Exercícios Selecionados [Matemática]

COLÉGIO ÓRION PROF. PC 14/02/08 Análise Combinatória / Combinação 01 - (Fuvest SP/2006) A partir de 64 cubos brancos, todos iguais, formase um novo cubo. A seguir, este novo cubo tem cinco de suas seis faces pintadas de vermelho. O núme número ro de cubo cuboss me meno nore ress que tiver tiveram am pelo pelo menos duas de suas faces pintadas de vermelho é

a) b) c) d) e)

24 26 28 30 32

Razões Trigon. Trigon. no Triâng. Triâng. Retângulo / Relações Trigonométricas em um Ângulo Agudo 02 - (Fuvest SP/2006) Na figura abaixo, a reta s passa pelo ponto P e pelo elo cen entr troo da circ circun unfe ferê rênc nciia de rai raio R, interceptando- a no ponto Q, entre P e o centro. Além disso, a reta t  passa por P, é tangente à circunferência e forma um ângulo α com a reta s. Se PQ = 2R, então cosα vale

a) b) c) d) e)

2 /6

2 /3 2 /2

2 2 /3 3 2 /5

Probabilidade / Produto de Probabilidades e Prob. Condicional 03 - (Fuvest SP/2006) Um rece recens nsea eam men ento to reve revelo louu as segu seguin inte tess características sobre a idade e a escolaridade da população de uma cidade.

Se for for sort sortea eada da,, ao acas acaso, o, um umaa pess pessoa oa da cidade, a probabilidade de esta pessoa ter curso superior (completo ou incompleto) é a) 6,12% b) 7,27% c) 8,45% d) 9,57% e) 10,23% Sistemas Lineares / Resolução 04 - (Fuvest SP/2006) João João,, Maria aria e Antôn ntônia ia tinh tinham am,, jun unto tos, s, R$ 100.000,00. Cada um deles investiu sua parte por  um ano, com juros de 10% ao ano. Depois de creditados seus juros no final desse ano, Antônia passou a ter R$ 11.000, 1.000,00 00 mais o dobro do novo capi capita tall de Joã oão. o. No an anoo seg egui uint nte, e, os três três reinvestiram seus capitais, ainda com juros de 10% ao ano. Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo capital de Antônia era igual à soma dos novos capitais de Maria e João. Qual era o capital inicial de João? a) R$ 20.000,00 b) R$ 22.000,00 c) R$ 24.000,00 d) R$ 26.000,00 e) R$ 28.000,00 Operações com Números Inteiros / Múltiplos, Divisores e Sist. Decimal de Numeração 05 - (Fuvest SP/2006) Um núme número ro natu natura rall N tem tem três três alga algari rism smos os.. Quando dele subtraímos 396 resulta o número que que é obti obtido do inver nverte tend ndoo-sse a orde ordem m do doss algarismos de N. Se, além disso, a soma do alga algari rism smoo das das cent centena enass e do alga algari rism smoo das das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8 Progressão Geométrica / Propriedades, termo Geral e Soma dos n Termos 06 - (Fuvest SP/2006) Três números positivos, cuja soma é 30, estão em prog progre ress ssão ão ari aritmét tmétiica. ca. Som oman ando do-s -se, e, respectivam respectivamente, ente, 4, 4 e 9 aos aos prim primei eiro ro,, segund seg undoo e tercei terceiro ro termos termos des dessa sa progres progressão são aritmética, obtemos três números em progressão geométrica. Então, um dos termos da progressão aritmética é a) 9 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15 Ponto / Distância de Dois Pontos e Ponto Médio 07 - (Fuvest SP/2006) O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que sat satisf isfazem azem t 2 − t − 6 = 0 , onde t =| x − y | , consiste de a) uma reta. b) duas retas. c) quatro retas. d) uma parábola. e) duas parábolas. Equações Polinomiais / Teorema Teorema de Bolzano e das Raízes Racionais 08 - (Fuvest SP/2006) O conjunto dos números reais x que satisfazem a inequação log 2 (2x + 5) − log 2 (3x − 1) > 1 é o intervalo: a) ] ∞, 5/2[ b) ]7/4, ∞[ c) ] 5/2, 0[ d) ]1/3, 7/4[ e) ]0, 1/3[

área do triângulo ABC e a área do círculo da figura é dado, em função de α, pela expressão:

a) b) c) d) e)

2

π 2

π 2

π 2

π 2

π

cos 2 α

sen 2 2α sen 2 2α cos α

sen α cos 2α sen 2α cos 2 α

Cone / Area e Volume Volume 11 - (Fuvest SP/2006) Um cone cone circ circul ular ar reto reto está está insc inscri rito to em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como como mo most stra ra a figu figura ra.. A razão razão dimensões do paralelepípedo é

3 2

 b a

entr entree as

e o volume do

cone é π. Então, o comprimento g da geratriz do cone é

Areas de Superficies Planas / Triângulos Triângulos 09 - (Fuvest SP/2006) Na figura abaixo, tem-se AC = 3, AB = 4 e CB = 6. O valor de CD é

a) b) c) d) e)

