Exploración matematica
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COLEGIO PROGRAMA DEL DIPLOMA
TRABAJO INTERNO DE MATEMÁTICA – NIVEL MEDIO Convocatoria Noviembre 2016 Modelación para predecir el promedio de la temperatura mensual en Helsinki, Finlandia Nombre del candidato: Código del candidato: N° de palabras: 2935
Lima-Perú 2016
Introducción Finlandia es considerado como uno de los países más fríos del mundo debido a que hace unos miles de años atrás, este territorio europeo se encontraba debajo de un glaciar. A partir de ello, Finlandia no cuenta con una abundante cantidad de montañas, pero por el contrario cuenta con diversos ríos; asimismo, al haber estado enterrado bajo glaciares causó que la población se acostumbrará al clima y no tuviese mayores problemas en enfrentar su día a día con este. Actualmente, se dice que el clima de Finlandia puede describirse como boreal; esto quiere decir que los inviernos son extremadamente fríos y los veranos son suaves. Asimismo, este clima boreal produce que la estación del invierno tenga una duración extensa; en el norte del país este puede llegar a durar hasta medio año, y en el sur dura alrededor de 110 días. A partir de esta breve investigación, tuve interés por saber más acerca de cómo se daba la variación de temperatura en Finlandia, al tener un desarrollo climático distinto comparado a otros países de Europa, de igual manera siempre he tenido cierta afinidad con este país, al querer visitarlo en época de invierno y admirar los paisajes que se formen con abundante nieve. Asimismo, decidí que esta investigación se centraría en el sur del país, específicamente en la capital llamada Helsinki debido a que en la parte norte era posible que las variación de temperatura del invierno sean más difícil de interpretar con respecto a las demás estaciones. El objetivo del presente trabajo es hallar un modelo matemático que pueda determinar las temperaturas registradas en Helsinki mensualmente. A continuación se encuentra la tabla 1 que muestra los datos de las temperaturas registradas en Helsinki publicado por el portal Big in Finland. TABLA N°1
Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Setiembre Octubre Noviembre Diciembre
Temperatura (C°) -3.9 -4.7 -1.3 3.9 10.2 14.6 17.8 16.3 11.5 6.6 1.6 -2
Promedio de temperaturas registradas mensualmente en Helsinki en el 2013
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Fuente: Recuperado de http://www.biginfinland.com/temperatura-de-finlandia/
Para comenzar, registré los datos en el programa Geogebra; siendo los números en la fila A, el equivalente a los meses, y los datos en la fila B son el promedio de las registradas. temperaturas A (X = mes) B (Y = temperatura C°) 1 -3.9 2 -4.7 3 -1.3 4 3.9 5 10.2 6 14.6 7 17.8 8 16.3 9 11.5 10 6.6 11 1.6 12 -2
Posterior a ello, Geogebra mostrará los puntos ubicados en el plano, y claramente cómo se puede observar, los puntos forman una función de seno cuya fórmula es la siguiente:
= − + GRÁFICA N°1
Y= Temperatura (C°)
X =Mes
Amplitud: Para poder determinar la fórmula de seno, como primer paso procederé a hallar la amplitud lo cual indica la cantidad de estiramiento vertical que la curva ha realizado con respecto al eje x; para hallar esto se seleccionará un punto máximo y un punto mínimo usando mi propio criterio.
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Como resultado, se obtuvo las siguientes coordenadas:
P = 7.17, 18.41
GRÁFICA N°2 .
