Exercicios - Po
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Lista de exercícios - Alocação Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir. Obs.: Seguir o roteiro proposto em aula. 1 – Uma empresa fabrica dois modelos de bolsas de couro. O modelo B1, de melhor qualidade, requer o dobro de tempo de fabricação em relação ao modelo B2. Se todas as bolsas fossem do modelo B2 a empresa poderia produzir 1.2 u!idades por dia. " dispo!ibilidade do couro permite fabricar # bolsas de ambos os modelos por dia. "s bolsas empregam metais decorati$os difere!tes, cu%a dispo!ibilidade di&ria ' de ( para B1 e ) para B2. Os lucros u!it&rios são de *+( para B1 e *+ para B2. -ual o programa timo para a produção que ma/imiza o lucro total di&rio da empresa0 o!strua o modelo do sistema descrito. *S3OS4": /1 5 qua!tidade a produzir de B1 /2 5 qua!tidade a produzir de B2 6a/. 7ucro 5 (/1 8 /2 Su%eito 9: 2/1 8 /2 1.2 ;restrição /1 8 /2 # ;restrição /1 ( ;restrição /2 ) ;restrição /1 ? , /2 ?
qua!to 9 qua!tidade qua!to 9 qua!tidade qua!to 9 qua!tidade qua!to 9 qua!tidade
m&/ima de produção por dia< de couro por dia< de =$elas p> 61< de =$elas p> 62<
2 – Uma fabrica produz dois tipos de produto: " e B. ada modelo " requer horas de corte e 2 horas de polime!to, cada modelo B requer 2 horas de corte e ) horas de polime!to. " f&brica possui ( cortadoras e 2 polidoras. Sabe!do@se que a sema!a de trabalho da f&brica ' de horas e que cada modelo " d& um lucro de *+( e cada modelo B *+ e que !ão h& restriçAes de dema!da, pede@se qual de$e ser o modelo de produção da f&brica que ma/imiza o lucro. *S3OS4": /1 5 qua!tidade a produzir do modelo " /2 5 qua!tidade a produzir do modelo B 6a/. 7ucro 5 (/1 8 /2 Su%eito 9: /1 8 2/2 12 ;restrição qua!to 9 horas de corte< 2/1 8 )/2 ;restrição qua!to 9 horas de polime!to< /1 ? , /2 ?
3 – Uma peque!a f&brica de m$eis produz dois modelos de molduras or!ame!tais, cu%os preços de $e!da são, respecti$ame!te, *+11, e *+C),. la possui D peças de madeira e dispAe de ( horas de trabalho para co!feccio!ar os dois modelos, se!do que o mode modelo lo " requ requer er 2 peças peças de ma made deira ira e ) hora horass de traba trabalh lho, o, e!qua e!qua!t !to o o mode modelo lo B !ecessita de 1 peça de madeira e D horas de trabalho. -ua!tas molduras de cada modelo a f&brica de$e mo!tar se dese%ar ma/imizar o re!dime!to obtido com as $e!das. *S3OS4": " 5 qua!tidade a produzir da moldura " B 5 qua!tidade a produzir da moldura B 6a/. 7ucro 5 11" 8 C)B Su%eito 9: 2" 8 B D ;restrição qua!to 9 qua!tidade e madeira< )" 8 DB ( ;restrição qua!to 9 horas de trabalho< " ? , B ?
4 – Uma f&brica de computadores produz dois modelos de computador: 1 e 2. O modelo 1 for!ece um lucro de *+1, e 2 um lucro de *+(,. O modelo model o 1 requer, !a sua
produção, um gabi!ete peque!o e uma u!idade de disco. O modelo 2 requer um gabi!ete gra!de e 2 u!idades de disco. /istem !o estoque: C u!idades do gabi!ete peque!o, ) do gabi!ete gra!de e 12 u!idades de disco. 3ergu!ta@se qual de$e ser o esquema de produção que ma/imiza o lucro0 *S3OS4": 1 5 qua!tidade a produzir do computador 1 2 5 qua!tidade a produzir do computador 2 6a/. 7ucro 5 11 8 (2 Su%eito 9: 1 C ;restrição qua!to 9 qua!tidade de gabi!etes peque!os< 2 ) ;restrição qua!to 9 qua!tidade de gabi!etes gra!des< 1 8 22 12 ;restrição qua!to 9 qua!tidade de u!idades de disco< 1 ? , 2 ?
