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1 UNIVERSITE CADI AYYAD

2007-2008

FACULTE DES SCIENCES & TECHNIQUE GUELIZ MARRAKECH

ELECTROMAGNETISME-RELATIVITE RESTREINTE Problèmes d’examens avec solutions

Document préparé par le Pr. L. Hajji

2002-2003

.

2

0.1 SUJET- 1 PC2 1992-1993 PREMIERE SESSION 0.1.1 Exercice - 1 On se propose d’étudier le principe de fonctionnement d’un fréquencemètre. Pour cela on considère le pont de Wien représenté ci-dessous. Le pont est alimenté par un courant alternatif d’amplitude I et de pulsation ω. C0 R1

R0 Oscillo C R2

R

GBF

1/ Le pont est équilibré. Donner les expressions de R0 et C0 en fonction de ω, R1 . R, C et a avec a = R 2 2/ R = 500Ω , C = 1µF , a = 103 et ω = 2 103 m/s. Calculer R0 et C0 . Quelle est l’utilisation d’un tel montage . 3/ On se place dans le cas où R0 = R , C0 = C et a = 0,5. Examiner les nouvelles conditions d’équilibre.

3 Lorsque le montage est utilisé comme fréquencemètre avec C = 1µF entre quelles valeurs doit varier R si on veut mesurer des fréquencecomprises entre 100 et 1000 Hz ? .

0.1.2 Exercice - 2 On considère un métal de conductivité électrique σ pour lequel on cherche une solution des équations de Maxwell correspondant à des ondes planes progressives de pulsation ω se propageant dans la direction Ox. On suppose que la perméabilité magnétique du métal est égale à µ0 . On rappelle que dans un métal le courant → − → − − E est négligeable devant le courant de déplacement → conduction ε0 ∂∂t j = σ E et que. −−→ − → − → − −→ −→ → rot(rot( E )) = grad(div( E ) − 4 E 1/ Ecrire les équations de Maxwell en donnant leurs significations physiques. 2/ Déduire l’équation de propagation du champ électrique dans un métal de conductivité σ. 3/ Vérifier qu’une solution de la forme suivante peut convenir. → − − − ey avec → ey un vecteur unitaire suivant la direction Oy. E = E0 e−ax ei(ωt−kx) → En déduire les équations donnant a et k en fonction de σ, ω, c et µ 0 . 4/ c = 3 108 ms−1 , σ = 107 m−1 Ω−1 ,µ0 = 4π10−7 S.I., ω = 2.1015 rd.s−1 et E0 = 3.10−3 V m−1 . Calculer a et k. → − 5/ Déduire la distance δ = x à laquelle l’amplitude du champ E est divisée par 10. On appelle cette distance la profondeur de pénétration de l’onde. 6/ Calculer δ pour une onde radio de longueur d’onde λ = 3π10 3 m et pour des rayons X de longueur d’onde λ = 10Å. Conclure.

0.1.3 Exercice -3 On considère une sphère S de centre O et de rayon R qui porte la charge électrique Q uniformément répartie sur sa surface. Soit M un point quelconque de −−→ − l’espace, repéré par la coordonnée sphérique r telle que OM = r → er 1ère partie : La sphère est seule dans le vide. − → 1/ Calculer le champ électrique E0 dans tout l’espace. 2/ Calculer l’énergie électrostatique de la sphère.

4 2ème partie : La sphère est entourée d’une couche de matériau diélectrique comprise entre les sphères de rayon r = a et r = b (a < b). Ce matériau est parfaitement isolant et ne contient pas de charges libres ; il est homogène et isotrope et peut être caractérisé par sa permittivité relative εr . → − 1/ Déterminer en tout point de l’espace le vecteur déplacement électrique D , → − le champ électrique E et le potentiel électrique V. 2/ Que vaut la densité volumique des charges de polarisation ? 3/ Exprimer en fonction de Q ,εr , a , et b les densités de charges de polarisations σa et σb sur les sphères de rayon r = a et r = b. 4/ Le matériau compris entre les sphères r = a et r =b devient brusquement conducteur, sa conductivité électrique étant σ, sa permittivité relative gardant sa valeur initiale et sa perméabilité étant µ0 . a- Expliquer brièvement l’évolution du système. Quel est sont état électrique final? b- On suppose que l’induction magnétique est nul dans tout l’espace tout au long de l’évolution du système. Déduire de l’une des équations de Maxwell une équation différentielle vérifiée par le champ électrique. Intégrer cette équation et → − donner l’évolution de E en fonction du temps dans le domaine a < r < b.

0.2

S UJET 2 : E XAMEN DE LA PREMIERE SESSION 1994

0.2.1 Exercice -1 Pour mesurer avec précision la permittivité relative d’un diélectrique, on réalise le montage en pont, représenté sur la figure 2-1. Le montage est alimenté par une tension sinusoïdale de fréquence f = 2.27 104 Hz. Z est l’impédance à mesurer; R1 et R2 des résistances pures; R une résistance pure variable; C un condensateur de capacité variable; Ve un voltmètre. 1/ Dans une première expérience, Z est un condensateur dont on a fait le vide entre les armatures. L’équilibre du pont est obtenu pour les valeurs suivantes: R1 = 103 Ω R très grande devant R1 et R2 5 R2 = 10 Ω C = 0,863 µF Calculer la capacité C0 du condensateur sans diélectrique. 2/ On remplit le condensateur par un diélectrique dont on veut mesurer la permittivité relative que l’on prendra sous la forme de:

5

ε = εr − jεr avec 0

j2 = - 1

00

R1 et R2 gardant les mêmes valeurs que précédemment, l’équilibre du pont est 00 0 obtenu pour R = 818 Ω et C = 6,853 µF. En déduire les valeurs de ε r et εr à la fréquence utilisée.

C R1

R Ve R2 Z

GBF

Figure 2-1

0.2.2 Exercice -2 On se propose de calculer directement le potentiel de polarisation Vp pour deux diélectriques parfaits homogènes et isotropes de permittivité ε. N.B. Les deux parties A et B sont indépendantes.

6 A- On considère une sphère de centre O et de rayon R, placée dans un champ − → → − extérieur E0 , dirigé suivant Oz. On suppose que le vecteur de polarisation P est uniforme dans tout le problème. 1/ a- Calculer les densités de charges de polarisation volumique et surfacique. b- Donner l’expression du potentiel élémentaire dVp dû au moment dipolaire → − → − → − dp ( dp = P dτ ) correspondant à l’élément de volume dτ , montrer que Vp peut → − − → s’écrire sous la forme VP = P .Es − → c- Donner la signification du vecteur Es . Déterminer son expression ( en utilisant le théorème de Gauss) à l’extérieur et à l’intérieur de la sphère. 2/ a- En déduire Vp à l’extérieur et à l’intérieur de la sphère. b- Calculer le champ électrique qui dérive du potentiel VP . → − − → −→ c- Représenter sur un schéma les charges de polarisation, P ,E0 et EP . → − 3/ Montrer que la susceptibilité χ et la polarisation P sont liées par la relation : χ → − − → P = χ ε0 E0 1+ 3 B- Le plan infini XOY porte n molécules par unité de surface, dont le moment − dipolaire → p pointe suivant Oz. −→ 1/ Calculer le potentiel Vp et le champ EP en un point M quelconque de l’espace. −→ 2/ Expliquer pourquoi EP est nul.

0.2.3 Exercice - 3 Un solénoïde infini de rayon a et d’axe z’oz, comportant n spires jointives par unité de longueur, est parcouru par un courant électrique d’intensité I(t) lentement variable . 1/ a- Déduire des propriétés de symétrie du système la direction des vecteurs → − → − champ magnétique B et potentiel vecteur A en un point M de l’espace repéré par − − − ses coordonnées cylindriques dans la base (→ er , → eθ , → ez ). → − → − b- Donner sans démonstration l’expression de B et en déduire celle de A pour r < a et r > a. → − c- Déduire l’expression du champ électromoteur E induit par la variation temporelle de I pour r < a et r > a.

7 2/ a- On dispose à l’extérieur du solénoïde une boucle conductrice fermée C (figure 2- 2). Calculer le flux magnétique à travers C. En déduire que la f.é.m induite dans C est nulle, quelles que soient la géométrie et la position de C. b- A partir du résultat précédent, montrer que la f.é.m induite dans une boucle ouverte présentant une coupure PP’ de longueur petite par rapport à la distance de la boucle à l’axe z’oz est → − −−→ eP P 0 = E .P P 0 c- Expliquer pourquoi la boucle ouverte peut être remplacée par un conducteur linéaire dont on précisera la longueur l ? Quelle doit être l’orientation de ce dernier pour que eP P 0 soit maximale ? Application Numérique : Calculer l’amplitude maximale de eP P 0 dans le cas d’un courant sinusoïdal d’intensité I = I0 cos ωt avec les données suivantes : n = 103 m−1 a = 2 cm I0 = 1A r = 1m ν = 100Hz l = 1 cm −7 On rappelle que µ0 = 4π10 S.I Z

a (C) Z’

figure 2-2

8

0.3

S UJET - 3 : E XAMEN DE LA DEUXIÈME SESSION 1994

0.3.1 Exercice -1 Un condensateur plan est constitué par deux plateaux circulaires de rayon a (Figure 3-1). Les fils amenant le courant I sont supposés bons conducteurs. On s’intéresse à l’opération de charge de ce condensateur et on désigne par q(t) la charge portée par l’armature supérieure à l’instant t. → − 1/ Ecrire les équations de Maxwell satisfaites localement par les champs E et → − B dans le vide. → − 2/ On exprimera E à l’intérieur du condensateur en fonction de q(t) et des paramètres géométriques. 3/ Calculer le champ magnétique créé, entre les armatures, à la distance r de l’axe Z’Z en fonction de dq(t)/dt et des paramètres géométriques. Z’ I

a

Figure 3-1

Z

0.3.2 Exercice - 2 Un tore est engendré par la rotation d’un carré ABCD de côté a autour d’un axe D de son plan. Le côté AB est parallèle à l’axe D et situé à la distance r de cet axe (Figure 3-2). On réalise un solénoïde torique en enroulant sur ce tore N tours de fil régulièrement répartis. Les conditions de symétrie montrent que, lorsqu’un courant d’intensité

9 I circule dans le fil, les lignes de champ de l’excitation magnétique H sont circu→ − laires, d’axe D, et que le module de H est constant sur chaque ligne. → − 1/ Calculer le module de H en un point Q à la distance x de l’axe (0 < x < r, r < x < r + a , x > r +a). 2/ Le tore est en fer homogène dont la figure 3-3 donne la courbe d’aimantation. Sachant que N = 628 ; I = 0,20A ; r = 19 cm ; a = 2 cm. Quelle est la valeur : a- de l’intensité d’aimantation M1 et du champ d’induction B1 créés dans le fer, au point P, centre du carré ABCD ? b- de la perméabilité magnétique relative µr du fer ? On admettra dans la suite que H est, en tous les points d’une section droite du tore, égale à sa valeur en P. 3/ On coupe le courant dans la bobine, le champ d’induction devient B2, donner sa valeur. 4/ Quel courant I’ faut-il faire passer dans la bobine pour que le fer ne soit plus aimanté ? D

B

C

P r A

D

H

figure 3-2

0.4

S UJET - 4 : E XAMEN DE LA PREMIERE S ESSION 1995

10

0.4.1 Exercice -1 → − 1/ Rappeler les conditions de passage du champ électrique E et du vecteur excita→ − tion électrique D à la traversée d’une surface séparant deux milieux diélectriques (1) et (2) de permittivités respectives ε1 et ε2 . 2/ La différence de potentiel entre les armatures d’un condensateur plan est maintenue constante grâce à un générateur qui maintient à ses bornes une différence de potentiel U. On introduit dans l’espace inter armatures de largeur e deux lames, l’une conductrice d’épaisseur e1 l’autre diélectrique de permittivité relative εr et d’épaisseur e2 (figure 4-1). Etablir la relation entre la charge Q0 du condensateur avant l’introduction des lames et la charge Q en présence des lames en fonction de e, e1 , e2 et εr . A

U

e
























 
























































 

 

 

 

 

 

 

 

  


 


 


 


 


 


 


 


 

e1

e2

B

figure 4-1

0.4.2

P ROBLÈME .

A/ On considère une onde électromagnétique plane de fréquence ω se propageant − dans la direction → n , dans le vide. → − − a- Montrer que l’on a les relations suivantes avec k = k → n

11

→ − → − k .E = 0 → − → − k .B = 0 → − → − → − → − k ∧ E − ωB = 0 → − → − → − → − k ∧ B + ε 0 µ0 ω E = 0 b- Calculer la valeur de k en fonction de ε0 , µ0 , et ω . − → − → − → c- Donner les positions respectives de E , B , k et le rapport E/B. d- Donner l’expression de la densité moyenne d’énergie électromagnétique et la valeur moyenne du vecteur de POYNTING en fonction de E0 et B0 amplitudes des champs électrique et magnétique. f- Quelle sont les valeurs des amplitudes des champs E0 et B0 dans un faisceau laser de 20.109 watts et ayant un diamètre de 2 mm? On donne : 1 ; µ0 = 4π10−7 36π109 → − B- On considère les potentiels A et V du champ électromagnétique dans le cas d’une onde plane de fréquence ω. On pose : ε0 =

− → − → − − → → A = A0 ei( k . r −ωt) Et on suppose que l’on se place dans la jauge de LORENTZ dV → − → − ∇. A + ε0 µ0 =0 dt → − → − → − → − → − → − a- Sachant que B = ∇ ∧ A et E = − ∇V − ddtA → − → − Calculer E et B → − → − b- Montrer que E et B obéissent aux équations de MAXWELL dans le vide (équations de la question A-a). → −  h→ − → − − → → − − n )− n avec → n = k On montrera que E = iω A − ( A .→ k

c- On considère un milieu supraconducteur (milieu dont la résistance électrique est nulle). Dans un tel milieu le potentiel vecteur obéit a l’équation de → − LONDON ( j est le vecteur densité de courant) : → − → − A = −λ j

12 → − a- Calculer l’équation de propagation pour le champ magnétique B . On utilisera la loi d’Ampère Maxwell. b- Donner un exemple de solution indépendante du temps . → − → − → − → − → − → − → − → − → − On donne : A ∧ ( B ∧ C ) = ( A . C ) B − ( A . B ) C

0.5

S UJET - 5 : PC2 (A NNÉE 94-95 DURÉE 1 H )

0.5.1 Exercice -1 Une sphère métallique creuse S de centre O et de rayon a porte une charge Q sur sa surface est plongée dans un diélectrique linéaire homogène parfait de permittivité électrique εr . Déterminer en tout point de l’espace : → − 1- L’excitation électrique D . → − 2- Le champ électrique E . → − 3- La polarisation P . 4- La densité volumique des charges de polarisation (ρP ). 5- Calculer la charge de polarisation QP qui apparaît à la surface du diélectrique en contact avec S.

0.5.2 Exercice - 2 On considère un conducteur 4 rectiligne, infiniment long, parcouru par un courant électrique d’intensité constante I. Dans le même plan que le fil 4 se trouve une spire ayant la forme d’un carré de côté a, dont deux côtés sont parallèles au fil 4 et tel que le centre O du carré est à la distance b du fil 4 (figure 5-1) 1a- Calculer, en fonction de I, a et b le flux envoyé par le fil à travers le cadre. b- En déduire le coefficient d’induction mutuelle. 2- Le circuit carré, parcouru par le courant I’, est éloigné jusqu’à l’infini. Déterminer le travail fourni contre les forces électromagnétiques.

