F. Bugallo Siegel-Análisis de Circuitos Eléctricos-ETSIA - Universidad Politécnica de Madrid (UPM)

Análisis de Circuitos Eléctricos

F. Bugallo Siegel

CAPÍTULO 1 SÍMBOLOS, NOTACIONES Y UNIDADES INTRODUCCIÓN La simbología utilizada en los esquemas de los circuitos eléctricos es muy amplia y aunque existe una tendencia a su normalización, en la actualidad hay una diversidad de símbolos para el mismo concepto que el uso de uno u otro símbolo depende del autor del texto. En este capítulo se presentan los símbolos que más se utilizan en los tratados de electricidad españoles y que, en su gran mayoría, siguen los tratados de otros países traducidos al castellano. Dentro de este apartado se asocian los símbolos y definiciones de potencial y diferencia de potencial, así como de la corriente eléctrica según la concepción clásica de la misma. En textos consultados, la definición de corriente es distinta, contraria a la que aquí se expone, pero no por ello invalida los conceptos que aquí se vierten, sino que a la hora de aplicarlos en dichos textos habrá que alterar el sentido de la corriente. A fin de que se proporcionen resultados lo más coherentes posibles, en consonancia con los datos que se indican en los problemas propuestos, se dan una serie de nociones sobre la posibles notaciones numéricas, sobre el concepto de cifra significativa y por último sobre el redondeo al cinco, todo ello con el fin de ajustar los resultados numéricos a los datos iniciales de los problemas. Por último, se relacionan las unidades básicas y suplementarias del Sistema Internacional de unidades ( SI ), así como los múltiplos y submúltiplos de dichas unidades.

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SÍMBOLOS Son las representaciones gráficas tanto de los elementos de los circuitos, instrumentos de medida, etc., como de los vectores representativos de las variables eléctricas tensiones y corrientes. SÍMBOLOS GRÁFICOS

+ polaridad positiva; - polaridad negativa; ∆ conexión o devanado en triángulo; Y conexión o devanado en estrella.

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TENSIONES En este estudio se utilizará como símbolo de diferencia de potencial, o tensión, una flecha cuya base está en el punto de menor potencial ( signo -, ó B) y su extremo en el punto de mayor potencial (signo +, ó A). De forma que se verifica:

V A > V B ; V AB = V A - V B

Aunque todos los textos coinciden con la notación + y -, no todos coinciden en el sentido de la flecha de referencia. En los sistemas trifásicos se diferenciarán además entre las tensiones de línea, o tensiones compuestas, expresadas por y las tensiones de fase, o tensiones simples, simbolizadas por . En el capítulo correspondiente se volverá sobre este tema. CORRIENTES La corriente se simbolizará mediante una flecha que indicará el sentido del flujo de la misma. El sentido indicado será tomado como positivo. Si al final de los cálculos se llega a que la magnitud tiene un signo negativo, ésta indicará que el sentido real es opuesto al inicialmente supuesto como referencia. Con esta notación la corriente corresponde a desplazamientos de cargas positivas, que se desplazarán desde potenciales positivos (+) a potenciales negativos (-). En la notación puede figurar un subíndice para enumerar la corriente. Se ha de tener especial cuidado a la hora de establecer un subíndice. Así, para la corriente que circula entre los puntos A (+) y B (-) la notación AB no es la más adecuada ya que:

I AB ≠ I A - I B

es decir, se trata de expresar que la corriente circula desde A a B. En los sistemas trifásicos se diferencian dos tipos de corrientes: las corrientes de línea simboliza-

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das por acompañadas por un subíndice; las corrientes de fase simbolizadas por acompañadas por un subíndice. Estos subíndices, cuyo significado y notación se indicarán en el capítulo correspondiente, sirven para diferenciar las distintas corrientes. ÁNGULOS: FASES y DESFASES Los ángulos representativos de las fases y desfases se simbolizan mediante letras griegas, de las cuales las más utilizadas son: α (alfa), β (beta), γ (gamma), δ (delta), ε (epsilon), ζ (zeta), θ (theta), λ (lambda), µ (mu), v (nu), ξ (xi), φ, (phi), ψ (psi), ω (omega). NOTACIONES Realizada una consulta sobre el tipo de notación utilizada en diferentes textos españoles y extranjeros, correspondientes a esta materia, se comprobó que no existe una notación totalmente común a todos. Incluso existen discrepancias entre autores de un mismo país de origen. Por tanto, se recurrirá, como base para fijar los criterios de notación, a la normativa actual, adoptando así mismo los siguientes criterios de notación: - Los valores instantáneos de las funciones del tiempo se representarán mediante letras minúsculas. Ejemplo: v(t)= 20 sen (2πft + 30º) V, representa una tensión senoidal de valor máximo 20 voltios y de frecuencia f, con una fase de 30º. - Los valores eficaces de las magnitudes periódicas se expresarán mediante una letra mayúscula. Ejemplo: V= 220 V. - Los valores máximos de las funciones se indicarán mediante una letra mayúscula con el subíndice M o bien max. Ejemplo: VM= Vmax= 20 V - Los valores mínimos de las funciones se mostrarán mediante una letra mayúscula con el subíndice min. Ejemplo: Vmin= 20 V. - Los valores medios de las funciones se expresarán mediante una letra mayúscula y el subíndice med. Ejemplo: Vmed= 0 V. - Las magnitudes complejas se expresarán en la forma binómica: Re + j Imag , o bien en la forma módulo argumental: Mod _θ. Ejemplo: 3 + j 4 = 5 _ 53º. - Las magnitudes vectoriales se representan mediante una letra mayúscula con un guión en su parte superior. Ejemplo , que representa a una tensión alterna expresada en el plano de la frecuencia en forma de vector, o fasor. NOTACIÓN CIENTÍFICA La notación científica es una forma de expresión de las cantidades, que facilita la comparación entre unas y otras y que permite una inmediata identificación de las cifras significativas utilizadas. Un número en notación científica se escribe con la puntuación decimal a la derecha del primer

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N

dígito, manteniendo las restantes cifras significativas como decimales, y un multiplicador 10 para indicar el valor del número. -2

Así por ejemplo, 0,018 se escribirá en notación científica como 1,8 x 10 , o bien la cantidad 2

521,63 se escribirá como 5,2163 x 10 . CIFRAS SIGNIFICATIVAS Los valores numéricos de las mediciones son siempre aproximaciones. La exactitud de una medida se determina por el instrumento particular de medida utilizado. El número de dígitos en las mediciones se denomina número de cifras significativas. Así, una medida de 4,48 V, es una medida con una aproximación a la centésima de voltio y dispone de tres cifras significativas. La última cifra significativa de cualquier dato de medición es estimada y por lo tanto es de exactitud dudosa. Por tanto, el número de cifras significativas en la solución numérica de un problema que incluye cantidades medidas, deberá redondearse para que esté de acuerdo con el número de cifras significativas del dato menos preciso. En caso contrario, se estará dando a la una exactitud distinta a la que los datos medidos puedan garantizar. Los ceros en un número pueden ser o no significativos, depende de como se utilicen. Cuando los ceros aparecen en la primera cifra de un número son no significativos, ya que sólo sirven para localizar el punto decimal. Así por ejemplo: 0'00448 tiene tres cifras significativas. Los ceros situados entre cifras son siempre significativos. Así por ejemplo: 801 tiene tres cifras significativas. Los ceros situados como últimas cifras de un decimal son significativos. Así por ejemplo: 0'04480 tiene cuatro cifras significativas. Los ceros en las últimas cifras de un número entero pueden ser o no significativos. Debe utilizarse la notación adecuada para dar un indicador apropiado. Así por ejemplo: 56.000 puede tener dos, tres, cuatro o cinco cifras significativas. Si la precisión correcta fuese de cuatro cifras, se debería anotar como: 56'00 k. En las operaciones matemáticas sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, el resultado ha de redondearse de acuerdo al número de cifras significativas del número menos preciso que interviene en la operación. REDONDEO Cuando se redondean las respuesta para hacerlas concordar con el número de cifras significativas requerido, se debe seguir el siguiente procedimiento, denominado redondeo al cinco: 1.- Si el primer dígito que se va a eliminar es mayor que 5, o si es un 5 seguido por lo menos de un dígito diferente de cero, el último dígito que se retiene debe aumentarse en 1. 2.- Si el primer dígito que se va a eliminar es menor que 5, el último dígito que se retiene no debe cambiarse.

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3.- Si el primer dígito que se va a eliminar es exactamente 5, o bien un 5 seguido de ceros, el último dígito no debe cambiarse si es par, pero debe incrementarse en 1 si es impar. En la solución de problemas numéricos con varios apartados, en donde la solución de una de éstas se utiliza para obtener la solución de otra, deben evitarse los redondeos mientras el problema no esté completo. UNIDADES Antes de iniciar el estudio de los circuitos eléctricos, es necesario conocer las clases de unidades, las notaciones científicas y de ingeniería que se encuentran generalmente en la práctica. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES A lo largo del tiempo se han ideado distintos sistemas de unidades para satisfacer las necesidades de comparación por medio de unidades. Se puede decir que un sistema de unidades es aquel en el que las unidades guardan una relación directa entre sí, normalmente expresada por un número entero. El sistema métrico está formado por unidades relacionadas entre sí como múltiplos de 10. Así, el centímetro, metro y kilómetro guardan la relación 100, 1.000 y 100.000. Es fácil la conversión de una unidad a otra y por tanto constituye esta disposición decimal una de las ventajas del sistema métrico de unidades. Al igual que otros sistemas de unidades el sistema métrico ha sufrido diversos cambios, dando origen a cuatro sistemas se unidades, alguno de los cuales han caído en desuso. Estos sistemas son métricos y comprenden: Sistema CGS (esu) o centímetro-gramo-segundo, sistema de unidades electrostáticas. Sistema CGS (emu) o centímetro-gramo-segundo, sistema de unidades electromagnéticas. Sistema MKS o metro-kilogramo-segundo. Sistema SI o Sistema Internacional de unidades. El Sistema Internacional de unidades, designado por SI, es un sistema definido de cuyas unidades guardan una relación directa entre sí, expresada por un número entero. Es el sistema utilizado en las publicaciones de los trabajos científicos y técnicos, y en particular en los campos de la ciencia y la tecnología eléctrica, por lo que se utilizará en este texto. Este sistema se apoya en siete unidades básicas y dos suplementarias.

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Unidades básicas: Longitud: metro [m] Masa: kilogramo [kg] Tiempo: segundo [s] Corriente eléctrica: amperio [A] Temperatura: kelvin [K] Intensidad lumínica: candela [cd] Cantidad de materia: mole [mol] Unidades suplementarias: Ángulo plano: radián [rad] Ángulo sólido: estereorradián [sr] A partir de estas unidades se derivan otras para expresar cantidades de diversos tipo tales como áreas, potencia, flujo, etc. Algunas unidades derivadas son de frecuente uso y por tanto se les ha asignado un nombre concreto. Algunas de ellas son: Capacidad eléctrica: farad (faradio) [F] Carga eléctrica: coulomb (culombio) [C] Conductancia eléctrica: siemens (siemens) [S] Potencial eléctrico: volt (voltio) [V] Resistencia eléctrica: ohm (ohmio) [Ω] Energía: joule (julio) [J] Fuerza: newton (newton) [N] Frecuencia: hertz (hercio) [Hz] Iluminación: lux (lux) [lx] Inductancia: henry (henrio) [H] Flujo lumínico: lumen (lumen) [lm] Flujo magnético: weber (weber) [Wb] Densidad de flujo magnético: tesla (tesla) [T] Potencia: watt (vatio) [W] Presión: pascal (pascal) [Pa] MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DE LAS UNIDADES SI Para simplificar el lenguaje, cuando se utilizan cantidades muy grandes (múltiplos) o pequeñas (submúltiplos) de una cierta unidad, se utilizan prefijos decimales. Los prefijos más comúnmente utilizados con las unidades SI en notación de ingeniería son los siguientes: 12

10

tera

[T]

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9

giga

6

mega [M]

3

kilo [k]

10

10 10

[G]

-3

10 mili [m] -6

[µ]

-9

[n]

10 micro 10 nano -12

10

pico [p]

Estos prefijos representan potencias de 10, con todos los exponentes múltiplos de 3. Los datos de las placas de características de los equipos eléctricos y las soluciones a los problemas de ingeniería se expresan normalmente en notación de ingeniería. Sin embargo, antes de sustituir los datos de ingeniería dentro de ecuaciones matemáticas, todas las unidades deben convertirse a la forma sin prefijo, ya que en caso contrario se pueden cometer errores graves.

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CAPÍTULO 2 DEFINICIÓN DE LOS ELEMENTOS Y VARIABLES DE LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS: LEYES BÁSICAS INTRODUCCIÓN. En este capítulo se presentan los elementos implicados en los circuitos eléctricos. Éstos serán los únicos que los conformen y establezcan, de acuerdo con las leyes de la física, las relaciones entre las variables eléctricas tensión y corriente en los circuitos eléctricos. Se establece una primera clasificación de estos elementos en virtud de su posibilidad, o no, de suministrar energía eléctrica. Una segunda clasificación se establece a través de la forma en que estos elementos transforman la energía eléctrica que se les comunica. Se definen, para cada tipo de elemento, las relaciones entre las variables eléctricas, tensión y corriente, obtenidas de las características eléctricas propias de cada elemento. Cada una de estas expresiones, que relacionan las variables eléctricas de un elemento, serán la definición eléctrica del propio elemento y serán las que se utilicen a la hora de establecer las ecuaciones de los circuitos. Las leyes básicas del comportamiento de los circuitos eléctricos se deducen como consecuencia de los principios fundamentales de la continuidad y conservación de la energía. Estos principios fueron enunciados por KIRCHHOFF, a través de dos leyes fundamentales que recibieron su nombre. Se establecen las definiciones de la primera y segunda ley de Kirchhoff, indicándose el número de ecuaciones linealmente independientes que se obtienen de la aplicación de dichas leyes. Por último, se establece la definición de potencia eléctrica en corriente continua, sus expresiones en variables eléctricas y sus unidades de medida. ELEMENTOS DE UN CIRCUITO ELÉCTRICO. Los circuitos eléctricos, que serán considerados en todo lo expuesto, estarán constituidos por tres tipos de elementos perfectamente diferenciados. No serán considerados los elementos de unión ya que se suponen de conductividad infinita. Estos tipos son:

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* Elementos activos o generadores. Son aquellos que suministran energía al circuito. Pueden considerarse las siguientes clases: Generadores de tensión, que pueden ser dependientes o independientes, ideales o reales. Generadores de corriente, que pueden ser dependientes o independientes, ideales o reales. * Elementos pasivos o cargas. Son aquellos elementos que reciben la energía que suministran los elementos activos. Estos elementos pueden ser de tres clases: Resistencias o resistores. Bobinas o inductores. Condensadores o capacitores. Todo circuito eléctrico consta única y exclusivamente de uno o varios elementos activos y uno o varios elementos pasivos, dispuestos de una forma adecuada para cumplir ciertas exigencias. Se denomina "carga", y se representa genéricamente por Z según se muestra en la figura 2.1, a una combinación cualquiera de elementos pasivos.

Figura 2.1.- Representación de una carga o impedancia. GENERADORES DE TENSIÓN Y GENERADORES DE CORRIENTE. El GENERADOR IDEAL DE TENSIÓN INDEPENDIENTE, es aquel dispositivo que suministra una tensión independiente de la carga a él conectado. Su representación gráfica es la de la figura 2.2. El símbolo en el interior del circulo diferencia a los generadores de tensión constante de los generadores de tensión alterna.

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Figura 2.2.- Representación generador ideal tensión. Un símbolo muy utilizado para los generadores de tensión ideal de corriente continua denominados pila o batería es el mostrado en la figura 2.2.1.

Figura 2.2.1.- Representación de la batería o pila. El trazo largo corresponde al terminal positivo, roja en las baterías, y el trazo más corto y grueso al terminal negativo, negra en las baterías. La flecha indica el sentido del potencial al igual que en los generadores de tensión ideal genéricos. La flecha indica el sentido del potencial en los bornes del generador. Es decir, la flecha con la punta en A y el extremo en B significa que el potencial es Vab, es decir, el punto A tiene mayor potencial que el punto B. La función v(t) corresponde a la función temporal de la tensión, entre los bornes del generador. En el caso en que la tensión sea senoidal figurará V, valor eficaz de la tensión sinusoidal, cuyo significado se estudiará en el siguiente capitulo. En el caso de que se trate de un generador de tensión de corriente continua figurará el valor de la fuerza electromotriz V entre sus bornes. Su curva característica tensión-corriente es la mostrada en la figura 2.3.

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Figura 2.3.- Curva característica generador tensión. La curva característica indica que la tensión en bornes del generador ideal es independiente de la corriente que circule por el mismo. Si entre los terminales A y B del generador de tensión se conecta una resistencia R1, o una carga Z1, la diferencia de potencial en los extremos de la misma será la propia tensión del generador y la corriente que circula por ella será: I1 = V / R1 , tal como se muestra en la figura 2.4.

Figura 2.4.- Generador de tensión en carga. Si se sustituye la resistencia R1 por otra resistencia R2, o carga Z2, diferente, la diferencia de potencial entre los extremos de la nueva carga sigue siendo la del generador, pero la corriente que circula será distinta que en el caso anterior, es decir: I2 = V / R2 , siendo R1 distinto de R2, I1 distinto de I2, tal como se muestra en la figura 2.5.

Figura 2.5.- Generador de tensión en carga.

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Para un generador de tensión, la corriente que suministra es una variable dependiente, función del circuito que alimenta. La tensión es la variable independiente. Como consecuencia de lo anterior resulta que, la conexión en paralelo de una resistencia R, o carga Z cualquiera, a un generador ideal de tensión que alimenta a un circuito, no afecta, en cuanto al valor de la tensión de alimentación de dicho circuito, como se muestra en la figura 2.6.

Figura 2.6.- Circuito alimentado por un generador de tensión. A los generadores ideales de tensión no se les puede cortocircuitar sus s, ya que dicha situación corresponde a un estado de sobrecarga infinita, como se muestra en la figura 2.7. En la aplicación de la definición de generador de tensión se llega a un absurdo, es decir, se viola la propia definición.

Figura 2.7.- Generador de tensión cortocircuitado. Por el contrario, un generador ideal de tensión con los bornes en circuito abierto supone una condición de carga nula o funcionamiento en vacío. El GENERADOR IDEAL DE CORRIENTE INDEPENDIENTE, es aquel dispositivo que suministra una corriente independiente de la carga a él conectado. Su representación gráfica es la de la figura 2.8.

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Figura 2.8.- Representación del generador de corriente. El símbolo en el interior del rectángulo diferencia a los generadores de corriente continua de los generadores de corriente alterna. La flecha indica el sentido de la corriente que atraviesa el generador. Es decir, la flecha con la punta hacia A indica que la corriente fluye del generador hacia la A y retorna al generador por la B. La función i(t) corresponde a la función temporal de la corriente que fluye por el generador. En el caso en que la corriente sea senoidal figurará I, valor eficaz de la corriente sinusoidal, cuyo significado se estudiará en el siguiente capitulo. En el caso de que se trate de un generador de corriente continua figurará el valor de dicha corriente. Su curva característica tensión-corriente es la mostrada en la figura 2.9.

Figura 2.9.- Curva característica del generador de corriente. La curva característica indica que la corriente que circula por el generador ideal es independiente de la tensión entre sus bornes. Si entre los terminales A y B del generador de corriente se conecta una resistencia R1, o una carga Z1, la corriente que circulará por dicha carga será la propia corriente del generador y la tensión entre los extremos de la misma vendrá dada por: V1 = R1 x I , tal como se muestra en la figura 2.10.

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Figura 2.10.- Generador de corriente con carga. Si se sustituye la resistencia R1 por otra resistencia R2, o carga Z2, diferente, la corriente que circula por la nueva carga sigue siendo la del generador, pero la diferencia de potencial entre sus extremos será distinta que en el caso anterior, es decir: V2 = R2 x I, siendo R1 distinto de R2, V1 distinto de V2, como se muestra en la figura 2.11.

Figura 2.11.- Generador de corriente en carga. Para un generador de corriente, la tensión entre sus bornes es una variable dependiente de las características del circuito conectado. La corriente que suministra es una variable independiente. Como consecuencia de lo anterior resulta que, la conexión en serie de una resistencia R, o carga Z cualquiera, a un generador ideal de corriente que alimenta a un circuito, como se muestra en la figura 2.12, no afecta, en cuanto a variación de corriente de alimentación de dicho circuito.

Figura 2.12.- Circuito alimentado por un generador de corriente.

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No se pueden dejar en circuito abierto los bornes de los generadores ideales de corriente, pues esto supone una condición de sobrecarga infinita, como se muestra en la figura 2.13.

Figura 2.13.- Generador de corriente en circuito abierto. En la aplicación de la definición de generador de corriente se llega a un absurdo, es decir, se viola la propia definición. Por el contrario, en un generador ideal de corriente el cortocircuito de sus bornes supone una condición de carga nula para el mismo. El GENERADOR IDEAL DE TENSIÓN, O CORRIENTE, DEPENDIENTE. Es aquel dispositivo que suministra una tensión, corriente, dependiente de otra variable (tensión, corriente, temperatura, etc.) existente, o no, en alguna parte del circuito. Los generadores ideales de tensión y corriente dependientes se representan según la figura 2.14.

Figura 2.14.- Representación de lo generadores dependientes. En la representación de la variable tensión, o corriente, se formula la función de dependencia

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correspondiente, indicándose así mismo el sentido positivo del potencial o flujo de la corriente mediante los signos (+) y (-) o una flecha respectivamente. COMPOSICIÓN DE GENERADORES IDEALES. La composición, o agrupamiento, de generadores se puede establecer con las limitaciones dadas por sus propias definiciones. Así, los generadores ideales de tensión pueden agruparse en serie, ver figura 2.15, siendo la tensión total la suma de las tensión de cada uno de ellos. Esta suma habrá de realizarse de acuerdo con el tipo de función temporal que presenten.

Figura 2.15.- Acoplamiento serie de generadores de tensión. La corriente que suministra cada uno de los generadores será la misma y dependerá de la carga total que alimentan. El agrupamiento en paralelo de estos generadores, figura 2.16, es imposible, salvo que proporcionen idénticas tensiones. En caso contrario, se violaría la definición de generador de tensión de uno de ellos, al forzarla a ser igual a la tensión suministrada por el otro.

Figura 2.16.- Acoplamiento paralelo de generadores de tensión.

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Algo similar sucede con los generadores de corriente, cuyo agrupamiento ha de realizarse en paralelo, ver figura 2.17, proporcionando una corriente total igual a la suma de las corrientes de cada uno de los generadores. En este caso, como en el anterior, la suma de las funciones temporales correspondientes a ambos generadores se habrá de hacer adecuadamente.

Figura 2.17.- Acoplamiento paralelo de generadores de corriente. Las tensiones entre los extremos de los generadores será la misma y dependerá de la carga a la que estén conectados ambos. El agrupamiento en serie de los generadores de corriente no es posible, figura 2.18, salvo que proporcionen corrientes idénticas. De no suceder así, se violaría la definición de generador de corriente de uno de ellos, al forzar el otro a suministrar su misma corriente.

Figura 2.18.- Acoplamiento serie de generadores de corriente.

GENERADORES REALES DE TENSIÓN Y CORRIENTE INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES. Los generadores reales de tensión y de corriente tienen una resistencia (impedancia) interna debida a su propia concepción. Cuando se conecta una carga a los bornes de dichos generadores se origina una caída de tensión, o pérdida de corriente, en dicha resistencia, ya sea generador de tensión o de corriente, acompañada de un aumento de temperatura del mismo. Es por ello por lo que los generadores reales no mantienen exactamente constante la tensión, o corriente, en

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sus bornes de salida, sino que disminuyen sus valores nominales con el aumento de la carga conectada. Un GENERADOR REAL DE TENSIÓN INDEPENDIENTE se representa mediante el esquema de la figura 2.19.

Figura 2.19.- Generador real de tensión. Los bornes de salida del generador son los puntos A y B. Rg representa la resistencia interna del generador. La función v(t) es la fuerza electromotriz que suministra el generador, que coincide con la tensión de salida, o en bornes, en vacío o sin carga, es decir con los bornes en circuito abierto. En la figura 2.20, se muestra la curva característica del generador real de tensión, corresponde a una recta de ecuación:

V AB = V - R g I siendo I la corriente que suministra el generador. Como se puede observar la pendiente de la recta es negativa y proporcional a Rg, de forma que cuanto mayor sea la resistencia interna del generador menor será la tensión a su salida, a igualdad de consumo de corriente. Si la resistencia interna es nula se obtendrá un generador ideal.

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Figura 2.20.- Curva característica de un generador de tensión real. Si se conecta entre A y B una resistencia R1, o una carga Z1, la corriente que circula por el circuito será: I = V / (Rg + R1), ver figura 2.2.1,y la diferencia de potencial entre A y B, correspondiente a la tensión V suministrada por el generador será: o

Vab = V R1 / (Rg + R1)

o

VAB = V / (Rg/R1) + 1

o

Para Rg > R1 ; VAB = 0

Figura 2.21.- Generador real de tensión en carga. Si se sustituye la resistencia R1 por otra resistencia R2, o carga Z2, diferente se obtendrá: I' = V / (Rg + R2) y V'ab = V R2 / (Rg + R2), ver figura 2.22.

Figura 2.22.- Generador real de tensión en carga. Por tanto, V ≠ V'ab ≠ Vab cuando R1 ≠ R2, es decir, la tensión en bornes del generador varía con la carga conectada. En un generador real de tensión, la tensión en sus bornes no puede considerarse como una variable independiente, sino que es una función de la carga conectada al mismo. Un GENERADOR REAL DE CORRIENTE INDEPENDIENTE se representa mediante el

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esquema de la figura 2.23.

igura 2.23.- Representación de un generador de corriente real. Los bornes de salida del generador son los puntos A y B. Rg representa la resistencia interna del generador. La función i(t) es la corriente que suministra el generador, que coincide con la corriente de vacío o sin carga, es decir, con sus bornes cortocircuitadas. La curva característica del generador real de corriente, mostrada en la figura 2.24, es una recta de ecuación:

I real = I ideal -

V AB Rg

siendo Ireal la corriente que suministra el generador real, Iideal la suministrada por el generador ideal.

Figura 2.24.- Curva característica de un generador de corriente real. Como se puede observar la pendiente de la recta es negativa e inversamente proporcional a Rg, de forma que cuanto mayor sea la resistencia interna del generador menor será la diferencia entre generadores, es decir, la corriente de salida del generador real se acercará más a la del

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ideal. El caso límite corresponde a la ausencia de resistencia interna que corresponde a Rg => ∞. Se conecta entre A y B un resistencia R1, o una carga Z1, tal como se muestra en la figura 2.25. Para dicho circuito se verifica que: o

I = Ig + IR1, teniendo en cuenta la suma de las corrientes en el nudo superior es cero.

o

Ig Rg = IR1 R1, diferencia de potencial en los extremos del generador.

Figura 2.25.- Generador de corriente real en carga. Eliminando Ig, entre ambas expresiones, se obtiene la corriente que suministra el generador de corriente a la carga. o

La corriente será: IR1 = I Rg/ (Rg + R1), es decir, IR1 = I / 1 + (R1/Rg)

o

Para R1 > Rg ; IR1 = 0

Se sustituye la resistencia R1 por otra resistencia R2, o carga Z2, diferente como se muestra en la figura 2.26. I = Ig + IR2, teniendo en cuenta la suma de las corrientes en el nudo superior es cero.

Figura 2.26.- Generador real de corriente en carga. Ig Rg = IR2 R2, diferencia de potencial en los extremos del generador. Eliminando Ig, entre ambas expresiones, se obtiene la corriente que suministra el generador de corriente a la nueva carga. Ésta viene dada por:

IR2 = I Rg/ (Rg + R2)

Por tanto, I ≠ IR2 ≠ IR1 cuando R1 ≠ R2, es decir, la corriente que circula por la carga depende del valor de la misma.

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En un generador real de corriente, la corriente que suministra en bornes ya no es una variable independiente, sino que dependerá de la carga conectada. Los GENERADORES REALES DE TENSIÓN O DE CORRIENTE DEPENDIENTES tienen un comportamiento similar a los correspondientes generadores reales independientes ya que son iguales, salvo la función de tensión, o de corriente, entre sus bornes. En este estudio, mientras no se indique lo contrario, los generadores de tensión y de corriente se supondrán ideales. ELEMENTOS PASIVOS. Así como en los circuitos eléctricos de corriente continua el único elemento pasivo es la resistencia, en los circuitos eléctricos de corriente alterna se han de contemplar tres elementos pasivos distintos. Se diferencian entre sí por su forma de comportarse frente a la energía eléctrica procedente de los elementos generadores. *

Si toda la energía eléctrica que recibe el elemento pasivo se disipa en forma de calor, se

trata de una resistencia pura. *

Si toda la energía eléctrica que recibe el elemento pasivo se almacena en forma de campo

magnético, se trata de una bobina pura. *

Si toda la energía eléctrica que recibe el elemento pasivo se almacena en forma de campo

eléctrico, se trata de un condensador puro. Estos elementos se denominan puros, o ideales, ya que se supone que se comportan exclusivamente de una de las tres formas indicadas. En la realidad, en cualquiera de estos elementos están presentes las tres características reunidas con mayor o menor preponderancia. Así una resistencia eléctrica real, obtenida mediante el arrollamiento de un conductor, tiene algo de bobina, efecto inductivo debido al propio arrollamiento, y algo de condensador, efecto capacitivo entre espiras. Algo análogo les sucede a las bobinas y a los condensadores reales. En este estudio se considerará que los elementos pasivos se comportan de forma idealizada, mientras no se indique lo contrario. RESISTENCIA O RESISTOR. La representación gráfica es la de la figura 2.27.

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Figura 2.27.- Representación de una resistencia Si a través de una resistencia circula una corriente i(t), aparece en sus extremos una diferencia de potencial vR(t) directamente proporcional a dicha corriente. La relación de proporcionalidad es:

v R (t) = R i (t ) A esta relación se la denomina LEY DE OHM. La constante de proporcionalidad R se la denomina RESISTENCIA, el mismo nombre que el elemento. De ahí que en algunos países de lengua castellana el elemento sea llamado resistor. Cuando la tensión v(t) y la corriente i(t) son constantes, la ley de Ohm se establece como:

VR = R I

Aunque en general el valor de R no es constante, depende linealmente de la temperatura, en lo sucesivo se supondrá constante. Se define la resistencia de UN OHMIO como aquella a la que al aplicar entre sus extremos una diferencia de potencial de UN VOLTIO, circula por ella UN AMPERIO.

[ V ] R [ Ω ]=VR I[ A ] De los submúltiplos el más utilizado es el miliohmio [ mΩ ], y de los múltiplos el kilohmio [ KΩ ] y el meghomio [ MΩ ]. Como nota final, dentro del concepto de resistencia, se pueden definir dos abstracciones muy comunes en la teoría de circuitos. Éstas son: Cortocircuito y Circuito abierto. El cortocircuito entre dos puntos se puede asimilar a un conductor ideal, figura 2.28, es decir con resistencia nula, o conductividad infinita, conectado entre dichos puntos. La propiedad fundamental del cortocircuito, y que es la que lo define, se puede enunciar de la forma siguiente: Dos puntos están en cortocircuito cuando para cualquier valor de la corriente que circule entre ambos la diferencia de potencial entre los mismos es nula.

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Figura 2.28.- Cortocircuito. Análogamente un circuito abierto, figura 2.29, es una apertura por la que no puede fluir corriente. Esto equivale a una resistencia infinita, o a un elemento con conductividad nula. Se puede establecer la definición de circuito abierto como: Dos puntos están en circuito abierto cuando para cualquier valor de la tensión entre dichos puntos la corriente que circula entre ambos es nula.

Figura 2.29.- Circuito abierto. BOBINA O INDUCTOR. Su representación gráfica corresponde a la de la figura 2.30.

Figura 2.30.- Representación de una bobina. Al circular por una bobina una corriente i(t), se origina en sus extremos una fuerza electromotriz inducida que es directamente proporcional a la variación, con respecto al tiempo, de dicha corriente. Este hecho se establece como: vL(t) = L di(t)/dt La constante de proporcionalidad L se denomina COEFICIENTE DE AUTOINDUCCIÓN, o simplemente AUTOINDUCCIÓN.

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Cuando la corriente i(t) es constante, I, se verifica que: i(t) = I ; dI/dt = 0 ;

vL(t) = L dI/dt = 0

la tensión entre los extremos de la bobina es nula. Es decir se comporta como un cortocircuito. El coeficiente de autoinducción, aunque variable con la frecuencia, se supondrá en lo sucesivo constante. Si la tensión entre los extremos de la bobina se expresa en VOLTIOS y la variación de la corriente que la atraviesa en AMPERIO/SEGUNDO, el coeficiente de autoinducción viene dado en HENRIOS [ H ]. La unidad más utilizada es su submúltiplo denominado milihenrio [ mH ]. Una bobina tiene un coeficiente de autoinducción L de UN HENRIO, cuando al circular por ella una corriente que varia a razón de UN AMPERIO POR SEGUNDO, induce en sus extremos una diferencia de potencial de UN VOLTIO. CONDENSADOR O CAPACITOR. En la figura 2.31, se muestra la representación gráfica de un condensador.

Figura 2.31.- Representación de un condensador. En un condensador se verifica que la carga q(t) almacenada en su dieléctrico es directamente proporcional a la diferencia de potencial que se establece en sus extremos, verificándose: q(t) = C vc(t) La constante de proporcionalidad C se denomina CAPACIDAD o CAPACITANCIA. Aunque ligeramente variable con la temperatura y la frecuencia, en lo sucesivo se supondrá constante. Derivando, respecto al tiempo, la expresión anterior, se obtiene: dq(t)/dt = C dvc(t)/dt ;

i(t) = C dvc(t)/dt

o bien, vc(t) = (1/C) ∫ i(t) dt La capacidad viene dada en FARADIOS cuando la variación de tensión se expresa en VOLTIOS POR SEGUNDO y la corriente en AMPERIOS. Los submúltiplos más utilizados son el microfaradio [ µF ], y el picofaradio [ pF ].

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Si la tensión v(t) aplicada, entre los extremos del condensador, es constante V, se verifica que: v(t) = V ; dV/dt = 0 ;

i(t) = C dV/dt = 0

la corriente que circula por el condensador es nula. Es decir se comporta como un circuito abierto. LEYES DE KIRCHHOFF. Las leyes básicas del comportamiento de los circuitos eléctricos, se deducen como consecuencia de la interconexión de los diferentes elementos que constituyen el circuito. Se establecen ciertas limitaciones a las tensiones y corrientes en el circuito de forma que se verifiquen los principios fundamentales de continuidad y conservación de la energía. Estos principios, para la energía eléctrica, fueron enunciados por KIRCHHOFF a través de dos leyes fundamentales que recibieron su nombre: PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF ( LKC - Ley de Kirchhoff para las corrientes ), está basada en el principio de continuidad de la corriente eléctrica. Establece que la suma de todas las corrientes que concurren en un nudo de un circuito es cero. Se denomina NUDO de un circuito a todo punto del mismo donde concurren tres o más elementos, o ramas, de dicho circuito. Se llama RAMA de un circuito a la unión de dos nudos con elementos del circuito (no se considera elemento de un circuito los cables de conexión que se supondrán de conductividad infinita, cortocircuitos). El número de ecuaciones independientes que se pueden establecer aplicando esta ley es de (n1), siendo n el número total de nudos que tiene el circuito. n° de ecuaciones = n - 1 Para el ejemplo de la figura 2.32, con cuatro nudos; n = 4, por tanto, (n-1) = 3, ecuaciones independientes.

23

Figura 2.32.- Nudos y mallas en un circuito genérico. SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF ( LKV - Ley de Kirchhoff para las tensiones ), fundamentada en el principio de conservación de la energía eléctrica. Establece que la suma de las diferencias de potencial (caídas o subidas de potencial) de los elementos de un bucle del circuito es nula. Se denomina BUCLE a cualquier camino cerrado que se establezca en el circuito, no teniendo porqué realizarse entre nudos contiguos, ni entre nudos de un mismo plano en circuitos tridimensionales. Se denominan MALLAS a los bucles establecidos a través de ramas con nudos comunes. El número de ecuaciones independientes que se pueden establecer, es igual al número mínimo de mallas que se pueden obtener del circuito. Este número es igual al número de ramas, r, menos la cantidad (n-1), donde n es el número de nudos. n° de ecuaciones = r - (n-1) Para el ejemplo de la figura 1.32; r = 6, número de ramas, (n-1) = 3, n° de ec. = 3 Con el fin de que no existan confusiones con los sentidos en las subidas y caídas de potencial, a la hora de aplicar esta ley, se aconseja la utilización de la siguiente metodología, por lo menos hasta que se alcance una cierta soltura en el cálculo. Para ello, en la malla de la figura 1.33, se suponen conocidos los valores de los elementos activos y pasivos del circuito, es decir, las tensiones y corrientes de los generadores y los valores de las resistencias, inductancias y capacidades.

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# Se supone que por cada rama del circuito, y por tanto de la malla, circula una corriente determinada, con un sentido arbitrario. # Con el sentido elegido en cada rama, se marca con un signo (+) la parte del elemento pasivo por donde penetra la corriente y un signo (-) por donde sale. # Como en los generadores de tensión el sentido del potencial está fijado, en la punta de la flecha se pondrá un signo (+) y en la base el signo (-). Para los generadores de corriente, suponiendo en principio que suministran energía, se tomará también el signo (+) en la punta de la flecha representativa a la corriente y el signo (-) en su extremo. # Se aplica la segunda ley de Kirchhoff, recorriendo la malla en el sentido que se desee, antecediendo a cada salto de diferencia de potencial el signo que se vaya encontrando a lo largo del recorrido elegido. Caídas de tensión con signo (+) y subidas de tensión con signo (-).

Figura 2.33.- Malla genérica de un circuito eléctrico. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff se obtiene;

(t) ∫ i 2 (t) dt + L1 di 2 + dt C1 di (t) + R3 i 3 (t) + R4 i 4 (t) + L 2 4 + v 2 (t) = 0 dt

+ R1 i1 (t) - v1 (t) + R 2 i 2 (t) +

1

23

Planteado el sistema de ecuaciones correspondiente a cada una de las mallas del circuito, y junto con las ecuaciones de los nudos, se calcularían las corrientes por cada rama, que son las incógnitas del circuito. Como resumen, para el ejemplo de la figura 2.32 se establecen: Tres ecuaciones provenientes de aplicación de la primera Ley de Kirchhoff ( LKC ). Tres ecuaciones obtenidas aplicando la segunda Ley de Kirchhoff ( LKV ). Con estas seis ecuaciones se obtendrán las seis incógnitas que son las seis corrientes que circulan por las seis ramas del circuito. POTENCIA EN CORRIENTE CONTINUA. Dado que la aplicación del concepto de potencia eléctrica es muy útil en el análisis de algunos circuitos eléctricos, se incluye esta reflexión para dicho concepto en el caso de corriente continua.

Figura 2.34.- Resistencia recorrida por una corriente I. Cuando por una resistencia R circula una corriente I, estableciéndose en sus extremos una diferencia de potencial VR, tal como se muestra en la figura 2.34, la potencia absorbida por la 2

2

resistencia puede expresarse mediante las siguientes relaciones: P = R I = VR / R = VR I De cualquiera de las expresiones anteriores puede hallarse el valor de la potencia disipada por la resistencia, que vendrá expresada en VATIOS [ W ] cuando los valores de I, VR y R se expresan en AMPERIOS [ A ], VOLTIOS [ V ] y OHMIOS [ Ω ], respectivamente. El submúltiplo más utilizado es el milivatio [ mW ], y los múltiplos kilovatio [ kW ], megavatio [ MW ] y gigavatio [ GW ].

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CAPÍTULO 3 FUNCIONES DE ONDA DE LAS VARIABLES ELÉCTRICAS

INTRODUCCIÓN En la teoría de circuitos se manejan como funciones de excitación, correspondientes a los generadores de tensión y de corriente, funciones variables con el tiempo. De este tipo son también las funciones de respuesta de los circuitos, es decir, las tensiones y corrientes en los elementos de los mismos. En general la dependencia funcional: v=v(t) ó i=i(t) , puede proporcionarse analítica o gráficamente. A esta relación funcional se la denomina función de onda, o forma de onda, respectivamente. TIPOS DE FUNCIONES DE ONDA En el estudio de los circuitos eléctricos se presentan funciones, o formas, de onda que pueden clasificarse, atendiendo a si su magnitud es constante o no, como: ONDAS CONSTANTES EN EL TIEMPO, son las que se generan y se obtienen como respuesta en circuitos de corriente continua, en estado estacionario.

Figura 3.1.- Onda constante con el tiempo (Corriente continua constante). Las tensiones y corrientes permanecen en todo instante constantes sin sufrir variaciones a lo largo del tiempo.

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ONDAS VARIABLES EN EL TIEMPO, son aquellas tensiones y corrientes que presentan variaciones en el tiempo ya sea por que su generación sea variable con el tiempo, por ejemplo corriente alterna, ya sea por que las tensiones y corrientes respuesta de los circuitos sean variables con el tiempo, por ejemplo la respuesta transitoria de un elemento de un circuito a una tensión constante con el tiempo.

Figura 3.2.- Onda variable con el tiempo. Este último grupo se puede dividir a su vez, atendiendo al signo de la magnitud, en dos nuevos grupos: ONDAS NO ALTERNADAS, son aquellas en las que la variable función del tiempo mantiene el signo, es decir, la polaridad en los extremos de los elementos de los circuitos.

Figura 3.3.- Onda no alternada (Corriente continua variable). ONDAS ALTERNADAS, son aquellas en las que la variable función del tiempo cambia de signo a lo largo del tiempo.

Figura 3.4.- Onda alternada.

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Las ondas variables con el tiempo, dependiendo de el régimen de variación de la función temporal se pueden clasificar en: ONDAS NO PERIÓDICAS, cuando el régimen de variación de la función no se repite en módulos temporales a lo largo del tiempo.

Figura 3.5.- Onda no periódica. ONDAS PERIÓDICAS, cuando los valores que toma la función del tiempo se repiten a intervalos iguales de tiempo y en el mismo orden.

Figura 3.6.- Onda periódica. Las ondas periódicas se pueden clasificar, atendiendo a la forma de la onda, en: ONDAS NO SINUSOIDALES, son aquellas ondas periódicas cuya función del tiempo no es del tipo sinusoidal.

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Figura 3.7.- Onda periódica no sinusoidal. ONDAS SINUSOIDALES, cuando los valores que toma la función responde a una función del tipo sinusoidal.

Figura 3.8.- Onda periódica sinusoidal. Por último, se distinguirán las ONDAS SINUSOIDALES SIMÉTRICAS, como aquellas cuyos valores máximos positivos y negativos son iguales.

Figura 3.9.- Onda sinusoidal simétrica.

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COMO RESUMEN, de entre las múltiples formas posibles de establecer una ordenación de las ondas eléctricas, y conforme a lo explicado se propone la siguiente clasificación: Ondas constantes en el tiempo. Ondas variables en el tiempo. Por su magnitud:

Ondas NO alternadas Ondas alternadas.

Por el régimen de variación de la función temporal: Ondas NO periódicas, alternadas o no. Ondas periódicas, alternadas o no: Por la forma de onda: Ondas NO sinusoidales Ondas SINUSOIDALES: ONDAS SINUSOIDALES SIMÉTRICAS.

MAGNITUDES ASOCIADAS A UNA ONDA PERIÓDICA. Dado que en la teoría de circuitos de corriente alterna que se va a exponer no se contempla el régimen transitorio de respuesta, las funciones que van a intervenir serán, en general, funciones alternadas del tipo periódico. Posteriormente, se utilizarán fuentes de tensión y corriente con funciones alternadas del tipo sinusoidal y simétricas, inmersas en circuitos con componentes lineales, lo que lleva a un tratamiento exclusivo de funciones sinusoidales tanto para las tensiones como para las corrientes, que se presentan en dichos circuitos. Pero estas ondas sinusoidales, no son sino un caso particular de las ondas periódicas y, por tanto, son aplicables todos los conceptos desarrollados en este apartado. Una función se dice que es periódica, desde el punto de vista matemático, cuando se verifica que:

f (t ) = f (t + nT ) siendo n un número entero y T el período. Una onda periódica se puede representar en un sistema de ejes de coordenadas tomando los valores de la función, o amplitudes, en el eje de ordenadas y el tiempo en el eje de abcisas, tal como se muestra en la figura 3.10. En el eje de abcisas se puede representar también el ángulo ωt en radianes, o bien en grados. De las tres formas de representación es la más común la segunda, aunque en ciertos casos se utilicen las dos últimas conjuntamente.

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Figura 3.10.- Magnitudes asociadas a una onda sinusoidal. CICLO, es la parte de onda donde la función toma una serie completa de valores positivos y negativos. PERÍODO, es el tiempo de duración de un ciclo. Se representa por la letra T y se mide en segundos (s). FRECUENCIA, es el numero de ciclos por segundo presente en la onda. Representa la frecuencia de repetición de la onda. Se representa por la letra f y se mide en hercios (Hz).

T[ s ]

f [ Hz ]

La relación entre el período y la frecuencia es: T =

1 f

f =

1 T

PULSACIÓN, de una onda periódica es la velocidad angular de la misma y se expresa en función de la frecuencia, y del período, como: w = 2 π f

w=

2π T

cuando la frecuencia se expresa en hercios, el período en segundos, la pulsación viene dada en radianes por segundo (rad/s). w [

rad ] s

FASE de un punto de una onda periódica, respecto a un tiempo de referencia, es la fracción de período, o tiempo, que transcurre desde el punto de referencia y el punto considerado. FASE de una onda periódica alternada, respecto a un tiempo de referencia, es la fracción de período, o tiempo, que transcurre desde el punto de referencia y el punto cero de la onda, más próximo a dicha referencia. Se denominan puntos cero de una onda a los puntos de la función que toman el valor medio de la misma, o bien cero en ondas simétricas tal como se muestra en la figura 3.11, y que presentan a su vez pendiente positiva. Ángulo de fase se denomina a la fase expresada en radianes (rad), o en grados (º), a

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través de la pulsación.

Figura 3.11.- Fase de una onda sinusoidal simétrica. AMPLITUD o VALOR PICO, es el mayor valor positivo, o negativo, dentro de un ciclo o período. - Para una onda sinusoidal, por ejemplo i(t) = Imax sen(ωt), el valor de pico será Imax VALOR DE PICO A PICO, es la diferencia algebraica entre el mayor valor positivo y el mayor valor negativo dentro de un período. - Para la onda sinusoidal del ejemplo anterior i(t) = Imax sen(ωt), el valor de pico a pico valdrá 2Imax VALOR MEDIO, es el valor promedio integral de la onda en un período. Para una onda periódica y(t) de período T viene expresado por: Y med -

=

1 T

T

∫

y(t) dt

0

Para una onda sinusoidal, por ejemplo i(t) = Imax sen(ωt), el valor medio es nulo.

