Exo_etu_UTS_2

Printemps 2009

Examen RdP Exercice N°1 : Modélisation (5 points) On considère deux machines M1 et M2 qui travaillent en ligne. Un stock tampon S de capacité limitée à 4 sépare les deux machines. Chaque machine Mi i = 1,2 dispose également d’un stock tampon en entrée SMEi i = 1,2 et en sortie SMSi i = 1,2 de capacité limitée à une pièce. Un robot manipulateur est utilisé pour transporter les pièces du tampon de sortie SMS1 de M1 vers S et de S vers le tampon d’entré SME2 de M2. Ce système est schématisé par la figure suivante :

SME1

M1

SMS1

S (4)

SME2

M2

SMS2

On demande : 1) (1 pont) de modéliser les machines avec leurs stocks tampons, on tiendra compte des capacités unitaires de ce tampons. 2) (1 pont) de modéliser le stock S en tenant compte de sa capacité limitée. 3) (1 pont) de modéliser les transports, par le robot manipulateur, entre les tampons des machines et S. 4) (2 ponts) d’intégrer le manipulateur dans le modèle global.

Exercice N°2 : Présentation graphique est analyse ( 5 points) On considère le RdP, donné par les matrices d’incidence Pré et Post, suivant : Pre P1 P2 P3 P4

1 1 0 0 0

2 1 0 0 0

3 1 0 0 0

4 0 1 0 0

5 0 0 2 0

6 0 0 0 1

Post P1 P2 P3 P4

1 0 1 0 0

2 0 1 1 0

3 0 0 1 0

4 0 0 1 0

5 0 0 0 1

6 1 0 0 0

1) (1 pont) construire la représentation graphique de ce réseau 2) (2 ponts) le marquage initial est m0 = [1, 0, 0, 0]T. Construire l’ensemble des marquages accessibles – le réseau marqué est-il borné ? sans blocage ? Quelles sont les transitions quasi vivantes ? 3) (2 ponts) donner l’ensemble des séquences répétitives.

Printemps 2009 Exercice N°3 : Propriétés (6 ponts) On considère le RdP marqué de la figure suivante. Il s’agit d’un réseau à arcs pondérés dont le marquage initial est indiqué sur cette figure.

P1

...

. .

T1

T2

P2

2 3

T3

P3

2

1) (2 ponts) La séquence de transition < t1 t2 t3 > est-elle une séquence de franchissement à partir du marquage initial ? Si oui quel est le marquage atteint après cette séquence tel que :

[

[

[

m0 t1 > m1 t2 > m2 t3 > m3 2) (2 ponts) Comparer les marquages m0 et m2 ; puis m0 et m3, quelles sont les propriétés des séquences < t1 t2 > et < t1 t2 t3 >. En déduire que le réseau n’est pas borné pour le marquage initial. 3) (2 ponts) Déterminer les matrices Pre et Post du RdP, donner l’expression de la matrice d’incidence W = Post – Pre. En déduire comment peuvent être calculés les marquages qui résultent de 4 application successives des séquences de franchissements < t1 t2 t3 >, ou < t1 t2 >. Exercice N°4 : Propriétés (4 points) On considère le réseau décrit par :

T = {t1 ,t 2 }, P = {P}, Pr e(P ,t1 ) = 0, Post (P ,t1 ) = 1

Pr e(P ,t 2 ) = 1, Post (P ,t 2 ) = 0 , avec le marquage initiale m0 = 0. On demande : 1) (1 pont) de construire l’arbre de couverture 2) (1 pont) le réseau est-il borné ? 3) (1 pont) le réseau est-il vivant ? 4) (1 pont) le réseau est-il sans blocage ?

Printemps 2009

Corrections Exercice N°1 : Modélisation (5 points) On considère deux machines M1 et M2 qui travaillent en ligne. Un stock tampon S de capacité limitée à 4 sépare les deux machines. Chaque machine Mi i = 1,2 dispose également d’un stock tampon en entrée SMEi i = 1,2 et en sortie SMSi i = 1,2 de capacité limitée à une pièce. Un robot manipulateur est utilisé pour transporter les pièces du tampon de sortie SMS1 de M1 vers S et de S vers le tampon d’entré SME2 de M2. Ce système est schématisé par la figure suivante :

SME1

M1

SMS1

S (4)

SME2

M2

SMS2

On demande : 1) (1 pont) de modéliser les machines avec leurs stocks tampons, on tiendra compte des capacités unitaires de ce tampons.

SME1

M1

SMS1

Même modèle pour la machine M2 et ses stocks tampons.

Printemps 2009 2) (1 pont) de modéliser le stock S en tenant compte de sa capacité limitée.

3) (2 ponts) d’intégrer le manipulateur dans le modèle global. SME1

M1

SMS1

S(4)

SME2

M2

SMS2

Robot

Printemps 2009 Exercice N°2 : Présentation graphique est analyse ( 5 points) On considère le RdP, donné par les matrices d’incidence Pré et Post, suivant : Pre P1 P2 P3 P4

1 1 0 0 0

2 1 0 0 0

3 1 0 0 0

4 0 1 0 0

5 0 0 2 0

6 0 0 0 1

Post P1 P2 P3 P4

1 0 1 0 0

2 0 1 1 0

3 0 0 1 0

4 0 0 1 0

5 0 0 0 1

6 1 0 0 0

1) (1 pont) construire la représentation graphique de ce réseau

2) (2 ponts) le marquage initial est m0 = [1, 0, 0, 0]T. Construire l’ensemble des marquages accessibles – le réseau marqué est-il borné ? sans blocage ? Quelles sont les transitions quasi vivantes ?

