(F 429) Relatorio 1

F 429: Relatório 1 I – Nome completo e RA dos integrantes do grupo: Lucas Domingues Lima Tiago de Lima Ferreira Vinicius Daly Felizardo

RA: 103140 RA: 093120 RA: 093204

II – Resumo: Este experimento constitui de duas partes: a primeira analisa o funcionamento de circuitos RC que sejam filtros “passa-alta” e “passa-baixa”, e a segunda analisa circuitos RLC filtros “passa-banda”. Para cada circuito, pudemos plotar o gráfico da transmitância e verificar se o comportamento das curvas de resposta eram adequados se comparados com a teoria. III – Teoria: Filtro passa-baixa é o nome comum dado a um circuito eletrônico que permite a passagem de baixas frequências sem dificuldades e atenua (ou reduz) a amplitude das frequências maiores que a frequência de corte. A quantidade de atenuação para cada frequência varia de filtro para filtro. O conceito de filtro passa-baixa existe de muitas formas diferentes, incluindo os circuitos eletrônicos, algoritmos digitais para trabalhar com conjuntos de dados, barreiras acústicas, trabalhos com imagens, entre outros. Analogamente, o filtro passa-alta irá permitir a passagem livre de frequências acima da frequência de corte. Para os circuitos RC, teremos as seguintes equações: VC/Vo = 1/[1 + (2πfRC)²]¹/² VR/Vo = 2πfRC /[1² + (1/2πfRC)²]¹/²

(1) (2)

Onde teremos Vo como a amplitude de voltagem do gerador e f sua frequência. R é a resistência do circuito e C, a capacitância. A equação (1) representa a análise da corrente no capacitor em um circuito passa-baixa, enquanto a equação (2) representa a corrente no resistor em um circuito passa-alta. A frequência de corte do filtro é dada pela igualdade da reatância capacitiva com a resistência do circuito RC. Para essa frequência, teremos: fc = (2πRC)⁻¹

(3)

Uma das características desse filtro é que ele faz com que a razão entre as amplitudes de tensões alcançadas com determinada frequência e a da tensão nos terminais do gerador do circuito apresente, no de passa-baixa, redução para 70,7%, e no de passa-alta, aumento para tal valor, quando a frequência da corrente chega à frequência de corte. Demonstramos a fórmula (3) pela igualdade Zc = R:

Zc = R 1/ωC = R 1/2fC = R

(4) (5) (6)

fc=1/(2RC)

(3)

De onde:

Como pretendemos analisar a transmitância em decibéis, é necessário realizar a seguinte manipulação com o resultado obtido nas fórmulas (1) e (2): Tdb=10log|VC/Vo|² Tdb=10log|VR/Vo|²

(7) (8)

Para obter a diferença de fase teórica Δφ (φ2−φ1), utilizamos: Δφ =tg-1 (f/ fc) Δφ =tg-1 (fc/ f)

(9) (10)

Onde (9) é para circuitos passa-baixa e (10) para circuitos passa-alta. Filtro passa-banda são circuitos RLC em série ressonantes, ou seja, possuem um comportamento bem característico que faz com que a potência dissipada seja máxima quando ocorre ressonância com o sinal de entrada. Tal frequência de ressonância é obtida por: fr=1/2(RC)¹/²

(11)

Também é válida a seguinte equação: Vr/Vo = 2πfRC /[(2πfRC)² + (1-(2πf)²/ (2πfr)²)²]¹/²

(12)

Onde teremos novamente Vo como a amplitude de voltagem do gerador e f sua frequência. R é a resistência do circuito, C a capacitância e fr a frequência de ressonância obtida em (11). Assim como para os circuitos passa-alta e passa-baixa, para obtermos a transmitância em decibéis, é necessário utilizar a seguinte relação: Tdb=10log|Vr/Vo|²

(13)

Para o circuito passa-banda, também são importantes as seguintes equações: Δf=R/2L Q=f0/ Δf

(14) (15)

Onde Δf é a largura de banda e Q o fator de mérito do sistema. A largura de banda é definida como o intervalo de frequência dentro do qual a potência P é maior ou igual que a metade do valor máximo, enquanto o fator de mérito caracteriza a acuidade da curva de ressonância.

