EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GRAFOS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE TEORIA DOS GRAFOS 1.) Considere a tabela de tarefas a seguir para a construção de uma casa de madeira: TAREFAS 1. Limpeza do terreno 2. Produção e colocação da fundação 3. Produção da estrutura 4. Colocação do telhado 5. Colocação das tábuas externas 6. Instalação do encanamento e fiação 7. Colocação das janelas e portas 8. Instalação das janelas e portas 9. Pintura do interior

PRÉ-REQUISITOS Nenhum 1 2 3 3 4e5 3 6 7e8

DIAS 4 3 7 6 4 6 5 5 5

a) Construa o diagrama PERT;  b) Determine o tempo mínimo para construir a casa; c) Forneça o caminho crítico.

SOLUÇÃO a) 5(4)

6(6)

3(7) 8(5) 1(4)

2(3)

4(6)

9(5) 7(5)

  b)

TAREFA 1: TAREFA 2: TAREFA 3: TAREFA 4: TAREFA 5: TAREFA 6: TAREFA 7: TAREFA 8: TAREFA 9:

4 dias 3 + 4 = 7 dias 7 + 7 = 14 dias 14 + 6 = 20 dias 14 + 4 = 18 dias max (TAREFA (TAREFA 4, TAREFA 5) + TAREFA 6 = 20 + 6 = 26 26 dias 14 + 5 = 19 dias 26 + 5 = 31 dias max (TAREFA (TAREFA 7, TAREFA 8) + TAREFA 9 = 31 + 5 = 36 36 dias.

c) Percorrendo o diagrama PERT em ordem inversa e selecionando em cada ponto com mais de um  pré-requisito o nó que contribui com o maior valor, resulta: 1–2–3–4–6–8–9 1

2.) Considere o grafo: 4 a4

a3 a5 3

5 a6

a2

7

2 a7

a1 6

1

e responda as seguintes perguntas: a) O grafo é simples?  b) O grafo é completo? c) O grafo é conexo? d) É possível encontra r dois caminhos do nó 3 para o nó 6? e) É possível encontrar um ciclo? f) É possível encontrar um arco cu ja remoção transforma o grafo em um grafo acíclico? g) É possível encontrar um arco cuja remoção r emoção transforma o grafo em um grafo não-conex o?

SOLUÇÃO a) Sim.  b) Não. Os nós 5 e 7, por exemplo, não são adjacentes. c) Sim. d) Sim: 1º caminho: 3 – a 5 – 5 – a 6 – 6 e 2º caminho: 3 – a 3 – 4 – a 4  – 5 – a 6 – 6. e) Sim: 3 – a 3 – 4 – a 4 – 5 – a 5  – 3. f) Sim: a 5. g) Sim: a 7, por exem plo.

3.) Esboce um grafo com as seguintes características: a) simples com 3 nós, cada um com grau 2; b) 4 nós e ciclos de comprimento 1, 2, 3 e 4; c) não completo com 4 nós, cada um com grau 4. SOLUÇÃO a)

b)

c)

2

4.) Observe o seguinte grafo direcionado: 6

a6

5

a7 a5 a10 1

4 a1

a9

a8

a2

a11

a4

2

a3

3

e responda as seguintes p erguntas: a) Quais são os nós acessíveis a par tir do nó 3? b) Qual o caminho mais curto do nó 3 para o nó 6? c) Qual o caminho de comprimento 8 do nó 1 para o nó 6?

SOLUÇÃO a) Os nós: 3, 4, 5 e 6. b) 3 – a 8 – 5 – a 6 – 6. c) 1 – a 1 – 2 – a 11 – 2 – a 2 – 1 – a 1 – 2 – a 3 – 3 – a 4 – 4 – a 5 – 5 – a 6 – 6. 5.) Observe o grafo direcionado abaixo: abaixo: a2

2

a1

a3

a4 1

3 a5 a7 a6 4

e responda as seguinte s perguntas: a) Existe um caminho de comprime nto 5 do nó 1 para o nó 4? b) É possível acessar o nó 1 de algum outro nó? c) Quais são os ciclos deste grafo?

SOLUÇÃO a) Sim: 1 – a 1 – 2 – a 2 – 2 – a 2 – 2 – a 3 – 3 – a 5  – 4 b) Não. c) O laço a 2 e o caminho: 3 – a 5 – 4 – a 6 – 3. 3

6.) Qual dos grafos não é isomorfo aos outros e por quê?

(a)

(b)

(c)

SOLUÇÃO O grafo ( b ) pois não tem nenhum nó de grau zero.

7.) Qual dos grafos não é isomorfo aos outros e por quê?

(a)

( b)

(d)

(c)

SOLUÇÃO

O grafo ( c ) pois embora: 1º) Todos tenham 5 nós e 6 arcos; 2º) Nenhum deles tenha arcos paral elos ou laços; 3º) Todos tenham 2 nós de grau 3 e 3 nós de grau 2 ; 4º) Todos sejam conexos; 5º) Todos tenham 3 ciclos; no grafo (c) os 2 nós de grau 3 não são adjacentes.  Nos exercícios a seguir ( 8 , 9 e 10 ) verifique se os grafos são isomorfos. Se forem, forneça a bijeção (no caso de grafos simples) ou bijeções que estabelecem o isomorfismo. Se não forem, expli- plique  por quê.

