Exercícios Probabilidade
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Resolução das atividades complementares Matemática M16 — Probabilidade p. 75
1 (FGV-SP) Uma urna contém quinze bolinhas numeradas de 1 a 15.
1 a) Se uma bolinha for sorteada, qual a probabilidade de que o número observado seja divisível por 3? 3 b) Se duas bolinhas forem sorteadas sucessivamente sem reposição (a ordem dos números não é levada em consideração), qual a probabilidade de que os números observados sejam consecutivos? 2 15 Resolução: a) U 5 {1, 2, 3, 4, ..., 15} n(U) 5 15 A 5 {3, 6, 9, 12, 15} n(A) 5 5 P(A) 5 5 5 1 15 3 15 ? 14 2 B 5 {{1, 2}, {2, 3}, ..., {14, 15}}
b) n(U) 5 C15, 2 5 n(B) 5 14 P(B) 5
14 5 2 15 ? 14 15 2
2 (Cesgranrio-RJ) Em uma amostra de 500 peças, existem exatamente quatro defeituosas. Retirando-se,
ao acaso, uma peça dessa amostra, a probabilidade de ela ser perfeita é de: a) 99,0% c) 99,2% b) 99,1% d) 99,3% Resolução: A: a peça é perfeita: n(A) 5 500 2 4 5 496; n(U) 5 500 P(A) 5 496 5 0,992 ou 99,2% 500
e) 99,4%
3 (Unicamp-SP) O sistema de numeração na base 10 utiliza, normalmente, os dígitos de 0 a 9 para
representar os números naturais, sendo que o zero não é aceito como o primeiro algarismo da esquerda. Pergunta-se: a) Quantos são os números naturais de cinco algarismos formados por cinco dígitos diferentes? 27 216 b) Escolhendo-se ao acaso um desses números do item a, qual a probabilidade de que seus cinco algarismos estejam em ordem crescente? 1 216 Resolução: a) ������ � 9
?
A 9,, 4 5 9 ? (9 ? 8 ? 7 ? 6) 5 27 216
b) No sistema decimal, a quantidade de números naturais com todos os cinco algarismos em ordem crescente é C9, 5. C9, 5 5 9! 5 126 P(B) 5 126 5 1 5! 4! 27 216 216
4 (EEM-SP) Lançando simultaneamente dois dados, cujas faces são numeradas de 1 a 6, qual a probabilidade de: a) obter números cujo produto seja ímpar? 1 b) obter números cujo produto seja par? 3 4 4 Resolução: n(U) 5 6 ? 6 5 36 a) A 5 {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)} ⇒ n(A) 5 9 n(A) P(A) 5 5 9 5 1 n(U) 36 4 b) B 5 A ⇒ P(B) 5 1 2 P(A) 5 1 2 1 5 3 4 4
5 (Uniube-MG) A probabilidade de se obter um número divisível por 5, na escolha ao acaso de um
número obtido pelas permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, é igual a: a) 1 c) 1 5 3 1 1 b) d) 4 2
e) 1
Resolução: n(U) 5 P5 ⇒ n(U) 5 5! 5 120 Para o número ser divisível por 5, nesse caso, o algarismo das unidades deve necessariamente ser o 5. Logo, o número de casos favoráveis do evento é dado por: n(A) 5 P4 ⇒ n(A) 5 4! 5 24 P(A) 5
n(A) ⇒ P(A) 5 24 5 1 n(U) 120 5
6 (Cesgranrio-RJ) O dispositivo que aciona a abertura do cofre de uma joalheria apresenta um teclado com nove teclas, sendo cinco algarismos (0, 1, 2, 3, 4) e quatro letras (x, y, z, w). O segredo do cofre é uma seqüência de três algarismos seguidos de duas letras. Qual a probabilidade de uma pessoa, numa única tentativa, ao acaso, abrir o cofre? a) 1 c) 1 e) 1 7 200 1 500 200 b) 1 d) 1 2 000 720 Resolução: 5
5
⇒ n(U) 5 53 ? 4 2 5 2 000
5 4 4 P(A) 5 1 ⇒ P(A) 5 1 n(U) 2 000
p. 76
7 (Vunesp-SP) Escolhem-se aleatoriamente três dos seis vértices de um hexágono regular. Qual a probabilidade de que os vértices formem um triângulo eqüilátero?
