Exercicios de Fenomenos de Transferencia de Massa

 

Exercícios de Fenómenos de Transferência de Massa

1º Semestre 2008/2009 CAP. 1. MECANISMOS DE TRA TRANSPORTE NSPORTE DE MASSA  1.1-Determine a difusividade de oxigénio em azoto à temperatura de 25 ºC e 1 atm. 1.2-Sabendo que o raio hidrodinâmico da sacarose é de 0.5 nm, determine a sua -3

diffusividade em água a 20 ºC. A viscosidade da água a esta temperatura é de 10   Pa.s. 

CAP. 2- DISTRIBUIÇÕES DE CONCENTRAÇÃO EM SÓLIDOS E EM ESCOAMENTO LAMINAR 2.1 Difusão em camada estagnante Um cristal plano de sulfato de cobre encontra-se num tanque de água pura a 20 °C. Estime a taxa de dissolução do cristal, considerando que a difusão molecular ocorre através de um filme de água de 0.0305 mm de espessura que rodeia o cristal. A solubilidade do sulfato de cobre em água corresponde a uma fracção molar de 0.0229 3

-3

(concentração média da solução igual a 56.2 56.2 10   mol m ). A difusividade do sulfato de -10

2

-1

cobre é igual a 7.29 7.2910  m  s . 

2.2. Difusão em camada estagnante em estado quase-estacionário quase-estacionário.. O método de Winkelman é um processo prático de determinação de difusividades de vapores. Basicamente faz-se passar uma corrente de gás perpendicularmente a um capilar contendo o líquido correspondente aos vapores em estudo (A). O gás,(B), isento de vapor deste líquido, passa a um caudal suficientemente elevado para que a pressão  parcial de vapor nesta corrente seja desprezável.  gás B puro

 

gás B puro

 L0

t=0

 L  

t = t 

líquido A

líquido A

  Se o capilar for termostatizado não existirão correntes de convecção natural na mistura gasosa no interior do capilar, sendo válida a equação e quação de difusão em camada estagnante:  N Az = - C DAB    dx A + xA N   N Az  dz 

 

A taxa de evaporação do tetracloreto de carbono (A) em ar (B) pode ser estimada a  partir da variação do menisco no capilar. Esta variação é registada na tabela:

Com

t  (h:min)  (h:min)

 L  –   L L0 (cm)

0:00

0

0:26

0,25

3:05

1,29

7:36

2,32

base nestes dados dados experimentais calcule a difusividade,  D AB, a 48 ºC e 1

-3 atmosfera. ( Dados:   Dados:  P VA  A = 1,54 g cm ). VA = 282 mm Hg,   

2.3- Difusão em camada estagnante. Considere a evaporação de um líquido A para a atmosfera ( P   = 1 atm). O processo ocorre através de um filme de ar estagnante adjacente de espessura  . A partir de que valor de temperatura é que o transporte convectivo de A se torna significativo? Assuma que o transporte convectivo se torna t orna significativo quando o fluxo respectivo for superior a 10 % do fluxo difusivo. A variação da pressão de vapor de A com a temperatura é dada pela seguinte equação de Antoine: 1552 8.04   T (º C )  222.7

 P (mmHg )  10

 

2.4- Difusão em camada estagnante: contra-difusão equimolecu equimolecular lar Considere uma coluna de destilação simples, consistindo num tubo vertical, na base do qual é fornecida uma mistura binária de benzeno (B) e tolueno (T). Os vapores no topo da coluna condensam e parte é recirculada como um filme líquido que escorre pelo interior do tubo. Numa dada secção da coluna o vapor contém 85.3% (molar) de  benzeno e o filme líquido adjacente 70.0%. A temperatura é de 86.8 ºC. º C. A resistência difusional à transferência de massa entre a interface vapor-líquido e o interior da corrente gasosa é equivalente à resistência difusional de uma camada estagnada de gás com espessura   de   de 2.54 cm. Calcule o fluxo molar de benzeno na referida secção da coluna. Admita que a curvatura da camada estagnada é desprezável e que os calores latentes do vapor de benzeno e do vapor de tolueno são aproximadamente iguais. Dados: D Dados:  D BT = 5.06 × 10-6 m2s-1, PvT = 49140 Pa, P total = 1.01× 105 Pa. 