17/12 19/12 23/12 25/12 29/12

Areas de Superficies Planas / Razão entre Áreas 10 - (Fuvest SP/2006) Na figu figura ra aba abaix ixo, o, o triâ triângu ngulo lo ABC ABC insc inscri rito to na circunferência tem AB = AC. O ângulo entre o lado AB e a altura do triângulo ABC em relação a BC é α. Nestas condições, o quociente entre a

a) b) c) d) e)

5 6 7 10 11

Análise Combinatória / Combinação 12 - (Fuvest SP/2006) Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se desped des pedem em com um ace aceno. no. Dua Duass mul mulher heres es só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem. Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram

juntas, todos dos se cumpri primentaram e se despedi des pediram ram na forma forma des descri crita ta aci acima. ma. Qua Quantos ntos dos dos pres presen ente tess eram eram mu mulh lher eres es,, sabe sabend ndoo que que foram trocados 720 apertos de mão? a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 Circunferência / Ângulos na Circunferência e Potência de Ponto 13 - (ITA SP/2006) Seja E  um ponto externo a uma circunferência. Os seg segmen mentos tos EA e ED interceptam interceptam essa circ circun unfe ferê rênc ncia ia nos nos pont pontos os B e A, e, C e D, respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. Se EB = 5 , BA = 7 , EC = 4 , GD = 3 e AG = 6 , então GF vale a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Conjuntos / Problemas 14 - (ITA SP/2006) Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n ≥ 1 . Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade: Se A, B ∈ S , então A ⊂ B ou B ⊂ A . Então, o número máximo de elementos que S pode ter é a) 2 n−1 b) n/ n/2, 2, se n ffor or par par, e (n + 1) / 2 se n for ímpar  c) n + 1 d) 2 n − 1 e) 2 n−1 + 1 Conjuntos / Operações e Propriedades 15 - (ITA SP/2006) Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n (B \ A) , n (A \ B) e n (A ∩ B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razã razãoo r > 0 . Sabe Sabend ndoo que que n (B \ A) = 4 e n ( A ∪ B) + r = 64 , então, n ( A \ B) é igual a a) 12 b) 17 c) 20 d) 22 e) 24 Funções Trigonométricas Trigonométricas e suas Inversas / Sen, Cos, Tg, Cotg, Sec, Cosec e suas Inversas 16 - (ITA SP/2006) f  : R  → R  Seja definida por   f ( x ) = 77 sen[5( x + π / 6)] e seja B o conjunto dado por  B = {x ∈ R : f ( x ) = 0} . Se m é o maior elemento de B ∩ (−∞, 0) e n é o menor elemento de B ∩ (0, + ∞ ) , então m + n é igual a a) 2π / 15 b) π / 15 c) −π / 30

d) −π / 15 e) −2π / 15 Funções (Geral) / Domínio, Imagem e Contradomínio 17 - (ITA SP/2006) Considere a equação (a x − a − x ) /(a x + a − x ) = m , na variável real x, com 0 < α ≠ 1 . O conjunto de todos os valores de m para os quais esta equação admite solução real é a) (−1, 0) ∪ (0, 1) b) (−∞, − 1) ∪ (1, + ∞) c) (−1, 1) d) (0, ∞) e) (−∞, + ∞) Análise Combinatória Combinatória / Princípio Fundamental da Contagem e Arranjos 18 - (ITA SP/2006) Cons Co nsid ider eree um umaa prov provaa com com 10 ques questõ tões es de múltipla escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que cada questão admite uma única alternativa correta, então o número de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 das 10 questões é a) 4 4 ⋅ 30 b) 43 ⋅ 60 c) 53 ⋅ 60  7   3 d)     ⋅ 4  3    10   e)        7   Função Logaritmica / Definição e Propriedades 19 - (ITA SP/2006) Cons Co nsid idere ere as segu seguin inte tess afir afirma maçõ ções es sobr sobree a k  101 expressão S = ∑k =0 log8 (4 2 : I.

S é a soma soma dos dos term termos os de de um umaa prog progre ress ssão ão geométrica finita. II II.. S é a soma soma dos term termos os de uma uma progr progres essã sãoo aritmética finita de razão 2/3 III. S = 3451 IV. IV. S ≤ 3434 + log 8 2 Então, Então, pode-se pode-se afirmar afirmar que é (são) verdadeira(s) verdadeira(s) apenas a) I e III b) II e III c) II e IV d) II e) III Números Complexos / Operações na Forma Algébrica 20 - (ITA SP/2006) Se para todo z ∈ C , f (z) = z e f (z) − f (1) = z − 1 , então, pra todo z ∈ C , f (1)f (z) + f (1)f (z) é igual a a) 1 b) 2z c) 2Rez