1 10
Resolução: n(U) C6, 3 20 A: formar um triângulo eqüilátero Observando a figura, conclui-se que é possível formar apenas 2 triângulos eqüiláteros (ACE e BDF) com os vértices de um hexágono regular. n(A) Logo, n(A) 5 2 ⇒ P(A) 5 5 2 5 1 n(U) 20 10
A
B
F
C
E
D
8 (UEL-PR) Considere todos os anagramas da palavra LONDRINA que começam e terminam pela letra N. A probabilidade de escolher-se ao acaso um desses anagramas e ele ter as vogais juntas é: a) 1 c) 2 e) 3 5 5 5 1 1 b) d) 4 2 Resolução: n(U) P6 6! ⇒ n(U) 720 A: anagramas com as 3 vogais juntas. n(A) 3! 4! 6 ? 24 144 n(A) P(A) 5 5 144 5 1 n(U) 720 5
9 (FGV-SP) O código de acesso de um cartão de crédito é formado por seis dígitos decimais. Cada
dígito é um número inteiro que pode assumir qualquer valor entre 0 e 9. Tendo extraviado seu cartão de crédito, Alexandre receia que um estranho o encontre e tente descobrir o código. Calcule a probabilidade aproximada de alguém acertar o código do cartão de Alexandre num total de 1 000 tentativas aleatórias e distintas. 0,1% Resolução: n(U) 106 A: acertar o código em uma tentativa n(A) n(A) 5 1 ⇒ P(A) 5 5 16 n(U) 10 Como o estranho irá tentar 1 000 vezes, temos: P 1 000 ? P(A) 103 ? 1026 1023 ou 0,1%
10 (Fuvest-SP) Sorteiam-se dois números naturais ao acaso, entre 101 e 1 000 inclusive, com reposição.
Calcule a probabilidade de que o algarismo das unidades do produto dos números sorteados não seja zero. 73% Resolução: 2o
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
2
0
3
0
4
0
5
0
6
0
7
0
8
0
9
0
1o
0
0 0
0
0
0
0
0
Finais dos nos de 100 a 1 000.
n(U) 10 ? 10 100 Z: produto de final zero n(Z) 5 27 P(Z) 5 27 100 Probabilidade do produto cujo algarismo das unidades não é zero: P(Z) 5 1 2 P(Z) ⇒ P(Z) 5 1 2 27 5 73 ou 73% 100 100
Finais dos nos de 100 a 1 000.
3
11 Na gaveta de um armário há duas chaves tipo A e uma tipo B. Noutra gaveta há um cadeado que é
aberto pelas chaves do tipo A e três que são abertos pelas chaves do tipo B. Uma pessoa escolhe, ao acaso, uma chave da primeira gaveta e um cadeado da segunda gaveta. Qual a probabilidade de o cadeado ser aberto pela chave escolhida? 5 12 Resolução: 1_a gaveta 2 1 3 chaves P(Tipo A): 2 ? 1 5 2 3 4 12
2_a gaveta 1 3 4 cadeados P(Tipo B): 1 ? 3 5 3 3 4 12
P(A ou B): 2 1 3 5 5 12 12 12
12 (Vunesp-SP) Uma pesquisa sobre grupos sangüíneos ABO, na qual foram testadas 6 000 pessoas de
uma mesma raça, revelou que 2 527 têm o antígeno A, 2 234 o antígeno B e 1 846 não têm nenhum antígeno. Nessas condições, qual é a probabilidade de que uma dessas pessoas, escolhida aleatoriamente, tenha os dois antígenos? 10,12% Resolução: n(U) 6 000 n(A) 2 527; n(B) 5 2 234; n(O) 5 1 846 n(A B) n(A) 1 n(B) 2 n(A B), em que n(A B) 6 000 2 1 846 5 4 154 n(A B) 2 527 1 2 234 2 4 154 5 607 n(A B) P(A B) 5 5 607 0,1012 ou 10,12% n(U) 6 000
