Expoente 10 Vol1 Lprof Pdfflash2 Copy Ehjz PDF

 

10 A MATEMÁTICA Daniela Raposo

EXPOENTE Luzia Gomes

MANUAL CERTIFICADO FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE DO PORTO

DE ACORDO COM

NOVO PROGRAMA E METAS CURRICULARES

VOL. 1

MANUAL DO PROFESSOR

 

PREFÁCIO

A alteração do Programa de Matemática A, com as Metas Curriculares como pano de fundo, implicou a elaboração de novos manuais para o 10.o ano. Assim, procurando ir ao encontro das Metas Curriculares definidas para este ano de escolaridade, surge um manual que pretende ajudar os alunos a construir de forma bem cimentada as bases para um Ensino Secundário de sucesso. Acreditamos que todos são capazes! A nossa experiência de sala de aula reforça a convicção de que o aluno deve ser o principal agente neste complexo processo de aprendizagens. Desta forma, este manual caracteriza-se por uma componente prática muito forte, com: – exerc orien-exercícios ícios resolvidos pensados de forma a consolidar a matéria teórica e servir de orien  tação ao trabalho dos alunos; – exercício exercícios s de margem de forma a tornar os alunos capazes de conhecer e utilizar uma variedade de procedimentos de cálculo; – uma bateria de exercícios, na rubrica Aprende Fazendo , que permitirá aos alunos a mobilização de conhecimentos de factos, de conceitos e de relações, bem como a seleção e aplicação adequada de regras e procedimentos, anteriormente estudados e trabalhados; – classificação dos exercícios do Aprende Fazendo por grau de dificuldade, de maneira a dar ao aluno um feedback da evolução do seu desempenho e uma motivação que o faça querer ir mais além; – chamadas de atenção para erros frequentes, na rubrica Erro Típico. O Manual foi desenvolvido em articulação com o Caderno de Exercícios Exercíc ios e Testes Testes, que inclui exercícios os adicionais para todos os conteúdos e permite a simulação de momentos de avaliação. Antes de terminar não podemos deixar de agradecer à Professora Doutora Cláudia Mendes Araújo, pela disponibilidade, a troco apenas do sentido de colaboração construtiva, à Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, nas pessoas das Professoras Doutoras Gabriela Chaves e Lucinda Lima, pela forma dedicada e profissional com que trabalharam no processo de avaliaavaliação e certificação do Manual, ao Professor Doutor Filipe Carvalho, muito mais do que revisor científico, indispensável na própria própri a elaboração deste manual, à Dra. Alexandra Queirós, incansável parte desta equipa e aos nossos colegas que tiveram sempre uma palavra de apoio. Por último, mas não menor agradecimento, às nossas famílias que nos apoiaram incondicionalmente e sem as quais este livro não teria sido possível. As Autoras 

 

APRESENTAÇÃO O Manual Expoente 10 é constituído por 2 volumes. No 1.o volume apresentam-se os temas Introdução à lógica bivalente e à  teoria dos conjun conjuntos, tos, Álgebr Álgebraa e Geomet Geometria ria o analítica. No 2. volume incluem-se os

SEPARADOR DE TEMA com referência às unidades que o compõem

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos 1. Proposições 2. Condições e conjuntos Desafios ObservaosdilemasdoRaposonovídeo“Mu v aosdilemasdoRaposonovídeo“Mulheres quesabemoquequerem”.

 temas Funções reais de variável real e Estatística.

1.ºdilema

Vídeo “Mulheresquesabemo quequerem.”

SegundoaRebeca,restaurantesbonsnãosãobaratos! DeacordocomaVanessa,restaurante t aurantesbaratosnãosãobons! ParaoRaposo,asduasamigastêmumaopiniãobastantedif ã obastantediferentesob e rentesobreorestaurante. Seráqueelasdefactoestãoadizercoisasdiferentes? e s? Ouseráquenãopassadamesmaafirmaçãoditaporoutraspalavras? 2.ºdilema

DESAFIOS em articulação com vídeos exclusivos do matemático Rogério Martins, disponíveis em . Estes desafios são retomados no final do tema

TEMAI Introduçãoàlógicabivalentee àteoriadosconjuntos

Nota Aassociatividadeda conjunçãoeda ç ãoeda disjunção u nção permiteescrever sem ambiguidadesproposições naforma  p ∧ q ∧ r  e  p ∨ q ∨ r . 13

Prova,atravésdeuma a vésdeuma tabeladeverdade,a a deverdade,a propriedadedistributiva da conjunçãoemrelaçãoà ç ãoemrelaçãoà disjunção.  ( p ∧ ( q ∨ r ))  p )) ⇔ ( p  (p ∧ q ) ∨  p  ( p ∧ r )) ))

Nofinaldestetemavoltaremosaestesproblemas.

RogérioMartins

LTC10_1.13

PrimeirasleisdeDeMorgan r asleisdeDeMorgan  p e q ,tem-seque: Dadasduasproposições p

Contextualizaçãohistórica açãohistórica

1. (∼ p ( p ∧ q)) ⇔ (∼ p ∨∼ q) 2. (∼ p ( p ∨ q)) ⇔ (∼ p ∧∼ q)

3.VerificaçãodequeVé i caçãodequeVé oelementoabsorventedadisjunção

Consideremostodosos valoreslógicosque p podeassumireparacada umadaspossibilidadesdetermina-seovalorlógicode(  p ∨ V).  p

p  V

V

V

F

V

Demonstraçãode1. t raçãode1.

Começamos por considerar todas as possibilidades de sequências de valores lógicos que p e q podemassumire,paracadaumadaspossibilidades,determina-seovalorlógico  (p ∧ q)e d e ∼ p ∨∼ q: de ∼ p

Observa-sequea equea colunacorrespondenteàproposição( p ∨ V)é constituídaapenaspelo valorlógicoV.Logo,( p ∨ V) ⇔ V. Traduçãosimbólicadosprincípiosdotercei c adosprincípiosdoterceiroexcluídoedenão r oexcluídoedenão contradição a dição

Princípiodoterceiro excluído

Dadaumaproposição p,tem-seque:  (p ∨∼ p) ⇔ V Princípiodoterceiroexcluí  p p iodoterceiroexcluído do  (p ∧∼ p) ⇔ F Princípiodenãocontradição  p p iodenãocontradição

Umaproposiçãooué i çãooué verdadeiraouasua i raouasua negaçãoé verdadeira,isto é,verifica-se sempreum destescasosenuncaum o senuncaum terceiro.

 p

q

p ∧q

∼( p ∧ q)

∼ p

∼q

∼ p  ∼q

V

V

V

F

F

F

F

V

F

F

V

F

V

V

F

V

F

V

V

F

V

F

F

F

V

V

V

V

Observa-sequeascolunascorrespondentesàsproposições~( p ∧ q)e  p ∧ q )) ⇔ (∼ p ∨∼ q ),comoqueríamosdemonstrar. Logo,(~( p

Exercícioresolvido

∼ p ∨∼ q sãoiguais.

AugustusDe Morgan (1806-1871)

Matemáticoe lógico britânico,formulouas Leis deDeMorganeintroduziu etornourigorosaanoção de“induçãomatemática”. Oseumaior contributo paraa ciênciaconsistiuna reformadalógica, abrindo ocaminhoparao nascimentodalógica simbólica. 16

Consideraasproposições p e q.Simplificaasseguintesproposiçõeseindica,sempre quepossível,orespetivovalorlógico.

Umaproposição nãopode sersimultaneamente verdadeirae falsa.

a) ∼ p ∨  p ( p ∨ q)

a) p ∨ ∼q

Dizerqueanegaçãodaconjunçãodeduasproposiçõeséverdadeiraéequivalente adizerque adisjunçãodasnegaçõesdasduas proposiçõesé verdadeira. a.

b) ∼ p ∧ q c) p ∨ ( q ∧∼ r )

b) ∼ p ∧  p ( p ∨ q )

Consideraas proposições e q.Simplificaas seguintesproposições e indica,sempre que possível,ore spetivovalor lógico. a) p ∧ (~ p ∧ q) b) p ∨ (~ p ∨ q ) c) p ∧ (~ p ∨ q)

 p

Sugestãode resolução a) ∼ p ∨  p ( p ∨ q)

⇔ (∼ p ∨ p) ∨ q ⇔V ∨q ⇔V

(propriedadeassociativadadisjunção) (princípiodoterceiroexcluído:( ∼ p ∨ p) ⇔ V) ( V é oe oe el me nt o ab os vr en et da da d si uj nç ão )

b) ∼ p ∧  p ( p ∨ q)

⇔ (∼ p ∧ p) ∨ (∼ p ∧ q )

Prova,utilizandotabelas deverdade,aseguintelei deDeMorgan. ~( p   p ∨ q) ⇔ (∼ p ∧ ~q)

⇔ F ∨ (∼ p ∧ q ) ⇔∼ p ∧ q

Soluções

(propriedadedistributivadaconjunçãoemrelação àdisjunção) (p rin i n cíp oi d a n ão c o ntr ad içã o :(∼ p ∧ p) ⇔ F) (Fé oelementoneutrodadisjunção)

Observe-sequenãoéconhecidoovalorlógico destaproposição,quevaidependerdosvaloreslógicosdasproposições p e q .

14.a) Proposiçãofalsa. b) Proposiçãoverdadeira. c) p ∧ q

17

Exemplo

Dizerquea proposição“~ ( 2= 1 ∧  2= 2)”é verdadeiraéo mesmoquedizerquea afirmação“(∼ 2= 1) ∨ (∼ 2= 2)”,ou, deformaequivalente,quea afirmação“ 2 ≠ 1 ∨  2 ≠ 2”é verdadeira. Dizerquea negaçãodadisjunçãodeduasproposiçõeséverdadeiraéequivalentea dizerquea conjunçãodasnegaçõesdas duasproposiçõeséverdadeira.

Consideraas proposições e r .Escreveomais . Escreveomais simplificadamentepossível proposiçõesequivalentesà negaçãodas seguintes proposições.

 p, q

Constatamosque:

Princípiodenã o contradição

15

ConseguesdescobrirqualdastrêsamigasestáapaixonadapeloRaposo?

UNIDADE1 Proposições

2.VerificaçãodequeVé i caçãodequeVé oelementoneutrodaconjunção  p ∧ V)é verdadeiraexatam Aproposição( p entequandoambasasproposições p eVsão verdadeiras.Comoa proposiçãoVé sempreverdadeira,aproposição p ∧ Vé verdadeira exatamente quando a proposição  p é verdadeira. Desta forma, a proposição ( p ∧ V) é equivalenteà proposição p .

Recorda

14

•SemprequeaSaralevasaia,aVanessalevacalças. •ASara levasaiaseesó seaRebecalevarcalças. •AVanessaea Rebecanuncavãoasduasdecalças. Finalmente,aVanessadizaoRaposoqueumadastrê s adizaoRaposoqueumadastrêsamigasusousaianasegunda-feira, calçasnaterça-feira,equeestáapaixo e ira,equeestáapaixonadaporele.

CONTEXTUALIZAÇÃO HISTÓRICA enquadramento histórico dos assuntos tratados

NOTAS

LTC10_1.2 LTC10_1.7 LTC10_1.12

Nessemesmodia,aRebecacon m odia,aRebecacontouaoRaposoqueela,aVanessaeaSaravestemsempre saiaoucalçasetêmtrêsregrasquenãopodemserquebradas:

Sejam p e q as proposições:  p:“AAnaéescritora. ” q:“AAnaéfamosa.” Traduzemlinguagem correnteanegaçãodas seguintesproposições. a) p ∧ q

b) p ∨ q

c) ~ p ∨ q

d) ~ p ∧ ∼q

Soluções Exemplo

Dizerquea proposição“~(10émúltiplode3 ∨ 10émúltiplode7)”éverdadeiraéo mesmoquedizerquea afirmação“(10nãoé múltiplode3) ∧ (10nãoémúltiplode7)” p lode7)” éverdadeira.

16.a) ∼ p ∧ q b) p ∨∼ q c) ∼ p ∧ (∼ q ∨ r ) 17. a) “AAnanãoéescritoraou nãoéf amosa.” b) “AAnanãoé escritoranemé famosa.” c) “A

Anaéescritoraenãoéfamosa.” d) “AAnaéescritoraoué famosa.”

20

21

RECORDA

EXERCÍCIOS dos conteúdos  trabalhados na página

TEMAIV Funçõesreaisdevariávelreal

UNIDADE3 Generalidadesacercadefunçõesreaisdevariávelreal

TexasTI- nspire

2.Determinarvalores aproximadosdoszeros deumafunção

TexasTI-84Plus

Pressionaatecla ON eescolhea opçãoadicionarGráficos.

Consideraafunção f definidapor:

Representagraficamenteafunção:

f ( x)=  x3 +  x2 –4  x –4

1( )= : Deseguida,digitaa expressãoanalíticade f najanela f 1(  x 

Determinaosseuszeros,com recursoàcalculadora. Casio fx -CG10/20 - CG10/20

Deacordocomas instruçõesanteriores,representagraficamente ,representagraficamente f . Pressionaatecla SHIFT esimultaneamenteG-SOLV(F5) :

Pressionaasteclas 2NDTRACE eescolheaopção2:zero:

C omassetasposicionao i onao cursoràesquerdadozeroque pretendesdeterminar e pressiona ENTER:

Pressionaatecla MENU eescolheasopções Janela/Zoom e 1:Definiçõesde janela ,onde poderásescolherosvaloresmínimoe máximodecadaumadas variáveis:

Dasopçõesapresentadas,escolhea ,escolhea primeira:ROOT(F1)

Comassetas posicionaocursor àdireitado zeroquepretendes determinarepressiona ENTER:

PressionaOK evoltarásà janelaondetensa expressãoanalíticadafunção. PressionaENTER eobterása representaçãográficada função:

Pressiona ENTER novamente:

Carregaparaadireita nocursor,umaveze depoisoutra,deforma aencontrarosoutros zeros:

Oszerosde  f são:–2,–1e2 38

Repeteoprocesso para determinarcadaum dosoutros zeros. 39

CALCULADORA apresentam-se explicações de procedimentos com calculadoras gráficas dos seguintes modelos: Texas TI-84 Plus; Texas TI-n spire spire

e Casio fx -CG10/20 -CG10/20

TAREFAS RESOLVIDAS de introdução aos conteúdos

 

TEMAI Introduçãoàlógicabivalentee àteoriadosconjuntos

UNIDADE2 Condiçõeseconjuntos

Condiçõesimpossíveis

LTC10_2.5

Exercícioresolvido

Vimosque,em R,a condição 2 –2= 0épossível.  x

EXERCÍCIOS RESOL RESOLVIDOS VIDOS aplicações dos conteúdos que estão a ser estudados

Consideremos,agora,a mesmacondição 2 –2= 0,masnumuniversodiferente,em e ,em . Neste universo, a condição é impossível , pois qualquer que seja o número natural peloqualse substituiavariável transformaacondiçãonumaproposiçãofalsa.  x

N

 x

36  Justificaque:

a) em N,  x2 +2  x =0

é umacondição impossível; b) em R, 2 + 2 < 0 é u m a condiçãoimpossível; c) em[4,+ [, ( –3)( + 1 ) = 0 é u m a condiçãoimpossível.  x

…

2 >4

 x

b) ( x –1)( x – 2 ) = 0 …  x c)  x

•para =1 ,1 2 –2= 0éumaproposiçãofalsa; •para  2, 2 –2   2,peloque 2 –2 =0 étambémumaproposiçãofalsa.  x

 x

≥

=3 …

d)  x >3

…

 x

 x

Indicaumuniversoondea c aumuniversoondea condição2 27

 x

 x

Assim,nãoexistemnúmerosnaturaisqueverifiquemesta condição.

e) | x

+3|2

Consideraas seguintes condições: a) ( –1)( + 1 ) = 2 –1  x

 x

 x

 x

b) 2 =0 2  x + 1 = 0 c)

d) – x 3 ⇔ 3 >27” éuma condiçãouniversalem R,poisparatodaaconcretizaçãodavariável ascondições“ >3 ” e “ 3 >27”assumemomesmo valorlógico.

d) “ x

 x

 x

Recorda

47

Mostraque asseguintes condiçõesnãosão ç õesnãosão universaisem R, indicandoumnúmero real quesubstituídona variável transformea condição numaproposição falsa. a) 2 =1 ⇔ =1 b) 4 =16 ⇔ =2 c) 2 >9 ⇔ >3 d) | – 1 | = 2 ⇔ – 1 = 2

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

e) “| x +3 | 2” verificaigualmentea segunda 2 >4.  x

Exemplos

 x

 x

 x

 p( x) ⇐ q ( x)éo mesmoque q( x) ⇒ p ( x).

Umaexpressão proposicionalimpossível ou condiçãoimpossível ,numdeterminado

 x

 x

 x

 x

Definição

 x

Completacom ⇒,  e ⇐ asseguintes condições (substituindoasreticências porum destessímbolos), demodoquesejam universaisem R. a) =3 … 2 =9 b) 2 =9 … = 3 c) 2 =9 … =3 ∨ =–3 d) >3 … 2 >9 e) =3 … 3 =27  x

=1

4 =81

 x

∞

37

DEFINIÇÕES destacadas para uma mais fácil identificação

a)  x >2

 x

Reparaque:  x  ≥

46

Completacom ⇒, ⇔ e ⇐ asseguintescondições(substituindoas reticênciaspor umdestessímbolos),demodo aquesejam universaisem R.

 x

 x

CADERNODEEXERCÍCIOS E TESTES Pág. 6 Exercício 13

Esquematizando/Resumindo

Soluções Soluções 37. Porexemplo: a) R b) ]–∞,5[ c) {5,7,10} 38. a) Éuniversalem N, Z e R. b) Éimpossívelem N e é

possívelem Z e R. c) Éimpossívelem N, Z e R. d) Éuniversalem N eé possível em Z e R.

Aclassificaçãodecondiçõesnumdadouniversopodesersintetizadanoseguinte esquema: Universais–todasasconcretizaçõesdasvariáveis esdasvariáveis dãoorigemaumaproposiçãoverdadeira. Possíveis Expressões proposicionais oucondições

Nãouniversais–sepelomenosuma concretizaçãodasvariáveisderorigemauma proposiçãoverdadeiraeumaconcretização overdadeiraeumaconcretização derorigemaumaproposiçãofalsa.

Errotípico

Umerromuitocomumnaresoluçãodaalíneaa)doexercícioanterioréescrever >2 ⇔ 2 >4  x

 

 x

Impossíveis–todasasconcretizaçõesdas variáveisdãoorigemaumaproposiçãofalsa.

 x





Erro!

Reparaque“ >2 ⇔ 2 >4”não éumacondiçãouniversalem R.Se fizermos aconcretizaçãode por–3,obtemosa proposição–3 >2 ⇔ (–3) 2 >4 ,q u e é umaproposiçãofalsa,umavezque (F ⇔ V) ⇔ F.  x

 x

46.a)  b)  c)  d)  e)  47.a) –1 ∈R e(–1)2 =1

⇔– 1 = 1 éuma proposiçãofalsa. b) –2∈R e(–2)4 =16 ⇔ – 2 = 2 é umaproposiçãofalsa. c) –4 ∈R e(–4)2 >9 ⇔ – 4 > 3 é umaproposiçãofalsa. d) –1∈R e | – 1 – 1 | = 2 ção ⇔ –1–1= 2éumaproposi falsa.

34

41

ESQUEMATIZANDO/  RESUMINDO sínteses intercalar intercalares es

ERRO TÍPICO alerta para erros que são frequenteme frequentemente nte cometidos e que devem evitar

REMISSÕES PARA O “APRENDE FAZENDO” E PARA O CADERNO DE EXERCÍCIOS E TESTES

SOLUÇÕES exclusivas da Edição do Professor, surgem no fim de cada página

TEMAI Introduçãoàlógicabivalentee àteoriadosconjuntos

NO FINAL DO MANUAL • Soluções

Itensdeconstrução

Aprende Fazendo Itens de seleção 1

Itensdeconstrução

Sejam p e q asproposições:

14

 p:“O Afonsousaóculos.” q:“O Afonsousachapéu.” a)

(A) p ∧ q

(A) p ∧ q

∨

q

(D) ∼ p ∧∼ q

proposição“O Afonsonãousa óculosnemchapéu”podeescrever-se

(B) p ∨ q

(C) ∼ p

∨

q

Sabe-seque a  b éumaproposiçãofalsa.Então, acercadosvaloreslógicosdasproposições a e b, podemosconcluirque:

“Otriângulodevértices  A, B e C.” 

e)

“Hátriângulosnoplanocom doisângulosretos.”

(B) a

e b sãoambasfalsas.

(C) a

e b têmvalorlógicodiferente.

15

Solução: Opção(C)

16

 x

“Odobrode é7.”

(B) 2 x

 x

>2

∧  x



(D) ∼ p ∧∼ q

Soluções: a) Opção(B) b) Opção(D)

4

“52 ×( p –3)” +1 = 1 ” 3 3 6 “17éum númeroprimo.”

b) “ 1

(C) ∼ p

como:

3

c)

a)

(B) p ∨ q

b) Emlinguagemsimbólica,a

2

Dasexpressõesseguintes,indicaasquesão designaçõese asquesão proposições.

Emlinguagemsimbólica,aproposição“OAfonsousa óculosouchapéu”podeescrever-secomo:

(C) B

= C 

17 (D) A = B

e  A ⊂ C 

Determinaovalorlógicodas proposições p e q,sabendoquea proposição: a) p ∧ q éverdadeira;

b) p

∨

q éfalsa;

identificado

c) ~ p ∧ q éverdadeira.

Soluções: a) p e q sãoproposiçõesverdadeiras. b) p e q sãoproposiçõesfalsas. c) p éumaproposiçãofalsae ã ofalsae

q éuma

proposiçãoverdadeira.

65

Nas atividades assinaladas com este símbolo não escrevas no manual.

 

ÍNDICE Apresentação ............ ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... .......................... ......................... ............... ... 03 TEMA I

Introdução conjuntos à lógica bivalente e à teoria dos Introdução ........... ........................ ......................... ......................... .......................... ......................... ......................... ......................... ...................... ..........12 1. Proposições ........... ........................ ......................... ......................... .......................... ......................... ......................... ......................... ............... ...13 1.1. Termos e proposições ............. ......................... ......................... .......................... ......................... ......................... ....................... .......... 13 1.2. Operações e propriedades sobre proposições........... ........................ .......................... ........................ ........... 14 2. Condições e conjuntos ............. .......................... ......................... ......................... ......................... ......................... .................... .......30 2.1. Expressões proposicionais ou condições. Expressões designatórias ............ 30 ........................ ......................... ............... 33 2.2. Classificação de uma condição num dado universo   ............ 2.3. Cálculo proposicional com variáveis   ........... ........................ ......................... ......................... ......................... ............ 35

2.4. Equivalência como dupla implicação. Condição necessária e ......................... ......................... ......................... .......................... ......................... ........................ ............42 condição suficiente ............ 2.5. Quantificadores ............ ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ................. ..... 42 2.6. Segundas leis de De Morgan ............. .......................... ......................... ......................... ......................... ...................... .......... 48 2.7. Conjuntos definidos por condições ........... ........................ ......................... ......................... ......................... ............... ... 50 2.8. Inclusão de conjuntos ............. .......................... ......................... ......................... ......................... ......................... .................... ....... 55 2.9. Interseção de dois conjuntos ............ ........................ ......................... .......................... ......................... ...................... .......... 57 ......................... ......................... .......................... ...................... ......... 57 2.10. União (ou reunião) de dois conjuntos ............. 2.11. Complementar de um conjunto. Complementar de um conjunto em relação a outro ............ ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ............ 58 Aprende fazendo ............ ........................ ......................... .......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ................ ... 62 Desafios ........... ........................ .......................... ......................... ......................... ......................... ......................... .......................... ......................... ................ .... 73 TEMA II

Álgebra 1. Radicais

76 ......................... ............ ......................... ......................... ......................... ......................... .......................... ......................... ..................... ......... 1.1. Monotonia da potenciação ............ ......................... .......................... ......................... ......................... ......................... ................ .... 76

1.2. Raízes de índice n ∈N, n ≥ 2 ............. .......................... ......................... ......................... ......................... ........................ ............79

 

ÍNDICE 1.3. Propriedades algébricas de expressõ expressões es com radicais ........... ........................ ......................... ............ 83 1.4. Passagem de fatores para fora de um radical ............ ......................... ......................... ........................ ............ 92 1.5. Racionalização de denominador ........................ ......................... ......................... .......................... ................. .... 95 denominadores es ........... ........................ ......................... ......................... ......................... .................. ..... 101 2. Potências de expoente racional ............ 2.1. Potências de expoente inteiro ............. ......................... ......................... ......................... ......................... ..................... ........ 101

2.2. Potências de expoente racional ............ ......................... ......................... ......................... .......................... ................. .... 102 Aprende fazendo ............. ......................... ......................... .......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ............... 106

3. Divisão inteira de polinómios ............. ......................... ......................... .......................... ......................... ..................... ......... 114 3.1. Generalidades (revisões) ............. .......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ................ ... 114 3.2. Adição, subtração e multiplicação de polinómios (revisão) ............................ 117 3.3. Divisão inteira de polinómios ........... ........................ ......................... ......................... .......................... ....................... .......... 119 3.4. Regra de Ruffini ........... ........................ .......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ................. .... 122 ......................... ......................... ......................... ................ 127 3.5. Divisibilidade por x – a . Teorema do Resto ............. 3.6. Multiplicidade da raiz de um polinómio ............ ......................... ......................... ......................... ..................... ........ 131

3.7. Decomposição de um polinómio em fatores ............. ......................... ......................... ........................ ........... 134 3.8. Determinação dos zeros de um polinómio ............ ......................... ......................... ......................... ................. 138 3.9. Resolução de algumas inequações polinomiais de grau superior ao segundo ... 140 Aprende fazendo ............ ........................ ......................... .......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ................. 142 Desafios ........... ........................ ......................... ......................... ......................... ......................... .......................... ......................... ......................... ................. 151 TEMA III

Geometria analítica 1. Geometria analítica no plano ............. .......................... ......................... ......................... ......................... .................... ........ 154 1.1. Refere ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ............... 154 Referenciais nciais ortonormados ............ 1.2. Distância entre dois pontos no plano ............. ......................... ......................... ......................... ....................... ........... 155 1.3. Coordenadas do ponto médio de um segmento de reta ................................. 157 1.4. Equação / inequação cartesiana de um conjunto de pontos ........................... 161 1.5. Inequações cartesianas de semiplanos ........... ........................ ......................... ......................... ..................... ........ 162 1.6. Mediatriz de um segmento de reta ............. .......................... ......................... ......................... ......................... ................ 167 .......................... ......................... ......................... ......................... ......................... .................. .....170 1.7. Circunferência e círculo ............. 1.8. Elipse............. ......................... ......................... ......................... ......................... .......................... ......................... ......................... ..................... ........ 176 Aprende fazendo ............ ......................... .......................... ......................... ......................... ......................... ......................... .......................... ............... 182

 

ÍNDICE 2. Cálculo vetorial no plano............ ........................ ......................... ......................... ......................... ......................... ................. ..... 190 2.1. Revisões ............ ........................ ......................... .......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ................ ... 190 2.2. Operações com vetores ............ ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ................ ... 195 2.3. Operações com coordenadas de vetores ............. ......................... ......................... ......................... ................ 206 2.4. Retas no plano ............ ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... .......................... .................. ..... 216 Aprende fazendo ............. ......................... ......................... ......................... ......................... .......................... ......................... ......................... ............. 230

3. Geometria analítica no espaço ............ ........................ ......................... .......................... ......................... .................. ...... 238 3.1. Refere Referencial ncial ortonormado do espaço ........... ........................ ......................... ......................... ........................ ........... 238 3.2. Equações de planos paralelos aos planos coordenados .............................. 244 3.3. Equações de retas paralelas aos eixos coordenados ........... ........................ ....................... .......... 245 3.4. Distância entre dois pontos no espaço ............. ......................... ......................... ......................... .................. ...... 246 3.5. Coordenadas do ponto médio de um segmento de reta ............................... 247 .......................... ......................... ......................... ................. 248 3.6. Plano mediador de um segmento de reta ............. 3.7. Superfície esférica e esfera ........... ........................ .......................... ......................... ......................... ......................... ............ 251

4. Cálculo vetorial no espaço ............. .......................... ......................... ......................... ......................... ........................ ............ 257 4.1. Vetores do espaço ............. ......................... ......................... ......................... ......................... .......................... ........................ ........... 257 4.2. Operações com coordenadas de vetores ............ ........................ ......................... .......................... ................. 260 4.3. Vetor posição de um ponto e respetivas coordenadas ................................ 262 4.4. Operações com vetores do espaço a partir das suas coordenadas ............ 262 4.5. Equações de retas no espaço ............ ........................ ......................... .......................... ......................... ................... ....... 265 Aprende fazendo ............. ......................... ......................... ......................... ......................... .......................... ......................... ......................... ............. 268 Desafios ............ ........................ ......................... ......................... ......................... .......................... ......................... ......................... ......................... ................ 277

Soluções ............ ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... .......................... ......................... ...................... ..........278

VOL. 2

TEMA IV – Funções reais de variável real TEMA V – Estatística

 

Desafios

Obse serva rva os  os dil dile ema mass do Rap Raposo oso no víd vídeo eo “Mulh “Mulhe eres que qu e sab sabe em o qu que e qu que erem”.

