Exercicios Resolvidos - Trigonometria

June 9, 2018 | Author: AlexandreDyaneVeiga | Category: Triangle, Elementary Geometry, Euclidean Plane Geometry, Space, Euclidean Geometry

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Exerc Exe rc´ ´ıc ıcios ios Res Resolv olvido idos s Cinco co retas distin distintas tas em um pla plano no cortam cortam-se -se em n pontos. Determi Determine ne o maior valor Exer Ex erc c´ıc ıcio io 1: Cin que n pode assumir.

Solu¸ c˜ ao:

Considere a1 , a2, a3, a4 e a5 as cinco retas. Como Co mo qu quere eremo moss o ma maio iorr va valo lorr qu quee n pode assumir, assumi r, ent˜ ao a segun ao segunda da reta deve cor cortar tar a primeira. Observe a figura ao lado:

A terceira reta deve cortar as duas primeiras e assim por diante.

Da´´ı, temos que o número Da umero de pont pontos os será :

1 + 2 + 3 + 4 = 10

ˆ e B OC ˆ são, angulos adjacentes AOB angulos ao, resp respectiva ectivamente, mente, OM e Exer Ex erc c´ıc ıcio io 2: As bissetrizes de dois ˆ

ˆ forma 50o com OC . Se a medida do ângulo ˆ é 80o, determ ON . A bissetriz do ângulo angulo M ON angulo AOB determine ine ˆ . o valor da medida do ângulo angulo B OC ˆ e B OC ˆ e a s bissetrizes OM e ON de AOB ˆ e B OC ˆ , Consideree os ângulos angulos adjacen adjacentes tes AOB Solu¸ c˜ ao: Consider ˆ é 80o , ou seja, m(AOB) ˆ =80o. respectivamente. A medida do ângulo angulo AOB OB)= ˆ =2a. Denomine m(B OC) OC)= ˆ , temos que esta faz 50o com OC . Achando a bissetriz de M ON a + 40o Da´ı,ı, te temo moss que a + = 50o 2a + a + 40o = 100o 3a = 60 o 2 ˆ =2a = 2 20o = 40 o. Logo m(B OC) OC)=

·

⇒

⇒

⇒ a = 20

o

Geometria B´ Ba´ sica

Exerc´ıcios Resolvidos

Exer Ex erc c´ıc ıcio io 3: Considere a reta r paralela a reta s, r

254

 s, na figura abaixo.

Determine α + β . Solu¸ c˜ ao:

Considere a figura dada e r s. Seja A, B, C, D, E, F, G e H na figura dada. Seja a reta t r passando por A e F t. Temos que: ˆ = α = B AF ˆ (ângulos D BE angu los corresp corr esponde ondente ntes) s) ˆ ˆ G CH = β = F AC (ângulos angu los corresp corr esponde ondentes ntes)) Da´ı α + β = 110o





Fund Fu ndac aç ão CECIERJ

∈

´ Consorcio CEDERJ

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Exerc´ıcios Resolvidos

255

Exer Ex erc c´ıc ıcio io 4:

Seja a figura ao lado e considere: ˆ =60o, m(B CE) ˆ =50o e m(D CE) ˆ =30o . AB = AC , m(E BD) BD)= CE)= CE)= ˆ Determine a medida do ângulo angulo B DE.

Solu¸ c˜ ao:

ˆ = 60o , m(B CE) ˆ = 50o e Considere a figura dada e que AB = AC , m(E BD) ˆ = 30o. m(D CE) ˆ = m(ACB) ˆ =80o Como AB = AC , ent nt˜ão m(ABC) CB)= ˆ = 80o. En Temos que ∆C BD é isósceles osc eles,, já que m(B DC) Ent˜ tão ao BC = BD . o ˆ Temos que ∆BC E é isósceles osc eles,, já que m(B EC) = 50 . En Ent˜ tão ao BC = BE . o ˆ Logo BD = BE e m(D BE) = 60 , então ao ∆BE D é eq equi uil´ láter at ero, o, já qu quee se X ˆ = m(B ED) ˆ . = m(B DE) ED). Temos que X + X + 60 o = 180 o X = 60 o ˆ =60o Logo m(B DE) DE)=

⇒

Exer Ex erc c´ıc ıcio io 5:

Na figura ao lado, P é a in inter terse¸ se¸c˜ cão ao das bissetri bi ssetrizes zes exter externas nas em ˆ B e C . Calcule a medida m edida do ângulo angulo B PC , sabendo que a medida o ˆ do ângu an gulo lo A é 70 .

ˆ mede 18 . Calcule o número pol´´ıgono regular convex convexoo ABCDE... ABCDE...,, o ângu an gulo lo B AD umero Exer Ex erc c´ıc ıcio io 6: Num pol ◦

de lados do pol pol´´ıgono. ˆ = 18 . p ol´´ıgono regular convex convexoo ABCDE... e considere m(B AD) Solu¸ c˜ ao: Seja o pol ◦

Temos que AB = BC = C D = a e que ∆ ABC = ∆ BCD pois :

Fund Fu ndac aç ão CECIERJ

 

AB = C D BC comum (LAL)

ˆ = m(B CD) ˆ (ângulo m(ABC) angu lo int intern ernoo do po poll´ıgon ıgono) o) ´ Consorcio CEDERJ

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Exerc´ıcios Resolvidos

256

Solu¸ c˜ ao:

Seja a figura dada e considere P a interse¸c˜ cao aõ das bissetr bissetrizes izes o ˆ = 70 . externas em B e em C e m( A) ˆ = a, m(P CE) ˆ = b e m(B PC) ˆ = x. Seja m(D BP) Então