Y= Temperatura (C°)
X=Mes
Q = 1.74, -5
Se tomará el valor de Y en ambas coordenadas que en ese caso son 18.41 y 5; sin embargo se tomará el valor absoluto del 5 debido a que la amplitud no podría resultar negativa. Posterior a ellos se dividirá entre 2
=
á − í 2 18.41 + 5 A= 2 = 11.7
La incógnita de A dio como resultado 11.7, lo cual será reemplazado en la fórmula establecida de seno:
ℎ = 11.7 − + Periodo Ahora se procederá a calcular el periodo lo cual indica la cantidad que corresponde a un ciclo completo de valores en la función, para ello se seleccionara el punto de inicio y el punto final de la función de seno. En este caso me guiaré del punto J para usarlo como referencia, a partir de esto ubicaré otro punto que se encuentre a la misma altura que el punto J con el propósito de que sea el punto inicial, este será el punto S. Teniendo esto, procederé a ubicar un punto R a la altura de los dos anteriores para que sea el punto final.
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GRÁFICA N°3 Y =Temperatura (C°)
R = (15.42, 6.58) S = 4.44 6.67
X= Mes
Se seleccionará los valores X, que en este caso son 4.44 y 15.42, después de ello se restará el mayor valor con el menor.
= 15.42 − 4.44 = 10.98 ≈ 11.0 Teniendo este valor, se aplicará la fórmula para que dé como resultado el periodo:
2 2 = 11.0 = 0.57
=
Entonces, al tener el resultado de la incógnita de B se reemplazará en la fórmula de seno:
ℎ = 11.70.57 − + Traslación horizontal Después de obtener estos dos valores, se procederá a hallar la traslación horizontal que ha realizado; en donde si es que esta es hacia la derecha tendrá signo negativo y si esta es hacia la izquierda, será positivo. Al haber seleccionado un punto inicial para hallar el periodo, será más fácil hallar la traslación horizontal. GRÁFICA N°4 Y= Temperatura (C°)
S = (4.44, 6.67)
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X = Mes
Al contar con el punto inicial, se puede deducir fácilmente cual ha sido su traslación en el eje X debido a que la posición horizontal inicial de la función seno se da en 0 del mismo eje . Por lo tanto, se procede a tomar el valor de 4.44 que será igual a y con ello se puede deducir que su desplazamiento ha sido de 4.44 unidades hacia la derecha, entonces el signo que este tendrá será negativo. Al tener este valor, el resultado de la fórmula será:
ℎ = 11.70.57 − 4.44 + Traslación vertical El valor restante es el de la traslación vertical, el cual puede ser para arriba o abajo; cabe resaltar que este se va a valer de los signos de la misma manera que la traslación horizontal. Por ello, cuando esta sea hacia arriba, tendrá signo positivo y cuando sea hacia abajo, tendrá signo negativo. Para hallar este valor, se tomará el mismo punto máximo y mínimo que fueron seleccionados para hallar la amplitud. Asimismo, se tomará el punto J que actúa como punto medio. P = (7.18, 18.41) GRÁFICA N°5 Y= Temperatura (C°)
= 10, 6.6
X =Mes
Q = (1.74,-5)
Entonces, primero se tomará el valor de Y en las coordenadas del punto máximo y mínimo, los cuales serán 18.41 y el valor absoluto de -5. Después se procederá a restarlos y luego dividirlos entre 2.
=
á − í 2 18.41 − 5 = 2 = 6.7
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Se puede decir que el valor de 6.7 se acerca mucho al valor x de la coordenada de J. De igual manera, la posición vertical inicial de la función seno radica en el 0 del eje y, por lo tanto se puede decir que la función ha realizado una traslación de 6.7 unidades hacia arriba por lo cual su signo será positivo. Al haber hallado la incógnita de finalmente se puede completar la fórmula, dando como resultado:
ℎ = 11.70.57 − 4.44 + 6.7 Al insertar esta fórmula en Geogebra, el gráfico sería el siguiente: GRÁFICO N°6
ℎ = 11.70.57 − 4.44 Y= Temperatura (C°)
X=Mes
Al obtener como resultado esta gráfica, pude notar que la gran mayoría de puntos no coincidía con la función, aunque en algunos casos algunos puntos rozaban esta, de igual manera no estuve satisfecha del todo porque mi objetivo era encontrar una función que coincida con todos o gran parte de los puntos. Frente a esto, decidí que crearía una nueva función basándome en algunos datos de la anterior. 2da Función
Amplitud En la función anterior, para hallar la amplitud decidí ubicar el punto máximo y mínimo en el plano usando mi propio criterio debido a que creí que los puntos ubicados a partir de los datos no se encontraban en la posición exacta para tomarlos como referencia. Sin embargo, en esta ocasión tomaré los puntos ya mencionados para comprobar la si la diferencia con respecto a la gráfica anterior es muy notoria. Por ello, seleccioné el punto máximo y mínimo de los datos registrados cuyas coordenadas son las siguientes G = 7, 17.8
B = (2, -4.7)
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Se repetirá el mismo proceso que se realizó en la función anterior, es decir, se tomará el valor de Y de ambas coordenadas (en el caso del punto B se toma el valor absoluto de -4.7) y estas se sumarán para luego dividirse entre dos.
