Exercícios Resolvidos - Vetores Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle.pdf

GUIDG.COM – PG. 1

27/7/2010 – ALGA-1: Exercícios Resolvidos - Vetores

* Do Livro de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle. * Das Provas de Álgebra-1, UDESC-CCT. Pg.92, exercício 38:

kj kj kj kj

kj kj

kj kj

Calcular o módulo dos vetores u + v e u @ v , sabendo que | u |  = 4 , | v |  = 3  e o ângulo entre u e v  é de 60º. Solução:

kj kj kj kj

O exercício pede | u + v | e | u @ v | , e para isso devemos lembrar de três conceitos: I) Ângulo entre dois vetores: uA v cos θ = | u |A | v |

 f f kj f fkj f f ffkj f fkj ff ff II) Fatoração, quadrado perfeito: ju kjv | |kju | 2kju kjv |kjv | |k III) Lei dos co-senos: ju kjv | |kju | |kj| 2|kju | |kjv |cos |k Do primeiro conceito: k j k j k j k j u f v f 1f  f u f vf  f f    f f f  f    f f    f f cos60º 4 3 2 12 k j k j assim u v 6 ju kjv |: Do segundo encontramos | k ju kjv | |kju | 2kju kjv |kjv | |k tiran tirando do a rai raiz quadr quadrada ada dos doi doiss lados: ados: w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w j kj| q |kj| 2kjkj |kj| |k Outra coisa importante é quanto ao módulo: ju | 4 e | kjv | 3 , ententão elev S e |k elevan ando do os doi dois lados ados ao quad quadra rado do temos emos:: ju | 16 e |kjv| 9 |k Agora substituímos wp w37ww anterior: k| j kj| p ww16wwwwwwww2.6wwwwwnaww9fórmula ju kjv |: Do terceiro encontramos | k ju kjv | |kju | |kj| 2|kju | |kjv |cos |k aqui aqui também tambémti tiram ramos os a raiz raiz quadrada quadrada dos doi doiss lados: w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w j kj| q ww|wkwjww|wwwwww|wkjwww|wwwwww2|wwkwjwww| |kj|cos |k ju kjv | s 16 9 2 3.4  f12f p ww13ww |k ju kjv | p ww37ww e |kju kjv | p ww13ww Portanto | k 2

+

2

@

2

=

2

=

= A

A

+

v

+

@

θ

A

A

=

[

A

2

2

+

A

=

+

2

+

u+ v

2

=

 =

+

2

u

+

 =

2

2

uA v + v

 =

2

=

u+ v

2

+

A

 =

=

 +

 +

=

@

@

2

2

=

u@v

 =

@

 =

u

2

 +

+

2

v

+

v

+

@

=

@

2

@

A

θ

A

u

A

A

v

θ

=

@

 =

GUIDG.COM – PG. 2 Livro: Pg.92, exercício 40.

kjkj kj jkj kjv jwkj, sabendo que kju kjv jwkj 0, |kju | 2, |kjv |

Determinar u A v + u A w

+

+

A

+

=

 =

 =

jkj p ww

3 e | w |  = 5 .

Solução:

kj kj jkj

Partindo das informações u + v + w = 0 , então se elevarmos ambos os lados ao quadrado não alteramos a igualdade:

kju kjv jwkj 0 desenvolvemos isso aplicando a propriedade distributiva: bkju kjv jwkjc bkju kjv jwkjc 0 kju kju kju kjv kju jwkj kjv kju kjv kjv kjv jwkj jwkjkju jwkjkjv jwkj jwkj 0 2

A

+

+

+

+

+

2

=

+

A

+

A

+

+

A

=

+

A

A

+

A

+

A

+

A

+

A

=

Agora para o próximo passo precisamos simplificar e lembrar de alguns conceitos:

kjkj kj kj q wwkjwwwkwj ju | 2, |kjv | 3 e | jwkj| p ww5 |k ju | 4, |kjv | 9 e | jwkj| 5 então: |k kII)ju kjvQuanto kjv kju à propriedade comutativa: I) Quanto aos módulos dos vetores: u A u = | u | 2 pois | u |  = u A u  =