8.)

(a) (b)

1

a

5

e

2

4

3

b

d

4

c

SOLUÇÃO Inicialmente Inicialmente notemos que os grafos: 1º) tem 5 nós e 5 arcos; 2º) não tem arcos paralelos ou laços; 3º) tem 5 nós de grau 2; 4º) são conexos; 5º) tem apenas 1 ciclo. Como nenhum outro fato chama a nossa atenção e como os grafos são simples vamos tentar en contrar a bijeção que gera o isomorfismo. isomorfismo. Observando que no grafo (a) o nó 1 é adjacente adjacente aos nós nós 3 e 4 e no grafo (b) o nó a é adjacente aos nós b e e, segue o isomorfismo: isomorfismo: f : 1 a 2 d 3 b O bservando que, nós adjacentes no grafo (a) ( a) 4 e correspondem por  f  a nós adjacentes no gra5 c fo (b) segue que os grafos são isomorfos. →

→

→ → →

9.) 1

b

a

6

c

2

3

5

f

4

d

e

( b)

(a)

SOLUÇÃO Inicialmente Inicialmente notemos que os grafos: 1º) tem 6 nós e 12 arcos; 2º) não tem arcos paralelos ou laços; 3º) são conexos; 4º) tem 6 nós de grau 4. Como a verificação do número de ciclos parece ser trabalhosa e nada mais chama a nossa atenção vamos apostar no iso morfismo. Observando que no grafo (a) o nó 1 é adjacente aos nós 2, 3, 5 e 6 é não é adjacente ao nó 4 en quanto no grafo (b) o nó a é adjacente aos nós b, d, e e f e não é adjacente ao nó c segue a bijeção que garante o isomorfismo: f : 1 a , 2 b , 3 d , 4 c , 5 e , 6 f  →

→

→

→

→

→

10.) 1

a 2

3

e

4

6

5

b

f

(a)

d

5

c

(b)

SOLUÇÃO Observando que: 1º) O grafo (a) tem 5 arcos e o grafo (b) tem 6 arcos; 2º) O grafo (b) tem um nó ( f ) com grau 5 e o grafo ( a ) não tem. segue que os grafos não são isomorfos.

11.) Sabendo que os grafos abaixo são isomorfos determine um par de bijeções que garante o isomorfismo. a

1 a4

e1

a5

a1

e2 b

a6

e4

e6

2

e3

c

3 e5

a3

a7

a2

e7

4

d

(a)

(b)

SOLUÇÃO As bijeções são: 1ª) Entre nós: f 1: 1

→

2ª) Entre arcos: f 1: a1

→

a , 2 e2 , a2

→

→

b , 3 e7 , a3

→

→

c , 4

e6 , a4

12.) Construa todos os grafos não-isomorfos com 3 nós. SOLUÇÃO

6

→

→

d

e1 , a5

→

e3 , a6

→

e4 , a7

→

e5

13.) Apresentamos abaixo um conjuntos de grafos não-isomorfos com 4 nós que chamaremos de G4: (a)

(b)

1

4

2

(c)

1

3

4

2

1

3

(f )

(d) 4

2

3

(g)

(e)

1

4

1

4

2

3

2

3

(h)

1

4

1

4

1

4

2

3

2

3

2

3

Verifique se os grafos abaixo abaixo pertenc pertencem em a esta coleç coleção ão ou se são isomorf isomorfos os a algum algum dos grafos grafos desenhados aci ma:

13.1) 1

4

RESPOSTA  Não é isomorfo a nenhum dos grafos acima  pois possui 2 a rcos e nenhum nó de grau zero, como o grafo grafo (c). Pertence, portanto, portanto, ao ao conjunto G4

3

2

13.2) 1

2

3

RESPOSTA  Não pertence ao conjunto G4 pois é isomorfo ao grafo (d).

4

13.3) 4

RESPOSTA  Não é isomorfo a nenhum grafo de G4 pois pos sui 3 arcos e 1 nó de grau 3 1

3 2

7

13.4) 1

4

3

2

RESPOSTA  Não é isomorfo a nenhum grafo de G4 pois pos sui 2 arcos e nenhum nó de grau zero. Pertence  portanto a G4. Observe, entretanto, que este grafo é isomorfo ao grafo do exe rcício 13.1, assim apenas um de les pode pertencer a G4.

13.5) 4

1

RESPOSTA  Não é isomorfo a nenhum grafo de G4 pois tem 4 arcos e u m nó de grau 1. Portanto pertence a G4.

3 2

13.6)

RESPOSTA  Não é isomorfo a nenhum grafo de G4 pois tem 4 arcos e u m nó de grau 1. Observe, entretanto, que este grafo é isomorf o ao grafo do exercício 13.5, assim apenas um de les pode pertencer a G4.

4

1

3 2

13.7)

2

1

RESPOSTA  Não pertence ao conjunto G4, pois é isomorfo ao grafo (h)

4

3

13.8) 2

1

4

RESPOSTA  Não é isomorfo a nenhum grafo de G4 pois tem 3 arcos e 1 nó de grau 3. Observe, entretanto, que este grafo é isomorf o ao grafo do exercício 13.3, assim apenas um de les pode pertencer a G4.

3

8