d) 2Imz e) 2|z|2 Equações e Inequações Trigonométricas / Em Em IR 21 - (ITA SP/2006) O Co Conj njun unto to solu soluçã çãoo de ( tg 2 x − 1 (1 − cot g 2 x = 4 , x ≠ k π / 2 , k ∈ Z , é  π k π  a)  + , k ∈ Z 3 4   π k π  b)  + , k ∈ Z 4 4   π k π  c)  6 + 4 , k ∈ Z    π k π  d)  + , k ∈ Z 8 4    π k π  e)  + , k ∈ Z 12 4  Números Complexos / Operações na Forma Trigonométrica 22 - (ITA SP/2006) Se α ∈ [0; 2π) é o argu argume ment ntoo de um núme número ro complexo z ≠ 0 e n é um número natural tal que ( z / | z |) n = isen (nα) , então, é verdade que a) 2nα é múltiplo de 2π b) 2nα − π é múltiplo de 2π c) nα − π / 4 é múltiplo de π / 2 d) 2nα − π é múltiplo não nulo de 2 e) nα − 2π é múltiplo de π Sistemas Lineares / Discussão 23 - (ITA SP/2006) A condição para que as constantes reais a e b tornem incompatível o sistema linear  x + y + 3z = 2  x + 2 y + 5z = 1  2 x + 2 y + az = b 

a) b) c) d) e)

Polinômios / Grau e Valor Valor Numérico 26 - (ITA SP/2006) Sobr Sobree o poli polinô nômi mioo  p( x ) = x 5 − 5x 3 + 4x 2 − 3x − 2 podemos afirmar que a) x = 2 não é raiz de p b) p só admit admitee raíz raízes es reai reais, s, send sendoo um umaa dela delass inteira, duas racionais e duas irracionais c) p admit admitee uma úni única ca raiz raiz real real,, sendo sendo ela ela uma raiz inteira d) p só admit admitee raízes raízes reai reais, s, se sendo ndo duas duas de dela lass inteiras e) p admit admitee somen somente te 3 raízes raízes reai reais, s, send sendoo uma delas inteira e duas irracionais Sistemas Lineares / Discussão 27 - (ITA SP/2006) Seja o sistema linear nas incógnitas x e y, com a e b reais, dado por  (a − b) x − (a + b) y = 1 (a + b) x + (a − b) y = 1 

Considere as seguintes afirmações: I.

O sist sistem emaa é po poss ssív ível el e inde indetterm erminad inadoo se a = b = 0 II. II. O siste sistema ma é poss possív ível el e deter determi minad nadoo se a e b não são simultaneamente nulos III. x 2 + y 2 = (a 2 + b 2 ) −1 , se a 2 + b 2 ≠ 0

a − b ≠ 2 a + b = 10 4a − 6 b = 0 a / b = 3 / 2 a ⋅ b = 24

Determinantes / Propriedades 24 - (ITA SP/2006)  a  b c    Se det  p q r  = −1 , então o x y z   − 2a − 2 b − 2c    det 2 p + x 2q + y 2r + z  é igual a  3x 3y 3z  a) 0 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16

Equações Polinomiais / Teorema Teorema das Raízes Complexas 25 - (ITA SP/2006) Seja p um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite 1 − i como raiz de multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de p são, respectivamente, 10 e –40. Sendo afirmado que três raízes de p são reai reaiss e dist distin inta tass e form formam am um umaa prog progre ress ssão ão aritmética, então, tais raízes são a) 3 / 2 − 193 / 6, 3, 3 / 2 + 193 / 6 b) 2 − 4 13 , 2, 2 + 4 13 c) –4, 2, 8 d) –2, 3, 8 e) –1, 2, 5

valor

do

Então, Então, pode-se pode-se afirmar afirmar que é (são) verdadeira(s) verdadeira(s) apenas a) I b) II c) III d) I e II e) II e III Equações Polinomiais / Relaçôes de Girard 28 - (ITA SP/2006) Considere o polinômio  p( x ) = x 3 − (a + 1)x + a , onde a ∈ Z . O conjunto de todos os valores de a, para os quai quaiss o poli polinô nômi mioo p(x) p(x) só admi admite te raíz raízes es inteiras, é a) {2n, n ∈ N} b) {4n 2 , n ∈ N}