13 (PUCC-SP) Lança-se um par de dados não-viciados. Se a soma nos dois dados é 8, calcule a
probabilidade de ocorrer a face 5 em um deles. 2 5 Resolução: A: Ocorre a face 5 num dos dados A {(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (6, 5)}; n(A) 11 B: Soma nos dois dados igual a 8 B {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}; n(B) 5 A B {(3, 5), (5, 3)} ⇒ n(A B) 2 n(A B) P(A/B) 5 5 2 n(B) 5
14 Dois jogadores, Kléber e Arnaldo, lançam um dado, uma única vez cada um. Vence o jogo quem tirar o maior número. Sabendo que Kléber tirou 4, qual a probabilidade de: a) Kléber vencer o jogo? 1 b) haver empate? 1 c) Arnaldo vencer o jogo? 1 3 6 2 Resolução: n(U) 5 36 n(K) 5 6 ⇒ P(K) 5
n(K) 5 6 5 1 n(U) 36 6
a) A: tirar um número menor que 4 ⇒ n(A) 5 18 e P(A) 5 18 5 1 36 2 n(A K) 3 1 n(A K) 5 3 ⇒ P(A K) 5 5 5 n(U) 36 12 1 P(A K) 12 P(A/K) 5 5 5 1 P(K) 1 2 6 b) A: tirar o número 4 ⇒ n(A) 5 6 e P(A) 5 6 5 1 36 6 1 n(A K) 5 1 ⇒ P(A K) 5 1 ⇒ P(A/K) 5 36 5 1 36 1 6 6 c) A: tirar um número maior que 4 ⇒ n(A) 5 12 e P(A) 5 12 5 1 36 3 1 2 1 18 n(A K) 5 2 ⇒ P(A K) 5 5 ⇒ P(A/K) 5 5 1 36 18 1 3 6
15 (MACK-SP) A probabilidade de um casal ter um filho do sexo masculino é 1 . Então, supondo que o 4 casal venha a ter três filhos, a probabilidade de serem exatamente dois do mesmo sexo é: a) 3 c) 3 e) 9 16 8 16 b) 1 d) 1 16 8 Resolução: P(M) 5 1 ; P(F) 5 3 4 4 O casal terá exatamente dois filhos do mesmo sexo se, e someente se, não tiver os três filhos do mesmo sexo.
() () 3
3
Logo, P(E) 5 1 2 1 2 3 4 4 1 2 7 36 P(E) 5 1 2 2 5 5 9 64 64 64 16
16 (UFLA-MG) Um grupo de 100 pessoas apresenta a seguinte composição: louras
morenas
total
olhos azuis
10
20
30
olhos castanhos
30
40
70
Total
40
60
100
Marcando-se um encontro com uma delas, escolhendo seu nome ao acaso, qual a probabilidade de sair: a) uma loura? 2 5 1 b) uma loura de olhos castanhos ou uma morena de olhos azuis? 2 2 c) uma morena de olhos castanhos? 5 Resolução: n(U) 5 100 n(L) a) n(L) 5 40 ⇒ P(L) 5 5 40 5 2 n(U) 100 5 b) P 5 P(L C) 1 P(M A) P(L C) 5 n(L C) 5 30 n(U) 100 Pela tabela, temos: P(M A) 5 n(M A) 5 20 n(U) 100 P 5 30 1 20 5 50 5 1 100 100 100 2 c) P(M C) 5 n(M C) 5 40 5 2 n(U) 100 5
17 (UFSCar-SP) Gustavo e sua irmã Caroline viajaram de férias para cidades distintas. Os pais
recomendam que ambos telefonem quando chegarem ao destino. A experiência em férias anteriores mostra que nem sempre Gustavo e Caroline cumprem esse desejo dos pais. A probabilidade de Gustavo telefonar é 0,6 e a probabilidade de Caroline telefonar é 0,8. A probabilidade de pelo menos um dos filhos contactar os pais é: a) 0,20 c) 0,64 e) 0,92 b) 0,48 d) 0,86 Resolução: p: probabilidade de nenhum dos filhos telefonar 1 – p: probabilidade de pelo menos um dos filhos telefonar Temos, então: p (1 2 0,6) ? (1 2 0,8) 0,4 ? 0,2 0,08 1 2 p 1 2 0,08 0,92
