Exercícios do Livro de Arnaldo García e Yves Lequain

Estruturas Algébricas Moisés Toledo

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13 de abril de 2012

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Solução Solução de exercício exercícioss - Lista Lista №1

Exercício Exercício 1. Faça os itens seguintes: a) Seja G = {e, g1 , g2 , . . . , gn } um grupo abeliano de ordem n + 1 . Suponha que G  possui um único elemento de ordem 2 , digamos g1 . Mostre que eg1 . . . gn = g1 .



b) Seja p um número número primo primo impar impar.. Mostr Mostree que o grupo grupo (Z p ,  p ) possui um único elemento de ordem 2 , a saber  p − 1 , e mostre que ( p − 1)! ≡ − 1 mod p (Teorema de Wilson). ∗

 Demonstração.

a) Suponhamos que eg1 g2 . . . gn =  g1 então eg1 g2 . . . gn = gi, para algum inteiro 2 ≤ i, assim g1g2 . . . gi 1 gi+1 . . . gn = e o qual nos indica que gk possui inversa gm com exceção de g1 (pois g1 1 = g1 ) isto é: g1 1 = g1 , . . . , g j 1 = gi , . . . , gn 1 = gi onde i j ∈ {1, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n} e n gi ∈ { g2 , g3 , . . . , gn } logo fazendo a contagem de elementos temos: ( +12 2) + 2 = n + 1 então n = 1 o qual contradiz ao fato da cardinalidade de G pois este tem pelo menos dois elementos (e, g1 e eg1g2 . . . gn = gi , pelo assumido no início). Por tanto eg1 g2 . . . gn =  g1 . −

−

−

−

−

j

n

−

j

b) Seja p um primo impar. É claro que se n = p − 1 então ( p − 1)( p − 1) = p2 − 2 p + 1, 2 então ( p − 1) · ( p − 1) = ( p − 1) = 1. Agora seja 1 =  n ∈ Z p tal que n2 − 1 ≡ 0 mod p, assim (n + 1)(n − 1) = λ ·  p, λ ∈ N, mas 2 ≤ n ≤ p − 1, logo p  (   (n − 1) e p | (n + 1), assim n = ( p − 1), assim n = p − 1. Por ultimo, utilizando o resultado do item anterior temos 1 · 2 . . . ( p − 1) = ( p − 1) então ( p − 1)! = ( p − 1) tomando congruência módulo p temos ( p − 1)! ≡ −1 mod p. ∗

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Exercício Exercício 2. Procur Procuree os elementos do grupo (Z24 , ∗



24 )

e calcule suas ordens.

Solução:

Faremos Faremos uso do seguinte resultado sobre a caraterização caraterização de elementos elementos invertíveis invertíveis em Zn : Um elemento a ∈ Zn é invertível se, e somente se,(a, n) = 1. Assim temos que: Z24 = {a; a = 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}. As ordens de seus elementos são facilmente calculados: ∗

O(1) = 1 O(13) = 2

O(5) = 2 O(17) = 2

O(7) = 2 O(19) = 2

O(11) = 2 O(23) = 2

Podemos observar que qualquer elemento (destinto de a = 1) é um gerador do grupo Z24 de ordem dois, por tanto ele é um grupo cíclico. ∗

Exercício 3. Seja p um número primo e G um grupo de ordem p2 . Mostre que G  possui no máximo p + 1 subgrupos de ordem p. Dê um exemplo onde a cota ( p + 1) é atingida e um exemplo onde a cota não é atingida. Solução:

O número de elementos a ∈ G tais que H  =< a p > é um subgrupo de G com ordem p é igual a p2 − 1. Como Como cada eleme elemento nto a está contido em o (único) grupo  p H  =< a > de p elementos o qual contem p − 1 elementos de ordem p (a saber (a p )i , i = 1, 2, . . . , p − 1) então o número de tais grupos H  é congruente módulo 1 módulo p. Se denotamos por P  = {H < G; O(H ) = p} então |P | ≡ 1 mod p, assim |P | =  pλ + 1. Mas como |G | = p2 − 1 então |P | = p − 1 ou |P | = p + 1. ∗

Exercício 4. Seja G um grupo e H, K  dois subgrupos de G. Suponha que (G : H ) e (G : K ) são finitos, Mostre que (G : H  ∩ K ) é finito.  Demonstração.

Primeiro Primeiro provaremos provaremos que a interseção interseção xH  ∩ yK  de classes de H  e K  o é vazio o é uma classe do subgrupo H  ∩ K : Se xH  ∩ yK  = ∅ o resultado segue. segue. Caso contrario contrario existe existe um z ∈ xH,yK  assim zH  = xH  e zK  = yK  logo existe w ∈ xH  ∩ yK  = zH  ∩ zK  se, e só se, existe h ∈ H, k ∈ K  tal que w = zh = zk se, e só se, z 1 w = h = k ∈ H  ∩ K  se, e só se, w ∈ z (H  ∩ K ) onde z (H  ∩ K ) é uma classe de H  ∩ K . −

Agora como qualquer classe de H  ∩ K  é uma interseção de classes de H  e K  então (G : H  ∩ K ) ≤ (G : H )( )(G : K ) < ∞.

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Exercício 5. Seja G um grupo tal que {e}, G são seus únicos subgrupos. Mostre que a ordem de G é um número primo.  Demonstração. Se |G| = m, então dado a ∈ G podemos considerar o grupo gerado < a >, assim | < a > | divide a ordem de G (pelo teorema de Lagrange), mais como os únicos subgrupos subgrupos de G são {e}, G então < a >= {e} ou < a >= G assim | < a > | = 1 ou | < a > | = |G| por tanto |G| = p, onde p um número primo.