Extremos Relativos

 

Sdivcrsihjh Xcmdefýgimj Djmiedjf Ojmuftjh \cgiedjf Mýrhelj

:>. Cxtrcaes \cfjtives.

Idg. \embj, _imterij.-

 

Hcoidimiýd 

Hjhj Hj hj fj oudm oudmiý iýd d z1o( z1o(x,y x,y)) pe pehc hcae aess hc hcoi oidi dirr su suss aêxi aêxiae aess y aádi aádiae aess hc fj sigu siguic icdt dtc c oera oeraj; j;

∏,  + ∏ ∜ ( ( ,  )  1    + ∏,

ucúee hcfjs vjrij  cdhicd ]i pjr pjrj j tehe tehe id idmr mrca cacdt cdte e suoim suoimicd icdtc tcac acdtc dtc pcqucú pcq vjrijlfc lfcss id idhcp hcpcdh icdtc tcss rcsu rcsuftj ftj 6>, 6 >, fj oudm oudmiý iýd d ticdc ud Aêxiae rcfjtive (e femjf) cd cf pudte ^>(x>0y>). ^er cf medtrjrie, si 4>, fj oudmiýd ticdc ud Aádi Aádiae ae rcfj rcfjti tiv ve (e fe femj mjf) f) cd cf pudt pudte e ^>(x>0y>). Cs Cste tess rc rcmi milc lcd d cf deal dealrc rc hc cxtr cxtrca caes es rc rcfj fjti tive vess e femj femjfc fcs. s.

  Θo 

Hc te tehe hess fes fes aêxi aêxiae aess rcfj rcfjti tive ves, s, jq jquc ucff hedh hedhc c fj oudmiýd teaj cf ajyer vjfer, sc hcdeaidj aêxiae jlsefute. Hc igujf hctcra hct craid idj j ud aádiae aádiae jlsefu jlsefute. te.

ajdcrj

cs

 Θo 

 

Meae medhimiýd dcmcsjrij pjrj fj cxistcdmij hc cxtrcaes hcmiaes quc si fj oudmiýd z1o(x,y) ticdc ud cxtrcae cd cf pudte ^>(x>0y>), cdtedmcs su hcrivjhjs pjrmijfcs hc priacr erhcd, si cxistcd, sc jdufjd cd cstc pudte.

(,) (,)    1 > ,    1 >

Cstj medhimiýd si licd cs dcmcsjrij, de cs suoimicdtc pjrj hcaestrjr fj cxistcdmij hc cxtrcaes hc fj oudmiýd, pucs bjy oudmiedcs cd fjs mujfcs cd jfgudes pudtes sc jdufjd sus hcrivjhjs pjrmijfcs y sid caljrge de sed cxtrcaes, sed fes ffjajhes pudtes hc cdsiffjhurj e pudtes siffj. ^er ckcapfe fj oudmiýd z1-x,>)1>, cs ud aêxiae cd fj hircmmiýd hcf ckc x y cs ud aádiae cd hircmmiýd hcf ckc y. Mcrmj hcf erigcd, fj grêoimj ticdc fj oeraj hc udj siffj hc aedtjr y per cse (>0>) sc ffjaj pudte siffj hc o. Fe Fess pu pudt dtes es he hedh dhc c fj fjss hc hcri rivj vjhj hjss pj pjrm rmij ijfc fcss sc jduf jdufjd jd sc ff ffja jajd jd pu pudt dtes es mr mrát átim imes es e pu pudt dtes es cstj cstjmi mied edjr jrie iess hc fj oudmiýd. ]i fj oudmiýd ticdc jfgûd cxtrcae, cstc sefe puchc cstjr cd ud pudte mrátime. Cstes hclcd sj sjti tiso sojm jmcr cr j jalj jaljss cmuj cmujmi mied edcs cs j fj vc vcz. z.