 =

2

A

=

 =

2

=

2

=

=

A

Aplicando temos:

kj kjkj kj jkj kjkj kj kj jkj jkjkj jkjkj jkj kjkjkjkj kjkjjkjjkj kj kjjkjjkj Agora subtraindo 18 dos dois lados e fatorando: b2 kju kjv kju jwkj kjv jwkjc 18 Dividimos a igualdade por 2 e temos a resposta: kju kjv kju jwkj kjv jwkj 9

| u |2 + u A v + u A w + v A u + | v |2 + v A w + w A u + w A v + | w |2 = 0 4  + 2 u A v + 2 u A w + 9 + 2 v A w + 5  = 0 18 + 2 u A v + 2 u A w + 2 v A w = 0

A

A

+

+

A

+

A

+

A

A

=@

=@

GUIDG.COM – PG. 3 Dica: Realizando produto vetorial rapidamente: Produto vetorial:

Os cálculos são feitos mentalmente (ou com auxilio de calculadora cientifica), mas o que é importante são os sinais. A operação resultará em um vetor: w = a , @ b , c Isso mesmo a componente b sempre terá sinal trocado! Supondo que temos dois vetores:

jkj

kj

kj

e v = r,s,t 

u =  x, y, z

x, y, z, r, s, t, são números quaisquer. Então o produto vetorial é feito assim: 1 – Montamos como se fosse um determinante:

2 – Depois multiplicamos y.t e subtraímos de s.z:

LLk kj kjMM kju kjv LLxi  jy kzMM jwkj r s t B

=

3 – Aqui multiplicamos x.t e subtraímos de r.z, multiplique o resultado por (-1). (sempre troca-se o sinal).

=

4 – Agora multiplicamos x.s e subtraímos de r.y:

5 – O que se tem em linha são essas multiplicações que darão as componentes do vetor.

kju kjv jwkj B

=

=

y A t @ s A z , @ x A t @ r A z , x A s @ r A y

Com os próximos exercícios você poderá praticar, mas o importante é entender!

GUIDG.COM – PG. 4 Prova: exercício 2 (2009/2) (1,0 pt cada)

Sejam os pontos: A(1, -1, 2) , B(2, 3, -1) e C(-1, 1, 4). a) Mostre que o triângulo ABC é retângulo b) Calcule um vetor unitário perpendicular ao triângulo ABC. c) Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores u = 2 BC @ AC e v = AB + 2 CA

kj jjjkj jjjkj kj jjjkj jjjkj

Solução:

a) O exercício não traz figuras, então você tem que imaginar!  Para mostrar que o triângulo é retângulo: temos que verificar se o  produto escalar  entre dois vetores pertencentes a esse triangulo é nulo, pois

quando o produto escalar é nulo, os vetores formam um ângulo reto (definindo um triangulo retângulo). Ou seja uma das hipóteses abaixo tem de estar certa. Obs: o produto escalar é indicado de duas maneiras:

jABjjkj jACjjkj 0 jABjjkj jBCjjkj 0 jACjjkj jCBjjkj 0 A

=

ou

A

=

ou

A

=

ou

jjjkj jjjkj jjjkj jjjkj < AB , BC > jjjkj jjjkj < AC , CB >

< AB , AC >  = 0 0  = 0

 =

Das três hipóteses a única que confere é: ABA AC = 1 , 4 , @ 3 @ 2 , 2 , 2 = @ 2  + 8 @ 6

jjjkj jjjkj

=0

 Lê-se: vetor AB escalar vetor AC.

Logo o triângulo é retângulo, com ângulo reto entre esses dois vetores (ver a figura). b) Existem vário vetores unitários perpendiculares, veremos uma maneira de encontrar.