13 3a- Déterminer la force électromotrice e induite dans le circuit carré pendant le déplacement si la vitesse de déplacement est uniforme et égale à v 0 . b- Quelle est sa valeur numérique au début du déplacement sachant que le côté le plus proche de 4 est distant de a/2. On donne I = 100A, v0 = 3m/s

I

O

b

a

figure 5-1

0.6

S UJET - 6 : C ONTRÔLE DE RELATIVITÉ R ESTREINTE 1

0.6.1 Exercice -1 N.B. : Les parties A et B sont indépendantes. 1

Cette année, la relativité a été enseignée comme demi-module.

14 A/ Un référentiel (R’) est animé d’un mouvement de translation uniforme de − − vitesse → v 0 par rapport à un référentiel (R) . Une particule a pour impulsion → p → −0 dans (R) et p dans (R’). → −0 → − → −0 → − dp dp 1- Déterminer la force f = dt en fonction de la force f = dt → − → − 2- En déduire les composantes de f en fonction des composantes de f 0 dans − le cas où la vitesse → v0 est dans la direction parallèle à l’axe (ox). 3- Examiner le cas où la particule est au repos dans le référentiel (R’) B/ On définit la quadriforce de Lorentz par : → − → − → − E. j ) K = ( k ,i c → − → − − → − Où k = ρ( E + → v ∧ B)

1- Montrer que la quadriforce K sous forme covariante s’écrit : K µ = F µν Jν F µν et Jν sont respectivement les composantes du tenseur champ et du quadrivecteur densité de courant. 2- En déduire que la force de Lorentz est invariante par changement de référentiel

0.6.2 Exercice - 2 On considère un conducteur parfait. On admet que le conducteur est à l’état neutre. Soit (R’) le référentiel propre du conducteur. Dans ce référentiel on a → −0 − → j = σ E 0 et ρ0 = 0

(1)

→ − où j 0 et ρ0 sont respectivement la densité de courant et la densité de charge,σ − → la conductivité électrique et E 0 le champ électrique. → − → − 1- Montrer que les champ électrique E et magnétique B dans le référentiel − (R), par rapport auquel (R’) est animé d’un mouvement uniforme de vitesse → v, − →0 sont reliés à E par la relation. → − − → − → ( E .→ v )− v → − − → − E 0 = γ( E + → v ∧ B ) − (γ − 1) v2

15 → − 1 → − où γ = (1 − β 2 )− 2 et β = vc . 3- Montrer que dans le référentiel (R). Les relations (1) deviennent → − − → − → − j = γσ( E + → v ∧ B ) et

→ − → j .− v ρ= 2 c

0.6.3 Exercice -3 Un atome (un noyau ou une molécule) est en mouvement uniforme de vitesse v dans un fluide d’indice de réfraction n et se trouve dans un état excité. Lors de la transition vers l’état fondamental l’atome émet un photon (dans son référentiel du laboratoire (R) sous un angle φ par rapport à la direction du mouvement de l’atome. 1- Si l’on désigne par m et m0 les masses respectivement dans l’état excité et dans l’état fondamental, donner la pulsation ω 0 émise dans le référentiel propre de l’atome. 2- Déterminer la pulsation ω observée dans le référentiel (R) en fonction de ω, v, n et φ . On admettra que h ¯ ω  mc2 et on négligera les termes en h2 . 3- En déduire la condition classique de rayonnement de Tchérenkov. Commenter. 4- Application : des atomes d’hydrogènes excités sont émis dans le vide par une source au repos à l’origine d’un référentiel (R’) avec une vitesse v = 1.3810 6 m/s sous forme de deux faisceaux respectivement parallèle et perpendiculaire à la direction du mouvement qui est l’axe (ox). Déterminer pour la raie Hβ (λ0 = 4861A) les décalage 4λ⊥ et 4λk mesurés par un observateur au repos dans (R) par rapport auquel (R’) est en mouvement de translation uniforme de vitesse v parallèle à (ox). Discuter.

0.7

S UJET - 7 : DEUG PC 95-96

0.7.1 Exercice - 1 On considère une sphère conductrice portant une charge q répartie uniformément sur sa surface. Le centre de cette sphère est placé à la surface plane séparant

16 deux diélectriques linéaires homogènes et isotropes qui sont notés 1 et 2 (figure → − − → → − 7-1). Les grandeurs relatives au milieu 1 sont notées ( E 1 , D1 , P 1 , ε1 ...) et → − − → → − celles relatives au milieu 2 sont notées ( E 2 , D2 , P 2 , ε2 ...). 1/ En utilisant les relations de continuité du champ électrique, montrer que le champ électrique est le même dans les deux milieux. − → − → → − E1 = E2 = E 2/ a- En utilisant le théorème de Gauss, déterminer l’expression du champ électrique en tout point M. On rappelle que : Z Z

→ → − − D .dS = q

et

− → → − Di = ε i E i

− → − → b- En déduire les expressions de D1 et D2 . 3/ − → − → a- Déterminer les vecteurs de polarisation P1 et P2 . b- En déduire les charges de polarisation σ1P et σ2P V2 V1

ε1

R1 O

ε2 R2

figure 7-1

17

0.7.2 Exercice -2 Un milieu neutre (ρ = 0), linéaire homogène et isotrope est caractérisé par sa permittivité ε sa perméabilité µ0 et sa conductivité électrique γ. 1/ a- Donner les expressions des équations de Maxwell généralisées dans ce milieu. b- En déduire l’équation de propagation du champ électrique E. 2/ On admet que les ondes électromagnétiques transversales, dont le champ → − → − → − − → électrique est de la forme E = E e−i(ωt− k . r ) puissent se propager dans ce 0

milieu. On définira une permittivité complexe ε∗ = ε + i ωγ a- Quelle est l’équation de dispersion du milieu. b- En déduire l’indice de réfraction de ce milieu en fonction de εr . 3/ Sachant que → − − −→→ B = rot A et

→ − −−→ → − E = −gradV − ∂∂tA

Montrer que si on impose aux potentiels la condition suivante : ∂V → − div A + εµ0 + γµ0 V = 0 ∂t Le potentiel vecteur vérifie la même équation de propagation que le champ électrique E.

0.7.3 Exercice - 3 Soit une spire circulaire de centre O , de rayon R0 et d’axe Oz, parcourue par un courant constant I. Dans le champ statique crée par cette spire. On place une seconde spire S plus petite ; de rayon R et de même axe, au point z 0 . On communique à S un mouvement de translation sinusoïdale parallèle à Oz : z(t) = z0 + aω sin(ωt) z0 et a étant des constantes. 1/ a- Déterminer la vitesse de déplacement de la sphère S. c- En déduire l’expression du champ électromoteur de Lorentz.

18 2/ Déterminer la f.e.m induite dans S à partir du champ de Lorentz en fonction de Bρ . On rappelle que le champ crée par une spire circulaire, en coordonnées cylindriques, au voisinage de son axe est donné par : → − − − B = Bρ (ρ, z)→ eρ + Bz (ρ, z)→ ez

0.8

S UJET - 8 : C ONTRÔLE DE RATTRAPAGE 95-96

0.8.1 Exercice -1 A l’intérieur d’un solénoïde très long, d’axe horizontal Oz, comportant n spires par unité de longueur parcourues par le courant : I = I0 cos (ωt). On dispose une bobine plate de centre O, formée de N spires circulaires de rayon a, de même axe que le solénoïde ( figure 8-1). 1. Déterminer le potentiel vecteur et le champ électromoteur en un point de la spire circulaire. On précisera le sens de chaque vecteur. 2. En déduire l’expression de la force électromotrice induite le long de la spire ; on la supposera orientée dans le même sens que le solénoïde. 3. Reprendre le calcul de la force électromotrice par dérivation directe du flux magnétique spire O .*

figure 8-2

Z

19

0.8.2 Exercice - 2. On considère un cylindre constitué de matériau conducteur, de conductivité électrique γ de rayon a et de hauteur h, parcouru par le courant I uniformément réparti → − → − en volume ( j = j(t) k ). 1- Déterminer le champ électrique en tout point intérieur du conducteur. 2- Déterminer de même le champ magnétique en tout point intérieur du conducteur. 3- Déterminer le vecteur de Poynting et son flux à travers la surface cylindrique entourant le conducteur. Commenter

0.9

S UJET - 9 : 96-97 (D EVOIR - 1)

0.9.1 Exercice - 1 (7 points). I- Une lame magnétique, à faces parallèles, constituée d’un matériau linéaire, de − → permittivité relative µr est placée dans un champ magnétique B0 uniforme. Dans un référentiel R (Ox,Oy,Oz) lié à la lame (figure 9-1), l’expression du champ à l’extérieur est: − → − − B0 = B0x → ex + B0y → ey → − → − − → Déterminer les trois composantes des champs B , H et M , supposés uniformes, à l’intérieur du matériau en fonction de µr , B0x et B0y . II- Soit un barreau cylindrique, de rayon a, de très grande longueur, aimanté uniformément dans une direction perpendiculaire à son axe. Déterminer, en tout → − → − point intérieur, le potentiel vecteur A et le champ magnétique B crées par ce barreau.

20 y

x O

z

figure 9-1

0.9.2 Exercice - 2 . Un conducteur sphérique, de centre O, de rayon R, portant la charge électrique Q, est entouré d’une couche d’un diélectrique linéaire, homogène et isotrope d’épaisseur a1 et de permittivité ε1 , le reste de l’espace étant vide de permittivité ε0 . 1/ → − → − a- Déterminer l’induction D , le champ électrique E et le vecteur polarisation → − P en tout point de l’espace (r < R, R < r < R+a1 , r > R+a1 ); b- Déterminer le potentiel V’(r) en tout point de l’espace ( V’ étant pris égal à 0 à l’infini). 0 c- En déduire le potentiel Vc du conducteur. 0 2/ Déterminer le rapport K du potentiel Vc et du potentiel Vc du conducteur portant la même charge Q en l’absence du diélectrique. 3/ a- Calculer la capacité C’ et l’énergie potentielle U’ du conducteur.

21 b- En déduire le rapport CC et UU . C et U étant respectivement la capacité et l’énergie du conducteur en l’absence du diélectrique. A.N ε1 = 2.5ε0 , a1 = R = 10 cm. 4/ Déterminer l’énergie électrique localisée dans le vide et dans le diélectrique. 5/ La sphère conductrice est maintenant entourée de n couches diélectriques superposées, d’épaisseur a1 , a2 , ..ak , .., an de permittivité ε1 , ε2 , .., εk , .., εn . La couche externe est métallisée et maintenue au potentiel 0 (figure 9-2). → − → − a- Calculer l’induction D (r), le champ électrique E (r) et l’énergie localisée dans la k-ème couche. b- Déterminer la densité de charge de polarisation à la surface de la sphère de rayon Rk . 0

0

ak Rn

R1 R

an

Rk

figure 9-2

22

0.10

S UJET - 10 : D EVOIR SURVEILLÉ ( DEVOIR 2 96-97)

0.10.1 Exercice - 1 On étudie un solénoïde d’axe z’z, de rayon a et de longueur l, comportant n spires par unité de longueur. Ce solénoïde est parcouru par un courant → − → − I(t). Le champ magnétique à l’intérieur est uniforme B = B (t) ( on adopte l’approximation du solénoïde infini). 1/ Etablir l’expression du champ électromoteur induit à l’intérieur et à l’extérieur du solénoïde. 2/ Déterminer le vecteur de Poynting à l’intérieur du solénoïde et évaluer le flux de ce vecteur à travers la surface cylindrique (longueur l, rayon a) du solénoïde. 3/ Appliquer le théorème de Poynting et en déduire l’énergie magnétique emmagasinée dans le solénoïde. 4/ On considère une spire (C) de rayon R (R > a) entourant le solénoïde et possédant le même axe de symétrie z’z que celui ci. Calculer la circulation du champ électromoteur le long de cette spire. 5/ Calculer au moyen de la loi de Faraday la f.e.m d’induction e qui apparaît dans la spire et vérifier que: e=

Z

C

− → − → E . dl

0.10.2 Exercice -2 La théorie électromagnétique étendue au cas d’un photon de masse nulle dans le vide s’appuie sur les équations de Maxwell modifiées suivantes : → − div B = 0 → − − −→→ B rot E = − ∂∂t

→ − div E = ερ0 − η 2 V → − − − → − −→→ E − η2→ A rot B = µ0 j + c12 ∂∂t

→ − où V et A sont des potentiels scalaire et vecteur et où η est un paramètre positif lié à la masse du photon. → − 1/ A quelle condition portant sur V et A la conservation de la charge est-elle satisfaite ?

23 → − Dans la suite, on suppose que V et A sont liés par la condition de jauge suivante : 1 ∂V → − =0 div A + 2 c ∂t → − −−→ → − → − − −→→ On rappelle que E = −gradV − ∂∂tA et B = rot A . → − 2/ Donner les équations de propagation vérifiée par V et A . → − 3/ Dans le cas ou ρ et j sont nuls, on cherche les solutions des équations précédentes sous la forme d’ondes planes monochromatiques → − → − V (r, t) = ei( k . r −ωt)

− → − → − − → → A (r, t) = A0 ei( k . r −ωt)

Trouver la relation de dispersion entre ω, k et η et exprimer la vitesse de phase de ces ondes en fonction de k et η. 4/ Sachant qu’à une onde plane monochromatique de pulsation ω et de vecteur → − → − − d’onde k est associé un photon d’énergie E = h ¯ ω et d’impulsion ,→ p =h ¯ k en utilisant la relation de dispersion, déterminer la masse m du photon prévue dans ce cas.

0.10.3 Exercice - 3 On considère une onde plane monochromatique de fréquence ν 0 se propageant suivant la direction de l’axe ox par rapport à un référentiel galiléen (R). Elle se réfléchit sur un miroir plan (M). Ce miroir est placé perpendiculairement à l’axe − ox est animé d’un mouvement de translation rectiligne et uniforme à la vitesse → u parallèlement à l’axe ox. → − → − Soient K0 et K 0 les quadrivecteurs de l’onde incidente respectivement dans le → − −→ référentiel R et R’. K et K 00 les quadrivecteurs de l’onde réfléchie respectivement dans le référentiel R et R’. → − → − Sachant que le quadrivecteur d’onde est donné par K = ( k , iωc ), déterminer pour un observateur au repos dans (R) la fréquence ν de l’onde réfléchie en fonction de ν0 et de β = uc .