Le réseau est borné, non sauf. Il existe un marquage bloquant : Mb = [ 0 0 1 0]T Toutes les transitions sont quasi-vivantes. 3) (2 ponts) donner l’ensemble des séquences répétitives. Mo [t2, t4, t5, t6 > Mo

Printemps 2009 Exercice N°3 : Propriétés (6 ponts) On considère le RdP marqué de la figure suivante. Il s’agit d’un réseau à arcs pondérés dont le marquage initial est indiqué sur cette figure.

P1

...

T1

. . P2

2 3

T2

T3

P3

2

1) (2 ponts) La séquence de transition < t1 t2 t3 > est-elle une séquence de franchissement à partir du marquage initial ? Si oui quel est le marquage atteint après cette séquence tel que :

[

[

[

m0 t1 > m1 t2 > m2 t3 > m3 La séquence de transitions < t1 t2 t3 > est une séquence de franchissement : Mo [t1 > M1 = [ 2 3 4]T M1 [t2 > M2 = [ 3 2 4]T M2 [t3 > M3 = [ 5 2 3]T Mo [t1 t2 t3 > M3 = [ 5 2 3]T 2) (2 ponts) Comparer les marquages m0 et m2 ; puis m0 et m3, quelles sont les propriétés des séquences < t1 t2 > et < t1 t2 t3 >. En déduire que le réseau n’est pas borné pour le marquage initial. M2

≥ Mo et

M2(P1) = Mo(P1) M2(P2) > Mo(P2) M2(P3) > Mo(P3)
Mo [t1 t2 > M2 est une séquence répétitive croissante pour les places P2 et P3
Le RdP est non borné M3 > Mo
la séquence de franchissement < t1 t2 t3 > est répétitive croissante pour toutes les places du réseau.

Printemps 2009 3) (2 ponts) Déterminer les matrices Pre et Post du RdP, donner l’expression de la matrice d’incidence W = Post – Pre. En déduire comment peuvent être calculés les marquages qui résultent de 4 application successives des séquences de franchissements < t1 t2 t3 >, ou < t1 t2 >. Post

T1

T2

T3

P1

0

1

2

P2

2

0

0

P3

3

0

0

Pré

T1

T2

T3

P1

1

0

0

P2

0

1

0

P3

0

0

1

W

T1

T2

T3

P1

-1

1

2

P2

2

-1

0

P3

3

0

-1

Pour la séquence de franchissement < t1 t2 t3 > nous pouvons calculer le marquage M3 Mo [t1 t2 t3 > M3 PAR /

M 3 = M 0 + Wσ

avec

σ = [1,1,1]T

Pour l’application successive de la séquence < t1 t2 t3 > l’expression précédente :

M 0 [ σσσσ 123 > M = M 0 + WS

avec

S = (4 ,4 ,4 )

T

S

M = M 0 + 4Wσ

=>

2  1 11 3  − 1 1 M = 1 + 4  2 − 1 0  1 =  5         1 3 0 1 −  1  9    

Printemps 2009

Exercice N°4 : Propriétés (4 points) On considère le réseau décrit par :

T = {t1 ,t 2 }, P = {P}, Pr e(P ,t1 ) = 0, Post (P ,t1 ) = 1

Pr e(P ,t 2 ) = 1, Post (P ,t 2 ) = 0 , avec le marquage initiale m0 = 0. On demande : 1) (1 pont) de construire l’arbre de couverture

M 0 = (0 ) →(ω ) t1

t1 (ω )( v ) →

t2 (ω )( v ) →

2) (1 pont) le réseau est-il borné ? - Non 3) (1 pont) le réseau est-il vivant ? - Oui 4) (1 pont) le réseau est-il sans blocage ? – Sans blocages

Printemps 2009

Problème n°1 (barème indicatif : 7 points) Le fonctionnement d’un stock de pièces, de capacité finie N, est synchronisé par les deux événements externes suivants : 

chaque occurrence de l’événement E1 provoque l’arrivée d’une nouvelle pièce dans le stock, s’il y a des places libres ;



chaque occurrence de l’événement E2 correspond à une demande de sortie d’une pièce du stock, cette demande est immédiatement satisfaite s’il y a des pièces dans le stock, sinon cette demande est mémorisée est sera satisfaite dès qu’une nouvelle pièce arrivera dans le stock.

