UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES Facultad de Ingeniería Departamento de Física
FÍSICA III D (62.15)
Experimento de Franck y Hertz Cuatrimestre y año: 1er Cuatrimestre 2015 Profesora Titular: Dra. Bibiana Arcondo Docente a cargo del TP: Ing. Mariano Malmoria Grupo: T05 Integrantes:
Padrón
Nombre
Email
95606
Bert, Tomás
[email protected]
95605
Etchanchú, Facundo
[email protected]
95548
Bouvier, Bouvier, Juan Manuel
[email protected]
81441
Correa Bravo, Bravo, Cesar
[email protected]
Fecha de 1ra. entrega: 15/04 Observaciones:
Nota final:
Fecha de reentrega: 27/05
1.
Resumen
En el siguiente informe se detallar´an an los pasos y mediciones llevadas a cabo en la realizaci´on on del experimento de Franck y Hertz. Se demostrar´ a la cuantizaci´ cuantiz aci´on on de los niveles de energ ener g´ıa de los atomos ´atomos (particularmente, ( particularmente, del de l gas mercurio), confirmando as´ as´ı el modelo at´ omico propuesto por Bohr. Se dar´ a n a conocer al lector los datos obtenidos mediante gr´ an aficos y tablas, explicando aficos en cada caso el significado y las causas de los fen´omenos omenos apreciados, incluyendo aclaraciones referentes a los par´ametros ametros tenidos en cuenta al realizar las mediciones cuando se considere necesario.
2. 2.1. 2.1.
Intr Introd odu ucci´ cci´ on on Sign Signifi ifica cado do hist hist´ orico o ´rico
El experimento de James Franck y Gustav Hertz se realiz´ o por primera vez en 1914. Ten´ en´ıa como objetivo demostrar la cuantizaci´ on on de los l os niveles nivele s de energ´ e nerg´ıa ıa de los l os electron elec trones es en los lo s atomos. a´tomos. Esto es, probar que tanto la absorci´ on on como la emisi´ emision o´n de energ´ıa ıa dentro dentr o de los l os mismos mism os se realiza realiz a en forma discreta a partir de paquetes de energ´ energ´ıa espec e spec´´ıficos (cuantos) y no de manera continua. As´ As´ı, se confirm con firm´ o´ el modelo cu´ antico antico del atomo a´tomo planteado por Bohr un a˜ no no antes, convirtiendo a este experimento experimento en uno de los experimentos experimentos fundamentale fundamentaless de la f´ısica cu´ antica. Bohr ya hab´´ıa realizado hab realizado experiencias experiencias previas para probar su teor´ teor´ıa, pero eran criticadas criticadas debido a que utilizaba luz, por lo que muchos le atribu´ atribu´ıan el e l fen´ omeno omeno cu´ antico antico del experimento experimento meramente meramente al comportamiento de la luz -que para esa ´epoca epo ca ya se sab´ sab´ıa cu´ antica- y no debido a los niveles de energ ener g´ıa de un atomo a´tomo por s´ı solo.
3.
Funda undame men ntos tos te´ te´ oricos para la explicaci´ oricos on on del fen´ omeno omeno
En la experiencia se hacen circular electrones entre dos electrodos, atravesando gas mercurio en el trayecto. Se mide la corriente provocada por dichos electrones. Acorde Acorde a los postulado postuladoss de Bohr, Bohr, el aument aumentoo de corrien corriente te no deber´ deber´ıa ser directa directamen mente te proporcional al aumento de tensi´ on on entre las placas. De hecho, hecho, deber´ deber´ıan presentarse presentarse zonas de ca´ ca´ıda de corrie c orriente, nte, debido d ebido al fen´ fe n´ omeno omeno de cuantizaci´ on on de los niveles de energ´ energ´ıa de los atomos. a´tomos. A medida que se aumenta la tensi´ on on de aceleraci´ on de los electrones, se le entrega m´ on as as ener en ergg´ıa a los mismos y esto se refleja en un aumento de la intensidad de corriente en la placa colectora. Los electrones en su trayecto colisionan con los atomos a´tomos de mercurio gaseoso que se cruzan en su camino. Estas colisiones ser´ an la clave para la justificaci´on an on de la cuantizaci´on o n de los atomos. ´atomos. Si la energ´ energ´ıa del electr´ on on no alcanza la energ´ energ´ıa de excitaci´ on o n del atomo ´atomo de mercurio, se produce un choque puramente el´ astico, astico, donde la energ´ energ´ıa del electr´ on se conserva, por lo que no se registrar´ an an cambios cambios en la corriente corriente recibida. recibida. Es decir, al colisionar colisionar si la energ´ energ´ıa del electr´on on no alcanza cierto umbral, entonces no se transmite nada de energ´ energ´ıa, descartando de scartando as´ as´ı un un comportamiento continuo del atomo a´tomo al momento de la absorci´ o n. Esto se debe a una de las on. predicciones de la mec´ anica anica cu´ a ntica que afirma que un atomo antica a´tomo no puede absorber ninguna energ ener g´ıa hasta que la energ´ıa ıa de la colisi´ colision o´n exceda el valor requerido para excitar un electr´ on on que est´e enlazado a tal atomo a´tomo a un u n estado e stado de una energ´ energ´ıa m´ as as alta.
