explicacion del circulo de mohr

Circul Cir culo o de de Mo Mohr hr par para a esfuerzo plano Integrantes Villatoro Gómez José Luis Valenzuela Córdova Fabián Gustavo Pérez Pé rez Martínez Martínez Luis Lui s Á ngel Montes Corona Jonathan Ramos Suarez Germán

Diseño de Elementos Elementos Me Mecánic cánicos os

z

Construir la circunferencia de Mohr y mediante ella determinar:

YX

y

XY

Las magnitudes y dirección de las tensiones principales (

1;

2;

x

3)

X

Las componentes de tensión en un plano que forma un ángulo con el eje x. Son datos del problema:

X;

Y;

Z=0

;

XY=

YX

;

XZ=

ZX =

ZY=

YZ =0;

Para el estado tensional dado en la figura es de nuestro interés:

y

La determinación de las tensiones puede obtenerse utilizando un método gráfico. Las ecuaciones del Estado Plano de Tensiones son: elevando al cuadrado, sumando y simplificando obtenemos:

s  

t 

s  x

 s 



 y

2

 s   s      2  x

 y

si llamamos

 xC  

y sustituimos en la ecuación anterior obtenemos:



s  x

C 

 xy

2

   s   s    t        2

 s  y 2

 cos 2   t   sin 2 

 xy

 y



 y

2

2

s     x

 s 

    sin 2   t   cos 2   

  s   s   s   2    x

s  x

 t  

2

 x

 y

2

    t   

2 xy

2

 s  x  s  y     t xy  y R   2     2

  R

2

que constituye la ecuación de una circunferencia de radio R y centro en un punto “C” de coordenadas xC e yC = 0. Esta circunferencia se denomina Círculo de Mohr. las coordenadas de cada punto de esta circunferencia representan las tensiones trazadas a cada uno de los infinitos planos que pasan por el punto.

Un estado tensional plano o bidimensional, es aquel en el que uno de los planos está libre de tensiones

y

2

Se considera positiva la tensión normal de tracción y negativa de compresión. La tensión tangencial es positiva si el momento respecto del centro del elemento es en sentido horario.

Procedemos al trazado del círculo de Mohr

Defino el punto N

N YX Y

X

XY

M

Defino el punto M Sobre un sistema de ejes coordenados - se ubican los puntos de coordenadas (  x ;  xy ) y ( y ; yx ) estos puntos representan las tensiones normales y tangenciales que actúan sobre las caras X e Y de un elemento.

Procedemos al trazado del círculo de Mohr

Defino los puntos A y B

Círculo de Mohr

N YX X

Y

B

C

A XY

M

Uniendo M con N donde corta al eje de abscisas tenemos el centro C . Con radio CM se traza la circunferencia Mohr .

Procedemos al trazado del círculo de Mohr

N YX 3

=0

X

Y 2= B

A=

C

1

XY

M

Los puntos A y B donde la circunferencia intercepta al eje de abscisas determinan las tensiones normales principales. La tercera tensión normal principal corresponde a 3=0 

Definimos la Tensiones y Direcciones Principales

// a por N

N YX 3

=0

X

Y 2= B

A=

C

1

XY

P

M

// a

por M

Polo Trazando por M, de coordenadas ( X; XY), una paralela al eje y por N , de coordenadas ( Y; YX), una paralela al eje , defino el polo P del círculo de Mohr.

Definimos la Tensiones y Direcciones Principales

N YX 3

=0

X

Y 2= B

½



P

A=

C

1

XY

M

Determinado P , se lo une con  A y B, siendo sus trazadas las direcciones de las tensiones principales de valor y ½ . Los planos principales serán perpendiculares a estas direcciones.

Definimos la Tensiones y Direcciones Principales

D N YX 3

=0

X

Y 2= B

½



P

A=

C

1

XY

M

Si dada la dirección (u) queremos conocer las tensiones según ella, trazamos por P una paralela a u que corta a la circunferencia en D; la abscisa y ordenada de D nos dan , y

Cálculo de las Tensiones respecto a una dirección “ ” dada

.

Trazo las tg a la circunferencia

Graficamos las otras dos familias de circunferencias de Mohr

N

Max

YX 3

=0

X

Y 2= B

½



P

A=

C

1

XY

M

Min

Siempre es el círculo que está entre los esfuerzos principales mayor y menor el que determina el esfuerzo cortante máximo. En este caso, el esfuerzo principal igual a cero es el menor 3=0

Cálculo de los esfuerzos Cortantes Principales

Bibliografía Mecanica de Materiales. Séptima edición James M. Gere Barry J. Goodno