 

a + b + x = 180o

180o

o

− 2a + 180 − 2b + 70

De (2) vem: 250o = 2 a + 2b Substituindo (3) em (1) vem,

o

= 180o

⇒ a + b = 125

125o + x = 180o

o

⇒ x = 55

(1) (2) (3)

o

ˆ = 55 . Portanto m(B PC) ◦

então, AC = BD

Temos ainda que ∆ ABD = ∆ ACD , pois

ˆ = m(B AD) ˆ = 18 então m(ADC) Da´ı 180(n 2) 162 = ◦

 

AB = C D AC = BD (LLL) AD comum

ˆ ⇒ m(B CD)

angu lo int intern ernoo do pol´ıgono) ıgo no).. = 162 (ângulo ◦

− ⇒ 162n = 180n − 360 ⇒ 18n = 360 ⇒ n = 20 n

Logo o número ume ro de lado ladoss é 20. angulo medem, respectivamente 8 cm, 9 cm e 10 cm cm.. Ca Calc lcul ulee o Exer Ex erc c´ıc ıcio io 7: Os lados de um triângulo pe r´ıme per ımetro tro do tri triˆângulo angu lo que se obtém em tra tra¸¸cando-se cando-s e pelo peloss vértices ertices desse triângulo angulo paralela paralelass aos lados opostos.

Solu¸ c˜ ao:

Sej a o tri Seja triˆângulo angu lo ABC de lados 8 cm, 9 cm e 10 cm. Tra¸cando can do pelos p elos vértice ert icess desse de sse tri triˆângulo angu lo paral p aralela elass aos lados opostos, construimos o novo triângulo que vamos denotar por DEF . Como BC

ˆ = ABC ˆ e ACB ˆ = C AE ˆ (alternos internos)  AD ⇒ D AB ˆ = D BA ˆ AC  BD ⇒ B AC

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Exerc´ıcios Resolvidos

257

ˆ = B CA ˆ já que A ˆ + B ˆ + C ˆ = 180 . Da´ı B DA AB comum ˆ = ABC ˆ (ALA) Logo ∆ ADB = ∆ ABC , pois D AB ˆ = B AC ˆ D BA De forma similar, temos que: ◦

 

∆ BFC = ∆ ABC

e

∆ AEC = ∆ ABC

então DB = BF = 9 , AD = AE = 10 , F C = C E = 8

Da´´ı o per´ımetro Da ıme tro dess dessee novo tri triˆângu an gulo lo é: e:

2 10 + 2 9 + 2 8 = 54

·

·

·

Note que o per´ımetro ımetro deu o dobro do per´ımetro ımetr o do triângulo angulo inicia inicial.l. Exer Ex erc c´ıc ıcio io 8: Num quadril´ atero convexo, a soma de dois ângulos atero angulos internos consecutivos mede 190 . ◦

Determine o maior dos ângulos angulos formado pelas bissetrizes internas dos dois outros ângulos.

atero convexo tal que a soma de dois ângulos internos consecutivos Solu¸ c˜ ao: Considere um quadrilátero mede 190 . Temos que ◦

ˆ + B ˆ = 190 A Sabemos que

◦

ˆ + B ˆ + Cˆ + D ˆ = 180 (4 A ◦

Substituindo (1) em (2) vem : ˆ + D ˆ = 360 C

◦

(1)

− 2) = 360 ◦

− 190

= 170

◦

(2)

◦

ˆ e D ˆ vem: Tra¸cando cando as bissetrizes interna de C Fund Fu ndac aç ão CECIERJ

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Exerc´ıcios Resolvidos

258

Denotando os ângulos angulos entre as bissetrizes de X e Y , temos: ˆ D ˆ C ˆ + D ˆ C 170 Y = + = = = 85 2 2 2 2 X+Y = 180 X = 180 85 = 95 ◦

◦

◦

Logo Lo go o ma maior ior dos ângul ang ulos os é 95 . ◦

⇒

◦

−

◦

◦

ıgonos regulare regularess P 1 e P 2 tem respectivamente n e n + 1 lados. Sabendo-se que Exer Ex erc c´ıc ıcio io 9: Dois pol´ıgonos a soma das medidas de um ângulo angulo interno de P 1 com um ângulo angulo exter externo no de P 2 vale 168 , determ determine ine ◦

o número umero de diagonais di agonais desses pol pol´´ıgonos.

pol´´ıgonos regulare regularess P 1 e P 2 com n e n + 1 lados. Temos que: Solu¸ c˜ ao: Sejam dois pol AiP + AeP = 168 1

2

◦

⇒ 180(nn − 2) + n360 = 168 +1

◦

2

(180n

− 360)(n + 1) + 360n = 168n + 168n 180n − 360n + 180n − 360 + 360n − 168n − 168n = 0 12n + 12n − 360 = 0 n + n − 30 = 0 √ n =5 − 1 ± 1 + 120 n= ⇒ 2 n = −6 (n (n˜ão ao se serv rve) e) 5(5 − 3) P tem n lados e n = 5 ⇒ d = =5 2

2

2

2

 

1

1

P 2 tem n + 1 lados e n + 1 = 6

2

⇒d

2

=

6(6

− 3) = 9

2

O número umero de diagonai diagonaiss é: e: para P 1 , 5 diagonais e para P 2 , 9 diagonais. ˆ formado pelas retas suportes dos lados AB e angulo B MC Exer Ex erc c´ıc ıcio io 10 : Determine a medida do ângulo CD de um decágono agono regular da figura abaixo. ˆ e M CB ˆ são Solu¸ c˜ ao: Seja a figura figur a dada. Temos que os ângulos angulos B MC ao cong c ongrue ruent ntes es por p or sere se rem m ângul an gulos os

360 = 36 . 10 ◦

externos exter nos de d e um mesmo pol pol´´ıgono regular e cada cad a ângulo angulo exter externo no vale v ale Fund Fu ndac aç ão CECIERJ

◦

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Exerc´ıcios Resolvidos

259

Portanto o ∆ BMC é isósce os celes les e da´ı ˆ + M ˆ + C ˆ = 180 B

◦

⇒ 36

◦

ˆ = 180 + 36 + M ◦

Da´ı

ˆ = 108 m(B MC)

