EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - LISTA DE GRAFOS - ESTRUTURA DE DADOS

LISTA DE GRAFOS 1. Construa um exemplo de grafo simples direcionado e um não direcionado.

2. Construa um grafo simples conexo, com as seguintes sequências de graus: (A) (1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 6)

(B) (3, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5)

3. Para o grafo a seguir, responda:

(A) é um grafo simples?

Como não laços nem arcos paralelos, o grafo é simples. (B) é um grafo completo?

Grafo completo se para cada vértice do grafo existe uma aresta conectando este vértice a cada um dos demais. Não é um grafo completo. (C) é um grafo conexo?

Grafo conexo se possível estabelecer um caminho de qualquer vértice para qualquer outro vértice. É um grafo conexo. (D) existem dois caminhos entre os vértices 3 e 6?

Existem dois caminhos do vértice 3 para o 6 sem que as arestas sejam repetidas. Caminho 1: 3, e, 5, f, 6

Caminho 2: 3, c, 4, d, 5, f, 6

(E) o grafo possui algum ciclo?

Ciclo em um grafo é um caminho de algum nó n para ele mesmo tal que nenhum arco aparece mais de uma vez, a não ser ele mesmo nas extremidades. O grafo tem um ciclo de 3 para 3. (F) o grafo possui algum arco cuja remoção o tornaria um grafo acíclico?

Possui sim. O arco e. (G) o grafo possui algum arco cuja remoção o tornaria desconexo? Sim. Removendo o arco “a” seria o suficiente para tornar o grafo desconexo.

4. Esboce uma figura para cada um dos seguintes grafos: (A) Um grafo simples com 3 vértices de grau 2.

Os vértices 4, 5 e 6 são de grau 2. (B) Um grafo de 4 vértices, com ciclos de tamanho 1, 2, 3 e 4.

(C) Um grafo não completo com 4 vértices, de grau 4.

5. Construa todos os grafos completos com até 8 vértices. Quantas arestas tem cada um desses grafos? E se tiver n vértices? v értices?

Vértices 2 3 4 5 6 7 8

arestas 1 3 6 10 15 21 28

A quantidade de aresta é dada pela formula da combinação 2 a 2.

6. Explique porque é que a sequência ACEDBCA não é um circuito Hamiltoniano para o grafo a seguir. Este grafo admite um circuito Hamiltoniano?

Circuito Hamiltoniano em Teoria dos Grafos é um caminho em um grafo não dirigido que visita cada vértice apenas uma única vez. Essa sequência não é um circuito Hamiltoniano porque o vértice C aparece duas vezes. Esse grafo admite sim um circuito Hamiltoniano: ABCDE. 7. Um dígrafo admite ordenação topológica se e somente se for acíclico. Falso ou verdadeiro? Justifique.

Uma ordenação topológica de um grafo G=(V,E) é uma ordenação linear de to dos os vértices, tal que se G contém uma aresta (u,v) então u aparece antes de v na ordenação. Se o grafo não é acíclico então não é possível nenhuma ordenação linear. Ou seja, tendo um ciclo poderia ocorrer que com uma aresta (u, v) pode-se ter outra aresta (v, u). Isso impossibilita uma ordenação linear.

Há um processo chamado de relaxamento de aresta (u, v) que consiste em testar se podemos melhorar o caminho mais curto para “v” encontrado até agora pela passagem através de “u”. O caminho será mínimo se algoritmo tiver como otimizar os percursos

através do relaxamento. O algoritmo na questão ao conseguir encontrar um caminho necessariamente não será mínimo.

Considerando que profundidade de saída seja o tempo de término em uma busca em profundidade e ordem inversa sendo a ordem decrescente, temos sim uma ordenação topológica. A ordenação topológica é depois da execução da busca em profundidade pois precisa do tempo de termino. Assim é realizada a ordenação linear dos vértices.

--------- A--------- B --------- A--------- B --------- C --------- A--------- B --------- C --------- D --------- A--------- B --------- E --------- A--------- F --------- A--------- G

--------- B--------- A --------- B--------- C --------- B--------- C --------- D --------- B--------- E --------- B--------- A --------- F --------- B--------- A --------- G

--------- C--------- B --------- A --------- C--------- B --------- C--------- D --------- C--------- B --------- E --------- C--------- B --------- A --------- F --------- C--------- B --------- A --------- G

--------- D--------- C --------- B --------- A --------- D--------- C --------- B --------- D--------- C --------- D--------- E --------- D--------- E --------- F --------- D--------D--------- E --------- F --------- G

--------- E--------- B --------- A --------- E--------- B --------- E--------- B --------- C --------- E--------- D --------- E--------- F --------- E--------- F --------- G

--------- F--------- A --------- F--------- A --------- B --------- F--------F--------- A --------- B --------- C --------- F--------- E --------- D --------- F--------- E --------- F--------- G

--------- G--------- A --------- G--------- A --------- B --------- G--------- A --------- B --------- C --------- G--------- F --------- E --------- D --------- G--------- F --------- E --------- G--------- F

i A B C D E F G

Nó origem

E

PRIM Nó destino A B C D F G H I J

pi NULL A B C D E F

d 1 2 3 4 5 6 7

f 14 13 12 11 10 9 8

ENLACES DE COMUNICAÇÃO CUSTO 3,0 3,5 4 1,5 1 1 5 6 7

--------- E--------- D --------- A --------- E--------- D --------- A --------- B --------- E--------- D --------- A --------- C --------- E--------- D --------- E--------- F --------- E--------- G --------- E--------- F --------- H --------- E--------- F --------- H --------- I --------- E--------- F --------- H --------- I --------- J

Nó origem

E

KRUSKAL Nó destino A B C D F G H I J

ENLACES DE COMUNICAÇÃO CUSTO 3,0 3,5 4 1,5 1 1 5 6 7

--------- E--------- D --------- A --------- E--------- D --------- A --------- B --------- E--------- D --------- A --------- C --------- E--------- D --------- E--------- F --------- E--------- G --------- E--------- F --------- H --------- E--------- F --------- H --------- I --------- E--------- F --------- H --------- I --------- J

OBS: RODANDO O GRAFO NOS DOIS ALGORITMOS AS RESPOSTA DERAM IGUAIS

arestas sombreadas: (A, B) (B, C) (E, D) (F, E) (A, F) (A, G)

arestas sombreadas: (A, B) (D, C) (E, D) (F, E) (A, F) (A, G)

Na Técnica de ordenaçã topológica tem-se como resultado uma ordenação linear dos vértices tal que se um grafo tem uma aresta (u,v) então u aparece antes de v. O grafo da questão anterior é não direcionado portanto não é possível.

O algoritmo Bellman-Ford resolve o problema de caminhos mais curtos de uma única origem no caso mais geral, no qual os pesos das arestas podem ser negativos. Este algoritmo retorna um valor booleano indicando se existe ou não um ciclo de peso negativo acessível a partir da origem. Se existir esse ciclo, o algoritmo alerta que não tem solução. Caso contrário o algoritmo produz os caminhos mais curtos e seus pesos.