 

2.5 - Teoria do filme: difusão com reacção heterogénea (I). Considere o reactor catalítico esquematizado na figura e onde se processa a reacção de  polimerização nA  An:

e An

A reacção ocorre instantaneamente na superfície catalítica. Considere uma resistência ao transporte de A e An, situada num filme de gás de espessura   em  em redor das partículas esféricas de catalisador. Simplifique a equação da continuidade para A e escreva uma expressão que permita calcular a taxa de consumo de A por unidade de área interfacial de catalisador.

2.6 -Teoria do filme: difusão com reacção heterogénea (II).  Numa câmara de combustão o O2  difunde-se do ar para a superfície de partículas esféricas de carvão e reage dando CO e/ou CO2. Admita que a reacção é instantânea e ocorre apenas à superfície. Em estado estacionário e assumindo que em redor das  partículas de carvão há uma camada estagnante muito espessa, obtenha a taxa de transferência de O2 para as três situações seguintes: a) Se só se formar CO2 na superfície do carvão  b) Se só se formar CO na superfície do carvão c) Se ocorrer a seguinte reacção: 3C + 2O2   2CO + CO2 

2.7 - Difusão com reacção química em camada estagnante. Considere a dissolução de CO 2  numa solução alcalina contendo um catalisador. A solução encontra-se numa proveta de altura  L   L  = 0,5 cm. O CO 2  absorvido reage -1

irreversivelmente de acordo com uma lei de 1ª ordem com k  =  = 35 s . A solubilidade do CO2 na solução é igual a 3 x 10 -2 kmol m-3 e o coeficiente de difusão é igual a 1,5 x 10 -9  2 -1

ms . a) Escreva a equação diferencial e as condições fronteira que descrevem o transporte de CO2 através da solução em estado estacionário.  b) O perfil de concentrações de CO2 na proveta é dado pela equação:

C  A C  A0





 

cosh L k 1  D    AB 1  z  L 



cosh L k 1  D AB



Demonstre que esta equação satisfaz a equação diferencial obtida em a). c) Calcule a taxa de dissolução d dee CO2 e a sua concentração média na solução.

 

2.8 - Difusão em meio semi-infinito semi-infinito (i) Uma placa muito espessa de um material poroso está impregnada de um solvente A ccom om -3

uma concentração uniforme e igual a c A   = 1000 mol m . Subitamente, uma das faces é  A  exposta a uma corrente turbulenta de uma solução aquosa com uma concentração do solvente A, c A0  = 100 mol m-3. Calcule a concentração de solvente na placa a 0.01 cm da superfície e ao fim de 1 hora. A difusividade do solvente no sólido é igual a 4 × 10 -9  m2 s-1.

2.9 -Difusão em meio semi-infinito (ii)  Num dado ensaio, a difusividade de NO2  em água é medida colocando num dado instante NO2 em contacto com água pura a 16ºC e a 0.93 atm num recipiente imóvel. Sabendo que a área da superfície de contacto de 36.3 cm 2 e que a água absorve 0.83 cm 3  de NO2 em 3 minutos, determine a difusividade. 3

-1

Dados: constante de Henry = 37 000 atm cm  mol .

2.10 - Absorção em coluna de paredes molhadas.  Numa pequena coluna de paredes molhadas de 30 cm de altura e 3 cm de diâmetro efectua-se a purificação de uma corrente de ar contaminada com vapores de NH3. O fluido absorvente é água que circula num filme descendente de espessura 0,07 cm, e com um perfil de velocidades (cm/s) igual a vz(  x) x)  =4.5 cm/s   [1-(  x/0.07 x/0.07 cm)2]. Considere que a solubilidade de NH 3 em água é igual a 1.16 x 10 -4  mol cm-3  e que a -5

2

-1

difusividade de NH3 em água é de 1.6 x 10  cm  s . a) Escreva a equação diferencial e as condições fronteira que descrevem o transporte de NH3 através da solução em estado estacionário.  b) Calcule a taxa de remoção de NH3 da fase gasosa. c) Considere que a corrente de ar à entrada tem uma concentração de NH 3  igual a 2   10-6  mol cm-3, e que circula a uma velocidade de 40 cm s -1. Calcule a concentração de NH3 à saída.