Vídeo “Mulheres que sabem o que querem. quere m.”

1.º dil dileema

Segundo Segund o a Rebec ecaa, res estaurant taurantes es bons não são barat baratos! os! De aco cord rdo o com com a  Vaness Vanessaa, res estaurant taurantes es barat baratos os não são bons! Para o Para  o Rap Raposo, oso, as dua duass amiga amigass têm uma uma o  opini pinião ão ba basstant tante e dif erent nte e sobr sobre e os res estaurant taurantes. es. Será Se rá  qu que e ela elass de fa faccto est estão a diz dize er co  coiisas dif erent ntes? es? Ou se  será rá  qu que e não pa pass ssaa da da  mes esma ma  afirma afirmação ção dita dita  por o  outra utrass palavra palavras? s?

2.º dil dileema Nesse mes esm mo dia dia,, a Rebec ecaa co  cont nto ou ao Rap Raposo oso qu que e ela ela,, a Vaness  Vanessaa e a S  Sara ara  ves esttem se  sempr mpre e saia aia o  ou u c  cal alçças e têm tr três ês regra grass qu que e não podem se  serr qu que ebrada bradas: s: • Sempr Sempre e qu que e a S  Sara ara  leva va s  saia aia,, a  Vaness Vanessaa leva va c  cal alçças. • A  A S  Sara ara  leva va s  saia aia se  se e só se a Rebec ecaa levar var c  cal alçças. • A  A   Vaness Vanessaa e a Rebec ecaa nun nuncca vão as dua duass de cal calçças. Finalment Finalme nte, e, a Vaness  Vanessaa diz diz  ao Rap Raposo oso qu que e uma uma  da dass tr três ês amiga amigass uso sou u s  saia aia  na na se  segunda-f  gunda-f eira ira,, cal alçças na na  terça-f eira ira,, e qu que e está está  apaix apaixo onada nada  por e  elle. Con Co nse segu gues es desco escobrir brir  qual qual  da dass tr três ês amiga amigass está está  apaix apaixo onada nada  pelo Rap Raposo? oso? No final final  des estte tema ma  voltar ltare emos a es  esttes pr pro obl ble ema mas. s.

 

Rogéri rio o Martin Martinss

 

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos 1. Proposições 2. Condições e conjuntos

 

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

Introdução

Tarefa resolvida

Lê a Lê  attent ntaament ntee est este conh conhec ecid idoo pr proobl bleema de lógi lógica ca e tent ntaa reso esolvê lvê--lo. Um prisioneiro encontrava-se numa cela com duas saídas, cada uma delas com um guarda. Cada saída dava para um corredor diferente, um dos quais conduzia à liberdade e o outro a um fosso com crocodilos. cro codilos. Só os guardas sabiam qual era a saída certa, mas enquanto um deles dizia sempre a verdade o outro mentia sempre. O prisioneiro não sabia qual era a saída certa nem qual era o guarda que dizia a verdade. Se fosse permitido ao prisioneiro fazer a um dos guardas, ao acaso, uma única  pergunta, que pergunta deveria deveria ele fazer para saber qual a porta certa? Sugestão de resolução

A pergunt rguntaa poderi riaa ser: ser:  Guarda, se eu perguntar ao seu colega qual é a porta que me conduz à liberdade, qual é a que ele me indica?

Des esign ignaand ndoo por A a port rtaa cert certaa (a qu quee dá dá acesso  acesso à  lib libeerd rdaade) e por B a port rtaa err rraada (a qu quee conduz conduz ao  ao f osso osso de cr croco ocodil dilos) os):: • Se a pergunt rguntaa f or  dirigid dirigidaa ao gu guaard rdaa qu quee diz diz se  sempr mpree a verd rdaade, el ele vai  respond ndeer qu quee o col colega (qu (quee é mentir ntiroso) oso) indi indica cará rá a  a port rtaa B ( (pport rtaa err erraada) a);; • Se a pergunt rguntaa f or  dirigid dirigidaa ao gu guaard rdaa mentir ntiroso, oso, el ele vai  mentir ntir,, ou o u se  se j ja, a, vai res esppond ndeer qu quee o col colega (qu (quee diz diz a  a verd rdaade) indi indica cará rá a  a port rtaa B ( (pport rtaa err erraada) a).. Repara qu quee se j jaa qu quaal f or o gu guaard rdaa a qu queem se f az a pergunt rgunta, a, irá irá se  sempr mpree ser ser o  obbtidaa com tid co mo res esppos ostta a port rtaa err e rraada, a qu quee conduz co nduz ao  ao f osso osso de cr c roco ocodil dilos os.. C  Cllaro quee tend qu ndoo conh conhec ecim imeent ntoo da port rtaa err erraada, tem-se conh conhec ecim imeent ntoo da port rtaa cert certa! a! Claro qu quee o mais pr proováv váveel é nã nãoo te deparares com com um umaa situ situaç açãão des esttas no di diaa a di diaa mas, at atend ndeend ndoo à co  compl mpleexid xidaade do mund mundoo em em qu quee viv viveemos, será seráss confr confroontado co com m  vári vários os pr proobl bleemas de natur tureeza muit muitoo di disstint tintaa e é  fund fundaament ntaal  se serres cappaz de rac ca aciioc ocin inaar bem.

O estud estudoo des estte tema, qu quee vamos ag agora ini inicciar, pr preetend ndee estrutur estruturaar o pensa sam ment ntoo e dese esenv nvoolv lveer o rac aciioc ocíni ínioo ab abstr traato dos alun alunos os.. No fin finaal des estta unid unidaade deverá ráss reconhece conh ecerr a imp impoortân rtânccia da lingu linguaagem f orm rmaal (s  (simpl imples es e rig rigoorosa) na con constru truçção de umaa teo um eori riaa matemáti mática ca e na el elaboraç açãão de análi análises ses obj objeetiv tivas as e coer coerent ntes, es, enqu enquaant ntoo quee a lingu qu linguaagem c  coorr rreent ntee es está tá  muit muitas as vezes suj ujeeititaa a dupl duplos os sentid sentidos os e contr contraadi diçções es.. 12

 

UNIDADE 1 Proposições

UNIDADE 1

Proposições

1.1. Termos e proposições As expr e xpress essõões utiliz utilizaadas pela lingu linguaagem  matemáti mática ca f orm rmaal s  sãão, na su s ua essên essênccia, semelh lhaant ntes es às utiliz utilizaadas pela lingu linguaagem co  corr rreent ntee. No ent entaant nto, o, a su sua int inteerpr rpreetaç açãão e análi nálise se podem se  serr dif erent ntes es.. Tal co  com mo  já  já  f oi dit dito, o, ao contrári contrárioo da lingu linguaagem co  corr rreent nte, e, a lingu linguaagem f orm rmaal nã nãoo pode est estar s  suj ujeeititaa a dupl duplas as int inteerpr rpreetaç açõões ou ou co  contr ntraadi diçções es.. Em Em  parti rticcul ulaar, vamos estud estudaar dois tip tipos os de expr express essõões es:: term rmos os ou des esign ignaç açõ ões e pr pro opos osiições. Definição

LTC10_1.1

Resolução  Todos os exercícios  Todos exercícios de“Proposiç “Proposições” ões”.

1

Term rmo o ou des esign ignaç açãão é  é  um umaa expr express essãão qu quee des esign ignaa um um o  obj bjeeto.

proopos pr osiições es.. a) “32” b) “32 = 6” 6” c) “2  “2  é o úni único co núm númeero primoo par. prim r.”” d) “A  “A  reta r  que  que passa pelo pont ntoo A e é perp rpeendi ndiccul ulaar à reta s.” e) “ 2 > π”

Exemplos 1. “p” 2. 3. 4.

“4 + 3 – 1” “4 + “O núm númeero rea eall c  cuj ujoo dobr broo é 10.” .”   “O mínim mínimoo múltipl múltiploo comum comum e  entr ntree 3 e 16.” 2

Definição

Pro Pr opos osiição é  é  um umaa expr express essãão à qu quaal se pode atribuir atribuir  um um  valor lógi lógico co “v “veerd rdaadeir iroo” o  ouu

“f also so”. ”.  

 p, q, … É co  comum mum as  as pr proopos osiições ser serem repr prese esent ntaadas por p

Exemplos 1. “p é  é  um um  núm númeero irr irrac aciional.” 2. 3. 4.

“4 + 3 – 1 = 3 + 3” “4 + “4  é o núm “4 númeero rea eall c  cuj ujoo dobr broo é 10.” “O mínim mínimoo múltipl múltiploo comum comum e  entr ntree 3 e 16 é 19.”

ló-Repara qu quee pr proopos osiições sã são afirm afirmaç açõões às qu quaais tem se  sentid ntidoo atribuir atribuir  um um  dos valores ló gicos gi cos, “verd rdaadeir iro” o” ou “f also”, e qu quee se costum costumaam repr prese esent ntaar por V ou F, res esppetiv tivaament ntee. 

Das expr express essõões seguint seguintes, es, indica indi ca as qu quee sã são des esign ignaç açõões e as qu quee sã são

Indica o valor lógi Indica lógico co das proopos pr osiições do ex exercí cio ant nteeri rioor. APRENDE FAZENDO Págss. 62 e 65 Pág 65 Exeercí cios Ex os 1  1,, 2, 14 e 15 CADERNO DE EXERCÍCIOS E TESTES Pág.  4 Pág. Exeercí cios 1 e 2 Ex

Soluções 1. a) Des esign ignaç açãão. Proopos osiição. b) Pr Proopos osiição. c) Pr esign ignaç açãão. d) Des e) Pr Proopos osiição. 2. b) Pr Proopos osiição f alsa sa.. Proopos osiição verd rdaadeir iraa. c) Pr Proopos osiição f alsa sa.. e) Pr

13

 

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

LTC10_1.2 LTC10_1.4

Nos ex exempl mplos os apr aprese esent ntaados na págin páginaa ant anteeri rioor, as du duas as prim primeeir iras as pr proopos osiições sã são verdadeir iras as e as du duas as últim últimas as sã são f alsas sas.. As relaç açõões lógi lógicas cas entr entree pr proopos osiições sã são o obj o bjeeto de estud estudoo da lógi lógica ca pr proopos osiicional. Admiteem-se nes Admit estte estud estudoo os prin princcípi ípios os qu quee seguid seguidaament ntee apr aprese esent ntaamos os.. Princcípi Prin ípio o do terce ceir iro o ex excluíd luído o

Uma pr Uma proopos osiição ou ou é  verd rdaadeir iraa ou ou a sua negaç açãão é  verd rdaadeir ira, a, isto é, verifi rifica-se ca-se sempr se mpree um um  des esttes casos e nun nunca ca um um  terce ceir iroo. Princcípi Prin ípio o de nã não o contr contraadi diçção

Umaa pr Um proopos osiição nã nãoo pode ser ser s  simult imultaanea eam ment ntee verd rdaadeir iraa e f alsa sa.. Definição

Equivaalência de pr Equiv pro opos osiições Duas Du as pr proopos osiições, p e q, diz dizeem-se equiv quivaalent ntes es se tiv tiveerem o mes esm mo valor lógi lógico co.. S  Sim im-bolilica cam ment nte, e, escr escreve-se fr freequ queent nteement ntee p ⇔ q p  paara afirm afirmaar qu quee p e q são equiv equivaalent ntes es..

serv a qu que e o, o sin sou lã ⇔ ignifica ignifi apaedneas ap que sããoo igu sã igua aias s osf alvsas, alornã esológi lógicos das opr pro opos osi i-çõO esbse emrva em  qu ques estã tão, oina ua s  sã o amb asmbas as ca verd rda iras ir asqu oeu s ou  sã ambas amb não se cos ref erind rindo ao sigsig nifica nifi caddo das mes esm mas as..

1.2. Operações e propriedades sobre proposições 3

Esc scrreve a negaç açãão de cad cada umaa das seguint um seguintes es proopos pr osiições es.. a) “P  “Paari riss é a capit capitaal de Espanh nhaa.” b) “  “Sa Sarramago escr escreveu o Memorial do Convento.” c) “T  “Toodas as cri criaanças

gos osttam de brin brinca carr co  com m legos os.” .”

À sem semelh lhaança do qu quee acont acontece ece habitu bituaalm lmeent nte, e, qu quaand ndoo pensa sam mos e con construím truímos os rac aciioc ocí í nios ni os a partir rtir  de afirm afirmaç açõões simpl imples, es, qu que, e, à partid rtida, a, podem as  asssumir umir  qu quaalqu lqueer um um  dos valores lógicos, lógi cos, verd rdaadeir iroo ou ou f also, é poss ossív íveel co  connstruir truir  novas (pr (proopos osiições comp compos osttas) a partir rtir  de açõ ões lógi lógicas cas. proopos pr osiições mais simpl simples, es, utiliz utilizaand ndoo op operaç açõões qu quee des esign ignaamos por operaç

Negação A negaç açãão surg urgee co com fr freequên quênccia na lingu linguaagem co  corr rreent ntee atr atraavé véss da utiliz utilizaç açãão de palavr vras as com co mo “nã “nãoo”, “nun “nunca ca””, “n “neem” m” e  e “nã “nãoo é verd rdaade qu quee”. Por e  exxempl mplo, o, con consid ideeremos a pr proopos osiição: “Cri risstitiaano Ronald ldoo é  jo jogador de fut futeebol”. não o é A s  suua negaç açãão é um umaa nova pr proopos osiição: “Cri risstitiaano Ronald ldoo nã  é   jo jogador de fut futeebol”.

Soluções 3. Por e  exxempl mploo: “Paari riss nã nãoo é a capit capitaal de a) “P

Espanh nhaa.” b) “Não rdaaadescrit rd e qu que eo o Sarr“Nã Sa amaogéo vteenh nha esc rito

Memorial do Convento.” “Neem todas as cri criaanças c) “N

gos osttam de brin brinca carr co  com m legos os.” .” 14

Definição

Dada um umaa pr proopos osiição p, nã não o  p  é  é  um umaa nova pr proopos osiição qu quee é verd rdaadeir iraa se p é  é  f alsa e é f alsa se p é  é  verd rdaadeir iraa. A  pr proopos osiição “nã “nãoo p”, qu quee também mbém se  se diz diz a  a  n  neegaç açãão de  p, repr prese esent nta-se a-se por  “~ p” ou “¬ p”.

 

UNIDADE 1 Proposições

O valor lógi lógico co da negaç açãão de um umaa pr proopos osiição pode ser ser o  obtid btidoo a partir rtir  do valor lógi lógico co da pr proopos osiição dada, o qu quee pode ser se r  f acilm acilmeent ntee res esumid umidoo na seguint se guintee tabela, habitu bituaalment ntee des esign ignaada por tabela de verd rdaade d  daa negaç açãão:  p

 p

 

~

V

 

F

F

 

V

Nota

Ass ssim im,, send sendoo V um umaa pr proopos osiição verd rdaadeir iraa e F um umaa pr proopos osiição f alsa, temos qu quee: (∼V) ⇔ F 

LTC10_1.5

e

Uma pr Uma proopos osiição verd rdaadeir iraa (ouu f alsa) pode ser (o ser também repr prese esent ntaada por V (o  (ouu F) sempr se mpree qu quee est esta notaç açãão nãoo f or a nã  ambígu mbíguaa.

(∼F) ⇔ V

Exemplos 1.  p: “A “A  Matemáti mática ca

é um umaa ciên ciênccia.” ~ p: “Nã Não o é verd rdaade qu quee a Matemáti mática ca se j jaa um umaa ciên ciênccia.” ou, de f orm rmaa equiv equivaalent ntee: não o é ~ p: “A “A  Matemáti mática ca nã  é  um umaa ciên ciênccia.” 2.  p: “T “Toodos os matemáti máticos cos estud estudaam lógi lógica ca.” .” Não é aveequiv rda adealqu que eet:o ~ máticos cos estud estudeem lógi lógica ca.” .” o p u,: d“Nã e f oorm rma erd quiva ent nte   dos os matemáti ~ p: “Nem t toodos os matemáti máticos cos estud estudaam lógi lógica ca.” .” 3.  p: “N “Neenhum nhumaa pessoa morena tem o  olh lhos os azui azuiss.” ~ p: “Nã Não o é verd rdaade qu quee n  neenhum nhumaa pessoa morena tenh nhaa olh olhos os azui azuiss.” ou, de f orm rmaa equiv equivaalent ntee:  Algumas as p ~ p: “Algum  pessoas essoas morenas têm têm o  olh lhos os azui azuiss.” 4.  p: “ 9 + 2 ¥ 5 = 25” ~ p: “~( 9 + 2 ¥ 5 = 25)” ou, de f orm rmaa equiv equivaalent ntee: ~ p: “ 9 + 2 ¥ 5 ≠ 25” 5.  p: “p

> 3,1” ~ p: “~ “~((p > 3,1)”

Lei da dupl duplaa negaç açãão

Dada um umaa pr proopos osiição p, tem-se qu quee: ~(~ p) ⇔ p Repara qu quee a dupl duplaa negaç açãão equiv equivaale à a  afirm firmaç açãão. Exemplo

 p: “11 “11  é um um  núm númeero prim primoo.” ~ p: “11 “11  nã não o é  é  um um  núm númeero prim primoo.” Não o é verd rdaade qu quee 11 não o é ~(~ p): “Nã  11  nã  é  um um  núm númeero prim primoo”.

A a  afirm firmaç açãão acim acimaa equiv equivaale a afirm afirmaar qu quee “11 “11  é um um  núm númeero prim primoo”.

4

Esc scrreve a negaç açãão de cad cada umaa das seguint um seguintes es proopos pr osiições es.. Indi Indica ca o valor lógi lógico co da pr proopos osiição e da su sua negaç açãão. a) “12  “12  é um um  núm númeero natur turaal.” b) “1  “1 +  + 2 ¥ 3  3 =  = 9” 9” c) “ 2 ∈Q” d) “3  “3  nã nãoo é um um  divi diviso sorr comum co mum  de 6 e de 9.” 9.” e) “N  “Neem todos os núm númeeros múltiplos múltipl os de 5 termin rminaam em 5  5.” .”

Soluções 4. “12  é um um  núm númeero natur turaal.” l.” –  – a) “12

propos pro osiição verd rdaadeir iraa “12  nã “12 nãoo é um um  núm númeero natur turaal.” – pr proopos osiição f alsa “1 +  + 2 ¥ 3  3 =  = 9” 9” – pr proopos osiição b) “1 f alsa “1 + “1  + 2 ¥ 3  3  ≠ 9  9”” – pr proopos osiição verd rdaadeir iraa proopos osiição f alsa c) “ 2 ∈Q” – pr “ 2∉Q” – pr proopos osiição verd rdaadeir iraa d) “3 “3  nã nãoo é um um  divi diviso sorr co  comum mum de 6 e de 9.” 9.” –  – pr proopos osiição f alsa “3  é um “3 um  divi diviso sorr co  comum mum  de 6 e de 9.” 9.” –  – pr proopos osiição verd rdaadeir iraa “Neem todos os núm númeeros e) “N múltipl múltiplos osiçdãeo5veterd rmina rmin m  em m 5  5.” .” – pr proopos osi rda adeair ira a  e “Toodos os núm “T númeeros múltipl múltiplos os de 5 termin rminaam e  em m 5  5.” .” –  – pr proopos osiição f alsa

15  

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

LTC10_1.6

Conjunção conjun njunçção d A co  dee du duas as pr proopos osiições surg surgee com com fr freequên quênccia na lingu linguaagem co  corr rreent ntee atr atraavé véss da utilizaç utiliz açãão da palavr vraa “e” ou de out utrras exp xprress essõões, com como poderá ráss obse serv rvaar nos exemp mpllos à fr freent ntee.

Connsid Co ideeremos as pr proopos osiições es:: “Cri risstitiaano Ronald ldoo é  jo jogador de fut futeebol”. “Cri risstitiaano Ronald ldoo é natur turaal da Madeir iraa”. conjun njunçção  é A s  suua co  é  um umaa nova pr proopos osiição: “Cri risstitiaano Ronald ldoo é  jo jogador de fut futeebol e  é natur turaal da Madeir iraa”. Definição

conjun njunçção de  p e q é Dadas du duas as pr proopos osiições p e q, a co  é  um umaa nova pr proopos osiição qu quee é verd rdaadeir iraa se e som soment ntee se p e q f orem s  simult imultaanea eam ment ntee verd rdaadeir iras as..  A nova pr proopos osiição repr prese esent nta-se a-se p  poor “ p ∧ q” e lê lê-se -se  p e  q .

5

Se j jaam p  p e q as propos pro osiições es::  p: “A “Ass rosas sã são verm rmeelh lhas as.” .” q: “A “Ass marg rgaarid ridas as sã são braancas br cas.” .” Traaduz Tr duz e  em m lingu linguaagem corr co rreent ntee as seguint seguintes es proopos pr osiições es..

O valor lógi lógico co da co conjun njunçção pode ser ser o  obtid btidoo a partir rtir  dos valores lógi lógicos cos das pr proopos osiições  p e q d  daadas, com como se en enco contr ntraa res esumid umidoo na seguint seguintee tabela de verd rdaade: ou:

 p ∧ q  p 

q

  V

F

 p

q

V

 

V

F

V

V

 

V

F

 

F

F

V

F

 

F

F

V

 

F

F

F

 

F

p∧q

a) p ∧ q b) (~ p) ∧ q

6

Consid Con ideerand ndoo as proopos pr osiições p e q d  doo exercí cio ant anteeri rioor, tr traaduz simb imboolilica cam ment ntee: a) “A  “Ass rosas sã são verm rmeelh lhas as e as marg rgaarid ridas as nã nãoo sã são braancas br cas.” .” b) “N  “Neem as rosas sã são verm rmeelh lhas as nem as marg rgaarid ridas as sã são braancas br cas.” .”

Soluções 5. a) “A “Ass rosas

ssãão verm rmeelh lhas as e as marg rgaarid ridas as sã são br braancas cas.” .” b) “A “Ass rosas nã nãoo sã são verm rmeelh lhas as

e as marg rgaarid ridas as sã são br braancas cas.” .” 6. a) p ∧ (~q) b) (~ p) ∧ (~q)

Ass ssim im,, send sendoo V um umaa pr proopos osiição verd rdaadeir iraa e F um umaa pr proopos osiição f alsa, temos qu quee: (V ∧ V) ⇔ V 

(V ∧ F) ⇔ F 

(F ∧ V) ⇔ F 

(F ∧ F) ⇔ F

Exemplos 1.  p: “Os

oovvos moles sã são típi típicos cos de Av Aveeir iroo.” q: “Os moli lice ceir iros os sã são típi típicos cos de Av Aveeir iroo.”  p ∧ q: “Tant nto o os ov com mo os moli ovos moles co lice ceir iros os sã são típi típicos cos de Av Aveeir iroo.” Com Co mo as du duas as pr proopos osiições sã são verd rdaadeir iras, as, a conjun conjunçção das du duas as é também mbém  um umaa pr proopos osiição verd rdaadeir iraa.  2.  p: “Chanel f oi um um  imp impoort rtaant ntee matemáti mático co.” .” q: “Pi “Picasso casso f oi um um  imp impoort rtaant ntee matemáti mático co.” .”  p ∧ q: “Quer Chanel, qu queer Pi  Picasso casso f oram imp impoort rtaant ntes es matemáti máticos cos.” .” Com Co mo as du duas as pr proopos osiições são f alsas, a conjun conjunçção das du duas as é também mbém  um umaa pr proopos osiição f alsa sa.. q: “2 3.  p: “2 “2  é um um  núm númeero ímp ímpaar.” “2  é um um  núm númeero prim primoo.”  p ∧ q: “2 “2  é um um  núm númeero ímp ímpaar e 2  2  é um um  núm númeero prim primoo.”

Como um Com umaa das pr proopos osiições é f alsa, a conjun conjunçção das du duas as é um umaa pr proopos osiição f alsa sa.. q: “|–  p ∧ q: “32 > 4  ∧ |– 4.  p: “32 > 4” 4”   |–33| < 3” 3”   |–33| < 3” 3”   Com Co mo um umaa das pr proopos osiições é f alsa, a conjun conjunçção das du duas as é um umaa pr proopos osiição f alsa sa..

16  

UNIDADE 1 Proposições

Disjunção

LTC10_1.7

diss jun  junçção d A di  dee du duas as pr proopos osiições surg surgee com com fr freequên quênccia na lingu linguaagem co  corr rreent ntee atr atraavé véss da utiliz utilizaç açãão da palavr vraa “ou”. Connsid Co ideeremos as pr proopos osiições es:: “Cri risstitiaano Ronald ldoo é  jo jogador de fut futeebol de um um c  club lubee”. “Cri risstitiaano Ronald ldoo é  jo jogador da sel seleç eçãão nac aciional”. A s  suua di diss jun  junçção é  um umaa nova pr proopos osiição:  “Cri risstitiaano Ronald ldoo é  jo jogador  de fut futeebol  de

um c um  club lubee ou é  é   jo jogador da sel seleç eçãão nac aciional”. Definição 7

diss jun  junçção de  p e q é um Dadas du duas as pr proopos osiições p e q, a di umaa nova pr proopos osiição qu quee é f alsa se e som soment ntee se p e q f orem s  simult imultaanea eam ment ntee f alsas sas..  Esta pr proopos osiição repr prese esent nta-se a-se por “ p ∨ q” e lê lê-se -se  p ou  q.

O valor lógi lógico co da di diss jun  junçção p ∨ q p  poode ser ser o  obtid btidoo a partir rtir  dos valores lógi lógicos cos das pr proopos osiições p e q d  daadas, com como se en enco contr ntraa res esumid umidoo na seguint seguintee tabela de verd rdaade: ou:

 p  q  p 

Se j jaam p  p e q as proopos pr osiições es::  p: “7 “7  é um um  núm númeero rac aciional.” 1 um  núm q: “ é um númeero int inteeir iroo.” 3 Traaduz Tr duz e  em m lingu linguaagem corr co rreent ntee as seguint seguintes es proopos pr osiições es.. a) p ∨ q

q

  V

F

 p

q

V

 

V

V

V

V

 

V

F

 

V

F

V

F

 

V

F

V

 

V

F

F

 

F

b) (~ p) ∨ q

p  q

c) (~ p) ∨ (~q)

Ass ssim im,, send sendoo V um umaa pr proopos osiição verd rdaadeir iraa e F um umaa pr proopos osiição f alsa, temos qu quee: (V ∨ V) ⇔ V 

(V ∨ F) ⇔ V 

(F ∨ V) ⇔ V 

(F ∨ F) ⇔ F

Exemplos 1.  p: “2 “2  é um um  núm númeero

ímpaar.” ímp

q: “2 “2  é um um  núm númeero prim primoo.”

 p ∨ q: “2 “2  é um um  núm númeero ímp ímpaar ou 2  2  é um um  núm númeero prim primoo.”

Como um Com umaa das pr proopos osiições é verd rdaadeir ira, a, a di diss junç  junção das du duas as é um umaa pr proopos osiição verd rdaadeir iraa. q: “|–  p ∨ q: “–32 > 4  ∨ |– 2.  p: “–32 > 4” 4”   |–33| < 3” |–33| < 3” Com Co mo as du duas as pr proopos osiições são f alsas, a di diss jun  junçção das du duas as é também mbém  um umaa pr proopos osiição f alsa sa.. q: “7  p ∨ q: “7 3.  p: “7 “7  ∈N” “7 >  > p” “7  ∈N ∨   7 > p” Com Co mo amb ambas as as pr proopos osiições sã são verd rdaadeir iras, as, a di diss jun  junçção das du duas as é um umaa pr proopos osiição verd rdaadeir iraa. Repara qu quee em em lingu linguaagem co  corr rreent ntee e num num co  cont nteext xtoo nã nãoo matemáti mático, co, a palavr vraa “ou” u”  por vezes tem  um umaa int inteerpr rpreetaç açãão dif erent ntee des estta qu quee acab acabamos de definir. finir.   Por  exempl mplo, o, quaand qu ndoo diz dizeemos “ou vou à pr praaia ou ou vou ao cin cineema”, está está  implí cititoo qu quee as situ situaç açõões nã nãoo podem oco  ocorr rreer e  em m s  simultân imultâneo eo (di (diss jun  junçção ex exclu lussiv iva) a).. Num co Num  cont nteext xtoo matemáti mático, co, a di diss jun  junçção ex exclu lussiv ivaa é menos utiliz utilizaada. Ass ssim im,, qu quaand ndoo f aalamos em e m  di diss jun  junçção ou o u s  simpl imples esm ment ntee utiliz utilizaamos a palavr vraa “ou” u” es  esttamos a con consid ideerar a diss jun di  junçção conf  conf orm rmee definid finidaa acim acima, a, isto é, um umaa di diss jun  junçção de du duas as pr proopos osiições é verd rdaadeir iraa qu quaand ndoo pelo menos um umaa delas é verd rdaadeir iraa.

