Exercícios Resolvidos de Mola
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Lista de Exercícios: soluções - Unidade 2
2.1 Uma lâmina de aço de espessura (ou altura) t = = 3 mm, comprimento L = 300 mm, largura b = 20 mm, módulo de elasticidade E = = 210 x 109 Pa tem a sua face plana paralela ao plano horizontal e é usada como uma mola simplesmente simplesmente apoiada nas duas extremidades para suportar uma massa na metade de seu comprimento. (a) Determinar a constante de mola para a força e deslocamento na direção vertical, na posição da massa. (b) Quais as modificações que se fariam nas dimensões da viga para duplicar a sua constante de mola? (c) Determinar a constante de mola se duas lâminas são usadas uma em cima da outra com lubrificante entre elas (não há atrito). (d) Encontrar a constante de mola se duas lâminas são usadas uma em cima da outra e soldadas juntas. Dados: t = = 3 mm, L = 300 mm, b = 20 mm, E = = 210 x 10 9 Pa (a) Viga bi-apoiada sob flexão com I k
bt 3
0,02 0,0033
48 EI
k
L3
45 1012 m4
12 12 48 EI 48 210 10 9 45 10 12
L3
0,3 3
16,8 10 3 N/m
(b) Para duplicar a constante de mola da viga podem ser adotadas as seguintes soluções: 1. Diminuir o comprimento para L 3
48 EI 2k
3
48 210 10 9 45 10 12 2 16,8 10 3
0,238 m
2. Aumento do momento de inércia (dimensões (dimensões da seção transversal) 2kl 3
I
48 E
2 16,8 103 0,33 48 210 10
9
9 1011 m4
(c) A configuração proposta consitui-se em uma associação em paralelo, implicando na duplicação da rigidez, de forma que k 2 16,8 103 33,6 103 N/m (d) Desta forma a espessura da viga é duplicada t = = 6 mm I k
bt 3
12 48 EI 3
0,02 0,0063
360 1012 m4
12 48 210 10 9 360 10 12
L
0,3
3
134 10 3 N/m
2.2 Uma máquina de massa m = 500 kg é montada em uma viga de aço bi-apoiada, de comprimento L = 2 m, que possui uma seção transversal retangular (espessura = 0,1 m, largura = 1,2 m) e E = 210 x 10 9 N/m2. Para reduzir a flecha no centro da viga foi colocada uma mola de rigidez k , como mostra a Fig. 2.1. Determinar o valor de k necessário necessário para reduzir a flecha da viga para um terço do seu valor original (sem a mola). Assumir que a massa da viga é desprezível. m k
Figura 2.1 Dados: m = 500 kg, L = 2 m, t = = 0,1 m, b = 1,2 m e E = = 206 x 10 9 N/m2. Como o momento de inércia (em relação à linha elástica) de uma viga é 3
I
b t
12
1,2 0,1
3
12
1,00 10 4 m 4
A rigidez de uma viga bi-apoiada com carga concentrada no centro é k v
48 EI 3
L
48 210 10 9 1,00 10 4 2
3
126 10 6 N/m
A mola de rigidez k se se associa em paralelo (observar que aumenta a rigidez) com a viga. Para que a flecha seja reduzida para um terço de seu valor inicial tem-se fina na l
viga
3
P
k eq
P k v 3
De onde k eq k v k 3 k v k 2k v 2 123,6 10 6 252 10 6 N/m
2.3 O eixo de um elevador em uma mina está suspenso por dois cabos de comprimento L = 150 m e diâmetro d = 20 mm cada. Os cabos são feitos de aço com módulo de elasticidade E = = 210 x 10 9 Pa. (a) Determinar a constante de mola do sistema se for aplicada uma carga vertical na extremidade inferior do eixo para deslocamento na direção vertical. (b) Determinar como a constante de mola irá variar se o número de cabos for aumentado para quatro. (c) Determinar como a constante de mola irá variar se o diâmetro do cabo mudar para 30 mm (com dois cabos). Dados: L = 150 m, d = 20 mm, E = = 210 x 10 9 Pa. (a) k
EA L
Ed 2 4 L
210 10 9 0,02 2 4 150
440 10 3 N/m
Com dois cabos em paralelo k eq 2k 880 10 3 N/m
(b) k eq 4k 1,76 10 6 N/m (c) k
EA L
Ed 2 4 L
210 10 9 0,03 2 4 150
990 10 3 N/m
k eq 2k 1,98 10 6 N/m
Comparando os resultados dos itens a) e c), ocorreu uma variação de 2,25 vezes na rigidez para uma ampliação de 50% no diâmetro do cabo. 2.4 Um sistema de barra de torção de uma suspensão automotiva possui comprimento comprimento L = 1,5 m e diâmetro d = = 18 mm. O módulo de elasticidade transversal é G = 85 GPa. (a) Determinar a rigidez torsional da barra para torques aplicados em ambas extremidades. (b) Determinar a rigidez torsional se o material da barra for bronze com G = 41 GPa. Dados: l = = 1,5 m, d = = 18 mm, G = 85 GPa (a) J
k t
d d 4 32
GJ L
0,0184 32
10,3 109 m 4
85 10 9 10,3 10 9 1,5
N.m/rad 584 N.m/rad
(b) Com G = 41 GPa k t
GJ L
41 10 9 10,3 10 9 1,5
N.m/rad 282 N.m/rad
2.5 Uma mola de lâminas múltiplas consiste de três lâminas de aço de comprimento L = 0,3 m, largura b = 0,10 m e espessura t = 0,005 m (Fig. 2.2). Determinar a constante de mola para deflexão vertical se o módulo de elasticidade é E = 210 x 10 9 Pa e o bloco de conexão é rígido. Notar que as extremidades das lâminas permanecem sempre sempre horizontais. horizontais.
Figura 2.2 Dados: L = 0,3 m, b = 0,10 m, t = = 0,005 m e E = = 210 GPa Uma viga bi-engastada, com carregamento P concentrado concentrado no seu centro, possui uma deformação igual a 3
PLviga 192 EI
Cada uma das 3 lâminas é uma viga engastada com a sua extremidade condicionada a uma deformação vertical, sem girar. Desta forma ela pode, em função da simetria, ser considerada como a metade de uma viga bi-engastada com carregamento concentrado no centro. Desta forma pode-se dizer que será necessário o dobro da carga para produzir uma igual deformação em uma viga bi-engastada com o dobro do comprimento de cada lâmina. F F 3 2 2 L 3 3 k
192 EI
de onde F 0,1 0,0053 12 210 10 9 3 12 EI 12 k 97,2 103 N/m 3 3
L
0,3
Como são três lâminas que sofrem a mesma deformação, estão associadas em paralelo de forma que a rigidez equivalente é k eq 3k 292 103 N/m
2.6 Uma mola torsional conectando dois eixos, consiste de oito barras de d = = 8 mm, conectadas como mostrado, em um círculo de um raio R = 100 mm, na Fig. 2.3. Se o seu comprimento é l = 250 mm e o módulo de elasticidade do material na mola é E = = 210 GPa, calcular a constante de mola torsional e notar que cada barra está carregada em flexão com a sua extremidade permanecendo permanecendo perpendicular aos discos.
Figura3 Dados: d = = 8 mm, R = 100 mm, l = = 250 mm E = = 210 GPa, Cada barra se comporta como as lâminas do exercício anterior, submetidas a flexão, de forma que sua rigidez é
k barra
P 12 EI
l 3
A rigidez torsional proporcionada por cada barra é determinada por k t
M t
P R k barra R 2 R
12 210 10 9
12 EI R 3
2
0,008 4 64
l
0,25
3
0,12 N.m/rad 324 N.m/rad
Como são 8 molas combinadas proporcionando um efeito torsional equivalente a uma associação em paralelo (mesma deformação), a rigidez torsional equivalente é k t eq 8k t 8 324 2,59 103 N.m/rad N.m/rad
2.7 Uma barra de torção consiste de três segmentos com diâmetros de 30, 40, e 50 mm e comprimentos de 400, 600, e 500 mm, respectivamente, conectados em série de forma a formar um eixo reto. Se G = 105 GPa, determinar a constante de mola torsional. Dados: d 1 = 30 mm, d 2 = 40 mm, d 3 = 50 mm, l 1 = 400 mm, l 2 = 600 mm, l 3 = 500 mm, G = 105 GPa. k t 1 k t 2 k t 3
k eq
GI P 1 l 1 GI P 2 l 2 GI P 3 l 3
1 k t 1
G d 14
32l 1 4 2
32l 2 4 3
G d
32l 3
k t 2
105 10 0,04
4
32 0,6 105 10 9 0,05 4 32 0,5
1
20,9 10 3 N.m/rad N.m/rad
32 0,4 9
G d
1 1
105 109 0,034
k t 3
1 20,9 103
N.m/rad 44,0 10 3 N.m/rad N.m/rad 129 10 3 N.m/rad
1 1 44,0 103
1
N.m/rad 12,8 103 N.m/rad
129 103
2.8 Uma mola helicoidal usada em uma transmissão de caminhão tem diâmetro do arame d = = 10 mm, diâmetro D = 100 mm e tem 15 espiras, módulo de elasticidade transversal G = 81 GPa. (a) Encontrar a constante de mola axial. (b) Encontrar a constante de mola axial se for dobrado o número de espiras. (c) Encontrar a constante de mola se duas molas estão conectadas em paralelo. (d) Encontrar a constante de mola se duas molas são conectadas em série. Dados: d = = 10 mm, D = 100 mm, n = 15 espiras e G = 81 GPa. 4
(a) k (b) k
8nD 8nD
3
Gd 4 3
81 10 0,01 9
Gd
4
8 15 0,1
3
81 10 9 0,014 8 30 0,1
3
6,75 10 3 N/m 3,38 103 N/m
(c) k eq 2k 13,5 103 N/m (d) k eq
k 2
3,38 10 4 N/m
2.9 Uma mola de retorno de uma manivela Fig. 2.4 possui seis espiras e é feita de aço com E = = 2,1 x 10 11 Pa, d = = 3 mm e de Di = 30 mm. Determinar a constante torsional da mola. Dados: E = = 210 GPa, d = = 3 mm, Di = 30 mm e n = 6. = 3 + 30 D = Di + d = k t
Ed 3 32nD
= 33 mm
210 109 0,0033 32 6 0,033
N.m/rad 895 N.m/rad
Figura 2.4 2.10 Determinar a constante de mola equivalente para o sistema mostrado na Fig. 2.5, na direção de
Figura 2.5 U
U
1 2 1
2 k eq
k t 1 2
1
k t 2 2
1
1 1 k k l k l k k k k l k l 2
1
2 2 2 k eq k t 1 k t 2 k 1 k 2 l 12 k 3l 22
2
1
2
2
3
2
2
t 1
t 2
1
2
2 1
3 3 2
2
2.11 Determinar a constante de mola equivalente torsional para o sistema mostrado na Fig. 2.6 Os três segmentos de eixos, com rigidezes k 1, k 2 e k 3, estão submetidos à torção estão associados em série, possuindo rigidez rigidez equivalente: k eq1
1 k 1
1 1 k 2
1
k 1k 2 k 3 k 1k 2 k 2 k 3 k 1k 3
k 3
Combinando-se com o quarto segmento de eixo, localizado do outro lado do disco, de rigidez torcional k 4, ocorre uma associação em paralelo: k eq2 k eq1 k 4 As duas molas de rigidezes k 5 e k 6 estão associadas em paralelo, possuindo rigidez equivalente k eq3 k 5 k 6
Figura 2.6 As duas molas de rigidezes k 7 e k 8 estão associadas em série, possuindo rigidez equivalente k eq 4
1 1 k 7
1
k 7 k 8
k 7 k 8
k 8
Os segmentos de eixo estão submetidos à torção , enquanto que as molas estão submetas a uma deformação linear igual a x R A energia potencial total é igual à soma das energias potenciais armazenadas em cada um dos elementos deformados (segmentos de eixos e molas) U
1 2
k eq 2 2
1 2
k eq3 x 2
1 2
k eq 4 x 2
1 2
k
eq 2
k eq3 R 2 k eq 4 R 2 2
Substituindo os termos das rigidezes U
1
k 1k 2 k 3 k k k 5 k 6 7 8 R 2 2 k 4 2 k 1k 2 k 2 k 3 k 1k 3 k 7 k 8
De forma que a rigidez torcional equivalente é k eq k 4
k k k 5 k 6 7 8 R 2 k 1k 2 k 2 k 3 k 1k 3 k 7 k 8 k 1k 2 k 3
2.12 Determinar o comprimento do eixo vazado uniforme de diâmetro interno d e espessura t que possui a mesma constante de mola axial que o eixo sólido cônico mostrado na Fig. 2.7.
