EXPOSICION-DEFLEXIÓN-DE-VIGAS-1 (1)

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE MECÁNICA Escuela de Ingeniería Mecánica

EXPOSICIÓN DE ANÁLISIS MATEMÁTICO III

Tema: Deflexión de vigas

Profesora: Ing. Verónica Albuja

Estudiantes: Santiago Coba Marlon Borja Alexis Telenchana Yidemny Balseca

Período: Marzo 2013 – Agosto 2013

DEFLEXIÓN DE VIGAS Vigas: Son elementos estructurales, los cuales son usualmente elementos prismáticos rectos y largos diseñados para soportar cargas aplicadas en varios puntos a lo largo del elemento. Tipos de vigas: o o o

Viga simplemente apoyada.- Es la viga que descansa sobre un punto fijo en uno de sus extremos y el otro está apoyado Viga empotrada.- Es la viga en la que sus dos extremos se encuentran soportados por apoyos fijos. Viga en Voladizo.- Es la viga en el que uno de sus extremos se encuentra firmemente sujeta a un punto figo, mientras que su otro extremo está libre, sin ningún soporte.

Para cada tipo de viga se emplea la misma ecuación diferencial, el cambio se produce en la aplicación de las condiciones iniciales al momento de determinar las constantes: Deflexión: corresponde al grado en el que un elemento estructural se deforma bajo la aplicación de una fuerza. Demostración de la ecuación diferencial Suponemos una viga horizontal sujeta a un extremo y sometido a una fuerza

Sea 0 la fibra neutra, donde el esfuerzo es nulo, es decir donde la longitud no cambia.

Por encima de la fibra neutra, las láminas de viga se encuentran sometidas a tracción (produciendo un estiramiento), y por debajo de estas están a compresión (produciendo una reducción de longitud). Consideramos el sector circular de la viga de la siguiente manera:

Como al ser sometido a una fuerza p, la viga sufre un estiramiento, generando en incrementos:

Sumando con la ecuación anterior obtenemos:

Físicamente, tenemos que el alargamiento unitario se define como:

Consideramos

el espesor de la viga y sea

Sabemos que sobre la superficie

un pequeño aumento de

se encuentra aplicada una fuerza

Sabiendo esto tenemos que el esfuerzo por unidad de superficie es:

.

Sabemos que el alargamiento unitario es proporcional al esfuerzo (en tanto no sobrepase el límite de elasticidad del material), siendo la constante de proporcionalidad el módulo de elasticidad; tenemos



Físicamente sabemos que el momento flector de una viga viene dado por: ∫



También sabemos que el momento de inercia de la lámina línea neutra:

con respecto a la

∫

Utilizando un artífico matemático (multiplicando a ambos lados de la ecuación anterior tenemos:

∫

∫

Siendo: el radio de giro y considerando que obtenemos:

tiende a 0 por ser muy pequeña,

Condiciones iniciales o de contorno para los diferentes casos

1. La condición

significa que la viga esta empotrada en el extremo

2. La condición significa que la viga no está sometida a momentos flectores en el extremo , es decir, está apoyada o libre. 3. La condición significa que no existen fuerzas cortantes en el extremo es decir la viga está libre en ese extremo. Radio de curvatura

El radio de curvatura ρ y el centro C de curvatura se determinan del siguiente modo: Se traza la tangente a un punto de la trayectoria y a continuación, se traza la normal. Se toma un punto muy próximo al anterior, se traza la tangente y la normal en dicho punto. Las normales se cortan en un punto denominado centro de curvatura C, y la distancia de C a uno u otro punto de la trayectoria, infinitamente próximos entre sí, se denomina radio de curvatura ρ. Si el ángulo comprendido entre las dos tangentes es dθ, este es el ángulo que forman las dos normales. La longitud del arco entre los dos puntos considerados es Dada la función y=f(x), vamos a determinar la fórmula que nos permite calcular el radio de curvatura ρ de la curva en la posición de abscisa x.

Como vemos en la figura, en el triángulo rectángulo de base dx, altura dy e hipotenusa ds, establecemos las siguientes relaciones

√ √ La fórmula del radio de curvatura es:

(

)

√

(

)

√

(

)

√

(

)

(

)

(

(

) )

El radio de curvatura es una cantidad positiva.

Análisis físico de la viga

La viga se encuentra simplemente apoyada y sometida a una carga por unidad de longitud Analizando un segmento Nos encontramos con: Dónde: V = fuerza cortante M = Momento flector

Realizando un análisis estático del segmento tenemos: ∑

Realizando un análisis de momentos en el punto C’: ∑

Obteniendo así la relación entre carga, fuerza córtate y momento flector:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJERCICIO 1 Una viga uniforme, de 8m de longitud apoyada según se muestra la figura, se flexiona bajo su propio peso que es 3kg/m. Hallar la ecuación de la curva elástica.

