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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE INGENIERÍA CAMPUS GUANAJUATO APLICACIONES MATEMÁTICAS

Instituto Politécnico Nacional Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería Campus Guanajuato

Aplicaciones Matemáticas

Maestra: Roxana

Escenario 5 Una especie en peligro

Alumnos: Campos Naches Alexis Gabriel Benjamín Sandoval Gómez

León Gto. a 25 de abril de 2016

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Una especie en peligro En el parque natural Siempre Verde habita una especie de roedor cuya supervivencia se cree que puede estar en peligro. La población total de roedores puede agruparse en dos clases, a saber, jóvenes (de 0 a 1 año de edad) y adultos (de 2 a 3 años de edad). Se realizan mediciones en periodos de tiempo de un año. Se sabe que los roedores jóvenes no son capaces de reproducirse y que en promedio cada individuo adulto aporta 1.6 crías por año. También se sabe que en un periodo de tiempo, el 20% de los jóvenes pasan a la clase de los adultos y el resto no sobrevive, mientras que un 15% de los adultos sobreviven para el siguiente periodo de tiempo. Tu equipo es requerido por la administración del parque para, en primer lugar, determinar si bajo las condiciones descritas anteriormente es posible mantener a largo plazo una población estable. En caso de que la especie se encuentre efectivamente en peligro, se cuenta con recursos para implementar uno de los siguientes planes de conservación: 1. Programa de protección a los jóvenes, con el cual se pretende aumentar el porcentaje de individuos jóvenes que logran pasar a la clase adulta cada año. 2. Programa de protección a los adultos, con el cual se logre incrementar la tasa de supervivencia anual de los adultos. Tu equipo es requerido por la administración del parque para seleccionar de entre las opciones anteriores la que sería más efectiva para que la población de roedores se estabilice a largo plazo, con la posibilidad de contratarlos para llevar a cabo la implementación del programa sugerido. Una condición que impone la administración para contratarlos es que la recomendación emitida por tu equipo cuente con una adecuada sustentación matemática.

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RESOLUCION Primero formamos nuestra matriz que describe la población de los roedores Con

(

1.6 P= 0 0.2 0.15

)

Por cada adulto 1.6 crías son dadas cada año pero solo el 20% de ellas consigue llegas a adulto además de que solo el 15% de los adultos logra sobrevivir porque lo que los números son muy bajos y se espera una población en decrecimiento. Computarizando la matriz en scilab a 20 años con vector de población inicial de xt= obtenemos los siguientes resultados.

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Como se observa en la gráfica la población de roedores se extingue a un tiempo t=12 años donde quedaba el ultimo espécimen vivo. También se puede observar que la población de los adultos cae y por lo tanto habrá menos crías. Ahora primero para encontrar que valores tendremos que modificar para saber que programa implementar se usara los eigenvalue y el eigenvector para obtener el vector de equilibrio.

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P v 1=λ v 1

Sabiendo que

Calculando nuestros valores propios y vectores obteniendo propios tenemos las siguientes ecuaciones de equilibrio ecuación dados los valores y vectores propios

(

)

(

)

(

P −0.9273 =0.6456 −0.9273 −0.3742 −0.3097

(

)

P −0.9552 =−0.495635 −0.9552 0.2959 0.2959

)

50 =C 1 −0.9552 +C 2 −0.9273 (100 ) ( 0.2959 ) (−0.3742 )

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50 = −0.9552 (100 ) ( 0.2959

−0.9273 C1 −0.3742 C2

)( )

( )(

50 −0.9552 −0.9273 100 0.2959 −0.3742

(−0.5922536 −0.4683267

( )(

C1 = 117.15 C 2 −174.59

−1

) =(CC ) 1 2

)( ) ( )

1.4676558 50 = C 1 −1.5118136 100 C2

) (

)

(

x t=−0.495635t ( 117.15 ) −0.9552 +0.6456 t (−174.59) −0.9273 0.2959 −0.3097

x t=

(

)

−0.495635t (−111.90 ) +0.6456 t (161.89) −0.495635t ( 34.664 ) +0.6456 t (54.07)

Aquí obtención de una fórmula para la población en el tiempo t.