2
Como dato tenemos que la energ´ıa necesaria para excitar un a´tomo de mercurio gaseoso es 4,9eV. No obstante, si los electrones llevan asociada una energ´ıa igual o superior a la correspondiente a la excitaci´ o n del ´atomo de mercurio, entonces se comienza a evidenciar el rol del scattering inel´ astico. Ahora en la colisi´on entre un electr´ o n y un a´tomo de mercurio gaseoso, el electr´on no conserva toda su energ´ıa cin´etica puesto que parte de ella -o toda, en caso de ser 4,9eV- se transmite al a´tomo con el fin de llevarlo de su estado fundamental a un estado excitado. Esto implica una ca´ıda en la corriente registrada, puesto que los electrones al perder energ´ıa son filtrados por un potencial de frenado fijado entre una rejilla y uno de los electrodos. Como es de esperarse seg´ un este comportamiento, una vez producida la ca´ıda de corriente luego de los 4,9eV la corriente sigue aumentando a medida que aumenta la tensi´ on. Pero al alcanzar el electr´ on nuevamente otros 4,9eV (es decir, al entreg´ arsele 9,8eV de energ´ıa) se vuelve a producir el mismo fen´ omeno de ca´ıda de corriente. En otras palabras: el electr´ on tiene la energ´ıa suficiente para excitar un a´tomo de mercurio; choca con ´el y le transmite dicha energ´ıa; sigue su trayectoria con la energ´ıa restante luego de la colisi´on; si a´ un posee la energ´ıa suficiente para excitar otro a´tomo y colisiona con ´el, lo excita, produciendo as´ı un mismo electr´ on dos excitaciones; y as´ı sucesivamente. Ya explicado brevemente el fen´ omeno de cuantizaci´ on, se esperar´ıa obtener un gr´ a fico de V vs I similar al siguiente:
Figura 1: Gr´afico de V vs I.
3.1. 3.1.1.
Otros Fen´ omenos de inter´ es para la experiencia Emisi´ on termoi´ onica y potencial de contacto
El potencial de contacto representa la tensi´ on necesaria que se le debe entregar a un electrodo para poder desprender sus electrones del material. La emisi´on termoi´ onica es usada para liberar los electrones del electrodo en todas direcciones. En situaciones ideales, los electrones del metal se encuentran en reposo y totalmente libres. Sin embargo, no podemos idealizar la experiencia pues ser´ıa una burda aproximaci´ on. En realidad, en los metales hay electrones “libres” pero contenidos sobre toda la extensi´ on de la superficie. Estos normalmente son capaces de moverse por toda esta superficie pero no pueden salir del metal, debido al potencial de contacto que los mantiene ligados a este. Cuando un metal 3
es llevado a temperaturas elevadas la energ´ıa cin´etica de los electrones aumenta hasta el punto de que puedan abandonar el metal. Una forma de llevar un metal a estas temperaturas es hacer circular una corriente suficientemente alta por un filamento de un metal de alta temperatura de fusi´on, como pueden ser el platino o el tungsteno, entre otros. La tensi´ on causante de esa intensidad de corriente representa el potencial de contacto del electrodo. .
Figura 2: Esquema de la emisi´on termoi´ onica
3.1.2.
Aceleraci´ on de los electrones
Si una vez que los electrones abandonan el metal, se encuentran con un campo el´ectrico producido por un potencial acelerador, se ver´ an acelerados de acuerdo a este potencial.
Figura 3: Esquema de aceleraci´ on de los electrones.
3.1.3.
Potencial de frenado
Para realizar las mediciones de la experiencia necesitamos que los electrones, una vez acelerados, impacten contra una placa colectora, generando as´ı una corriente I de inter´es.
Figura 4: Esquema de los electrones que llegan al colector, ya que superan el potencial de frenado.
4
Si un electr´on pierde toda su energ´ıa en una colisi´ on, se ver´ıa acelerado igualmente ya que se encuentra en una zona donde existe campo el´ ectrico, de modo que no ser´ıa excluido de llegar al colector. Para esto, se coloca un potencial de frenado que genera un campo opuesto al producido para acelerar al electr´ on. De esta manera, s´olo los electrones que superen cierto m´ınimo de energ´ıa contribuyen a la corriente I, siendo el resto filtrados antes de llegar a la capa. 3.1.4.