◦

⇒ M ˆ = 180 − 72 ◦

◦

= 108

◦

◦

Exer Ex erc c´ıc ıcio io 11 : As semi-retas PM e PN s˜ ao tangent ao tangentes es ao c´ırculo da figura e o comprimen comprimento to do arco

⌢

⌢

ˆ . e quatro vezes o do arco M F N . Calcul Calculee o ângulo angulo M PN M GN ´

Solu¸ c˜ ao:

⌢

⌢

Considere a figura dada e que o comprimento do arco M GN é 4 vezes o do arco M F N . ˆ é um ângulo M PN angulo excêntrico entric o exter externo. no. Da´ı

⌢

ˆ = M PN

M GN

⌢

⌢

⌢

⌢

− M F N = 4 M F N − M F N = 3 M F N 2

2

(1)

2

Mas

⌢

⌢

M GN + M F N = 360

◦

⇒

Substituindo (2) em (1) vem:

⌢

⌢

4 M F N + M F N = 360

⌢

M F N =

◦

⇒

3 72 = 108 2

·

⌢

5 M F N = 360

◦

⌢

⇒

(2)

◦

semicircunferˆ rcunferência encia de centro c entro O e di diˆâmet am etro ro AB , temos que AD Exer Ex erc c´ıc ıcio io 12 : Na semici

⌢

◦

M F N = 72

⌢

 OC OC ;; sendo A, B,

⌢

C e D quatro pontos distintos. Se m( BC ) indica a medida do arco BC e m( C D) indica a medida

⌢

do arco C D, relacione essas duas medidas.

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Exerc´ıcios Resolvidos

260

Solu¸ c˜ ao:

Seja a semicircunferência encia de centro O e di diˆâmet am etro ro AB com AD OC ; OC ; sendo A, B, C e D quatro pontos distintos. ˆ = m(B AD) ˆ ˆ é ângu Temos que m(B OC) (1) (ângulos angulos corresp correspondente ondentes; s; note que B OC an gulo lo ce cent ntra rall e ˆ é ângu B AD an gulo lo in insc scri rito to). ). Temos que : ⌢ ˆ m(B OC) (2) = m( BC )



e

⌢

m(BD ) ˆ m(B AD) = 2 Substituindo (1) em (3) vem:

(3)

⌢

ˆ = m(BD ) m(B OC) 2 De (2):

⌢

⌢

m(BD ) m(BC ) = 2

⌢

⌢

⌢

⌢

⌢

⌢

⌢

⌢

⇒ m(C D) = m(BD ) − m(BC ) = 2 m(BC ) − m(BC ) = m(BC )

Logo

m(C D) = m(BC ) di agonais de um trap´ tr apézio ezio retˆ r etângulo angulo medem, m edem, resp respectiva ectivamente mente 9 cm e 12 1 2 cm. Calcule Exer Ex erc c´ıc ıcio io 13 : As diagonais o per´ımetro ıme tro do quad quadril ril´átero ate ro conv convexo exo cuj cujos os vértice ert icess são ao os po ponto ntoss médios edi os dos lado ladoss des desse se tra trap´ pézio. ezi o. Solu¸ c˜ ao:

Consider Cons ideree um tra trap´ pézio ezi o ret retˆângulo angu lo ABCD cujas diagonais medem, respectivamente 9 cm e 12 cm.

Sejam M 1 , M 2, M 3 e M 4 os pont pontos os médios edios de AB, BC, CD e AD , respecti respectivament vamente. e. Temos que : M 1M 4 é ba base se média ed ia do ∆ ABD

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⇒ M M = 92 1

4

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Exerc´ıcios Resolvidos

M 2M 3 é ba base se média ed ia do ∆ BCD

⇒ M M = 92

M 1M 2 é ba base se média ed ia do ∆ ABC

⇒ M M = 122

M 3M 4 é ba base se média ed ia do ∆ ADC

⇒ M M = 122

Da´ı o per´ımet ım etro ro ped edid idoo é: e:

2

1

3

261

3

2

4

9 9 12 12 + + + = 21 2 2 2 2

angulo ABC , considere M po ponto nto médio edio de AB e N po ponto nto médio edi o de AC Nota: Dado um triângulo BC é base média, MN = e MN BC .

2



⇒ MN

ertice P está ertice Exer Ex erc c´ıc ıcio io 14 : Considere na figura , ABCD um quadrado e DAPQ um losango cujo v´ no prolongamento da diagonal AC . Calc Calcule ule os ângulos angu los do tri triˆângulo angu lo DRQ .

Solu¸ c˜ ao:

Considere a figura dada e seja ABCD um quadrado, DAPQ um losango e P está no prol prolonga ongament mentoo da diagonal AC .

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Exerc´ıcios Resolvidos

262

ˆ = 45 (bissetriz do vértice Temos que D AC ertice de um quadrado) Então ˆ = 180 P AD 45 = 135 ◦

◦

◦

−

◦

Mas ∆ ADP é isósceles, osceles, já que AP = AD (Propriedade do losango) Então ˆ + APD ˆ + ADP ˆ = 180 e APD ˆ = ADP ˆ ˆ = 180 P AD 135 + 2APD Logo como a diagonal é bissetriz no losango vem:

⇒

◦

◦

◦

ˆ = 22 30 ⇒ APD ◦

′

ˆ = 22 30 . Q DR ◦

′

Da´ı

ˆ = 90 + 45 = 135 Q DC ˆ = D CQ ˆ . Temos que ∆ DQC é isósceles, osceles, pois QD = DC D QC Da´ı ˆ + D CQ ˆ = 180 ˆ = 180 135 + D QC 135 + 2D QC ◦

◦

◦

⇒

◦

No ∆ QDR , temos:

◦

⇒

◦

◦

ˆ = 180 22 30 + 22 30 + Q RD ◦

′

◦

′

◦

ˆ = 22 30 ⇒ D QC

ˆ = 135 ⇒ Q RD

◦

′

◦

Logo os ângulos angulos pedi pedidos dos são ao : 22 30 , 22 30 e 135 . ◦

′

◦

′

◦

Exer Ex erc c´ıc ıcio io 15 : As bases MQ MQ ee NP NP de de um trapézio ezio medem 42 cm e 112 cm, respectivamente. Calcule

ˆ é o dobro do ângulo ˆ o lado PQ , sabe sabendo ndo que o ângulo angulo M QP angulo P NM

Solu¸ c˜ ao:

ˆ = 2 m(M NP) ˆ . Consider Cons ideree o trap´ t rapézio ezi o MQPN dado com MQ = 42 cm e NP = 112 cm e m(M QP) NP).

