasta 600 km/h.

El aire es, sin duda, el ambiente donde se registran las velocidades más altas, y la mayor de ellas es la del halcón peregrino, que alcanza 300 km/h en el vuelo en picada para capturar sus presas. Entre los voladores más veloces se encuentra también un insecto, el tábano, que alcanza la velocidad de 145 km/h, seguido de la libélula australiana, que llega a los 90 km/h. No obstante las velocidades alcanzadas por los seres vivos mencionados anteriormente, nada es comparable con la del planeta Tierra, sobre la superficie del cual nos movemos, que recorre unos 2 000 km/h diariamente cuando rota, dando origen así al día y la noche. Esta velocidad se registra en el ecuador, o paralelo cero, que es el de mayor longitud. Y como si fuera poco, realiza su movimiento de traslación a una velocidad promedio de ¡108 000 km/h! Existen infinidad de datos que podríamos citar en materia de velocidad, como la de determinadas reacciones químicas, ciertos fenómenos físicos o algunas funciones biológicas, pero lo que hemos referido hasta aquí nos ofrece un pequeño atisbo de la velocidad con la que se desarrolla la vida en nuestro planeta.

Fuente: Heriberto G. Contreras Garibay. “La velocidad de la vida”. Revista de divulgación científica y tecnológica de la Universidad Veracruzana. En:http://bit.ly/11lhoxz I. Realiza un reporte con base en las siguientes preguntas:

1. ¿Es posible que un ser humano alcance 97 km/h o más sin usar ningún aditamento tecnológico? 2. ¿Cómo entrena un corredor? 3. ¿Quién es el poseedor del nuevo récord de los 100 m planos? 4. ¿Qué dispositivos han sido desarrollados para evaluar el rendimiento de un deportista? II. Discute con tus compañeros sobre los límites del ser humano en cuanto a esfuerzo físico.

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Evaluación sumativa Heteroevaluación I. Pide a tu profesor que aplique la siguiente rúbrica con el fin de que pueda registrar tus avances. Como verás es la misma que respondiste en el reto; ahora servirá para medir cuál fue tu desempeño durante el estudio de este bloque. Indicadores de desempeño

Aspectos a evaluar

4 puntos

3 puntos

2 puntos

1 punto

Conceptos básicos relacionados con el movimiento.

Definí plenamente conceptos básicos relacionados con el movimiento.

Definí la mayoría de conceptos básicos relacionados con el movimiento.

Definí vagamente conceptos básicos relacionados con el movimiento.

No definí conceptos básicos relacionados con el movimiento.

Características del movimiento de los cuerpos en una y dos dimensiones.

Identifiqué todas las características del movimiento de los cuerpos en una y dos dimensiones.

Identifiqué la mayoría de las características del movimiento de los cuerpos en una y dos dimensiones.

Identifiqué algunas de las características del movimiento de los cuerpos en una y dos dimensiones.

No identifiqué las características del movimiento de los cuerpos en una y dos dimensiones.

Características y diferencias entre cada tipo de movimiento.

Reconocí y describí, con base en sus características, todas las diferencias entre cada tipo de movimiento.

Reconocí y describí, con base en sus características, la mayoría de diferencias entre cada tipo de movimiento.

Reconocí y describí, con base en sus características, algunas diferencias entre cada tipo de movimiento.

No reconocí ni describí, con base en sus características, diferencias entre cada tipo de movimiento.

Valoración Excelente: 11 a 12 puntos.

Bueno: 8 a 10 puntos.

Mi puntaje

Mi total

Suficiente: 5 a 7 puntos.

Insuficiente: 3 a 4 puntos.

II. Ha llegado el momento de que entregues a tu profesor todos los productos de las actividades que reali-

zaste durante este bloque y que guardaste en tu portafolio de evidencias, ya que con esto podrá evaluarte.

Autoevaluación I. Relaciona las columnas; posteriormente, regresa al bloque para verificar que tus respuestas sean correctas y modifica aquellas que no lo sean. 1. ( ) La aceleración tangencial tiene su origen en...

2.  ( ) La aceleración normal es el resultado de... 3. (  )  El cambio de posición representa... 4. ( )  El cambio de velocidad de un cuerpo en la unidad de tiempo es...

5. ( )  El movimiento circular se confunde a menudo con...

a. la aceleración normal. b. el desplazamiento de la partícula. c. la rotación. d. la aceleración de un cuerpo. e. la velocidad tangencial. f. la traslación curvilínea. g. el cambio de velocidad respecto al tiempo. h. el cambio en la magnitud y dirección del vector velocidad.

i. el desplazamiento de un cuerpo. II. Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios. 1. U  n hombre sale de la ciudad en su auto por un negocio. Al pasar la primera caseta de peaje el hom-

bre acelera y lentamente aumenta la velocidad desde el reposo hasta alcanzar 40 km/hr, después de recorrer 5 km frena pisando a fondo el pedal y el auto llega al reposo recorriendo una distancia de 18 m continúa a una razón de 3.6 m/s cada segundo por 40 m, reduciendo después a 2.4 m/s cada segundo para alcanzar la velocidad de 100 km/h. No se percata de una curva y frena a fondo, el auto presenta un “jalón” y casi se sale de la pista. A partir de los datos anteriores indica lo siguiente:

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a. ¿Qué tipo de movimiento presenta el auto en cada etapa del recorrido? b. ¿Cuáles son los parámetros más importantes del comportamiento cinemático del auto? c. ¿Por qué cambia el comportamiento del auto en curva? 2. Un joven se sube a la rueda de la fortuna de 42 m de diámetro, con todas sus canastillas completas. Esta

rueda inicia su movimiento, el joven abordo nota que, primero la canastilla iba lento, luego muy rápido sin cambiar de velocidad y luego oscilaba. La duración de todo el recorrido fue de sólo 5 minutos incluyendo 1 minuto de tiempo de registro, como el que le tomó al juego detenerse… a. ¿Qué tipos de movimiento se presentaron? b. ¿Qué velocidad tangencial tiene cada canastilla si la velocidad con la que gira la rueda al llegar al máximo es de 60 rpm?, ¿qué valor tiene la aceleración? c. ¿Qué ocurre a una canastilla si se desprende en lo alto?, ¿qué tipos de movimiento presentaría? 3. Un automovilista viaja por una carretera secundaria a 90 km/h y antes de una curva observa un aviso de “Límite de velocidad 60 km/h radar en operación”; sorprendido reduce su velocidad lentamente durante 2 km, hasta alcanzar 60 km/h. Diez segundos después lo detiene la policía federal por no respetar el límite de velocidad. a. ¿Por cuánto tiempo viajó a una velocidad diferente a la permitida? b. ¿Qué tipo de movimiento se realizó? c. ¿Se violó el reglamento de tránsito?

4. En la feria de la localidad se ha descompuesto el carrusel y llaman a un electricista para que lo repare; este debe cambiar los controles dañados por un sistema nuevo que permita el movimiento en forma automática, un inicio lento y un final todavía más suave para que los niños no se mareen. La velocidad del carrusel está limitada a 5 rpm, el número de vueltas a dar es 25 y la aceleración angular no debe ser mayor que 1 rad/s. Determina cómo debe ajustar el sistema de control el electricista para tener el tiempo más apropiado en cada servicio. Toma en cuenta que el consumo de energía eléctrica tiene un costo específico.

III. Reflexiona y responde en tu cuaderno a cada una de las preguntas: 1. ¿Qué aplicación práctica encuentras al estudio del movimiento de los cuerpos? 2. ¿Este bloque te ha aportado conocimientos que te pueden ser útiles en otros campos? 3. ¿Se te dificulta el estudio del movimiento en dos dimensiones? 4. ¿En qué situaciones de tu vida diaria aplicas o ves reflejados los conocimientos que has adquirido? 5. ¿Te consideras apto para estudiar por tu cuenta estos temas si se te presentan con un mayor grado de abstracción matemática?

IV. Contesta la siguiente lista de cotejo para que reconozcas cuáles fueron tus actitudes durante este bloque. Aspecto

Siempre

Algunas veces

Nunca

Me integré al trabajo en equipo. Realicé comentarios acertados de acuerdo con el tema. Mostré una actitud de respeto y compañerismo. Participé en todas las actividades.

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Unidad Desempeños de competencia del estudiante

Bloque Bloque23 Nombre Comprendes del bloque el movimiento de los cuerpos a partir de las leyes de dinámica de Newton

a. Identifila cainfl en los diferentes tipos de movimiento Reconocerás uencia de los factores que las fuerzas que intervienen en el movimiento interviene

de los cuerpos. b. Aplica las leyes de la dinámica de Newton, en la solución y explicación del movimiento de los cuerpos, observables en su entorno inmediato. c. Utiliza la ley de la gravitación universal para entender el comportamiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas gravitatorias. d. Explica el movimiento de los planetas en el Sistema Solar utilizando las leyes de Kepler. Estos desempeños pueden identificarse en cada una de las actividades del bloque, de la siguiente manera: DESEMPEÑOS DEL ESTUDIANTE

a

b

c

d

Bloque Bloque 1 1

Bloque Bloque 2 1

Bloque 2 Bloque 3

Reconoces el lenguaje técnico En el blok1 se elimina básico la física estede espacio

Identificas diferencias entre Nombre del bloque distintos tipos destacado de movimiento

Comprendes el movimiento debloque los cuerpos a partirNombre de Nombre del del bloque las leyes de dinámica de Newton

Bloque 3

Competencias Habilidades a desarrollar a. • Distinguirás los • Leyes de la dinámica b. • Ley c. de la gravitación universal • Leyes d. de Kepler e. f. g. h. i. j. k. l. m.

COMPRENDES EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS A PARTIR DE LAS LEYES DE DINÁMICA DE NEWTON

Actitudes y valores n. •

Asumirás un papel d

Bloque 4 Bloque 4

Bloque 5

Bloque 6

Bloque 7

Relacionas el trabajo con la energíadel bloque Nombre

Nombre del bloque

Nombre del bloque

Nombre del bloque

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Continúa...

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Introducción En los bloques anteriores ya hemos estudiado las características generales del comportamiento de los cuerpos cuando éstos se encuentran en movimiento. Además, ya podemos determinar variables como posición, distancia, velocidad, aceleración y tiempo en una o dos dimensiones.

Ahora nos corresponde estudiar las leyes del movimiento de Isaac Newton y su utilidad práctica. A continuación encontrarás un mapa conceptual con los temas más relevantes del presente bloque.

Leyes de la física dos de las más importantes son

94

leyes de Newton

leyes de Kepler

como

como

primera ley

segunda ley

tercera ley

primera ley

segunda ley

tercera ley

estudia la

relaciona la

estudia la

estudia las

relaciona las

relaciona el

inercia

masa y la aceleración

relación causaefecto

órbitas

áreas y el tiempo

periodo con la distancia

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Para comenzar... Para que puedas comprender los temas de este bloque, es necesario

que rescates las competencias (conocimientos, habilidades, actitudes y valores) que ya has adquirido a lo largo de tu vida. Haz tu mejor esfuerzo para responder y detecta aquellos aspectos que no conoces o dominas para enfocar tu estudio.

I. Escribe en el paréntesis la letra correspondiente a la respuesta correcta.

1. ( ) ¿Qué es la dinámica? a. Es la parte de la física que estudia lo relativo al movimiento de un cuerpo. b. Es el área que se dedica al estudio de fuerzas en reposo. c. Es la parte de la mecánica que estudia las causas del movimiento y sus consecuencias. d. E  s el estudio de las relaciones entre trabajo, energía y fuerza en el movimiento de los cuerpos.

2. ( ) ¿Qué diferencia existe entre peso y masa? a. Ninguna porque se refieren al mismo fenómeno. b. El primero es una cantidad escalar y la segunda es un vector. c. E  l primero es el efecto del campo gravitacional en un cuerpo y la segunda corresponde a la cantidad de materia de éste.

d. El primero depende de la densidad de la sustancia y la segunda es la sustancia. 3. ( ) La fuerza de fricción… a. se opone al movimiento. b. transforma la energía en movimiento. c. es perpendicular a las superficies en contacto. d. realiza un trabajo positivo sobre las superficies en contacto. 4. ( ) Las leyes de Newton… a. son la base de la mecánica moderna. b. relacionan el efecto de las fuerzas que interactúan con cuerpos y su movimiento. c. permiten calcular las propiedades de inercia y masa de un cuerpo. d. son cinco y constituyen el fundamento de la dinámica. 5. ( ) Las leyes de Kepler... a. definen la cantidad de energía de un sistema. b. relacionan masa y aceleración para describir la trayectoria de un planeta. c. nos permiten definir el trabajo que realiza un cuerpo. d. formulan el movimiento general de un planeta.

II. Resuelve los siguientes problemas.

1. U  na caja de madera con su contenido totalizan una masa de 75 kg y se coloca sobre una superficie horizontal. Calcula el coeficiente de fricción entre la caja y la superficie, si se aplica a la caja una fuerza de 125 N paralela a la superficie y observamos que no se desliza.

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95

BLOQUE 3

2. L  a fuerza que transmite el tren motriz a un auto de 1 650 kg cuando arranca desde el reposo en un semáforo es de 4.95 kN. Calcula la velocidad que adquiere al cabo de 8 s.

3. U  n astronauta de 80 kg viaja en una cápsula espacial sujeto a una aceleración de 30 m/s2. ¿Cuál es su peso aparente?

4. C  uando se aplica una fuerza de 250 N a un objeto en reposo le produce una

aceleración de 6.35 m/s2. ¿Cuál es la masa del objeto? ¿Qué velocidad tiene en el segundo 8 a partir del momento en que se aplicó la fuerza?

5. D  etermina la velocidad con la que se lanza verticalmente una piedra de 127 g si la altura que alcanza desde el punto de lanzamiento es de 6 m.

III. Lee el siguiente texto, reflexiona y contesta en tu cuaderno las preguntas que vienen posteriormente.

La carrera espacial ha permitido un desarrollo continuo de la tecnología dando paso a nuevos materiales para objetos tan diferentes como ropa o material quirúrgico. Lógicamente la puesta en órbita de satélites y otras naves espaciales incluye la creación de sofisticados sistemas de control y telecomunicacio-

nes que guardadas las distancias nos permiten hoy en día conocer en forma instantánea qué sucede en otro lugar, conocemos de guerras, colapsos bursátiles, etc., gracias a una tecnología que además ha contribuido al desarrollo de armas que se activan sin la intervención directa del ser humano…

1. ¿Cuáles de los dispositivos que utilizas en casa se desarrollaron durante la época de la “carrera espacial”?

2. ¿ Qué influye en un científico o en un desarrollador de tecnología para crear armas, sin que considere el daño real que puede provocar a la sociedad?

3. ¿Consideras que de continuar desarrollándose, la “carrera espacial” podría tener algún tipo de impacto ambiental?

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Reto (problema) I. Reúnete con tres compañeros y reflexionen acerca de los siguiente:  l movimiento de un cuerpo es parte de nuestro paisaje cotidiano, por ejemplo, retomen mentalmente E el recorrido que hacen de la escuela a sus casas, ¿qué hay a tu alrededor? Autos, personas, algunos animales y diversos equipos o dispositivos que presentan diferentes movimientos, etc. ¿Pueden enumerar cada uno de estos movimientos? Revivan ahora la situación y observen atentamente qué movimiento se realiza y cómo se realiza, ¿cuál es su origen?, ¿por qué existe tal movimiento? II.  Comenten sobre cada una de las situaciones siguientes y anoten sus conclusiones en su cuaderno para presentarlas al grupo.

1. Del movimiento: a. ¿Qué tipos de movimiento observan? b. ¿Qué hay de común en su origen? c. ¿Qué interviene para transformar el movimiento? d. ¿Consideran que se presentan pérdidas de energía? 2. De los agentes que dan origen al movimiento: a. ¿Qué tipo de fuerzas actúan en los cuerpos? b. ¿Cuáles dan origen al movimiento? c. ¿Cuáles lo impiden? d. ¿Qué tipos de fuerzas son consecuencia del movimiento? 3. Del movimiento y su relación con la fuerza: a. ¿De qué manera podemos medir la fuerza creada por el movimiento de un cuerpo? b. ¿Es suficiente para modificar las características del movimiento? c. La fuerza producida, ¿puede funcionar como fuente de energía propia del cuerpo? d. ¿De qué manera se evita o reduce la acción de la fuerzas de fricción? 4.  Del comportamiento general de los cuerpos en movimiento tanto dentro como fuera del campo gravitacional:

a. ¿Qué tipo de fuerza actúa para que nos mantengamos sobre la superficie terrestre? b. ¿Por qué un cuerpo que se aproxima a la superficie terrestre no siempre puede alejarse de la misma? c. ¿Qué trayectoria sigue un cuerpo en órbita alrededor de la Tierra? ¿Por qué? d.  ¿El movimiento de los cuerpos sobre la superficie terrestre se ve afectado por el movimiento de la tierra alrededor del sol?

Coevaluación En la siguiente lista de cotejo se presentan una serie de aspectos para que evalúes el desempeño de uno de tus compañeros durante la realización del reto. Aspecto

Siempre

Algunas veces

Nunca

Participó activamente en la discusión. Expresó su opinión bajo consideraciones teóricas. Su participación fue incluyente y ordenada. Respetó las ideas de los compañeros y buscó un consenso. Trabajó con limpieza y orden.

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Autoevaluación Averigua cuál fue tu desempeño durante la realización del reto. Para ello marca la siguiente rúbrica según corresponda. Cada indicador tiene un valor en puntos que deberás sumar para determinar tu nivel de desempeño inicial. Indicadores de desempeño

Aspectos a evaluar

4 puntos

3 puntos

2 puntos

1 punto

Mi puntaje

Fuerzas que intervienen en el movimiento de los cuerpos en los diferentes tipos de movimiento.

Identifiqué plenamente en los diferentes tipos de movimiento las fuerzas que intervienen en el movimiento de los cuerpos.

Identifiqué en los diferentes tipos de movimiento algunas de las fuerzas que intervienen en el movimiento de los cuerpos.

Identifiqué vagamente en los diferentes tipos de movimiento las fuerzas que intervienen en el movimiento de los cuerpos.

No identifiqué en los diferentes tipos de movimiento las fuerzas que intervienen en el movimiento de los cuerpos.

Leyes de la dinámica de Newton en la solución y explicación del movimiento de los cuerpos observables en el entorno inmediato.

Siempre apliqué las leyes de la dinámica de Newton en la solución y explicación del movimiento de los cuerpos observables en mi entorno inmediato.

En ocasiones apliqué las leyes de la dinámica de Newton en la solución y explicación del movimiento de los cuerpos observables en mi entorno inmediato.

Rara vez apliqué las leyes de la dinámica de Newton en la solución y explicación del movimiento de los cuerpos observables en mi entorno inmediato.

Nunca apliqué las leyes de la dinámica de Newton en la solución y explicación del movimiento de los cuerpos observables en mi entorno inmediato.

Ley de la gravitación universal para entender el comportamiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas gravitatorias.

Siempre utilicé la ley de la gravitación universal para entender el comportamiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas gravitatorias.

En ocasiones utilicé la ley de la gravitación universal para entender el comportamiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas gravitatorias.

Rara vez utilicé la ley de la gravitación universal para entender el comportamiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas gravitatorias.

Nunca utilicé la ley de la gravitación universal para entender el comportamiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas gravitatorias.

Movimiento de los planetas en el Sistema Solar utilizando las leyes de Kepler.

Siempre expliqué el movimiento de los planetas en el Sistema Solar utilizando las leyes de Kepler.

En ocasiones expliqué el movimiento de los planetas en el Sistema Solar utilizando las leyes de Kepler.

Rara vez expliqué el movimiento de los planetas en el Sistema Solar utilizando las leyes de Kepler.

Nunca expliqué el movimiento de los planetas en el Sistema Solar utilizando las leyes de Kepler.

Valoración Excelente: 15 a 16 puntos.

98

Bueno: 11 a 14 puntos.

Suficiente: 7 a 10 puntos.

Mi total Insuficiente: 4 a 6 puntos.

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Tema 1

Tema 2

Tema 3

Leyes de la dinámica

Ley de la gravitación universal

Leyes de Kepler

La inquietud del ser humano es, sin duda, la causa de sus grandes logros y de sus no menos difíciles problemas sociales. La creciente demanda de mercancías y la forma de trasladarlas en forma rápida y segura lo llevó a investigar intensamente cómo producir y modificar el movimiento de objetos, y aunque la naturaleza produce por sí misma diversos tipos de movimiento, el ser humano tuvo que adaptarlos y recrearlos para su beneficio… ¿Imaginas un mundo sin movilidad?

Antecedentes históricos del estudio del movimiento mecánico

El estudio del movimiento se remonta a épocas remotas, y los primeros registros corresponden a los tratados de Aristóteles (384-322 a. C.) quien en su obra φυσικóς (Física), además de enunciar una noción de movimiento que implicaba cambios de posición y de tipo en el estado –físico o químico– del cuerpo, también afirmaba que la velocidad de caída de un cuerpo es proporcional a su peso, y el movimiento en sí es común a todos los componentes del universo, por lo que el centro del universo es la Tierra y los demás cuerpos celestes se mueven de manera continua siguiendo trayectorias concéntricas. Posteriormente, surgieron diversas corrientes de pensamiento y aunque muchos científicos realizaron grandes aportaciones, st-editorial.com

en realidad fueron Galileo Galilei (1564-1642) y Johannes Kepler (1571-1630) quienes comenzaron la revolución en el campo de la física. Galileo formuló el principio de la inercia y estableció el principio de la caída libre de los cuerpos, definiendo en lo general las leyes que relacionan la fuerza con el movimiento, y no se limitó solamente a establecer hechos, sino que todo su trabajo lo fundamentó en experimentos, definió los modelos matemáticos correspondientes y estableció sus conclusiones por medio del método científico. Su trabajo es la base para las aportaciones de otros científicos ilustres como Isaac Newton (1642-1727) y Albert Einstein (1879-1955); curiosamente el año que murió Galileo nació Newton, matemático y físico inglés a quien se atribuye el estudio formal del movimiento. 99

BLOQUE 3

FIGURA 1

Newton descubrió que el espectro de color que se observa cuando la luz blanca atraviesa un prisma, era inherente a la luz y no provenía del prisma, como antes se pensaba.

Desde los 25 años de edad, Newton empezó a mostrar su talento y realizó trabajos sobre las aplicaciones del cálculo diferencial e integral (que él llamaba operación inversa) para determinar el máximo y el mínimo de una función, el área bajo una curva, las longitudes de curvas, etc. Hacia el año 1666 ya había presentado sus investigaciones sobre mecánica celeste, que tenían como elemento primordial la teoría de la gravitación universal, y en 1687 publicó un compendio sobre sus resultados, cuyo título es Philosophiae naturalis principia mathematica. Los Principia, como abreviadamente se nombran estos trabajos, muestran un análisis completo del movimiento de los proyectiles, la caída libre de los cuerpos y el movimiento de éstos en diferentes medios, y presentan los principios fundamentales, conocidos como leyes de Newton. Si bien es cierto que el trabajo de Newton no fue totalmente original, porque sus estudios los basó en las investigaciones de Galileo Galilei y Robert Hooke entre otros, sus aportes al conocimiento se mantienen vigentes y continúan siendo la base de la llamada mecánica clásica. Comencemos el estudio de las leyes que enunció Newton como base para entender por qué y cómo un cuerpo se mueve cuando un agente externo actúa sobre él. Newton definió un método racional y experimental para su labor científica y afirmó: • Primero: se deben considerar sólo las causas necesarias para explicar un fenómeno. • Segundo: se deben relacionar los efectos que sean similares entre sí. • Tercero: se debe extender el conocimiento sobre las propiedades de un cuerpo a todos los cuerpos semejantes con los que se puede experimentar. • Cuarto: se tiene que considerar que cualquier proposición obtenida por inducción al observar un fenómeno es válida hasta que se presente un fenómeno que contradiga la proposición o limite su validez. Actividad grupal

competencias genéricas

4 6 7 8

competencias disciplinares

1 2 3 4

desempeño del estudiante

a

Organicen al grupo en equipos y desarrollen las siguientes actividades.

1. Lean el siguiente párrafo. El entorno social, económico y político ha sido determinante para el desarrollo de la ciencia y la tecnología. Hoy en día, los países que gozan de “buena salud” en estos aspectos se encuentran a la vanguardia y son líderes a nivel mundial; sin embargo, algunos otros destacan específicamente en campos que no corresponden en forma

precisa al desarrollo que presentan, ya que no tienen condiciones sociales o económicas estables. ¿Qué ha sucedido a lo largo del tiempo en las sociedades en las que se han desenvuelto los grandes pensadores? ¿Quiénes y cómo gobernaban? ¿Qué avances existían en otros campos de la ciencia y la técnica?

2. Realicen una investigación en diversos medios, definan los hechos más significativos

y que respondan a todo lo anterior para las épocas de la Antigüedad griega, del Imperio Romano, del Renacimiento y de la Revolución Industrial. 3. Presenten en hojas de papel bond o kraft, una línea del tiempo en la que se muestren los avances y las aportaciones reales de Aristóteles, Arquímedes, Galileo, Newton, Copérnico, Kepler, Ptolomeo, Pascal, Joule y Watt entre otros, donde marquen adicionalmente los sucesos históricos más sobresalientes. Además, investiguen lo que cada uno de ellos pensaba acerca del movimiento. 4. ¿Creen que en la región o comunidad donde viven existen las condicione sociales y económicas necasarias para el desarrollo de la ciencia? Debatan en torno a este punto.

