Exercises for Section 2.1

1.

2.

3.

4. 5. 6. 7. 8.

9.

                                                                                           * +  +  √                                                                                 √                                                            

Jika , buktikan bahwa: (a) Jika , maka (c) Buktikan bahwa jika , maka: (a) (c)

(b) (d) (b) (d)

, jika

Selesaikan masing-masing persamaan berikut ini, berikan alasan dengan cara menunjukkan sifat  atau teorema yang dipakai pada setiap langkahnya! (a) (b) (c) (d) Jika yang memenuhi , buktikan bahwa atau Jika dan , tunjukkan bahwa Buktikan bahwa tidak ada bilangan rasional yang memenuhi Buktikan bahwa tidak ada bilangan rasional yang memenuhi (a) Tunjukkan bahwa jika adalah bilangan rasional, maka dan adalah bilangan rasional juga. (b) Buktikan bahwa jika adalah bilangan rasional dan adalah bilangan irrasional, maka adalah bilangan irrasional. Dan jika ditambahkan syarat untuk  , tunjukkan bahwa adalah bilangan irrasional. Misalkan . Tunjukkan bahwa memenuhi beberapa hal berikut ini: (a) Jika , maka dan (b) Jika dan , maka

(selanjutnya, himpunan disebut sebagai subfield dari 10. (a) Jika dan , tunjukkan bahwa (b) Jika dan , tunjukkan bahwa 11. (a) Tunjukkan bahwa jika , maka dan (b)

Tunjukkan bahwa jika

)

, maka

12. Misalkan adalah bilangan-bilangan real yang memenuhi dan . Berikan sebuah contoh bilangan-bilangan tersebut yang memenuhi . Berikan juga contoh untuk kasus 13. Jika , tunjukkan bahwa jika dan hanya jika dan 14. Jika , tunjukkan bahwa . Tunjukkan dengan cara memberikan contoh penyangkal bahwa tidak berlaku 15. Jika , tunjukkan bahwa: (a) (b) 16. Carilah bilangan-bilangan real (a) (c)

yang memenuhi masing-masing pertidaksamaan berikut ini: (b) (d)

17. Buktikan bahwa jika sedemikian hingga 18. Misalkan dan anggap bahwa untuk setiap 19.

Buktikan bahwa

untuk setiap berlaku

untuk semua

kesamaan dari bentuk tersebut berlaku jika dan hanya jika 20. (a) Jika , tunjukkan bahwa (b) Jika , tunjukkan bahwa 21. (a) Buktikan bahwa tidak ada yang memenuhi

, maka . Tunjukkan bahwa

. Tunjukkan juga bahwa

(b) Buktikan bahwa tidak ada bilangan asli yang genap sekaligus ganjil 22. (a) Jika , tunjukkan bahwa untuk semua dan untuk  (b) Jika , tunjukkan bahwa untuk semua dan untuk  23. Jika , dan , tunjukkan bahwa jika dan hanya jika 24. (a) Jika dan , tunjukkan bahwa jika dan hanya jika (b) Jika dan , tunjukkan jika dan hanya jika 25. Dengan mengasumsikan akar-akarnya ada, tunjukkan bahwa jika j ika , maka

                                                                 

hanya jika 26. Gunakan prinsip induksi matematika untuk menunjukkan bahwa jika dan

1.

jika dan

dan

, maka

                               (    )                                     ( )                                                                                                                                                                                                                                     

Misalkan (a) Jika (b) (c) (d)

sebarang, perhatikan bahwa: , maka berlaku:

Dari nomor 1(d), kita tahu bahwa . Jadi,

dan dari nomor 1(c), kita peroleh

Q.E.D.

2.

Misalkan (a) (b) (c) (d)

sebarang, perhatikan bahwa:

Karena

, maka kita dapatkan:

Q.E.D.

3. 4.

Tidak dibahas. Misalkan sebarang yang memenuhi

. Anggap

, maka kita peroleh:

Q.E.D

5.

6.