24 z’

z Onde incidente

(R’) (R) Onde réfléchie x’

u O

x

o’ miroir

0.11

S UJET - 11 : E XAMEN DE RATTRAPAGE 96-97

0.11.1 Exercice -1 Entre les armatures d ’un condensateur plan se trouve un diélectrique dont la permittivité varie linéairement d’une plaque à l’autre. Soient εr1 et εr2 les valeurs sur les deux plaques (εr1 >R), portant une charge source Q. Ce conducteur est placé à l’intérieur d’un cylindre creux de même hauteur et de rayon interne R1 et externe R2 . L’espace entre les deux

26 surfaces délimités par les rayons R1 et R2 est remplie par un diélectrique de permittivité relative εr . 1- Calculer en tout point de l’espace, en fonction de Q, R, h, R 1 , R2 , r, ε0 et εr . - le champ électrique E(r) - l’excitation électrique D(r) - le potentiel électrique V(r) - la capacité du condensateur C - le vecteur polarisation P (r) - la densité de charge de polarisation surfacique σP - la densité de charge de polarisation volumique ρP 2- En utilisant les conditions du passage à la surface de séparation externe du cylindre creux. Vérifier la continuité de chaque composante du champ électrique E(r). 3- Calculer le champ électrique E0 (r) créé par la charge source Q en tout point en fonction de Q, r, h et ε0 . 4- Considérons, maintenant, le diélectrique limité par R1 et R2 . Exprimer uniquement en fonction de E0 (r), ε0 et εr les grandeurs suivants : - la polarisation P(r) - le champ électrique Ep crée par les charges de polarisation - le champ électrique total E(r) - l’induction électrique D(r)

0.12.2 Exercice - 2 : Soit un condensateur plan soumis à une ddp constante et dont les armatures de surface S sont séparées d’une distance d. La surface supérieure porte la charge +Q = σ S et la surface inférieure la charge -Q = -σ S. On introduit à l’intérieur de ce condensateur une lame diélectrique d’épaisseur e et de permittivité relative ε r 1- En utilisant le théorème de Gauss, calculer le champ électrique crée par l’armature supérieure et inférieure. En déduire le champ électrique E 0 crée par les deux armatures en fonction de σ et ε0 . 2- En utilisant les conditions de passage à la surface du diélectrique calculer le champ E à l’intérieur du diélectrique en fonction de σ, ε0 et εr . 3- Calculer la différence de potentiel entre les bornes du condensateur en fonction de σ, d, e, ε0 et εr . 4- En déduire la valeur de la capacité C du condensateur en fonction de d, e, ε0 et εr .

27

0.12.3 Exercice - 3 Soit un cylindre de rayon R et de hauteur h (h> >R), remplie de matériau aimanté de perméabilité relative µr et parcouru par un courant libre de densité volumique → −l → − jv (r) = αr k 1- Calculer le champ magnétique B0 crée par les courants libres en tout point. 2- Calculer les grandeurs suivantes, en tout point, en fonction de B 0 , µr et µ0 . - L’induction magnétique H. - Le champ magnétique total B. - L’aimantation M. - Le champ magnétique crée par l’aimantation Bm . 3- Vérifier les conditions de passage à la surface latérale du cylindre. 4- Calculer les densités de courants d’aimantations surfaciques et volumiques.

0.13

S UJET - 13 : D EVOIR SURVEILLÉ N Rˇ 2 (97-98)

0.13.1 Exercice - 1 Un fil infini, parcouru par un courant I sinusoïdal (I = I0 sin ωt), est entouré, à une distance R0 , par un solénoïde fermé sur lui même et comportant n spires par unité de longueur. Chaque spire de ce solénoïde a un rayon égal à R 1 , tel que R0 > > R1 . 1 - Calculer la valeur du champ magnétique B crée par le fil à l’intérieur de ce solénoïde en fonction de µ0 , I, et R0 . 2 - En supposant que le champ magnétique qui traverse le solénoïde est constant, calculer le flux magnétique crée par le courant I et qui traverse chaque spire. - En déduire le flux total. - En déduire le coefficient d’induction mutuelle fil - solénoïde. 3 - Le flux traversant le solénoïde étant variable dans le temps. En utilisant la loi de Faraday, calculer la f. e. m. e qui apparaît dans le solénoïde.

28 4 - Soit R la résistance total du solénoïde, la f. e. m. e donne naissance à un courant induit traversant les spires du solénoïde. Calculer la valeur du champ magnétique crée par ce courant induit.

0.13.2 Exercice - 2 Une onde électromagnétique plane progressive monochromatique de pulsation ω dont les vecteurs champs électriques et magnétique sont définis en coordonnées cartésiennes. Ex = E0x (x, y)ei(kg z−ωt) → −  E = Ey = E0y (x, y)ei(kg z−ωt)    Ez = E0z (x, y)ei(kg z−ωt)   



Bx = B0x (x, y)ei(kg z−ωt) → −  B = By = B0y (x, y)ei(kg z−ωt)    Bz = 0   



kg étant le module du vecteur d’onde de propagation de l’onde guidée. Cette onde se propage suivant la direction (oz) dans le vide. On suppose que le champ 2 → − E est définis par une onde plane non transversale. On pose : k 2 = ωc2 . 1a) Donner l’expression des quatre équations de MAXWELL. b) En déduire que By = a Ex et Bx = b Ey . Donner la valeur de a et b. 2 - Montrer, à partir des équation de MAXWELL, que les composantes E x , z z Ey , Bx et By s’expriment uniquement en fonction de ∂E ou ∂E ∂x ∂y 3 - Montrer que l’équation de propagation de Ez s’écrit : ∂ 2 Ez ∂ 2 Ez + + Kc2 Ez = 0 2 2 ∂x ∂y quelle relation lie Kc à k et kg .

0.14

S UJET - 14 : D EVOIR SURVEILLÉ DE R ATTRAPAGE 97-98

Questions de cours : I - Donner la définition des vecteurs suivants ainsi que le sens physique qu’ils représentent :

29 1 - Vecteur densité de courant libre 2 - Vecteur densité de courant d’aimantation 3 - Vecteur densité de courant de polarisation 4 - Vecteur densité de courant de déplacement 5 - Vecteur densité de courant de conduction II - Donner l’expression des équations de Maxwell établies dans le vide et dans les trois régimes suivants : 1- Stationnaire 2- Quasi stationnaire 3- Variable Expliquer la différence entre ces trois régimes.

0.14.1 Exercice - 1 Soit un milieu diélectrique parfait neutre non magnétique de perméabilité magnétique µ0 et de permittivité électrique ε ( ε est un complexe). On cherche à étudier la propagation des ondes électromagnétiques dont les plans d’ondes sont perpendiculaire à l’axe Ox. La forme la plus générale de ces ondes peut s’écrire ainsi : Ex = E0x (x)e−iωt → −  E = Ey = E0y (x)e−iωt    Ez = E0z (x)e−iωt   



Bx = B0x (x)e−iωt → −  B = By = B0y (x)e−iωt    Bz = B0z (x)e−iωt   



1 - Ecrire les équations de Maxwell - Ampère et Maxwell - Faraday qui régis→ − → − sent l’évolution des vecteurs champ électrique E et champ magnétique B . En → − → − déduire que E et B sont transversales. 2 - En déduire une relation différentielle de second degré pour Ey et pour Ez. 3 - Résoudre cette équation et montrer que Ey s’écrit comme : Ey = E0y e−iωt−γx où γ est une grandeur complexe que l’on expliquera en fonction de ω, ε et µ 0 .

0.14.2 Exercice - 2 On considère un milieu homogène de permittivité ε0 , de perméabilité µ0 et de conductivité γ, chargé avec la densité volumique ρ et parcourue par le courant → − de conduction de densité Jc . → − 1- Ecrire les équations de propagations du champ électrique E et magnétique → − B.

30 2-Montrer qu’on peut obtenir des équations de propagation des potentiels vecteurs et scalaire équivalentes à celle déterminées ci-dessus à condition d’imposer le choix de Jauge suivant : ∂V → − + γµ0 V = 0 div A + ε0 µ0 ∂t

0.15

S UJET - 15 : D EVOIR SURVEILLÉ N-1 -98-99

0.15.1 Exercice -1 Considérons un cylindre de rayon R0 , de hauteur h (h> >R0 ) et rempli d’un matériau diélectrique de permittivité absolue ε1 . Ce cylindre est chargé avec une densité volumique de charges libres ρl = αr, α = Cte. r est la distance du point M de ce cylindre à l’origine du référentiel placé au centre de ce cylindre. Ce cylindre est placé à l’intérieur d’un cylindre creux de même hauteur et de rayon interne R1 et externe R2 . L’espace entre les deux surfaces délimitées par le rayon R1 et R2 est rempli par un deuxième diélectrique de permittivité absolue ε2 . → − 1 - Calculer, en tout point, l’induction électrique D . → − → − 2 -En déduire l’expression du champ total E et la polarisation P en tout point de l’espace. − → 3 - Calculer, en tout point, le champ E0 crée par ρl . −→ 4 - En déduire le champ de polarisation EP . 5 - Sans faire de calcul, préciser les différentes surfaces qui présentent des → − − → −→ → − → − discontinuités pour chacun des vecteurs suivants : D , E0 , EP , E , et P . 6 - Calculer les densités de charges surfaciques de polarisation qui apparaissent à la surface des deux diélectriques. 7 - Calculer, par deux méthodes différentes, les densités de charges volumiques de polarisation qui apparaissent à l’intérieur des deux diélectriques. 8 - Vérifier que les charges de polarisation QP 1 et QP 2 qui apparaissent dans les deux diélectriques sont bien nulles.

31

0.15.2 Exercice - 2 Soit un cylindre de rayon R0 et de hauteur h (h> >R0 ) remplie d’un matériau magnétique de perméabilité absolue µ1 . Dans ce cylindre circule un courant libre → − → − de densité volumique j = αr k , α est une constante, r est la distance du point M de ce cylindre à l’origine du référentiel placé au centre de ce cylindre. Ce cylindre est placé à l’intérieur d’un cylindre creux de même hauteur et de rayon interne R 1 et externe R2 et est remplie par un deuxième matériau magnétique de perméabilité absolue µ2 . → − 1- Calculer, en tout point, l’induction magnétique H en fonction de α, µ0 ,µi , R0 et r. 2- En déduire les vecteurs suivants en tout point : → − Le champ magnétostatique totale B . − → Le vecteur aimantation M . − → 3- Calculer en tout point le champ magnétostatique B0 crée par les courants libres. 4- En déduire le champ magnétostatique crée par les courants d’aimantation −→ Bm . 5- En utilisant les symétries du cylindre 1. → − Citer les variables dont dépend le vecteur A et justifier. → − Citer les composantes nulles du vecteur A et justifier. → − En déduire le potentiel vecteur A crée par les courants libres à l’intérieur de ce cylindre. 6- Sans faire de calcul, préciser les différentes surfaces qui présentent de dis− → → − → − − → −→ continuité pour chacun des vecteurs suivants : B0 , B , H , M et Bm . 7- Calculer les vecteurs densités de courant surfaciques d’aimantation qui apparaissent à la surface des deux cylindres. 8- Calculer les vecteurs densités volumiques de courants d’aimantation qui apparaissent à l’intérieur des deux cylindres. 9- Vérifier que les courants d’aimantation totale Im1 et Im2 qui circulent dans les deux cylindres sont nuls. 10- Vérifier les conditions de passage à la surface extérieure des deux cylindres −→ du champ Bm .

32

0.16

S UJET - 16 : DEVOIR SURVEILLE N-1 98-99

0.16.1 Exercice - 1 : effet de Peau dans un conducteur On considère un milieu conducteur (câble coaxial par exemple) neutre, de conductivité γ, de permittivité ε et de perméabilité µ0 dans lequel circule un courant électrique sinusoïdal de pulsation ω. Ce courant est définit par un vecteur → − → − → − densité de courant volumique libre j tel que : j (r, t) = j0 (r)eiωt 1) Etablir les quatre équations de MAXWELL relatifs aux champs électro→ − → − magnétiques E et B en régimes quasi stationnaire. → − → − 2) Montrer qu’on peut obtenir l’équation suivante : 4 j0 = iωγµ0 j0 → − → − 3) En supposant que le vecteur j0 se réduit à la seule composante : j0 (r) = → − j0x (z) i ; résoudre l’équation précédente en ne tenant compte que de la solution physique. 4) En déduire la profondeur δ à laquelle peut pénétrer le courant électrique. 5) On appelle conducteur parfait un conducteur dans lequel le courant ne peut circuler qu’à sa surface et par conséquent la profondeur δ est nulle. Quelle condition faut-il imposer sur la conductivité γ pour obtenir une profondeur δ nulle. 6) Application : On donne : γ = 5,7 10−6 H−1 m−1 s , µ0 = 4π 10−7 H m−1 . Pour deux types de fréquences, l’une industrielle (f 1 = 50Hz) et l’autre dans le domaine de l’électronique (f2 = 100 MHz), calculer la profondeur δ 1 et δ2 . Que peut-on conclure.

0.16.2 Exercice - 2 : Etude de photon de masse non nulle Les équations de MAXWELL-GAUSS et de MAXWELL-AMPERE qui régissent l’évolution du champ électromagnétique, dans le vide, associées à un photon de masse d non nulle sont : → − div E = ερ0 − dV2 → − → − − → − −→→ E − A rot B = µ0 j + µ0 ε0 ∂∂t d2 Où d est une constante inversement proportionnel à cette masse hypothétique. → − − − −→→ B ; div → Les équations intrinsèques (rot E = − ∂∂t B = 0) ne subissent pas de modifications. 1) Donner la dimension de d.

33 2) Montrer, à partir de l’équation de la conservation de la charge électrique, qu’on peut obtenir la condition de la Jauge de Lorentz. → − 3) Etablir les équations de propagations des potentiels V et A dans le vide en utilisant la Jauge de Lorentz. 4) Etablir la relation de dispersion d’une onde plane sinusoïdal en fonction de k, ω, c et d. 5) En déduire la vitesse de phase et de groupe en fonction de c, ω et ω 0 . (on pose ω0 = c/d) 6) Montrer que le photon ne peut se propager sans atténuation que si pulsation ω est supérieur à ω0 . 7) A une longueur d’onde de 650 nm, l’écart entre la vitesse de groupe mesurée dans le vide d’un paquet d’onde et la vitesse c est inférieur à 0,005%. Quelle masse maximale m pourrait avoir le photon sachant que d = h/2πmc. (h = 6,626 10−34 j s).

0.16.3 Exercice - 3 : Effet Doppler relativiste − Considérons une source lumineuse s’éloignant à une vitesse → v rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel supposé fixe R. Une onde émise par cette → − source possède une pulsation ω 0 et un vecteur d’onde k 0 dans le référentiel R’ lié à cette source. Cette même onde sera reçue par un observateur lié au référentiel → − → − R et aura une pulsation ω et un vecteur d’onde k . Le vecteur d’onde k fait un angle θ avec l’axe (ox) du référentiel R. − → → − 1) Donner l’expression du quadrivecteur onde K et K 0 dans les référentiels R et R’. 2) En s’appuyant sur la matrice L de Lorentz, établir les 4 équations reliants − → → − les composantes du quadrivecteur onde K 0 à celles du quadrivecteur K . 3) Montrer que : ω=

q

v2 c2 v cos θ c

ω0 1 − 1+

4) Simplifier cette relation dans le cas classique : v < < c : effet Doppler classique. (Cette relation a été établi avant l’élaboration de la théorie de la relativité).

34 5) Etudier l’effet Doppler relativiste dans les cas suivants : (θ= 0, θ = π2 et θ = π. Pour quelle valeur de θ l’effet Doppler ne peut être interpréter que dans le cadre de la relativité même si v < < c.

0.17

S UJET - 17 : E XAMEN DE RATTRAPAGE 98-99.

Questions de cours : (4 points) 1) Citer les deux postulats du principe de la relativité classique 2) Citer les deux postulats du principe de la relativité restreinte 3) Le principe de la relativité classique ne s’applique pas à une branche de la physique, laquelle ? 4) En 1905, Einstein a émis les deux postulats de le relativité restreinte, dans quel but ?

0.17.1 Exercice - 1 : Induction électromagnétique (9 points) On considère deux solénoïdes (1) et (2) de grande longueur h, de même axe et de rayon a1 et a2 (a1 < a2 ) comportants respectivement n1 et n2 spires par unité de longueur. On les oriente de la même façon, les deux solénoïdes sont parcourus par les courants d’intensités I1 et I2 respectivement. − → − → 1) En utilisant le théorème d’Ampère, calculer le champ magnétique B1 et B2 crée respectivement par le solénoïde (1) et (2). − → − → 2) En utilisant le théorème de Stoke, calculer le potentiel vecteur A1 et A2 crée respectivement par le solénoïde (1) et (2). − → 3) Calculer le flux magnétique φ11 du champ magnétique B1 qui traverse chaque spire du solénoïde (1). En déduire le flux total φT11 et l’inductance L1 . − → 4) Calculer le flux magnétique φ22 du champ magnétique B2 qui traverse chaque spire du solénoïde (2). En déduire le flux total φT22 et l’inductance L2.