)

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Con una matriz en matriz

(

P= 0 1.6 0.6 .15

)

lento en los adultos debido al 15%.

(

)

(

)

Con una matriz en matriz

P= 0 1.6 0.2 .6

Con una matriz en matriz

P= 0 1.6 0.2 .7

Podemos observar un crecimiento

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Concluimos que el programa apropiado para esta población será el numero 1 Programa de protección a los jóvenes, con el cual se pretende aumentar el porcentaje de individuos jóvenes que logran pasar a la clase adulta cada año.

-->[vecs vals]=spec(P) vals =

- 0.9076622 0

0

1.0576622

vecs =

- 0.8697900 - 0.8342108 0.4934222 - 0.5514457

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(

)

(

P −0.8697 =−0.90766 −0.8697 0.49342 0.49342

(

)

)

(

P −0.8342102 =1.05766 −0.8342102 −0.5514457 −0.5514457

)

50 =C 1 −0.8697 +C 2 −0.8342102 (100 ) ( 0.49342 ) (−0.5514457)

50 = −0.8697 (100 ) ( 0.49342

)( )

−0.8342102 C 1 −0.5514457 C 2

( )(

50 −0.8697 −0.8342102 100 0.49342 −0.5514457

(−0.6187618 −0.5536528

( )(

C1 = 62.66 C 2 −125.44

(

−1

) =(CC ) 1 2

0.936044 50 = C1 −0.9758661 100 C2

)( ) ( )

) )

(

x t=−0.90766t ( 62.66 ) −0.8697 + 1.05t (−125.44) −0.8342102 0.49342 −0.5514457

)

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(

−0.90766t (−54.4954 ) +1.05t (104.643) x t= −0.90766t ( 30.9176 ) +1.05t (69.173348)

)

Fórmula para la población al tiempo t para la nueva matriz de población en crecimiento.

Vector y valor propio .

(

)( ) ( )

y 1=x 0 P= 0 1.6 50 = 25 0.2 .15 100 160 c 1=160 x 1=

1 1 1 25 = 5 /32 y = c1 160 160 1

( )( ) ( )

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(

)( ) (

y 2=x 1 P= 0 1.6 5/32 = 8/5 0.2 .15 1 49/32

x 2=

1 2 1 8/5 = 1 y= 8/5 8/5 49/32 245/256

( )(

)(

)

(

)(

)(

)

1 y 3=x 2 P= 0 1.6 = 49 /32 0.2 .15 245/256 1759/5120

x 3=

)

1 1 49/32 = 1 y 3= 49/32 49 /32 1759/5120 1759 /7840

)(

(

(

)(

)(

)(

1 y 4 =x3 P= 0 1.6 = 1759 /3200 0.2 .15 1759/5120 503 /2000 x 4=

)

1 1 1759 /3200 = 1 y3 = 1759/3200 1759/3200 503 /2000 4024/8795

(

(

)(

)(

)(

)(

1 y 5=x 4 P= 0 1.6 = 7173 /10000 0.2 .15 4024 /8795 1343 /5000 x 5= 6

) )

)

1 1 7173 /10000 = 1 y4 = 7173 /10000 7173/10000 1343 /5000 2686 /7173

(

5

)(

)(

)

1 0.599135647 =( ( 0.20 1.6 )( ) .15 2686 /7173 0.289870347 )

y =x P= x 6=

1 1 0.599135647 = 1 y 6= 0.599135647 0.599135647 0.289870347 0.483814222

)(

)(

)(

)

(

(

)(

1 y 7=x 6 P= 0 1.6 = 0.77412755 0.2 .15 0.483814222 0.272572133 x 7=

1 1 0.77412755 = 1 y 7= 0.77412755 0.77412755 0.272572133 0.352102

(

)(

)(

)

)

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(

)(

)(

1 y 8=x 7 P= 0 1.6 = 0.5633637 0.2 .15 0.352102 0.284504 x 8=

)

1 1 0.5633637 = 1 y 8= 0.5633637 0.5633637 0.284504 0.505010466

)(

(

(

)(

)(

)(

1 y 9=x 8 P= 0 1.6 = 0.808016745 0.2 .15 0.505010466 0.275751569 x 9=

)