Questions : 1. (2 points) proposez un modèle RdP synchronisé pour représenter ce système ; précisez (sur le RdP, ou ailleurs) le rôle de chacune des places employées. 2. (1 point) en considérant uniquement la structure de votre modèle, recherchez s’il possède des composantes conservatives, si oui, lesquelles ; s’il est susceptible de posséder des séquences de franchissement stationnaires, si oui, lesquelles. 3. (3 points) construisez le graphe des marquages accessibles du modèle proposé dans le cas particulier N = 2. Pour cela, il convient d’utiliser à la fois, les règles de fonctionnement d’un RdP synchronisé et la procédure de construction de l’arbre des marquages accessibles. 4. (1 point) vérifiez, que les réponses données à la question n°2 sont confirmées par le graphe des marquages accessibles. Solution proposée

T2 (E2)

T1 (E1)

P1

P3

P2

P1 // places libres // P2 // places occupées // P3 // demandes en attente //

T3 (e)

Question n°2 : il faut donner la matrice d’incidence :

 −1 0 C = 1 0 0 1

1  −1 −1

On en tire :

1  1 q = n 1  ; s = k 1 0  1

Printemps 2009 Il y a une seule composante conservative :

{P1, P 2} , le nombre de places libres + le nombre de

places occupées = N ; il peut y avoir des séquences répétitives stationnaires, caractérisées un nombre de franchissements égal de chacune des transitions du réseau. Question N°3 : on choisit un marquage initial légal, par exemple

M0 = [N

0 0] ; la transition

T2, étant une transition source, elle est toujours validée, le marquage initial valide deux transitions T1 et T2, synchronisées sur deux événements différents, l’une ou l’autre sera franchie. Si, E2 ne se produit jamais, T1 peut être franchie N fois (N occurrences de E1), ensuite, les occurrences de E1 ne font plus évoluer le marquage. Chacun de ces marquages, différents de M0, valide également T2, et après le franchissement de T2/E2, la transition T3 est immédiatement franchie, on a :

 N − i  N − i + 1   (T 2T 3) / E 2 M i =  i  → M i −1 =  i − 1   0   0  Depuis M0, si T2 est franchie sur occurrence de E2, on obtient le marquage suivant :

N  Mˆ =  0  ≥ M 0  1  La séquence {T2/E2} est donc répétitive croissante pour la place P3, le marquage précédent est donc remplacé par :

N  M =  0   ω  Ce pseudo marquage, valide les 2 transitions T1 et T2 ; comme précédemment, le franchissement de (T2T3)/E2, le laisse inchangé ; le franchissement de T1/E1 le modifie en :

 N − 1 M 1 =  1   ω  En résumé, on ne pourra donner que le graphe de couverture des marquages accessibles ; celuici comporte deux parties, et pour N = 2, on a :

2 1  0  T 1/ E1 T 1/ E1  0     → 1 ← →     ←   (T 2T 3) / E 2  2  (T 2T 3) / E 2  0  0   0  2 2 1  0 T 1/ E1 T 1/ E1  0       T 2/ E2  → 1 ← →   →  0  ←      (T 2T 3) / E 2  2  ( T 2T 3/ E 2  0  ω  ω   0  On vérifie immédiatement que la somme des marques dans les places P1 et P2 est égale à N, qu’il existe des séquences répétitives stationnaires qui sont telles que : .

Printemps 2009

Problème n°2

(barème proposé : 7 points)

On considère le RdP, non marqué, de la Figure. C’est un graphe d’événement dont la matrice d’incidence est

 1 0 0 0 0 0 −1  −1 1 0 0 0 0 0     −1 0 0 0 1 0 0     0 1 0 −1 0 0 0   0 −1 1 0 0 0 0  C=   0 0 −1 1 0 0 0   0 0 0 −1 0 0 1     0 0 0 0 −1 1 0   0 0 0 0 1 −1 0     0 0 0 0 0 −1 1  Questions 1. (1 point) démontrez que le système de 7 équations à 10 inconnues,

qT C = 0 ∈

1×7

possède une solution générale que l’on peut exprimer sous la forme suivante, dans laquelle les variables a, b, c, d sont des nombres entiers non tous nuls :

qT = [ a + b

a

b

c

a+c

a+c

a

b+d

d

b

]

2. (2 points) à partir de cette solution générale, donnez les quatre composantes conservatives de ce RdP, et en déduire qu’il est conservatif quel que soit le marquage initial envisagé. 3. (3 points) ce RdP est maintenant pourvu d’un marquage initial et d’une relation de synchronisation :

M 0 = [1, 0, 0,1, 0, 0, 0, 0,1, 0]

T

est associé aux transitions

et

synchro : Ε = {E1, E 2} → T telle que E1

T 1, T 2 et E 2 aux transitions T 3, T 5 .

a. construire l’arbre, ou le graphe, des marquages accessibles, stables et instables, du réseau synchronisé ; b. déduire de cet arbre, ou de ce graphe, le graphe de l’automate représentant les comportements du système modélisé par le RdP synchronisé proposé. Solution proposée La troisième colonne de la matrice d’incidence impose que q5 colonnes deux et quatre, que q5 colonnes impliquent que q8

= q6 . Ce qui entraîne, avec les

= q2 + q4 = q6 = q4 + q7 ⇒ q2 = q7 . Les sixième et septième

= q3 + q9 = q9 + q10 ⇒ q3 = q10 . En posant q2 = a, q3 = b, q4 = c, q10 = d

on obtient l’expression donnée pour la solution générale. Cette solution est une combinaison linéaire de quatre vecteurs de base :

Printemps 2009 1  1  0  0  1  0  0  0          0  1  0  0          0  0  1  0  1  0  1  0  q = a  +b +c +d   1  0  1  0  1  0  0  0          0  1  0  1  0  0  0  1          0  1  0  0  À chacun de ces vecteurs, il correspond une composante conservative ; ce qui fournit :

P1 = {P1, P 2, P5, P6, P7}, P2 = {P1, P3, P8, P10} P3 = {P 4, P5, P6}, P4 = {P8, P9} Remarques : 

si on connaît les résultats classiques liés aux propriétés structurelles des graphes d’événements fortement connexes, le résultat obtenu ici est évident, chacune des composantes conservatives correspond à un circuit élémentaire,



ce résultat peut être obtenu sans avoir répondu à la question n°1.