 

CAP. 3. EQUAÇÕES DA CONTINUIDADE PARA UMA MISTURA BINÁRIA   3.1 Difusão radial em e m coordenadas cilíndricas Um método de difusão corrente para separar hélio de gás natural baseia-se no facto do vidro  pyrex  pyrex   ser praticamente impermeável a todos os gases, excepto ao hélio. Por exemplo, o coeficiente de difusão do hélio através do  pyrex  pyrex é  é cerca de 25 vezes maior que o coeficiente de difusão do hidrogénio no mesmo material, sendo o hidrogénio o "competidor" mais próximo no processo de difusão. O método oferece presumivelmente a possibilidade de efectuar separações mais eficientes e económicas do que o método alternativo de destilação a baixa temperatura. Supor uma mistura de gás natural contida num tubo de pyrex de  pyrex fechado  fechado nos topos. Obter uma expressão para a taxa de passagem do hélio através das paredes laterais do tubo, em função da sua difusividade no  pyrex  pyrex,, das concentrações interfaciais e das dimensões do tubo.

3.2 Difusão radial em e m coordenadas esféricas Uma gotícula de substância A de raio  R1 é suspensa numa corrente de gás B. Admite-se que existe um filme de gás estagnado em torno da gota de raio  R2. A concentração de A na fase gasosa é x é x A1 para r   = R = R1 e  e x  x A2 para r  = R  = R2. a) Escreva uma expressão para o fluxo de A na interface r   = R = R1.  b) Definindo um coeficiente de transferência de massa K  massa  K  p através da equação  N  Ar1 = K  p (  p p A1  - p  p A2), mostre que quando R quando R2  : 2CD AB    K  p    D( p B ) ln sendo D sendo  D o  o diâmetro da gotícula.  K  p ( p B ) ln D mostre que Sh = 2. c) Definindo Sh  CD AB

3.3 Difusão numa placa plana em estado transiente. Uma placa de madeira húmida de dimensões 12" x 12" x 1" é exposta a ar relativamente seco. As extremidades são inicialmente isoladas para limitar o processo de secagem às faces de maiores dimensões da placa. O líquido interno difunde-se até à superfície onde se evapora para a corrente de ar. A quantidade de humidade na superfície permanece constante e igual a 7% (% mássica). Após 10 h de secagem a quantidade de humidade do centro diminui de 15 para 10 % (% mássica). Considerar que o coeficiente de transferência de massa é suficientemente grande, e que por conseguinte a resistência externa à transferência de massa é praticamente nula. Calcular: a) o coeficiente de d difusão ifusão efectiva.  b) a humidade no centro se a evaporação se der através das seis faces da placa.

 

c) o tempo necessário para baixar a quantidade de humidade no centro de um cubo (1 ft3) dessa madeira, de 15 para 10 %, utilizando as seis faces.  Factores de conversão:  conversão: 

1" = 1/12 ft ; 1 ft = 0,3048 m

3.4 - Um cilíndro de um gel de agarose, com 30,5 mm de diâmetro e 38,1 mm de altura, contém uma concentração uniforme de ureia igual a 100 moles/m 3. O coeficiente de difusão da ureia é igual a 4,72 x 10 -10  m2s-1. Calcule a concentração de ureia no ponto médio do cilíndro, 100 h após a sua imersão em água pura muito agitada. a) Considere que a difusão ocorre apenas radialmente.  b) Considere que a difusão ocorre radial e axialmente (aplique o princípio da sobreposição).

3.5 - No processo de fabrico de aço, uma suspensão de partículas de ferro fundido com 4 % p/p de carbono cai através de uma atmosfera de oxigénio. Ao longo da queda o carbono à superfície das partículas reage instantaneamente com o oxigénio: 1 C  O2 ( g )  CO2 ( g )    2 Calcule o tamanho máximo das partículas de forma a que após uma queda de 2 s a

concentração de carbono no centro das partículas seja inferior a 0,1 % p/p. A difusividade do carbono no ferro é igual a 7,5 x 10-9 m2s-1.