En la web Para conocer más acerca de este tema visita st-editorial.com/enlaweb/ fisica1 y consulta los siguientes links: Teoría del campo gravitatorio, 03 La manzana de Newton, 04

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COMPRENDES EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS A PARTIR DE LAS LEYES DE DINÁMICA DE NEWTON

Tipos de fuerzas y las tres leyes de dinámica de Newton

En la mayoría de nuestros actos están presentes diversos tipos de fuerza; por ejemplo, cuando caminamos, dormimos, trabajamos, o nos trasladamos de un lugar a otro en auto o en algún medio de transporte. En todas estas actividades siempre está presente una fuerza. Formalmente se define como fuerza una cantidad vectorial capaz de modificar el estado en que se encuentra un sólido, por la interacción física entre dos o más cuerpos. La fuerza es un vector porque siempre existe un punto de aplicación específico, posee una magnitud y actúa con una dirección que permite definir algunas características en cuanto al efecto que produce. La unidad que se emplea para expresar su magnitud es el newton (N) en honor del científico que estudió sus efectos en el movimiento de los cuerpos. Al considerar que la fuerza está presente en todas las actividades de nuestra vida diaria, es necesario que tengamos en cuenta que se pueden dividir en fuerzas superficiales y fuerzas del cuerpo. Fuerzas superficiales. Se establecen por el contacto directo entre dos o más cuerpos; se manifiestan o actúan sobre la superficie de los sólidos y es común que se les considere fuerzas de acción y reacción. Por ejemplo, si golpeamos con el pie un balón de fútbol, el golpe lo impulsa en una dirección específica que es la misma de la fuerza que el pie ejerce en el momento del contacto. La fuerza sobre el pie es la de reacción que ocurre y aunque su sentido es opuesto, su magnitud es exactamente igual a la de la fuerza actuante sobre el balón. Fuerzas del cuerpo. Se caracterizan por actuar a distancia, y su origen está relacionado con las propiedades del sólido, ya que dependen directamente de un campo que puede ser de origen gravitacional, magnético o eléctrico, o bien se pueden manifestar a nivel atómico. Las fuerzas asociadas a las propiedades magnéticas o eléctricas del cuerpo también se manifiestan como una atracción o una repulsión entre los sólidos que intervienen, ya que puede tratarse de simples cargas eléctricas o bien de imanes que se atraen o repelen por el tipo de carga o polo que poseen, positivo o negativo, sin entrar en contacto directo. Observa el infográfico 1. Las fuerzas generadas a nivel atómico se conocen como fuerzas nucleares y su efecto es permitir que las moléculas se mantengan unidas entre sí. Cuando hablamos de fuerzas cuyo origen se atribuye al campo gravitacional estamos asociando a la masa el efecto que ejerce el campo gravitacional, que no es más que una atracción hacia el origen (centro) del campo (que en nuestro caso y en el de todos los objetos y seres que nos rodean es el centro de la Tierra). Esta fuerza se conoce como peso y su magnitud se obtiene con el producto de la masa y la aceleración del campo gravitacional. 1. P = mg Donde: P = peso, expresado en N. m = masa, expresada en kg. g = aceleración producida por el campo gravitacional = 9.81 m/s2.

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FIGURA 2

Al golpear el balón con el pie se ejerce una fuerza superficial.

Infográfico 1 Fuerzas del cuerpo En las propiedades eléctricas o magnéticas de los cuerpos se manifiestan las denominadas fuerzas del cuerpo.

1

Las cargas eléctricas de diferente signo se atraen.

Fe

2

3

Las cargas eléctricas del mismo signo se rechazan. Fe

Fe

Fe

Fe

Los polos de signos opuestos se atraen.

N

4

S

Los polos de signos iguales se repelen.

N

N

101

BLOQUE 3

FIGURA 3

En ausencia de un campo gravitacional, como ocurre con los astronautas en el espacio, no existe una fuerza de atracción hacia un punto específico.

Fuerzas de fricción FIGURA 4

Fuerza de fricción al frenar un auto: cuando se aplican los frenos se producen fuerzas opuestas entre las llantas –fuerza de fricción, que actúa en un sentido– y el pavimento –fuerza que actúa en sentido opuesto–.

102

Peso y masa son dos conceptos y magnitudes físicas diferentes. El peso depende de la aceleración del campo gravitacional, pero es común que confundamos o usemos en forma indistinta los términos peso y masa. Por ejemplo, afirmamos que estamos excedidos de peso cuando lo observamos en la báscula, cuando realmente deberíamos hacer referencia a la cantidad de masa acumulada en nuestro cuerpo, que ha modificado su volumen. En el interior de una nave espacial no existe un campo gravitacional y aunque el astronauta tiene su propia masa, carece de peso; pero si se encuentra, por ejemplo, en la superficie lunar, como la aceleración del campo gravitacional es menor que la de la Tierra, se reduce la fuerza de atracción y la “ligereza” del cuerpo humano permite que sea más fácil la realización de algunas actividades. La masa es la magnitud que cuantifica la cantidad de materia de un cuerpo y su unidad de medida en el si es el kilogramo (kg). Hagamos ahora un poco de memoria. ¿Qué sucede cuando viajamos en auto y cambia la luz del semáforo? Si el auto parte del reposo observamos que se requiere acelere para que el coche empiece a moverse; y si el auto llega a un alto, entonces el conductor pisa el pedal de freno y el vehículo reduce la marcha hasta detenerse completamente. En ambos casos intervienen varias fuerzas, pero sólo una de ellas es de nuestro interés, por el momento. Para que el auto inicie el movimiento debe vencer la fuerza de oposición que ejerce el pavimento sobre los neumáticos, y para que se detenga de nuevo, el pavimento y los frenos deben ejercer una fuerza que se opone al movimiento. La fuerza que se opone al movimiento se denomina fuerza de fricción, y se presenta siempre que existen dos o más cuerpos con un movimiento relativo entre sí; es paralela a las superficies en contacto, sobre una superficie actúa en un sentido, y en la superficie contigua actúa en el sentido opuesto. La fuerza de fricción se opone al movimiento pero no siempre lo impide, por ello se clasifica como fuerza de fricción estática y fuerza de fricción dinámica. Fuerza de fricción estática. Se identifica comúnmente como la fuerza que impide el movimiento entre dos superficies en contacto que se hallan en reposo. Fuerza de fricción dinámica. Se presenta cuando existe un movimiento relativo a la velocidad constante entre dos superficies. La fuerza de fricción dinámica es siempre menor que la estática, y en ambos casos su magnitud se asocia a las condiciones de rugosidad o estado de acabado superficial de los cuerpos en contacto. Una vez conocida la manera en que actúa la fuerza de fricción, es necesario señalar que su magnitud tiene un valor que se puede determinar por medio de la expresión: 2. Fs = µsN Donde: µs = coeficiente de fricción estático. N = fuerza normal, perpendicular a las superficies en contacto.

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COMPRENDES EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS A PARTIR DE LAS LEYES DE DINÁMICA DE NEWTON

La expresión anterior sólo describe el valor máximo o límite de CUADRO 1. COEFICIENTES DE FRICCIÓN la fuerza de fricción estática, pero no un valor inferior; por tanto, Valores típicos de µ Superficies en contacto se aplica a casos en los que se sepa con certeza que el movimiento Estático Dinámico es inminente. Acero sobre acero en seco 0.6 0.4 Una vez que se ha iniciado el movimiento, nos hallamos en conAcero sobre acero con lubricación 0.1 0.05 diciones de fricción cinética o dinámica. Esta fuerza también es Teflón sobre acero 0.04 0.04 proporcional a la fuerza normal: 3. Fd= µdN Donde: µd = coeficiente de fricción dinámico. El coeficiente de fricción dinámico es siempre menor al coeficiente de fricción estático y por lo general, la dirección de la fuerza resultante que actúa sobre las superficies en contacto está dada, para el caso de la fuerza de fricción estática, por:

Acero sobre metal blando en seco Acero sobre metal blando con lubricación Latón sobre acero en seco Material de frenos sobre fundición de hierro Neumáticos sobre pavimento liso y seco Cable sobre polea de hierro en seco Cuerda de cáñamo sobre metal Metal sobre hielo

0.4 0.1

0.3 0.07

0.5 0.4

0.4 0.3

0.9 0.2 0.3 --

0.8 0.15 0.2 0.02

4. tanφs = µs Siendo φ s, el ángulo de fricción estático y cuando el movimiento es inminente este ángulo recibe el nombre de ángulo de reposo. Al producirse el deslizamiento, el ángulo toma un valor máximo definido por: 5. tanφd = µd Siendo φd, el ángulo de fricción dinámico. En el cuadro 1 se proporcionan algunos valores típicos de coeficientes de fricción obtenidos en condiciones normales de trabajo, los verdaderos coeficientes corresponden a situaciones específicas asociadas a la geometría exacta de las superficies en contacto. Se considera válida una variación del 25% o más respecto a estos valores en cualquier aplicación por las condiciones de limpieza, acabado de la superficie, presión entre las superficies en contacto, lubricación, velocidad, etc. En la mecánica nos encontramos con tres tipos de problemas de fricción por deslizamiento. Tipo I. Hay que buscar la condición de movimiento inminente. En el enunciado del problema debe quedar claro que se emplea el coeficiente de fricción estático para los cálculos [Ej.1]. Tipo II. No se precisa que hay movimiento inminente y por ello la fuerza de fricción puede ser menor incluso que la dada por la expresión que incluye a µsN. Se procede a evaluar el equilibrio del sistema y se determina la magnitud de la fuerza de fricción; una vez que se conoce la magnitud de la fuerza F, se considera lo siguiente [Ej. 2]. Si F < Fs = µsN, la fuerza de fricción es soportada por las superficies en contacto y el cuerpo se halla en reposo. Si F > Fs = µsN, hay movimiento y la fuerza de fricción que soportan las superficies en contacto es la dinámica. Tipo III. Hay movimiento relativo a velocidad constante entre las superficies de contacto y se debe evaluar la magnitud de la fuerza de fricción considerando µd [Ej. 3].

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BLOQUE 3

Ejemplo 1

La fuerza máxima de fricción estática que soporta la superficie es: Fs = µsN = 0.5(981) = 490.5 N

Un contenedor de 100 kg se encuentra inmóvil y se le aplica una fuerza de 400 N. Calculemos la magnitud y la dirección de la fuerza de fricción que ejerce la superficie sobre el contenedor. µS = 0.5 µd = 0.4

F

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Masa del contenedor: m = 100 kg. • Fuerza aplicada: F = 400 N. • Coeficiente de fricción estático: µs = 0.5 • Coeficiente de fricción dinámico: µd = 0.4 • Incógnita: magnitud y dirección de la fuerza de fricción, Ff. b. ¿Qué vamos a hacer? Efectuar una suma de fuerzas para determinar la fuerza de rozamiento. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Puesto que el contenedor se encuentra inmóvil, suponemos que permanece en reposo a pesar de la acción de la fuerza actuante de 400 N y hacemos la suma de fuerzas igual a cero. Si no se cumple al final con el valor máximo de fuerza de fricción estática, entonces quiere decir que el contenedor está en movimiento.

e. Resultado. Como esta fuerza es mayor que la requerida para el equilibrio, la suposición que hicimos de que el contenedor permanece en reposo y se encuentra en equilibrio es correcta y por lo tanto la fuerza de fricción es 400 N hacia la derecha.

Ejemplo 2 En un experimento se coloca un prisma de acero de 450 g cerca del borde de una mesa, y en uno de sus lados se ata un cordel unido a un contrapeso cuya masa es idéntica a la masa del prisma y se hace pasar por una polea. Determinemos si el prisma se mueve o no, por la acción del contrapeso, considerando que el coeficiente de fricción estático entre la mesa y el prisma es de 0.9, sin que exista rozamiento entre el cordel y la polea.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Masa del prisma: m = 0.45 kg. • Masa del contrapeso: mo = 0.45 kg. • Coeficiente de fricción estático: µs = 0.9. • Incógnita: magnitud de la fuerza de fricción para determinar si hay movimiento o no.

d. Operaciones. Aplicamos la suma de fuerzas igual a cero para que el contenedor se encuentre en reposo. +

+ -

/ Fx = 0 : Ff – F = 0 ∴ Ff = F = 400 N

/ Fy = 0 : mg – N = 0 ∴ N = mg = 100 (9.81) = 981 N mg

b. ¿Qué vamos a hacer? Calculamos la fuerza que actúa sobre el prisma y la fuerza de fricción estática. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Aplicamos una suma de fuerzas. Cuando el prisma está en reposo, las fuerzas lo equilibran.

Ff

F N

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d. Operaciones. Dibujamos en primer lugar el diagrama de un cuerpo libre. En este caso tomamos el dibujo del contrapeso

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COMPRENDES EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS A PARTIR DE LAS LEYES DE DINÁMICA DE NEWTON

• Coeficiente de fricción dinámico: µd = 0.12. • Incógnita: magnitud de la fuerza mínima que se requiere aplicar.

como referencia para la dirección del movimiento, de modo que si se mueve el prisma, lo hará hacia la izquierda.

b. ¿Qué vamos a hacer? Calculamos la fuerza que contrarrestará la fuerza estática de fricción para que exista movimiento a velocidad constante.

T mg T Ff mog Fuerza del contrapeso

N Fuerzas en el prisma

Considerando que sólo el contrapeso tiene fuerzas que actúan en la vertical y que no hay movimiento, tenemos: + -

/ Fy = 0 : T – mog = 0 ∴ T = mog = 0.45(9.81) = 4.415 N

Aplicando la suma de fuerzas igual a cero para el prisma: + -

c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Aplicamos una suma de fuerzas; la resultante debe ser nula pues el movimiento es a velocidad constante. d. Operaciones. Para facilitar el proceso de solución realizamos el diagrama de un cuerpo libre; ahí aislamos el bloque y marcamos todas las fuerzas actuantes para visualizar su efecto y facilitar la escritura de las ecuaciones. Debido a que se desconoce la dirección del movimiento, suponemos que el bloque se desliza sobre la horizontal hacia la derecha.

/ Fy = 0 : mg – N = 0 ∴ N = mg = 0.45(9.81) = 4.415 N +

mg

/ Fx = 0 : Ff – T = 0 ∴ T = Ff = 4.415 N

La fuerza de fricción máxima que soporta el sistema, de acuerdo a nuestra teoría, es:

P Ff

Fs = µsN = 0.9(4.415) = 3.973 N e. Resultado. La fuerza máxima de fricción (Fs) es inferior a la fuerza que ejerce el contrapeso (T), por lo que el prisma se desliza sobre la superficie.

Ejemplo 3 Un bloque de madera de 90 kg se coloca sobre una superficie horizontal de tal manera que el coeficiente de fricción dinámico es de 0.12. Calculemos la fuerza mínima que se debe aplicar al bloque para que se deslice en la superficie a velocidad constante.

Solución

N

Aplicamos la suma de fuerzas igual a cero para que el bloque se mueva a velocidad constante: +

- / Fy = 0 : = 882.9 N

+

mg

–

N

=

0

∴

N

=

mg

=

90(9,81)

/ Fx = 0 : P – Ff = 0 ∴ Ff = P = µd N = 0.12(882.9) = 105.95 N

e. Resultado. La fuerza que se debe aplicar para que el bloque se deslice a velocidad constante sobre la superficie debe tener una magnitud mínima de 106 N; un valor inferior al calculado no producirá movimiento.

a. ¿Con qué datos contamos? • Masa del bloque: m = 90 kg.

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105

BLOQUE 3

Actividad individual

competencias genéricas

4

5 7

competencias disciplinares

3

4 10

desempeño del estudiante

a

I. Para resolver estos ejercicios es necesario que prepares tu calculadora y consultes las ecuaciones y el cuadro de coeficientes de fricción. Antes de comenzar, repasa los ejemplos resueltos para que aprendas a auxiliarte con el trazo de los diagramas.

1. Para mover a velocidad constante un bloque de hielo de 20 kg, un estibador lo jala con una fuerza de 49.5 N y en un ángulo de 60° respecto a la vertical. Determina el coeficiente de fricción entre el hielo y la superficie.

2. Determina la fuerza que debe actuar sobre una caja de 100 N colocada sobre un plano inclinado a 36.87°

para que no resbale hacia abajo del plano. Considera que el coeficiente de fricción estático es de 0.35 y que la fuerza a aplicar es paralela a la superficie del plano.

3. El viejo escritorio del abuelo tiene un peso de 40 kg y se apoya sobre un piso de mosaico de tal manera

que el coeficiente de fricción estático entre las superficies en contacto es de 0.25. Si para hacer limpieza te piden que lo muevas, determina la magnitud de la fuerza más pequeña que debes aplicar para que el escritorio se mueva considerando que: a. Aplicas la fuerza sobre el borde en forma horizontal. b. Aplicas la fuerza sobre el borde con un ángulo de 30° respecto a la horizontal. Responde, además, cómo haces menos esfuerzo, si jalando o empujando el escritorio.

4. Una caja de 35 kg se coloca sobre un plano inclinado a 20°. Si el coeficiente de fricción entre la caja y el plano es de 0.35, determina la magnitud de la fuerza normal, y si la caja se desliza o no sobre la superficie.

II. Anexa esta actividad a tu portafolio de evidencias.

106

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COMPRENDES EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS A PARTIR DE LAS LEYES DE DINÁMICA DE NEWTON

Ley de la inercia

Para explicar la primera ley de Newton o ley de la inercia, analicemos de nuevo el caso del auto que inicia el proceso de alto total aplicando los frenos. Si el conductor ha sido lo suficientemente cuidadoso, no ocurre nada excepcional; si, por el contrario, tuvo alguna distracción y se vio obligado a colocar con fuerza el pie sobre el pedal de freno, todos experimentarán un movimiento brusco hacia el frente. En este caso, una niña o niño pequeño puede salir lanzado hacia el frente y lastimarse, en el caso de que no tenga puesto ningún dispositivo de seguridad. ¿Qué ocurre cuando este auto, en lugar de frenar, arranca intempestivamente? Las personas que estén dentro experimentarán una fuerza que los empuja en sentido inverso al de la fuerza que se ejerce para mover o detener el auto; una lesión común en caso de frenar muy rápido es la torcedura del cuello. La fuerza a la que hemos hecho mención se asocia invariablemente a la primera de las tres leyes sobre el movimiento de Newton o ley de la inercia, que es la propiedad que le permite a todo cuerpo oponerse al movimiento. A finales del siglo xvii, después de revisar los trabajos de Galileo, Newton tomó en cuenta esta propiedad al dar a conocer los resultados de su observación y experimentación. El enunciado es: Si la resultante de todas las fuerzas que actúa sobre un sólido es cero, éste se mantendrá en su estado de reposo o movimiento a velocidad constante en una línea recta mientras no se ejerza una fuerza desequilibrante que modifique tal estado.

Ley de la fuerza y aceleración

La segunda ley de Newton o ley de la fuerza y aceleración es reconocida en la mecánica como la base de uno de los tres métodos para efectuar el análisis del comportamiento de un sólido cuando por la acción de diversos agentes externos se anima de un movimiento específico. Esta ley establece la relación entre la masa, la aceleración y la fuerza actuante o resultante en el cuerpo. Aunque Newton la estableció en términos del impulso asociado a la cantidad de movimiento de los cuerpos, nosotros la formulamos considerando que la masa es constante en todo momento y que el cambio de velocidad en el tiempo se traduce en la aceleración de los cuerpos. El enunciado es: Si la fuerza resultante que actúa en un sólido no es cero, éste tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante en la misma dirección.

La expresión matemática asociada a esta ley es: 6. F = ma Donde: F = fuerza resultante aplicada, en N. m = masa del sólido bajo estudio, en kg. a = aceleración del sólido, en m/s2. Esta ecuación nos permite observar con mayor claridad que la masa es una medida cuantitativa de la inercia [Ej. 4]. El efecto que perciben los pasajeros

FIGURA 5

Una etapa de las pruebas que se realizan en Europa para certificar el nivel de seguridad en un auto: la fuerza del impacto proyecta a los maniquíes contra el tablero del auto.

Dispositivo de seguridad. El cinturón y la bolsa de aire (airbag) son mecanismos de seguridad que se incluyeron en la fabricación de automóviles. Son los elementos que mayor seguridad pasiva aportan a los usuarios en caso de accidente. st-editorial.com

Glosario 107

BLOQUE 3

de un vehículo cuando éste arranca o frena bruscamente está asociado directamente a su masa y su aceleración [Ejs. 5 y 6]. Ésta es la razón por la que se puede sufrir una lesión de consecuencias graves o no, ya que para la misma fuerza, la aceleración de cada cuerpo cambia de acuerdo a su masa.

Retrato Jean le Rond d’Alembert. Este matemático, filósofo y enciclopedista francés (1717-1783), estableció el principio de composición para el movimiento y afirmó que al usarlo en conjunto con el principio del equilibrio y la fuerza de inercia se puede resolver cualquier tipo de movimiento para un cuerpo, ya que son principios diferentes que se complementan: F – ma = 0.

Ejemplo 4 Dos estibadores empujan un contenedor y lo mueven con una aceleración uniforme. Determinemos el peso del contenedor considerando que el administrador del almacén los observó, y mediante un dispositivo determinó que existe una aceleración uniforme del contenedor de 7.25 m/s2; además, según sus registros, la fuerza neta aplicada es de 1 842 N.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Fuerza aplicada sobre el contenedor: F = 1 842 N. • Aceleración del contenedor: a = 7.25 m/s2. • Incógnita: peso del contenedor. b. ¿Qué vamos a hacer? Calculamos el peso del contenedor con los datos de fuerza aplicada y aceleración producida. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Aplicamos la segunda ley de Newton en forma directa para determinar la masa y el peso del contenedor. d. Operaciones. Imaginemos la situación y representémosla mediante un diagrama de causa y efecto para determinar la masa y el peso del contenedor. mg

P

=

N

ma

∑F = ma

A diferencia de lo que ocurre en los problemas de fricción, donde existe un cuerpo en reposo o en movimiento a velocidad constante, en este caso es necesario realizar diagramas para observar más fácilmente la aplicación de la segunda ley de Newton. En la imagen de la izquierda se muestran todas las fuerzas actuantes; en la de la derecha, el efecto producido. Para el movimiento horizontal tenemos:

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COMPRENDES EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS A PARTIR DE LAS LEYES DE DINÁMICA DE NEWTON

+

P 1842 / Fx = ma: P = ma ` m = a = 7.25 = 254.068 kg

d. Operaciones. • Análisis del movimiento Considerando que:

Y de acuerdo a la definición de peso, tenemos para el contenedor:

a=

W = mg = 254.068(9.81) = 2 492.417 N. Debido a que el movimiento ocurre sobre la superficie horizontal, para las fuerzas verticales se cumple con el equilibrio: + .

/Fy

= 0 : mg – N = 0 ∴ N = mg = 2 492.417 N

e. Resultado. El peso del contenedor es de 2 492.417 N. Las fuerzas verticales no intervienen en el movimiento generado, y no se considera la fuerza de fricción entre el contenedor y la superficie.

v – v0 0 – 25 = = - 5 m/s t 5

Se puede apreciar que nuestro procedimiento es correcto porque el signo menos (-) obtenido nos señala que la furgoneta se desacelera en forma uniforme. • Análisis de las fuerzas actuantes En el gráfico 2 observa que la fuerza de fricción (Ff) produce una fuerza de inercia en la misma dirección (ma). GRÁFICO 2 = Ff

Ejemplo 5 Una furgoneta con una masa de 1 250 kg viaja a 90 km/h en un camino plano y recto,y se ve obligada a reducir su velocidad en forma uniforme para llegar al reposo en un cruce de ferrocarril. Observemos el gráfico 1 y calculemos la magnitud de la fuerza de frenado si el chofer presiona el pedal de freno durante 5 s.

∑Ff = ma

De acuerdo al diagrama de causa y efecto, para el movimiento horizontal se cumple: +

/Fx = max : Ff = ma ∴ Ff = 1 250(5) = 6 250 N

e. Resultado. La fuerza de frenado es de 6 250 N y actúa sobre las cuatro ruedas del auto de manera uniforme en sentido opuesto al movimiento.

GRÁFICO 1

90 km/h masa = 1 250 kg

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Masa de la furgoneta: m = 1 250 kg. • Velocidad inicial del vehículo: vo = 90 km/h = 25 m/s. • Velocidad final del vehículo: v = 0. • Tiempo requerido: t = 5 s. • Incógnita: fuerza de frenado. b. ¿Qué vamos a hacer? Calculamos la desaceleración del auto para aplicar la segunda ley de Newton y determinar la fuerza de frenado aplicada. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Primero aplicamos la ecuación del movimiento uniformemente acelerado y después aplicamos la segunda ley de Newton para el movimiento horizontal. st-editorial.com

ma

Ejemplo 6 En una construcción se elevan botes con grava a un tercer piso empleando un malacate cuyo cable tiene una tensión de 1 146 N. Determinemos la aceleración con la que suben los botes y el tiempo que le toma a cada uno recorrer los 11 m que representan los tres pisos, considerando que la masa total del bote con grava es de 75 kg.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Masa de los botes: m = 75 kg. • Velocidad inicial de cada bote: vo = 0. • Tensión en el cable: T = 1 146 N. • Distancia recorrida por los botes: y = 11 m. • Incógnita: aceleración y tiempo necesarios para que los botes suban tres pisos. b. ¿Qué vamos a hacer? Calculamos la aceleración de cada bote para aplicar las ecuaciones de movimiento y determinar el tiempo.

109

BLOQUE 3

c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Aplicamos la segunda ley de Newton y después calculamos la velocidad con la que llegan los botes a la parte superior. Con este dato determinamos el tiempo mediante la ecuación respectiva, aplicándola al movimiento sobre el eje vertical. d. Operaciones. GRÁFICO 3

T

ma

=

∑Fy = ma

mg

En el gráfico 3 observamos que las fuerzas sólo actúan en la vertical, que corresponde a la dirección del movimiento. Entonces ocurre lo siguiente: • Análisis de fuerzas actuantes. + / Fy = may: T – mg = may ∴ ay = (1 146 -75 × 9.81) / 75 = 5.47 m/s2 • Análisis del movimiento. De acuerdo a la ecuación de la cinemática: v=

v 0 + 2a ^y – y0h = 2

2 # 5.47 # 11 = 10.97 m/s 2

El tiempo es, entonces, t =

v – v0 10.97 = 5.47 = 2 s a

e. Resultado. El tiempo requerido para que suba cada uno de los botes es de 2 s.

Ley de la acción y reacción

En las situaciones antes analizadas se ha enfatizado que las fuerzas que actúan sobre un sólido cualquiera son determinantes en la producción o modificación de un estado. Siempre que se aplica una fuerza sobre un sólido, éste producirá una fuerza de contacto opuesta sobre el agente que le aplica la fuerza original, y ésta es precisamente la esencia de la tercera ley formulada por Newton [Ej. 7]. El enunciado es: A cada fuerza de acción le corresponde una fuerza de reacción de igual magnitud y sentido opuesto.