Por fim, também serão relevantes para este experimento: Vef=Vpp /(23/2) P=(V2ef)²/R

(16) (17)

Que representam a voltagem efetiva de saída e a potência dissipada no resistor R. IV – Metodologia experimental: O experimento foi realizado em dois momentos distintos. Para os circuitos passa-baixa e passa-alta foram utilizados um resistor de 150,2 ± 1,5 Ω, capacitor de 0,25 ± 0,01 µF. Para o circuito passa-banda, utilizou-se resistores de 47,5 ± 0,5 Ω, 99,1 ± 1,0 Ω e 457 ± 4,5 Ω, capacitor de 0,25 ± 0,01 µF e indutor de 52,56 ± 2,29 mH. Para todos os casos utilizamos também um osciloscópio de dois canais e um gerador de sinal. Os circuitos passa-alta (A) e passa-baixa (B) tiveram montagem conforme a figura abaixo: Figura 1 – Circuitos passa-alta e passa-baixa

O circuito passa-banda foi montado da seguinte forma, sendo realizadas medidas com os três resistores descritos anteriormente: Figura 2 – Circuito passa-banda

Para todos os circuitos foram medidas voltagens V1 e V2 variando a frequência de entrada entre 10hz e 1Mhz, em múltiplos da sequencia 1-3-10. A escala também foi registrada para que o erro pudesse ser obtido posteriormente, assim como as diferenças de fase.

V – Resultados e análise dos dados: Para o circuito passa-baixa e passa-alta obtivemos os seguintes dados: Tabela 1 – Medições circuito passa-baixa

f (Hz) 10 30 100 300 1.000 3.000 10.000 30.000 100.000 300.000 1.000.000

V1pp 5,04 5,04 5,04 4,96 4,88 4,56 4,00 3,84 3,84 3,84 3,84

V1pp (V) Escala 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00

Erro 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,24 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22

V2pp 5,04 5,04 5,04 4,96 4,72 3,76 1,64 0,60 0,18 0,06 0,01

V2pp (V) Escala 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 1,00 0,50 0,20 0,02 0,01

V2pp 0,01 0,04 0,11 0,33 1,10 2,44 3,68 3,84 4,00 3,76 4,00

V2pp (V) Escala 0,01 0,01 0,05 0,20 0,50 0,50 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00

Δφ (o) Erro 0,25 0,25 0,25 0,25 0,24 0,21 0,10 0,04 0,02 0,00 0,00

Δφ 0,00 0,00 0,00 -3,90 -13,10 -33,00 -63,00 -72,00 -80,00 -82,40 -63,00

Erro 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,01 -0,03 -0,06 -0,07 -0,08 -0,08 -0,06

Tabela 2 – Medições circuito passa-alta

f (Hz) 10 30 100 300 1.000 3.000 10.000 30.000 100.000 300.000 1.000.000

V1pp 5,04 5,04 5,04 5,04 5,04 4,56 4,16 3,92 4,00 3,76 4,00

V1pp (V) Escala 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00

Erro 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,24 0,22 0,22 0,22 0,21 0,22

Δφ (o) Erro 0,00 0,00 0,01 0,02 0,06 0,10 0,21 0,22 0,22 0,21 0,22

Δφ 93,00 92,00 91,00 90,00 81,50 55,00 26,00 5,00 0,00 0,00 0,00

Erro 5,04 5,04 5,04 5,04 5,04 4,56 4,16 3,92 4,00 3,76 4,00

Além disso, é importante mostrar que a frequência de corte obtida a partir da equação (3) e os instrumentos utilizados descritos na metodologia experimental foi de 4161 ± 186 Hz. A partir destes dados, obtivemos a transmitância em decibéis, utilizando as equações (7) e (8), cujos resultados seguem abaixo: Tabela 3 – Transmitância circuito passa-baixa

f (Hz) 10 30 100 300 1.000 3.000 10.000

TdB (dB) TdB Erro 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,29 -0,04 -1,68 -0,26 -7,74 -1,27