D
d
l
Figura 2.7 k l 1
EDd 4l
EA
4lt d t Dd
l 1
E
d e2 d i2 4 l 1
E d 2t d 2 2
4l 1
E 4dt 4t 2
4l 1
2.13 Determinar a massa equivalente referente à coordenada x para o balancim mostrado na Fig. 2.8.
Figura 2.8 A massa m2 se movimenta com velocidade x , a o balancim com velocidade angular
a
x b
e a massa m1
com velocidade linear a x .
b
A energia cinética total é igual à soma das energias cinéticas de cada uma das inércias (massas em translação e balancim em rotação), dada por 2
2
2
1 1 1 a 1 1 1 a T m1 x 2 J O 2 m2 x 2 m1 x 2 J O x 2 m2 x 2 2 b 2 2 2 b 2 b 2 2 2 2 1 a 1 T m1 J O m2 x 2 b b 1
De forma que a massa equivalente é meq
m1a 2 J O b
2
m2
2.14 Duas massas, com momentos de inércia de massa J 1 e J 2, são colocadas em eixos rígidos rotativos que são ligados por engrenagens, como mostra a Fig. 2.9. Se o número de dentes nas engrenagens 1 e 2 são n1 e n2, respectivamente, determinar o momento de inércia de massa equivalente correspondente a 1.
Figura 2.9 Energia cinética 1 1 EC J 1 12 J 2 22 2 2
Relação de transmissão 1n1 2 n2 Então
2 2 n1 2 1 n1 2 EC J J 2 1 J 1 J 2 1 2 2 n2 2 n2
1
1
2 1 1
Momento de inércia equivalente 2
n J eq J 1 1 J 2 n2
2.15 Determinar o momento de inércia de massa equivalente do trem de engrenagens mostrado na Fig. 2.10, com referência ao eixo de acionamento. Na Fig. 2.10, J i e ni são os momentos de inércia de massa e os números de dentes, respectivamente, das engrenagens i, i=1,2, ... , 2 N .
Figura 2.10 Energia cinética EC
2 N
1
2 J i
2 i
i 1
Relações de transmissão ni i ni 1 i 1 2
n n n EC J 2i J 2i 1 1 3 2i 1 12 2i i 0 2 n2 n4 N
1
Então 1 N
n n n EC J 2i J 2i 1 1 3 2i 1 2 i 0 2i n2 n4
2
12
Momento de inércia equivalente
n n n J eq J 2i J 2i 1 1 3 2i 1 2i i 0 n2 n4 N
2
2.16 Um oscilador harmônico possui massa m = 1,2 kg e constante de rigidez k = 8,5 kN/m. Determinar a freqüência natural em rad/s, Hz, cpm (ciclos por minuto). Dados: m = 1,2 kg, k = 8,5 kN/m k
n f
m
2
8500
84,2 2
1,2
84,2 rad/s
13,4 Hz (13,4 60) cpm 804 cpm
2.17 Um oscilador harmônico possui massa m = 10 kg e período de vibração natural, medido em um osciloscópio, igual a 35 ms. Determinar a constante de mola. Dados: m = 10 kg, T n = 35 ms. k m n m2 f n 2
2
4 2 m 2
T n
4 2 10 0,035
2
322 103 N/m
2.18 Um automóvel com massa de 2000 kg deforma suas molas da suspensão 0,02 m sob condições estáticas. Determinar a freqüência natural do automóvel na direção vertical assumindo que o amortecimento seja desprezível. Dados: m = 2000 kg, st = 0,02 m k
n
m
g
st
9,81
0,02
22,1 rad/s
2.19 Uma prensa industrial está montada sobre uma camada de borracha para isolá-la de sua base. Se a borracha está comprimida 5 mm pelo peso próprio da prensa, determinar a freqüência natural do sistema. mg k st
k
n f n
m n
m
g
2
k
st
44,3
g
st
9,81 0,005
44,3 rad/s
7,05 Hz
2
2.20 Um sistema massa-mola possui um período natural de 0,21 seg. Qual será o período se a constante de mola é (a) aumentada em 50 % ? (b) reduzida em 50 % ? Dados: T n = 0,21 seg T n
2
n
m
2
k
0,21 s
(a) Rigidez aumentada em 50 % ? T n 2
m 1,5k
1
1,5
0,21 0,171s
(b) Rigidez reduzida em 50 % ? T n 2
m 0,5k
1
0,5
0,21 0,297 s
2.21 Um sistema massa-mola tem uma freqüência natural de 10 Hz. Quando a constante de mola é reduzida em 800 N/m, a freqüência natural é alterada em 45 % (a diferença). Determinar a massa e a constante de mola do sistema original. Dados: f n = 10 Hz, k = 800 N/m. k m
n 2 f n 2 10 20 rad/s
k m n2 m20
2
0,55 n
k 800
Resolvendo
m
m20 800 2
m
0,55 20
800
m
1 0,55 20
2
2
0,291 kg
k m20 0,2905 20 1,15 103 N/m 2
2
2.22 Um oscilador harmônico de massa m = 1 kg e rigidez k = 40 kN/m possui uma freqüência natural próxima à freqüência excitadora. Decidiu-se que se deveria mudar a massa ou a rigidez para diminuir a freqüência natural em 30% (a diferença). Determinar as possíveis mudanças requeridas. Dados: m = 1 kg e k = 40 kN/m k
n
m
40000
1
200 rad/s
n1 0,7 n 0,7 200 140 rad/s
Mantendo a massa k 1 m n21 11402 19,6 kN/m Mantendo a rigidez m1
k 2 n1
40000 140 2
2,04 kg
ou uma infinita combinação de parâmetros garantido que n1 140 rad/s 2.23 Uma mola helicoidal, quando fixada em uma extremidade e carregada na outra, requer uma força de 100 N para produzir um alongamento de 10 mm. As extremidades da mola estão agora rigidamente fixadas e uma massa de 10 kg é colocada no ponto médio de seu comprimento. Determinar o tempo necessário para completar um ciclo de vibração quando a massa vibra. Dados: F = 100 N, = 10 mm e m = 10 kg. k
F
100 0,010
10,0 kN/m
Quando dividida em duas a constante de mola se torna 1 k 1 2 k 1
1 k 1
1 k
1 10000
1 10000
k 1 20,0 kN/m
Na nova configuração, as duas metades estão associadas em paralelo k eq 2k 1 2 20000 40,0 kN/m O tempo para cumprir um ciclo é T n 2
m k
2
10 40000
99,3 ms
2.24 O cilindro de um servo-mecanismo mostrado na Fig. 2.11 possui um pistão com m = 0,3 kg e está suportado por uma mola helicoidal de d = 1 mm, D = 10 mm, 10 espiras e G = 105 GN/m2. Determinar a freqüência natural da vibração do pistão se não há óleo no cilindro.
Figura 2.11
Dados: m = 0,3 kg, d = 1 mm, D = 10 mm, n = 10 espiras e G = 105 GN/m2. k
Gd 4 8nD 3 k
n
m
n
f n
8 10 0,013 1,31 10
2
105 10 9 0,0014 3
0,3
66,1
1,31 kN/m
66,1 rad/s
10,5 Hz
2
2.25 O cilindro de uma válvula mostrado na Fig. 2.12 tem um pistão com m = 0,2 kg e é suportado por uma mola helicoidal de 6 espiras com d = 2 mm, D = 30 mm, G = 105 GN/m2, determinar a freqüência natural de vibração do pistão se não há fluido na válvula.