I med

=

1 2π

2π

³

I max sen (wt) d(wt) = 0

0

VALOR EFICAZ (RMS o rms, Root Mean Square), es la raíz cuadrada de la media cuadrática de la función. Su valor, para una onda y(t) de período T, viene dado por: Y =

1 T

T

∫

2 y (t) dt

0

Su justificación es la siguiente: Considérese una resistencia R por la que circula una corriente i(t), función periódica de período T. Por efecto de la corriente, la resistencia disipa una potencia instantánea p(t), que 2

viene dada por: p(t) = R i (t). El valor medio de la función periódica p(t), o potencia media, se calculará como:

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P med =

1 T

T

∫

p(t) dt =

0

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1 T

T

∫

R i 2(t) dt

0

Por otra parte, considerando la misma resistencia R se calcula la corriente constante I que debe circular por ella para que disipe la misma potencia que con la corriente periódica, es decir, que la potencia media sea la misma que la calculada para i(t). Así se tendrá que: T

P med

1 = R I = ∫ R i 2(t) dt T0 2

A este valor de la intensidad de corriente continua, que hace disipar la misma potencia que la potencia media disipada por la corriente i(t), se denomina valor eficaz de i(t). -

Para una onda sinusoidal, por ejemplo i(t) = Imax sen(ωt), el valor eficaz viene dado por:

1 I = 2π

2π

2

³ 0

I max

2

1 sen ( ωt) d( ωt) ; I = 2π 2

2

2π

³

2

I max (

0

1 cos (2 ω t) ) d( ωt) ; I = I max 2 2 2

FACTOR DE AMPLITUD, de una onda se le denomina a la relación entre el valor de pico y el valor eficaz de dicha onda. - Para la onda sinusoidal i(t) = Imax sen(ωt):

I max = I

2 = 1,414

FACTOR DE FORMA, de una onda se define como la relación entre el valor eficaz y el valor medio de dicha onda. Cuando el valor medio de la onda es nulo, como en el caso de las ondas sinusoidales, se suele tomar como valor medio el correspondiente a la onda doblemente rectificada.

Figura 3.12.- Onda senoidal simétrica. - Para una onda sinusoidal, por ejemplo i(t) = Imax sen(ωt), se verifica que: I med = 0 Por tanto, el factor de forma no sería representativo. Es por ello, por lo que se calcula el factor de forma en base al valor medio de la onda doblemente rectificada. Se define la ONDA RECTIFICADA, de una onda alternada simétrica figura 3.12, como aquella en que se hacen cero los valores (lóbulos) negativos de la función original, tal como se muestra en la figura 3.13 para la onda senoidal. El valor medio de la onda rectificada viene dado por: I med =

π I 1 I max sen(ωt ) d (ωt ) = max ³ π 2π 0

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Figura 3.13.- Onda sinusoidal rectificada. Se define la onda DOBLEMENTE RECTIFICADA, de una onda alternada simétrica, como aquella en la que se hacen positivos (cambio de signo) los valores negativos de la función original, tal como se muestra en la figura 3.14 para la onda senoidal. El valor medio de la onda rectificada viene dado por:

I med =

π 2I 1 I max sen(ωt ) d (ωt ) = max ∫ π0 π

Figura 3.14.- Onda sinusoidal doblemente rectificada. Teniendo en cuenta este último valor medio, se tiene, para el factor de forma de la onda senoidal:

Factor de forma =

I

/ 2 = I max = 1,11 I med 2 I max / π

ANÁLISIS DE LAS FORMAS DE ONDA POR EL MÉTODO DE FOURIER Los armónicos son corrientes, o tensiones, generadas por elementos activos o pasivos no lineales, que distorsionan las ondas sinusoidales puras. Las frecuencia de los armónicos son múltiplos de la frecuencia fundamental de la alimentación.

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El teorema de Fourier permite expresar cualquier función periódica como suma de un número finito o infinito de funciones sinusoidales. El error cometido, finito, puede ser tan pequeño como se quiera. Esto permite reducir el estudio de las funciones periódicas al de las funciones sinusoidales. Las respuestas de los circuitos lineales sometidos a excitaciones no sinusoidales se podrán determinar aplicando el teorema de Fourier, resolviendo para cada onda sinusoidal el problema lineal y aplicando el principio de superposición al conjunto de respuestas lineales. Toda onda periódica, es decir, que verifique que: f(t) = f (t + n T ) siendo n un número entero positivo y T el período, puede expresarse en serie de Fourier siempre que: 1.- La función tenga un número finito de discontinuidades en el período T, si es discontinua. 2.- El valor medio de la función, en el período, sea finito. 3.- La función tenga un número finito de máximos positivos y negativos. La serie de Fourier puede escribirse en forma trigonométrica como:

f(t) = a0 +

∞

∑( a

n

cos(n w0 t) + b n sen(n w0 t))

n=1

siendo, ω0 = 2 π / T, es la pulsación fundamental, relacionada con el período T de la función. a0, an, y bn son constantes a determinar que dependen de n y de f(t). El proceso de determinación de las constantes se denomina análisis de Fourier. Dicho valor se obtiene de las siguientes expresiones:

a0 = an = bn =

1 T

T

2 T

T

2 T

T

∫ f(t) dt 0

∫

f(t) cos (n w0 t) d( w0 t)

0

∫

f(t) sen (n w0 t) d( w0 t)

0

El término a0 corresponde al valor medio de la función y por tanto, al ser de frecuencia cero, a la componente de corriente continua, o de frecuencia cero, de la función periódica. Ciertos tipos de simetrías asociadas a las formas de onda hacen que el desarrollo de Fourier de las mismas contengan únicamente términos de un tipo, es decir, sólo términos en seno, o bien sólo armónicos impares, etc. Conocidas las simetrías de la onda en análisis, se simplifican los cálculos de los coeficientes del desarrollo. FUNCIÓN PAR, es aquella que verifica f(t) = f(-t), figura 3.11. El desarrollo sólo tiene términos en coseno. Por otra parte, la suma de dos funciones pares es una función par y la suma de una constante mantiene la función par.

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Figura 3.11.- Función par. FUNCIÓN IMPAR, es aquella que cumple f(t) = -f(-t), figura 3.12. El desarrollo sólo posee términos en seno. La suma de dos o más funciones impares es una función impar. La suma de una constante a una función impar destruye la condición.

Figura 3.12.- Función impar. SIMETRÍA DE SEMIONDA, surge cuando la función verifica que f(t) = -f(t+T/2), figura 3.13. El desarrollo sólo tiene términos impares. Si además la función es; Par, sólo tiene términos impares en coseno el desarrollo. Impar, solo tiene términos impares en seno el desarrollo. Este tipo de funciones aparece frecuentemente como respuesta de los elementos electrónicos cuando actúan con fuentes sinusoidales.

Figura 3.13.- Simetría de semionda.

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Los términos seno y coseno de la misma pulsación se pueden combinar para formar un único término con un ángulo de fase. Así, en forma más genérica se puede poner: f(t) = c0 +

∞

∑c n=1

o bien: f(t) = c0 +

∞

∑c

n

n

cos (n ω0 t - θ n )

sen (n ω 0 t + φ n ) , siendo c0 = a0 el término de corriente continua, y los restantes

n=1

2 2 a n + b n y θ n = arctg (

parámetros: cn =

bn ) an

a φ n = arctg ( n ) bn

por tanto, cn es el valor máximo de la función correspondiente al armónico n-ésimo y θn ó φn son los ángulos de fase del armónico n-ésimo cuando se expresan en funciones coseno o seno, respectivamente. Para una onda periódica expresada por: f(t) = c0 +

∞

∑c

n

sen (n ω 0 t + φ n )

n=1

el VALOR MEDIO viene dado por: F med = c0

y el VALOR EFICAZ por: F ef =

2 c0 +

1 2 1 2 c1 + c 2 + ... 2 2

En la expresión del desarrollo en serie de senos de Fourier se puede reagrupar separando el armónico fundamental de los restantes, así: f(t) = c0 + c1 sen ( ω 0 t + φ 1 ) +

∞

∑c

n

sen (n ω 0 t + φ n )

n=2

Se define DISTORSIÓN (o factor de distorsión), THD ( Total Harmonic Distortion ), a la relación entre el valor eficaz de la componente fundamental y el valor eficaz del conjunto de armónicos. Por tanto, su expresión será: THD =

c1 n

∑c

2 n

n =1

supuesto C0 = 0, es decir, una onda simétrica alternada. Con presencia de armónicos, el denominador es mayor que el numerador y por tanto el factor de distorsión es menor que la unidad, como sucede con el factor de potencia, que se verá posteriormente. Este factor de distorsión da una idea de lo apartada que se encuentra una onda periódica de la forma sinusoidal ya que muestra la existencia, o no, de armónicos. Se ha de recordar que las ondas sinusoidales sólo contienen el armónico fundamental. Por tanto, los límites del factor de distorsión serán, uno para ondas sin distorsión, y cero para las ondas muy distorsionadas con armónico fundamental despreciable.

ESPECTRO DE LÍNEAS Se llama así a la representación gráfica en la que figuran uno de los parámetros del desarrollo en función de la frecuencia o pulsación, figura 3.14. Cuando se representan las amplitudes de los armónicos se denomina ESPECTRO DE AMPLITUDES (o VALORES EFICACES), y cuando se representan las fases de cada uno de los armónicos ESPECTRO DE FASES.

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Figura 3.14.- Espectro de amplitudes. Espectro de fases. (Onda cuadrada). SÍNTESIS DE ONDAS La síntesis de las ondas es la recombinación de los armónicos correspondientes a una onda dada para reproducir dicha onda original. Dado que el desarrollo de Fourier tiene infinitos términos y la síntesis se hace con un número discreto de armónicos, la recomposición será aproximada. Normalmente, para las formas de onda de la Electrotecnia de potencia, la utilización de los cuatro o cinco primeros armónicos es suficiente para una reconstrucción adecuada de la onda original. Una onda cuadrada alternada, de amplitud Vm, tiene una serie de Fourier de armónicos impares dada por:

v ( t )=

1 1 4V m    cos ω 0 t - cos 3 ω 0 t + cos 5 ω 0 t + ...  3 5 π  

su representación corresponde a la figura 3.15, en la que se muestran estos tres primeros armónicos y la composición del primer y tercer armónico.

Figura 3.15.- Síntesis de una onda cuadrada.

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RESUMEN ONDAS PERIÓDICAS: y ( t ) = y ( t + n T ) T

Valor medio : Ymed

1 = ³ y (t ) dt T0

Valor eficaz : Y 2 =

1 T

T

³y

2

( t )d t

0

ONDAS SINUSOIDALES: y ( t ) = Y 0 + Y max sen ( ω t )

Valor medio : Y med = Y 0 2

Valor eficaz : Y = Y 02 + Y max 2 ONDAS SINUSOIDALES SIMÉTRICAS: y ( t ) = Y max sen ( ω t )

Valor medio : Y med = 0 Valor eficaz : Y = Y max 2 ONDAS NO SINUSOIDALES: y ( t ) = a0 +

∞

∑(a

n=1

n

cos ( n ω 0 t ) + bn sen ( n ω 0 t ) )

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CAPÍTULO 4 TENSIONES Y CORRIENTES SENOIDALES INTRODUCCIÓN En este capitulo se estudian los fundamentos necesarios para el conocimiento y práctica de la corriente alterna. Se introducen algunas definiciones inherentes a las ondas sinusoidales. Se continua con el estudio del comportamiento de los elementos pasivos y electrónicos cuando son utilizados con corrientes senoidales. Se introduce las representación fasorial y el concepto de impedancia y admitancia.

ORIGEN DE TIEMPOS Cuando se analiza la respuesta de un circuito de corriente alterna, en régimen estacionario, es necesario tener en cuenta el origen de tiempos de las funciones temporales, a no ser que se incluya con los datos del problema. Fijar el origen de tiempos es establecer el origen del eje de abcisas, o de tiempos, en un punto determinado de la representación de una de las múltiples ondas senoidales que aparecen en todo circuito eléctrico excitado por fuentes de tensión y de corriente sinusoidales.

Figura 4.1.- Puntos cero de una onda sinusoidal.

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Establecido el origen de tiempos, las expresiones matemáticas de todas las ondas sinusoidales vendrán referidas a dicho origen, ya que es único para todas las funciones temporales del circuito. Se puede decir que, fijado un origen de tiempos, éste es único para todo el circuito. En general, se recomienda tomar como origen de tiempos el punto de la onda que más simplifique la posterior resolución del problema y que dependerá en cada caso de la configuración del circuito. Pueden darse, de antemano, algunas recomendaciones para su elección. Es aconsejable tomar como origen de tiempos uno de los puntos cero de cualquiera de las ondas. Se entiende por punto cero, ver figura 4.1., aquel en el cual la función senoidal vale cero y se hace positiva. ÁNGULO DE FASE Y DIFERENCIA DE FASES La expresión matemática de una onda senoidal con origen de tiempos en un punto cero viene dada por:

y(t) = Y max sen ( ωt) siendo y(t) el valor instantáneo de la función, Ymax el valor máximo, pico o amplitud de la función, ω la pulsación o velocidad angular y t el tiempo. Su representación es la de la figura 4.2.

Figura 4.2.- Origen de tiempos en un punto cero. Elegido

el

anterior

origen

de

tiempos,

la

expresión

genérica

de

otra

onda

senoidal

es:

x(t) = X max sen ( ωt + φ ) siendo φ la fase, o ángulo de fase, de la onda x(t), o diferencia de fase entre x(t) e y(t) (referido al origen de tiempos seleccionado). La representación de ambas ondas es la de la figura 4.4.

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Figura 4.4.- Ángulo de fase. Desfase. Se dice que una onda adelanta a otra, cuando el tiempo en que alcanza su valor máximo la primera onda es anterior al de la segunda.

Figura 4.4.- Ángulo de fase. Desfase. En el caso anterior, la onda x(t) adelanta a la onda y(t) en un ángulo φ, o lo que es lo mismo, la onda y(t) está retrasada un ángulo φ respecto a la onda x(t). El adelanto, o retraso, de las ondas se puede también expresar en tiempo sin más que aplicar la expresión t = φ°/ f x 360°, siendo f la frecuencia en hercios. Si se toma cualquier otro punto cero de la onda x (t) como referencia, tal como se muestra en la figura 4.4, la función tendrá una expresión diferente. Tomando como origen de referencia el punto cero de la izquierda, más alejado del origen, se tiene que:

x ( t ) = X max sen ( ω t + 2 π + φ ) => x ( t ) = X max sen ( ω t + φ ) Si se toma como origen de referencia el punto cero de la derecha se obtendrá que:

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x ( t ) = X max sen [ ω t - ( 2 π - φ ) ] => x ( t ) = X max sen ( ω t + φ )

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Por tanto, la fase de la onda senoidal es independiente de la elección del punto cero seleccionado. Por ello, a la hora de establecer la fase de una onda, es mejor tomar el punto cero más próximo al origen de tiempos.

Figura 4.5.- Desfase y diferencia de fases. Si las ondas a comparar no tienen ángulos de fase cero, es decir que sus expresiones matemáticas son del tipo: x(t) = X max sen ( ωt + φ )

z(t) = Z max sen ( ωt - θ )

el ángulo α diferencia entre φ y θ se denomina diferencia de fase ( α = φ - θ ), como se muestra en la figura 4.5. Como la función x(t) alcanza su valor máximo antes que la función z(t), se dice que x(t) adelanta a z(t) un ángulo α, o bien que z(t) está retrasada respecto de x(t) el citado ángulo. UNIDADES Los valores: instantáneo, máximo y eficaz, de una onda senoidal se expresan en las mismas unidades que la magnitud física que representa dicha onda. Así, para la función i(t) = Imax sen ( ω t + θ ) que representa un corriente alterna, i(t), Imax e I, se expresarán en amperios. La velocidad angular ω, o pulsación, se expresa en radianes por segundo y, al dimensionarse t en segundos, ωt se vendrá dado en radianes. Como ωt se proporciona en radianes, el ángulo de fase debería darse en radianes, sin embargo suele indicarse en grados con el fin de facilitar las operaciones, como se verá posteriormente. Si en algún caso es necesario calcular el valor instantáneo de la función, será necesario o bien transformar ωt en grados o bien la fase en radianes.

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CIRCUITO PURAMENTE RESISTIVO Se trata de calcular la tensión que aparece en los extremos de una resistencia R pura, o ideal, figura 4.6, cuando es recorrida por una corriente senoidal.

Figura 4.6.- Circuito resistivo puro. Se toma como origen de tiempos el instante en que la corriente pasa por un punto cero. Su expresión matemática será entonces: i(t) =

2 I sen ( ωt)

siendo I el valor eficaz de la onda de corriente. Teniendo en cuenta que: v R (t) = R i(t) , se obtiene: v R (t) =

2 R I sen ( ωt)

La tensión en los extremos de una resistencia pura está en fase con su corriente, tal como se muestra en la figura 4.7.

Figura 4.7.- Representación de vR(t) e i(t). Si se llama VR al valor eficaz de la función vR(t), se verifica que:

VR = R I es decir que entre el valor eficaz de la tensión entre los extremos de una resistencia pura y el de su corriente se verifica la LEY DE OHM.

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Si la corriente que circula por la resistencia es de la forma: i(t) = la tensión en sus extremos valdrá: v R (t) =

2 I sen ( ωt + α )

2 R I sen ( ωt + α )

Por tanto, en una resistencia pura siempre se verifica que la tensión y corriente están en fase. CIRCUITO PURAMENTE INDUCTIVO

El cálculo de la tensión entre los extremos de una bobina pura, o ideal, de autoinducción L, figura 4.8, cuando circula por ella una corriente senoidal de la forma: i(t) =

2 I sen ( ωt)

Figura 4.8.- Circuito inductivo puro.

se establece teniendo en cuenta que: v L (t) = L y, por tanto, se obtiene: v L (t) = pasando a función seno: v L (t) =

di(t) dt

2 ( L ω ) I cos ( ωt) 2 ( L ω ) I sen ( ωt + 90° )

La tensión en los extremos de una bobina pura adelanta 90º a la corriente, o bien, la corriente está retrasada 90º respecto de la tensión, como se muestra en la figura 4.9.

Figura 4.9.- Representación de vL(t) e i(t).

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Llamando VL al valor eficaz de la onda v(t), se verifica que: V L = ( L ω )

L [

I

V .s V rad ] ⇒ L ×ω [ ] ;ω [ ] = [ Ω ] A A s

El producto ωL puede ser comparado, dimensionalmente, a una resistencia. pero con la particularidad de que la tensión y la corriente están desfasados 90º entre sí. A este producto se le denomina reactancia, y por tratarse de una bobina se la designa como reactancia inductiva y se representa simbólicamente por XL. Por definición de reactancia inductiva se tiene que: X L = L × ω = L × 2 × π × f por tanto, el valor de la reactancia inductiva depende de la frecuencia. Expresando las relaciones anteriores en función de los valores eficaces de las ondas se puede escribir:

VL = XL × I expresión que representa la LEY DE OHM para una bobina. Si la corriente que circula por la bobina es de la forma: i(t) = como, v L (t) = L

d i(t) , se tiene que: v L (t) = dt

2 I sen ( ωt + α )

2 X L I sen ( ωt + α + 90° )

es decir, en una bobina pura, o ideal, se verifica siempre que la tensión entre sus extremos está adelantada 90º respecto de su corriente. Este hecho es muy útil a la hora de elegir el origen de tiempos, ya que si se toma como éste el instante en que la corriente pasa por un punto cero, la fase de ésta será cero y la correspondiente a la de la tensión será de 90º.

CIRCUITO PURAMENTE CAPACITIVO El cálculo de la tensión entre los extremos de un condensador ideal o puro, de capacidad C, figura 4.10, cuando por él circula una corriente senoidal, se puede establecer de la siguiente forma.

Figura 4.10.- Circuito capacitivo puro.

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Para una corriente dada por la función: i(t) = teniendo en cuenta que: vC (t) = se tiene que: vC (t) =

2 (

2 I sen ( ωt)

1 ∫ i(t) dt C

1 ) I [ - cos ( ωt) ] C ω

pasando a función seno: vC (t) =

2 (

1 ) I sen ( ωt - 90° ) C ω

La tensión entre los extremos de un condensador puro retrasa 90º respecto de la corriente que lo atraviesa, o bien, la corriente adelanta 90º respecto de la tensión, como se muestra en la figura 4.11.

Figura 4.11.- Representación de vC(t) e i(t).

Llamando VC al valor eficaz de la onda vC(t) se verifica: V C = (

1 ) I C ω

El factor 1/ωC puede ser comparado a una resistencia, pero con la peculiaridad de que la tensión y la corriente están desfasadas 90º entre sí, figura 4.11. Este factor toma el nombre de reactancia y, por presentarse en los condensadores y con el fin de diferenciarla de la reactancia inductiva, se califica como reactancia capacitiva, representándose por XC. Por definición de reactancia capacitiva se tiene que: X C = (

1 1 )=( ) C ω C × 2×π × f

por tanto, el valor de la reactancia capacitiva depende de la frecuencia. Teniendo en cuenta las expresiones anteriores se puede establecer la siguiente relación entre los valores eficaces de las ondas de tensión y corriente:

VC = XC I expresión que representa la LEY DE OHM para un condensador puro.

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Si la corriente que circula por el condensador es de la forma: i(t) = la tensión vendrá dada por: vC (t) =

2 I (

2 I sen ( ωt + α )

1 ) I sen ( ωt + α - 90° ) C ω

así, en un condensador puro siempre se verifica que la tensión entre sus extremos está retrasada 90º respecto de la corriente que lo atraviesa. Como en el caso de la bobina, el hecho de conocer el desfase entre tensión y corriente es muy útil a la hora de elegir el origen de tiempos de las ondas, ya que si se toma origen un punto cero de la onda de corriente la fase de ésta será nula y la de la tensión será de - 90º. REPRESENTACIÓN VECTORIAL - FASORIAL DE LAS ONDAS ELÉCTRICAS En cualquier circuito eléctrico aparece una multitud de ondas senoidales correspondientes a tensiones y corrientes con amplitudes y fases distintas. La representación de estas funciones, amplitud función del tiempo, se convierte en un proceso tedioso cuyo resultado es un sinnúmero de gráficas, todas ellas senoidales, cuya falta de claridad no permite un fácil análisis del comportamiento del circuito. Conviene disponer de un método de representación sencillo y claro. El método utilizado es la representación vectorial - fasorial, figura 4.12, que consiste en asignar a cada onda un vector que tenga: 1.- Por módulo, el valor máximo de la onda en el caso de representación vectorial, o el valor eficaz de la onda para la representación fasorial. 2.- Por argumento, la fase de la onda medida a partir del origen de tiempos y con signo positivo en el sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj.

Figura 4.12.- Diagrama vectorial. Tanto los vectores como los fasores se representan por una letra mayúscula con un guión en la parte superior. Así por ejemplo, para el valor instantáneo de una tensión dada por:

v (t) = 2 V sen ( ω t + α ° ) ( V )

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su vector o fasor se representará por , siendo su valor máximo √ V, su valor eficaz V y su fase α. El vector y fasor correspondientes viene dado por:

Vector ⇒ V = 2 V ∠ α ° ( V ) Fasor ⇒ V = V ∠ α ° ( V ) Es muy importante tener presente que todas las funciones de onda que se representen han de tener la misma velocidad angular ω, o pulsación o frecuencia f, ya que la representación vectorial-fasorial es una congelación en el tiempo de estos vectores giratorios. Para que esta detención del tiempo sea independiente del instante en que se realice (origen de tiempos), todos los vectores han de girar a la misma velocidad angular y, por tanto, las funciones temporales de las que provienen han de tener la misma frecuencia.

Figura 4.12.A.- Formas de onda sin origen de tiempos. Dos ondas sinusoidales i (t) y v (t, φ) desfasadas un ángulo φ, sin un origen de tiempos no tienen una representación fija, serán dos vectores girando a una velocidad angular ω. La representación de las ondas sin un origen de tiempos no está definida, tal como se muestra en la figura 4.12.A. Lo mismo sucede con el diagrama vectorial que no está definido y su representación sería de la forma mostrada en la figura 4.12.B.

Figura 4.12.B.- Diagrama fasorial.

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Sean las funciones de onda, correspondientes a una corriente y una tensión, siguientes:

i ( t )=

2 I sen ω t

v ( t )=

2 V sen ( ω t + α )

a las que se ha dado como origen de tiempos un punto cero de la onda de corriente. Por tanto, quedan fijadas ambas formas de onda, figura 4.12.C. y su correspondiente diagrama fasorial, figura 4.12.D.

Figura 4.12.C.- Formas de onda con origen de tiempos en t = 0. Los fasores representantes de dichas formas de onda, con el origen de tiempos seleccionado en el punto cero de la onda de la corriente, se expresan por: I = I ∠ 0° A ; V = V ∠ φ ° V

Figura 4.12.D.- Diagrama fasorial con origen de tiempos en t = 0. El origen de tiempos puede fijarse, por ejemplo, en un tiempo posterior al tomado: t1 > 0. A este tiempo le corresponde un ángulo inicial dado por: θ = ωt1 / 180º. Por tanto, las formas de onda de la tensión y de la corriente se representarán como se muestra en la figura 4.14.E y el diagrama fasorial se representará como se indica en la figura 4.12.F.

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Figura 4.12.E.- Formas de onda con origen de tiempos en t1. Los fasores correspondientes a estas dos formas de onda se expresarán como:

I = I ∠ ω t1 = I ∠ θ ° A V = V ∠ φ ° + ω t1 = V ∠ φ ° + θ ° V Pero, una vez fijado el origen de tiempos, quedan perfectamente definidos todos los fasores representativos de todas las funciones de onda del circuito en estudio.

Figura 4.12.F.- Diagrama fasorial con origen de tiempos en t1. Existe una relación biunívoca entre el punto cero seleccionado para una onda dada y su correspondiente argumento en el diagrama vectorial, pero una vez seleccionado éste el vector queda perfectamente definido. Para el origen de tiempos, punto cero (B), elegido para la onda mostrada en la figura 4.13, la función de onda y su correspondiente vector, referida a dicho origen, vendrá dada por:

x (t) = X max sen ( ω t + φ ) => X = X ∠ φ ° Sin embargo tomando como referencia el punto cero (A) la expresión será:

x (t) = X max sen [ ω t + ( 2 π + φ )

] =>

X = X ∠ 2 π +φ

o lo que es lo mismo: X = X ∠ φ tal como se muestra en el diagrama vectorial de la figura 4.14.

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Figura 4.14.- Relación entre los puntos cero y el argumento en el diagrama vectorial. Lo mismo sucede si se toma como referencia el punto cero (C), en cuyo caso la función de onda es:

x (t) = X max sen [ ω t - ( 2 π - φ )

] =>

X = X ∠ - 2 π +φ

que una vez más se puede poner como: X = X ∠ φ según se ve en la figura 4.14. Para las ondas de tensión y corriente correspondientes a los elementos pasivos se tendrán las siguientes representaciones, considerando el origen de tiempos en la corriente. CIRCUITO PURAMENTE RESISTIVO

i(t) = v R (t) =

2 I sen ( ωt) => I = I ∠0° ( A ) 2 R I sen ( ωt) => V R = R I ∠0° ( V )

CIRCUITO PURAMENTE INDUCTIVO

i(t) = v L (t) =

2 I sen ( ωt) => I = I ∠0° ( A ) 2 (L ω ) I sen ( ωt + 90° ) => V L = (L ω ) I ∠90° = X L I ∠90° ( V )

CIRCUITO PURAMENTE CAPACITIVO

i(t) = vC (t) =

2 I sen ( ωt) => I = I ∠0° ( A ) 2 (

1 1 ) I sen ( ωt - 90° ) => V C = ( ) I ∠ - 90° = X C I ∠ - 90° ( V ) C ω C ω

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La representación de estas ondas, que se hace para un tiempo t = 0, se muestran en la figura 4.14.

Figura 4.14.- Representación vectorial de circuitos ideales resistivos, inductivos y capacitivos. Hay que resaltar un hecho muy importante que es el desfase máximo entre tensión y corriente para un elemento pasivo de un circuito. En el diagrama se observa que el desfase máximo entre tensión y corriente, tomando ésta última como origen de tiempos, para un elemento pasivo es de + 90º ó - 90º, en adelanto o retraso, para una bobina o un condensador respectivamente. Por tanto, no existe ninguna combinación de elementos pasivos que dé como resultado desfases entre tensión y corriente mayores que los indicados. SUMA DE TENSIONES Y CORRIENTES SINUSOIDALES A la hora de aplicar las Leyes de Kirchhoff a un circuito, para determinar las tensiones y corrientes en sus elementos, es necesario realizar operaciones matemáticas, entre otras, suma de funciones senoidales. Existen dos métodos largos y engorrosos para realizar estas sumas, estos son o bien la representación gráfica de las funciones y posterior suma punto a punto de las mismas para obtener la resultante, o bien la realización de la suma de forma analítica mediante transformaciones trigonométricas. Un método más sencillo resulta de la aplicación de la representación vectorial y el álgebra de los números complejos. Se desea sumar las dos ondas siguiente: e1 (t) =

2 E 1 sen ( ωt + α 1 ) ; e2 (t) =

2 E 2 sen ( ωt + α 2 )

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siendo E1 y E2 los valores eficaces de las ondas, α1 y α2 sus fases y ω la velocidad angular o pulsación. Para que sea válido el proceso de suma es imprescindible que las ondas sean de la misma frecuencia o pulsación. Si en un mismo circuito existiesen fuentes con distintas frecuencias o pulsaciones, será necesario aplicar el Principio de Superposición, que se estudiará posteriormente, dada la linealidad de los circuitos. La representación vectorial de las dos ondas es la de la figura 4.15, referida a un tiempo t = 0.

Figura 4.15.- Representación vectorial para t = 0. Para un tiempo posterior t1, se verá el diagrama girado, en sentido antihorario, un ángulo igual a ωt1 radianes, tal como se representa en la figura 4.16.

Figura 4.16.- Representación vectorial para t = t1. La proyección sobre el eje de ordenadas de estos vectores es, para el instante t1:

2 E 1 sen ( ω t 1 + α 1 ) ;

2 E 2 sen ( ω t 1 + α 2 )

es decir, los valores instantáneos de las ondas senoidales son iguales a las proyecciones, sobre el eje de ordenadas, del correspondiente vector. En el caso de existir varios vectores girando, correspondientes a varias ondas, como todos giran a la misma velocidad, misma frecuencia o pulsación, si se para el giro en un instante determinado, origen de tiempos, se

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podrá estudiar lo que sucede a todas las ondas en ese instante.

Figura 4.17.- Suma vectorial. Si se suman los dos vectores, para un tiempo t = 0, figura 4.17, y se establece su proyección sobre el eje de ordenadas se obtiene: | OF | sen ( α ) = 2 E 1 sen ( α 1 ) + 2 E 2 sen ( α 2 ) como: | OF | sen ( α ) = e ( 0 ) se tiene que: e ( 0 ) = e1 ( 0 ) + e2 ( 0 ) para un tiempo genérico t, la expresión anterior vendrá dada por: e(t) = e1 (t) + e2 (t) = | OF | sen ( ωt + α ) El cálculo de y de α puede hacerse de múltiples maneras, geométricamente, sumas algebraicas de las proyecciones de los vectores y , etc. La forma más cómoda de sumar es asignar a cada vector el número complejo correspondiente a su extremo, cuando se toma como eje de abcisas el eje real y el eje de ordenadas como eje imaginario, como se muestra en la figura 4.18.

Figura 4.18.- Representación de la suma vectorial.

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Así al vector le corresponde el número complejo: y el vector por:

2 E 2 ∠α 2 =

2 E1 ∠ α 1 =

2 E 1 ( cos α 1 + j sen α 1 )

2 E 2 ( cos α 2 + j sen α 2 )

NOTA: La unidad imaginaria se representa por j, para distinguir la i como símbolo de la corriente. La suma entre ambos vectores vendrá dada como:

OF ∠α =

2 [( E 1 cos α 1 + E 2 cos α 2 ) + j ( E 1 sen α 1 + E 2 sen α 2 )]

en forma módulo argumental:

OF ∠α =

2

E sen α 1 + E 2 sen α 2 2 2 ( E 1 cos α 1 + E 2 cos α 2 ) + ( E 1 sen α 1 + E 2 sen α 2 ) ∠arctg 1 E 1 cos α 1 + E 2 cos α 2

Como ya se ha indicado, cuando se le asigna al módulo de los vectores los valores eficaces correspondientes, pasan a denominarse fasores. Si se quiere calcular, a partir del fasor, el valor instantáneo de la onda, sólo es necesario multiplicar el valor eficaz por √2, y añadir la función seno con la fase correspondiente al argumento del complejo. La elección del origen de tiempos es arbitraria pero suele ser más conveniente fijar el instante en el que una de dichas ondas es cero. En la figura 4.19 se muestra la representación vectorial de la figura 4.18 para dos orígenes de tiempo distintos.

Figura 4.19.- Representaciones vectoriales para dos orígenes de tiempo distintos. Estos diagramas, en los que se representan la tensiones y/o corrientes, se denominan DIAGRAMAS

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VECTORIALES, figura 4.19. Son muy útiles, sobre todo a la hora de establecer desfases entre distintas ondas, y los adelantos o retrasos de las mismas. Cuando en vez de representar vectores se representan fasores, los diagramas pasan a denominarse DIAGRAMAS FASORIALES. CONCEPTO DE IMPEDANCIA Y DE ADMITANCIA Con la representación fasorial de las ondas senoidales, el algebra de los numeros complejos y el concepto de impedancia, se pueden resolver los circuitos de corriente alterna senoidal con cargas lineales, de una forma muy simple, similar a la de los circuitos de corriente continua. En los circuitos de corriente continua, en los que el único elemento pasivo es la resistencia, se verifica la LEY DE OHM. Ésta establece la relación existente entre tensión, corriente y resistencia, que se puede escribir de las siguientes formas: En epígrafes anteriores se indicó la existencia de una relación entre los valores eficaces de las tensiones y corrientes en los elementos pasivos R, L y C. Estas relaciones no son más que la LEY DE OHM expresada para dichos elementos. Así se obtuvo que: V R = R I ; V L = X L I ; V C = X C I siendo R, XL y XC, la resistencia, la reactancia inductiva y la reactancia capacitiva respectivamente. Se denomina IMPEDANCIA DE UN CIRCUITO, parte o elemento del mismo, " al operador vectorial por el que hay que multiplicar el fasor corriente, que circula por el mismo, para obtener el fasor tensión, entre sus extremos ". La impedancia se representa por la letra Z y de su definición se tiene que:

Z =

VZ V ;VZ = Z I ; I = Z I Z

Estas expresiones definen la LEY DE OHM para corriente alterna. Tanto

como

son números complejos, cuyo cociente es también un número complejo pero que no

representa ninguna onda senoidal ni tampoco un fasor en el sentido de e , sino que representa un operador vectorial con sentido físico.

Figura 4.18.- Representación de una impedancia genérica. La impedancia Z, como número complejo que es, representa elementos pasivos agrupados en serie. Hay que hacer notar que la impedancia, tanto su módulo como su argumento, depende de la pulsación o

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frecuencia de la corriente que circula por ella, a través del valor de la reactancia. Recordar que la reactancia inductiva aumenta con la pulsación o frecuencia, mientras que la reactancia capacitiva disminuye. Dado que la impedancia viene dada como un cociente entre una tensión y una corriente, su unidad de medida será el ohmio, cuando la tensión se exprese en voltios y la corriente en amperios. Se define como ADMITANCIA DE UN CIRCUITO, y se representa por Y, a la inversa de la impedancia. La unidad de medida, que corresponde a 1/Ω, se denomina Siemens.

Figura 4.19.- Representación genérica de una admitancia. La admitancia representa una agrupación en paralelo de elementos pasivos, y como la impedancia, su valor depende de la frecuencia a través de la pulsación de la tensión y de la corriente. La admitancia, figura 4.19., se puede expresar como:

Y = G - B j G, que representa la inversa de la resistencia, se denomina conductancia (permitancia), y su unidad de medida es el siemens (S = 1/Ω). B, que representa la inversa de la reactancia, se denomina susceptancia, y su unidad de medida también es el siemens (S). La relación entre la admitancia y la impedancia se puede poner de manifiesto considerando tres elementos pasivos en paralelo; una resistencia, una reactancia inductiva y una reactancia capacitiva, tales como los mostrados en la figura 4.20.

Figura 4.20.- Circuito R, L, C en paralelo.

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De la combinación de ambos, se puede poner que:

1 1 1 1 = + + Z R j XL - j XC Y =

1 1 1 - j ( )= G - j B R XL XC

por tanto, al contrario de lo que sucede con las impedancias, la admitancia inductiva tiene la parte imaginaria, correspondiente a la susceptancia, negativa. La susceptancia capacitiva tiene signo positivo. Como aplicación, se calculan las componentes de las impedancias y admitancias correspondientes a los elementos pasivos.

•

En el estudio de la resistencia ideal se obtuvo para la corriente: i(t) =

el valor de la tensión: v R (t) =

2 I sen ( ωt) => I = I ∠0°

2 R I sen ( ωt) => V R = R I ∠0°

por tanto, la impedancia de una resistencia vendrá dada por: Z =

I R ∠0° = R ∠0° = R + j 0 I ∠0°

es decir, la impedancia de una resistencia sólo tiene parte real, siendo ésta el valor de la propia resistencia. La admitancia, dada por la inversa de la impedancia, valdrá: Y =

1 1 1 = = =G Z R+ j 0 R

es decir, sólo tiene parte real y su valor es el de la conductancia o inversa de la resistencia. •

Para una bobina ideal por la que circula una corriente como la del caso anterior la tensión entre sus extremos viene dada por: v L (t) =

2 ( ωL) I sen ( ωt + 90° ) => V L = ( ωL) I ∠90°

luego la impedancia de una bobina será: Z =

( ωL) I ∠90° = ( ωL) ∠90° = 0 + j ( ωL) = 0 + j X L I ∠0°

de donde se verifica que, la impedancia de una bobina únicamente tiene parte imaginaria, y su valor es el de su reactancia inductiva. La admitancia se expresará por: Y =

1 1 =- j = - j BL 0+ j X L XL

sólo tiene parte imaginaria y su valor es la susceptancia inductiva o inversa de la reactancia, con signo negativo por tratarse de una bobina. •

Por último, para un condensador ideal por el que circula la misma corriente que en los casos anteriores, la tensión entre sus extremos se expresa por:

vC (t) =

2

1 1 I sen ( ωt - 90° ) => V C = I ∠ - 90° ωC ωC

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1 ∠ - 90° I 1 1 C ω ∠ - 90° = 0 - j = =0 - j XC su correspondiente impedancia será: Z = I ∠0° ω C ω C así, la impedancia de un condensador sólo tiene parte imaginaria, y su valor es el de su reactancia capacitiva con signo menos. La admitancia que vendrá dada por: Y =

1 1 =+ j = j BC 0- j XC XC

sólo tiene parte imaginaria y su valor es la susceptancia capacitiva, inversa de la reactancia capacitiva, con signo positivo. A la vista de todo lo anterior, cuando se tenga una impedancia de la forma r + j x, la parte real corresponderá a una resistencia de valor r ohmios y la parte imaginaria, si es positiva a la reactancia inductiva de una bobina y si es negativa a la reactancia capacitiva de un condensador de valor x ohmios. Así mismo, una admitancia de la forma g + j b, la parte real corresponderá a una conductancia de g siemens y la parte imaginaria a una susceptancia, dada en siemens, que si es negativa corresponde a una bobina y si es positiva a un condensador. COMPOSICIÓN DE IMPEDANCIAS Y ADMITANCIAS La agrupación serie de impedancias se realiza como si de resistencias en corriente continua se tratase. Así la m

suma de m impedancias conectadas en serie vendrá dado por la expresión: Z serie =

∑Z

n

n=1

La agrupación en paralelo de las mismas m impedancias se expresa por:

m

1

=

Z paralelo

1

∑Z n=1

n

La agrupación de admitancias, sin embargo, es de forma dual a la anterior, es decir, las admitancias en m

1

n=1

Y serie

paralelo se suman y las admitancias en serie se suman sus inversos. Y paralelo = Σ Y n ;

m

1

n=1

Yn

=Σ

Como ejemplo de aplicación se establece la impedancia y admitancias equivalentes de las agrupaciones R,L,C serie y paralelo dadas en la figura 4.21.

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Figura 4.21.- Composición de impedancias y admitancias.

Composición en serie: Z = Z R + Z L + Z C ; Composición en paralelo:

1 1 1 1 = + + Y YR YL YC

1 1 1 1 = + + ; Y = Y R +Y L +Y C Z ZR ZL ZC

REPRESENTACIÓN DE IMPEDANCIAS Dado que las impedancias vienen dadas por un número complejo cuya parte real es la resistencia y la parte imaginaria la reactancia, es posible su representación en el plano complejo, figura 4.22. Se toma como eje real, o de resistencia, el eje de abcisas de un sistema coordenado, y como eje imaginario, o eje de reactancias, el eje de ordenadas.

Figura 4.22.- Diagrama de impedancias.

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Las impedancias se representan mediante vectores cuyo origen se encuentra en el centro del sistema coordenado y cuyo extremo se sitúa en un punto del plano complejo correspondiente al primer y cuarto cuadrante. Esto es así ya que no es posible encontrar resistencias negativas y, por tanto, el semieje negativo de abcisas no se contempla. La impedancia de una resistencia pura vendrá dado por un segmento contenido en el eje real, o de abcisas, y cuya longitud es proporcional al valor de la resistencia. La impedancia de una bobina, reactancia inductiva, vendrá representada por un segmento contenido en el semieje positivo de ordenadas, con una longitud proporcional al valor de la reactancia inductiva. La impedancia de una condensador, reactancia capacitiva, se representará por un segmento contenido en el semieje negativo de ordenadas, con una longitud proporcional al valor de la reactancia capacitiva. Una impedancia cualquiera se representará tomando a partir del origen de coordenadas y sobre el eje real un segmento proporcional a la resistencia, y sobre el eje imaginario en sentido positivo en el caso de una bobina, o en el sentido negativo en el caso de un condensador, un segmento igual a la reactancia inductiva o capacitiva respectivamente, tal como se muestra en la figura 4.24. Se unen por paralelas a los ejes, los puntos extremos de dichos segmentos y el punto intersección obtenido, unido con el origen de coordenadas, proporciona la representación de la impedancia dada. La longitud del segmento es igual al módulo de la impedancia y el ángulo que forma dicho segmento con el eje de abcisas es el ángulo de impedancia, o argumento, que caracteriza a la misma ya que para ángulos positivos la impedancia es inductiva y para valores negativos la impedancia es capacitiva.

Figura 4.24.- Diagrama de una impedancia genérica.

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Como la impedancia varía con la pulsación o frecuencia, si ésta es de carácter inductivo al aumentar la pulsación o frecuencia aumenta el módulo y el argumento de la impedancia, a través del crecimiento de su reactancia inductiva. Cuando la impedancia es de carácter capacitivo, un aumento de la pulsación o frecuencia, provoca una disminución del módulo y del argumento de la misma, debido a la disminución de la reactancia capacitiva. ESTUDIO DE UN CIRCUITO SERIE R - L Como aplicación a los conceptos vistos hasta ahora, se va a estudiar un circuito eléctrico, figura 4.24, formado únicamente por una resistencia y una bobina conectados en serie, por la que se supone circula una corriente dada por: i(t) =

2 I sen ( ωt) =>

I = I ∠0°

de forma que se toma como origen de tiempos el instante que la corriente pasa por un punto cero.

Figura 4.24.- Circuito serie R - L. Las tensiones VT, VR, VL, como se muestra en la figura 4.24, representan las tensiones en los extremos del conjunto serie resistencia bobina, de la resistencia y de la bobina respectivamente. Como se ha elegido el origen de tiempos, que es único, cada una de las tensiones constará de un módulo y un argumento que serán las incógnitas a determinar. Se ha visto que las impedancias para la resistencia y la bobina vienen dadas por:

Z R = R + j 0 ; Z L = 0 + jX L aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito, se tiene que: V T = V R + V L aplicando la ley de Ohm para corriente alterna a cada uno de los elementos pasivos:

V R = (R + 0 j) I ∠0° = R I ∠0° V L = (0 + ωL j) I ∠0° = ωL ∠90° I ∠0° = ωL I ∠90° = X L I ∠90° De todo ello se deduce que:

V T = (R + 0 j + 0 + ωL j) I ∠0° = I ∠0° (R + ωL j) = I

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* La impedancia total del circuito es R + j ωL y es igual a la suma de las impedancias de cada uno de los elementos. Por tanto, las impedancias en serie se suman de igual forma que las resistencias en serie con corriente continua, como ya se indicó anteriormente.

Figura 4.25.- Diagrama fasorial del circuito serie R - L. •

Si la impedancia del circuito se expresa en forma módulo argumental se tiene:

V T = I ∠0°

2 2 R + X L ∠arc tag

XL ; VT = I R

2 2 R + X L ∠arc tag

El diagrama fasorial, figura 4.25, muestra que la tensión total

T

XL R

adelanta a la corriente un ángulo que viene

determinado por la presencia simultánea de la resistencia y la bobina. Como la tensión adelanta a la corriente, este tipo de circuito, conjunto de los elementos citados, se denomina inductivo. También se puede representar gráficamente la impedancia total del circuito Z = R + j ωL, mediante el denominado diagrama de impedancias. La representación de la impedancia, para este ejemplo es la de la figura 4.26.

Figura 4.26.- Representación de la impedancia del circuito serie R - L.

Hay que hacer notar que el argumento del complejo Z es precisamente el ángulo que la tensión adelanta a la corriente, o dicho de otra forma, el desfase entre tensión y corriente.

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La resolución del problema se puede asentar en la aplicación de la ley de Ohm: - Impedancia del circuito: Z = R + j ωL - Intensidad que circula: I = I _0° - Aplicando la ley de Ohm:

V T = I ∠0° VT = I

2 2 R + X L ∠arc tag

2 2 R + X L ∠arc tag

XL R

XL R

ESTUDIO DE UN CIRCUITO SERIE R - C Se trata de estudiar un circuito eléctrico, figura 4.27, constituido por una resistencia R conectada en serie a un condensador de capacidad C cuando circula por ellos una corriente senoidal, uno de cuyos puntos cero se tomará como origen de tiempos.

Figura 4.27.- Circuito serie R - C.

La corriente en el circuito se expresa por: i(t) =

2 sen ( ωt) => I = I ∠0°

Para este circuito la impedancia total vendrá dada como: Z = R -

1 j ωC

Por otra parte, las diferencias de potencial en cada uno de los elementos, se obtendrá aplicando la ley de Ohm a cada elemento. Así se obtiene: V R = R I ∠0° V C = para la diferencia de potencial total: V T = I ∠0° ( R - j

1 I ∠ - 90° ωC

1 )= I ωC

2 2 R + X C ∠arc tag

- XC R

La representación fasorial de las tensiones y corriente es la indicada en la figura 4.28.

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Figura 4.28.- Diagrama fasorial del circuito serie R - C. En el diagrama fasorial se observa que la tensión total

T

está retrasada respecto de la corriente un ángulo

determinado por la presencia simultánea de la resistencia y el condensador. Como la tensión está retrasada respecto de la corriente a este tipo de circuitos se los denomina capacitivos. La representación gráfica de la impedancia total del circuito será la indicada en la figura 4.29.

Figura 4.29.- Diagrama de impedancias del circuito serie R - C. Se comprueba que el argumento del complejo Z, impedancia total del circuito, es precisamente el ángulo de retraso de la tensión respecto a la corriente, es decir, el ángulo de desfase tensión corriente. La resolución del problema podría establecerse de la siguiente forma: - Impedancia total del circuito: Z = R - j (1/ωC) - Intensidad por el circuito: I = I _0° - Aplicando la ley de Ohm:

V T = I ∠0° VT = I

2 2 R + X C ∠arc tag

2 2 R + X C ∠arc tag

- XC R

- XC R

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ESTUDIO DE UN CIRCUITO SERIE R - L - C El circuito estará constituido por una resistencia R conectada en serie con una bobina L ambos conectados en serie con un condensador C, como se muestra en la figura 4.30.