8

Indica o valor lógi Indica lógico co de todas as pr proopos osiições connsid co ideeradas no ex exercí cio ant nteeri rioor. APRENDE FAZENDO Págss. 65 e 68 Pág Exeercí cios Ex os 1  16 6 e 25

Soluções 7. “7  é um um  núm númeero rac aciional o  ouu a) “7

1 é um um  núm númeero int inteeir iroo.” 3 “7  nã nãoo é um um  núm númeero rac aciional b) “7 1 ou  é um um  núm númeero int inteeir iroo.” 3 “7  nã nãoo é um um  núm númeero rac aciional  c) “7 1 ou  nã nãoo é um um  núm númeero int inteeir iroo.” 3 8. p;  p ∨ q e (~ (~ p) ∨ (~q) sã são proopos pr osiições verd rdaadeir iras as.. q e (~ (~ p) ∨ q são pr proopos osiições f alsas sas..

17  

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

9

 p e q du Se j jaam p  duas as proopos pr osiições das qu quaais se sabbe qu sa quee p ∧ q é  é  um umaa proopos pr osiição verd rdaadeir iraa e F é um umaa pr proopos osiição f alsa sa.. Indica Indi ca o valor lógi lógico co de cadda um ca umaa das seguint seguintes es proopos pr osiições es.. a) p b) ~q c) p ∨ q d) ~  ~( p ( p ∨ q) e) p ∧ ~q

Prioridades das operações lógicas Tal co  com mo acont acontece ece nas op operaç açõões numéri numéricas, cas, os parênt rênteses eses indi indica cam m qu quaais as op operaç açõões lógicas lógi cas qu quee devem se  serr e  ef f etu tuaadas em em prim primeeir iroo lug lugaar. Para simplifi simplifica carr a escrit escrita, a, conv conveencionou-se qu quee em em  qu quaalqu lqueer se  sequên quênccia de op operaç açõões lógi lógicas, cas, a menos de utiliz utilizaç açãão de parênteses, rênt eses, a negaç açãão tem pri prioorid ridaade relativ tivaament ntee à co  conjun njunçção e à di diss jun  junçção. Exercícios resolvidos 1. Se j  p e q du  jaam p  duas as pr proopos osiições das qu quaais se sab sabe qu quee p ∨ q é  é  um umaa pr proopos osiição f alsa sa..

Indica Indi ca o valor lógi lógico co de cad cada um umaa das seguint seguintes es pr proopos osiições es:: a) ∼ p

c) ~ p ∨ q

b) p ∧ q

f) p ∧ F g) p ∨ F

Sugestão de resolução

Sabemos qu Sab quee para a pr proopos osiição p ∨ q se serr f alsa, as pr proopos osiições p e q  têm  têm   de serr a se  amb mbas as f alsas sas.. Ass ssim: im: a) ∼ p é  é  um umaa pr proopos osiição verd rdaadeir iraa, vi vissto

ser a negaç se açãão de um umaa pr proopos osiição f alsa sa..

b) p ∧ q é  é  um umaa pr proopos osiição f alsa, vi vissto se serr a co conjun njunçção de du duas as pr proopos osiições f alsas sas.. 10

Indica o valor lógi Indica lógico co de cadda um ca umaa das seguint seguintes es proopos pr osiições es.. a) “1  “155 é um um  núm númeero prim primoo e ímp ímpaar.” b) “T  “Taant ntoo 2 co  com mo 5 sã são diviso divi sorres de 100 00.” .” c) “1  “166 é múltipl múltiploo de 5 ou ou de 6.” 6.” d) “p > 3,14 14   ∨ –1 < –2” –2”

rdaadeir iraa, vi c) ~ p ∨ q é  é  um umaa pr proopos osiição verd vissto

serr a di se diss jun  junçção de um umaa pr proopos osiição verd rdaadeir iraa (∼ p) com com um umaa pr proopos osiição f alsa (q).

2. Indi Indica ca

o valor lógi lógico co de cad cada um umaa das seguint seguintes es pr proopos osiições es..

a) “222 “222  é múltipl múltiploo de b) “222 “222  é múltipl múltiploo

3 e 3 é um um  núm númeero par.”

de 3 o  ouu 3 é um um  núm númeero par.”

c) “7 “7  é menor o  ouu igu iguaal a

7.”

Sugestão de resolução

APRENDE FAZENDO Pág. 65 Exeercí cio 17 Ex

Soluções 9. Proopos osiição verd rdaadeir iraa. a) Pr Proopos osiição f alsa sa.. b) Pr c) Pr Proopos osiição verd rdaadeir iraa. d) Pr Proopos osiição f alsa sa.. Proopos osiição f alsa sa.. e) Pr Proopos osiição f alsa sa.. f) Pr Proopos osiição verd rdaadeir iraa. g) Pr 10. a) Pr Proopos osiição f alsa sa.. Proopos osiição verd rdaadeir iraa. b) Pr Proopos osiição f alsa sa.. c) Pr Proopos osiição verd rdaadeir iraa. d) Pr

a) A pr proopos osiição “3 “3  é um um  núm númeero par“ r“  é f alsa, logo, a conjun conjunçção das du duas, as, “222

é múltipl múltiploo de 3 e 3 é um um  núm númeero par” r”,, é um umaa pr proopos osiição f alsa. b) A pr proopos osiição “222 “222  é múltipl múltiploo de 3“ 3“  é verd rdaadeir ira, a, logo, a di diss jun  junçção das du duas, as,

“222  é múltipl “222 múltiploo de 3 o  ouu 3 é um um  núm númeero par” r”,, é um umaa pr proopos osiição verd rdaadeir iraa. c) A pr proopos osiição

“7 é igu “7  iguaal a 7“ 7“  é verd rdaadeir ira, a, logo, a di diss jun  junçção das du duas, as, “7 “7  é menor o  ouu igu iguaal a 7” 7”,, é um umaa pr proopos osiição verd rdaadeir iraa.

Erro típico

Um err Um e rroo comum comum co  connsiste em em co  connsid ideerar qu quee a afirm firmaç açãão “7 “7  é menor o  ouu igu iguaal a 7”  é um 7” umaa afirm afirmaç açãão f alsa sa.. Co  Contud ntudo, o, com como acabám acabámos os de verifi rifica carr na alín alínea ea c) d c) doo exercí cio reso esolvid lvidoo ant anteeri rioor, a afirm firmaç açãão “7 é menor o  ou u igu iguaal a 7” é verd rdaadeir iraa.

18  

UNIDADE 1 Proposições

Propriedades da conjunção, disjunção, negação e suas relações

LTC10_1.12 LTC10_1.14

Algumas das pr Algumas proopri prieedades qu quee  já  já co  conh nheces eces sobr sobree op operaç açõões com com núm númeeros também mbém se  se apli plica cam m às op operaç açõões sobr sobree pr proopos osiições es..   p, q e r  pro Se j jaam p Se  propos osiições qu quee assum assumeem qu quaalqu lqueer valor lógi lógico, co, V um umaa pr proopos osiição verdadeir iraa e F um umaa pr proopos osiição f alsa sa.. Pro Pr opri prieedades

Conjun njunçção

 

Comut Co mutaativid tividaade

( p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)  p

( p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)  p

Assoc ssociiativid tividaade

(( p  p ∧ q) ∧ r ) ⇔  p  (p ∧ (q ∧ r ))

( p ( p ∨ q) ∨ r ) ⇔  p ))  (p ∨ (q ∨ r ))

Existência de Exis element nto o neutr utro o

 (p ∧ V) ⇔ (V ∧ p) ⇔ p  p

( p ∨ F ) ⇔ (F ∨ p) ⇔ p  p

V é o el element ntoo neutr utroo

F é o el element ntoo neutr utroo

11

Constrói Con trói  um umaa tabela de verd rdaade para as seguint seguintes es proopos pr osiições es.. a) ~ p ∨ q b) ~  ~( p  (p ∨ q) c) p ∧ ~q

Diss jun Di  junçção

Existência de Exis element nto o ab abso sorv rveent ntee

 (p ∧ F) ⇔ (F ∧ p) ⇔ F  p

( p ∨ V) ⇔ (V ∨ p) ⇔ V  p

F é o el element ntoo ab abso sorv rveent ntee

V é o el element ntoo ab abso sorv rveent ntee

Ideemp Id mpo otência

 (p ∧ p) ⇔ p  p

 (p ∨ p) ⇔ p  p

Distributivid Dis tributividaade da conjun co njunçção em em relaç açãão à di diss jun  junçção

 (p ∧ (q ∨ r ))  p )) ⇔ (( p  p ∧ q) ∨  p ( p ∧ r ))))

Disstributivid Di tributividaade da dis jun dis  junçção em em relaç açãão à conjun conjunçção

)) ⇔ (( p ))  (p ∨ (q ∧ r ))  p  p ∨ q) ∧ ( p  p ∨ r ))

Nota Chama-se taut uto ologi giaa a umaa pr um proopos osiição comp compos ostta, quee é verd qu rdaadeir iraa qu quaaisqu queer quee se j jaam os valores qu lógicos lógi cos das pr proopos osiições element ntaares qu quee a f orm rmaam. 12

Constrói Con trói  um umaa tabela de verd rdaade para pr proovar qu quee a seguint se guintee expr express essãão é um umaa taut utoologi giaa.  p ∨ (~ p ∨ q) APRENDE FAZENDO Págss. 66 e 68 Pág Exeercí cios Ex os 1  18 8 e 26

Soluções

A demonstr traç açãão de cad cada um umaa des esttas pr proopri prieedades pode ser ser f eititaa reco ecorr rreend ndoo a tabelas de verd rdaade ou ou mos ostr traand ndoo qu quee as pr proopos osiições assum assumeem o valor lógi lógico co V (o  (ouu F) ex exatament ntee nas mes esm mas situ situaç açõões es.. A títul títuloo de ex exempl mplo, o, vamos demonstr traar:

11. a)

1.  Pr 1. Pro opri prieedade comut comutaativ tivaa da conjun conjunçção

Começa Com eçam mos por co  connsid ideerar  todas as poss ossibilid ibilidaades de se s equên quênccias de valores lógi lógicos cos quee p e q p qu  poodem ass  assumir: umir:  p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

p∧q

q ∧  p

 p

q

V V F F

V F V F

 p

q

p  q

V V F F

V F V F

V V V F

 p

q

~q

V V F F

V F V F

F V F V

q ∧  p

 

V

V

F

 

F

F

12.

F

V

 

F

F

 p

q

F

F

 

F

F

V V F F

V F F F V V F V

V

V

V

 

V

 

F

 

V

 

V

b)

p∧q

q

F F V V

~( p  q)    

F F

 

F

 

V

p∧

~q

c)

Para cad cada um umaa das poss ossibilid ibilidaades determin rmina-se a-se o valor lógi lógico co de p ∧ q e de q ∧ p:  p

~ p ~ p  q

Obse serv rva-se a-se qu quee as colun colunas as corr corres esppond ndeent ntes es às pr proopos osiições  p ∧ q e q ∧ p são igu iguaais.  (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p). Logo,  p

 

F

 

V

 

F

 

F

~ p ~ p  q  p  (~ p  q)

V F V V

V V V V

19  

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

LTC10_1.2 LTC10_1.7 LTC10_1.12

Nota A assoc  associiativid tividaade da conjun co njunçção e da di diss jun  junçção permit rmitee escr escrever se  sem m ambiguid mbiguidaades pr proopos osiições na f orm rmaa

 p ∧ q ∧ r  e  p ∨ q ∨ r .

2.  Verifi 2. rificaç caçãão de qu quee V é o el element nto o neutr utro o da conjun conjunçção A pr proopos osiição  p  (p ∧ V) é verd rdaadeir iraa ex exatament ntee qu quaand ndoo amb ambas as as pr proopos osiições p e V s  sãão verd rdaadeir iras as.. Co  Com mo a pr proopos osiição V é se  sempr mpree verd rdaadeir ira, a, a pr proopos osiição p ∧ V é verd rdaadeir iraa exatament ntee qu quaand ndoo a pr proopos osiição  p  é  é   verd rdaadeir iraa.  Des estta f orm rma, a, a pr proopos osiição ( p  p ∧ V) é equiv quivaalent ntee à pr proopos osiição p. 3. Verifi rificaç caçãão de qu quee V é o el element nto o ab abso sorv rveent ntee da di diss jun  junçção Connsid Co ideeremos todos os valores lógi lógicos cos qu quee p p  poode assumir assumir e  e para cad cada um umaa das poss ossii (p ∨ V). bilidaades determin bilid rmina-se a-se o valor lógi lógico co de  p p  V

 p 13

Prova, atr Pro atraavé véss de um umaa tabela de verd rdaade, a proopri pr prieedade di disstributiv tributivaa da conjun co njunçção em em relaç açãão à diss jun di  junçção.  (p ∧ (q ∨ r ))  p )) ⇔ ( p  (p ∧ q) ∨  p  (p ∧ r )) ))

V

 

V

F

 

V

Obse serv rva-se a-se qu quee a colun colunaa corr corres esppond ndeent ntee à pr proopos osiição  p  (p ∨ V) é co  connstituíd tituídaa ap apenas pelo valor lógi lógico co V. Logo,  p  (p ∨ V) ⇔ V.

Recorda Princcípi Prin ípio o do terce ceir iro o

Tradu duçção simbóli simbólica ca dos prin princcípi ípios os do terce ceir iro o ex excluíd luído o e de nã não o contr contraadi diçção

eUm xcluíd luído oopos Uma a pr pro osiição ou ou é

Dada um umaa pr proopos osiição p, tem-se qu quee:  (p ∨ ∼ p) ⇔ V  Prin  p Princcípi ípio o do terce ceir iro o ex excluíd luído o  (p ∧ ∼ p) ⇔ F  Prin  p Princcípi ípio o de nã não o contr contraadi diçção

verd rdaadeir iraa ou ou a su sua negaç açãão é verd rdaadeir ira, a, isto é, verifi rifica-se ca-se sempr sempree um des esttes casos e nun nunca ca um terce ceir iroo. Princípi Princ ípio o de nã não o contr co ntraadi diçção

Uma pr Uma proopos osiição nã nãoo pode serr s se  simult imultaanea eam ment ntee verd rdaadeir iraa e f alsa sa.. 14

Connsid Co ideera as pr proopos osiições  p e q. S  Simplifi implifica ca as

seguintes seguint es pr proopos osiições e indica, indi ca, sempr sempree qu quee poss ossív íveel, o res esppetiv tivoo valor lógico lógi co.. a) p ∧ (~ p ∧ q) b) p ∨ (~ p ∨ q) c) p ∧ (~ p ∨ q)

15

Prova, utiliz Pro utilizaand ndoo tabelas de verd rdaade, a seguint seguintee lei de De Morg rgaan. ~ p  (p ∨ q) ⇔ (∼ p ∧ ~q)

Soluções 14. a) Pr Proopos osiição f alsa sa.. b) Pr Proopos osiição verd rdaadeir iraa. c) p ∧ q

Exercício resolvido

Consid Con ideera as pr proopos osiições p e q. S  Simplifi implifica ca as seguint seguintes es pr proopos osiições e indi indica, ca, sempr sempree quee poss qu ossív íveel, o res esppetiv tivoo valor lógi lógico co.. a) ∼ p ∨  p ( p ∨ q) b) ∼ p ∧  p ( p ∨ q) Sugestão de resolução a) ∼ p ∨  p ( p ∨ q)

⇔ (∼ p ∨ p) ∨ q ⇔ V ∨ q ⇔V

(pr proopri prieedade associ associativ tivaa da di diss jun  junçção) (prin princcípi ípioo do terce ceir iroo ex excluíd luídoo: (∼ p ∨ p) ⇔ V) (V é o el element ntoo ab abso sorv rveent ntee da di diss jun  junçção)

b) ∼ p ∧  p ( p ∨ q)

⇔ (∼ p ∧ p) ∨ (∼ p ∧ q) ⇔ F ∨ (∼ p ∧ q) ⇔ ∼ p ∧ q

(pr proopri prieedade di disstributiv tributivaa da conjun conjunçção em em relaç açãão à di diss jun  junçção) (prin princcípi ípioo da nã nãoo contr contraadi diçção: (∼ p ∧ p) ⇔ F) (F é o el element ntoo neutr utroo da di diss jun  junçção)

Obse serv rve-se e-se qu quee nã nãoo é co  conh nhec ecid idoo o valor lógi lógico co des estta pr proopos osiição, qu quee vai depend ndeer dos valores lógi lógicos cos das pr proopos osiições p e q.

20  

UNIDADE 1 Proposições

LTC10_1.13

Primeeir Prim iras as leis de De Morg rgaan Dadas du duas as pr proopos osiições p e q, tem-se qu quee:

Contextualização histórica

1. (∼ p 1.  ( p ∧ q)) ⇔ (∼ p ∨ ∼q) 2.  (∼ p 2. ( p ∨ q)) ⇔ (∼ p ∧ ∼q)

Demonstr traç açãão de 1.

Começa Com eçam mos por co  connsid ideerar  todas as poss ossibilid ibilidaades de sequên se quênccias de valores lógi lógicos cos quee p e q p qu  poodem ass  assumir umir e,  e, para cad cada um umaa das poss ossibilid ibilidaades, determin rmina-se a-se o valor lógi lógico co de ∼ p  (p ∧ q) e de ∼ p ∨ ∼q: p∧q

∼( p ∧ q)

∼ p

∼q

∼ p  ∼q

 

V

F

F

F

F

F

 

F

V

F

V

V

F

V

 

F

V

V

F

V

F

F

 

F

V

V

V

V

 p

q

V

V

V

 (p ∧ q) e ∼ p ∨ ∼q são igu Obse serv rva-se a-se qu quee as colun colunas as corr corres esppond ndeent ntes es às pr proopos osiições ~ p iguaais.  (p ∧ q)) ⇔ (∼ p ∨ ∼q), com Logo, (~ (~ p como qu queerí amos demonstr traar.

Augustu Augus tuss De Morg rgaan (1806806-1 1871 71))

Matemáti mático co e lógi lógico co britânico, britâni co, f ormul rmuloou as Leis de De Morg rgaan e intr introoduziu e torn rnoou rig rigoorosa a noç oçãão de “indu “induçção matemáti mática ca”. ”.   O seu seu maior co  contribut ntributoo para a ciên ciênccia con consistiu tiu  na ref orm rmaa da lógi lógica, ca, abrind abrindoo o caminh caminhoo para o nasc ascim imeent ntoo da lógi lógica ca simbóli imbólica ca.. 16

Connsid Co ideera as pr proopos osiições  p, q e r . Esc scrreve o mais

simplifi implifica caddament ntee poss ossív íveel proopos pr osiições equiv equivaalent ntes es à negaç açãão das seguint seguintes es proopos pr osiições es..

Connstatamos qu Co quee:

a) p ∨ ∼q

Dizer qu Dize quee a negaç açãão da conjun conjunçção de du duas as pr proopos osiições é verd rdaadeir iraa é e  equiv quivaalent ntee a diz dizeer qu quee a di diss jun  junçção das negaç açõões das du duas as pr proopos osiições é verd rdaadeir iraa.

b) ∼ p ∧ q c) p ∨ (q ∧ ∼r )

Exemplo

Dizer  qu Dize quee a pr proopos osiição “~( 2 = 1  ∧ 2 = 2)”  é  verd rdaadeir iraa é o mes esm mo qu quee diz dizeer  qu quee a afirm firmaç açãão “(∼ 2 = 1) ∨ (∼ 2 = 2)”, ou ou, de f orm rmaa equiv equivaalent nte, e, qu quee a afirm afirmaç açãão “ 2 ≠ 1 ∨  2 ≠ 2” 2”  é verd rdaadeir iraa. Dizer qu Dize quee a negaç açãão da di diss jun  junçção de du duas as pr proopos osiições é verd rdaadeir iraa é e  equiv quivaalent ntee a dizeer qu diz quee a conjun conjunçção das negaç açõões das du duas as pr proopos osiições é verd rdaadeir iraa.

17

 p e q as Se j jaam p proopos pr osiições es::  p: “A “A  An Anaa é esc  escrit ritoora.” q: “A “A  An Anaa é f amosa osa.” .” Traaduz Tr duz e  em m lingu linguaagem corr co rreent ntee a negaç açãão das seguint se guintes es pr proopos osiições es.. a) p ∧ q

b) p ∨ q

c) ~ p ∨ q

d) ~ p ∧ ∼q

Soluções Exemplo

Dizer  qu Dize quee a pr proopos osiição “~ “~((10 é  múltipl múltiploo de 3  ∨ 10 é  múltipl múltiploo de 7)”  é  verd rdaadeir iraa é o mes esm mo qu quee diz dizeer qu quee a afirm afirmaç açãão “(10 nã nãoo é múltipl múltiploo de 3) ∧ (10 nã nãoo é múltipl múltiploo de 7)” é verd rdaadeir iraa.

16. a) ∼ p ∧ q b) p ∨ ∼q c) ∼ p ∧ (∼q ∨ r ) 17. a) “A  An Ana a nã não o  “A é esc  escrit rito ra oou oué nãoo é “A  nã  f am osa.” osa .”  b)  “A   An Ana aonã não escrit esc ritoora nem é f amosa osa.” .”  c) “A

Ana é esc Ana  escrit ritoora e nã nãoo é f amosa osa.” .” d) “A “A  An Anaa é esc  escrit ritoora ou ou é f amosa osa.” .”

21  

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

LTC10_1.8

18

Se j jaam p  p, q e r as proopos pr osiições es::  p: “O  J  Jooão gos ostta de Matemáti mática ca.” .” q: “O  J  Jooão f az muit muitos os xe J Jo rocãí coios os.” .”o tem bons r : “eO não nã res esult ultaados os.” .” a) Utiliz  Utilizaand ndoo op operaç açõões lógicas lógi cas entr entree p, q e r , escrreve as seguint esc seguintes es proopos pr osiições em em linguaagem s lingu  simbóli imbólica ca.. i. “  “Se Se o J o Jooão f az muit muitos os exercí cios, entã entãoo gos ostta de Matemáti mática ca.” .” ii. “  “Se Se o J o Jooão tem bons res esult ultaados, entã entãoo f az muitos muit os ex exercí cios os.” .” iii. “  “Se Se o J o  Jooão gos ostta de

Matemáti mática ca e f az muitos muit os ex exercí cios, entã ntãoo tem bons res esult ultaados os.” .” b) T  Trraduz duz e  em m lingu linguaagem corr co rreent ntee as seguint seguintes es proopos pr osiições es.. i. (~ p ∨ r ) ⇒ ∼q ii. p ⇒ (q ∧ ∼r )

APRENDE FAZENDO Págss. 66, 68 e 71 Pág Exeercí cios Ex os 1  19 9, 27 27,, 28, 29 e 44

CADERNO DE EXERCÍCIOS E TESTES Pág.  5 Pág. Exeercí cio 4 Ex

Exercício resolvido

Utiliza as prim Utiliza primeeir iras as leis de De Morg rgaan para en enco contr ntraar pr proopos osiições cuj cujoo valor lógi lógico co se j jaa o op se opos ostto do das seguint seguintes es:: a) “  “O O

Pedr droo é mú mússico ou ou é matemáti mático co.” .”

b) “1  “1  é s  simult imultaanea eam ment ntee

pos ositiv itivoo e negativ tivoo.”

c) “7  “7  é maior o  ouu igu iguaal a 7.” Sugestão de resolução

Sabbemos qu Sa quee:  (p ∧ q)) ⇔ (∼ p ∨ ∼q) e (∼ p  (p ∨ q)) ⇔ (∼ p ∧ ∼q) (∼ p

Ass ssim im,, apli aplica cand ndoo as prim primeeir iras as leis de De Morg rgaan, obt obteemos as seguint seguintes es pr proopos osiições cuj cujoo valor lógi lógico co é o op opos ostto das do enun enuncciado: a) “O

não o é Pedr droo nã  é  mú mússico nem é  é  matemáti mático co.” .”

não o é não o é b) “1 “1  nã  é  pos ositiv itivoo ou 1  1  nã  é  negativ tivoo.” c) “7 não o é “7  nã  é  maior do

ntee d quee 7 e 7 é dif erent qu  dee 7.”

Implicação A impli implicaç caçãão entr ntree pr proopos osiições surg surgee com com  fr freequên quênccia na lingu linguaagem co  corr rreent nte, e, atr atraavé véss da utiliz utilizaç açãão das expr express essõões “… “…  impli implica ca…” …” o  ouu “se se… …, entã entãoo… ” o  ouu a  aind indaa ”… ”…  é co  condi ndiçção sufi uficcient ntee para…”. Connsid Co ideeremos as pr proopos osiições es:: “Cri risstitiaano Ronald ldoo é  jo jogador de fut futeebol”. “Cri risstitiaano Ronald ldoo está está  bem pr preeparado fifissica cam ment ntee”. Se rissti implicaç ãoebentr eontre estoases est pro pr o pbos osi õesepéa rum uma am pro pr pos osi tiaano Ronald ldoo é  j jooA ga impli dor dcaçã e fut fute l, eentã ntão está tá  emiç pr pre adoa nfifisosivca cam eont nte e”.ição: “ Cri Definição

Soluções

A impli implicaç caçãão entr ntree du duas as pr proopos osiições, um umaa prim primeeir ira, a, p, e um umaa segund segunda, a, q, é um umaa nova proopos pr osiição qu quee é verd rdaadeir iraa nos casos em em qu quee:

18. a) i. q ⇒ p ii. ∼r ⇒ q  (p ∧ q) ⇒ ∼r  iii.  p o  Jooão nã nãoo gos ostta de b) i. “Se o J

• a prim primeeir iraa é verd rdaadeir iraa e a segund segundaa também; • a prim primeeir iraa é f alsa e a segund segundaa é verd rdaadeir iraa; • a prim primeeir iraa é f alsa e a segund segundaa é f alsa sa..

Matemáti mática ca ou ou nã nãoo tem bons res esult ultaados, entã entãoo o J o  Jooão nã nãoo f az

e é f alsa no caso em em qu quee:

muit muitos osoex e Jo xoeãrocí gcos ios os.” ost ta.”de ii. “Se o J Matemáti mática, ca, entã entãoo f az muit muitos os exercí cios e tem bons res esult ultaados os.” .”

• a prim primeeir iraa é verd rdaadeir iraa e a segund segundaa é f alsa sa.. Este pr proopos osiição comp compos ostta repr prese esent nta-se a-se por “ p ⇒ q” e lê lê-se -se  p impli  implica ca  q .  Diz-se Diz -se qu quee p é  é o  o ant ntece eced dent ntee e q é  é o  o co con nse sequ queent ntee d  daa impli implicaç caçãão.

22  

UNIDADE 1 Proposições

O valor lógi lógico co da impli implicaç caçãão pode ser ser o  obtid btidoo a partir rtir  dos valores lógi lógicos cos das pr proopos osiições p e q d  daadas, com como se en enco contr ntraa res esumid umidoo na seguint seguintee tabela de verd rdaade: ou:

 p ⇒ q  p 

q

  V

F

 p

q

 

V

F

V

V

V

p⇒q

 

V

19

Se j jaam p  p e q du  duas as proopos pr osiições tais qu quee  p ⇒ q é  é  f alsa sa.. Indi Indica ca o valor lógi lógico co de cad cada um umaa das seguint seguintes es pr proopos osiições es.. a) p b) ∼q c) p ∨ q

F

 

V

V

V

F

 

F

F

V

 

V

F

F

 

V

d) ~ p ∨ q e) p ∧ ~q f) q ⇒ p g) ~q ⇒ ~ p

Ass ssim im,, send sendoo V um umaa pr proopos osiição verd rdaadeir iraa e F um umaa pr proopos osiição f alsa, temos qu quee: (V ⇒ V) ⇔ V 

(F ⇒ V) ⇔ V 

(F ⇒ F) ⇔ V 

(V ⇒ F) ⇔ F

Expressõões com Express como “p “paara se ser ser f eliz liz  é necess ecessári árioo ter dinh dinheeir iroo” o  ouu “se en enco contr ntraar e  empr mpreego entã ntãoo vou se  serr f eliz” liz”  podem se  serr tr traaduzid duzidas as em e m lingu linguaagem f orm rmaal, atr atraavé véss de um umaa impli impli-caçãão. caç No ent entaant nto, o, o sentid sentidoo qu quee damos a est estas expr express essõões no di diaa a di diaa é muit muitas as vezes dif erent ntee daqu queele qu quee a impli implicaç caçãão tem  na defini finiçção aqui a qui   dada.  Repara qu quee qu quaand ndoo alguém alguém   diz “se am amanhã nhã es  estiv tiveer so  soll e  entã ntãoo vou à pr praaia” levaa-nnos a pensa sarr qu quee se nã nãoo estiv estiveer so  soll e  entã ntãoo nãoo irá nã irá   à  pr praaia. Co  Com m es  estta int inteerpr rpreetaç açãão, a pr proopos osiição nã nãoo pode ser se r  tr traaduzid duzidaa por  um umaa implicaç impli caçãão, tal co  com mo a definim finimos os.. Apesarr  de ser Apesa se r  poss ossív íveel  tr traaduzir duzir   pr proopos osiições da lingu linguaagem co  corr rreent ntee para a lingu linguaagem f orm rmaal e vi vicece-vversa, est esta tr traadu duçção deverá rá se  serr f eititaa com com muit muitoo cuid cuidaado. Para evit evitaar co  com meter err rros, os, é imp impoort rtaant ntee perce cebber devid vidaament ntee cad cada um um  dos con conce ceititos os.. Quand ndoo a partir rtir   de du duas as pr proopos osiições  p e q co connstruím truímos os um umaa pr proopos osiição co comp mpos ostta  p ⇒ q nã  nãoo est estamos a afirm afirmaar qu quee est esta é verd rdaadeir iraa ou ou f alsa, nem se  sequ queer a diz dizeer qu quee as proopos pr osiições p e q es estã tãoo relac aciionadas as.. A pr proopos osiição p ⇒ q é  é a  appenas um umaa pr proopos osiição qu que, e, em em fun funçção dos valores lógi lógicos cos de  p e de q, toma um um  valor lógi lógico co de acord acordoo com com a defini finiçção apr aprese esent ntaada.