Ionizaci´ on del gas mercurio
La ionizaci´on del gas se debe a las colisiones entre los a´tomos del mismo y los electrones. Como ya se sabe, dichos electrones tienen una cierta energ´ıa cin´etica, que si es lo suficientemente alta como para excitar al a´tomo de mercurio, se la transfieren al mismo en un choque inel´ astico. Pero si la energ´ıa absorbida es tal que logra excitar un electr´ on en su estado fundamental del nivel de energ´ıa m´ a s alto del a´tomo, otorg´ andole una energ´ıa cin´etica lo suficientemente alta como para hacerlo vibrar intensamente hasta el punto de que “salte” fuera del atomo, ´ entonces se produce la ionizaci´on, perdiendo el a´tomo un electr´ on y quedando as´ı como un ion con carga positiva. La energ´ıa de ionizaci´ on del mercurio, seg´ un las tablas, es de 10.4375eV. Cuando un gas se ioniza, los ´atomos pierden un electr´ on. As´ı, m´as all´a de los electrones despegados del electrodo puramente por acci´ on del potencial de aceleraci´ on, ahora se suman estos electrones provenientes de los a´tomos de Hg, por lo que se espera un repentino crecimiento en la corriente a partir de cierto punto. 3.1.5.
Desexcitaci´ on del ´ atomo de mercurio
Para desexcitarse el a´tomo de Hg y volver a su estado fundamental, se deber´ a producir una radiaci´on en forma de fotones de la energ´ıa acumulada, con una frecuencia de ν = 4,9heV . Siendo ˚. Sabemos que el rango V = λc , estos fotones corresponden a una longitud de onda λ = 2536 A del espectro visible se encuentra aproximadamente entre los 400 y los 700nm de longitud de onda, variando ligeramente de acuerdo a cada individuo; la longitud de onda de los fotones emitidos por los ´atomos de mercurio es considerablemente menor a dicho rango, por lo tanto no podremos ver a simple vista la luz emitida por el gas.
3.2.
Objetivos del trabajo pr´ actico
Trazado de una curva de Franck-Hertz con vapor de mercurio. Confirmaci´on de los postulados de Bohr. Medici´on de la entrega discontinua de energ´ıa de los electrones libres en choques inel´ asticos. Interpretaci´ on del resultado de las mediciones como absorci´ on discreta de energ´ıa de los ´atomos de mercurio.
5
4.
Descripci´ on del experimento
Figura 5: Esquema simplificado del dispositivo experimental.
Esquema simplificado del dispositivo experimental. La experiencia consta de un triodo con gas de mercurio en su interior a baja presi´ on. Dentro del tubo, se colocan un c´a todo caliente, una rejilla polarizada y un a´nodo. Se genera una diferencia de potencial Va entre el c´ atodo y la rejilla de forma tal que se arranquen electrones de aquel y salgan disparados. Por otro lado, entre la rejilla y el a´nodo se genera una tensi´ on de frenado capaz de discriminar si un electr´ on pasar´ a para contribuir a la corriente I o ser´ a retenido en la rejilla debido a su poca energ´ıa cin´etica. El experimento consiste en determinar la variaci´ on de la corriente I debida a los electrones recogidos por la placa en funci´ on de V. Teniendo en cuenta la energ´ıa cin´etica de los electrones, podemos deducir sus p´erdidas de energ´ıa en el momento de las colisiones.
4.1.
Banco de medici´ on
El banco de medici´ on utilizado es el que se indica en la Figura I. La parte superior del circuito es un reductor de tensiones que tiene como finalidad obtener un rango de contratensiones (Vf) entre 0-3 V. La parte inferior permite la descarga del capacitor C cuando la llave L1 est´ a cerrada. El proceso de carga al abrir L1 da lugar a una tensi´ on en la rejilla (Va) creciente de la forma V a (t) = V c
0
·
(1 −
1 1 + V V
0
·
− t
e RC )
(1)
c0
. Esta ecuaci´ on se demuestra en el Ap´endice A. Las flechas indican los bornes en los que pueden medirse las correspondientes tensiones Va y Vs. En particular la medida de la corriente Is es llevada a un amplificador y de all´ı a una PC a trav´es de un conector. Para medir las tensiones y corrientes involucradas, se utilizar´ an mult´ımetros digitales, cuya precisi´on se sit´ ua alrededor del 1 % a fondo de escala.
