Extrapolacion de Richardson

 

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA  RECINTO UNIVERSITARIO PEDRO ARAUZ PALACIOS  FACULTAD DE TECNOLOGIA DE LA INDUSTRIA  CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL  

METODOS NUMERICOS

TEMA:

EXTRAPOLACION DE RICHARDSON

Integrantes: BRAYAN JOSE BARRIOS MEDRANO   ROBERTO CARLOS NARVAEZ VILCHEZ   JOSE ROLANDO CALLABA LOPEZ   DARWIN JARED PICADO SOBALVARRO  

REVISADO POR: ARLEN PATRICIA REYES

 MA NA G UA , 09 DE A G OS TO D E L 2019

 

EXTR EXT R A P OLA C ION ION DE R I C HA R DSON

Es un método que combina dos estimaciones numéricas de la integral para obtener una tercera, que tiene un valor más exacto. El algoritmo computacional para implementar en forma muy eficiente la extrapolación de Richardson se llama integración de Romberg. Esta técnica es recursiva y puede usarse para generar una estimación de la integral dentro de una tolerancia de error pre especificada. EJEMPLO 1: Estime la primera derivada en x=0.5 para la función f(X) empleando tamaños de paso h1=0.5, h2=0.25. Después calcule la mejor estimación con la extrapolación de Richardson. Recuerde que el valor verdadero es  –0.9125. F(X)=-0.1x^4-0.15x^3-0.5x^2-0.25x+1.2  

Primero: Como se calculó el error o valor verdadero -0.9125 (página 83 chapra) 1. Derivar la función la cual dio como resultado  ´( )  = . .   . .        ..  

2. Evaluar x=0.5 en la función f´(X) la cual dará como resultado : El valor verdadero= -0.9125 3. Aproximación de derivadas por diferencias finitas divididas (página 81-84) Datos necesarios: Para h=0.5 la función se emplea para determinar: Xi-1=0 f(xi-1)=1.2 Xi =0.5 f(xi)=0.925 Xi+1=1.0 f(xi+1)=0.2 Diferencia dividida hacia adelante

Donde a  +   ()   se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h se le llama el tamaño del paso o incremento; esto es la la longitud del intervalo sobre el cual se realiza la aproximación.

 ´(0.5) =

 .−.

  = 58.9% 

.

= 1.45 

 

 

Diferencia dividida hacia atrás

Donde el error es 0(h), y a  fi se le conoce como primera diferencia dividida hacia atrás  ´(  ´(0.5 0.5)) =

0.925 0.9 25  1.2   = 0.55  0.5   = 39.7% 

Diferencia dividida centrada

La ecuación anterior es una representación de las diferencias centradas de la primera derivada. Obsérvese que el error de truncamiento es del orden ℎ   en contraste con las aproximaciones hacia adelante y hacia atrás que fueron del orden h 1.2  ´(  ´(0.5 0.5))  = 0.2  1.2   = 1.0  1.0   = 9.6% 

Se tiene que calcular para ambos tamaños de pasos h1=0.5 y h2=0.25. Calculados se logra identificar que para ambos tamaños de paso

 

4. Cálculos x=0.5 y h1=0.5 Estimaciones para la primera derivada con diferencias centradas Xi-1= 0.5 - 0.5=0 f(Xi-1)=1.2 Xi+1= 0.5 + 0.5=1 f(xi+1)=0.2 Las estimaciones de la primera derivada se calculan con diferencias centradas como sigue:  (ℎ1) =

 (+ )  (− )   +   −

 (0.5 0.5)) =

  =

0.2 0.2  1.2 1.2   = 1  10

0.9125  (1)   ∗ 100 = 9.6%  0.9125

5. Cálculos: x=0.5 y h2=0.25 Estimaciones para la primera derivada con diferencias centradas Xi-2= 0.5 - 0.25=0.25 f(Xi-2)=1.103515625 Xi+2= 0.5 + 0.5=0.75 f(xi+2)=0.636328125

 (ℎ2) =

(0.5) =

  (+ )  (− )   +   −

0.636328125  1.103515625   = 0.934 0.934375 375  0.75  0.25

   = 0.9125  (0.934375)   ∗ 100 100 = 2. 2.3% 3%  0.9125

6. La extrapolación de Richardson es:

4 3

(0.934375) 

1 3

(1) = 0.9125 

El ejemplo anterior dio un resultado perfecto debido a que la función analizada era un polinomio de cuarto grado. El resultado perfecto se debió al hecho de que la extrapolación de Richardson, en realidad, es equivalente a ajustar un polinomio de

 

grado superior a los datos y después evaluar las derivadas con diferencias divididas centradas. Así este caso concuerda precisamente con la derivada del polinomio de cuarto grado. Para las otras funciones que no son polinomios, por supuesto, esto no ocurrirá y nuestra estimación de la derivada será mejor , pero no perfecta.