Nota A  pr proopos osiição  p ⇒ q   também   pode ser bém se r esc  escrit ritaa com como q ⇐ p, mant nteend ndoo o mes esm mo signifi ignifica caddo.  O símb ímboolo ⇐   lê lê-se -se “… “…   é implica impli caddo por…” r…”,, “… “… se  se…” …”,, “…  des “… esdde qu quee… ”, “… “… co  conntand ndoo qu quee…” …” o  ouu a  aind indaa “… é  co condi ndiçção necess ecessári áriaa para…”. APRENDE FAZENDO Pág. 64 Exeercí cio  1 Ex  10 0

Exemplo

É verd rdaade qu quee a pr proopos osiição “a Terr rraa nã nãoo é um um  pl plaaneta” impli implica ca a pr proopos osiição “ 1 + 1 = 3” 3”,, pois amb ambas as as pr proopos osiições sã são f alsas e, com como vim vimos, os, (F (F ⇒ F) ⇔ V. No ent ntaant nto, o, em  lingu linguaagem  co corr rreent nte, e, est esta afirm firmaç açãão é  des espr proovid vidaa de se sentid ntido, o,  já  já   qu quee “1 + “1  + 1 = 3” 3”  nã nãoo é um umaa con conse sequên quênccia de a Terr rraa nã nãoo ser ser um um  pl plaaneta. Em geral, qu Em  quaand ndoo se usa est esta relaç açãão em em lingu linguaagem co  corr rreent ntee pr preetend nde-se e-se est estabelece ecerr um umaa relaç açãão de cau causa salid lidaade entr entree as pr proopos osiições env envoolvid lvidas as..

Soluções 19.  Proopos osiição verd rdaadeir iraa. a) Pr b) Pr  Proopos osiição verd rdaadeir iraa. c) Pr  Pro ooppos osi rda iraa.  Pro osiiiççããoo vf aelrd os sa.a. deir sa d) Pr  Proopos osiição verd rdaadeir iraa. e) Pr  Proopos osiição verd rdaadeir iraa. f) Pr g) Pr  Proopos osiição f alsa sa..

23  

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

Propriedades da implicação e suas relações com outras operações

LTC10_1.8 LTC10_1.10 LTC10_1.15

lógicas

LTC10_1.16

20

21

22

23

Utiliza tabelas de verd Utiliza rdaade para mos ostr traar qu quee quaaisqu qu queer qu quee se j jaam os valores lógi lógicos cos de p, q e r , a expr express essãão (( p  p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r )) )) ⇒  p  (p ⇒ r ) é se  sempr mpree verd rdaadeir iraa (tr traansitivid itividaade da implicaç impli caçãão) o)..

Encontr Enco ntraa um umaa pr proopos osiição equiv quivaalent ntee a p ∨ q, utilizaand utiliz ndoo ap apenas os operadores ~ e .

Utilizand Utiliza ndoo a lingu linguaagem corr co rreent nte, e, nega a seguint seguintee proopos pr osiição: “Se 10 é um númeero par, entã núm entãoo é divissív divi íveel por 2”.

Connsid Co ideera as pr proopos osiições  p, q e r . Esc scrreve o mais

simplifi implifica caddament ntee poss ossív íveel proopos pr osiições equiv equivaalent ntes es à npr eogpaç açã ãioçõdes as. seguint seguintes es pro osi os es.

Transitivid itividaade

Dadas trê trêss pr proopos osiições p, q e r : Se p ⇒ q e q ⇒ r , entã entãoo p ⇒ r . Simb imboolilica cam ment ntee:  p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r ))  (p ⇒ r )] ⇔ V [(( p )) ⇒  p Relaç açãão da impli implicaç caçãão com com a di diss jun  junçção e negaç açãão Send Se ndoo p e q du  duas as pr proopos osiições, tem-se qu quee:  (p ⇒ q) ⇔ (∼ p ∨ q)  p

Para demonstr traar es  estta últim últimaa pr proopri prieedade, com comece ecem mos por co  connsid ideerar todas as poss ossibi ibi-lidaades de sequên lid sequênccias de valores lógi lógicos cos qu quee p e q p  poodem ass  assumir umir e,  e, para cad cada um umaa das poss ossibilid ibilidaades, determin rmina-se a-se o valor lógi lógico co de p ⇒ q e de ~ p ∨ q:  p⇒q

~ p

~ p  q

 

V

F

V

F

 

F

F

F

F

V

 

V

V

V

F

F

 

V

V

V

 p

q

V

V

V

Repara qu quee as colun colunas as qu quee diz dizeem res esppeititoo a p ⇒ q e ~ p ∨ q são igu iguaais, fifica cand ndoo assim assim proovado o qu pr quee se pr preetendi ndiaa. Negaç açãão da impli implicaç caçãão

a) p ⇒ ∼q

Dadas du duas as pr proopos osiições p e q, tem-se qu quee: (~ p  (p ⇒ q)) ⇔ ( p  p ∧ ∼q)

b) ∼ p ⇒ q c)  p  (p ∧ q) ⇒ r  d) p ⇒ (q ∧ r )

Soluções ( p ∨ q) ⇔ (∼ p ⇒ q) 21.  p 22. “1 “100 é um um  núm númeero par e

nãoo nã

 (p ⇒ q) é verd A pr proopos osiição ~ p rdaadeir iraa ex exatament ntee qu quaand ndoo p ⇒ q é  é  um umaa pr proopos osiição f alsa sa.. Por s  suua vez, p ⇒ q  é  é   f alsa qu quaand ndoo p é  é   um umaa pr proopos osiição verd rdaadeir iraa e q  é  é   um umaa pr proopos osiição f alsa, ou ou se j ja, a, qu quaand ndoo tant ntoo p co com mo ~q são pr proopos osiições verd rdaadeir iras as.. É pr prec eciisa sam ment ntee nes estta  (p ⇒ q) é e situ ituaç açãão qu quee a pr proopos osiição p ∧ ~q é  é  verd rdaadeir iraa. Pr Proovamos des estta f orm rmaa qu quee ~ p  equi qui-valent ntee a p ∧ ~q.

é divi divissív íveel por 2.” 23. a) p ∧ q b) ∼ p ∧ ∼q c) p ∧ q ∧ ~r  d) p ∧ (~q ∨ ~r )

Implicaç Impli caçãão contr contraarr rrec ecípr íproca oca Send Se ndoo p e q du  duas as pr proopos osiições, tem-se qu quee:  (p ⇒ q) ⇔ ((∼q) ⇒ (~ p))  p

24  

UNIDADE 1 Proposições

A  demonstr traç açãão des estta pr proopri prieedade pode se serr  f eititaa reco ecorr rreend ndoo a tabelas de verd rdaade.  Com Co meça eçam mos por co  connsid ideerar todas as poss ossibilid ibilidaades de sequên sequênccias de valores lógi lógicos cos qu quee  p e q p  poodem ass  assumir umir e,  e, para cad cada um umaa das poss ossibilid ibilidaades, determin rmina-se a-se o valor lógi lógico co de  p ⇒ q e de ~q ⇒ ~ p:  p⇒q

∼q

∼ p

∼q ⇒ ∼ p

 

V

F

F

V

F

 

F

V

F

F

F

V

 

V

F

V

V

F

F

 

V

V

V

V

 p

q

V

V

V

24

Connsid Co ideera as pr proopos osiições  p e q. S  Simplifi implifica ca as

seguintes seguint es pr proopos osiições e indica, indi ca, sempr sempree qu quee poss ossív íveel, o res esppetiv tivoo valor lógico lógi co.. a) p ⇒  p  (p ∨ q) b) p ⇒  p  (p ∧ q) c)  p  (p ∧ q) ⇒  p  (p ∨ q)

Repara qu quee as colun colunas as qu quee diz dizeem res esppeititoo a p ⇒ q e ~q ⇒ ~ p são igu iguaais, fifica cand ndoo assim assim proovado o qu pr quee se pr preetendi ndiaa. Um outr Um o utroo pr processo ocesso de verifi rifica carr  qu quee (( p  p ⇒ q) ⇔ ((∼q) ⇒ (~ p))) con consiste em e m  reco ecorr rreer a proopri pr prieedades es já  já  verifi rifica caddas pr preevi viaament ntee:  p ⇒ q ⇔ ~ p ∨ q ⇔ q ∨ ~ p ⇔ ~(~q) ∨ ~ p ⇔ (∼q ⇒ ~ p)

(relaç açãão da impli implicaç caçãão com com a di diss jun  junçção e negaç açãão) (pr proopri prieedade comut comutaatitivva da di diss jun  junçção) (lei da dupl duplaa negaç açãão) (relaç açãão da impli implicaç caçãão com com a di diss jun  junçção e negaç açãão)

Exercício resolvido

Consid Con ideera as pr proopos osiições a e b. S  Simplifi implifica ca as seguint seguintes es pr proopos osiições e indi indica, ca, sempr sempree quee poss qu ossív íveel, o res esppetiv tivoo valor lógi lógico co.. a) (∼a ⇒ ∼b) ∨ (∼a ∨ b)

APRENDE FAZENDO Págss. 69, 70 e 71 Pág Exeercí cios 32, 41 Ex 41,, 42 e 43

b) (a ⇒ ~b) ⇒ b

Sugestão de resolução

CADERNO DE EXERCÍCIOS E TESTES Pág.  5 Pág. Exeercí cio 5 Ex

a) (∼a ⇒ ∼b) ∨ (∼a ∨ b)

⇔ (a ∨ ∼b) ∨ (∼a ∨ b) ⇔ (a ∨ ∼a) ∨ (∼b ∨ b)

(lei da dupl duplaa negaç açãão e relaç açãão da impli implicaç caçãão com com a di diss jun  junçção e negaç açãão) (pr proopri prieedades comut comutaativ tivaa e associ associativ tivaa da di diss jun  junçção)

⇔ V ∨ V ⇔V

 p ∨ ∼ p) ⇔ V) (prin princcípi ípioo do terce ceir iroo ex excluíd luídoo: ( p (V é o el element ntoo ab abso sorv rveent ntee da di diss jun  junçção) (continua)

Soluções 24. a) Pr  Proopos osiição verd rdaadeir iraa

(taut utoologi gia) a).. b) ~ p ∨ q ou p ⇒ q  Proopos osiição verd rdaadeir iraa c) Pr (taut utoologi gia) a)..

25  

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

LTC10_1.3

25

Se j jaam p  p, q e r as propos pro osiições es::  p: “A “A  An Anaa vai à f est esta.” q: “A “A  Bert rtaa vai à f est esta.” r : “O Carl Carlos os vai à f est esta.” a) Utiliz  Utilizaand ndoo op operaç açõões lógicas lógi cas entr entree p, q e r , escrreve as seguint esc seguintes es proopos pr osiições em em linguaagem s lingu  simbóli imbólica ca.. i. “A  “A  An Anaa vai à f est esta se e só se o Carl Carlos os vai à f est esta.” ii. “A  “A  Bert rtaa vai à f est esta se e só só se o Carl Ca rlos os nã nãoo vai à f est esta.” b) T  Trraduz duz e  em m lingu linguaagem corr co rreent ntee as seguint seguintes es proopos pr osiições es.. i. r ⇔  p  (p ∧ q) ii.  p  (p ∨ ~r ) ⇔ q

Conv Co nveenção

A e  expr xpress essãão “se e só só se  se”” pode serr a se  abr breevi viaada para “sse sse”. ”.

Soluções 25. a) i. p ⇔ r  ii. q ⇔ ∼r  b) i. “  “O O Carl Carlos os vai à f est esta se e só só se

a An Anaa e a Bert rtaa vã vãoo à f est esta.”  “A  An Anaa vai à f est esta ou ou o Carl Carlos os ii. “A nãoo vai se e só nã só se a Bert rtaa vai à f est esta.”

Exercício resolvido (continuação)

b) (a ⇒ ~b) ⇒ b

⇔ (~a ∨ ~b) ⇒ b ⇔ ∼(~a ∨ ~b) ∨ b ⇔ (a ∧ b) ∨ b ⇔ (a ∧ b) ∨ (V ∧ b) ⇔ (b ∧ a) ∨ (b ∧ V) ⇔ b ∧ (a ∨ V) ⇔b∧V ⇔b

(relaç açãão da impli implicaç caçãão com com a di diss jun  junçção e negaç açãão) (relaç açãão da impli implicaç caçãão com com a di diss jun  junçção e negaç açãão) (lei da dupl duplaa negaç açãão e lei de De Morg rgaan) (V é o el element ntoo neutr utroo da conjun conjunçção) (pr proopri prieedade comut comutaativ tivaa da conjun conjunçção) (pr proopri prieedade di disstributiv tributivaa da conjun conjunçção em em relaç açãão à di diss jun  junçção) (V é o el element ntoo ab abso sorv rveent ntee da di diss jun  junçção) (V é o el element ntoo neutr utroo da conjun conjunçção)

Obse serv rve-se e-se qu quee nã nãoo é co  conh nhec ecid idoo o valor lógi lógico co des estta pr proopos osiição.

Equivalência A equiv quivaalência surg urgee com com fr freequên quênccia na lingu linguaagem co  corr rreent ntee atr atraavé véss da utiliz utilizaç açãão das expr xpress essõões “… “…  é e  equiv quivaalent ntee…” …” o  ouu “… “… se  se e só só se  se…” …”,, “… “…  é co  condi ndiçção necess ecessári áriaa e sufi s ufi-cient ntee… ”.  Já f alám  Já  lámos os da equiv equivaalên lênccia entr entree pr proopos osiições, ou ou se  se j ja, a, da afirm afirmaç açãão de qu quee du duas as pr proolênccia para con conspos osiições têm têm o  o mes esm mo valor lógi lógico co.. Podemos também mbém  utiliz utilizaar a equiv equivaalên truir   um truir umaa pr proopos osiição comp co mpos ostta a partir rtir   de du duas as pr proopos osiições es.. O símb ímboolo utiliz utilizaado em amb mbas as as situ situaç açõões é o mes esm mo, pelo qu quee el elas se di disstingu tingueem de acord acordoo com com o co cont nteext xtoo ond ndee ap aparece ecem. m.  Ap Apesa esarr des esttes dois con conce ceititos os ser serem dif erent ntes, es, el eles estã estãoo relac aciionados os.. lênccia enqu De f act acto, com como poderá ráss verifi rifica carr na defini finiçção de equi equivvalên enquaant ntoo op operador lógi lógico, co, a nova pr proopos osiição é verd rdaadeir iraa ex exatament ntee nas situ situaç açõões em em qu quee as pr proopos osiições qu quee sã são utilizaadas para a cri utiliz criaar s  sãão equi equivvalent ntes, es, de acord acordoo com com a defini finiçção de equiv equivaalên lênccia defifi-nidaa ant nid anteeri rioorm rmeent ntee. Connsid Co ideeremos as pr proopos osiições es:: “Cri risstitiaano Ronald ldoo rece ecebbeu a Bola de Our Ouroo em em 2013”. “Cri risstitiaano Ronald ldoo f oi o melh lhoor  jo jogador  de fut futeebol  do mundoo para a FIFA mund FIFA,, em em 2013”. A e  equiv quivaalên lênccia entr entree est estas pr proopos osiições é um umaa nova pr proopos osiição: “Cri risstitiaano Ronald ldoo recebbeu a Bola de Our ce Ouroo em em 2013 13  é e  equiv quivaalent ntee a Cri risstitiaano Ronald ldoo f oi o melh lhoor  jo jogador de fut futeebol do mund mundoo para a FIFA FIFA,, em em 2013”. Definição

quivaalência entr A equiv ntree du duas as pr proopos osiições, p e q, é um umaa nova pr proopos osiição qu quee é verd rdaadeir iraa qu quaand ndoo as du duas as pr proopos osiições têm têm o  o mes esm mo valor lógi lógico co e é f alsa se têm têm  valores  é e  equiv quivaalent ntee a lógicos lógi cos dif erent ntes es.. Esta pr proopos osiição repr prese esent nta-se a-se por “ p ⇔ q” e lê lê-se -se  p é q ou  p  p se e só só se q.

26  

UNIDADE 1 Proposições

O valor lógi lógico co da equiv equivaalên lênccia pode ser ser o  obtid btidoo a partir rtir  dos valores lógi lógicos cos das pr prooposições p e q d  daadas, com como se en enco contr ntraa res esumid umidoo na seguint seguintee tabela de verd rdaade: ou:

 p   q  p 

LTC10_1.11

26

Se j jaam p  p e q du  duas as proopos pr osiições tais qu quee p é verd rdaadeir iraa e p ⇔ q é  é  f alsa sa.. Indica Indi ca o valor lógi lógico co de cadda um ca umaa das seguint seguintes es

q

  V

F

 p

q

V

 

V

F

V

V

 

V

F

 

F

V

V

F

 

F

proopos pr osiições es..

F

V

 

F

b) p ∨ q

F

F

 

V

p q

a) q

c) p ∧ q d) p ⇒ q

Ass ssim im,, send sendoo V um umaa pr proopos osiição verd rdaadeir iraa e F um umaa pr proopos osiição f alsa, temos qu quee: (V ⇔ V) ⇔ V 

(F ⇔ F) ⇔ V 

(V ⇔ F) ⇔ F 

(F ⇔ V) ⇔ F

e) ~  ~( p ( p ∧ ~q) f) ~ p ⇒ q g) p ⇔ (~q)

Exemplos 1.  p: “p

= 3” 3”  

q “1 “1  qé:  núm núme primo  p: ⇔ “p =e3ro s  seeprim e sóo”. se 1 se  1  é núm númeero prim primoo”.

A afirm firmaç açãão ac acim imaa é um umaa pr proopos osiição verd rdaadeir ira, a, pois tant ntoo p co com mo q são pr proopos osiições f alsas sas.. 2.  p: “2 “2 –  – 2 = 0” 0” q: “p é  é  um um  núm númeero rac aciional”.  p ⇔ q∶ “2  “2 –  – 2 = 0 se e só só se p é  é  um um  núm númeero rac aciional”. A a  afirm firmaç açãão acim acimaa é um umaa pr proopos osiição f alsa, pois p é  é  um umaa pr proopos osiição verd rdaadeir iraa e q é umaa pr um proopos osiição f alsa sa.. 3.  p: “3 “3  é ímp ímpaar”. q: “F “Faaro é um umaa cid cidaade”.  p ⇔ q: “3 “3  é ímp ímpaar se e só só se Faro é um umaa cid cidaade”. A a  afirm firmaç açãão acim acimaa é um umaa pr proopos osiição verd rdaadeir ira, a, um umaa vez qu quee p e q são amb ambas as pr proopos osiições verd rdaadeir iras as.. Claro qu quee a afirm firmaç açãão “3 “3  é ímp ímpaar se e só só se Faro é um umaa cid cidaade” nã nãoo f az se  sentid ntidoo em em lin lin-guaagem co gu  corr rreent ntee. Mas a equiv equivaalên lênccia num num co  cont nteext xtoo matemáti mático co afirm afirmaa ap apenas um umaa relaç açãão entr entree os valores lógi lógicos cos das pr proopos osiições e, de f act acto, (V (V ⇔ V) ⇔ V.

APRENDE FAZENDO Págss. 64 e 69 Pág Exeercí cios 9, 30 e 31 Ex

Propriedades da equivalência e suas relações com outras operações Soluções

lógicas

26. Proopos osiição f alsa sa.. a) Pr b) Pr Proopos osiição verd rdaadeir iraa.

Princcípi Prin ípio o da dupl duplaa impli implicaç caçãão Se j jaam p Se  p e q du  duas as pr proopos osiições qu quee assum assumeem qu quaalqu lqueer valor lógi lógico co.. Tem-se qu quee:

( p ⇔ q) ⇔ (( p  p  p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

c) Pr Proopos osiição f alsa sa.. Proopos osiição f alsa sa.. d) Pr Proopos osiição f alsa sa.. e) Pr Proopos osiição verd rdaadeir iraa. f) Pr g) Pr Proopos osiição verd rdaadeir iraa.

27  

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

27

28

Consid Con ideera as pr proopos osiições  p e q. Pr Proova, utiliz utilizaand ndoo as proopri pr prieedades das operaç açõões lógi lógicas, cas, qu quee:  (p ⇔ q)  p ⇔ (( p  p ∧ q) ∨ (∼ p ∧ ∼q))

Reco ecorr rreend ndoo a tabelas de verd rdaade, pr proova qu quee quaaisqu qu queer qu quee se j jaam as proopos pr osiições p e q se tem: ∼ p  (p ⇔ q) ⇔ (( p  p ∧ ∼q) ∨ (q ∧ ∼ p)) (negaç açãão da equiv equivaalên lênccia) a)..

Demonstr traç açãão

A  demonstr traç açãão des estta pr proopri prieedade pode se serr  f eititaa reco ecorr rreend ndoo a tabelas de verd rdaade.  Com Co meça eçam mos por co  connsid ideerar todas as poss ossibilid ibilidaades de sequên sequênccias de valores lógi lógicos cos qu quee  p e q p  poodem ass  assumir umir e,  e, para cad cada um umaa das poss ossibilid ibilidaades, determin rmina-se a-se o valor lógi lógico co de  p ⇔ q e de  p  (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p):  p q

p⇒q

q ⇒  p

( p ⇒ q) ∧ (q ⇒  p)

 

V

V

V

V

F

 

F

F

V

F

F

V

 

F

V

F

F

F

F

 

V

V

V

V

 p

q

V

V

V

Repara qu quee as colun colunas as qu quee diz dizeem res esppeititoo a p ⇔ q e  p  (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) sã são igu iguaais, fifica cand ndoo assim ass im  pr proovado o qu quee se pr preetendi ndiaa. Exercícios resolvidos 1. Co Connsid ideera

as pr proopos osiições p e q. Pr Proova, utiliz utilizaand ndoo as pr proopri prieedades das op operaç açõões

lógicas, lógi cas, qu quee: (∼ p  (p ⇔ q)) ⇔ (( p  p ∧ ∼q) ∨ (q ∧ ∼ p)) (n (negaç açãão da equiv equivaalên lênccia) Sugestão de resolução

Demonstr treemos est esta pr proopri prieedade reco ecorr rreend ndoo a pr proopri prieedades das op operaç açõões ló ló-gicas gi cas já  já  verifi rifica caddas pr preevi viaament ntee: ∼ p  (p ⇔ q) ⇔ ∼(( p  p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) (prin princcípi ípioo da dupl duplaa impli implicaç caçãão) ⇔ ∼ p  (p ⇒ q) ∨ ∼ (q ⇒ p) (lei de De Morg rgaan) ⇔  p  (p ∧ ∼q) ∨ (q ∧ ∼ p) (negaç açãão da impli implicaç caçãão) 29

Consid Con ideera as pr proopos osiições  p e q. S  Simplifi implifica ca a proopos pr osiição:  (p ⇔ q) ⇒ p  p

2. Se j  jaam p  p e q du  duas as pr proopos osiições sobr sobree as qu quaais se sab sabe qu quee p e p ⇔ q são verd rdaadeir iras as..

Indica o valor lógi Indica lógico co de cad cada um umaa das seguint seguintes es pr proopos osiições es.. a) ~ p ∧ q b) (~ p ∧ q) ⇒ p Sugestão de resolução

APRENDE FAZENDO Pág. 70 70 Exeercí cio 4 Ex  40 0

Solução 29. p ∨ q

Sabemos qu Sab quee para a pr proopos osiição p ⇔ q se serr  verd rdaadeir iraa os valores lógi lógicos cos das proopos pr osiições  p e q  têm  têm   de ser se r  igu iguaais. Co  Com mo é  ref erid ridoo qu quee a pr proopos osiição  p  é verd rdaadeir ira, a, entã entãoo a pr proopos osiição q t teem de ser ser igu iguaalm lmeent ntee verd rdaadeir iraa. Ass ssim: im: a) ~ p ∧ q é  é  um umaa pr proopos osiição f alsa, um umaa vez qu quee um umaa das pr proopos osiições qu quee con constitueem a conjun titu conjunçção é f alsa sa.. b) (~ p ∧ q) ⇒ p é rdaadeir iraa, vi  é  um umaa pr proopos osiição verd vissto ser ser a impli implicaç caçãão entr entree du duas as proopos pr osiições cuj c ujaa pr proopos osiição ant a ntece eceddent ntee (~ (~ p ∧ q) é  um umaa pr proopos osiição f alsa

(pela alín alínea ea ant anteeri rioor).

28  

UNIDADE 1 Proposições

Prioridades das operações lógicas

LTC10_1.9

Em qu Em  quaalqu lqueer se  sequên quênccia de op operaç açõões lógi lógicas, cas, dá dá-se -se sempr sempree a pri prioorid ridaade às op operaç açõões entr ntree parênt rênteses eses;;  depois, res esppeititaam-se as seguint seguintes es pri prioorid ridaades es::  negaç açãão; co  conjun njunçção e diss jun di  junçção; impli implicaç caçãão e equiv equivaalên lênccia. Esquematizando / Resumindo

Numa expr Numa e xpress essãão com co m  vári várias as op o peraç açõões lógi lógicas, cas, à se  sem melh lhaança do qu quee f azes nas operaç açõões numéri numéricas, cas, deves ef  ef etu tuaar, por es  estta ord ordeem: • a negaç açãão; • a conjun conjunçção e a di diss jun  junçção; • a impli implicaç caçãão e a equiv equivaalên lênccia. Exercício resolvido

30

Connsid Co ideera as pr proopos osiições p e q. S  Simplifi implifica ca a seguint seguintee pr proopos osiição:  p ⇒ p ∧ (q ∧ ∼ p) Sugestão de resolução

 p ⇒ p ∧ (q ∧ ∼ p) ⇔ p ⇒  p ( p ∧ ∼ p) ∧ q

(pr proopri prieedades comut comutaativ tivaa e associ associativ tivaa da co conjun njunçção)  p ∧ ∼ p) ⇔ F) (prin princcípi ípioo de nã nãoo contr contraadi diçção: ( p (F é o el element ntoo ab abso sorv rveent ntee da conjun conjunçção) (relaç açãão da impli implicaç caçãão com com a di diss jun  junçção e a negaç açãão) (F é o el element ntoo neutr utroo da di diss jun  junçção)

⇔ p ⇒ F ∧ q ⇔ p ⇒ F ⇔ ∼ p ∨ F ⇔ ∼ p

APRENDE FAZENDO Pág. 63 Exeercí cio  5 Ex

Erro típico

CADERNO DE EXERCÍCIOS E TESTES Págss. 4, 5 e 6 Pág Exeercí cios 3, 6, 7, 8, 9, Ex 10, 11 e 12

Obse serv rvaa um um e  err rroo comum comum  na reso esolu luçção do ex exercí cio ant anteeri rioor:  p ⇒ p ∧ (q ∧ ∼ p) ⇔ (∼ p ∨ p) ∧ (q ∧ ∼ p)  



De acord acordoo com com as conv co nveenções ad adotadas relativ tivaament ntee à pri prioorid ridaade das op operaç açõões lógi lógicas, cas, reesc eescrreve as seguint seguintes es proopos pr osiições elimin eliminaand ndoo os parênt rênteses eses des esnnecess ecessári ários os.. a) a ⇒ (b ∨ c) b) (a ⇒ b) ∨ c c) (a ⇔ b) ⇒ (∼c) d) (a ∨ (b ∧ ∼c)) ⇔ a e) ((∼a) ⇒ b) ∧ c



Erro Err o! ⇔ V ∧ q ∧ ∼ p

Testes interativos – Proposições I. – Proposições II.

⇔ q ∧ ∼ p

Soluções

O err erroo con consistiu tiu   no des esrres esppeititoo pelas pri prioorid ridaades das op operaç açõões lógi lógicas cas..  Repara

30.

que f oi e que  ef f etu tuaada um umaa impli implicaç caçãão ant a ntes es da conjun co njunçção.  Esta seri se riaa um umaa reso esolu luçção  (p ⇒ p) ∧ (q ∧ ∼ p) e nã corr co rreeta se o enun enuncciado f osse osse  p nãoo p ⇒ p ∧ (q ∧ ∼ p), qu quee se  (p ∧ q ∧ ∼ p). conv co nveencionou se  serr o mes esm mo qu quee p ⇒  p

a) a ⇒ b ∨ c b) (a ⇒ b) ∨ c c) (a ⇔ b) ⇒ ∼c d) a ∨ (b ∧ ∼c) ⇔ a e) (∼a ⇒ b) ∧ c

29  

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

UNIDADE 2

Condições e conjuntos

Resolução  Todos os exercícios  Todos exercícios de “Condi “Condições ções e conjuntos”.