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COMPRENDES EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS A PARTIR DE LAS LEYES DE DINÁMICA DE NEWTON

La ecuación que representa esta ley es la siguiente: 7. Fa/b = -Fb/a Donde: Fa/b = fuerza del agente a aplicada sobre el sólido b. Fb/a = fuerza del sólido b actuando sobre el agente a. El signo menos se emplea por convención para denotar que la fuerza es de reacción y tiene igual magnitud pero sentido opuesto al de la fuerza actuante en estudio. Al estudiar la fuerza de fricción, analizamos una situación que nos conduce directamente a la tercera ley de Newton; hicimos notar que la fuerza de fricción se presenta por el contacto directo entre dos objetos y que al analizar por separado tales objetos observamos que existe una fuerza de acción y otra de reacción [Ej.8]. Aunque en sistemas interconectados, estas fuerzas permiten establecer el equilibrio de todo el conjunto al anularse su efecto por pares, las fuerzas de acción y reacción por sí mismas no se equilibran si estudiamos los componentes de un sistema complejo por separado.

Ejemplo 7 Al entrar una persona en un elevador encuentra una báscula y se sube a ella. Cuando cierra la puerta, la tensión en el sistema de cables de elevación es de 8 200 N durante los primeros 3 s de movimiento. Calculemos la lectura de la balanza en ese lapso de tiempo y la velocidad adquirida por el elevador considerando que la masa de la persona es de 75 kg y sumada a la del elevador y la báscula da un total de 700 kg.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Masa de la persona: mo = 75 kg. • Masa total: m = 700 kg. • Tensión en el cable: T = 8 200 N. • Tiempo en el que se evalúa el movimiento: t = 3 s. • Incógnita: lectura de la balanza y velocidad adquirida por el elevador cuando han transcurrido 3 s. b. ¿Qué vamos a hacer? Calculamos la aceleración del sistema, la masa que registra la báscula y la velocidad del elevador. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Aplicamos la segunda ley de Newton al sistema y después a la persona para determinar la masa del registro; al final, empleamos la ecuación para el movimiento sobre el eje vertical. d. Operaciones. • Análisis gráfico de fuerzas para el sistema.

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BLOQUE 3

Las fuerzas sólo actúan en la vertical (que corresponde a la dirección del movimiento) y entonces: + -/Fy = may: T – mg = may, ∴ ay = (8200 - 700 × 9.81)/700 = 1.904 m/s2.

20% restante, calculemos la fuerza de frenado en cada una de las ruedas delanteras y en cada una de las traseras, si se conoce que el auto desacelera en forma uniforme y que su masa es de 1 200 kg.

Solución T

=

a. ¿Con qué datos contamos? • Velocidad inicial: vo = 90 km/h = 25 m/s. • Velocidad final: v = 0. • Distancia recorrida: s – so = 40 m. • Masa del auto: m = 1200 kg. • Fuerza en ruedas delanteras: Fd = 80% Ff. • Fuerza en ruedas traseras: Ft = 20% Ff. • Incógnita: fuerza de frenado en cada una de las cuatro ruedas.

ma

mg ∑F = ma

• Análisis de fuerzas para la persona sobre la báscula: + -/Fy = may: Fb – mg = may, ∴ Fb = m (ay + g) = 75(1.904 +9.81) = 878.571 N.

mg

ma =

Fb

∑F = ma

b. ¿Qué vamos a hacer? Calculamos la fuerza neta de frenado en cada una de las ruedas del auto de acuerdo al porcentaje señalado. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Calculamos en primer término la aceleración del sistema; con este dato aplicamos la segunda ley de Newton y determinamos la fuerza de fricción. d. Operaciones. • Análisis del movimiento. De acuerdo a los datos del enunciado, tenemos: a=

Establecida ya la fuerza de reacción de la báscula sobre la persona, y aplicando la tercera ley de Newton, tenemos que la acción sobre la báscula es un peso igual a Fb, de tal manera que la masa que registra en ese instante es: m = Fb /g = 878.571/9.81 = 89.56 kg • Análisis del movimiento. De acuerdo a las ecuaciones, para el movimiento uniformemente acelerado tenemos: v = vo + at = 0 + 1.904(3) = 5.713 m/s e. Resultado. La báscula registra una masa de 89.56 kg que no es la masa de la persona, porque ésta se halla en un sistema no inercial. La velocidad del elevador es de 5.713 m/s que corresponde, aproximadamente, a 20 km/h.

Ejemplo 8 En una prueba de frenado un auto con tracción delantera reduce su velocidad de 90 km/h al alto total en 40 m. Considerando que las ruedas delanteras tienen una capacidad de frenado del 80% del total y que las ruedas traseras ejercen el 112

2

v 2 – v0

2 ^s – s0h

=

0 – 25 2 2 ^40h

= - 7.813 m/s 2

• Análisis de las fuerzas. Ahora aplicamos la segunda ley basándonos en el siguiente esquema, el cual sólo señala las fuerzas que intervienen directamente en el cálculo, que en este caso son horizontales y opuestas a la dirección del movimiento. Observemos el gráfico 4. GRÁFICO 4

=

ma

Fx ∑Fx = ma

De acuerdo al diagrama: + / Fx = ma : F = ma , ∴ F = 1200(7.813) = 9375 N x f x f Considerando que se tienen dos ruedas al frente y dos atrás, así como los porcentajes de repartición de frenado, se concluye que: Fd = 0.8Ff /2 = 0.8(9375)/2 = 3750 N Ft = 0.2Ff /2 = 0.2(9375)/2 = 937.5 N st-editorial.com

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e. Resultado. La fuerza de fricción en cada una de las ruedas delanteras es de 3 750 N, y en cada una de las traseras es de 937.5 N. Observa que no incluimos en el diagrama el peso y la normal porque estos valores no intervienen en el movimiento horizontal pues se equilibran en la vertical; además, el signo negativo en el cálculo cinemático nos indica que se

Actividad individual

competencias genéricas

1

4 5

7

trata de una desaceleración y no lo incluimos en la ecuación de la segunda ley de Newton porque hemos señalado que el sentido positivo queda establecido por la dirección de la desaceleración. ¿Podemos también determinar el coeficiente de fricción entre las ruedas y la superficie en la que se realiza la prueba de frenado? Claro que sí, determinamos la normal y finalizamos el cálculo.

competencias disciplinares

3

7 10

desempeños del estudiante

a

b

I. Los siguientes problemas están relacionados con las leyes de Newton. Prepara tu calculadora y dibuja, en la medida de lo posible, cada una de las situaciones que se te plantean para que identifiques con claridad lo que está sucediendo en cada uno de los problemas. Estudia previamente los ejemplos resueltos y consulta las ecuaciones 6 y 7 de este tema.

1. Se coloca un bloque de 45 kg sobre una superficie horizontal y se le aplica una fuerza paralela a la su-

perficie de 125 N. Determina la velocidad que alcanza 5 s después de aplicada la fuerza y la distancia recorrida hasta ese instante.

2. Calcula la fuerza que debe actuar sobre un auto de 1 400 kg para que su velocidad aumente de 20 km/h

a 50 km/h en un tiempo de 3 s. Considera que la fricción es despreciable. Analiza y responde cómo se produce tal fuerza.

3. Un embalaje con carga tiene una masa total de 250 kg. Calcula la magnitud de la fuerza con la que se debe jalar para obtener una aceleración constante de 2.5 m/s2 si se conoce que el cable del malacate del tractor que lo moverá forma un ángulo de 30° con la horizontal y que el coeficiente de fricción entre el embalaje y la superficie es de 0.4.

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113

BLOQUE 3

4. Un auto y su conductor tienen una masa total de 1 475 kg y frena de 80 km/h a 20 km/h en 6 s. Calcula

la fuerza de frenado que el piso ejerce sobre las cuatro ruedas del auto y el coeficiente de fricción correspondiente.

5. Determina la aceleración con la que se pueden elevar las tarimas con costales de azúcar en un almacén

considerando que el cable del malacate ejerce una fuerza constante de 12 500 N, que cada tarima contiene 20 costales de 50 kg cada uno y que la masa de la tarima es de 125 kg. ¿Cuánto tiempo requiere cada tarima para subir a una altura de 25 m con respecto al nivel del piso?

II. Anexa esta actividad a tu portafolio de evidencias.

114

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COMPRENDES EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS A PARTIR DE LAS LEYES DE DINÁMICA DE NEWTON

Tema 2

Tema 3

Ley de la gravitación universal

Leyes de Kepler

Reflexiona... ¿Has visto algún documental o película donde se muestre un viaje espacial y los astronautas flotando en el interior de su nave o moviéndose en la Luna mediante saltos? Te proponemos que investigues por qué ocurre esto y que veas la película Apollo XIII (1995), del cineasta estadounidense Ron Howard.

¿Qué ocurriría si no existiera el campo gravitacional? ¿Qué pasaría si se cambia la intensidad de la aceleración de la gravedad? Las interrogantes anteriores le surgieron a Newton mientras trabajaba en la dinámica de los cuerpos a partir de las investigaciones de Galileo Galilei y otros notables estudiosos del movimiento de los cuerpos celestes. Newton estableció que si un objeto era atraído hacia el centro de la Tierra, entonces debía existir un comportamiento similar entre todos los objetos en el universo. De esta manera y considerando las teorías del astrónomo polaco Nicolás Copérnico (1473-1543) y el alemán Johannes Kepler (1571-1630), además de sus propias observaciones acerca de la caída libre de un objeto, enunció la siguiente ley: Dos cuerpos de masas diferentes M y m se atraen mutuamente con una fuerza que inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa st-editorial.com

Mm 8. F = G r2 Siendo: G = constante de gravitación universal cuyo valor numérico es 6.67 × 10-11 Nm2/kg2. M = masa del cuerpo de mayor tamaño expresado en kilogramos. m = masa del cuerpo de menor tamaño expresado en kilogramos. r = distancia que separa a los cuerpos en cuestión expresada en metros. Atendiendo a la tercera ley de Newton, es indispensable tener presente que la fuerza actuante tiene igual magnitud y sentido opuesto para cada cuerpo [Ejs. 8, 9 y 11]. Si consideramos que la fuerza de atracción gravitacional que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es su peso [Ej. 10], al sustituir éste en la ecuación anterior obtenemos: 115

BLOQUE 3

mg = G

m\m r2

Lo cual nos conduce a la expresión: 9. g = G

El mundo que te rodea En la vida diaria, las leyes del movimiento establecidas por Newton constituyen aún en la actualidad, el fundamento para el estudio de las causas de los cambios en el movimiento. Los trabajos de Newton sobre la atracción gravitacional no se pueden reducir a la simple observación de una manzana cayendo de la rama de un árbol. Sus investigaciones y resultados fueron muy profundos, y lo llevaron a establecer, además, la teoría del movimiento de las mareas por efecto de la acción de la Luna, así como la teoría de los equinoccios.

m\ r2t

Donde: m’ = masa de la Tierra. rt = distancia entre el cuerpo y el centro de la Tierra. Podemos calcular un valor aproximado para la aceleración de la gravedad según la altura con respecto al nivel del mar a la que se encuentre el cuerpo en estudio. Esta expresión no incluye el efecto de la rotación terrestre ni considera que la Tierra no es exactamente una esfera; es por ello que para fines prácticos, en todos los problemas en los que se realizan mediciones sobre la superficie de la Tierra, se considera como válido el valor 9.81 m/s2 para la aceleración del campo gravitacional.

Ejemplo 9 Dos masas puntuales de 8 kg y 12 kg respectivamente se hallan separadas por una distancia de 1 m. Determinemos la fuerza de atracción gravitacional entre ellas. ¿Se pueden comparar con el peso?

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Masa de la mayor partícula: M = 12 kg. • Masa de la menor partícula: m = 8 kg. • Distancia entre las partículas: r = 1 m. • Incógnita: fuerza de atracción gravitacional y relación entre fuerza y peso de las partículas. b. ¿Qué vamos a hacer? Calculamos la fuerza de atracción y el peso de cada partícula. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Aplicamos directamente la ley de la gravitación universal y multiplicamos la masa por la aceleración producida por el campo gravitacional. d. Operaciones. De acuerdo a la ecuación 8: F = 6.67 # 10 -11 a

8 # 12 k = 6.4 # 10 -9 N 12

El peso para cada masa es: W1 = 8(9.81) = 78.48 N W2 = 12(9.81) = 117.72 N

Glosario 116

Gravedad. Campo de fuerza de la Tierra cuya acción se mide por el peso; en general se considera que la aceleración que produce tiene un valor promedio de 9.81 m/s2 en la superficie terrestre. st-editorial.com

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e. Resultado. La fuerza de atracción es de 6.4 x 10-9 N. Al compararla con el peso de cada masa, resulta que en ambos casos el peso es una fuerza creada en el campo gravitacional, que es infinitamente superior en magnitud, más de 10 000 millones de veces.

Ejemplo 11 Determinemos la fuerza de atracción gravitacional que ejerce el Sol sobre un astronauta de 80 kg que se halla sobre la superficie lunar. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que ejerce la Luna sobre esta persona?

Ejemplo 10 Determinemos el peso de una astronauta que forma parte de la tripulación de una misión espacial. La masa de esta persona es de 90 kg y se encuentra en una nave espacial en órbita a 250 km de la superficie de la Tierra.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Masa de la astronauta: m = 90 kg. • Masa de la Tierra: M = 5.976 × 1024 kg. • Distancia entre las partículas: r = radio de la Tierra + radio de la órbita = 6 371 000 + 250 000 = 6 621 000 m. • Incógnita: fuerza de atracción gravitacional que es equivalente, en este caso, al peso. b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular la fuerza de atracción. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Aplicamos directamente la ley de la gravitación universal. d. Operaciones. De acuerdo a la ecuación 8, para la órbita: W = 6.67 # 10 -11 b

es menor. En este caso, de acuerdo a la ecuación 9, toma un valor de 9.09 m/s2 en la órbita.

90 # 5.976 # 10 24 l = 818.34 N 6621000 2

e. Resultado. El peso de la astronauta en esta órbita es de 818.34 N, alrededor de 7% menos que sobre la superficie terrestre. El resultado nos indica claramente que en la medida que el objeto se aleja del centro de la Tierra, la aceleración del campo gravitacional

competencias genéricas

a. ¿Con qué datos contamos? • Masa del astronauta: 80 kg. • Masa del Sol: Ms = 1.99 × 1030 kg. • Masa de la Luna: M = 7.35 × 1022 kg. • Distancia entre el Sol y la superficie lunar: rs = 1.49215 × 1011 m. • Distancia entre el astronauta y el centro de la Luna: r = 1.738 × 106 m. • Incógnita: fuerza de atracción que ejerce el Sol sobre el astronauta y fuerza de atracción gravitacional de la Luna sobre el astronauta. b. ¿Qué vamos a hacer? En ambos casos calculamos la fuerza de atracción. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Aplicamos directamente la ley de la gravitación universal para cada uno de los casos presentados. d. Operaciones. • Fuerza del Sol sobre el astronauta: F = 6.67 # 10 -11 e

4

5 7

80 # 1.99 # 10 30

61.49215 # 1011@ 2

o = 0.477 N

• Fuerza de la Luna sobre el astronauta: F = 6.67 # 10 -11 e

Sobre la superficie terrestre: W = 90(9.81) = 882.9 N

Actividad individual

Solución

80 # 7.35 # 10 22

61.738 # 100@ 2

o = 129.84 N

e. Resultado. La fuerza del Sol sobre el astronauta es de 0.477 N, mientras que la de la Luna sobre la misma persona es de 129.84 N, más de 250 veces superior. Debemos tener en cuenta que la distancia es determinante para la magnitud de la fuerza ejercida.

competencias disciplinares

3 10

desempeño del estudiante

c

I. En los ejercicios de la página siguiente se presentan exclusivamente problemas de la ley de gravitación universal. Consulta las ecuaciones 8 y 9, y realiza previamente en tu cuaderno los ejemplos resueltos hasta aquí, para que puedas solucionar con facilidad cada uno de los ejercicios propuestos a continuación. st-editorial.com

117

BLOQUE 3

1. Determina la distancia con respecto al centro de la Tierra y de la Luna en la que una masa puntual experimentará la misma fuerza de atracción. Asume que la masa se puede colocar justo en una línea recta imaginaria que une el centro del planeta y su satélite.

2. Experimentalmente se ha encontrado que la fuerza de atracción gravitacional entre un cuerpo de 70 kg y

otro de masa desconocida es de 3.5 × 10-10 N. Calcula la magnitud de la masa desconocida considerando que la distancia que separa a los cuerpos es de 29.75 m.

3. Dos masas puntuales de 4.5 kg y 6.75 kg se atraen con una fuerza de 2.025 × 10-5 kg. Calcula la distancia que las separa.

4. Una persona de 80 kg se coloca al lado de una mujer de 58 kg de tal manera que la distancia que las separa es de 5 cm. Determina la fuerza de atracción gravitacional entre ambas.

II. Anexa esta actividad a tu portafolio de evidencias.

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Tema 3 Leyes de Kepler

Durante la noche sales a realizar una caminata y te sorprendes al ver el cielo cubierto de estrellas, y al observarlas con atención te percatas de su movimiento, pero… ¿realmente se mueven o la que se encuentra en movimiento es la Tierra? Una estrella fugaz ilumina el cielo y parece viajar a gran velocidad, la miras y se pierde en el horizonte después de unos segundos. ¿Cayó por la atracción de la Tierra o más bien la catapultó hacia el espacio exterior? ¿Cómo se comportan los cuerpos celestes?

Si miramos hacia atrás en el tiempo, encontraremos que algunos fenómenos celestes, como los eclipses, inquietaban y atemorizaban a los seres humanos, llevándolos a buscar explicaciones diversas y aunque algunos le atribuían las causas a dioses o deidades, no todas eran de carácter religioso. Por ejemplo, el astrónomo, matemático y geógrafo del siglo ii de la era cristiana, Ptolomeo, en sus primeros escritos formuló la teoría geocéntrica, donde planteaba que la Tierra, inmóvil, era el centro del universo y todos los planetas y las estrellas se movían a su alrededor, que los eclipses se sucedían según determinadas normas y las estrellas tenían un cierto brillo que les permitía catalogarse. Pasarían más de mil años para que el gran astrónomo Nicolás Copérnico modificara por st-editorial.com

completo la visión de la sociedad con su teoría heliocéntrica, en la que estableció que la Tierra giraba sobre sí misma una vez al día y que una vez al año daba una vuelta completa alrededor del Sol. Con su tratado sobre el comportamiento de los cuerpos celestes sentó las bases de la astronomía moderna –parte de la física que fue fundada formalmente por Johannes Kepler–, enunció las leyes que rigen el comportamiento de los cuerpos celestes, y describió la manera en que la refracción de la luz en la atmósfera influye en la observación del espacio; pero fue Newton quien desarrolló los telescopios con espejos parabólicos que, por reflexión de la luz, permiten una mejor observación, y además, quien complementó el trabajo de Kepler con la ley de la gravitación universal que ya hemos estudiado. 119

BLOQUE 3 11

10

Leyes de Kepler

9

12

8 julio

1

7

enero 2

6 3

4

5

FIGURA 6

Trayectoria aproximada de la Tierra en su movimiento alrededor del Sol.

Las leyes enunciadas por Kepler fueron tres: Primera ley. Los planetas se mueven en órbitas elípticas siendo el Sol uno de los focos de la elipse descrita. Se conoce también como la ley de las órbitas. Segunda ley. La línea recta imaginaria que une el centro del Sol con el centro de cualquier planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Si observas la figura, puedes concluir que la velocidad de traslación de la Tierra difiere en su movimiento alrededor del Sol, ya que al ser iguales las áreas recorridas en el mes de enero y en el mes de julio se sigue que la Tierra se desplaza más rápido en el primer mes que en el séptimo lo cual explica adicionalmente por qué en ciertos periodos la luz del Sol incide por más horas en su superficie que en otros. Tercera ley. El cuadrado del periodo orbital de los planetas es proporcional al cubo de las distancias medias al Sol. El periodo (T) de un planeta o satélite es el tiempo que requiere para efectuar un viaje completo en su órbita.

Vuelo espacial

Hace 70 años se soñaba con viajar en una nave tripulada al espacio exterior, hoy en día es común escuchar de actividades en el espacio tales como la instalación de una estación orbital experimental o la puesta en órbita de un nuevo satélite de comunicaciones. Para que una nave tripulada viaje al espacio exterior se requieren ciertas condiciones, la parte inicial del vuelo corresponde a un ascenso vertical en la que después del despegue la nave acelera de tal manera que la fuerza resultante neta, de acuerdo a las leyes de Newton, corresponde a la masa de la nave por la aceleración que adquiere por el impulso de los motores. Al llegar a cierta altura termina el vuelo propulsado y se inicia la etapa de vuelo no propulsado, si la velocidad de la cápsula espacial es la apropiada podrá orbitar alrededor de la Tierra; si no es así pueden suceder dos cosas: si la velocidad es menor que la requerida, la cápsula sigue una trayectoria parabólica y cae a la superficie terrestre; pero si la velocidad es mayor, la trayectoria será elíptica y entonces escapará por completo del campo gravitacional de la Tierra. De acuerdo a la ley de la gravitación universal de Newton, la fuerza que ejerce la Tierra sobre un objeto de masa m es proporcional al cuadrado de la distancia que los separa, pero de acuerdo a su segunda ley tal fuerza es proporcional a la aceleración adquirida a; de esta forma se establece que la aceleración de un objeto hacia la Tierra es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el centro de la Tierra. El manejo algebraico de las ecuaciones 6, 8 y 9 nos permiten definir entonces que la aceleración que adquiere un satélite hacia el centro de la Tierra [Ej.12] cuando se encuentra en órbita es: 10. a = g

FIGURA 7

En todo momento se cumplen las leyes de Newton al inicio de un vuelo espacial.

120

r2t r2

Con r t = radio de la Tierra y r = distancia entre el objeto en órbita y el centro de la Tierra. Al recordar que en el movimiento circular uniformemente acelerado (Bloque 2, ecuación 38) establecimos que la aceleración centrípeta o normal es la que en una trayectoria curvilínea tiene una dirección y un sentido dirigido al centro del radio de curvatura, entonces tenemos que: v v2 r2 a = v~ = v a r k = r = g 2r r

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COMPRENDES EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS A PARTIR DE LAS LEYES DE DINÁMICA DE NEWTON

Por lo que la velocidad con la que el satélite se mantiene en órbita [Ejs. 13 y 14] es: r2 g rt

11. v =

Para casos en que la órbita se establece muy próxima a la Tierra tenemos que: 12. v =

grt

Si para que un satélite escape al campo gravitacional de la Tierra se requiere que su velocidad sea mayor a un 40% de la requerida para ponerlo en órbita, tenemos entonces que la velocidad de escape se puede evaluar con: 13. ve = 2grt

Ejemplo 12 Un cohete se lanza verticalmente y el astronauta que va en la cápsula orbital experimenta un peso aparente 6 veces mayor a su peso normal. Determinemos la aceleración de la nave y el empuje del sistema propulsor, considerando que la masa de la nave es de 25 000 kg y que el astronauta tiene una masa de 80 kg. ¿Cuánto cambia la aceleración cuando la cápsula se encuentra en órbita a una altura de 1 200 km de la superficie terrestre?

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Masa del astronauta: 80 kg. • Masa del cohete: 25 000 kg. • Peso aparente del astronauta: 6 veces mayor a su peso. • Altura de la órbita: 1200 km por encima de la superficie terrestre. • Incógnita: Aceleración y empuje del cohete en el movimiento vertical así como la diferencia de aceleración cuando la cápsula ya se encuentra a 1200 km de la superficie. b. ¿Qué vamos a hacer? En primer lugar, calcular la aceleración con la que se lanza la nave y la fuerza de empuje de los motores para después determinar la aceleración a la cual se sujeta la nave cuando se encuentra en órbita a 1 200 km de la superficie terrestre. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Aplicamos la segunda ley de Newton, pues tenemos que el peso aparente del astronauta corresponde al peso propio más la fuerza inercial que se ejerce. d. Operaciones. wap = mg + ma Pero: wap = 6mg st-editorial.com

Entonces: 6mg = mg + ma ∴ a = 5 g = 49.05 m/s2 El empuje es simplemente: F = 5mtg = 1230174 N Mientras que al alcanzar los 1 200 km, la aceleración es: a = 9.81

6371000 2 = 6.95 m/s 2 7571000 2

e. Resultado. La aceleración que adquiere la nave es alta, cinco veces la del campo gravitacional. pues requiere vencer no sólo su propio peso, también debe pasar de un estado de reposo a uno de movimiento continuo en donde debe impulsar una gran masa y cuando la nave se encuentra a una altura considerable, el efecto del campo gravitacional se ha reducido al grado de que la aceleración que experimenta la nave a los 1 200 km es de aproximadamente el 60% del valor la aceleración de la gravedad.

Ejemplo 13 Una nave se encuentra en una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 321 km, y se activan los propulsores para incrementar en forma instantánea su velocidad y permitir que escape al campo gravitacional, determinemos el incremento de velocidad requerido para tal maniobra.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Altura de la órbita: 321 km por encima de la superficie terrestre. • Radio de la Tierra: 6 371 km. • Incógnita: Incremento de velocidad para que la nave salga del campo gravitacional.

121

BLOQUE 3

b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular el incremento de la velocidad para que la nave salga del campo gravitacional. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? En primer término, procedemos a determinar la velocidad con la que se traslada la nave en su órbita de 321 km, (ecuación 11) para después hallar la velocidad de escape (ecuación 13) y calcular con ambos resultados, el incremento correspondiente. d. Operaciones. La velocidad de la nave a 321 km de altura es:

v=

9.81 #

6371000 2 = 7713.7 m/s = 7.71 km/s 6692000 2

Ejemplo 14 Determinemos la velocidad con la que se debe lanzar una sonda meteorológica de 50 kg para que se mantenga en órbita a 800 km de la superficie terrestre.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Masa de la sonda: 50 kg. • Radio de la Tierra, rt = 6 371 000 m. • Radio de la órbita, r = 6 371 000 + 800 000 = 7 171 000 m. • Incógnita: Velocidad de la sonda en órbita. b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular la velocidad de lanzamiento de una sonda meteorológica para que se mantenga en una órbita de 800 km sobre la superficie terrestre.