17.8 + 4.7 2 = 11.25
=
En este caso, la incógnita de A dio como resultado 11.25 cuya diferencia con respecto al valor hallado en la primera función es de 0.5. La diferencia no es abismal pero es posible que se produzca un cambio notorio. El valor de la amplitud será reemplazado en la fórmula establecida de seno:
= 11.25 − + Periodo Para hallar el periodo en esta función decidí ser más cuidadosa, por ello en el momento de ubicar el punto inicial y el final haré lo posible para lograr que las coordenadas sean más exactas con respecto al anterior valor hallado. Por lo tanto, me guiaré del mismo punto de inicio anterior cuyas coordenadas son: S = 4.44, 6.67
Sin embargo, para hallar las coordenadas del punto final, realizaré un pequeño cálculo que implicará usar un poco la lógica. En la gráfica de la primera función se pudo apreciar que la función no coincidía notoriamente en los últimos dos puntos. Por lo tanto como se quiere lograr que coincidan, es probable que el periodo sea extendido horizontalmente un poco más a la derecha. Por lo tanto, el anterior punto final será ubicado un poco más a la derecha, calculando que sea una distancia prudente, teniendo como referencia la gráfica anterior. Entonces, al ubicar el nuevo punto final nombrado punto T, se ha tenido en cuenta que la diferencia estimada con respecto al anterior punto será: T = 15.83, 6.63
R = 15.42, 6.58
∆= 15.83 − 15.42 ∆= 0.41 GRÁFICA N°7 Y= Temperatura (C°)
T = (15.83, 6.63) S = (4.44, 6.67)
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X =Mes
Al contar con el nuevo punto final y el anterior punto inicial, se procederá a hacer el nuevo cálculo, iniciando por la resta de los valores X de las coordenadas del punto T y S.
= 15.83 − 4.44 = 11.39 Al contar con este valor, ahora se procederá a aplicar la fórmula para obtener el periodo de la función.
2 2 = 11.39 = 0.55
=
Se aprecia que con respecto al periodo anterior, la diferencia es de :
∆= 0.57 − 0.55 ∆= 0.02 En este caso, la diferencia entre los periodos es insignificante, lo cual me preocupa un poco debido a que puede ser posible que no haya cambio alguno con respecto a la función anterior. Se procederá a reemplazar el valor de B en la nueva fórmula de seno:
= 11.250.55 − + Traslación horizontal Con respecto a este punto no se hará ningún cambio debido a que se utilizó el mismo punto incial que se utilizó para la primera función. Por lo tanto, se reemplazará la incógnita con el valor anterior de 4.44 en la fórmula de seno.
= 11.250.55 − 4.44 + Traslación vertical Para hallar este valor, se tendrá que utilizar los mismos datos con los que fue hallada la amplitud. Por ello, se utilizarán los puntos máximo y mínimo cuyas coordenadas son las siguientes: G = (7, 17.8)
B = (2, -4.7) 9
Luego se procederá a tomar los valores X (en el caso de B, el valor absoluto de -4.7) de las coordenadas, para así restarlos y luego dividirlos entre dos.