35 − → 5) Calculer le flux magnétique φ21 du champ magnétique B1 qui traverse chaque spire du solénoïde (2). En déduire le flux total φT21 et le coefficient d’induction mutuelle M. 6) Calculer l’énergie potentielle magnétostatique des deux solénoïdes (1) et (2). Retrouver les valeurs des coefficients L1 , L2 et M.

0.17.2 Exercice - 2 : points)

Etude du champ électromagnétique (7

Un condensateur sphérique est constitué de deux armatures métalliques parfaitement conductrices sphériques, concentriques, de centre O, de rayon a et b (a >R0 , rempli d’un matériau aimanté de perméabilité absolue µ1 et parcouru par un courant de → − → − densité volumique jvl = αr k où α est une constante, r est la distance radiale d’un point M par rapport à l’origine d’un référentiel placé au centre de ce cylindre. Ce cylindre est entouré par une substance aimantée sous forme torique de rayon intérieur R1 et extérieur R2 et de perméabilité absolue µ2 . 1 - Justifiez chacune de vos réponses : a- Donner le système de coordonnées le mieux adéquat. b- Quelles sont les coordonnées dont dépend le champ magnétostatique créé par ce système. c - Quelles sont les composantes nulles du champ magnétostatique créé par ce système. → − → − − → − → −→ 2 - Etablir l’expression des vecteurs suivants H , B , M , B0 et Bm en tout point en fonction de α, R0 , µ1 , µ2 et r. 3- Calculer tous les vecteurs densités de courants d’aimantations surfaciques et volumiques. 4- Recalculer les vecteurs densités de courants d’aimantations surfaciques en utilisant les conditions aux passages d’un milieu à un autre.

0.19

S UJET - 19 : DEVOIR SURVEILLE N-2 99-00

Questions de cours : 1) Citer l’équation de la conservation de l’énergie potentielle du champ électromagnétique contenue dans un volume rempli de charges électriques en mouvement. 2) Donner une interprétation physique à chacun des termes de cette équation.

0.19.1 Exercice - 1 Considérons une tige métallique NM de longueur l, se déplaçant à la vitesse → − − constante → v parallèle à l’axe (ox), dans un champ magnétique B constant et

38 parallèle à l’axe (oy). Cette tige a une résistance R. 1) Calculer le champ électromoteur de Lorentz qui apparaît dans cette tige. 2) Calculer le flux coupé par cette tige lors de son déplacement dans le champ magnétique. 3) Calculer la force électromotrice qui apparaît dans cette tige par deux méthodes différentes. 4) Quel est le point de potentiel le plus élevé de cette tige. 5) Calculer le courant i qui circule dans cette tige. → − → − Cette fois ci, le champ magnétique est variable dans le temps ( A = A0 e−αt k où A0 et α sont des constantes) et la tige est immobile. On place une spire carrée de côté b dans le plan (xoz), à une distance a de la tige et de dimension négligeable. La longueur de la tige peut être considérée comme infinie devant la spire. 6) Calculer le champ électromoteur de Neuman qui apparaît dans la tige. 7) Calculer le courant induit qui circule dans la tige. 8) Calculer le flux magnétique créé par la tige et qui traverse cette spire. En déduire le coefficient d’induction mutuelle M.

0.19.2 Exercice - 2 L’ionosphère est une partie de l’atmosphère qui peut être considérée comme un plasma formé d’électrons et d’ions de densité ρ nulle. On admet que la permittivité diélectrique et la perméabilité magnétique sont celles du vide. On veut → − étudier la propagation d’une onde plane de vecteur d’onde k et de pulsation ω. Les électrons étant libres, leur mouvement est caractérisé par une conductivité ε ω2 complexe γ telle que γ = i 0ω p où ω est la pulsation de l’onde et ωp est la pulsation propre du plasma. 1) Ecrire les équations de MAXWELL décrivant les champs électriques et magnétiques relatifs à ce milieu. → − → − 2) Déterminer les équations de propagation des champs E et B . 3) En cherchant des solutions du champ électrique de type d’ondes planes et en utilisant la notation complexe établir l’équation de dispersion du milieu. 4) Calculer la vitesse de phase et celle du groupe de cette onde. 5) Discuter la nature de l’onde dans ce milieu selon la valeur de ω. 6) Calculer la longueur d’onde λ dans ce milieu en fonction de la longueur d’onde λ0 dans le vide pour différents cas de ω.

39 7) Dans quelle condition a-t-on la vitesse de phase et celle du groupe presque égale. → − → − 8) Calculer le vecteur de Poynting R en fonction du module de E .

0.19.3 Exercice - 3 Considérons deux référentiels galiléens R et R’. R est le référentiel de Copernic et R’ est le référentiel, supposé galiléen, lié à la terre. R’ est animé d’une translation rectiligne et uniforme selon l’axe (ox) par rapport à R avec une − vitesse → u , la lumière émise par une étoile, supposée fixe dans R, fait un angle θ par rapport à l’axe (ox) dans le plan (xoy) de R et un angle θ 0 par rapport à R’. On suppose que la lumière est constituée de photons (particule de masse nulle se déplaçant à la vitesse de la lumière). 1) Donner les formules de transformations des vitesses d’un référentiel à un autre. → − − 2) En décomposant les vecteurs vitesses → v et v 0 des photons dans le système d’axes des référentiels R et R’, déterminer les relations suivantes : cosθ 0 en fonction de cosθ sinθ 0 en fonction de sinθ et cosθ. 3) Retrouver les résultats obtenus à la question 2) en utilisant les quadravecteurs ondes.

0.20

S UJET - 20 : D EVOIR DU RATTRAPAGE 99-00

0.20.1 Exercice - 1 Considérons un milieu neutre et de conductivité nulle dans lequel se propage une onde électromagnétique suivant l’axe oz. Les vecteurs champ électrique et champ magnétique de cette onde sont définis par les composantes suivantes : Ex = E1 (x)ei(kz−ωt) → −  Ey = 0 E =  π  Ez = E2 (x)ei(kz−ωt− 2 )   



  



Bx = 0 → −  B =  By = B0y (x)ei(kz−ωt)   Bz = 0

40 1) En utilisant l’équation de Maxwell - Gauss établir une relation différentielle entre E1 (x) et E2 (x). 2) En utilisant l’équation de propagation du champ électrique montrer que E1 (x) et E2 (x) vérifient une équation différentielle du deuxième degré de la forme : ∂ 2 Ei ω2 + ( 2 − k 2 )Ei = 0 i = 1 ou 2 2 ∂x c 3) Résoudre l’équation différentielle de E1 (x) dans le cas suivant : ωc > k, 1 E1 (0) = E0 = cte et dE ) = 0. dx x=0 4) En déduire l’expression de E2 (x) en fonction de E0 . 5) En utilisant l’équation de Maxwell - Faraday déterminer l’expression du vecteur champ magnétique en fonction de E1 . 6) Vérifier que les champs électriques et champs magnétiques sont solutions de l’équation de Maxwell - Ampère. 7) Cette onde électromagnétique est-elle plane, transversale ? Justifier votre réponse. 8) Quelle condition faut-il imposer pour que cette onde électromagnétique soit plane et transversale ?

0.21

S UJET - 21 : D EVOIR SURVEILLÉ -1 N OVEMBRE -2000

Questions de cours. 1- Etablir le lien entre la susceptibilité et la polarisabilité d’un diélectrique non polaire. 2- En introduisant la masse volumique ρ, retrouver la formule de ClausiusMossoti.

0.21.1 Problème -1 Une sphère diélectrique de rayon R est polarisée uniformément (vecteur de polar→ − isation P ). On se propose de calculer directement le potentiel.

41 − 1- Déterminer l’expression du potentiel dV dû au moment d→ p correspondant à l’élément de volume dv. 2- Donner alors l’expression de V sous forme d’une intégrale qui se ramène à un calcul connu en électrostatique. 3- En déduire Vint (rR). 4- Montrer qu’on retrouve à l’intérieur de la sphère polarisée, le champ uni→ − → − P et à l’extérieur le champ dû à un dipôle dont on déterminera le forme Ei = − 3ε 0 − moment dipolaire → p. − → → − 5- On note E0 le champ extérieur qui a donné naissance à la polarisation P . → − a- Donner l’expression du champ total E . b- Montrer que χ → − − → P = χ ε0 E0 1+ 3 χ étant la susceptibilité diélectrique du matériau. 6- Calculer les densités surfacique et volumique de charges de polarisation σ p et ρp , représenter σp sur la sphère.

0.21.2 Problème -2 − → Soit un très long cylindre de rayon a taillé dans un matériau d’aimantation M , le − → vecteur M est parallèle en tout point à l’axe du cylindre ( on prendra Oz comme axe du cylindre). L’aimantation ne dépend que de la distance r du point à l’axe, − → M est de la forme : − → r − ez M = M0 → a M0 est une constante. −→ −→ 1- Calculer les densités de courants surfacique et volumique jms et jmv dues à cette aimantation. ∂Uz → − → − −→→ − − rot U = − eθ si U = U (r)→ ez ∂r −→ 2- On veut déterminer Bm en tout point à l’intérieur et à l’extérieur du cylindre. −→ a- Monter que Bm est porté par Oz. → − → − b- Monter d’une manière brève que B m,ext = 0 c- En appliquant le théorème d’Ampère sur un contour de longueur h et de largeur a définir, monter que :

42

r − → − B m,int = µ0 M0 → ez r> µ0 , possède une aiman− → − tation uniforme M = M → ez . → − 1) Donner l’expression du potentiel-vecteur élémentaire d A créé par l’élément de volume dτ de la sphère en un point P de l’éspace. → − 2) Montrer que le calcul de A se ramène à un calcul bien connu en électrosta→ − tique, en déduire l’expression de A : a− à l’extérieur de la sphère. b− à l’intérieur de la sphère. → − 3) Donner l’expression de B en tout point de l’espace. 4) On place cette sphère dans une région de l’espace où régne un champ mag− → nétique uniforme B0 . −→ − → a− Déterminer le champ interne résultant Bir en fonction de µ et B0 . −→ En déduire l’expression de l’excitation interne résultante Hir . −→ b- Calculer le champ externe Ber .

0.24.2 Exercice 2 Un condensateur sphèrique est constitué de deux armatures métalliques d’épaisseurs très faibles, de rayons R1 et R2 (R2 > R1 ). L’espace compris entre les armatures est séparé en deux parties égales par un plan diamétral horizontal. Les deux demicondensateurs sont remplis avec deux diélectriques différents de permitivité ε 1 pour celui qui est au-dessus et ε2 pour l’autre. Le condensateur est chargé et maintenu à une différence de potentiel constante positive V1 - V2 (Figure-24-1). figure 24-1 → − 1) Montrer que le champ électrique E entre les armatures est le même qu’en absence des deux diélectriques ( on utilisera les relations de continuité du champ électrique au passage de l’interface). 2) En désignant par Q0 la charge du condensateur en absence des deux diélec→ − triques, calculer le champ électrique E en tout point entre les armatures en fonction de Q0 . 3) En déduire l’expression de la différence de potentiel V1 - V2 en fonction de → − Q0 , puis celle du champ E en fonction de V1 - V2 . 4) On désigne par Q la charge du condensateur avec les diélectriques. En appliquant le théorème de Gauss, déterminer Q en fonction de V 1 - V2 , en déduire la capacité d’un tel condensateur.

47 V2 V1

ε1

R1 O

ε2 R2

5) Calculer les densités superficielles de charge σ et σ 0 sur l’hémisphère supérieur et sur l’hémisphère inférieur de l’armature interne.

0.24.3 Exercice 3 Un fil rectiligne (supposé infini) de section négligeable est disposé selon l’axe Oz du repère (Oxyz). Il est parcouru dans le sens positif de l’axe par un courant continu d’intensité I1 . Un cadre rectangulaire indéformable AA’B’B est placé dans le plan (yOz) symétriquement par rapport à l’axe Oy ; le point P est le milieu du segment AB (figure-2). Les dimensions de ses côtés sont AB = A’B’ = b et AA’ = BB’ = a. Le côté AB est à la distance l de l’axe Oz. Le cadre est parcouru par un courant continu d’intensité I2 . M est un point quelconque de la surface du cadre. → − 1) Déterminer le champ magnétique B (M ) généré au point M par le courant I1 circulant dans le fil infini. 2) → − a- Calculer le flux du champ magnétique B (M ) à travers le cadre. → − → − b- Calculer le potentiel vecteur A (M ) du champ magnétique B (M ). → − c- Retrouver la valeur du flux du champ magnétique B (M ) à travers le → − cadre à partir de l’expression du potentiel vecteur A (M ). 3) a- Calculer à l’aide de la loi de Laplace , les forces exercées par le champ → − magnétique du fil B (M ) sur les quatre côtés du cadre. − → b- Préciser la résultante des forces de Laplace FL sur le cadre.

48 z

I1

A

A’ .M

I2

b P

O

B

x l

B’ a

− → c- Retrouver l’expression de la résultante des forces de Laplace FL sur le → − cadre à partir de lavaleur du flux du champ magnétique B (M ) calculé en 2)a-. d- On suppose que le cadre peut évoluer librement (poids du cadre nég− → ligeable), interpréter l’action de la résultante des forces de Laplace FL sur le cadre. Conclusion ? 4) On suppose maintenant que le cadre possède des dimensions suffisamment petites devant l ( a < < l et b < < l) pour qu’il puisse être assimilé à un dipôle magnétiqueplacé en P. − → a- Donner l’expression du moment magnétique M du dipôle. b- Calculer l’énergie potentielle du dipôle dans le champ magnétique → − B (M ). − → c- En déduire la résultante des forces Fd exercée par le fil sur le dipôle. − → − → Comparer Fd et FL .