Figura 2.12 Dados: m = 0,2 kg, n = 6 espiras, d = 2 mm, D = 30 mm e G = 105 GN/m2. k
Gd 4 8nD
k
n f n
3
m
n 2
105 10 9 0,002 4 8 6 0,03
3
1,30 10 3
0,2
80,5 2
1,30 kN/m
80,5 rad/s
12,8 Hz
2.26 Uma unidade de ar-condicionado está ligada ao solo por quatro molas de borracha. A massa da unidade é 300 kg e se deseja que a freqüência natural para vibração vertical esteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixa permissível da constante de cada mola. Dados: m = 300 kg, f n = entre 32 e 40 Hz. n 2 f n 64 a 80 rad/s Rigidez 4k m n2 300 64
2
k min k max
4 2 300 80 4
3,03 MN/m 4,74 MN/m
2.27 Um desumidificador de ar está suspenso no teto por 4 barras de meio metro de comprimento, posicionadas fixamente. A massa da unidade é de 200 kg e se deseja que a freqüência natural para vibração vertical seja maior do que 30 Hz e para vibração horizontal esteja entre 10 e 15 Hz. Determinar a faixa permissível para os diâmetros das barras. E = 210 GN/m2. Dados: 4 barras, l = 0,5 m, m = 200 kg, f n > 30 Hz (vertical), 10 Hz ≤ f n ≤ 15 Hz (horizontal) e E = 210 GN/m 2. n min 2 f n min 20 rad/s n max 2 f n max 30 rad/s
Limites para a rigidez horizontal (flexão)
k min m n2min 200 20 790 kN/m 2
k max m n2max 200 30 1 ,78 MN/m 2
Rigidez horizontal – flexão (assumindo viga em balanço) d 4
4 3 210 10 9
3 EI k 4 3 l d min 4 d max
4
0,5
k min 990 10 k max 990 10
790 10 3
4
9
9
64 990 10 9 d 4
3
990 10
4
29,9 mm
9
1,78 10
6
990 10
9
36,6 mm
Rigidez horizontal – flexão (assumindo duplo engaste) 12 EI 3 l
4 12 210 10 9
k 4 d min
4
d max 4
0,5
k min 3,96 10
12
k max 3,96 10
12
4 4
3
790 10
d 4 64 3,96 1012 d 4
3
3,96 10
12
1,78 10
21,1 mm
6
3,96 10
12
25,9 mm
Rigidez vertical – tração-compressão n min 2 f n min 60 rad/s k min m n2min 200 60 7 ,11 MN/m 2
4 210 10 9
EA l
k 4
d min
k min 1,32 1012
d 2 4
0,5
7,11 106 1,32 1012
1,32 1012 d 2 2,32 mm
2.28 Um coletor de lixo limpo está fixado no solo por 4 colunas de seção tubular retangular de espessura 5 cm e comprimento 0,5 m. A massa da unidade é 500 kg e se deseja que a freqüência natural para vibração horizontal esteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixa permissível para a largura da sessão tubular. E = 210 GN/m2. Dados: 4 colunas de seção retangular, t = 5 cm, l = 0,5 m, m = 500 kg , 32 Hz ≤ fn ≤ 4 0 Hz (horizontal) e E = 210 GN/m2. n min 2 f n min 64 rad/s n max 2 f n max 80 rad/s
Limites para a rigidez horizontal (flexão) k min m n2min 500 64 20,2 MN/m 2
k max m n2max 500 80 31 ,6 MN/m 2
Rigidez horizontal – flexão (assumindo viga em balanço) bt 3 3 E 210 109 0,053 b 12 k 4 210 106 b 3 3 l 0,5
bmin bmax
k min 210 10 k max
6
210 10 6
20,2 10 6 210 10 6 31,4 10 6
210 10 6
96,3 mm 150 mm
Rigidez horizontal – flexão (assumindo duplo engaste) bt 3 12 E 4 210 109 0,053 b 12 840 106 b k 4 3 3 l 0,5 6 k min 20,2 10 24,1 mm bmin 6 6 840 10 840 10 6 k max 31,4 10 37,6 mm bmax 6 6 840 10 840 10
2.29 Um purificador de ar está fixado no solo por 6 pilares sólidos de ferro de forma retangular, com 100 mm de largura por 50 mm de espessura, com comprimento 2 m, fixados tanto no solo como na unidade. A massa da unidade é 800 kg. Determinar as freqüências naturais horizontais nas duas direções. E = 210 GN/m2. Dados: 6 pilares, b = 100 mm, t = 50 mm, l =2 m, m = 800 kg e E = 210 GN/m2. Rigidez horizontal – primeira direção – flexão (assumindo viga em balanço) bt 3 3 E 9 3 12 6 3 210 10 0,1 0,05 492 kN/m k 6 l 3 12 2 3 n
k m
492 10
3
24,8 rad/s
800
Rigidez horizontal – segunda direção – flexão (assumindo viga em balanço) tb 3 3 E 9 3 12 6 3 210 10 0,05 0,1 1,97 MN/m k 6 3 l 3 12 2 n
k m
1,97 10
6
49,6
800
rad/s
Rigidez horizontal – primeira direção – flexão (assumindo duplo engaste) 3 bt 12 E 9 3 6 210 10 0,1 0,05 12 1,97 MN/m k 6 l 3 23
n
k m
1,97 10
6
49,6 rad/s
800
Rigidez horizontal – segunda direção – flexão (assumindo duplo engaste) 3 tb 12 E 9 3 12 6 210 10 0,05 0,1 7,88 MN/m k 6 l 3 23
n
k m
7,88 10 800
6
99,2 rad/s
2.30 Um pequeno compressor está apoiado em quatro molas de borracha que possuem constantes de rigidez 3,0 kN/m cada uma, na direção vertical, e 4,0 kN/m na direção horizontal. A massa da unidade é 30 kg. Determinar as freqüências naturais para vibrações horizontal e vertical. Dados: quatro molas de borracha, kv = 3,0 kN/m, kh = 4,0 kN/m e m = 30 kg. Direção horizontal 4k h
nh f nh
m
nh 2
4 4000
30
23,09
23,1 rad/s
3,68 Hz
2
Direção vertical nv f nh
4k hv m
nh 2
4 3000
30
20,0 2
20,0 rad/s
3,18 Hz
2.31 O núcleo móvel de um relé eletromagnético mostrado na Fig. 2.13 possui massa m = 12 gr, e está suportado por uma mola com k = 3,0 kN/m. Quando energizado, fecham-se os contatos, que estão montados em lâminas flexíveis de espessura 0,8 mm e 6 mm de largura. A lâmina móvel possui comprimento de 20 mm e as estacionárias possuem comprimentos de 15 mm cada. Determinar a freqüência natural com o relé aberto e fechado. E = 210 GN/m2.
Figura 2.13 Dados: m = 12 gr, k = 3,0 kN/m, t = 0,8 mm, b = 6 mm, l1 = 20 mm, l2 = 15 mm e E = 210 GN/m2. Com o relé aberto: n f n
k m
n 2
3000 0,012
500 2
500 rad/s
ou
79,6 Hz
Com o relé fechado a) lâmina móvel – dupla viga engastada 3 210 10 9
k 1
3 EI
l 1 2
3
0,006 0,0008
0,02 2
b) lâmina fixa – viga engastada
12 3
3
161 kN/m
0,006 0,0008
3
3 210 10 9
k 2
3 EI 3
l 2
12 3
0,015
47,8 kN/m
De cada lado ocorre associação em série de k 1 e k 2 k eq1
k 1k 2 k 1 k 2
3 3 161 10 47,8 10
161 103 47,8 103
36,9 kN/m
Estes dois conjuntos estão associados em paralelo k eq 2k eq1 2 36,9 103 73,7 kN/m A freqüência natural com relé fechado será n f n
k eq m
73728 3000 0,012
2,53 103 rad/s ou
n 2,53 103 402 Hz 2 2
2.32 Achar a freqüência natural de vibração do sistema massa-mola montado em um plano inclinado, como mostrado na Fig. 2.14.
Figura 2.14 k 1 x k 2 x mg sin m x sendo x1 medido a partir da posição de equilíbrio estático k 1 x1 st k 2 x1 st mg sin mx1 k 1 k 2 st mg sin m x1 k 1 k 2 x1 0 pela condição de equilíbrio estático. A freqüência natural é k 1 k 2 n m
2.33 Determinar a expressão para a freqüência natural do sistema mostrado na Fig. 2.15, considerando desprezíveis as massas das plataformas.
Figura 2.15
Viga engastada k 1
3 E 1 I 1 3
l 1
Viga bi-apoiada k 2
48 E 2 I 2 3
l 2
Constante de mola equivalente, associação em paralelo k eq k 1 k 2 Freqüência natural k eq
n
m
g k 1 k 2
W
g 3 E 1 I 1
3 W l 1
48 E 2 I 2 3
l 2
2.34 Uma mola helicoidal de rigidez k é cortada em duas metades e uma massa m é conectada às duas metades como mostra a Fig. 2.16(a). O período natural deste sistema é 0,5 seg. Se uma mola idêntica é cortada de forma que uma das partes tenha ¼ de seu comprimento enquanto que a outra parte tenha ¾, com a massa sendo conectada às duas partes como mostra a Fig. 2.16(b), qual será o período natural do sistema?
Figura 2.16 Uma mola pode ser considerada como duas metades associadas em série, de forma que k 1 2k cada metade As duas metades associadas em paralelo, como mostra a Fig. 2.16a, possuem rigidez k eq 2k 1 4k Freqüência natural 4k
n k m
m
2
k
m
2 T n
2 0,5
2
Para a divisão mostrada na Fig. 2.16b, dividindo a mola em 4 k 2 4k Associando 3 em série k 3
1
k 2
1 1
k 2
1
4k 3
k 2
Associando k 2 e k 3 k eq k 2 k 3 4k
4k 3
16k 3
Freqüência natural 16k 4 k 4 ,5 rad/s n1 2 14 3m 3 m 3 Período 2 2 0,433 s T n1 n 14,5
2.35 Três molas e uma massa estão presas a uma barra rígida PQ, sem peso, como mostra a Fig. 2.17. Achar a freqüência natural de vibração do sistema.