c) {6n 2 − 4n , n ∈ N} d) {n (n + 1), n ∈ N} e) N Progressão Geométrica / Soma e Produto Termos Termos de uma PG Finita e Infinita 29 - (ITA SP/2006) Numaa circun Num circunferê ferênci nciaa C1 de raio raio r 1 = 3cm está inscri ins crito to um hex hexágo ágono no regular regular H1; em H1 está inscrita uma circunferência C2; em C2 está inscrito um hexágono regular H2 e, assim, 2 sucessivamente. Se Na (em cm ) é a área do hexágono Hn, então ∑∞n=1 A n (em cm2) é igual a a) 54 2 b) 54 3 c) 36(1 + 3 ) d) 27 /(2 − 3 ) e) 30(2 + 3 ) Circunferência / Problemas de Tangência Tangência e Posições Relativas 30 - (ITA SP/2006) Sejam a reta s : 12x − 5y + 7 = 0 e a circunferência A reta p, que é C : x 2 + y 2 + 4x + 2 y = 11 . perpendicular a s e é secante a C, corta o eixo Ou num num pont pontoo cuja cuja orde ordena nada da pert perten ence ce ao seguinte intervalo  91 81   a)  ,    12 12     81 74   b)  − , −     12 12     74 30   c)  − ,     12 12    30 74   d)  ,    12 12    75 91   e)  ,    12 12   Cônicas / Elipse, Hipérbole e Parábola 31 - (ITA SP/2006) Os focos de uma elipse são F1 (0, − 6) e F2 (0, 6) . Os pontos A(0, 9) e B(x, 3) , x > 0 , estão na elipse. A área do triângulo com vértices em B, F1 e F2 é igual a a) 22 10 b) 18 10 c) 15 10 d) 12 10 e) 6 10 Pirâmides / Area e Volume Volume 32 - (ITA SP/2006) Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cuja cuja diag diagona onall me meno norr me mede de 3 3cm . As fac faces laterais desta pirâmide formam diedros de 60º com o plano da base. A área total da pirâmide, em cm2, é

a) b) c) d) e)

81 3 / 2 81 2 / 2 81 / 2 27 3 27 2

Conjuntos / Operações e Propriedades Propriedades 33 - (ITA SP/2006) Cons Co nsid idere ere A um conj conjun unto to não não vazi vazioo com com um núme número ro fini finito to de elem elemen ento tos. s. Dize Dizemo moss que que F = {A1 ,  , A m } ⊂ P( A) é uma partição de A se as seguintes condições são satisfeitas: I. II. III.

≠ o/ , i = 1,  , m A i ∩ A j = o/ , se i ≠  j, para i, j = 1,  , m A = A1 ∪ A 2 ∪  ∪ A m Ai

Dizemos Dizemos ainda que F é uma partição de ordem k se n (A i ) = k  , i = 1 , …, m. a) As orden ordenss possíve possíveis is para para uma uma partiçã partição o de A. A. b) O númer número o de parti partiçõ ções es de A que que têm orde ordem m 2. Funções (Geral) / Classificação 34 - (ITA SP/2006) f  : [0, 1) → R  Seja 0 ≤ x < 1/ 2 2 x , f ( x ) =  . 2 x − 1, 1 / 2 ≤ x < 1 Seja

definida

por  

dada

por  

g : (−1 / 2, 1/2) → R 

− 1/ 2 < x < 0 f ( x + 1 / 2), g( x ) =  , 1 − f ( x + 1 / 2), 0 ≤ x < 1/2

com f de defi fini nida da

acima. Justificando a resposta, determine se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar. Binômio de Newton / Números Binomiais, Fatorial eTriângulo de Pascal 35 - (ITA SP/2006) Determine o coeficiente de x4 no 2 9 desenvolvimento de (1 + x + x ) . Equações e Inequações Trigonométricas Trigonométricas / Num Intervalo Limitado 36 - (ITA SP/2006)   π π   Determine para quais valores de x ∈  − ,   vale   2 2   a desigualdade 2 2 log cos x ( 4sen x − 1) − log cos x (4 − sec x ) > 2 . Equações Polinomiais / Relaçôes de Girard 37 - (ITA SP/2006) Considere o polinômio  p(x ) = x 3 + ax 2 + x + 1 , com raíz raízes es reais reais.. O coef coefic icie ient ntee a é racio raciona nais is e a diferença entre duas de suas raízes também é racional. Nestas condições, analise se a seguinte afirmação é verdadeira: “Se uma das raízes de p(x) é racional, então todas as suas raízes são racionais.” Cone / Area e Volume Volume

38 - (ITA SP/2006) As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a área total deste cone em m2. Matrizes / Matriz Inversa 39 - (ITA SP/2006) Sejam as matrizes 1 0 − 2 5 A=  1 −1   − 5 1

1/ 2 2 2 3/ 2

−1  − 3 e 1  0 

 1 3 −1 / 2  1 −2 −2 B= − 1 1 1   5 − 1 1 / 2

Determine o elemento c34 da matriz

1



3

1



5

C = ( A + B) −1 .