49

0.25

S UJET - 25 DEVOIR N 2-9 J UIN 2001

0.25.1 Problème-1 I- Le milieu considéré est le vide. A partir de l’equation de Maxweel-Ampère, → − → − → − des relations reliants les champs E et B au potentiel vecteur A et au poten→ − tiel scalaire V et la jaug de Lorentz, montrer que le potentiel vecteur A vérifie l’équation de propagation : → − 1 ∂2 A → − 4A − 2 2 = 0 c ∂t 2

II- Une onde électromagnétique se propage entre deux plans infinis, parallèles et parfaitement conducteurs, d’abscisse x =0 et x = a, constituant un guide d’onde. Dans le type de propagation étudié, le potentiel vecteur de l’onde a pour expression nπ → − − ey A = A0 sin( x)exp − i(ωt − kz)→ a Où n est un entier définissant le mode de propagation. → − II-1. Déduire de l’équation de propagation du potentiel vecteur A l’équation de dispersion du guide. Montrer pour qu’il ait propagation il faut que ω > ωc , ωc étant la pulsation de coupure, dont on déterminera l’expression. Tracer k(ω). → − Comment s’écrit le potentiel vecteur A pour ω < ωc . Y a-t-il propagation ? Dans la suite, on ne considère que le cas ω > ωc . II-2. Le potentiel scalaire est nul entre les deux plans, calculer le champ électrique de l’onde , On posera E0 = ωA0 . Les conditions aux limites sont-elles satisfaites ? −→ → − Donner l’expression de la valeur réelle ER de E . Par la suite, il est conséillé d’abandonner la notation imaginaire. −→ II-3. Calculer les composantes du champ magnétique BR de l’onde en l’absence du champ magnétique permanent. II-4. L’onde étudiée est-elle plane progressive? Dans quelle direction se fait la propagation et à quelle vitesse ? II-5. Calculer le flux φ du vecteur de Poynting à travers une surface S orthogonale à Oz de hauteur a et de largeur b. Calculer la valeur moyenne < φ > du flux 2

→ − Rappels : Jauge de Lorentz : div A + c12 ∂V ∂t = 0

50 φ.3

0.25.2 Problème - 2 I- On considère deux référentiels R(Oxyz) et R’(O’x’y’z’) tels que : - les deux axes O’x’, O’y’ et O’z’ orthonormés de R’(O’x’y’z’) soient parallèles aux axes Ox, Oy, Oz de R(Oxyz), - O’x’ coïncide avec Ox, − − - R’(O’x’y’z’) se déplace à la vitesse → u = u→ ex par rapport à R(Oxyz). A t = t’ = 0, O = O’, un faisseau lumineux est émis depuis l’origine O à la vitesse C. La lumière atteint un détecteur placé en un point M de coordonnées (x,y,z,t) dans R(Oxyz) et de coordonnées (x’,y’,z’,t’) dans R’(O’x’y’z’). I-1. Trouver la relation qui lie les coordonnées x,y,z,t d’une part et les coordonnées x’,y’,z’,t’ d’autre part. Interpreter les résultats obtenus. I-2. On veut exprimer les coordonnées (x,y,z,t) dans R(Oxyzt) en fonction de coordonnées (x’,y’,z’,t’) dans R’(O’x’y’z’) a l’aide de la transformation : x0 = k(x − ut y0 = y z0 = z

x = k 0 (x0 + ut0 ) y0 = y z0 = z

Où k et k’ ne dépendent que de u. Exprimer t’ en fonction de t, déterminer k et k’, en déduire la transformation spéciale de Lorentz. II- On cherche à déterminer les relations qui lient les composantes du champ − → − → → − → − électromagnétique ( E , B ) dans R(Oxyz) et les composantes (E 0 , B 0 ) dans R’(O’x’y’z’). On admet que la transformation spéciale de Lorentz laisse invariente les équations de Maxwell dans le vide lorsqu’on passe de R(Oxyz) vers R’(O’x’y’z’) et inversement. ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ II-1. Exprimer ∂x 0 , ∂y 0 , ∂z 0 , ∂ct0 en fonction de ∂x , ∂y , ∂z , ∂ct . II-2. Ecrire dans R(Oxyz) et dans R’(O’x’y’z’) les équations de Maxwell qui traduisent la loi de l’induction électromagnétique. II-3. a- Projeter les équations II-2. sur les axes Oy et O’y’, en les écrivant de ∂ ∂ ∂ ∂ manière à ne faire intervenir que les opérateurs ∂x , ∂y , ∂z , ∂ct . Identifier les termes − → − → → − → − ∂ ∂ ∂ ∂ en ∂x , ∂y , ∂z , ∂ct dans les équations en ( E , B ) et en (E 0 , B 0 ). 3

On rappelle que : < sin2 (ωt − kz) >=

1 T

RT 0

sin2 (ωt − kz)dt =

1 2

51 x

a

O

z

y

b- Refaire la même démarche en projetant sur Oz et O’z’. II-4. Utiliser l’équation de Maxwell qui exprime le caractère conservatif du flux du champ magnétique, en déduire Bx en fonction de Bx0 . − → −→ − → −→ II-5. On désigne par Ek et E⊥ , Bk , B⊥ les composantes respectivement parallèles et orthogonales à la direction Ox du mouvement relatif des deux référentiels, − → − → − → −→ − → −→ donner les expressions de Ek et E⊥ , Bk , B⊥ en fonction de (E 0 , B 0 ). − III. On considère une particule de charge q, animée de la vitesse → v dans le → − référentiel R(Oxyz) où régne un champ électrique E et un champ magnétique → − − − B . Sans restreindre la généralisation du problème, on prend → v = v→ ex . On suppose que le référentiel R’(O’x’y’z’) possède à l’instant t la même vitesse que la particule chargée. On admet que la relation fondamentale de la dynamique Newtonienne est valable dans le référentiel R’(O’x’y’z’) où la particule est immobile. → − − III-1. On note → a et a0 les accélérations respectives de la particule chargée → − → − − − dans R(Oxyz) et dans R’(O’x’y’z’). Exprimer → ak,→ a ⊥ en fonction de a0 k , a0 ⊥ . III-2. En utilisant les relations de transformation du champ électromagnétique, écrire la relation fondamentale de la dynamique dans R(Oxyz). III-3. Retrouver l’expression de la relation fondamental de l dynamique rela-

52 tiviste. Utiliser la relation : d − − − (mγ → v ) = mγ 3 → a k + mγ → a⊥ dt IV- On se place dans le cas non relativiste : vc  1 IV-1. Etablir les expressions de transformation du champ électromagnétique. IV-2. A partir de la loi de Coulomb donnant le champ électrique crée par la charge q dans le référentiel R’(O’x’y’z’), trouver la loi de Biot et Savart donnant le champ magnétique crée dans le référentiel R(Oxyz) par la particule de charge q − et de vitesse → v.

0.26 DS1 :

2005-2006 Licence professionnelle Génie électrique Durée 2h30mm

Exercice Nˇr1 Un condensateur cylindrique limité par deux armatures de rayon a et b ( a a. Soit U la différence de potentielle entre l’armature interne est l’armature externe. On admet que la surface de séparation du diélectrique et du vide ne porte pas de charge libre.

a

b

53 1- Déterminer, la direction du champ électrique crée par ce système. 2- En utilisant les relations de continuité, montrer que le champ électrique dans le vide et le champ électrique dans le diélectrique ont même module. 3- Déterminer l’expression du champ électrique entre les armatures en fonction de a, b et U. 4- En déduire l’expression de la polarisation et du vecteur excitation électrique en tout point de l’espace. 5- Déterminer les densités de charges de polarisation. 7- Calculer la somme de ces charges de polarisation. Exercice Nˇr2 Soit un solenoide torique, à section carrée de côté a, constitué de N spires enroulées régulièrement sur le tore parcourues par un courant I. Le tore de rayon moyen R est rempli par le fer doux de perméabilité relative µr = 103 . 1- Calculer le vecteur excitation magnétique en tout point de l’espace. 2- En déduire le champ magnétique B et l’aimantation M en tout point de l’espace. 3- Calculer l’intensité qu’il faudrait faire passer dans le même enroulement pour obtenir ce champ B si le fer doux était remplacé par le vide. 4- Déterminer l’énergie magnétique du tore. 5- On pratique une coupure de faible épaisseur l1 dans le tore. Déterminer l’expression du champ magnétique à l’intérieur de cette coupure. Exercice Nˇr3 Le plan infini porte n molécules par unité de surface, dont le moment dipolaire → − est p. Ce plan est polarisé uniformément suivant oz. 1- Calculer les densités de charge de polarisation surfacique. − − 2- a) Donner l’expression du potentiel dVp dû au moment dipolaire d→ p (d→ p = → − P dS) correspondant à l’élément de surface dS → − → − b) Montrer que Vp peut s’écrire sous la forme Vp = P . J . → − c-) Donner la signification du vecteur J et déterminer son expression en un point M à l’extérieur du plan. 3- a) En déduire Vp à l’extérieur du plan b) Déterminer le champ électrique crée par ce plan polarisé c) Expliquer pourquoi Ep est nul.

54

0.27 DS 2 :

2005-2006 Licence professionnelle Génie électrique Les parties A, B et C sont indépendantes

A. Questions de cours 1) Donner l’équation locale exprimant la conservation de l’énergie électromagnétique. Commenter la signification physique des différents termes de cette équation. 2) Qu’appelle-t-on conducteur parfait ? Expliquer pourquoi les champs d’une onde électromagnétique sont nuls dans un tel conducteur.

B. Etude d’un fil cylindrique I. Régime stationnaire On considère un fil conducteur homogène rectiligne cylindrique d’axe Oz, de longueur infinie, de rayon a et de conductivité σ. La perméabilité µ 0 et la permittivité ε0 du conducteur sont identiques à celles du vide. Le fil est parcouru par un → − courant continu d’intensité I = 1 A. On suppose que le champ électrique E est constant et uniforme dans tout l’espace ( conducteur et vide environnant) et que → − → − la densité de courant j = σ E est constante et uniforme dans le conducteur. Les valeurs numériques des constantes sont : a = 1 mm ; σ = 108 m−1 ; µ0 = 4π10−7 Hm−1 ; ε =8.85 10−12 F m−1 . → − → − 1) Déterminer la densité de courant j , le camp électrique E , la densité de → − charge ρ et le champ magnétique B en tout point M (r, θ, z) de l’espace. Pour le → − calcul de B , on montrera par des raisons de symétries que → − − B (r, θ, z) = B(r)→ eθ 2) Tracer la courbe B(r) en fonction de r. Vérifier que les relations de passage des champs électriques et magnétique sont satisfaites à la surface du conducteur. 3) On considère le produit scalaire − → − → s = j .E .

55 Quelle est la signification physique du produit scalaire s ? En quelle unité s’exprime-t-il ? Exprimer s en tout point de l’espace en fonction de I. Déterminer la valeur numérique de s. 4) On considère le vecteur → − → − → − R (r, θ, z) = Eµ∧0B → − Quelle est la signification physique du vecteur R ? → − En quelle unité R s’exprime -t-il ? → − Déterminer le vecteur R en tout point M de l’espace, intérieur ou extérieur → − au conducteur. On exprimera R dans le système de coordonnées cylindriques en fonction de I. → − → − 5) Calculer ψ = 5. R . Quelle relation existe -t-il entre s et ψ ? Quelle est la signification physique de cette relation ? 6) On considère le rectangle de sommets O, A, B et C situé dans le plan Oxz, les longueurs des côtés OA et AB sont respectivement h et r. Calculer le flux − ΦB (r)du champ magnétique à travers le rectangle R orienté suivant → ey dans les deux cas r < a et r > a . On donnera la réponse en fonction de r, h et I. II. Régime quasi-stationnaires Le fil est maintenant parcouru par un courant d’intensité (1)

I = I0 eiωt

→ − en représentation complexe. On suppose que la densité de courant j reste → − uniforme dans le conducteur et que les expressions de B et ΦB (r) obtenues en régime stationnaire pour une intensité I constante restent valables lorsque l’intensité I est de la forme (1). En cas de besoin, on pourra admettre que le flux Φ B (r) est pour r ≤a ΦB (r) =

µ0 I0 hr 2 iωt e 4πa2

B (r) est de la forme v = v0 ei(ωt−Φ) 1) Lorsque r ≤ a , montrer que v = − dΦdt où v0 > 0 et Φ sont des nombres réels à déterminer. Quelle est la signification physique de v ?

56 Calculer numériquement v0 lorsque l’intensité I varie à la fréquence 50 Hz pour I0 =1 A, h = 1 m et r = a. → − 2) Montrer que la circulation C de la densité de courant j le long du contour Γ = OABCO formant le bord du rectangle R est donnée par B (r) C = −σ dΦdt B (r) obtenue à la question précédente, En utilisant l’expression de v = − dΦdt donner C en fonction de I0 , ω, h, r et t. → − 3) Déduire de la question précédente que la densité de courant j ne peut pas être uniforme dans le conducteur.

C. Onde plane électromagnétique On considère la propagation dans le vide d’une onde plane électromagnétique de fréquence ν = 3 107 Hz. La vitesse de la lumière dans le vide est c = − − − 3 108 ms−1 . On utilise un système cartésien Oxyz de vecteurs unitaires → ex , → ey , → ez . → − Le champ magnétique de l’onde au point r (x, y, z) à l’instant t est donné par → − − B (r, t) = B0 cos(ωt − kz)→ ey . où B0 est une constante. 1) Exprimer la longueur d’onde dans le vide λ en fonction des données et calculer numériquement sa valeur. → − 2) Donner l’expression du champ électrique E (r, t) de l’onde. Tracer sur un → − même schéma le système cartésien Oxyz, le vecteur d’onde k et les champs élec→ − → − trique E (0, 0) et magnétique B (0, 0) à l’instant t = 0 et à l’origine O du système. 3) On désigne par C un cercle de rayon a = 5 cm et de centre O. Ce cercle est − le bord du disque D. Le vecteur unitaire → n est perpendiculaire au disque D. Le → − vecteur n se trouve dans le plan Oxy et fait l’angle θ avec Ox. Le cercle C est − orienté dans le sens direct autour de → n.

57

z

Boucle C

y

O x

n

Démontrer, en utilisant les équations de Maxwell, que la circulation e(t) du → − champ électrique E le long de C s’exprime en fonction du flux Φ(t) du champ magnétique à travers le disque D par RR → − B (r) − e(t) = dΦdt où Φ(t) = D B (r, t).→ n dS. 4) Justifier que l’on peut remplacer dans l’équation précédente le champ ma→ − → − gnétique B (r, t) par sa valeur en O, B (0, t). En déduire que e(t) est de la forme e(t) = Asin(ωt) et déterminer A. 5) Un dispositif mesure la valeur moyenne temporelle W (θ) =< e(t)2 > . Calculer W (θ)et tracer sa courbe en fonction de θ pour 0 ≤θ ≤ π. Déterminer les valeurs de θ pour lesquelles W (θ) est minimum ou maximum. Préciser quelles sont alors les positions du disque D par rapport au champ magné→ − tique B Questions supplémentaires Au lieu de l’onde (2), on considère maintenant une onde dans le vide de même fréquence et de champ magnétique − →− − − Bα (→ r , t) = αB0 sin(ωt − kz)→ ex + B0 cos(ωt − kz)→ ey où α est une constante (0 ≤ α ≤ 1)

58 − →− Est-ce une onde plane ? Déterminer l’expression du champ électrique Eα (→ r , t) de l’onde. 0 )U σP = − (ε−ε aln( b ) a

0.28 DS1 (2006-2007) Exercice 1 1) On considère dans le vide un cylindre de hauteur h et de rayon R (R  h), constitué par un diélectrique rigide polarisé de la façon suivante : en un point du cylindre, la polarisation est radiale et son intensité P a même valeur en tous les points intérieur au cylindre. Un point M de l’espace sera repéré par ses coordonnées cylindriques (r,θ, z). 1) a) Déterminer les densités de charges de polarisation surfaciques et volumiques. b) Calculer la somme des charges de polarisation. 2) A l’aide du théorème de Gauss, détérminer le champ électrique en tout point de l’espace. 3) En déduire le potentiel électrique, que l ’on prendra nul à l’infini, en tout point de l’espace. 4) On veut déterminer le potentiel directement à l’aide de l’équation de Poisson, pour cela : a- Ecrire l’équation de Poisson en un point extérieur et intérieur au cylindre. b- Retrouver l’expression du potentiel , que l ’on prendra nul à l’infini, en utilisant le fait que le potentiel est partout défini en particulier en r = 0. 4) Déterminer l’énergie électrostatique de ce cylindre diélectrique. 5) On creuse dans le diéléctrique une cavité cylindrique de hauteur h et de rayon R1. a- Evaluer les densités de charges de polarisation partout où elles esistent. b- En déduire le champ électrique en tout point de l’espace. Exercice 2 On considère un condensateur plan de surface S et d’épaisseur e. L’espace compris entre les armatures est rempli par deux diélectriques de permittivités relatives εr1 et εr2 ( voir figure).