Figura 2.17 Do diagrama de corpo livre da barra PQ, considerada como de massa desprezível, a 2ª Lei de Newton para movimentos angulares (Lei de Euler), pode ser escrita para momentos em relação ao ponto P como k 1l 12 k 2 l 22 k 3l 3 l 3 x 0 De onde se tem que
x k 1l 1 k 2 l 2 k 3 l 3
k 3 l 3
2
2
2
Do diagrama de corpo livre da massa m, a 2ª Lei de Newton pode ser escrita para as forças atuantes na massa k 3 l 3 x mx Substituindo a segunda expressão na terceira chega-se à equação do movimento em x
x
k 3 k 1l 12 k 2 l 22 mk 1l 12 k 2 l 22 k 3 l 32
x0
De onde se extrai a freqüência natural como sendo k 3 k 1l 1 k 2 l 2 2
n
2
mk 1l 1 k 2 l 2 k 3 l 3 2
2
2
2.36 O sistema mostrado na Fig. 2.18 modela o mecanismo de contato de um relé eletro-mecânico. (a) Determinar sua freqüência natural de oscilação em torno do pivô. (b) De determinar o valor da rigidez k que resultará em duas vezes a sua freqüência natural.
Figura 2.18 Equação do movimento 2 2 W l l k I O a 2 g 2 2
W l
2 l a k 0 g 2 2 2
2
a) Freqüência natural 2
k
n
l
2
4
2 2 W l 4a
g
4
kl g 2 2 W l 4a
b) Como a rigidez é proporcional ao quadrado da freqüência natural, é necessário quadruplicá-la para dobrar a freqüência natural. 2.37 O sistema mostrado na Fig. 2.19 modela o braço de um mecanismo de elevação de peso. Determinar sua freqüência natural de oscilação em torno do ponto A.
Figura 2.19 Equações do movimento k 1l 2 k 2 L L x 0 k 2 x L mx
Da primeira x
k 1l 2 k 2 L2 k 2 L
e x
k 1l 2 k 2 L2 k 2 L
substituindo na segunda k 1l 2 k 2 L2 k l 2 k 2 L2 k 2 1 L 0 k 2 L k 2 L
m
resultando em mk 1l 2 k 2 L2 k 2 k 1l 2 0 ou então
k 1k 2l 2
mk 1l 2 k 2 L2
0
Freqüência natural 2
n
k 1k 2l
mk 1l k 2 L 2
2
2.38 Para o pêndulo invertido mostrado na Fig. 2.20 que modela um tipo de sismógrafo: (a) Determinar a freqüência natural. (b) Se a mola k 1 é removida para que o valor da constante de mola k 2 a freqüência natural será zero?
Figura 2.20 a) Freqüência natural mgL k 2 h22 k 1h12 mL2
k 1h12 k 2 h22 mgL 0 mL2
k 1 h12 k 2 h22 mgL
n
mL2
b) Com k 1 = 0 para fazer com que a freqüência natural se anule é necessário que 2 k 2 h2 mgL k 2
mgL 2
h2
2.39 Para o pêndulo controlado mostrado na Fig. 2.22 modelando um relógio: (a) Determinar a freqüência natural. (b) Para que valor da massa m2 a freqüência natural será zero?
Figura 2.21 (a) Equação do movimento m2 gL2 m1 gL1 m1 L12 m2 L22
m L 1
2 1
m2 L22 m1 gL1 m2 gL2 0
Freqüência natural n
m L m L g 1
2
2
m1 L1 m2 L2 2
(b) n m2 m1
1
L1 L2
2
m L m L g 0 m L m L 0 1
1
2
2
m1 L1 m2 L22 2
1
1
2
2
2.40 Uma barra uniforme rígida de massa m e comprimento l está articulada no ponto A e ligada a cinco molas como mostra a Fig. 2.22. Achar a freqüência natural do sistema se k = 2 kN/m, k t = 1 kN.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m.
Figura 2.22 Dados: k = 2,0 kN/m, k t = 1,0 kN.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m. Momento de inércia da barra 2
I G
ml 12
em relação a A 2
2l l I A I G d m m 12 3 2 ml 2
2
2
2 2 2 3ml ml ml l m 12 6 36 9 2
I A
ml
Equação do movimento 2
2
l 2l 2k 2k k t I A 3 3 2 2 ml 10kl k t 0 9 9
Freqüência natural 9k t 10kl
2
n
ml 2
9 1000 10 2000 52 10 52
45,1 rad/s
2.41 Um cilindro de massa m e momento de inércia J 0 rola livremente, sem deslizar, mas tem seu movimento restrito por duas molas de rigidez k 1 e k 2 como mostra a Fig. 2.23. Achar a freqüência natural de vibração e o valor de a que maximiza a freqüência natural.
Figura 2.23 Rotação pura em torno do ponto de contato 2 2 k 1 R a k 2 R a J O mR2
J
mR2 k 1 k 2 R a 0 Freqüência natural
2
O
k k R a
k 1 k 2
2
n
1
J
2
O
mR
2
R a
J
O
mR2
Para maximizar a = R 2.42 Achar a equação do movimento da barra rígida uniforme AO, de comprimento l e massa m mostrada na Fig. 2.24. Achar também sua freqüência natural.
Figura 2.24 2
ml 2 l J O m 12 3 2 ml 2
k 1 a 2 k 2 l 2 k t ml 2 3
ml 2 3
k 1 a 2 k 2 l 2 k t 0
3k 1 a k 2 l k t 2
n
2
2
ml
2.43 Um disco circular uniforme, de massa m, é pivotado no ponto O como mostra a Fig. 2.25. Achar a freqüência natural do sistema. Momento de inércia em relação ao centro do disco ma 2 J C 2
Figura 2.25 Equação do movimento ma 2 mgb mb2 2 2 a b 2 gb 0 2
Freqüência natural 2 gb
n
a 2b 2
2
2.44 O sistema mostrado na Fig. 2.26 modela o braço de um sismógrafo vertical. (a) Determinar sua freqüência natural de oscilação em torno do pivô. (b) Determinar o valor da rigidez k que resultará no dobro da sua freqüência natural
Figura 2.26 Equação do movimento ka 2 mL2 ka 2 0 mL2
a) Freqüência natural n
ka
2
mL2
b) Rigidez para dobrar a freqüência natural k 1 4k 2.45 Uma massa m é montada na extremidade de uma barra de massa desprezível e pode assumir três diferentes configurações como mostra a Fig. 2.27. Determinar a configuração que proporciona a maior freqüência natural.
Figura 2.27 g
a) n
l
b) mgl k a 2 ml 2
mgl k a 2 0 ml 2
ka 2 mgl
n
ml 2
g
l
ka 2 ml 2
c) mgl k a 2 ml 2
k a 2 mgl 0 ml 2
ka 2 mgl
n
2
ml
ka 2 2
ml
g l
A configuração que proporciona a maior freqüência natural é a b). 2.46 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.28, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é .
Figura 2.28 Momento de inércia do retângulo em relação ao seu centro J
m 12
a
2
b2
Momento de inércia do quadrado em relação ao seu centro J 1
m1a 2 6
Massa do quadrado sem o furo – espessura unitária m1 a 2 Momento de inércia do círculo em relação ao centro
2
D m D 2 J 2 m2 2 2 2 8 1
Massa do círculo (a ser retirada) m2
D 2 4
Massa total 2 D 2 m m1 m2 a 4
Momento de inércia total em relação ao centro J O J 1 J 2
1 6
a a 2
2
1 D2 D2
2 4 4
a 4 D4 J O 32 6
Momento de inércia em relação ao pivô – Teorema dos eixos paralelos (Steiner) 2 a 4 D 4 2 D 2 D 2 D a J P J O m 32 4 4 2 6 a 4
J P
6
2
a D
2
4
4 3 D
32
Equação do movimento D
mg J P
2
a a 2 D2 3 D 4 2 D2 D g a 0 4 32 4 2 6 4
Freqüência natural n
12 gD4a 2 D 2 4 2 2 4 16a 24a D 9 D
2.47 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.29, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é .
Figura 2.29 Momento de inércia do círculo externo em relação ao seu centro J 1 m1
D 2 8
Momento de inércia do círculo interno em relação ao seu centro J 2 m2
d 2 8
Massa do círculo externo – espessura unitária m1
D 2 4
Massa do círculo interno (a ser retirada) m2
d 2 4
Massa do círculo (a ser retirada) m2
D 2 4
Massa total m m m 1
2
4
D
2
d
2
Momento de inércia total em relação ao centro J O J 1 J 2
1 32
D 4 d 4
Momento de inércia em relação ao pivô – Teorema dos eixos paralelos (Steiner) 2 2 2 1 D d d d 4 4 D d J P J O m 4 4 2 32 D4 3d 4 J P D2 d 2 16 2 2 2
Equação do movimento d
mg J P 2
1 D
3d 4 gd D2 d 2 0 D 2d 2 2 2 2 4
Freqüência natural 4 gd D d 2
n
D
4
2
2 D d 3d 4 2
2
2.48 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.30, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é .
Figura 2.30 Momento de inércia do círculo externo em relação ao pivô J 1 m1
R 2 2
Momento de inércia do círculo interno em relação ao pivô J 2 m2
R 2 R 2 3 m2 m2 R 2 8 4 8
Massa do círculo externo – espessura unitária m1 R 2 Massa do círculo interno (a ser retirada) m2
R 2 4
Massa total 2 3 R
m m1 m2
Novo centróide
4
r 1 0 m1r 1 m2r 2 mr c R r 2 2 R 2 R 3 R 2 r c 4 2 4 R r c 6
Momento de inércia total em relação ao pivô R 2 3 R 2 2 13 R 4 J P J 1 J 2 R 2 R 2 8 4 32
Equação do movimento mgr c J P
13 R 4 3 R 2 R g 0 32 4 6 13 R g 0 4
Freqüência natural 4 g
n
13 R
2.49 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.31, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é .