=
− 2 17.8 − 4.7 = 2 = 6.55
El valor de d indica que la función de ha desplazado 6.55 unidades hacia arriba, tal como el valor de la primera función. Entonces, la fórmula final de la función sería igual a:
= 11.250.55 − 4.44 + 6.55 Al insertar el resultado en Geogebra, la gráfica de la función es la siguiente: GR ÁFI CA N° 8
= 11.250.55 − 4.44
Y= Temperatura (C°)
X =Mes
Se puede ver que la gráfica de esta función es mucho mejor que la anterior debido a que coincide con más puntos y si es que en algunos casos no lo hace, por lo menos no se encuentra tan alejado de estos, lo no sucedía con la primera función.
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Y= Temperatura (C°)
= 11.250.55 − 4.44 ℎ = 11.70.57 − 4.44
X =Mes
GRÁFICO N°9 En la gráfica mostrada, se puede notar la gran diferencia entre la primera gráfica de la función y la segunda. En primer lugar, con respecto a los puntos máximo y mínimo estos tienen mayor rozamiento con la segunda gráfica, la cual mejorará la exactitud de las estimaciones que se harán para años siguientes al 2013. Asimismo, la segunda gráfica permite una mejor ubicación de los puntos, a partir de que la diferencia para coincidir con ellos es mínima, teniendo menos incongruencias que la primera gráfica. De igual manera, se hizo una comparación de estas con la función que Geogrebra brindaba, siendo esta la siguiente:
= 10.76(0.55 − 4.42) + 6.4 La gráfica de esta función sería:
= 10.76(0.55 − 4.42) + 6.4
GRÁFICA N°10 Y= Temperatura (C°)
X =Mes
Se puede observar que la gráfica de Geogebra, coincide con la gran mayoría de puntos; sin embargo, cabe resaltar que se ha tomado otros puntos como máximo y mínimo, obviando los puntos B y G, por esa misma razón es que la 11
amplitud en la fórmula de la función es menor comparada a las primeras gráficas. De igual manera, que exceptuando la amplitud, todos los demás valores de mi segunda gráfica coinciden con las del Geogebra. En primer lugar, el periodo es el mismo:
0.55 = 0.55 Los valores de la traslación horizontal tienen una mínima diferencia a simple vista:
∆= 0.44 − 0.42 ∆= 0.02 Finalmente, la traslación vertical tiene una diferencia de:
∆= 6.55 − 6.4 ∆= 0.15 En la siguiente tabla se puede notar la diferencia entre los datos registrados y los que están ubicados en la función que cree.
TABLA N°2 Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Setiembre Octubre Noviembre Diciembre
Temperatura (C°) -3.9 -4.7 -1.3 3.9 10.2 14.6 17.8 16.3 11.5 6.6 1.6 -2
Diferencia 0.2 0.3 0.1 0 0.2 0.5 0.1 0.7 1.7 0.9 0.1 1
Función g (x) =
.. − . + . -4.1 -4.4 -1.4 3.9 10.0 15.1 17.7 17.0 13.2 7.5 1.5 -3
Ahora procederé a hacer una estimación para hallar la temperatura en Helsinki para enero del 2015. Efectivamente, este evento ya sucedió pero con esto comprobaré si es que mi resultado concuerda con los datos climáticos ya registrados.