3.6 - Difusão em estado transiente Considere o processo de envernizamento de placas planas de madeira. Pretende-se cobrir uma das faces das placas com uma camada de verniz de espessura  . O verniz é  preparado por adição de um solvente. Após Após aplicação, o processo de secagem consiste na difusão do solvente através da camada de verniz e evaporação para a atmosfera. A secagem ocorre numa atmosfera em que a concentração de solvente é praticamente nula. A madeira e o verniz seco são impermeáveis ao solvente. a) Escreva a equação diferencial e as condições fronteira que descrevem o transporte de solvente através de uma camada de verniz.  b) Um pintor A decide decide efectuar a tarefa em duas etapas, aplicando primeiro uma camada mais fina de verniz (espessura    /2  /2)) e aguardando a sua secagem completa. Na segunda etapa aplica nova camada fina (espessura    /2  /2). ). O pintor B executa a tarefa numa só etapa, aplicando logo uma camada de verniz de espessura  , e aguardando a sua secagem completa. Considere a secagem completa quando a concentração de solvente

 

nas interfaces madeira/verniz e 1ª camada de verniz/2ª camada de verniz (pintor A) é igual a 0,1 % da concentração inicial. Calcule a razão entre o tempo de secagem da camada de espessura  , e o tempo de secagem de uma camada de espessura   /2  /2.. Qual dos pintores termina o trabalho mais rapidamente? Refira e justifique todas as hipóteses que assumir.

3.7  - Um reactor de aço com um revestimento de plástico é transportado de uma sala escura para um local onde é constantemente exposto à luz. O revestimento de plástico com uma espessura de 5 mm contém um anti-oxidante anti-oxidante (componente “A”) com uma concentração de 5 % (peso). Na presença de luz, o anti-oxidante é instável, decompondo-se em diferentes produtos altamente voláteis. A reacção é instantânea e luz 

ocorre irreversivelmente:  A     pro produ dutos tos . revestimento plástico c/ A luz reactor   parede do reactor 

5 mm

  Como o plástico é opaco, a reacção de degradação ocorre apenas na superfície externa do plástico onde a luz incide. a) Esboce o perfil de concentração de A dentro do revestimento para t>0, sendo t>>0,  sendo t = 0 o 0 o instante em que o reactor é primeiramente exposto à luz.  b) Assim que o revestimento de plástico plástic o perder o anti-oxidante anti -oxidante o reactor tem que ser retirado de operação e revestido novamente. Considera-se que tal deve ser efectuado quando a concentração de A na parede de aço do reactor for igual a 10% da concentração original. Estime durante quanto tempo pode o reactor ser operado antes de se proceder a novo revestimento. O coeficiente de difusão de A -8

2 -1

no plástico é igual a 2 x 10  cm s . Justifique convenientemente a sua resposta.

 

CAP. 4. TRANSPORTE DE MASSA ENTRE DUAS FASES  –  COEFICIENTES   COEFICIENTES DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA 

4.1 - Bolhas de bromo gasoso dissolvem-se rapidamente em água bem agitada contida num recipiente. Ao fim de três minutos a concentração de bromo dissolvido na água é metade do valor de saturação. Qual é o coeficiente de transferência de massa, ka (onde ka (onde a  é uma área específica definida como a razão entre a área de transferência de massa e o volume de solução)?

C(t)

4.2

  -  Uma bolha de oxigénio puro com um diâmetro inicial de 0.1 cm é injectada em

água pura agitada. Após 7 min o diâmetro da bolha reduziu-se para 0.054 cm. A pressão total é de 1 atm e a temperatura igual a 0 °C. Calcule o coeficiente de transferência de massa.  Dados: Concentração de saturação de oxigénio em água a 1 atm e 0 °C = 1.5 × 10-3 M, volume molar de um gás a 1 atm e 0 °C = 22.4 dm 3mol-1