Figura 4.30.- Circuito serie R - L - C. Por ellos circula una corriente senoidal que se toma como origen de tiempos:

i(t) =

2 sen ( ωt) => I = I ∠0°

La impedancia equivalente del circuito será la suma de las impedancias de cada uno de los elementos:

Z T = R + ωL j - j

1 1 ) = R + j ( ωL ωC ωC

por tanto:

V T = I ∠0°

ωL -

1 2 2 ) ∠arc tag R + ( ωL ωC

VT = I

1 2 2 ) ∠arc tag R + ( ωL ωC

VT = I

2 R + ( X L - X C ) ∠arc tag 2

1 ωC

R

ωL -

1 ωC

R XL - XC R

a la vista del resultado se pueden presentar los tres casos siguientes dependiendo de los valores numéricos: •

Si ωL, o XL, es mayor que 1/ωC, o XC, el argumento de la impedancia total será positivo, por tanto, la tensión adelantará a la corriente y el circuito será inductivo. La representación fasorial será la mostrada en la figura 4.31.

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Figura 4.31.- Diagrama fasorial para XL > XC. •

Si ωL, o XL, es menor que 1/ωC, o XC, el argumento de la impedancia total será negativo, por tanto, la tensión retrasará a la corriente y el circuito será capacitivo. La representación fasorial será la mostrada en la figura 4.32.

Figura 4.32.- Diagrama fasorial XL < XC. •

Si ωL, o XL, es igual a 1/ωC, o XC, que corresponde a la frecuencia llamada de resonancia, cuyo valor es:

f =

1 2π

L C

, la tensión estará en fase con la corriente y el circuito será resistivo, figura 4.34.

Figura 4.34.- Diagrama fasorial para XL = XC.

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ESTUDIO DE UN CIRCUITO PARALELO R - L - C El circuito que se analiza en este apartado está formado por una resistencia R, una bobina L y un condensador C conectados en paralelo, tal como se muestra en la figura 4.34.

Figura 4.34.- Circuito paralelo R - L - C. Se supone, como en los casos anteriores, que la corriente total que se suministra al circuito es el origen de tiempos siendo su expresión: i(t) =

2 sen ( ωt) => I = I ∠0°

Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo superior se verifica que: I = I 1 + I 2 + I 3 a partir de la segunda ley de Kirchhoff se establece que la diferencia de potencial en los extremos de los tres elementos es la misma, por tanto: V T = I 1 R = I 2 ( ωL) j = I 3 (

- 1 ) j = I T Z circuito ωC

llamando Zcircuito a la impedancia equivalente de la carga. Sustituyendo los valores de las corrientes en la expresión de la primera ley de Kirchhoff se tiene:

VT Z circuito 1

VT = VT + VT + 1 R j ωL - j ( ) ωC =

Z circuito

1 1 1 + + 1 R j ωL ) - j ( ωC

es decir que las impedancias en paralelo se suman como las resistencias en paralelo en corriente continua. La impedancia total del circuito vendrá dada por:

R ( Z circuito =

ωL 2 ωL 1 ( - ωL) j ) + R2 ωC ωC ωC = R′ + j X ′ 1 2 ωL 2 2 ) +( ) R ( ωL ωC ωC

ωL 2 ) ω C R′ = 1 2 ωL 2 2 ) ) +( R ( ωL ωC ωC R(

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1 2 ωL ( - ωL) R ω C ω C ′ X = ωL 2 1 2 2 ) +( ) R ( ωL ωC ωC

la tensión total, en función de R'y X', se expresa por:

V T = I ∠0° VT = I

2 R′ + X ′

2 R′ + X ′

2

2

∠ arc tag

∠ arc tag

X′ R′

X′ R′

Se presentan tres casos análogos a los estudiados en el apartado anterior: - Si ωL es menor que 1/ωC, ( X'>0 ), la impedancia Zcircuito tiene un carácter inductivo, y la tensión estará adelantada respecto a la corriente. - Si ωL es mayor que 1/ωC, ( X'< 0 ), la impedancia Zcircuito tiene un carácter capacitivo, y la tensión estará retrasada respecto de la corriente. - Si ωL es igual a 1/ωC, ( X' = 0 ), la impedancia Zcircuito es igual a una resistencia, y la tensión estará en fase con la corriente. La frecuencia para la cual se produce esta situación se denomina frecuencia de resonancia.

Figura 4.35.- Diagrama fasorial del circuito paralelo R - L - C.

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CAPÍTULO 5 POTENCIA ELÉCTRICA INTRODUCCIÓN En corriente continua la potencia eléctrica disipada por una resistencia, en forma de calor, viene 2 dada por las siguientes igualdades: P = R I =

2

V =V I R

siendo V e I la tensión entre los extremos y la corriente que circula por la resistencia respectivamente. Al no existir otro elemento distinto a la resistencia, la única conversión de energía es la citada. Por el contrario, en los circuitos con corriente alterna existen tres elementos pasivos, como se indicó en el primer capítulo, siendo su comportamiento frente a la energía eléctrica lo que los define. Así, se estableció que: La resistencia transforma la energía eléctrica en energía calorífica, siendo dicho proceso irreversible; La bobina transforma la energía eléctrica en un campo magnético y el proceso es reversible; El condensador transforma la energía eléctrica en campo eléctrico siendo también reversible el proceso. Por tanto, debido a la similitud en la ley de Ohm para corriente continua y corriente alterna, cabe prever que la potencia disipada por la resistencia con corriente alterna venga dada en función de los valores eficaces de la tensión en sus extremos y de la corriente que circula por ella, siendo la ecuación que relaciona dichas variables similar a la obtenida para corriente continua, esto es: 2 VR PR = R I R = R

2

con IR y VR los valores eficaces de la corriente y tensión en la resistencia, respectivamente. Ahora bien. ¿ Qué sucede con la energía eléctrica que se comunica a la bobina y al condensador ?. ¿ Cómo es la transformación de la energía eléctrica suministrada ?. ¿ Qué significa que el proceso es reversible ?. La teoría que se desarrolla, aunque sólo implique generadores independientes, también es válida para aquellos circuitos que incluyan generadores ideales o reales lineales dependientes. POTENCIA INSTANTÁNEA Y MEDIA SUMINISTRADA POR UN GENERADOR Se define como diferencia de potencial entre dos puntos de un campo eléctrico al trabajo que hay que comunicar a la carga eléctrica unidad para transportarla entre dichos puntos. Por tanto, se puede expresar ese trabajo elemental como: dW = v (t) dq Al estar definida la potencia como el trabajo realizado por unidad de tiempo se tiene que: p(t) =

dW dt

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sustituyendo valores se obtiene: p(t) =

v(t) dq dq = v(t) = v(t) i(t) dt dt

es decir, la potencia instantánea p(t) viene dada por el producto de la tensión instantánea entre los dos puntos y la corriente instantánea que circula entre los mismos. Cuando las unidades de la tensión y de la corriente se expresan en voltios y amperios, respectivamente, la potencia viene dada en vatios. p(t) [ W ] = v(t) [ V ] i(t) [ A ] Para descubrir como se distribuye la energía eléctrica comunicada a una impedancia genérica, se supondrá que ésta se encuentra formada por una resistencia R, una bobina L y un condensador C, conectados en serie

Figura 5.1.- Impedancia genérica. siendo su impedancia compleja: 2

Z ∠θ = R + j ( X L - X C ) = R2 + ( X L - X C ) ∠ arc tag

XL - XC R

Se hace circular, por esta impedancia, una corriente senoidal, tal como se muestra en la figura 5.1, de valor instantáneo dado por: i(t) = 2 I sen( ωt ) Utilizando el cálculo fasorial, para obtener el valor de la tensión entre los extremos de la impedancia, se obtiene: I = I ∠0° ; V = I Z∠θ ° = V∠θ ° así, el valor instantáneo de la tensión en los extremos de la impedancia es:

v(t) = 2 V sen( ωt + θ ) La potencia instantánea suministrada por la fuente a la impedancia vendrá dada por:

p(t) = v(t) i(t) = 2 V sen( ωt + θ ° ) 2 I sen( ωt) p(t) = V I cos θ ° ( 1 - cos(2 ωt)) + V I sen θ ° sen(2 ωt) La potencia instantánea suministrada por el generador es una función periódica senoidal cuya frecuencia es doble de la frecuencia correspondiente a la tensión y a la corriente. La potencia media suministrada por el generador a la impedancia Z ∠ θ, figura 5.1, viene dada por:

1 P= T

T

∫

p(t ) dt

0

Esta potencia representada por la letra P, y medida en vatios, es la que verdaderamente se utiliza en la práctica y que cumple el principio de conservación de la energía. Sustituyendo valores e integrando se obtiene:

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P=

1 2π

2π

∫

V I cos θ ° (1 - cos(2 ωt)) dωt +

0

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1 2π

2π

∫

V I sen θ ° sen 2ωt dωt

0

teniendo en cuenta que los valores medios de las funciones cos 2ωt y sen 2ωt son nulos se tiene que: P = V I cos θ ° siendo V e I los valores eficaces de la tensión y la corriente en la impedancia y θ el desfase entre el fasor tensión y el fasor corriente, medido desde el fasor corriente al fasor tensión con signo positivo si el sentido es antihorario y negativo en caso contrario. Del resultado obtenido se deduce que, el valor medio de la potencia es distinto de cero, es decir existe una transmisión de energía de la fuente a la impedancia, y que el segundo sumando de la expresión de la potencia instantánea no contribuye a la potencia media, lo que supone una desventaja como se justificará posteriormente. POTENCIA INSTANTÁNEA Y MEDIA ABSORBIDAS POR UNA IMPEDANCIA Z ∠θ En este apartado se estudia como es el reparto de la potencia suministrada por la fuente, es decir, la contribución de cada uno de los elementos pasivos: R, L y C, que constituyen la impedancia Z∠ θ, figura 5.1, a la absorción de la potencia media.

Figura 5.2.- Componentes de una impedancia genérica. Se supone la impedancia recorrida por una corriente dada por: i(t) = 2 I sen ( ωt) RESISTENCIA Para la resistencia, cuya tensión vR(t) entre sus extremos es: v R (t) = R i(t) = 2 R I sen ωt la potencia instantánea vendrá dada por:

p R (t) = v R (t) i(t) = 2 R I sen ωt 2 I sen ωt = I 2 R (1 - cos 2 ωt) 2 El valor medio de la potencia, o potencia media absorbida por la resistencia es: P R = I R

BOBINA La tensión vL(t) entre los extremos de la bobina es:

v L (t) = L

di(t) =L dt

2 I ω cos ωt = 2 I X L cos ωt

2 la potencia instantánea valdrá: p L (t) = v L (t) i(t) = I X L sen 2 ωt

por tanto, la potencia media resulta: P L = 0

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CONDENSADOR La tensión vC(t) entre los extremos del condensador es:

1 1 1 ∫ i(t)dt = 2 I ( - cos ωt ) = 2 I X C ( - cos ωt ) la ω C C 2 valdrá: pC (t) = vC (t) i(t) = - I X C sen 2 ωt por tanto, para la potencia media se obtiene: PC = 0 vC (t) =

potencia

instantánea

De los resultados obtenidos se deduce que, el único elemento que disipa una potencia media distinta de cero es la resistencia. Esta potencia eléctrica absorbida se transforma en calor. POTENCIA ACTIVA En virtud de la ley de conservación de la energía, se puede establecer que la potencia media suministrada por el generador ha de ser igual a la potencia instantánea absorbida por la carga. PARA LA CARGA: La potencia instantánea absorbida por la carga se obtiene sin más que sumar los valores obtenidos para la resistencia, bobina y condensador, y calculados en el apartado anterior. Así se obtiene para la carga Z ∠ θ:

p(t) = I 2 R (1 - cos 2 ωt) + I 2 ( X L - X C ) sen 2 ωt 2 2 llamando X = XL - XC, se tiene: p(t) = I R (1 - cos 2 ωt) + I X sen 2 ωt 2 cuyo valor medio es: P = I R

PARA EL GENERADOR: p(t) = V I cos θ ° (1 - cos 2 ωt) + V I sen θ ° sen 2 ωt cuyo valor medio es: P = V I cos θ ° 2 IGUALANDO CAUSA EFECTO, se establece que: P = I R = V I cos θ °

Teniendo en cuenta las relaciones entre los valores eficaces de la tensión y la corriente, ver figura 5.2:

V=Z I

se puede poner la potencia media, en función de las variables globales: V, I y θ, como:

P = V I cos θ ° = Z I 2 cos θ ° =

2

V cos θ ° Z

NOTA: Recuérdese que la expresión Z cos θ es la parte real de la impedancia y que corresponde a la resistencia. Llamando VR al valor eficaz de la tensión entre los extremos de la resistencia, como se muestra en

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la figura 5.2, se tiene que: V R = I R y por tanto la potencia media se puede expresar mediante las variables específicas: VR, I y R, por: 2

P = I R=V R

I=VR R

2

A esta potencia, representada por la letra P, se la denomina POTENCIA MEDIA, POTENCIA ACTIVA o simplemente POTENCIA. Si la tensión y la corriente se expresan en voltios y amperios respectivamente, la potencia media se expresa en vatios. De los múltiplos, el más utilizado es el kilovatio, kW, el megavatio, MW, y el gigavatio, GW. En Electrotecnia no se suelen utilizar los submúltiplos. La potencia media es absorbida por la resistencia y transformada en calor. Cuando se habla de potencia sin especificar nada, se refiere a la potencia media, o activa. POTENCIA APARENTE * Con corriente continua, como se indicó en párrafos anteriores, la potencia disipada por una resistencia se podía expresar por: P = V I * Con corriente alterna senoidal la expresión es: P = V I cos θ siendo θ el argumento de la impedancia, o ángulo de desfase entre la corriente y la tensión en los extremos de la impedancia, medido desde el fasor corriente al fasor tensión con signo positivo si el sentido es antihorario y negativo en caso contrario. El límite superior de la potencia activa es VI, correspondiente al valor unidad del cos θ, es decir cuando la impedancia es resistiva pura. Para este límite, se verifica que la tensión y la corriente están en fase. En todos los demás casos la potencia activa será menor que ese valor límite, o ideal, VI.

Circuito puramente resistivo _ > V I = P ( como en c.c. ) Circuito no resistivo → V I > P A este límite de la potencia activa, producto de los valores eficaces de la corriente y la tensión, se le llama potencia aparente y se representa por la letra S, por tanto: S = V I La unidad de medida debería ser el vatio, pero al tratase de una potencia ideal, solamente alcanzable cuando θ = 0, es decir cuando ambos fasores se encuentren en fase, se expresa en VOLTAMPERIOS (VA). De los múltiplos, el kilovoltamperio (kVA), denominado vulgarmente "kavea" y el megavoltamperio (MVA), "megavea", son los más utilizados. Teniendo en cuenta las relaciones entre tensión, corriente e impedancia se pueden establecer las siguientes expresiones, para la potencia aparente, en función de variables globales: 2

V S =V I = I Z = Z 2

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FACTOR DE POTENCIA Se define factor de potencia en un generador, o en una carga, y se representa por fp, a la relación entre la potencia activa suministrada por el generador, o consumida por la carga, y la potencia aparente calculada en el generador, o en la carga, como producto de los valores eficaces de la tensión y de la corriente.

fp =

P S

teniendo en cuenta las expresiones de la potencia activa y aparente se tiene, en función de variables globales, que: fp =

P V I cos θ ° = cos θ ° = S V I

el factor de potencia es igual al coseno del argumento de la impedancia, y por tanto se puede expresar en función de sus componentes, o variables específicas, como:

Z ∠ θ = = R + j X = Z cos θ + j Z sen θ ; cos θ =

fp = cos θ ° =

R Z

R R = 2 2 Z R + X

El factor de potencia se puede asimilar al rendimiento de la potencia suministrada por el generador, ya que en el numerador de la expresión figura la potencia realmente suministrada y en el denominador la potencia límite, o máxima, que podría suministrar dicho generador, si la carga fuese una resistencia pura. Los límites del factor de potencia son, cero para las cargas puramente reactivas, inductivas o capacitivas, y uno para las cargas resistivas puras. Como el cos θ es siempre positivo, para ángulos comprendidos entre +90º y -90º, hace falta un indicación de si el desfase entre la corriente y la tensión es en retraso o en adelanto, es decir, si corresponde a una carga inductiva o a una carga capacitiva respectivamente, tal como se muestra en la figura 5.3.

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Figura 5.3.- Convenio para distinción del factor de potencia. Se establece que para las cargas inductivas el factor de potencia es en retraso, fp(r, y para las cargas capacitivas el factor de potencia es en adelanto, fp(a. POTENCIA REACTIVA En el ejemplo que se sigue, la carga conectada al generador está constituida por tres elementos: una resistencia R, una bobina L y un condensador C, y todos ellos conectados en serie. La potencia instantánea suministrada por el generador ha de ser absorbida por la carga, o bien de forma irreversible generando calor, o bien de forma reversible creando un campo magnético, caso de la bobina, o un campo eléctrico, caso del condensador. Igualando causa-efecto se tiene que:

Generador _ > p(t) = V I cos θ ° [ 1 - cos ( 2 ωt ) ]+ V I sen θ ° sen ( 2 ωt ) Carga _ > p(t) = I 2 R [ 1 - cos ( 2 ωt ) ]+ I 2 X sen ( 2 ωt ) siendo X = XL - XC. El primer sumando de la potencia instantánea suministrada por el generador, es el que contribuye a la potencia activa disipada por la carga, correspondiente al valor medio de la potencia instantánea absorbida por la misma, y en particular por la resistencia. Así pues, la potencia instantánea suministrada por el generador, correspondiente al segundo sumando, deberá ser cancelada por los dos elementos restantes de la carga. Igualando los segundos miembros de las expresiones correspondientes a las potencias instantáneas generadas y absorbidas se llega a:

V I sen θ ° = I 2 X

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Estos segundos miembros, cuyo valor medio es cero, corresponden a una energía que se suministra desde el generador a la carga durante unos períodos de tiempo y en otros retorna al generador proveniente de la carga, en la que se mantuvo almacenada ya sea en forma de campo magnético (bobinas) ya sea en forma de campo eléctrico (condensadores). Para poner de manifiesto este hecho se representa en la figura 5.4 los valores instantáneos de la tensión v(t), de la intensidad i(t) y de la potencia instantánea p(t).

Figura 5.4.- Curvas v(t), i(t) y p(t). Se observa en la curva p(t), que durante los intervalos comprendidos entre π-θ y π, 2π-θ y 2π, etc. la potencia instantánea, es negativa, debido a que la tensión y corriente tienen signo opuesto. El motivo de que la potencia sea negativa durante estos intervalos se debe a que la carga, en lugar de absorber energía, la suministra al generador. Como la resistencia disipa toda la energía recibida en forma de calor, la energía devuelta por la carga al generador procederá, necesariamente, de la que está almacenada en la bobina y en el condensador en forma de campo magnético y campo eléctrico respectivamente. En la figura 5.5 se representan las potencias instantáneas absorbidas por la resistencia, bobina y condensador, así como la suma de las dos últimas.

p ( t ) = p R ( t ) + p L ( t ) + pC ( t ) p ( t ) = R I 2 ( 1 - cos 2 ω t ) + X L I 2 sen 2 ω t - X C I 2 sen 2 ω t

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Figura 5.5.- Curvas pR(t), pL(t) y pC(t). Se comprueba, tanto en la figura como por las expresiones matemáticas, que el transvase de energía se realiza a una frecuencia doble de la frecuencia correspondiente a la tensión y corriente de alimentación. 2 El término de energía fluctuante: p(t) = I X sen 2 ωt , origina la circulación de corrientes por las líneas y devanados de transformadores y generadores sin producir potencia útil, generando en cambio pérdidas por efecto Joule. Para valorar este efecto de desaprovechamiento energético, se define una potencia denominada REACTIVA cuyo valor viene dado por la expresión:

Q= I2 X La ventaja de esta definición es debida al fácil tratamiento que se obtiene en combinación con las expresiones de la potencia activa y la potencia aparente. De las ecuaciones anteriores se obtiene que:

Q = V I sen θ °

siendo V e I los valores eficaces de la tensión y corriente en la impedancia y θ el desfase entre la tensión y la corriente, medido desde el fasor corriente al fasor tensión, con signo positivo si el sentido es antihorario y negativo en caso contrario. Nótese que la potencia reactiva en retraso, debida a las inductancias, es positiva y la potencia reactiva debida a las capacitancias es negativa. Como: V L,C = I X se pueden establecer las siguientes igualdades: Q = V L,C I =

V

2

L,C

X

=V

V L,C sen θ ° X

en función de las variables globales y de los parámetros de la carga:

Q = I 2 Z sen θ ° =

V Z

2 2

2

R=

V sen θ ° Z

Para esta energía, que se almacena en unos instantes y se devuelve en otros, se define la potencia REACTIVA cuya unidad, aún teniendo dimensiones de vatio, se denomina VOLTAMPERIO

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REACTIVO (VAR), para distinguirla de la potencia activa y de la potencia aparente. El múltiplo más utilizado es el kilovoltamperio reactivo, kVAR, más comúnmente llamado "kilovar". La energía almacenada en la bobina es positiva en los intervalos de tiempo en que la energía almacenada en el condensador es negativa, es decir, cuando el condensador se carga la bobina convierte el campo magnético en corriente y viceversa cuando la bobina genera el campo magnético el condensador devuelve su energía almacenada, tal como se muestra en la figura 5.5. Esta diferencia de signo entre las energías se fundamenta en la correspondiente diferencia entre las potencias reactivas de ambos elementos. Por tanto, en las unidades de medida se establece una distinción de forma que la potencia reactiva, para las bobinas se considera positiva, Q > 0, y se dice que es en retraso, por lo que se nombra como VOLTAMPERIOS REACTIVOS EN RETRASO (VAR(r), para los condensadores es negativa, Q < 0, y se nombra por VOLTAMPERIOS REACTIVOS EN ADELANTO (VAR(a). Aunque la elección es debida a un convenio de signos, éstos están relacionados con el hecho de que la corriente en la bobina está retrasada respecto de la tensión y en el condensador adelantada. La relación entre el carácter del factor de potencia y el tipo de potencia reactiva se puede establecer como:

Para Q > 0 ; Q = Q L [ V A R( Para Q < 0 ; Q = QC [ V A R(

r a

] _ fp( ] _ fp(

r a

TRIÁNGULOS DE POTENCIAS De las expresiones matemáticas correspondientes a la potencia activa, potencia reactiva y potencia aparente: P = V I cos θ ° ; Q = V I sen θ ° ; S = V I se puede establecer un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea la potencia aparente S, y el ángulo comprendido entre P y S sea θ, argumento de la impedancia. Se verifica, por tanto, la expresión: 2 2 2 S = P +Q

La construcción del triángulo de potencias, se realiza de la forma siguiente, mostrada en la figura 5.6. La potencia activa se representa en el eje de abcisas y la potencia reactiva en el eje de ordenadas. Si la potencia reactiva es en retraso, del tipo inductivo, se representa según el eje negativo de ordenadas, hacia abajo. Por el contrario, si la potencia reactiva es en adelanto, capacitiva, se representa según el eje positivo de ordenadas, hacia arriba.

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Figura 5.6.- Triángulos de potencias. En la práctica, para un circuito dado en el que existen diversas cargas, unas de tipo inductivo y otras de tipo capacitivo, se desea obtener el triángulo de potencias total, es decir, el triángulo de potencias del conjunto de las cargas. Para su obtención se sigue el procedimiento descrito a continuación. Se dibuja el triángulo de potencias de la primera carga, como ya se indicó, situando la parte reactiva de la misma por debajo o por encima de P, según sea en retraso, inductiva, o en adelanto, capacitiva. El triángulo de potencias de la siguiente carga se dibuja a partir del vértice del triángulo anterior que no está contenido en P y, con el mismo criterio enunciado, se continua con el trazado de los sucesivos triángulos de potencia. El triángulo de potencias total se obtiene uniendo el primer y último vértice de los triángulos representados y que corresponde a la suma de todas las potencias activas y todas las potencias reactivas, Q (positivas) para las cargas inductivas y Q (negativas) para las cargas capacitivas.

Figura 5.7.- Suma de triángulos de potencias. Matemáticamente se puede poner de la forma:

139

N

PTOTAL = ∑ Pi i=1

N

QTOTAL = ∑ [ Qi (inductivas) - Qi (capacitivas) ] i=1

y de la relación entre potencias activa, reactiva y aparente: S 2TOTAL = P 2TOTAL + Q

2 TOTAL

Para la composición de los tres triángulos de potencias de la figura 5.7, correspondiente a dos 2

2

cargas inductivas y una capacitiva, se obtiene: S TOTAL = ( P1 + P 2 + P 3 ) + ( Q1 + Q 2 - Q3 ) CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA

En las instalaciones eléctricas la mayoría de las cargas conectadas a la red son de tipo inductivo, ya que normalmente están formadas por devanados o bien de máquinas eléctricas rotatorias o bien de transformadores o elementos inductivos de sistemas de alumbrado. Los factores de potencia de las instalaciones suelen ser bajos, del orden de 0,8 (en retraso), lo que hace que el rendimiento de las mismas no se pueda considerar bueno. Una instalación se puede representar mediante su impedancia equivalente, tal como se muestra en el esquema de la figura 5.8.

Figura 5.8.- Circuito equivalente de una instalación. Sean P, QL y S, las potencias activa, reactiva y aparente respectivamente de dicha instalación. El triángulo de potencias será el triángulo ABC representado en la figura 5.9, construido tal como se indicó en el apartado anterior.

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Figura 5.9.- Triángulo de potencias. Se conecta en paralelo con la impedancia equivalente a la instalación, un condensador de capacidad variable C, tal como se muestra en la figura 5.10.

Figura 5.10.- Circuito con compensación del factor de potencia. El triángulo de potencias del condensador, como se indica en la figura 5.11, tendrá una representación dada por un segmento vertical MN, de valor QC, ya que se considera un condensador ideal y, por tanto, sin pérdidas.

Figura 5.11.- Triángulo de potencias del condensador. El conjunto, condensador-impedancia, tendrá un triángulo de potencias resultante que será el BAN, mostrado en la figura 5.12. Tiene la misma potencia activa P que la instalación, una potencia

139

reactiva total, supuesta en retraso, QL - QC y una potencia aparente ST menor que S. Del resultado obtenido se deduce que, al conectar el condensador C, no varía la potencia activa del conjunto y disminuyen la potencia reactiva y la potencia aparente.

Figura 5.12.- Composición de triángulos de potencia. Con la conexión del condensador se obtiene una mejor utilización de la fuente ya que al no variar la tensión y haber disminuido la potencia aparente S, la corriente que suministra el generador será menor y, por tanto, se podría aumentar la potencia de la carga conectada. Así mismo, se mejora la relación P / S es decir el factor de potencia, fp = P / S, y es por este hecho por lo que se denomina corrección del factor de potencia. El estudio de la corrección del factor de potencia se puede abordar de dos formas diferentes: Calcular el valor del factor de potencia en el generador, cuando se conecta a una carga

*

conocida un condensador dado de capacidad C, en paralelo con la misma. Calcular el valor de la capacidad C necesaria, a conectar en paralelo con una carga conocida,

*

para corregir su factor de potencia a un valor dado. 2

En el primer supuesto, conocida la capacidad C del condensador conectado: QC = obtener el nuevo factor de potencia fp', que vendrá dado por:

Q L - QC ) P Q - 2 π f C V2 ) f ′p = cos ( arc tag L P f ′p = cos θ ′° = cos ( arc tag

En el segundo caso, se desea obtener un factor de potencia fp' o cos'θ:

tag ( arc cos θ ′° ) =

139

Q L - QC P

V =V 2 2 π f C XC

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de donde: QC = Q L - P tag ( arc cos θ ′° ) la capacidad C del condensador necesario vendrá dado por: C =

Q L - P tag ( arc cos θ ′° ) 2 π f V2

Dependiendo de la potencia reactiva introducida con el condensador se pueden establecer tres casos: 1.- Si la potencia reactiva QC del condensador es menor, en valor absoluto, que la potencia reactiva inductiva QL de la carga, la carga resultante, conjunto paralelo impedancia-condensador, es inductiva ( fp( r ). 2.- Si la potencia reactiva QC es igual, en valor absoluto, a la potencia reactiva QL de la impedancia, la carga total equivalente es una resistencia ( fp = 1 ). 3.- Si la potencia reactiva QC es mayor, en valor absoluto, a la potencia reactiva QL de la impedancia, la carga total equivalente es capacitiva ( fp( a ). De los casos anteriormente citados el deseado es el segundo, conseguir que el factor de potencia sea la unidad, es decir, que el equivalente del conjunto sea una resistencia. Cuando esto suceda, la potencia aparente S suministrada por el generador será mínima, e igual a la potencia activa P consumida por la carga. En la práctica conseguir la corrección total del factor de potencia es difícil, costoso e innecesario, por lo que los valores aceptables de corrección son cercanos a la unidad permaneciendo la carga total inductiva. Por último, resulta interesante analizar la variación del factor de potencia en función de la capacidad del condensador conectado. Si, en el circuito de la figura 5.10, se toma como origen de tiempos la tensión de alimentación , las intensidades en las ramas vendrán dadas por:

V ∠0° V V V ∠0° = = ∠ - arc tag X L = 2 ( R- j XL ) 2 2 Z ∠θ ° R + j X L R R + X 2L R + XL V V V ∠ 0° ∠ 90° = j = IC= XC X C ∠ - 90° X C V V ∠ 90° + ∠ - arc tag X L I ′g = 2 2 R XC R + XL

IZ =

operando se obtiene:

ω L - ω C [ R 2 + (L ω )2 ] 1 - 2 L C ω2 ∠ arc tag < > I ′g = V ( ω C) + 2 2 R R + (L ω ) 2

′,= El nuevo factor de potencia fp' vendrá dado por: f p

P VI Z cosθ I Z cosθ = = S, VI g, I g,

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ya que sólo la impedancia Z ∠ θ disipa energía activa y, por tanto, dependerá sólo de la corriente IZ que circula por la carga, de la misma forma la potencia aparente total será la del conjunto por lo que intervendrá la corriente I´g suministrada por el generador. Sustituyendo valores y operando se tiene que:

fp ' =

R 2 R + (ωL ) 2

(ωC )2 + 1 −2 2 LCω 2 R + (ωL ) 2

2

Se define K como: K = ( ω C) +

1 - 2 L C ω2 2 2 R + (L ω ) ′ 2

Ig y teniendo en cuenta la expresión de I'g, resulta que: K = 2 V

Será máximo el factor de potencia fp' cuando sea mínima la intensidad del generador Ig', y, por consiguiente, sea mínimo el valor de K. Derivando la expresión respecto a C, se obtiene: 2

2 I g′ = V K

2 I g′

2 L ω2 dI g ′ = V 2 [ 2 ω2 C - 2 ] 2 dC R + (L ω )

Igualando a cero el segundo miembro de la igualdad, se obtiene el valor de la capacidad Cm, para la cual el factor de potencia es máximo. Por tanto:

Cm =

L 1 XL = 2 2 R + (L ω ) ω Z 2

2

Z X Cm = XL La segunda derivada de Ig', con respecto a C es siempre positiva, por tanto, la condición de C = Cm es la que hace que el valor eficaz de la intensidad suministrada por el generador sea mínimo y como consecuencia máximo el factor de potencia. Sustituyendo éste valor Cm, en la expresión general, se obtiene: fp'max = 1. La conexión en paralelo de un condensador en los extremos de alimentación de una carga no supone ninguna modificación a la alimentación de la misma. Por el contrario, el generador suministra una potencia aparente menor, que antes de conectarlo, con lo que, al ser la tensión de alimentación constante, la corriente que ha de suministrar es menor. Esto por una parte supone una disminución de las pérdidas en los cables y por otra parte la posibilidad de cargar más el generador (conexión de más cargas) siempre sin exceder sus condiciones

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nominales. Tomando como válido el que V, R, L y ω sean constantes, se puede hacer una representación del factor de potencia en función de la capacidad del condensador conectado en paralelo con la carga, tal como se muestra en la figura 5.13.

Figura 5.13.- Curva de variación del fp con la capacidad C. De la representación obtenida se pueden extrapolar las siguientes consideraciones: 1.- Para cada impedancia de carga existe un condensador de capacidad Cm, que conectado en paralelo con el generador consigue una corrección del factor de potencia a la unidad. La tensión y la corriente suministrada por el generador estarán en fase. 2.- Si se conecta un condensador cuya capacidad sea menor que Cm, se mejora el factor de potencia. La corriente suministrada por el generador estará retrasada respecto de la tensión siendo, por tanto, el conjunto carga-condensador de tipo inductivo. 3.- Si se conecta un condensador cuya capacidad es mayor de Cm pero menor que 2 Cm, se mejora también el factor de potencia. La corriente suministrada por el generador estará adelantada respecto de la tensión, convirtiéndose el conjunto carga-condensador en capacitivo. 4.- Si el condensador que se conecta es de una capacidad mayor de 2 Cm el factor de potencia disminuye y el conjunto carga-condensador es capacitivo. En la figura 5.14 se muestra la modificación del diagrama fasorial en función del valor de la capacidad del condensador utilizado para la corrección del factor de potencia.

139

Figura 5.14.- Diagrama fasorial función de C. La variación de la capacidad del condensador de corrección del factor de potencia hace que la posición del extremo del fasor de corriente recorra una línea recta paralela al eje de ordenadas. Esto es debido a que el condensador, supuesto ideal, no consume potencia activa y, por tanto, al ser:

P = V I cos θ , como P es constante, sólo debido a la carga, V es constante y suministrada por el generador, el producto I cos θ ha de ser constante. Así pues si el factor de potencia aumenta, o lo que es lo mismo cos θ, la corriente I disminuirá. Dicho de otra forma, la proyección del fasor corriente sobre el eje de abcisas ha de ser constante ya que lo es I cos θ. Partiendo de una situación de carga inductiva, es decir, con factor de potencia en retraso, la corriente estará retrasada con respecto de la tensión, que se toma como origen de tiempos. A medida que aumenta la capacidad del condensador, el factor de potencia aumenta y por tanto disminuye el ángulo de desfase corriente tensión. Recuérdese, que se toma positivo el ángulo de desfase para carga inductiva, cuando yendo desde el fasor corriente al fasor tensión, por el camino más corto, el sentido del recorrido es antihorario. Aumentando la capacidad del condensador se llega a la situación en la que los dos fasores están en fase, es decir, factor de potencia unidad. Para esa condición, la capacidad del condensador será Cm. Si se sigue incrementando la capacidad del condensador, se va disminuyendo el factor de potencia pasando a una situación de adelanto, es decir, se aumenta el ángulo de desfase y el sentido de medida pasa a ser horario, es decir ángulo negativo y, por tanto, correspondiente a una carga capacitiva. Con un incremento progresivo de la capacidad del condensador se llega a un factor de potencia igual al de partida, pero en adelanto. Esa condición se alcanza con una capacidad 2 Cm para el condensador de corrección. A partir de ese punto, el factor de potencia sigue disminuyendo hasta hacerse cero en el límite. En él, cuando la capacidad del condensador sea infinito, su reactancia será nula y representará un cortocircuito.

XC=

1 2 xπ x f xC

Esto provoca que la corriente por la rama del condensador tienda a infinito cuando la capacidad del condensador también tienda a infinito. Por tanto, la corriente suministrada por el generador, suma de

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la corriente por la rama de la impedancia y de la corriente por la rama del condensador, tiende también a infinito. El límite será el valor máximo de la corriente que pueda suministrar el generador. Éste valor se proporciona, en el caso de los generadores o fuentes, mediante la potencia aparente nominal que puede suministrar el generador. Así, para un generador de tensión constante, con la potencia aparente nominal se obtiene la corriente máxima que puede suministrar sin más que aplicar:

Im =

S nominal V

El criterio utilizado para la corrección del factor de potencia, fue el de hacer máxima la función fp = f (C). Se puede establecer la corrección del factor de potencia a partir de la consideración de la potencia reactiva, hasta ahora no utilizada. Así se puede decir que, la corrección máxima se establece cuando toda la potencia reactiva absorbida por la impedancia inductiva es igual a la potencia reactiva absorbida por el condensador. De esta forma, la potencia reactiva entregada por la bobina, durante ciertos períodos de tiempo, la absorbe el condensador y, en los restantes períodos de tiempo, es la bobina la que absorbe la potencia reactiva suministrada por el condensador. En fin, la potencia de uno y otro elemento se compensan. Por tanto se tiene que: 2 V V VI V Z sen θ ° = Q L = V I sen θ ° = X L= 2 X L Z Z Z Z 2 V QC = XC 2

2

V V = 2 XL para la compensación total, fp = 1, se igualan las potencias reactivas, así: X Cm Z 2 1 XL Z ; Cm = , el resultado es el mismo que el obtenido imponiendo el valor máximo X Cm = ω Z2 XL para el factor de potencia. MEDIDA DE LA POTENCIA ACTIVA - EL VATÍMETRO La medida de la potencia media se realiza con un instrumento denominado vatímetro cuya conexión se muestra en la figura 5.15. La lectura del vatímetro viene dada por: W = V I cos ↑ V I

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Figura 5.15.- Conexión de un vatímetro y su diagrama fasorial. siendo V el valor eficaz de la tensión entre los extremos de la carga e I el de la corriente que circula por la misma, cos θ es el coseno del ángulo de desfase entre la tensión y la corriente, medido desde el fasor corriente al fasor tensión, por el camino más corto, con signo positivo si el sentido recorrido es antihorario y signo negativo si es horario. BALANCE DE POTENCIAS EN GENERADORES Y CARGAS Según el sentido tomado para los vectores tensión y corriente se tiene que: 1.- Toda carga, definida como tal a todo elemento pasivo o conjunto de elementos pasivos, consume energía activa y/o reactiva. La potencia activa Vz Iz cos θ o será positiva, o nula. La potencia reactiva, Vz Iz sen θ, será en retraso cuando el fasor corriente , que circula por la carga, esté retrasado respecto al fasor tensión , entre los extremos de la carga, y en adelanto en caso contrario.

Figura 5.16.- Potencias en una carga.

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En términos de ángulo θ de desfase, se puede decir que la potencia reactiva es en retraso, o positiva, cuando al medir el ángulo de desfase desde el fasor corriente al fasor tensión, por el camino más corto, el sentido descrito es antihorario, es decir, ángulo de desfase positivo. Y si el sentido es horario, el desfase es negativo y, por tanto, la potencia reactiva es en adelanto, o negativa. 2.- Un generador suministra o consume potencia activa. Suministra energía cuando el valor de la potencia activa, V I cos θ es positivo. Cuando el ángulo de desfase entre su fasor tensión y su fasor de corriente es menor de 90º, es decir que cos θ es positivo y por tanto también lo será P. Si el ángulo de desfase es mayor de 90º, cos θ y P serán negativos y el generador consumirá potencia activa.

Figura 5.17.- Potencias en un generador. La potencia reactiva es siempre suministrada por el generador. Su valor, dado por la expresión V I sen θ, puede ser positivo en el caso de potencia reactiva en retraso, o bien negativo en el caso de la potencia reactiva en adelanto. El signo de la potencia reactiva viene dado por el signo de sen θ que dependerá del signo del ángulo θ de desfase entre tensión y corriente. El ángulo de desfase es positivo si al llevar el fasor de corriente hacia el fasor de tensión, por el camino más corto, se establece un giro en sentido antihorario, y negativo si el sentido del giro es horario. Se puede establecer el siguiente cuadro resumen de la transferencia de energía para un generador ideal. θ < ± 90º P = V I cos θ

P > 0 .- El generador suministra potencia activa.

Q = V I sen θ θ > 0 ; Q > 0 .- El generador suministra potencia reactiva en RETARDO. θ < 0 ; Q < 0 .- El generador suministra potencia reactiva en ADELANTO.

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θ = ± 90º P = V I cos θ

P = 0 .- El generador ni suministra ni consume potencia activa.

Q = V I sen θ θ = + 90º ; Q > 0 .- El generador suministra potencia reactiva en RETARDO. θ = - 90º ; Q < 0 .- El generador suministra potencia reactiva en ADELANTO. ± 90º < θ < ± 180º P = V I cos θ

P < 0 .- El generador suministra potencia activa.

Q = V I sen θ θ > 0 ; Q > 0 .- El generador suministra potencia reactiva en RETARDO. θ < 0 ; Q < 0 .- El generador suministra potencia reactiva en ADELANTO. EJEMPLO Para poner de manifiesto los triángulos de potencias en los generadores y cargas, se propone el circuito de la figura 5.18.

Figura 5.18.- Circuito del ejemplo. Como datos del problema se dan: V g = 220 ∠ 0 ° V ; I = 10 ∠ 0 ° A ; Z = 20 ∠ 36,87 ° Ω La relación entre tensiones es: V g = V I = V Z = 220 ∠ 0° V La corriente que circula por la impedancia, Z, se obtiene aplicando la ley de Ohm a la impedancia:

IZ =

220 ∠ 0° = 11 ∠ - 36,87” A 20 ∠ 36,87°

La corriente suministrada por el generador, g, se calcula aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo: I g + I - I Z = 0 ; I g = 11 ∠ - 36,87° - 10 ∠ 0° = 6,71 ∠ - 100,3° A Triángulo de potencias de la impedancia Z:

P Z = 220 x 11 x cos 36,87° = 1.936 W Q Z = 220 x 11 x sen 36,87° = 1.452 VARr S Z = 2.420 VA

Triángulo de potencias del generador de corriente:

P I = 220 x 10 x cos 0° = 2.200 W Q I = 220 x 10 x sen 0° = 0 VAR S I = 2.200 VA

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Triángulo de potencias del generador de tensión:

P g = 220 x 6,71 x cos (- 100,3° ) = - 263,95 W Q g = 220 x 6,71 x sen (- 100,3° ) = 1.452,4 VARr S g = 1.476,2 VA La interpretación de los valores obtenidos para este triángulo de potencias es la siguiente. Teniendo en cuenta el diagrama fasorial de tensiones y corrientes mostrado en la figura 5.19, y que la suma de potencias activas y reactivas de los generadores ha de ser igual a la suma de las potencias activas y reactivas consumidas por la carga, se puede establecer que:

Figura 5.19.- Diagrama fasorial de tensiones y corrientes. * El desfase de tensión corriente mayor de 90º para el generador de tensión indica que absorbe potencia activa, en vez de suministrarla. Por tanto, el signo negativo de la potencia activa indica que el generador de tensión consume energía. Así se establece que, la suma global de potencias activas ha de ser cero, esto es, la potencia activa total suministrada por el generador de corriente será igual a la potencia activa consumida por la impedancia más la potencia activa consumida por el generador de tensión, es decir:

PI - Pg = PZ 2.200 W - 264 W = 1.936 W * La potencia reactiva es siempre suministrada por el generador. La potencia reactiva será en retraso, Q > 0, cuando el ángulo medido desde el fasor corriente hacia el fasor tensión, por el camino más corto ( ángulo más pequeño ), se realice en sentido antihorario, y será en adelanto, Q < 0, cuando el sentido de medición sea el horario. Si el desfase es de 180º el generador sólo consumirá energía activa, siendo nula la reactiva. La suma global de potencias reactivas ha de ser cero, por tanto, la potencia reactiva suministrada por el generador de corriente más la potencia reactiva suministrada por el generador de tensión ha

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de ser igual a la potencia reactiva absorbida por la carga, esto es:

QV + Q I = Q Z 1.452 VAR( r + 0 VAR = 1.452 VAR(

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r

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CAPÍTULO 6 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR EL MÉTODO DE LAS TENSIONES EN LOS NUDOS INTRODUCCIÓN El método de resolución de circuitos eléctricos mediante las tensiones en los nudos, es una aplicación ordenada y sistemática de la primera ley de Kirchhoff. Es la base de los programas de ordenador para el análisis y resolución de circuitos eléctricos. Aunque el desarrollo de la teoría se realiza empleando generadores independientes de tensión y corriente, es también aplicable a circuitos que dispongan de generadores dependientes, siempre y cuando sean lineales, es decir, que la función que relaciona la variable que define al generador y la variable de la que depende sea lineal. TENSIONES EN LOS NUDOS Se denomina nudo, en un circuito, a todo punto del mismo en el que confluyen tres o más elementos del mismo. En un circuito con n nudos, de los cuales uno de ellos se toma como referencia, el método de las tensiones en los nudos establece el cálculo de las tensiones en los n-1 nudos respecto al nudo referencia, al que por comodidad se le asigna un potencial nulo. Esta suposición no altera la resolución del problema ya que las corrientes por las ramas quedan determinadas por la diferencia de potencial entre nudos y no por el valor absoluto del potencial en un nudo. Como todas las tensiones de los nudos quedan referidas al nudo de referencia, todas las tensiones se expresarán de la forma Vkn, en el supuesto de que n sea la denominación del nudo de referencia. Por tanto, las tensiones en los nudos pueden ser representadas por Vk, donde k representa el número del nudo cuya tensión es calculada, teniendo en cuenta que Vk representa Vkn. MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE UN CIRCUITO MEDIANTE LAS TENSIONES EN LOS NUDOS La aplicación de este método se puede resumir en los siguientes pasos: *

Elegir el nudo de referencia. Posteriormente se proporcionarán unas normas para una mejor elección de dicho punto.

*

Asignar a cada rama del circuito una corriente con un sentido arbitrario.

*

Aplicar la primera ley Kirchhoff a cada uno de los nudos del circuito, excepto al nudo de referencia.

*

Calcular, mediante la ley de Ohm y en función de las tensiones en los nudos, las expresiones de las

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corrientes establecidas en el punto anterior, en las cuales se sustituirán. *

Con ello, se logra un sistema de ecuaciones con tantas incógnitas como nudos existan menos uno, correspondiente al nudo de referencia. Resuelto el sistema se obtienen las tensiones en los nudos y de las ecuaciones de las corrientes en las ramas se obtienen los valores de éstas.

EJEMPLO Resolver el circuito de la figura 6.1, en el supuesto de que sean conocidas las tensiones en de las fuentes de tensión y los valores de las impedancias que constituyen el circuito.