6
Figura 6: Esquema del banco de medici´ on utilizado. Hablando del Potencial de Frenado “Vs”, se observa que hay un divisor de tensi´o n, un circuito conformado por 2 resistencias, de 10000 W y 3300W, logrando as´ı dividir las tensiones a un 25 %. En el Ap´endice A se encuentra explicado el porqu´e de este factor de divisi´ on por 4. Por otro lado, el papel del condensador en el Potencial de Aceleraci´ on o entrada “Va”, consiste en regular los valores que la fuente provee, ya que de lo contrario, habr´ıa que variar manualmente, de forma regular, la tensi´ on para poder apreciar correctamente la curva. Por u´ltimo, el amplificador de corriente se utilizar´ a ya que sin este no se podr´ıa apreciar correctamente el comportamiento de la magnitud Is con los instrumentos de medici´ on con los que se cuenta. Y desde este amplificador se coloca una salida a la PC para poder registrar todos los valores necesarios. Los pasos para preparar el banco de medici´ on son: 1. Encender el c´ atodo a 6,3 V y esperar un minuto. 2. Encender el horno a temperatura m´ axima durante 10 minutos (quema elementos vol´ atiles) 3. Colocar el amplificador de corriente I, recibida en el a´nodo (electrodo blanco o de choque) a fondo de escala de 0,1 mA, dejar estabilizar el amplificador 5 minutos antes de empezar a medir. 4. Bajar la temperatura entre T = 150 C y T = 220 C. Cuanto mayor es la temperatura, mayor el voltaje al que se enciende el bulbo (ionizaci´on) pero menor la corriente I recibida en el a´nodo (electrodo blanco o de choque). ◦
◦
5. Encender las fuentes Vfrenado (12V se reduce a 3V mediante el divisor de tensi´ on), Vaceleraci´on (30 V para la posterior carga del condensador manteniendo la llave cerrada). 6. El registro se comienza abriendo la llave que carga el condensador.
7
5.
Resultados y discusiones
V 0 = 30V ; V f = 1V ; T = 190 C ◦
Figura 7: Primera medici´on.
V 0 = 30V ; V f = 0, 5V ; T = 196 C ◦
Figura 8: Segunda medici´on.
8
V 0 = 30V ; V f = 1, 5V ; T = 188 C ◦
Figura 9: Tercera medici´ on.
En cada gr´ afico se observa una sucesi´ on de crestas y valles luego de una zona relativamente plana. La regi´on plana se corresponde con la etapa en la que todo el potencial entregado al c´atodo contribuye a la funci´on trabajo intentando desprender los electrones. Una vez desprendidos -o sea, una vez vencido el potencial de contacto-, a medida que aumenta el potencial aumenta la corriente, pues los electrones adquieren progresivamente mayor energ´ıa cin´etica al aumentarse el campo el´ ectrico dentro del triodo. Luego de alcanzar un pico, la corriente cae repentinamente debido a los fen´ omenos de excitaci´ on del mercurio y el scattering inel´ astico ya explicados. Luego vuelve a producirse el aumento en simult´aneo (aunque no lineal) de ambas variables hasta alcanzar otro pico, y as´ı sucesivamente. N´otese que, si bien los valles se hacen cada vez m´as profundos con respecto a su pico, cada m´ınimo del valle indica una corriente mayor que su predecesor. Esto se debe principalmente a factores probabil´ısticos, a saber: las chances de que un electr´ on, independientemente de la energ´ıa que tenga asociada, colisione dos veces contra los atomos ´ es menor a que colisione una, y este patr´on se extrapola a cualquier cantidad de choques. A continuaci´on se realizar´ a un gr´a fico de n en funci´ on del potencial, siendo n el n´ umero de pico de corriente de los gr´ aficos anteriores. Una vez trazados los puntos, se efect´ ua un ajuste lineal sobre los datos mediante el m´etodo de cuadrados m´ınimos. De este procedimiento se obtendr´ a la f´ormula de la recta que mejor aproxima a esos puntos, y = mx + b, de la cual se extraer´ an dos magnitudes: la energ´ıa de excitaci´ on del a´tomo de gas mercurio y el potencial de contacto denotado por la region plana de los gr´aficos de I vs V.
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Figura 10: Ajuste lineal de la primera medici´on.
Figura 11: Ajuste lineal de la segunda medici´on.
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Figura 12: Ajuste lineal de la tercera medici´ on.