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Exerc´ıcios Resolvidos

Seja QL MN MQLN é um paralelog paralelogamo, amo, pois MQ QL MN (Por constru¸cão) ˆ = x ˆ = 2 x Denotemos m(M NP) m(M QP)





⇒

263

 NL (Defini¸c˜cão ao de tr trap ap´ézio ez io))

⇒

Temos que: 1) MQ = NL = 42 (Propriedade de paralelogramo) ˆ =m(M NL) ˆ = x (ângulos 2) m(Q LP) angu los corres cor respo ponden ndentes tes)) ˆ =m(M QL) ˆ = x (ângulos 3) m(M NL) angulos opost opostos os do paralelo paralelogramo gramo são ao congruen congruentes) tes)

ˆ = 2x - x = x Temos que m(LQP) Portanto ∆ QLP é isósceles osceles de base QL então PL = PQ e PL = 112

− 42 = 70

Logo PQ = 70 cm. Exer Ex erc c´ıc ıcio io 16 :

Na figura ABCD é retângu gullo, M é o pon onto to médio ed io de C D e o tr triˆ iângul an guloo ABM é equ equil´ iláter at ero. o. Se Send ndoo AB = 15 cm, calcul calculee AP .

Solu¸ c˜ ao:

Seja na figura ABCD re retˆ tângu an gulo lo,, M po ponto nto médio edi o de C D e ∆ ABM é eq equ uilátero. AB = 15 cm.

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Exerc´ıcios Resolvidos

264

Trace a diagonal AC e seja O o encontro das diagonais AC e BD . Temos que no ∆ ACD , AM e DO são ao me medi diana anass e P é o baric baricentr entroo dest destee triângulo angu lo Mas AM = AB De (1) e (2)

(2) (∆ ABM é eq equi uil´ láter at ero) o).. AP =

⇒ AP = 23 · AM

(1)

2 2 AB = 15 = 10 3 3

·

·

Logo AP = 10 cm. ˆ e C ˆ medem respectivamente 70 e 60 . Determine Exer Ex erc c´ıc ıcio io 17 : Em um triˆ t riângulo angu lo ABC os ângu an gulo loss B ◦

◦

a razão ao entre os dois maiores ângulos angulos for formados mados pelas inters interse¸ e¸c˜ cões oes das três es altura alturas. s. Solu¸ c˜ ao:

ˆ = 70 e C ˆ =60 . Sejaa um tri Sej triˆângulo angu lo ABC , B C = ◦

◦

Tracem os as Tracemos a s trˆ t rês es alt altura urass AH 1, BH 2 e C H 3 , o encontro dessas alturas, denotemos por O (ortocentro). (ortocentro). Vamos achar os ângulos angulos formados pelas interse¸cões oes dessas alturas. ˆ ˆ B AH 1 = 180 H 3 OA = 180 90 70 = 20 90 20 = 70 ˆ ˆ C AH 1 = 180 AO H H2 = 180 90 60 = 30 90 30 = 60 ˆ H 2 = 180 C O H 60 70 = 50 70 7 60 6 Portanto a razão ao entre os dois maiores ângu angulos los pe pedid didos os é: e: = ou = 60 6 70 7 ◦

◦

◦

− − − − − −

Fund Fu ndac aç ão CECIERJ

◦

◦

◦

◦

◦

◦

◦

◦

◦

⇒ ⇒

◦ ◦

− −

◦

◦

− −

◦

◦

◦

◦

´ Consorcio CEDERJ

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Exerc´ıcios Resolvidos

265

incent entro ro do tr triˆ iângul ang uloo MNP , determi d etermine ne a medida m edida do ângulo angulo α. Exer Ex erc c´ıc ıcio io 18 : Se na figura, T é o inc

Solu¸ c˜ ao: Seja a figura:

ˆ = x e N PT ˆ = y Denominemos M NT Da´ı te temo moss 50 = x + y (1)

ˆ = x e M PT ˆ = y P NT

⇒

◦

e

◦

α + 2x + 2y = 180 (2)

Substituindo (1) em (2) vem: α + 2(x + y ) = 180

◦

⇒ α + 2 · 50

◦

= 180

◦

⇒ α = 80

◦

Exer Ex erc c´ıc ıcio io 19 : Mostre que em um triˆ angulo qualquer a medida de cada altura é menor que a semiangulo

soma das medidas dos lados adjacentes a ela. Solu¸ c˜ ao:

Seja ABC um triângulo angulo cuja altur alturaa AH mede ha e os lados adjacentes b e c.

Vamos provar que ha < Fund Fu ndac aç ão CECIERJ

b+c

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Exerc´ıcios Resolvidos

266

De fato, a medida da altura AH é menor que as medidas dos lados la dos adjacente adj acentes, s, AC e AB , visto que o segmento perp pe rpendi endicular cular é menor m enor que qual qualquer quer obl´ıqua. ıqu a. Da´ı: ha < b ha < c

⇒h

a

+ hb < b + c

⇒ ha < b +2 c

Mostree que em um triângulo angulo retângulo, angulo, a soma das medida medidass das três es altura alturass é maior Exer Ex erc c´ıc ıcio io 20 : Mostr que a medida do semip semiper er´´ımetro desse triângulo. angulo.