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Al establecer que los números son equivalentes los meses, para el caso de enero del 2015 se dice que este tomará el valor de 25, debido a que diciembre del 2013 es equivalente a 12 y por consiguiente diciembre del 2014 será igual a 24 ya que se le suma la cantidad de meses que tiene el año, lo cual es 12. Entonces al ser diciembre del 2014 igual a 24, enero del 2015 será 25. Las coordenadas del punto ubicado son las siguientes: GRÁFICO
= 11.250.55 − 4.44
Y= Temperatura (C°)
N°11
X= Mes
Z = (25, -4.16)
Entonces, el valor de y es equivalente al promedio de la temperatura que probablemente se experimentó en enero de 2015, es decir -4.16C°.Se hará la comprobación respectiva del resultado para demostrar la certeza de la f unción. Según el portal Accu Weather, el promedio de la temperatura mensual en enero de 2015 en Helsinki fue igual a -3.8C°. Frente a este resultado se puede decir que la función se aproximó en su posibilidad a los resultados verdaderos, teniendo una diferencia de 0.32. Al haber probado la efectividad de la fórmula de la función elegida, se procederá a predecir las temperaturas en Finlandia para octubre, noviembre y diciembre de 2016. Para poder determinar el valor que tomará x, en este caso se aplicará la misma técnica que se utilizó para hallar el resultado de enero del 2015. Si en enero de 2015 es equivalente a 25, si se le suma los 11 meses que quedan del año diciembre sería igual a 36. Con ello podemos decir que diciembre del 2016 será igual a 48; por consiguiente, los meses anteriores a este serán 46 y 47 siendo equivalentes a octubre y noviembre.
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GRÁFICA N°12
= 11.250.55 − 4.44
= 46, -2.03) = 47, -4.57)
= 48, -3.83)
Podemos notar que los valores del promedio de las temperatura para octubre, noviembre y diciembre de 2016; meses en los cuales se está produciendo el cambio de estación de otoño a invierno, son equivalente a -2.03 C°,-4.57 C° y 3.83 C°. Evidentemente, se registran muy bajas temperaturas para esta época, por lo cual, se vivirá un frío intenso en toda la región de Helsinki, mucho mayor al del año 2013.
CONCLUSIONES Puedo concluir este trabajo diciendo que logre cumplir mi objetivo de lograr crear un modelo matemático para poder estimar la temperatura en Helsinki; sin embargo es posible que esta cambie con respecto a las condiciones climáticas que se den repentinamente lo cual va más allá de mi alcance y no podría predecir ello, aunque claramente se espera que las predicciones de acerquen en lo posible a los datos registrados posteriormente. Si bien no logré mi cometido al primer intento, al realizar un segundo intento me permitió ser más cuidadosa con respecto a la ubicación de los puntos para lograr un mejor resultado. Asimismo, mi segunda función tuvo una mayor cercanía a los puntos máximo y mínimo, en comparación a la función que Geogebra me mostraba; pero cabe resaltar que la única diferencia notoria entre 14
estas funciones solo fue la amplitud debido a que los demás valores eran muy similares. De igual manera a lo largo de la exploración me pude dar cuenta, que tenía muchas preocupaciones con respecto a que las diferencias entre mi primera y segunda función eran mínimas y con ello no lograría obtener un cambio notorio en el momento que grafique estas; sin embargo, después logre entender que muchas veces una pequeña diferencia puede cambiar muchos aspectos. Finalmente, el haber trabajado este tema en clase me permitió tener mucha habilidad para determinar cada uno de los valores y al momento de ubicar los distintos puntos de referencia.
REFERENCIAS
Hernández, S. (2013). Temperatura de Finlandia - Big In Finland. Big In Finland. Recuperado el 9 de Agosto 2016, de http://www.biginfinland.com/temperatura-de-finlandia/ El tiempo del mes para Helsinki - Pronóstico de AccuWeather para Uusimaa Finlandia (ES). (2015). AccuWeather. Recuperado el 4 de Agosto 2016, de http://www.accuweather.com/es/fi/helsinki/133328/month/133328?monyr =1/01/2015 Foundation, C. (2016). Traslación de Funciones Seno y Coseno | CK-12 Foundation. CK-12 Foundation. Recuperado el 11 de Setiembre 2016, de http://www.ck12.org/book/CK-12-Conceptos-de-%25C3%2581lgebraII-con-Trigonometr%25C3%25ADa-enEspa%25C3%25B1ol/section/14.2/
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