Le marquage initial valide uniquement la transition T1, celle-ci sera franchie sur l’occurrence de E1 ; il est stable. Le nouveau marquage (P2, P3, P4, P9) valide deux transitions, T2 et T5, chacune est associée à un événement différent, elles ne seront donc jamais franchies « simultanément » ; il est stable. Depuis le marquage stable (P2, P3, P4, P9) : 

le franchissement de T2 sur une nouvelle occurrence de E1, fournit le marquage suivant : (P3, P5, P9). Il valide les transitions T3 et T5, associées au même événement, il est stable. Ces transitions ne sont pas en conflit structurel, elles forment une SSM, le franchissement de cette SSM fournit (P6, P8) instable. Ce marquage valide deux transitions, T4 et T6, non synchronisées, elles ne sont pas en conflit structurel, elles forment une SSM, le franchissement de cette SSM fournit (P4, P7, P9, P10), instable. Ce marquage valide T7, non synchronisée, son franchissement fournit le marquage initial.



le franchissement de T5 sur occurrence de E2, fournit le marquage (P2, P4, P8), il valide T6 qui est immédiatement franchie, ce marquage est instable. On obtient (P2, P4, P9, P10), qui valide T2 ; celle-ci sera franchie sur occurrence de E1, il est stable. Le marquage résultant de ce franchissement sera (P5, P9, P10), il ne valide que T3, il est stable. Celle-ci sera franchie lors de l’occurrence de E3, ce qui conduit au marquage (P6, P9, P10) qui valide T4. Celle-ci sera immédiatement franchie, et fournit (P4, P7, P9, P10) qui valide T7, immédiatement franchie, ce qui donne à nouveau le marquage initial.

L’automate équivalent correspond au graphe des marquages accessibles, dans lequel on a supprimé tous les marquages instables.

Printemps 2009 Utilisation du modèle RdP ordinaire II Exercice n°1 On considère un système informatique constitué de trois machines M1, M2 et M3. Les données qui arrivent dans ce système pour y être traitées sont, d’abord, stockées dans une file d’attente F1 dans laquelle les machines M1 et M2 vont les prélever, une à une. Avant de quitter ce système, chaque donnée reçue dans F1 doit subir deux opérations de traitement, O1 et O2, qui doivent être exécutées dans l’ordre O1 puis O2. L’opération O1 peut être réalisée avec la machine M1, ou avec la machine M2. L’opération O2 ne peut être réalisée qu’avec la machine M3. Après avoir subi l’opération O1, les données transformées qui quittent M1 ou M2 sont placées dans une file d’attente F2 dans laquelle la machine M3 les prélèvent une à une. Après avoir subi l’opération O2, les données finales sont placées dans une troisième file d’attente F3 avant d’être transférées vers un autre système. La réalisation de l’opération O1 sur la machine M1 requiert le concours d’une ressource R1, tandis que celle de O1 sur M2 requiert celui d’une autre ressource R2. Enfin, la réalisation de O2 sur M3 requiert le concours soit de R1, soit de R2. On supposera que les capacités d’accueil des trois files d’attente ne sont pas limitées. Les opérations O1, et O2 constituent les deux seules activités, ou tâches, de ce système ; chacune peut être représentée, en termes de RdP, par une transition de type tâche. (a) pour chaque activité, dresser la liste des ressources qui doivent être disponibles pour qu’elle puisse débuter ; (b) pour chaque activité, dresser la liste des ressources qui deviennent disponibles lorsque l’activité est terminée ; (c) déduire, des deux questions (a) et (b), une représentation par RdP de système. (d) Comment doit être modifié ce RdP si, maintenant, on fait l’hypothèse que les 3 files d’attente ont des capacités limitées ? Exercice n°2 Un service d’une administration utilise le protocole suivant pour gérer les services qu’elle rend à ses clients : (a) lorsque sa porte d’entrée est ouverte les clients sont admis un par un dans un local d’attente. La capacité maximum d’accueil de ce local est un nombre entier, n, plus grand que un, mais non connu a priori. (b) Tant que la porte d’entrée est ouverte, aucun service n’est rendu aux clients qui attendent. (c) Lorsque ce service administratif le décide, la porte d’entrée est fermée ce qui provoque l’ouverture d’une porte de sortie ; les clients sont alors servis un par un, et sortent, un par un, par cette porte. (d) La porte d’entrée ne pourra être à nouveau ouverte que lorsque tous les clients qui étaient entrés seront sortis. On demande : 1. De représenter les relations « événements/conditions d’état » imposées par le protocole choisi par ce service administratif à l’aide d’un RdP ordinaire (i.e. places – transitions). Pour cela, vous devrez constater, de vous même, qu’il convient de palier une limitation du pouvoir de modélisation des RdP ordinaires, à savoir leur incapacité à valider une transition dont l’une des places d’entrée ne contient aucun jeton ! 2. Pour la valeur n = 3, on vous demande de vérifier, en donnant le graphe des marquages accessibles, que le RdP proposé répond correctement aux spécifications : le marquage initial considéré correspondra à l’état suivant : aucun client en attente, porte d’entrée ouverte.

