Exponentes y Radicales

 

EXPONENTES Y RADICALES LEYES DE LOS EXPONENTES. Si a y b son números reales y m y n son enteros positivos, entonces:

Teorema 1  Teorema Teorema Te orema 2  Teorema Te orema 3 

aman = am + n  (am)n = amn (ab)n = anbn

Teorema Te orema 4 

Teorema 5

donde b ≠ 0

Si a ≠ 0, entonces

EXPONENTES FRACCIONARIOS POSITIVOS

Si a ∈ R y m, n

 N, se define

de la

∈

definición se tiene a notación (si

representa !n número c!ya potencia n"#sima es a

entonces bn = a), con las condiciones si$!ientes:

%& Si n es par y a > 0,

'0

Si n es par y a a  0,

Si n es impar y a a > pe perf rfec ecta ta si el e.p e.pon onen ente te de ca cada da !no de los factores es !n múltiplo entero del ndice del radical& /Bemplos:

−

1.

−

2.

√ √ √ √ √ √  3

2

√ ∗ ∗  = = ∗ √

∗2 = 2∗2

3

=

 6 2

 a  a b = b b b

= √  =  √ 6 6

2

2

a b b

1 2

ab b √ a

2

b

∗3 √ 18 = 3.− = 3 3 2∗3  2

3

4.

−

 2

√ 3

=

( )( )

−

/l

 a

√ 9 a

3

factor

√ 3 2 √ 3 = 3 √ 3

 2

√ 3

  4

√ ( 2 ) ( 25 )

50 √ 50

6.

3

2

− 4 =

5.

2

2

3

=

( )( )

=

  a

√ 3 a∗a 2

2

√ 2 =   4 √ 2 = 4 √ 2 √ 2 (5 ) ( 2) 10

  4

5 √ 2

=

 a 3 √ a

racionali>ador

de

no

es

ya

!e

, lo c!al no es !n número irracional& 15  entre √ 15

9&" 6ividir

r es!ltado en forma estAndar& √ 21  y e.presa el res!ltado

√ √ √ √

( 3 ) ( 5 )  5 ( 5 ) ( 7 ) 1 15 15 √ 15 =  √ 3355 = = = = 7 7 21 ( 7 ) ( 7 ) ( 3 ) ( 7 ) 21 2 1 √  &" 6ividir √ 3 xy  entre √ 4 a 3 b  y e.presa el res!ltado en forma estAndar& √ 3 xy = 3

√ 4 a b

√

  3 xy 4a

3

b

=

√

 ( 3 xy ) ( ab ) = ( 4 a b ) ( ab ) 3

√

 3 abxy 2

2

4

a b

2

=

  1 2a

2

b

√ 3 abxy

C&" /.presar en forma estAndar:

2

√

3

 3a b 5 20 x y

√

2

 3a

b

3

20 x y

5

√

=   ab √ 15 bxy 10 x y

3

√

  ( 3 a b ) ( 5 xy )   ab   15 a b  xy = = = ( 4 ) ( 5 ) ( x y ) ( 5 xy ) ( 2 ) ( 5 ) x  y ( 2 ) ( 5 ) x y 2

3

5

2

2

2

3

2

6

3

15 bxy √ 15

 

%0&" 6ividir

3 20 0  y e.presa el res!ltado en forma estAndar& √ 2

3 √ 3  entre

√( )(  ) √

√

3 √ 3 3   3 = = 3 ( 4 ) (5 ) √ 20 20 3

 ( 2 ) ( 2 ) = ( 2 ) (5 ) ( 2 ) ( 2 ) 5

  3 2

3

5

2

 1 ∗2∗5   1 150= 150  = √ 150 √ 150 2∗5 10 2 ∗5

3

3

3

3

3

%%&" %% &" /.presar en forma estAndar:

√ 3

6

7

√

4

6

 y  3  x  y = 3 3 8 10 = 8 10 2 a b 8a b

81 x

√ 3

7

 (3  x  y ) 4

3

2

6

7

2

∗a b ( 3∗3 ) x ( y∗ y ) a b 3 x  y a b   =   = √ 3 a b  y 8

√

10

3

6

6

2

2

2

3

3

ab

2

3

9

a b

2

12

2a

3

b

2

4

%&" 6ivide y simplifica 3 √ 6

−6 √ 10

3 √ 2

3 6 6 1 10 0 2 1 10 0 6 = √  − √  = √  − √  = 3 √ 2

3 √ 2

%*&" 6ivide y simplifica 2 y √ 7 x −√ 2  y   √ 7 x = −   √  = 14 4 xy 14 4 xy 14 xy √ 1 √ 1 √ 14  1

√ √   7 x

14 xy

 1

2  y

√ 2

√ 2

−

  2 y 14 xy

=

√ (√  )

√

2

−

2

10

1

2

√() √   7 x

2 7

 xy

−

=√ 3−2 √ 5

  2  y

( ) xy

2 7

=

√ √  1

2  y

−

7 x

√ 7 x − √ 2  y = 2 y ∗   − 7 x ∗   =   22 y 2 − 2 y 7 x 14 xy √ 14 2  y %4&" Racionali>ar el denominador de 2 2+ 6   √ 2 ( 2 + √ 3 ) √ 2 = √  √  =2 √ 2 + √ 6 = 4 −3 2 −√ 3 ( 2 −√ 3 ) ( 2+ √ 3 )