Y la velocidad de escape es: ve =

2 # 9.81 # 6371000 = 11180.3 m/s = 11.18 km/s

e. Resultado. De donde tenemos que el incremento debe ser de 3.47 km/s. La nave debe incrementar su velocidad en un 45% o más para alcanzar la velocidad requerida para que salga del campo gravitacional. Es importante tener presente que el impulso proporcionado debe estar ligado a la trayectoria para que efectivamente sea lanzada al espacio y no se produzca su retorno a la superficie terrestre.

Actividad individual

competencias genéricas

1

4 5

c. ¿Cómo lo vamos a hacer? A partir de la sustitución directa de los datos en la ecuación 11. d. Operaciones.

v=

9.81 #

6371000 2 = 7451.65 m/s 7171000 2

e. Resultado. La velocidad requerida es de 7.5 km/s, valor que corresponde a un 66% de la velocidad de escape, la cual asciende a 11.18 km/s.

competencias disciplinares

3 10

desempeño del estudiante

d

En estos ejercicios se presentan exclusivamente problemas relacionados con el movimiento orbital de cuerpos. Consulta las ecuaciones 10 –13, y realiza previamente los ejemplos resueltos hasta aquí, para que puedas solucionar con facilidad cada uno de los ejercicios propuestos a continuación. Trabaja en tu cuaderno.

1. Calcula la velocidad con la que debe viajar un transbordador espacial para liberar un sistema telescópico en una órbita circular a 590 km de la superficie terrestre.

2. Determina la velocidad de un satélite que sigue una órbita circular a 80 km de la superficie de Mercurio. 3. Un satélite de telecomunicaciones se encuentra en una órbita circular a una distancia equivalente a la

mitad del radio de la Tierra, los expertos han establecido que operará con menor perturbación en una órbita equivalente a 2.5 veces el radio de la Tierra ¿Cuánto se debe incrementar su velocidad? 4. Determina la velocidad de un satélite que se encuentra en órbita a 1 800 km de la superficie terrestre y su periodo de revolución en minutos.

122

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COMPRENDES EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS A PARTIR DE LAS LEYES DE DINÁMICA DE NEWTON

Lee Los Entre sesenta… la Luna y la Tierra El 21 de julio de 1969 se concretó el viaje del ser humano a la Luna como parte de un programa de desarrollo espacial con el que se pretendía que Estados Unidos se pusiera a la vanguardia con respecto a la ex Unión Soviética, que ya había logrado en 1957 poner en órbita el satélite Sputnik. A más de 50 años del evento encontramos una gran cantidad de documentales, reportes y crónicas, que en algunos casos dejan un tanto lo científico de lado y afirman que nunca se logró el descenso en la Luna, sino que se necesitaba de un gran despliegue mediático para recrear la idea de una nación poderosa, líder del mundo occidental y con un modelo económico superior al de cualquier otra nación con diferente orientación política.

Actualmente, existe un programa internacional por medio del cual desde el año 2000 hay una estación espacial en una órbita de aproximadamente 300 km de la superficie terrestre, con una tripulación permanente que realiza diversos experimentos. Aunque se han colocado con éxito sondas espaciales en Marte (de 38 lanzamientos sólo 6 han logrado el aterrizaje), no ha sido posible desarrollar la tecnología necesaria para que un humano coloque su huella en suelo marciano. Se afirma que la nasa estará lista en las dos próximas décadas para que una nave tripulada pueda recabar información y realizar experimentos en la superficie del llamado planeta rojo, sin embargo, algunos escépticos

consideran que solamente se realizará otra gran campaña mediática, pues el costo es excesivo tanto en materiales como en los sistemas telemáticos a desarrollar. Se estima que hacia mediados del 2014, la sensación de ingravidez estará al alcance de las primeras 200 personas que hayan pagado alrededor de 152 000 euros. Una empresa pondrá en vuelo suborbital un avión con seis pasajeros a bordo, en un viaje que durará alrededor de 90 minutos y se realizará a una velocidad de 1 470 km/h y 110 kilómetros de altura, menos de los 400 a los que orbita la estación espacial internacional y una mínima altura si se compara con los 360 00 kilómetros que alcanzan algunos satélites.

Fuente: Jorge Díaz. Con datos de: Avion Revue Internacional, no. 120. Febrero de 2010. http://bit.ly/16e4hSg http://bit.ly/7hA9uC http://1.usa.gov/1YXivJ http://bit.ly/tU7DLm http://mun.do/gCAyqa http://mun.do/10OWUCK I. Reunidos en parejas, investigen en la biblioteca, la hemeroteca e Internet:

1. ¿Qué factores políticos y económicos prevalecían en la etapa de la llamada “carrera espacial”? 2. ¿Por qué no se incluye a los países en desarrollo en los programas espaciales? 3. ¿Qué piensas sobre los viajes a la Luna?, ¿son un mito o una realidad? 4. Julio Verne imaginaba que era sencillo colocar una nave en órbita, ¿consideras que es factible la vida del ser humano en una atmósfera distinta a la terrestre?

II. Elaboren un reporte y presenten al grupo sus conclusiones.

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BLOQUE 3

Evaluación sumativa Heteroevaluación I. Pide a tu profesor que aplique la siguiente rúbrica con el fin de que pueda registrar tus avances. Como verás es la misma que respondiste en el reto; ahora servirá para medir cuál fue tu desempeño durante el estudio de este bloque. Indicadores de desempeño

Aspectos a evaluar

4 puntos

3 puntos

2 puntos

1 punto

Mi puntaje

Fuerzas que intervienen en el movimiento de los cuerpos en los diferentes tipos de movimiento.

Identifiqué plenamente en los diferentes tipos de movimiento las fuerzas que intervienen en el movimiento de los cuerpos.

Identifiqué en los diferentes tipos de movimiento algunas de las fuerzas que intervienen en el movimiento de los cuerpos.

Identifiqué vagamente en los diferentes tipos de movimiento las fuerzas que intervienen en el movimiento de los cuerpos.

No identifiqué en los diferentes tipos de movimiento las fuerzas que intervienen en el movimiento de los cuerpos.

Leyes de la dinámica de Newton en la solución y explicación del movimiento de los cuerpos observables en el entorno inmediato.

Siempre apliqué las leyes de la dinámica de Newton en la solución y explicación del movimiento de los cuerpos observables en mi entorno inmediato.

En ocasiones apliqué las leyes de la dinámica de Newton en la solución y explicación del movimiento de los cuerpos observables en mi entorno inmediato.

Rara vez apliqué las leyes de la dinámica de Newton en la solución y explicación del movimiento de los cuerpos observables en mi entorno inmediato.

Nunca apliqué las leyes de la dinámica de Newton en la solución y explicación del movimiento de los cuerpos observables en mi entorno inmediato.

Ley de la gravitación universal para entender el comportamiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas gravitatorias.

Siempre utilicé la ley de la gravitación universal para entender el comportamiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas gravitatorias.

En ocasiones utilicé la ley de la gravitación universal para entender el comportamiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas gravitatorias.

Rara vez utilicé la ley de la gravitación universal para entender el comportamiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas gravitatorias.

Nunca utilicé la ley de la gravitación universal para entender el comportamiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas gravitatorias.

Movimiento de los planetas en el Sistema Solar utilizando las leyes de Kepler.

Siempre expliqué el movimiento de los planetas en el Sistema Solar utilizando las leyes de Kepler.

En ocasiones expliqué el movimiento de los planetas en el Sistema Solar utilizando las leyes de Kepler.

Rara vez expliqué el movimiento de los planetas en el Sistema Solar utilizando las leyes de Kepler.

Nunca expliqué el movimiento de los planetas en el Sistema Solar utilizando las leyes de Kepler.

Valoración Excelente: 15 a 16 puntos.

Bueno: 11 a 14 puntos.

Suficiente: 7 a 10 puntos.

Mi total Insuficiente: 4 a 6 puntos.

II. Ha llegado el momento de que entregues a tu profesor todos los productos de las actividades que reali-

zaste durante este bloque y que guardaste en tu portafolio de evidencias, ya que con esto podrá evaluarte.

Autoevaluación I. Relaciona las columnas; posteriormente, regresa al bloque para verificar que tus respuestas sean correctas y modifica aquellas que no lo sean.

1. ( ) Al agente capaz de modificar el estado de reposo de un cuerpo se le llama… 2. ( ) En el momento en que frena un auto reduce su velocidad por la acción de… 3. ( ) Cuando un martillo golpea un clavo se presentan fuerzas iguales y opuestas… 4. ( ) El campo gravitacional nos permite caminar sin flotar debido a que origina el… 5. ( ) La tercera ley de Kepler se puede expresar como… 124

a. peso. b. x µ a/e. c.  de acuerdo a la ley de gravitación universal.

d. fuerza. e. inercia. f. la fuerza de fricción dinámica. g. T2 µ R3 h. de acuerdo a la 3ª ley de Newton. i. la fuerza de fricción estática. st-editorial.com

COMPRENDES EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS A PARTIR DE LAS LEYES DE DINÁMICA DE NEWTON

II. Realiza en tu cuaderno lo que se te pide. 1. Lee el siguiente texto:  os organizadores de Vancouver 2010 estaban preocupados por la escasez de nieve, la economía y el L dopaje, pero antes de empezar les llegó lo peor. Los Juegos Olímpicos de Invierno ya estarían marcados por la tragedia. El georgiano Nodar Kumaritashvili se mató al salirse de la pista de luge durante los entrenamientos. Perdió el control del trineo en el que los deportistas van tumbados boca arriba, en una posición un tanto forzada, y se estrelló contra uno de los postes metálicos no protegidos del circuito de Whistler, considerado el más rápido del mundo. En esos momentos iba a una velocidad cercana a los 145 kilómetros por hora… Fuente: http://bit.ly/1bRWqLl

2. E  n el luge, la pista de hielo para el descenso tiene secciones rectas y secciones curvas. A partir de los datos anteriores, responde:

a. ¿Qué tipos de movimiento provoca la fuerza de impulso que produce el piloto con sus manos? b. ¿Cuáles son las fuerzas que se generan durante el descenso en cada tipo de sección? c. ¿Por qué cambian las fuerzas del trineo en cada curva? d. ¿Cómo afecta el campo gravitacional? e. ¿Consideras factible que las zonas con nieve presenten susceptibilidad a la atracción lunar tal como ocurre con las mareas por el movimiento planetario?, ¿por qué?

3. Nuestro planeta se encuentra en un viaje continuo por el espacio, presenta ciertos movimientos que nos pasan desapercibidos pero que definitivamente influyen en nuestro día a día y en la disponibilidad de nuestros recursos; atendiendo a la trayectoria es como podemos sentir la necesidad de abrigo, de refrescarnos o bien se puede dar el caso de que por una sequía un alimento sea escaso y su precio se eleve o que ocurra exactamente lo contrario. A partir de esto, responde: a. ¿Qué trayectoria sigue la Tierra? b. ¿Cuáles son los movimientos que se presentan? c. ¿Qué fuerzas lo producen? d. ¿Qué leyes se cumplen?

4.      D  etermina el coeficiente de fricción entre una superficie de concreto y una caja de madera cuya masa

total, incluyendo su contenido, es de 75 kg. Sobre la caja actúa una fuerza neta de 320 N, paralela a la superficie, produciendo un movimiento a velocidad constante.

5.     U  n contenedor de madera de 2 500 N se coloca sobre un ascensor que lo lleva de la planta baja de un

almacén a un tercer piso con una aceleración de 0.5 m/s2. Calcula la fuerza de reacción del piso del ascensor sobre el contenedor cuando sube. ¿Qué sucede si en vez de subir el ascensor baja?

6.     C  alcula la distancia requerida para que un objeto de 80 kg sea atraído por otro de 45 kg con una fuerza de 0.1 N.

7.  Determina la velocidad que requiere un satélite artificial para mantener un vuelo orbital bajo una trayectoria circular a una altura sobre la superficie terrestre del 10% del radio de la Tierra.

III. Reflexiona y responde, en tu cuaderno, a cada una de las preguntas: 1. ¿Para qué disciplinas consideras fundamental el estudio de la ley de la gravitación y las leyes de Kepler? 2. ¿ Se te dificulta el estudio del movimiento de un cuerpo provocado por fuerzas diversas? 3. ¿ En qué situaciones de tu vida a futuro como profesionista crees que emplearás los conocimientos que has adquirido?

IV. Contesta la siguiente lista de cotejo para que reconozcas cuáles fueron tus actitudes durante este bloque. Aspecto

Siempre

Algunas veces

Nunca

Me integré al trabajo en equipo. Realicé comentarios acertados de acuerdo con el tema. Mostré una actitud de respeto y compañerismo. Participé en cada actividad.

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Desempeños del estudiante

Bloque 4 Relacionas el trabajo con la energía

a. Define el concepto de trabajo en física, realizado por o sobre un cuerpo como un cambio en la posición o la deformación del mismo por efecto de una fuerza. b. Relaciona los cambios de la energía cinética y potencial que posee un cuerpo con el trabajo en física. c. Utiliza la ley de la conservación de la energía mecánica en la explicación de fenómenos naturales de su entorno social, ambiental y cultural. d. Aplica en situaciones de la vida cotidiana, el concepto de potencia como la rapidez con la que se consume energía. Estos desempeños pueden identificarse en cada una de las actividades del bloque, de la siguiente manera: DESEMPEÑOS DEL a b c d ESTUDIANTE

Bloque 1

Bloque 2

Bloque 3

Reconoces el lenguaje técnico básico de la física

Identificas diferencias entre distintos tipos de movimiento

Comprendes el movimiento de los cuerpos a partir de las leyes de dinámica de Newton

Objetos de aprendizaje • • • •

Trabajo Energía cinética y energía potencial Ley de la conservación de la energía mecánica Potencia

Bloque 4 Relacionas el trabajo con la energía

Introducción En el bloque anterior estudiamos la relación entre fuerza, masa y aceleración de un sistema cualquiera, así como sus implicaciones en cuanto al comportamiento general de un cuerpo. Ahora nos corresponde analizar otros aspectos de la física que también son comunes en nuestra vida diaria, y que completan el estudio de la

dinámica de un cuerpo, como son el trabajo, la energía mecánica y la potencia, los cuales se interrelacionan con los mencionados al inicio y hacen factible el desarrollo de un sinnúmero de equipos y sistemas que en un futuro no lejano nos brindarán mayores comodidades. Estos temas se resumen en el siguiente mapa conceptual.

Dinámica de un cuerpo se estudia por

trabajo

energía

potencia

se define como

se define como

se define como

un producto escalar de vectores

el agente que permite producir trabajo

el trabajo realizado por un sistema en el tiempo

se manifiesta como

se manifiesta como

se manifiesta como

fuerza necesaria para desplazar un cuerpo

energía cinética y energía potencial

consumo de energía mecánica o eléctrica

el cambio de energía sin realizar trabajo es el

principio de conservación de la energía

128

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Para comenzar... Para que puedas comprender los temas de este bloque, es necesario

que rescates las competencias (conocimientos, habilidades, actitudes y valores) que ya has adquirido a lo largo de tu vida. Haz tu mejor esfuerzo para responder y detecta aquellos aspectos que no conoces o dominas para enfocar tu estudio.

I. Selecciona la respuesta correcta. 1.( ) ¿Qué es el trabajo? a. Es la parte de la física que estudia lo relacionado con la acción de una fuerza sobre un cuerpo y el desplazamiento que sufre.

b. Es toda actividad por la que se percibe un salario. c. Es una medida de la energía que disipa un cuerpo. d.  Es una cantidad escalar que relaciona el desplazamiento de un cuerpo con la fuerza que produce tal desplazamiento.

2.( ) ¿Qué diferencia existe entre trabajo y energía? a. Ninguna porque se refieren al mismo fenómeno. b. El primero mide el desplazamiento de un cuerpo producido por una fuerza y la segunda, el cambio de velocidad o posición del cuerpo.

c. El primero depende de la gravedad y la segunda, de la masa del cuerpo. d.  El primero es una cantidad escalar y la segunda es un vector. 3.( ) La potencia… a. es el medio que transforma la energía en movimiento. b. mide el consumo de energía de una máquina. c. mide la capacidad para realizar trabajo en la unidad de tiempo. d. realiza un trabajo que se opone al movimiento. 4.( ) El principio de trabajo y energía… a. señala que el trabajo realizado por las fuerzas que actúan en un cuerpo equivale al cambio de energía mecánica.

b. relaciona el efecto de las fuerzas que interactúan con cuerpos y su movimiento. c.  permite definir las propiedades elásticas de un cuerpo. d. fue postulado por Newton. 5.( ) La conservación de la energía… a. establece que el movimiento de un cuerpo es perpetuo a menos que intervengan fuerzas disipadoras.

b. es un principio que permite calcular la aceleración de un cuerpo. c. establece que la energía permanece inalterable cambiando de cinética a potencial y viceversa.

d. es un principio que permite definir la cantidad de energía de un sistema. II. Resuelve los siguientes problemas. 1. Una caja de madera con su contenido totalizan una masa de 75 kg y se coloca sobre

una superficie horizontal. Para moverla se le aplica horizontalmente una fuerza de 75 N. ¿Cuál es la magnitud del trabajo realizado?

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129

BLOQUE 4

2. ¿Cuál es la energía potencial de una persona de 70 kg de masa que salta entre las rocas de un acantilado desde una altura de 2 m para llegar a la parte alta de un risco de 3.5 m de altura?

3. ¿En qué cantidad cambia la energía cinética de un auto cuando modifica su velocidad de 30 km/h a 50 km/h?

4. ¿ Cuál es el trabajo realizado por un camión de volteo de 5 000 kg de masa cuando reduce su velocidad de 60 km/h a 30 km/h?

5. Calcula la potencia requerida para desplazar un vehículo de 1 200 kg de masa a una velocidad de 60 km/h en el entendido de que el motor proporciona a las ruedas una fuerza de tracción de 3 000 N.

III. Lee el siguiente texto y responde en tu cuaderno las preguntas que se plantean posteriormente. A inicios del siglo pasado la industria del automóvil inició un proceso de evolución y desarrollo, la idea inicial era crear un dispositivo que trasladara con seguridad personas y mercancías. La competencia por dominar el naciente mercado fue dura y al final los sistemas térmicos se impusieron a los eléctricos, que no podían ser empleados para trasladar pesos muy grandes, ya que los requerimientos de potencia y par (o torque) fueron perfeccionados en forma

rápida en los motores de combustión interna que funcionan con gasolina y diesel –combustibles abundantes y económicos en ese tiempo–, logrando cubrir un amplio rango de necesidades. En sus inicios, los motores consumían demasiado combustible y emitían una gran cantidad de agentes contaminantes; aunque hoy en día el consumo de energéticos es menor, la emisión de contaminantes no lo es del todo y en algunas partes del mundo existe una

cierta tendencia a emplear sistemas eléctricos e híbridos, situaciones que a simple vista, más que una solución a los problemas energéticos y climáticos, más bien parecen una estrategia comercial, pues las grandes empresas no han descontinuado la fabricación de motores de alta potencia (500 o más hp) y gran consumo de combustibles de origen fósil, con la consiguiente contaminación atmosférica.

1. ¿Son adecuadas las medidas que se han tomado en tu ciudad para reducir el uso de automóviles de

gran potencia, elevado consumo de combustible y alto nivel de emisión de contaminantes? 2. ¿Cómo justifican las empresas del área automotriz el desarrollo de tecnologías que no son amigables con el medio ambiente y el uso racional de combustibles? 130

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Reto (problema) Todos trabajamos, lo hacemos de muy diversas maneras y por muchas razones diferentes. ¿Has observado cómo funciona la licuadora en la cocina? ¿Realiza trabajo? ¿Qué elementos intervienen cuando tú efectúas un trabajo y cuáles cuando lo hace la licuadora? ¿Hay algo en común entre personas y máquinas cuando realizan trabajo? Con base en esta reflexión, hagamos un análisis grupal. Reúnete con tres compañeros y comenten acerca de los siguientes aspectos, anotando en su cuaderno las conclusiones a cada punto:

1. Del concepto general de trabajo en la física y su importancia en la dinámica: a. ¿Es suficiente con que un cuerpo se mueva para que realice trabajo? b.  ¿De qué manera un cuerpo en movimiento puede realizar trabajo sobre otro que se encuentra en reposo?

c. ¿El trabajo es una manifestación de la energía de un cuerpo? d.  ¿Qué tipo de fuerzas intervienen al efectuar trabajo? e. ¿Hay cambios de energía asociados al trabajo? 2. De la manera en que un sistema puede aprovechar la energía y realizar trabajo: a. ¿Que tipos de energía se emplean en la dinámica? b.  ¿Puede una transformarse en la otra? c. ¿Por qué es común que se manifiesten como trabajo? d.  ¿Es infinita la cantidad de energía de un cuerpo? e. ¿Qué variables intervienen para que se manifieste en diferentes formas? 3. De nuestras actividades cotidianas y el cambio de energía y trabajo: a.  ¿Cómo es un viaje en tren? ¿Qué sucede si lo realizas en un auto? ¿En cuál se requiere un mayor consumo de energía?

b. ¿Qué variables intervienen para que se mueva con facilidad un medio de transporte de gran tamaño? c.  ¿Puede una máquina o un equipo de reducidas dimensiones efectuar el mismo trabajo que uno de gran tamaño?

d.  Si la energía se conserva, ¿puede una transformación de la misma contribuir a elevar la eficiencia de un sistema?

e. ¿De qué manera se pueden aprovechar las pérdidas de energía en un sistema? 4. Del concepto de potencia y su influencia en nuestras actividades diarias: a.  En una feria automovilística se exhibe un auto deportivo y un tractor agrícola, ambos con la misma especificación de potencia. ¿cuál es la diferencia entre uno y otro?

b. ¿Puede un cuerpo en movimiento circular presentar la misma potencia que uno que se mueve en movimiento lineal?

c. ¿Por qué una máquina no produce la potencia que se indica en su tabla de especificaciones? d. ¿Puede un equipo producir un valor alto de potencia con un bajo consumo de energía? e. ¿De qué manera aprovechas la potencia de los equipos y máquinas que te rodean en tu quehacer cotidiano?

Coevaluación En la siguiente lista de cotejo se presentan una serie de aspectos para que evalúes el desempeño de uno de tus compañeros durante la realización del reto. Aspecto

Siempre

Algunas veces

Nunca

Participó activamente en cada una de las actividades. Expresó su opinión bajo consideraciones teóricas. Su participación fue incluyente y ordenada. Respetó las ideas de los compañeros y buscó un consenso. Trabajó con limpieza y orden. st-editorial.com

131

Autoevaluación Con esta rúbrica evalúa tu desempeño en el reto. Indicadores de desempeño

Aspectos a evaluar

4 puntos

3 puntos

2 puntos

1 punto

Concepto de trabajo en física, realizado por o sobre un cuerpo como un cambio en la posición o la deformación del mismo por efecto de una fuerza.

Definí plenamente el concepto de trabajo en física, realizado por o sobre un cuerpo como un cambio en la posición o la deformación del mismo por efecto de una fuerza.

Definí bien el concepto de trabajo en física, realizado por o sobre un cuerpo como un cambio en la posición o la deformación del mismo por efecto de una fuerza.

Definí vagamente el concepto de trabajo en física, realizado por o sobre un cuerpo como un cambio en la posición o la deformación del mismo por efecto de una fuerza.

No definí el concepto de trabajo en física, realizado por o sobre un cuerpo como un cambio en la posición o la deformación del mismo por efecto de una fuerza.

Cambios de la energía cinética y potencial que posee un cuerpo con el trabajo en física.

Relacioné plenamente los cambios de la energía cinética y potencial que posee un cuerpo con el trabajo en física.

Relacioné bien los cambios de la energía cinética y potencial que posee un cuerpo con el trabajo en física.

Relacioné vagamente los cambios de la energía cinética y potencial que posee un cuerpo con el trabajo en física.

No relacioné los cambios de la energía cinética y potencial que posee un cuerpo con el trabajo en física.

Ley de la conservación de la energía mecánica en la explicación de fenómenos naturales del entorno social, ambiental y cultural.

Utilicé plenamente la ley de la conservación de la energía mecánica en la explicación de fenómenos naturales de mi entorno social, ambiental y cultural.

Utilicé bien la ley de la conservación de la energía mecánica en la explicación de fenómenos naturales de mi entorno social, ambiental y cultural.

Utilicé vagamente la ley de la conservación de la energía mecánica en la explicación de fenómenos naturales de mi entorno social, ambiental y cultural.

No utilicé la ley de la conservación de la energía mecánica en la explicación de fenómenos naturales de mi entorno social, ambiental y cultural.

Concepto de potencia como la rapidez con la que se consume energía en situaciones de la vida cotidiana.

Siempre apliqué en situaciones de la vida cotidiana, el concepto de potencia como la rapidez con la que se consume energía.

En ocasiones apliqué en situaciones de la vida cotidiana, el concepto de potencia como la rapidez con la que se consume energía.

Casi nunca apliqué en situaciones de la vida cotidiana, el concepto de potencia como la rapidez con la que se consume energía.

Nunca apliqué en situaciones de la vida cotidiana, el concepto de potencia como la rapidez con la que se consume energía.

Valoración Excelente: 15 a 16 puntos. puntos.

132

Bueno: 11 a 14 puntos.

Suficiente: 7 a 10 puntos.

Mi puntaje

Mi total Insuficiente: 4 a 6

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RELACIONAS EL TRABAJO CON LA ENERGÍA

Tema 1

Tema 2

Tema 3

Tema 4

Trabajo

Energía cinética y energía potencial

Ley de la conservación de la energía mecánica

Potencia

Reflexiona… ¿Cómo funciona un elevador?, ¿qué sistemas se ocupan para elevar las redes en un barco pesquero?, ¿por qué se mantiene en vuelo un avión? En todas estas actividades se realiza trabajo, ya sea por medio de dispositivos o por medio de la mano de los humanos; ¿qué sucedería a nuestro alrededor si no fuera posible que se realizara trabajo?