Temos que imaginar um vetor perpendicular ao triangulo ABC (figura). O produto vetorial é o que precisamos pois ele nos da um vetor simultaneamente ortogonal (perpendicular) a dois vetores. i  j k ABB AC = 1 4 @ 3 = u 2 2 @2

LL k kj kjjMM jjjkj jjjkjj LL MM kj jABjjkj jACjjkj 4 2 2 ` 3a , jABjjkj jACjjkj kju 14,4,10 B

=

B

B

=

=

@

B @

@

1B2 @

` 2a ` 3a @

,1 B 2 @

B @

` 2a `4a @

B

k j kj

Como queremos um vetor unitário, ou seja de módulo um, então fazemos o versor  de u . Da definição, o versor v  de um vetor u , é esse vetor u  dividido pelo seu módulo | u | , ou seja: u = 14,4,10 e u = 312

k j k j k j LkjM p wwwwwwww kj f k j 14 4fff10 14 4ffff  fff 10 k j  f f f f  f f f f f f f f f  f f f f f f f  f f f Então v k w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w wfwwfwfwwf j| | p 312 p 312 p 312 v  p www312 w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w u f g f g f g u 14 4 10 k j  f f f f f f f  f f f f f f f  f f f f f f f Se você não acredita faça a prova real: | v | t p  ww312 wwww p ww312 wwww p ww312 wwww jvjj (além Ek de unitário) também é perpendicular ao triângulo ABC, pois: j k j j kjv AB kjv ACjjkjj kjv jABjjkj jACjjkjj 0 jv  fp wfw14f312 Portanto uma das respostas é o versor k wwffwwfwff fp wfwf312 w4fwfwwfwff fp wfw10f312 wfwwfwfwfwf =

u

 ,  ,

=

=

 ,

u

 ,

2

 =

A

=

A

=

A

+

2

+

=

=

 ,

 ,

2

+

=1

GUIDG.COM – PG. 5 c) O significado geométrico do módulo do produto vetorial é a área do paralelogramo , então:

kju 2 jBCjjkj jACjjkj kj Realizando os cálculos: u kjv jABjjkj 2 jCAjjkj kj =

@

= @ 4 , @ 6 , 8

=

+

Realizando os cálculos: v = 5 , 0 , @ 7 Logo:

LLLL k kj kjjMMMM L M i  j k MM L k j k j L Lu vM LLL 4 6 8MMM Área L 5 0 7M LLkju kjvMM LLd` 6a ` 7a `0 8a , B` 4a ` 7a `5 8aC, ` 4a 0 B5 ` 6aCeMM LLb M LLkju kjvMM L 42,12,30cMM q ww42wwwwwwww12wwwwwwww30w p ww2808 wwwww Lkju kjvM 6 p ww78ww u a paralelogramo =

=

B

@

@

@

B

=

B

=

B

=

@

B @

@

2

=

A

B

@ @

+

2

+

B @

2

@

B

@

B

@

B @

=

A

u.a. = unidades de área

Prova: exercício 3 (2009/2) (1,0 pt cada)

kj kj jkj kjkj jkj

a) Explique porque u B v A w = u A v B w b) Nos produtos acima, qual a operação é feita antes? Solução:

a) De acordo com o livro (pg. 76, 3.11 à pg. 79).

kju kjv jwkj e também kju kjv jwkj resultam em números reais cuja operação chama-se B A

A

B

produto misto, e

também é indicada por:

kju kjv jwkj jwkjkju kjv jwkj,kju ,kjv kju kjv jwkj kju ,kjv , jwkj B A

=

A

=

B

A

B

=

kj kj jkj kjkj jkj

Então u B v A w = u A v B w devido propriedade cíclica :

kju ,kjv , jwkj kjv , jwkj,kju jwkj,kju ,kjv =

=

Siga o sentido da  flecha e compare para entender a resposta.

O livro diz: “Esta propriedade do produto misto é uma conseqüência da propriedade dos determinantes relativamente à circulação de linhas e à troca de duas linhas”.

De qualquer forma, desde que não se altere o sentido do circulo, independente da ordem dos vetores o produto misto será sempre igual, você pode verificar dando valores para u , v e w .

kj kj jkj

b) Sem duvida o produto vetorial.

GUIDG.COM – PG. 6 Prova: exercício 4 (2009/2) (2,0 pts) Calcule m de forma que o tetraedro determinado pelos vetores u = 2 , 1 , @ 4  , v = m, @ 1 , 3 e

kj

jwkj

= @ 3 , 1 , @ 2

kj

 tenha volume 3.

Solução: Obs: Tetraedro é mais conhecido como pirâmide.