– Um fu!do de i!$estime!tos tem at' *+(., para aplicar em duas açAes. " empresa E ' di$ersi=cada ;tem F do seu capital aplicado em cer$e%a e o resta!te aplicado em refrigera!tes< e espera@se que for!eça bo!i=caçAes de 12F. " empresa G !ão ' di$ersi=cada ;produz ape!as cer$e%a< e espera@se que distribua bo!i=caçAes de 2F. 3ara este i!$estime!to, co!sidera!do a legislação go$er!ame!tal aplic&$el, o fu!do est& su%eito 9s segui!tes restriçAes: a< O i!$estime!to !a empresa di$ersi=cada pode ati!gir *+2D.,H b< O i!$estime!to !a empresa !ão@di$ersi=cada pode ati!gir *+1).,H c< O i!$estime!to em cada produto ;cer$e%a ou refrigera!te< pode ati!gir *+1.,. 3ede@se: -ual ' o esquema de i!$estime!to que ma/imiza o lucro0 *S3OS4": E 5 qua!tidade a i!$estir !as açAes da empresa E G 5 qua!tidade a i!$estir !as açAes da empresa G 6a/. 7ucro 5 ,12E 8 ,2G Su%eito 9: E 8 G (. ;restrição qua!to total de i!$estime!tos< i!$estime!tos < E 2D. ;restrição qua!to ao i!$estime!to i!$estime!t o !a empresa di$ersi=cada< di$ersi=c ada< G 1). ;restrição qua!to ao i!$estime!to i!$estime!t o !a empresa !ão@di$ersi=cada< !ão@di$er si=cada< ,E 8 G 1. ;restrição qua!to ao i!$estime!to em cer$e%a< ,CE 1. ;restrição qua!to ao i!$estime!to em refrigera!te< refrigera!t e< E ? , G ?
! – Uma empresa !o ramo de madeiras produz madeira tipo compe!sado e madeira serrada comum e seus recursos são m ( de pi!ho e m ( de ca!ela. " madeira serrada d& um lucro de *+), por m ( e a madeira compe!sada d& um lucro de *+,D por m 2. 3ara produzir uma mistura comerci&$el de 1m ( de madeira serrada são requeridos 1m ( de pi!ho e (m( de ca!ela. 3ara produzir 1m 2 de madeira compe!sada são requeridos (m ( de pi!ho e )m ( de ca!ela. ompromissos de $e!da e/igem que se%am produzidos pelo me!os )m ( de madeira serrada e #m2 de madeira compe!sada. -ual ' o esquema de produção que ma/imiza o lucro de tal forma a usar o m&/imo possI$el do estoque de mat'ria@prima e produzir, !o mI!imo, o compromisso co!tratual0 *S3OS4": S 5 qua!tidade a produzir de madeira do tipo serrada 5 qua!tidade a produzir de madeira do tipo compe!sado 6a/. 7ucro 5 )S 8 ,D Su%eito 9: S 8 ,( ;restrição qua!to 9 qua!tidade de pi!ho< (S 8 ,) ;restrição qua!to 9 qua!tidade de ca!ela< S?) ;compromisso de $e!da de madeira serrada< ? # ;compromisso de $e!da de madeira tipo compe!sado<
" – Uma microempresa produz dois tipos de %ogos para adolesce!tes e sua capacidade de trabalho ' de ) horas sema!ais. O %ogo " requer ( horas para ser co!feccio!ado e propicia um lucro de *+(,, e!qua!to o %ogo B precisa de ) horas para ser produzido e acarreta um lucro de *+,. -ual o modelo do sistema de produção que ma/imiza o lucro0 *S3OS4": " 5 qua!tidade a produzir do %ogo " B 5 qua!tidade a produzir do %ogo B 6a/. 7ucro 5 (" 8 B Su%eito 9: (" 8 )B ) ;restrição qua!to 9 qua!tidade de horas de trabalho< " ? , B ?
