Extremos Condicionados Con Más Condiciones PDF

 

An´ An ´ alis al isis is mate matem´ m´ atico atico II - Curso de Verano 2019

 

Profesor Profesor:: Graciel Gracielaa Paol Paolini ini

EXTREMOS CONDICIONADOS con m´aass de una condici´oon. n. Consideramos el siguiente problema de extremos condicionados: hallar, si existen, los extremos de una funci´on on   f (x , y , z )  que verifican  s  simu imult lt´ ´ anea an eame mente nte  las condiciones:   ϕ(x , y , z )  = 0,   ψ (x , y , z )  = 0. Simb´ olicamente, olicamente, expresamos este problema de la siguiente manera:

 

w( = ϕ x , f  y ,(zx) , y=, z0)  ψ (x , y , z )  = 0



funci´oon noon condici´ na extremar . condici´oon n





´ METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Si se verifican las siguientes hip´ootesis: tesis: f (x , y , z )   ∈  C 2

El sistema de ecuaciones



  ϕ(x , y , z )  = 0 ψ (x , y , z )  = 0

condici´oon n   veri verifica fica el TFI para dos v variable ariabless en funcondici´on on





ci´oon n de la restante Entonces se puede definir la funci´oon n de Lagrange considerando un multiplicador por cada condici´oon n (en el caso propuesto dos multiplicadores:   λ   y   µ): F (x , y , z , λ , µ) =  f (x , y , z )  + λϕ(x , y , z )  + µψ (x , y , z ) 

Como en el caso ya visto, el CONJUNTO DE PUNTOS CR´ITICOS (CPC) est´a formado por aquellos puntos del dominio de la funci´oon n   f  para los cuales se verifican las siguientes condiciones:

  

F x (x , y , z , λ , µ) = 0 F y (x , y , z , λ , µ) = 0 F z (x , y , z , λ , µ) = 0 . ϕ(x , y , z )  = 0 ψ (x , y , z )  = 0

En el problema planteado, resulta el sistema:

  

f x (x , y , z )  + λϕx (x , y , z )  + µψx (x , y , z )  = 0 f y (x , y , z )  + λϕy (x , y , z )  + µψy (x , y , z )  = 0 f z (x , y , z )  + λϕz (x , y , z )  + µψz (x , y , z )  = 0 . ϕ(x , y , z )  = 0 ψ (x , y , z )  = 0

Para clasificar los puntos cr´ cr´ıticos as´ as´ı obtenidos pod podemos emos analizar el signo de   d2 F , pensando a   F   como funci´oon n de las variables (x , y , z )  (λ, µ  constantes): d2 F   =  F xxxx (dx)2 + F yyyy (dy )2 + F zzzz (dz )2 + 2F xxyy dxdy  + 2 F xxzz dzdx + 2 F yyzz dydz 

Como en ca cada da uno de los puntos cr´ cr´ıticos, el sistema:



 ϕ ψ((x x ,, yy ,, zz))   = = 00

verifica el TFI, alguna a lguna de las condiciones siguientes deben verificarse en ca cada da uno d dee los puntos cr cr´´ııticos: ticos: Extremos condicionados con m´aass de una condici´on - Curso de Verano 2019

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An´ An ´ alis al isis is mate matem´ m´ atico atico II - Curso de Verano 2019 ∂ (ϕ,ψ ) ∂ (x,y )

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) ) =0  =  0   o   ∂ ∂ ((ϕ,ψ  =  0   o   ∂ ∂ ((ϕ,ψ   x,z ) y,z )

) entorno del punto cr cr´´ıtico, el sistema dado por Si, por ejemplo, ∂ ∂ ((ϕ,ψ  =  0, el TFI asegura que, en un entorno y,z ) las condiciones permite definir:

x  =  x



De lo anterior resulta que: dy (P ) =  −

∂ (ϕ,ψ) ∂ (x,z) ∂ (ϕ,ψ) ∂ (y,z )

y  y ((x x)) = z  z  =   =

(P )dx dz (  P ) =  −

∂ (ϕ,ψ) ∂ (y,x) ∂ (ϕ,ψ) ∂ (y,z )

(P )dx

Entonces, reemplazando en el  d 2 F  resulta una expresi´oon n de la forma:  d 2 F   =  A (dx)2 en el punt puntoo ccrr´ıtico. ıti co. Si la constante   A   = 0 puede clasificarse el punto cr´ cr´ıtico.   de la curva Ejemplo 1:  Hallar los puntos de mayor y de menor coordenada   z  de C   :

2 z  z   = 1 − x

y 2 + 4 x2

   (   −− 4) = 4

 

.