Figura 2.31 Momento de inércia do disco superior em relação ao seu centro d J 1 m1 1 2 2 1
2
com massa m1
d 12 4
Momento de inércia da barra em relação ao pivô
l b m2 l d 1 J 2 12 2 2 m2
2
com massa m2 bl
2
2
Momento de inércia do disco inferior em relação ao pivô 2
d d d J m l m 2 2 2 2 com massa 1
2
3
3
2
2
1
3
2
m3
d 2 4
Massa total d 2 d 2 2 2 m m1 m2 m3 1 bl 2 d 1 d 2 bl 4 4 4
Novo centróide r 1 0 d l m1r 1 m2 r 2 m3r 3 mr c r 2 1 2 2 d 1 d 2 r 3 2 l 2 d 2 d 2 d d d 2 d l bl 1 2 1 l 2 1 bl 2 r c 4 2 2 4 2 2 4 4bl d 1 l d 22 d 1 2l d 2 r c 2 d 12 4bl d 22
Momento de inércia total em relação ao pivô 2 4 bl 2 l d 1 d 22 4 2 d 2 2l d 1 2 J P J 1 J 2 J 3 d 1 d 2 l b bl 12 16 2 2 32
Equação do movimento mgr c 0 J P
2 2 4 bl 2 l d 1 d 2 4 2 d 2 2l d 1 2 d d l b bl 1 2 12 16 2 2 32 4bl d 1 l d 22 d 1 2l d 2 2 2 d 1 d 2 bl 0 2 2 2 d 1 4bl d 2 4
Freqüência natural n
4bl d 1 l d 22 d 1 2l d 2 2 2 d 1 d 2 bl 2 2 2 d 1 4bl d 2 4 2 2 4 bl 2 l d d 2 4 2 d 1 d 2 l b bl 1 2 d 2 2l d 1 12 16 2 2 32
2.50 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.32, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é .
Figura 2.32
Momento de inércia do quadrado em relação ao seu centro J G
m1a 2 6
Massa do quadrado – espessura unitária m1 a 2 Momento de inércia em relação ao pivô 2
a a 4 a 4 2 a 4 J P J G m1 6 2 3 2
Equação do movimento 2
2a J P m1 g k 2 2 4 2 a 2 a a g 2a 2 k 0 3 2 a
Freqüência natural n
3( ag 2 2 k ) 2 2 a
2
2.51 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.33, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. O elemento possui espessura unitária e as massas das barras vertical e horizontal são iguais a m.
Figura 2.33 Momento de inércia da barra vertical em relação à articulação
L b m L J 1 12 2 m
2
2
2
Momento de inércia da barra vertical em relação à articulação J 2
m 12
L
2
b2 mL2
Momento de inércia da total em relação à articulação J P J 1 J 2
m 6
L
2
Novo centróide L r m1r 1 m2r 2 mr c 1 2 r 2 L m
L 2
mL 2mr c
3 r c L 4
5
b2 mL2
Equação do movimento
4
2mgr c 0 J P
3 m 2 2 5 2 6 L b 4 mL 2mg 4 L 0
Freqüência natural 18 gL
n
2 2 2b 17 L
2.52 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.35, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. O elemento possui espessura unitária e largura desprezível.
Figura 2.34 Momento de inércia da barra em relação à articulação 2
3 5 m L mL2 J 2 6 12 2
mL
Equação do movimento 3
mgr J
2
L 0
3 5 2 6 mL mg 2 L 0
Freqüência natural 3 3 g
n
5 L
2.53 A velocidade máxima atingida pela massa de um oscilador harmônico simples é 10 cm/s, e o período de oscilação é 2 s. Se a massa vibra livremente com deslocamento inicial de 2 cm, achar: (a) a velocidade inicial; (b) a amplitude do deslocamento; (c) a aceleração máxima e (d) o ângulo de fase. Dados: vmax = 10 cm/s, T n = 2 s, x0 = 2 cm. (a) n
2 T n
2 2
x x0 cos nt
rad/s v0
sin nt
n
x n x0 sin nt v0 cos nt vmax v0
x v 2
n
0
2 0
v0
2 vmax n x0
0,12 0,02 77 ,8 mm/s 2
2
(b) n
2
T n
2 2
rad/s 2
v 0,0778 A x 0 0,02 2 31,8 mm n 2
2 0
2
0,0778 2 (c) amax n A 31,8 0 ,02 314 mm/s v 0,0778 (d) tan 1 0 tan 1 0,891 rad 0,02 x0 n 2
2
2
2.54 Uma máquina possui massa m = 250 kg e seu suporte tem rigidez k = 130 kN/m. Se a máquina em sua base é modelada como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, determinar: (a) a freqüência natural e (b) a equação do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direção vertical. Dados: m = 250 kg, k = 130 kN/m e x0 = 1 mm. (a) Freqüência natural k
n
m
130000 250
22,8 rad/s
(b) Equação do movimento A x0 1 mm x 0,001cos22,8t m 2.55 Uma máquina possui massa m = 250 kg e possui freqüência natural para vibração vertical n = 5140 rad/s. Se a máquina em sua fundação é modelada como sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, determinar: (a) a rigidez k do suporte elástico e (b) a equação do movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direção vertical provocada por um impacto. Dados: m = 250 kg, n = 5140 rad/s e v0 = 1 mm/s. (a) Rigidez 2 2 k m n 250 5140 6,60 GN/m (b) A
v0
n
0,001 5140
1,95 10 4 mm
x 1,95 104 sin 5140 t mm
2.56 Uma máquina possui uma rigidez dos suportes k = 5,5 x 10 4 N/m e tem freqüência natural de vibração vertical n = 550 rad/s. Se a máquina em sua fundação é modelada como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, determinar: (a) a massa da máquina e (b) a equação do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mm/s na direção vertical. Dados: k = 5,5 x 10 4 N/m, n = 550 rad/s, x0 = 1 mm e v0 = 130 mm/s. (a) Massa da máquina m
k 55000 0,182 kg 2 n 5502
(b) Equação do movimento 2
v 130 2 X 0 x0 0 1 1,03 mm 550 n 2
2
v0 130 tan 1 0,232 rad 550 1 n x0 x X 0 cos nt x 1,03cos550t 0,232 mm tan 1
2.57 Um instrumento eletrônico tem massa m = 3,4 kg e é suportado por 4 coxins de elastômero com uma rigidez k = 5400 N/m cada. Se o instrumento no seu suporte é modelado como um sistema de um grau de liberdade para vibração vertical, determinar: (a) a freqüência natural e (b) se uma ferramenta pesando 0,5 kgf cai sobre o instrumento medindo-se máxima amplitude de vibração do movimento resultante, igual a 1,7 mm, determinar a velocidade do conjunto imediatamente após o impacto da ferramenta. Dados: 4 coxins, k = 5400 N/m cada, m = 3,4 kg, w1 = 0,5 kgf, X 0 = 1,7 mm. (a) Freqüência natural 4k
n
m
4 5400 3,4
79,7 rad/s
(b) Velocidade 2
v X 0 x0 0 0,0017 m n1 m g 0,5 9,81 x0 1 0,227 103 m k 4 5400 4k 4 5400 n1 74,4 rad/s m m1 3,4 0,5 2
v0 X 02 x02 n1 1,70 2 0,2272 74,4 125 mm/s
2.58 Um instrumento eletrônico tem massa m = 3,4 kg e é suportado por 4 coxins de elastômero com rigidez desconhecida. O instrumento no seu suporte é modelado como um sistema de um grau de liberdade para vibração vertical. Durante um teste, uma massa m1 = 0,5 kg cai sobre ele com velocidade desconhecida. O impacto foi plástico e a amplitude de vibração medida foi 2,2 mm com freqüência do movimento vertical resultante igual a 325 rad/s. Determinar: (a) a rigidez de cada um dos quatro coxins elásticos e (b) a velocidade da massa em queda, imediatamente antes do impacto. Dados: 4 coxins, m = 3,4 kg, m1 = 0,5 kg, X 0 = 2,2 mm e n1 = 325 rad/s. (a) Rigidez m m1 n21 3,4 0,5 3252 k 103 kN/m 4
4
(b) Velocidade da massa em queda antes do impacto x0
m1 g k
0,5 9,81 411900
0,0119 mm
v0 X 02 x02 n 0,00222 0,0119 103 325 715 mm/s 2
v0
m m1 m1
v0
3,4 0,5 0,5
715 5577 mm/s
2.59 A massa m cai, de uma altura h, sobre um anteparo de massa desprezível, como mostra a Fig. 2.35, e a colisão é plástica. Determinar a resposta do sistema.
Figura 2.35 x0
mg k
v0 2 gh n
k m 2
2 2 2 v0 mg 2 gh mg 2mgh 2 X 0 x0 k k k k n m 2hk 2 gh 1 1 tan tan mg k mg k m
Resposta do sistema 2 k 2hk mg 2mgh x cos t tan 1 k mg k m 2.60 A massa m cai, de uma altura h, sobre uma massa m1, como mostra a Fig. 2.36, e a colisão é plástica. Determinar a resposta do sistema.