# – Uma empresa aps um processo de racio!alização de produção =cou com dispo!ibilidade de trJs recursos produti$os, *1, *2, *(. Um estudo sobre o uso desses recursos i!dicou a possibilidade de se fabricar dois produtos 31 e 32. 7e$a!ta!do os custos e co!sulta!do o departame!to de $e!das sobre o preço de colocação !o mercado, $eri=cou@se que 31 daria um lucro de *+12 por u!idade e 32, *+1) por u!idade. O departame!to de produção for!eceu a segui!te tabela de usos dos recursos: $roduto 31 32 &isponi'ilidade de recursos por m(s
%ecurso %1 por unidade 2
%ecurso %2 por unidade ( 2
%ecurso %3 por unidade ) (
1
#
12
o!strua o modelo de produção me!sal do sistema. *S3OS4": /1 5 qua!tidade a produzir de 31 /2 5 qua!tidade a produzir de 32 6a/. 7ucro 5 12/1 8 1)/2 Su%eito 9: 2/1 8 /2 1 ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade do recurso *1< (/1 8 2/2 # ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade do recurso *2< )/1 8 (/2 12 ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade do recurso *(< /1 ? , /2 ?
) – " empresa 6* 6$eis fabrica m$eis para escritrio e oferece a uma cadeia de lo%as trJs produtos: mesa para computador, esta!te e cadeira com regulagem de altura e rodas. O $e!dedor da 6* 6$eis fecha um pedido de 1. mesas, esta!tes e 1.2 cadeiras, com prazo de e!trega de ) dias. Um estudo do departame!to de produção %& tem estimado a !ecessidade de mão de obra, madeira e compo!e!tes met&licos para a fabricação dos trJs ite!s e a dispo!ibilidade desses recursos !o perIodo de produção: *es a -ua!tidade a fabricar 6ão de obra ;horas>u!idade< 6adeira ;m2>u!idade< ompo!e!tes met&licos ;Kg>u!idade<
1. ( ( ,)
&isponi'ilidade de recursos no período
+stan te
Cadei ra
1.2
)
2 ,)
D.C horas D. m2
1
2
. Kg
" 6* 6$eis pode repassar seus pro%etos a outro fabrica!te e e!co!trar uma qua!tidade co!$e!ie!te desses produtos com a =!alidade de suprir o pedido. "ps co!sulta, chegou@ se !o quadro: usto da fabricação prpria ;*+< usto da fabricação por terceiros ;*+<
*esa
+stante
Cadeira
1
1(
#
12
1)
11)
O problema co!siste, agora, em determi!ar as qua!tias que a 6* 6$eis de$er& produzir e comprar de cada item, para mi!imizar o custo total desse pedido. o!strua o modelo. *S3OS4": /m , /e , /c 5 qua!tidades a ,a'ricar de mesas, esta!tes e cadeiras Lm , Le , Lc 5 qua!tidades a comprar de mesas, esta!tes e cadeiras 6i!. custo 5 1/ m 8 1(/e 8 # /c 8 12Lm 8 1)Le ,8 11)Lc Su%eito 9: /m 8 Lm ? 1. ;qua!tidade a fabricar e comprar de mesas< /e 8 Le ? ;qua!tidade a fabricar e comprar de esta!tes< /c 8 Lc ? 1.2 ;qua!tidade a fabricar e comprar de cadeiras< (/m 8 /e 8 2/c D.C ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade de mão de obra< (/m 8 )/e 8 ,)/c D. ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade de madeira< ,)/m 8 /e 8 2/c . ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade de comp. met&licos< /m ? , /e ?, /c ? , Lm ? , Le ? , Lc ?