Progressão Geométrica / Propriedades, termo Geral e Soma dos n Termos 40 - (ITA SP/2006) Seja (a1 , a 2 , a 3 ,  , a n , ) umaa prog um progre ress ssão ão geométrica infinita de razão positiva r, em que a1 = a é um número real não nulo. Sabendo que a soma de todos os termos termos de índices pares desta progressão geométrica é igual a 4 e que a soma de todos os termos de índices múltiplos de 3 é 16/13, determine o valor de a + r . Cônicas / Elipse, Hipérbole e Parábola 41 - (ITA SP/2006) Sabendo que 9 y 2 − 16x 2 − 144 y + 224x − 352 = 0 é a equação de uma hipérbole, calcule sua distância focal. Areas de Superficies Planas / Polígonos 42 - (ITA SP/2006) Cons Co nsid ider eree um losa losang ngoo ABCD ABCD cujo cujo perí períme metro tro mede 100cm e cuja maior diagonal mede 40cm. Calcule a área, em cm2, do círculo inscrito neste losango. Matemática Financeira / Porcentagem 43 - (Unicamp SP/2006) O gráfico a seguir mostra mostra o total de acidentes de trân trânsi sito to na cida cidade de de Ca Camp mpin inas as e o tota totall de acidentes sem vítimas, por 10.000 veículos, no período entre 1997 e 2003. Sabe-se que a frota da cida cidade de de Ca Camp mpin inas as era era comp compos osta ta por  por  500.000 veículos em 2003 e era 4% menor em 2002.

Adaptado de: Sumário Estatístico da Circulação em Campinas 2002-2003. Campinas, EMDEC, 2004, p. 12. a) Calcule o número total de acidentes de trânsito ocorridos em Campinas em 2003. b) Ca Calc lcul ulee o núme número ro de de acid aciden ente tess com vítimas ocorridos em Campinas em 2002. Problemas / Montagem e Resolução de Equações 44 - (Unicamp SP/2006) Uma empresa possui 500 toneladas de grãos em seu armazém e precisa transportá-las ao porto de Sant Santos os,, que que fica fica a 300 300 km de dist distân ânci cia. a. O transporte pode ser feito por caminhões ou por  trem. Para cada caminhão utilizado paga-se R$ 125, 125,00 00 de cust custoo fixo fixo,, além além de R$ 0,50 0,50 por  por  quilômetro rod rodado. Cada caminhão tem capaci cap acidade dade para transp transporta ortarr 20 ton tonela eladas das de grãos. Para cada tonela tonelada da transportada transportada por trem paga-se R$ 8,00 de custo fixo, além de R$ 0,015 por quilômetro quilômetro rodado. Com base nesses dados, pergunta-se: a) Qua Quall o custo custo de trans transport portee das 500 500 tonel toneladas adas de grãos por caminhões e por trem? b) Para Para as me mesm smas as 500 tonel tonelad adas as de grão grãos, s, qual a distância mínima do armazém ao porto de Santos para que o transporte por trem seja seja ma mais is vant vantaj ajos osoo que o tran transp spor orte te por  por  caminhões?

45 - (Unicamp SP/2006) Um carro irá participar de uma corrida em que terá que percorrer 70 voltas em uma pista com 4,4 4,4 km de exte extens nsão ão.. Co Como mo o carr carroo tem tem um rendimento médio de 1,6 km/l e seu tanque só comporta 60 litros, o piloto terá que parar para reabastecer durante a corrida. a) Supond Supondoo que o carro carro inic iniciar iará á a corrid corridaa com o tanque cheio, quantas voltas completas ele pode poderá rá perc percor orre rerr ante antess de para pararr para para o primeiro reabastecimento? b) Qu Qual al é o volu volum me tota totall de comb combus ustí tíve vell que que será gasto por esse carro na corrida? Probabilidade / Produto de Probabilidades e Prob. Condicional 46 - (Unicamp SP/2006) Uma emp empres resaa tem 500 50000 fun funcio cionári nários. os. Desses Desses,, 48% têm mais de 30 anos, 36% são especializados e 1400 têm mais de 30 anos e são esp especi eciali alizado zados. s. Com bas basee nes nesses ses dad dados, os, pergunta-se: a) Qu Quan anto toss funcio funcioná nári rios os têm aaté té 30 anos anos e não não são especializados? b) Esco Escolh lhend endoo um funcio funcioná nário rio ao acaso acaso,, qual a probabilidade de ele ter até 30 anos e ser  especializado? Prismas / Paralelepipedo e Cubos Cubos 47 - (Unicamp SP/2006) Um cidadão precavido foi fazer uma retirada de dinheiro em um banco. Para tanto, levou sua mala ma la exec execut utiv iva, a, cujo cujo inte interi rior or tem tem 56 cm de comprimento, 39 cm de largura e 10 cm de altura.