Figura 2.36 Conservação da quantidade de movimento m v0 m m1 v0 v 0
2 gh
m 2 gh v 0 m m 1
Condições iniciais
x 0
mg
v0
2 gh
k
m m 1 m
Freqüência natural k n m m1 Amplitude do movimento 2
2 2 2 2 m 2 gh m m v0 mg mg 2 ghm 2 1 X 0 x0 k k m m1 k k m m1 n
Ângulo de fase m 2 gh v0 m m1 2hk 1 1 tan tan tan 1 g m m1 k mg n x0 m m1 k
A resposta do sistema será xt X 0 cos n t 2 2 2 ghm k 2hk mg x cos t tan 1 m m1 g m m k k m m1 1
2.61 Resolver o problema 2.24 usando o Método de Rayleigh. Dados: m = 0,3 kg, d = 1 mm, D = 10 mm, n = 10 espiras e G = 105 GN/m2. 4
k
Gd
8nD
3
9 4 105 10 0,001
8 10 0,01
3
1,31 kN/m
x X 0 cos nt x n X 0 sin nt
T max U max 1 2
1 2
2 m xmax
1 2
m n2 X 02
n f n
k m
n 2
2 kxmax
1 2
kX 02 1,31 103 0,3
66,1 2
66,1 rad/s
10,5 Hz
2.62 Resolver o problema 2.25 usando o Método de Rayleigh. Dados: m = 0,2 kg, n = 6 espiras, d = 2 mm, D = 30 mm e G = 105 GN/m2. 4
k
Gd
8nD3
105 10 0,002 9
8 6 0,033
x X 0 cos nt x n X 0 sin nt
4
1,30 kN/m
T max U max 1 2
1 2
1
2 m xmax
2 kxmax
2
1
m n2 X 02
f n
m
n
80,5 rad/s
0,2
80,5
2
1,30 10
3
k
n
2
kX 02
12,8 Hz
2
2.63 Resolver o problema 2.38 usando o Método da Energia. a) Freqüência natural utilizando o Princípio da Conservação da Energia U T
d
1 2 1 2
k 1 h1 2
1
k 2 h2 mg L L cos 2
2
2
m L
T U k h k h mgl sin mL 0 1
dt sin
2 1
2 2
2
2
k 1h12 k 2 h22 mgL 0 mL2
k 1 h1 k 2 h2 mgL 2
n
2
mL2
b) Com k 1 = 0 para fazer com que a freqüência natural se anule é necessário que 2 k 2 h2 mgL k 2
mgL h22
2.64 Resolver o problema 2.39 usando o Método da Energia. (a) Freqüência natural U m gL 1 cos m gL 1
T
1 2
1
2
m L 1
2
1
1 2
2
m L 2
2
1 cos
2
d
T U m1 L12 m2 L22 m1 gL1 sin m2 gL2 sin 0 dt sin
m L
2
1
1
n
m2 L22 m1 L1 m2 L2 0
m l m l g 1 1
2 m1l 1 m2l 2
m l m l g
(b) n m2 m1
2 2
2
1 1
2 2
m l m2l 22 2 1 1
0 m1l 1 m2l 2 0
l 1 l 2
2.65 Resolver o problema 2.40 usando o Método da Energia. Dados: k = 2,0 kN/m, k t = 1,0 kN.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m. Momento de inércia da barra
ml 2
I G
12
em relação a A 2
2l l m I A I G d m 12 3 2 2
ml
2
2
3ml 2 ml 2 ml 2 l m I A 12 6 36 9 ml 2
Equação do movimento 1 l 2 2 1 2l 2 2 1 2 U 2 k k k t 2 3 2 2 3 1 2 T I A 2
l 2l T U I A k k dt 9 d ml 2 10kl 2 T U k t 0 dt 9 9 2 2 ml 10kl 9k t 0 2
2
d
10l
2
1 2
0 k t
Freqüência natural 9k t 10kl 2
n
9 1000 10 2000 5 2
2
ml
10 5
2
45,1 rad/s
2.66 Resolver o problema 2.41 usando o Método da Energia. Energia cinética T
1 2
J mR 2
2
O
Energia potencial 1
U d dt
2
k k R a
2
1
1
T U J mR k k R a 0 2
2
O
1
J
1
mR2 k 1 k 2 R a 0 Freqüência natural
2
O
k k R a
2
n
1
J
O
2
mR
2
R a
k 1 k 2
J
O
mR2
Para maximizar a = R 2.67 Um cilindro circular de massa m e raio r é ligado a uma mola de módulo k , como mostra a Fig. 2.37. Utilizando o Método da Energia, achar a freqüência do movimento, quando o cilindro rola sem deslizar em uma superfície áspera. Energia cinética T
1 1
mr 2 mr 2 2 2 2
Figura 2.37 Energia cinética T
1 1
mr 2 mr 2 2 2 2
Energia potencial 1
U
d
2
k r
2
T U 3 mr kr 0 2
2
dt 2 3 m k 0 2
Freqüência natural 2k
n
3m
2.68 No sistema massa-mola mostrado na Fig. 2.38, a corda pode ser considerada como inextensível. Achar a freqüência natural de vibração, utilizando o Método da Energia.
Figura 2.38 Energia cinética T
1
1 1 m x12 M x22 J 2 2 2 2
com x1 2 x2 , x1 r , x2 T
r 2
2
1
e J Mr 2 2
2 1 r 1 Mr 2 2 1 2 Mr 2 Mr 2 2 1 4mr 2 3Mr 2 2 mr m r M 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4
1
Energia potencial 2
1 r 1 kr 2 U kx k 2 2 2 2 4 1
2 2
2
Conservação da energia d dt
4mr 2 3 Mr 2 kr 2 0 4 4
T U
Equação do movimento 4m 3 M k 0 Freqüência natural
k
n
4m 3 M
2.69 O cilindro de massa m e raio r rola sem deslizar em uma superfície de raio R, como mostra a Fig. 2.39. Determinar a freqüência de oscilação quando o cilindro é ligeiramente deslocado da sua posição de equilíbrio. Use o Método da Energia.
Figura 2.39 Energia cinética – rotação pura em relação ao ponto de contato T
1 mr 2
mr 2 2 2 2
Energia potencial U mgh mg R r 1 cos condição de rolamento puro R r r R r r R r r Conservação da energia
d dt
2
T U 3mr mg R r sin 0
2
Linearizando e substituindo os ângulos 3mr 2 2 3 2
r r 0 R r R r
mg R r
g 0 R r
Freqüência natural n
2 g 3 R r
2.70 Uma locomotiva de massa 60000 kg trafegando a uma velocidade de 20 m/s é parada no final dos trilhos por uma sistema massa-mola-amortecedor. Se a rigidez da mola é 40 kN/mm e a constante de amortecimento é 20 kN.s/m determinar: (a) o deslocamento máximo da locomotiva após atingir o sistema e (b) o tempo gasto para atingir o seu deslocamento máximo.
Dados: m = 60 × 10 3 kg, v = 20 m/s, k = 40 kN/mm e c = 20 kN.s/m. (a) deslocamento máximo k
n
40 106
m c
2m n
60 10
3
25,8 rad/s
20 10
3
2 60 103 25,8
0,00645
d 1 2 n 1 0,00645 2 25,8 25,8 rad/s
Com x0 = 0 e v0 = 20 m/s 2
v n x0 v 20 x02 0 X 0 0,775 m d 25,8 d v 0 n x0 tan 1 rad 2 x0 d
tan 1 xt Xe
nt
cos d t 0,775 e
x t X n e
nt
0,16 7t
cos d t d e
cos 25,8t
n t
m
2
sin d t
x máx x t 0 0
n cos d t 0 d sin d t 0 0 n sin d t 0 tan d t 0 n 2 d cos d t 0 1 n 1 2 1 1 0,00645 tan 1 tan 0,0606 s 1 0,006452 2 1 2 25,8 d xt 0 0,775 e 0,16 70, 0606 cos 25,8 0,0606 0,767 m 2 t 0
1
(b) tempo t 0 0,0606 s
2.71 Um oscilador harmônico possui massa m = 1,2 kg, constante de amortecimento c = 12 N.s/m e constante de mola k = 0,5 kN/m. Determinar: (a) A freqüência natural amortecida. (b) O fator de amortecimento e o decremento logarítmico. Dados: m = 1,2 kg, c = 12 N.s/m e k = 0,5 kN/m.. (a) Freqüência natural amortecida n
k m
500 1,2
20,4 rad/s
c 12 0,245 2m n 2 1,2 20,4
d 1 2 n 1 0,2452 20,4 19,8 rad/s
(b) Fator de amortecimento e decremento logaritmico 0,245
2 1
2
2 0,245 1 0,2452
1,59
2.72 A razão entre duas amplitudes sucessivas de um sistema de um grau de liberdade amortecido é 18:1. Determinar a mesma relação de amplitudes se a quantidade de amortecimento é (a) dobrada, ou
(b) reduzida para a metade. Dados: razão entre amplitudes sucessivas = 18:1. ln
x1 x2
ln18 2,89
Fator de amortecimento
2 2
2,89
2 2,89 2
2
0,418 2
Constante de amortecimento c 2 m n (a) Dobrando c dobra 2 2 2 0,418 9,57 2 2 1 1 2 0,418 x1 x2
e e9, 57 14,3 103
(b) Reduzindo pela metade 0,418 2 2 1,34 2 1 2 0,418 1 2 2
x1 x2
e e1, 34 3,83
2.73 Um corpo vibrando com amortecimento viscoso completa 5 oscilações por segundo e em 50 ciclos sua amplitude diminui para 10 % de seu valor inicial. Determinar o decremento logarítmico e o fator de amortecimento. Qual será o percentual de diminuição do período de oscilação se o amortecimento for removido? Dados: f = 5 Hz, 50 ciclos amplitude cai para 10% da inicial. 1 x 1 x1 0,0461 ln ln 1 m xm1 50 0,1 x1 T d
2 2
1 5
0,0461
2 0,0461 2
2
0,00733
2
0,2 s
Sem amortecimento T n
1 f n
1 2
f d
1 0,007332 5
0,199995 s
O percentual de redução é de 0,00269 %. 2.74 Um sistema viscosamente amortecido tem uma rigidez de 5000 N/m, constante de amortecimento crítico de 20 N.s/m, e um decremento logarítmico de 2,0. Se o sistema recebe uma velocidade inicial de 1 m/s, determinar o deslocamento máximo do mesmo. Dados: k = 5000 N/m, cc = 20 N.s/m, = 2,0 e v0 = 1 m/s. Fator de amortecimento
2 2
2
2,0
2 2,0 2
0,303 2
A constante de amortecimento crítico permite determinar a massa do sistema
k
cc 2m n
m
cc
m
2m
cc2 4k
202 4 5000
0,02 kg
Então n
20
500 rad/s e d 1 2 n 1 0,3032 500 476 rad/s
2 0,02
A expressão para o movimento é t xt Xe cos d t n
com X
v0
d
v 1 0,00210 m e tan 1 0 tan1 rad 476,4 0 2 x0 n 1
O deslocamento máximo ocorre quando a velocidade se anula t t xt 1 n Xe cos d t 1 c Xe sin d t 1 0
n1
n 1
0 n cos d t 1 c sin d t 1 t 1
1
tan 1 0,00265 s 1 2 d 2
O deslocamento máximo será o deslocamento no tempo t 1 xmáx 0,00210 e
0 , 30 350 0 0, 00265
cos476 0,00265
2
0,00134 m
2.75 Um oscilador harmônico possui massa m = 30 kg e constante de rigidez k = 100 kN/m. Determinar: (a) A constante de amortecimento para um fator de amortecimento = 0,1. (b) O decremento logarítmico e a freqüência natural amortecida. Dados: m = 30 kg, k = 100 kN/m e = 0,1. (a) Constante de amortecimento k
c 2 m n 2 m
m
2 mk 2 0,1 30 100000 346 N.s/m
(b) Decremento logarítmico e freqüência natural amortecida 2
1
n
k m
2
2 0,1 1 0,1
2
100000 30
0,631
57,7 rad/s
d 1 2 n 1 0,12 500 57,4 rad/s
2.76 Um oscilador harmônico amortecido possui massa m = 45 gr, constante de amortecimento c = 3,8 N.s/m, e constante de rigidez k = 1500 N/m. Determinar: (a) O fator de amortecimento, o decremento logarítmico, e a freqüência natural amortecida. (b) A resposta a um deslocamento inicial de 1 mm. Dados: m = 45 gr, c = 3,8 N.s/m, k = 1500 N/m e x0 = 1 mm. (a) fator de amortecimento, o decremento logarítmico, e a freqüência natural amortecida: n
k m
c 2m n
2 1 2
1500 0,045
183 rad/s
3,8 2 0,045 183
2 0,231 1 0,2312
0,231
1,49
d 1 2 n 1 0,2312 183 178 rad/s
(b) resposta a um deslocamento inicial de 1 mm.