Calculos de mediciones con sus respectivos errores absoluto Medicion Aproximacion (y = mx+b) Pendiente 1 3, 942 ± 0, 640 y = 3, 942x + 10 , 578 2 3, 779 ± 0, 443 y = 3, 779x + 10 , 931 3 3, 582 ± 0, 343 y = 3, 582x + 11 , 893
Ordenada al Origen 10, 578 ± 2, 351 10, 931 ± 1, 629 11, 893 ± 1, 259
Para hallar el valor del potencial de contacto, se calcula la ordenada al origen, es decir “b”, pues dicho potencial no representa m´ as que un mero corrimiento de la sucesi´ o n de crestas y valles, sin alterar en ning´ un caso la distancia entre ellos, pues s´olo representa la energ´ıa necesaria que se debe entregar al c´ atodo para que libere los electrones que no debe ser confundida con la energ´ıa propia del electr´ on al despegarse. De hecho, apenas vencida esa energ´ıa el electr´ on se desprender´ a con una energ´ıa casi nula. Por otro lado, para averiguar cu´ al es la energ´ıa de excitaci´on del a´tomo de mercurio basta con calcular la pendiente de la recta de ajuste, es decir “m”, ya que la pendiente es el cociente entre la diferencia de energ´ıas y la diferencia de n´ umeros de picos; como la diferencia en la numeraci´on de los picos es siempre una unidad, la diferencia de energ´ıas entre dichos picos resulta constante y es la energ´ıa de excitaci´ on buscada. En cuanto a un an´alisis comparativo entre los distintos gr´aficos acordes a las diferentes configuraciones del banco de medici´ on, se aprecia que al reducir el potencial de frenado aumenta la corriente. Esto es l´ ogico pues el umbral de tolerancia ser´a menor y se dar´a paso a electrones con energ´ıas m´ as bajas.
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Con respecto a la temperatura, se intent´ o mantener invariante para no afectar las mediciones en cada caso, salvo en el caso en que se quiso apreciar la ionizaci´ on del gas, pues si se aumenta la temperatura y por ende la energ´ıa cin´etica del mercurio, las colisiones con los electrones se vuelven m´as frecuentes y la corriente se ve reducida.
6.
Conclusiones
Cabe destacar que la realizaci´ on de esta experiencia nos demuestra que la energ´ıa est´ a cuantizada, y que para que un electr´on excite un a´tomo, debe tener exactamente la energ´ıa de uno de los saltos entre niveles de energ´ıa o m´ as. Si posee menos energ´ıa que uno de los saltos, este no se realiza, y el electr´on contin´ ua en la misma direcci´on, pero si, de lo contrario, posee la energ´ıa suficiente como la que posee el salto del primer excitado al fundamental, 4,9 eV (5 eV para aproximar) se produce un choque inel´ astico. Una vez que el electr´on choc´ o, sigue con la energ´ıa que le queda, y como fue comprobado si logra reunir la suficiente energ´ıa para realizar otra excitaci´ on, esta se lleva a cabo. Y luego ˚ para volver a su estado fundamental. Siendo las el a´tomo excitado emite un fot´ on de 2536 A dos excitaciones m´ as probables la del primer excitado al fundamental (4,9 eV) y la del segundo excitado al estado fundamental (6,7 eV), con esta experiencia s´ olo se puede apreciar el m´as probable (4,9 eV). Importante es mencionar que se ha podido corroborar el modelo propuesto por B¨ ohr, con sus postulados, y que la experiencia que realizaron Franck y Hertz, que fue reproducida en el presente trabajo, tuvo un aporte muy significativo, porque respalda dicho modelo. Para traba jos posteriores, una interesante propuesta ser´ıa realizar este mismo experimento pero con la utilizaci´on del gas de Ne´ on, en donde ocurre este mismo fen´ omeno, y adem´as las longitudes de onda emitidas al desexcitarse sus a´tomos se encuentran dentro del rango del espectro visible, por lo que las consecuencias de la experiencia ser´ıan notables a simple vista.
7.