Como se verifican las hip´ootesis, tesis, p podemos odemos resolver este problema u usando sando el m´eetodo todo de los multiplicadores de Lagra Lagrange. nge. Simb´oolicamente, licam ente, plantea planteamos: mos:

 

f (x , y , z )  =  z  funci´ oon n a extremar ϕ(x , y , z )  = (z   − n . − 4)2 − 4y 2 − 4x2 = 0 condici´oon ψ(x , y , z )  =  z  +  + x − 1 = 0 condici´on on 





Consideramos entonces la funci´oon n de Lagrange: F (x , y , z , λ , µ) =  z  +  + λ(x + z   − − 1) + µ((z  −  − 4)2 − 4x2 − 4y 2 )

el conjun conjunto to de puntos puntos cr´ cr´ıticos (CPC) debemos hallar todas las soluci soluciones ones del sistema sistema:: Para buscar  = − 8   = 0 (1)    == −1 +8  +=20 (   −− 4) = 0 ((23)) .   + + − 1 = 0 (4) (  − (5)  − 4) − 4 − 4 = 0 F x  λ xµ F y µy F z λ µ z  z  x 2 z  y2 x2 De (2):   µ  = 0 o   y  = 0

Si   µ = 0 de (1)   λ  = 0 y no se verifica la ecuaci´oon n (3). Luego:   µ   = 0. Si   y  = 0 de (1)   λ  = 8xµ. De (4)   z   = 1 − x. Reemplazando ambas en (3) resulta: 1 + 8 xµ + 2µ(−x − 3) = 0 (6) En (5), de (4) y como   y  = 0 resulta: (x + 3)2 = 4x2 ⇔  x 2 − 2x − 3 = 0 As´ı, par pa ra  y  = 0 obtenemos dos valores posibles de la varia variable ble x :  x 1   =  − 1,  x 2  = 3. Encontramo Encontramoss entonces los siguie siguientes ntes puntos cr´ cr´ıtico ıticos: s: Extremos condicionados con m´aass de una condici´on - Curso de Verano 2019

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Ejemplo 1

2

 1

P 1  = (−1, 0, 2), con   λ1   =  − 3 ,   µ1  = 12 1 P 2  = (3, 0, −2), con   λ2   =  − 2,   µ2  =  −  12

Luego: C P C   =  { P 1 , P 2 }.

De la naturaleza del problema ya estamos en condiciones de afirmar que existe el punto en la curva   C  con mayor coordenada   z   (P 1 , con   z  = 2) y que existe el punto en la curva   C   con menor coordenada z   (P 2 , con   z   =  − 2). Pero clasifiquemos anal anal´´ıticamente los puntos cr cr´´ıticos hallados, para ejemplificar el procedimiento visto: De: d2 F (x , y , z )  =  − 8µ(dx)2 − 8µ(dy )2 + 2µ(dz )2

resultan: a)d2 F (P 1 ) =  − 23 (dx)2 −   23 (dy )2 +   16 (dz )2 b)d2 F (P 2 ) =   23 (dx)2 +   23 (dy )2 −   16 (dz )2 Para analizar el signo de cada una de estas formas cuadr´aticas, aticas, utilizamos el teorema de la funci´oon n impl´´ıcita. Notemo impl Notemoss que: ∂ (ϕ,ψ)  = ∂ (x,y) ∂ (ϕ,ψ)  = ∂ (x,z )

puntoss cr´ cr´ıticos ıticos.. Luego no es aplicab aplicable le el TFI en estas varia variables. bles.  − 8y  = 0 en los dos punto 2z  +  + 8 x − 8

) ) Luego:   ∂ ∂ ((ϕ,ψ = 0 y   ∂ ∂ ((ϕ,ψ (P 1 ) =  − 12   = 0. (P 2 ) = 12   x,z ) x,z ) En un entorno de cada u uno no de los puntos cr cr´´ıticos, el TFI no noss permite asegurar que pod podemos emos parametrizar la curva   C  en funci´oon n de la variable   y :

  : 

C 

x  =  x (y ) y   =  y . z  =  =  z (y )

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Entonces: dz a) En  P 1 :  dx  =   dx (P 1 )dy  = 0dy   y  dz  =   dy (P 1 )dy  = 0dy  Entonces:  d 2 F (P 1 ) =  − 23 (dy )2 <  0. Luego, dy la funci´oon n presenta un m´aaximo ximo (de valor 2) en   P 1 . dz (P 2)dy   = 0dy  Entonces:   d2 F (P 2 ) =   23 (dy )2 >  0. Luego, (P 2 )dy   = 0dy   y   dz   =   dy b) En   P 2 :   dx  =   dx dy la funci´oon n presenta un m´ıınimo nimo (de valor -2) en   P 2 .

Respuesta:   P 1   = (−1, 0, 2) es el punto de la curva   C  con mayor coordenada   z   y   P 2   = (3, 0, −2) es el punto de la curva   C  con menor coordenada   z .

ejemploo anteri anterior or puede tambi´ een n plan plantearse tearse como un problema de extremos con Observaci´ on on: El ejempl una condici´oon: n:



  f (x, y ) = 1 − x funci´ oon n a extremar ϕ(x, y ) = (1 − x − 4)2 − 4y 2 − 4x2 = 0 

condici´oon n



 .

(Ejercicio)

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