18 (UCSal-BA) Das 180 pessoas que trabalham em uma empresa, sabe-se que 40% têm nível universitário e 60% são do sexo masculino. Se 25% do número de mulheres têm nível universitário, a probabilidade de selecionar-se um funcionário dessa empresa que seja masculino e não tenha nível universitário é: a) 5 c) 2 e) 5 12 90 36 3 1 b) d) 10 5 Resolução: N
N
Total
M
54
54
108
F
18
54
72
Total
72
108
180
P(M N) 5 P(M/N) ? P(N) P(M N) 5 54 ? 108 P(M N) 5 3 1088 180 10
19 (Unesp-SP) Um piloto de Fórmula 1 estima que suas chances de subir ao pódio numa dada prova
são de 60% se chover no dia da prova, e de 20% se não chover. O Serviço de Meteorologia prevê que a probabilidade de chover durante a prova é de 75%. Nessas condições, calcule a probabilidade de que o piloto venha a subir ao pódio. 50% Resolução: A: pódio com chuva ⇒ P(A) 5 60 5 3 100 5 20 1 B: pódio sem chuva ⇒ P(B) 5 5 100 5 75 3 C: chove na prova ⇒ P(C) 5 5 e P(C) 5 1 100 4 4 P: subir ao pódio ⇒ P(P) 5 P(A) ? P(C) 1 P(B) ? P(C) P(P) 5 3 ? 3 1 1 ? 1 5 9 1 1 5 1 ou 50% 5 4 5 4 20 20 2
20 (FGV-SP) Num certo país, 10% das declarações de imposto de renda são suspeitas e submetidas a
uma análise detalhada; entre estas verificou-se que 20% são fraudulentas. Entre as não suspeitas, 2% são fraudulentas. a) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser suspeita e fraudulenta? 2% b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade de ela ter sido suspeita? 52,6% Resolução: F
NF
Total
S
0,020
0,080
0,100
NS
0,018
0,882
0,900
Total
0,038
0,962
1,000
a) P(S F) 5 0,020 ou 2% P(S F) 0,020 b) P(S/F) 5 5 5 10 0,526 ou 52,6% P(F) 0,038 19
21 Vítor e Bruno lançam um dado comum três vezes. Vítor apostou que o número 5 sairá pelo menos
uma vez e Bruno que o número 5 não sairá em nenhum dos três lançamentos. Qual deles tem mais chance de ganhar a aposta? Justifique. Bruno, pois 125 . 91 216 216 Resolução: n(U) 63 216 B: não sairá nos lançamentos n(B) 5 53 5 125 ⇒ P(B) 5
n(B) 5 125 n(U) 216
V: sairá pelo menos uma vez o 5 V 5 B e P(V) 5 1 2 P(B) 5 1 2 125 ⇒ P(V) 5 91 216 216 Bruno tem mais chances de ganhar a aposta, pois P(B) . P(V).
22 (PUC-SP) Dos 50 candidatos que se apresentaram para preencher as vagas de empregos em certa
empresa, sabe-se que: 40% são fumantes e 50% têm curso superior. Se 75% dos fumantes não têm curso superior, qual a probabilidade de serem selecionados dois candidatos que não fumem e não tenham curso superior? 9 245 Resolução: 40% de 50 20
50% de 50 25
F
F
Total
S
5
20
25
S
15
10
25
Total
20
30
50
75% de 20 15
A probabilidade de selecionar um não-fumante que não tenha curso superior é dada por: P1 (F S) 5
n(F S) 5 10 5 1 n(U) 50 5
Agora, para o segundo candidato, temos: n2(U) 49; n 2 (F S) 5 9. Logo: P2 (F S) 5
n 2 (F S) 5 9 n 2 (U) 49
P 5 P1 (F S) ? P2 (F S) 5 1 ? 9 5 9 5 49 245
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