1 – Uma determi!ada empresa fabrica 2 produtos "1 e "2. O lucro por u!idade de "1 ' de *+# e o lucro u!it&rio de "2 ' de *+11. " empresa !ecessita de 1 hora para fabricar uma u!idade de "1 e 2 horas para fabricar 1 u!idade de "2. O tempo me!sal dispo!I$el para essas ati$idades ' de horas. "s dema!das esperadas para os dois produtos le$am a empresa a decidir que os mo!ta!tes produzidos de "1 e "2 !ão de$em ultrapassar ( u!idades de "1 e 2 u!idades de "2 por mJs. o!strua o modelo do sistema de produção me!sal com o ob%eti$o de ma/imizar o lucro desta empresa. *S3OS4": /1 5 qua!tidade a produzir de "1 /2 5 qua!tidade a produzir de "2 6a/. 7ucro 5 #/1 8 11/2 Su%eito 9: 1/1 8 2/2 ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade de horas< /1 ( ;restrição qua!to 9 dema!da de "1< /2 2 ;restrição qua!to 9 dema!da de "2< /1 ? /2 ?
11 – Uma empresa fabrica dois modelos de computadores. O modelo 1, mais completo, requer o triplo de tempo de fabricação em relação ao modelo 2. Se todos os computadores fossem do modelo 2 a empresa poderia produzir (. u!idades por dia. " dispo!ibilidade dos produtos eletrM!icos permite fabricar 1. computadores de ambos os modelos por dia. Os computadores empregam difere!tes tipos de processadores, cu%a dispo!ibilidade di&ria ' de 1.# para 1 e 1.) para 2. Os lucros u!it&rios são de *+1. para 1 e *+ para 2. -ual o programa timo para a produção que ma/imiza o lucro total di&rio da empresa0 o!strua o modelo do sistema descrito. *S3OS4": /1 5 qua!tidade a produzir de 1 /2 5 qua!tidade a produzir de 2 6a/. 7ucro 5 1./1 8 /2 Su%eito 9:
(/1 8 /2 (. ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de produção por dia< /1 8 /2 1. ;restrição qua!to 9 qua!tidade de produtos eletrM!icos por dia< /1 1.# ;restrição qua!to 9 qua!tidade de processadores p> 1< /2 1.) ;restrição qua!to 9 qua!tidade de processadores p> 2< /1 ? , /2 ?
Lista de exercícios – &osagem Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir. Obs.: Seguir o roteiro proposto em aula. 1 – Uma liga especial co!stituIda de ferro, car$ão, silIcio e !Iquel pode ser obtida usa!do a mistura desses mi!erais puros. " liga de$e ter a segui!te composição =!al:
*atria-prima Nerro ar$ão SilIcio GIquel
/ mínima 1 1 (
/ máxima 2) 2) ( 1
Os custos dos materiais puros são ;por Kgdia, for!ece!do um lucro de *+(,>u!. " li!ha *&dios 7u/o comporta 2 pessoas e cada r&dio co!some 2 home!s>dia, for!ece!do um lucro de *+,>u!. Ee=!a as $ari&$eis de decisão, a fu!ção ob%eti$o e o sistema de restriçAes. 3 – 3ara a fabricação de cada u!idade dos produtos ", B, e E, são utilizadas, em Kg, as segui!tes mat'rias@primas: *atria $rima 6adeira 3l&stico "ço idro 4i!ta
$roduto A 2
7 1
1 1
C ( 1 ( 2 2
& 2 1 1
Os estoques das mat'rias@primas, em to!eladas, co!forme lista acima, são, respecti$ame!te: 1, 2, , 1, 1). Os lucros u!it&rios dos produtos, co!forme lista acima, são respecti$ame!te: *+2,, *+(,, *+2), e *+1),. Ob%eti$a@se esquematizar a produção para obter lucro m&/imo. Ee=!a as $ari&$eis de decisão, a fu!ção ob%eti$o e o sistema de restriçAes.