Na unid unidaade ant a nteeri rioor  tr traabalhám lhámos os com com  term rmos os e pr proopos osiições es.. Co  Com mo sa sabbes, os term rmos os são expr e xpress essõões qu quee des esign ignaam o  obj bjeetos ( p, 2 + 3  ¥ 5, 5,… …) e as pr proopos osiições sã são expr e xpress essõões quee tr qu traaduz duzeem a  afirm firmaç açõões acer acerca das qu quaais tem se  sentid ntidoo afirm afirmaar se são verd rdaadeir iras as ou ou f alsas (p = 3, 2 + 3 ¥ 5 = 17 17,, …). Porém rém,, qu queer e  em m lingu linguaagem co  corr rreent nte, e, qu queer e  em m co  cont nteext xtoo matemáti mático, co, utiliz utilizaamos também outr utros os tip tipos os de expr express essõões es..

2.1. Expressões proposicionais ou condições. Expressões designatórias Nota O domíni mínioo de um umaa variáv riáveel é o conjunt conjuntoo de obj objeetos a quee essa variáv qu riáveel se ref ere; caso nã nãoo se j jaa ref erid rido, o, deverá rá es  esttar implí cititoo no cont co nteext xtoo em em qu quee se in inse serre.

31

Indica Indi ca as con constant ntes es e as variáv riáveeis pr prese esent ntes es nas seguint se guintes es fórmul fórmulas as qu quee repr prese esent ntaam ár áreas eas de sup upeerfí cies es.. a) Área de um umaa sup supeerfí cie esféri es férica ca::  A = 4pr 2 (r – raio) b) Área lateral de um conne:  co  A = prg  (r – raio da base ase;;   g – geratriz triz))

Soluções 31. Connstant ntes es:: 4 e p a) Co Variáv riáveeis:  A A e r  Connstant ntes es:: p b) Co Variáv riáveeis: A  A, r e g 

Afirmaçõões do tip Afirmaç tipoo “um “um  núm númeero é negativ tivoo” o  ouu “ x – 2( x  x – 3) = 5” 5” nã nãoo sã são verd rdaadeir iras as nem f alsas, pois nã nãoo sab sabemos a qu quee nos est estamos a ref erir. rir.  Nas afirm afirmaç açõões ant anteeri rioores, as palavr vras as “um “um  núm númeero” e a letr traa x nã  nãoo sã são des esign ignaç açõões, mas sim sim  variáv riáveeis. Definição

Chama-se variáv riáveel a um um s  símb ímboolo qu quee pode tomar o valor de qu quaalqu lqueer e  ellement ntoo de um co um  conjunt njunto, o, nã nãoo vazi zio, o, denomin minaado o domíni mínioo ou ou univ univeerso dessa variáv riáveel.l. Ge  Gerralment ntee um umaa variáv riáveel repr prese esent nta-se a-se por um umaa letr tra, a, letr traa à qu quaal se pode acr acresce escent ntaar o  ouutros tr os símb símboolos com como, por e  exxempl mplo, o, índi índice, ce, pli plicas cas e ast asteri riscos scos.. Chama-se co con nstant ntee  à  àss des esign ignaç açõões ou  term rmos, os, isto é, às expr xpress essõões qu quee têm têm   um único úni co valor (o des esign ignaado) o).. Por e  exxempl mplo, o, na fórmul fórmulaa V = 4 pr 3, qu quee permit rmitee cal calcul ulaar o volum lumee (V ) de um umaa esf  esf era 3 em fun funçção do raio (r ),), as letr tras as V e r são variáv riáveeis qu quee têm têm  por domíni mínioo o conjunt conjuntoo dos nú nú-meros rea eaiis pos ositiv itivos os e os símb símboolos 4 , p e 3 s  sãão con constant ntes es.. No ent entaant nto, o, as mes esm mas letr tras as 3 podem  repr prese esent ntaar co  connstant ntes, es, num num co  cont nteext xtoo em e m  qu quee o volum lumee e o raio se j se jaam  já  já determinaados ou min ou pré pré--fix fixaados os.. Retomand ndoo as afirm afirmaç açõões “um “um  núm númeero é negatitivvo” o  ouu “ x – 2( x  x – 3) = 5” 5”, repara qu quee a primeeir prim ira, a, qu quaand ndoo sub ubsstituím tituímos os “um “um   núm númeero”  por  um um o  obj bjeeto no univ univeerso dos núm númeeros rea eaiis, se tr traansf orm rmaa num numaa pr proopos osiição verd rdaadeir iraa ou ou num numaa pr proopos osiição f alsa (“ (“–2 é negativo” o tivo  ouu “5 é negativ tivoo”). O mes esm mo acont acontece ece na segund segundaa qu quaand ndoo sub subsstituím tituímos os  x p  poor um obj bjeeto no univ univeerso dos núm númeeros rea eaiis: se sub subsstituirm tituirmos os x p  poor 1 o  obt bteemos um umaa pr proopos osiição verd rdaadeir iraa (1 (1 – 2 ¥ (1 – 3) = 5), e se sub subsstituirm tituirmos os  x p  poor qu quaalqu lqueer núm númeero rea eall dif erent ntee de 1 o  obt bteemos um umaa pr proopos osiição f alsa sa..

30  

UNIDADE 2 Condições e conjuntos

Definição

LTC10_2.1

Express Expr essãão pr pro opos osiicional ou co condi ndiçção é  é  um umaa expr xpress essãão co com m variáv riáveeis qu quee se tr traansf orm rmaa

numa pr numa proopos osiição qu quaand ndoo se sub subsstitu titueem essas variáv riáveeis por o  obj bjeetos do domíni mínioo con considerado. À sub ubsstitui tituiçção de um umaa variáv riáveel por um um o  obj bjeeto também mbém se  se chama co conncretiz tizaç açãão da variáv riáveel.

Esquematizando / Resumindo

Express Expr essãão pr proopos osiicional ou co  condi ndiçção  p( x )

 x 

=a

sub ubsstituind tituindoo  x  por um um o  obj bjeeto a

Proopos Pr osiição  p(a) 32

Exemplos 1.   x2

– 3 x + 2 = 0

Esta expr express essãão tr traansf orm rma-se a-se num numaa pr proopos osiição verd rdaadeir iraa ou ou f alsa qu quaand ndoo sub subsstituím tituímos os  x p  poor um um  núm númeero rea eal.l. Por e  exxempl mplo, o, se sub subsstituirm tituirmos os x p  poor 1, temos os:: 2 1 – 3 ¥ 1  1 +  + 2 = 0, qu quee é um umaa pr proopos osiição verd rdaadeir iraa. Se sub subsstituirm tituirmos os x p  poor 0, temos os:: 02 – 3 ¥ 0 + 2 = 0, qu quee é um umaa pr proopos osiição f alsa sa..

Das expr express essõões seguint seguintes, es, sellec se eciiona as qu quee sã são expr xpress essõões pr proopos osiicionais, do domíni mínioo R. a) –2 x + 1 > 9 b) 3 x + y = z  c) “  “O O

ssimétri imétrico co de x.” d) “  “O O simétri simétrico co de x é  é   y  y.” e) p + 2 f) x ∈]–∞, 2]

+ y + xy > 0 Esta expr express essãão também mbém se  se tr traansf orm rmaa num numaa pr proopos osiição qu quaand ndoo sub subsstituím tituímos os x e y p  poor númeeros rea núm eaiis. Note-se qu quee um umaa expr express essãão pr proopos osiicional pode ter um umaa ou ou mais vari ri  á veis e cad cada variáv riáveel pode ap aparece ecerr mais do qu quee um umaa vez.

2.   x

3.   “b é  é  múltipl múltiploo

de a.”

Repara qu quee os cin cinco co operadores lógi lógicos cos estud estudaados atrá tráss (negaç açãão, conjun conjunçção, di diss junçção, impli  jun implicaç caçãão e equiv quivaalên lênccia) permitir rmitiraam  f orm rmaar  novas pr proopos osiições a partir rtir   de proopos pr osiições mais simpl imples, es, e da mes esm ma maneir iraa permit rmiteem  cri riaar  novas expr xpress essõões proopos pr osiicionais partind rtindoo de expr express essõões pr proopos osiicionais mais simpl simples es.. 4.   x   ≥ 5 ∧ x 5.   “Se

 x 2  x):  x  x + 1 é um d) p( x númeero pos núm ositiv itivoo. e) p( x  x):  x  x – 2 = x + 3 34

Sugestão de resolução

para  x = –1 –1 o  obt bteemos 2 ¥ (– (–11)2 = –8 ¥ (– (–11) – 6, pelo qu  quee p(– (–11) é um umaa pr proopos osiição verd rdaadeir ira, a, e para x = 0 obt bteemos 2 ¥ 02 = –8 ¥ 0 – 6, logo  p(0) (0) é  é  um umaa pr proopos osiição f alsa sa.. b) Por e  exxempl mplo, o, para  x = 1 e  y = 1 o  obt bteemos 1 – 1 < 2 ¥  1  1,, isto é, 0 < 2, pelo quee  p(1, 1) é  um qu umaa pr proopos osiição verd rdaadeir ira, a, e para  x = 1 e  y = –2 o  obt bteemos 1 – (–2 (–2) < 2 ¥ 1  1,, isto é, 3 < 2, pelo qu quee p(1, –2 –2) é um umaa pr proopos osiição f alsa sa.. h    h2 h    h c) Por e  exxempl mplo, o, para x = 1 obt bteemos i 1  i < 1 , isto é, 1 < 1 , logo p i 1   i é um umaa 3 j 3   j 3 9 3 j 3  j proopos pr osiição verd rdaadeir ira, a, e para x = 2 o  obt bteemos 22 < 2, isto é, 4 < 2, pelo qu quee  p(2) é um umaa pr proopos osiição f alsa sa.. d) Por e  exxempl mplo, o, para  x = 1 o  obt bteemos 12 > –1 –1, pelo qu quee p(1) é um umaa pr proopos osiição verd rdaadeir iraa. Com Co mo o qu quaadr draado de todos os núm númeeros rea eaiis é s  sup upeeri rioor a –1 –1, nã nãoo é poss ossív íveel enco contr ntraar um umaa con concretiz tizaç açãão da variáv riáveel  x  x p  poor um um  núm númeero rea eall qu quee dê dê o  ori ri-gem a um umaa pr proopos osiição f alsa sa.. e) Por e  exxempl mplo, o, para x = 0 obt obteemos 0 + 1 = 1, pelo qu quee p(0) é um umaa pr proopos osiição f alsa sa.. Com Co mo nenhum nhum  núm númeero rea eall é igu iguaal a si si própri próprioo acr acresc escid idoo de um umaa unid unidaade, nãoo é poss nã ossív íveel e  ennco contr ntraar um umaa con concretiz tizaç açãão da variáv riáveel  x  x  qu  quee origin originee um umaa proopos pr osiição verd rdaadeir iraa. a) Por e  exxempl mplo, o,

Das expr express essõões seguint seguintes, es, indica indi ca as qu quee sã são proopos pr osiicionais e as qu quee são des esign ignaatóri tórias as.. a) 3 x = 10 b) “  “O O tripl triploo de x é  é s  sup upeeri rioor a 10.” c) “  “O O tripl triploo de x.” d) x + p 1 e) x < –5 ∨ x   ≥  4 f) x ∉{1 {1,, 3, 5,1 5,15}

Soluções 33.  exxempl mplo, o, p(3) é um umaa a) Por e proopos pr osiição verd rdaadeir iraa e p(4) é

uma pr uma proopos osiição f alsa sa.. b) Por e  exxempl mplo, o, p(– (–22) é um umaa proopos pr osiição verd rdaadeir iraa e p(0) é umaa pr um proopos osiição f alsa sa..  exxempl mplo, o, p(1, 2) é um umaa c) Por e proopos pr osiição verd rdaadeir iraa e  p(1, –3 –3) é um umaa pr proopos osiição f alsa sa.. lqueer co  conncretiz tizaç açãão de x d) Qualqu por um um  núm númeero rea eall tr traansf orm rmaa  p( x  x) num numaa pr proopos osiição verd rdaadeir iraa. e) Qualqu lqueer co  conncretiz tizaç açãão de x por um um  núm númeero rea eall tr traansf orm rmaa

 p( x  x) num numaa pr proopos osiição f alsa sa.. são expr express essõões 34. a), b), e) e f ) sã

propos pro osiicionais. c) e d) são expr xpress essõões des esign ignaatóri tórias as..

Outr utroo tip tipoo de expr e xpress essõões muit muitoo utiliz utilizaadas qu quee env e nvoolv lveem  variáv riáveeis sã s ão as expr express essõões des esign ignaatóri tórias as.. Definição

Express Expr essãão des esign ignaatóri tóriaa é  é  um umaa expr express essãão com com variáv riáveeis qu quee se tr traansf orm rmaa num num  term rmoo

quaand qu ndoo se sub subsstitu titueem essas variáv riáveeis por o  obj bjeetos os.. Exemplos 1.   x2 – 3 x + 2. 2.  Por e  exxempl mplo, o, se sub subsstituirm tituirmos os x p  poor 1, temos 12 – 3 ¥ 1  1 +  + 2 , qu quee é um um  term rmoo. 2.   x

+ y + xy. Para x = 1 e y = 2 temos 1 + 2 + 1 ¥ 2.

3.  m.m.  m.m.cc. (a, b). Para a

= 12 12 e  e b = 8 temos m.m. m.m.cc. ( (12 12,8) ,8).. 

32  

UNIDADE 2 Condições e conjuntos

2.2. Classificação de uma condição num dado universo

LTC10_2.3 LTC10_2.5

Connsid Co ideeremos, em em R, a condi condiçção x2 – 2 = 0. 0. Como sab Com sabes, a variáv riáveel  x  x pr  prese esent ntee na condi condiçção acim acimaa pode ser ser co  conncretiz tizaada por qu quaalqueer núm qu númeero rea eal.l. Se sub subsstituirm tituirmos os x p  poor  2 (co  (conncretiz tizaç açãão da variáv riáveel) obt obteemos ( 2)2 – 2 = 0, qu quee é um umaa propos pro osiição verd rdaadeir iraa. Diz-se, Diz -se, nes estte caso, qu quee 2 verifi rifica ca a condi condiçção ou ou qu quee 2 é so  solu luçção da condi condiçção. Se sub subsstituirm tituirmos os x p  poor 2 o  obt bteemos 22 – 2 = 0, qu quee é um umaa pr proopos osiição f alsa sa.. Logo, 2 nã nãoo verifi rifica ca a condi condiçção e, com como tal, nã nãoo é so  solu luçção da condi condiçção.

Condições possíveis Em  R, a condi Em condiçção x2 – 2 = 0 é poss ossív íveel, por a  admitir dmitir  núm númeeros rea eaiis ( 2 e – 2) co com mo so solu luçções es.. Definição

Umaa expr Um e xpress essãão pr pro opos osiicional  ou co condi ndiçção diz diz-se -se   poss ossív íveel, num num   determin rminaado uni uni--

verso, se exi exisste pelo menos um umaa con concretiz tizaç açãão das variáv riáveeis qu quee a tr traansf orm rmaa num numaa proopos pr osiição verd rdaadeir iraa. 

Connsid Co ideeremos, em em R, a condi condiçção x2 ≥ 0  0.. Esta condi condiçção tr traansf orm rma-se a-se num numaa pr proopos osiição verd rdaadeir ira, a, qu quaalqu lqueer qu quee se j jaa o núm númeero rea eall pelo qu quaal se sub subsstitui titui a  a variáv riáveel  x  x. Express Expr essõões pr proopos osiicionais des estte tip tipoo diz dizeem-se univ univeersa saiis.

Recorda N

= {1 {1,, 2, 3, …} …}  é o conjuntoo dos núm conjunt númeeros natur turaais. Z = {… {…,, –2 –2, –1 –1, 0, 1, 2, …} é o conjunt conjuntoo dos núm númeeros inteeir int iros os.. – Z0 = {0, –1 –1, –2 –2, …} …}  é o conjunt co njuntoo dos núm númeeros inteeir int iros os nã nãoo pos ositiv itivos os.. – Z = {–1, –2 –2, –3 –3, …} …}  é o conjunt co njuntoo dos núm númeeros inteeir int iros os negativ tivos os.. + Z 0 = {0, 1, 2, …} …}  é o conjunt co njuntoo dos núm númeeros inteeir int iros os nã nãoo negativ tivos os.. + Z = N = {1 {1,, 2, 3, …} …}  é o conjunt co njuntoo dos núm númeeros inteeir int iros os pos ositiv itivos os.. ∪ Q=Z {númeeros {núm frac fr aciionári nários os}} é o conjunt conjuntoo dos núm númeeros rac aciionais. R = Q ∪ {núm {númeeros irrac irr aciionais} é o conjunt conjuntoo dos núm númeeros rea eaiis. 1 1

N  

2

  –1

Z 0

 2 Q   1

R π

3 e

√∫2

Definição

Umaa expr Um e xpress essãão pr pro opos osiicional  univ univeersa sall ou  co condi ndiçção univ univeersa sall, num num   determin rminaado

universo, é um unive umaa expr express essãão qu quee se tr traansf orm rmaa num numaa pr proopos osiição verd rdaadeir iraa para qu quaalqueer co qu  conncretiz tizaç açãão das su suas variáv riáveeis nesse uni univverso so..

Exemplos

As seguint seguintes es condi condiçções sã são univ univeersa saiis em em R: 1. (a

– b)(a + b) = a2 – b2

2.   x2

> –1 –1

3.   x

+ 1 > x

4.   x

= x

35  Ju  Jusstifi tifica ca

que: que a) em N, 10 x > 1 é um umaa condi co ndiçção univ univeersa sal;l; 2 b) em Z, x ≠ 13 13  é um umaa condi co ndiçção univ univeersa sal;l; – 2 c) em R , x = 13 13  é um umaa condi co ndiçção poss ossív íveel, mas nãoo univ nã univeersa sal.l.

33  

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

Condições impossíveis

LTC10_2.5

Vimos que, em R, a condição x2 – 2 = 0 é possível. Consideremos, agora, a mesma condição  x2 – 2 = 0, mas num universo diferente, em imposs ossív íveel, pois qualquer que seja o número natural N. Neste universo, a condição é imp pelo qual se substitui a variável x transforma a condição numa proposição falsa.

36  Justifica que:

a) em N, x

2

+2 =0é uma condição impossível; b) em R, x2 + 2 < 0 é uma condição impossível; c) em [4, +∞[, ( x  x – 3)( x  x + 1) = 0 é uma condição impossível.  x

Repara que: • para x = 1, 12 – 2 = 0 é uma proposição falsa; • para x   ≥ 2, x2 – 2 ≥ 2, pelo que x2 – 2 = 0 é também uma proposição falsa. Assim, não existem números naturais que verifiquem esta condição. Definição

Umaa expr Um express essãão pr pro opos osiicional imp imposs ossív íveel ou co condi ndiçção imp imposs ossív íveel, num determinado

universo, é uma expressão que se transforma numa proposição falsa para qualquer concretização das suas variáveis nesse universo. 37

Indica um universo onde a condição 2 x < 10 seja: a) possível, mas não

universal; b) universal; c) impossível.

Exemplos

As seguintes condições são impossíveis em R: 1.   x2

= –3

2.   x

+ 1 a ∧ x < b ⇔ a a ∧ x  ≤  b ⇔ a 2” e “ x   ≤ 5” é a condição “ x > 2 ∧ x   ≤ 5”.

39. Por exemplo: a) Se  x = 6 a expressão

proposicional transforma-se numa proposição verdadeira, e se x = 4 transforma-se numa proposição falsa.

 ≤

Esta condição também pode ser escrita como “2 2)

Recorda (V ∨ V) ⇔ V (V ∨ F) ⇔ V (F ∨ V) ⇔ V (F ∨ F) ⇔ F

Notas De um modo geral, dados dois números reais x e a, escreve-se, de uma forma mais simplificada simplificada:: 1. x > a ∨ x = a ⇔ x  ≥  a  x < a ∨ x = a ⇔ x  ≤  a 2. ~( x  x > a) ⇔ x   ≤ a  x < a) ⇔ x  ≥  a ~( x ~( x  x  ≥  a) ⇔ x < a  x  ≤  a) ⇔ x > a ~( x

Como, para uma conjunção de condições se verificar para um determinado objeto, é necessário que esse objeto verifique simultaneamente ambas as condições que a compõem, podemos facilmente obter a propriedade que se segue. Pro Pr opri prieedade

A conjunção de qualquer condição com uma condição impossível é uma condição impossível. Exemplo

“ x   ≠  x  x ∧ x < 0” é uma condição impossível em R, pois qualquer que seja o número real substituído na variável x transforma a condição “ x   ≠  x  x ∧ x < 0” numa proposição falsa. Qualquer que seja a concretização da variável x na condição “ x   ≠  x  x ∧ x < 0”, obteremos sempre a conjunção de uma proposição propo sição falsa com uma outra proposição, que será sempre semp re uma proposição falsa.

Disjunção de condições Considera, em N, as condições:  p(n): “n é divisível por 2.” e q(n): “n é divisível por 5.” Se ligarmos, agora, as duas condições p(n) e q(n) através do operador lógico “∨” obtemos uma nova condição:  p(n)  q(n): “n  é  é  divi divissív íveel por 2 o  ou u n é  é  divi divissív íveel por 5.” Façamos Façam os algumas concretizações da variável n nas condições p(n), q(n) e p(n) ∨ q(n) e, de seguida, estudemos os respetivos valores lógicos das proposições obtidas:

Soluções 40. Por exemplo: a) Se x = 2 a expressão

proposicional transforma-se numa proposição verdadeira, e se x = 5 transforma-se numa proposição falsa.  x,  y) = (0, 0) a expressão b) Se ( x proposicional transforma-se numa proposição verdadeira, e se ( x  x,  y) = (1, 0) transforma-se numa proposição falsa. c) Se x = 2 a expressão

proposicional transforma-se numa proposição verdadeira, e se x = 5, transforma-se numa proposição falsa.

n

p(n)

1

F

F

 

F

2

V

F

 

V

5

F

V

 

V

10

V

V

 

V

…

…

…

 

q(n)

p(n)

 

q(n)

…

Tendo em conta o que foi visto para a disjunção de proposições, conclui-se que: A disjunção de condições é verificada por todo o objeto n que verifique pelo menos uma das condições dadas, e apenas por esses objetos. Exemplos 1.

Em R, a disjunção das condições “ x = 3” e “ x = –3” é a condição “ x = 3 ∨ x = –3”.

2.

Em R, a disjunção das condições “ x > 2” e “ x = 2” é a condição “ x > 2 ∨ x = 2”. Esta condição também se pode escrever na forma “ x   ≥ 2”.

36  

UNIDADE 2 Condições e conjuntos

Como, para uma disjunção de condições se verificar para um determinado objeto, basta que esse objeto verifique uma das condições cond ições que a compõem, podemos facilmente obter as propriedades que se seguem.

LTC10_2.3 LTC10_2.5

41

Pro Pr opri prieedade

A disjunção de qualquer condição com uma condição possível é uma condição possível. Exemplo

“ x2 – 2 = 0 ∨ x > 1” é uma condição possível em R, pois existe pelo menos um número real que substituído substituído na variável  x transforma a condição “ x2 – 2 = 0 ∨  x > 1” numa proposição verdadeira: • para x = 2, ( 2)2 – 2 = 0 ∨  2 > 1 é uma proposição verdadeira; • para x = – 2, (– 2)2 – 2 = 0 ∨ – 2 > 1 é uma proposição verdadeira. Repara que todas as soluções da condição “ x2 – 2 = 0” são soluções da condição “ x2 – 2 = 0 ∨ x > 1”.

Considera as condições, no domínio dos números – reais, x = x, x  ≠   x  x,  x ∈Z ,  x ∈Q,  x ∈∅ e  x ∉∅. a) Indica as que são universais, as que são possíveis mas não universais e as que são impossíveis. b) Para cada uma das condições seguintes, no domínio dos números reais, indica se é universal, possível mas não universal ou impossível. i. x = x ∧ x ∈∅ ii. x ∉∅ ∨ x ∈Q –  x ∧ x ∈Z iii.  x  ≠   x

Pro Pr opri prieedade

iv. x ∈Q ∨ x ∈∅

A disjunção de qualquer condição com uma condição universal é uma condição universal.

v. x  ≠   x  x ∨ x ∉∅

Recorda (V ∨ V) ⇔ V (V ∨ F) ⇔ V

Exemplo

“ x2 ≥ 0 ∨ x < 0” é uma condição universal em R, pois qualquer que seja o número real substituído substi tuído na variável x transforma a condição “ x2 ≥ 0 ∨ x < 0” numa proposição verdadeira. Qualquer que seja a concretização da variável x na condição “ x2 ≥ 0 ∨ x < 0”, obteremos sempre a disjunção de uma proposição verdadeira com uma outra proposição, que será sempre uma proposição verdadeira.

Considera, em R, as condições: “ x2 = –1”, “ x2 > –1” e “ x2 > 2” a) Indica para cada condição se é

universal, possível ou impossível em R.

b) Para cada uma das condições seguintes,

indica se é universal, possível ou impos-

sível em R. = –1 ∧ x2 > 2

iii. x2

= –1 ∧ x2 > –1

Soluções 41. a) x = x é uma condição

Exercício resolvido

i. x2

APRENDE FAZENDO Pág. 64 Exeercí cio  12 Ex

ii. x2 iv. x2

universal. x  ≠   x  x é uma condição impossível. x ∈Z– é uma condição possível, mas não universal. x ∈Q é uma condição possível, mas não universal.  x ∈∅ é uma condição impossível. x ∉∅ é uma condição universal. b) i. Condição

= –1 ∨ x2 > 2  –1

≥

Adaptado de Caderno de Apoio às Metas Curriculares, 10.º ano (continua)

impossível.

ii. Condição universal. iii. Condição impossível. iv. Condição possível, mas

universal.

não

v. Condição

universal. 37

 

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

Exercício resolvido (continuação) 42

Para cada uma das condições seguintes, indica se é universal, possível ou impossível em R. a) x2 = 0 ∨ – x < 0 b) x2 + 1 = 0 ∧ x2 = 0 c) x2 + 1 = 0 ∧ 2 ( x  x – 1)( x  x + 1) =  x – 1 d) x2 + 1 = 0 ∨ – x < 0 e) x2 + 1 = 0 ∨ 2 ( x  x – 1)( x  x + 1) = x – 1

Sugestão de resolução a) •

“ x2 = –1” é uma condição impossível em R, pois transforma-se numa proposição falsa para qualquer concretização da variável x por um número real.

• “ x2 > –1” é uma condição universal em R, pois transforma-se numa proposição verdadeira para qualquer concretização da variável x por um número real. • “ x2 > 2” é uma condição possível, mas não universal em R, pois existe pelo menos um valor real que concretizado na variável  x transforma a condição numa proposição verdadeira (por exemplo 3) e pelo menos um valor real que concretizado na variável x transforma a condição numa proposição falsa (por exemplo 1). b) i. “ x2

= –1 ∧ x2 > 2” é uma condição impossível por se tratar da conjunção de uma condição com uma condição impossível. = –1 ∨ x2 > 2” é uma condição possível por se tratar da disjunção de uma condição com uma condição possível. No entanto, não é universal, pois existe pelo menos um valor real que concretizado na variável x transforma a condição numa proposição falsa (por exemplo 1).

ii. “ x2

iii.

“ x2 = –1 ∧ x2 > –1” é uma condição impossível por se tratar da conjunção de uma condição com uma condição impossível.

iv. “ x2

≥

 –1” também pode ser escrita como uma disjunção:

“ x2 = –1 ∨ x2 > –1” É uma condição universal por se tratar da disjunção de uma condição com uma condição universal.

Negação Considera em N, a condição p(n): “n é divisível por 2.” Se colocarmos o sinal ~ antes da condição p(n), obtemos uma nova condição: ~ p(n): “n nã  não o é divi divissív íveel por 2. 2.””

que é satisfeita pelos objetos que não satisfazem a primeira condição e apenas por estes.

Soluções

Exemplos

42. a) Condição b) Condição c) Condição d) Condição

possível. impossível. impossível. possível.

1.

Nos números naturais superiores a 1, a negação da condição, “ n é primo” é a condição “~(n é primo)”, que é equivalente a “n é composto”.

e) Condição

universal.

2.

Em R, a negação da condição

 x

> 2 é a condição ~( x  x > 2) , que é equivalente a  x ≤ 2 .

38  

UNIDADE 2 Condições e conjuntos

Como a negação de uma condição se verifica para um determinado objeto quando e só quando este não verifica a própria condição, podemos facilmente obter as propriedades que se seguem.

LTC10_2.6

Pr Pro opri prieedade

A negação de uma condição universal u niversal é uma condição impossível. Seja p( x  x) uma condição universal. A concretização da variável x por um qualquer objeto do seu domínio transforma a condição numa proposição verdadeira, pelo que não existe nenhum objeto do domínio considerado que satisfaça a condição ~ p( x  x). Podemos então concluir que ~ p( x  x) é uma condição impossível. Pro Pr opri prieedade

A negação de uma condição impossível é uma condição universal. Seja p( x  x) uma condição impossível. A concretização da variável x por um qualquer ob jeto do seu domínio domínio transforma transforma a condição condição numa proposição falsa. Desta forma, qualquer  p x

objeto do domínio considerado satisfaz a condição ~ ( ). Podemos então concluir que ~ p( x  x) é uma condição universal.