Bibliograf´ıa http://es.wikipedia.org/wiki/Experimento_de_Franck_y_Hertz http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/frankHertz/frankHertz.htm http://www.lenntech.es/tabla-peiodica/energia-de-ionizacion.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_de_ionizaci%C3%B3n
Introducci´o n a la Mec´anica Cu´antica, Gratton, Julio. http://campus.fi.uba.ar/pluginfile.php/45573/mod_page/content/2/Guias_de_l aboratori Guia_para_la_elaboracion_de_informes_de_Fisica_IIID.pdf
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Ap´endice A Resoluci´on de circuitos
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Tensi´ on sobre el capacitor: el circuito cuando la llave L1 est´ a abierta se reduce a:
Figura 1: Circuito I – Potencial de entrada
Donde V a (t) = V c (t) , se plantea la ecuaci´ on diferencial de la corriente sobre este circuito. Seg´ un Kirchoff: 1 (1) V 0 − I (t) − I (t)dt = 0 ·
C
Derivando respecto del tiempo:
dI −I = dt RC
(2)
I (t) = e αt
(3)
dI = α · eαt dt
(4)
con I = I (t) Resolviendo la ecuaci´ on diferencial:
y
Entonces: α =
1
(5)
RC
Por lo tanto la corriente es:
− t
I (t) = A · e RC
Al ser I (t) =
dQ dt
(6)
se obtiene: − t
Q(t) = −A · (RC )(e RC
−
1) + Q0
(7)
Resolviendo, finalmente se obtiene: V a(t) = V c
0
·
(1 −
1 1 + V V
0
c0
14
·
− t
e RC )
(8)
En el caso del divisor de tensiones:
Figura 2: Circuito II – Potencial de entrada
Aplicando la ley de mallas de Kirchoff, V 0 − 10k Ω · I − 3, 3k Ω · I = 0 V 0 − 13, 3k Ω · I = 0 I =
V 0 13, 3k Ω
La tensi´on V s es la misma que la ca´ıda de tensi´ on sobre la resistecia de 3,3k Ω. V s = I · 3, 3k Ω =
V 0 · 3, 3k Ω = 0, 2481 · V 0 13, 3k Ω
≈
0, 25 · V 0 =
V 0
4
(9)
Por ende tenemos que la tensi´ on en V s es la misma que la cuarta parte de la que genera la fuente. Si V 0 = 6V ⇒ V s = 1, 5V Si V 0 = 12V ⇒ V s = 3V De esta manera se concluye que efectivamente la parte superior del circuito divide las tensiones por un factor de 4.
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Ap´endice B Cuestionario Previo
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1.
Cuestionario previo
a) Explicar brevemente el experimento de Franck y Hertz (teor´ıa y desarrollo) y su significado hist´ orico. ¿C´ omo se relaciona el fen´ omeno de scattering inel´ astico con la excitaci´ on de los ´ atomos de mercurio? ¿Es posible ver los fotones generados en las desexcitaci´ ones? El experimento de Franck y Hertz se realiz´ o por primera vez en 1914. Ten´ıa como objetivo demostrar la cuantizaci´ on de los niveles de energ´ıa de los electrones en los a´tomos. Esto es, probar que la absorci´on de energ´ıa se realiza en forma discreta a partir de paquetes de energ´ıa espec´ıficos (cuantos) y no de manera continua. As´ı, se confirm´ o el modelo cu´antico del a´tomo planteado por Bohr un a˜ no antes, convirtiendo a este experimento en uno de los experimentos fundamentales de la f´ısica cu´ antica. Bohr ya hab´ıa realizado experiencias previas para probar su teor´ıa, pero eran criticadas debido a que utilizaba luz, por lo que muchos le atribu´ıan el fen´ omeno cu´ antico del experimento meramente al comportamiento de la luz -que para esa ´epoca ya se sab´ıa cu´ antica- y no debido a los niveles de energ´ıa de un a´tomo por s´ı solo.
Figura 1: Gr´afico del experimento. La experiencia consta de un triodo con gas de mercurio en su interior a baja presi´ on. Dentro del tubo, se colocan un c´ atodo caliente, una rejilla polarizada y un a´nodo. Se genera una diferencia de potencial V entre el c´ a todo y la rejilla de forma tal que se arranquen electrones de aquel y salgan disparados. Por otro lado, entre la rejilla y el ´anodo se genera una tensi´ on de frenado capaz de discriminar si un electr´ on pasar´ a para contribuir a la corriente I o ser´ a retenido en la rejilla debido a su poca energ´ıa cin´etica. El experimento consiste en determinar la variaci´ o n de la corriente I debida a los electrones recogidos por la placa en funci´ on de V. Teniendo en cuenta la energ´ıa cin´etica de los electrones, podemos deducir sus p´erdidas de energ´ıa en el momento de las colisiones. Los electrones que circulan por el triodo colisionar´ an contra los a´tomos de mercurio. Cuando la energ´ıa cin´etica asociada a ellos es menor a 4,9eV no se alcanza la energ´ıa necesaria para excitar el a´tomo de mercurio, por lo tanto se producen choques puramente el´asticos, es decir se conserva la energ´ıa del electr´ on. Esto se debe a una de las predicciones de la mec´anica cu´ a ntica que afirma que un a´tomo no puede absorber ninguna energ´ıa hasta que la energ´ıa de la colisi´ on exceda el valor requerido para excitar un electr´ on que est´e enlazado a tal a´tomo a un estado de una energ´ıa m´ as alta. 17
Por otro lado, cuando el potencial resulta mayor a la energ´ıa de excitaci´ on del mercurio, se comienza a evidenciar el rol del scaterring inel´astico. Ahora en las colisi´on entre un electr´on y un ´atomos de mercurio gaseoso no se conserva la energ´ıa puesto que parte de la energ´ıa asociada al electr´ on -o toda, en caso de ser 4,9eV- se transmite al a´tomo con el fin de llevarlo de su estado fundamental a un estado excitado. Este fen´ omeno ser´ a apreciable en el gr´ a fico de I vs V al observar que para ese valor y sus m´ ultiplos la corriente cae repentinamente, debido justamente a la p´erdida de energ´ıa de los electrones, no pudiendo atravesar exitosamente la rejilla polarizada. Para desexcitarse el a´tomo de Hg y volver a su estado fundamental, se deber´ a producir una radiaci´ on de la energ´ıa acumulada en forma de fotones, con una frecuencia de ν = (4, 9eV )/h. Siendo ν = c/λ, estos fotones corresponden a una longitud de onda λ = 2536˚ A. Sabemos que el rango del espectro visible se encuentra aproximadamente entre los 400 y los 700nm de longitud de onda, variando ligeramente de acuerdo a cada individuo; la longitud de onda de los fotones emitidos por los a´tomos de mercurio es considerablemente menor a dicho rango, por lo tanto no podremos ver a simple vista la luz emitida por el gas.