¿Qué ocurre cuando te piden en casa que muevas el refrigerador porque hay debajo un objeto pequeño? Primero aplicarás una fuerza que se traduce en un movimiento con aceleración constante, después vencerás la fuerza de fricción y lo desplazarás una cierta distancia, y por último, una vez que hayas localizado y recuperado el objeto, regresarás el refrigerador a su sitio original. ¡Es mucho trabajo!, ¿no crees? En física, el término trabajo tiene una connotación muy diferente a la que usamos en nuestra vida diaria, donde es común emplearlo en forma indistinta, ya que además de asociar el término a toda actividad que brinda un beneficio económico, st-editorial.com

también nos referimos al esfuerzo físico o mental que nos conduce a alcanzar una meta, como puede ser un primer lugar en atletismo, en matemáticas, etc. Veamos el caso siguiente: una joven pasea por el parque en bicicleta, ¿qué fuerzas se presentan en tal sistema? Si hacemos un recuento de las fuerzas actuantes podemos observar que se tiene el peso de la joven y las fuerzas de reacción del piso sobre la bicicleta, es decir, las fuerzas normales, ¿se realiza trabajo?, claro que sí, ¿cómo?, ¿por qué? Veamos el gráfico 1 de la página siguiente la acción de las fuerzas que hemos señalado. 133

BLOQUE 4

GRÁFICO 1

Peso

FIGURA 1

El trabajo realizado sobre la pelota es justo lo que nos permite observar cómo se desplaza siguiendo una trayectoria paralela a la superficie.

Normal

Normal

Tanto el peso, como las fuerzas normales, no intervienen en el movimiento, anulan su efecto por la tercera ley de Newton y esto permite el movimiento sobre la superficie venciendo la fuerza de fricción que actúa entre las llantas y la calzada; la acción sobre los pedales por parte de la joven se traduce en movimiento, la fuerza alterna que se aplica mueve la cadena y ésta a su vez impulsa a la rueda motriz trasera y provee el impulso necesario, es decir, la fuerza que se ejerce en los pedales produce el trabajo requerido para el movimiento, y esta fuerza es variable en magnitud y dirección, y su resultante es la que obliga al objeto a desplazarse una cierta distancia en forma paralela a la superficie. Imagina ahora a un grupo de niños que juegan al fútbol, cuando uno de ellos golpea la pelota y la hace rodar observamos que la fuerza aplicada es constante y paralela a la superficie. En el campo de la mecánica se designa como trabajo (W) la capacidad que tiene un cuerpo para moverse una cierta distancia, en el instante en que se le aplica una fuerza paralela a la trayectoria del movimiento generado. Hay dos cosas importantes a considerar, los agentes –fuerza y desplazamiento– que intervienen son vectores: • La fuerza es un vector que se caracteriza por tener magnitud, dirección y sentido. • El desplazamiento es también un vector cuya magnitud corresponde a la distancia y su dirección queda definida precisamente por la de la fuerza actuante. En matemáticas se definen dos tipos de producto entre vectores:

Producto “cruz”. Al multiplicarse dos vectores el resultado es un vec-

tor cuya dirección es perpendicular al plano que definen los primeros vectores. Producto “punto” o producto escalar. Al multiplicar dos vectores se obtiene como resultado una cantidad escalar, siendo una condición propia de este producto el que se multiplican sólo las cantidades en magnitud bajo una proyección ortogonal que corresponde a una dirección especifica. El trabajo (W) es una cantidad escalar que resulta de realizar el producto escalar del vector fuerza con el vector desplazamiento. 134

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RELACIONAS EL TRABAJO CON LA ENERGÍA

Actividad grupal

competencias genéricas

4 6 8

competencias disciplinares

3 4 6 8

desempeño del estudiante

a

Para cada una de las ilustraciones que se muestran mencionen:

1. ¿Cuáles son las fuerzas actuantes? 2. ¿Cuál es la fuerza resultante o neta que produce trabajo? 3. Señala el desplazamiento. a. Máquina revolvedora de concreto.

b. Portaaviones en ejercicios de práctica.

c. Batidora industrial en la preparación de pan.

d. Ferrocarril en un viaje cualquiera.

e. Equipo para cimentaciones.

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135

BLOQUE 4

La expresión matemática y unidades de medición del trabajo

Pensemos ahora en una situación muy importante, el trabajo no posee dirección, pero ¿le podemos asignar un sentido? Estrictamente hablando, no, pero sí podemos hablar de un trabajo positivo o negativo; pensemos, por ejemplo, en una piedra que cae verticalmente, la fuerza que actúa sobre ella es su peso y se dirige al centro de la Tierra, así pues el sentido del movimiento corresponde directamente al de la fuerza aplicada, sin embargo, en condiciones normales actúan fuerzas de fricción sobre la piedra que impiden el movimiento y retardan en cierta forma la caída, estas fuerzas se oponen al movimiento y también realizan un trabajo que es imperceptible a nuestra vista. Siempre se considera que el trabajo es positivo cuando la fuerza aplicada actúa en el mismo sentido del movimiento que produce [Ejs. 2 y 3]; si por el contrario, la fuerza actuante es opuesta al movimiento que sigue el cuerpo y no es lo suficientemente grande en magnitud para impedir el desplazamiento en forma instantánea, se considera que el trabajo realizado es negativo. Otro punto a considerar es que la fuerza resultante no necesariamente es constante en magnitud aunque sí en dirección, tal es el caso de los sistemas empleados en el proceso de estampado de lámina, donde la prensa inicia la transformación con una fuerza que se incrementa, se mantiene constante y luego se reduce, para estas situaciones el cálculo del trabajo se puede realizar mediante integración numérica o bien a través del análisis del grafico fuerza-desplazamiento que proporciona una aproximación aceptable. El gráfico 2 nos muestra la variación de fuerza con el desplazamiento que sufre un objeto, el trabajo total corresponde al área bajo la curva, que para efectos prácticos se puede descomponer en áreas geométricas sencillas cuya suma nos dará el total [Ej. 4]. En general se puede hacer una descomposición en cualquier cantidad de “áreas”; sin embargo, es recomendable considerar el menor número posible para simplificar el cálculo, en el

Pasemos ahora al análisis del modelo que nos permite establecer la ecuación general del trabajo, observa el esquema de la página siguiente, donde una fuerza (F) que actúa en una dirección cualquiera se aplica a un contenedor. Podrás observar que debido a la acción de la fuerza el contenedor se mueve una cierta distancia (d); de acuerdo con la definición general de trabajo, al sistema de referencia empleado y a la definición de producto escalar se establece que: 1. W = Fxd Donde: W = trabajo, expresado en joule ( J). Fx = vector de fuerza paralela a la trayectoria del objeto bajo estudio expresada en newton (N). d = vector de desplazamiento cuya magnitud es la distancia recorrida por el objeto expresada en metros (m). Si consideramos que la magnitud de la componente paralela a la trayectoria del movimiento es la expresión Fx = Fcosq, entonces se tiene que en forma escalar es: 2. W = (Fcosq)d Siendo q el ángulo que forma la fuerza neta (resultante o total) con la trayectoria del objeto bajo estudio [Ej. 1]. Debemos tener presente que para expresar la unidad del trabajo en el sistema internacional de unidades empleamos el joule ( J), porque la unidad compuesta (Nm) se emplea para expresar el momento (par o torque) producido por una fuerza, que es una cantidad vectorial; mientras que el trabajo es una cantidad escalar –que se asocia a la energía como veremos más adelante– y no posee dirección. En el obsoleto sistema de unidades cgs (centímetro, gramo, segundo) se emplea el ergio como unidad de trabajo.

y F

q

x

d

Glosario 136

Obsoleto. Anticuado, inadecuado a las circunstancias actuales.

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RELACIONAS EL TRABAJO CON LA ENERGÍA GRÁFICO 3

GRÁFICO 2

F (N)

F

A2 A1 A3

d

Trabajo

d (m)

Trabajo

gráfico 3 se puede apreciar que consideramos tres “áreas”. Observa que señalamos dos triángulos y un rectángulo, y el trabajo total será simplemente: n

3. W = A1 + A2 + A3 +… + An = / A i i=1

Aunque sabemos que el área se expresa en unidades de longitud al cuadrado, para este análisis se considera que la base se expresa en metros y la altura de cada sección en newton, de allí que la unidad de trabajo sea el joule.

mg

Ejemplo 1 Se coloca un bloque de 20 kg sobre un plano inclinado a 15° y se le proporciona una velocidad inicial vo. Calculemos el trabajo que desarrollan las fuerzas actuantes para que el bloque pueda descender 20 m sobre la superficie del plano, si consideramos que el coeficiente de fricción entre el bloque y el plano es de 0.2.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Masa del bloque, m = 20 kg. • Inclinación de la superficie, q = 15°. • Distancia recorrida, d = 20 m. • Coeficiente de fricción, md = 0.2. • Incógnita: Trabajo desarrollado por el bloque al descender por el plano inclinado. b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular el trabajo que realiza el bloque.

15° movim

mdN

iento

15° N

Al aplicar la suma de fuerzas verticales (perpendiculares al plano) observamos que se encuentran en equilibrio y entonces tenemos que la normal es igual a la proyección del peso en la perpendicular: +3

ΣF = 0: N – mgcosq = 0

∴ N = 20 × 9.81cos15° = 189.515 N Las fuerzas que actúan paralelas al plano nos llevan a obtener la fuerza neta (o resultante) + 4 ΣF = F : mgsenq – m N = F t d t ∴ Ft = 20 × 9.81sen15° - 0.2 × 189.515 = 12.877 N 4

c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Para determinar el trabajo calculamos la fuerza neta paralela a la superficie del movimiento y después aplicamos la ecuación de trabajo. d. Operaciones. Las fuerzas que actúan en el bloque son el peso (mg), la normal (N) y la fuerza de fricción (mdN ).

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El trabajo realizado es entonces: W = Fd = 12.877 × 20 = 257.547 J e. Resultado. El trabajo realizado por la fuerza resultante sobre el bloque al descender en el plano es de 257.547 J.

137

BLOQUE 4

Ejemplo 2 Un auto descompuesto de 1 600 kg de masa se empuja sobre una rampa metálica para que descienda 1.5 m hasta el sitio en que será reparado, considerando que la fricción entre el auto y la rampa es nula, y que basta un empujón insignificante para que ruede el auto sobre la rampa, calcula el trabajo realizado.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Masa, m = 1 600 kg. • Distancia recorrida con respecto al nivel del piso, h = 1.5 m. • Incógnita: Trabajo desarrollado. b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular el trabajo que realiza el peso para llevar el auto de una posición alta a una inferior. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Aplicamos la ecuación de trabajo en el entendido de que la única fuerza que actúa (o interviene) para realizar trabajo es el peso (fuerza vertical). d. Operaciones. Trabajo realizado por el peso: W = Fd = mgh = 1600(9.81) × 1.5 = 23 544 J e. Resultado. El trabajo realizado es de 23.54 kJ, el trabajo es positivo porque el peso actúa en la misma dirección del movimiento, observa que no se considera ninguna fuerza de fricción, ni la acción necesaria para que llegue a su posición sin que choque o algo similar.

Ejemplo 3 Un joven de 60 kg sube de la planta baja al primer piso de su casa empleando las escaleras. Determinemos el trabajo realizado si consideramos que le toman 6 segundos subir los 2.9 m de altura.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Masa, m = 60 kg. • Tiempo, t = 6 s. • Distancia recorrida, h = 2.9 m. • Incógnita: Trabajo desarrollado para subir las escaleras. b. ¿Qué vamos a hacer? Sustituir los datos en la ecuación de trabajo (ecuación 1). 138

c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Aplicamos la ecuación de trabajo en el entendido de que la única fuerza que actúa (o interviene en el proceso) para realizar trabajo es el peso. d. Operaciones. Trabajo realizado por el peso: W = -mgh = -60(9.81) × 2.9 = -1706.94 J e. Resultado. El trabajo realizado es de 1 706.94 J, en este caso el signo negativo nos indica que la fuerza actúa en sentido opuesto al del movimiento y se realiza trabajo en contra del campo gravitacional (la aceleración de la gravedad apunta hacia el centro de la Tierra). Observa que no es importante la trayectoria que sigue el joven, ya que el trabajo se evalúa considerando las fuerzas que actúan en forma paralela al movimiento del cuerpo.

Ejemplo 4 En una gran construcción se colocan pilotes de cimentación aplicando una fuerza cíclica y variable directamente sobre éstos, calculemos el trabajo realizado sobre cada pilote considerando que la variación de la fuerza aplicada y la distancia recorrida es la que se indica en el gráfico 4.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • F = 0 a 5 000 N. • Distancia recorrida, d1 = 0.35 m, d2 = 0.35 m. • Incógnita: trabajo desarrollado para encajar los pilotes en la tierra. b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular el trabajo desarrollado por la máquina para colocar cada pilote de cimentación.

GRÁFICO 4 F (N)

5 000

d (m) 0,35

0,7

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RELACIONAS EL TRABAJO CON LA ENERGÍA

c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Consideramos que el trabajo corresponde al área total bajo la curva representada, que muestra la manera en que se aplica en forma repetida la fuerza de 5 000 N, por lo que procedemos a emplear la ecuación 3. d. Operaciones. W = A1 + A 2 + A 3 Observamos que tenemos tres áreas formadas por un triángulo y un rectángulo, ambos de la misma altura e igual base: Ai =

FIGURA 2

Ingenieros y arquitectos deben poseer los conocimientos de física necesarios para que su trabajo sea útil y eficiente.

b#h 2 +b#h

w = 39

0.35 # 5000 + 0.35 # 5000C = 7875 Nm 2

e. Resultado. El trabajo realizado es de 7.875 kJ; observa que la distancia que se entierra el pilote es de 2.1 m.

Actividad individual

competencias genéricas

4

5 7

competencias disciplinares

3

7 10

desempeño del estudiante

a

I. Para resolver estos ejercicios es necesario que tengas presentes las ecuaciones 1, 2 y 3, y prepares tu calculadora. Antes de comenzar, repasa los ejemplos resueltos para que aprendas a auxiliarte con el trazo de los diagramas. 1. Un contenedor de 120 kg es arrastrado por un cable que forma un ángulo de 40° con la horizontal y

ejerce una fuerza de 1 800 N durante un trayecto horizontal recto de 5 m. Determina el trabajo realizado por las fuerzas actuantes considerando que el rozamiento es prácticamente nulo.

2. Un auto se descompone cuando viaja sobre una pendiente de 20°, y se detiene después de recorrer 12 m. Calcula el trabajo realizado por la fuerza resultante considerando que la masa del auto es de 1 200 kg y que el coeficiente de fricción entre el auto y el pavimento es de 0.3. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que debe aplicar el conductor para evitar que el auto se mueva sobre la pendiente?

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139

BLOQUE 4

3. Un niño deja caer una pelota de 380 g desde la ventana del segundo piso de su casa. Calcula el trabajo realizado por el peso al descender la pelota 8 metros.

4. Calcula la magnitud de la fuerza paralela a la superficie de deslizamiento que se debe aplicar a un bloque de

mármol de 100 kg para que suba por un plano inclinado a 30° y recorra 5 m con una velocidad constante, en el entendido de que el trabajo realizado sea de 3 kJ. Considera que la fuerza de fricción es despreciable.

5. Se emplea una prensa para embutir cacerolas aplicando una fuerza tal como muestra el grafico siguiente, calcula el trabajo desarrollado para la fabricación de cada cacerola.

F (N)

350 200

0,02

0,04

0,07

d (m)

II. Anexa esta actividad a tu portafolio de evidencias. 140

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RELACIONAS EL TRABAJO CON LA ENERGÍA

Tema 2

Tema 3

Tema 4

Energía cinética y energía potencial

Ley de la conservación de la energía mecánica

Potencia

¿Has escuchado a algún político importante cuando declara que actuará con energía para abatir la pobreza?, ¿has prestado atención cuando en algún comercial de radio o de televisión se afirma que determinado cereal te proporciona la energía suficiente para iniciar un nuevo día?, ¿qué te están ofreciendo?, ¿a qué se refieren?

Al igual que ocurre con el concepto de trabajo, el término energía se emplea de manera indistinta, como puedes apreciar en las preguntas iniciales del tema. Allí se habla en lenguaje figurado y se refiere, primero, al uso adecuado del poder para conseguir el bienestar común, y después a la energía como el agente capaz de suministrar los elementos mínimos requeridos para que tu organismo pueda realizar cualquier tipo de actividad y te mantengas saludable: síntesis de proteínas y de st-editorial.com

vitaminas, procesos biológicos en general. Además, hacemos referencia a la energía cuando se trata de obtener calor para transformar materias primas, de corriente eléctrica para iluminarnos en la oscuridad y vivir con ciertas comodidades, etc. En física se da el nombre de energía a la medida de la capacidad que tiene todo sistema material para realizar trabajo. En el infográfico 1 de la siguiente página te presentamos una clasificación general de las formas de energía más empleadas. 141

BLOQUE 4

Infográfico 1 Formas de energía Las formas de energía siguientes son objeto de estudio en numerosos campos y disciplinas. En nuestro curso estudiaremos específicamente la energía mecánica.

1

Energía solar

2

Energía atómica o nuclear

3

Energía eléctrica

4

Energía eólica

142

Es el resultado de la radiación electromagnética del Sol, alrededor del 40% del total llega a la Tierra y contribuye a que tengamos otras formas de energía.

Está contenida en el núcleo de los átomos, particularmente de materiales radioactivos, los cuales después de un proceso de fisión o de fusión liberan la energía en forma de calor y radiación.

Se produce por medio de diversos procesos, como el electromagnético y el hidráulico, entre otros, sin embargo, todos tienen un resultado común: los electrones fluyen en un material conductor.

Esta forma de energía está contenida en el viento y se empleaba para mover barcos; hoy en día se ocupa en algunos lugares en donde se aprovecha para crear electricidad por medio de los generadores eólicos, que son similares en su aspecto físico a los antiguos molinos. Su uso es todavía limitado por lo difícil que es asegurar que el flujo del viento sea constante.

5

Energía hidráulica

6

Energía química

7

Energía térmica

8

Energía radiante

9

Energía mecánica

Está contenida en el agua y se aprovecha cuando ésta fluye en embalses de ríos o incluso con el ir y venir de las olas, para que por medio de diversos dispositivos y maquinaria se cree energía eléctrica.

Las diversas reacciones que se presentan entre los diversos compuestos químicos genera energía que se manifiesta en forma de calor; la ingesta de alimentos proporciona los componentes a diversos procesos bioquímicos para que el cuerpo humano adquiera calorías, vitaminas y proteínas.

Es la energía calorífica contenida en la combustión de las máquinas térmicas que emplean combustibles de origen fósil como la hulla y el diesel, entre otros.

Se designa con este nombre a la energía de cualquier tipo de radiación electromagnética: rayos gama, rayos X, ultravioleta, infrarrojos e incluso los rayos luminosos.

Está contenida en todos los cuerpos y se manifiesta de acuerdo al comportamiento cinemático de éstos, de tal manera que la energía mecánica total de un cuerpo es la suma de su energía cinética y de su energía potencial.

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RELACIONAS EL TRABAJO CON LA ENERGÍA

Energía cinética

La energía cinética de un cuerpo (Ec) representa el trabajo total que debe realizarse sobre ese cuerpo para que adquiera una determinada velocidad de magnitud v a partir del reposo. Es una cantidad escalar siempre positiva, independientemente de la dirección y el sentido de la velocidad. Al igual que el trabajo, su unidad es el joule en el si, mientras que en el cgs, se emplea el ergio, la ecuación que nos permite calcular este tipo de energía es: 4. Ec = ½mv2 [ J] Donde: m = masa del sistema expresada en kg. V = magnitud de la velocidad en m/s asumiendo un instante de tiempo cualquiera [Ej. 5]. Para determinar el valor de la energía cuando existe un cambio de velocidad [Ej. 6], resulta suficiente restar al valor final el valor inicial.

Observa: 5. Ec = ½mvf2 – ½mvi2 Y puesto que la energía es la capacidad para realizar trabajo, podemos escribir entonces: 1 1 Wi " f = 2 mv2f – 2 mvi2 Reordenando: 1 1 6. 2 mvi2 + Wi " f = 2 mv2f La ecuación 6 nos indica que la energía cinética que adquiere un objeto corresponde a la energía cinética que inicialmente tenía más el trabajo que se realiza para que alcance el estado de movimiento final a partir del inicial [Ej. 7].

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Un auto con masa de 1 350 kg parte del reposo con movimiento uniforme acelerado hasta alcanzar una velocidad de 60 km/h. Determinemos la energía cinética del auto en cuestión.

Calculemos la energía cinética de un automóvil compacto de 1 200 kg que viaja a 120 km/h. ¿Cuánto cambia la energía, si el conductor reduce la velocidad de 120 km/h a 80 km/h?

Solución

Solución

a. ¿Con qué datos contamos? • Masa del auto: m = 1 350 kg. • Velocidad inicial del auto: vo = 0. • Velocidad final del auto: v = 60 km/h = 16.667 m/s. • Incógnita: energía cinética del auto.

a. ¿Con qué datos contamos? • Masa: m = 1 200 kg. • Velocidad del auto: v = 120 km/h = 33.333 m/s y 80 km/h = 22.222 m/s • Incógnita: energía cinética del auto cuando parte del reposo y cuando reduce su velocidad.

b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular la energía cinética del auto. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Sustituimos los datos en la ecuación 4 en forma directa. d. Operaciones. Debemos recordar que el auto parte del reposo. La energía cinética es: 1 Ec = 2 ^1350h # 16.667 2 = 187500

e. Resultado. La energía cinética del auto cuando parte del reposo y alcanza una velocidad de 60 km/h es de 187.5 kJ. Observa en los cálculos que los datos de la cinemática no son necesarios.

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b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular la energía cinética del auto considerando que el movimiento se inicia desde el reposo en el primer caso y que posteriormente hay una reducción de velocidad de 120 a 80 km/h. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Tomamos directamente las ecuaciones 4 y 5 sustituimos los datos. d. Operaciones. • Energía cinética del auto a partir del reposo. 1 1 Ec = 2 mv 2 = 2 ^1200h # 33.333 2 = 666 666.667 J

143

BLOQUE 4

• Energía cinética del auto cuando se reduce la velocidad. 1 1 1 2 2 Ec = 2 mv f – 2 mvi = 2 ^1 200h # 22.222 2 – 33.333 2 =

Calcular la velocidad final del bloque después que se le da una velocidad inicial y se hace descender por un plano inclinado.

= - 370 370.370 J

e. Resultado. La energía cinética del auto al viajar a la velocidad de 120 km/h es 666.67 kJ, mientras que cuando se reduce a 80 km/h a partir de la velocidad de 120 km/h, la energía es 370.37 kJ. Esta energía es equivalente al trabajo que está desarrollando el motor del auto para desplazarse con los cambios de velocidad señalados; en el segundo caso el signo menos nos indica en qué cantidad se reduce la energía que suministra el motor al sistema, y en un momento determinado nos permite establecer la potencia que se requiere para mover todo el conjunto.

Ejemplo 7 Un bloque de 45 kg es lanzado hacia abajo sobre un plano inclinado a 15° con una velocidad de 6 m/s. Calculemos la velocidad que adquiere al recorrer 7 m sobre el plano inclinado si se considera que el coeficiente de fricción entre el plano y el bloque es de 0.4.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Masa: m = 45 kg. • Inclinación del plano: q = 15°. • Velocidad inicial del bloque: v = 6 m/s. • Distancia que recorre el bloque: d = 7 m. • Coeficiente de fricción: md = 0.4. • Incógnita: velocidad que alcanza el bloque en el instante en que ha recorrido 7 m. b. ¿Qué vamos a hacer?

c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Tomamos la ecuación 6 y sustituimos los datos, considerando que el bloque realiza un trabajo que se conjuga con la energía cinética inicial para que descienda por el plano. d. Operaciones. La energía cinética final del auto la obtenemos al despejar el término correspondiente de la expresión: 1 1 2 2 2 mv f = 2 mv i + W i ! f

El trabajo para llevar el bloque de la posición inicial a la posición final corresponde al producto de la fuerza neta aplicada por la distancia recorrida. Verifica, con la ayuda de un diagrama, que la fuerza resultante en el bloque es: F = mg (senq – mdcosq) De esta forma el trabajo es: W = 45 × 9.81 (sen15°- 0.4cos15°) × 7 = -394.152 J. Y la energía cinética inicial es: Eci = ½ × (45 × 62) = 810 J Por lo que entonces la velocidad final será: vf =

2 1 2 a k m 2 mvi + Wi " f =

2 h 45 ^810 – 394.152 = 4.299 m/s

e. Resultado. La energía cinética del bloque al descender 7 m sobre el plano inclinado es de 4.3 m/s, y es importante observar que el trabajo realizado corresponde a una pérdida de energía que se traduce en calor por la fricción existente entre el bloque y la superficie sobre la que desliza.

FIGURA 3

Los atletas obtienen la energía que requieren al transformar los alimentos de una dieta balanceada. La energía que emplean durante la competencia es, en parte, cinética (cambia la velocidad) y, en parte, potencial (se elevan por encima de las vallas). 144

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RELACIONAS EL TRABAJO CON LA ENERGÍA

Actividad individual

competencias genéricas

4

5 7

competencias disciplinares

3

7 10

desempeño del estudiante

b

Los ejercicios siguientes corresponden al cálculo de la energía cinética de un sistema y la relación que guarda con el trabajo desarrollado por éste. Es necesario que consultes las ecuaciones 4, 5 y 6 desarrolladas anteriormente en este tema. No olvides repasar los ejemplos para que, de ser necesario, traces los diagramas correspondientes.

1. E  n un camino vecinal, un tractor se descompone y su operario solamente lo puede detener cuando choca con un pajar. Calcula la energía cinética del tractor si en el momento del impacto viaja a 30 km/h y su masa es de 800 kg. ¿A cuánto asciende el trabajo realizado por el pajar sobre el tractor?

2. C  alcula la energía cinética de un auto con una masa de 1 200 kg que viaja a 80 km/h y compárala con la de una furgoneta de 1 590 kg que se mueve a 50 km/h.