Equivalência de condições

Recorda (V ⇔ V) ⇔ V (F ⇔ F) ⇔ V (V ⇔ F) ⇔ F (F ⇔ V) ⇔ F 43

Averigua se as seguintes condições são universais em N. a) x2 = 4 ⇔ x = 2 b) 2 x   ≤ 6 ⇔ x ∈{1, 2, 3}

44

Averigua se as seguintes condições são universais em R.

Considera, em N, as condições:  p(n): “n é divisível por 3.” e q(n): “n é divisível por 2.” Façamos algumas concretizações da variável n nas condições p(n), q(n) e p(n)  q(n) e, de seguida, estudemos os respetivos valores lógicos das proposições obtidas: n

p(n)

 

q(n)

p(n)

 

q(n)

4 ⇔ x = 2 = 4 ⇔ x = 2 ∨ x = –2 c) 2 x   ≤ 6 ⇔ x ∈{1, 2, 3} d) 2 x   ≤ 6 ⇔ x ∈]–∞, 3] a) x2 =

1

F

F

 

V

3

V

F

 

F

8

F

V

 

F

12

V

V

 

V

20

F

V

 

F

…

…

…

…

Tendo em conta o que foi visto para a equivalência de proposições, conclui-se que: quivaalência de condi condiçções é verificada por todo o objeto n que transforma as conA equiv dições dadas em proposições com o mesmo valor lógico e apenas por esses objetos.

b) x2

APRENDE FAZENDO Pág. 66 Exeercí cio  2 Ex  20 0

Soluções 43. a) Sim b) Sim 44. a) Não b) Sim c) Não

d) Sim

39  

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

Exemplos 1.

Em R, considera as condições “2 x + 1 = 5” e “20 x = 40”. Para x = 2 obtém-se as proposições 2 ¥ 2 + 1 = 5 e 20 ¥ 2 = 40, que são ambas verdadeiras. Para qualquer concretização da variável  x por um valor diferente de 2, nas duas condições, obtém-se duas proposições falsas. Por este motivo, dizemos que a nova condição “2 x + 1 = 5 ⇔ 20 x = 40” é satisfeita por todo o número real, isto é, é uma R

condição universal em . 2. Em R, considera as condições “ x2 = 9” e “ x = 3”. Para x = 3 obtém-se as proposições 3 2 = 9 e 3 = 3, que são ambas verdadeiras, e para  x = –3 obtém-se as proposições (–3) 2 = 9 e –3 = 3, sendo a primeira verdadeira e a segunda falsa. Por este motivo, dizemos que a nova condição “ x2 = 9 ⇔ x = 3” não é satissatisfeita por todo o número real, isto é, não é uma condição universal em R. Recorda (V ⇒ V) ⇔ V (F ⇒ V) ⇔ V (F ⇒ F) ⇔ V (V ⇒ F) ⇔ F

45

Implicação de condições Considera, em N, as condições:  p(n): “n é divisível por 3.” e q(n): “n é divisível por 2.” Façamos algumas concretizações da variável n nas condições p(n), q(n) e  p(n) ⇒ q(n) e, de seguida, estudemos os respetivos valores lógicos das proposições obtidas:

Averigua se as seguintes condições são universai universaiss em R. a) x < 2  x < 4 b) x < 4  x < 2 c) x = 1  x2 = 1 d) x2 =

1  x = 1

n

p(n)

1

F

F

 

V

3

V

F

 

F

8

F

V

 

V

12

V

V

 

V

20

F

V

 

V

…

…

…

 

q(n)

p(n) ⇒ q(n)

 

…

Tendo em conta o que foi visto para a implicação de proposições, propo sições, conclui-se que: implicaç caçãão de condi condiçções só não é verificada por todo o objeto n que transforma A impli a primeira condição numa proposição verdadeira e a segunda numa proposição falsa. Exemplo

Soluções

Em R, considera as condições “ x = 2” e “ x2 = 4”. Para x = 2 obtém-se as proposições 2 = 2 e 22 = 4, que são ambas verdadeiras, e para x = –2 obtém-se as proposições –2 = 2 e (–2)2 = 4, sendo a primeira falsa e a segunda verdadeira.

45. a) Sim b) Não c) Sim

Para qualquer concretização da variável  x por um valor diferente de 2 e de –2, nas duas condições, obtém-se duas proposições falsas. Por este motivo, dizemos que a nova condição “ x = 2 ⇒ x2 = 4” é satisfeita por todo o número real, isto é, é uma condição universal em R.

Por outro lado, a condição p( x  x): x2 = 4 ⇒ x = 2 é possível mas não é universal em R.

d) Não

40  

UNIDADE 2 Condições e conjuntos

Exercício resolvido

46

Completa com ⇒, ⇔ e ⇐ as seguintes condições (substituindo as reticências por um destes símbolos), de modo a que sejam universais em R. a) x

> 2 … x2 > 4

b) ( x  x

– 1)( x  x – 2) = 0 …  x = 1

c) x

= 3 … x4 = 81

d) x

> 3 … x3 > 27

e) | x  x

+ 3| < 2 …  x + 3 < 2 Adaptado de Caderno de Apoio às Metas Curriculares, 10.º ano

Completa com ⇒,  e ⇐ as seguintes condições (substituindo as reticências por um destes símbolos), de modo que sejam universais em R. a) x = 3 … x2 = 9 b) x2 = 9 … x = 3 c) x2 = 9 … x = 3 ∨ x = –3 d) x > 3 … x2 > 9 e) x = 3 … x3 = 27

Recorda  p( x  x) ⇐ q( x  x) é o mesmo que q( x  x) ⇒ p( x  x).

Sugestão de resolução

2 ⇒  x2 > 4” é uma condição universal u niversal em R, pois toda a concretização da variável x que satisfaz a primeira condição “ x > 2” verifica igualmente a segunda x2 > 4.

a) “ x >

b) “( x  x

– 1)( x  x – 2) = 0 ⇐  x = 1” é uma condição universal em R, pois toda a concretização da variável  x que satisfaz a condição “ x = 1” verifica igualmente a condição “( x  x – 1)( x  x – 2) = 0”.

3 ⇒  x4 = 81” é uma condição universal em R, pois toda a concretização da variável x que satisfaz a primeira condição “ x = 3” verifica igualmente a segunda “ x4 = 81”.

c) “ x =

> 3 ⇔  x3 > 27” é uma condição universal em R, pois para toda a concretização da variável x as condições “ x > 3” e “ x3 > 27” assumem o mesmo valor lógico.

47

Mostra que as seguintes condições não são universais em R, indicando um número reall que substituído na variáve variável  x transforme a condição numa proposição falsa. a) x2 = 1 ⇔ x = 1 b) x4 = 16 ⇔ x = 2 c) x2 > 9 ⇔ x > 3  x – 1| = 2 ⇔ x – 1 = 2 d) | x

d) “ x

e) “| x  x + 3| < 2 ⇒

 x

+ 3 < 2” é uma condição universal em R, pois toda a con x

 x

cretização da variável que satisfaz a condição “| + 3| < 2” verifica igualmente a condição x + 3 < 2.

APRENDE FAZENDO Pág. 72 Exeercí cio  45 Ex CADERNO DE EXERCÍCIOS E TESTES Pág. 6 Pág.  6 Exeercí cio 13 Ex

Soluções

Erro típico

Um erro muito comum na resolução da alínea a) do exercício anterior é escrever  x > 2 ⇔  x2 > 4  





Erro Err o!

Repara que “ x > 2 ⇔ x2 > 4” não é uma condição universal em R. Se fizermos a concretização de  x por –3, obtemos a proposição –3 > 2 ⇔ (–3)2 > 4, que é uma proposição falsa, uma vez que (F ⇔ V) ⇔ F.

46. a)  b)  c)  d)  e)  47. a) –1∈R e (–1)2 = 1 ⇔ –1 = 1

é uma proposição falsa. b) –2∈R e (–2)4 = 16 ⇔ –2 = 2 é uma proposição falsa. c) –4∈R e (–4)2 > 9 ⇔ –4 > 3 é uma proposição falsa. d) –1∈R e |–1 – 1| = 2 ⇔ –1 – 1 = 2 é uma proposição

falsa. 41  

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

LTC10_2.2

2.4. Equivalência como dupla implicação. Condição necessária e condição suficiente

48

49

Dá a forma de implicação aos enunciados seguintes. a) Ser peixe é condição suficiente para ter guelras. b) Ser retângulo é condição necessária para ser quadrado. c) É condição necessária para que dois lados de um triângulo sejam iguais que os ângulos opostos sejam iguais.

Exprime sob a forma de um enunciado de condição necessária, ou suficiente, ou necessária e suficiente as seguintes proposições. a) x > 3 ⇒ x2 > 9 b) x( x  x – 1) = 0 ⇐ x = 1 c) x2 = y2 ⇔ x = y ∨ x = – y

Soluções 48. a) “ x é peixe ⇒ x tem guelras” b) “ x é quadrado ⇒ x é

retângulo” c) “(Dois lados de um triângulo são iguais) ⇒ (os ângulos opostos são iguais)” 49. a) “ x > 3” é condição suficiente

para “ x2 > 9”. b) “ x( x – 1)” é condição necessária para “ x = 1”. c) “ x2 = y2” é condição necessária e suficiente para

Consideremos duas condições, p x ( x) e q( x  x), tais que p( x  x) ⇒ q x ( x) é uma condição universal. Diz-se que: • p( x  x) é co condi ndiçção sufi suficcient ntee para que se verifique q( x  x); e:  x) é co condi ndiçção necess ecessári áriaa para que se verifique p( x  x). • q( x Exemplos 1.

No universo dos seres vivos, a condição universal “Se x é cobra, então x é réptil” pode ser traduzida em: • “ser cobra” é condição suficiente para “ser réptil”; e: • “ser réptil” é condição necessária para “ser cobra”.

2.

Em R, a condição universal “ x = y ⇒ x2 = y2” pode ser traduzida em: • “ x = y” é condição suficiente para “ x2 = y2”; e: • “ x2 = y2” é condição necessária para “ x = y”. Se duas condições p( x  x) e q( x  x) são tais que  p( x  x) ⇒ q( x  x) e q( x  x) ⇒ p( x  x) são condições universais, então p( x  x) ⇔ q( x  x) também é uma condição universal.  p( x  p( x [( p  x) ⇒ q( x  x)) ∧ (q( x  x) ⇒ p( x  x))] ⇔ (( p  x) ⇔ q( x  x)) é uma condição universal Diz-se que p( x  x) é uma condição necessária e suficiente para que se verifique q( x  x).

3.

Em R, a condição universal “ x ¥  y = 0 ⇔ x = 0 ∨ y = 0” pode ser traduzida em: • “ x  ¥  y = 0” é condição necessária e suficiente para “ x = 0 ∨ y = 0”.

2.5. Quantificadores Expressões como “todos os meus colegas são mais altos do que eu”, “existem cães amarelos”, “nenhum peixe sabe voar” ou “não existem números reais negativos” são proposições, pois a qualquer uma delas se pode atribuir um valor lógico. No entanto, o facto de conterem quantificações (“todos”, “nenhum” ou “existem”) requer alguns cuidados cuid ados adicionais. Em seguida, apresentamos os conceitos de quantificador universal e de quantificador existencial que serão utilizados em problemas que envolvam este tipo de proposições.

Quantificador universal Definição

quaantifi ntifica cad dor  univ univeersa sall  é um instrumento lógico que, aplicado a uma variável  x O qu  x

∀ x ∈

 x

U, transforma  p( ) em U, p num uma condição numa ( ), a qualuniverso é verdadeira se a condição for universal e éUfalsa se proposição a condição não for universal. O quantificador universal representa-se pelo símbolo ∀.

“ x = y ∨ x = – y”. 42  

UNIDADE 2 Condições e conjuntos

Em linguagem corrente, o quantificador universal surge com frequência através da utilização de expressões como “qualquer que seja…”, “para todo… ” “todos…”, “cada…” ou “sempre…”.

LTC10_2.7 LTC10_2.9

50

Traduz em linguagem corrente as seguintes proposições e indica o seu valor lógico. a) ∀ x ∈N, x + 1 ≥ 2 b) ∀ x ∈R, x + 1 ≥ 2  x| ≥ 0 c) ∀ x ∈R, | x

51

Escreve as seguintes proposições na forma de uma implicação quantificada.

Notaç açõ ões

As notações usadas para o quantificador universal são: • ∀ x ∈U, p( x  x) • (∀ x ∈U), p( x  x) • ∀ x ∈U p( x  x) Exemplos 1.

Consideremos a afirmação: “O quadrado de qualquer número real é maior ou igual a zero”. Se pretendermos traduzir esta proposição para linguagem formal, uma vez que ela contém uma quantificação, é importante identificar três aspetos: quantificador, conjunto universo e condição. Neste exemplo, temos o quantificador universal, o universo dos números reais e a condição p( x  x): x2 ≥ 0. Esta proposição pode então ser s er traduzida simbolicamente por ∀ x ∈R, x2 ≥ 0.

N

2.

Consideremos agora, no conjunto dos números reais, a proposição ∀ x ∈R, x ∈N ⇒ x ≥ 1  1.. Esta proposição é verdadeira, uma vez que a condição con dição x ∈N ⇒ x   ≥ 1 se verifica para todos os números reais. Repara que, se  x ∉N, então o antecedente é falso, pelo que, independentemente do valor lógico do consequente, a implicação é verdadeira. Por outro lado, se  x ∈N, então o antecedente é verdadeiro, pelo que, a implicação só será verdadeira se o consequente for verdadeiro. Desta forma, a proposição ∀ x ∈R, x ∈N ⇒ x   ≥ 1 é equivalente à proposição ∀ x ∈N,  x   ≥ 1.

a) ∀ x ∈ , 2 x b) ∀ x ∈R, | x  x|

 ≥

  x + 1  

≥ x  x

4. ∀ x ∈N,  x   ≥ –1 (pode

ler-se: “qualquer que seja o número natural x, tem-se x   ≥ –1”) é uma proposição verdadeira, pois a condição  x   ≥ –1 é universal em N.

5.

∀ x

∈R+, 2 > (pode ler-se: “qualquer que seja o No conjunto dos números reais, número real positivo pos itivo x, 2 x > x”) é uma proposição verdadeira, pois  x ∈R+ ⇒ 2 x > x é uma condição universal. Repara que a proposição ∀ x ∈R+, 2 x >  x pode ser reescrita usando o quantificador universal e a implicação ∀ x ∈R, x > 0 ⇒ 2 x > x.  x

 x

6. ∀ x ∈R, x2 > 0 (pode ler-se: “qualquer que seja o número  x real, tem-se x2 > 0”) é uma proposição falsa, pois x2 > 0 não é uma condição universal em R.

Para constatar que esta condição não é universal em R, basta encontrar um número real que substituído na variável  x transforme a condição numa proposição falsa. A um número real nessas condições damos o nome de contraexemplo. Definição

contr ntrae aexxempl mplo o para a proposição ∀ x ∈U, p( x Designa-se por co  x), um elemento a ∈U tal que ~ p(a).

APRENDE FAZENDO Pág. 70 70 Exeercí cio 36 Ex

Soluções 50. a) “Qualquer que seja o número

natural x, tem-se x + 1 ≥ 2.” – proposição verdadeira b) “Para todo o número real  x, tem-se x + 1 ≥ 2.” – proposição falsa c) “O valor absoluto de um número x é superior ou igual a zero, qualquer que seja o número real x.” – proposição verdadeira 51. a) ∀ x, x ∈N ⇒ 2 x   ≥  x  x + 1

b) ∀ x, x ∈R ⇒ | x  x| ≥  x  x

43  

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

LTC10_2.19

52

Prova que a seguinte proposição é falsa: “qualquer número natural que seja múltiplo de 2 é múltiplo de 10”.

53

Prova, em R, que se  x > 8 então x2 + x > 9 x.

54

Mostra que as seguintes proposições são falsas, apresentando um contraexemplo. a) “O quadrado de qualquer número natural é um número par”. b) ∀ x ∈R, x > 0 ∨ x < 0 c) “Todos os divisores de 12 são divisores de 6”.

55

Exemplo

Considera a proposição: “Todos “Todos os números primos são ímpares”. Um contraexemplo para esta proposição é o número 2, pois 2 é um número primo e não é ímpar. No caso particular da proposição ∀ x ∈U, p( x  x) ⇒ q( x  x), um contraexemplo corresponde a um elemento de U que não verifique a implicação. A condição p( x  x) ⇒ q( x  x) não se ve x) mas não verifiquem q( x  x). Desta forma, rifica para as concretizações que verifiquem  p( x para provarmos que a proposição ∀ x ∈U, p( x  x) ⇒ q( x  x) basta encontrar uma concretização da variável que verifique p( x  x) e não verifique q( x  x). Exercícios resolvidos 1. Prova,

Sugestão de resolução

A condição desta proposição é uma implicação. Desta forma, qualquer concretização que não verifique o antecedente verifica automaticamente a condição. Assim, para provarmos que a proposição é verdadeira basta provar que se o antecedente é verificado, então o consequente também é verificado. Comecemos então por supor que  x > 5 (hipótese) e provemos que  x2 +  x > 6 x (tese). Como 5 > 0, então x > 0. Utilizando uma propriedade da multiplicação, vem que x  ¥  x > 5 ¥ x. Por uma propriedade da adição, vem que  x ¥  x + x > 5 × x + x. Logo, x2 + x > 6 x. Provamos assim que se  x > 5, então x2 + x > 6 x.

Traduz em linguagem corrente as seguintes proposições e indica o seu valor lógico. a) ∃ x ∈N: x2 – 9 = 0 b) ∃ x ∈R: x2 – 9 = 0 APRENDE FAZENDO Pág. 72 Exeercí cio 47 Ex

CADERNO E TESTES DE EXERCÍCIOS Pág. 9 Pág.  9 Exeercí cio 21 Ex

em R, que se x > 5 então x2 + x > 6 x.

2. Prova que é falsa a seguinte proposição: “qualquer número natural que

tiplo de 5 é múltiplo de 10”.

seja múl-

Caderno de Apoio às Metas Curriculares, 10.º ano

Soluções

Sugestão de resolução

54. a) 3 é um número natural e

o seu quadrado, 9, não é um número par. b) 0 ∈R e não é verdade que 0 > 0 ∨ 0 < 0. c) 4 é divisor de 12 e não é divisor de 6. 55. a) “Existe pelo menos um número natural x tal que  x2 – 9 = 0.” – proposição verdadeira b) “Existe pelo menos um número real x tal que x2 – 9 = 0.”

Para provar que a proposição é falsa, basta encontrar um número natural que seja múltiplo de 5 e que não seja múltiplo de 10. 5 é um número natural que é múltiplo de 5 e não é múltiplo de 10. Assim, provamos que a proposição é falsa. c.q.d

3.

Mostra que as seguintes afirmações são falsas, apresentando um u m contraexemplo. a) Todos os quadriláteros do plano têm diagonais perpendiculares. b) ∀ x ∈R, x2

>0

– proposição verdadeira 44  

UNIDADE 2 Condições e conjuntos

LTC10_2.4 LTC10_2.20

Sugestão de resolução a) Um

retângulo não quadrado é um quadrilátero e as suas diagonais não são perpendiculares.

b) 0 ∈R

e 0 não é maior do que 0.

Sabemos, das propriedades das proposições, que a proposição  p ⇒ q e a proposição ~q ⇒ ~ p são equivalentes. Desta forma, os elementos de um u m universo que verificam a concondição p( x  x) ⇒ q( x  x) são precisamente os elementos que verificam a condição ~q( x  x) ⇒ ~ p( x  x). Desta forma, provar que para todo x pertencente a U, p( x  x) ⇒ q( x  x) é o mesmo que provar que para todo x pertencente a U, ~q( x  x) ⇒ ~ p( x  x). À proposição ∀ x ∈U, ~q( x  x) ⇒ ~ p( x  x) chatraç açãão por co  con nmamos contrarrecíproco e a este método de prova chamamos demonstr traarr tr rrec ecípr íproco oco. 56

Exercício resolvido

Demonstra por contrarrecíproco que “se o quadrado de um dado número natural n é ímpar, então n é ímpar”.

Demonstra por contrarrecíproco que “para todo o número real x, se 2   x, então x  ≤  0 ou x  ≥  1”.  x ≥ x

Sugestão de resolução

Iremos demonstrar esta proposição pelo contrarrecíproco. Para provar que “∀ n ∈N, n2 é ímpar ⇒ n é ímpar”, vamos provar a implicação contrarrecíproca “∀ n ∈N, n é par ⇒ n2 é par”. Suponhamos que n é par. Então, existe k  ∈N tal que n = 2k , pelo que n2 = (2k )2 = 4k 2 = 2(2k 2). Assim, n2 = 2k , sendo k  = 2k 2 ∈N. Logo, n2 é par. Provamos assim que ∀ n ∈N, n é par ⇒ n2 é par e, por conseguinte, que ∀ n ∈N, n2 é ímpar ⇒ n é ímpar. c.q.d. ’

’

Quantificador existencial Consideremos a afirmação: “Existe um número real que é superior ao seu quadrado”. qu adrado”. A afirmação anterior pode ser traduzida simbolicamente por ∃ x ∈R: x > x2. Definição

quaantifi qu ntifica cad dor e  exi xisstencial um instrumento lógico que aplicado a uma variável  x O num universo U, transforma éuma condição p( x  x) em U numa proposição ∃ x ∈U: p( x  x), a qual é verdadeira se a condição for possível (universal ou não universal) e é falsa se

APRENDE FAZENDO Págss. 63, 69 e 72 Pág Exeercí cios 6, 8, 33 e 48 Ex CADERNO DE EXERCÍCIOS E TESTES Pág. 9 Pág.  9

a condição não for possível. O quantificador existencial representa se pelo símbolo ∃.

Exeercí cios 22 e 23 Ex 45

 

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

LTC10_2.8

Em linguagem corrente, o quantificador existencial surge com frequência através da utilização de expressões como “existe pelo menos um…”, “há pelo menos um…”. Notaç açõ ões

As notações usadas para o quantificador existencial são: • ∃ x ∈U: p( x  x) • (∃ x ∈U): p( x  x) • ∃ x ∈U p( x  x) Exemplos

57

58

Escreve as seguintes proposições na forma de uma conjunção quantificada. a) ∃ x ∈N: 2 x = x + 1 b) ∃ x ∈R: x5 = 12

Traduz em linguagem simbólica as seguintes proposições. a) “Existe pelo menos um número inteiro inferior a 10.” b) “Todo o número natural é positivo.” c) “Existe pelo menos um número real tal que o dobro é igual à sua metade.”

APRENDE FAZENDO Pág. 67 Exeercí cio 21 Ex CADERNO DE EXERCÍCIOS E TESTES Pág.  7 Pág. Exeercí cios 14 e 15 Ex

Soluções

1.

Consideremos a afirmação: “Algum número real é superior ao seu quadrado”. Se pretendermos traduzir esta proposição para linguagem formal, uma vez que ela contém uma quantificação, é importante identificar três aspetos: quantificador, conjunto universo e condição. Neste exemplo, temos o quantificador existencial, o universo dos números reais e a condição p( x  x): x > x2. Esta proposição pode então ser s er traduzida simbolicamente por ∃ x ∈R: x > x2.

2.

Consideremos agora, no conjunto dos números reais, a proposição ∃ x ∈R: x ∈N ∧ x > x2. Esta proposição é falsa, uma vez que a condição  x ∈N ∧  x >  x2 não se verifica para nenhum dos números reais. Repara que se  x ∉N então uma das proposições que dão origem à conjunção é falsa e, portanto, a conjunção é falsa. Por outro lado, se  x ∈N então a conjunção será verdadeira se a condição  x > x2 o for, o que nunca se verifica para números naturais. Desta forma, a proposição ∃ x ∈R: x ∈N ∧ x > x2 é equivalente à proposição ∃ x ∈N: x > x2.

Exemplos 1. ∃ x ∈R: x3

= –1 (pode ler-se: “existe pelo menos um número real x tal que x ao cubo é igual a –1”) é uma proposição verdadeira, pois x3 = –1 é uma condição possível em R.

2. ∃ x ∈Z+0: x2 – x = 0 (pode (pod e ler-se: l er-se: “existe pelo menos um número inteiro inteiro x não negativo tal que x2 – x = 0”) 0”) é uma proposição verdadeira, verdadeira, pois x2 – x = 0 é uma condição possível

em Z+0. 3. ∃ x ∈]1, 8[: x + 10 = 18

(pode ler-se: “existe pelo menos um x real compreendido entre 1 e 8 (exclusive) tal que  x + 10 = 18") é uma proposição prop osição falsa, pois x + 10 = 18 é uma condição impossível em ]1, 8[.

Esquematizando / Resumindo

A relação entre os quantificadores de uma condição e a classificação dessa mesma condição pode ser resumida neste diagrama: é uma proposição verdadeira.

 p( x  x) é uma condição universal.

∀ x ∈U, p( x  x)

é uma proposição falsa.

57. 57. a) ∃ x: x ∈N ∧ 2 x = x + 1

Existe um contraexemplo

 p( x  x) não é uma condição universal.

5

b) ∃ x: x ∈R ∧ x = 12 58. a) ∃ x ∈Z: x < 10 b) ∀ x ∈N, x > 0

é uma proposição verdadeira.

 x) é uma condição possível.  p( x

∃ x ∈U: p( x  x)

é uma proposição falsa.

 p( x  x) é uma condição impossível.

c) ∃ x ∈R: 2 x =

 x

2

46  

UNIDADE 2 Condições e conjuntos

Exercício resolvido

LTC10_2.6

Considera o conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e seja p( x  x) a condição “ x é um número irracional” e q( x  x) a condição “ x é divisor de 10”. a) Indica o valor lógico de cada uma das d as seguintes proposições.

• ∀ x ∈C , p( x  x)

Escreve a proposição “∀ x ∈{1, 2, 3}, 3 x é

• ∃ x ∈C : p( x) • ∀ x ∈C , q( x  x) • ∃ x ∈C : q( x  x)

ímpar” na forma de e conjunções sucessivas indica o seu valor lógico.

b) Quanto a cada uma das condições  p( x  x)

59

e q( x  x), indica se é possível, impossível ou

universal em C . Sugestão de resolução a) • ∀ x ∈C , p( x  x)

é uma proposição falsa, pois não é verdade que todo o elemento de C seja um número irracional, ou seja, p( x  x) não é uma condição universal em C . ∃

∈

 x C :um  p( xelemento • menos ) é uma proposição falsa, não éirracional, verdade que haja ppelo de C que seja umpois número ou seja, ( x  x) é uma condição impossível em C . • ∀ x ∈C , q x  (x) é uma proposição falsa, pois não é verdade que qu e todo o elemento de C seja um divisor de 10, ou seja, q x  (x) não é uma condição universal em C . • ∃ x ∈C : q( x  x) é uma proposição verdadeira, pois existe pelo menos um elemento de C que é divisor de 10 (o número 1, por exemplo), isto é, q( x  x) é uma condição possível em C .

60

Escreve a proposição “∃ x ∈{1, 2, 3}: 3 x é ímpar” na forma de disjunções sucessivas e indica o seu valor lógico.

b) Pela alínea anterior, anterior, concluímos

que p( x  x) é uma condição impossível em C  e q( x  x) é uma condição possível em C .

Observação sobre relações entre os quantificadores e as operações de conjunção e disjunção Num universo finito o quantificador universal u niversal equivale equivale a conjunções sucessivas de proposições. Vejamos Vejamos um exemplo: Consideremos o universo A = {2, 4, 6}. A proposição “ ∀ x ∈ A, x é par” equivale a afirmar que todo o elemento de A é par, isto é, “2 é par ∧ 4 é par ∧ 6 é par”, que são conjunções sucessivas.  Já o quantificador existencial, existencial, num universo universo finito, equivale equivale a disjunções sucessivas de proposições. Consideremos o mesmo universo A = {2, 4, 6}. A proposição “ ∃ x ∈ A: x é divisor de 16” equivale a afirmar que existe pelo menos um elemento de A que é divisor de 16, isto é,

Soluções

59. “3 é ímpar ∧ 6 é ímpar ∧ 9 é

ímpar.” – proposição falsa “3 é ímpar 6 é ímpar 9 é

3 é ímpar ∨ 6 é ímpar ∨ 9 é ímpar.” – proposição verdadeira 60.

“2 é divisor de 16 ∨ 4 é divisor de 16 ∨ 6 é divisor de 16”, que são disjunções sucessivas.