al es el origen del potencial de contacto y c´ omo se lo calcula en el b) Explicar cu´ experimento de Frank y Hertz. El potencial de contacto es la diferencia entre la excitaci´ on termoel´ectrica y la funci´on trabajo del c´ atodo (parte del potencial aplicado se usa en acelerar los electrones para que se desprendan del material). En otras palabras, representa la tensi´ on necesaria que se le debe entregar al c´ atodo para poder desprender sus electrones del material y as´ı generar un haz de electrones dentro del triodo. En un caso ideal con electrones libres y en reposo, en el gr´ afico de I vs V comenzar´ıa a crecer la corriente inmediatamente despu´es de aumentar la tensi´ on. Sin embargo, si bien se trata de un c´ atodo met´ alico por lo que los electrones no estar´ an ligados tan intensamente al material, no se puede idealizar el experimento afirmando que al m´ınimo de energ´ıa entregada ya se genera el haz de electrones en el triodo. Por lo tanto, para las tensiones m´as bajas todav´ıa no se registrar´ a aumento de corriente puesto que los electrones a´ un no se despegar´ıan del c´ atodo y la energ´ıa entregada contribuir´ a a la funci´on trabajo. N´otese que el potencial de contacto ejercer´ a un corrimiento sobre los valores de las distintas diferencias de potencial entregadas al c´ atodo que logran la excitaci´on de los a´tomos del gas; no obstante la diferencia entre los picos y valles ligados a dichas excitaciones seguir´a siendo 4,9eV pues responde a las caracter´ısticas del gas mismo. Para calcular el potencial de contacto debemos confeccionar un gr´ afico de el n´ umero de pico de corriente en funci´ on de la tensi´on de aceleraci´ on. Luego se debe realizar una aproximaci´ on a trav´es de un ajuste lineal, usando por ejemplo el m´etodo de cuadrados m´ınimos. As´ı, obtendremos una recta de f´ ormula y=mx+b, donde m es la pendiente y b la ordenada al origen. Por lo tanto, como el potencial de contacto se evidencia en el gr´afico de I vs V como ya se dijo mediante un corrimiento, su valor se calcula como “b”. Por otro lado, la pendiente “m” resulta ser una aproximaci´on de la energ´ıa de excitaci´ on del a´tomo de mercurio.
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c) Suponiendo que se obtuvo el gr´ afico de la figura 2 en un experimento de Franck y Hertz, analizarlo como se explica en la secci´ on “An´alisis de datos”.