30.000 100.000 300.000 1.000.000

-16,12 -26,39 -36,12 -50,86

-2,93 -5,34 -5,27 -9,56

Tabela 4 – Transmitância circuito passa-alta

f (Hz) 10 30 100 300 1.000 3.000 10.000 30.000 100.000 300.000 1.000.000

TdB (dB) TdB Erro -51,00 -7,03 -42,92 -5,70 -32,91 -4,74 -23,73 -3,72 -13,22 -1,92 -5,43 -0,71 -1,06 -0,17 -0,18 -0,03 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Calculamos então tanto a transmitância teórica como a diferença de fase esperada para o circuito, utilizando as equações (1), (2), (9) e (10), sendo obtidos os seguintes resultados: Tabela 5 – Transmitância e diferença de fase teóricos circuito passa-baixa

f (Hz) 10 30 100 300 1.000 3.000 10.000 30.000 100.000 300.000 1.000.000

TdB (dB) 0,00 0,00 0,00 -0,02 -0,24 -1,82 -8,31 -17,24 -27,62 -37,16 -47,61

Δφ (o) -0,14 -0,41 -1,38 -4,12 -13,51 -35,79 -67,40 -82,10 -87,62 -89,21 -89,76

Tabela 6 – Transmitância e diferença de fase teóricos circuito passa-alta

f (Hz) 10 30 100 300 1.000 3.000 10.000 30.000 100.000

TdB (dB) -52,39 -42,84 -32,39 -22,87 -12,63 -4,66 -0,69 -0,08 -0,01

Δφ (o) 89,86 89,59 88,62 85,88 76,49 54,21 22,60 7,90 2,38

300.000 1.000.000

0,00 0,00

0,79 0,24

Por fim, montamos os gráficos comparando a transmitância obtida e esperada, assim como a diferença de fase. Gráfico 1 – Transmitância teórica e prática em circuitos passa-alta e passa-baixa

Gráfico 2 – Diferença de fase teórica e prática em circuitos passa-alta e passa-baixa

Analisando o gráfico 1 notamos que os resultados teóricos ficaram dentro da margem dos resultados obtidos experimentalmente, seguindo a forma esperada. Nota-se que para pontos afastados do cotovelo do gráfico, o coeficiente linear foi de 19,64 dB/dec para o circuito passa-alta e -19,96 dB/dec para o circuito passa-baixa, bem próximos ao módulo esperado de 20 dB/dec. No gráfico 2, os pontos experimentais não ficaram tão precisos sob a curva teórica, entretanto tiveram mesmo formato e queda, sem graves discrepâncias. O único ponto fora da curva foi para circuito passa-baixa e frequência de 1 MHz, onde a fase foi inferior ao esperado, possivelmente por problemas instrumentais. Para o circuito passa-banda obtivemos os seguintes dados: Tabela 7 – Medições circuito passa-banda com resistor de 47 Ω

f (Hz) 10 30 100 300 1.000 3.000 10.000 30.000 100.000 300.000 1.000.000

V1pp 10,00 9,92 10,00 9,92 9,40 9,92 9,92 9,92 9,92 9,92 9,92

V1pp (V) Escala 5,00 2,00 5,00 2,00 5,00 2,00 5,00 2,00 2,00 2,00 2,00

Erro 0,55 0,40 0,55 0,40 0,53 0,40 0,55 0,40 0,40 0,40 0,40

V2pp 0,05 0,05 0,09 0,27 1,24 0,69 0,16 0,06 0,04 0,05 0,17

V2pp (V) Escala 0,05 0,01 0,05 0,05 1,00 0,20 0,10 0,01 0,01 0,01 0,05

Δφ (o) Erro 0,00 0,00 0,01 0,01 0,09 0,03 0,01 0,00 0,00 0,00 0,01

Δφ 91,00 85,00 76,00 -82,00 -85,00 70,00 79,00

Erro 0,09 0,09 0,08 -0,08 -0,09 0,07 0,08

Tabela 8 – Medições circuito passa-banda com resistor de 100 Ω

f (Hz) 10 30 100 300 1.000 3.000 10.000 30.000 100.000 300.000 1.000.000

V1pp 9,92 9,92 9,92 9,92 9,28 9,84 9,92 9,92 9,92 9,92 9,92

V1pp (V) Escala 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00

Erro 0,40 0,40 0,40 0,40 0,38 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40