3. Encargan a un estibador que acomode un contenedor de 160 kg de masa en un almacén; como no hay quien lo ayude, él decide empujarlo por el piso una distancia de 30 m hasta que queda acomodado en el sitio indicado. Si la fuerza de fricción es de 600 N y la velocidad con la que llega al sitio de almacenaje a partir del reposo es de 6 m/s, determina la magnitud de la fuerza que debe aplicar para mover el contenedor. ¿Qué pasa si no aplica la fuerza en forma paralela a la superficie?

4. En un experimento se deja caer desde el reposo y a una altura de 1.15 m, una esfera de acero de 200 g. Si justo antes de impactar con el piso se mide su velocidad y registra 4.73 m/s, determina en forma teórica la altura desde la que se dejó caer la esfera. ¿A qué atribuyes la diferencia?

5. Para mejorar el diseño de las defensas de un auto con masa de 1 390 kg, se hace una prueba en la que

se consigue detenerlo al hacerlo chocar con una barra de contención a una velocidad de 20 km/h y con un desplazamiento de 18 cm, sin que se presenten daños considerables en la defensa del auto. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que soporta la defensa?

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145

BLOQUE 4

Energía potencial

A diferencia de la energía cinética, donde se analiza el movimiento de un cuerpo con una velocidad específica, ahora estudiaremos el cambio de posición que puede sufrir el cuerpo por la acción de una fuerza, dando origen a la energía potencial, la cual se considera como gravitacional o elástica en la mecánica clásica. Observemos en el infográfico 2 el caso de una montaña rusa, donde obligatoriamente se deben tomar en cuenta la aplicación de leyes físicas, como las relacionadas con trabajo, energía cinética y energía potencial. Infográfico 2 Energía cinética y potencial. Aplicaciones en la vida Un paseo en montaña rusa es una experiencia inolvidable; hace palpitar nuestro corazón y nos provoca risas incontenibles. Los creadores de estos aparatos buscan nuevos y atemorizantes diseños, donde obligadamente deben tomar en cuenta la aplicación de leyes físicas, como las relacionadas con trabajo, energía cinética y energía potencial.

P

C

El viaje comienza cuando una cadena movida con un motor (o cualquier otro dispositivo mecánico) ejerce una fuerza sobre el coche y lo levanta hasta la primera cima, que debe ser la más alta del recorrido.

P

2

P

ENERGÍA CINÉTICA Energía de un cuerpo en movimiento; se mide como el trabajo y depende de la masa del cuerpo que se mueve y de su velocidad.

C

Una vez que el coche llegó a la cima la gravedad se hace cargo del resto. El coche que está en esa posición posee una gran cantidad de energía potencial.

Peso del coche: 100 kg Altura máxima: 20 m

C

ENERGÍA POTENCIAL No se manifiesta por un movimiento y la poseen los cuerpos según su posición u otras condiciones.  Esta energía producirá trabajo si previamente se transforma.

Peso del coche: 100 kg Velocidad: 6 m/s

P

C

El coche va tomando aceleración en la medida en que pierde altura. Por lo tanto, su energía potencial original (dada por la altura que tomó) se transforma en energía cinética (que se hace evidente por su alta velocidad).

1 3 P

4

C

Cuando el coche comienza a descender por la primera vertical pierde gran parte de esa energía potencial de acuerdo con su pérdida de altura. Conforme desciende, gana energía cinética.

Conforme el viaje sigue, el coche continuamente pierde y gana altura y velocidad, es decir, gana y pierde energía cinética y potencial. Existe correspondencia entre la pérdida de una energía y el aumento de la otra: cada vez que gana altura (energía potencial) pierde velocidad (energía cinética), y viceversa. Cada pérdida de altura corresponde a una ganancia de velocidad como energía potencial. 146

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RELACIONAS EL TRABAJO CON LA ENERGÍA

Ahora, consideremos el movimiento de una masa puntual que se desplaza sobre una trayectoria cualquiera cerca de la superficie terrestre, de tal manera que sólo actúa el peso.

Cuando se grafica la fuerza contra el valor de deformación, obtenemos un diagrama como el que se muestra en el gráfico 5. GRÁFICO 5

trayectoria

y F

0

mg

Para este cuerpo se define la energía potencial gravitacional (Epg) como el trabajo que se realiza contra el campo

gravitacional para elevar el cuerpo por encima de un plano de referencia arbitrario donde la energía es cero, y al igual que la energía cinética se expresa en joule ( J). 7. Epg = mgh

x1

x2

x

La energía potencial es el área bajo la recta que se ha trazado (A = ½ b × h). Si la medimos a partir de la longitud original del resorte (deformación cero) hasta un valor inicial xi tenemos: Epe = 12 7^x i – 0h # ^kx i hA En general: 1 8. Ep e = 2 kx2

trayectoria Epg =mgh h Epg= 0 mg

Si, por el contrario, se evalúa el trabajo que realiza el campo gravitacional sobre la masa, entonces W =�-mgh, de donde se deduce que el trabajo del peso es igual y opuesto a la energía potencial. Observa que la energía potencial [Ej. 8] de una masa sólo depende del cambio de altura h y no de la trayectoria que sigue, debido a que el campo gravitacional tiene el carácter de conservativo. Pasemos ahora al análisis de la segunda forma de energía potencial más empleada en la mecánica, la energía potencial elástica (Epe), que corresponde al trabajo que se realiza sobre un resorte para deformarlo [Ej. 9]. Esta energía se puede recuperar en forma del trabajo que realiza el resorte sobre un cuerpo al que se une en el extremo móvil durante la restauración del resorte a su longitud original. Para evaluar la energía potencial elástica debemos considerar que la fuerza efectiva de un resorte es: F = kx Donde: k = constante de rigidez elástica. x = deformación que sufre el resorte. st-editorial.com

kx

Donde: k = constante de rigidez elástica expresada en N/m. x = deformación del resorte expresada en m. Si deseamos medir la energía potencial entre una deformación final xf cualquiera y la deformación inicial xi, debemos calcular el área de cada triángulo y restarlo para obtener el cambio de energía potencial: 1 9. TEpe = 2 k^x2f – xi2h Donde: xf = deformación final del resorte. xi = deformación inicial del resorte. ¿Qué signo se asocia a la energía potencial? Se considera positiva cuando se toma un solo valor de deformación como en la ecuación 8, pues el valor de deformación se eleva al cuadrado, si tienes un cambio de energía como en la ecuación 9, es suficiente con que consideres qué está sucediendo cuando se deforma el resorte, si la deformación aumenta desde la posición inicial a la posición final, la variación de energía potencial también es positiva (valor final menos valor inicial); por el contrario, la energía potencial es negativa si la deformación disminuye por presentarse una compresión del elemento elástico. Si consideramos que la energía mecánica total es la suma de las energías cinética y potencial, tenemos entonces que la expresión que relaciona el trabajo con la energía cinética (ecuación 6) puede expresarse como: 10. 12 mvi2 + mghi + 12 kx2i + Wi " f = 12 mv2f + mgh f + 12 kx2f 147

BLOQUE 4

Esta ecuación nos señala que la energía mecánica inicial más el trabajo para llevar a un cuerpo de una posición inicial a una final es igual a la energía mecánica final [Ej. 11 y 12] y debemos tener presente que al momento de aplicarla no se debe incluir el trabajo que realizan los pesos y las fuerzas elásticas, ya que se introducen en la ecuación como formas de energía potencial.

b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular la energía potencial de la defensa en el momento del impacto.

Ejemplo 8

d. Operaciones. La energía potencial elástica es: Epk = ½kx2 = ½ × 180 000 × 0.112 = 1 089 J

Calculemos la energía potencial contenida en una cascada de agua de 26 m de altura considerando que la cantidad de masa en movimiento es de 70 000 kg.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Masa del agua, m = 70 000 kg. • Altura de la caída de agua, h = 26 m. • Incógnita: energía potencial de la cascada. b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular la energía potencial que está contenida en la cascada.

e. Resultado. La energía potencial elástica de la defensa del auto es de 1.09 kJ.

Ejemplo 10 En un experimento se lanza verticalmente hacia arriba una pelota de 100 gr y se determina que alcanza una altura de 62 m. Determinemos la energía potencial de la pelota. ¿Con qué velocidad se lanzó la pelota?

Solución

c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Sustituimos los datos directamente en la ecuación de energía potencial gravitacional (ecuación 7) ya que no se hace referencia en el enunciado a componente elástico alguno.

a. ¿Con qué datos contamos? • Masa de la pelota: m = 0.1 kg. • Altura que alcanza la pelota: h = 62 m. • Incógnita: energía potencial de la pelota, velocidad del lanzamiento.

d. Operaciones. La energía potencial es: Epg = mgh = 70000 × 9.81 × 26 = 17 854 200 J

b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular la energía potencial de una pelota que es lanzada hacia arriba en forma vertical y la velocidad que se requiere para que alcance una altura específica.

e. Resultado. La energía potencial gravitacional almacenada en la cascada de agua es de 17.854 × 106 J.

Ejemplo 9 Calculemos la energía potencial de la defensa de un auto de 1 180 kg cuando al realizar una maniobra de estacionamiento golpea una pared, los componentes elásticos de 180 kN/m de rigidez elástica se comprimen 11 cm.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Masa del auto, m = 1 180 kg. • Rigidez elástica de la defensa, k = 180 000 N/m. • Deformación, x = 0.11 m. • Incógnita: energía potencial de la defensa del auto.

148

c. ¿Cómo lo vamos a hacer? En este caso procedemos a sustituir los datos en la ecuación de energía potencial elástica en forma directa (ecuación 8).

c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Sustituimos los datos en la ecuación 7 y posteriormente aplicamos la ecuación de trabajo y energía en el entendido de que la energía potencial corresponde al trabajo que realiza la pelota contra el campo gravitacional para elevarse una altura de 62 m. d. Operaciones. La energía potencial de la pelota es: Epg = mgh = 0.1 x 9.81 x 62 = 60.822 J Como esta energía corresponde al trabajo realizado contra el campo gravitacional porque la pelota se ha elevado por arriba de una referencia en la que se considera que la energía es cero tenemos: 1 1 2 2 Wi " f = 2 mv f – 2 mvi st-editorial.com

RELACIONAS EL TRABAJO CON LA ENERGÍA

Al sustituir los datos consideramos que la velocidad final de la pelota es nula cuando llega a la altura máxima y el trabajo es negativo (movimiento contrario al sentido en que actúa el peso) se tiene entonces: – 60.822 = 0 –

1

2 ^0.1h

#

v2

De esta forma la velocidad que se requiere para el lanzamiento es: v=

2 # 60.822 = 34.88 m/s 0.1

e. Resultado. La energía de la pelota es de 60.822 J mientras que la velocidad requerida para que alcance la altura de 62 m es de 34.88 m/s, valor que es común en los lanzamientos de los juegos de béisbol profesional.

• El auto empieza a descender cuando se bloquean las ruedas, en tal posición la energía potencial gravitacional es nula. • Al final del recorrido de 15 m el auto se detiene, por tanto carece de energía cinética en tal situación. • No hay energía potencial elástica. • La única fuerza que produce trabajo es la de fricción pues se considera que al auto almacena energía potencial gravitacional por el cambio de posición. 1 2 2 mv i + 0 + 0 + W i " f = 0 + mghf + 0

El trabajo que realiza la fuerza de fricción se opone al movimiento y es: Wi→f = -(mmgcosq)d

Ejemplo 11 Un auto desciende por una pendiente de 3° con una rapidez de 50 km/h cuando se bloquean las llantas y el auto se desliza 15 m antes de detenerse. Determinemos el coeficiente de fricción entre las llantas y el pavimento.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Ángulo de la pendiente, q = 3°. • Velocidad inicial del auto, vo = 50 km/h =13.889 m/s. • Distancia recorrida por el auto, d = 15 m. • Incógnita: coeficiente de fricción entre las llantas y el pavimento. b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular el valor del coeficiente de fricción en el sistema. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Calculamos con los datos la energía del auto y el trabajo realizado por la fuerza de fricción, para determinar el coeficiente de fricción m. d. Operaciones. La ecuación 10 nos indica que: 1 1 2 1 1 2 2 2 2 mvi + mghi + 2 kxi + W i " f = 2 mv f + mghf + 2 kx f

Para aplicar esta expresión debemos tener en cuenta que:

De esta forma, al sustituir datos se establece: 0.5 × m (13.899)2 – (mm × 9.81cos3°)15 = -m × 9.81 × 15sen3° 96.4506m – 146.9483mm = -7.7012m Ecuación que nos conduce a: m = 0.708 e. Resultado. El coeficiente de fricción cinético entre las llantas y el pavimento es de 0.7; observemos que tal como se señala en el texto no se toma el trabajo realizado por el peso, pues se incluye como energía potencial gravitacional, además de que no es necesario conocer la masa del auto.

Ejemplo 12 Un vehículo todo terreno de 1 950 kg viaja a 70 km/h cuando su conductor se ve obligado a frenar para evitar embestir un hato de ganado que se atraviesa en el camino más o menos a una distancia de 25 m, si por lo intempestivo de la acción, el vehículo derrapa de tal manera que se genera una fuerza de fricción entre el camino y las ruedas del vehículo de 12.5 kN, determinemos la distancia que requiere el vehículo para detenerse sin problema alguno.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Masa del vehículo, m = 1 950 kg.

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149

BLOQUE 4

• Velocidad inicial, vo = 70 km/h = 19.444 m/s. • Distancia aproximada entre el ganado y el vehículo, x = 25 m. • Fuerza de fricción, F = 12.5 kN. • Incógnita: distancia que derrapa el vehículo.

La energía cinética inicial es: 1 2 Eci = 2 mv i = ½(1950 ×19.4442) = 368617.4 J

El trabajo que realiza la fuerza de fricción sobre el auto es:

b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular cuál es la distancia que recorre el vehículo cuando derrapa sobre la superficie.

W = -Fd = -12500d Dado que la energía cinética final es nula porque el auto se detiene se cumple que:

c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Aplicamos la ecuación 10 ya que con los datos podemos calcular directamente la energía cinética del auto y el trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa en la dirección del movimiento del vehículo para determinar la distancia recorrida. d. Operaciones. La ecuación general de trabajo y energía nos indica: 1 2 2 mv i + 0 + 0 + W i " f = 0 + 0 + 0

Actividad individual

competencias genéricas

4

5 7

368617.4 – 12500d = 0 De donde se establece que la distancia recorrida es: d = 29.489 m e. Resultado. El auto deslizará 29.5 m antes de detenerse, lo cual implica que si el ganado no avanza para cruzar antes el camino, el riesgo de un accidente grave es muy alto.

competencias disciplinares

3

7 10

desempeño del estudiante

b

I. Los ejercicios siguientes corresponden al cálculo de la energía potencial de un sistema y la relación que

guarda con el trabajo desarrollado por éste y su energía cinética. Es necesario que consultes las ecuaciones de la 7 a la 10 desarrolladas anteriormente en este tema. No olvides repasar los ejemplos para que, de ser necesario, traces los diagramas correspondientes.

1. D  etermina la energía potencial de un bombero de 80 kg que para rescatar a una persona sube por una escalera inclinada a 80° desde el piso hasta una altura de 9 m. ¿Cuál es el trabajo que realiza cuando desciende al piso cargando a una anciana de 60 kg?

2. Un automóvil mal estacionado en una pendiente empieza a moverse hacia abajo hasta llegar a la parte

plana de una avenida, si la masa del auto es de 1 380 kg y la distancia que recorre sobre el plano inclinado a 18° es de 12 m, determina la velocidad con la que llega al final del recorrido considerando que la fuerza de fricción entre las llantas y el pavimento es de 2 750 N.

150

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RELACIONAS EL TRABAJO CON LA ENERGÍA

3. Para probar el prototipo de un dispositivo de lanzamiento de misiles submarinos se coloca un misil de 10 kg en el riel horizontal de lanzamiento comprimiendo el disparador 2 cm, si la rigidez elástica de este sistema es de 500 N/m, calcula la velocidad que alcanza el misil cuando se ha alejado 4 cm del disparador, asumiendo que el coeficiente de rozamiento en el sistema es de 0.2 y es equivalente al que existe entre el torpedo y el agua de mar.

4. Un resorte de 90 cm de longitud y 250 N/m de rigidez elástica se coloca sobre el techo y cuidadosamente

se le agrega un contrapeso de 15 kg. Cuando se suelta a partir del reposo, el movimiento del sistema es de vaivén vertical. ¿Cuál es la longitud total del resorte cuando la masa se encuentra en la posición más baja?

5. C  alcula la velocidad y la aceleración normal que tiene la lenteja de un péndulo de 0.2 kg cuando se libera desde la posición horizontal como muestra la figura y llega a la posición q = 60°. r = 60 cm

m

θ

II. Anexa esta actividad a tu portafolio de evidencias.

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Tema 3

Tema 4

Ley de la conservación de la energía mecánica

Potencia

¿Has viajado en una lancha sobre el mar?, ¿qué diferencia has percibido con respecto a un viaje en lancha sobre un río fangoso? Si no lo has hecho, imagina las condiciones de navegación, en ambos casos, el día es soleado y la nave tiene el mismo tipo de motor. ¿En qué medio viajará más rápido?, ¿qué es lo que afecta el movimiento de la lancha?

A nuestro alrededor observamos día a día un sinfín de actividades que requieren del suministro de energía y en algunos casos tal suministro es continuo, ¿por qué esta situación? La energía se transforma en trabajo y éste a su vez, mediante diferentes procesos, métodos y procedimientos, se convierte en un objeto específico, como pan, transporte, ropa, vivienda, etc. ¿Qué hay detrás de la transformación?, ¿qué sucede con la energía? Es un hecho que los equipos, máquinas y transportes que ha desarrollado el ser humano están lejos de la perfección y su eficiencia está aún distante del cien por ciento, pues sufren pérdidas de energía por diversas causas y ello implica que necesariamente se suministre energía en forma regular, ya que no existen equipos de movimiento continuo en los que baste un pequeño impulso para que se 152

genere por sí misma la energía necesaria para mantener las condiciones de operación continua. La relación entre el trabajo y la energía mecánica total es importante, pues la aplicación directa de esta ecuación, en el caso ideal en que sólo actúan fuerzas conservadoras como el peso y la fuerza de un resorte, nos permite establecer que el trabajo es nulo, lo cual nos lleva a una conclusión muy importante 1 1 1 1 11. 2 mvi2 + mghi + 2 kxi2 = 2 mv2f + mgh f + 2 kx2f En ausencia de fuerzas de carácter conservativo la energía se mantiene constante.

El enunciado anterior es el principio de conservación de la energía [Ejs. 13, 14 y 15], y aunque quizás st-editorial.com

RELACIONAS EL TRABAJO CON LA ENERGÍA

hayas observado que un trompo después de cierto tiempo de girar se detiene, esto no sucede porque perdió su energía, en realidad ésta se transformó en calor por la fricción del juguete con la superficie y fue esta misma fuerza de fricción la que hizo que se detuviera; cuando lo animas de nuevo con la cuerda, la energía que está almacenada lo hace girar. Al considerar que cualquier máquina no está exenta de las pérdidas de energía por la acción de diversos agentes es factible definir la eficiencia mecánica (em), como la relación entre el trabajo realizado por una máquina y el trabajo realizado sobre esa máquina en el mismo lapso de tiempo, en el supuesto de que en el interior de dicha máquina no se acumula ninguna forma de energía [Ej. 16]. La eficiencia siempre es menor a la unidad (o al 100%, es una fracción adimensional) porque toda máquina funciona con pérdidas por fricción o desgaste; la energía que se pierde se transforma en calor, que a su vez es disipado por diversos agentes. La ecuación general para el cálculo de la eficiencia mecánica es: W 12. em = W

FIGURA 4

Un trompo gira hasta que la fuerza de fricción provoca que se detenga; un ejemplo industrial de esta misma fuerza es la que se presenta en el volante de una troqueladora.

s

Donde: W = trabajo que realiza la máquina, expresado en J. Ws = trabajo suministrado a la máquina para que funcione, expresado en J. La fricción es una fuerza de carácter disipador, la encontramos a nuestro alrededor y está presente bajo diferentes formas, en un motor eléctrico la encuentras como corrientes parásitas, es decir como una corriente que produce pérdidas que afectan el movimiento del sistema; en los motores térmicos se requieren lubricantes que permiten la movilidad de las piezas metálicas y cerámicas a altas velocidades, el calor generado por la combustión y la fricción se reduce por medio del lubricante y del sistema de refrigeración. En el caso del viaje en lancha que mencionamos sucede que el agua y todos los líquidos en general tienen una propiedad denominada viscosidad, la cual genera una fuerza que se opone al movimiento de cualquier objeto en el fluido y del fluido en ciertos conductos, esto tiene ventajas y desventajas, que son de nuestro interés inmediato. La pérdida de energía que se genera reduce la cantidad de trabajo que se puede producir y da lugar a otros requerimientos, tales requerimientos son comunes en gran cantidad de equipos, máquinas y sistemas electromecánicos, las fuerzas de fricción evitan que se conserve la energía, así que es necesario un mayor consumo de energía y se genera calor, por lo que se requiere de sistemas refrigerantes o de absorción de altas temperaturas y de sistemas lubricantes que ayuden a incrementar la eficiencia final.

El mundo que te rodea La tribología es la ciencia y técnica que estudia la interacción entre las superficies en movimiento y los problemas relacionados con ellos: desgaste, fricción, adhesión y lubricación. La tribología humana se encarga del estudio de estos tres fenómenos en las articulaciones del cuerpo humano, principalmente la cadera y la rodilla. Para que nos hagamos una idea de lo importante que son las soluciones a problemas tribológicos, por ejemplo, en los automóviles, en los que existen más de 2 000 contactos tribológicos, las mejoras tribológicas pueden suponer un ahorro de energía de 18.6%.

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153

BLOQUE 4

Ejemplo 13 Para simular el comportamiento de la defensa de un auto se lanza un bloque de 15 kg sobre una superficie horizontal lisa contra la maqueta de la defensa, cuya rigidez elástica es de 2 200 N/m. Calculemos la velocidad del bloque una vez que ha comprimido 18 cm al prototipo considerando que inicialmente la velocidad del bloque era de 10 km/h

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Masa del bloque, m = 15 kg. • Rigidez elástica, k = 2 200 N/m. • Deformación de la defensa, xf = 0.18 m. • Velocidad inicial del bloque, vo = 10 km/h = 2.778 m/s. • Incógnita: velocidad final del bloque. b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular la velocidad que alcanza el bloque al comprimir 18 cm la defensa. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Empleamos la ecuación de conservación de la energía. d. Operaciones. Para este caso la ecuación de conservación de la energía es: 1 1 2 1 1 2 2 2 2 mv i + 2 kx i = 2 mv f + 2 kx f

Porque no se consideran fuerzas que realicen trabajo, incluyendo las de tipo disipador como la fricción, ni se tiene energía potencial gravitacional (el movimiento de la masa es sobre la horizontal) y como inicialmente no hay compresión en la defensa: 1 1 1 2 2 2 2 mvi + 0 = 2 mv f + 2 kx f

De esta forma, al sustituir datos se establece: 0.5 × 15(2.778)2 = 0.5 × 15v2 + 0.5(2200 × 0.182) Y las operaciones nos llevan a: 22.2303 = 7.5v2 ∴v = 1.72 m/s e. Resultado. La velocidad final del bloque es de 6.2 km/h. (Observa que las unidades son diferentes) ¿Qué sucede con la velocidad final si se aumenta la velocidad inicial y se mantiene la misma deformación?

Ejemplo 14 En un día lluvioso un auto empieza a subir por una colina a una velocidad de 90 km/h cuando repentinamente se detiene el motor, ¿qué altura alcanzará respecto a la superficie plana del inicio de la colina al momento de detenerse por completo?, ¿qué cantidad de energía se pierde si el piso está seco y por la fricción sólo se alcanzan dos terceras partes de la altura calculada anteriormente?

154

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Velocidad inicial del auto, vo = 90 km/h = 25 m/s al iniciar el ascenso en una colina. • Incógnita: altura que alcanza, pues el motor se detiene. b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular la altura que sube el auto sobre la colina respecto al plano en el que inició el recorrido. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Empleamos la ecuación de conservación de la energía. d. Operaciones. Para este caso la ecuación de conservación de la energía es: 1 1 2 2 2 mv i + mghi = 2 mv f + mghf

Porque no se considera la energía potencial elástica del sistema, ahora bien, como inicialmente no hay energía potencial gravitacional y al final la energía cinética es nula: 1 2 2 mv i + 0 = 0 + mghf

De esta forma, al sustituir datos se establece: 0.5 × m(25)2 = m(9.81 × h) Y las operaciones nos llevan a: 312.5 = 9.81h ∴h = 31.86 m Si las fuerzas de fricción provocan que la altura sólo sea de dos terceras partes de la altura anterior, tenemos que la pérdida de energía del sistema será equivalente a un tercio de la energía con la que inició el recorrido. e. Resultado. La altura alcanzada es de 31.86 m en condiciones en las que se considera que las fuerzas disipadoras son despreciables, de no ser así la pérdida de energía puede ser considerable, al grado de que la altura alcanzada sea de sólo unos metros.

Ejemplo 15 En las maniobras de un cambio de vías, una locomotora de 12 000 kg que viaja a 12.5 km/h choca contra una guarnición rígida móvil, saliendo rebotada con una velocidad de 12 km/h, determina la deformación del parachoques de la locomotora considerando que su rigidez elástica es de 360 kN/m. Si la guarnición absorbe el impacto desplazándose una distancia de 7.5 cm, ¿cuál es la magnitud de la fuerza disipadora actuante?