47  

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

LTC10_2.6

61

62

Utilizando as segundas leis de De Morgan, escreve proposições equivalentes à negação das seguintes proposições e indica o seu valor lógico. a) “∀ x ∈{1, 2, 3}, 3 x é ímpar.”  x b) ∃ x ∈R: x + 3 = 2 c) ∀ x ∈N, x + 1 > 0 Utilizando as segundas leis de De Morgan, escreve afirmações equivalentes à negação das seguintes proposições. a) “Todos os americanos gostam de comida de plástico.” b) “Existe pelo menos um italiano que não gosta de massa.” c) “Há números naturais cujo triplo é um número primo.” d) “Existe um número real que é inferior à sua raiz”. APRENDE FAZENDO Págss. 63, 64 Pág 64, 67 67, 69 e 72 Exeercí cios Ex os   7, 11 11,, 22 22,, 34, 35 e 46 CADERNO DE EXERCÍCIOS E TESTES Págss. 7 e 8 Pág Exeercí cios 16 e 20 Ex

Animação Resolução do exercício 63.

Soluções 61. a) “∃ x ∈{1, 2, 3}: 3 x não é

ímpar.” – proposição verdadeira  x b) “∀ x ∈R, x + 3 ≠  .” 2 – proposição falsa c) “∃ x ∈N: x + 1 ≤ 0.” – proposição falsa 62. a) “Existe pelo menos um americano que não gosta de comida de plástico.” b) “Todos os italianos gostam de massa”. c) “O triplo de qualquer número natural não é um número primo.”

2.6. Segundas leis de De Morgan Estudemos agora o que acontece quando os quantificadores são precedidos do símbolo de negação. Consideremos, em linguagem corrente, as seguintes proposições: “Todos “T odos os alunos desta turma gostam de Matemática.” “Existe pelo menos um aluno desta turma que é disléxico.” açãão destas proposições em linguagem corrente pode ser traduzida por: A negaç “Existe pelo menos um aluno desta turma que não gosta de Matemática.” “Qualquer que seja o aluno desta turma, ele não é disléxico.”

Consideremos as proposições acima num contexto matemático, sendo A o universo dos alunos da turma: ∀ x ∈ A, x gosta de Matemática.” “∃ x ∈ A: x é disléxico.” “  

A negaç açãão destas proposições em linguagem simbólica é: ∃ x ∈ A: x não gosta de Matemática.” ”∀ x ∈ A, x não é disléxico.” “  

Em linguagem simbólica podemos escrever: ∀ x ∈ A  x ⇔ ∃ x ∈ A: x não gosta de Matemática.” “~( de Matemática) ⇔ ∀ x ∈ A, x não é disléxico.” “~(∃ x ∈ A:, x égosta disléxico)

Estas duas propriedades são designadas por segundas leis de De Morgan. Segund Se gundas as leis de De Morg rgaan Seja p( x  x) uma proposição num dado universo U. Tem-se Tem-se que:

• ∼(∀ x ∈U, p( x  x)) ⇔ ∃ x ∈U: ∼ p( x  x)

• ~(∃ x ∈U: p( x  x)) ⇔ ∀ x ∈U, ~ p( x  x)

Exercício resolvido

Utilizando as segundas leis de De Morgan escreve afirmações equivalentes equivalentes à negação das seguintes proposições. a) “T “Todos odos os homens são mortais.” b) “Existe pelo menos uma rapariga que não é vaidosa.” Sugestão de resolução a) Dado que a negação

transforma o quantificador universal em quantificador existencial, seguido da negação da expressão proposicional em causa, tem-se que a negação da afirmação é equivalente equivalente a: “Existe pelo menos um homem que é imortal”. b) Uma vez que que a negação transforma o quantificador existencial em quantificador universal, seguido da negação da expressão proposicional em causa, tem-se que a negação da afirmação é equivalente equ ivalente a: “Todas “Todas as raparigas são vaidosas”.

d) “Todos os números reais são

superiores ou iguais à sua raiz.” 48  

UNIDADE 2 Condições e conjuntos

Erro típico

63

Considera o conjunto U = {6, 7, 8, 10} e seja a( x  x) a condição “ x é um número composto” e b( x  x) a condição “ x admite resto 3 na divisão por 6”. a) Indica o valor lógico de cada uma das seguintes proposições. ∀ x ∈U, a( x) ∀ x ∈U, b( x  x) ∃ x ∈U: a( x  x) ∃ x ∈U: b( x  x) b) Escreve proposições equivalentes à negação das proposições da alínea anterior, começando com um quantificador e traduzindo-as também em proposições equivalentes na linguagem corrente. c) Considera cada uma das condições a( x  x), b( x  x), ~a( x  x) e ~b( x  x). Indica se é possível, impossível ou universal em U.

64

Considera a proposição “∀ x ∈{π, 2, 3}, x é natural”. a) Escreve-a na forma de conjunções sucessiv sucessivas. as. b) Aplicando as primeiras leis de De Morgan, nega a proposição obtida na alínea anterior e escreve a proposição assim obtida na forma quantificada.

Um erro comum na resolução da alínea a) do exercício anterior é considerar que: A negação de “Todos os homens são mortais” é “Todos os homens são imortais”.  





Erro Err o!

O erro consistiu em não se ter trocado o quantificador quantificador.. Repara que a resposta correta é: “Existe pelo menos um homem que é imortal”.

Exercício resolvido

Escreve proposições equivalentes à negação das seguintes proposições, utilizando as segundas leis de De Morgan. a) ∃ x ∈Q: x2

=3

b) ∀ x ∈N, x   ≥ 1

Sugestão de resolução a) ~(∃ x

∈Q: x2

= 3) ⇔ ∀ x ∈Q, ~( x  x2 = 3) ⇔ ∀ x ∈Q, x2 ≠ 3

b) ~(∀ x ∈N,  x   ≥ 1)

⇔ ∃ x ∈N:

~( x  x   ≥ 1) ⇔ ∃ x ∈N: x < 1

Obse serv rvaç açãão

Num universo finito, as segundas leis de De Morgan podem ser interpretadas como generalizações das primeiras leis de De Morgan. Repara que uma proposição definida por um quantificador universal (existencial) pode ser escrita como uma conjunção (disjunção) sucessiva de proposições e, assim, a sua negação será uma disjunção (conjunção) sucessiva de proposições. Finalmente, a disjunção (conjunção) sucessiva de proposições facilmente se poderá escrever utilizando um quantificador existencial (universal). Exemplo

!

Considera a proposição “∃  x ∈{1, 2, 3}:  x é primo” Considera primo” e a respetiva negação. negação. ~(∃  x ∈{1, 2, 3}:  x é primo) ⇔ ~(1 é primo primo ∨ 2 é primo ∨ 3 é primo) primo)

Primeiras leis de

gund Segun das leis de

Soluções 63. a) Prop.

falsa; prop. falsa; prop. verdadeira; prop. falsa. b) ∃ x ∈U: ~a( x  x) – “Existe pelo menos um elemento de U que não é um número composto”.  x) – “Existe pelo ∃ x ∈U: ~b( x menos um elemento de U que não admite resto 3 na divisão por 6”. ∀ x ∈U: ~a( x  x) – “Todo o elemento de U é um número não composto”. ∀ x ∈U, ~b( x  x) – “Todo o elemento de U admite resto diferente de 3 na divisão por 6”. c) a( x  x) é possível em U; b( x  x) é impossível em U; a( x) é possível em U; ~b( x) é ~ universal em U. 64. a) “p é natural ∧  2 é natural ∧ 3 é natural” b) “p não é

⇔

1 não é primo primo ∧ 2 não é primo ∧ 3 não é primo

⇔ ∀  x ∈{1,

2, 3}, 3},  x não é primo

De Morgan

De Morgan

natural ∨  2 não é natural ∨ 3 não é natural” “∃ x ∈{p, 2, 3}: x não é natural.” 49

 

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

LTC10_2.11

Contextualização histórica

2.7. Conjuntos definidos por condições Como sabes, em Matemática a palavra conjunto é usada para p ara designar uma coleção de objetos vista em si própria como um objeto matemático. Os objetos que constituem a coleção chamam-se element ntos os do co conjunt njunto o e diz-se que pertencem ao conjunto. Diz-se também que o conjunto contém os seus elementos. Exemplos

São exemplos de conjuntos as coleções de: Geo eorg rg Ca  Cant nto or (  (1 1845 45--1918)

Georg Cantor era oriundo de uma família de músicos, mas preferiu os estudos matemáticos. Estudou nas universidade universidadess de Zurique e de Berlim e foi professor catedrático na universidade de Halle. O seu trabalho com conjuntos infinitos conduziu ao desenvolvimento da teoria de conjuntos como uma teoria fundamental da Matemática. Apesar de nos seus últimos anos sofrer de uma doença mental, foi o principal organizador do primeiro Congresso Internacional de Matemática, que se realizou em Zurique no ano de 1897. 65

Seja A = {0, 2, { }, {1}}. Indica, justificando, o valor lógico das afirmações seguintes. a) 0 ∈ A b) 1 ∈ A c) 2 ∉ A d) { } ∉ A e) {1} ∉ A

Soluções 65. a) Verdadeira, pois 0 é um elemento de A. b) Falsa, pois 1 não é um elemento de A. c) Falsa, pois 2 é um elemento de A. d) Falsa, pois { } é um

1.

disciplinas de 10.º ano do curso de ciências e tecnologias.

2.

alunos da d a turma 10.º A de uma determinada escola. e scola.

3.

todos os números inteiros.

Os conjuntos representam-se, geralmente, por letras maiúsculas, A, B, C , ..., X , Y , Z e os seus elementos por letras minúsculas, a, b, c, …, x, y, z . Definição

Sejam A um conjunto e x um objeto. Se x é um dos objetos de A, dizemos que x  pe  p ert rteence a  A e escrevemos x ∈ A. Se x não é um dos objetos de A, dizemos que x  não  não pert rteence a A e escrevemos x ∉ A. Exemplos

Seja A o conjunto das disciplinas de 10.º ano do curso de ciências e tecnologias. Então, “Matemática ∈ A” e “História ∉ A”. 1 ∉Z”. 2. Sendo Z o conjunto dos números inteiros, “0 ∈Z” e “– 2 Um conjunto fica bem definido pelos elementos que lhe pertencem. Podemos então 1.

definir a igualdade de conjuntos. Definição

Dois conjuntos A e B dizem-se igu iguaais, e escreve-se A = B, se e somente se: ∀ x , x ∈ A   x ∈B

Desta definição resulta que: • dois conjuntos são iguais quando e apenas quando têm os mesmos elementos; • se existir um elemento elemento num dos conjuntos que não é elemento do outro A e B são diferentes. Definição

conjunt njunto o vazi zio o. Ao único conjunto que não tem qualquer elemento chamamos co

elemento de A. e) Falsa, pois {1} é um elemento de A.

Representa-se por { } ou por ∅.

50  

UNIDADE 2 Condições e conjuntos

Conjuntos definidos em extensão

LTC10_2.10 LTC10_2.12

Seja A o conjunto dos divisores inteiros não negativos de 12. Se enumerarmos explicitamente os elementos que o constituem, ou seja, se escrevermos  A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, diz-se que estamos a definir o conjunto A em extensão. Definição

Sejam a1, …, ak  (k ∈N) objetos. conjunto o  A cujos elementos são exatamente a1, …, ak . {a1, …, ak } representa o conjunt finiçção em em e  ext xteensão do conjunt conjunto o  A d  dee el element ntos os  a1, …, ak  a igualDesigna-se por defini dade A = {a1, …, ak }. Notas 1. No conjunto {a1, …, ak } não importa a ordem pela qual os seus elementos estão in-

dicados, nem o número de vezes que um dado elemento aparece, isto é, por exemplo, {a, b, c} = {c, a, b} = {a, a, c, b}. 2. Em rigor, um conjunto com um número infinito de elementos não pode ser definido

66

Define em extensão os seguintes conjuntos. a) Conjunto dos números primos inferiores a 50. b) Conjunto dos divisores inteiros não negativos de 18.

em extensão. Nestas situações é comum o uso de uma notação que permita perceber os elementos não expressos. Exemplos 1.

O conjunto dos quadrados perfeitos inferiores a 100 pode ser definido em extensão da seguinte forma: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}

2.

O conjunto dos números inteiros relativos pode ser definido em extensão do seguinte modo: Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}

Conjuntos definidos em compreensão Considera, no universo U dos números naturais inferiores a 8, a condição con dição “ x é ímpar”. Verificam Verifi cam esta condição os números 1, 3, 5 e 7. O conjunto A de todos os números naturais inferiores a 8 que verificam a condição pode pod e ser definido em extensão por A = {1, 3, 5, 7}.

Recorda Seja a ∈R: [a, +∞[ = { x  x ∈R:  x  ≥  a} ]a, +∞[ = { x  x ∈R:  x > a}  x ∈R:  x  ≤  a} ]–∞, a] = { x ]–∞, a[ = { x  x ∈R:  x < a}

Uma outr Uma o utraa f orm rmaa de o definir finir  é por meio da ref erid ridaa condi condiçção, qu quee é verifi rifica cad da por todos os el element ntos os do co conjunt njunto o e só  por esses, e representa-se simbolicamente por  A = { x  x ∈U: x é ímpar}. Definição  x) uma condição. Seja p( x  x: p( x  x)} representa um um co  conjunt njunto o  A tal que ∀ x, x ∈ A ⇔ p( x  x). Designa-se por defini finiçção { x

Soluções 66. a) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,

29, 31, 37, 41, 43, 47} b) {1, 2, 3, 6, 9, 18}

em co  compr mpree een nsão do conjunt conjunto o  A  p  peela condi condiçção  p ( x  ) a igualdade A = { x  x   x: p( x  x)}.

51  

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

LTC10_2.13

 A = { x  x: p( x  x)} lê-se “ A é o conjunto dos elementos  x tais que  p( x  x) ”. Está implícito nesta

notação que a variável x varia num universo que se admite que contém todos os objetos que satisfazem a condição p( x  x). Definição

conSeja p( x) uma condição e U um conjunto. O conjunto { x: x ∈U ∧ p( x)} diz-se o con  junto  junt o definid finido o por  p ( x   x  ) em U  ou co conjunt njunto-so o-solu luçção de  p( x   x  ) em U  e representa-se por { x  x ∈U: p( x  x)}.

67

68

69

Define em extensão os seguintes conjuntos. a) {2n – 1: n ∈N} b) {5n: n ∈N} c) {n2: n ∈N ∧ 5 ≤ n   ≤ 10}

Exemplos

Define em extensão os conjuntos definidos em N por cada uma das seguintes condições. a) 2 x2 + x – 1 = 0 b) x2 + x + 1 = 0 c) 2 x – 4 < 6 d) |1 – 2 x| < 4

Averigua se as seguintes condições são equivalentes em R.

1.

O conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} pode ser definido em compreensão por: { x  x ∈N: x < 10}

2.

O conjunto dos números primos inferiores a 20 pode ser definido em compreensão por: { x  x ∈N: x é primo ∧ x < 20}

3.

No universo dos números naturais, o conjunto dos naturais n que são quadrados dos números pares inferiores a 5 pode ser definido em compreensão pela condição: “n = x2, para algum x ∈N tal que x é par ∧ x < 5” Pode-se representar este conjunto da seguinte forma, que é mais sugestiva: { x  x2 ∈N: x é par ∧ x < 5}

Assim, num determinado universo, toda a condição admite um conjunto que lhe corresponde – o conjunto dos valores do universo que a transformam numa proposição verdadeira – designado por co conjunt njunto o de verd rdaade, co conjunt njunto-so o-solu luçção ou co conjunt njunto o dos valores qu quee veri ri-fica fi cam m a co condi ndiçção.

a)  ÍÍ x – Í

1  Í Í= 3 e 2  Í 2 2  x – x – 2 = 0 b) x2 – 10 = 0 e  x – 10  =0

Condi Co ndiçção

fi

Conjunt Co njunto o

APRENDE FAZENDO Págss. 67 e 70 Pág Exeercí cios Ex os 2  23 3, 24 24,, 37 e 38

Soluções 67. 67. a) {1, 3, 5, 7, 9, …} b) {5, 10, 15, 20, 25, …} c) {25, 36, 49, 64, 81, 100} 68. a) { } b) { } c) {1, 2, 3, 4} d) {1, 2}

Pro Pr opri prieedades

Duas condições equivalentes definem o mesmo conjunto. Duas condições não equivalentes definem conjuntos distintos.

Condi Co ndiçções

Conjunt Co njuntos os

equiv quivaalent ntes es

69. a) Sim b) Não

fi

iguaais igu

52  

UNIDADE 2 Condições e conjuntos

Exemplos

70

1.

Em R, as condições “ x2 – 1 = 0” e “( x  x – 1)( x  x + 1) = 0” são equival equivalentes, entes, pois todas as soluções da primeira são solução da segunda e vice-versa, isto é, têm o mesmo conjunto-solução. { x  x ∈R: x2 – 1 = 0} = { x  x ∈R: ( x  x – 1)( x  x + 1) = 0}

2.

Em R, as condições “ x2 = 4” e “| x  x| = 2” são equivalentes, pois todas as soluções da primeira são solução da segunda e vice-versa, isto é, têm o mesmo conjunto-solução. { x  x ∈R: x2 = 4} = { x  x ∈R: | x  x| = 2}

3.

De entre os conjuntos que se seguem, indica aqueles que são iguais. 2 a) { x  x ∈R:  x + 3 = 4 x}, {1, 3} e {n ∈N: n é ímpar ∧ n < 5} b) {1, 2, 3, 4}, {2, 1, 3, 4}, {4, {1, 2, 2, 3, 2, 1, 3} 2, 3} e

Em R, as condições “ x = 2” e “| x  x| = 2” não são equivalentes, pois existe uma solução da segunda que não é solução da primeira, ou seja, não têm o mesmo conjunto-solução. { x  x ∈R: x = 2} ≠ { x  x ∈R: | x  x| = 2} Exercício resolvido

De entre os conjuntos que se seguem, indica aqueles que são iguais. a) { x  x ∈R:  x2 b) {1,

+ 6 = 5 x}, {2, 3} e { n ∈N: 3 < n2 < 10}

2, 3}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1, 2, 3} e {1, 2, 2}

Sugestão de resolução a) O conjunto definido por { x  x ∈R: x2 + 6 = 5 x} é o conjunto dos números reais que são solução da equação  x2 + 6 = 5 x.  x2

+ 6 = 5 x ⇔ x2 – 5 x + 6 = 0 ⇔ x =

5 ± 25  – 4 ¥ 1 ¥ 6 2

⇔ x =

3 ∨  x = 2 Ou seja, { x  x ∈R: x2 + 6 = 5 x} = {2, 3}. O conjunto definido por {n ∈N: 3 < n2 < 10} é o conjunto dos números naturais cujo quadrado é superior a 3 e inferior a 10. Os números 2 e 3 são os únicos naturais que obedecem a esta propriedade, logo {n ∈N: 3 < n2 < 10} = {2, 3}.  x ∈R: x2 + 6 = 5 x} = {2, 3} = { n ∈N: 3 < n2 < 10}. Assim, { x b) {1, 2, 3} = {2, 1, 3} = {2, 3,

1, 2, 3}, uma vez que não importa a ordem pela qual os elementos estão indicados, nem o número de vezes que um dado elemento aparece. Como 3 ∉{1, 2, 2}, concluímos que este é um conjunto distinto de todos os outros.

Soluções 70. 2  x ∈R: x + 3 = 4 x} = {1, 3} = a) { x = {n ∈N: n é ímpar ∧ n < 5}

b) {1, 2, 3, 4} = {2, 1, 3, 4} =

= {4, 2, 3, 1, 2, 3} 53  

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

Em particular: 1. O

conjunto conjunt o vazi zio o pode ser ser definid finido o em em co  compr mpree een nsão por um umaa condi condiçção imp imposs ossív íveel.

Por exemplo, ∅ = { x  x ∈R:  x2 < 0} = { x  x: x   ≠  x  x}. Condi Co ndiçção imposs imp ossív íveel

2.

Conjunt Co njunto o

fi

vazi zio o

O univ univeerso pode ser ser definid finido o em em co  compr mpree een nsão por um umaa condi condiçção univ univeersa sal. l.

Por exemplo, no universo R, R = { x  x ∈R: x2 ≥ 0}. Qualquer que seja o universo, à condição “ x = x” corresponde o universo. 71

Seja U = {–5, – 5, –1, 0, 1,  5, 5, 25}. Define em extensão os seguintes conjuntos. –  x ∈U:  x ∈Z } a) A = { x b) B =

{ x ∈U: | x| < 3} 2 c) C = { x  x ∈U:  x ∈U} 2 d) D = { x  x :  x ∈U}

Condiçção Condi univeersa univ sall

Define em compreensão cada um dos seguintes conjuntos. a) {3, 6, 9, 12, 15, …} b) {–5, 5} c) {1, 2, 5, 10} d) {

}

e) R

 

Universo Unive

Exercícios resolvidos

= {–3, – 3, –1, 0, 1, 3, 3, 9}. Define em extensão extensão os seguintes conjuntos.

1. Seja U a) A

72

fi

– = { x  x ∈U: x ∈Z }

b) B =

 x ∈U: | x  x| < 3} { x

c) C =

{ x  x ∈U: x2 ∈U}

d) D

= { x  x2: x ∈U}

Sugestão de resolução – = { x  x ∈U: x ∈Z } é o conjunto dos elementos de U que são inteiros negativos, isto é, podemos defini-lo em extensão por  A = {–3, –1}.

a) A

Soluções 71. a) {–5, –1} {–  5, –1, 0, 1, 5} b) {– c) {0, 1, 5, 25} d) {25, 5, 1, 0, 625} 72. Por exemplo: a) {3n: n ∈N} ou {n ∈N: n é

múltiplo de 3}  x ∈R: | x  x| = 5} = b) { x = { x  x ∈R:  x = 5 ∨  x = –5} c) {n ∈N: n é divisor de 10}

 x ∈U: | x  x| < 3} é o conjunto dos elementos de U cujo valor absoluto é = { x inferior a 3. Assim, pode ser representado em extensão por B = {– 3, –1, 0, 1, 3}.

b) B

{ x  x ∈U: x2 ∈U} é o conjunto dos elementos de U cujo quadrado também é elemento de U. Podemos defini-lo em extensão por C = {–3, – 3, –1, 0, 1,  3, 3}.

c) C =

= { x  x2:  x ∈U} é o conjunto constituído pelos quadrados dos elementos de U, isto é, D = {9, 3, 1, 0, 81}.

d) D

 x ∈R: | x  x| < 0} d) { x  x ∈R: | x  x| ≥ 0} e) { x

54  

UNIDADE 2 Condições e conjuntos

2. Define a) {2,

LTC10_2.15

em compreensão cada um dos conjuntos que se seguem.

4, 6, 8, 10, …}

b) {–1,

1}

Sugestão de resolução a) Os elementos do conjunto {2, 4, 6, 8, 10,…} são os números pares naturais,

logo pode ser definido por {n ∈N: n é par} ou {2n: n ∈N}. b) {–1,

1} = { x  x ∈R: | x  x| = 1} (por exemplo).

2.8. Inclusão de conjuntos Consideremos a proposição: “∀ x, x é um número natural ⇒ x é um número inteiro.” As condições “ x é um número natural” e “ x é um número inteiro relativo” correspondem respetivamente aos conjuntos N e Z. Assim, podemos reescrever a proposição acima da seguinte forma: “∀ x, x ∈N ⇒ x ∈Z” Por outras palavras, todo o elemento de N é também elemento de Z. Dizemos, então, que o conjunto N está contido no conjunto Z. U 

Definição

B  A

Sejam A e B conjuntos.  é  um um s  sub ubco conjunt njunto o de  B ou  A é  é  um umaa part rtee Diz-se que A está contido em B ou que  A é de B, e escreve-se A ⊂ B, se: ∀ x , x ∈ A ⇒ x ∈B Da definição resulta que: • A está contido em B se e só se todo o elemento de A é também elemento de B; • se existir um elemento de A que não seja um elemento de B, então A não está contido em B e A não é um subconjunto de B; escreve-se A ⊄ B.

Implicaç Impli caçãão

Incclu In lussão

 

fi

entr ntree condi condiçções

de conjunt conjuntos os

55  

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

LTC10_2.17

Exemplos

LTC10_2.18

73

Considera que A é um subconjunto de B e que B é um subconjunto de C . Considera ainda que 1 ∈ A, 2 ∈B, 3 ∈C e que 4 ∉ A, 5 ∉B e 6 ∉C . Quais das afirmações seguintes são necessariamente verdadeiras? a) 1 ∈B b) 2 ∈ A c) 3 ∉ A d) 4 ∈B e) 5 ∉ A f) 5 ∈C  g) 6 ∉B

1.

Seja M2 o conjunto dos múltiplos de 2 e M10 o conjunto dos múltiplos de 10. Tem-se M10 ⊂ M2, pois todo o múltiplo de 10 é também também um múltiplo de 2.

2.

No universo dos quadriláteros, seja Q o conjunto dos quadrados e R o conjunto dos retângulos. Tem-se Q ⊂ R, uma vez que todo o quadrado é também um retângulo.

Considera, agora, os conjuntos N e Z+, conjunto dos números naturais e dos números inteiros positivos. Repara que se verifica ao mesmo tempo que N ⊂ Z+ e Z+ ⊂ N, pois todo o elemento de N é elemento de Z+ e todo o elemento de Z+ é elemento de N, o que significa que N e Z+ são constituídos pelos mesmos elementos, isto é, N = Z+.

Princcípi Prin ípio o da dupl duplaa in incclu lussão Sejam A e B conjuntos.  A = B se e só se A ⊂ B e B ⊂ A.

Nota O método utilizado na prova do princípio da dupla inclusão, no qual utilizamos a proposição  (p( x  x) ⇒ q( x  x)) ∧ “∀ x,  p ∧ ∀ x, (q( x  x) ⇒ p( x  x))” para provar a proposição “∀ x,  p( x  x) ⇔ q( x  x)” designa-se por demonstr traç açãão por dupl duplaa implicaçãão. implicaç

 Já vimos anteriormente que a proposição A = B é equivalente à proposição: ∀ x, x ∈ A ⇔ x ∈B Pelo princípio da dupla implicação, esta proposição é equivalente à proposição: ∀ x, (( x  x ∈ A ⇒ x ∈B) ∧ ( x  x ∈B ⇒ x ∈ A)) Esta proposição é verdadeira se e só se a condição: ( x  x ∈ A ⇒ x ∈B) ∧ ( x  x ∈B ⇒ x ∈ A) for universal no universo considerado. Uma vez que se trata da conjunção de duas condições, a condição: ( x ∈ A ⇒ x ∈B) ∧ ( x ∈B ⇒ x ∈ A) é universal nas situações em que ambas as condições: ( x  x ∈ A ⇒ x ∈B) e  x  (x ∈B ⇒ x ∈ A) são universais.

APRENDE FAZENDO Págss. 62, 64 Pág 64 e 72 Exeercí cios Ex os 4  4,, 13 e 49 CADERNO DE EXERCÍCIOS E TESTES Pág. 9 Pág.  9 Exeercí cio 24 Ex

Soluções

Isto acontece se e só se as proposições: ∀ x, ( x  x ∈ A ⇒ x ∈B) e ∀ x, ( x  x ∈B ⇒ x ∈ A) são verdadeiras, isto é, se e só se a proposição: ∀ x, ( x  x ∈ A ⇒ x ∈B) ∧ ∀ x,  x  (x ∈B ⇒ x ∈ A) é verdadeira. Pela definição de inclusão de conjuntos, temos que a proposição: ∀ x,  x  (x ∈ A ⇒ x ∈B) ∧ ∀ x, ( x  x ∈B ⇒ x ∈ A) é equivalente à proposição:  A ⊂ B ∧ B ⊂ A

73. As

afirmações necessariamente verdadeiras são: a), e) e) e g)

Mostramos assim que os conjuntos A e B são iguais se e só se A está contido em B e B Mostramos está contido em A.

56  

UNIDADE 2 Condições e conjuntos

2.9. Interseção de dois conjuntos

LTC10_2.14

Consideremos, em N, as condições a(n): “n é divisor de 10” e b(n): “n é divisor de 12” a que correspondem os conjuntos A e B:  A = {1, 2, 5, 10} e B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Então, a condição a(n) ∧ b(n) corresponde ao conjunto dos números nú meros que são divisores imultaanea eam ment ntee aos conjunt conjuntos os  A e B. de 10 e são divisores de 12, isto é, que pertencem simult  A ∩ B = { x  x: x ∈ A ∧ x ∈B} = {1, 2}

Recorda Sejam a, b ∈R: [a, b] = { x  x ∈R: a  ≤   x  x  ≤  b} ]a, b[ = { x ∈R: a – 2 c c Define, sob a forma de intervalo interval o ou de união de intervalos interval os disjuntos, os seguintes conjuntos.

Exercícios resolvidos 1. Considera os seguintes conjuntos de números reais:

  3    x ∈R:  x   ≥ – 2 c c Define, sob a forma de intervalo ou de união de intervalos disjuntos, os seguintes conjuntos, considerados como subconjuntos de R.