2
v n x0 x02 X 0 d
com v0 = 0 e x0 = 1 mm. 2
0,231 183 0,001 X 0,0012 1,03 10 3 m 178 tan 1 0,231 0,233 rad tan 1 1 2 1 0,2312 42, 2 t x 1,03e cos178 t 0,233 mm
2.77 Um oscilador harmônico amortecido possui massa m = 3 kg e constante de rigidez k = 500 N/m. O decremento logarítmico medido foi 2,5. Determinar: (a) O fator de amortecimento. (b) A freqüência natural amortecida. Dados: m = 3 kg, k = 500 N/m e = 2,5. (a) O fator de amortecimento.
2 2
2,5
2 2,5 2
2
0,370 2
(b) A freqüência natural amortecida. n
k m
500 3
12,9 rad/s
d 1 2 n 1 0,3702 12,9 12,0 rad/s
2.78 Um oscilador harmônico amortecido possui massa m = 8 kg e constante de rigidez k = 1,2 MN/m. Determinar: (a) O fator de amortecimento e a freqüência natural amortecida para um decremento logarítmico 0,05. (b) A constante de amortecimento. Dados: m = 8 kg, k = 1,2 MN/m e = 0,05. (a) O fator de amortecimento e a freqüência natural amortecida
n
2 2
k m
0,05
2 0,05 2
2
1,2 10
7,96 10 3 2
6
8
387 rad/s
d 1 2 n 1 0,00796 2 387 387 rad/s
(b) A constante de amortecimento c 2 m n 2 0,00796 8 387 49,3 N.s/m 2.79 Uma máquina possui massa m = 250 kg e seu suporte tem constante de amortecimento c = 1,45 kN.s/m e rigidez k = 130 kN/m. Se a máquina e sua base é modelada para vibração vertical como um sistema de um grau de liberdade, determinar: (a) A freqüência natural amortecida. (b) A expressão para o movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direção vertical. Dados: m = 250 kg, c = 1,45 kN.s/m, k = 130 kN/m e x0 = 1mm. (a) A freqüência natural amortecida. n
k m
130000 250
22,8 rad/s
c
2m n
1450 2 250 22,8
0,127
d 1 2 n 1 0,127 2 22,8 22,6 rad/s
(b) A expressão para o movimento resultante 2
v n x0 x02 X 0 d
com v0 = 0 e x0 = 1 mm. 2
0,127 22,8 0,001 X 0,0012 1,0110 3 m 22,6
tan 1 0,127 0,128 rad 1 2 1 0,127 2 2 ,90t x 1,01e cos22,6 t 0,128 mm
tan 1
2.80 Uma máquina possui massa m = 250 kg e freqüência natural amortecida para vibração vertical d = 5140 rad/s. Através da medição do decremento logarítmico achou-se um fator de amortecimento = 0,12. Se a máquina e sua base é modelada como um sistema de um grau de liberdade para vibração vertical, determinar: (a) A rigidez k do suporte elástico. (b) O movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direção vertical, imposta por um impacto. Dados: m = 250 kg, d = 5140 rad/s, = 0,12 e v0 = 1mm/s. (a) A rigidez k do suporte elástico. k
2 m d
1 2
250 5140 2 1 0,12 2
6,70 GN/m
(b) O movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direção vertical, imposta por um impacto. k
n
m
6,701109
250
5177 rad/s
v0 = 1mm/s 2
v n x0 v 0,001 x02 0 X 0 195 10 9 m 5140 d d
2
x 195 10 9 e 62 1t cos 5140 t
m
2
2.81 Uma máquina possui uma base com rigidez k = 55 kN/m e uma freqüência natural de vibração vertical amortecida d = 255 rad/s. Medindo-se o decremento logarítmico, determinou-se um fator de amortecimento = 0,18. Se a máquina e sua base são modeladas como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, determinar: (a) A massa da máquina. (b) O movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mm/s na direção vertical. Dados: k = 55 kN/m, d = 255 rad/s, = 0,18, x0 = 1mm e v0 = 130mm/s. (a) A massa da máquina. m
k 1
d 2
2
55000 1 0,18 0,818 kg 2
2552
(b) O movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mm/s na direção vertical.
n
k
m
55000 0,8184
259,2 rad/s
2
v n x0 0,13 0,18 259 0,001 x02 X 0 0,001 1,22 mm 255 d 2
v0 n x0 0,13 0,18 259 0,001 tan 1 0,606 rad x 0 , 001 255 0 d 46, 7 t x 1,22e cos255 t 0,606 mm
tan 1
2.82 Um instrumento eletrônico possui massa m = 3,4 kg e está apoiada em quatro coxins de elastômero com rigidez k = 5400 N/m cada um. O fator de amortecimento, medido a partir do decremento logarítmico, é = 0,20. Se o instrumento e seus apoios é modelado como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, determinar: (a) A freqüência natural. (b) Uma ferramenta pesando 0,5 kg cai sobre o instrumento resultando em uma amplitude de vibração de 1,7 mm. Determinar a velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta. Dados: m = 3,4 kg, k = 5400 N/m cada um dos 4 coxins, = 0,20, m1 = 0,5 kg e X = 1,7 mm. (a) Freqüência natural n
k m
4 5400 3,4
79,7 rad/s
(b) Velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta 2
v x 0 n 0 X x 02 2 1 n
Explicitando para v0 v 0 d X 2 x02 n x0
Com x0 n
m1 g k
4 5400 3,4 0,5
0,5 9,81 4 5400
0,227 mm e a nova freqüência natural igual a
74,4 rad/s e
d 1 0,2 2 74,4 72,9 rad/s
a velocidade inicial resulta v0 72,9 0,0017 2 0,000227 0,2 74,4 0,000227 126 mm/s 2
2.83 Um voltímetro mostrado na Fig. 2.40 possui um ponteiro de alumínio ( = 2700 kg/m 3) de comprimento l = 50 mm, largura 3 mm, e espessura 1 mm. A mola restauradora tem uma constante de mola rotacional k = 100 N.mm/rad. Um amortecedor para amortecimento crítico é posicionado a um raio r = 8 mm. Durante uma medida o instrumento mostra 80 volts. Quando a voltagem é desligada, determinar o tempo requerido para o ponteiro retornar à indicação de 1 volt.
Figura 2.40 Dados: = 2700 kg/m 3, l = 50 mm, b = 3 mm, t = 1 mm, k = 100 N.mm/rad, r = 8 mm, X 1 = 80 volts e X 2 = 1 volt. Massa m btL 2700 0,003 0,001 0,05 0,405 10 3 kg Equação do movimento k t cr r J mL2
cr 2 k t 0
3
2
3 c r
2
m L
3 k t
mL2
0
Freqüência natural 3 k t
n
2
mL
3 0,1 4,05 104 0,052
544,3 rad/s
Equação do movimento com amortecimento crítico t t 0 0 n 0 t e
n
Com 0 80K rad e 0 0 t t 80 K 1 n t e Para t 1 1K rad t 1 1 K 80 K 1 n t 1 e t De onde t 1 0,01172 s n
n 1
2.84 Um medidor de nível de água mostrado na Fig. 2.41 possui uma bóia cilíndrica de 100 mm de diâmetro (massa desprezível), uma barra com massa 0,5 kg, l = 70 mm e L = 420 mm. Determinar a constante de amortecimento requerida para produzir amortecimento crítico.