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Masa de la locomotora, m = 12 000 kg. • Velocidad inicial de la locomotora, vi = 12.5 km/h = 3.472 m/s. st-editorial.com

RELACIONAS EL TRABAJO CON LA ENERGÍA

• Velocidad final de la locomotora, vf = 12 km/h = 3.333 m/s. • Rigidez elástica, k = 360000 N/m. • Desplazamiento de la guarnición, xg = 0.075 m. • Incógnita: deformación del parachoques de la locomotora y magnitud de la fuerza disipadora. b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular la deformación del parachoques y la fuerza disipadora. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Empleamos la ecuación de conservación de la energía y la expresión de trabajo y energía. d. Operaciones. Para este caso la ecuación de conservación de la energía es: 1 1 1 2 2 2 2 mv i = 2 mv f + 2 kx f

Al sustituir datos tenemos: 0.5 × 12 000(3.472)2 = 0.5 × 12000(3.333)2 + 0.5 × (360 000xf2) Y las operaciones nos llevan a: 5 671.29 = 180 000x2 ∴x = 0.177 m Para el cálculo de la fuerza disipadora consideramos que la energía de la locomotora al momento del impacto es equivalente al trabajo desarrollado al desplazar la guarnición. 1 2 2 mv i = Fd

La sustitución de datos nos da como resultado: F = 888 888.88 N e. Resultado. La deformación del parachoques es de 17.7 cm mientras que la fuerza equivalente al impacto de 888.9 kN. ¿Qué material además del concreto se emplea en este tipo de sistemas?

Actividad grupal

competencias genéricas

4 5 7

8

competencias disciplinares

3 7 10

desempeño del estudiante

c

A partir de la determinación de la energía que se conserva en un sistema y sus posibles pérdidas, reunidos en equipos, resuelvan en su cuaderno lo siguiente y, antes de dar solución a cada problema, consulten las ecuaciones 11 y 12 desarrolladas anteriormente en este tema, y repasen los ejemplos para que hagan los diagramas correspondientes y todas las consideraciones necesarias.

1. C  alculen la altura que alcanza y el ángulo que forma con la vertical una lenteja de 50 g que se ata a

una cuerda de un metro de longitud, se coloca verticalmente en un techo y estando en tal posición, se le proporciona una velocidad de 2.4 m/s. 2. Para probar la capacidad de absorción de energía de un empaque elástico, se rellena un contenedor con una capa uniforme de éste y se deja caer a partir del reposo desde una altura de 1 m una caja con material frágil de 25 kg. Determinen la velocidad justo al momento de golpear el empaque, considerando que éste se deforma 18 mm sin provocar el rebote de la caja. 3.  Para atravesar un pequeño río de 2.5 m de ancho plagado de pirañas, tres excursionistas deciden pasar una cuerda alrededor de una rama y balancearse como péndulo simple, al primer intento uno de los chicos hace pasar la cuerda alrededor de la rama de tal manera que la distancia para el cruce se reduce en medio metro, si el peso de cada uno de ellos es de 70 kg, 90 kg y 78 kg respectivamente y la rama se encuentra a 5 metros con respecto al plano en el que deben impulsarse de tal manera que pueden coger la cuerda a 1.5 m de altura, determinen qué condición se debe cumplir para que logren su objetivo. st-editorial.com

155

BLOQUE 4

4. Determinen la eficiencia de un malacate que consume una potencia de 1 kW para elevar una carga

de 60 kg a una velocidad de 1.5 m/s. ¿Cuál es par que suministra si el tambor que arrolla el cable tiene un radio 12.5 cm? 5.Determinen el trabajo desarrollado por una bomba de 1/3 hp que en su placa de datos indica que opera a 3 600 rpm y tiene una eficiencia de 88%.

Lee El movimiento perpetuo La búsqueda de la eterna juventud, la piedra filosofal y una máquina de movimiento perpetuo han atrapado la atención del ser humano desde los tiempos más remotos, cada una de ellas ha tenido fabulosas teorías y experimentos que a la fecha siguen siendo un sueño. El caso que nos ocupa es el de la máquina perfecta, imagina que puedes construir un dispositivo que, desprovisto de cualquier fuente de energía, sea capaz de producir en forma permanente un movimiento de rotación por el simple hecho de generar su propia energía, almacenarla y transformarla o transmitirla a otros equipos, ¡genial! Entre los dispositivos más antiguos se tienen las ruedas desbalanceadas

creadas por físicos hindúes entre los siglos vii y xii; en Occidente los franceses y los ingleses basaron su diseño en el tornillo de Arquímedes creando diversos tornillos de recirculación de agua, pero en todos los casos hay una falla, violan los principios de la física, hay quienes apuestan a desafiar la naturaleza para conseguir la gloria de demostrar que el frío fluye hacia el calor generando energía y los más recientes avances a nivel microscópico han permitido formular nuevas teorías acerca del origen de la vida. La inquietud del ser humano parece no tener fin y encontramos en la Red una gran cantidad de individuos que

presentan videos y reportes donde muestran sus diseños, encontramos que algunos han cometido errores conceptuales y otros simplemente han montado trucos, entre los más destacables podemos ver una aplicación que emplea el principio de conservación de la energía. Bajo la premisa de que la energía se preserva y se cambia de forma en la industria del automóvil, tenemos que algunos automóviles de lujo ya incluyen un dispositivo que recupera la energía que se disipa al momento de frenar y se transforma en otro tipo de energía aumentando la eficiencia del sistema y reduciendo el consumo de combustible; un buen desarrollo tecnológico, ¿no crees? Jorge Díaz

En equipos de tres integrantes realicen una investigación en la biblioteca, en la hemeroteca y en Internet para contestar las siguientes preguntas:

1. ¿Será factible la creación de la máquina perfecta?, ¿por qué?

2. ¿Qué tipos de energía se involucran en los modernos sistemas de frenado?

3. ¿Cuál de los desarrollos que actualmente se muestran en Internet consideran que es el más acertado?, ¿por qué?

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RELACIONAS EL TRABAJO CON LA ENERGÍA

Tema 4 Potencia

¿Por qué un sedán de lujo tiene un motor de mayor capacidad que un miniauto urbano?, ¿por qué un tractor no es más rápido que una retroexcavadora? Es normal escuchar que un auto deportivo es más veloz que cualquier otro por su potencia, e incluso se ha llegado mencionar en algunos eventos deportivos que un atleta posee mayor fuerza y potencia y es la razón por la que es un ganador; sin embargo, ¿a qué nos referimos en la física cuando hablamos de potencia?

Iniciemos el tema respondiendo a las preguntas anteriores: los autos y los llamados equipos pesados fueron diseñados para realizar funciones diferentes y específicas, si entramos en detalles encontramos que los autos se emplean para transportar personas y objetos personales, mientras que vehículos como el tractor se utilizan para remover tierra y piedras. Están diseñados considerando la fuerza que se requiere para desplazar tanto la masa que los conforma, como la masa que han de transportar o mover

y para que cumplan con tal objetivo, se considera como factor de diseño el trabajo que deben realizar y el tiempo que deben emplear para ello. Esta característica se denomina potencia. En términos generales, se define la potencia mecánica (P) como la capacidad de un sistema para realizar trabajo en la unidad de tiempo. Su modelo matemático es el siguiente: W 13. P = t

Potencia. Rapidez con la que un sistema puede realizar trabajo o consumir energía.

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Glosario 157

BLOQUE 4

Retrato James Watt. Científico escocés, primero en concebir y construir una máquina de vapor. Observó que las máquinas desaprovechaban gran cantidad de vapor, y en consecuencia, una alta proporción de calor latente, susceptible de ser transformado en trabajo mecánico. Diseñó en 1766 un modelo de condensador separado del cilindro, que permitió lograr un mayor aprovechamiento del vapor, y mejorar de este modo el rendimiento económico de la máquina. Este avance contribuyó de forma determinante en el avance de la Revolución Industrial.

Donde: W = trabajo, expresado en J. t = tiempo expresado en s. [Ej. 16]. En el si se considera el watt como la unidad de potencia mecánica en lugar de la combinación J/s, en honor de James Watt (1736-1819). En las especificaciones de los autos, sobre todo europeos, es común hoy en día que se emplee el hp o el cv (cheval à vapeur) para indicar la potencia. En el cuadro de la página 39 de este libro se indican los equivalentes de ambas unidades en el si. Considerando que el trabajo es el desplazamiento de un sólido por la aplicación de una fuerza, entonces al sustituir en la ecuación de potencia:

FIGURA 5

Entre las labores propias de un tractor está la de arrastrar un remolque por toda clase de terrenos y en cualquier condición, por lo que el motor del tractor suministra gran potencia y no una excesiva velocidad.

P=

F#d t

Y como en el movimiento uniforme la velocidad se calcula mediante esta ecuación:

d v= t

Entonces podemos concluir que: 14. P = Fv La ecuación 15 es útil para determinar la potencia cuando el objeto ha vencido las fuerzas que se oponen al movimiento y se mueve a velocidad constante; por ello sólo se requiere conocer la magnitud de la fuerza neta aplicada y la magnitud de la velocidad con la que se mueve el objeto, ya que su dirección es la misma que la de la fuerza actuante [Ej. 17]. Al realizar la analogía entre el movimiento lineal y el angular observamos que es factible definir el término de potencia en un sistema en movimiento circular uniforme como: 15. P = Mω

En la web Para conocer más acerca del trabajo, la potencia y la energía, visita la página st-editorial.com/enlaweb/fisica1 y consulta el link número 05

Glosario 158

En donde el momento M, se expresa en Nm y la velocidad angular ω en rad/s, esta expresión es de uso común para especificar la potencia en equipos rotatorios como motores eléctricos, bombas para agua, etc. [Ej. 18]. Si consideramos que la potencia es la rapidez con la que se realiza trabajo, la eficiencia se puede expresar como: P final 16. em = P consumida

hp. Horse power. Unidad del sistema inglés empleada comercialmente para medir la potencia de un sistema electromecánico.

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RELACIONAS EL TRABAJO CON LA ENERGÍA

Ejemplo 16

la componente vertical de la fuerza con que la mamá tira del carro y entonces la resultante es:

Una joven madre jala el auto de pedales en el que juega su hijo. Calculemos la potencia desarrollada si el pequeño auto de juguete viaja a una velocidad constante de 1.2 m/s considerando que la masa total del conjunto es de 45 kg y la fuerza que aplica la señora es de 140 N con una dirección de 40° con respecto a la horizontal. El coeficiente de fricción entre el auto y el suelo es de 0.3 y la distancia total del recorrido, de 18 m.

Solución a. ¿Con qué datos contamos? • Velocidad del carrito, v = 1.2 m/s. • Masa, m = 45 kg. • Fuerza aplicada, F = 140 N a 40° con la horizontal. • Coeficiente de fricción, md = 0.3. • Distancia recorrida, d = 30 m. • Incógnita: trabajo desarrollado y potencia requerida para mover el auto de pedales. b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular la potencia que se requiere para mover el carro de pedales. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Para determinar la potencia primero calcularemos el trabajo obteniendo la fuerza neta aplicada, que es paralela a la superficie del movimiento en el recorrido de 18 m, después aplicamos la ecuación de velocidad constante para determinar el tiempo y así sustituir en la ecuación 14. Observemos el gráfico 6.

mg F

q mN N

Al considerar que las fuerzas están en equilibrio en la vertical y no intervienen en el movimiento (son perpendiculares a la superficie), se tiene que la normal es igual al peso en magnitud menos

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El trabajo realizado es entonces: W = F × d = 1.808 × 18 = 32.549 J Considerando la distancia recorrida y la velocidad: d t = v = 18/1.2 = 15 s

Y la potencia es: W P = t = 32.549/15 = 2.17 W

e. Resultado. La potencia suministrada al sistema es de 2.17 W. Para este problema debemos tener en cuenta que primero obtuvimos la fuerza que produce el movimiento paralelo a la superficie para facilitar el cálculo final en donde determinamos el tiempo en el que realiza trabajo.

Ejemplo 17 Calculemos la potencia requerida para trasladar una carretilla con materiales de construcción al descender por un tablón de 4 m de longitud inclinado a 20°. La carretilla la empuja un trabajador a una velocidad constante de 1 m/s con una fuerza de 300 N paralela a la superficie. Considera que la masa de la carretilla es de 120 kg y que el coeficiente de fricción es de 0.4.

Solución

d. Operaciones. GRÁFICO 6

¬ ΣF = Ft: Fcosq – md(mg – Fsenq) = Ft Ft = 140cos40° – 0.3(45 × 9.81 – 140sen40°) = 1.808 N +

a. ¿Con qué datos contamos? • Distancia recorrida, d = 4 m. • Inclinación de la superficie, q = 20°. • Velocidad, v = 1 m/s. • Fuerza aplicada a la carretilla, F = 300 N. • Masa de la carretilla, m = 120 kg. • Coeficiente de fricción, md = 0.4. • Incógnita: potencia necesaria para bajar la carretilla por el tablón. b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular la potencia a partir de la fuerza actuante y la velocidad. c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Nos auxiliamos con un diagrama y calculamos la fuerza neta en el sistema para determinar la potencia a partir de la ecuación 15.

159

BLOQUE 4

Ejemplo 18

d. Operaciones. Las fuerzas que actúan en la carretilla son:

F

Determina la velocidad de operación de una bomba de agua de 0.5 hp que proporciona un par de 1.2 Nm.

mg

20°

Solución

movimiento

a. ¿Con qué datos contamos? • Potencia de la bomba, P = 0.5 hp = 372.85 W. • Par que proporciona, M = 1.2 Nm. • Incógnita: velocidad de operación de la bomba.

mdN 20°

N

b. ¿Qué vamos a hacer? Calcular la velocidad de operación de la bomba de agua en rpm.

De nueva cuenta hacemos la suma de fuerzas verticales y tenemos que la normal es igual al peso en magnitud: + 3 ΣF = 0: N – mgcosq = 0 ∴ N = mgcosq Por lo que la fuerza neta es: + 4 ΣF = F : F + mgsenq – m N = F ∴ F = F + mgsenq t d t t – md mgcosq

c. ¿Cómo lo vamos a hacer? Sustituimos los datos directamente en la ecuación de potencia para sistemas en rotación (ecuación 16) y despejamos el valor de la velocidad angular en rad/s, después convertimos a rpm. d. Operaciones. La potencia es: P = Mω

Ft = 300 + 120 × 9.81(sen20° – 0.2cos20°) = 481.385 N

372.85 = 1.2ω

De esta forma la potencia es: P = F × v = 481.385 × 1 = 481.385 W

∴ ω = 310.708 rad/s = 2 967 rpm

e. Resultado. La potencia suministrada es de 481.39 W que es aproximadamente 1/2 hp.

Actividad individual

competencias genéricas

4

5 7

e. Resultado. La velocidad de operación de la bomba es de 2 967 rpm, sin que consideremos pérdidas por calor o fricción en sus diferentes componentes.

competencias disciplinares

3

7 10

desempeños del estudiante

b

d

I. Los ejercicios siguientes corresponden al cálculo de la potencia de un sistema y la posible relación que guarda con el trabajo y la energía de éste. Es necesario que consultes las ecuaciones 13, 14, 15 y 16 desarrolladas anteriormente en este tema. No olvides repasar los ejemplos para que, de ser necesario, traces los diagramas correspondientes.

1. Un contenedor de 120 kg es arrastrado por un cable que forma un ángulo de 40° con la horizontal y ejer-

ce una fuerza de 1 800 N durante un trayecto horizontal recto de 5 m. Determina el trabajo realizado por las fuerzas actuantes y la potencia del malacate que jala del contenedor si consideramos que lo arrastra con una velocidad constante de 40 cm/s y que el rozamiento es prácticamente nulo.

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RELACIONAS EL TRABAJO CON LA ENERGÍA

2. ¿ Qué sucede en el ejercicio anterior si el coeficiente de fricción toma un valor 0.5? ¿Qué ocurre con la potencia en el motor del malacate que arrastra el contenedor?

3. Calcula la potencia que suministra el motor de un montacargas para elevar desde el

piso hasta una altura de 80 cm una tarima con tambos de aceite que totalizan una masa de 480 kg, con una velocidad constante de 0.6 m/s, para así trasladarla de un almacén a un camión de distribución.

4. Calcula el trabajo que realiza una fuerza de 180 N que un jugador de hockey sobre hielo proporciona al disco de 200 g para que éste recorra una distancia de 4 m a la meta en 0.5 s. Considera que el coeficiente de fricción entre el hielo y el disco es de 0.04 y que la fuerza actúa en forma paralela a la superficie de deslizamiento. ¿Cuál es la magnitud de la potencia suministrada?

5. Determina la magnitud del momento producido por el eje de una bomba de agua si consideramos que la potencia efectiva es de 0.75 hp operando a una velocidad de 3 600 rpm. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza tangencial generada en el rodete considerando que el eje del rotor tiene un diámetro de 19 mm?

II. Anexa esta actividad a tu portafolio de evidencias.

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Evaluación sumativa Heteroevaluación I. Pide a tu profesor que aplique la siguiente rúbrica, con el fin de que pueda registrar tus avances. Como verás es la misma que respondiste en el reto; ahora servirá para medir cuál fue tu desempeño durante el estudio de este bloque. Indicadores de desempeño

Aspectos a evaluar

4 puntos

3 puntos

2 puntos

1 punto

Concepto de trabajo en física, realizado por o sobre un cuerpo como un cambio en la posición o la deformación del mismo por efecto de una fuerza.

Definí plenamente el concepto de trabajo en física, realizado por o sobre un cuerpo como un cambio en la posición o la deformación del mismo por efecto de una fuerza.

Definí bien el concepto de trabajo en física, realizado por o sobre un cuerpo como un cambio en la posición o la deformación del mismo por efecto de una fuerza.

Definí vagamente el concepto de trabajo en física, realizado por o sobre un cuerpo como un cambio en la posición o la deformación del mismo por efecto de una fuerza.

No definí el concepto de trabajo en física, realizado por o sobre un cuerpo como un cambio en la posición o la deformación del mismo por efecto de una fuerza.

Cambios de la energía cinética y potencial que posee un cuerpo con el trabajo en física.

Relacioné plenamente los cambios de la energía cinética y potencial que posee un cuerpo con el trabajo en física.

Relacioné bien los cambios de la energía cinética y potencial que posee un cuerpo con el trabajo en física.

Relacioné vagamente los cambios de la energía cinética y potencial que posee un cuerpo con el trabajo en física.

No relacioné los cambios de la energía cinética y potencial que posee un cuerpo con el trabajo en física.

Ley de la conservación de la energía mecánica en la explicación de fenómenos naturales del entorno social, ambiental y cultural.

Utilicé plenamente la ley de la conservación de la energía mecánica en la explicación de fenómenos naturales de mi entorno social, ambiental y cultural.

Utilicé bien la ley de la conservación de la energía mecánica en la explicación de fenómenos naturales de mi entorno social, ambiental y cultural.

Utilicé vagamente la ley de la conservación de la energía mecánica en la explicación de fenómenos naturales de mi entorno social, ambiental y cultural.

No utilicé la ley de la conservación de la energía mecánica en la explicación de fenómenos naturales de mi entorno social, ambiental y cultural.

Concepto de potencia como la rapidez con la que se consume energía en situaciones de la vida cotidiana.

Siempre apliqué en situaciones de la vida cotidiana, el concepto de potencia como la rapidez con la que se consume energía.

En ocasiones apliqué en situaciones de la vida cotidiana, el concepto de potencia como la rapidez con la que se consume energía.

Casi nunca apliqué en situaciones de la vida cotidiana, el concepto de potencia como la rapidez con la que se consume energía.

Nunca apliqué en situaciones de la vida cotidiana, el concepto de potencia como la rapidez con la que se consume energía.

Valoración Excelente: 15 a 16 puntos.

Bueno: 11 a 14 puntos.

Suficiente: 7 a 10 puntos.

Mi puntaje

Mi total Insuficiente: 4 a 6 puntos.

II. Ha llegado el momento de que entregues a tu profesor todos los productos de las actividades que reali-

zaste durante este bloque y que guardaste en tu portafolio de evidencias, ya que con esto podrá evaluarte.

Autoevaluación I. Realiza en tu cuaderno lo que se te pide. 1. En un recipiente de forma cúbica se confina un gas cuyas moléculas se pueden mover libremente chocando contra las paredes; debido a tales choques, las moléculas cambian de dirección y velocidad. En un momento dado una de las paredes se convierte en un émbolo y se desplaza. A partir de este suceso realiza lo siguiente:

a. Describe lo que ocurre en el sistema. b. Identifica qué fuerzas se presentan. c. Formula un modelo básico del trabajo realizado. d. ¿Qué tipo de energía se presenta? 162

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2. Es común que a nuestra mente venga la imagen de un equipo o máquina que se detiene cuando falla el

suministro de energía eléctrica, ¿es posible que se conserve la energía en una máquina y se transforme para producir la potencia que se requiere en ciertas operaciones de carácter productivo? Indica al menos dos sistemas mecánicos que cumplan con la condición de ser agentes que almacenan energía y la transforman para producir potencia.

3. Calcula el trabajo realizado por un sistema elevador que transporta desperdicios en un edificio de 16 pisos considerando que la altura total de cada piso es de 3.6 m y que la masa transportada del piso 12 al 1 es de 1 760 kg, incluyendo la masa del equipo transportador.

4. El sistema de frenos de un auto de 1 360 kg falla cuando se encuentra estacionado sobre una pendiente y

empieza a descender lentamente porque una fuerza total de fricción de 1 000 N se opone al movimiento. Determina la velocidad que alcanza cuando ha descendido una altura de 8 m recorriendo 24 m a lo largo de la pendiente. 5. E  n el juego del tiro al blanco de una feria, un joven dispara contra un muñeco de madera de tal manera que un solo balín de 1.8 g penetra en el muñeco 6 cm y se detiene por completo. Determina la magnitud de la fuerza disipadora de energía considerando que al momento del impacto el balín tiene una velocidad de 20 m/s. 6.     Emplea el principio de conservación de la energía para calcular la velocidad de cada contrapeso para el instante en que el de 12 kg ha ascendido 20 cm. La masa de la polea y la fricción son despreciables. 7.     Calcula la potencia (en hp) necesaria en un sistema de bombeo de agua potable para que la eleve a 90 m desde el cuarto de bombas hasta lo alto de una colina en la que se encuentra un pequeño poblado, a una razón de 1 m3/s. La eficiencia del sistema es de 74% por las pérdidas de energía en equipos y tuberías.

II. Relaciona las columnas; posteriormente, regresa al bloque para verificar tus respuestas y modifica aquellas que no sean correctas. 1. ( ) La energía es…

2. ( ) La fuerza de fricción es capaz de… 3. ( )  Cuando la energía mecánica total no considera pérdida alguna se habla de…

4. ( ) Para una misma cantidad de energía potencial tenemos que a mayor rigidez elástica…

5. ( )  Cuando el trabajo involucra a las fuerzas elásticas y potenciales es igual a…

6. ( ) La potencia mide la capacidad para…

a. mayor deformación. b. retardar el movimiento de un cuerpo. c. almacenar la energía. d. una fuerza impulsora. e. la conservación de la energía. f. el agente capaz de producir trabajo. g. menor deformación. h. el trabajo total del sistema. i. realizar trabajo. j. disipar la energía.

III. Reflexiona y responde en tu cuaderno a cada una de las preguntas: 1. ¿Consideras que es importante el estudio de la relación entre trabajo y energía?, ¿ por qué? 2. ¿Crees posible que se pueda construir una máquina que no presente perdidas de energía en su funcionamiento?

3. ¿Se te dificulta el estudio de los cambios de energía en resortes? 4. ¿En qué situaciones de tu vida a futuro como profesionista consideras que emplearás los conocimientos que has adquirido?

5. ¿Te consideras apto para estudiar por tu cuenta estos y otros temas que sean afines? IV. En la siguiente lista de cotejo se presentan una serie de aspectos para que evalúes el desempeño de uno de tus compañeros durante la realización del reto. Aspecto

Siempre

Algunas veces

Nunca

Me integré al trabajo en equipo. Realicé comentarios acertados de acuerdo con el tema. Escuché a mis compañeros y al profesor con atención y respeto. Participé en todas las actividades.

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SECCIÓN FINAL

Sección final

164

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IDENTIFICA A LA QUÍMICA COMO UNA HERRAMIENTA PARA LA VIDA

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PRÁCTICAS DE LABORATORIO

166

EVALUACIÓN FINAL

171

PARA TERMINAR. AUTOEVALÚA TUS COMPETENCIAS

175

FUENTES CONSULTADAS

176

165

PRÁCTICAS DE LABORATORIO Práctica de laboratorio 1

Medición y errores

Una actividad fundamental de cualquier economía es la metrología, campo de aplicación de la física que define los patrones de medición y las pautas a seguir para garantizar que todo proceso productivo cumpla con normas, estándares y demás lineamientos que puedan asegurar una calidad específica.

d

Objetivo

Observar errores en una medición.

Materiales • Dos ligas planas de 5 mm de ancho • Platillo de 25 gr • Una pesa de 25 gr • Pesas pequeñas de masas diferentes y desconocidas • Soporte universal • Regla metálica de 30 cm • Marcador de punto fino • Una báscula electrónica

Problema

¿Cómo nos percatamos de errores en una medición?

Procedimiento

Construye una balanza de resorte con las ligas tal como muestra la figura, antes de colocar el platillo, determina la longitud de las ligas.

3. Procede a determinar cada peso desconocido con ayuda de la relación k, la ley de Hooke indica que la constante k permanece invariable mientras la liga no pierda sus propiedades. 4. Elabora una tabla con tus resultados anotando en una columna el valor que se mide en la báscula electrónica.

Cuestionario

1. ¿Coincide el peso de la báscula con el peso que calculaste? 2. ¿Determina el error en cada caso?, ¿a qué lo atribuyes? 3. ¿Qué principios se usan actualmente para diseñar instrumentos de medición?

4. ¿Qué puedes concluir?

Práctica de laboratorio 2

Tiro horizontal

Aunque el estudio del movimiento de un proyectil ha sido ampliamente utilizado con fines bélicos, el tiro horizontal es muy útil en labores de ayuda en situaciones de urgencia para suministrar víveres y medicamentos en comunidades aisladas.

Objetivo

Construir un sistema de tiro horizontal y comparar resultados teóricos y prácticos en un disparo.

Materiales 1. Coloca una pesa de 25 gr, con este arreglo determina la relación:

p k= d

Donde: d = deformación (longitud final – longitud inicial) que se produce en la liga por la acción del peso. p = peso conocido, que este caso corresponde al del platillo y la pesa de 25 gr, es decir 50 gr.

2. Procede a colocar cada una de las pesas cuya masa es

desconocida y en cada caso mide la deformación que sufren las ligas.