4 – Uma f&brica de m$eis tem como dois dos seus pri!cipais produtos mesas de madeira e mesas met&licas. "s mesas de madeira proporcio!am um lucro de + 12, por u!idade, %& as mesas met&licas determi!am um lucro de + 1, por u!idade. " fabricação de uma mesa de madeira requer 1) mi!utos da operação ", ( mi!utos da operação B e 2 mi!utos da operação . V& a produção de uma mesa met&lica e/ige ( mi!utos da operação " e 1) mi!utos da operação . " empresa dispAe de horas sema!ais para a operação ", ( horas sema!ais para a operação B e 2 horas sema!ais para a operação . 3ara gara!tir a $e!da de toda a sua produção, a empresa =rmou um co!trato de e/clusi$idade com um distribuidor. O mesmo e/ige que a produção mI!ima sema!al se%a de 1) mesas de madeira e 2 mesas met&licas. "l'm disto, em fu!ção da dema!da difere!ciada pelos dois tipos de produtos, o distribuidor e/ige que a relação e!tre as mesas de madeira e met&licas se%a !o mI!imo de 1:(, ou se%a, para cada mesa de madeira produzida podem ser produzidas !o m&/imo ( mesas met&licas. Normule o modelo de 3rogramação 7i!ear que represe!ta o problema acima, com ob%eti$o de ma/imizar o lucro sema!al da f&brica de m$eis. – Um pizzaiolo trabalha horas por dia e faz 1C pizzas por hora, caso faça some!te pizzas, e # calzo!es por hora, se =zer some!te calzo!es. le gasta gramas de quei%o para preparar uma pizza e C gramas de quei%o para fazer um calzo!e. Sabe!do@se que o
total dispo!I$el de quei%o ' de ) quilogramas por dia, e que a pizza ' $e!dida a *+ 1, e o calzo!e a *+22,, pergu!ta@se: qua!tas u!idades de pizzas e calzo!es uma pizzaria com trJs pizzaiolos de$e $e!der diariame!te para ma/imizar a sua receita0
! – " sportes *adicais S>" produz p&ra@quedas e asas@delta em duas li!has de mo!tagem. " primeira li!ha de mo!tagem tem 1 horas sema!ais dispo!I$eis para a fabricação dos produtos, e a segu!da li!ha tem um limite de 2 horas sema!ais. ada um dos produtos requer 1 horas de processame!to !a li!ha 1, e!qua!to que !a li!ha 2 o p&ra@quedas requer ( horas e a asa@delta requer D horas. Sabe!do que o mercado est& disposto a comprar toda a produção da empresa e que o lucro pela $e!da de cada p&ra@ quedas ' de *+ C, e para cada asa@delta $e!dida ' de *+ ,, e!co!tre a programação de produção que ma/imize o lucro da sportes *adicais S>". " – " i!dPstria "lumilYmi!as S>" i!iciou suas operaçAes em %a!eiro de 21 e %& $em co!quista!do espaço !o mercado de lami!ados brasileiro, te!do co!tratos fechados de for!ecime!to para todos os ( tipos difere!tes de lYmi!as de alumI!io que f&brica: espessuras =!a, m'dia e grossa. 4oda a produção da compa!hia ' realizada em duas f&bricas, uma localizada em São 3aulo e a outra !o *io de Va!eiro. Segu!do os co!tratos fechados, a empresa precisa e!tregar 1C to!eladas de lYmi!as =!as, C to!eladas de lYmi!as m'dias e 2 to!eladas de lYmi!as grossas. Ee$ido 9 qualidade dos produtos da "lumi!Ymi!as S>", h& uma dema!da e/tra para cada tipo de lYmi!as. " f&brica de São 3aulo tem um custo de produção di&ria de *+ 1., para uma capacidade produti$a de to!eladas de lYmi!as =!as, 1 to!elada de lYmi!as m'dias e 2 to!eladas de lYmi!as grossas por dia. O custo de produção di&rio da fabrica do *io de Va!eiro ' de *+ 2., para uma produção de 2 to!eladas de lYmi!as =!as, 1 to!elada de lYmi!as m'dias e D to!eladas de lYmi!as grossas. -ua!tos dias cada uma das fabricas de$er& operar para ate!der aos pedidos ao me!or custo possI$el0 # – Uma f&brica de le!