Printemps 2009 3. La notion d’arc inhibiteur : un arc dit « inhibiteur » est un arc qui relie une place à une transition, une condition nécessaire pour que la précondition de cette transition soit vraie est que cette place ne contienne aucun jeton ; elle diffère donc de la condition nécessaire habituelle. En quoi, cette notion d’arc inhibiteur permet-elle de représenter le fonctionnement de ce service administratif lorsque la capacité d’accueil du local n’est pas fixée ? Exercice n°3 On considère un système constitué d’une file d’attente et d’un serveur. La capacité maximum d’accueil de la file d’attente est de

n∈

− {0} clients. Le serveur a trois états : il peut être

disponible (D), il peut être en cours de service (S), il peut être en panne (I). Lorsque le serveur est « en cours de service », il peut tomber en panne. Cet événement provoque le retour du client, qui était en cours de service, dans la file d’attente. Une fois le serveur réparé, il redevient disponible. Les événements à prendre en compte sont : 

« a » : arrivée d’un nouveau client dans la file ;



« b » : début d’un service ;



« d » : départ d’un client servi (service complet rendu) vers l’extérieur ;



« p » : le serveur tombe en panne.



« r » : le serveur est réparé.

On demande : (a) d’établir la liste des préconditions et des post-conditions de chacun des événements ; (b) d’en déduire un RdP qui permettra de représenter le fonctionnement de ce système ; (c) quel est le marquage initial du RdP qui correspond à l’état global suivant : le serveur est disponible, n = 3 et il y a deux clients en attente dans la file ; (d) d’utiliser les règles de validation et de franchissement des transitions pour déduire les états accessibles depuis l’état initial.

Printemps 2009 Exercice n°1 On considère un réseau ordinaire dont la structure est donnée par les deux application Pré et Post suivantes :

Post

t1

t2

t3

p1 p2 p3

0 2 3

1 0 0

2 0 0

Pr é p1 p2 p3

t1 1 0 0

t2 0 1 0

t3 0 0 1

On vous demande : 1. De déterminer si ce réseau possède des composantes conservatives, et si oui, lesquelles ? 2. Ce réseau peut-il posséder des séquences de franchissement répétitives stationnaires ? 3. À partir du marquage initial suivant :

m0 = [3 1 1] , déterminez si la séquence de transitions T

s1 = t1 t 2 est une séquence franchissable, si oui quel est le marquage atteint par son franchissement, quelle propriété peut-on attacher à cette séquence de transitions. 4. Même question qu’en 3, pour la séquence de transitions

s 2 = t1 t 2 t 3 .

5. Construire le graphe dit de couverture des marquages accessibles.

Exercice n°2 Le réseau à analyser est donné à la figure n°1, ci-dessous.

p1 t1

t3

p3

p2 t2

t4

Figure n°1. 1. Déterminez si ce réseau possède, ou non, des composantes conservatives. 2. Déterminez si ce réseau peut posséder des séquences de franchissement répétitives stationnaires. 3. On considère le marquage initial suivant :

m0 = [1 0 0] , construisez le graphe de T

couverture des marquages accessibles, et en déduire que pour ce marquage initial, ce réseau est sauf, que les transitions t1 et t 2 sont vivantes, mais que le réseau n’est pas vivant, que ce réseau peut être réinitialisé. 4. On considère cette fois, le marquage initial :

m0 = [2 0 0] , construisez le graphe de

couverture des marquages accessibles, et en déduire que :

T

Printemps 2009 

Que le réseau est borné, donnez la valeur de la borne ;



Qu’il est sans blocage ;



Que les transitions

t1 et t 2 sont vivantes, mais que les transitions t 3 et t 4 ne sont que

quasi vivantes 

Qu’il possède des séquences de franchissement répétitives stationnaires, lesquelles ?



Qu’il peut être réinitialisé, sous quelles conditions (i.e. à partir de quels marquages ?).

Exercice n°3 On considère deux RdP, différents, donnés à la figure n°2 ci-dessous.

t4 2

2

p3

t1

t3

p1

p2

t2 (a)

t4 p3 t1

t3

p1

t2

p2

(b) Figure n°2. 1. Montrez que ces deux réseaux marqués ont le même graphe de couverture. 2. Montrez que le réseau de la figure n°2a possède un marquage bloquant accessible, mais que le réseau de la figure n°2b ne possède aucun marquage bloquant.

Printemps 2009 Exercice n°1 On considère le réseau de trois files d’attente et trois serveurs (cf. figure 1), déjà étudié en TD avec le modèle automate : Chaque client qui quitte le serveur S1 est dirigé vers la file d’attente F2 si le nombre de clients en attente dans F3 est inférieur ou égal à celui de F2, sinon il est dirigé vers la file F3. Les capacités d’accueil de trois files sont limitées, de plus, on suppose que ces capacités sont égales, capacité (Fi) = 4 pour i = 1, 2, 3. On demande : 1. De donner un premier RdP ordinaire dont la structure seule va représenter le fonctionnement de base de ce système. 2. De constater qu’il est impossible, avec des RdP ordinaires, de prendre en compte la « politique de routage » des clients ayant reçu le premier service.