4.3 - Considere um humidificador como o esquematizado na figura abaixo. O ar encontra-se inicialmente seco. A temperatura mantém-se a 25 °C, sendo a pressão de vapor da àgua a esta temperatura igual a 23.8 mmHg. O recipiente contém 0.8 l de água com 150 cm2 de área interfacial. O volume total é de 19.2 l. Ao fim de três minutos o ar atingiu uma saturação de 0.05 % (molar). Qual o tempo necessário para a saturação atingir 90 % (molar) ?  Ar 

C(t)

 Água  

4.4 - Pretende-se arejar água contida num tanque de 2 m 3 de volume e 2.5 m de altura 3

-1

utilizando um caudal de ar de 0.03 m   min   que é injectado através de um difusor colocado na base. Este difusor produz bolhas de ar de 0.3 cm de diâmetro que sobem a uma velocidade de 10 cm s -1. Quanto tempo é necessário para para se atingir atingir 50 % da saturação no tanque?  tanque?  13

       g   k   0.31      Sc 2 3   2    água    

 

-3   -3   Dados:   = 10-3 kg m-1 s-1;   ar  ar  = 1.29 kg m ;  água água = 997 kg m ;

 Dar-água = 2.1×10-9 m2 s-1 

4.5  - Considere um reactor tubular com um enchimento de esferas de ácido benzóico de 0.2 cm de diâmetro. As esferas têm 23 cm 2  de superfície por cm 3  de leito de enchimento. Uma corrente de água com uma velocidade superficial de circulação de -1 5 cm s  atinge 62 % da saturação em ácido benzóico depois de atravessar 100 cm de enchimento. a) Qual é o coeficiente de transferência de massa?  b) Qual é o coeficiente de transferência de massa médio, baseado numa média logarítmica?

4.6  - Uma corrente de ar contendo um vapor A solúvel em água escoa-se em sentido ascendente numa coluna experimental de 10 cm de diâmetro de acordo com a seguinte figura: Água pura

Ar + gás solúvel

Água c/ gás dissolvido

  O coeficiente de transferência de massa num filme líquido descendente, k c, é dado por:

Sh z   0.69

 zV   D AB

, em que

Sh z  

k c z  D AB

, sendo  z  a   a posição no filme e V  a   a velocidade

média do líquido.. Um filme de água de 0.07 cm de espessura escorre junto às paredes com uma velocidade de 3 cm s-1. O ar encontra-se perfeitamente agitado até à interface. O coeficiente de difusão do vapor absorvido em água é igual a 1.8 × 10-5 cm2s-1. Qual a altura da coluna necessária para se obter uma corrente de água com uma concentração de gás igual a 10 % do valor de saturação?

 

4.7 - Moldou-se ácido benzóico sob a forma de um tubo liso de 1.25 cm de raio ( R ( R)) e 0.9 m de comprimento ( L).  L). Fez-se passar água a 15 °C no interior do tubo tendo-se obtido os seguintes resultados.  Ensaio

V  (m/s) C  AL (moles m-3)

1

2

1.2 0.0733

3 0.0611

onde V  é   é a velocidade de circulação da água e C  AL a concentração de ácido benzóico à saída do tubo. Suponha válida uma correlação do tipo Sh = A =  A RebScc. A solubilidade do ácido benzóico em água (C  (C * A) a 15 °C é igual a 20.4 moles m -3. a) A partir de um balanço mássico diferencial deduza uma expressão para C  AL  em função de L de  L,, V,  V,  R, R, C * A e k c (coeficiente de transferência de massa). Rearranje esta equação escrevendo agora k c em função de C  AL, V , R,  R, C * A e  e L  L..  b) Calcule o valor de b na correlação Sh = A = A Re b Scc a partir dos resultados da tabela e da equação de k  obtida  obtida na alínea anterior. c) Calcule a concentração à saída de um tubo de ácido benzóico com o mesmo diâmetro e um comprimento de 300 m por onde circula água a uma velocidade de 2.1 m s-1.

4.8  - Preveja o coeficiente de de transferência de massa para álcool butílico que se vaporiza em ar turbulento a 26 °C e 1 atm, sabendo que o coeficiente de transferência de -2

-1

-3

-5

calor nesse sistema é h = 318 W m K    ( Dados  Dados::    =1,183   =1,183 kg m ;   =1,85   =1,85 x 10  Pa s; -1 -1 -4 2 -1 Cp =1004,8 Cp  =1004,8 J kg K  ; DAB = 0,135 x 10  m s ).