166

• Una tira de madera lisa de 12 mm de espesor, 4 cm de ancho y 80 cm de largo • Una base de madera cuadrada de 25 cm de lado y 12 mm de espesor • Una ménsula • 80 cm de tubo flexible para instalaciones eléctricas de ½ pulgada de diámetro • Un balín • Abrazaderas de plástico • Un cronometro • Una navaja

Problema

¿Cómo construir un sencillo sistema de disparo a escala?

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Procedimiento

1. P  ega la ménsula a la tira de madera a 40 cm de un ex-

tremo, de tal manera que la curva quede por arriba de la horizontal. Pega la tira de madera a la base. 2. Coloca la manguera en la tira, siguiendo la trayectoria curva de la ménsula, fíjala con las abrazaderas de plástico cuidando de que la manguera no se aplaste en los sitios de contacto. 3. R  ealiza diferentes cortes en la manguera para que puedas colocar el balín y soltarlo desde diferentes alturas.

• Soporte universal • Regla metálica de 30 cm • Marcador de punto fino

Problema

¿Cómo podemos darnos una idea de su ubicación en forma aproximada?

Procedimiento

1. Dibuja diversas figuras irregulares en el papel cascarón y recórtalas con el cúter. Ten cuidado, apóyate en una superficie adecuada y haz los cortes despacio para evitar accidentes. Aunque te sugerimos algunas formas, tu profesor te puede ayudar a determinar cuáles debes dibujar y cortar.

2. E  n cada una selecciona tres puntos en los cuales harás un pequeño orificio.

3. S  elecciona una de las formas geométricas, coloca el hilo

4. C  oloca el balín para cada una de las alturas que definas y toma el tiempo que tarda en tocar la superficie a partir del momento en que sale disparado. 5. Registra la distancia a la que cae el balín.

Cuestionario

1    Calcula la velocidad inicial del lanzamiento considerando que conoces la altura desde la cual cae el balín en caída libre. 2.  Calcula los valores teóricos del alcance y de la velocidad del balín justo al momento del impacto. 3.  ¿A qué atribuyes la diferencia? ¿Qué factores influyen? 4. ¿Qué puedes concluir?

en uno de los orificios y ata la figura en el soporte universal dejando que caiga unos 6 cm, el hilo sobrante ponlo al frente de la figura de tal manera que puedas obtener la línea de acción de la fuerza de gravedad. 4. Marca en los bordes de la figura la trayectoria de la línea de acción. Retira la figura y con ayuda de la regla dibuja la línea de acción para el primer punto de sujeción. 5. A  ta ahora el hilo en los otros puntos y repite el procedimiento hasta obtener las tres líneas de acción. La intersección de tales líneas ocurre en un punto: el centro de masa. 6. R  epite con las otras figuras o cuerpos que hayas seleccionado junto con tu profesor el procedimiento para obtener el centro de masa. Conserva las figuras para otra actividad.

Cuestionario

1. ¿En todos los casos el centro de masa se ubica en el cuerpo? 2. ¿ Hubo casos en los que no coincidía el punto de intersección de las tres líneas?, ¿a qué lo atribuyes?

Práctica de laboratorio 3

3. ¿Qué puedes concluir?

El conocimiento del centro de masa de un cuerpo es importante porque esto permite diseñar equipos, máquinas y sistemas más eficientes como es el caso de autos, grúas, lavadoras, etc.

Práctica de laboratorio 4

Centro de masa

Objetivo

Determinar el centro de masa de un cuerpo.

Materiales • Papel cascarón • Cúter • Hilo

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Cálculo experimental de la aceleración de la gravedad

Te proponemos realizar un sencillo experimento que te permitirá calcular el valor numérico de la aceleración de la gravedad en tu localidad, la expresión que ocupamos corresponde al resultado que obtuvo Galileo Galilei cuando estudiaba el comportamiento de un péndulo.

Objetivo

Calcular el valor numérico de la aceleración de la gravedad en tu localidad.

167

PRÁCTICAS DE LABORATORIO Materiales

2. ¿Qué error puedes calcular asumiendo que el valor

• Una pelota de golf vieja • Un metro de hilo cáñamo • Una armella • Un soporte universal • Un cronómetro • Papel ilustración (38 cm x 26 cm)

g = 9.8095 m/s2 es un promedio aceptado a nivel mundial para fines prácticos? 3. Determina con la ley de atracción universal de Newton la aceleración de la gravedad en tu localidad. ¿A qué atribuyes la variación? 4. ¿Qué puedes concluir?

Problema

Práctica de laboratorio 5

¿Cómo podemos conocer el comportamiento de un péndulo?

Procedimiento

1. Inserta la armella en la pelota de tal manera que puedas unirla a la cuerda.

2. Ata la cuerda al soporte universal de forma tal que la longitud efectiva del péndulo sea de 32 cm. 3. Coloca el arreglo de tal manera que la cartulina ilustración quede como fondo para el experimento, marca una línea vertical de referencia y un ángulo de 35°. 4. Desplaza el péndulo a la referencia de 35° y suéltalo con cuidado para que el movimiento se dé en un solo plano. Simultáneamente toma el tiempo que se requiere para que realice 20 oscilaciones completas.

Segunda ley de Newton: masa y aceleración

El cálculo de la aceleración de un sólido es importante porque nos ayuda a establecer la fuerza que puede producir y a determinar su comportamiento cinemático, así como sus posibles aplicaciones.

Objetivo

Cálcular la aceleración de un sólido.

Materiales

• Bloque de acero pulido de 250 gr con un armella al centro de uno de los costados • Pesas de diferente gramaje: 50 gr, 100 gr y 250 gr. • Un vidrio de 20 cm × 30 cm • Una polea y cordón • Cronómetro • Una regla de 30 cm • Marcador de punto fino

Problema

¿Cuál será su comportamiento cinemático y sus posibles aplicaciones? L = 35 cm

Procedimiento

1. Prepara en tu mesa de trabajo un arreglo de la siguiente forma: vidrio

pesa

5. Repite el experimento en cuatro ocasiones más.

Cuestionario

1. ¿Cuál es el valor de la aceleración de la gravedad? Para calcularlo divide cada uno de los valores de tiempo obtenido entre 20. Utiliza la expresión: 4r 2 l g= 2 t

Donde: l = 32 cm. t = tiempo obtenido al dividir entre 20 el valor registrado para 20 oscilaciones. Registra los valores experimentales obtenidos y calcula el valor promedio.

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2. Coloca un peso igual al peso del bloque y observa cómo se comporta el sistema.

3. Coloca un peso mayor en 50 gr al peso del bloque y toma

el tiempo requerido para que el bloque de acero recorra 20 cm sobre el vidrio (marca previamente los puntos inicial y final del recorrido sobre el vidrio). 4. Incrementa el peso de 50 en 50 gr hasta que la pesa tenga el doble del valor del bloque y en cada caso registra el tiempo para el recorrido. 5. ¡Precaución! Hemos usado una superficie de vidrio y un bloque de acero para que las superficies se deslicen fácilmente, realiza tu experimento con el mayor cuidado para evitar accidentes. st-editorial.com

Cuestionario

1. De acuerdo con la velocidad y la distancia recorrida, ¿cuál es la aceleración del bloque? Realiza los cálculos necesarios. 2. Verifica la magnitud de la velocidad obtenida con el tiempo registrado y la aceleración obtenida en el punto anterior. 3. Elabora una tabla donde muestres todos los valores, tanto registrados como calculados. 4. ¿Qué tanto afecta el hecho de que ignoremos la fricción? 5. ¿Qué puedes concluir de los valores de aceleración?

Práctica de laboratorio 6

Fuerza de fricción

Todos los cuerpos presentan características de rugosidad, aunque a simple vista no lo notemos y nuestro tacto no lo perciba, los acabados de las superficies fabricadas por el ser humano no son perfectos y al deslizar un cuerpo sobre otro se presenta una fuerza que se opone al movimiento, transformando la energía mecánica en calor, el cual se genera por la fricción.

Objetivo

8. Toma el otro prisma y registra los valores que obtienes para la mezclilla, el vidrio, etc.

Cuestionario

1. Calcula el coeficiente de fricción empleando las leyes de Newton y evaluando directamente la tangente del ángulo que mediste. 2. Registra en una tabla los resultados que obtuviste. 3. ¿ Qué diferencia existe entre los valores obtenidos por las ecuaciones de movimiento y con la tangente del ángulo medido?, ¿a qué lo atribuyes? 4. ¿Cómo determinas el otro coefeciente? 5. ¿Qué puedes concluir?

Práctica de laboratorio 7

Trabajo y energía Parte 1. Centro de masa Objetivo

Calcular el coeficiente de fricción.

Determinar el trabajo realizado por cada figura geométrica y la velocidad del centro de masa.

Materiales

Materiales

• Dos tablas perfectamente lisas de 12 mm de espesor y 12 cm de ancho por 25 cm de largo, unidas en un extremo por un par de bisagras • Dos prismas de madera de 3 cm por lado en la base y 7 cm de longitud • Papel lija de cuatro grados: gruesa, mediana, fina y extrafina • Un trozo de mezclilla, un trozo de cartoncillo, un vidrio de 3 cm de ancho por 7 de longitud • Pegamento blanco • Un transportador • Una balanza

Problema

¿Qué coeficiente de fricción se obtiene: el estático o el dinámico?

Procedimiento

1. P  ega un trozo de cada tipo de lija en los costados de uno de los prismas.

2. Pega en el otro prisma el vidrio, el cartoncillo y la mezclilla, en el lado libre del prisma sólo aplica una capa de pegamento y deja que se seque. 3. Obtén con la balanza la masa de cada prisma y calcula su peso. 4. S  ujeta firmemente una de las tablas a la mesa de trabajo y fija el transportador en el costado de la tabla en el extremo en que se halla la bisagra. 5. C  oloca el prisma con el lado de lija gruesa haciendo contacto con la superficie de la tabla y muévela lentamente hacia arriba. 6. Registra el ángulo en el que se inicia el movimiento del prisma. 7.   Repite para los otros costados del prisma.

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• Figuras geométricas de la práctica de laboratorio 3 • Una báscula electrónica • Alfiler • Papel cascarón • Cronómetro

Problema

¿Cuál es la velocidad del centro de masa?

Procedimiento

1. Utiliza las figuras geométricas de la práctica de laboratorio 3.

2. Pesa cada una de ellas y anota el valor correspondiente. 3.  Coloca una de ellas sobre un papel cascarón que se encuentre en posición vertical, emplea un alfiler y ubica la figura de tal manera que el centro de masa se ubique por arriba del alfiler a 90° con respecto a la horizontal. 4. Impulsa la figura en sentido horario y déjala caer, toma el tiempo para que el centro de masa se ubique por debajo del alfiler. 5. Repite el procedimiento con las otras figuras.

Cuestionario

1. ¿Cuál es el trabajo realizado por cada figura geométrica: W = mgh?

2. ¿Cuál es, según el principio de trabajo y energía, la velocidad del centro de masa al pasar por debajo del alfiler.

3. D  e acuerdo con los valores de tiempo, distancia y aceleración de la gravedad, determina la velocidad del centro de masa. 4. ¿Qué puedes concluir?

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PRÁCTICAS DE LABORATORIO Parte 2. Segunda ley de Newton: masa y aceleración

Problema

Objetivo

Procedimiento

Calcular la velocidad de un sólido sin recurrir al cálculo de la aceleración con la segunda ley de Newton.

¿Por qué el calor produce este efecto?

1. Corta un rehilete de 9 cm de diámetro como se muestra en la figura:

Materiales

• Material empleado en la práctica 5

Problema ¿Cómo determinas la velocidad de un cuerpo sin conocer su aceleración?

Procedimiento Repite el experimento del bloque de acero.

Cuestionario

2. Coloca el alambre rodeando el foco de 60 W, de tal

manera que sobresalga en forma perpendicular una sección de 2 cm de altura. 3. Coloca el foco en el socket y el rehilete sobre el foco.

1. Con la relación de conservación de la energía, determina la velocidad del bloque de acero cuando llega a los 20 cm.

2. Calcula la potencia desarrollada por el bloque. 3. ¿Qué puedes concluir?

Práctica de laboratorio 8

Energía

La energía se encuentra a nuestro alrededor y se manifiesta en diferentes formas, en ocasiones, nuestras actividades cotidianas nos llevan a ignorar que estamos rodeados por ella.

Objetivo Demostar que la energía se manifista de formas diferentes.

Material necesario

• Un socket con conexión a una toma de corriente eléctrica • Un foco de 60 watts, uno de 100 watts y uno ahorrador de energía de luz blanca • Un trozo de alambre de 15 cm de longitud aproximadamente • Una hoja de papel tamaño carta

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4. Conecta a la energía eléctrica. 5. Espera de 5 a 10 minutos y observa, toma nota. 6. Repite con los otros dos focos.

Cuestionario

1. ¿En qué foco se inició el movimiento en el menor tiempo? 2. Identifica los tipos de energía presentes. 3. ¿En qué otras situaciones de nuestra vida cotidiana hay transformaciones de energía que nos hacen pensar que siempre se cumple la ley de conservación de la energía? 4. ¿Qué hace que no se cumple tal ley al cien por ciento en este experimento?

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EVALUACIÓN FINAL Dado que al concluir el curso de Física 1 tienes un nuevo conocimiento en relación con las áreas básicas de la física, te sugerimos que resuelvas el siguiente cuestionario y los ejercicios propuestos. Toma en cuenta los siguientes puntos: • No hay un estricto orden respecto de los temas tratados porque necesitas evaluar tu aprendizaje. • Las preguntas no sólo se refieren a aspectos teóricos, también se relacionan con la manera en que aplicas en forma “práctica” tus conocimientos.

I. Responde el siguiente cuestionario. 1. ¿Qué enuncia la ley de la gravitación universal?

2. ¿Qué es una hipótesis?

3. ¿Qué es la energía? Cita algunas formas en las que se puede presentar la energía.

4. ¿Cuál es la diferencia entre observar y experimentar?

5. ¿Qué caracteriza a los sistemas de unidades absolutos?

6. ¿ Por qué la hoja de un árbol y una piedra no caen con la misma velocidad en la presencia del viento?

7. ¿Cuál es la primera ley de Newton?, escríbela.

8. ¿Cuál es la diferencia fundamental entre la masa y el peso de los cuerpos?

9. ¿Cuáles son las formas básicas de energía potencial?

10. ¿Qué estudia la dinámica?

11. ¿Qué emplea un físico como herramienta para el desarrollo de una investigación?

12. ¿Qué es fricción estática?

13. ¿Qué se requiere para que un cuerpo viaje con aceleración constante?

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EVALUACIÓN FINAL 14. ¿Cuándo se dice que una máquina es más potente que otra?

15. ¿Qué trabajo realiza el peso de un cuerpo que se mueve horizontalmente?

16. ¿De qué manera se puede reducir la fricción?

17. ¿Por qué se afirma que Galileo es el padre de la física experimental?

18. ¿De qué manera contribuye la física a la satisfacción de las necesidades del ser humano?

19. ¿Cuál es la diferencia entre distancia y desplazamiento?

20. ¿Por qué se presenta la aceleración centrípeta?

21. ¿Qué es un fenómeno?

22. ¿Qué es una unidad fundamental?

23. ¿Qué tipos de energía se presentan en un péndulo en movimiento?

24. ¿En qué casos el trabajo se transforma en energía calorífica?

25. ¿Qué ocurre con la fuerza que se necesita aplicar a un cuerpo para que no resbale por un plano inclinado conforme éste aumenta su pendiente?

26. ¿Cómo son entre sí el trabajo invertido y el trabajo producido por una máquina?

27. ¿De cuántas maneras se puede lanzar un misil para que alcance el mismo objetivo?

28. ¿De qué manera puede cambiar la magnitud de la velocidad tangencial de un objeto en movimiento circular sin cambiar la dirección?

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29. ¿Qué es un sistema coordenado de referencia?

30. ¿Qué es una cifra significativa?

31. ¿Qué tipo de trabajo se realiza cuando un cuerpo acelera por la acción de una fuerza exterior?

32. ¿De qué manera podrías calcular la masa de la Tierra?

33. ¿Qué tipo de energía se almacena en un resorte?

34. ¿Qué mide la báscula cuando acudes a una tienda y pides cierta cantidad de alimento?

35. ¿Qué tipos de errores se presentan en una medición?

II. Realiza en tu cuaderno de notas los ejercicios que se proponen a continuación; después coteja tus respuestas con tu libro.

1. ¿A qué altura sobre el nivel de la superficie terrestre la aceleración de la gravedad es igual a la mitad del valor promedio aceptado mundialmente?

2. Determina la fuerza que ejerce un martillo de 2 kg sobre los clavos cuando un carpintero construye

una silla, si la velocidad con la que golpea cada clavo es de 2 m/s y la distancia que se introduce cada clavo en la madera es de 19 mm. 3. Las ciudades de Novorita y Granate se unen por medio de una nueva autopista que es completamente recta y ha reducido a 300 km la distancia que las separa. En la prueba de un nuevo modelo de camioneta, una sale de Novorita al mediodía exactamente (12:00 h) hacia Granate con una velocidad de 75 km/h, y otra camioneta sale de Granate, al mismo tiempo, con rumbo a Novorita, y con una velocidad de 55 km/h. ¿A qué hora se cruzarán ambas camionetas? ¿Qué distancia hay de Granate al punto de cruce? 4.  Determina el peso máximo que puede elevar un polipasto si la potencia máxima que desarrolla en condiciones normales de operación es de 25 kW y la velocidad con la que se iza la carga es constante e igual a 9 m/s. ¿Es posible aumentar el peso reduciendo la velocidad sin riesgo de falla? 5. Si la fuerza que requiere un auto con una masa de 1 200 kg para moverse durante los primeros 100 m de su recorrido es de 4 500 N, determina el trabajo desarrollado y la potencia empleada considerando que utiliza una velocidad constante en un tiempo promedio de 14 s. 6. Determina en forma gráfica la resultante de un vector de 120 u de magnitud que forma un ángulo de 30° con la horizontal y que se suma a otro vector de 100 u de magnitud que forma un ángulo de 270° con la horizontal. Ambos ángulos se miden en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. 7. A un refugio de ladrones en una colina se lanza un proyectil desde la base con una velocidad de 50 m/s y un ángulo de 50° respecto a la inclinación de la colina, cuya pendiente es de 20° medida en relación con la horizontal. ¿Cuál es el alcance del proyectil? 8. Determina la velocidad con la que inicialmente se lanza una pelota en un tiro vertical si el registro de tiempo indica que regresa al mismo lugar de lanzamiento 4 s después.

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EVALUACIÓN FINAL 9. Realiza en forma analítica las operaciones vectoriales siguientes: 2A + B – C y F + B − 3C = 0, siendo los vectores A = 2i + 3j, B = -2i – 4j y C = 2i – 6j.

10. Determina la energía almacenada en el resorte de una báscula que se emplea para pesar 1 kg de mandarina, si se asume que la rigidez elástica del resorte es de 25 N/m.

11. Una barcaza lanza un proyectil sobre el nivel del mar a un ángulo de 30° con la horizontal y con una

rapidez de 90 km/h. Determina la distancia a la que caerá, el tiempo que le tomará alcanzar el objetivo y la altura máxima sobre el nivel del mar que adquiere en su trayectoria de vuelo. 12. Si todo el trabajo se transforma en calor y no hay pérdidas de energía, ¿qué cantidad de calor se produce cuando un cuerpo de 90 kg cae desde una altura de 10 m y choca contra el suelo? 13. En unas vacaciones observas que 100 m atrás del autobús en que viajas, una patrulla circula a 120 km/h, mientras que la rapidez del autobús está limitada a 60 mph. ¿Cuál es la velocidad de la patrulla con respecto al autobús? Si la velocidad de ambos vehículos es constante, ¿qué tiempo le toma a la patrulla alcanzar al autobús? 14. Un satélite viaja alrededor de la Tierra en una trayectoria circular con una velocidad de 17 500 km/h. Si la aceleración gravitacional en su trayectoria es de 3 m/s2, determina el radio de la trayectoria y la altitud en la que se encuentra cuando pasa por un punto en el que el radio terrestre es de 6 375 km. 15. Calcula la velocidad media que emplea un autobús en viajar del Salado a Buenaventura si el recorrido de 187 km lo efectúa en 2 h y 25 min. 16. Se aplica una fuerza de 120 N a un miniauto de juguete de 45 kg de tal manera que forma un ángulo de 20° con la superficie horizontal por la que circula. Determina el tiempo necesario para que alcance una velocidad de 7.2 m/s a partir del reposo. 17. Determina el desplazamiento de una alpinista que para alcanzar el pico de una montaña nevada asciende 39 km en dirección norte, gira hacia el este y avanza 3 km para evitar una falla geológica, asciende de nuevo 60 km en dirección noroeste, y de nuevo gira hacia el norte para avanzar 4 km y llegar a la cima. ¿Cuál es la distancia recorrida? ¿Qué tiempo le llevará llegar a la cima si su rapidez promedio es de 3 km/h debido al clima, y descansa 8 h por cada 8 h de recorrido? 18. Una rueda de esmeril trabaja a 500 rpm cuando se corta el suministro de energía eléctrica. Determina el número de vueltas que gira hasta detenerse por completo considerando que desacelera a razón de 8 rad/s2 y que el operador no ejerce ninguna fuerza para reducir la marcha de la herramienta. ¿Cuánto tiempo se requiere para el alto total? 19. Determina el tiempo que se requiere para que un malacate eleve una carga de 1 000 kg a una altura de 12 m, considerando que la potencia del conjunto de tracción del malacate es de 30 kW. 20. Una muchacha que está aprendiendo a manejar viaja a una velocidad de 20 km/h y observa que un semáforo a 150 m de donde ella se encuentra cambia de verde a rojo. La luz roja dura en el semáforo 30 s. Determina si la muchacha requiere acelerar o viajar a velocidad constante para pasar sin detenerse en el semáforo.

III. Relaciona las columnas. 1. ( ) Unidad de potencia en el sistema inglés. 2. ( ) Efecto que produce una fuerza cuando actúa a lo largo de una distancia. 3. ( ) Proposición que puede ser demostrada. 4. ( ) Medida de cómo funciona una máquina. 5. ( ) Explicación de un fenómeno por lo que se conoce a través de la experimentación.

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6. ( 7. ( 8. ( 9. ( 10. ( 11. ( 12. (

) Conclusión general sobre la relación entre causa y efecto. ) Comparar una magnitud con la unidad patrón. ) Magnitud de la velocidad. ) Rapidez con la que se realiza trabajo. ) Capacidad de un sistema para realizar trabajo. ) Fuerza que se opone al movimiento. ) Propiedad de los cuerpos que se manifiesta como la oposición al cambio

13. ( 14. (

) Aceleración que apunta hacia el centro de curvatura. ) Ubicación específica de un cuerpo en un sistema de referencia.

a. Rapidez. b. Centrípeta. c. Eficiencia. d. Fricción. e. Caballo de fuerza. f. Posición. g. Potencia. h. Ley. i. Inercia. j. Energía. k. Trabajo. l. Medir. m. Teorema. n. Teoría.

de estado de reposo o movimiento.

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PARA TERMINAR. AUTOEVALÚA TUS COMPETENCIAS Ahora que has terminado este curso, es conveniente que hagas un alto para reflexionar sobre las competencias genéricas que has adquirido. En el siguiente cuadro, señala el nivel que consideres que has logrado en cada aspecto. Contesta con honestidad.

SIEMPRE

FRECUENTEMENTE POCO

CASI NUNCA

NUNCA

1 Te conoces, te valoras y abordas los problemas y retos a partir de objetivos.

2 Eres sensible al arte y lo aprecias e interpretas en todas sus expresiones.

3 Eliges y practicas estilos de vida saludables.

4 Escuchas, interpretas y emites mensajes pertinentes en distintos contextos, mediante la utilización de herramientas y medios apropiados.

5 Desarrollas innovaciones y propones soluciones a problemas a partir de un método seleccionado.

6 Mantienes una postura personal sobre temas de interés y consideras otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

7 Aprendes por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

8 Participas y colaboras de manera efectiva en trabajos de equipo.

9 Participas con una conciencia cívica y ética en la vida de tu comunidad, la región, México y el mundo.

10 Mantienes una actitud respetuosa hacia la diversidad de culturas, creencias, valores, ideas y prácticas sociales de otras personas.

11 Contribuyes al desarrollo sustentable del medio ambiente, de manera crítica y con acciones responsables.

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FUENTES CONSULTADAS

Libros Alonso, M. y E. J. Finn. Física. Vol. 1. México: Fondo Educativo Interamericano, 1970. Bureau International des poids et mesures. Le Système international d’unités (si). 8e édition. París: Organisation intergouvernementale de la Convention du Mètre, 2006. R. Chappert y R. Picand. La mécanique par les problèmes. Fascículos 2 y 3. París: Les Éditions Foucher, 1985. Cohen, M. y E. Nagel. Introducción a la lógica y al método científico. Vols. 1 y 2. Buenos Aires: Amorrortu Editores, 1968. 

Giancoli, D. C. Física, principios con aplicaciones. 4ª ed. México: Prentice Hall, 1999. Gié, H. y J. P. Sarmant. Mecánique. París: Technique et Documentation (Lavoisier), 1984.

Gieck, K. Manual de fórmulas técnicas. 75ª ed. México: Alfaomega Grupo Editor, 2003. Hewitt, P. G. Física conceptual. 9ª ed. México: Pearson Educación, 2004.

Serway, R. A. y J. S. Faughn. Fundamentos de física. Vol. 1. México: Thomson, 2004. Tippens, P. E. Física, conceptos y aplicaciones. 6ª ed. México: Mc Graw-Hill, 2001.

Páginas web Axxón. http://axxon.com.ar AstroMía. www.astromia.com/ Automovilonline. www.automovilonline.com.mx Arrakis. www.arrakis.es Ciencia Popular. www.cienciapopular.com Escuela Politécnica Superior, España. www.ii.uam.es Foro Por tierra, mar y aire. www.portierramaryaire.com Investigación y desarrollo. www.invdes.com.mx Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura. www.oei.es  Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura. www.unesco.org Revista electrónica La ciencia y el hombre, de la Universidad Veracruzana. www.uv.mx/cienciahombre/ Sólo Mantenimiento. www.solomantenimiento.com  unam, revista ¿Cómo ves? www.comoves.unam.mx

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