V2pp 0,05 0,07 0,16 0,45 2,32 1,35 0,33 0,11 0,04 0,13 0,34

V2pp (V) Escala 0,01 0,01 0,05 0,10 2,00 0,20 0,05 0,02 0,01 0,02 0,05

Δφ (o) Erro 0,00 0,00 0,01 0,02 0,17 0,05 0,01 0,00 0,00 0,00 0,01

Δφ 91,00 84,00 71,00 -79,00 -87,00 -88,00 70,00 76,00

Erro 0,09 0,08 0,07 -0,08 -0,09 -0,09 0,07 0,08

Tabela 9 – Medições circuito passa-banda com resistor de 470 Ω

f (Hz) 10 30 100 300

V1pp 9,92 9,92 9,92 9,84

V1pp (V) Escala 2,00 2,00 2,00 2,00

Erro 0,40 0,40 0,40 0,40

V2pp 0,09 0,23 0,68 2,06

V2pp (V) Escala 0,01 0,05 0,10 0,50

Δφ (o) Erro 0,00 0,01 0,03 0,09

Δφ 100,00 87,00 77,00

Erro 0,10 0,09 0,08

1.000 3.000 10.000 30.000 100.000 300.000 1.000.000

9,28 9,68 9,92 9,92 9,92 9,92 9,92

2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00

0,38 0,39 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40

6,72 5,28 1,50 0,46 0,10 0,45 1,50

2,00 1,00 0,20 0,10 0,02 0,10 0,20

0,30 0,21 0,06 0,02 0,00 0,02 0,06

37,00 -53,00 -81,00 -87,00 64,00 53,00

0,04 -0,05 -0,08 -0,09 0,06 0,05

Os pontos onde a diferença de fase está marcada como “-“ foram casos onde o osciloscópio não conseguiu dar medidas precisas e variava drasticamente a cada instante. A partir destes dados, obtivemos a transmitância em decibéis, utilizando a equação (13), cujos resultados seguem abaixo: Tabela 10 – Transmitância circuito passa-banda com resistor de 47 Ω

f (Hz) 10 30 100 300 1.000 3.000 10.000 30.000 100.000 300.000 1.000.000

TdB (dB) TdB Erro -46,38 -9,16 -45,95 -4,89 -41,11 -6,60 -31,30 -3,51 -17,59 -3,18 -23,18 -2,78 -35,85 -5,91 -43,81 -4,83 -48,15 -5,65 -45,61 -5,14 -35,32 -4,24

Tabela 11 – Transmitância circuito passa-banda com resistor de 100 Ω

f (Hz) 10 30 100 300 1.000 3.000 10.000 30.000 100.000 300.000 1.000.000

TdB (dB) TdB Erro -46,87 -5,02 -42,55 -4,63 -35,63 -4,31 -26,83 -3,08 -12,04 -2,02 -17,25 -1,89 -29,56 -3,25 -39,10 -4,38 -47,89 -5,18 -37,92 -4,19 -29,40 -3,23

Tabela 12 – Transmitância circuito passa-banda com resistor de 470 Ω

f (Hz) 10 30

TdB (dB) TdB Erro -40,85 -4,38 -32,70 -3,74

100 300 1.000 3.000 10.000 30.000 100.000 300.000 1.000.000

-23,28 -13,58 -2,80 -5,26 -16,41 -26,68 -39,93 -26,87 -16,41

-2,55 -1,58 -0,34 -0,59 -1,78 -3,05 -4,52 -3,09 -1,78

A transmitância teórica esperada para o circuito, utilizando as equações (12) e (13), foi obtida com os seguintes resultados: Tabela 13 – Transmitância esperada circuito passa-banda com resistor de 47 Ω

f (Hz) 10 30 100 300 1.000 3.000 10.000 30.000 100.000 300.000 1.000.000

TdB (dB) -62,38 -52,84 -42,35 -32,49 -17,33 -22,46 -35,18 -44,90 -55,37 -64,92 -75,38