Figura 6.1.- Esquema del circuito a resolver. En este circuito, que contiene cuatro nudos, se elige como nudo de referencia el señalado con #4 (número 4). Se asignan las corrientes de rama, de forma arbitraria, representadas en la figura 6.1. Se aplica la primera ley de Kirchhoff a cada uno de los tres nudos restantes, obteniéndose:

Nudo 1 > I 1 + I 2 + I 3 = 0 Nudo 2 > I 3 + I 4 + I 5 = 0 Nudo 3 > I 5 + I 6 + I 7 = 0 El cálculo de las corrientes por las ramas se realiza aplicando la ley de Ohm a cada rama:

- V 1 - Z 1 I 1 + E1 = 0 - V 1 - E2 - Z 2 I 2 = 0 - V 1 - Z 3 I 3 +V 2 = 0 -V 2 + Z4 I4 = 0 - V 2 + E3 + Z 5 I 5 +V 3 = 0 -V 3 - Z6 I6 = 0 - V 3 - Z7 I7 - E4 = 0 despejando las corrientes se tiene:

E1 - V 1 Z1 - E2 - V 1 I2= Z2 I1=

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I3=

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V 2 -V1 Z3

V2 Z4 V 2 - V 3 - E3 I5= Z5 V3 I6 = Z6 V 3 + E4 I7 = Z7 I4=

Sustituyendo las expresiones de las corrientes en las tres ecuaciones de los nudos:

E1 - V 1 - E 2 + V 1 + V 2 - V 1 = 0 Z1 Z2 Z3 V 2 - V 1 + V 2 + V 2 - V 3 - E3 = 0 Z5 Z3 Z4 V 2 - V 3 - E3 - V 3 - V 3 + E4 = 0 Z5 Z6 Z7 ordenándolas adecuadamente queda:

1 1  1 E1 E 2  1 V 1  + +  - V 2 = Z3 Z1 Z2  Z1 Z 2 Z3  1 1 1  1  1 - V 1 + V 2  + +  - V 3 = E 3 Z3 Z5 Z5  Z3 Z4 Z5  1 1 1   1 - V 2 + V 3  + +  = - E 3 - E 4 Z5 Z 5 Z7  Z 5 Z 6 Z7  Es importante resolver el sistema de forma que se obtengan sólo las tensiones en los nudos que interesen, ya que en la mayor parte de los casos no interesa el cálculo de todas las tensiones en todos los nudos, sino en los extremos de determinadas ramas. La mejor forma de resolver el sistema es utilizando la regla de Cramer. Mediante la notación matricial de las ecuaciones anteriores se tiene: [ Y i

] {V i }=  E i  , en el primer miembro, el primer término es la matriz de  Zi 

las admitancias (la admitancia es la inversa de la impedancia), el segundo término es la matriz columna de las tensiones en los nudos, las incógnitas del problema. En el segundo miembro figura el término independiente correspondiente a los generadores divididos por las impedancias de sus ramas. En este caso, el determinante de las admitancias viene dado por:

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1 Z1

+

1 Z2

+

D=

-

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1

-

Z3 1

1

Z3

Z3

+

1 Z4

+

0

-

1

0

Z3 1

-

Z5 1

1

Z5

Z5

+

1 Z6

+

1 Z5 1 Z7

La tensiones en los nudos V1,V2 yV3 se obtendrán mediante: V 1 =

D1 D D ; V 2= 2 ; V3= 3 D D D

siendo los determinantes:

E1 - E 2 Z1 Z 2

1

E3 Z5

D1 =

Z3

+

1 Z4

- E3 - E4 Z 5 Z7 1 Z1

+

1 Z2

D2 =

-

+

-

1 Z3

Z1 D3 =

+

1 Z2

+

-

Z3 1

-

Z5 1

1

Z5

Z5

+

1 Z6

+

1

- E3 - E4 Z 5 Z7

1

Z5

-

Z3 1

1

Z3

Z3

+

1 Z4

1 Z5 1 Z7 0

E3 Z5

Z3

0

0

E1 - E 2 Z1 Z 2

1

0

1

+

1

+

-

1 Z3 1 Z5 1 Z5

+

1 Z6

+

1 Z5 1 Z7

E1 - E 2 Z1 Z 2 E3 Z5 - E3 - E4 Z 5 Z7

el determinante de las admitancias se puede observar que en la diagonal principal figuran las sumas de las admitancias que concurren en cada uno de los nudos. El determinante es simétrico respecto a la diagonal

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principal. Los restantes coeficientes del determinante corresponden a las sumas de las admitancias de las ramas que unen los dos nudos correspondientes a los subíndices de los coeficientes del determinante dado, y todos ellos con signo negativo. Los términos independientes de las ecuaciones, son las sumas algebraicas de las relaciones entre las tensiones de los generadores, de tensión, de cada rama y la impedancia de dicha rama, afectada de un signo positivo cuando la fuente tiene el potencial dirigido hacia el nudo y con signo negativo cuando el sentido del potencial se aleja del nudo. Calculadas todas las tensiones de los nudos, las corrientes de cada rama se obtienen de las expresiones de las mismas calculadas anteriormente, o simplemente aplicando la ley de Ohm. CIRCUITO CON UNA RAMA QUE CONTIENE UN GENERADOR DE CORRIENTE Si además de fuentes de tensión existen fuentes de corriente, el valor de éstas se incluirán en las ecuaciones correspondientes de cada nudo. Si se escribe el sistema de ecuaciones directamente, las corrientes de las fuentes de corriente, figurarán en los segundos miembros con signo positivo cuando la corriente va dirigida hacia el nudo y negativa cuando se aleja del nudo. EJEMPLO Para el ejemplo de la figura 6.2, la tensión entre los extremos del generador de corriente será igual a la tensión en el nudo #1. V I = V 1

Figura 6.2.- Circuito con un generador de corriente en una rama. Por otra parte, al aplicar la primera ley de Kirchhoff al nudo #1 se obtiene:

I + I1 - I3 - I5 = 0 Teniendo en cuenta lo anterior, el sistema de ecuaciones que permite resolver el problema, tomando como

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nudo de referencia el #4, es:

 1 1 1  1 1 + + - V 3 = E1 + I  - V 2 V 1  Z3 Z5 Z1  Z1 Z3 Z5   1 1 1 1  1 - V 1 + V 2  + +  - V 3 = E 2 Z3 Z6 Z 2  Z 2 Z6 Z3   1 1 1 1 1  E4 -V 1 -V 2 + V 3  + +  = Z5 Z6  Z4 Z5 Z6  Z4 Cuando la fuente de corriente tiene una impedancia en serie, tal como se muestra en la figura 6.3, el sistema de ecuaciones en forma general varía y se transforma en:

1 ZI

+

1 Z1

+

1 Z3

+

1

-

Z5

1

-

Z5

1

E1 + V I Z1 Z I

Z3 V1

-

-

1

1

Z5

Z4

1 Z3

+

1 Z5

+

-

1

-

Z6 1

1

Z6

Z2

+

1 Z3

+

1 Z6 1 Z6

V3 =

E4 Z4

V2 E2 Z2

Como el fasor VI es desconocido, y figura en la columna de las excitaciones, columna correspondiente a los datos del problema, habrá que obtener el valor de dicho fasor en función de parámetros conocidos. Estableciendo la segunda ley de Kirchhoff, a partir del nudo #1, se obtiene la siguiente ecuación: V 1 = - Z I I + V I , es decir una relación entre V#1 y VI.

Figura 6.3.- Circuito con un generador de corriente en serie con una impedancia. Otra relación entre estos fasores se obtiene del sistema de ecuaciones anterior, así se tiene:

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V1

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D [ f (V I ) ] = 1 D

De estas dos últimas ecuaciones se obtienen los fasores V#1 yVI, a partir de los cuales, mediante el sistema general de ecuaciones se calculan:

V 2=

D2 [ f ( V I D

)]

V 3=

D3 [ f ( V I D

)]

Una forma de cálculo más sencilla se obtiene no considerando la presencia de la impedancia ZI ya que no afecta a la corriente que circula por su rama y por tanto a la aplicación de la primera ley de Kirchhoff al nudo #1. Se plantea el problema de forma análoga al caso anterior obteniéndose el siguiente sistema de ecuaciones:

1 Z1

+

1 Z3

+

1

-

Z5

1

-

Z5

1

E1 + I Z1

Z3 V1

-

-

1

1

Z5

Z4

+

1 Z5

1 Z3

+

-

1

-

Z6 1

1

Z6

Z2

+

1 Z3

+

1 Z6 1 Z6

V3 =

E4 Z4

V2 E2 Z2

Se resuelve el sistema de ecuaciones mediante la regla de Cramer, u otro método, y se obtienen las tensiones en los nudos: V#1, V#2 y V#3. La tensión V#I, en los extremos del generador de corriente se calculará de la expresión:

V1+ ZI I -V I =0 CIRCUITO CON UNA RAMA QUE CONTIENE UN ÚNICO GENERADOR DE TENSIÓN IDEAL En el caso de que alguna de las ramas del circuito contenga un generador ideal de tensión (no exista ninguna impedancia en serie con el generador de tensión), o bien que se desprecie su impedancia interna, el procedimiento indicado anteriormente no es válido ya que las ecuaciones establecidas quedarían indeterminadas al tener la rama una admitancia infinita. Esta dificultad se subsana eliminando el generador ideal mediante el establecimiento de generadores iguales, pero con el potencial en sentido contrario, en cada una de las ramas que confluyen a uno de los nudos al que va conectada la rama en cuestión. En la propia rama donde se encuentra dicho generador, al añadir otro igual pero de potencial desfasado 180º se convierte en un cortocircuito. Esto significa que la rama en consideración se transforma en un nudo. Las otras ramas se verán afectadas en cuanto que se ha añadido un generador de tensión, es decir, dispondrán de un elemento más a la hora de calcular el potencial entre sus extremos.

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EJEMPLO Considérese el circuito de la figura 6.4. El esquema nos muestra que entre los nudos #1 y #4 hay conectado un generador ideal de tensión, siendo la admitancia de esta rama infinita.

Figura 6.4.- Circuito con un generador ideal de tensión en una rama. Se deshace la indeterminación añadiendo en cada una de las ramas que concurren en uno de los dos nudos, un generador ideal de tensión con el mismo valor eficaz pero en contrafase, tal como se muestra en la figura 6.5.

Figura 6.5.- Modificación de la rama con generador ideal de tensión. Mediante esta transformación, según el Teorema de compensación que se enunciará posteriormente, no se varían las corrientes que circulan por las ramas del circuito ya que las diferencias de potencial entre los puntos 1´, 2´ y 3´ siguen siendo nulas, como lo eran en el circuito original. El potencial entre los nudos #1 y #4 pasa a ser cero con lo que ambos nudos se han transformado en un único nudo, pudiéndose establecer el siguiente circuito equivalente representado en la figura 6.6.

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Figura 6.6.- Circuito equivalente. El circuito equivalente dispone de tres nudos. Tomando como nudo de referencia el nudo #4, que coincide con el nudo #1, las ecuaciones que se han de plantear son:

 1 1 1  1 + +  - V 3 = E 1 + E 2 V 2  Z5 Z4 Z2  Z2 Z4 Z5   1 1 1 1  E3 - V 2 + V 3  + +  = Z5  Z3 Z5 Z6  Z3 Calculadas V#2 y V#3, se obtienen las corrientes mediante las expresiones:

V 2 - E 2 ; = V 2 - E1 ; = V 2 - V 3 I3 I5 Z2 Z4 Z5 V 3 ; = - V 3 E3 I6 = I7 Z6 Z3

I4=

la corriente I2 se obtiene de la expresión: I 2 = -

E1 , aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la rama de la Z1

figura 6.7.

Figura 6.7.- Rama del generador I1. La corriente I1 se obtiene estableciendo la primera ley de Kirchhoff en el nudo #1 del circuito original, es decir:

I 1= - ( I 2 + I 3 )

que, sustituyendo los valores de las corrientes, proporciona: I 1 =

E1 - V 2 - E1 Z1 Z4

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ELECCIÓN DEL NUDO DE REFERENCIA La mayor parte de las veces no es necesario calcular las corrientes que circulan por todas y cada una de las ramas del circuito, siendo lo normal el cálculo de alguna de ellas. Este hecho es el que condiciona en primer lugar la elección del nudo de referencia. Si se desea calcular la corriente que circula por una determinada rama, es una buena elección el tomar uno de los nudos de dicha rama como nudo de referencia. EJEMPLO Si en el ejemplo de la figura 6.1 se desea calcular la corriente que circula por la impedancia Z3, el nudo de referencia elegido en aquella ocasión no es el más idóneo ya que para obtener I3 es necesario calcular V#1 y V#2, y posteriormente calcular su diferencia. Sin embargo, si se toma como nudo de referencia el nudo #2 sólo es necesario calcular V1´, tal como se muestra en la figura 6.8.

Figura 6.8.- Nuevo nudo de referencia. En este caso el determinante D´ de admitancias vendrá dado por:

1 Z1 D′ =

+

1 Z2

+

1

0

1   1 - +   Z1 Z2 

Z3 0

1 Z5

1   1 - +   Z1 Z2 

+

1 Z6

+

1

1   1 -  +   Z 6 Z7 

Z7

1   1 + -    Z 6 Z7 

1 Z1

+

1 Z2

+

1 Z4

+

1 Z6

+

1 Z7

y el determinante D1´ por:

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E1 - E 2 Z1 Z 2 D1′ =

- E3 - E4 Z 5 Z7

- E1 + E 2 + E 4 Z 1 Z 2 Z7 D′ El valor de V1' vendrá dado por: V 1′ = D1′

1 Z5

+

1 Z6

+

0

 1 1  - +   Z1 Z2 

1

 1 1 + -   Z 6 Z7

Z7

 1 1 -  +  Z 6 Z7

  

1 Z1

+

1 Z2

+

1 Z4

+

1 Z6

+

  

1 Z7

Figura 6.9.- Rama de la impedancia Z3. Para calcular el valor de I3 se plantean, tal como se muestra en la figura 6.9, la ecuación de la rama:

I 3 Z 3 +V 1 - V 2 = 0 Potencial del nudo de referencia : V 2 = 0

por tanto: I 3 = -

V 1′ Z3

A la vista de lo expuesto, se comprende la importancia de una buena elección del nudo de referencia ya que permite una simplificación en la resolución del problema. NÚMERO DE ECUACIONES ESTABLECIDAS POR EL MÉTODO DE LOS NUDOS El número de ecuaciones que establece este método es igual al número de nudos menos uno, que es el que se toma como referencia. Siempre que el circuito esté constituido por varias ramas en paralelo, este método tiene menos ecuaciones a resolver que el método de corrientes de malla que se expondrá en el siguiente capítulo. Sin embargo, cada caso depende de la topología del circuito, y el descubrir qué método es el más corto, es decir que exige menos ecuaciones, es uno de los primeros análisis que se ha de hacer. Por último, indicar que si bien en el método de los nudos se opera con admitancias en el método de las corrientes de malla se calcula con

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impedancias. La simplicidad en el uso de uno u otro método, depende en gran parte de la facilidad de cálculo que se tenga para operar con dichos parámetros complejos. EJEMPLO RESUMEN Para finalizar el capítulo, se propone la resolución, por el método de los nudos, del circuito de la figura 6.10. Se trata de calcular las corrientes por las ramas del generador de tensión y de la impedancia, y de la tensión en los extremos del generador de corriente.

Figura 6.10.- Esquema del circuito propuesto. El circuito está formado por tres ramas que concurren en dos nudos. Se toma como referencia el nudo #2, de forma arbitraria. Para deshacer la indeterminación que presenta la rama con un generador ideal de tensión, se procede tal como se indica en la figura 6.11.

. Figura 6.11.- Simplificación del circuito propuesto. Al convertirse el nudo #1 en el nudo #2, se establecen las siguiente ecuaciones para las ramas: Rama con la impedancia Z:

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V 1= 0 - V 1 - 220 ∠0 ” - Z I Z = 0

que resulta: I Z = -

220 ∠ 0 ” , I Z = - 11 ∠ - 36,87 ” A 20 ∠ 36,87 ”

Rama con generador de corriente:

V 1= 0 - V 1 - 220 ∠0 ” + V I = 0

resultando: V I = 200 ∠ 0 ” V Por último, la corriente que circula por la rama del generador de tensión será de:

Ig=- I - IZ I g = - 10 ∠ 0 ” - ( - 11 ∠ - 36,87 ” ) = 6,71 ∠ - 100,3 ” A

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CAPITULO 7 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR EL MÉTODO DE LAS CORRIENTES DE MALLA INTRODUCCIÓN Este método de cálculo es una aplicación sistemática de la segunda ley de Kirchhoff, que establece que la suma de caídas y subidas de potencial a lo largo de un camino cerrado, trazado sobre un circuito, es cero. Aunque en el desarrollo del método de cálculo se presenta únicamente con generadores independientes de tensión y corriente, es también aplicable a circuitos formulados con generadores dependientes, siempre y cuando sean lineales, es decir, que la función que relaciona la variable que define al generador y la variable de la que depende sea lineal. CORRIENTES DE MALLA En cualquier circuito se pueden seleccionar varios caminos cerrados que se denominan bucles. Estos se pueden trazar a través de ramas que contengan nudos comunes o no. Se denomina malla a todo bucle que se pueda establecer a través de ramas que contengan nudos comunes y de forma que se recorra sólo una vez cada rama. El número de ecuaciones independientes que se pueden plantear es igual al número mínimo de mallas independientes que se pueden establecer en el circuito. Se llamarán corrientes de malla, o corrientes cíclicas de Maxwell, a unas corrientes hipotéticas que se supone circulan por cada una de las mallas seleccionadas del circuito. La elección de estas corrientes y sus sentidos es totalmente arbitraria. Habrá ramas del circuito, y por tanto componentes, que estén recorridos por más de una corriente de malla y el cálculo de su corriente se obtendrá componiendo aquellas. MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE UN CIRCUITO MEDIANTE LAS CORRIENTES DE MALLA Para aplicar este método de resolución, es aconsejable seguir los siguientes pasos: *

Elegir las mallas. Posteriormente se explicarán algunas normas para dicha elección.

*

Asignar a cada malla una corriente con un sentido arbitrario.

*

Aplicar la segunda ley de Kirchhoff a cada malla, teniendo en cuenta la suma de las corrientes que circulan por cada rama.

*

Resolver el sistema de ecuaciones obtenido, con tantas incógnitas como corrientes de malla tenga. La

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solución del sistema proporcionará el valor de las corrientes de malla. *

La corriente de cada rama será o bien una corriente de malla, en el caso en que la rama sólo pertenezca a una malla, o bien una combinación de dos, o más, corrientes de malla en el caso en que la rama sea común a dos, o más, mallas.

EJEMPLO Como ejemplo de lo expuesto, se propone la resolución del circuito de la figura 7.1, en el que se suponen conocidas las tensiones de los generadores y el valor de las impedancias.

Figura 7.1.- Esquema del circuito a resolver. Una vez elegidas las mallas y sus respectivas corrientes I1, I2 e I3, se aplica la segunda ley de Kirchhoff a cada una de estas mallas obteniéndose:

(

)

Primera malla > - V 1 + I 1 Z 1 - V 2 + Z 2 I 1 + I 2 = 0 Segunda malla > - V 2 + Z 2 I 1 + I 2 + Z 4 I 2 - I 3 + Z 3 I 2 = 0 Tercera malla > Z 4

( ) ( ( I - I )+ Z I - V = 0 3

2

5

3

)

3

Ordenando adecuadamente el sistema se tiene:

I 1 ( Z 1 + Z 2 )+ I 2 Z 2 = V 1 +V 2

I1 Z 2 + I2 ( Z2 + Z3 + Z4 )- I3 Z4 =V 2 - I 2 Z 4 + I 3 ( Z 4 + Z 5 )= V 3

que en notación matricial se puede poner como: [ Z i

j

]{ I }= {V } i

i

El sistema se ha de resolver calculando únicamente las corrientes deseadas, pues frecuentemente no interesa conocer todas las incógnitas, sino sólo aquellas que son necesarias para el estudio de las tensiones y corrientes en determinadas ramas. La mejor forma de resolver el sistema es pues utilizando la regla de Cramer. Así, la solución se expresa como:

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- Determinante del sistema, o de las impedancias:

Z1+ Z 2 D=

Z2

0

Z2 Z2+ Z3+ Z4

- Z4

0

- Z4 Z4+ Z5

- Corrientes de las mallas: I 1 =

Z2

0

V 2 Z2+ Z3+ Z4

- Z4

V 1 +V 2 D1 =

- Z4 Z4 + Z5

V3 Z 1 + Z 2 V 1 +V 2 D2 =

Z2 0 Z1+ Z 2

D3 =

D1 D D ; I 2 = 2 ; I 3 = 3 , siendo D1, D2 y D3 los determinantes siguientes: D D D

0 - Z4

V2

V 3 Z4 + Z5 Z 2 V 1 +V 2

Z2 Z2 + Z3+ Z4 0

- Z4

V2 V3

En el determinante de las impedancias, D, se puede observar que cada coeficiente de la diagonal principal tiene como valor la suma de todas las impedancias de la malla, impedancias propias de la malla, correspondiente al subíndice del coeficiente. El determinante es simétrico respecto a la diagonal principal. Los restantes coeficientes del determinante corresponden a las sumas de las impedancias comunes a las mallas indicadas por los subíndices del respectivo término del determinante, afectados de un signo positivo cuando las corrientes de malla que circulan tienen el mismo sentido y negativo cuando las corrientes tienen sentido contrario. Los términos independientes del sistema corresponden a las sumas de las tensiones de las fuentes de cada malla. Estas tensiones están afectadas del signo positivo si el sentido de la corriente que producen coincide con el sentido de la corriente de malla, y negativo en caso contrario. Una vez resuelto el sistema, y obtenido el valor de las corrientes de malla, la corriente que circula por cada rama será la suma de las corrientes de malla que circulan por ella.

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ELECCIÓN DE LAS MALLAS Frecuentemente, no es necesario calcular las corrientes que circulan por todas las ramas del circuito, sino sólo aquellas que interesen. Para simplificar el cálculo convendrá elegir las mallas convenientemente. En el caso del circuito anterior si la corriente que interesa obtener es la que circula por la impedancia Z2, evidentemente las mallas elegidas no son las más idóneas, ya que sería necesario calcular las dos corrientes I1 e I2 y sumarlas para calcular la corriente que circula por Z2. Sin embargo, escogiendo las mallas de forma que por la impedancia, cuya corriente se desea obtener, pase únicamente una corriente de malla, calculando dicha corriente se tendrá resuelto el problema. EJEMPLO Para el ejemplo anterior, si interesa conocer la corriente que circula por Z2, una solución en la elección de las corrientes de malla sería la indicada en la figura 7.2.

Figura 7.2.- Elección adecuada de las corrientes de malla. De esta forma, calculando I1 se tiene la corriente que circula por dicha impedancia. El valor de esta corriente viene dado por:

Z1

0

V 1 Z1+ Z3 + Z4

Z4

V 1 +V 2

I1=

V3 Z1+ Z 2

Z4 Z4+ Z5 Z1

0

Z1 Z1+ Z3 + Z4

Z4

0

Z4 Z4+ Z5

A la vista de expuesto se comprende la importancia en la elección de las corrientes de malla de forma que simplifiquen lo más posible la resolución del problema.

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CIRCUITO CON UNA RAMA QUE CONTIENE UN GENERADOR DE CORRIENTE Cuando en una de las ramas del circuito existe un generador de corriente se habrá de tener en cuenta que por dicha rama sólo circulará la corriente suministrada por el generador, que será la variable independiente, en general un dato del problema. Como incógnita surge la tensión en los extremos del generador de corriente, que será la variable dependiente del generador.

Figura 7.3.- Circuito con una rama que contiene un generador de corriente. Para incluir estos conceptos en el proceso sistemático de cálculo indicado se seguirán los siguientes pasos; 1.- Por la rama que contiene el generador de corriente, se hará circular una corriente de malla cuyo valor y sentido coincida con el del generador de corriente. Ver figura 7.3. 2.- Entre los extremos del generador de corriente aparece una diferencia de potencial, variable dependiente, VI que se debe indicar para establecer posteriormente de forma correcta las caídas de tensión en las mallas. 3.- Se escogerán las corrientes de malla de forma que simplifiquen lo más posible la resolución del problema. Sistema de ecuaciones:

Z1+ Z 2

Z1

0

Z1 Z1+ Z3 + Z5

- Z5

0

- Z5 Z4 + Z5

I

V 1 +V I

I2 = V1 -V 3 I3

V3

La tensión entre los extremos del generador de corriente se obtiene de la ecuación: I =

D1 ( V I ) D

que resuelta proporciona VI. Una vez obtenido VI, se calculan las corrientes de malla mediante las expresiones: I 2 =

D2 ( V I ) D

y

I3=

D3 ( V I ) D

También se pueden plantear las ecuaciones directamente, con lo que se obtienen:

- V I + Z 2 I - V 1 + Z 1 ( I + I 2 )= 0

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- V 1 + Z 1 ( I + I 2 ) + Z 3 I 2 + Z 5 ( I 2 - I 3 ) +V 3 = 0 -V 3 + Z 5 ( I 3 - I 2 )+ Z 4 I 3 = 0 pero de ellas no se puede obtener directamente el valor de VI. En la elección de las corrientes de malla es posible utilizar más de una corriente que circule por la rama que contiene el generador de corriente, pero la resultante de dichas corrientes ha de ser precisamente la suministrada por el generador. Ver figura 7.4.

Figura 7.4.- Elección de las corrientes de malla. El circuito de la figura se ha de complementar con la expresión: I = I 1 + I 2 Otra forma de cálculo que evita el tener que hallar la tensión en los extremos del generador de corriente es el siguiente. 1. Se selecciona una corriente de malla de forma que circule por la rama que contiene al generador de corriente y cuyo valor sea la del propio generador, siendo por tanto dato del problema. Las otras corrientes de malla han de ser tales que ninguna de ellas circule por la rama que contiene al generador de corriente. 2. Se establecen los potenciales debidos a la corriente del generador de corriente en todos los elementos pasivos por los que circula dicha corriente y las otras corrientes de malla. 3. Al ser dato la corriente del generador de corriente, se reduce el número de ecuaciones en una unidad, pasando a tener el problema un número de ecuaciones igual a número de incógnitas de n – 2. 4. El término independiente del sistema de ecuaciones, o término de excitaciones, se forma en cada malla analizando los generadores de tensión existentes y ahora también las caídas de tensión debidas la corriente del generador de corriente en los elementos pasivos de dicha malla, ambas tensiones tendrán signo positivo si llevan el sentido de la corriente y negativo si el sentido es contrario. 5. Establecido el sistema de ecuaciones se resuelve de la forma ya indicada. Para el circuito mostrado en la figura 7.3., las corrientes de malla seleccionadas cumplen los requisitos a imponer en la elección de las corrientes de malla.

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Observando dichas corrientes se comprueba que el potencial: VZ 1 = Z1 I , debido a la corriente del generador de corriente, tiene el sentido contrario al del generador de tensión V1 pero el mismo que el generador de tensión V3 , además dicho potencial afectará a la primera malla, la correspondiente a la corriente I2. Por tanto el sistema de ecuaciones se planteará como:

Z1 + Z 3 + Z 5 − Z5

− Z 5 I 2 V1 − Z1 I − V3 = Z 4 + Z5 I3 + V3

un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es decir una incógnita menos que en el caso general. Ahora bien, para calcular la tensión en los extremos del generador de corriente habrá que utilizar una malla que contenga a la rama del generador de corriente, por ejemplo: − VI + Z 2 I − V1 + Z1 (I + I 2 ) = 0 NÚMERO MÍNIMO DE MALLAS INDEPENDIENTES El número de ecuaciones linealmente independientes necesario para resolver un circuito, es igual al número mínimo de mallas que se pueden establecer en el mismo. Por tanto, es necesario disponer de un método fácil de utilizar para averiguar el número mínimo de mallas que tiene un circuito cualquiera. En este apartado se explicará el denominado método de los cortes que consiste en lo siguiente. Si imaginariamente se corta una determinada rama del circuito analizado, alguna malla quedará abierta. Se corta otra rama cualquiera, de las que han quedado unidas al cortar la primera, con lo que se abrirá alguna otra malla. Se sigue el proceso cortando ramas que provoquen la apertura de mallas hasta que todas las mallas posibles del circuito queden abiertas. El número mínimo de mallas independientes que tiene el circuito es igual al número de cortes efectuados. EJEMPLO Considérese el circuito de la figura 7.5. En él con los cuatro cortes señalados, se consigue que ninguna malla quede cerrada, por tanto el número mínimo de mallas es de cuatro. Para resolver el circuito se obtendrá un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas.

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Figura 7.5.- Método de los cortes. IMPEDANCIA DE ENTRADA Considérese un circuito, formado única y exclusivamente por componentes pasivos, con dos terminales, tal como se muestra en la figura 7.6.

Figura 7.6.- Impedancia de entrada. Cuando se conecta a los terminales del circuito un generador de tensión , circulará una corriente I de entrada, al circuito. Se denomina impedancia de entrada a la relación: Z e =

V I

En el caso de circuitos de dos terminales con componentes activos, es decir, que en su interior existan generadores de tensión y corriente, se sigue denominando impedancia de entrada a la relación anterior, pero para el cálculo de la corriente de entrada se han de cortocircuitar las fuentes de tensión, anular las fuentes de corriente y mantener las impedancias internas de los generadores si las hubiese. EJEMPLO RESUMEN Para finalizar el capítulo, se propone la resolución, por el método de las corrientes de malla, del circuito de la figura 7.7. Se trata de calcular las corrientes por las ramas del generador de tensión y de la carga, así como de la tensión entre los extremos del generador de corriente. En la resolución del problema se tomarán las corrientes de malla seleccionadas en la figura 7.7.

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Figura 7.6.- Circuito propuesto. El sistema de ecuaciones escrito en forma matricial es:

Z

Z

I1

Z

Z

10 ∠ 0 ”

=

220 ∠ 0 ” VI

que corresponde a ecuaciones linealmente dependientes, con lo que no puede establecerse su solución mediante la regla de Cramer. Se habrá de recurrir al planteamiento en forma genérica de las ecuaciones, es decir:

- V + Z ( I 1 + I )= 0 - V I + Z ( I 1 + I )= 0

V -I Z y sustituyendo valores se tiene: V I = 220 ∠ 0 ” V de las que se obtiene que: V = V I

y

I1=

I 1 = 6,71 ∠ - 100,3” A

con lo que:

I g = I 1 = 6,71 ∠ - 100,3” A I Z = I 1 + I = 11 ∠ - 36,87 ” A Eligiendo otras corrientes de malla, tal como se muestra en la figura 7.8, se obtienen los mismos resultados pero con mayor claridad.

Figura 7.8.- Elección nuevas corrientes de malla.

El sistema de ecuaciones, escrito en forma matricial, es el siguiente:

0

I1

0 0

I

Z

=

V V I -V

sistema que no se puede resolver mediante la regla de Cramer. Sin embargo, el planteamiento de las ecuaciones de las mallas a través de la segunda ley de Kirchhoff

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resuelve el problema de forma inmediata, así se tiene que:

- V +V I = 0 -V + Z I1= 0 es decir:

V 220 ∠ 0 ° = = 11 ∠ - 36,87 ° A Z 20 ∠ 36,87 ° V I = V = 220 ∠ 0 ° V I Z = I1=

y, por tanto: I g = I 1 - I = 11 ∠ - 36,87 ° - 10 ∠ 0 ° = 6,71 ∠ - 100,3 ° A

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CAPÍTULO 8 TEOREMAS GENERALES DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS INTRODUCCIÓN Cuando en un circuito se desea conocer la corriente que circula por un determinado elemento pasivo se aplica uno cualquiera de los procedimientos indicados en capítulos anteriores. En particular, en los métodos de las tensiones en los nudos y método de las corrientes de malla se habrá de calcular el cociente entre dos determinantes con unas dimensiones iguales al número de ecuaciones. Cuando la magnitud del elemento pasivo en cuestión es variable, y se desea conocer la corriente que circula por él para ciertos valores del mismo, el procedimiento de cálculo indicado es bastante largo y engorroso. Los teoremas de Thevenin y Norton simplifican el problema ya que sustituyen el circuito, previa eliminación del elemento pasivo, por otro circuito equivalente con dos terminales, compuesto por un generador y una impedancia. De esta forma, al conectar a estos terminales del circuito simplificado el elemento pasivo variable, la corriente que circula por él es la misma que la corriente que circula en el circuito original. El teorema de superposición, proporciona el método de resolución de circuitos más adecuado cuando en un mismo circuito existen fuentes de tensión y/o corriente de distintas frecuencias. Así mismo, se muestran el teorema de transferencia de la potencia máxima y la transformación triángulo estrella que son muy útiles para la resolución de problemas de transferencia de potencias muy bajas y en la simplificación o transformación de circuitos especialmente trifásicos, respectivamente. Por último, se expone el teorema de compensación que permite simplificaciones de elementos de un circuito mediante sustitución. Este método de simplificación ya fue utilizado en la resolución de las indeterminaciones que aparecen con fuentes de tensión ideales en el método de las tensiones en los nudos y que en este capítulo se introduce de una forma genérica para su aplicación en cualquier situación en la que se necesite establecer una simplificación mediante sustitución. TEOREMA DE THEVENIN El teorema de Thevenin, ver figura 8.1, establece que todo circuito lineal activo con dos terminales A y B, se puede sustituir por otro circuito lineal activo con, también, dos terminales A y B, constituido por una fuente de tensión Vth, en serie con una impedancia Zth.

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Figura 8.1.- Equivalencia Thevenin. La tensión equivalente de Thevenin Vth es la que existe entre los terminales A y B, en el circuito original, cuando ambos terminales se encuentran en circuito abierto, como se muestra en la figura 8.2. La impedancia equivalente de Thevenin Zth es la impedancia de entrada definida en el capitulo anterior, vista desde los terminales A y B con todas las fuentes internas anuladas (cortocircuito de las fuentes de tensión y apertura de las fuentes de corriente), si son fuentes ideales. Si las fuentes son reales se procede de la misma forma, permaneciendo las impedancias internas de dichos generadores.

Figura 8.2.- Cálculo de la tensión de Thevenin. Para calcular la tensión equivalente Vth = VAB se debe resolver el circuito con A y B en circuito abierto, mediante uno cualquiera de los procedimientos de resolución descritos anteriormente. El cálculo de Zth, una vez anuladas todas las fuentes del circuito dado, se puede resolver aplicando uno de los dos siguientes procedimientos: •

Cálculo de la impedancia equivalente vista desde los terminales A y B mediante composición de impedancias.

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•

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Cálculo de la impedancia de entrada vista desde los terminales A y B, igual a la impedancia de Thevenin equivalente.

Figura 8.2.- Cálculo de la tensión de Thevenin. Para ello, ver figura 8.3 se supone un generador ideal Vg conectado entre A y B. Se calcula la intensidad Ig que suministra el generador. La impedancia de entrada Z' , o Zth, viene dada por: Z ′ =

Vg Ig

EJEMPLO Cálculo del circuito equivalente de Thevenin del circuito de la figura 8.4.

Figura 8.4.- Circuito propuesto. 1) Cálculo de la tensión de Thevenin Vth. Para la malla de la izquierda, por la que se supone circula una corriente 1, indicada en la figura, se establece

V 1 +V 2 aplicando la segunda ley de Kirchhoff: - V 1 + I 1 Z 1 - V 2 + I 1 Z 2 = 0 , de donde: I 1 =

Z1+ Z 2

V 1 +V 2 = 0 Para la malla de la derecha: - V AB - V 3 - V 2 + Z2

Z1+ Z 2 V 1 Z 2 -V 2 Z1 -V 3 ( Z1+ Z 2 ) V 1 +V 2 por tanto: V th = V AB = Z 2 - V 2 - V 3 , V th = Z1+ Z 2 Z1+ Z 2

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2) Cálculo de la impedancia Zth equivalente de Thevenin. Anuladas las fuentes ideales se obtiene el circuito simplificado de la figura 8.5.

Figura 8.5.- Circuito simplificado para el cálculo de Zth. Utilizando la composición de impedancias, la impedancia equivalente vista desde A y B será la composición en paralelo de Z1 con Z2 y su resultante en serie con Z3, es decir:

Z th =

Z1 Z 2 + = Z1 Z 2 + Z1 Z3 + Z 2 Z3 Z3 Z1+ Z 2 Z1+ Z 2

Otra forma de cálculo de Zth es mediante el concepto de impedancia de entrada. Para ello se establece el circuito de la figura 8.6.

Figura 8.6.- Circuito para el cálculo de la impedancia de entrada. Resolviendo por el método de las corrientes de malla, para las corrientes de malla seleccionadas en la figura,

Z1+ Z 2 se tiene que: I g =

0

- Z2 V g V g ( Z1+ Z2 ) = - Z 2 ( Z 1 + Z 2 ) ( Z 2 + Z 3 ) - Z 22 Z1+ Z 2 - Z2 Z2+ Z3

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Z th =

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+ + = Z1 Z2 Z1 Z3 Z2 Z3 Z1+ Z 2 Ig

Vg

Este último método, aunque más complejo que el anterior, es muy útil cuando la composición de impedancias es compleja y no se aprecia una simplificación fácil. Calculada la tensión e impedancia equivalente de Thevenin, Vth y Zth, el circuito original se puede sustituir por el de la figura 8.7. mucho más sencillo.

Figura 8.7.- Circuito equivalente Thevenin. La corriente que circule por cualquier impedancia que se conecte entre A y B en el circuito original, será la misma que la que circule al ser conectada en el circuito equivalente Thevenin. El sentido dado a la tensión del generador equivalente Vth en la figura 8.4. se debe a que se ha calculado VAB. Si se hubiese calculado VBA, la flecha del generador Vth habría de ser dibujada hacia abajo. TEOREMA DE NORTON Este teorema, ver figura 8.8, establece que todo circuito lineal activo con dos terminales A y B, puede ser sustituido por otro circuito lineal activo, con dichos terminales A y B, constituido por una fuente de corriente IN con una impedancia ZN en paralelo.

Figura 8.8.- Teorema de Norton.

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La corriente IN suministrada por el generador de corriente es la que circula por una rama que establezca un cortocircuito entre los terminales A y B, tal como se muestra en la figura 8.9.

Figura 8.9.- Cálculo de la corriente de Norton, IN. El valor de la impedancia ZN es el mismo que el obtenido para el circuito equivalente Thevenin, es decir, equivale a la impedancia de entrada del circuito vista desde los terminales A y B. Así mediante el concepto de impedancia de entrada, figura 8.10, se obtiene: Z N =

Vg Ig

Figura 8.10.- Cálculo de la impedancia de Norton, ZN. EJEMPLO Obtención del circuito equivalente Norton del circuito de la figura 8.4. En primer lugar se calcula la corriente equivalente Norton. Para ello se cortocircuitan los terminales A y B y se calcula la corriente que circula por el mismo, tal como se muestra en la figura 8.5.

Figura 8.11.- Esquema para el cálculo de IN.

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 1

Aplicando el método de las tensiones en los nudos, se tiene: V 1′ 

 Z1

de donde: V 1′ =

+

1 Z2

+

1  V1 V2 V3  = - + Z3  Z1 Z 2 Z3

V 1 Z 2 Z 3 - V 2 Z 1 Z 3 +V 3 Z 1 Z 2 Z1 Z 2 + Z1 Z3 + Z 2 Z3

La corriente IN, que circula por el cortocircuito, se puede obtener planteando la diferencia de potencial V'1 entre los extremos de la rama de la derecha, obteniéndose la expresión:

Z1 Z2 Z3 - V 3 IN= Z1 Z 2 + Z1 Z3 + Z 2 Z3 Z3 V 1 Z 2 - V 2 Z 1 +V 3

IN=

V 1 Z 2 -V 2 Z1 -V 3 ( Z1+ Z 2 ) Z1 Z 2 + Z1 Z3 + Z 2 Z3

IN=

V 1′ - V 3 Z3

Dado que la definición de la impedancia de Norton ZN es equivalente a la impedancia de Thevenin, el circuito equivalente Norton será el representado en la figura 8.12, con: Z N =

Z1 Z 2 + Z1 Z3 + Z 2 Z3 Z1+ Z 2

La corriente que circule por cualquier impedancia conectada entre los terminales A y B del circuito equivalente de la figura 8.12, será idéntica a la obtenida si dicha impedancia se conectase entre los terminales A y B del circuito original, figura 8.4.

Figura 8.12.- Circuito equivalente Norton. El sentido dado a la corriente suministrada por el generador de corriente, en el circuito Norton equivalente, corresponde al sentido de la corriente en el cortocircuito realizado en el circuito original. Es decir, si en el circuito original la corriente por el cortocircuito circula de A a B, en el circuito equivalente Norton, al cortocircuitar los terminales, la corriente ha de circular también de A a B. Tanto el teorema de Thevenin como el de Norton se utilizan para el cálculo de la variables eléctricas de un elemento, o rama, de un circuito. Para ello, se desconecta el elemento, o rama, del mismo y se establece el

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circuito equivalente del resto del circuito. Se vuelve a conectar el elemento, o rama, en los terminales del circuito equivalente, y se calculan las variables deseadas en el nuevo circuito simplificado. EQUIVALENCIA ENTRE LOS CIRCUITOS THEVENIN Y NORTON Si los circuitos Thevenin y Norton son equivalentes al circuito original, ambos tendrán que ser equivalentes entre sí. En efecto, los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton de las figuras 8.7 y 8.12, respectivamente, son a su vez equivalentes entre sí, ya que si en ambos se establece un cortocircuito entre sus terminales A y B, tal como se muestra en la figura 8.13, la corriente que circula por dichos cortocircuitos es la misma.

Figura 8.13.- Equivalencia entre circuitos Thevenin - Norton. El valor de la corriente, para el circuito equivalente Thevenin, viene dado por:

I 1=

V th = V 1 Z 2 - V 2 Z 1 - V 3 ( Z 1 + Z 2 ) Z th Z1 Z 2 + Z1 Z3+ Z 2 Z3

para el circuito equivalente Norton por:

I AB = I N =

V 1 Z 2 -V 2 Z1 -V 3 ( Z1+ Z 2 ) Z1 Z 2 + Z1 Z3 + Z 2 Z3

Se observa que ambas corrientes son iguales. Lo mismo sucedería al calcular, para ambos circuitos, la corriente que circula entre los terminales A y B si se conectase una impedancia.

Figura 8.14.- Equivalencia entre circuitos Thevenin y Norton.

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La igualdad entre circuitos se puede establecer también comprobando que la tensión entre A y B, como se muestra en la figura 8.14, en ambos circuitos, son iguales.

V 1 Z 2 -V 2 Z1 -V 3 ( Z1+ Z 2 ) V 1 +V 2 Z2 -V 2 -V 3= Z1+ Z 2 Z! + Z 2 V 1 Z 2 -V 2 Z1 -V 3 ( Z1+ Z 2 ) Z1 Z 2 + Z1 Z3 + Z 2 Z3 y, para el circuito Norton: V AB = Z1 Z 2 + Z1 Z3 + Z 2 Z3 Z1+ Z 2 V 1 Z 2 -V 2 Z1 -V 3 ( Z1+ Z 2 ) V AB = Z1+ Z 2 V AB = Z N I N

Así, para el circuito Thevenin: V AB = V th =

El circuito equivalente Norton de un circuito equivalente Thevenin se calcula fácilmente de la forma siguiente. Sea el circuito equivalente Thevenin genérico de la figura 8.7. Se cortocircuitan sus terminales A y B, tal como se muestra en la figura 8.15.

Figura 8.15.- Transformación Thevenin - Norton. Se calcula la corriente que circula por el cortocircuito: I AB =

V th , y como las impedancias equivalentes de Z th

Thevenin y de Norton son equivalentes, el circuito equivalente Norton será el representado en la figura 8.16.

Figura 8.16.- Circuito equivalente Norton. El circuito equivalente Thevenin de un circuito equivalente Norton se obtiene de forma análoga. Así, para el circuito Norton genérico de la figura 8.12, su equivalente Thevenin se obtiene calculando la diferencia de potencial entre los terminales A y B en circuito abierto, tal como se muestra en la figura 8.17.

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Figura 8.17.- Equivalencia Thevenin. Se obtiene: V th = V AB = I N Z N Por tanto, el circuito equivalente Thevenin, del circuito Norton dado, es el de la figura 8.18.

Figura 8.18.- Circuito equivalente Thevenin. La equivalencia entre ambos circuitos es muy útil, ya que siempre que se tenga una fuente de tensión V con una impedancia Z en serie, se puede sustituir por una fuente de corriente, de valor V / Z, con dicha impedancia Z en paralelo. Así mismo, cuando se trate de una fuente de corriente con una impedancia en paralelo Z, se podrá sustituir por un generador de tensión V = Z I , en serie con dicha impedancia.

OTROS CASOS DE EQUIVALENCIA Se presentan, con bastante frecuencia en los circuitos eléctricos, dos configuraciones con generadores. Su fácil e inmediata simplificación justifica la inclusión en esta sección de equivalencias de un circuito. Ambas simplificaciones ya fueron comentadas cuando se establecieron las definiciones de los generadores ideales de tensión y corriente, pero es ahora mediante la transformación Thevenin - Norton cuando se puede dar una expresión matemática al hecho simplemente enunciado entonces. El primer caso, ver figura 8.19, se presenta cuando en un circuito hay un generador ideal de tensión con una impedancia en paralelo.

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Figura 8.19.- Equivalencia Thevenin de un generador ideal. La tensión Vth, que es la tensión entre los puntos A y B en circuito abierto, será igual a la tensión V suministrada por el generador ideal de tensión. La impedancia Zth equivalente de Thevenin, obtenida anulando los generadores, será nula ya que al anular el generador ideal de tensión se establece un cortocircuito cuya impedancia es cero. El circuito equivalente Thevenin será el mostrado en la figura 8.19. Por tanto, cuando se presente una configuración de este tipo, se puede eliminar (borrar) la impedancia conectada en paralelo con el generador ideal de tensión. El segundo caso se presenta, ver figura 8.20, cuando se dispone de un generador ideal de corriente con una impedancia en serie.

Figura 8.20.- Equivalencia Norton de un generador de corriente ideal. La corriente IN, que circula por un cortocircuito establecido entre los terminales A y B, será igual a la corriente I suministrada por el generador ideal de corriente. La impedancia ZN equivalente de Norton, obtenida anulando los generadores, será infinita ya que al anular el generador ideal de corriente los terminales A y B quedan en circuito abierto. El circuito equivalente Norton será el mostrado en la figura 8.20. Por tanto, cuando se presente una configuración de este tipo, se puede eliminar (cortocircuitar) la impedancia

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conectada en serie con el generador ideal de corriente. Hay que hacer notar que estas simplificaciones no son posibles cuando se trata de obtener las condiciones de estado, por ejemplo el triángulo de potencias, de los generadores o de las impedancias, ya que al establecer el equivalente Thevenin o Norton se pierde toda información respecto a los mismos.

TEOREMA DE THEVENIN - NORTON CON GENERADORES DEPENDIENTES En todo lo visto anteriormente, se han supuesto circuitos lineales activos con generadores independientes. La extensión de estos teoremas a circuitos con generadores dependientes exige una serie de consideraciones. Así, los generadores dependientes han de ser lineales, es decir, ha de ser lineal la función de dependencia entre la variable que define al generador, tensión o corriente, y la variable de la que depende. Existen casos en los que no es posible la aplicación de este teorema ya que la relación existente entre v (t) e i (t), en los puntos A y B de cálculo del circuito equivalente, no es una línea recta sino que, corresponde a un único punto del plano v - i, o bien a todos los puntos del plano v - i. Dichos casos se muestran en la figuras adjuntas, 8. 21 y 8.22, respectivamente.

Figura 8.21.- Circuito con una relación puntual en el v – i.

Figura 8.22.- Circuito con una singularidad den la relación entre v(t) e i(t).

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TEOREMA DE MILLMAN Está basado en las equivalencias Thevenin - Norton. Es el método más sencillo y sistemático para agrupar fuentes reales de tensión conectadas en paralelo. Sea el grupo de fuentes reales de tensión conectadas en paralelo, de la figura 8.23, cuya resultante se desea calcular.

Figura 8.23.- Fuentes reales de tensión conectadas en paralelo. Utilizando la transformación Thevenin - Norton, se pueden convertir en fuentes reales de corriente, tal como se muestra en la figura 8.24.

Figura 8.24.- Transformación a fuentes reales de corriente. Se agrupan las fuentes de corriente aplicando la primera ley de Kirchhoff, y se asocian las impedancias en paralelo. Con ello se obtiene el circuito simplificado de la figura 8.25.

Figura 8.25.- Simplificación del circuito transformado.

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Para recuperar el circuito equivalente con generador de tensión, se realiza una transformación Norton Thevenin, obteniéndose el circuito de la figura 8.26.