 

Meae   medhim Meae  medhimiýd iýd suoimi suoimicdt cdtc c pjrj fj cxistcdmij hc ud cxtrcae sc himc quc scj fj oudmiýd z1o(x,y) udj oudm oudmiý iýd d medt medtid iduj uj y med med hc hcri rivj vjhj hjss pj pjrm rmij ijfc fcss tj tjal alié iéd d me medt dtid iduj ujss cd ud he heai aidi die e quc quc me meap aprc rcdh dhc c jf pu pudt dte e ^>(x>0y>), med edssih ihc crjd jdhe he quc cst stc c cs ud pu pudt dte e mr mráátim time, cs hc hcmmir quc sc jd jduf ufj jd fj fjss hc hcri riv vjh jhjs js pj pjrrmij mijfc fcss hc pr pria iacr cr erhc erhcd, d, fj oudm oudmiý iýd d tc tcdh dhrê rê e de ud cxtr cxtrca cae e rc rcfj fjti tive ve cd himb himbe e pu pudt dte e sc scgû gûd d sc mu muap apfj fj;;

 (, )  (, )    , 1  (,  )   (, )    •

•

•

]i B(x>0y>) 4>, cdtedmcs fj oudmiýd ticdc ud cxtrcae cd ^ >(x>0y>). ]i B(x>0y>) 6 >, cdtedmcs fj oudmiýd ticdc ud pudte hc cdsiffjhurj cd ^ >(x>0y>). ]i B(x>0y>) 1 >, puchc cxistir e de cxtrcae.

Jqucffes pudtes quc prcscdtcd cxtrcaes cvjfujaes su mjrjmtcrástimj;

(,)ቛ 6 > ý  (,)       ቛ 6 >, cdtedmcs fj oudmiýd ticdc ud AJRIAE \CFJXI_E cd ^ >(x>0y>) (,) (,) ]i   ቛ 4 > ý    ቛ 4 >, cdtedmcs fj oudmiýd ticdc ud AIDIAE \CFJXI_E cd ^ >(x>0y>). ]i

 

Ckcrmimie :. Bjffjr fes pudtes mjrjmtcrástimes hc fj oudmiýd

 1  +  +  ∜   + .

:. Jrajr Jrajr cf sistcaj sistcaj hc cmujmiedc cmujmiedcss pjrj cdmedt cdmedtrjr rjr fes pudtes pudtes mrátimes mrátimes

   1 (j)  1  + (l) Fes sistcajs hc cmujmiedcs sc puchcd rcsefvcr utifizjdhe fjs actehefegájs medemihjs (sustitumiýd, igujfjmiýd, mrjacr, aétehe grêoime, ctm.) Cd cstc mjse vjaes j rcsefvcr per sustitumiýd, hc fj cm (m) \ccapfjzjaes fj cm. (m) cd fj cm. (l);

 1 ? ∜ . ➘ ^m x:1> Y hc

(:+) 1 > ➘   1 ∜: ^m

   

^jse =; ➘ ud aádiae.

 1 = 4 > ∍

^jse 8;

 1   + = +   1 > + =.>.> + > 1 >   1   + = +   1 (∜:)+=. ∜: . ∜: + ∜:    1 : •

•

∍ ^te hc cdsiffjh cdsiffjhurj urj cd ^ ^mm:  >0>0>) ∍ aádiae cd ^m ➘ y:1> 0 ^jrj x0>) 0 ^m ∜ 9 1 ∜96>➘ ^te hc cdsiffjh  :0 :0 :   ^m ➘ Cxtrcae.

^jse =;

   1 ∜= 6 > ➘ ∍ ud aêxiae cd ^m . <  ^jse 8;

Ȋ    1 ∜< ^m:(>0>0-⇜  1 :

 

Ckcrmimie 8. Bjffjr fes pudtes mjrjmtcrástimes hc fj oudmiýd ^jse :;

   1 (:)( +   1 >  1   ∜ :> Hc fes mêfmufes juxifijrcs ^m :(=0:) (=0:) 0 ^mº < t19↜ x 19 ↜ x1º= t1:↜ x 1: ↜ x1º: <

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Ckcrmimie 3. Bjffjr fes pudtes mjrjmtcrástimes hc fj oudmiýd

 1  +  +  + .

^jse :;

 (:)  1