Tabela 14 – Transmitância esperada circuito passa-banda com resistor de 100 Ω

f (Hz) 10 30 100 300 1.000 3.000 10.000 30.000 100.000 300.000 1.000.000

TdB (dB) -56,00 -46,45 -35,96 -26,11 -11,22 -16,12 -28,77 -38,49 -48,96 -58,51 -68,97

Tabela 15 – Transmitância esperada circuito passa-banda com resistor de 470 Ω

f (Hz) 10 30 100 300 1.000 3.000

TdB (dB) -42,72 -33,18 -22,71 -13,04 -1,98 -4,59

10.000 30.000 100.000 300.000 1.000.000

-15,61 -25,22 -35,69 -45,23 -55,69

Para os três casos analisados, calculamos a largura de banda e fator de mérito, segundo a tabela abaixo: Tabela 16 – Largura de banda e fator de mérito para circuitos passa-banda

Resistor (Ω) 47 100 470

Δf (Hz) Δf Erro 143,83 6,44 300,08 9,73 1.383,82 63,51

Q Q 9,32 4,47 0,97

Erro 0,42 0,14 0,04

Por fim, montamos os gráficos comparando a transmitância obtida e esperada, para cada um dos três resistores diferentes no circuito RLC, incluindo de fundo a diferença de fase. Gráfico 3 – Transmitância teórica e prática em circuito passa-banda com resistor de 47 Ω

Gráfico 4 – Transmitância teórica e prática em circuito passa-banda com resistor de 100 Ω

Gráfico 5 – Transmitância teórica e prática em circuito passa-banda com resistor de 470 Ω

Para o circuito passa banda, os resultados se tornaram mais precisos para a transmitância conforme aumentamos a capacidade do resistor. Ainda assim, em pontos extremos, muito distantes da frequência de ressonância, é possível notar um comportamento inverso ao esperado. Acreditamos que isso se dê por conta de possíveis ressonâncias secundárias em pontos bem distantes a banda original, vide que para bandas menores o comportamento foi

mais acentuando. De toda forma, para todos os casos cabe destacar que o pico da ressonância foi observado próximo ao que era esperado, em torno de 1.500 Hz. Com relação à fase, foi complicado medi-la com precisão, entretanto nos pontos onde isso foi possível ela está de acordo com o esperado, sendo positiva antes da ressonância e negativa após a mesma (para pontos próximos a ela, antes do efeito inverso observado). VI – Discussão e conclusão: Neste experimento pudemos observar que circuitos simples com associações em série de capacitores, resistores e indutores podem ser muito úteis como filtros passivos, que ao receberem tensões em uma dada frequência, fornecem parte significativa dessas tensões apenas se a frequência for alta ou baixa. Observamos que um circuito RC pode ser considerado um filtro passa-alta e passa-baixa, dependendo de sua configuração. No caso de circuitos RLC, observamos como eles são capazes de atuar no sinal de forma a permitir que apenas uma parte de sua banda seja transmitida, o que permite com que várias aplicações práticas existam nos dias atuais. Além disso, os resultados experimentais ficaram bem próximos ao que era esperado, reforçando a validade do estudo realizado. VII – Bibliografia: [1] Notas do experimento, IFGW – Unicamp, disponíveis em http://www.ggte.unicamp.br/moodle/pluginfile.php/295380/mod_resource/content/1/Experi mento_1.pdf e http://www.ggte.unicamp.br/moodle/pluginfile.php/299489/mod_resource/content/4/Experi mento_1b.pdf [2] Fragnito H., Circuitos de Corrente Alternada - Notas de Física Experimental, (Unicamp,SP, 2010), disponível em http://www.ifi.unicamp.br/~hugo/apostilas/livro.pdf [3] Roteiros de experimentos do IF – UFRJ, disponíveis em http://www.if.ufrj.br/~fisexp3/Roteiros/Aula9_wania.pdf e http://www.if.ufrj.br/~fisexp3/Roteiros/Aula9.pdf

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