Figura 2: Gr´afico de corriente medida en funci´ on de la tensi´ on de aceleraci´ on aplicada. Se observa una sucesi´ on de crestas y valles luego de una zona relativamente plana. La regi´ o n plana se corresponde con la etapa en la que todo el potencial entregado al c´atodo contribuye a la funci´ on trabajo intentando desprender los electrones. Una vez desprendidos, a medida que se aumenta el potencial aumenta la corriente, pues los electrones adquieren progresivamente mayor energ´ıa cin´etica al aumentarse el campo el´ectrico dentro del triodo. Luego de alcanzar un pico, la corriente cae repentinamente debido a los fen´omenos de excitaci´ on del mercurio y el scattering inel´ astico ya explicados. Luego vuelve a producirse el aumento paralelo de ambas variables hasta alcanzar otro pico, y as´ı sucesivamente. N´otese que, si bien los valles se hacen cada vez m´as profundos con respecto a su pico, cada m´ınimo del valle indica una corriente mayor que su predecesor. Realizando un an´ alisis cuantitativo, el comienzo de la primera excitaci´ on de los a´tomos de mercurio (es decir, el valor de energ´ıa cin´etica correspondiente al primer Vm´ aximo) acontece aproximadamente a los 12eV. Los otros picos visibles son aproximadamente en 17eV y 22eV. Cuando un gas se ioniza, los a´tomos pierden un electr´ on. As´ı, m´as all´a de los electrones despegados del c´ atodo puramente por acci´ on del potencial de aceleraci´ on, ahora se suman estos electrones provenientes de los a´tomos de Hg, por lo que se espera un repentino crecimiento en la corriente a partir de cierto punto. La Figura 3 representa la tensi´ on en funci´ o n de los n´ umeros de picos de corriente, ajustado linealmente mediante el m´etodo de cuadrados m´ınimos, por lo que en realidad se trata de un gr´ afico aproximado. Se observa en la pendiente de la f´ormula que la energ´ıa de excitaci´ on efectivamente es 4,9eV como se hab´ıa predicho. Por otro lado, la ordenada al origen de la recta de ajuste lineal es 6,6333. Esto, como ya se ha explicado, es el potencial de contacto del c´ atodo.
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Figura 3: Gr´afico de tensi´ on en funci´ o n de los n´ umeros de picos de corriente. d) Investigar por qu´ e motivo ocurre la ionizaci´ o n del gas de mercurio y decir cu´ anto vale la energ´ıa de ionizaci´on La energ´ıa de ionizaci´ on es la energ´ıa necesaria para separar un electr´ on en su estado fundamental de un a´tomo, de un elemento en estado de gas. La ionizaci´on del gas se debe a las colisiones entre los ´atomos del mismo y los electrones disparados desde el c´ atodo. Como ya se sabe, dichos electrones tienen una cierta energ´ıa cin´ etica, que si es lo suficientemente alta como para excitar al atomo ´ de mercurio, se la transfieren al mismo en un choque inel´ astico. Pero si la energ´ıa absorbida es tal que logra excitar un electr´ on en su estado fundamental del nivel de energ´ıa m´ as alto del ´atomo, otorg´andole una energ´ıa cin´ etica lo suficientemente alta hasta el punto de que “salte” fuera del a´tomo, entonces se produce la ionizaci´ o n, perdiendo el a´tomo un electr´ on y quedando as´ı como un ion con carga positiva. La energ´ıa de ionizaci´ on del mercurio, seg´ un las tablas, es de 10.4375eV.
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e) Teniendo en cuenta el circuito utilizado en el dispositivo experimental:
on de V 0 cuando la 1. Calcular la ca´ıda de tensi´on sobre el capacitor en funci´ llave L1 est´ a cerrada (en estado estacionario). Como el capacitor est´ a en paralelo a la resistencia R2 = 100Ω, la ca´ıda de tensi´on entre sus bornes es igual para ambos componentes. Por lo tanto, utilizando las leyes de Kirchoff (en este caso s´ olo la de las mallas y no la de los nodos, puesto que hay una u ´ nica corriente considerando que en r´egimen estacionario no puede circular corriente por el capacitor): R2 V c = · V 0 R1 + R2 Donde: R1 = 10kΩ R2 = 100Ω Por lo tanto: V c =
1 · V 0 101
2. Obtener la expresi´ on de la tensi´ on de aceleraci´ on V a (t) desde el momento en que se abre la llave L1 considerando el valor encontrado en el punto anterior. La f´ormula para hallar la ca´ıda de tensi´ on sobre un capacitor en r´egimen transitorio es el resultado de una ecuaci´on diferencial. Para el caso de circuitos RC como el presente, considerando la carga inicial del capacitor: V a (t) = V c = V c · (1 − 0
− t 1 RC ) · e 1 + V V c 0
0
Utilizando los valores del circuito experimental (notar que la otra resistencia no se considera pues al abrirse la llave L1 su malla no est´ a cerrada): R = 10kΩ C = 2200µF La expresi´ on de la tensi´ on de aceleraci´ on es la siguiente: −t
V 0 e seg V a (t) = ) · (1 − 101 102 22
Donde Vo es la tensi´on configurada inicialmente en cada una de las mediciones.
on del error en la tensi´on de aceleraci´ on V a respecto de 3. Obtener la expresi´ V 0 y t. Usando el m´etodo de derivadas parciales, el error de la tensi´ on de aceleraci´ on resulta: −t −t 1 e seg e seg · V 0 ∆V a = ) · ∆V 0 + · (1 − · ∆t 101 102 226644s 22
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22