O cida cidadã dãoo só pret preten ende de carre carregar gar nota notass de R$ 50,00. Cada nota tem 140 mm de comprimento, 65 mm de larg largur ura, a, 0, 0,22 mm de espe espess ssur uraa e densidade igual a 0,75 g/cm3. a) Qu Qual al é a má máxi xima ma quan quantitia, a, em reai reais, s, que que o cidadão poderá colocar na mala? b) Se a mala ala vazi vaziaa pe pesa sa 2,6 2,6 kg, kg, qu qual al será será o peso da mala cheia de dinheiro? Probabilidade / Produto de Probabilidades e Prob. Condicional 48 - (Unicamp SP/2006) Seja S o conjunto dos números naturais cuja representação decimal é formada apenas pelos algarismos 0, 1, 2, 3 e 4. a) Seja eja um nú núm mero ero de de dezz alga algari rism smos os pert perten ence cent ntee a S, cujo cujoss dois dois últimos algarismos têm igual probabilidade de assumir qualquer valor inteiro de 0 a 4. Qual a probabilidade de que x seja divisível por  15? b) Qu Quan anto toss númer números os meno menore ress que um bilh bilhão ão e múltiplos de quatro pertencem ao conjunto S? Problemas / Montagem e Resolução de Equações 49 - (Unicamp SP/2006) Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma escada na parede de sua casa, de forma que o topo da escada ficou a uma altura de aproximadamente Enquan anto to Ro Robe bert rtoo 14 m . Enqu subia os degraus, a base da escada escorregou por 1 m, indo tocar o muro paralelo à parede, conforme ilustração ao lado. Refeito do susto, Robert Rob ertoo reparou reparou que que,, apó apóss des desliz lizar ar,, a escada escada passou a fazer um ângu ngulo de 45º com a horizontal. Pergunta-se:

a) Qual Qual é a dist distânci ânciaa entre entre a pare parede de da casa casa e o muro? b) Qual é o comprimento da escada de Roberto? Função Exponencial / Funções Exponenciais 50 - (Unicamp SP/2006) A concentração de CO2 na atmosfera vem sendo medi me dida da,, desd desdee 1958 1958,, pelo pelo Ob Obse serv rvat atór ório io de Maun Ma unaa Loa, Loa, no Ha Hava vaí. í. Os dado dadoss cole coleta tado doss mostram que, nos últimos anos, essa concen con centraç tração ão aum aumento entou, u, em méd média, ia, 0,5 0,5% % por  ano. É razoável supor que essa taxa anual de cres cresci cime ment ntoo da conc concen entr traçã açãoo de CO2 irá irá se manter constante nos próximos anos. a) Escr Escrev evaa um umaa fu funç nção ão C(t) C(t) que que repr repres esen ente te a conc concent entra raçã çãoo de CO2 na at atmo mosf sfer eraa em relação ao tempo t, dado em anos. Considere

como instante inicial — ou seja, aquele em que t = 0 — o ano de 2004, no qual foi observada uma concentração de 377,4 ppm de CO2 na atmosfera. b) De Dete term rmin ine e aproxi aproxima mada dame ment ntee em que ano a concentração de CO2 na atmosfera será 50% superior àquela observada em 2004. log10 2 ≅ 0,3010 , Se necessário, use log10 2,01 ≅ 0,3032 e log10 3 ≅ 0,4771 Troncos / Cilindro, Pirâmide, Cone e Sólidos de Revolução 51 - (Unicamp SP/2006) Um abajur de tecido tem a forma de um tronco de cone cone circ circul ular ar reto reto,, com com bas bases es para parale lela las. s. As aberturas do abajur têm 25 cm e 50 cm de diâmetro, e a geratriz do tronco de cone mede 30 cm. O tecido do abajur se rasgou e deseja-se substituí-lo. a) Det Determ ermine ine os os raios raios dos dos arcos arcos que que devem devem ser  ser  demarcados sobre um novo tecido para que se possa cortar um revestimento igual àquele que foi danifi cado. b) Ca Calc lcul ulee a área área da regiã regiãoo a ser ser dema demarc rcad adaa sobre o tecido que revestirá r evestirá o abajur. Triângulos / Relações Angulares 52 - (Unicamp SP/2006) De um umaa prai praia, a, um topó topógr graf afoo obse observ rvaa um umaa pequena escarpa sobre a qual foi colocada, na vert vertic ical al,, um umaa régu réguaa de 2m de comp compri rime ment nto. o. Usando seu teodolito, o topógrafo constatou que o ângulo formado entre a reta vertical que passa pelo teodolito e o segmento de reta que une o teodolito ao topo da régua é de 60º, enquanto o ângulo formado entre a mesma reta vertical e o segmento que une o teodolito à base da régua é de 75º. Sabendo que o teodolito está a uma altura de 1,6m do nível da base da escarpa, responda às questões abaixo.

a) Qual Qual a dist distâânci ncia ho hori rizo zont ntal al en entr tree a ret reta vertical que passa pelo teodolito e a régua sobre a escarpa? b) Qu Qual al a alt altura ura da esca escarp rpa? a? Determinantes / Cálculo de Determinantes Determinantes 53 - (Unicamp SP/2006)  x − 1 x − 1 x − 1     2  , o Sejam dados: a matriz A =  x − 1 1  − 2    x − 1 1    m    y1         vetor  b =  3   e o vetor  y =  y 2  .        5    y 3   a) Enco Encont ntre re o conj conjun unto to solu soluçã çãoo da equa equaçã çãoo det(A) = 0 .