Figura 8.26.- Circuito simplificado con generador de tensión. Como resumen, se puede decir que los pasos a seguir, para obtener el circuito equivalente de la figura 8.27, son los siguientes:

Figura 8.27.- Circuito equivalente genérico de Millman.

1 Ek ; Yk= Zk Zk 2º.- Obtener: I T = I 1 + I 2 + ... + I k 3º.- Hallar: Y T = Y 1 + Y 2 + ... + Y k

1º.- Calcular: I k =

4º.- Calcular: E =

IT YT

;

Z=

1 YT

EJEMPLO La obtención del circuito equivalente Thevenin del circuito de la figura 8.28, se puede establecer de forma inmediata mediante transformaciones Thevenin-Norton tal como se muestra en las figuras siguientes.

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Figura 8.28.- Circuito propuesto. Para agrupar los generadores de tensión V1 y V

2

se aplica la transformación Thevenin-Norton a ambos,

obteniéndose el circuito equivalente de la figura 8.29.

Figura 8.29.- Circuito equivalente. Se agrupan ambos generadores de corriente, obteniéndose el circuito equivalente de la figura 8.30.

Figura 8.30.- Circuito equivalente. Se transforma el generador de corriente en generador de tensión, tal como se muestra en la figura 8.31, lo que permite la composición de los generadores de tensión resultantes.

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Figura 8.31.- Circuito equivalente. Realizando la composición de ambos generadores de tensión se obtiene, ver figura 8.32, el circuito equivalente Thevenin del circuito propuesto en la figura 8.28.

Figura 8.32.- Circuito Thevenin equivalente. EJEMPLO RESUMEN. Como ampliación del teorema de Thevenin, se propone el cálculo de la corriente suministrada por el generador de tensión y la corriente que circula por la impedancia Z, del circuito de la figura 8.33.

Figura 8.33.- Circuito propuesto. Para calcular la corriente que circula por el generador de tensión, se establece, separando el generador de tensión, el circuito equivalente Thevenin del resto del circuito. En la figura 8.34 se muestra el circuito resultante.

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Figura 8.34.- Circuito equivalente Thevenin. Este circuito equivalente Thevenin se puede obtener directamente mediante una transformación Norton Thevenin tal como se muestra en la figura 8.35.

Figura 8.35.- Transformación Norton - Thevenin. Por tanto, el circuito a resolver será el de la figura 8.36.

Figura 8.36.- Circuito equivalente al propuesto. Para este circuito, de una única malla, la corriente suministrada por el generador de tensión del enunciado se obtiene de la forma: - 220 ∠ 0 ° + I g 20 ∠ 36,87 ° + 200 ∠ 36,87 ° = 0

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220 ∠ 0 ° - 200 ∠ 36,87 ° = 6,71 ∠ - 100,30 ° A Ig= 20 ∠ 36,87 °

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Para calcular la corriente que circula por la impedancia, se establece el circuito equivalente Thevenin, sacando la impedancia, tal como se muestra en la figura 8.37.

Figura 8.37.- Circuito para el cálculo de la corriente por la impedancia. El cálculo de este circuito equivalente es inmediato, como se muestra en la figura 8.38.

Figura 8.38.- Segundo equivalente Thevenin. La tensión entre los terminales A y B vendrá dada por: V th = V AB = 220 ∠ 0 ° V y la impedancia de Thevenin, al anular las fuentes se reduce a: Z th = 0 Así, el circuito equivalente será el mostrado en la figura 8.39.

Figura 8.39.- Segundo circuito equivalente Thevenin.

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Por tanto, la corriente que circula por la impedancia vendrá dada por:

IZ =-

220 ∠ 0 ° = - 11 ∠ - 36,87 ° A 20 ∠ 36,87 °

TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN Establece que la respuesta de cualquier elemento de un circuito lineal activo, con dos o más fuentes de energía, es igual a la suma de las respuestas de dicho elemento obtenidas con cada una de las fuentes actuando separadamente y con todas las restantes fuentes anuladas, mediante un cortocircuito las fuentes de tensión y con un circuito abierto las fuentes de corriente, siempre que sean ideales. Si las fuentes son reales, se sustituirán éstas por sus impedancias internas. La resolución del circuito, para la actuación de cada uno de los generadores, se puede establecer mediante cualquiera de los métodos ya estudiados. Resulta, normalmente, ventajoso utilizar los teoremas de Thevenin y/o Norton, cuando se trata de hallar la respuesta de un único elemento de un circuito que contiene varios generadores. El teorema de superposición permite resolver los circuitos alimentados con fuentes de tensión o corriente de frecuencias distintas. EJEMPLO Como ejemplo se propone calcular la corriente instantánea que circula por el circuito de la figura 8.40.

Figura 8.40.- Circuito propuesto. Teorema de superposición. Las dos fuentes de tensión son de frecuencias distintas, una es de corriente continua (frecuencia cero) y la otra es de corriente alterna sinusoidal de una frecuencia dada. La corriente que circula será debida a los dos generadores y su cálculo se establecerá obteniendo la corriente debida a cada uno de los generadores, con el otro generador anulado. Así, para el generador de corriente alterna se establecerá el circuito de la figura 8.41, en el que se ha anulado el generador de corriente continua.

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Figura 8.41.- Circuito para el generador de tensión alterna.

V ∠ 0° R+ j X L V ∠- arc tg X L en forma módulo argumental: I = 2 2 R R +XL El valor de la corriente será: I =

Para obtener la respuesta en corriente continua se anula el generador de corriente alterna, obteniéndose el circuito de la figura 8.42.

Figura 8.42.- Circuito para el generador de tensión continua. Por tratarse de un generador de frecuencia nula, la reactancia inductiva de la bobina ideal es nula y por tanto su comportamiento es el de un cortocircuito. La corriente de respuesta al generador de corriente continua será: I =

E R

La corriente instantánea en el circuito, debida a los dos generadores de tensión, será la suma de las corrientes instantáneas obtenidas, es decir: i(t) =

E + R

2V

  sen  ωt - arc tg X L  R   R +X 2

2 L

EJEMPLO RESUMEN Como aplicación del teorema de superposición se propone el cálculo de la corriente que circula por la impedancia Z en el circuito de la figura 8.43. Se aplica el teorema de superposición calculando la corriente

Z

debida a cada uno de los generadores, con el otro generador anulado. La solución vendrá dada por la suma algebraica de las soluciones debidas a cada uno de los generadores.

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Figura 8.43.- Circuito propuesto. Respuesta al generador de tensión.- Anulando el generador de corriente, es decir, dejando en circuito abierto su rama, tal como se muestra en la figura 8.44, se tiene que:

( IZ ) V =-

V 220 ∠ 0 ° =; ( I Z ) V = - 11 ∠ - 36,87 ° A Z 20 ∠ 36,87 °

Figura 8.44.- Para el generador de tensión. Respuesta al generador de corriente.- En este caso se anulará el generador de tensión, estableciendo un cortocircuito en su rama, tal como se muestra en la figura 8.45.

Figura 8.45.- Resolución para el genreador de corriente. Para este circuito se verifica, al estar la rama con la impedancia Z en paralelo con un cortocircuito, que:

( IZ ) I =0 A

Aplicando el teorema de superposición a los resultados obtenidos se tiene que:

I Z = ( I Z ) V + ( I Z ) I = - 11 ∠ - 36,87 ° A

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POTENCIA MEDIA Y SUPERPOSICION .- El teorema de superposición no es aplicable, en general, para el cálculo de la potencia en redes con más de una fuente de tensión y o corriente. Supóngase el circuito de la figura.

Aplicando el teorema de superposición se obtiene: i = i1 + i 2 siendo, i1 la corriente en la resistencia debida al generador v1 e i2 debida al generador v2, respectivamente. 2 Aplicando la definición de potencia instantánea, disipada por la resistencia, se llega a: p = R ( i1 + i 2 ) 2

2

llamando p1 = R i1 y p2 = R i2 a las potencias instantáneas debidas a la corrientes i1 e i2 respectivamente, es decir, actuando independientemente los generadores v1 y v2. Así, se tiene que: p = p1 + p 2 + 2 R i1 i 2 En general, 2 R i1 i2 ≠ 0 y por tanto p ≠ p1 + p2 con lo que el terorema de superposición no es aplicable a la potencia instantánea. Si la función de potencia instantánea es periódica de período T, la potencia media es:

1 P= T

T

∫ 0

2R p dt = P1 + P 2 + T

T

∫i

i dt

1 2

0

siendo P1 y P2 las potencias medias disipadas por la resistencia R debidas a la fuente de tensión V1 y v2 respectivamente, actuando separadamente. Será, por tanto, aplicable el teorema de superposición cuando se verifique que: P = P1 + P 2 T

por tanto se ha de verificar que:

∫i

i dt = 0

1 2

0

Uno de los casos más importantes es aquel en el que i (t) está formada por componentes sinusoidales de

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diferentes frecuencias. Supongase que:

i1 = I m 1 sen ( ω 1 t + φ 1 ) i 2 = I m 2 sen ( ω 2 t + φ 2 )

Supuesto i = i1 + i2 función periódica de período T, se tiene que:

I m 1 sen [ ω 1 ( t + T ) + φ 1 ] + I m 2 sen [ ω 2 ( t + T ) + φ 2 ] = I m 1 sen ( ω 1 t + φ 1 ) + I m 2 sen ( ω 2 t + φ 2 ) que requiere que se verifique: ω 1 T = 2 π m ; ω 2 T = 2 π n siendo m y n múmeros enteros positivos. Por otro lado, si ω toma un valor tal que: T = 2π/ω, entonces ω1 = mω y ω2 = nω. En ese caso la integral, para un período, del producto de las corrientes es cero: 2 π / ω

T

∫i 0

i d t = Im1 Im 2

1 2

∫

cos ( m ω t + φ 1 ) cos ( n ω t + φ 2 ) d t =

0

 I m 1 I m 2 π cos ( φ 1 - φ 2 ) = ω   =0 

para m = n para m ≠ n

Por tanto, si m = n ( ω1 = ω2 ), no es aplicable el teorema de superposición. Sin embargo si m ≠ n, es aplicable el teorema de superposición. Se puede generalizar este resultado al caso de funciones periódicas sinusoidales con un con componentes de distintas frecuencias afirmando que: La potencia media debida a la suma de componentes es la suma de las potencias medias debidas a cada componente actuando sola. TEOREMA DE TRANSFERENCIA DE LA POTENCIA MÁXIMA El objeto de este teorema es el de determinar la impedancia que se ha de conectar entre los terminales A y B de un circuito lineal activo para que dicha impedancia absorba máxima potencia.

Figura 8.46.- Esquema del circuito planteado. Como todo circuito lineal activo con dos terminales se puede transformar, mediante el teorema de Thevenin, en un circuito compuesto por un generador de tensión con una impedancia en serie, el esquema inicial del problema planteado, de la figura 8.46, se puede transformar a su equivalente, representado en la figura 8.47.

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Figura 8.47.- Circuito equivalente Thevenin del circuito propuesto. El problema consistirá en estudiar como varía la potencia que toma una carga conectada entre los terminales A y B del circuito de la figura 8.47. Se presentan dos casos según sea el tipo de carga conectada entre dichos terminales: 1º - La carga conectada sea una resistencia. 2º - La carga conectada sea una impedancia. RESISTENCIA El esquema del circuito a estudiar es el de la figura 8.48.

Figura 8.48.- Esquema del circuito con carga resistiva pura. La potencia disipada por la resistencia, cuyo valor máximo se desea calcular, viene dada por la expresión:

P= R I 2 el valor de la corriente que circula por el circuito se puede poner como: I =

V′ ( R + R′ ) + j X ′

V′

y su valor eficaz por: I =

( R + R′ ) 2 + X ′2

por tanto la potencia se expresará como: P =

R V ′2 ( R + R′ ) 2 + X ′2

Para calcular el máximo, respecto a R, de la potencia disipada por dicha resistencia se establece la primera

[

]

d P V ′2 ( R + R′ ) 2 + X ′2 - 2 R V ′2 ( R + R′ ) = derivada, así: 2 d R ( R + R′ ) 2 + X ′2

[

]

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el valor máximo se obtiene cuando dicha derivada sea nula, es decir, cuando:

[

]

V ′2 ( R + R′ ) 2 + X ′2 = 2 R V ′2 ( R + R′ ) es decir:

R = R ′2 + X ′2

o bien R = | Z ′ |

La condición para que la resistencia R absorba máxima potencia del circuito, es que su valor sea igual al módulo de la impedancia de Thevenin (impedancia en serie con el generador). IMPEDANCIA El esquema del circuito a estudiar es el de la figura 8.49.

Figura 8.49.- Esquema del circuito cargado con una impedancia genérica. La potencia disipada por la impedancia, cuyo valor máximo se desea calcular, viene dada por la expresión ya 2 indicada: P = R I El valor eficaz de la corriente por el circuito se expresa por: | I |=

|V ′ | ( R + R′ ) 2 + ( X + X ′ ) 2

La potencia absorbida por la impedancia conectada entre A y B viene dada por:

  V ′2 P= R  2 2   ( R + R′ ) + ( X + X ′ )  Al depender la potencia de la parte real e imaginaria de la impedancia: R y X, se calcula en primer lugar la máxima potencia disipada para un valor constante de R. Bajo esa condición, la potencia será máxima cuando el denominador de la expresión anterior sea mínimo, es decir, cuando: X = - X ′ Sustituyendo este valor en la expresión de la potencia se obtiene: P =

R V ′2 ( R + R′ ) 2

El cálculo del valor máximo de la potencia disipada, con respecto a R, se habrá de realizar suponiendo

V 2 ( R + R′ ) 2 - 2 R V ′2 ( R + R′ ) d P = ′  ( R + R′ ) 4  d R  X =− X

constante el valor de X, es decir: 

cuyo máximo se obtiene para: R = R′ Por tanto, la impedancia que transfiere la máxima potencia viene dada por:

Z = R′ - j X ′ o bien Z = Z ′*

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La impedancia a conectar entre los terminales A y B, de un circuito lineal activo, para absorber la máxima potencia, ha de ser igual a la conjugada de la impedancia Thevenin, del circuito equivalente Thevenin, visto desde dichos terminales. La impedancia conjugada se señala mediante un asterisco (*). TRANSFORMACIÓN ESTRELLA - TRIÁNGULO En muchos circuitos aparecen las impedancias conectadas de una forma tal que por su configuración reciben un nombre característico. Esto sucede con las conexiones estrella y triángulo que se representan en la figura 8.50.

Figura 8.50.- Configuraciones de impedancias en estrella y en triángulo. Cuando se han de calcular impedancias equivalentes, especialmente en los sistemas trifásicos, es necesario transformar tres impedancias conectadas en estrella por otras tres, equivalentes, conectadas en triángulo, o viceversa. El problema, por tanto, consiste en calcular los valores de ZA, ZB y ZC en función de Z1, Z2 y Z3 para la transformación de estrella en triángulo, o bien a la inversa hallar los valores de Z1, Z2 y Z3 en función de ZA, ZB y ZC para la transformación de triángulo en estrella. Como ambos circuitos, o combinación de impedancias, han de ser equivalentes vistas desde cualquier para de nudos, la impedancia entre cualquier par de nudos ha de ser la misma, ver figura 8.51, y por tanto se puede establecer las siguientes; Impedancia entre las bornas A y B: Estrella: Z 1 + Z 2 Triángulo:

ZC ( Z B + Z A ) Z A+ ZB + ZC

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Impedancia entre las bornas B y C: Estrella: Z 2 + Z 3 Triángulo:

Z A ( Z B + ZC ) Z A+ ZB + ZC

Impedancia entre las bornas C y A: Estrella: Z 3 + Z 1 Triángulo:

Z B ( Z A+ ZC ) Z A+ ZB + ZC

De la igualdad entre impedancias se obtiene el siguiente sistema:

ZC ( ZB + Z A ) Z A+ Z B + ZC Z A ( Z B + ZC ) Z2+ Z3= Z A+ ZB+ ZC ZB ( Z A+ ZC ) Z3 + Z1= Z A+ Z B + ZC Z1+ Z2 =

La resolución del sistema proporciona los valores de las impedancias en estrella, en función de las del triángulo:

ZB ZC Z A+ ZB+ ZC ZC Z A Z2= + Z A Z B + ZC ZB ZA Z3= Z A+ ZB+ ZC

Z1=

o bien las del triángulo en función de las de la estrella:

Z1 Z 2 + Z1 Z3 + Z 2 Z3 Z1 + Z1 Z 2 Z1 Z3 + Z 2 Z3 ZB= Z2 Z1 Z 2 + Z1 Z3 + Z 2 Z3 ZC = Z3

Z A=

Estas expresiones pueden ser recordadas aplicando las siguientes reglas nemotécnicas, basadas en el

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esquema de la figura 8.51.

Figura 8.51.- Equivalencia estrella-triángulo o triángulo-estrella. Transformación estrella-triángulo.- Cualquier impedancia del circuito en triángulo es igual a la suma de los productos de todos los pares posibles de impedancias de la estrella dividida por la impedancia opuesta del circuito en estrella. Transformación triángulo-estrella.- Cualquier impedancia del circuito en estrella es igual al producto de las dos impedancias adyacentes del circuito en triángulo dividido por la suma de las tres impedancias de dicho circuito. De las expresiones anteriores, se deduce fácilmente la relación existente entre las impedancias en estrella y triángulo cuando dichas impedancias son iguales. Para esta combinación de impedancias se verifica que:

Z Tri ngulo = 3 Z Estrella TEOREMA DE COMPENSACIÓN El teorema de compensación, para corriente continua, se puede enunciar como sigue: En una red que contiene un elemento resistivo o resistencia r, a travées de la cual fluye una corriente I, se puede eliminar dicha resistencia, si se restaura la corriente a su valor original, insertando en ese punto de la red un generador de fuerza electromotriz: E = r I = V, en serie y oposición. Este teorema se basa en la segunda ley de Kirchhoff, o ley de las tensiones, cuya aplicación al circuito proporciona la ecuación indicada anteriormente.

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Figura 8.52.- Circuito ejemplo. Así para el circuito de la figura 8.52, la segunda ley de Kirchhoff se establece mediante la ecuación:

r1 I + r 2 I - E = 0 Despejando la diferencia de potencial en la resistencia r1 se tiene que: V ab = E - r 2 x I Se conectará, en vez de la resistencia r1, un generador de tensión de fuerza electromotriz: E ab = V ab = r 1 I entre los terminales a y b, figura 8.53, permaneciendo en el circuito la misma diferencia de potencial entre dichos puntos.

Figura 8.53.- Circuito compensado. En consecuencia, ambos circuitos son eléctricamente equivalentes. Hay que hacer notar que la nueva fuente de tensión se comporta como un consumidor de energía eléctrica, ya que ha de absorber la misma potencia que la que disipaba la resistencia. EJEMPLO Como aplicación numérica considerese el circuito de la figura 8.50, para el que se establecen los siguientes valores: E = 3 V, r1 = 3 Ω y r2 = 6 Ω. Se trata de encontrar el circuito equivalente que disponga de generador en sustitución de la resistencia r1. Para ello se procede de la forma siguiente, se calcula: I =

9 =1 A 3+6

y por tanto, el generador que ha de sustituir a la resistencia r1, figura 8.51, habrá de ser:

E ab = V ab = 3 x 1 = 3 V

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Como comprobación calculan las potencias puestas en juego por los distintos elementos, que son:

Resistencia r 2 = P = 6 x 12 = 6 W Generador 9 voltios ⇒ P = 9 x 1 = 9 W Generador 3 voltios ⇒ P = 3 x ( - 1 ) = - 3 W El balance energético se establece diciendo que: la potencia suministrada ha de ser igual a las potencias consumidas, siendo en este caso el generador de 3 voltios un consumidor más del circuito. Así, se establece que:

Potencia suministr ada = 9 W Potencia consumida = 3 + 6 = 9 W Este mismo teorema se puede extrapolar a corriente alterna sin más que hablar de impedancias donde se citan resistencias y siendo los generadores de corriente alterna. Así, de igual forma, se puede establecer la siguiente equivalencia entre circuitos de corriente alterna, tal como se muestra en la figura 8.55.

Figura 8.55.- Teorema de Compensación en corriente alterna. Para este primer esquema se verifica que: I =

V ; V ab = V Z 1 ; por tanto, la tensión del Z1+ Z 2 Z1+ Z 2

generador equivalente será la indicada. El sentido del potencial será el mismo que el de la impedancia que sustituye, es decir, en sentido contrario a la corriente. Para el circuito equivalente de la figura 8.56, la segunda ley de Kirchhoff se establece como: - V + V ab + Z 2 I = 0 ; y, sustituyendo el valor deV ab, se comprueba que la corriente que circula por el circuito equivalente es la misma que circula por el circuito original, así se tiene que: I =

I=

V - V ab V V Z1 = Z2 Z 2 Z1+ Z 2

V  Z1 = V  1 Z2  Z1+ Z 2  Z1+ Z 2

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Figura 8.56.- Circuito compensado. Como ampliación de éste método, se incluye la eliminación de generadores de tensión ideales en ramas, tal como se indicó en el método de los nudos. Para ello, se establece un potencial nulo en el nudo dado. Esto ser realiza mediante la insercción de generadores de tensión ideales en contrafase, del mismo valor que el que se desea anular, en cada una de las ramas que conforman el nudo. DUALIDAD Dos circuitos son duales cuando las ecuaciones de las corrientes de malla, que describen el comportamiento de uno de los circuitos, son idénticas a las ecuaciones de los nudos, que describen el comportamiento del otro circuito. Por tanto, la dualidad es una propiedad de las ecuaciones del circuito. En algunos casos, resulta conveniente la construcción del dual de un circuito, para reducir el esfuerzo en el análisis de circuitos convencionales simples. La base del principio de dualidad es la linealidad de los circuitos y su origen se asciende a la ley de Ohm, Faraday y Coulomb. En el caso de una tensión v aplicada a una resistencia R se establece la ley de Ohm por la expresión: v = R . i Sin embargo, esta ecuación se puede escribir como: i = G . v , siendo G la conductancia e i la corriente que la atraviesa. La comparación entre las ecuaciones anteriores muestra que es obvio que la corriente y la tensión son intercambiables. Además, en dicho cambio se reemplaza la resistencia R por la conductancia G. Por otra parte, la ley de Faraday que relaciona la tensión y la corriente en una bobina y viene dada por:

v= L

d i d v , y en el condensador la relación se establece mediante: i = C d t d t

La ecuación para la bobina esta orientada al cálculo por corriente de malla ya que es una expresión en la que la variable tensión está despejada. Sin embargo, la ecuación en el condensador, que tiene la variable corriente despejada, está encaminada a su aplicación en el método de los nudos. Nótese que se puede pasar de una expresión a la otra, cambio de orientación de corrientes de malla a

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tensiones en los nudos, intercambiando los papeles que desempeña la tensión y la corriente y reemplazando además el parámetro inductancia por el parámetro capacitancia. El procedimiento inverso también es válido. Esta propiedad de la dualidad permite, por ejemplo, estudiar con mayor facilidad la respuesta de la tensión en los extremos de un condensador, investigando la variación de la corriente en una bobina sometida a una fuente de tensión.

Figura 8.57.- Circuito serie RL. Considérese el circuito serie RL de la figura 8.57. La ecuación de la malla para dicho circuito es:

v = R .i + L

d i d t

Ahora, teniendo en cuenta la posible permutación entre la tensión y la corriente, la inductancia y la capacitancia, la resistencia y la conductancia, se puede escribir directamente la ecuación de corriente, o de nudo, que identifica el circuito dual, del circuito anterior.

Figura 8.58.- Circuito dual. La expresión dual será: i = G . v + C

d v d t

Una interpretación del circuito correspondiente a esta ecuación conduce a la configuración que se muestra en la figura 8.58. Cuando la magnitud de G es igual a la de R y la magnitud de C es igual a la de L, el circuito resultante se denomina dual exacto. La solución de la tensión v, en la primera ecuación es exactamente igual a la solución de i en la segunda ecuación. Si la corriente i se ha determinado previamente, entonces por el principio de dualidad, la solución de la tensión v debida a una fuente de corriente también es conocida. La obtención del circuito dual de un circuito dado se puede realizar utilizando un procedimiento gráfico como el siguiente.

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Figura 8.59.- Proceso gráfico para obtener el circuito dual. 1) Se comienza por trazar una línea discontinua que envuelva completamente el circuito, tal como se muestra en la figura 8.60. Esta línea cerrada sobre sí misma representa el nudo de referencia utilizado en el método de los nudos.

Figura 8.60.- Circuito dual resultante del proceso gráfico. 2) Seguidamente, se traza un punto en el centro de cada malla de la red plana. Cada punto representa un nudo del circuito dual. En el circuito del ejemplo sólo existe un nudo. Se asignan a todas y cada una de las corrientes de malla un único sentido, en el ejemplo se ha tomado en sentido del movimiento de las agujas de un reloj (sentido horario). 3) Se identifican las ramas entre los puntos correspondientes a los nudos asignados utilizando un elemento dual por cada elemento que aparece en el circuito original. Por tanto, la fuente de tensión v se reemplaza por la fuente de corriente i, la resistencia R se reemplaza por la conductancia G y la inductancia L se reemplaza por la capacitancia C. 4) El sentido de las tensiones y corrientes de los generadores duales, habiendo tomado el sentido horario para las corrientes de malla, se establece de forma siguiente: Si los potenciales y las corrientes de los generadores son coincidentes en sentido con las corrientes de malla,

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en los generadores duales el sentido de los potenciales y corrientes serán hacia el nudo que encierra dicha malla. Si los potenciales y las corrientes de los generadores son contrarios en sentido a las corrientes de malla, en los generadores duales el sentido de los potenciales y corrientes serán desde el nudo que encierra dicha malla. El proceso indicado es indiferente ya se analicen generadores dispuestos en una rama perteneciente a una única malla que a generadores situados en ramas compartidas por más de una malla. En el ejemplo seguido, como la diferencia de potencial en los extremos del generador de tensión tiene el mismo sentido que la corriente de malla (sentido horario), la corriente del generador dual, generador de corriente, se dirigirá hacia el nudo. El circuito dual resultante se puede representar con mayor claridad por el esquema de la figura 8.60. CANTIDADES DUALES Tensión - Corriente; Carga - Flujo; Resistencia - Conductancia; Inductancia - Capacitancia; Cortocircuito - Circuito abierto; Apertura de interruptor - Cierre de interruptor; Impedancia - Admitancia; Nudo (no de referencia) - Nudo de referencia; Malla - Malla exterior; Serie - Paralelo; Ley de Kirchhoff para las tensiones (LKV) - Ley de Kirchhoff para las corrientes (LKC). EJEMPLO Se desea encontrar el circuito dual exacto del circuito de dos mallas representado en la figura 8.61, utilizando el método gráfico.

Figura 8.61.- Circuito propuesto, con dos mallas. Se traza una línea discontinua que envuelve ambas mallas y que corresponderá al nudo de referencia #0.

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Se marca un punto en el centro de cada malla que serán los nudo #1 y #2. Se reemplaza cada elemento del circuito original por su dual. El resultado final se muestra en la figura 8.62.

Figura 8.62.- Circuito dual exacto del circuito con dos mallas propuesto. EJEMPLO RESUMEN Para el circuito de la figura 8.63, se desea obtener la corriente que suministra el generador de tensión y la corriente que circula por la impedancia Z, utilizando el circuito dual del circuito propuesto.

Figura 8.63.- Circuito propuesto. Datos numéricos: V = 220 ∠ 0 ° V ; I = 10 ∠ 0 ° A ; Z = 20 ∠ 3′687 ° Ω El proceso de obtención del circuito dual, siguiendo las directrices indicadas en párrafos anteriores, se puede resumir en el esquema mostrado en la figura 8.64, adjunta.

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Figura 8.64.- Construcción del circuito dual. El circuito dual exacto al circuito propuesto es el mostrado en la figura 8.65, formado por un generador de corriente con dirección de la misma hacia el nudo, una admitancia entre nudos y un generador de tensión con el potencial dirigido desde el nudo.

Figura 8.65.- Circuito dual "exacto" al circuito propuesto. La corriente en Z tiene como dual la tensión en Z', por tanto: V Z ′ = Z ′ V =

V Z′ =

1 V Z

220 ∠ 0 ° = 11 ∠ - 3′687 ° V , que corresponde a: I Z = 11 ∠ - 3′687 ° A , en el circuito original. La 20 ∠ 3′687 °

corriente que circula por el generador de tensión, en el circuito original, tiene como dual la tensión entre los extremos del generador de corriente, en el circuito dual. Así se tiene que: - V I ′ + I ′ Z ′ - V ′ = 0 , despejando y sustituyendo: V I ′ =

220 ∠ 0 ° V +I= - 10 ∠ 0 ° , V I ′ = 6 ′7 ∠ - 100 ° V , y por tanto su variable dual: Z 20 ∠ 3′687 °

I = 6 ′7 ∠ - 100 ° A .

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CAPÍTULO 9 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE – EL TRANSFORMADOR IDEAL INTRODUCCIÓN. Los circuitos estudiados en los capítulos anteriores están formados por elementos bipolares, es decir, con dos terminales para su conexión. A partir de estos elementos se forman circuitos complejos, conectándose entre sí a través de nudos, formando un conjunto de mallas eléctricamente acopladas entre sí. Existe otro tipo de acoplamiento que es el magnético y es debido a la interacción entre dos o mas mallas a través de un campo magnético, en vez de por elementos comunes. Estos elementos, generalmente cuadripolos es decir con cuatro terminales, enlazan mallas magnéticamente mediante un acoplamiento inductivo. En el estudio de las inductancias se comprueba que la variación del la corriente que circula por una bobina produce una variación del flujo magnético creada por ella, generándose una tensión en los extremos de la misma. Si la variación del flujo magnético es común, o afecta, a dos o mas bobinas distintas se dice entonces que dichas bobinas están acopladas magnéticamente, o mutuamente acopladas. En los circuitos con bobinas mutuamente acopladas, la variación de corriente en una bobina provoca una tensión inducida en las otras bobinas acopladas. La tensión inducida esta caracterizada por una inductancia mutua existente entre las bobinas próximas. Un sistema de bobinas mutuamente acopladas mediante un núcleo de material ferromagnético, sobre el cual se devanan los arrollamientos, o bobinas, se denomina transformador. Existe una gran variedad de transformadores tanto por su tamaño como por su diseño especifico para aplicaciones concretas. Los mas pequeños son del tamaño de una pastilla, normalmente utilizados en equipos electrónicos, los mas grandes usados en electrotecnia son los transformadores de potencia, cuyas dimensiones características pueden variar desde el tamaño de una pelota de tenis al de un vehículo ligero de transporte. Este estudio del acoplamiento magnético se reduce al análisis de autoinducciones e inducciones mutuas lineales. INDUCCIÓN MUTUA. Una inductancia L, de una bobina lineal como se muestra en la figura 9.1, está relacionada con el flujo ligado a la bobina a través de la expresión: λ = N . φ = L . i , siendo N el numero de espiras de la bobina, Φ el flujo que atraviesa a todas las espiras, L el coeficiente de autoinducción de la bobina, constante, e i la corriente variable.

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Figura 9.1.- Bobina ideal. La tensión en los extremos de la bobina viene dada, por la Ley de Faraday, como: v =

d λ d i =L. d t d t

es evidente que la tensión inducida en la bobina o arrollamiento dependerá de la variación del flujo magnético. Se considera un segundo arrollamiento o devanado de N2 espiras situado en las proximidades del arrollamiento anterior, que se supone con N = N1 espiras. De esta forma se realiza un transformador, con dos terminales correspondientes al primer arrollamiento denominado devanado primario y dos terminales correspondientes al segundo arrollamiento denominado devanado secundario.

Figura 9.2.- Bobinas acopladas magnéticamente con el secundario en circuito abierto. Para introducir algunos conceptos supóngase que el secundario se encuentra en circuito abierto. La corriente i1 origina un flujo magnético Φ11, que se puede descomponer en: φ 11 = φ L 1 + φ 21 siendo ΦL1 el flujo magnético ligado al primario que no alcanza al secundario y se denomina pérdidas de flujo, y Φ21 es el flujo creado por i1 que liga ambos devanados, primario y secundario, y se denomina flujo mutuo. En el caso de un inductor lineal, se supone que el flujo ligado a cada devanado abraza a todas las espiras del

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arrollamiento correspondiente. Como el secundario esta en circuito abierto, no circula corriente por el segundo arrollamiento y el flujo ligado para esta bobina será: λ 2 = N 2 . φ 21 Por tanto, la tensión v2 viene dado por: v2 =

d φ 21 d λ2 = N2 d t d t

En un transformador lineal, el flujo Φ21 es proporcional a i1. Se puede poner que: N 2 . φ 21 = M 21 . i1 siendo M21 la inducción mutua del primario sobre el secundario y se expresa en henrios (H).

d i1 d t d λ1 La tensión v1 en el primer arrollamiento se expresa como: v1 = d t siendo λ1 el flujo ligado al primer arrollamiento, dado por: λ 1 = N 1 . φ11 La tensión v2 en términos de la inducción mutua será: v2 = M 21

Como en el caso de un simple inductor, la inductancia L1 del primario, algunas veces denominado autoinducción del primario para distinguirlo de la inducción mutua, se define por: L1 . i1 = N 1 . φ 11 así pues, en este caso: v1 =

d φ 11 d λ1 d i1 = N1 = L1 d t d t d t

Figura 9.3.- Bobinas acopladas magnéticamente con el primario en circuito abierto. Se considera ahora que el primario esta en circuito abierto y que por el secundario circula una corriente i2. Procediendo como anteriormente, se puede poner que: φ 22 = φ 12 + φ L 2 siendo ΦL2 la pérdida de flujo en el segundo arrollamiento debido a la corriente i2, que no liga al primario, y

Φ12 es el flujo mutuo debido a i2 que liga a ambos arrollamientos. El flujo ligado en el arrollamiento primario es: λ 1 = N 1 . φ 12 d φ 12 d λ1 = N1 Así mismo, la tensión del primario viene dada por: v1 = d t d t . = . φ Se define: N 1 12 M 12 i 2 , siendo M12 la inducción mutua del secundario sobre el primario, expresada en henrios. La tensión en el primario, en circuito abierto, debido a i2 se expresa por: v1 = M 12

d i2 d t

Las inductancias mutuas M12 y M21 son iguales, por tanto: M = M 12 = M 21 , siendo M la inducción mutua que se expresa en henrios (H).

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d λ2 La tensión en el secundario se expresa por: v2 = , siendo el flujo ligado λ2 al segundo arrollamiento: d t λ 2 = N 2 .φ 22 Se define la relación: L 2 . i 2 = N 2 . φ 22 , con L2 la autoinducción del segundo arrollamiento, o secundario. Por tanto, se verifica: v2 = L2

d i2 , en el caso de primario en circuito abierto. d t

En general, cuando por el primario circula una corriente i1 y por el secundario una corriente i2 distinta de cero, los flujos en los arrollamientos, tal como se muestra en la figura 9.4,

Figura 9.4.- Caso general de bobinas acopladas magnéticamente. se expresan, respectivamente, por:

φ 1 = φ L1 + φ 21 + φ 12 = φ 11 + φ 12 φ 2 = φ L 2 + φ 12 + φ 21 = φ 22 + φ 21

Por tanto, los flujos ligados en los arrollamientos primario y secundario son:

λ 1 = N 1 .φ 11 + N 1 .φ 12 λ 2 = N 2 .φ 22 + N 2 .φ 21

sustituyendo:

L1 . i1 = N 1 .φ 11 L 2 . i 2 = N 2 .φ 22 λ 1 = L1 . i1 + N 1 .φ 12

d λ1 d λ2 ; v2 = d t d t d i1 d d i2 d + + ( N 1 . φ 12 ) v2 = L2 ( N 2 . φ 21 ) se tiene: v1 = L1 d t d t d t d t por otra parte: N 1 . φ 12 = M 12 . i 2 ; N 2 . φ 21 = M 21 . i1 , además M = M12 = M21, se obtiene para las tensiones:

λ 2 = L 2 . i 2 + N 2 .φ 21 y como: v1 =

v1 = L1

d i1 d i2 +M d t d t

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d i2 d i1 +M v2 = L2 d t d t Estos potenciales son debidos a las tensiones autoinducidas producidas por L1 y L2, y a la tensión mutua debida a la inducción mutua M. CONVENCIÓN PARA EL SIGNO DE LA INDUCCIÓN MUTUA - MARCA DE POLARIDAD. Se utiliza una indicación, mediante una marca formada por un punto, en los devanados para asegurar la polaridad de la inducción mutua. Mediante esta simbología son equivalentes los dos circuitos mostrados en la figura 9.5.

Figura 9.5.- Convenio de signos. La marca de polaridad se asigna de forma que, un incremento positivo de la corriente entrando por el lado del arrollamiento marcado con un punto, induce una tensión positiva en dicho terminal, denominado positivo y distinguido con el punto. Se puede establecer la siguiente regla nemotécnica: " Una corriente entrando por el terminal señalado con un punto, induce una tensión M (di/dt) con polaridad positiva en el terminal marcado con el punto del otro devanado ". Nótese que si la corriente de entrada i crece, la tensión inducida M (di/dt) es positiva y si la corriente i es constante, no se induce ninguna tensión, es decir, vale cero. Un método para situar las marcas de polaridad en los arrollamientos de un transformador puede ser el siguiente. Se asigna arbitrariamente el punto a uno de las terminales, a, del primer arrollamiento, ver figura 9.6.

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Figura 9.6.- Ejemplo para el convenio de signos. La corriente que entra por este terminal genera un flujo en el núcleo, con el sentido horario mostrado. El sentido del flujo lo indica la regla de la mano derecha, que establece que si los dedos de la mano derecha indican el sentido de la corriente en el devanado, el dedo pulgar muestra el sentido del flujo Φ. El punto en el segundo arrollamiento indicará el terminal por el que ha de entrar la corriente para establecer un flujo en el mismo sentido que el flujo Φ generado por el primer arrollamiento. Este procedimiento, utilizado para obtener la tensión inducida, es una consecuencia de la ley de Lenz. Como para obtener el mismo sentido del flujo la corriente en el segundo arrollamiento ha de entrar por el terminal b, será este terminal el que se ha de marcar con el punto. El esquema del circuito magnético será como el de la figura 9.7.

Figura 9.7.- Convenio de signos para el ejemplo. Las puntos de polaridad en un transformador es independiente de la asignación de la tensión y corriente a sus terminales.

Figura 9.8.- Circuito propuesto. Para el circuito de la figura 9.8, aplicando la segunda ley de Kirchhoff, o ley de las tensiones LKV, al circuito del primario se tiene que:

v1 = L1

d i1 d i2 d i2 d i1 -M -M ; v2 = L2 d t d t d t d t

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Figura 9.9.- Circuito propuesto. Para la figura 9.9, cambiando la asignación de los voltajes y corrientes, se tiene que:

v1 = - L1

d i2 d i1 d i1 d i2 +M -M =0 ; v2 = L2 d t d t d t d t

A la vista de los resultados se puede establecer que, si la corriente entra por los terminales marcados con un punto el término correspondiente a la inducción mutua y la autoinducción, para cada par de terminales, tienen el mismo signo, en caso contrario tienen el signo opuesto.

Figura 9.10.- Acoplamiento magnético con variables sinusoidales - Fasores. Si las excitaciones son sinusoidales, el circuito, con notación fasorial, será el mostrado en la figura 9.10, para el que se establecen las siguientes ecuaciones: V 1 = j ω L1 I 1 + j ω M I 2 ; V 2 = j ω L 2 I 2 + j ω M I 1 EJEMPLO Para el circuito de la figura 9.11, obtener los fasores corriente I1 e I2.

Figura 9.11.- Circuito con acoplamiento magnético propuesto. Como la corriente I2 no entra por el terminal marcado con un punto, tal como lo hace la corriente I1, el signo de la inducción mutua, en las ecuaciones de las mallas correspondientes a ambos devanados, será negativo. Así pues el sistema de ecuaciones será:

1 I =0 jωC 2 sustituyendo valores se tiene que: - 6 ∠ 0 ° + ( 1 + j 1 ) I 1 - j 1 I 2 = 0 ; - j 1 I 1 + ( 1 - j 1 ) I 2 = 0

- V 1 + R 1 I 1 + j ω L1 I 1 - j ω M I 2 = 0 ; - j ω M I 1 + R 1 I 2 + j ω L 2 I 2 -

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operando se obtiene: I 1 = 3 ∠ - 45 ° A ; I 2 = 2 ∠ 90 ° A CONSIDERACIONES DE ENERGÍA. La expresión de la energía almacenada, durante un cierto tiempo t, en una bobina viene dada por la conocida expresión: ω ( t ) =

1 2 L i ( t ) , evidentemente, para una inductancia L dada la energía almacenada queda 2

perfectamente definida en función de i (t).

Figura 9.12.- Bobinas acopladas magnéticamente. En este apartado se trata de obtener la expresión que proporciona la energía almacenada por un par de bobinas mutuamente acopladas, tales como las mostradas en la figura 9.12. Así mismo, se obtendrá la demostración de la igualdad; M = M12 = M21, y se establecerán los límites de M. La energía almacenada en el circuito de la figura 9.12 será la suma de las energías suministradas a los terminales del primario y del secundario. La potencia instantánea comunicada a dichos terminales vendrá dada por:

d i1 d i2  d i2 d i1    + M 12 + M 21 p1 = v1 i1 =  L1  i1 ; p 2 = v 2 i 2 =  L 2  i2 d t dt  d t dt    siendo M12 y M21 los términos de inducción mutua debido a los flujos ligados Φ12 y Φ21. Se supone que en el instante inicial t0 se verifica que i1 (t0) = i2 (t0) = 0. Como el flujo magnético es nulo, no hay energía almacenada en el campo magnético, es decir: ω (t0) = 0. A partir de t0, se mantiene el secundario en circuito abierto i2 = 0 y se incrementa la corriente i1 de forma que transcurrido un tiempo t1 se llega a: i1 (t1) = I1, con i2 (t1) = 0. Como durante este intervalo de tiempo permanece i2 = 0, entonces: di2 / dt = 0. La energía acumulada durante el intervalo de tiempo t0 a t1 será: t1

t1

t0

t0

ω 1 = ∫ ( p1 + p 2 ) d t = ∫ L1 i1

I1 d i1 1 d t = ∫ L i1 d i1 = L1 I 12 d t 2 0

Ahora, se mantiene la corriente i1 = I1, y se incrementa i2 durante un tiempo t2, hasta alcanzar el valor i2 (t2) = I2.

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Durante este intervalo de tiempo di1 / dt = 0, ya que i1 se mantiene constante, y la energía acumulada vendrá dada por: t2

I2

d i2 d   + L2 i 2 i 2  d t = ∫ ( M 12 I 1 + L 2 i 2 ) d i 2 ω 2 = ∫  M 12 I 1 d t d t  0 t1  1 ω 2 = M 12 I 1 I 2 + L2 I 22 2 Por tanto, la energía total almacenada en las dos bobinas acopladas durante el proceso desde t0 a t2 es:

ω ( t 2 ) = ω ( t0 ) + ω1 + ω 2 =

1 1 2 2 L1 I 1 + M 12 I 1 I 2 + L2 I 2 2 2

Si se repite el proceso pero en orden inverso, es decir, manteniendo i1 = 0 durante el proceso de incremento de i2 hasta el valor I2 y posteriormente manteniendo i2 = I2 durante el incremento de i1 hasta I1, se obtiene:

ω ( t2 )=

1 1 2 2 L1 I 1 + M 21 I 1 I 2 + L2 I 2 2 2

Como en ambos casos los valores finales de las corrientes son i1 (t2) = I1 y i2 (t2) = I2, la energía almacenada ω (t2) será la misma. Comparando ambos resultados se puede poner que: M 12 = M 21 = M Repitiendo el proceso pero con las polaridades cambiadas en los devanados, el signo de la inducción mutua se hace negativo y por tanto la expresión general para la energía almacenada para un tiempo t dado será:

ω ( t )=

1 2 L1 i1 + M 2

tomándose el signo positivo cuando ambas corrientes entran por los terminales marcados con un punto y negativo cuando una de ellas salga por el terminal marcado con un punto. El coeficiente de acoplamiento k entre bobinas indica el nivel de enlace de flujo entre las mismas y se define como: k =

M

L1 L2

El valor de k = 0 corresponde a bobinas que no están acopladas magnéticamente, por tanto M = 0. El límite superior de k se establece sustituyendo en la expresión anterior los valores de M, L1 y L2, así:

k=

M L1 L 2

=

M 12 M 21 = L1 L 2

φ 12 φ 21 φ 11 φ 22

=

φ 12 φ 11

φ 21 ≤1 φ 22

ya que por definición Φ12 / Φ11 ≤ 1 y Φ21 / Φ22 ≤ 1. Por tanto: 0 ≤ k ≤ 1 ; 0 ≤ M ≤ L1 L 2 , cuando k = 1 todo el flujo ligado atraviesa todas las espiras de ambos devanados, no hay pérdida de flujo. El valor de k depende de las dimensiones físicas y número de espiras de cada bobina, de la posición relativa entre ambas bobinas y de las propiedades magnéticas del núcleo sobre el que se hayan realizado. Los arrollamientos se encuentran pobremente acoplados cuando k < 0'5. En la mayor parte de los transformadores con núcleo de aire, los arrollamientos se encuentran poco acoplados, en contraste con los dispositivos con núcleo de hierro que están fuertemente acoplados con valores de k próximos a la unidad. Por último, se analizan los valores de i1 e i2 para las cuales la energía almacenada ω (t) es cero, así:

ω ( t )=

1 1 2 2 L1 i1 + M i1 i 2 + L2 i 2 2 2

para ω (t) = 0 se tiene:

1 1 2M L2 2 2 2 2 i 2 i1 + i 2 = 0 L1 i1 + M i 2 i1 + L2 i 2 = 0 ; i1 + 2 2 L1 L1

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de donde: i1 = +

M L1

i2 +

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i2 L1

2 M - L1 L2

Para valores reales de i1 e i2, y para ω (t) = 0, se ha de verificar que:

M

i 2 ; M = L1 L2 => K = 1 L1 i1 = i 2 = 0 ; M < L1 L2 que corresponde a los transformadores fuertemente acoplados.

i1 = +

CIRCUITOS CON ACOPLAMIENTOS MAGNÉTICOS LINEALES. Un acoplamiento magnético con dos devanados, es en general, una red con cuatro terminales, en el que la referencia del potencial en el primario (devanado conectado a la fuente de energía) puede ser diferente de la referencia del potencial del secundario (devanado del que se extrae la energía), sin ser alterados los valores de las tensiones y corrientes en el primario y secundario: v1, v2, i1, i2 , respectivamente. EJEMPLO En el circuito de la figura 9.13, la segunda ley de Kirchhoff para el primario y el secundario proporciona las siguientes expresiones: v1 ( t ) = R1 i1 + L1

d i1 d i2 d i2 d i1 -M -M , 0 = R2 i2 + L2 d t d t d t d t

Figura 9.12.- Bobinas acopladas magnéticamente. Como se observa en la figura 9.13, la tensión V0 no afecta a las tensiones y corrientes del primario y del secundario.