C2 C1 a1

b1

a2

b2

d2

a3

b3

d3

d1

C3 Figure 1 3. De proposer une extension des RdP ordinaires afin de palier cette limitation des RdP ordinaires. 4. Avec cette extension, comment prendrait-on en compte la contrainte supplémentaire suivante : un nouveau client, venant de l’extérieur, ne peut être admis dans le système que si le nombre total de clients déjà présents est inférieur au égal à 7 ?

Exercice n°2 On considère un réseau ordinaire dont la structure est donnée par les deux application Pré et Post suivantes :

On vous demande :

Pr é

1

2

3

4

5

6

p1

1

1

1

0

0

0

p2

0

0

0

1

0

0

p3

0

0

0

0

2

0

p4 Post

0 1

0 2

0 3

0 4

0

1

p1

0

0

0

p2

1

1

p3

0

p4

0

5

6

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

1

0

Printemps 2009 6. De construire la matrice d’incidence C de ce réseau, et d’en déduire que le système homogène

q T C = 01×6 ne possède pas d’autres solutions que la solution triviale q = 0 4×1 .

Quelles sont les conséquences de cette propriété par rapport à l’existence de composantes conservatives ? 7. À partir de l’application Pré, de donner des marquages (i.e. des distributions initiales de jetons dans les places) qui ne valident aucune des transitions de ce réseau. Est-il possible de conclure à leur non accessibilité ? 8. De construire l’ensemble des marquages accessibles à partir du marquage initial suivant :

m0 = [1 0 0 0] . T

9. De déduire de la question 3 quels sont les marquages donnés en réponse à la question 2 qui sont accessibles. 10. De montrer, à partir du graphe des marquages accessibles, qu’il existe des séquences de franchissement depuis le marquage initial qui permettent d’y revenir autant de fois que l’on veut, donner ces séquences de franchissements. De telles séquences de franchissement sont appelées des séquences répétitives stationnaires. 11. De donner la condition nécessaire d’existence de séquences de franchissement telles que celles de la question 5.

Exercice n°3 Soit le RdP de la figure 2. 1. donner ses applications Pré et Post, en déduire sa matrice d’incidence. 2. déterminer toutes ses composantes conservatives, ce RdP est-il conservatif ? Quelle est, en termes de propriétés de fonctionnement du système que ce RdP représente, la signification de chacune des composantes conservatives.

D t1

S Q

t3

t2

t4 P t5 F

Figure 2

Printemps 2009

Ordonnancement cyclique de tâches On considère un ensemble de 8 tâches, ou activités, notées A, B, C, D, E, F, G, H, susceptibles d’être exécutées par un système informatique. Une fois lancée, une tâche quelconque ne peut être interrompue. La politique de lancement de chacune de ces tâches est la suivante : a) à l’initialisation, la tâche A est exécutable. Les tâches B et C ne peuvent être exécutées qu’après la fin A, ce qui n’implique pas que ces 2 tâches soient nécessairement lancées en même temps. La tâche D n’est exécutable qu’après la fin de B ; E n’est exécutable qu’après la fin de C ; F n’est exécutable qu’après la fin des tâches C et D ; G n’est exécutable qu’après la fin des tâches D et E ; enfin, H n’est exécutable qu’après la fin des tâches F et G. b) La tâche A peut être à nouveau exécutée après la fin de E ; la tâche B après la fin de A et de H, et le cycle peut recommencer indéfiniment. Afin de représenter ces contraintes de lancement des tâches à l’aide d’un RdP, on adoptera, d’abord, la convention suivante : une tâche sera représentée par une place - tâche, de même nom que celui de la tâche. Une place - tâche possédera une seule transition d’entrée et une seule transition de sortie (i.e. la transition d’entrée peut être associée à l’événement lancement de la tâche, la transition de sortie à l’événement fin de tâche). 1. Pour chaque tâche, représentez, en termes de RdP, la précondition de franchissement de sa transition d’entrée. 2. Donnez ensuite le RdP complet, ainsi que son marquage initial. Vérifiez que la structure de ce RdP est celle d’un graphe d’événements. 3. En utilisant la règle de franchissement des transitions, vérifiez que les contraintes de lancement sont bien satisfaites. 4. On décide de « simplifier » ce RdP en utilisant la notion de transition – activité : une transition – activité correspond exactement au motif suivant : la transition de lancement de la tâche, suivie de la place – tâche, suivie de sa transition fin de la tâche. Donnez le nouveau RdP qui découle de cette « simplification», s’agit-il encore d’un graphe d’événements ? 5. Ce nouveau réseau comporte-t-il des places dont le nombre de jetons peut augmenter indéfiniment ? comporte-t-il des circuits élémentaires dans lesquels le nombre de jetons est constant ? (On appelle circuit élémentaire d’un RdP, un chemin qui débute par une transition (resp. une place) et qui se termine par la même transition que celle du début (resp. la même place), sans rencontrer plus qu’une fois un même sommet).