1 1 0.808016745 = 1 y 8= 0.808016745 0.808016745 0.275751569 0.34126921

(

(

)(

)(

)(

)(

1 y 10=x 9 P= 0 1.6 = 0.54603194 0.2 .15 0.34126921 0.28190047 x 9=

)

)

1 1 0.54603194 = 1 y9 = 0.54603194 0.54603194 0.28190047 0.5162

)(

(

(

)(

)(

)(

1 y 10=x 9 P= 0 1.6 = 0.826046063 0.2 .15 0.5162 0.323906909 x 10 =

1 1 0.826046063 = 1 y 10= 0.826046063 0.826046063 0.323906909 0.392117248

(

(

)(

)(

)(

)(

)

1 1 0.627387598 = 1 y 11 = 0.627387598 0.627387598 0.294108139 0.468782202

(

(

)(

)(

)(

)(

)

1 y 12=x 11 P= 0 1.6 = 0.7500515223 0.2 .15 0.468782202 0.312507728 x 12=

) )

1 1 0.7500515223 = 1 y12= 0.7500515223 0.7500515223 0.312507728 0.416648349

)(

(

(

)(

)(

1 y 13=x 12 P= 0 1.6 = 0.666637358 0.2 .15 0.41664834 0.299995603 x 13 =

)

)

1 y 11=x 10 P= 0 1.6 = 0.627387598 0.2 .15 0.392117248 0.294108139 x 11=

)

)(

)

1 1 0.666637358 = 1 y 13= 0.666637358 0.666637358 0.299995603 0.450013189

(

)(

)(

)

)

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(

)(

)(

1 y 14=x 12 P= 0 1.6 = 0.720021103 0.2 .15 0.450013189 0.306002103165

1 1 0.720021103 = 1 y 14= 0.720021103 0.720021103 0.306002103165 0.427769636

)(

(

x 14 =

(

)(

)(

)(

1 y 15=x 14 P= 0 1.6 = 0.68443141 0.2 .15 0.427769636 0.302664712

x 15 =

(

(

)(

)(

)(

)(

)

)

1 1 0.707541374 = 1 y 16= 0.707541374 0.707541374 0.306131206 0.432685881

)(

(

(

)(

)(

)(

)

)

1 1 0.68443141 = 1 y 15= 0.68443141 0.68443141 0.302664712 0.44221358

1 y 16=x 15 P= 0 1.6 = 0.707541374 0.2 .15 0.44221358 0.306131206 x 16=

)

)

)

1 y 17=x 16 P= 0 1.6 = 0.69229741 0.2 .15 0.432685881 0.303844611 x 17=

1 1 0.69229741 = 1 y 17= 0.69229741 0.69229741 0.303844611 0.438893179

(

(

)(

)(

)(

)(

)

1 0.7022 y 18=x 17 P= 0 1.6 = 0.2 .15 0.432685881 0.305334363 x 17 =

1 1 0.7022 1 y 17= = 0.7022 0.7022 0.305334363 0.434750

Gabriel campos naches.

Benjamín Sandoval Gómez.

(

Clase 1 Lectura del libro mathematical models in biology e valores y vectores propios . Lectura del libro mathematical models in biology e vectores

)(

)(

)

)

Clase 2 Resolución de problemas

Trascripción a Word

Resolución de problemas

Trascripción a Word

Clase 3 Revisión general

Revisión general

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Conclusión grupal. En este escenario para obtener la resolución al problema tuvimos que investigar más sobre vectores propios ya que se necesitaba para poder tener el vector en equilibrio y asi lograr lo que se pide en el problema.

Conclusión personal Benjamín Sandoval . El uso de matrices en situaciones reales como lo son las poblaciones, las características de estas matrices nos dicen mucho sobre el comportamiento de estas y las herramientas matemáticas para su comprensión, Campos Naches Alexis Gabriel. En este escenario para mi parecer se obtuvo algunas complicaciones porque no se sabía el procedimiento en la cual poder sacar el valor que nos indique cual mover y poder hacer que la población aumente sin embargo utilizamos un método en la cual nos dio un resultado parecido a la que nos pide.

Bibligrafia. - https://blogdelingeniero1.wordpress.com/2014/08/24/vectores-y-valores-propiosen-scilab-eigenvalues-eigenvectors/