Solu¸ c˜ ao:

Consideree um triângulo Consider angulo retângulo angulo com lados medind medindoo b, c e a e a sendo a hipotenusa.

Consideremos as alturas relativas aos lados: a como ha b como hc c como hb Note que neste triângulo angulo : b = hc e c = hb b+c > a

⇒h

c

+ hb > a

⇒ 2h ⇒ 2h ⇒ 2h ⇒h

a

a

+ hb + hc > a

a

+ hb + c + hc + b > a + b + c

a

+ 2hb + 2hc > a + b + c

+ hb + hc >

a+b+c

2

ario de uma área ario area quer dividi-la em três es lotes, conforme a figura abaixo. Exer Ex erc c´ıc ıcio io 21 : O propriet´ Determine os valores de a, b e c, em metros, sabendo-se que as laterais dos terrenos são ao paralelas e que a + b + c = 120 metros.

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Exerc´ıcios Resolvidos

267

Solu¸ c˜ ao: a

b

c

De acordo com o Teorema de Tales, tem-se: = = . 20 24 36 Assim: a+b+c

20 + 24 + 36

=

a

20

=

b

24

=

c

36

a b c ⇒ 120 = = = 80 20 24 36

⇒ 23 = 20a = 24b = 36c

  ⇒  

a=

20 3 = 30 2

b=

24 3 = 36 2

c=

36 3 = 54 2

Logoo os Log o s valor v alores es são: ao: a = 30 metros, b = 36 metros e c = 54 metros.

·

· ·

ˆ Exer Ex erc c´ıc ıcio io 22 : O pe perr´ıme ımetro tro de um tri triˆângulo angu lo ABC é 100 metros. A bissetriz do ângulo angulo interno A divide o lad divide ladoo opos oposto to em doi doiss seg segmen mentos tos que med medem em 16 met metros ros e 24 metros. metros. Det Determi ermine ne a med medida ida dos lados desse triângulo. angulo. Solu¸ c˜ ao:

Sejaa um tri Sej triˆângulo angu lo ABC , cuj cujoo pe perr´ıme ımetro tro é 100 met metros ros.. a + b + c = 100

(1)

Seja AN a bissetriz interna. Temos que: C N = 16

( 2)

e

BN = 24

(3)

Usando o Teorema da bissetriz interna vem: C N NB Fund Fu ndac aç ão CECIERJ

=

b c

(4) ´ Consorcio CEDERJ

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Exerc´ıcios Resolvidos

Como a = 16 + 24 = 40 vem que b + c = 100

 ⇒ 

b 16 = c 24 b + c = 60

Como b + c = 60

268

− 40 = 60

+ 24 60 · 16 b= ⇒ b +b c = 16 16 ⇒ 60b = 40 ⇒ = 24 . 16 40

⇒ c = 60 − 24 = 36.

Da´´ı as Da a s medi medidas das dos lado ladoss do tri triˆângulo angu lo a = 40 cm, b = 24 cm, e c = 36 cm. retˆ tângulo angulo e M é pon onto to médio ed io de AB . Se h é al altu tura ra Exer Ex erc c´ıc ıcio io 23 : Na figura abaixo, ABCD é um re do tr triˆ iângul ang uloo CDE relativa ao lado CD , e x e y são ao as medida medidass dos lados do retângulo, angulo, deter determine mine a rela¸c˜ cao aõ entre h, x e y .

Solu¸ c˜ ao:

Seja a figura dada, ou seja, ABCD é um re retˆ tângu an gulo lo e M é pon onto to médio ed io de AB . h´ e al altur turaa do tr triˆ iângul an guloo CDE relativa ao lado CD ;

ao as medidas dos lados do retângulo. ao x e y s˜

∆CDE

∼ ∆AME pois

CD h ⇒ AM ⇒ = x−h

 y y

2

ˆ = D EC ˆ AEM ˆ = D CE ˆ M AE

=

(AA

∼)

h

h ⇒ ⇒ 2x − 2h = h ⇒ 2x = 3h 2= x−h x−h

Logo a rela¸c˜ cão pedida é: 3h = 2 x.

rai o da circunfe ci rcunferˆ rência encia circuns circunscrita crita ao triˆ tr iângulo angulo ABC da figura, se AB = 4 , Ex erc Exer c´ıc ıcio io 24 : Calcular o raio AC = 6 e AH = 3 .

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Exerc´ıcios Resolvidos

269

Solu¸ c˜ ao:

Seja a figura com: AB = 4 , AC = 6 e AH = 3 . O o centro da circunf circunferˆ erência. encia. Tracemos Tracem os o diâmetro amet ro AD .

⌢

⌢

ˆ = 90 , já qu ˆ = Temos que ACD quee ABD = 180 e ACD ◦

Da´ı ∆ABH Assim

◦

ˆ = ACD ˆ = 90 ∼ ∆ADC , já qu quee AHB AH AC

=

◦

ABD

2

ˆ = ADC ˆ = e ABH

⌢

AC

2

3 4 ⇒ ⇒ R =4 = 6 2R AD AB

ancias dos pontos A e B a` reta r valem 2 e 4. As proje¸c˜ ancias cões oes Exer Ex erc c´ıc ıcio io 25 : Na figura abaixo, as distˆ ortogonais de A e B sobre essa reta são ao os pont pontos os C e D . Se a medida de CD é 9, a que dis distˆ tânci an ciaa ˆ ˆ de C dev dever´ erá estar e star o pont p ontoo E , do segmento CD , para que m(C EA) = m(D EB) EB)??

exerc´´ıcio. Solu¸ c˜ ao: Seja a figura com os dados do exerc Seja x a medida de C a E . Como CD = 9

⇒ ED = 9 − x ˆ = m(D EB) ˆ = α ⇒ ∆AEC ∼ ∆BDE (C Denomine m(C EA) (Cri rit´ tério er io AA∼) AC C E x 2 ⇒ BD , ou seja, = . = 9−x 4 9−x Da´ı 4x = 18 − 2x ⇒ 6x = 18 ⇒ x = 3.