F = { x ∈R:  x   ≤ – 2}

E = { x ∈R:  x < 4}

a) E ∪ F 

b) F ∪ G

c) E ∩ F 

d) E ∩ G

e) E ∩ (F ∩ G)

f) E 

h) E \F 

i) E \( \(F ∩ G)

 – 

a) A ∪ B b) B ∪ C 

g) G

Sugestão de resolução

e) A ∩ (B ∩ C )

–

F = { x ∈R:  x   ≤ – 2 } = ]–∞, – 2]

E = { x ∈R:  x < 4} = ]–∞, 4[

f) A

– g) C 

G=

h) A\B

 – 

Caderno de Apoio às Metas Curriculares, 10. 10 .º ano an o

c) A ∩ B d) A ∩ C 

G=

È   3   È 3  x ∈R:  x   ≥ – = Í– , +∞ Í 2 c Î 2 Î c

i) A\(B ∪ C )

∞

∞

a) E ∪ F = ]– , 4[ ∪ – , – 2

]

= ]–∞, 4[

] √∫

– 2

 

0

2

4

  x

È È 3 , +∞ Í b) F ∪ G = –∞, – 2 ∪ Í– Î Î 2

]

]

= ]–∞, +∞[

–

 3

√∫

– 2

0

 

4

x

2

c) E ∩ F = ]–∞, 4[ ∩ –∞, – 2

]

]

= ]–∞, – 2]

√∫

– 2

 

0

2

4

  x

È 3 È , +∞ Í d) E ∩ G = ]–∞, 4[ ∩ Í– Î 2 Î È

= Í–

3

È

, 4Í

–

 3

0

4

 

x

Î

2 2 Î h  È 3 È h e) E ∩ (F ∩ G)= ]–∞, 4[ ∩ i ]–∞, – 2] ∩ Í– , +∞ Í i j Î 2 Î j

È Î

= ]–∞, 4[ ∩ Í– Soluções

È Î

= Í–

75. a) ]–∞, 5] b) ]–∞, +∞[ c) ]–∞, –p]   7   ,5 2 Î Î

  7 Î 2

–

 – 

 3

– 2

√∫

0

4

√∫

0

4

Î

 3

– 2

7  

E 

0

     –

 x

2

     –

G = ÈÍ– 3 , +∞ ÈÍ =   È g)  –   Í–∞, – 3 ÈÍ 2Î Î 2 Î   Î

 x

2

f) E = ]–∞, 4[ = [4, +∞[

, –p  

f) ]5, +∞[  

  È 3 , – 2  Í 2   Î

–

d) – e) –

  È 3 , – 2  Í   Î 2

G

2

4

  x

g)

Î

,

∞

2 Î

–

h) ]–p, 5] i) ∅

 3

0

4

 x

2

60  

UNIDADE 2 Condições e conjuntos

76

h) E \F = ]–∞, 4[\ –∞, – 2

] = ]– 2, 4[

] √∫

– 2

 

0

2

4

  x

h  È È h \(F ∩ G) = ]–∞, 4[\ i –∞, – 2 ∩ Í– 3 , +∞ Í i i) E \( j Î 2 Î j

]

]

  È   Î

 A = { x ∈N: 1 –  x > 0 ∨ 3 x – 6 < 12} B = { x ∈R:  x2 –  x – 2 = 0} C = { x ∈R: | x – 2| > 1}

Define em extensão ou na

= ]–∞, 4[ 4[\\ÈÍ– 3 , – 2  È  Í Î 2   Î =  Í–∞, –

Considera os seguintes conjuntos:

forma de intervalo os seguintes conjuntos. a) A

3È Í ∪ ]– 2, 4[ 2Î

–

 3

√∫

– 2

0

 x

4

b) B

2

c) A\C  d) A ∩ B –

 3

√∫

– 2

0

 x

4

2

e) B ∩ C  f) A ∪ B

2. Considera os seguintes conjuntos:

 A = {n ∈N: 2n – 5 < 10 ∧ n é ímpar}, B = { x ∈R:  x2 – 8 = 2 x} e C = { x ∈R:  x   ≤ –2 ∨  x   ≥ 2}

Define em extensão ou na forma de d e intervalo os conjuntos A, B, A\C e B ∩ C . Adaptado de Caderno de Apoio às Metas Curriculares, 10. 10 .º ano an o

Sugestão de resolução

 A = {n ∈N: 2n – 5 < 10 ∧ n é ímpar} = {n ∈N: n < 7,5 ∧ n é ímpar} = {1, 3, 5, 7} Cál álccul ulo o auxili auxiliaar

APRENDE FAZENDO Pág. 70 70

2n – 5 < 10 ⇔ 2n < 15 ⇔n<

15

⇔ n < 7,5

2

Exeercí cio 39 Ex

B = { x ∈R:  x2 – 8 = 2 x} = {4, –2}

CADERNO DE EXERCÍCIOS E TESTES Pág. 8 Pág.  8 Exeercí cios 17 Ex 17,,  1  18 8 e 19

Cál álccul ulo o auxili auxiliaar 2 – 8 = 2 x ⇔  x2 – 2 x – 8 = 0  x ⇔  x =

2 ± 4 – 4 ¥ (  –  8  ) 2

⇔  x =

2 ± 3  6 ⇔  x = 4 ∧  x = –2 2

Testes interativos – Condições e conjuntos I. – Condições e conjuntos II.

C = { x ∈R:  x   ≤ –2 ∨  x   ≥ 2} = ]–∞, –2] ∪ [2, +∞[  A\C = {1, 3, 5, 7}\(]–∞, –2] ∪ [2, +∞[) = {1}

–2

B ∩ C = {4, –2} ∩ (]–∞, –2] ∪ [2, +∞[)

Soluções –1

0

1

2

3

4

5

6

7

  x

76. a) b) {1, {–1,2,2}3, 4, 5} c) {1, 2, 3}

{4, 2}

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

  x

d) {2} e) {–1} f) {–1, 1, 2, 3, 4, 5}

61  

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

Aprende Fazendo Itens de seleção 1

Sejam p e q as proposições:  p: “O Afonso usa óculos.” q: “O Afonso usa chapéu.” a)

Em linguagem simbólica, a proposição “O Afonso usa óculos ou chapéu” pode escrever-se como: (A) p ∧ q

(B) p ∨ q

(C) ∼ p ∨ q

(D) ∼ p ∧ ∼q

b) Em

linguagem simbólica, a proposição “O Afonso não usa óculos nem chapéu” pode escrever-se como: (A) p ∧ q

(B) p ∨ q

(C) ∼ p ∨ q

(D) ∼ p ∧ ∼q

Soluções: a) Opção (B) b) Opção (D)

2

Sabe-se que a  b é uma proposição falsa. Então, acerca dos valores lógicos das proposições a e b, podemos concluir que: (A) a

e b são ambas verdadeiras.

(B) a

e b são ambas falsas.

(C) a

e b têm valor lógico diferente.

(D) nada se pode pod e concluir.

Solução: Opção (C)

3

Das expressões seguintes, considerando x um número real, qual delas não é uma expressão proposicional? (A) “O (C) x

dobro de x é 7.”

> 2 ∧ x < 7

(B) 2 x

+7

(D) “ x

é múltiplo de 2 e de 7.”

Solução: Opção (B)

4

Considera os conjuntos A, B e C :  A = {1, 2}, B = {2, 1} e C = {n ∈N: n2 ≤ 9}

Qual das opções seguintes é verdadeira? (A) A

= B = C 

(B) A = B

e C ⊂ A

(C) B

= C 

(D) A

= B e  A ⊂ C 

Solução: Opção (D)

62  

Itens de seleção

5

Qual das seguintes proposições é uma tautologia? (A)  p ( p ∧ q) ⇔ (~ p ∧

~q)

 p ∧ q) ⇒  p  (p ∨ q) (B) ~( p (C) p ⇒  p  (p ∨ q)

 (p ∨ ~ p) ⇒  p (D)  p ( p ∧ ~ p)

Solução: Opção (C)

6

Considera a proposição ∀ x, p( x  x) ⇒ q( x  x). Qual das seguintes proposições é equivalente à anterior? (A) ∀ x, p( x  x) ∧ ~q( x  x) (B) ∀ x, ~ p( x  x) ⇒ ~q( x  x) (C)

~(∀ x, p( x  x) ⇒ q( x  x))

(D) ∀ x,

~q( x  x) ⇒ ~ p( x  x)

Solução: Opção (D) 7

Considera a seguinte proposição: “Todas as crianças acreditam no Pai Natal.” Indica qual das seguintes proposições é equivalente à negação da proposição anterior. (A)

“Nenhuma criança acredita no Pai Natal.”

(B) “Todas (C)

as crianças não acreditam no Pai Natal.”

“Existe pelo menos uma criança que não acredita no Pai Pai Natal.”

(D) “Existe pelo menos

uma criança que acredita no Pai Natal.”

Solução: Opção (C) 8

Considera a seguinte condição: “Se um triângulo é retângulo, então não é equilátero”. Indica qual das seguintes proposições é equivalente à contrarrecíproca da proposição anterior. (A)

“Se um triângulo é equilátero, então não é retângulo.”

(B) “Se um triângulo não é equilátero, então (C)

é retângulo.”

“Se um triângulo não é equilátero, então não é retângulo.”

(D) “Se um triângulo é retângulo, então é

equilátero.”

Solução: Opção (A)

63  

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

Aprende Fazendo Itens de seleção 9

Sabe-se que a  b é uma proposição falsa. Então, qual das proposições seguintes é necessariamente verdadeira? (A) a ∧ b

(B) a ∨ b

(C) ~a ∧ ~b

(D) a ⇒ b

Solução: Opção (B) 10

Sabe-se que p ⇒ (q ⇒ r ) é uma proposição falsa. Então, acerca dos valores lógicos das proposições  p, q e r , podemos concluir que: (A) p

e q são falsas e r é verdadeira.

(B) p e r são verdadeiras e q

(C) q

e r são falsas e p é verdadeira.

(D) p e q

é falsa.

são verdadeiras e r é falsa.

Solução: Opção (D) 11

Considera a proposição ~(∀ x, p( x  x)  q( x  x)). Qual das seguintes proposições é equivalente à anterior? (A) ∃ x: p( x  x) ∧ (C) ∀ x, p( x  x)

~q( x  x)



(B) ∃ x: ~ p( x  x)

q( x  x)



~q( x  x)

(D) ∀ x, p( x  x) ∧ ~q( x  x)

Solução: Opção (A) 12

Dado um conjunto U, considera as seguintes afirmações: (i) A

disjunção de qualquer condição com uma condição universal em U é uma condição universal em U. (ii) A conjunção de qualquer condição com uma condição impossível em U é uma condição impossível em U. Podemos afirmar que: (A) ambas as proposições são falsas.

(B) ambas as proposições são

verdadeiras.

(C) (i) é falsa e (ii) é verdadeira.

(D) (i) é verdadeira e (ii) é falsa.

Solução: Opção (B)

13

Considera os conjuntos A, B e C , dos quais se sabe que A ⊂ B e B ⊂ C . Sabe-se ainda que a ∈ A, b ∈B, c ∈C e que d ∉ A, e ∉B e f ∉C . Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira? (A) b ∈ A

(B) a ∈C 

(C) d ∈B

(D) c ∉ A

Solução: Opção (B)

64  

Itens de construção

Itens de construção 14

Das expressões seguintes, indica as que são designações e as que são proposições. a)

“52 × (p – 3)” b) “ 1 + 1 = 1 ” 3 3 6 c) “17 é um número primo.” d)

“O triângulo de vértices A, B e C.” 

e)

“Há triângulos no plano com dois ângulos retos.”

f)

“ 3 > p + 1”

g)

“–5 ∈N”

h) “{1,

2, 3}”

i)  j)

“{1, 2, 3, 6} é o conjunto dos divisores naturais de 6.” “Existe um número primo que é par par.” .”

Soluções: São designações: a), d) e h). São proposições: b), c), e), f), g), i) e j) 15

Indica o valor lógico das proposições do exercício anterior. anterior. Soluções: b), e), f) e g) são proposições falsas. c), i) e j) são proposições verdadeiras.

16

Considera as proposições:  p: “Eu gosto do verão”. q: “Eu não gosto do inverno”. r : “Eu gosto da primavera”.

Traduz em linguagem corrente as seguintes proposições. a) p ∧ q

b) q ∨ r 

c) ~ p ∧ ~q

d) ~q ∨ r 

e) ~( p  p ∨ r )

f) ~ p ∧ ~r 

Soluções: a) “Eu gosto do verão e não gosto do inverno.” b) “Eu não gosto do inverno ou gosto da primavera.” c) “Eu não gosto do verão e gosto do inverno.” d) “Eu gosto do inverno ou da primavera.” e) “Não é verdade que eu goste do verão ou da primavera.” f ) “Eu não gosto do verão nem da primavera.”

17

Determina o valor lógico das proposições p e q, sabendo que a proposição: a) p ∧ q

é verdadeira;

b) p ∨ q

é falsa;

c) ~ p ∧ q

é verdadeira.

Soluções: a) p e q são proposições verdadeiras. b) p e q são proposições falsas. c) p é uma proposição falsa e q é uma

proposição verdadeira.

65  

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

Aprende Fazendo Itens de construção 18

Constrói uma tabela de verdade para cada uma das seguintes proposições. a) ~ p ∧ q

b) ~( p   p ∧ q)

c) p ∨ (~ p ∧ q)

Solução: a)

19

 p

q

∼ p

∼ p ∧ q

V V F F

V F V F

F F V V

F F V F

b)

 p

q

p∧q

∼( p ∧ q)

V V F F

V F V F

V F F F

F V V V

c)

 p

q

∼ p

∼ p ∧ q

p  (∼ p ∧ q)

V V F F

V F V F

F F V V

F F V F

V V V F

Utilizando as primeiras leis de De Morgan, escreve afirmações equivalentes à negação das d as seguintes proposições. a) “p

é um número irracional e é superior a 2.”

b) “15 não é

um número par nem é um número primo.”

c)

“O Joaquim é um bebé ou não sabe falar.”

d)

“A Margarida é um bebé e não n ão sabe nadar.”

Soluções: a) “p não é um número irracional ou não é superior a 2.” b) “15 é um número par ou é um número primo.” c) “O Joaquim não é um bebé e sabe falar.” d) “A Margarida não é um bebé ou sabe nadar.”

20

Considera as expressões proposicionais seguintes, relativas a números reais.  p( x  x): 5 x + 1 ≥ 0 q( x  x): | x  x| < 0 r ( x  x): x( x  x – 2 )= 0 s( x): x( x2 + 2) = 0 t ( x  x): 2 x ≥ 0 a)

Indica, para cada condição, se é universal, possível ou impossível em N e em R.

b) Escreve condições equivalentes à negação das condições dadas, sem utilizar u tilizar o símbolo ~. c)

Indica se cada uma das seguintes condições é universal, possível ou impossível, em R. (i) p( x  x) ∧ q( x  x) (ii) q( x  x) ∨ r ( x  x) (iii) r ( x  x) ∨ s( x  x) (iv) s( x  x) ∨ t ( x  x) N

R

N

a) p( x) é uma condição universal em e possível em ; q( x) é uma condição impossível em e impossível em Soluções: R; r ( x  x) é uma condição possível em N e possível em R; s( x  x) é uma condição impossível em N e possível em R; t ( x  x) é uma

condição universal em N e universal em R. b) ~ p( x  x): 5 x + 1 < 0; ~ q( x  x): | x  x| ≥ 0; ~r ( x  x): x( x  x – 2) ≠ 0; ~s x ( x): x x ( x + 2) ≠ 0; ~t  x ( x): 2 x2 < 0

c) (i (i) Condição impossível. (ii ii)) Condição possível. (iii iii)) Condição possível. (iv iv)) Condição universal.

66  

Itens de construção

21

Supõe que a variável x toma valores no conjunto de todos os gatos e considera:  p( x  x): “ x é malhado.” a)

q( x  x): “ x gosta de leite.”

r ( x  x): “ x é preto.”

Traduz as seguintes quantificações em linguagem corrente. (i) ∃ x: p( x)

b) Traduz as seguintes

(ii) ∀ x, q( x)

(iii) ∀ x, p( x) ∨ r ( x)

(iv) ∃ x: r ( x) ∧ ~q( x)

quantificações em linguagem simbólica.

(i)

“Existe pelo menos um gato que não é malhado nem preto.”

(ii)

“Existe pelo menos um gato que gosta de leite ou é preto.”

(iii) “T “Todos odos os gatos que

gostam de leite são malhados.”

(iv) “T “Todos odos os gatos são

malhados se e só se não são pretos.”

Soluções: a) (i) “Existe pelo menos um gato malhado.” (iiii)) “Todos os gatos gostam de leite.” (iii iii)) “Todos os gatos são malhados ou são pret pretos.” os.” (iv iv)) “Existe pelo menos um gato preto que não gosta de leite.” b) (i ( i) ∃  x: ~ p( x  x ) (iii iii)) ∀ x, q( x  x) ⇒ p( x  x) (iv iv)) ∀ x, p( x  x) ⇔ ~r ( x  x) 22

∧

~r ( x  x) (ii ii)) ∃  x: q( x  x) ∨ r ( x  x)

Utilizando as segundas leis de De Morgan, escreve afirmações equivalentes à negação das seguintes proposições. a)

“Todos “T odos os homens são ambiciosos.”

b) “Existe um ator famoso que não

tem formação em teatro.”

Animação Resolução do exercício.

Soluções: a) “Existe pelo menos um homem que não é ambicioso.” b) “Todos os atores famosos têm formação em teatro.” 23

    Seja U = 1, –1, 1 ,0, 5, 25 . Define em extensão cada um dos seguintes conjuntos. 5 c c a) { x  x ∈U: x ∈N} – b) { x  x ∈U: x ∈Z }

c)

 x ∈U: x2 > 10} { x

d)

{ x  x ∈U: 2 x   ≤ 0}

e)

{ x  x ∈U: x é um número irracional}

Soluções: a) {1, 5, 25} b) {–1} c) {5, 25} d) {–1, 0} e) ∅ 24

Define em compreensão cada um dos conjuntos que se seguem (admitindo-se que os elementos não expressos são os sugeridos pela sequência). a)

{3, –3}

b) {1, c)

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …}

{1, 4, 9, 16, 25, 36, …}

2 Soluções: a) { x  x ∈R: x = 3 ∨ x = –3} (por exemplo) b) { x  x ∈N:  x é ímpar} c) { x  x :  x ∈N}

67  

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

Aprende Fazendo Itens de construção 25

Considera as proposições p, q e r :  p: “9 é um número primo.” q: “p = 3,14” r : “27 é múltiplo de 9.” a)

Escreve em linguagem simbólica as seguintes proposições. (i) “p   ≠ 3,14 e

27 é múltiplo de 9.” (ii) “9 não é primo ou p = 3,14.” (iii) “Se p = 3,14, então 27 não é múltiplo de 9.” b) Tr Traduz aduz em linguagem

corrente as seguintes proposições.

(iv) p ∨ ~r  c)

(v) ~( p   p ∧ q)

(vi) ~r  (~q ∨ p)

Indica o valor lógico das proposições presentes p resentes neste exercício.

iii)) q  ~r  b)  b) (iv (iv)) “9 é um número primo ou 27 não é múltiplo de 9.” (v) “Não é verdade Soluções: a) (i) ~q ∧ r (iiii)) ~ p ∨ q (iii

que 9 seja um número primo e que p = 3,14.” (vi vi)) “Se 27 não é múltiplo de 9, então p   ≠ 3,14 ou 9 é um número primo.” c) p e q são falsas; r é verdadeira; (i), (ii), (iii), (v), (vi) são verdadeiras e (iv) é falsa. 26

Constrói uma tabela de verdade para cada uma das seguintes proposições e indica se alguma delas é uma tautologia. a) ~(  p p



~q)

b) p



 (p ∨ q)  p

c)  p  (p



q)  (~ p ∨ q)

Soluções: Consultar na página 282. 27

Prova que quaisquer que sejam as proposições propos ições p e q se tem p ∨  p  (p ∧ q) ⇔ p: a)

utilizando uma tabela de verdade;

b) utilizando as propriedades das operações lógicas. 28

Considera as proposições p e q. Simplifica as seguintes expressões que definem proposições e indica, sempre que possível, o respetivo valor lógico. a) q ∨  p ( p ∨ ~q)

b) q ∧  p ( p ∧ ~q)

c) q ∧ (~q ∨ p)

d) ~ p ∧  p ( p ∨ q) ∧ ~q

e) p ∨ (~ p ∧ q) ∨ ~q

Soluções: a) Proposição verdadeira. b) Proposição falsa. c) q ∧ p  d  d)) Proposição falsa. e) Proposição verdadeira. 29

Considera as proposições p, q e r . Escreve o mais simplificadamente possível, e sem utilizar os operadores ⇒ e ⇔, proposições equivalentes à negação das seguintes proposições. a) p ∧ ∼q

b) ~ p ∨ ~q

c) p ∧

(~q ∨ r )

d) ~ p ⇒ q

e) p ⇒ (q ∨ r )

f) (q ∨ r ) ⇒ p

g)  p ( p ⇒ q) ∨ r 

h) p ⇔ ~q

Soluções: a) ∼ p ∨ q b  (p ∧ q) ∨ (~q ∧ ~ p)  b)) p ∧ q c) ∼ p ∨ (q ∧ ~r ) d) ~ p ∧ ~q e) p ∧ ~q ∧ ~r  f   f ) (q ∨ r ) ∧ ~ p  g  g)) p ∧ ~q ∧ ~r h)  p

68  

Itens de construção

30

Considera as proposições p e q tais que q é falsa e p ⇒ q é verdadeira. Indica o valor lógico de cada uma das seguintes seguintes proposições proposições.. a) p

b) p ∨ q

c) ~(  p p ∨ q)

d) ~ p ∧ ~q

e) ~ p ∨ q

f) ~q ⇒ p

g) p ⇔ q

h) ~ p ⇔ q

Soluções: a) Proposição falsa. b) Proposição falsa. c) Proposição verdadeira. d) Proposição verdadeira. e) Proposição verdadeira. f ) Proposição falsa. g) Proposição verdadeira. h) Proposição falsa.

31

Considerando as proposições p e q, escreve em função da negação e da conjunção proposições equivalentes às seguintes. a) p ∨ q

b) p ⇒ q

c) p ⇔ q

Soluções: a) ~(~ p ∧ ∼q) b) ~( p  p ∧ ∼q) c) ~( p  p ∧ ∼q) ∧ ~(q ∧ ∼ p) 32

Determina o valor lógico das proposições p, q e r sabendo que a proposição: p ∧ q) ∨ r é falsa; a) ~(  p

 p ⇒ q) é verdadeira. b) r ∧ ~( p

Soluções: a) p e q são proposições verdadeiras; r é falsa. b) p e r são proposições verdadeiras; q é falsa. 33

Para cada uma das expressões proposicionais seguintes, escreve expressões equivalentes à respetiva negação e a implicação contrarrecíproca. a)

“Se um aluno está distraído, então a professora repreende-o.”

b) “ x c)

= 3 ⇒ x2 = 9”

“Se n é um múltiplo de 10, então n é um múltiplo de 5.”

Soluções: a) Negação: “Um aluno está distraído e a professora não o repreende.” Contrarrecíproca: “Se a professora não repreende um aluno, então o aluno não está distraído.” b) Negação: “ x = 3 ∧ x2 ≠ 9”; Contrarrecíproca: “ x2 ≠ 9 ⇒ x   ≠ 3” c) Negação: “n é um múltiplo de 10 e não é um múltiplo de 5.” Contrarrecíproca: “Se n não é um múltiplo de 5, então não é um múltiplo de 10.” 34

Utilizando as segundas leis de De Morgan, escreve afirmações equivalentes à negação das seguintes proposições. a)

“Existe um número real  x que é maior que o seu quadrado.”

b) “ x2 c)

– 2 x   ≥ 0 verifica-se para todo o número real x.”

“Existe um número natural x que é solução da equação x3 = 25.”

Soluções: a) “Todos os números reais são inferiores ou iguais ao seu quadrado.” b) “Existe pelo menos um número real  x que não verifica x2 – 2 x   ≥ 0.” c) “Qualquer número natural  x não é solução da equação  x3 = 25.” 35

Traduz em linguagem simbólica as quantificações e as respetivas negações presentes no exercício anterior.

2 2 2 3 3  25 Soluções: a) ∃ x ∈R: x > x2; ∀ x ∈R, x   x  x b) ∀ x ∈R,  x – 2 x  0; ∃ x ∈R:  x – 2 x < 0 c) ∃ x ∈N:  x = 25; ∀ x ∈N,  x  ≤

 ≥

≠

69  

TEMA I Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

Aprende Fazendo Itens de construção 36

Mostra que as seguintes proposições são falsas, apresentando um contraexemplo: a)

“A soma de dois números primos é um número primo.” b) “T “Todos odos os números primos formados por dois algarismos têm os algarismos distintos.” c) “∀ x ∈N, x2

– 2 x   ≥ 0”

Soluções: a) A proposição é falsa, pois, por exemplo, 3 e 5 são números primos e a sua soma, 8, não é um número primo. b) A proposição é falsa, pois, por exemplo, 11 é um número primo formado por dois algarismos e estes não são distintos. c) A proposição é falsa, pois, por exemplo, 1 é um número natural e não se verifica que 12 – 2 ¥ 1 ≥ 0.

37

Considera as seguintes condições definidas em N.  p(n): “n é um número primo.”

q(n): “n é divisor de 12.”

r (n): “n é inferior a 9.”

Define em extensão cada um dos seguintes conjuntos. a) P = {n: p(n) ∧ r (n)}

b) Q

= {n: q(n) ∨ r (n)}

c) R = {n: q(n) ∧ ~ p(n)}

Soluções: a) {2, 3, 5, 7} b) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12} c) {1, 4, 6, 12} 38

Define em extensão cada um dos seguintes conjuntos. a)

{ x  x ∈N: x – 4 < 0 ∨  x2 – 36 = 0}

b) { x  x ∈N: x

c)

{ x  x ∈R: x – 4 > 0 ∧ x2 – 36 = 0}

d)

– 4 < 0 ∧ x2 – 36 = 0}

{ x  x ∈R: x – 4 < 0 ∧ x2 – 36 = 0}

Soluções: a) {1, 2, 3, 6} b) ∅ c) {6} d) {–6} 39

Considera os seguintes conjuntos de números reais.  A = {0, 1, 2, 3}; B = { x  x ∈R: x > 2} e C = { x  x ∈R: 1  y, tem-se que  x2 > y2.

Soluções: a) A proposição é falsa, pois, por exemplo, um retângulo é um quadrilátero que tem os ângulos iguais, e, no entanto, não tem os lados iguais. b) A proposição é falsa, pois, por exemplo, –2 e –3 são valores reais tais que –2 > –3 e, no entanto, não se tem que (–2)2 > (– (–3) 3)2. 48

Demonstra, por contrarrecíproco, que se um número natural n não é divisível por 3, então não é divisível por 12.

49

Demonstra, por dupla implicação, que para todo o número natural n, n2 é par se e só se n é par.

72  

Desafios

Desafios

Revê novam vame ent nte e os pr pro obl ble ema mass apr aprese esentad ntados os no víd vídeo eo “Mulh “Mulhe eres qu que e sab sabe em o qu que e qu que erem” e qu que e també tamb ém se en enco contram ntram  res esumid umidos os no iní cio do capítul capítulo o (página (página 10).  10). Consid ide era ra os  os seguint seguintes es con con j  junt untos: os: 1 Con {Res estaurant taurantes} es} {Res estaurant taurantes es bons} R = {R  A = {R

B

= {R {Res estaurant taurantes es barat baratos} os}

Obse serva rva co  com mo a  pr pro opos osiição “r “res estaurant taurantes es bons não são barat baratos!” os!” pode ser se r  apr aprese esentada ntada s  simimboli liccam ame ent nte e por ∀ x ∈R, x ∈ A ⇒ x ∉B.  Re epr prese esenta nta,, de f orma rma  anál análo oga ga,, a pr pro opos osiição “r “res estaurant taurantes es barat baratos os não são bons!”. a) R Usaa a pr pro opri prie edad dade e da da  impli impliccação contrarr contrarrec ecípr íproc ocaa para para  mos ostrar trar  qu que e as dua duass pr pro opos osiições anb) Us teri rio ores são equival equivale ent ntes. es. Escrreve em em linguag linguage em co  corr rre ent nte e a pr pro opos osiição ∀ x ∈R, ~( x  c) Esc  x ∈ A ∧ x ∈B) lação ção exi exisste entr entre e a pr pro opos osiição da da  alín alíne ea ant ante eri rio or e a apr aprese esentada ntada  na na  alín alíne ea a)? d) Que rela Consid ide era ra  as seguint seguintes es pr pro opos osiições: 2 Con  A S  Sara ara  leva va s  saia aia.” .”  A   Vaness Vanessaa leva va s  saia aia.” .” s: “ A v : “ A

r :

“ A  A  Rebec ecaa leva va s  saia aia.” .”

Usand ando o opera rações ções lógi giccas entr ntre e s, v e r , escr escreve as se seguint guintes es pr pro opos osiições em em linguag linguage em s  simb imbó óli licca. a) Us • “Sempr “Sempre e qu que e a S  Sara ara  leva va s  saia aia,, a  Vaness Vanessaa leva va c  cal alçças.” • “ A “ A S  Sara ara  leva va s  saia aia se  se e só se a Rebec ecaa levar var c  cal alçças.” • “ A “ A   Vaness Vanessaa e a Rebec ecaa nun nuncca vão as dua duass de cal calçças.” Compl mple eta ta  a tab tabe ela la  de verdad rdade e seguint seguinte. e. b) Co s

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