59





































 







 
                 





 








 

 

 

 

 

 

 

 

 

              
           





             


































 







                     







 















 






































































































































































































































































































+Q

0

a

e

diélectrique 1

diélectrique 2

−Q

Oz

→ − → − → − 1) Déterminer dans chacun des deux milieux les vcteurs E , D et P . 2) Evaluer les densités de charges de polarisation partout où elles esistent. 3) En déduire la capacité de ce condensateur. Exercice 3 On considère un aimant permanent en forme de cylindre de révolution, de rayon R, de hauteur h ( hR) , est aimanté uniformément perpendiculairement à − → → − son axe Oz ( M = M j ) 1/ → − a- Donner l’expression du potentiel vecteur élémentaire d A dû au moment −→ −→ − → dipolaire dm ( dm = M dτ ) correspondant à l’élément de volume dτ , montrer − → − → → − → − que A peut s’écrire sous la forme A = µ4π0 M ∧ Es − → b- Donner l’expression et la signification du vecteur Es et déterminer sa valeur, à l’extérieur et à l’intérieur du cylindre. → − → − → − 2/ En déduire les vecteurs A , B et H à l’extérieur et à l’intérieur du cylindre. 3/ Déterminer les courants d’aimantation et calculer leur somme. On donne : En coordonnées cylindriques : − −→→ rot A =

    

1 ∂Az θ − ∂A r ∂θ ∂z ∂Ar ∂Az − ∂r ∂z 1 ∂(rAθ ) r ( ∂r ) − ∂A r ∂θ

    

60 → − div( A ) =

1 ∂ (rAr ) r ∂r

+

0.29 DS 2

1 ∂Aθ r ∂θ

+

∂Az ∂z

2006-2007 Durée 2h

Exercice 1 Soit un solénoide de longeur b très grande devant son rayon a qui comporte n spires circulaires jointives par unité de longueur. Il est parcouru par un courant → − continu d’intensité I. On désigne par k un vecteur unitaire parallèle à l’axe Oz du solénoide. → − 1. Déterminer la direction du champ magnétique B crée par le solenoide en utilisant les régles de symétrie. → − 2. a) Justifier que B est nul à l’extérieur du solénoide. → − b) Déterminer B à l’intérieur du solénoide en utilisant le théorème d’Ampère. c) En déduire le coefficient d’auto induction par unité de longueur du solénoide. 3. On place une bobine circulaire de rayon r ( r 0. On considére une onde en notation → − − complèxe E = E0 ei(kz−ωt) → ex . Montrer que pour qu’il y a propagation, le vecteur d’onde doit vérifier la relation 2

k 2 = εr ωc2 + iµ0 ωσ 4. La conductivité de l’eau de mer vaut σ = 4Ω−1 m−1 . Calculer le rapport entre la partie imaginaire de k 2 et sa partie réelle pour un rayonnement de longueur d’onde 3m. 5. a) Dans le cas où la partie réelle de k 2 est négligeable devant la partie imaginaire, donner l’expression du champ électrique. b) Peut-on communiquer avec un sous marin avec ces ondes radio? justfier votre réponse. Exercice 3 1. Ecrire les équations de Maxwell dans le vide en présence de charge volu→ − mique ρ et du densité de courant volumique j . → − 2. Montrer à partir de ces équations que j et ρvérifient l’équation suivant : → − → − 5. j +

∂ρ ∂t

=0

3. Dans un conducteur, les équations demandées à la question 1) sont valables. → − → − → − → − La densité de courant j et le champ E vérifient la loi d’Ohm : j = σ E . En utilisant ces hypothèses, montrer que ρ vérifie une équation différentielle de la forme : ∂ρ ∂t

+ aρ = 0

où a est une constante qu’ on déterminera. En déduire la valeur de ρ pour un conducteur.

62

0.30 Correction du devoir 1992-19934 0.30.1 Exercice - 1 1 / On a Z =

R0 et 1+jR0 C0 ω

Z0 = R +

1 . jCω

Le pont est en équilibre si

R1 Z 0 = R 2 Z d’où : R0 = a(R + RC12 ω2 ) C0 = a(1+RC2 C 2 ω2 ) 2 / Application numérique, C0 = 0.5nF R0 = 1M Ω Le montage peut être utilisé pour mesures de capacités et éventuellement des permittivités. 3 / Si R = R0 , C = C0 et a = 0.5, l’équilibre du pont donne R2 C 2 ω 2 = 1 .Donc si on veut mesurer des fréquences comprises entre 100 et 1000 Hz, la résistance doit varier entre R = 1600 Ω et R = 160 Ω.

0.30.2 Exercice - 2 1 / Equations de Maxwell → − − −→→ B rot E = − ∂∂t → − − → − −→→ E) rot B = µ0 ( j + ε0 ∂∂t → − div B = 0 → − div E = ερ0

→ − → − variantion de B cre E → − → − variantion de E cre B conservation du f lux conservation de la charge

→ − E est négligeable 2 / Dans un métal,la densité de courant de déplacement ε0 ∂∂t → − → − devant la densité de courant de conduction j = σ E et la densité de charge volumique ρ = 0. D’où l’équation de propagation du champ électrique : 4

Document préparé par le Pr. L. Hajji

63

→ − ∂E → − 4 E = µ0 σ ∂t → − − 3 / Vérifions que le champ électrique suivant E = E0 e−ax ej(ωt−kx) → ey est une solution de l’équation de propagation. On a → −

∂E ∂t

→ −

∂2 E ∂x2

→ − = jω E

→ − = (a + jk)2 E

Si on rapporte ces résultats dans l’équation d’onde, on trouve que le champ proposé est une solution si : a=k=

r

µ0 σω 2

4 / Application numérique. a ≈ 11.107 m−1 5 / La distance à laquelle l’amplitude du champ est divisée par 10 est δ = 2.3

s

2 µ0 σω

6 / Application numérique δradio ≈ 2.07mm δX ≈ 10−9 m L’onde radio peut pénétrer un métal alors que les R-X ne traversent pas le métal.

0.30.3 Exercice - 3 Première partie. 1 / L’application du théorème de Gauss donne − → → − r < R E0 = 0 − → − r > R E0 = 4πεQ0 r2 → er 2 / Calcul de l’énergie électrostatique de la sphère.

64 A l’extérieur de la sphère, on a V (r) = 4πεQ0 r . Donc le potentiel de la sphère est V = constante = 4πεQ0 R . D’où la capacité du conducteur sphérique est C = 4πε0 R. L’énergie électrostatique de la sphère est donc : 1 Q2 1 2 w = CV = 2 2 4πε0 R Deuxième partie. 1/ r a

Aθ = 12 µ0 nI pour r < a c→ − → − E = - ∂∂tA 2 / aφ = 0 car B = 0 e=-

dφ = dt

0 ∀ la boucle C

bH→ − − → e = E . dl

→ − −−→ soit eP P 0 = E .P P 0 c−−→ − eP P 0 est max si P P 0 = l → eθ A.N. eP P 0 = 1.6 µV

68

0.32 Correction de l’examen de la deuxième session 94-95 0.32.1 Exercice - 1 1 / Equation de maxwell dans le vide 2 / Théorème de Gauss E(t) =

σ(t) ε0

3 / Soit (C) un contour d’integration situé entre les armatures. On a H

R R→ → − − E .dS = Or d’où

− → − → B . dl = 2πrB RR→ → − − = B .dS

q =⇒B2πr ε0

− − R R ∂→ → E .dS = ε 0 µ0 ∂t → − − ∂ R R → = ε0 µ0 ∂t E .dS

= µ0 ∂q ∂t

B=

µ0 I(t) 2πr

4 / même question pour r < a. Le condensateur en cours de charge, le champ électrique augmente. Calculons → − la circulation de B le long d’un cercle C de rayon r centré sur l’axe du condensateur. Entre les armatures, on a → − − − → − −→→ E car → j = 0 rot B = ε0 µ0 ∂∂t Soit R

− → → − → − − ∂ R R → B . dl = ε0 µ0 ∂t E .dS ∂ (πr 2 E) = c12 ∂t

→ − par raison de symétrie, B est tangent au cercle C, donc B=

r ∂E 2c2 ∂t

69 Le champ électrique variable donne donc naissance a un champ magnétique variable. Question de réflexion. D’après les équations de Maxwell, ce champ magnétique variable crée à son tour un champ électrique variable, a l’aide de ces équations déduire l’expression de ce champ électrique.

0.32.2 Exercice - 2 1 / on a H

− P → − → H . dl = I=⇒pour r < x < r+a H =

NI 2πx

ailleurs : I = 0 =⇒H = 0

2 / a- au point P H1 =

NI = 100 A/m 2π(r + a2 )

− → → − − → − → d’après la courbe M1 = 106 A/m et B1 = µ0 ( H + M ) ≈ µ0 M soit B1 = 1.26 T b− → − → − → B1 = µ0 (1 + χ)H1 = µ0 µr H1 soit µr = 3/

M1 H1

≈ 104 I = 0 =⇒H = 0

la courbe ⇒M2 = 4 105 A/m et B2 ≈µ0 M2 ≈ 0.5T 4 / il faut réaliser H’ = -25 A/m (voir courbe) soit I’ = -0.05 A appliquer un courant de 0.05 A en sens inverse.

70

0.33 Correction du devoir 94-95 0.33.1 Exercice - 1 → − − → → − r < a D = Ei = P = ρ P = 0 Pour r > a 1/ RR

2/

→ → − − → − D .dS = Qlib =⇒ D =

→ − → − → − D = ε E =⇒ E =

→ −

Q er 4πε r 2

=

→ −

Q er 4π r 2

→ −

er Q 4πε0 εr r 2

3/ → − → − → − → − P = D - ε0 E =⇒ P =

→ −

1 er ) εr r 2

(1-

Q 4π

4/ → − ρP = - div P = 0 5/ → − − σP = P .(- → er ) = - (1 -

→ −

1 Q er ) εr 4π a2

soit QP = σ 4πa2 = - (1 -

1 )Q εr

0.33.2 Exercice-2 1 / aB=

µ0 I =⇒φ 2πx

=

µ0 Ia log( 2b+a ) 2π 2b−a

bM=

φ I

=

b+ a2 µ0 a log( ) 2π b− a2

71 2 / Le travail des forces électromotrices est : W = I’ ( φ∝ - φ) le travail fourni contre les forces contres électromotrices est W’ = - W Soit W’ = I’ φ car φ∝ = 0. D’où ; 0

II a W’ = µ02π log( 2b+a ) 2b−a

3 / ae=-

dφ = dt

-

dφ db . db dt

avec v0 =

db dt

Soit e=

2µ0 Iv0 a2 π 4b2 −a2

b- A.N. e = 80 µV

0.34 Contrôle l’électromagnétisme DEUG-PC 95-96 0.34.1 Exercice-1 1 / Relation de continuité : E1t = E2t D2n - D1n = σl σl est la densité de charge libre où − → − → → − ( E2 - E1 ) ∧− n→ 12 = 0

− → − → ( D2 - D1 ) . − n→ 12 = σl

Symétrie sphérique, le champ électrique se réduit à sa composante tangentielle. Soit E1 = E1t et E2 = E2t

72 or − → − → → − E1t = E2t =⇒ E1 = E2 = E 2 / a- Théorème de gauss : Z Z

→ → − − D .dS = q

d’où D1 2πr2 + D2 2πr2 = q et D = ε E d’ où E=

q 2πr 2 (ε

→ − où encore : div D = ρl donc D = Soit D1 = Cr21 et D2 = Cr22 Comme

Z Z

1

+ ε2 )

C r2

→ → − − D .dS = q

q donc 2π(C1 + C2 ) = q soit C1 + C2 = 2π q +C2 Or E1 = εC1 r12 = E2 = εC2 r22 = (εC1 1+ε 2 = 2π(ε +ε )r 2 2 )r 1 2 ou encore à partir du théorème de Gauss : RR→ → −− avec qint = q − σ1p 2πr 2 − σ2p 2πr 2 E dS = qiunt ε0 avec σ1 = P1 = (ε1 ε0 )E b-

− → → − D1 = D1 = ε 1 E − → → − où D = D2 = ε 2 E 2

ε1 q 2πr 2 (ε1 +ε2 ) ε2 q 2πr 2 (ε1 +ε2 )

3 / a- On a → − → − P = (ε − ε0 ) E d’où : − → P1 =

(ε1 − ε0 )q → − er 2πr 2 (ε1 + ε2 )

73

− → P1 = b-

(ε2 − ε0 )q → − er 2πr 2 (ε1 + ε2 )

(ε1 − ε0 )q − → − σ1P = P1 .(−→ er ) = − 2πR2 (ε1 + ε2 ) (ε2 − ε0 )q − → − σ2P = P2 .(−→ er ) = − 2πR2 (ε1 + ε2 )

0.34.2 Exercice - 2 1 / a-

b-

→ − → − div B = 0 div E = 0 → − → − −→→ − − −→→ D + γ→ B rot− H = ∂∂t E rot E = − ∂∂t

→ − → − ∂E ∂2 E → − → − 4 E − µ0 γ − µ0 ε 2 = 0 ∂t ∂t → − → − ∂ 2 / ∂t = −iω et ∇ = i k l’équation de propagation donne γ k 2 = µ0 ω 2 (ε + i ) = µ0 ω 2 ε∗ ω b- d’où l’indice de réfraction est donné par : n=

ck √ ε∗ = εr avec εr = ω ε0

c- En utilisant la condition de jauge donnée, on montre facilement que → − → − ∂A ∂2 A → − → − 4 A − µ0 γ − µ0 ε 2 = 0 ∂t ∂t

74

0.34.3 Exercice - 3 1 / az(t) = z0 + a sin (ωt) v(t) =

dz = aω cos ωt dt

b→ − → − − E =→ v ∧B − − − = aω cos ωt→ ez ∧ (Bρ → eρ + B z → ez ) Soit

→ − − E = aωBρ cos ωt→ eρ

2/ e= Soit

I

− → − → − → − E . dl avec dl = Rdϕ→ eϕ e = 2πaωRBρ cos ωt

0.35 Correction du devoir de la 1re partie de la 1re session 1995 0.35.1 Exercice - 1 1 / Les conditions de passage du champ électrique d’un milieu 1 à un milieu 2 sont : −→ − → → − (E2 − E1 ) ∧ − n→ 12 = 0 − → − → → (D2 − D1 ).− n12 = σl σl est la densité de charge libre à la surface de séparation. 2 / Avant l’introduction des lames U = eE0 avec E0 =

σ0 Q0 = ε0 ε0 S

75 Soit U=

Q0 e ε0 S

Après introduction des lames U = E1 (e − e1 − e2 ) + E2 e1 + E3 e2 E2 est le champ à l’intérieur de la lame conductrice =⇒ E2 = 0 E3 est le champ à l’intérieur de la lame diélectrique , pour le déterminer, on utilise les conditions de passage. Soit ε0 E1 = εE3 =⇒ E3 = Eεr1 avec E1 = εσ0 = εQ 0S Un calcul simple donne : Q = Q0

eεr εr (e − e1 − e2 ) + e2

0.35.2 Problème A] a- Onde plane → − → − → − → − E = E 0 ei( k . r −ωt) − → − → − − → → B = B0 ei( k . r −ωt) les équations de Maxwell dans le vide : → − → − ∇. E = 0 → − → − ∇. E = 0 on a

→ − → − → − B ∇ ∧ E = − ∂∂t → − → − → − E ∇ ∧ B = ε0 µ0 ∂∂t

∂ → − → − ∇ = i k et = −iω ∂t d’où les relations suivantes : → − → − k . E = 0 (1) → − → − k . B = 0 (2) → − → − → − → − k ∧ E − ω B = 0 (3) → − → − → − → − k ∧ B + ε0 µ0 ω E = 0 (4)

76 b- En utilisant la relation → − → − → − → − → − → − → − → − → − A ∧ (B ∧ C ) = ( A.C )B − ( A .B )C et les équations de Maxwell, on trouve √ k = ω ε 0 µ0 c-

→ − → − (1) =⇒ k ⊥ E → − → − (2) =⇒ k ⊥ B

→ − → → − − → − → − or B = ω1 k ∧ E −→ B ⊥ E → − → − → − donc ( k , E , B ) forment un trièdre direct l’équation (3) =⇒ E =c B d- densité moyenne de l’énergie électromagnétique : 1 1 < w >=< ε0 E 2 > + < µ0 B 2 > 2 2 soit

ε0 E02 2 La valeur moyenne du vecteur de Poynting ; on a → − B → − → − P =E∧ µ0 d’où < P > = µ0 < w >=

= f- A.N.