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Exerc´ıcios Resolvidos

270

triˆ iângulo ang ulo re retˆ tângul an guloo OAB , re retˆ tângul an guloo em O , com OA = a e OB = b, são ao da dado doss Exer Ex erc c´ıc ıcio io 26 : Em um tr os pontos P em OA e Q em OB de tal maneira que AP = P Q = QB = x. Determine o valor de x.

Solu¸ c˜ ao:

Seja um triângulo angu lo ret retˆângulo angu lo OAB , retângulo angulo em O , com OA = a e OB = b. São ao dados d ados os pontos p ontos P em OA e Q em OB de tal maneira que AP = P Q = QB = x. Considere o ∆ OPQ re retˆ tângu an gulo lo:: 2

2

2

2

OP + OQ = P Q a2

⇒ (a − x) + (b − x) − 2ax + x + b − 2bx + x = x x − 2(a + b)x + a + b = 0 2

2

2

2

2

2

= x2 .

2

2

Resolvendo Resolv endo a equa equa¸¸c˜ cão ao vem em::



± √ 8ab ⇒

(2(a + b))2 4(a2 + b2 ) 2(a + b) x= = 2 2 a + b + 2ab 2(a + b) 2 2ab x= = 2 a+b 2ab 2(a + b)

±

± √

−

 

√

√ − √

√

√

Como x < a e x < b, en ent˜ tão ao não ao p ode se serr a + b + 2ab, já qu quee a + b + 2ab > a e a + b + 2ab > b. Portanto x = a + b 2ab.

− √

Trˆês es goiabas perf perfeitame eitamente nte esféricas ericas de centro centross C 1 , C 2 e C 3, e raios 2cm, 8cm e 2cm, Exer Ex erc c´ıc ıcio io 27 : Tr respectivamente, estão ao sobre uma mesa tangenciando-se como sugere a figura.

Um bich bichinho inho que est´ a no centro da primeira goiaba quer se dirigi dirigirr para o centro da tercei terceira ra pelo caminho mais curto. Quantos cent cent´´ımetr ımetros os per percorrer´ correrá? a? Solu¸ c˜ ao:

Considere na figura dada, as três es goiabas de centros C 1 , C 2 e C 3 , e raios 2cm, 8cm e 2cm, respectivamente. Fund Fu ndac aç ão CECIERJ

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271

Denote na figura C 1B = y e T A = x. No ∆C 1BC 2 , usando u sando o Teorema de Pit´ P itágoras agoras vem: y 2 + 62 = (8 + 2) 2

Temos que ∆ C 2 T A

(1)

⇒ y =8

∼ ∆ C C B, já qu quee 2

1

 C B ⇒ 108 = xy

TA

(2)

1

Substituindo (1) em (2), vem:

10 8 = x 8 Logo o caminho mais curto mede:

⇒ 10x = 64 ⇒ x = 6 , 4 2 + x + x + 2 = 4 + 2 · 6, 4 = 16, 8 cm.

angu lo Exer Ex erc c´ıc ıcio io 28 : No quadrado ABCD de lado 12 cm, temos AE = 13 cm e C F = 3 cm. O ângulo ˆ é agudo, reto AEF r eto ou obtuso? Justifique.

Solu¸ c˜ ao:

Seja o quadrado ABCD de lado 12 cm, temos AE = 13 cm e C F = 3 cm. No ∆ADE , temos: 2

2

122 + DE = AE

2

⇒ DE

= 13 3

2

− 12

= 25

⇒ DE = 5

Da´ı EC = DC

− DE = 12 − 5 = 7

No ∆ABF , temos: 2

2

122 + BF = AF No ∆C EF , temos:

2

⇒ AF

= 144 + 92 = 225

⇒ AF = 15

2

EF = 7 2 + 32 = 58

No ∆AEF , temos:

√

2

152 < 132 + 58 pois 225 < 169 + 58 ˆ é ag Pela S´ııntese ntese de Cl Clairaut airaut temos que AEF agud udo. o. Fund Fu ndac aç ão CECIERJ

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272

ˆ = 60 quadri dril´ látero ate ro ABCD da figura, AB = C D = 3 cm, BC = 2 cm, m(ADC) Exer Ex erc c´ıc ıcio io 29 : No qua

◦

ˆ = 90 . Deter e m(ABC) Determine mine a medida, medi da, em cent ce nt´´ımetr ımetros, os, do per p er´´ımetr ımetroo do quadril quadril´átero. atero. ◦

Solu¸ c˜ ao:

ˆ = 60 e m(ABC) ˆ Seja o quadrilátero atero ABCD , tal que AB = C D = 3 cm, BC = 2 cm, m(ADC) = 90 . ◦

◦

No ∆ABC , temos: 2

2

2

AC = AB + BC = 3 2 + 22 = 13

⇒ AC =

√

13

ACD D, vem: Denote AD = x. Usando a lei dos co-senos no ∆AC 2

2

2

◦

AC = AD + DC

√

( 13)2 = x2 + 32 Temos que x2

− 2AD · DC · cos60 − 2 · x · 3 · 12 ⇒ 13 = x + 9 − 3x 2

− 3x − 4 = 0 . Resolvendo esta equa¸c˜cão ao ve vem m: x=

√ 3 ± 9 + 16 2

=

Logoo o per´ımetro Log ıme tro do quad quadril ril´átero ate ro ABCD é :

  

3+5 =4 2 3

− 5 = −1(Não ao se serv rve) e) 2

AB + BC + C D + AD = 3 + 2 + 3 + 4 = 12 cm. Exer Ex erc c´ıc ıcio io 30 : Conside Considere re o triângulo angulo não ao retângulo angulo da figura abaixo. Deter Determine mine sen α.