b) Utiliza izando o maio aior valo alor de  x  que que você você encontrou no item (a), determine o valor de m para que o sistema linear  Ay = b tenha infinitas soluções. Reta / Intersecção e Bissetriz Bissetriz 54 - (Unicamp SP/2006) Sabe Sabe-s -see que que a reta reta r ( x ) = mx + 2 interc intercepta epta o gráfico da função y =| x | em dois pontos distintos, A e B. a) Det Determ ermine ine os ppossí ossívei veiss valor valores es para para m. b) Se O é a origem dos eixo ixos cartes rtesiiano anos, encontre o valor de m que faz com que a área do triângulo OAB seja mínima. Polígonos / Regulares, Nº de Diagonais e Relações Angulares 55 - (Unicamp SP/2006) Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é tal que AC = 6cm , AB = 8cm e BC = 10cm . Os segmentos AC , AB e BC também são lados de quadrados construídos externamente ao triângulo ABC. ABC. Seja Seja O o cent centro ro da circ circun unfer ferên ênci ciaa que que circunscreve o triângulo e sejam D, E e F os centros dos quadrados com lados BC , AC e AB , respectivamente. a) Calcul Calcule e os ccomp omprim riment entos os dos dos seg segmen mentos tos DO , EO e FO . b) Calcule os compri priment ntos os dos lados do triângulo de vértices D, E e F. Equações Polinomiais Polinomiais / Relaçôes de Girard 56 - (Unicamp SP/2006) As três raízes da equação x 3 − 3x 2 + 12x − q = 0 , ond ndee q é um pa parâ râme metr troo real real,, form formam am uma progressão aritmética. a) Determi rmine q. q. b) Util Utiliza izand ndoo o valo valorr de q dete determ rmin inad adoo no item (a), encontre as raízes (reais e complexas) da equação. GABARITO:

1) Gab: A 2) Gab: D 3) Gab: B 4) Gab: A

11) Gab: D 12) Gab: B 13) Gab: D 14) Gab: C 15) Gab: B 16) Gab: E 17) Gab: C 18) Gab: A 19) Gab: S=

101

∑ log8 (4 k  ⋅

2

k =0

101

) = ∑ log 2 3(2 2k  ⋅ 21 / 2 ) = k =0

    101 1   101 1    = = ∑ log 2 3 ∑ 3 ⋅  2k + 2  =      k =0     k =0     101 1 2   = ∑    + k ⋅  , portanto S é a soma dos termos 3   k =0  6 1 2 k + 2 2

de uma progressão aritmética finita de razão cujo 1º termo é igual a 1 6

2

405

3

6

+ 101 ⋅ =

1 6

2 3

,

e último termo é igual a

 1 + 405      . Assi Assim, m, , 6 6     ⋅102 = 3451 S=

resultado superior a

2

3434 + log8 2

= 3434 + 1 . 6

Além disso, a progressão geométrica (1, x, x 2 ) , sendo x uma das raízes reais de 1 + x + x 2 = 3451 , tem soma igual a S. Logo as afirmações I, II e III são verdadeiras e a afirmação IV é falsa. Obs. Ob s.:: com com relaç relação ão à afir afirma maçã çãoo I, temo temoss que, que, dado qualquer real S, podemos encontrar uma progressão geométrica com n termos cuja soma S    S S é S: basta tomar, por exemplo,  ; ; ;  . n    n n Pode-se provar que, mesmo se fixarmos q ≠ −1 , é possív pos sível el obt obter er uma progres progressão são geo geomét métric ricaa de razão q e n termos cuja soma é S: basta tomar  S(q − 1) a1 = . qn −1

5) Gab: C

20) Gab: C

6) Gab: C

21) Gab: D

7) Gab: B

22) Gab: B

8) Gab: D

23) Gab: A

9) Gab: E

24) Gab: D

10) Gab: E

25) Gab: E 26) Gab: E

27) Gab: E 28) Gab: D 29) Gab: B 30) Gab: C 31) Gab: D 32) Gab: A 33) Gab: a) b)

1, 2, 4 e 8 105

34) Gab: 1 1 Para − < x < 0 ⇔ 0 < − x < , temos 2

2

g (x ) = g (−x )

portanto, g é uma função par. Porém, Logo g não é ímpar.

e,

g (0 ) = 1 ≠ 0 .

35) Gab: 414 36) Gab:

 π ;− π  ∪  π ; π   4 6   6 4 

V = −

37) Gab: Suponha que uma das raízes de p(x) é racional. Sejam α , β e γ  as raízes de p(x), com α − β raci racion onal al.. Pela Pelass relaç relaçõe õess entr entree coef coefic icie ient ntes es e a raízes, α + β + γ = − = −a . 1

Se um dos números α ou β é racional, o outro também é e, portanto, γ = −a − α − β é racional. Se γ  é racional, α − β e α + β = −a − γ  são racionais e, consequentemente, α e β são são ta tamb mbém ém racionais. Em qualquer caso, todas raízes de p(x) são racionais. Logo a afirmação do enunciado é verdadeira.