File d’attente et protocole de service Un service d’une administration utilise le protocole suivant pour gérer les services qu’elle rend à ses clients : a) lorsque sa porte d’entrée est ouverte les clients sont admis un par un dans un local d’attente. La capacité maximum d’accueil de ce local est un nombre entier « N », plus grand que un, mais non connu a priori. b) Tant que la porte d’entrée est ouverte, aucun service n’est rendu aux clients qui attendent

Printemps 2009 c) Lorsque ce service administratif le décide, la porte d’entrée est fermée ce qui provoque l’ouverture d’une porte de sortie – les clients sont alors servis, un par un, et sortent, un par un, par cette porte. On demande : 1) De représenter le fonctionnement de ce service à l’aide d’un RdP ordinaire. 2) De vérifier (pour N=3) en donnant le graphe des marquages accessibles que le RdP proposé répond correctement aux spécifications. L’état initial est le suivant : aucun client en attente, porte d’entrée ouverte. 3) La notion d’arc inhibiteur - un arc qui relie une place à une transition, une condition nécessaire pour que la pré-condition de cette transition soit vraie est que cette place ne contient aucun jeton. Modifier le modèle proposé en utilisant cette nouvelle définition.

Le Dîner chinois des philosophes Quatre philosophes P1 à P4 sont assis autour d’une table. Quatre baguettes b1 à b4 sont sur la table, telles que b1 est à droite de P1 et à gauche de P4, etc. Chaque philosophe à deux états : il pense ou il mange. Pour passer de l’état « pense » à l’état « mange », chaque philosophe doit utiliser la baguette située à sa droite et celle située à sa gauche. 1)

2) 3)

4)

Décrire par un RdP un philosophe qui respecte le protocole suivant : lorsqu’il désire manger il doit d’abord prendre la baguette à sa droite puis celle à sa gauche ; lorsqu’il termine de manger il dépose les deux simultanément sur la table. Décrire par un RdP l’ensemble des philosophes en utilisant le motif proposé en 1. A partir de l’état initial – tous les philosophes pensent et toutes les baguettes sont sur la table – montrez qu’il existe au moins une séquence de franchissement qui conduit à un blocage. Proposer une solution …

Printemps 2009

Exercice I Une cellule de travail est composée de 2 machines

M 1 et M 2 , et d’un chariot filoguidé, AGV. La

représentation du fonctionnement de l’ensemble est donnée sous la forme de 3 automates, cf. figure ci-dessous, respectivement désignés par M 1 , M 2 et AGV, le système complet est décrit par la composition parallèle:

G = M 1 // M 2 // AGV .

M1

M2 a1

a2

0

1

0

1

b1

b2 AGV a2

b2 0

1 b1

2 c

1. À partir de cette description, on demande d’établir un modèle RdP de cette cellule de travail. Donnez les deux applications Pré et Post de ce réseau. 2. Quel est le marquage du réseau qui correspond à l’état global actif suivant : (état 0 de M1 actif) ET (état 0 de M2 actif) ET (état 0 de AGV actif). Quelles sont les transitions validées par ce marquage. 3. Déduire de la question 2, quels sont les marquages qui résultent des franchissements possibles.

Exercice II On considère un système constitué d’une file d’attente et d’un serveur. La capacité maximum d’accueil de la file d’attente est N1. Le serveur a trois états : il peut être disponible (D), il peut être en cours de service (S), il peut être en panne (I). Lorsque le serveur est « en cours de service », il peut tomber en panne. Cet événement provoque le retour du client, qui était en cours de service, dans la file d’attente. Une fois le serveur réparé, il redevient disponible. (Attention au débordement de la file) Les événements à prendre en compte sont : 

« a » : arrivée d’un nouveau client dans la file ;



« d » : début d’un service ;



« f » : départ d’un client servi (service complet rendu) vers l’extérieur ;



« p » : le serveur tombe en panne.



« r » : le serveur est réparé.

On demande : (e) d’établir la liste verbale des préconditions et des post-conditions de chacun des événements ; (f) d’en déduire un RdP qui permettra de représenter le fonctionnement de ce système ; (g) quel est le marquage initial du RdP qui correspond à l’état global suivant : le serveur est disponible, N1=3 et il y a deux clients en attente dans la file ; (h) d’utiliser les règles de validation et de franchissement des transitions pour déduire les états accessibles depuis l’état initial.

Printemps 2009

Exercice III [david et alla] On considère l’atelier à flot symbolisé sur la figure. Des pièces arrivent dans le stock ST1, passent sur la machine MA1, puis dans le stock ST2, enfin sur la machine MA2 avant de sortir de l’atelier. Les stocks ont une capacité illimitée. Il ne peut y avoir qu’une seule pièce sur chaque machine. Il y a deux types de pièces, p1 et p2. Les pièces arrivent dans un ordre quelconque (donc elles sont mélangées dans le stock ST1) mais elle passent sur les machines dans un ordre bien défini, qui est une alternance p1 puis p2 puis p1 etc. 1. Est-il possible de modéliser ce problème comme un automate ? Justifiez votre réponse. 2. A l’aide de RdP, modélisez le parcours d’une pièce p1 dans le système. Ce parcours commence par l’arrivée de p1 dans la première file et se termine par la fin de service de MA1.