Sejaa o triângulo angu lo ret retˆângulo angu lo da figur figura: a: Solu¸ c˜ ao: Sej Pela lei dos senos temos:

1 3 = sen se n 15 sen α ◦

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◦

⇒ sen α = 3 se sen n 15

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273

c´ırculo mede 8 cm. Calcule o per per´´ımetro Exer Ex erc c´ıc ıcio io 31 : A diagonal de um quadrado inscrito em um c´ de um triângulo angulo equilátero inscrit inscritoo nesse c´ırculo ırculo.. Solu¸ c˜ ao:

Temos que a diagonal d iagonal de um quadrad quadradoo inscrit i nscritoo em um c´ırcul ırculoo é o diˆ d iâmetro, ametro , ou seja,

2R = d

⇒ d = 8 = 2R ⇒ R = 4

√

Como o lado em fun¸cão ao do raio rai o de um tri triˆângulo angu lo equi equil´ láte atero ro insc inscrit ritoo nest nestee c´ırc ırculo ulo é l3 = R 3 temos que l3 = 4 3. Da´ı o per´ımet ım etro ro ped edid idoo é 3 4 3 = 12 3 cm.

√

· √

√

circunferˆ ferência, encia, calcular o lado e o apótema do octógono ogono regular Exer Ex erc c´ıc ıcio io 32 : Dado o raio R de uma circun inscrito. Solu¸ c˜ ao:

Considere a figura que mostra o octógono regular inscrito.

ˆ é Note que o ângulo angulo centra centrall AOB

360 = 45 . 8 ◦

◦

Vamos achar o lado, do octógono ogono ( l8 ), em fun¸c˜ cão ao do ra raio io R. Usando a lei dos co-senos vem: l82 = R2 + R2

◦

− 2 · R · R · cos45 √ 2 √ l = 2R − 2 · R · R R − =2 2 2 √ √ l = R (2 − 2) ⇒ l = R 2 − 2 2 8

2

2 8

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2

2

2

8

2



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274

Vamos achar , agora, o apótema do octógono ogono ( a8 ) em fun¸c˜ cão ao do ra raio io R. Da figura, vem por Pitágoras: agoras: 2 8

a +

⇒a ⇒

2 8

  − √ 

2

 l8

=R

2

= R2

−

2

2R2

2 8

=R

⇒a

2

−

− R √ 2 = 4R − 2R 2

2

4

√

⇒a

8 =

2



2+

2

2

2

√

+ R2 2

4

R2 (2 + 2R2 + R 2 2 2 a8 = = 4 4 R

2 2

R

√ 2)

√

2

E m um semic semic´´ırculo de raio 6 cm, tra¸cam-se cam-se duas cordas paralelas que representam os Exer Ex erc c´ıc ıcio io 33 : Em lados de um quadrado e de um hexágono agono regular inscritos. Calcule a distância ancia entre as duas cordas. Solu¸ c˜ ao:

Seja um semic´ semic´ırculo de raio 6 cm e duas cordas paralelas que representam os lados de um quadrado e de um hexágono. ago no.

Seja AB = l6, C D = l4 e R = 6 . Vamos calcular EF = OE Consider Cons ideree os tri triˆângulos angu los OEB e OFD : Temos 2

2

OE + EB = OB 2

2

OF + F D = OD

Temos que

√

l4 = 6 2

2

2

2

⇒ OE

2

⇒ OF

+ +

2

 

(3) e l6 = 6

l6

− OF .

2

l4

2

= 6 2.

(1)

= 62 .

(2)

2

(4)

Substituindo (4) em (1) vem: 2

OE = 36

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−

62 = 36 4

√ − 364 = 27 ⇒ OE = 3 3 ´ Consorcio CEDERJ

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Exerc´ıcios Resolvidos

275

Substituindo (3) em (2) vem: OF 2 = 36

 √ 

2

6 2 2

− = 36 − 9 · 2 = 18 ⇒ OF = 3 √ √ √ √ Da´ı a di distˆ stância anc ia pe pedida dida é: e: EF = 3 3 − 3 2 = 3( 3 − 2).

√

2

encia quando o seu comprimento aumenta a umenta Exer Ex erc c´ıc ıcio io 34 : De quanto aumenta o raio de uma circunferência de π cm? Solu¸ c˜ ao:

Seja uma circun circunferˆ ferência encia de raio R e comprimento C . Temos que C = 2 πR . Se aumentarmos o comprimento C de π , vamos determinar de quanto aumenta o raio R. Denote o novo raio de R . Então ′

⇒ 2πR + π = 2 πR ⇒ R = 2πR2π+ π = π(2R2π+ 1) ⇒ R 2R + 1 Logo o aument aumentoo pedid pedidoo é: e: R − R = − R = 2R + 1 − 2R = 1 . C + π = 2 πR

′

′

′

′

=

2R + 1 2

′

2

2

2

Exer Ex erc c´ıc ıcio io 35 : Em uma engrenagem a roda grande de raio 75 cm faz 900 voltas, enquanto a pequena

dá 1500 voltas. Qual o raio da roda pequena? Solu¸ c˜ ao:

A roda grande tem raio 75 cm e faz 900 voltas. Vamos determinar o comprimento total ( C ) da roda grande. C = 2 π 75 900

· ·

(1)

A roda pequena dá 1500 voltas, vamos determinar o raio ( r ) desta roda. Note que o comprimento total desta roda ro da é o mesmo da roda grande. Logo C = 2 π r 1500 (2)

· ·

De (1) e (2) vem:

2π r 1500 = 2 π 75 900

· ·

· ·

⇒ 1500r = 75 · 900 ⇒ r = 45 cm

Da´´ı o raio da rod Da rodaa peque pequena na é 45 cm. area de um quadrilátero area atero convexo de diagonais perpendiculares p erpendiculares medindo 12 Exer Ex erc c´ıc ıcio io 36 : Calcule a ´ cm e 15 cm. Solu¸ c˜ ao:

Conside re um quadrilátero Considere atero convex convexoo ABCD de diagonais perpendiculares per pendiculares (Note que o enunciado não ao diz que o quadr q uadril´ ilátero ate ro é um losa losango) ngo)..