4.9 - Considere um tubo moldado em ácido benzóico com 2,5 cm de diâmetro e 1 m de comprimento. Fazendo passar água interiormente a uma velocidade de 4 m s -1, mediu-se uma queda de pressão de 5888 Pa. Utilizando a analogia de Chilton-Colburn, calcule a concentração de ácido benzóico à saída do tubo. ( Dados  Dados::    =  = 103 kg m-3;   =  = 10-3 kg m-1  s-1; D AB = 1,25 x 10-9 m2s-1; C * = 20,4 mol m-3)

4.10 - O efeito de arrefecimento provocado pela evaporação a partir de uma superfície molhada pode ser usado para analisar certas misturas simples de gases. Considerar, por exemplo, o arranjo da figura em que a mistura de gás condensável condensável B circula junto a um par de termómetros cilíndricos longos.

A  e gás não

 

  T w

T o

corrente gasosa

líquido A

 Num dos termómetros deixou-se o bolbo descoberto (termómetro de bolbo seco) e no outro cobriu-se o bolbo com um algodão saturado com líquido A (termómetro de  bolbo húmido). Líquido fresco

A  à temperatura do termómetro húmido circula

continuamente no sentido ascendente do algodão por capilaridade, a partir do reservatório situado a um nível inferior. Desenvolver uma equação que relacione a composição da corrente gasosa em A, em função das leituras dos dois termómetros. Efectuar os cálculos para uma mistura de ar/água à pressão atmosférica, sendo a temperatura do termómetro húmido igual a 70 °F e a temperatura do-1termómetro seco igual a 140 °F. ( Dados: x A0 = 0,0247; C  p (105 °F) = 6,98 Btu mol  °F-1;  H vap vap  (70 °F) = 18900 Btu mol -1 ; Sc Sc =  = 0,58, Pr  0,58, Pr  =  = 0,74).

 

ANEXOS er f (  )  Tabela da Função erro:  erf 

2

  

 

0

 

er erf  f (  )  

 

er erf  f (  )  

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

0.0000 0.2227 0.4284 0.6039 0.7421 0.8427 0.9103 0.9523

1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

0.9763 0.9891 0.9953 0.9981 0.9993 0.9998 0.9999 1.0000

    2

e

d    

 

 

 

Equações da continuidade de A com fluxos molares Coordenadass rectangulares: Coordenada rectangulares:

c A   N  Ax  N  Ay  N  Az      R A       t     x  y  z    Coordenadas cilíndricas: Coordenadas c A  1  (rN  Ar ) 1  N  A 

 t    r 

r 



r   



 N  Az     R A    z   

Coordenadass esféricas: Coordenada

c A   1 (r 2 N  Ar ) 1 ( N  A  sin  ) 1  N  A     R A     2   r sin   r sin       t   r  r   

Equações da continuidade de A para constantes.

e

D AB

Coordenadass rectangulares: Coordenada rectangulares:

  2 c A  2 c A  2 c A   c A   c A c A   c A   D AB  2  2  2   R A    v z   v y   v x  z    y t     x  z     y    x Coordenadass cilíndricas: Coordenada

 1    c A   1  2 c A  2 c A   c A   c A c A   1 c A   vr   v   v z   2   R A   D AB   r   2 2 t    r   z    z    r     r  r   r   r      Coordenadass esféricas: Coordenada

c A   c A 1 c A 1 c A      vr   v    v  t    r  r sin       r        1    2 c A   c A      1  2 c A   1   R A   D AB  2  r   2  sin    2 2      r  sin        r  r   r    r  sin      

 

DIAGRAMAS DE GURNEY-LURIE

 

DIAGRAMAS DE GURNEY-LURIE: COORDENADAS RECTANGULARES

 

DIAGRAMAS DE GURNEY-LURIE: COORDENADAS CILÍNDRICAS

 

DIAGRAMAS DE GURNEY-LURIE: COORDENADAS ESFÉRICAS