√

6

√

√

  7 x 7

2

 x

2

=   1  √ 2  y −   1  √ 7 x 2  y

7 x

 1 7 x

 

%7&" Racionali>ar el denominador de √ 2 + √ 3 =   ( √ 2 + √ 3 ) ( 2 √ 2− √ 3 ) = 2 √ 4 − √ 6 + 2 √ 6 − √ 9 = 2 ( 2 )+ √ 6 −3 4 √ 4− √ 9 4 ( 2 ) −5 2 √ 2 + √ 3 ( 2 √ 2 + √ 3 ) ( 2 √ 2− √ 3 ) √ 2 + √ 3 =¿  4 + √ 6 − 3 = 1+ √ 6 5 8 −3 2 √ 2 + √ 3

TAREA TA REA N 5 D#8##r 6 (#m$%#&#'ar %a( (#)*#e+te( e,$re(#o+e( e ra#'a%e(. 1.

2.

3.

4.

− √ 

18 18

√ 6

− − −

 7 21 √ 21   8

−   √ 5 √ 8 x  y  x

8.

2

√ 2 a b 9.− 32 x  y √ 32 4

3

3 √ 2

11.

√ 2

3 5−2 √ 6 − √  30 √ 30

15 √ 15

−   √  √ 7 −√ 2

12.

15 √ 15 6.− 3 45 √ 45

13.

√ 5

14.

3

− 

10 x √ 10

5

32 −√ 18 18 − √ 32

10.

14 √ 14 5.− 3 28 √ 28

7.

4

4

32 √ 32

3

3

14 14

3 −   √  2 √ 2 + 3 √ 3

2 3 + 3 √ 2 − √  4 √ 3 + √ 2

−   √ 

15.

+ √ 6 y 2 √ 6 x − √ 3  y 3 x

FACTORES Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión. DESCOMPONER EN FACTORES O FACTORAR Descomponer en factores o factorar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores. FACTOA FACT OA !" #O"O#$O %os factores de un monomio se pueden &allar por simple inspección. CASO $

 

Cuando todos los t'rminos de un polinomio tienen un factor com(n. a) Fact Factor or común común mo mono nomi mio o Descomponer en factores a) * )a + a ,a * )Descomponer /a) 0 1a * 1a2 + 1a,)a 0  * 2a ) Factorar 3x42 0 5nx)42 * )nx242 0 2n)x642 + 2x42,) 0 2nx * 6nx) 0 n)x2-

b) Fact Factor or ccom omún ún p pol olin inom omio io Descomponer x,a * b- * m, m,aa * b- + ,,aa * b- ,x * mDescomponer )x,a 0 - 0 4,a 0 - + ,a 0 - ,)x 0 4Factorar )x,x * 4 * 7- 0 x 0 4 0 7 + )x,x * 4 * 7- 0 ,x * 4 *7- +,x * 4 * 7- ,)x 0 Factorar ,x 0 a- ,4 * )- * b,4 * )-+ ( x −a ) ( y + 2 ) b ( y +2 ) ( x −a ) ( y + 2 ) + b ( y +2 )= +  y + 2  y + 2 ( x −a ) ( y + 2 ) + b ( y +2 )=( y + 2 )( x −a + b ) -

Descomponer ,x * )-,x 0 - 0 ,x 0 -,x 0 2 x + 2 ) ( x −1 ) ( x −1 ) ( x −3 ) ( x  x − 1 ) ( x −3 )= ( x + 2 ) ( x −1 )− ( x   − ( x −1 ) ( x −1 )  x − 1 ) ( x −3 )= ( x −1 ) [ ( x  x + 2 ) −( x  x −3 ) ] ( x + 2 ) ( x −1 )− ( x  x + 2− x + 3 ( x + 2 ) ( x −1 )− ( x  x −1 ) ( x −3 )=( x −1 ) [ ¿ ] =5 ( x −1 )

CASO II Factor común por agrupación d t!rmino" - De Desc scom ompo pone nerr )x) 0 2x4 0 6x * 34 )x) 0 2x4 0 6x * 34 + ,)x ) 0 2x4- 0 ,6x * 34- + x,)x 0 24- 0 ),)x 0 24)x) 0 2x4 0 2x * 34 + ,)x 0 24-,x 0 ))- De Desc scom ompo pone nerr x * 7) 0 )ax 0 )a7 )  2 2 2 2 2  x + z − 2 ax −2 a z =( x − 2 ax ) + ( z −2 a z )= x (1 −2 a ) + z ( 1− 2 a )  x + z 2− 2 ax −2 a z 2=( 1 −2 a ) ( x + z2 ) 2- Desc scoompon oner er a)x 0 ax) 0 )a)4 * )ax4 * x 2 0 )x)4 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 a  x −a x −2 a  y + 2 axy + x − 2 x  y = ( a  x −2 a  y )−( a x −2 axy ) + ( x −2 x  y ) 2 2 2 2 3 2 2 a  x −a x −2 a  y + 2 axy + x − 2 x  y = a ( x −2  y )−ax (  xx −2 y ) + x (  xx − 2 y ) a ( ¿ ¿ 2− ax + x2 ) 2 2 2 3 2 a  x −a x −2 a  y + 2 axy + x − 2 x  y =( x −2  y ) ¿ CASO III Trinomio Trino mio cuadrado pr#cto egla para factori7ar un trinomio cuadrado perfecto.