E02 q ε0 2 µ0

E0 = 2.2.109 V /m B0 = 7.3T → − B] a- Calcul de B

→ − b- Calcul de E

→ − → − → − → → − → − → − − B = ∇ ∧ A = i k ∧ A 0 ei( k . r −ωt)

77

→ − dA → − → − → − → − = −i k V + iω A E = − ∇V − dt en utilisant la jauge de Lorentz, on montre que h→ → − − → − − − E = iω A − (→ n .A → n

→ − → − c- En utilisant ces expressions des champs E et B , on montrera facilement → − → − que E et B obéissent aux équations de Maxwell décrites précédemment. C] milieu supraconducteur : → − → − A = −λ j

→ − a- Equation de propagation de B on a → − → − → − − E +µ → ∇ ∧ B = ε0 µ0 ∂∂t 0 j → − − −→→ B = rot A or, −−→ − → − → − −→ −→→ rot(rot B ) = grad(div B ) − 4 B d’où

− −→→ ∂(rot E ) → − − −→→ + µ0 (rot j ) −4 B = ε0 µ0 ∂t

soit → − ∂2 B µ0 → → − − 4 B − ε 0 µ0 2 − B =0 ∂t λ b- solution indépendante du temps, µ0 → → − − 4B − B =0 λ soit µ0 → − → → − → − B = B 0 exp k .− r λ r

78

0.36 Correction du devoir N 1 DEUG-PC 1996-1997 0.36.1 Exercice - 1 1/

→ − − − B = B0x → ex + B0y → ey

les conditions de continuité =⇒ B1n = B2n et H1t = H2t d’où Bx = B0x Hy = H0y milieu linéaire =⇒B = µH et B0 = µ0 H0 donc, → − − − B = B0x → ex + µr B0y → ey B0x → B0y → → − − − H = ex + ey µ0 µr µ0 et

→ − B → − → − M= −H µ0

0.36.2 Exercice - 2 0.36.3 Exercice - 3 1 / on a

Z Z

d’où → − D=

    

0

Q → − e 4πr 2 r Q → − e 4πr 2 r

→ → − − D .dS = Q



r R + a1

milieu linéaire homogène et isotrope, donc → − E =

    

0

Q → − e 4πε1 r 2 r Q → − e 4πε0 r 2 r

r R + a1 

79 → − → − on a P = (ε − ε0 ) E donc → − P =

0

r R + a1

(ε1 −ε0 )Q → − er 4πε1 r 2

0

b- on a V 0 = − Edr donc R

V0 =

Q 4π Q 4π

h

1 hε1 R 1 ε1 r

+ +

1 (1 (R+a1 ) ε0 1 (1 (R+a1 ) ε0 Q 1 4π ε0 r

−

−



1 ε1  1 ε1

r R + a1

c- V’c = V pour R < r < R+a1 qui peut s’écrire sous la forme : Vc0

Q(R + aεr1 ) = 4πε0 R(R + a1 )

2 / pour un conducteur sphérique, on a Vc =

Q 4πε0 R

d’où R + aεr1 Vc0 = Vc R + a1 3 / aC0 =

Q 4πε0 ε1 R(R + a1 ) = 0 Vc ε1 R + ε 0 a1

1 Q2 (ε0 a1 + ε1 R) U 0 = QVc0 = 2 8πε0 ε1 R(R + a1 ) b- conducteur sphérique : C = 4πε0 R et U = d’où

Q2 8πε0 R

C0 ε1 (R + a1 ) U0 (ε0 a1 + ε1 R) = et = C ε1 R + ε 0 a1 U ε1 (R + a1 )

80 4 / Dans le vide, l’énergie localisée est : ε0 U= 2

Z

∞ (R+a1 )

E 2 dτ =

1 Q2 ( 8πε0 R + a1 )

Dans le diélectrique, l’énergie localisée est : Udi = 5 / a-

b- on a

1 ε1 Z R+a1 2 Q2 1 ( − E dτ = 2 R 8πε1 R R + a1 )

2 → − → − Q2 → − − D = 4πr E = 4πεQk r2 → er 2 er 2 Q εk R rk 1 Uk = 2 rk−1 E 2 dτ Uk = 8πεk ( rk−1 −

1 ) rk

− → − → Pk = (εk − ε0 )Ek → − → − P k+1 = (εk+1 − ε0 ) E k+1 σ = (εk − ε0 )Ek − (εk+1 − ε0 )Ek+1 Q 1 = 4πr − εr1 ) 2 (ε r k

k+1

k

0.37 Correction du devoir N 2 1996-1997 0.37.1 Exercice - 1 − 1 / Par raison de symétrie, le champ électromoteur est suivant → e θ et ne dépend que de r. On a → − I Z Z ∂B − → − → − → → − − −→→ rot E = − =⇒ E . dl = B .dS ∂t a- à l’intérieur du solénoïde, la relation précédente donne : 1 dB → → − − eθ E (ρ, t) = − ρ 2 dt b- à l’extérieur du solénoïde : 1 a2 dB → → − − E (ρ, t) = − eθ 2 ρ dt 2 / Le vecteur de Poynting est donné par,

81

→ − B → − → − R =E∧ µ0 1 ρ dB → → − − B R =− eρ 2 µ0 dt Le flux du vecteur de Poynting à travers la surface cylindrique de rayon a est de longueur l est φ− →= R

→ → − − R .dS πa2 l − µB0 dB dt RR

− µ02n

2

dI 2 πa2 l dt

3 / D’après le théorème de Poynting, RR

→ → − − R .dS = − dU dt B2 )πa2 l = − dtd ( 2µ 0

Soit : U= 4/

B2 2 πa l 2µ0

H→ − − → C = E . dl = −µ0 πa2 n dI dt

5 / D’après la loi de Faraday

e=−

dφ dt

d’où

dB dt cette force électromotrice vérifie bien la relation e = −πa2

e=−

dφ = dt

I

− → − → E . dl

82

0.37.2 Exercice -2 1 / La loi de conservation de la charge est , ∂ρ → − =0 div j + ∂t en utilisant les équations de Maxwell, on trouve que cette condition est satisfaite si 1 ∂V → − div A + 2 =0 c ∂t 2 / Equation de propagation pour V, ρ 1 ∂2V + =0 c2 ∂t2 ε0 → − Equation de propagation pour A → − 1 ∂2 A → − → − → − 4 A − 2 2 + µ0 j = η 2 A c ∂t 3 / Relation de dispersion, → − → − − V (→ r , t) = ei( k . r −ωt) 4V −

d’après l’équation de propagation de V, on trouve ω2 − η2 c2 la vitesse de phase de l’onde est définie par : k2 =

vϕ 4 /on a

= ωk =c 1+ q

η2 k2

→ − − E=h ¯ ω et → p =h ¯k

et en utilisant la relation de dispersion, on trouve E 2 = p 2 c2 + η 2 h ¯ 2 c2 cette relation est du type E 2 = p 2 c2 + m 2 c4 d’où la masse du photon prévue dans ce cas est : h ¯ m=η c

83

0.37.3 Exercice - 3 → − − → Soit K0 = ( k0 , iωc ) le quadrivecteur de l’onde incidente dans le référentiel < − → → − 0 K 0 = ( k 0 , iωc ) le quadrivecteur de l’onde incidente dans le référentiel R0

H(ρ) = α3 ρ2 αR3 H(ρ) = 3ρ0

2 / Le champ magnétique B et l’aimantation M se déduisent de l’expression de H en utilisant les relations qui lient B, M et H. Calcul de B : 2 → − → − − ρ < R0 B = µ1 H = µ1 αρ3 → eϕ 3 → − → − αR0 → R0 < ρ < R1 et ρ > R2 B = µ0 H = µ0 3ρ − eϕ → − → − αR30 → − R1 < ρ < R 2 B = µ 2 H = µ2 eϕ 3ρ

Calcul de M : ρ < R0 R0 < ρ < R1 et ρ > R2 R1 < ρ < R 2

2 − → − M = (µr1 − 1) αρ3 → eϕ − → → − M= 0 − → αR3 − M = (µr2 − 1) 3ρ0 → eϕ

− → → − − → → − 3 / Les expressions de B0 se déduisent de celle de H par la relation B0 = µ0 H → − car le vecteur H ne dépend que des courants libres. 4 / Le champ magnétique crée par les courants d’aimantation se déduit a partir de la relation : → − − → −→ B = B0 + Bm

89 soit : ρ < R0 R0 < ρ < R1 et ρ > R2 R1 < ρ < R 2

2 −→ − eϕ Bm = (µ1 − µ0 ) αρ3 → −→ → − Bm = 0 −→ αR3 − Bm = (µ2 − µ0 ) 3ρ0 → eϕ

5 / ⇒Le Système est invariant par translation suivant Oz et par rotation autour de Oz, donc toutes grandeur physique ne dépendra ni de z ni de ϕ. ⇒ Tout plan (xOy) est un plan d’antisymétrie, donc le potentiel vecteur est perpendiculaire à ce plan. D’où → − → − A (ρ, z, ϕ) = Az (ρ) k → − − −→→ Comme B = rot A et en utilisant les composantes du vecteur rotationnel en coordonnées cylindriques on trouve : µ1 αρ3 → − → − A (ρ) = − k 9 6 / Les champs qui présentent la discontinuité aux surfaces R0 , R1 et R2 sont − → → − −→ M , B et Bm du fait qu’il y a des courants d’aimantation surfaciques. → − Le vecteur H est continue car il n y a pas de courant libre surfacique. − → s 7 / Les densités de courant d’aimantation surfaciques sont données par Jm = − → → − → − M ∧ n . n étant la normale à la surface étudiée. − → − αR2 → s Jm (ρ = R0 ) = (1 − µr1 ) 3 0 k − − → αR2 → s Jm (ρ = R1 ) = (µr2 − 1) 3 1 k − → − αR2 → s Jm (ρ = R2 ) = (1 − µr2 ) 3 2 k

8 / Les densités de courants d’aimantation volumiques sont données par : − → → −→− v Jm (ρ) = rotM ρ < R0 R1 < ρ < R 2

− → − M = Mϕ (ρ)→ eϕ − → → − v Jm (ρ) = αρ(µr1 − 1) k − → → − v Jm (ρ) = 0

9 / Le courant d’aimantation total dans le cylindre de rayon R0 est : I m1 = de même Im2 = 0.

Z

− → → v − Jm .dS +

Z

− → − s → Jm . dl = 0

90

0.42 DS 1 (1999-2000) 0.42.1 Exercice - 1 1 / a- Le système de coordonnées adaptées : coordonnées sphériques (système invariant par rotation autour du centre o) b- Les grandeurs physiques ne dépendent ni de θ ni de ϕ car la variation d’un de ces angles laisse le système invariant. → − − → − − c- Le plan formé par → er et → eθ et un plan de symétrie, donc E k(→ er , − eθ )=⇒Eϕ = 0 → − − → − − Le plan formé par → er et → eϕ et un plan de symétrie, donc E k(→ er , − eϕ )=⇒Eθ = 0 Donc, → − − E (r, θ, ϕ) = E(r)→ er 2 / Déterminons d’abord le vecteur déplacement électrique qui lui ne dépend que des charges libres. Pour cela, utilisant le théorème de Gauss. rR

→ R − →− D.dS = ρdτ − Q 4 D4πr 2 = 4πα R4 − Q 4 D(r) = −Q+παR 4πr 2

RR

Les autres vecteurs se déduisent a partir des expressions du vecteur D. E = Dε P = Dε (ε − ε0 ) E0 = εD0 EP = D( 1ε − ε10 ) 2 2 αr 2 1 αr 2 0 r < R E1 = αr P1 = αr4 ( ε1ε−ε ) ( − ε10 ) 4ε1 4ε0 4 ε1 1 4 4 4 −Q+παR −Q+παR4 1 0 r > R E2 = −Q+παR P2 = −Q+παR ( ε2ε−ε ) ( ε2 − ε10 ) 2 4πε2 r 2 4πr 2 4πε r 4πr 2 2 0 3/ Les densités de charges surfaciques de polarisation sont données par σ P = → − → P .− n Sur la surface de séparation des deux diélectriques, les densités de charges surfaciques sont 2 − →− 0 ) σP1 = P1 .→ er = αR4 ( ε1ε−ε 1 4 − → → −Q+παR ε0 −ε2 2 − σP = P2 .(− er ) = 4πR2 ( ε2 )

→ − La densité de charge volumique de polarisation est donnée par ρ P = −div P , d’où rR

1 ) ρP = αr( ε0ε−ε 1 ρP = 0

91 Q 4/ Le champ électrostatique est nulle à l’extérieur de la sphère si α = πR 4 5/ Le champ électrostatique est nulle à l’intérieur de la sphère si α = 0 6/ Le champ électrostatique est continu à la traversée de la sphère si E 1 (r = R) = E2 (r = R) ,soit, Q ε2 = ε1 (1 − ) απR4 7/ Calcul de charges de polarisation. Pour le diélectrique a l’intérieur de la sphère, on a

Q P1 =

R

σP1 dS + ρP dτ =0 R

Pour le diélectrique à l’extérieur de la sphère, on a QP2 = σP2 dS 2 ) = (−Q + απR4 )( ε0ε−ε 2 R

N.B. QP2 n’est pas nulle car on tient pas compte de la surface externe du deuxième diélectrique.

0.43 DS2 (1999-2000) 0.43.1 Exercice - 1 1/ Cas d’un circuit qui se déplace dans un champs magnétique constant. Le champ électromoteur est donné par la relation de Lorentz. −→ → → − Em = − v∧ B → − = vB k 2/ Calcul du flux coupé par la tige lors de son déplacement dans le champ magnétique. R→ − − → φc = B .ds R→ − → − = − B .ldx j = −Blvt

l est la longueur de la tige.