Jika

dan

, maka kita peroleh:

Andaikan ada bilangan rasional yang memenuhi maka kita dapat tuliskan , untuk suatu

kata lain

Q.E.D. . Karena adalah bilangan rasional, dimana dan relatif prima (atau dengan

). Sekarang, perhatikan bahwa

. Hal ini

berarti

7.

adalah genap. Sebagai akibatnya juga genap. Oleh sebab itu, maka kita bisa tuliskan untuk suatu . Selanjutnya . Hal ini berarti adalah genap. Karena genap sedangkan adalah ganjil, maka kita bisa simpulkan bahwa adalah genap. Dan sebagai akibatnya, juga genap. Namun, hal ini mengakibatkan bahwa dan sama-sama genap atau dengan kata lain dan tidak relatif prima karena . Jadi, pengandaian bahwa ada bilangan rasional yang memenuhi adalah tidak benar. Dan haruslah tidak ada bilangan rasional yang memenuhi . Q.E.D. Andaikan ada bilangan rasional yang memenuhi . Karena adalah bilangan rasional, maka kita bisa menuliskan untuk suatu dimana dan relatif prima (atau dengan

kata lain

). Sekarang perhatikan bahwa

. Hal ini

                                                                                                                                                                           √        √       ( (√ )(  )(  )   √ )(   √ )       √     )       )(  √ )   √   √        √  √  √              √            √  √     √  √  √                                  √                       *+                                 *+                      *+ *+ *+ *+  *+

berarti jika

8.

habis dibagi . Namun hal ini mengakibatkan bahwa juga habis dibagi 3 (mengingat  , maka . Atau jika , maka , untuk suatu ). Selanjutnya kita bisa tuliskan . Namun hal ini mengakibatkan habis dibagi . Dan selanjutnya, kita tahu bahwa juga habis dibagi . Sehingga dapat disimpulkan bahwa dan sama-sama habis dibagi . Hal ini berkontradiksi dengan asumsi awal yang mengatakan bahwa dan adalah relatif prima. Q.E.D. (a) Misalkan , maka , untuk suatu dan misalkan , maka , untuk  suatu

. Selanjutnya, perhatikan bahwa:

dan

(b)

mengingat bahwa

. Kemudian dengan cara yang sama kita dapat menunjukkan bahwa mengingat  dan

Andaikan

, maka

untuk suatu

. Sekarang perhatikan bahwa:

. Karena

dan

, maka

yang berkontradiksi dengan hipotesis yang mengatakan

haruslah bahwa Selanjutnya Andaikan

. Jadi

.

, maka

bahwa:

untuk suatu

. Sekarang perhatikan

. Karena

dan

, maka

. Hal ini berkontradiksi dengan hipotesis yang mengatakan bahwa

. Jadi,

haruslah

Q.E.D.

9.

(a)

Misalkan

dan

. Sekarang perhatikan bahwa: dan

.

(b)

Jika

, maka

dengan

atau

. Selanjutnya, perhatikan bahwa: . Karena

, maka

(karena seandainya jika

dan

hal ini tidak mungkin terjadi,mengingat tidak ada bilangan rasional yang kuadratnya sama dengan 2). Jadi,

dan

, dan hal ini mengakibatkan

Q.E.D.

10. (a)

(b)

Jika dan , maka dan sekarang perhatikan bahwa: Jika , maka Dan jika , maka , selanjutnya Jadi, dapat disimpulkan bahwa simpulkan bahwa Jika , maka dan Jika , maka dan Perhatikan kasus-kasus berikut: Jika dan , maka

.

mengingat 

. .

dan atau dengan kata lain kita

, selanjutnya:

dan

*+ *+ *+        *+   *+                                            *+ *+ *+   *+            *+   *+                                                                                                                                                                                                                                                           *+         *+       . Sehingga dan , maka

Jika Sehingga Jika dengan Sehingga Jika dengan Kemudian kita peroleh

. dan

, selanjutnya: . , maka , selanjutnya:

, maka

dan

, selanjutnya: dan

Dari kasus-kasus di atas, kita dapat disimpulkan: dan hal ini ekivalen dengan

.

dan

.