ço de papel produz quatro tipos de produto: ", B, e E. " f&brica recebe o papel em gra!des rolos. Z cortado, dobrado e empacotado. Eada a peque!a escala da f&brica, o mercado absor$er& qualquer produção a um preço co!sta!te. Os lucros u!it&rios ;cai/a com 1. u!idades< de cada produto são, respecti$ame!te, *+1,, *+1),, *+1, e *+2,. O quadro abai/o ide!ti=ca o tempo !ecess&rio para operação ;em mi!utos para cada 1. u!idades< em cada seção da f&brica, bem como a qua!tidade de m&qui!as dispo!I$eis. o!sidere uma %or!ada de mi!utos. :eção
A
7
C
&
orte Eobra mpacotame !to
) 1
12 1)
1) 2
1 2)
=uantidade de *á8uinas )
1)
22
22
2)
(
) – Um fabrica!te de bri!quedos dese%a programar a produção de um determi!ado bri!quedo para ate!der a segui!te dema!da: W. Outubro: 1.2 u!idades WW. Go$embro: (.C u!idades WWW. Eezembro: 2. u!idades " capacidade !ormal de produção ' de 1.#2 u!idades. Usa!do horas@e/tras, obt'm@se uma capacidade adicio!al de 1.(2 u!idades>mJs. O custo de produção !ormal u!it&rio ' de *+ ,. Nora do tur!o !ormal o custo ' de *+ C2,>u!idade. O custo me!sal de armaze!agem ' de *+ 12,>u!idade. Supo!do que !ão e/ista estoque i!icial, e que o fabrica!te !ão dese%e estoque =!al em dezembro, formule um modelo de programação li!ear ;aprese!ta!do@o< para determi!ar qua!to produzir em cada um dos trJs meses, !o tur!o !ormal e !o e/tra, de ma!eira a mi!imizar o custo total.
1 – Uma estamparia pode fabricar pias de aço i!o/id&$el e>ou saladeiras do mesmo material. 3ara isto, utiliza com mat'ria@prima chapas de aço de um tama!ho P!ico, padro!izado. om cada chapa pode@se estampar uma pia e duas saladeiras ou e!tão seis saladeiras. "s sobras são eco!omicame!te i!apro$eit&$eis. Go processo de estamparia as chapas utilizadas para produzir pias e saladeiras requerem um tempo de mi!utos, e!qua!to que as chapas utilizadas para produzir ape!as saladeiras requerem um tempo de processame!to de 12 mi!utos. " empresa possui duas m&qui!as de estampar com uma dispo!ibilidade de horas sema!ais cada uma. O preço de $e!da de cada pia ' de + e de cada saladeira de + (. ada chapa de aço i!o/id&$el custa + . Os demais custos !ão depe!dem da decisão. Sabe@se por e/periJ!cia passada que !ão se co!segue $e!der mais do que saladeiras para cada pia $e!dida. " empresa possui um total de ) chapas de aço i!o/id&$el para a produção sema!al e dese%a saber qua!to de$e produzir de cada artigo para obter o maior lucro possI$el !o perIodo. 11 – Uma f&brica de r&dios produz os modelos ", B e , que for!ecem lucros de 1C, ( e ) reais por u!idade, respecti$ame!te. "s e/igJ!cias de produção mI!ima sema!al são ;em dPziasto!< e!tre as mi!eraçAes e as usi!as de be!e=ciame!to são co!hecidos e aprese!tados !a tabela a seguir, bem com as capacidades de produção ;to!< de cada mi!eração e as dema!das de comercialização ;to!< das usi!as de be!e=ciame!to.
*ineraçes " B &emanda das usinas
Dsinas de 'eneEciamento de co're Cidade 1 ) 1,)
Cidade 2 ) 1 (
Cidade 3 2 2
,D
1
(
Capacidade de *ineraçes ( 1 2
3or outro lado, tamb'm são co!hecidos os custos de e/tração do mi!'rio !as mi!eraçAes e de be!e=ciame!to !as usi!as, os quais estão aprese!tados !a tabela abai/o:
*ineraç es
Custos extração 5ton
Dsinas de 'eneEciamento
A 7 C
) ()
C0&A&+ 1 C0&A&+ 2 C0&A&+ 3
Custos de 'eneEciamento 5ton D C) C
Ob$iame!te, a empresa dese%a mi!imizar os custos totais ;somatrio dos custos de mi!eração, be!e=ciame!to e tra!sporte
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