Figura 9.12.- Bobinas acopladas magnéticamente. Por esta razón se dice que el secundario del transformador tiene un aislamiento de corriente continua respecto al primario (secundario en flotación), es decir, elimina la componente de corriente continua del primario. Por supuesto, el punto a del secundario, está a un potencial V0 + r2 . R2 respecto a tierra (referencia a tierra). Si en vez de la fuente de continua se unen los terminales inferiores del primario y secundario, tal como se

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muestra en la figura 9.14, se obtiene una referencia común para ambos devanados. El transformador, en este caso, es una red de tres terminales. IMPEDANCIA REFLEJADA. Considérese el circuito de la figura 9.15, formado por dos bobinas acopladas con variables fasoriales, es decir, con excitación sinusoidal. Al primario se conecta una fuente de excitación Vg, y una impedancia Z2 en los terminales del secundario.

Figura 9.15.- Circuito acoplado magnéticamente, con carga. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito del primario y del secundario se tiene que: V 1 = j ω L1 I 1 - j ω M I 2 ; 0 = - j ω M I 1 + j ω L 2 I 2 + Z 2 I 2



eliminando I2 entre ambas ecuaciones resulta: V 1 =  j ω L1 -



j ω M( j ω M )  I1 Z 2 + j ω L2 

Utilizando la definición de impedancia, se puede establecer que la impedancia del primario es: 2

2

ω M V1 , que consta de dos términos, el primero j ω L1 depende sólo de la Z 1 = = j ω L1 + Z 2 + j ω L2 I1 2

2

reactancia del primario, y el segundo ω M / (Z2 + j ω L2), es debido al acoplamiento mutuo y se denomina impedancia reflejada, pudiéndose expresar como: Z R =

ω2 M 2 , y considerarse como una impedancia Z 2 + j ω L2

insertada o reflejada en el primario debida al secundario. La impedancia de entrada, vista desde la fuente de tensión Vg es: Z entrada = Z g + Z 1 , con Zg la impedancia interna del generador real. De la segunda ecuación, establecida mediante la LKV para el secundario:

0 = - j ω M I 1 + ( Z 2 + j ω L2 ) I 2 I2 = j ω M se tiene que: I 1 Z 2 + j ω L2

V 2 = Z 2 I 2 =  I 2 Z2  V1 V1  I1 2 ω M2 ω = j + teniendo en cuenta que: Z 1 L1 Z 2 + j ω L2 Por otra parte se verifica que:

resultan las siguiente expresiones:

I2 = j ω M I 1 Z 2 + j ω L2 j ω M Z2 V2 = 2 2 V 1 j ω L1 ( Z 2 + j ω L 2 ) + ω M

  I1    V1

   

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Es interesante hacer notar que la impedancia reflejada ZR es independiente de la situación de las marcas con 2

puntos, ya que ZR depende de M . Una segunda propiedad se establece racionalizando el valor de ZR, que se transforma en:

ZR =

ω2 M 2 [ - j ( X 2 + ω L2 ) ] , siendo Z2 = R2 + j X2 la impedancia de la carga. 2 R2 2 R2 + ( X 2 + ω L2 )

El signo de la parte imaginaria de la impedancia reflejada es negativo. Por tanto, la impedancia reflejada está en oposición de fase respecto de la impedancia del secundario, así si X2 es una reactancia capacitiva cuya magnitud es menor que ω L2, o bien una reactancia inductiva, la impedancia reflejada en el primario es capacitiva. En caso contrario la impedancia reflejada es inductiva o bien cero. En este último caso X2 ha de ser una reactancia capacitiva, es decir, -1 / (ωC), con una frecuencia de resonancia de:

f0 =

ω0 1 = 2π 2π

L2 C

2 ω 0 M para dicha frecuencia la impedancia reflejada es: Z R = , siendo un valor real. R2

EL TRANSFORMADOR IDEAL. El transformador ideal es un transformador con coeficiente de acoplamiento unidad y sin pérdidas en sus devanados. Los coeficientes de autoinducción del primario y secundario son infinitos pero su relación es finita. Los transformadores que se asemejan más a los ideales son aquellos que tienen el núcleo de material ferromagnético. Los devanados primario y secundario se arrollan sobre una estructura de acero laminado, denominado núcleo, de forma que prácticamente todo el flujo ligado atraviesa ambos devanados. Las reactancias de las autoinducciones del primario y secundario son muy grandes comparadas con las impedancias de carga, y el coeficiente k de acoplamiento está próxima a la unidad para el rango de frecuencias para el que se diseña el equipo. Un parámetro importante necesario a la hora de describir las características de un transformador ideal es la relación n, relación de vueltas o de transformador, definida por: n =

N1 N2

siendo N1 y N2 el número de vueltas de los arrollamientos primario y secundario respectivamente. El flujo producido por un devanado del transformador es debido a la corriente que circula por dicho devanado y proporcional al producto de la corriente y el número de vueltas del arrollamiento. Así, para los devanados primario y secundario se tiene que: φ 11 = α N 1 i1 , φ 22 = α N 2 i 2 , siendo α una constante de proporcionalidad que depende de las propiedades físicas del transformador. La constante α es la misma para ambos devanados ya que se supone que no hay pérdidas de flujo y que ambos flujos recorren el mismo camino. 2 2 Teniendo en cuenta que: L1 i1 = N 1 φ 11 y L 2 i 2 = N 2 φ 22 , resulta: L1 = α N 1 y L 2 = α N 2 2 L1 = N 1 =  N 1  dividiendo ambas expresiones: 2 L2 N 2  N 2

2

  = n2  1/2

En el caso de acoplamiento magnético unidad, k = 1, se tiene que M = ( L1 L2 ) , y por tanto: 2 V 1 = j ω L1 ( Z 2 + j ω L 2 ) + ω L1 L 2 V 1 = ; V2 Z 2 j ω L1 L 2 V2

L1 =n L2

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Para un transformador ideal, además de tener un coeficiente de acoplamiento unidad, sus inductancias de primario y secundario, L1 y L2, tienden a infinito permaneciendo su relación constante e igual al cuadrado de 2

la relación de transformación, n . Para la expresión:

I 1 = Z 2 + j ω L2 = Z 2 + j ω L2 j ω M j ω L1 L 2 I2

Z Z 2 + jωL2 jω + 2 I 1 lim lim lim = L2 = = jω L1 L2 I 2 L1 , L2 → ∞ L1 , L2 → ∞ jω (n ) L1 , L2 → ∞

I1 1 lim = n I 2 L1 , L2 → ∞ Por tanto, las tensiones del primario y del secundario, así como las corrientes del primario y del secundario, de un transformador ideal están ligadas a través de la relación de transformación, según:

V 1 = n ; I1 = 1 V2 I2 n o bien, utilizando el número de espiras de ambos devanados por:

V 1 = N1 ; N1 I1= N 2 I 2 V2 N2 lo que se interpreta como la relación de tensiones es igual a la relación entre el número de espiras, y que las amperivueltas (N I) son las mismas para el primario como para el secundario.

Figura 9.16.- Esquema del transformador ideal. El esquema de un transformador ideal es el de la figura 9.16, con una polaridad tal que se verifican las expresiones anteriores que relacionan las tensiones y las corrientes con la relación de transformación. Las líneas verticales, entre los devanados, simbolizan el núcleo de hierro. La relación n es la relación de transformación. Si uno de los puntos, marca de polaridad, se sitúa en el terminal opuesto de su arrollamiento, ha de sustituirse n por -n en las expresiones anteriores. En el esquema de la figura 9.17 se observa el transformador ideal conectado a una fuente de tensión real Vg con una impedancia interna Zg y a su secundario una impedancia Z2.

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Figura 9.17.- Transformador ideal. De la definición de la impedancia del primario Z1, se tiene que: Z 1 =

V1 = nV 2 = 2 V 2 = 2 n n Z 2 , es decir: I2 I2 I1 n

Z1 = 2 n Z2 2

La impedancia de entrada, vista desde el generador IDEAL de tensión es: Z entrada = Z g + Z 1 + n Z 2 De la definición de potencia aparente, S = V.I, se tiene que: S 1 = V 1 I 1 = n V 2 .

I2 =V 2 I 2 = S2 n

por tanto, S = S1 = S2, lo que indica que toda la potencia aplicada al primario se transfiere al secundario, es decir, el transformador no absorbe potencia. En el análisis de redes eléctricas que contienen transformadores ideales es, a menudo, conveniente reemplazar el transformador por un circuito equivalente antes de realizar dicho análisis. Así, para el esquema anterior del transformador se puede establecer el circuito equivalente de la figura 9.12. Sobre este circuito equivalente se pueden determinar fácilmente las tensiones y corrientes ya que queda reducido a una única malla.

Figura 9.18.- Circuito equivalente del transformador ideal. Este procedimiento es válido sólo cuando el transformador divide el circuito en dos partes. Cuando hayan conexiones externas entre los devanados, este método, en general, no puede utilizarse, debiéndose emplear entonces el circuito general equivalente del transformador. CIRCUITOS EQUIVALENTES DEL ACOPLAMIENTO MAGNÉTICO. a) Circuito equivalente mediante generadores de tensión dependientes. El circuito equivalente del acoplamiento magnético se obtiene fácilmente considerando las ecuaciones de las tensiones y corrientes del primario y secundario.

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Figura 9.19.- Circuito equivalente con fuentes de tensión dependientes. Así, para el primer circuito de la figura 9.19, se tiene que:

V 1 = L1

d i1 d i2 d i1 d i2 +M + L2 ; V 2= M d t d t d t d t

Es evidente que el segundo circuito de la figura 9.19 satisface dichas ecuaciones. La fuente de tensión dependiente, está controlada por la variación con respecto al tiempo de la corriente del primario y la del secundario. b) Circuito equivalente en T. Para el circuito mostrado, en primer lugar, en la figura 9.20, las ecuaciones anteriores se pueden reescribir de la forma:

v1 = (L1 − M )

di1 d i2  di di   d i1 d i 2  + + M  1 + 2  ; v2 = M   + ( L2 - M ) dt d t  dt dt   d t d t 

Estas ecuaciones son satisfechas por el circuito en T, representado en segundo lugar en la figura 9.20. Como este circuito es una red con tres terminales, es equivalente a la conexión del transformador con un terminal en común, situación que se da en algunas configuraciones de transformadores. Si la marca de polaridad se cambia de un terminal a otro, se deberá cambiar el signo de M en el circuito equivalente.

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Figura 9.20.- Circuito equivalente en T. c) Circuitos equivalentes de un transformador ideal. En el caso de un transformador ideal las corrientes y tensiones están relacionadas, teniendo en cuenta el convenio de signos definido anteriormente mediante los puntos de polaridad, a través de las expresiones:

v2 =

v1 ; i 2 = - n i1 , dependientes de la relación de transformación n. n

Figura 9.21.- Circuitos equivalentes del transformador ideal. Los circuitos dos circuitos equivalentes de la figura 9.21 satisfacen estas relaciones, teniendo en cuenta el convenio de puntos. Si los puntos se cambian de posición se habrá de reemplazar n por -n en ambos circuitos equivalentes.

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CAPÍTULO 10 SISTEMAS TRIFÁSICOS INTRODUCCIÓN La utilización de la corriente trifásica, en sistemas de potencia, se fundamenta en dos hechos; Aunque la potencia instantánea suministrada por cada una de las tres ondas senoidales de tensión de cada una de las tres fases es pulsatoria, la potencia trifásica total suministrada por un circuito trifásico estructuralmente equilibrado es constante. Debido a esto, las máquinas rotatorias trifásicas funcionan mejor que las monofásicas similares ya que suministran un par constante y, a igualdad de potencia, sus tamaños son menores. La distribución trifásica requiere solamente las tres cuartas partes del cobre necesario en la distribución monofásica a igualdad de potencia transportada. Para el análisis comparativo se consideran dos sistemas, uno trifásico a tres hilos y otro monofásico, es decir a dos hilos. Se supone que ambos sistemas transmiten la misma potencia (activa), a la misma distancia con las mismas pérdidas en las líneas y la misma tensión entre conductores. Para el sistema monofásico se tiene que:

P = U I 1 cos ϕ ⇒ potencia transmitida 2 P p = 2 R1 I 1 ⇒ potencia de pérdidas

R1 =

P p U 2 cos2 ϕ 2 2 P

siendo I1 la corriente de línea, cos ϕ el factor de potencia y R1 la resistencia de un hilo conductor. Para un sistema trifásico, utilizando una nomenclatura análoga, se verificará que:

P = 3 U I 3 cos ϕ ⇒ potencia transmitida 2 P p = 3 R3 I 3 ⇒ potencia en pérdidas

R3 =

P p 3 U 2 cos2 ϕ 2 3 P

Como las resistencias de los hilos de la línea son inversamente proporcionales a las secciones y éstas lo son directamente a los pesos del conductor, resultará:

S 3 = R1 = 1 S 1 R3 2

es decir, la sección de los hilos en el sistema de distribución trifásico esa la mitad que en el monofásico. Esto da una relación de pesos en cobre de:

Peso cobre sist. trifásico N º hilos sist. trifásico x S 3 3 x1 3 = = = Peso cobre sist. monofásico N º hilos sist. monofásico x S 1 2 x 2 4 de lo que se deduce que el transporte de energía eléctrica en trifásica requiere un 25% menos de cobre

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que en monofásica. Esto supone un ahorro económico importante. GENERACIÓN DE TENSIONES EN UN SISTEMA TRIFÁSICO Un generador trifásico se puede representar mediante un esquema como el de la figura 10.1. Las tres bobinas R-R', S-S' y T-T' se suponen idénticas, y separadas geométricamente 120º. El rotor gira, en sentido antihorario, con una velocidad angular constante ω.

Figura 10.1.- Esquema de un alternador trifásico. Al girar el rotor, se inducen, de acuerdo con la ley de inducción de Faraday y suponiendo una variación sinusoidal del flujo, unas tensiones sinusoidales en las tres bobinas. Estas tres tensiones inducidas están desfasadas entre sí 120º, de acuerdo con el ángulo de desplazamiento de las bobinas. Tomando como origen de tiempos la situación del rotor representado en la figura 10.1, las expresiones matemáticas de las tres tensiones son:

v R′R (t) = 2 V sen ( ωt + 90° ) vS ′S (t) = 2 V sen ( ωt - 30° ) vT ′T (t) = 2 V sen ( ωt - 150° ) Se ha de recordar que cuando el eje de cada bobina coincide con el eje del rotor la tensión inducida en ella es máxima, y se supondrá positiva si cruza el norte y negativa si cruza el sur. Los fasores correspondientes a estas tres tensiones vienen dados por:

V R′R = V ∠ 90° V S ′S = V ∠ - 30° V T ′T = V ∠ - 150°

La representación de los valores instantáneos de las tensiones y su correspondiente diagrama fasorial se muestran en la figura 10.2.

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Figura 10.2.- Valores instantáneos y diagrama fasorial. Secuencia RST. SUCESIÓN DE FASES O SECUENCIA La secuencia, o rotación, de fases de un sistema trifásico, es el orden o secuencia de aparición de los valores máximos positivos de las ondas de tensión. La secuencia de fases de la fuente tiene un gran efecto en el comportamiento de la carga, así por ejemplo; Al invertir la secuencia de las tensiones de alimentación de un motor trifásico invertirá el sentido de giro del mismo. Si se invierte la secuencia de fases en la alimentación de una carga trifásica desequilibrada, se pueden provocar cambios mayores en las magnitudes y ángulos de fase de las corrientes de línea. Al invertir la secuencia de fases de un generador trifásico que esté en paralelo con otro generador trifásico puede causar daños graves a ambas máquinas. La secuencia u orden de sucesión de las fases viene indicada por el ritmo de aparición de los máximos de las ondas de tensión. En la figura 10.2 se puede observar que los máximos de tensión en las bobinas se van presentando según el orden de sucesión siguiente:

( vR′R

(t) )M = 2 V R′R ,

( vS′S

(t) )M = 2 V S ′S ,

( vT ′T

(t) )M = 2 V T ′T

Por conveniencia, se simplifica la notación indicando únicamente los subíndices y, para cada uno de ellos solamente se señala el primero. Así, utilizando el primer índice la secuencia se escribe como:

R S T R S T R ... a este orden de sucesión se le denomina SECUENCIA "RST". Si el rotor gira en sentido contrario, es decir en el sentido horario, empezando a contar el tiempo en el mismo instante que en el caso anterior, pero con el sur del imán del rotor hacia arriba, tal como se muestra en la figura 10.3, las tres tensiones inducidas vendrán dadas por: v R′R (t) = 2 V sen ( ωt - 90° ) ; vS ′S (t) = 2 V sen ( ωt + 30° ) ; vT ′T (t) = 2 V sen ( ωt + 150° )

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Figura 10.3.- Alternador trifásico con giro horario.

Figura 10.4.- Valores instantáneos y diagrama fasorial. Secuencia TSR. y sus correspondientes fasores los siguientes: V R′R = V ∠ - 90° ; V S ′S = V ∠ 30° ; V T ′T = V ∠ 150° Las representaciones de las funciones temporales y fasoriales se muestran en la figura 10.4. La nueva secuencia u orden de sucesión de las fases, dada por el ritmo de aparición de los máximos de las ondas de tensión, tal como se muestra en la figura 10.4, será el siguiente:

( vS′S

(t) )M = 2 V S ′S ,

( v R′R

(t) )M = 2 V R′R ,

que con la notación de subíndices se convierte en: S R T S R T ... denominada SECUENCIA "TSR".

( vT ′T

(t) )M = 2 V T ′T

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Se hace notar que un sistema trifásico tiene únicamente dos secuencias posibles. Si partiendo de una secuencia, tal como la RST, se intercambian dos fases cualesquiera de las tres se invierte la secuencia. Un segundo cambio de fases restaura la secuencia inicial. En la tabla siguiente se muestra este hecho para dos cambios consecutivos de fases que retornan a la secuencia inicial supuesta RST.

1er. intercambio

Secuencia

de fases RyS

2º intercambio de fases

S R T S R T...

TyR

TSR SyT

R T S R T S...

T S R T S R... TSR

S T R S T R... RST

RyS

TSR TyR

Secuencia

R S T R S T... RST

SyT

S T R S T R... RST

TIPOS DE GENERADORES TRIFÁSICOS Tal como se deduce de la figura 10.1, a la salida del generador trifásico se dispone de seis bornes correspondientes a los terminales de las tres bobinas desfasadas 120º. En cada una de ellas se genera una tensión cuyo valor, dependiendo del sentido de giro del rotor, viene dada por las expresiones indicadas anteriormente. Estas tres tensiones pueden ser utilizadas para alimentar cargas monofásicas.

Figura 10.5.- Alimentación monofásica con un alternador trifásico. Para este tipo de suministro de energía eléctrica son necesarias seis líneas eléctricas. Esto supone unas pérdidas eléctricas elevadas, debido al número de conductores implicados, y que pueden ser minimizadas mediante otras formas de conexión del generador. Existen dos formas fundamentales de conexión de los terminales de los generadores trifásicos: * Conexión en estrella (a cuatro hilos). * Conexión en triángulo (a tres hilos). cuyas disposiciones se indican en la figura 10.6.

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Figura 10.6.- Conexiones de salida estrella y triángulo de un generador trifásico. GENERADOR TRIFÁSICO EN ESTRELLA Se unen los terminales de los bornes de salida como se muestra en la figura 10.6. Al terminal obtenido por la unión de los bornes R', S' y T' se le denomina NEUTRO y se representa por la letra N. Por tanto, un generador trifásico conectado en estrella dispone de cuatro terminales nombrados con las letras: R, S, T y N. A los terminales R, S y T se les denomina terminales activos o FASES, y los conductores reciben el mismo nombre que el de los terminales de los que parten.

Figura 10.7.- Tensiones en un generador en estre

lla.

Entre los cuatro terminales, como se muestra en la figura 10.7, aparecen las siguientes tensiones, para el caso de secuencia RST:

V RN = V R′R = V ∠ 90° V SN = V S ′S = V ∠ - 30° V TN = V T ′T = V ∠ - 150° U RS = V R - V S = V R - V N - V S + V N = V RN - V SN = V ∠ 90° - V ∠ - 30° U ST = ( V S - V N ) - ( V T + V N ) = V SN - V TN = V ∠ - 30° - V ∠ - 150° U TR = V TN - V RN = V ∠ - 150” - V ∠ 90°

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Por tanto, a la salida de un generador trifásico en estrella se obtienen dos valores distintos de tensión. Al valor de la tensión V existente entre cualquier fase R, S, o T y el neutro N, se denomina tensión de fase, tensión simple o tensión entre fase y neutro. A la tensión que existe entre dos fases U (VL en algunos textos) se denomina tensión de línea, tensión compuesta o tensión entre fases. La relación entre los valores eficaces de estas tensiones es:

U= 3V

( V L= 3 V F )

Para la secuencia TSR las tensiones compuestas son la siguientes:

U RS = 3 V ∠ - 120° U ST = 3 V ∠ 0° U TR = 3 V ∠ 120° La representación fasorial de las tensiones para ambas secuencias es la mostrada en los correspondientes diagramas de la figura 10.8.

Figura 10.8.- Diagramas fasoriales de las tensiones. Cada una de las bobinas del alternador puede sustituirse por un generador monofásico de tensión, de corriente alterna, que suministre una tensión igual a la que se genera en la correspondiente bobina, tal como se muestra en la figura 10.9. Los tres generadores suministrarán una tensión del mismo valor eficaz, pero sus argumentos estarán desfasados entre sí 120º, el mismo ángulo que el formado por los ejes de dichas bobinas.

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Figura 10.9.- Corriente en un alternador en estrella. Las corrientes suministradas por un generador en estrella se representan en la figura 10.9. El valor eficaz de la corriente IF que circula por cada bobina del generador, o generador monofásico equivalente, y que se denomina corriente de fase, es igual al valor eficaz de la corriente IL que circula por la línea, y que se denomina corriente de línea. Se toman como sentidos positivos de estas corrientes, las indicadas en la figura, es decir, dirigidas desde el generador hacia la carga. GENERADOR TRIFÁSICO EN TRIÁNGULO

Figura 10.10.- Tensiones en un alternador en triángulo. Si las seis bornes del generador elemental descrito se interconectan uniendo los terminales R con T', S con R' y T con S', como se muestra en la figura 10.6, se obtiene un generador trifásico en triángulo con tres conductores o fases. Las tensiones existentes entre los terminales son las indicadas en la figura 10.10, y cuyos fasores, para la secuencia RST son: U RS = V R′R = V ∠ 90° ; U ST = V S ′S = V ∠ - 30° ; U TR = V T ′T = V ∠ - 150° Para la secuencia TSR se obtienen los siguientes: U RS = V R′R = V ∠ - 90° ; U ST = V S ′S = V ∠ 30° ; U TR = V T ′T = V ∠ 150° Los diagramas fasoriales correspondientes a ambas secuencias son los mostrados en la figura 10.11.

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Figura 10.11.- Diagramas fasoriales de las tensiones. A la salida de un generador con conexión en triángulo sólo se dispone de tres tensiones, tensiones compuestas o de línea, que tienen el mismo valor eficaz y están desfasadas entre sí 120º. Con el origen de tiempos establecido inicialmente, se observa que las tensiones de línea, correspondientes a las mismas fases, obtenidas por los generadores en estrella y en triángulo tienen diferentes fases.

Figura 10.12.- Cambio de origen de tiempos. Para conseguir que las tensiones compuestas obtenidas por el generador trifásico en triángulo sean las mismas que las del generador en estrella, se tendría que cambiar el origen de tiempos. De la observación de los diagramas fasoriales se comprueba que, para la secuencia RST, correspondiente al sentido de giro antihorario, un giro en sentido antihorario del diagrama correspondiente al generador en triángulo, haría coincidir el mismo con el diagrama del generador en estrella tal como se muestra en la figura 10.12. Para ello, se tendrá que escoger un nuevo origen de tiempos tal como el mostrado en la figura 10.13, para el caso en que el rotor gire en sentido antihorario.

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Figura 10.13.- Disposición inicial para el nuevo origen de tiempos. La relación existente entre la corriente de fase y la corriente de línea se puede establecer a partir del esquema de la figura 10.14, en el supuesto que los valores eficaces de las corrientes de línea sean iguales entre sí y que se encuentren desfasadas 120º, es decir, debidas a una carga equilibrada.

Figura 10.14.- Corrientes en un alternador conectado en triángulo. El diagrama fasorial correspondiente se representa en la figura 10.15, mediante él se establece la relación los valores eficaces de dichas corrientes: I L = 3 I F

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Figura 10.15.- Diagrama fasorial de las corrientes. CUADRO RESUMEN DE LAS RELACIONES ENTRE TENSIONES Y CORRIENTES EN LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS Los sistemas trifásicos se definen a través del valor eficaz de su tensión de línea U, y de la secuencia en la que trabajan. Conocidos estos parámetros, la tensiones de fase y de línea quedarán perfectamente definidas como se indica en la siguiente tabla.

SECUENCIA

TENSIONES TRIFÁSICAS Tensiones de fase

Tensiones de línea

RST

TSR

VRN

U/√3 ∠ 90º

U/√3 ∠ -90º

VSN

U/√3 ∠ -30º

U/√3 ∠ 30º

VTN

U/√3 ∠ -150º

U/√3 ∠ 150º

URS

U ∠ 120º

U ∠ -120º

UST

U ∠ 0º

U ∠ 0º

UTR

U ∠ -120º

U ∠ 120º

En los sistemas trifásicos en ESTRELLA se verifica que:

U= 3V

( V L= 3 V F )

IL= IF mientras que en los sistemas trifásicos en TRIÁNGULO, con carga equilibrada, las relaciones son:

U =V

( V L=V F )

I L = 3 I F ( carga equilibrada )

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CARGAS TRIFÁSICAS La cargas trifásicas, que se conectan a la salida de los generadores trifásicos, pueden conformarse de dos formas distintas, en estrella o en triángulo. Dependiendo de la igualdad o no de las impedancias que forman la carga trifásica se pueden establecer dos tipos distintos; Carga trifásica equilibrada, cuando las tres impedancias son iguales entre sí tanto en módulo como en argumento. Carga trifásica desequilibrada, cuando dichas impedancias son distintas, esto es válido aunque únicamente el módulo o el argumento de una de ellas sea distinto de las restantes. Se pueden establecer por tanto los siguientes tipos de cargas trifásicas: * Carga trifásica equilibrada en triángulo. * Carga trifásica equilibrada en estrella (con o sin neutro). * Carga trifásica desequilibrada en triángulo. * Carga trifásica desequilibrada en estrella sin neutro. * Carga trifásica desequilibrada en estrella con neutro. CARGA TRIFÁSICA EQUILIBRADA EN TRIÁNGULO Se supone un sistema trifásico, de tres conductores, con tensión de línea U y secuencia RST, que alimenta una carga trifásica equilibrada en triángulo tal como se muestra en el circuito de la figura 10.16.

Figura 10.16.- Carga trifásica equilibrada en triángulo. Para la resolución del problema, es decir, el cálculo de las corrientes de fase y de línea, o lo que es lo mismo, las corrientes que circulan por cada una de las impedancias y por las líneas de alimentación de la carga, se establecen las corrientes de malla indicadas en la figura 10.16.

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Así, las corrientes de fase serán:

U RS = U ∠ 120° = U ∠ 120° - θ ° = ∠ 120° - θ ° IF Z ∠ θ° Z ∠ θ° Z U ST = U ∠ 0° = U ∠ - θ ° = ∠ - θ ° IF I ST = Z ∠ θ° Z ∠ θ° Z U TR = U ∠ - 120° = U ∠ - 120° - θ ° = ∠ - 120° - θ ° IF I TR = Z ∠ θ° Z ∠ θ° Z I RS =

La representación vectorial de los fasores y, por tanto, los de la corriente de de línea:

I R = I RS - I TR = 3 I F ∠ 90° - θ ° I S = I ST - I RS = 3 I F ∠ - 30° - θ ° I T = I TR - I ST = 3 I F ∠ - 150° - θ ° La representación vectorial de los fasores de corriente es la mostrada en la figura 10.17.

Figura 10.17.- Diagrama fasorial para una carga trifásica equilibrada en triángulo. Se comprueba que las corrientes de línea son √3 veces mayores que las de fase y están desfasadas θº (argumento de las impedancias) respecto de sus correspondientes tensiones simples. La suma de las corrientes de fase ha de ser cero por ser carga equilibrada, y la suma de las corrientes de línea también es cero. CARGA TRIFÁSICA EQUILIBRADA EN ESTRELLA CON CUATRO CONDUCTORES Un sistema trifásico de cuatro conductores, con una tensión de línea U y secuencia TSR, alimenta una carga trifásica equilibrada en estrella. El circuito correspondiente es el mostrado en la figura 10.19. La resolución del problema consiste en calcular las corrientes de línea y de fase, para lo cual se establecen las corrientes de malla indicadas en la figura 10.18. Así se tiene que las corrientes de fase son:

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U ∠ - 90° U 3 = ∠ - 90° - θ ° I1= Z ∠ θ° Z 3 U ∠ 30° U 3 = ∠ 30° - θ ° I2= Z ∠ θ° Z 3 U ∠ 150° U 3 = ∠ 150° - θ ° I3= Z ∠ θ° Z 3 y las de línea:

U

∠ - 90° - θ ° Z 3 U ∠ 30° - θ ° IS = I2= Z 3 U ∠ 150° - θ ° IT = I 3= Z 3

I R = I1=

A igualdad de impedancias, la corriente de línea es √3 más pequeña que con la configuración en triángulo. La suma de las corrientes de línea es cero. La corriente que circula por el neutro se obtiene de: I N = - ( I 1 + I 2 + I 3 ) que resulta: I N = 0

Figura 10.18.- Carga equilibrada en estrella. Conexión a cuatro hilos. Al no circular corriente por el neutro, podría prescindirse de este conductor siempre que la carga se mantuviese equilibrada. El diagrama fasorial correspondiente a las corrientes es el indicado en la figura 10.19.

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Figura 10.19.- Diagrama fasorial de tensiones y corrientes para una carga equilibrada en estrella. CARGA TRIFÁSICA EQUILIBRADA EN ESTRELLA CON TRES CONDUCTORES Este caso es idéntico al anterior, a pesar de tener solamente tres conductores, ya que puede suponer conectado el conductor neutro a la carga de forma que por él no circule corriente y, por tanto, asignar las tensiones de fase correspondientes en cada una de las impedancias que conforman la carga trifásica.

Figura 10.20.- Transformación estrella-triángulo. O bien, se puede suponer idéntico al primer caso, carga trifásica equilibrada en triángulo, sin más que establecer la transformación de la carga en estrella en una carga en triángulo y resolver posteriormente el problema. Para comprobar lo dicho, se supone la carga trifásica equilibrada en estrella del apartado anterior que se transforma en una carga trifásica equilibrada en triángulo, tal como se muestra en la figura 10.20.

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Si la secuencia es TSR, como en el caso anterior, se obtienen los siguientes valores para las corrientes de fase:

U ∠ - 120 ° U U RS = = ∠ - 120 ° - θ ° 3Z ∠ θ ° 3Z ∠ θ ° 3Z U∠0 ° U U ST = = ∠ -θ ° I ST = 3Z ∠ θ ° 3Z ∠ θ ° 3Z U ∠ 120 ° U U TR = = ∠ 120 ° - θ ° I TR = 3Z ∠ θ ° 3Z ∠ θ ° 3Z I RS =

y las corrientes de línea se obtienen de:

I R = I RS - I TR I S = I ST - I RS I T = I TR - I ST sustituyendo valores se tiene que:

IR=

U U ∠ - 120 ° - θ ° ∠ 120 ° - θ ° 3Z 3Z

operando se llega a:

IR=

U U ( - sen θ ° - j cos θ ° ) = ∠ - 90 ° - θ ° 3Z 3Z

De la misma forma:

U U ∠ -θ ° ∠ - 120 ° - θ ° = 3Z 3Z U U ∠ 120 ° - θ ° ∠ -θ °= IT = 3Z 3Z

IS=

U ∠ 30 ° - θ ° 3Z U ∠ 150 ° - θ ° 3Z

Valores que coinciden con los obtenidos en el anterior apartado, carga trifásica equilibrada en estrella conectada a cuatro hilos (con neutro). CIRCUITO MONOFÁSICO EQUIVALENTE DE UNA CARGA TRIFÁSICA EQUILIBRADA Cuando se conecta una carga equilibrada en estrella a una línea trifásica de cuatro conductores, la corriente que circula por cada una de las fases depende exclusivamente de la tensión entre fase y neutro del generador y de la impedancia de la carga. La corriente de cada fase se puede calcular mediante el circuito monofásico equivalente mostrado en la figura 10.21. Mediante el circuito monofásico equivalente resulta inmediato el cálculo de la corriente de línea en módulo. La tensión aplicada al circuito será la tensión entre fase y neutro del generador, y la impedancia del circuito será la impedancia de la fase de la carga, en serie con la del conductor de línea, caso en el que se deba tener en cuenta.

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Figura 10.21.- Circuito monofásico equivalente. El circuito monofásico equivalente puede ser aplicado siempre que la carga trifásica sea equilibrada y esté conectada en estrella. Si la carga equilibrada se encuentra conectada en triángulo deberá hallarse la impedancia equivalente en estrella antes de aplicar el circuito monofásico equivalente. Resolviendo el problema se obtiene para la corriente de línea:

IL=

V ∠ 0° V = ∠ -θ° Z ∠ θ° Z

es decir, que la corriente de línea IL está desfasada θº (en este ejemplo en retraso) respecto de la tensión de fase V ∠ 0º, y por tanto, la correspondiente corriente real de fase también estará desfasada θº (retrasada) respecto de su tensión de fase aplicada. Según esto, las corrientes de línea, dependiendo de la secuencia de la red trifásica, serán las siguientes: Secuencia RST:

V U ∠ 90 ° - θ ° = ∠ 90 ° - θ ° Z 3Z V U ∠ - 30 ° - θ ° I S = ∠ - 30 ° - θ ° = Z 3Z V U ∠ - 150 ° - θ ° I T = ∠ - 150 ° - θ ° = Z 3Z IR=

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Secuencia TSR:

V U ∠ - 90 ° - θ ° = ∠ - 90 ° - θ ° Z 3Z V U ∠ 30 - θ ° I S = ∠ 30 ° - θ ° = Z 3Z V U ∠ 150 ° - θ ° I T = ∠ 150 ° - θ ° = Z 3Z

IR=

Para una carga trifásica equilibrada conectada en triángulo, a una red trifásica de secuencia RST, las corrientes de línea se obtendrán, a través del circuito monofásico equivalente, de la forma siguiente. En primer lugar, se transforma la carga dada en estrella, tal como se muestra en la figura 10.22.

Figura 10.22.- Obtención del circuito monofásico equivalente. A continuación, se construye el circuito monofásico equivalente y se calcula la corriente de línea en dicho circuito:

V ∠ 0 ° 3V = ∠ -θ ° IL= Z Z ∠θ ° 3

Por último, se obtienen las expresiones de las corrientes de línea para la carga en triángulo dada.

3U U ∠ 90 ° - θ ° = 3 ∠ 90 ° - θ ° = 3 I F ∠ 90 ° - θ ° Z 3Z 3U U ∠ - 30 ° - θ ° = 3 ∠ - 30 ° - θ ° = 3 I F ∠ - 30 ° - θ ° IS= Z 3Z 3U U ∠ - 150 ° - θ ° = 3 ∠ - 150 ° - θ ° = 3 I F ∠ - 150 ° - θ ° IT = Z 3Z IR=

que coinciden con las obtenidas en el primer ejercicio.

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CARGA TRIFÁSICA DESEQUILIBRADA CONECTADA EN TRIÁNGULO Al igual que en los anteriores casos, se trata de calcular las corrientes de línea y de fase en una carga trifásica desequilibrada conectada en triángulo a un generador trifásico de tres conductores, tal como se representa en la figura 10.23.

Figura 10.23.- Carga trifásica desequilibrada en triángulo. Para la resolución del problema se establecen las corrientes de malla señaladas en la figura indicada, coincidentes con las corrientes de fase, para las cuales se obtiene:

I RS =

U RS Z RS ∠ θ RS

I ST =

U ST Z ST ∠ θ ST

I TR =

U TR Z TR ∠ θ TR

y las corrientes de línea:

U RS - U TR Z RS ∠ θ RS Z TR ∠ θ TR U ST - U RS I S = I ST - I RS = ∠ Z ST θ ST Z RS ∠ θ RS U TR - U ST I T = I TR - I ST = Z TR ∠ θ TR Z ST ∠ θ ST I R = I RS - I TR =

En este caso ni las corrientes son iguales, ni están desfasadas 120º. La suma de las corrientes de línea ha de ser cero:

I R + I s + IT = 0 Se demuestra sin más que transformar la carga dada en una carga trifásica desequilibrada en estrella, y posteriormente establecer la primera ley de Kirchhoff al centro de la estrella.

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CARGA TRIFÁSICA DESEQUILIBRADA CONECTADA EN ESTRELLA CON CUATRO CONDUCTORES El circuito correspondiente se muestra en la figura 10.24.

Figura 10.24.- Carga trifásica desequilibrada en estrella. Conexión a cuatro hilos. Como puede observarse, las corrientes de línea y las corrientes de fase son coincidentes y sus valores vienen dados por las expresiones:

I R = I1=

V RN ZR ∠ θR

IS = I2=

V SN ZS ∠ θS

IT = I3=

V TN ZT ∠ θT

la corriente que circula por el neutro se obtiene de: I N = - ( I 1 + I 2 + I 3 ) siendo en general: I N ≠ 0 Se presentan las siguientes peculiaridades: - La tensión en cada una de las impedancias de la carga permanece constante e igual al valor de la tensión de fase. - Las corrientes de línea, iguales a las de fase, ni son iguales entre sí ni están desfasadas 120º. - Por el neutro circula corriente. - La suma de corrientes de línea y la corriente de neutro ha de ser cero: I R + I S + I T + I N = 0 CARGA TRIFÁSICA DESEQUILIBRADA CONECTADA EN ESTRELLA CON TRES CONDUCTORES En la figura 10.25 se muestra un esquema del correspondiente circuito.

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Figura 10.25.- Carga trifásica desequilibrada en estrella. Conexión a tres hilos. Para la resolución del circuito, cálculo de las corrientes de línea y de fase, se establecen las corrientes de malla indicadas en la figura 10.24. Las corrientes de malla vendrán dadas por:

- ZS

U RS I1=

ZR+ ZS

Z S + ZT U ST - ZS ZR+ZS - ZS

I2=

Z S + ZT

- ZS

U RS

ZR+ZS

U ST - ZS

- ZS

Z S + ZT

Calculados los valores de las corrientes de malla I1 e I2, las corrientes de línea serán:

I R = I1

I S = I 2 - I1

IT = - I 2

Como se puede comprobar, la suma de las corrientes de línea es cero. Se presentan las siguientes particularidades: -

El centro de la estrella de la carga, que se designa normalmente por una O, no se encuentra al potencial del neutro, tal como se muestra en la figura 10.26.

-

La diferencia de potencial entre ambos puntos se puede obtener mediante:

- V RN + I R Z R - V NO = 0 , por tanto: V NO = I R Z R - V RN

Figura 10.26.- Tensiones de fase en el generador y en la carga. En el diagrama fasorial de la figura 10.27 se muestran las tensiones en el generador y carga respectiva-

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mente así como la posición de la tensión de desplazamiento de neutro.

Figura 10.27.- Diagrama fasorial en la carga.

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CAPÍTULO 11 SISTEMAS DESEQUILIBRADOS. TEORÍA GENERAL DE LAS COMPONENTES SIMÉTRICAS

INTRODUCCIÓN Los sistemas desequilibrados, o asimétricos, tanto de tensiones como de corrientes fueron analizados por Fortescue y Stokvis, de forma independiente, ideando el llamado Método de las componentes simétricas, que consiste en descomponer el sistema asimétrico en los llamados sistemas simétricos. COMPONENTES SIMÉTRICAS Las componentes simétricas se clasifican en tres tipos: Sistema directo o de secuencia positiva. Está formado por tres fasores giratorios, de igual módulo, de secuencia positiva, es decir, orden de sucesión directo o RST, que corresponde al sentido antihorario y desfasados 120º entre sí, tal como se muestra en la figura 11.1. Se representan con los subíndices 1 o d y corresponde a los vectores VR1, VS1 y VT1.

Figura 11.1.- Sistema directo. Sistema inverso o de secuencia negativa. Formado por tres fasores giratorios, de igual módulo, desfasados 120º entre sí, cuyo sentido de giro es el horario, o secuencia negativa, o secuencia TSR. Su representación fasorial se muestra en la figura 11.2 y su notación es con los subíndices 2 o i, corresponde a los vectores VR2, VS2 y VT2. Para mantener el sentido de giro correspondiente al sistema directo, se cambia la sucesión de fases.

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Figura 11.2.- Sistema inverso. Sistemas homopolares o de secuencia nula. Configurado por tres fasores giratorios de igual módulo, con sentido de giro antihorario y que están en fase. Se reconocen por el subíndice 0, tal como se muestra en la figura 11.3, formado por los vectores VR0, VS0 y VT0.

11.3.- Sistema homopolar.

OPERADOR "a" O DE AVANCE TRIFÁSICO En los estudios de las componentes simétricas es de gran utilidad el vector operador a definido por:

1 3 a = 1 ∠120° , o bien a = − + j 2 2 El operador a, provoca un giro antihorario de 120º. Un operador de este tipo es el operador j que equivale a un giro de 90º en sentido antihorario. En el simbolismo, al vector a se le omite el carácter vectorial, al igual que se hace con el operador j. La figura 11.4, representan los vectores a, a2 y a3=1.

Figura 11.4.- Representación fasorial del operador a.

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Algunas de las propiedades del vector a son las siguientes:

n = entero 1 = a3 = a3n = a-3 = a-3n a = a4 = a3n+1 = a-2 = a-3n- 2 2 5 3n+2 -1 -3n -1 a =a =a =a =a 1 + a + a2 = 0 a + a 2 + a3 = 0 3n 3m+1 3p+2 a + a + a = 0 n, m, p enteros RELACIONES ENTRE LOS VECTORES DE UN SISTEMA SIMÉTRICO







Directo: VS 1 = V R1 a 2 = V R1 a −1

Inverso: V S 2 = V R 2 a ; V T 2 = V R 2 a 2 = V R 2 a-1

Homopolar: V S 0 = V T 0 = V R 0

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TEOREMA DE STOKVIS Un sistema trifásico desequilibrado, o asimétrico, puede descomponerse en tres sistemas simétricos: uno de orden o secuencia directa, otro de orden o secuencia inversa y el tercero homopolar. En efecto, si es posible, se podrá escribir que:

V R = V R1 + V R 2 + V R 0 V S = V S1 + V S 2 + V S 0 V T = V T1 +V T 2 +V T 0 Los nueve fasores del segundo miembro constituyen las componentes simétricas de VR, VS y VT. Utilizando las relaciones entre los fasores de un sistema simétrico se tiene que:

V R = V R1 + V R 2 + V R 0 2 V S = a V R1 + a V R 2 + V R 0 2

V T = a V R1 + a V R 2 + V R 0 en forma matricial:

VR

1

1

2 VS = 1 a

VT

1

1 V R0 a

V R1

a a2 V R 2

Para obtener VR0, basta sumar las igualdades, recordando que 1+a+a2=0:

1 V R0 = ( V R + V S + V T ) 3 Para despejar VR1, se multiplica la segunda ecuación por a y la tercera por a2. Sumando las tres ecuaciones se tiene:

1 2 V R1 = ( V R + a V S + a V T ) 3 Para conseguir VR2, se multiplica la segunda ecuación por a2, la tercera por a y se suman las tres ecuaciones. Con ello se obtiene:

1 2 V R2 = ( V R + a V S + a V T ) 3 Las ecuaciones anteriores admiten la siguiente formulación matricial:

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V R0

1

V R1 = V R2

1

1 VR

1 1 a a2 V S 3 1 a2 a V T

En muchos textos se utilizan exclusivamente los vectores fundamentales, de forma que es corriente suprimir los subíndices R, así:

V R1 = V 1 V R2 = V 2 V R0 = V 0

2

V S1 = a V 1

V T1= a V 1

V S2= a V 2

VT2= a V 2

2

V S0=V 0

V T0 =V 0

EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DE STOKVIS 1º ejemplo.- Sistema asimétrico de corrientes en el cortocircuito entre dos fases, tal como se muestra en la figura 9.33.

Figura 9.33.- Cortocircuito entre dos fases. Las relaciones entre las corrientes de línea son: I R = 0 ;

IS = I ;

IT = - I

cuyo diagrama fasorial se representa en la figura 9.34, tomando como origen de tiempos IS.

Figura 9.34.- Diagrama fasorial de las corrientes.

Las componentes simétricas para las corrientes vienen dadas por:

Directo: I 1 =

3 1 I I j= j ( I R + a I S + a2 I T ) ; I 1 = , cuyo diagrama fasorial se muestra en la figura 9.35. 3 3 3

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Figura 9.35.- Diagrama fasorial sistema directo. Inverso: I 2 =

1 I ( I R + a2 I S + a I T ) ; I 2 = - j 3 3

cuyo diagrama fasorial se representa en la figura 9.36.

Figura 9.36.- Diagrama fasorial sistema inverso. Homopolar: I 0 =

1 ( I R + I S + I T ) ; I 0 = 0 ;En la figura 9.37 se muestra el diagrama fasorial de este sistema. 3

Figura 9.37.- Diagrama fasorial sistema homopolar.

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El diagrama fasorial del conjunto de las componentes simétricas se muestra en la figura 9.38, del que se comprueba que: 2

I S = a I 2 + a I1

I S = 1 ∠ 120 ° x

IS=

I I ∠ - 90 ° + 1 ∠ 240 ° x ∠ 90 ° 3 3

I I I ∠ 30 ° + ∠ - 30 ° = 3 3 3

3 = I ∠ 0 °= I

de la misma forma: 2

IT = a I1+ a I 2= - I

Figura 9.38.- Diagrama fasorial del conjunto de sistemas. 2º ejemplo.- En general, para un sistema tetrapolar se verifica para la corriente de neutro que:

I N = - ( I R + I S + IT ) pero, I R 0 = -

1 1 ( I R + I S + I T )= - I N 3 3

por tanto:

I N = - 3 I R0 tomando el sentido de la corriente del generador a la carga. Cuando en un sistema no existe neutro de retorno, la corriente homopolar es nula. 3º ejemplo.- Sistema con neutro a tierra, cortocircuito entre fase y tierra, tal como se muestra en la figura 9.39.

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Figura 9.39.- Sistema con neutro. Cortocircuito entre fase y neutro. Para el esquema de la figura se verifica que: I R = I ;

I S = 0 ; IT = 0

así pues,

1 1 2 I1= ( I R + a I S + a IT ) ; I1= I 3 3 1 1 2 I 2 = ( I R + a I S + a IT ) ; I 2 = I 3 3 1 1 I0 = ( I R + I S + IT ) ; I0 = I 3 3 Los diagramas fasoriales correspondientes a las corrientes de las componentes simétricas son las mostradas en las figuras 9.40 y 9.41., tomando como referencia de tiempos.

Figura 9.40.- Diagramas fasoriales de las componentes simétricas.

Figura 9.41.- Diagrama fasorial componentes simétricas.

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4º ejemplo.- Corriente por el neutro. Se supone una línea trifásica con neutro, tal como se muestra en la figura 9.42. Cualquier parte del sistema trifásico puede ser desequilibrado (generador, línea, carga).

Figura 9.42.- Carga trifásica en estrella a cuatro hilos. Para el circuito de la figura indicada se tiene que: I N = I R + I S + I T como: I 0 =

1 ( I R + I S + IT ) 3

se obtiene que:

I N = 3 I0 La corriente por el neutro es igual a tres veces la componente homopolar del sistema de corrientes de línea. Como consecuencia, cuando un sistema trifásico no tiene neutro, carece de sistema homopolar.