A interpretação geométrica do módulo produto misto é o volume do paralelepípedo, logo o volume do tetraedro é dado por:

V tetraedro =

 f16fLL kju ,kjv , jwkjMM

M 1fLL k  f j k j j k j Então de acordo com o enunciado: u, v, w M 6 LLLL 2 1 4MMMM  f16fLLL 1 3MMM 3 L 3 1 2M

=3

@

m

=

@

@

@

O determinante implica nessas multiplicações:

L  f16fLL b2 ` 1a ` 2a B @

B @

+

` 3a

1 B3 B

@

+

` 4aC B` 4a ` 1a ` 3a

m B1 B

@

@ @

B @

B @

+

3 B 1 B 2  + 1 B m B

E se não houver erros até aqui temos: 1 1 @ 2m = 3 6

 ffL M L M Ou: 1 2 @

m

=

`

@

a2 C MMM

=

3

18

A equação modular implica que temos duas soluções:

1 @ 2m = F 18 Logo:

m1 =

 f192 ff ou

m2 = @

 f17 2ff

E a única forma de descobrir se os valores de m conferem, é substituir no produto misto e efetuar as operações. Para sua comodidade já realizamos os cálculos e os dois valores conferem, ou seja somente

quando m =

 f19 f2ff ou

 f17 2ff o volume do tetraedro é 3.

m=@

Nota: você precisa conhecer bem a teoria de determinantes ou produto misto. Dica: se você não sabe como resolver equações modulares consulte no site o arquivo: “CDI-1: Exercícios Resolvidos - Equações Modulares: Cálculo A”.

GUIDG.COM – PG. 7 Prova: exercício 5 (2009/2) (2,0 pts)

Na figura abaixo, tem-se o triângulo ABC retângulo em A. Considere H o pé da altura relativa ao vértice A. Determine o vetor AH , sabendo que seus vértices são A(-2,-1,3) , B(1,4,-2) e C(-2,-2,2).

jjjkjj

Solução:

jjjkjj

O exercício quer é o vetor * AH , mas não temos as coordenadas do ponto H, e uma das maneiras de resolver é utilizando a projeção de vetores. Podemos usar a projeção do vetor BA sobre o vetor BC, para obtermos * BH. Depois disso sugerimos dois caminhos, é importante entender os dois. . BA= A-B = (-3, -5, 5) BC = C-B = (-3, -6, 4) .. Então:

jjjkjj

jjjkjj

jjjkjj jjjkj

jBHjjkjj

j j j k j j j j j k j j j j j k j j jjkjj BA BC  f f f f f f f f jjkjjBA j jjjkjjjjjkjjfkjBC Hb 3, 5,5c bBC3,BC6,4cI b LJ fbfffffffffffcffbffffffffffffcfMKf 3, 6,4c 3, 6,4 3, 6,4  f5961ff 3, 6,4 f  f17761ffff,  f35461ffff, f23661ffffg

= projA

BC

@

A

=

A

@

A @

@

=

A @

@

@

=

@

A @

@

= @

@

@

@

.

Daqui pra frente mostraremos dois métodos para a resolução: I ) O mais rápido: Analisando a figura, vemos que:

jABjjkj B A 3,5, 5 jAHjjjk jABjjkj jBHjjkj b3,5 5c f  f177ffff  f354ffff f236ffffg 61 61 61 f f6ff  f49fff  f69ffg 61 61 61 =

@

=

+

=

 , @

+ @

=

 , @

 , @

=

@

 , @

 ,

jjjkj

GUIDG.COM – PG. 8

II ) Ou, como estamos procurando H, fazemos H = (x, y, z) e então:

jBHjjkjj H

.

=

@B =

x,y,z

@

1,4, @ 2

jjjkjj  f17761ffff,  f35461ffff, f23661ffff `x,y,za 1,4, 2 f  f177ffff,  f354ffff, f236ffffg 1,4, 2 `x,y,za 61 61 61 116 f61fff  f11061ffff f11461ffff Assim H = (x, y, z) =  f jjjjk  f11661 f fff,  f110  61 ff ff, f114  61 f ff E onde podemos fazer: AH H A jjjjkj  f fff  f ff  f f ff Encontrando finalmente .

Substituindo BH: @

@

=

@

@

+

@

@

=

@

.

@

 , @

 ,

.

=

@

= @

@

.

AH =

6 49 69  , @  , @ 61 61 61

@ @ 2, @ 1,3