92 3/ La force électromotrice qui apparaît dans cette tige se calcul par deux méthodes. - A partir de la circulation du champ électromoteur de Lorentz. R− − →→ e = Em . dl R → − → − = vB k .dl k = vBl - A partir de la variation du flux coupé par la tige. e = − dφ dt = Bvl R −→ → − 4/ on a e = Bvl > 0 = NM Em . dl = VN − VM =⇒ VN > VM 5/ e=Ri=⇒ i = Blv R 6/ Cas d’un circuit fixe dans un champ variable. Le champ électromoteur est donnée par la relation de Newmann. → − −→ Em = − ∂∂tA → − = αA0 e−αt k

7/

R→ − − → e = Em . dl = αA0 le−αt = Ri

d’où

αA0 le−αt R 8/ La tige est considérée comme infinie. Cette tige crée donc un champ magnétique donné par : i=

µ0 i → → − − B = eθ 2πr Le flux magnétique crée par la tige et qui traverse la spire est donné par. µ0 i a+b − → − → B .ds = b log 2π a D’où le coefficient d’induction mutuelle M : a+b µ0 b log M= 2π a φ=

Z

93

0.43.2 Exercice - 2 1/ Equations de Maxwell relatifs au milieu. → − − −→→ B rot E = − ∂∂t → − − → − −→→ E rot B = µ0 j + µ0 ε0 ∂∂t → − div B = 0 → − div E = 0 2/ les équations de propagation pour le champs électromagnétique sont données par. → − → − → − E − µ ε ∂2 E = 0 4 E − µ0 γ ∂∂t 0 0 ∂t2 → − → − 2 → − ∂B 4B − µ γ −µ ε ∂ B =0 0

0 0 ∂t2

∂t

3/ Equation de dispersion du milieu. → − − → → − → − ∂ = −iω , ∇ = i k et 4 = −k 2 Soit E = E 0 ei(kx−ωt) , donc ∂t d’où ω2 ω2 k 2 = 2 (1 − p2 ) c ω 4/ La vitesse de phase vϕ et la vitesse de groupevg sont données par . vϕ = vg =

ω k dω dk

=q

c 1−

q

2 ωp ω2

=c 1−

ωp2 ω2

5/ La nature de l’onde dépend la valeur de ω par rapport à ωp . ω < ωp =⇒ k 2 < 0 =⇒ onde vanescente ω > ωp =⇒ k 2 > 0 =⇒ onde non attennue 6/ Dans le vide, on a vϕ = c =

7/

2πλ0 et k

λ= q

dans le milieu étudié vϕ =

2πλ k

λ0 1−

vϕ ≈ vg =⇒ =⇒ ω  ωp

ωp2 ω2

ωp ω

≈0

→ − → − → − 8/ Le vecteur de Poynting est donné par R = Eµ∧0B =⇒ R =

E2 cµ0

. D’où

94

0.44 Rattrapage (1999-2000) 0.44.1 Exercice - 1 → − 1/ L’équation de Maxwel-Gauss est div E = 0 (milieu neutre). En utilisant les expressions données pour le champ électrique, on a donc ∂Ex ∂t ∂E1 ∂t

y z + ∂E + ∂E =0 ∂t ∂t 2 + k E2 = 0

2/ L’équation de propagation du champ électrique est → − 1 ∂2 E → − 4E = 2 2 c ∂t Soit : −ω 2 → → − − → − → − 4Ex i + 4Ey j + 4Ez k = 2 E c Comme Ey = 0 et

∂2 ∂z 2

= −k 2 donc : ∂ 2 E1 ∂x2 ∂ 2 E2 ∂x2

k)

2

+ ( ωc2 − k 2 )E1 = 0 2 + ( ωc2 − k 2 )E2 = 0

3/ La solution de l’équation différentielle vérifiée par E1 est de la forme ( ωc > s

s

ω2 ω2 E1 (x) = A cos( 2 − k 2 x) + B sin( 2 − k 2 x) c c Dans le cas où E1 (0) = E0 = constante et forme E1 (x) = E0 cos(

s

∂E1 ) ∂t x=0

= 0. La solution est de la

ω2 − k 2 x) c2

4/ D’après la première question, on a E2 (x) =

E0

q

ω2 c2

k

− k2

sin(

s

ω2 − k 2 x) c2

95 5/ L’équation de Maxwell-Faraday → − ∂B ∂Ex ∂Ez − −→→ rot E = − ⇒ − = iωB0y ei(kz−ωt) ∂t ∂z ∂x En utilisant les relations précédentes, on trouve : ω → − → − B = 2 E1 ei(kz−ωt) j kc → − → − 6/ En utilisant les expressions de E et de B

0.45 DS1 Juin 2001 Problème 1 1- A partir des équations de Maxwell : → − − −→→ E rot B = µ0 ε0 ∂∂t → − − −→→ B rot E = − ∂∂t et → − − −→→ B = rot A → − −−→ → − E = −gradV − ∂∂tA on trouve facilement → − 1 ∂2 A → − 4A − 2 2 = 0 c ∂t 2- A partir de l’équation de propagation en remplacant ∂2 nπ 2 2 + ∂z 2 = −( a ) − k ∂x2 on trouve l’équation de dispersion suivante : ∂2

k2 =

ω2 c2

− ( nπ )2 a

Pour qu’il y a propagation, il faut que k ≥ 0 donc : ω ≥ ωc =

nπc a

Pour ω < ωc le potentiel vecteur s’écrit : → − − ey A = A0 sin( nπ x)e−ρz e−iωt → a

∂ ∂t

= −iω et 4 =

96 avec ρ =

q

ωc2 −ω 2 c2

→ − → − II-2) Le champ électrique se déduit de la relation : E = − ∂∂tA −→ − x)cos(ωt − kz − π2 )→ ey Soit ER = E0 sin( nπ a − −→→ II-3) Le champ magnétique B se déduit de l’équation de Maxwell rot E = → − −∂ B ∂t

Soit : −→ E0 k − − x)sin(kz − ωt)→ ex + Eω0 nπ cos( nπ x)cos(kz − ωt)→ ez BR = ω sin( nπ a a a II-4) L’onde étudiée n’est pas plane car le module du champ électrique dépend de deux variables x et z. La vitesse de phase est donnée par v = ωk = q c ω2 1−

2 ωc

II-5) le flux du vecteur de Poynting a travers la surface S orthogonale à Oz est φ=

E02 kba sin2 (kz 2ωµ0

− ωt)

La valeur moyenne de ce flux est : < φ >=

E02 kba 4ωµ0

0.46 DS1 Juin 2005-2006 Exercice1 → − − 1) Par raison de symétrie E = E(r)→ er . 2) Relations de continuité : E1t = E2t or à la surface de séparation du vide et du diélectrique, le champ se réduit à sa composante tangentielle donc E(vide) = E ( dié ). RR→ → −− 3) On a D dS = E1 πrh + E0 πrh = σ1l πah + σ2l πah Soit ε1 Eπrh + ε0 Eπrh = σl πah la d’où E = r(εσ1 +ε 0) R la On a aussi U = Edl = (ε1σ+ε ln( ab ) 0) U donc E = rln( b ) a A partir de E, on déduit les autres expressions. → − 6) dans le vide σP = 0 et dans le diélectrique σP = −div P 0 )U surface r= a σP = − (ε−ε aln( b ) a

0 )U sueface r = b σP = (ε−ε bln( ab ) 7) La somme des charges de polarisation = 0

97

0.47 DS2 Juin 2005-2006 B) 1) L’intensité du courant est donnée par I = J πa2 car J est uniforme et constant dans le conducteur. On a donc : ( ! − I → → − k si r ≤ a 2 j = πa 0 si r ≥ a et pour le champ électrique , → − E =

− I → k σπa2

→ − La densité de charge est donnée par l’équation de Maxwell ρ = ε 0 div E , soit ρ=0 Le plan OzM est plan de symétrie, donc le champ magnétique est perpendiculaire à ce plan : soit → − − B = B(r, θ, z)→ eθ et le système est invariant par rotation autour de Oz et par translation suivant Oz donc : → − − B = B(r)→ eθ pour déterminer l’expression de B, on utilise le théorème d’Ampére appliquée sur un cercle de rayon r et d’axe Oz, ainsi : 2πB(r) =

(

µ0 Ir 2 a2

µ0 I

si r ≤ a si r ≥ a

On a donc → − − B = B(r)→ eθ =

(

µ0 Ir 2πa2 µ0 I 2πr

si r ≤ a si r ≥ a

2) Les champs E et B sont continus à la surface du conducteur, les relations de passage sont donc vérifiées s’il n’ya ni charge ni courant surfacique. − → − → 3) Le produi scalaire s = j . E est la puissance par unitée de volume communiquée aux charges ou puissace dissipée par effet Joule. Son unité est le W/m 3 .Ainsi :

98 s=

I2 σπ 2 a4

(

= 103 W m−3 si r ≤ a 0 si r ≥ a

4) Le flux du vecteur de Poynting à travers une surface est la puissance élkectromagnétique qui traverse cette surface. L’unité de R est le W/m2 ( 2 → − → − − − 2πI2 ar4 σ → er si r ≤ a → − E ∧B R = µ0 = 2 I − − 2π2 a2 σr → er si r ≥ a

5) Ona → − → − ψ = ∇. R =

(

2

− π2Ia4 σ si r ≤ a 0 si r ≥ a

Ainsi, on a donc → − → − → − − → où encore ∇. R + j . E = 0

ψ = −s

Cette relation exprime la forme locale de la conservation de l’énergie dans le cas du régime stationnaire. 6) Le flux du champ magnétique à travers le rectangle OABC est : φB (r) =

(

µ0 Ihr 2 r 4πa2

µ0 Ih (1 4π

+

2Ln ar

si r ≤ a si r ≥ a

II) Régime quasistationnaire 1) v = − dφBdt(r) est la force électromatrice qui apparaît dans le contour OABCDO. En utilisant l’expression de φB (r)pour r ≤ a, on trouve : v=

µ0 I0 hr 2 ω i(ωt− π2 ) e 4πa2

2

I0 hr ω D’où v0 = µ04πa et φ = π2 2 A.N. v0 = 3, 1 10−5 V → − → − 2) Comme j = σ E , La circulation de la densité de courant s’exprime en fonction de la circulation du champ électrique par

C=

H

Γ

H → − − − → → − → j . dl = σ Γ E . dl

99 → − − − → → − → − dφB (r) B on a σ H → Or à laide de l’equation de Maxwell ∇. E = − ∂∂t Γ E . dl = − dt On a donc : C = −σ dφBdt(r) = σv 2 0 hr ω iωt e Soit C = −i µ0 σI 4πa2 3) Comme la circulation de la densité de courant le long du circuit Γ n ’est pa nulle, la densité de courant ne peut pas être uniforme dans le conducteur. C) Onde plane électromagnétique 1) La longeur d’onde λ = νc = 10m − → − → − → 2) E , B et k forment un triédre direct et on a B = Ec d’où → − − E = cB0 cos(ωt − kz)→ ex

→ − − − → → − → − dφB (r) B permet d’obtenir e(t) = σ H → 3) ∇. E = − ∂∂t Γ E . dl = − dt 4) Sur le disque D, z varie entre -a et a. On a donc λ  a le champ magnétique reste donc presque uniforme sur le plan du disque et on peut remplacer magnétique par sa valeur en O. On a donc : φ(t) =

RR

− − B0 cos(ωt)→ ey → n dS = B0 πa2 sinθcos(ωt)

Ainsi : e(t) = Asin(ωt) o A = B0 πa2 sinθ 2 2 2 5) On a W (θ) =< e(t) >=< A sin2 (ωt) >= A2 Ainsi W (θ) est minimum pour θ = 0(mod π). Le champ B est alors parallèle au disque. W (θ) est maximum por θ = π2 (mod π). Le champ B est alors perpendiculaire au disque.

0.48 DS1 2006-2007 Exercie 1 → − − On a P = P → er avec P est constante dans le diélectrique. Les charges de polarisation sont : (

) → − d ρp = −div P = − 1r dr (rP ) = − Pr → − − → − − σp = P .→ n = P .→ er = P

La somme des charges de polarisation est : R R R R Qp = ρp dτ + σdS = − Pr 2πhrdr + P dS P soit : Qp = 0 2- Le théorème de Gauss appliquée a une sphère de rayon r donne :

P

100 ) → − − er r R E = 0 (Qint = 0)

(

−−→ → − 3) On a E = −gradV ⇒ dV = −Edr d’où : (

r < R V (r) = − εP0 (r − R) r>R V (r) = 0

4) (

L’équation de Poisson est : ) ( r>R 4Vext = 0 r>R ⇒ ρ P r < R 4Vint = − ε0 = − ε0 r r R2 E=0

    

101

0.49 DS2 2006-2007 Exercice-1 1. Solénoide de longuer b très grande , donc par raison de symétrie cylindrique on a B(r, θ, z) = B(r). Tout plan perpendiculaire Oz est un plan de symétrie donc B est parallèle à Oz. → − → − D’où : B = B(r) k

Q

a

r’’

2. a)˘aSoit le contour (C) indiqué par le schéma suivant : H→ − − → On a B . dl = 0 d’où (B(Q)-B(M) = 0 donc B est uniforme à l’exterieur. Comme B est nul à l’infini, le champ à l’extérieur est donc nul. H→ P − − → b) Théorème d’Ampére : B . dl = µ0 Iint

r

Cylindre de

102 a

r

(C)

Cylindre de rayon a

en utilisant le contour d’intergration suivant : on a : B = µ0 nI c) ϕ = Le flux de B à travers une spire : ϕ = BS S = surface d’une spire. Pour le solenoide : φ = nbϕ = n2 bµ0 Iπa2 Le coefficient d’auto-induction de la bobine est L = n2 bµ0 πa2 Le coefficient d’auto-induction par unité de longueur est : L = Lb = n2 µ0 πa2 3) a) Soit ϕ le flux envoyé par le solenoide à travers une spire de la bobine : ϕ = Bπr 2 d’où, le flux total à traves la bobine est : φ = N Bπr 2 = µ0 nN Iπr 2 b) Le coefficient d’induction mutuelle est M = φI = µ0 nN πr 2 4) a) f.é.m induite dans la bobine : 1- A partir de la loi de Faraday : e1 = − dφ = −µ0 nN πr 2 I0 ωcosωt dt 2- A partir du champ de Neumann . → − − −→→ On a B = rot A ⇒A = Br 2 → − → − → − µ0 nIr → − Donc A = e ⇒ E = − ∂ A = − µ0 nI0 ωcosωt r ρ

2

m

d’où la f.e.m induite est : e1 =

H

∂t

2

− → − → E m . dl = Em .2N πr = −µ0 nN πr 2 I0 ωcosωt

103 H→ → − − − → − 5) a) On a → v = v0 k ⇒ e = E . dl → − → − → − → − → − − − avec : E = → v ∧ B − ∂∂tA comme → v ∧B = 0 Donc : e = e1 → − − b) On a B = B → eρ → − − − Donc le champ électromoteur est : E = → v ∧ B = v0 B → eθ H→ H − − → D’où : e = E . dl = v0 Brdθ

⇒

e = v0 Br2N π

Exercice Nˇr2 1) Equation de Mawxell dans l’eau de mer : → − div B = 0 → − − →→  − B rot E = − ∂∂t

 → −  div E = 0 → − − −→→ D  rot B = µ0 (J + ∂∂t

 

2) L’équation de propagation se déduit à partir de ces équations : → − → − 2 → − → − ∂E 4 E = − εcr2 ∂∂tE − µ σ = 0 2 0 ∂t 3) En notation complexe, l’équation de propagation s’écrit : −k 2 + εc2r ω 2 + iµ0 σω = 0. D’où : k2 =

εr 2 ω c2

+ iµ0 σω

4) Le rapport entre la partie imaginaire et la partie réelle de k 2 = π 5) Si Im(k 2 )  Re(k 2 )onqa k 2 = iµ0 σω = µ0 σωei 2 π √ Donc : k = µ0 σωei 4 = µ02σω (1 + i) On pose δ = D’où :

q

2 µ0 σω

σ εω

= 10

⇒k = 1δ (1 + i)

z

z

E(z, t) = E0 e− δ ei( δ −ωt) b) On a une onde évanescente, donc on ne peut pas communiquer avec un sous marin dans ce cas.