I R + I S + IT = 0 ⇒ I N = 0 I0 =

1 I N ⇒ I0 = 0 3

5º ejemplo.- Carga trifásica desequilibrada en estrella conectada a tres hilos, según se muestra en la figura 9.43.

Figura 9.43.- Carga desequilibrada en estrella a tres hilos. Las tensiones VRO, VSO y VTO son desiguales entre sí. Las componentes homopolares correspondientes a estas tensiones vienen dadas por:

1 V RO0 = V SO0 = V T O0 = ( V RO + V SO + V T O ) 3

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pero: V RO + V SO + V T O = ( V RN - V ON ) + ( V SN - V ON ) + ( V TN - V ON )

V RO + V SO + V T O = V RN + V SN + V TN - 3 V ON como: V RN + V SN + V TN = 0

Dado que: V RO0 =

1 ( V RO + V SO + V T O 3

V RO + V SO + V T O = - 3 V ON 1 ) = - 3 V ON = - V ON 3

por tanto:

V RO0 = V SO0 = V T O0 = - V ON

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CAPÍTULO 11 TRANSITORIOS EN CIRCUITOS LINEALES INTRODUCCIÓN, MÉTODO CLÁSICO DE ANÁLISIS. Los transitorios surgen cuando cambian las condiciones nominales, o de régimen permanente, de actuación de un circuito. La causa de este cambio puede ser por la acción de un interruptor, un cortocircuito, un circuito abierto, etc. Como el análisis de circuitos en régimen estacionario, el análisis de transitorios requiere también modelos ideales equivalentes de las resistencias, bobinas y condensadores, así como de los generadores de tensión y de corriente. Físicamente, se puede decir que los transitorios son originados por la presencia de bobinas y condensadores en los circuitos en los que se producen. Esto es debido a la energía almacenada en campos magnéticos: W L =

1 2 1 L i y en campos eléctricos: W C = C v 2 debido a que en los elementos inductivos y 2 2

capacitivos ésta energía no puede cambiar instantáneamente cuando es interrumpida. El estado transitorio de un circuito se describe mediante ecuaciones diferenciales, generalmente no homogéneas (si el circuito contiene generadores de tensión o corriente) o bien homogéneas (si no existen generadores). En el caso de un circuito lineal, el régimen estacionario se describe mediante ecuaciones diferenciales lineales y en el caso de circuitos no lineales mediante ecuaciones diferenciales no lineales. El análisis de transitorios de circuitos con parámetros constantes, se realiza a partir de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Se han desarrollado muchos métodos para resolver estos tipos de ecuaciones y analizar la respuesta transitoria de los circuitos considerados. En la resolución se utilizará el método clásico que es más instructivo, desde el punto de vista físico, y es más fácil de aplicar a circuitos sencillos, en vez de otras formas de análisis tales como la transformada de Laplace, el análisis de Fourier, etc. El análisis de transitorios de un circuito, mediante el método clásico, se puede fundar en los siguientes pasos: (1) Se comienza estableciendo las ecuaciones diferenciales del circuito en cuestión. Mediante la eliminación de variables, se reduce a una ecuación en función de la corriente i, o tensión v buscada. En los circuitos sencillos este procedimiento lleva a ecuaciones diferenciales de primer o segundo orden en la cual la incógnita es la corriente en una bobina (inductor) o la tensión en un condensador (capacitor). Si existe, en el circuito, un único elemento acumulador de energía, o bien, cuando la conmutación establece uno o más circuitos independientes con un único elemento acumulador de energía, la ecuación diferencial que se obtiene es de primer orden. Es de segundo orden, si existen dos circuitos con elementos acumula-

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dores de energía, o bien en un mismo circuito dos elementos duales acumuladores de energía. (2) El siguiente paso es escribir la solución general de la ecuación diferencial obtenida. Estará formada por la suma de la solución particular, o integral particular, de la ecuación diferencial no homogénea, o completa, y la solución homogénea, o solución de la función complementaria, correspondiente a la a la ecuación diferencial homogénea. Aplicado a los circuitos eléctricos, la solución particular es la RESPUESTA FORZADA o de RÉGIMEN ESTACIONARIO del circuito, si existe. Esta será una corriente o una tensión constante si el circuito contiene una fuente de tensión o de corriente constante, o bien una corriente o tensión sinusoidal si las fuentes son de corriente o tensión sinusoidal. Las cantidades se denominan corriente o tensiones estacionarias ip y vp, respectivamente. La función complementaria o solución homogénea es la RESPUESTA LIBRE, que describe la respuesta transitoria con el circuito sin generadores. Los correspondientes valores obtenidos se denominan TRANSITORIOS, indicándose con ih y vh. Las expresiones que representan los transitorios han de contener las constantes de integración, debiendo haber tantas constantes como sea el orden de la ecuación diferencial homogénea. La respuesta transitoria o libre es debida a la diferencia entre la energía almacenada por los condensadores y las bobinas del circuito en el instante justo antes de que se produzca el estado en el circuito, y la energía almacenada en dichos elementos cuando el circuito se encuentre en el nuevo estado. La energía almacenada en estos elementos, bobinas y condensadores, no puede cambiar de forma brusca, es decir, el cambio ha de ser gradual, de ahí que se produzcan transitorios en las respuestas de estos circuitos. (3) Como último paso, se han de obtener las constantes de integración para la solución general: i = ip + ih y v = vp + vh . Las constantes de integración se obtienen mediante las condiciones iniciales, que son las condiciones existentes en el circuito inmediatamente antes de la perturbación. Se supone que la perturbación debida a una interrupción en el circuito es ideal, lo que implica que la interrupción se realiza instantáneamente en el instante t. En estas circunstancias, la corriente en la bobina y la tensión en el condensador, inmediatamente después de la interrupción t+, ha de ser la misma que en el instante inmediatamente antes t- de la misma. Estas condiciones se derivan de las hipótesis en la conmutación ideal de circuitos eléctricos, apagado o encendido. HIPÓTESIS EN LA CONMUTACIÓN DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS, APAGADO O ENCENDIDO. La corriente en un elemento inductivo y la tensión entre los extremos de un condensador no pueden cambiar abruptamente. En los elementos inductivos se supone que durante el intervalo de tiempo desde t1 a t2 la corriente cambia desde iL ( t1 ) a iL ( t2 ). El tiempo medio de duración para el cambio de la energía almacenada en el

∆ W L L i 2L ( t 2 ) - i 2L ( t 1 ) = campo magnético generado por la bobina será: 2 ∆t t 2 - t1 Cuando el intervalo de tiempo ∆t = t2 - t1 tiende a cero, con iL ( t2 ) ≠ iL ( t1 ), resulta que el cambio de

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energía almacenada en la bobina tiende a infinito. Como en los circuitos eléctricos no existen generadores de potencia infinita, las corrientes en los elementos inductivos no pueden cambiar abruptamente. Esta hipótesis en la conmutación para un elemento inductivo se escribe como:

Para las bobinas => i L ( t - ) = i L ( t+ ) siendo t el instante en que se realiza el cambio. La hipótesis en la conmutación para los elementos capacitivos puede ser deducida rápidamente por analogía con el caso anterior. Comparando la energía almacenada en campo magnético por una bobina: WL = L iL2/2, con la energía almacenada en campo eléctrico por un condensador: WC = C vC2/2, se puede observar que la única diferencia estriba en que en un proceso interviene la corriente, iL, y en el segundo la tensión, vC. Del análisis de las relaciones energéticas en un elemento capacitivo, se llega a la misma conclusión: La tensión en los extremos de un condensador no puede cambiar abruptamente. Matemáticamente se expresa por:

Para los condensadores => vC ( t - ) = vC ( t+ ) siendo t el instante en el que se realiza la conmutación. La corriente en la bobina en el instante iL ( t_ ) y la tensión en los extremos del condensador vC ( t- ) son los que existen inmediatamente antes de que se produzca la conmutación, y son denominadas condiciones iniciales. Si en el instante t_, la corriente en las bobinas y la tensión en los condensadores son cero, iL ( t_ ) = 0 y vC ( t_ ) = 0 respectivamente, se denominan condiciones iniciales nulas. En caso contrario se denominan condiciones iniciales no nulas. RÉGIMEN TRANSITORIO EN CIRCUITOS CON CORRIENTE CONTINUA. TRANSITORIOS EN CIRCUITOS INDUCTIVOS CON CORRIENTE CONTINUA. a) Respuesta de un circuito serie RL, excitado con un generador de corriente continua, figura 11.1.

Figura 11.1.- Circuito RL con generador de tensión de continua. Tan pronto como se cierra el interruptor, en t = 0, la corriente i comienza a fluir por el circuito y aparecen las tensiones vr = r i y vC = L di/dt en los extremos de la resistencia y bobina respectivamente. Utilizando la segunda ley de Kirchhoff (LKV) se puede establecer la siguiente ecuación diferencial: v L + v r = E ;

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d i L + r i = E , que es una ecuación diferencial de primer orden, no homogénea. d t La solución completa, es la suma de dos soluciones, la particular (o de régimen estacionario o solución forzada) y la homogénea (o solución transitoria), es decir: i = i p + i h La solución completa permanece durante todo instante posterior al cierre del interruptor, que corresponde a t = 0+. El término estacionario corresponde a la corriente continua que permanece en el circuito después del transitorio, es decir: i p =

E r

Por sustitución directa, se comprueba que la solución particular satisface la ecuación diferencial no homogénea. La solución particular, o respuesta estacionaria, corresponde a la solución de la ecuación diferencial homogénea, es decir: L

d ih + r ih = 0 d t

La solución, también llamada respuesta libre, es independiente de las tensiones y corrientes en el circuito:

ih = K e

p t

siendo p = - r/L la raíz de la ecuación característica: L p + r = 0. La solución completa vendrá dada por: i =

r E + K e- L r

t

siendo K la constante de integración. Para su obtención se han de aplicar las condiciones iniciales: (t = 0) para la conmutación con un elemento inductivo. Como la corriente en un elemento inductivo no puede variar abruptamente, la corriente en el circuito instantes antes, t = 0_ , y después, t = 0+ , ha de ser cero. Así se tiene que:

i ( 0 - ) = i ( 0+ ) = 0 ; 0 =

E E +K ; K=r r

Sustituyendo se obtiene la expresión: i =

t E⎛ ⎜ 1 - e- τ ⎞⎟ siendo τ = L/r, con dimensiones de segundo, la ⎠ r ⎝

Constante de tiempo del circuito. La constante de tiempo define el régimen de variación de la corriente durante el cual ésta toma el valor estacionario. Si este régimen de variación permanece constante e igual al régimen de variación inicial de cambio, se tiene que:

d i⏐ ⏐ =E d t ⏐t = 0+ L

Se puede suponer que el transitorio se extingue prácticamente después de un tiempo igual a 3 τ, contado desde el instante en que se cierra el interruptor. Al final de ese intervalo de tiempo, la corriente será de: i (3 τ ) = 0,95 E/r . Una vez encontrada la dependencia de la corriente con el tiempo, es fácil obtener la dependencia con el t - ⎞ ⎛ tiempo de la tensión entre los extremos de la resistencia y de la bobina: v r = r i = E ⎜ 1 - e τ ⎟

⎝

⎠

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t d i = E e- τ la representación de las respuestas se muestran en la gráfica de la figura 11.2. vL = L d t

Figura 11.2.- Respuesta del circuito. En el intervalo 0 ≤ t ≤ τ el régimen de variación de la corriente puede tomarse aproximadamente constante e igual a:

d i E | t = 0+ = d t L

Durante este intervalo de tiempo la tensión en los extremos de la resistencia es aproximadamente igual a: t

vr = r

r E t = ∫ E d t que es directamente proporcional a la integral de la fuerza electromotriz del generaL0 L

dor. Esto es lo que normalmente se conoce por red integradora. Cuando la excitación es una fuerza electromotriz variable e, puede suceder que durante el proceso transitorio vr >> vL. Durante este intervalo de tiempo la corriente en el circuito es: i ≈ e/r y la tensión en los extremos de la bobina: v L = L

d i L de ≈ d t r dt

es aproximadamente proporcional al régimen de variación de la fuerza electromotriz e. Es por ello por lo que a esta red se la llama red diferenciadora. b) Respuesta libre de un circuito serie RL. Comportamiento de un circuito eléctrico cuando se cierra un conmutador que lo descarga sobre un cortocircuito, figura 11.3.

Figura 11.3.- Circuito serie RL.

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Esta situación aparece en los devanados de las máquinas eléctricas y equipos. Como complemento se añade a las bobinas una cierta resistencia r, resultando el circuito de la figura. La ecuación diferencial que describe le proceso transitorio en el circuito, una vez cerrado el interruptor, es de la forma: v L + v r = 0 ; L

d i +r i=0 d t

Es una ecuación diferencial homogénea de primer orden, cuya solución completa sólo tiene el término t

correspondiente a la respuesta libre del sistema. Así se tiene que: i = K e τ , siendo τ = L/r la constante

de tiempo del circuito. Queda por determinar el valor de la constante K, el cual se obtiene mediante las condiciones iniciales, teniendo en cuenta la hipótesis de conmutación para elementos inductivos dada por: iL ( t_ ) = iL ( t + ). Como antes de cerrar el interruptor, esto es para t = 0_, la bobina está recorrida por una corriente continua i dada por: i ( t = 0 - ) =

se tiene que:

E r+R

i L ( 0 _ - ) = i L ( 0+ ) = i ( 0+ ) = K e- 0

E ⎫ E ⎪ r + R⎬ K = r+R ⎪⎭

Por tanto, la ecuación que describe la respuesta transitoria de la corriente será: i ( t ) =

E -t eτ r+R

Una vez cerrado el interruptor, la corriente en la bobina es debida a la energía almacenada en el campo magnético. A partir de la respuesta de la corriente se pueden obtener las variaciones temporales de las tensiones en los extremos de la resistencia y del inductor ideal, que serán: v r ( t ) = r i =

vL ( t )= L

r E -t eτ r+R

t d i LE r -r E -t = ( - ) e- τ = e τ La representación de las respuestas son las gráficas d t r+R L r+R

indicadas en la figura 11.4.

Figura 11.4.- Gráfica de respuestas.

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Para todas las curvas se ha de verificar que la tangente en el origen corta al eje de abcisas en un tiempo: t = τ. c) Respuesta de un circuito serie RL a una apertura. Cuando un circuito simple serie, figura 11.5, que contiene un inductor es abierto surge un arco eléctrico entre los contactos del interruptor que abre el circuito. Esta situación aparece en los pantógrafos de los vehículos de tracción eléctrica, con alimentación eléctrica exterior, tales como los trenes. También surge este mimo efecto en los interruptores que alimentan fuentes de luz fluorescente sin condensador de corrección. Este arco puede evitarse conectando una resistencia en paralelo con los contactos del interruptor de apertura del circuito.

Figura 11.5.- Circuito serie RL. El inductor real se sustituye por una resistencia r en serie con una bobina ideal de coeficiente de autoinducción L. El conjunto está en serie con una combinación paralelo formada por un interruptor ideal y una resistencia R. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff, después de abrir el interruptor, se tiene que:

v L ( t ) + vr ( t ) + v R ( t ) = E ; L

d i +( r + R ) i = E d t

La solución de la ecuación diferencial está compuesta por la solución de la ecuación homogénea: -

t

i h = K e τ , con τ = L / (r + R) y una solución particular de la completa, correspondiente al régimen permanente o solución forzada. Se puede obtener directamente sin más que observar cual es el valor de la corriente en el circuito una vez cerrado el interruptor y dejado pasar el tiempo. En este caso la solución será: i p =

E r+R

Por tanto, la solución completa vendrá dada por: i ( t ) =

E +K r+R

Para determinar la constante de integración, se impone la hipótesis de conmutación de circuitos inductivos, dada por: i ( t = 0_ ) = i ( t = 0+ ).

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Antes de abrirse el interruptor: i ( t = 0_ ) = E/r ya que la resistencia R está en paralelo con un cortocircui-

⎫ ⎪ RE to. Por tanto: ⎬K= E r( r+R ) i ( t = 0+ ) = + K⎪ r+R ⎭

i ( t = 0- ) =

E r

Sustituyendo el valor de la constante de integración en la solución completa de la ecuación diferencial, se obtendrá la corriente por la bobina después de cerrase el interruptor:

i ( t )=

E r+R

R - t ⎤ ⎡ ⎢ 1 + r e ⎛⎜ L ⎞⎟ ⎥ , con τ = L/(r+R). ⎝ r+R ⎠⎦ ⎣

Las variaciones de la tensión entre los extremos de los distintos elementos se expresan por:

R t ⎤ ⎛ RE ⎞⎡ ⎟ ⎢ 1 + e- τ ⎥ vR ( t )= R i ( t )= ⎜ r ⎝ r+R ⎠⎣ ⎦ R t ⎤ ⎛ r E ⎞⎡ ⎟ ⎢ 1 + e- τ ⎥ vr ( t ) = r i ( t ) = ⎜ r ⎝ r+R ⎠⎣ ⎦ vL ( t )= L

t d i ( t ) ⎛ R ⎞ =-⎜ ⎟ E e- τ d t ⎝ r ⎠

La representación gráfica de las respuestas temporales de las tensiones se muestran en la figura 11.6. Justo en el instante en el que se abre el interruptor, t = 0+, la tensión en los extremos de la resistencia R crece abruptamente, desde cero, vR ( t = 0_ ) = 0 hasta vR ( t = 0+ ) = E R/r. Cuando R >> r, se produce una tensión lo suficientemente elevada entre los extremos de los contactos del interruptor que pueden producir un arco de descarga.

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Figura 11.6.- Respuestas temporales de las tensiones. TRANSITORIOS EN CIRCUITOS CAPACITIVOS CON CORRIENTE CONTINUA. a) Respuesta forzada a una tensión de corriente continua. Respuesta forzada de un circuito serie RC. Como ejemplo considérese el circuito de la figura 11.7. Se supone que inicialmente el condensador está descargado y que el interruptor está abierto (posición indicada en la figura 11.7).

Figura 11.7.- Circuito serie RC. En t = 0 se cierra el interruptor y el generador de tensión continua se conecta al circuito, haciendo que el condensador se cargue. Teniendo en cuenta que para un elemento resistivo: vr = r i , y que para un elemento capacitivo: vC = C dvC/dt , aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito, una vez cerrado el interruptor, se tiene que: v r ( t ) + vC ( t ) = E ; r i + vC ( t ) = E , o bien: r C

d vC + vC = E d t

Es una ecuación diferencial de primer orden no homogénea de coeficientes constantes, cuya solución completa consta de la solución homogénea o respuesta libre: v h = K e completa correspondiente al estado estacionario: v p = E

-

t rC

, y una solución particular de la

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Por tanto, la solución completa será: vC ( t ) = E + K e

-

t rC

Para determinar el valor de la constante de integración K, se acude a la hipótesis de conmutación de condensadores, es decir a: vC ( t = 0_ ) = vC ( t = 0+ ). Suponiendo, como ya se ha dicho, que en el instante inicial, t = 0_, el condensador está descargado: vC ( t = 0_ ) = 0, se tiene que:

vC ( 0 - ) = 0 ⎫ ⎬ K=- E vC ( 0+ ) = E + K ⎭

Sustituyendo en la solución completa de la ecuación diferencial se obtiene la respuesta de la tensión en t - ⎤ ⎡ los extremos del condensador: vC ( t ) = E ⎢ 1 - e τ ⎥ , siendo τ = r C, la constante de tiempo del circuito.

⎣

⎦

Es una medida del ritmo de variación hacia cero de la tensión. Conocida la dependencia temporal de la tensión en los extremos del condensador, se establece fácilmente la dependencia con el tiempo de la corriente de carga y de la tensión en los extremos de la resistencia. Así se obtiene: i ( t ) = C

t d vC E - t = e τ ; v r ( t ) = r i ( t ) = E e- τ d t r

La representación gráfica de las soluciones se muestra en la figura 11.8.

Figura 11.8.- Respuesta del circuito. Hay que hacer notar que justo en el instante en el que se cierra el interruptor, t = 0+, la corriente en el circuito es: i ( t = 0+ ) =

E , y el condensador actúa como un cortocircuito. Para pequeños valores de la r

resistencia r, puede aparecer un valor de corriente substancialmente elevada en el circuito. Para tiempos comprendidos entre: 0 ≤ t ≤ τ , la variación de cambio de la tensión entre los extremos del condensador puede tomarse aproximadamente constante e igual a:

E 1 t= extremos del condensador como: vC ( t ) = rC rC

d vC ⏐ E ⏐ = , y la tensión en los d t ⏐ t = 0+ r C

t

∫Ed

t , que es proporcional a la integral del

0

potencial de la fuente de tensión. Si un circuito serie RC es excitado por una tensión e variable, puede suceder en algún instante durante el

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proceso transitorio, cuando vr 1/L C, las dos raíces p1 y p2 de la ecuación característica son reales. El condensador se descarga con un régimen aperiódico o descarga sobreamortiguada. * Si r2/4 L2 < 1/L C, se obtienen dos raíces p1 y p2 complejas conjugadas, y la descarga del condensador se produce de forma oscilatoria, o descarga subamortiguada. 2 2 ( A ) En el caso de raíces complejas conjugadas, r /4 L < 1/L C, éstas se pueden poner de la forma:

p 1, 2 = - δ ± j ω 0 , siendo: δ =

r 2L

y ω0 =

guamiento, de la respuesta oscilatoria.

1 -δ2 LC

o frecuencia angular natural, o de amorti-

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Sustituyendo las raíces en la ecuación: vC = K 1 e

p1 t

+ K2 e

p2 t

, se obtiene la siguiente función temporal

para la tensión, en los extremos del condensador, y la corriente de descarga en el caso oscilatorio, subamortiguado. ( - δ + j ω0 ) t

vC = K 1 e vC = e i= - C

-δ t

[K

1

e

+ K 2 e( - δ - j ω0 ) t

j ω0 t

+ K 2 e - j ω0 t

]

d vC = - C e - δ t ( - δ t ) [ K 1 e j ω0 t + K 2 e - j ω0 t ] - C e - δ t [ j ω0 K 1 e j ω0 t - j ω0 K 2 e - j ω0 t d t

i = - C e - δ t [ ( - δ ) ( K 1 e j ω 0 t + K 2 e - j ω 0 t )+ j ω 0 ( K 1 e j ω 0 t - K 2 e - j ω 0 t

]

)]

Como en los casos anteriores las constantes K1 y K2 pueden ser obtenidas aplicando las hipótesis de conmutación con elementos inductivos y capacitivos. Así, para el instante anterior al cambio del conmutador, t = 0- , la tensión en los extremos del condensador es igual a la tensión E de la fuente, y no circula corriente por la bobina. Por tanto:

vC ( 0 - ) = E ⎫ ⎬ Para el condensador vC ( 0+ ) = K 1 + K 2 ⎭

i ( 0- ) = 0 ⎫ ⎬ Para la bobina i ( 0+ ) = C [ δ ( K 1 + K 2 ) - j ω 0 ( K 1 - K 2 ) ]⎭

Operando se concluye con: K 1 =

E ( j ω0 - δ ) E ( δ + j ω0 ) ; K2= 2 j ω0 2 j ω0

Recordando la fórmula de Euler: e jψ = cos ψ + j sen ψ , se puede poner:

e

± j ω0 t

= cos ω 0 t ± j sen ω 0 t

Sustituyendo, en las expresiones anteriores, se obtiene la expresión de dependencia temporal de la tensión en los extremos del condensador: vC =

E

ω0

e

-δ t

[ ω 0 cos ω 0

t + δ sen ω 0 t

]

Figura 11.12.- Relación entre ψ, ω0 y δ. La suma de términos coseno y seno puede sustituirse por una función seno. Para ello se toma: tg ψ = ω0 /δ , ver figura 11.12, lo que supone hacer que ω0 y δ sean los dos catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es:

ω 02 + δ 2 =

1 - δ 2 +δ 2 = L C

1 L C

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Dividiendo y multiplicando la ecuación de vC por

vC =

E

ω0

i= - C

LC

e

-δ t

1 se llega a: LC

sen ( ω 0 t +ψ ) , con lo cual la ecuación de la corriente de descarga será:

d vC ⎛ E =⎜ d t ⎜⎝ ω 0 t

⎞ ⎟⎟ e ⎠

-δ t

sen ω 0 t

Estas dos últimas ecuaciones muestran que la tensión en los extremos del condensador y la corriente de descarga del mismo pueden contemplarse como una variación temporal senoidal con amplitudes decrecientes en forma exponencial, con una constante de tiempo dada por:

1

2L

τ= = δ r

Constante de tiempo

Para representar estas funciones tal como se muestran en la figura 11.13 se puede, en primer lugar, trazar las dos funciones exponenciales, como curvas auxiliares:

Para la tension : ±

E

ω0

Para la corriente : ±

L C E

ω0 L

e

e

-δ t

-δ t

Las formas de onda de la tensión y de la corriente deberán representarse entre los límites establecidos por las dos curvas exponenciales auxiliares trazadas. La curva senoidal dibujada a trazos sirve para establecer los puntos singulares de la tensión en los extremos del condensador, tales como: vC (0) = E y vC (t) = 0.

Figura 11.13.- Respuesta subamortiguada del circuito.

2 2 ( B ) En el caso de que r /4 L > 1/L C, es decir que las raíces p1,2 de la ecuación característica sean

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reales, negativas y distintas, verificándose que: p2 < p1 < 0 . La obtención de las constantes K1 y K2 se establece una vez más considerándose las hipótesis establecidas para la conmutación en una bobina y en un condensador. Así se tiene que:

i ( t = 0- ) = 0 d i ( t = 0+ ) = - C vC ⏐ = - C ( p1 K 1 + p2 K 2 d t ⏐ t = 0+

⎫ ⎪ )⎬⎪ Para la bobina ⎭

vC ( t = 0 - ) = E ⎫ ⎬ Para el condensador vC ( t = 0+ ) = K 1 + K 2 ⎭ por tanto: K 1 =

p2 E p E >0 ; K2= 1 1 / L C , las raíces son reales y distintas, dando lugar a una respuesta sobre-

amortiguada o de amortiguamiento supercrítico. Llamando a las raices: p1 = α + β y p 2 = α - β

R ; β= con: α = 2L

2

1 ⎛ R ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 L ⎠ LC

por lo cual: p1 < 0 y p 2 < 0 ; p 2 < p1 < 0 Por tanto, la solución de la completa es:

i ( t ) = ( C1 e

βt

+ C 2 e - β t ) e α t + V m sen ( ω t +ψ V - ϕ ) Z

2 (2).- Cuando ( R / 2 L ) = 1 / L C , las raíces son reales e iguales, dando lugar a una respuesta con

amortiguamiento crítico. Llamando a la raíz doble: α = -

R ; β =0 2L

Con lo que la solución de la completa es:

i ( t ) = ( C1 + C 2 t

) e α t + V m sen ( ω Z

t +ψ V - ϕ )

2 (3).- Cuando ( R / 2 L ) < 1 / L C , las raíces son complejas conjugadas, con lo que la respuesta subamor-

tiguada o con amortiguamiento subcrítico u oscilatorio. Llamando a las raíces:

R ; β= p1 = α + j β ; p 2 = α - j β , α = 2L

1 ⎛ R ⎞ -⎜ ⎟ LC ⎝ 2 L ⎠

2

La solución completa es:

i ( t ) = ( C 1 cos β t + C 2 sen β t

) e α t + V m sen ( ω Z

t +ψ V - ϕ )

Las soluciones particulares de los tres casos son iguales, mientras que la corriente correspondiente a la respuesta transitoria es distinta en cada caso. En el primer caso el decremento de la corriente, debido a la respuesta libre, es del tipo exponencial decreciente, dependiendo el ritmo de decrecimiento de los valores relativos de las reactancias inductiva y capacitiva. El segundo caso es el límite del caso anterior, a partir del cual la respuesta deja de ser

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exponencial decreciente y pasa a ser oscilante, correspondiente al tercer caso. La respuesta oscilante es debido a que la parte transitoria contiene un conjunto de funciones senoidales de pulsación β radianes por segundo y que es, en general, distinta de ω, pulsación de la respuesta forzada. La forma de onda durante el período transitorio es difícil predecir ya que en muchos casos es muy irregular. Una vez anulada la respuesta libre, la corriente permanente estará adelantada o retrasada, respecto de la tensión aplicada, dependiendo de los valores relativos de las reactancias inductiva y capacitiva. GEOMETRÍA DEL PLANO - S EN SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN. El PLANO - S es una representación de los autovalores de un sistema de segundo orden en el plano complejo, siendo el eje de abcisas el eje real, y el eje de ordenadas el eje imaginario. Se designan por S a los autovalores del sistema de segundo orden, por tanto al plano complejo se le denomina PLANO - S. Para facilitar la comprensión de ciertas propiedades geométricas de la representación en el PLANO - S de los autovalores, se definen las siguientes cantidades: ξ (xi), factor de amortiguamiento. ω , frecuencia natural NO amortiguada. La ecuación diferencial de segundo orden respuesta de un sistema libre (sin fuentes de excitación) se puede expresar como:

2 d x d x + 2 ξ ωn + ω 2n = 0 , cuya ecuación característica es: 2 d t d t

2 2 s + 2 ξ ωn s + ωn = 0

Las raíces que proporcionan los autovalores son: s = - ξ ω n ± ω n

ξ2 -1

En el caso de respuesta subamortiguada, que se verifica para: ξ < 1 , los autovalores son números complejos conjugados dados por: s = - ξ ω n + _ j ω n

1-ξ2

Los valores de ξ y ωn son muy importantes en la representación de estos autovalores complejos, figura 11.21.

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Figura 11.21.- PLANO - S. La respuesta de un sistema con autovalores dados por números complejos, se expresa por:

[

y n ( t ) = A e −(ξ ωn ) t + cos ω n 1 − ξ 2 t + φ

]

La influencia del factor de amortiguamiento se puede compendiar de la forma siguiente. •

Si ξ = 0 , el factor exponencial que define el decremento de yn (t) desaparece y la respuesta natural es una onda sinusoidal de frecuencia angular ωn. La respuesta es constante con el tiempo, no amortiguada. Esta es la razón por la cual se denomina a ωn frecuencia natural no amortiguada.

•

Si 0 < ξ < 1 , existe un factor exponencial de decremento. La frecuencia natural amortiguada ωd es:

ωd = ωn

1-ξ2

Se verifica además que (ver figura): a) La distancia radial de los autovalores al origen de coordenadas es ωn, ya que:

(

2 2 radio = ( - ξ ω n ) + ω n 1 − ξ

)

2

= ω n2

b) El factor de amortiguamiento ξ es el coseno del ángulo formado por el radio de cada autovector y el eje real negativo. Llamando v a dicho ángulo se tiene que: cos θ =

ξ ωn =ξ ωn

c) Si ξ tiende a cero, permaneciendo constantes el resto de los parámetros, los autovalores se desplazan a lo largo del semicírculo hacia el eje de ordenadas, hasta alcanzar el valor: s = ± j ω n d) Cuando ξ se aproxima a la unidad, los autovalores siguen la trayectoria del semicírculo y tienden a juntarse en el eje de abcisas, hasta llegar al valor: s = - ω n ( doble )

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EL PLANO - S EN SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR. Cuando se representan en el PLANO - S los autovalores de sistemas de orden superior al segundo, dicha representación se denomina CONSTELACIÓN DE AUTOVALORES. Los autovalores más próximos al origen se llaman AUTOVALORES DOMINANTES y dan lugar a términos, en la respuesta natural, que tienen una constante de tiempo de mayor duración (tardan más en desaparecer) que las otras. En ocasiones, un sistema de orden superior complejo se puede describir, con suficiente aproximación, sólo por los autovalores dominantes. Este procedimiento introduce un error en la respuesta calculada, pero en una primera aproximación puede ser suficiente para el propósito de cálculo. EJEMPLO. Para el circuito R L C de la figura,

⎛ d i ⎞ =0 ⎟ ⎝ d t ⎠ t = 0+

suponiendo: i ( t = 0+ ) = 1 ; ⎜

calcular y dibujar los autovalores y la respuesta natural i (t), para los siguientes valores de R: a) 12'5 Ω, b) 10 Ω, c) 6 Ω y d) 0 Ω. RESOLUCIÓN: Ecuación diferencial de la respuesta del circuito: R i + L

d i 1 + ∫ i d t=0 d t C

2 1 d i Rd i i=0 + + derivando y reordenando: d t L d t LC 2 Ecuación característica: s +

R 1 s+ = 0 ; s 2 + R s + 25 = 0 L LC

2 2 que comparando con: s + 2 ξ ω n s + ω n = 0 , e identificando términos, se tiene que: ξ =

(a) Para R = 12'5 Ω, Caso de sobreamortiguamiento, ξ = 1'25; ωn = 5.

⎧ s1 = −10 ⎩s 2 = −2'5

2 Ecuación característica con dos raíces reales distintas: s + 1′ 25 s + 25 = 0 ⎨

La respuesta natural es: i n ( t ) = A e Condiciones iniciales impuestas:

- 10 t

+ B e - 2′5 t ,

d in = - 10 A e d t

- 10 t

- 2′5 B e - 2′5 t

R ; ωn = 5 10

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i ( t = 0+ ) = 1 ⎛ d i ⎞ =0 ⎜ ⎟ ⎝ d t ⎠ t = 0+

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1= A + B ⎫ A = - 1 ⎪ 3 ⎪ 0 = - 10 A - 2′5 B ⎬ ⎪ 4 ⎪⎭ B = 3

− 10 t + por tanto, la solución es: in (t ) = − e

1 3

4 − 2 '5 t e 3

cuya gráfica se representa, de forma aproximada, en la figura 11.21.

Figura 11.21.- Respuesta sobreamortiguada. (b) R = 10 Ω , Caso de amortiguamiento crítico, ξ = 1; ωn = 5. Ecuación característica con una raíz real doble:

⎧⎪ s1 = - 5 2 s + 10 s + 25 = 0 ⎨ ⎪⎩ s 2 = - 5 Respuesta natural: i n ( t ) = ( A t + B ) e

in ( t ) = 1 Condiciones iniciales:

⎛ d in ⎞ =0 ⎜ ⎟ ⎝ d t ⎠ t = 0+

-5t

,

d in = - 5 ( A t + B ) e -5t + A e -5t d t

1= B ⎫ ⎪ B=1 ⎪ 0 = - 5 B + A ⎬ A= 5 ⎪ ⎪⎭

por tanto la solución es: i n ( t ) = ( 5 t + 1 ) e

-5t

, cuya gráfica está representada en la figura 11.22.

Figura 11.22.- Respuesta con amortiguamiento crítico.

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(c) R = 6 Ω , Caso de subamortiguamiento, ξ = 0'6; ωn = 5.

⎧⎪ s1 = - 3 + j 4 + 6 s + 25 = 0 Ecuación característica con dos raíces complejas conjugadas entre sí: s ⎨ ⎪⎩ s 2 = - 3 - j 4 2

Respuesta natural: i n ( t ) = A e

-3t

cos ( 4 t + φ ) ,

d in = - 3 A e - 3 t cos ( 4 t + φ ) - 4 A e - 3 t sen ( 4 t + φ ) d t

Condiciones iniciales:

i n ( t = 0+ ) = 1 ⎛ d in ⎞ =0 ⎜ ⎟ ⎝ d t ⎠ t = 0+

1 = A cos φ ⎫ ⎪ φ = - 3′69 ° ⎪ 0 = - 3 cos φ - 4 sen φ ⎬ A = 1′ 25 ⎪ ⎪⎭

por tanto, la solución es: i n ( t ) = 1′ 25 e

-3t

cos ( 4 t - 3′687 ° ) , representada en la figura 11.23.

Figura 11.23.- Respuesta con subamortiguamiento. (d) R = 0 Ω , Caso sin amortiguamiento, ξ = 0; ωn = 5. Ecuación característica con dos raíces complejas conjugadas entre sí, sin parte real:

⎧⎪ s1 = j 5 2 s + 25 = 0 ⎨ ⎪⎩ s 2 = - j 5 Respuesta natural: i n ( t ) = A cos ( 5 t + φ ) ,

Condiciones iniciales:

d in = - 5 A sen ( 5 t + φ ) d t

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i n ( t = 0+ ) = 1 ⎛ d in ⎞ =0 ⎜ ⎟ ⎝ d t ⎠ t = 0+

1 = A cos φ ⎫ ⎪ sen φ = 0 ⎪ 0 = - 5 A sen φ ⎬ A= 1 ⎪ ⎪⎭

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por tanto, la solución es: i n ( t ) = cos 5 t , representada en la figura 11.24.

Figura 11.24.- Representación de la solución sin amortiguamiento. Por último, en la figura 11.25, se muestra una representación del PLANO - S con los autovalores correspondientes a las distintas soluciones obtenidas, así como de sus correspondientes gráficas.

Figura 11.25.- Representación de las soluciones en el Plano S.

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CAPÍTULO 12 CIRCUITOS ELÉCTRICOS NO LINEALES

INTRODUCCIÓN. El análisis de circuitos eléctricos no lineales requiere un estudio inicial de los elementos no lineales que los componen. En lo que sigue, se supondrán circuitos no lineales debidos a elementos electrónicos de conmutación únicamente, siendo los restantes elementos activos y pasivos lineales con hasta ahora. Dado que las funciones que describen las variables eléctricas dejan de ser lineales, y por supuesto sinusoidales, el estudio de estos circuitos no puede ser realizado utilizando las técnicas derivadas del uso de fasores utilizadas hasta ahora. Para lineal izar el problema, y por tanto poder utilizar los métodos de análisis descritos, se utiliza la transformación de funciones periódicas como suma de infinitas funciones senoidales, enunciado por Jean Baptiste Joseph Fourier y ya descrito en el segundo capítulo. Para cada una de estas funciones periódicas, denominadas armónicos, el problema se convierte en lineal y por tanto puede ser tratado desde el punto de vista fasorial, con lo que le son aplicables todas las técnicas descritas en capítulos anteriores. La respuesta global del circuito, en cuanto a tensiones y corrientes, puede obtenerse aplicando el teorema de superposición al conjunto de las soluciones correspondientes a cada uno de los armónicos, es decir, la solución será la suma de las soluciones correspondientes a cada uno de los armónicos. El análisis de respuesta de circuitos sencillos, tales como rectificadores con carga resistiva, etc., puede realizarse de forma gráfica, solución que es mucho más intuitiva. La potencia eléctrica, al no verificar el teorema de superposición, necesita un tratamiento global distinto al utilizado en cuarto capítulo. Por tanto, es necesario realizar un estudio separado en el que se han de definir nuevas variables y parámetros, para poder establecer de la forma lo más precisa posible el comportamiento energético de estos circuitos. Se incluye en este apartado la corrección del factor de potencia, que en circuitos eléctricos no lineales presenta ciertas peculiaridades muy importantes que no sólo limitan la corrección del factor de potencia sino que pueden provocar fuertes alteraciones de comportamiento de las variables eléctricas.

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ELEMENTOS NO LINEALES: ELEMENTOS ELECTRÓNICOS. INTRODUCCIÓN. El objetivo de la electrónica de potencia, dentro del estudio de la transmisión y conversión de la energía eléctrica, es el de transformar, o regular, dicha energía mediante los elementos electrónicos, o semiconductores, modificando o transformando las formas de onda de las tensiones o corrientes. El elemento electrónico genérico se denomina válvula. Por razones de disipación térmica, de rendimiento en algunos casos, y por sus características intrínsecas, estas válvulas sólo se pueden encontrar en dos o estados distintos: ESTADO CONDUCTOR, es aquel en el que las válvulas presentan una pequeña impedancia, idealmente nula, al paso de la corriente eléctrica. Una válvula en este estado se puede asimilar a un interruptor cerrado. ESTADO DE BLOQUEO, es aquel para el cual la válvula presenta una impedancia muy grande, idealmente infinita, al paso de la corriente eléctrica. Se puede asimilar este estado de la válvula a un interruptor abierto. La mayor parte de las válvulas, presentan características simétricas en el plano tensión-corriente. Así el estado conductor (o el estado de bloqueo) sólo se verifica para una polarización, o polaridad de la corriente (o de la tensión) dada. Alguno de los dispositivos tienen entrada de control, con la que se permite actuar sobre el cambio de estado, ya sea pasando únicamente del estado de bloqueo al estado de conducción, o bien, estando en conducción pasar al estado de bloqueo. En función de las posibilidades de control de actuación, las válvulas se pueden clasificar en los siguientes tipos: 1) VÁLVULAS NO CONTROLADAS o DIODOS. Son dispositivos unidireccionales en tensión y en corriente que pasan al estado conductor, polarización directa, cuando la tensión en sus terminales deja de tener la polaridad correspondiente al estado de bloqueo. Bloquean cuando la corriente que los atraviesa deja de tener la polaridad correspondiente al estado conductor, polarización inversa. 2) VÁLVULAS EN LAS QUE SE CONTROLA LA CONDUCCIÓN, TIRISTORES y TRIACS. Son dispositivos que pasan al estado de conducción mediante la aplicación de una señal de mando, a un electrodo denominado puerta, siempre que la tensión en sus terminales tenga la polaridad adecuada, ya que son unidireccionales en corriente, TIRISTORES. Una vez establecido el estado de conducción, la señal de control no tiene efecto en su comportamiento y puede ser suprimida. El paso al estado de bloqueo se realiza, como en los diodos, cuando la corriente que lo atraviesa intenta invertir el sentido. Cuando la característica tensión-corriente del tiristor es simétrica la válvula se denomina TRIAC. 3) VÁLVULAS EN LAS QUE SE CONTROLA TANTO LA ENTRADA EN CONDUCCIÓN COMO SU BLOQUEO, GTO, TRANSISTORES. Son dispositivos que pasan de un estado a otro mediante la acción de señales de control que les son aplicadas a un electrodo llamado puerta. Para realizar estos cambios de estado, se deben tener en cuenta las polaridades adecuadas si las válvulas son unidireccionales en tensión y corriente. En lo que sigue, sólo se considerarán aquellos elementos electrónicos utilizables directamente con corriente

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alterna, es decir, los diodos, los tiristores y triacs, y los GTO.

DIODO. El DIODO es un dispositivo de dos terminales, denominados ÁNODO (+) y CÁTODO (-). El símbolo convencional de este dispositivo, así como los sentidos de referencia asociados a la tensión y a la corriente, se encuentran representados en la figura 12.1.

Figura 12.1.- Símbolo del diodo. Idealmente, un diodo presenta una caída de tensión nula cuando la corriente es positiva y no deja circular corriente cuando la tensión aplicada es negativa, tal como se muestra en la figura 12.2, correspondiente a su curva característica.

Figura 12.2.- Curva característica del diodo ideal. En la realidad, los diodos presentan una pequeña caída de tensión (VF o VD) en sus terminales cuando la corriente que los atraviesa es positiva. Esta caída de tensión directa es del orden de 1 voltio, para un diodo normal. Así mismo, dejan pasar una pequeña corriente negativa o corriente de fuga (IR) o corriente inversa, cuando se encuentran sometidos a una tensión negativa o de polarización inversa. Para un diodo normal, la corriente de fuga es del orden de 10-5 a 10-4 veces la corriente que puede circular por el diodo en estado conductor. La curva característica tensión-corriente de un diodo varia sensiblemente con la temperatura. Con polarización inversa, estado de bloqueo, un aumento de temperatura provoca un aumento de la corriente de fuga y un aumento del valor de la tensión de avalancha, esto es, de la tensión a partir de la cual la corriente de fuga crece desmesuradamente con la tensión. El valor nominal de la tensión inversa continua que un diodo puede soportar (VRM), es siempre inferior a la

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tensión de avalancha correspondiente a la temperatura máxima admisible (normalmente 150°C). Excepto para ciertos diodos especiales (diodos de avalancha controlada), la entrada en avalancha provoca, generalmente, la destrucción del diodo. Así pues, por razones de seguridad, se hace trabajar a los diodos con una tensión muy inferior a VRM (del orden de la mitad), asegurándose un margen de seguridad que resulta muy útil de cara a posibles sobretensiones intempestivas. El valor de la corriente que de forma continua puede soportar un diodo en estado de conducción queda, esencialmente, fijado por problemas de evacuación del calor debido a la potencia disipada por el mismo. Esta potencia es igual al producto de la corriente directa IF que atraviesa el diodo por la caída de tensión VF entre sus terminales: PF = VF IF, perdidas en polarización directa. Cuando el diodo es recorrido por una corriente variable, el valor de la corriente y tensión se han de expresar en valores eficaces. Las pérdidas debidas a la polarización inversa PR = VR IR, que intervienen en los intervalos de tiempo que separan las conducciones no se contabilizan. Esto es debido al hecho de que las pérdidas en la situación de bloqueo son despreciables comparadas con las correspondientes al estado de conducción con la corriente máxima admisible.

TIRISTORES, TRIACS. El TIRISTOR es un dispositivo con dos terminales de potencia: ÁNODO (+) y CÁTODO (-), y un terminal de control, PUERTA o "GATE". El símbolo convencional del tiristor es el representado en la figura 12.3, con los sentidos de referencia adoptados para las tensiones y corrientes. En ausencia de una señal en la puerta, el dispositivo se comporta como dos diodos colocados en serie con sentidos opuestos uno respecto del otro.

Figura 12.3.- Símbolo del tiristor. Idealmente, el tiristor es capaz de soportar una tensión ánodo-cátodo positiva o negativa sin dejar circular corriente por él. En el eje de abcisas, de la curva característica de un tiristor ideal como la mostrada en la figura 12.4, se representan los dos estados de bloqueo posibles, mientras que en el semieje positivo de ordenadas se encuentra el conjunto de estados de conducción.

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Figura 12.4.- Curva característica del tiristor ideal. Cuando un tiristor está sometido a una polarización positiva o directa, la aplicación de un pulso positivo de corriente en la puerta ( proporcionado por una tensión entre la puerta (+) y el cátodo (-) ) hace pasar el dispositivo de la zona o estado de bloqueo, de característica i = 0, a la zona o estado de conducción, de característica v = 0, i > 0. Este fenómeno se denomina "disparo del tiristor". El retorno a la situación de bloqueo se verifica cuando la corriente que atraviesa al tiristor se anula, o bien, cuando sea aplicada una tensión negativa en sus terminales durante un cierto intervalo de tiempo. Como en los diodos, las características estáticas y dinámicas los tiristores reales se apartan ligeramente de las características de los elementos ideales. El TRIAC es un elemento electrónico cuyo símbolo convencional, sentidos de referencia de tensiones y corrientes se muestran en la figura 12.5.

Figura 12.5.- Símbolo del triac. Las curvas características de los triacs, mostrada en la figura 12.6 para un triac ideal, son similares a las de los tiristores, salvo que son simétricas con respecto a las tensiones de polarización. Es decir, existen dos polarizaciones directas con posibilidad de control de disparo de conducción en ambos sentidos. Esto hace que este tipo de elemento sea muy útil en aplicaciones con corriente alterna.

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Figura 12.6.- Curvas características de un triac ideal.

GTO (Gate Turn-Off thiristor). TIRISTOR CON CONTROL DE BLOQUEO O CORTE. El GTO se distingue de los tiristores clásicos, en su control al bloqueo. El paso del estado de conducción al bloqueo puede realizarse mediante la aplicación de una pequeña tensión negativa (decenas de voltios) entre la puerta de control (-) (gate) y el cátodo (+) (pulso de corriente ig), no siendo necesaria una polarización inversa del dispositivo. El símbolo convencional del GTO, así como los sentidos de referencia adoptados para las tensiones y corrientes, se muestran en la figura 12.7.