 

Se extrae la raí7 cuadrada al primero 4 tercer t'rminos del trinomio 4 se separan estas raíces por el signo del segundo t'rmino. 8l binomio así formado9 que es la raí7 cuadrada del trinomio9 se multiplica por si mismo o se eleva al cuadrado. 8:emplos; - De Desc scom ompo pone nerr 6x) * )14) 0 )/x4 Ordenando el trinomio9 se tiene; 6x ) 0 )/x4 * )14)  2 +14 Se extra la √ 4 2 2   4 la de √ 25 25 ) ) x = 0 x14-,)x 0 14- + ,)x y0 14-) 6x 0 )/x4 * )14  +,)x )- Fa Fact ctor orar ar  0 3 3ax ax) * 36a)x6  %as raíces del primero 4 tercer t'rminos son; √ 1 +  4 la   0 3ax) * 36a)x6 + , 0 +,a c >+,a * b * c-,a * b 0 c-

3- De Desc scom ompo pone nerr 6x) 0 ,x * 4- ) %a raí7 cuadrada de cada t'rmino; √ 4 x 2=2 x √ ( x + y )2= x + y 6x) 0 ,x * 4- ) +=)x * ,x*4->=)x 0 ,x * 4->+ ,)x * x * 4-,)x 0 x 0 4-+,2x * 4-,x 0 4?- Fa Fact ctor orar ar ,a * xx--) 0 ,x *)- ) %a raí7 cuadrada de cada t'rmino; √ ( a + x )2=a + x √ ( x + 2 )2= x + 2 ,a * x-) 0 ,x * )- ) +=,a * x- * ,x*)->=,a * x- 0 ,x * )->+ ,a * x * x * )-,a * x 0 x 0 )-+,a * )x * )-,a 0 )-

CASO ' Trinomio Trino mio d la #orma ( *b( * c Condiciones.

 

. 8l coef coefici iciente ente del pri primer mer t'rmin t'rminoo es . ). 8l pprimer rimer t'rmi t'rmino no es una lletra etra cualqui cualquiera era eelevada levada al ccuadrado. uadrado. 2. 8l segu segundo ndo t'rm t'rmino ino titiene ene la mi misma sma let letra ra que el primer primeroo con expo exponente nente  4 ssuu coefi coeficiente ciente es una es una cantidad cualquiera9 positiva o negativa. 6. 8l ter tercer cer t'r t'rmino mino es iindependie ndependiente nte de llaa letr letraa que apare aparece ce en el @ 4 )@ tt'rminos 'rminos 4 es una cantidad cualquiera9 positiva o negativa. Rgla pr+ctica para #actorar un trinomio d la #orma (  * b( * c - 8l tr trinomio inomio se descom descompone pone en dos factor factores es binomi binomios os cu4o pri primer mer t'r t'rmino mino es xx99 o sea llaa raí7 cuadrada del primer t'rmino del trinomio. )- 8n el pri primer mer fact factor or99 despu's de x ssee escribe el signo del segundo t' t'rmino rmino del trinom trinomio9 io9 4 en el segundo factor9 despu's de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del )@ t'rmino del trinomio por el signo del tercer t'rmino del trinomio. 2- Si los dos fact factores ores bin binomios omios ttienen ienen en m medio edio si signos gnos igu iguales ales se bbuscan uscan dos nn(meros (meros cu4a suma sea el valor absoluto del segundo t'rmino del trinomio 4 cu4o producto sea el valor absoluto del tercer t'rmino del trinomio. 8stos n(meros son los segundos t'rminos de los binomios. 6- Si los dos fact factores ores bin binomios omios ttienen ienen en m medio edio si signos gnos dis distintos tintos se buscan dos n(mer n(meros os cu4a diferencia sea el valor absoluto del segundo t'rmino del trinomio 4 cu4o producto sea el valor absoluto del tercer t'rmino del trinomio. 8l ma4or de estos n(meros es el segundo t'rmino del primer binomio9 4 el menor9 el segundo t'rmino del segundo binomio. 8:emplos; $. Factorar x) * 1x * 3 $$. x) * 1x * 3 + ,x * 2-,x * )$$$. $. Factorar x) 0 ?x * ) . x) 0 ?x * ) + ,x 0 2-,x 0 6$. $$. Factorar x) * )x 0 1

$B. B. B$. B$$. B$$$. B$. B.

)

$$$.

x  * )x 0 1 + ,x * 1-,x 0 2-

Factorar x) 0 1x 0 6 x) 0 1x 0 6 + ,x 0 ?-,x * )Factorar x) * 3x 0 )3 x) * 3x 0 )3 + ,x * 