. . Sehingga

dan

. Dan

Q.E.D.

11. (a)

Anggap

dan andaikan

, maka kita tahu bahwa

Sekarang perhatikan bahwa:

dan

.

. Namun, hal ini

mengakibatkan

yang berarti bahwa

. Jadi, haruslah

Sekarang, perhatikan bahwa:

(b)

Jika

, maka

.

. Jadi,

. Sekarang perhatikan bahwa:

. Karena kita tahu

bahwa

atau dengan kata lain

ekivalen dengan

, sehingga

dan hal ini

.

Sekarang, perhatikan bahwa:

. Jadi, kita dapat 

disimpulkan

.

Kemudian karena

12. Jika dipilih , , kemudian perhatikan bahwa: Jika dipilih , ,

dan

dan

, maka didapatkan

, maka kita tahu bahwa

.

dan

, maka kita tahu bahwa

kemudian perhatikan bahwa: 13.

dan

dan

dan

,

.

Jika yang memenuhi , maka dan . Kita akan membuktikan kontraposisi dari implikasi tersebut benar. Anggap bahwa adalah sebarang bilangan real, maka kita tahu bahwa Sekarang misalkan adalah sebarang bilangan real yang lain. Jika , maka . Kemudian, jika , maka , sehingga dengan demikian . Jadi, jika atau , maka

Jika

Q.E.D. ,

.

, maka

Q.E.D.

14. Jika , maka , dan hal ini berarti . Selanjutnya, disimpulkan . Dengan memilih dan , kita tahu bahwa

. kemudian hal ini berarti

. Jadi, dapat 

, akan tetapi tidak benar bahwa

      √  (√  (   )(√   )(   )  )      √  √  √  √  √  √        (√   (   )  ) √  √  √  √  √    √    √    √ (√  (√   √ ))     √    √                            **    + + **     +    +                                                                                                                                                                                                                                                 , mengingat 

15. Jika

, maka

. Kemudian karena

haruslah bahwa berarti

Q.E.D. , maka

. Dan hal ini mengakibatkan:

dan

yang

>0 yang berarti

. Jadi,

Q.E.D.

Jika

, maka

dan hal ini berarti

. Dan sebagai akibatnya kita peroleh:

mengingat bahwa

. Jadi

Q.E.D.

.

16. (a) (c) 17. Anggap bahwa Andaikan bahwa

.

(b) (d)

. sedemikian hingga , selanjutnya jika dipilih

.

, untuk semua , maka

berkontradiksi dengan hipotesis yang mengatakan bahwa haruslah

18. Kita akan tunjukkan bahwa kontraposisi pernyataan jika adalah benar. Anggap

, selanjutnya jika dipilih

Jadi, jika

, maka

, maka

.

. Hal ini

, untuk semua

untuk semua

. Jadi

Q.E.D. , maka .

, untuk suatu

Q.E.D.

19. Misalkan

Jadi,

, selanjutnya perhatikan bahwa:

atau dengan kata lain

Q.E.D.

.

20. (a)

(b)

Q.E.D. . Hal ini , maka kita dapat 

Jika , maka , selanjutnya kita dapatkan berarti . Kemudian karena kita tahu bahwa dan simpulkan bahwa Jika , maka dan , selanjutnya kita dapatkan bahwa . Hal ini berarti bahwa . Karena dan , maka dapat disimpulkan bahwa

Q.E.D.

21. (a)

(b)

    *+                                

Anggap tidak benar bahwa tidak ada yang memenuhi . Selanjutnya, jelas bahwa himpunan adalah subset dari yang tak-kosong. Kemudian menurut sifat terurut-rapi bilangan asli, maka terdapat unsur terkecil sedemikian hingga untuk semua . Selanjutnya, karena , maka . Perhatikan bahwa . Dengan demikian yang memenuhi . Namun hal ini tidak mungkin mengingat  adalah unsur terkecil di . Q.E.D. Andaikan ada yang genap sekaligus ganjil. Hal ini berarti , untuk  suatu . Sekarang perhatikan bahwa: . Hal ini tidak  benar mengingat bahwa bilangan bulat tertutup terhadap operasi penjumlahan dan pengurangan.