Figura 12.7.- Símbolo del GTO. El valor de la corriente que un GTO es capaz de cortar, sin que se produzca su destrucción, depende esencialmente de la amplitud de la variación de la tensión directa ánodo-cátodo VD, y de su disminución con el aumento de la temperatura ( dVD/dt )máx, figura 12.8.

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Figura 12.8.- Poder de corte de un GTO. La aplicación de una tensión negativa VGK entre la puerta y el cátodo, o un impulso negativo de corriente, ig, provoca el proceso de extinción, corte o bloqueo, del GTO, tal como se muestra en la figura 12.9.

Figura 12.9.- Extinción de un GTO ideal. El GTO no puede entrar en conducción antes de anularse la corriente de recuperación (corriente inversa), pues puede destruirse. La entrada en conducción de un GTO polarizado en sentido directo, se realiza como en un tiristor normal, esto es, por aplicación de un impulso positivo de corriente, ig, en la puerta como se muestra en la figura 12.10. Esta corriente debe ser sensiblemente más elevada que en los tiristores clásicos para asegurar un disparo rápido. Para limitar la caída de tensión directa en el estado de conducción, es necesario mantener durante todo el intervalo de conducción del dispositivo, una corriente de puerta positiva de un valor inferior al necesario para la entrada en conducción.

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Figura 12.10.- Conducción de un GTO ideal.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN. 1.- Rectificador de media onda. Se conecta un diodo a la salida de un generador de tensión de corriente alterna, tal como se muestra en la figura 12.11. Funcionando el conjunto en vacío, se desea conocer cual es la forma de onda de la tensión en los puntos A y B, y el valor eficaz de la misma.

Figura 12.11.- Rectificador de media onda. RESOLUCIÓN: Tomando como origen de tiempos la tensión, supuesta senoidal, suministrada por el generador de tensión, se tiene que: v ( t ) = 2 V sen ω t De la curva característica del diodo, supuesto ideal, se puede establecer que:

Para v ( t ) ≥ 0 ⇒ v AB ( t ) = v ( t ) Para v ( t ) < 0 ⇒ v AB ( t ) = 0 Por tanto, la forma de onda de la tensión vAB (t) será la mostrada en la figura 12.12, en la que se observa que la tensión se anula para los semiperíodos negativos o lóbulos negativos , de la tensión del generador. La forma de onda de la tensión resultante es una onda periódica no alternada, asimilable a una corriente continua.

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Figura 12.12.- Forma de onda de la tensión: vAB (t).

T

El valor eficaz de la tensión vAB (t) se obtiene de la expresión: V

2 AB

=

1 2 v AB ( t ) d t T ∫0

en este caso T = 2 π, la función temporal es ωt y el valor de la función es cero en el intervalo π a 2π, así se tiene que: V

2 AB

=

1 2π

π

∫ 2V

2

2 sen ω t d ω t

0

2 utilizando la transformación: sen ω t =

2

e integrando, se obtiene: V AB =

1 1 - cos 2 ω t 2 2

2 2 1 1 V 2 V 2 π = , por tanto: V AB = V 2 2π 2 2

2.- Rectificador de onda completa o Puente de GRAETZ. Se conectan cuatro diodos con la disposición de puente de Graetz a la salida de un generador de tensión de corriente alterna sinusoidal, tal como se muestra en la figura 12.13. En disposición sin carga, se desea obtener la forma de onda de la tensión en los puntos A y B, y el valor eficaz de la misma.

Figura 12.13.- Puente de Graetz. RESOLUCIÓN: Dividiendo el proceso de rectificación de la onda de tensión, se pueden establecer dos períodos de actuación de los diodos, correspondientes a los semiperíodos de la onda de tensión del generador. Dicha tensión se supone senoidal, de período 2π, y será el origen de tiempos para los diagramas temporales.

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Figura 12.14.- Puente de Graetz en semiciclo positivo. Durante los semiperíodos positivos de la onda de tensión del generador, el potencial entre A y B se establece a través de los diodos polarizados a favor, representados con línea llena, tal como se muestra en la figura 12.14. Los diodos representados con línea de trazo se encuentran polarizados en contra. Para este intervalo se verificará que: 0 ≤ ω t ≤ π ; v ( t ) ≥ 0 => v AB ( t ) = v ( t )

Figura 12.15.- Puente de Graetz en semiciclo negativo. Durante los semiperíodos negativos de la onda de tensión del generador, el potencial entre A y B se establece de forma análoga a la indicada y que se muestra en la figura 12.15, con el mismo significado en la representación. Durante este intervalo se comprueba que:

π ≤ ω t ≤ 2 π ; v ( t ) ≤ 0 => v AB ( t ) = - v ( t ) Como resultado de la rectificación, la tensión en los terminales A y B viene dada por la forma de onda mostrada en la figura 12.16, y cuyo valor eficaz se obtiene estableciendo:

V

2 AB

1 = 2π

2π

∫v 0

2 AB

( ω t )d ω t ; V

2 AB

1 =2 2π

π

∫ 2V 0

2

2 2 sen ω t d ω t ; V AB = 2

1 1 2V 2 π =V 2 2π 2

V AB = V

Figura 12.16.- Forma de onda doblemente rectificada. 3.- Regulador de semionda. Se conecta un tiristor a la salida de un generador de tensión de onda senoidal,

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de período 2π, tal como se muestra en la figura 12.17. Se desea conocer la forma de onda y el valor eficaz de la tensión en la salida del conjunto, puntos A y B en circuito abierto, en función del ángulo, o tiempo, de disparo.

Figura 12.17.- Regulador de semionda. RESOLUCIÓN: El comportamiento del tiristor se puede resumir de forma esquemática a través de las siguientes expresiones: Bloqueo (con polarización directa): v ( t ) ≥ 0 => v AB ( t ) = 0 Disparo a conducción:

v( t )≥0 ⎫ ⎬ v AB ( t ) = v ( t ) Π i g ( pulso )⎭

Bloqueo (con polarización inversa): v ( t ) ≤ 0 => v AB ( t ) = 0

Se producen los pulsos de disparo en los instantes ω ( t1 + n T ), con n = 0, 1, 2 ..., correspondientes a los ángulos de fase dados por la expresión: θ = 180 ω t / π. Su representación, junto con las formas de onda del generador y resultante, se muestran en la figura 12.18. El cálculo del valor eficaz de la onda resultante se establece a partir de la expresión: T

1 V = ∫ v2 ( t ) d t T 0 la tensión suministrada por el generador se toma como origen de tiempos, según figura 12.18:

v ( t ) = 2 V sen ω t cuyo período es T = 2 π. Así se tiene que: V

V AB =

v 2

π

2 AB

=

1 2π

π

∫ 2V

2

2 2 sen ω t ; V AB

θ1

2 ( π - θ 1 ) + sen 2 θ 1

1 2π

2V 2

1 [ 2 π - 2 θ 1 + sen 2 θ 1 ] 4

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Figura 12.18.- Formas de onda y pulsos de disparo. Regulador de semionda. Se comprueba la validez de la expresión, obteniendo los valores extremos de la función para los siguientes ángulos θ1. Disparo al comienzo de la onda de tensión: θ 1 = 0

≥ V AB =

V 2

π

2π =

2 2

V

rectificación de media onda. Sin disparo: θ 1 = π

=>

V AB =

V 2

π

x 0=0

4.- Regulador de onda completa. Se conecta un triac (o dos tiristores en antiparalelo) a la salida de un generador de tensión de onda senoidal, tal como se muestra en la figura 12.19, de período 2π. Se desea obtener la forma de onda y el valor eficaz de la tensión en la salida del conjunto, puntos A y B, en vacío, en función del ángulo, o tiempo, de disparo.

Figura 12.19.- Regulador de onda completa. RESOLUCIÓN: El comportamiento del triac es similar al del tiristor. Su forma de actuación se puede resumir de la siguiente manera: Bloqueo (con polarización directa): v ( t ) ≥ 0 => v AB ( t ) = 0

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Disparo a conducción (con polarización directa):

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v( t )≥0 ⎫ ⎬ v AB ( t ) = v ( t ) Π i g ( pulso )⎭

Bloqueo (con polarización inversa): v ( t ) ≤ 0 => v AB ( t ) = 0 Disparo a conducción (con polarización inversa):

v ( t )

V AB =

V x 0=0 2π

5.- Cortador de semionda. Se conecta un GTO a la salida de un generador de tensión de onda senoidal, de período 2π, tal como se muestra en la figura 12.21. Se desea conocer, en vacío, la forma de onda y el valor eficaz de la tensión en la salida del conjunto, puntos A y B, en función de los ángulos, o tiempos, de disparo.

Figura 12.21.- Cortador de semionda. RESOLUCIÓN: La actuación del GTO puede establecerse matemáticamente de la siguiente forma: Bloqueo polarización directa: v ( t ) ≥ 0 => v AB ( t ) = 0 Disparo a conducción (con polarización directa):

v( t )≥0

⎫ ⎬ v AB ( t ) = v ( t ) Π i g ( pulso positivo )⎭

Conducción y disparo a bloqueo (con polarización directa):

v( t )≥0

⎫ ⎪ v AB ( t ) = v ( t ) ⎬ v AB ( t ) = 0 Π i g ( pulso negativo )⎪⎭ una vez establecido el nuevo bloqueo no se puede volver a pasar al estado de conducción ya que se destruiría el GTO. Bloqueo (con polarización inversa): v ( t ) < 0 => v AB ( t ) = 0 Los pulsos de disparo para conducción se establecen en los instantes ω ( t1 + n T/2 ), con n = 0, 1, 2 ..., correspondientes a los ángulos de fase dados por la expresión θ1 = 180 ω t1 / π, y para el corte o bloqueo en los instantes ω ( t2 + n T/2 ), cuyas fases vienen dadas por θ2 = 180 ω t2 / π . Su representación, junto con las formas de onda del generador y resultante, se muestra en la figura 12.22. T

El valor eficaz de la onda resultante se establece de la expresión general: V =

1 2 v ( t )d t T ∫0

La tensión suministrada por el generador se toma como (figura 12.22): v ( t ) = 2 V sen ω t

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cuyo período es T = 2 π. Así se tiene que: V AB =

2

V AB

1 2π

2V 2

1 2π

θ2

∫ 2V

2

2 sen ω t d ω t

θ1

1 [ 2 θ 2 - 2 θ 1 - sen 2 θ 2 + sen 2 θ 1 ] V AB = V 4 2 π

2 ( θ 2 - θ 1 ) + sen 2 θ 1 - sen 2 θ 2

Figura 12.22.- Formas de onda y pulsos de disparo. Cortador de semionda. Como casos particulares extremos se muestran los siguientes: * Disparo de conducción al comienzo de la onda de tensión y corte o bloqueo al final del semiperíodo de la onda de tensión.

θ 1 = 0⎫ ⎬ θ 1 = 0⎭

V AB =

V 2

π

2 π +0 =

2 2

V

valor eficaz de una onda semionda. * Disparo de conducción a π/2 y bloqueo a π/2.

π⎫ θ1= ⎪ 2 π⎬ θ2= ⎪ 2⎭

V AB =

V 2

π

2(

π π 2

-

2

) + sen π - sen π = 0

Análisis de Circuitos Eléctricos

F. Bugallo Siegel

CAPÍTULO 14: POTENCIA ELÉCTRICA EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS MONOFÁSICOS NO LINEALES.

INTRODUCCIÓN. El uso de cargas domésticas e industriales no lineales se ha incrementado enormemente. Equipos tales como televisores, receptores de radio, reguladores de iluminación, motores de velocidad variable, etc., utilizan semiconductores tales como rectificadores controlados y no controlados, GTO, etc., que modifican la forma de onda de la corriente de alimentación de las cargas. En los circuitos eléctricos no lineales las formas de onda de tensión y de corriente no son, en general, senoidales. Por tanto, no se pueden mantener algunas de las definiciones expuestas en capítulos anteriores, puesto que aquellas responden a casos particulares de las que se enunciarán en éste. El estudio de la potencia eléctrica con ondas no senoidales se abordará, de forma genérica, analizando un circuito monofásico formado por un generador de tensión que alimenta a una carga no lineal compuesta por elementos pasivos no lineales. El desarrollo se puede dividir en dos casos generales. El primero de ellos considera la fuente de tensión como una fuente ideal, es decir, la corriente que suministra a la carga será una función no lineal del tiempo pero la tensión suministrada por el generador será en todo instante una función sinusoidal. El segundo caso corresponde a la consideración de que tanto la tensión como la corriente son funciones no lineales con el tiempo. Este apartado, que trata de ser una introducción al estudio de la potencia eléctrica en circuitos eléctricos no lineales, se analizará sólo el primer caso ya que suele ser el más común en los circuitos de distribución de energía eléctrica. TENSIÓN, CORRIENTE Y POTENCIA INSTANTÁNEA Se analiza el caso de cargas no lineales conectadas a un generador de tensión senoidal ideal, es decir, con impedancia nula, tal como se muestra en la figura 12.23.

Figura 12.23.- Generador ideal alimentando una carga no lineal.

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Si la impedancia interna del generador es lo suficientemente grande la tensión a la salida del generador dejaría de ser senoidal. La tensión suministrada por el generador se puede poner de la forma:

e ( ωt) = E max sen ωt = 2 E sen ωt tomando como origen de tiempo la propia tensión del generador, siendo E el valor eficaz de la tensión y ω la pulsación de la función temporal (ω = 2 π f). La corriente no lineal será, en general, una función periódica cuyo desarrollo en serie de Fourier se puede expresar como: i S ( ωt) = 2

n

∑

I Sn sen ( n ωt - ψ Sn )

1

siendo n un número entero que indica el ordinal del armónico. El signo del armónico de ángulo de fase ΨSn puede ser positivo para ciertos valores de n, o bien negativos para otros. Se supone que la forma de onda no tiene componente de corriente continua, hecho observable en la alimentación de las cargas no lineales comentadas anteriormente. La potencia instantánea, por definición, viene dada por:

p ( ωt) = e ( ωt) i s ( ωt) n

p ( ωt) = E ∑ { cos[(n - 1) ωt - ψ Sn ] - cos [(n + 1) ωt - ψ Sn ] } 1

p ( ωt) = 2 E

n

∑

I Sn sen ( ωt) sen(n ωt - ψ Sn )

1

En el caso de cargas lineales n = 1, por tanto: ψSn = ψS1 = φ, se reduce el problema a una simple carga inductiva. POTENCIA ACTIVA Y APARENTE, ÁNGULO DE FASE Y FACTOR DE POTENCIA La potencia activa, se obtiene como valor medio de la potencia instantánea para un período completo, así:

PS =

1 T

T

∫

e ( ωt) i S ( ωt) d ( ωt)

0

para el período considerado: P S =

1 2π

2 π

∫

e ( ωt) i S ( ωt) d ( ωt)

0

La integral, extendida a un período, de los términos con doble producto de las funciones que no sean de la misma pulsación o frecuencia, es nula. Por tanto, sólo aparecerán los términos con n = 1, por lo que:

P S = E I S 1 cos ψ S 1 El ángulo ψS1 se define como ÁNGULO DE DESFASE o de DESPLAZAMIENTO entre la tensión de alimentación y el armónico fundamental (frecuencia de la alimentación) de la corriente. Por consiguiente, la potencia media absorbida por la carga no lineal viene dada únicamente por la combinación tensión-corriente correspondiente a la misma frecuencia.

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Como resumen, si la tensión de alimentación es senoidal, la potencia media contiene sólo la componente del armónico fundamental, y la potencia transferida es debida únicamente a la combinación de la tensión de alimentación con la componente fundamental de la corriente. Los valores eficaces de la tensión E y de la corriente IS vendrán dados por:

E=

IS=

1

2π

∫

2π 1 2π

2 e ( ωt) d ωt ; E =

0

2π

∫

Em 2

2 i S ( ωt) d ωt ; I S =

2 2 2 I S 1 + I S 2 + ... + I Sn

0

El valor eficaz de la corriente no lineal es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los valores eficaces de las corrientes correspondientes a sus componentes armónicas. Como en la evaluación de la potencia activa sólo interviene el armónico fundamental, la expresión anterior se n

puede descomponer en función del mismo obteniéndose: I 2S =

∑

n

2 I = I S1 + 2 Sn

1

∑

2

I Sn

2

La potencia aparente SS en los terminales de la carga, definida como producto de los valores eficaces de la tensión y de la corriente, viene dada por: S S = E I S n

sustituyendo: S S = E

∑

2

I Sn

1

n

o bien, separando la componente del armónico fundamental: S S = E I S 1 + E

∑

2

I Sn

2

Hay que hacer notar que, mientras la potencia activa o media se transfiere sólo mediante la combinación de tensión y corriente de la misma frecuencia, la potencia aparente es independiente de las consideraciones sobre la frecuencia. De la definición de factor de potencia, cociente entre la potencia activa y la potencia aparente, se tiene:

fp = P S = P S SS E IS sustituyendo: fp =

I S 1 cos ψ S1 I S1 cos ψ S 1 = n IS ∑ I 2Sn 1

FACTOR DE DESFASE (DESPLAZAMIENTO) Y FACTOR DE DISTORSIÓN El término cos ψS1, correspondiente al coseno del ángulo de desfase o desplazamiento de fase entre la tensión y la componente de la corriente a la frecuencia fundamental, contribuye al factor de potencia del sistema. Consecuentemente, el término cos ψS1 se denomina FACTOR DE DESFASE o de DESPLAZAMIENTO.

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Es muy importante darse cuenta de que el ángulo de desplazamiento ψS1 es a menudo, pero no siempre, debido al almacenamiento de energía por algunos componentes del circuito (bobinas, condensadores). Aún para ciertos circuitos resistivos, el ángulo ψS1 puede ser distinto de cero, por ejemplo, en circuitos rectificadores especiales con carga resistiva. El término IS1 / IS es la contribución, al factor de potencia del sistema, de la relación entre el valor eficaz de la corriente correspondiente a la frecuencia fundamental y el valor eficaz de la corriente total. Esta relación, IS1 / IS, que es un índice de la no-linealidad de la carga, se la denomina FACTOR DE DISTORSIÓN. Las definiciones anteriores se pueden resumir de la forma:

Factor de desfase = cos ψ S 1

Factor de distorsion = I S1 = I S IS

1 n

∑

2

I Sn

1

fp = ( cos ψ S 1 ) ( I S 1 ) IS Factor de potencia = Factor de desfase ( desplazamiento ) x Factor de distorsion Como, por definición, IS > IS1, debido a la presencia de armónicos en la corriente, el factor de distorsión es menor que la unidad, y el factor de potencia será menor que la unidad aún cuando el factor de desfase (desplazamiento) alcance su valor máximo unidad. POTENCIA REACTIVA Y POTENCIA DE DISTORSIÓN La POTENCIA REACTIVA se define, para mantener la expresión dada en circuitos lineales, como la componente de la potencia aparente creada por combinación de corrientes desfasadas 90º respecto de la tensión. Como la tensión sólo tiene una componente senoidal, la única componente en cuadratura con respecto de la tensión corresponderá al armónico fundamental. La componente reactiva que complementa la potencia activa es: Q S = E I S 1 sen ψ S 1 Hay que tener presente que la potencia reactiva Q no puede ser definida por una expresión de la misma forma que la potencia media P. La potencia reactiva no tiene existencia física independiente en los circuitos no lineales. El término Q define una componente analítica conveniente cuya definición se escoge como dualidad de la potencia media. En los circuitos lineales con variables sinusoidales los dos términos P y Q engloban la potencia aparente. Cuando el circuito tiene cargas no lineales es necesario definir una nueva componente denominada POTENCIA DE DISTORSIÓN, que se representa con la letra D, y se mide en voltamperios (VA). En algunos textos se pospone a la unidad de medida la palabra distorsión para diferenciarla con la similar correspondiente a la potencia aparente. 2

Para las condiciones en los terminales de la carga se establece que: S 2S = P 2S + Q S + D 2S = E 2 I 2S

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En el caso que se está estudiando se verifica que: P S = E I S 1 cos ψ S 1 ; Q S = E I S 1 sen ψ S 1 2

por tanto: P 2S + Q S = E 2 I S 1 2 2

y, aplicando la definición de D se obtiene: D 2S = S 2S - ( P 2S + Q S ) ; D 2S = E 2 ( I 2S - I S 1 2 ) n

2 2 DS = E { (

∑ 1

n

2 2 2 2 2 I Sn ) - I S1 } ; D S = E ∑ I Sn 2

Como su propia definición implica, la potencia de distorsión, o potencia distorsionante, está generada por combinación de las componentes de tensión y corriente de distintas frecuencias. El valor medio de estos productos de frecuencias cruzadas es cero para un período de la onda de tensión asociada a ellos. Sin embargo, estos productos cruzados tienen un valor eficaz finito y por lo tanto contribuyen al valor de la potencia aparente. La potencia de distorsión DS, como la potencia reactiva QS, no tiene una existencia física independiente. La realidad física es que la potencia activa, o media, PS es más pequeña en magnitud que la potencia aparente SS = E IS. No existe una justificación del tipo físico, para separar y establecer la diferencia SS - PS en componentes analíticas. Cualquier descomposición de SS es sólo un artilugio matemático sujeto a interpretaciones personales. La descomposición indicada en párrafos anteriores se ha realizado bajo consideraciones de utilidad tanto en circuitos lineales, como en no lineales, con tensiones senoidales. Cuando la tensión deja de ser senoidal esta descomposición pasa a ser dudosa. Es interesante saber que para los circuitos lineales y no lineales, con tensiones senoidales, la potencia de distorsión en terminales de la carga puede ser expresada en términos del factor de distorsión ya definido. Así se tiene que: D 2S = E 2 ( I 2S - I S 1 2 ) ; D 2S = E 2 I 2S [ 1 - (

I S1 2 ] ) IS

2 2 2 2 D S = E I S [ 1 - ( factor de distorsion ) ]

por tanto:

2 2 2 D S = ( potencia aparente ) x [ 1 - ( factor de distorsion ) ]

En los circuitos lineales IS1 = IS, el factor de distorsión es la unidad y por tanto la potencia de distorsión DS es cero. Se observa que la potencia de distorsión es independiente del factor de desfase. Análogamente, es posible expresar la potencia reactiva en términos del factor de desfase:

Q S = E 2 I S 12 sen2 ψ S 1 2

2 2 Q S = E 2 I S12 [ 1 - ( factor de desfase ) ]

Cuando el armónico fundamental de la corriente está en fase con la tensión, ψS1 = 0, el factor de desfase cos ψS1 se hace la unidad y la potencia reactiva QS es cero. Combinando las expresiones anteriores, se puede poner que:

QS =

PS

1 - ( factor de desfase ) 2 factor de desfase

De forma análoga, se puede expresar el factor de desfase en función de la potencia activa y de la potencia

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de distorsión de la forma:

PS

Factor de desfase ( desplazamiento ) = 2 S

2

P + QS EJEMPLO Un generador de tensión ideal, con un valor instantáneo de la tensión dada por:

e( ωt) = 2 200 sen ωt se conecta a una carga no lineal. Como resultado circula una corriente instantánea dada por:

i( ωt) = 2 [ 20 sen ( ωt - 45° ) + 10 sen (2 ωt + 60° ) + 10 sen (3 ωt + 60° ) ] Se trata de calcular las componentes P, Q, D y S así como el factor de desfase, el factor de distorsión y el factor de potencia. La presencia de carga no lineal provoca la existencia de armónicos en la corriente, en este caso términos del segundo (n=2) y tercer armónico (n=3), que no están presentes en la onda de tensión. Los valores eficaces de la tensión y corriente son:

E = 200 V ; I 2 = 20 2 + 10 2 + 10 2 = 6 x 10 2 A2 2

La potencia aparente en la carga viene dada por: S 2 = E 2 I 2 = 200 2 x 6 x 10 2 = 24 x 106 (VA )

En este ejemplo existen simultáneamente, para la frecuencia fundamental, componentes de tensión y de corriente. Por tanto: P = E I 1 cos ψ 1 ; P = 200 x 20 cos 45° =

4.000 W 2

La potencia reactiva viene dada por: Q = E I 1 sen ψ 1 ; Q = 200 x 20 sen 45° =

4.000 VAR 2

2

y la potencia de distorsión por: D 2 = 200 2 ( 10 2 + 10 2 ) = 8 x 106 (VA ) 2 2 2 2 2 2 2 D = E ( I - I 1 )= E ( I 2 + I 3 ) 2

Se comprueba que: P 2 + Q + D 2 = E 2 I 2 El factor de desfase y el factor de distorsión vienen dados por:

Factor de desfase = cos ψ 1 = Factor de distorsion = I 1 = I

1 = 0′707 2 20 = 0 ′817 600

El factor de potencia será: fp =

1 2 = 0′577 2 6

Como la componente fundamental de la corriente es el armónico dominante y tiene un ángulo de fase negativo se podría, razonablemente, suponer que el factor de potencia es en retraso. Nótese que un cambio en el valor de los ángulos de fase ψ2, ψ3, de los armónicos segundo y tercero respectivamente, no tiene efecto en el factor de potencia.

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Si por el contrario, se reduce a cero el ángulo de fase de 45º del armónico fundamental, se produce un incremento de la potencia activa a 4.000 W, la potencia reactiva Q se hace cero y la potencia de distorsión D no cambia, mientras que el factor de potencia se incrementa a un valor de 0'817, igual al valor del factor de distorsión. COMPONENTES DE LA POTENCIA APARENTE EN FUNCIÓN DE LOS TÉRMINOS DEL DESARROLLO DE FOURIER Considerar las componentes P, Q y D, de la potencia aparente S, en función de los coeficientes a, b y c del desarrollo en serie de Fourier de las ondas de tensión y corriente, es instructivo y en ocasiones una ayuda. Para una corriente i(ωt) de período 2π radianes cuyo desarrollo es:

i ( ωt) =

∞

∑

( a n cos n ωt + bn sen n ωt )

n=1

los coeficientes a1, b1 para el armónico de la frecuencia fundamental, viene dado por:

a1 = b1 =

1

2π

∫

π 1

i ( ωt) cos ( ωt) dωt

0

2π

π

∫

i ( ωt) sen ( ωt) dωt

0

Los coeficientes a1, b1 representan los valores máximos, o pico, de las funciones sinusoidales, y pueden combinarse de la forma: 2 2 c1 = a1 + b1

ψ 1 = tag

-1

(

a1 ) b1

Lo que equivale a reordenar el desarrollo en serie anterior de la forma siguiente:

i ( ωt) =

∞

∑

c n sen ( n ωt + ψ n )

n=1

El coeficiente c1 representa el valor máximo, o pico, del armónico fundamental de la corriente y, por tanto, el valor eficaz I1 del armónico fundamental de la corriente viene dado por:

I1=

c1 2

De las formulaciones anteriores se deduce la nueva expresión para el factor de desfase cos ψ:

cos ψ 1 =

b1 b1 = 2 2 c1 a1 + b1

La potencia activa P, o media, y la potencia reactiva Q pueden ser así mismo expresadas en función de los coeficientes de Fourier, obteniéndose:

P = E I 1 cos ψ 1 =

E b1 E max b1 E a1 E max a1 = = ; Q = E I 1 sen ψ 1 = 2 2 2 2

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Por definición, la potencia de distorsión D no contiene términos provenientes de productos tensión y corriente de la misma frecuencia. En el caso considerado de tensión sinusoidal, por tanto con sólo la frecuencia fundamental, la potencia de distorsión contendrá únicamente términos combinación de la tensión con las corrientes de componentes de armónicos superiores. No tendrá, por consiguiente, términos con la componente de corriente con frecuencia fundamental y, por tanto, no contendrá los coeficientes a1, b1, c1 del desarrollo de Fourier. Así la potencia de distorsión vendrá dada por:

D=

E

2 2 2 c 2 + c3 + ... + c n E max = 2

2 2 2 c 2 + c3 + ... + c n 2

Las expresiones anteriores son útiles al estudiar la corrección del factor de potencia en aquellos circuitos cuya tensión de alimentación sea sinusoidal. CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA MEDIANTE UNA RAMA PARALELA DE COMPENSACIÓN La forma más general de corregir el factor de potencia es utilizar una rama de compensación conectada en paralelo con la carga en su punto de conexión con el generador. Esta rama ha de tener una impedancia tal que, idealmente, la corriente total suministrada por el generador se encuentre en fase con la tensión en los extremos del mismo. Cuando la tensión suministrada por el generador es senoidal, es necesario que la corriente de suministro sea también senoidal. Con cargas lineales, se ha de hacer fluir por la rama de compensación una corriente senoidal ya que entonces, al ser senoidales las corrientes tanto por la carga como por la rama de compensación su suma será senoidal. Por tanto, cuando la carga es lineal su corriente senoidal desfasada puede ser compensada mediante la corriente senoidal de la rama de compensación. Cuando la impedancia de carga no es lineal, aún siendo la tensión senoidal, la corriente no lo es y, por tanto, la corriente por la rama de compensación ha de ser no senoidal. Como resultando de ello surge la necesidad de utilizar una rama de compensación formada por una impedancia no lineal. Por último, la suposición de un generador de tensión sinusoidal ideal, significa que su impedancia interna ha de ser nula, lo cual es una hipótesis de trabajo, aunque en la realidad existen muchos casos de cargas no lineales de pequeña potencia nominal que hacen que la tensión de alimentación permanezca prácticamente senoidal. CARACTERÍSTICAS DE LA RAMA DE COMPENSACIÓN. Sea una carga lineal inductiva, representada de forma hipotética en el circuito de la figura 12.24, mediante una rama compuesta por una resistencia y una bobina ideales en paralelo, R-L .

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Figura 12.24.- Circuito paralelo R-L alimentado por una tensión senoidal. Para la compensación del factor de potencia de la carga lineal se necesita conectar una rama de compensación entre los terminales de la fuente, por la que circule una corriente iC igual y de signo contrario a la corriente iX1 que circula por la hipotética rama reactiva. Cuando la carga es no lineal y, como en este caso la tensión permanece senoidal, la corriente total instantánea iL hacia la carga no lineal, supuesta inductiva a la frecuencia de alimentación, y la tensión de alimentación vendrán dadas por: e ( ωt) = E m sen ωt = 2 E sen ωt n

i L = 2 ∑ I Ln sen ( n ω t +ψ Ln ) 1

el signo de la fases de los distintos armónicos es, en principio, genérico ya que son desconocidas. Separando el armónico fundamental de los restantes armónicos se tiene que:

i L = i L1 + i D

⎧ i L1 = 2 I L1 sen ( ω t - ψ L1 ) ⎪ ⎪ ⎨ n ⎪ i = 2 ∑2 I Ln sen ( n ω t +ψ Ln ) ⎪⎩ D

La impedancia de la carga no lineal puede ser representada por su circuito equivalente, figura 12.25, en los casos en los que la no-linealidad de la impedancia es tal que la corriente contiene un armónico de la frecuencia de la alimentación.

Figura 12.25.- Circuito equivalente de una impedancia no lineal alimentada por una tensión senoidal. La suma de las corrientes de las ramas hipotéticas iR1, iX1, figura 12.25, representan las componentes de las corrientes a la frecuencia de alimentación de forma que el generador de corriente iD representa la suma de todos los armónicos de la corriente, de frecuencia distinta a la frecuencia de alimentación.

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Las componentes de las corrientes citadas vendrán dadas por: Componente en fase con la tensión, debida a la resistencia:

i R1 = 2 I L1 cos ψ L1 sen ωt Componente en cuadratura con la tensión, debida a la reactancia inductiva ideal:

i X 1 = − 2 I L1 cosψ L1 cos ωt = 2 I L1 senψ L1 sen(ωt − 90º ) Componente debida a las corrientes armónicas de orden superior a la fundamental: n

iD = 2

∑

I Ln sen ( n ωt +ψ Ln )

2

La combinación de las corrientes instantáneas iR1, iX1 e iD con la tensión instantánea de alimentación proporcionan: e i R1 = E I L1 cos ψ L1 ( 1 - cos 2 ωt ) ; e i X 1 = − EI L1 senψ L1 sen2ωt n

e i D = E ∑ I Ln cos [(n − 1)ω t + ψ Ln ] − cos [(n + 1)ω t + ψ Ln ] 2

Los tres términos de potencia instantánea eiR1, eiX1 y eiD suman, en bornes del generador la potencia instantánea total eiS, satisfaciendo la siguiente regla: "En un circuito eléctrico, en cualquier instante, el valor instantáneo de la energía transferida (potencia aparente instantánea o potencia activa instantánea) por el generador es igual a la suma de los valores instantáneos de la energía transferida a los distintos componentes de la carga". Se comprueba que el valor medio de eiR1, es la potencia media o activa PL de la carga, mientras que el término EIL1 sen ψL1 es la magnitud de la potencia reactiva QL. También se observa que los valores eficaces de las distintas corrientes hipotéticas tienen una correspondencia directa con las componentes analíticas de la potencia aparente de la carga. Así:

P L = E I R1 = E I L1 cos ψ L1 Q L = E I X 1 = E I L1 sen ψ L1 n

DL = E I D = E

∑

2

I Ln

2

n

SL= E IL= E

∑

2

I Ln =

2

2

2

PL + QL + DL

1

Cuando la carga absorbe corriente distorsionada iD, se dice que produce distorsión. Si la impedancia de la fuente no puede ser despreciada, aparece una tensión no sinusoidal en los terminales del generador y por tanto de cualquier otro consumidor, que puede provocarle un mal funcionamiento de su equipo. Por otra parte, estos armónicos pueden generar interferencias en sistemas de comunicación.

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CARACTERÍSTICAS DE LAS CARGAS COMPENSADAS Supóngase una rama de compensación, conectada entre los terminales del generador, como se muestra en la figura 12.26. La corriente instantánea icomp absorbida por la rama de compensación viene dada, en general, por: m

iCOMP = 2 ∑ I COMP m sen ( m ωt + ψ COMP m ) 1

y separando el armónico fundamental, se tiene que: m ⎡ iCOMP = 2 ⎢ I COMP 1 sen ( ω t + ψ COMP 1 ) + ∑ I COMP m sen ( m ω t + ψ COMP m 2 ⎣

⎤ )⎥ ⎦

Por otra parte, la corriente iS suministrada por el generador viene dada por: i S = i L + i comp La compensación total del factor de potencia sólo se puede realizar si la corriente instantánea de alimentación iS es senoidal y se encuentra en fase con la tensión e senoidal de alimentación.

Figura 12.26.- Carga no lineal con una rama de compensación en paralelo. Para lograr esto, la corriente por la rama de compensación ha de neutralizar la componente en cuadratura de la componente fundamental de la corriente, y también de los distintos armónicos de orden superior de la corriente por la carga. La componente en cuadratura de la componente fundamental de la corriente por la carga, es decir iX1, puede ser compensada mediante la corriente iC absorbida por un condensador conectado en paralelo con la carga. Cuando se utiliza este condensador, la restante rama de compensación necesita absorber una corriente i1D que es opuesta a la suma de los armónicos de orden superior de la corriente de la carga. Por tanto, se tiene: Corrección del armónico fundamental:

iC = 2 E ω C sen ( ωt + 90° ) Corrección de los armónicos de orden superior al primero: n

i D = − 2 ∑ I Ln sen (n ω t + ψ Ln ) = − iD 1

2

Aplicando la primera ley de Kirchhoff en el nudo de alimentación de la carga, se tiene que:

i S = i L + i comp = i L + iC + i1D

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por otra parte descomponiendo la corriente por la carga: i L = i R1 + i X 1 + i D y sustituyendo se verifica que: i S = i R1 + i X 1 + i D + iC + i ′D La condición para una compensación completa, o factor de potencia unidad, se establece cuando ic = - iX1, es decir con C = Cm para Qs = 0, y de forma que i1D = - iD. Una vez compensados los armónicos de orden superior al primero, la corriente instantánea en bornes del generador, viene dada por:

i S = 2 [ I L1 sen ( ωt - ψ L1 ) + E ω C sen ( ωt + 90° ) ] desarrollando se tiene que:

i S = 2 I L1 sen ωt cos ψ L1 - 2 I L1 sen ψ L1 cos ωt + 2 E ω C sen ( ωt + 90° ) los dos últimos términos se compensan conectando un condensador de valor: C m =

I L1 sen ψ L1 Eω

resultando: i S = 2 I L1 cos ψ L1 sen ωt La corriente instantánea iS se puede asimilar a una corriente hipotética iR1 en fase con la tensión. El valor eficaz IS para esta condición óptima viene dada por: I S = I L1 cos ψ L1 La rama de compensación ha de satisfacer la definición de i1D, para ello la impedancia ha de presentar una variación no lineal con el tiempo, dada por la expresión:

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − senωt e ⎥ ZD = 1 = E⎢ n iD ⎢ I sen(nωt + ψ ) ⎥ Ln Ln ⎥ ⎢⎣ ∑ 2 ⎦ La impedancia no lineal, definida por la expresión anterior, depende de las magnitudes y fases de los distintos armónicos de orden superior de la corriente. Se puede obtener una relación entre i1D en función de e, o de ⏐ZD⏐(ωt) en función de ωt, si se especifican los parámetros n, E, ILn y ψLn, pero es posible que no sea realizable en la práctica un circuito que verifique la relación i1D / e. EJEMPLO Una tensión senoidal: e = 2 200 sen ωt se aplica a una carga no lineal, apareciendo una corriente dada por:

i L = 2 [ 20 sen ( ωt - 45° ) + 10 sen ( 2 ωt + 60° ) ] La compensación de la carga se realiza mediante la combinación en paralelo de un condensador óptimo de capacidad Cm.

Cm =

20 sen 45 ° ; C m = 225 µF 200 ω

para

f = 50 Hz

Además, en paralelo con el condensador y la carga, se conecta una impedancia ZD que compense la corriente de distorsión. El valor de la impedancia de esta rama vendrá dada por:

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Z D ( ωt) =

e 2 200 sen ωt = 1 iD - 2 10 sen (2ωt + 60º )

Z D ( ωt) =

40 sen ωt - [ sen 2 ωt + 3 cos 2 ωt ]

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La relación tensión/corriente para ZD(ωt), dada por la expresión anterior, muestra la no linealidad, la naturaleza transitoria de la impedancia necesaria, y sugiere la utilización de algún tipo de circuito de conmutación (electrónico). En la práctica, los sistemas de potencia disponen de una rama, por la que circula la corriente i1D, que toma la forma de los circuitos individuales de resonancia serie conectados en paralelo, y que proporcionan caminos de baja impedancia a los armónicos individuales de la corriente, tal como se muestra en la figura 12.27.

Figura 12.27.- Carga no lineal con red en paralelo de corrección de factor de potencia. La función de estas ramas o filtros sintonizados es la de proporcionar un camino de baja impedancia tal como el creado por la reactancia de la fuente. En el caso analizado, donde la alimentación se considera ideal, la idea de filtros de armónicos no es aplicable ya que la alimentación presenta un camino de cortocircuito para las corrientes de frecuencia distintas a la frecuencia de alimentación. CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA MEDIANTE UN CONDENSADOR CONECTADO EN PARALELO. Supóngase un condensador C conectado entre los terminales de la fuente de tensión sinusoidal constante que alimenta a una carga no lineal. Las tensiones y corrientes en la carga son las definidas por:

e = 2 E sen ( ω t) n ⎞ ⎛ ⎜ ω = 2 sen ( t ) + ψ iL I Ln sen (n ωt + ψ Ln ) ⎟⎟ ∑ L1 ⎜ I L1 2 ⎠ ⎝

La corriente instantánea por el condensador vendrá dada por:

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iC =

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E m sen ( ωt + 90° ) XC

iC = 2 E ω C sen ( ωt + 90° ) La corriente suministrada por el generador será la suma de ambas: i S = i L + iC Como el condensador es una impedancia lineal, sólo circulan por él los armónicos de corriente correspondientes a los armónicos de su tensión de alimentación, en este caso únicamente el armónico correspondiente a la frecuencia fundamental del armónico de tensión. La corriente suministrada por el generador contendrá la componente fundamental que se dividirá hacia la rama del condensador y hacia la de la carga no lineal. La suma de los restantes armónicos pasan directamente del generador a la carga no lineal.

Figura 12.28.- Diagrama fasorial para carga no lineal con condensador de corrección del factor de potencia. En la expresión de la corriente que absorbe la carga no lineal iL, el ángulo ψl1, correspondiente a la fase para el armónico fundamental, se toma arbitrariamente negativo para suponer carga inductiva a la frecuencia fundamental. La corriente instantánea iS suministrada por el generador, supuesta genéricamente su componente fundamental en adelanto respecto de la tensión, como suma de las corrientes indicadas, vendrá dada por: n

i S = 2 I S1 sen ( ωt + ψ S 1 ) + 2 ∑ I Ln sen ( ωt + ψ Ln ) 2

siendo:

Valor eficaz => I S 12 = E 2 ω 2 C 2 + I L12 - 2 E I L1 ω C sen ψ L1 Argumento => tag ψ S 1 =

E ω C - I L1 sen ψ L1 I L1 cos ψ L1

El diagrama fasorial para la frecuencia fundamental de las corrientes y tensiones se muestra en la figura 12.28.

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El valor eficaz (rms) IS de la corriente suministrada por el generador también se puede expresar también n

como: I = I S 1 + 2 S

2

∑

2

I Ln

2

El factor de potencia resultante de la combinación carga-condensador es igual, por definición, a la relación entre la potencia activa o media y la potencia aparente, calculadas en los terminales del generador. Así se tiene que: fp S =

PS E IS

Pero suponiendo conectado un condensador ideal, sus pérdidas no tienen efecto en la potencia media. Por tanto, se verifica que: P L = P S = E I L1 cos ψ L1 = E I S 1 cos ψ S 1 ; PC = 0 Al ser el condensador un elemento pasivo lineal, alimentado mediante una tensión sinusoidal, su corriente y tensión son de la misma frecuencia y, por tanto, su potencia de distorsión es nula, esto es: DC = 0 Como PC y DC son nulos, la potencia aparente EIC del condensador es igual a la potencia reactiva del mismo, que se expresa como: QC = E I C = E 2 ω C Las componentes analíticas de la potencia aparente, para el generador, son en este caso:

PS = PL ; DS = DL En la figura 12.29, se muestra un resumen de las descomposiciones de las potencias implicadas en el circuito.

Figura 12.29.- Componentes de la potencia aparentes. El factor de potencia en el generador cuando se instala el condensador C, se expresa por:

fp S =

PS = E1 I S

E I S 1 cos ψ S1 n

E I S12 + ∑ I 2Ln 2

fp S =

I L1 cosψ L1 n

2 2 E ω C + I L1 - 2 E I L1 ω C sen ψ L1 + ∑ I Ln 2

2

2

2

Para una carga dada, los términos IL1, cos ψL1 y ILn, de la expresión anterior, son constantes.

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El factor de potencia es máximo cuando la derivada d ( fpS ) / dC es cero. El valor máximo fpmax del factor de potencia se obtiene para una capacidad Cm del condensador tal que: C m =

I L1 sen ψ L1 ω E

para el cual se verifica que: | Q S |= 0 La neutralización de la carga reactiva es posible debido a que la tensión de alimentación es senoidal. Sustituyendo el valor de la capacidad Cm del condensador que hace máximo el factor de potencia, en la

I L1 cos ψ L1

expresión de éste se obtiene: fp max =

n

2 2 I L1 cos ψ L1 + ∑ I Ln

; fp max =

PS 2 2 PS + DS

2

PS E

fp max =

PL 2 2 PL + DL

; fp max =

2

n ⎛ PS ⎞ ⎟ + ∑ I 2Ln ⎜ ⎝ E ⎠ 2

El condensador conectado en paralelo neutraliza completamente la potencia reactiva (para la frecuencia fundamental) de la carga, obteniéndose en el generador un fasor para la corriente IS1, a la frecuencia de alimentación, en fase con el fasor tensión de alimentación. Esto significa que, aunque el ángulo de fase ψL1 de la carga no cambia, el ángulo de desplazamiento total en el generador es cero, y el factor de desplazamiento cos ψS1, visto desde los terminales del generador, es la unidad. Por último, el factor de distorsión del conjunto carga-condensador es igual al factor de potencia, cuando la capacidad Cm del condensador es la óptima. El grado de corrección del factor de potencia debido a la conexión de un condensador de corrección, viene dado por la expresión: n

fp S I L fp S = ; = fp L I S fp L

2 I L21 + ∑ I Ln 2

n

I +∑I 2 L1

2 Ln

+ E ω C − 2 E I L1 ω C senψ L1 2

2

2

2

Utilizando el valor de la capacidad Cm, correspondiente a la corrección óptima del factor de potencia, se obtiene la siguiente expresión, que proporciona la mejora máxima posible del factor de potencia: n

fp S = fp L

2 I L21 + ∑ I Ln 2

n

2 I L21 + ∑ I Ln + E 2ω 2 C 2 2

EJEMPLO Un generador de tensión sinusoidal: e = 2 200 sen ωt alimenta una carga no lineal, con lo que se absorbe una corriente dada por:

i L = 2 [ 20 sen ( ωt - 45° ) + 10 sen (2 ωt + 60° )

]

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Calcular el grado de mejora del factor de potencia obtenible mediante la conexión de un condensador en paralelo con la carga. Los valores eficaces de la tensión y corriente antes de la compensación vienen dados por:

E = 200 V I=

2 2 20 + 10 = 2′24 A

Antes de la compensación del factor de potencia, la potencia aparente es de: S = E I = 4′47 kVA En el caso de tensión de alimentación sinusoidal, la potencia media o activa absorbida por la carga es de:

P L = E I L1 cos ψ L1 ; P L = 200 x 20 cos 45° ; P L = 2′83 kW El factor de potencia, antes de su compensación, toma el valor: fp L =

P L = 2,83 = 0′63 retraso E I L 4,47

La potencia reactiva y la potencia de distorsión para la carga tienen el valor:

Q L = E I L1 sen ψ L1 = 200 x 20 sen 45° = 2′83 kVAR retraso

DL = E

2

I L - I L1

2

= E I 2 = 200 x 20 = 2 kVA

El máximo factor de potencia obtenible, se consigue mediante la compensación total de la potencia reactiva QL de la carga, con un condensador ideal, conectado en paralelo con la misma. La compensación de toda la potencia reactiva de la carga es posible gracias a que la tensión suministrada por el generador es sinusoidal. Con una tensión no sinusoidal, no sólo el condensador no afecta a la potencia de distorsión DL, sino que únicamente compensa parte de la potencia reactiva QL de la carga. La capacidad Cm, de máxima corrección del factor de potencia, conectada en paralelo con la carga, viene dada por: ω C m =

I L 1 sen ψ L1 E

para una frecuencia de alimentación de 50 Hz, se tiene que: C m =

20 x 0,707 = 225 µF 2 π 50 x 200

En este caso el valor eficaz de las corrientes armónicas viene dado por: n

∑I

2 n

= I 2 = 10 A

2

El factor de potencia corregido toma el valor: fp =

fp =

2′83 2′ 832 + 22

PL = 2 P + DL 2 L

PS 2 P + DS 2 S

= 0′816

El factor de potencia, después de la corrección, es debido únicamente a la potencia de distorsión y por tanto no es apropiado definirla como en adelanto o en retraso. En este ejemplo, se observa que el factor de potencia inicial ha sido corregido en un 33% ( 0'816 - 0'633). Nótese que para calcular la posible mejora del factor de potencia mediante la utilización de un condensador ideal, es necesario conocer el valor eficaz del armónico fundamental de la corriente y el ángulo de fase de la carga, a la frecuencia fundamental. Por tanto, para obtener la corrección del factor de potencia, no es nece-

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sario conocer las magnitudes y las fases de los armónicos de orden superior de la corriente, cuando la tensión de alimentación es sinusoidal.