38) Gab:

96πm 2

39) Gab: −

2 11

40) Gab: 11 41) Gab: 10 42) Gab: 144πcm 2 43) Gab: a) 14.8 14.800 00 acid aciden ente tess b) 2. 2.88 8800 acid aciden ente tess 44) Gab: a) Por Por cam camin inhão hão é R$ R$ 6.8 6.875, 75,00 00 Devido a uma ambigüidade na frase "Para cada tonelada transportada por trem paga-se R$ 8,00 de custo fixo, além de R$ 0,015 por  quilômetro rodado", cabem dua s

interpretações para o custo do transporte por  trem: Primeira interpretação: o custo por tonelada é 8 + 0,015 ⋅ 300 = 12,50 reai reais. s. Logo Logo o cust custoo de transporte das 500 toneladas de grãos por  trem é 500 ⋅12,5 = R $6.250,00 . Segu Segund ndaa inte interp rpre reta taçã ção: o: o cust custoo fixo fixo do tran transp spor orte te por por trem trem é 500 ⋅ 8 = 4000 reais. Logo, como o custo por quilômetro rodado é R$ 0,015, o custo do transporte por trem é 4000 + 0,015 ⋅ 300 = R $4.004,50 . b) Seja n a distância, em quilômetros, do armazém ao porto de Santos. Então o custo de transpor porte das das 500 tonelad eladaas por  caminhões é 25(125 + 0,50 ⋅ n ) reais. Faremos os cálculos para ara ambas bas as interpretações do item a. Primeira interpretação: o custo de transporte por trem é 500(8 + 0,015 ⋅ n ) . Para que o transporte por trem seja mais vantajoso que o transporte por caminhões, devemos ter  500(8 + 0,015 ⋅ n ) < 25(125 + 0,50 ⋅ n ) ⇔ ⇔ 0,2n > 35 ⇔ n > 175km Segunda interpretação: o custo de transporte por trem é 4000 + 0,015 ⋅ n reais. Devemos ter  4000 + 0,015 ⋅ n < 25(125 + 0,50 ⋅ n ) ⇔ ⇔ 12,485 ⋅ n > 875 ⇔ n > 70,08 km Observação: a primeira interpretação, que é análoga à do cálculo com caminhões, deve ser a pretendida pela banca. Entretanto, a segunda interpretação também é cabível.

45) Gab: a) O carro carro poderá poderá perc percorre orrerr 21 volta voltass com comple pletas tas antes de reabastecer. b) O carro carro irá irá gastar gastar 192,5 192,5 litros litros de de com combus bustíve tívell na corrida. 46) Gab: a) A em empr pres esaa poss possui ui 2200 2200 func funcio ioná nári rios os não não especializados com até 30 anos. b) a prob probab abililid idad adee é ddee 0,08 0,08 ou ou 8% 47) Gab: a) Pode Pode-s -see colo coloca carr, no má máxi ximo mo,, R$ R$60 600.0 0.000 00,0 ,000 na mala b) A ma mala la chei cheiaa pesa pesa 18, 18,98 98kg kg 48) Gab: a) A prob probabi abilid lidade ade é de 1/25 1/25,, ou 0,04, 0,04, ou, ou, ai ainda nda,, 4% b) O conj onjunto S possui 625.000 números múltiplos de 4 49) Gab: a) A parede parede da da casa casa está está a 3 met metros ros do muro muro.. b) A esca escada da po poss ssui ui 3 2 metros. 50) Gab: a) A funç função ão é C C(t) (t) = 377, 377,4.( 4.(1,00 1,005) 5)t b) A con conce cent ntra raçção de CO CO2 na atmosfera será 50% superior àquela observada em 2004 por  volta do ano de 2084.

51) Gab: a) O raio raio in intern ternoo tem 30c 30cm m e o raio raio exter externo no tem tem 60cm b) A área área de te teci cido do nec neces essá sári riaa para para cobri cobrirr o 2 abajur é igual a 1125πcm 52) Gab: a) A régu régua a está a uma dist distânc ância ia horiz horizon ontal tal de 3 + 2 3 ≅ 6,46 metros do teodolito. b) A esca escarpa rpa está está a uma uma alt altur uraa de 1,6 + 3 ≅ 3,33 metros 53) Gab: a) As solu soluçõ ções es da equ equaç ação ão são são x1 = 1 e x 2 = 1 b) Para Para que o sist sistem emaa tenh tenhaa infi infini nita tass solu soluçõ ções es,, é preciso que m = 7 / 2 54) Gab: a) Para Para que haja haja inter interse secç cção ão em dois dois ponto pontoss distintos, é preciso que −1 < m < 1 b) A área área do triâ triângul nguloo será será míni mínima ma para para m = 0 55) Gab: a) DO = 5cm , EO = 7cm e FO = 7cm b) FE = 7 2cm , DE = 2 29cm e DF = 56) Gab: a) q = 10 b) x1 = 1 − 3i ,

x2

=1 e

x3

= 1 + 3i

130 cm