3. Le parcours de p2 est identique à celui de p1 mais nécessite la modélisation par une séquence séparée. Pourquoi ?

4. A présent, il faut rajouter le mécanisme qui impose l’ordre de traitement dans chaque machine. MA1 traite d’abord p1 puis p2 puis p1. MA2 traite indépendamment de l’autre machine mais respect le même ordonnancement de p1 et p2.

Arrivée p1 et p2

MA1

ST1 d1

MA2

ST2 f1

d2

f2

Exercice IV [autoévaluation] La machine MA1 reçoit une pièce, la traite puis la dépose dans le stock ST1 si ce stock n’est pas plein. Elle peut ensuite recevoir une autre pièce. La machine MA2 fonctionne de façon identique avec le stock ST2. La machine MA3 fail l’assemblage : elle prend une pièce dans ST1 et une pièce dans ST2, qu’elle assemble avant de déposer le produit assemblé dans un stock aval qui n’est pas représenté et qui est supposé ne jamais être plein. Elle peut alors recommencer. Les stocks ST1 et ST2 ont des capacités de 3 et 4 unités respectivement. On suppose en outre qu’une machine peut tomber en panne pendant la production d’une pièce. Après la panne, interviendra une réparation qui permettra de continuer la production. Représenter le fonctionnement de ce système par un RdP. On ne représentera ni l’amont des machines MA1 et MA2, ni l’aval de la machine MA3.

MA1

ST1 d1 MA3

MA2

f3 ST2 d2

Printemps 2009 Exercice I On considère deux boules de billard, A et B qui se déplacent sur une même ligne parallèle à une des bandes (voire figure). Chaque boule peut avoir 3 états : en mouvement vers la gauche, vers la droite, ou arrêtée. On demande de modéliser le comportement de ces boules par un RdP en supposant que a.) une boule qui heurte une bande repart dans l’autre sens à la même vitesse, b.) si les deux boules sont en mouvement (elles sont supposées avoir la même vitesse) elles repartent chacune en sens inverse quand elles se heurtent, et c.) si une boule est arrêtée et heurtée par l’autre, la première se met en mouvement et l’autre s’arrête (on suppose qu’il n’y a pas de ralentissement et arrêt par frottement). On commentera plusieurs états initiaux possibles.

boule A

boule B

Exercice II On considère le protocole suivant de gestion des cabines et des paniers d’une piscine. A l’entrée, le client qui a trouvé une cabine libre y entre et se change en posant ses vêtements dans la cabine. Il demande ensuite un panier qu’il remplit de ses vêtements pour libérer la cabine. Après la baignade le client rentre dans une cabine avec son panier, le vide et le libère. Ensuite il se rhabille et libère la cabine. 1. Soit Nc le nombre de cabines et Np le nombre de paniers. Modélisez ce protocole avec Nc=3 et Np=5. Le nombre de clients à la baignade (c’est-à-dire après déshabillage et avant rhabillage) est-il borné ? Le RdP est-il borné ? Montrer qu’il y a un état de blocage. Y-a-t’il blocage pour toutes valeurs de Nc et de Np ? 2. Définir un protocole pour qu’il n’y ait pas de blocage, et donner le RdP correspondant. 3. Modifier le RdP du 2.) pour modéliser le nombre des clients qui attendent une cabine pour entrer à la piscine.

Exercice III A partir d’une matrice d’incidence dessinez le RdP. Il s’agit d’un RdP pur.

− 1 1  W = 0 − 1  0

0 −1 1 1

−1 0 1 1

0 0 −1 −1

0

0

1

      − 1

1 0 0 0

1. Est-ce que réseau est structurellement borné ? 2. Est-ce que ce réseau peut contenir des blocages ? Donnez des exemples. 3. Est-ce qu’il peut contenir une boucle ?

Printemps 2009 Exercice IV A partir du RdP ci-dessous donnez sa matrice d’incidence

P1 T1 P2 T3

T5 est

P3 T4

P4

1. Est-ce que ce RdP franchissements.

T2

structurellement

P5 T6

borné ? Justifiez

par une séquence de

2. Peut-il être vivant ? Peut-il y avoir un blocage ? Peut-il être quasi-vivant ? Donnez un marquage initial pour chaque cas. 3. Calculez ses composantes conservatives. 4. Calculez ses composantes répétitives. Peuvent-elles être associées à une séquence de franchissement à partir de M0=[0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1] ?

Exercice V A partir d’un RdP de l’exercice III et du marquage initial M01=[0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 1] faire graphe de marquages. Déterminez à partir de ce graphe, est-ce que ce réseau est borné pour ce marquage initial ? Est-il vivant, quasi-vivant, réinitialisable ? Déterminez à chaque fois, si cela est possible, les séquences de franchissements correspondants.

Exercice VI A partir d’un RdP de l’exercice IV et du marquage initial M01=[1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0] faire un graphe de couverture. Déterminez à partir de ce graphe, est-ce que ce réseau est borné pour ce marquage initial ? Est-il vivant, quasi-vivant, réinitialisable ? Déterminez à chaque fois, si cela est possible, les séquences de franchissements correspondants.

Exercice VII [auto-évaluation] Refaites l’exercice V avec le marquage initial M02=[1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0] puis M03=[2 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0].

Exercice VIII [auto-évaluation] Refaites l’exercice VI avec le marquage initial M02=[2 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0].