Momento flector en (PQ): (

)

Sustituyendo el valor de M en la ecuación diferencial:

Se resuelve por integración sucesiva. Primera integración: ∫

∫

Segunda integración: ∫

∫(

)

Aplicando condiciones iniciales

; Entonces: ) Aplicando las condiciones del ejercicio La ecuación es: )

EJERCICIO 2 Una viga uniforme de longitud 6m con un peso de 2kg/m tiene libre un extremo. Hallar la curva elástica y la flecha del extremo libre.

Momento flector en (PQ) (

)

Sustituyendo el valor de M en la ecuación diferencial:

Se resuelve por integración sucesiva Primera integración: ∫

∫

Aplicando condiciones iniciales

Entonces:

Segunda integración: ∫

∫(

)

Condiciones iniciales

Entonces:

Aplicando las condiciones del ejercicio:

Entonces:

Flecha máxima cuando

EJERCICIO 3 Una viga horizontal de 8m de longitud esta empotrada en un extremo y apoyada en el otro. Hallar la ecuación de la curva elástica si la viga tiene una carga uniforme de 4 y soporta un peso de 100 en el punto medio. El estudio se realizara en dos intervalos: Intervalo 1:

𝑙 𝑙

𝑙

𝑥

𝑥

𝑥

𝑄

𝑂

𝐶 𝑃 𝑊

𝑤 𝑙

𝑥

𝑘𝑔

Las fuerzas que actúan en -

Una fuerza desconocida hacia arriba en , situada a El peso de la viga, que viene dado en función de la carga el punto medio de

-

son:

El peso extra esta ubicado a

situada a

de en

de

que ha sido colocado en la viga que corresponde a 100 de

y

.

Entonces:

(

) (

(

) )

Esta ecuación diferencial es de orden 2 y podemos resolverla por integración sucesiva. Integrando:

∫

∫

(

)

(

)

Aplicando condiciones iniciales: Cuando (

Remplazando

)

: (

)

Integrando nuevamente: ∫

∫

( (

)

)

(

)

Aplicando condiciones iniciales: Cuando (

Remplazando

)

(

)

: (

)

(

)

Para los valores dados: (

)

Intervalo 2:

𝑙

𝑥 𝑙

𝑥

𝑄

𝑂

𝐶 𝑃

Las fuerzas que actúan en -

𝑊

𝑤 𝑙

son:

Una fuerza desconocida hacia arriba en , situada a El peso de la viga, que viene dado en función de la carga el punto medio de

𝑥

situada a

de en

de

Entonces:

Como en el caso anterior, ésta ecuación diferencial es de orden 2 y podemos resolverla por integración sucesiva. ∫ ∫

∫ ∫

Los valores de Remplazando

deben coincidir con los obtenidos anteriormente. : (

)

Para los valores dados: (

)

Para encontrar la fuerza , usaremos la condición: Cuando (

)

(

)

Sustituyendo en las ecuaciones encontradas anteriormente: Intervalo 1: (

)

Intervalo 2: (

)

EJERCICIO 4 Una viga horizontal de 2 metros de longitud está apoyada en sus extremos. Hallar la ecuación de la curva elástica y su máxima deformación vertical (flecha), cuando tiene una carga uniformemente distribuida.

Tómese el origen en el extremo izquierdo de la viga con el eje X, como en la figura las coordenadas de P en un punto cualquiera de la curva elástica. Considérese el segmento OP de la viga; en él se tiene un empuje vertical hacia arriba (reacción) O, a X metros de P, y la carga

Kg en el punto medio de OP, a

(

metros de P.

)

Esta ecuación diferencial es de orden 2 y podemos resolverla por integración sucesiva. Integrando: ∫

∫

∫

Aplicando condiciones iniciales: en el punto medio de la viga,

Remplazando

:

Integrando nuevamente: ∫

∫

∫

∫

Aplicando nuevamente condiciones iniciales: Cuando

Remplazando

; nos queda la ecuación que describe la curva elástica:

Para la deformación máxima,

entonces su máxima deformación vertical es: (

)

(

) (

) (

)

BIBLIOGRAFÍA



Carmona, I. (2011). ECUACIONES DIFERENCIALES (Quinta ed.). México.



Espinoza, E. (2002). ANÁLISIS MATEMÁTICA IV. Lima, Perú.