22. (a)

(b)

Q.E.D.   Perhatikan bahwa untuk    berlaku      . Kemudian anggap bahwa jika untuk   berlaku       . Hal ini mengakibatkan mengakibatkan   . Perhatikan bahwa       . Karena    maka haruslah      . Selanjutnya perhatikan bahwa untuk  berlaku:                    atau dengan kata lain       . Sebagai akibatnya,     untuk   ,   . Sekarang, dengan menambahkan kasus untuk    , kita tahu bahwa       . Sehingga kita dapat simpulkan bahwa     untuk semua   . Q.E.D. Jika , maka kita tahu bahwa . Selanjutnya, perhatikan bahwa untuk  berlaku bahwa . Sekarang anggap bahwa jika untuk  berlaku . Perhatikan bahwa . Karena maka haruslah . Selanjutnya, kita tahu bahwa untuk  berlaku . Jadi, dapat disimpulkan bahwa untuk  , atau dengan kata lain untuk  , .

 

                                                         Dengan menambahkan kasus untuk    , kita tahu bahwa        . Dan hal ini mengakibatkan     berlaku untuk semua   .

Q.E.D.

23. Bukti ke kanan Anggap bahwa . Hal ini berarti berlaku . Selanjutnya, anggap bahwa jika untuk  perhatikan untuk  berlaku:

. Kemudian, Perhatikan bahwa untuk                berlaku             . Sekarang    matematika    dapat Hal ini,menurut   prinsip  induksi  disimpulkan    bahwa      untuk  semua   . Atau dengan kata lain     untuk semua   .

Bukti ke kiri Anggap 24. (a)

                                                                 untuk semua

. Karena

Bukti ke kanan Anggap . Andaikan bahwa . Sekarang perhatikan jika

, jelas bahwa

Q.E.D.

. Hal ini berarti atau dengan kata lain kita dapatkan

Kemudian jika , kita tahu bahwa . Sehingga hal ini menyebabkan atau dengan kata lain . Selanjutnya, kita dapatkan: atau dengan kata lain . Dari dua kasus tersebut, kita dapatkan yang berkontradiksi dengan hipotesis yang

mengatakan bahwa

  

             

. Jadi pengandaian salah dan haruslah

Bukti ke kiri Anggap . Kita tahu bahwa .Kita juga tahu bahwa dengan kata lain . Hal ini mengakibatkan dengan kata lain .

                                                                                                                               atau

atau

Q.E.D.

(b)

Bukti ke kanan Anggap . Andaikan bahwa . Sekarang perhatikan jika

. Hal ini berarti atau dengan kata lain maka kita dapatkan

Kemudian jika , kita tahu bahwa . Hal ini mengakibatkan mengingat bahwa . Atau dengan kata lain . Sekarang perhatikan bahwa: atau dengan kata lain . Dari dua kasus tersebut, kita dapat simpulkan bahwa . Namun hal ini berkontradiksi berkontradiksi dengan hipotesis. Sehingga pengandaian salah, atau dengan kata lain haruslah . Bukti ke kiri Anggap . Selanjutnya kita tahu bahwa atau dengan kata lain atau dengan kata lain

. Dan kita juga tahu bahwa . Dan hal ini mengakibatkan:

Q.E.D.

25. Misalkan

. Selanjutnya kita tahu bahwa

maka

Selanjutnya kita tahu bahwa

. (karena jika

, padahal kita tahu bahwa

,

).

jika dan hanya jika

.

Q.E.D.

26. Misalkan untuk suatu . Tunjukkan dengan menggunakan induksi matematika bahwa dan untuk semua . Dengan cara yang sama, misalkan untuk suatu . Tunjukkan juga bahwa dan untuk semua .