Figura 2.41 Dados: d = 100 mm, m = 0,5 kg, l = 70 mm e L = 420 mm. Equação do movimento c l l L 2
3 c l
2
m L
d 2
2
g L
4 2 3 g d 4m
m L 3
0
Freqüência natural n
3 g d 2 4m
3 1000 9,81 0,1
2
Amortecimento crítico
4 0,5
21,5 rad/s
3 c l 2 2
m L
2 n cc
2 2 m L n 2
3 l
2 0,5 0,42 21,5 2
cc
3 0,07
2
258 N.s/m
2.85 Uma massa de 10 kg oscila deslizando em uma superfície seca sob a ação de uma mola de rigidez 10 N/mm. Após quatro ciclos completos a amplitude é 100 mm. Qual é o coeficiente de atrito médio entre as duas superfícies se a amplitude original era 150 mm? Em quanto tempo a massa executou os quatro ciclos? Dados: m = 10 kg, k = 10 N/mm, 4 ciclos completos, X 4 = 100 mm, X 0 = 150 mm. Queda de amplitude:
2 N k
a cada meio ciclo
4 ciclos 150 100 10 3 4 2
2 N
k
Como N mg 10 9,81 98,1 kg Então
50 10 3 10000 16 98,1
0,319
O movimento cessará após r meio ciclos N 0,3186 98,1 x0 0,15 k 10000 23,5 24 meio ciclos r 2 N 2 0,3186 98,1 10000 k
O tempo para que se execute 4 ciclos é 2 m 10 4 2 t 4ciclos 4 4 2 0,795 s k 10000 n
Tempo de parada T 0,199 24 2,38 s 2 2
t f r
2.86 Uma massa de 20 kg está suspensa por uma mola de rigidez 10000 N/m. O movimento vertical da massa está sujeito a uma força de atrito de Coulomb de magnitude 50 N. Se a mola é inicialmente deslocada de 5,5 cm para baixo de sua posição de equilíbrio estático determinar: (a) o número de meio ciclos transcorridos até que atinja o repouso; (b) o tempo transcorrido antes da massa atingir o repouso e (c) o alongamento final da mola. Dados: m = 20 kg, k = 10000 N/m, F a = 50 N e x0 = 5 cm. (a) Número de meio-ciclos até o repouso N 50 x0 0,055 k 10000 5 meio ciclos r 2 50 2 N 10000 k
(b) Tempo transcorrido até atingir o repouso T
2
n
2
m k
2
20 10000
0,281 s
T 0,281 5 0,702 s 2 2
t f r
(c) Posição em que ocorrerá a parada 2 N 2 50 0,055 5 0,005 m k 10000
xt f x0 r
2.87 A massa m = 2 kg de um oscilador harmônico linear com k = 500 N/m desliza em uma superfície horizontal com coeficiente de atrito estático s = 0,2 e cinético = 0,08. (a) Determinar o máximo valor do deslocamento inicial que não resultará em qualquer movimento devido à força de atrito. (b) Determinar o número de ciclos para a vibração iniciada por um deslocamento inicial de 25 mm até parar completamente. Dados: m = 2 kg, k = 500 N/m, s = 0,2 e c = 0,08. (a) Deslocamento inicial máximo
x 0
max
s N k
0,2 2 9,81 500
7,85 mm
(b) Número de ciclos até a parada N 0,08 2 9,81 x0 0,025 k 500 3,48 4 meio ciclos 2 ciclos r 2 N 2 0,08 2 9,81 500 k
2.88 Um painel construído por uma fibra composta especial reforçada se comporta como um sistema de um grau de liberdade com massa de 1 kg e rigidez de 2 N/m. A relação entre amplitudes sucessivas é 1,1. Determinar o valor da constante de amortecimento histerético , da constante de amortecimento viscoso equivalente ceq e a energia perdida por ciclo para uma amplitude de 10 mm. Dados: m = 1 kg, k = 2 N/m, relação entre amplitudes sucessivas = 1,1 e X = 10 mm. Decremento logarítmico ln1,1 0,0953 Fator de amortecimento viscoso equivalente
2 2
0,0953
2 0,0953 2
2
0,0152 2
Freqüência natural n
k m
2 1
1,41 rad/s
Freqüência do movimento amortecido d 1 2 n 1 0,0152 2 1,41 1,41 rad/s
Constante de amortecimento viscoso equivalente ceq 2 m n 2 0,0152 11,41 0,0429 N s/m Coeficiente de amortecimento histerético
ceq d k
0,04290 1,414 2
0,03033
Energia dissipada por ciclo W ceq d X 2 0,0429 1,41 0,01 19,1 106 J (N.m) 2
2.89 Uma viga engastada com rigidez à flexão de 200 N/m suporta uma massa de 2 kg na sua extremidade livre. A massa é deslocada inicialmente de 30 mm e abandonada a mover-se livremente. Se a amplitude após 100 ciclos do movimento é 20 mm estimar a constante de amortecimento histerético da viga. Dados: k = 200 N/m, m = 2 kg, x0 = 30 mm e x100 = 20 mm. Decremento logarítmico
x1 1 0,03 ln 0,00405 m xm1 100 0,02 1
ln
Fator de amortecimento viscoso equivalente
2 2
0,00405
2 0,00405 2
2
0,000645 2
Freqüência natural n
k
200
m
10,0 rad/s
2
Freqüência do movimento amortecido d 1 2 n 1 0,000645 10 10,0 rad/s 2
Constante de amortecimento viscoso equivalente ceq 2 m n 2 0,000645 2 10 0,0258 N s/m Coeficiente de amortecimento histerético
ceq d
k
0,0258 10 200
0,00129
2.90 Um oscilador harmônico torsional possui momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação 2 J = 1,2 kg.m e rigidez torsional k t = 8500 N.m/rad. Determinar a freqüência natural torsional em rad/seg, Hz, e CPM (ciclos por minuto). Dados: J = 1,2 kg.m 2 e k t = 8500 N.m/rad. n f n
k t J
n
2
8500
84,2 rad/s
1,2
84,2 2
13,4 Hz 804 cpm
2.91 Um oscilador harmônico torsional possui momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação J = 10 kg.m2 e seu período natural de vibração foi medido em um osciloscópio, sendo igual a 35 ms. Determinar a sua rigidez torsional. Dados: J = 10 kg.m2 e T n = 35 ms. n
2
T n
2 0,035
180 rad/s
k t J n2 10 1802 322 kN/m J 2.92 Um oscilador harmônico torsional com momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação 2 = 1 kg.m e rigidez torsional k t = 40000 N.m/rad possui uma freqüência natural muito próxima à freqüência excitadora. Decidiu-se que o momento de inércia ou a rigidez deveriam mudar para diminuir a freqüência natural em 30%. Determinar a mudança requerida em cada opção.
Dados: J = 1 kg.m2, k t = 40000 N.m/rad. Freqüência natural n
k t J
40000 1,0
200 rad/s
Redução de 30% n1 140 rad/s Alteração no momento de inércia J 1
k t 2 n1
2,04 kg.m
2
Alteração na rigidez 2 k t 1 J n1 19600
N m rad
2.93 O rotor P de uma bomba centrífuga (Fig. 2.42) está conectada a um motor que gira com velocidade angular constante , através de um acoplamento flexível com constante de rigidez torsional K T e um par de
engrenagens com raios r 1 e r 2 e momentos de inércia de massa polares J 1 e J 2, respectivamente. O rotor da bomba possui momento de inércia de massa polar J P . Determinar a freqüência natural da oscilação torsional, assumindo que os eixos de conexão são rígidos.
Figura 2.42 Energia cinética T
1
1 1 J 1 12 J 2 22 J P 22 2 2 2
Relação de transmissão 1r 1 2 r 2
2
r 1 r 2
1
Resultando em uma energia cinética 1 r 12 T J 1 2 J 2 J P 12 2 r 2
Momento de inércia equivalente J 1r 2 J 2 J P r 1 2
J eq
2
r 22
Freqüência natural n
k T J eq
2
k T r 2
J 1r 2 J 2 J P r 1 2
2
2.94 Determinar a freqüência natural de oscilação do pêndulo duplo composto mostrado na Fig. 2.43 para pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio.
Figura 2.43 Equações do movimento m1 gL1 sin 1 Fr 1 m1 L21 J 1 1 m2 gL2 sin 2 Fr 2 m2 L22 J 2 2
Relação de transmissão r 1 1 r 2 2 r 1 1 r 2 2 r 1 1 r 2 2 Da segunda das equações do movimento, linearizando
F
J
2
m2 L22 2 m2 gL2 2 r 2
Substituindo F e as relações da transmissão na primeira das equações do movimento chega-se a 2 2 r 1 r 1 2 2 J 1 m1 L1 J 2 m2 L2 1 m1 gL1 m2 gL2 1 0 r 2 r 2
Cuja freqüência natural é 2
r m1 gL1 1 m2 gL2 r 2 n 2 r 1 2 2 J 1 m1 L1 J 2 m2 L2 r 2
2.95 Um oscilador harmônico torsional com momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação 2 10000 N.m/rad possui uma freqüência de oscilação torsional igual a 96 J = 1 kg.m e rigidez torsional k t = rad/seg, ao invés dos 100 rad/seg esperados. Suspeitou-se que alguma forma de amortecimento foi introduzida no sistema diminuindo a freqüência de oscilação. Determinar o fator de amortecimento. Dados: J = 1 kg.m2, k t = 10000 N.m/rad, n = 100 rad/s, d = 96 rad/s, Freqüências natural e do movimento amortecido d 1 2 n
De onde o fator de amortecimento pode ser obtido 2
96 1 d 1 0,280 100 n 2
2.96 O rotor de um indicador de sintonia de radio (dial) está conectado a uma mola e a um amortecedor torcionais formando um sistema de um grau de liberdade. A escala é graduada em divisões iguais e a posição de equilíbrio do rotor corresponde ao zero da escala. Quando um torque de 2x10 -3 N.m é aplicado estaticamente, o
deslocamento angular do rotor é 50 o com o ponteiro mostrando 80 divisões da escala. Quando o rotor é liberado de sua posição, o ponteiro balança primeiro para -20 divisões em um segundo e depois para 5 divisões no outro segundo. Achar: (a) A constante de mola torsional; (b) O período natural não amortecido do rotor; (c) O momento de inércia de massa do rotor, (d) A constante de amortecimento torsional. -3 o Dados: M t = 2×10 N.m, 0 = 50 80 divisões da escala, 0,5 -20 divisões e 1 5 divisões (a) Constante de mola torsional 3 M 2 10 2,29 10 3 N m/rad k t t 50
180
(b) Período natural não amortecido O período amortecido é 2 s. Para determinar o período não amortecido é necessário calcular o fator de amortecimento, que exige o conhecimento do decremento logarítmico. 0 80 K ln 2,77 5 K 1
ln
O fator de amortecimento é
2 2
0,404 2
A relação entre os períodos é T n 1 2 T d 1 0,404 2 1,83 s 2
(c) Momento de inércia do rotor É necessário conhecer a freqüência natural que é n
2 T n
2 1,83
3,43 rad/s
De forma que o momento de inércia é J O
k t 2 n
194 10 6 kg m 2
(d) Constante de amortecimento torsional 6 ct 2 J O n 539 10 N m s/rad 2.97 Um pêndulo torsional tem uma freqüência natural de 200 cpm quando vibrando no vácuo. O momento de inércia de massa do disco é 0,2 kg.m 2. Quando está imerso em óleo sua freqüência natural é 180 cpm. Determinar a constante de amortecimento. Se o disco, quando imerso no óleo, sofre um deslocamento inicial de 2o, achar seu deslocamento no final do primeiro ciclo. Dados: f n = 200 com, J = 0,2 kg.m2, f d = 180 com e 0 = 2o. Fator de amortecimento 2
f 180 1 d 1 0,436 f 200 n 2
Constante de amortecimento torsional ct 2 J O n 2 0,436 0,2 200
Amplitude angular
2 60
3,65 N m s/rad 2
n 0 0 d
Ângulo de fase
2
2 0 0,436 200 2 2 60 180 2 0 2 180 0,0388 rad 2 180 60
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