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276

Vamos denonimar a interse¸c˜ cão ao das dia diagona gonais is de E e denote AE = a, BE = b, CE = c e DE = d. Temoss que a área Temo ar ea do qua quadr dril´ iláter at eroo é: e: ab bc ad cd (a + c)b (a + c)d S ABCD + + + = + A BCD = 2 2 2 2 2 2 Então (a + c)(b + d) 12 15 S ABCD = = 90 A BCD = 2 2 Da´ı a área ar ea pro procu cura rada da é 90 cm 2 .

·

ar ea 48 cm 2 , os pontos P, Q e R dividem a diagonal BD area Exer Ex erc c´ıc ıcio io 37 : No paralelogramo ABCD de ´ em quatro partes de igual i gual medida. m edida. Calcule a área area do triˆ t riângulo angulo AQR .

Solu¸ c˜ ao:

Seja o paralelogramo ABCD de área area 48 cm 2 e os pontos P, Q e R dividindo a diagonal BD em quatro partes de igual medida.

Ligando os pontos A a P , C a P , C a Q e C a R ; temos t emos 8 triˆ tr iângulos angulos a saber: sa ber: ABP, APQ, AQR, ARD, CBP, CPQ, CQR e C RD Esses triângulos angulos tem a mesma m esma área, area, já que qu e eles e les tem a mesma m esma base e a mesma altur altura. a. Portanto, já que a área are a do paral paralelo elogra gramo mo é a som somaa das áreas are as dess desses es oito tri triˆângulos angu los,, tem temos os que a área are a do tri triˆângulo angu lo 48 AQR é: e: = 6 cm2 . 8

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277

area, deseja area, deseja-se -se constr construir uir um jardim, também em Exer Ex erc c´ıc ıcio io 38 : Num terreno retangular com 54 cm 2 de ´ retangular, medindo 6 metros por 3 metros, contornado por uma cal¸cada de largura L, como indica a figura. Calcule o valor de L.

Solu¸ c˜ ao:

Seja a figura dada e temos que a área area do terren terrenoo é 54 m 2 e o retângulo angulo que iremos construir, o jardim, mede 6 metros por 3 metros. Vamos achar a largura L da cal¸cada. cada.

Temos que 2

(6 + 2 L)(3 + 2L) = 54 2

⇒ 4L

⇒ 18 + 6L + 12L + 4L = 54 . + 18L − 36 = 0 ⇒ 2L + 9L − 18 = 0 2

Resolvendo Resolv endo a equa equa¸¸cão de 2o grau vem:

√ − 9 ± 81 + 144 L= 4

 − −   − 9

4

15

=

−6

9 + 15 6 = = 1, 5 4 4

Como L > 0, temos que o valor de L = 1,5 metros.

Exer Ex erc c´ıc ıcio io 39 : Cons Considere idere a circun circunferˆ ferˆ encia, rep encia, represent resentada ada abaixo abaixo,, de raio 2 cm e os diâmetros ametros AB e

⌢

CD perpendic perpendicula ulares. res. Com centro em C e raio CA foi tra¸cado cado o arco AB . De Dete term rmin inee a área ar ea da reg r egi˜ ião ao assinalada.

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278

Solu¸ c˜ ao:

Seja a circunf circunferˆ erência encia dada, com raio 2 cm e os o s diˆ d iâmetros ametro s AB e CD perpendiculares.

Temos que 2

AC = 22 + 22

⇒ AC = 2

√

ˆ = 2 e ACB

180 = 90 2 ◦

◦

Denotando Denota ndo a área area pedid pedidaa por A p vem que: A p = Asetor CAB

−A

∆ACB

Da´ı a área ar ea da re regi gi˜ão ao as assi sina nala lada da é (2π

=

· √ − 2√ 2 · 2√ 2 = 8π − 8 = 2 π − 4 4 2 4 2

π (2 2)2 2

− 4) cm .

cir cunferˆ encia de centro O , raios R e 2R e três ângu encia gullos Exer Ex erc c´ıc ıcio io 40 : A figura mostra dois arcos de circunferˆ congruentes. congrue ntes. Calcule a razão ao entre as áreas areas da região ao hachura hachurada da e não ao hachur hachurada. ada.

Solu¸ c˜ ao:

Seja a figura dada, com raios R e 2R dos dois arcos de centro O e três es ângul an gulos os con congr grue uent ntes. es.

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279

As três es re regi gi˜ões oes de centro O e raio R , vamos denotar po A. As outras três es regiões, oes, vamos denotar por B , como c omo está indicad indicadoo na figura. Vamos Vam os ac achar har a área ar ea da re regi˜ gião ao A. S A =

πR 2

4 3

Vamos Vam os ac achar har a área ar ea da re regi˜ gião ao B . S B =

π (2R)2

· −

4 3

πR 2

·

=

πR 2

12

4πR 2 = 12 12

−

πR 2

12

=

πR 2

4

A área ar ea da re regi gi˜ão ao ha hach chur urad adaa é: e: 2S A + S B e a área ar ea da re regi gi˜ão ao não ao ha hach chur urad adaa é S A + 2S B Logo, Log o, a raz raz˜ão ao ent entre re as áreas are as pe pedida didass é: e:

2πR 2 πR 2 2πR 2 + 3πR 2 + 2S A + S B 5πR 2 12 5 12 4 12 = = = = S A + 2S B πR 2 πR 2 + 6πR 2 2πR 2 12 7πR 2 7 + 12 4 12

·

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Exercicios Resolvidos - Trigonometria

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