Exercicios de Derivadas Resolvidos

 

Segue abaixo alguns exemplos de otimização fazendo uso de derivadas. V Vejam ejam que para encontrarmos os valores de máximo ou mínimo, primeiramente devemos encontrar a função que nos leva à solução do problema, calcular sua derivada, obtendo uma função dependendo somente de uma variável. Em seguida, igualamos a zero, obtendo uma equação. Agora é só calcular seu valor e obteremos o valor de máximo ou de mínimo.

Exemplo 1: Dado um cone de geratriz igual a 5 cm, determinar suas dimensões de modo que se tenha o maio volume possível. Primeiramente, vamos esboçar um cone genérico, destacando o triângulo retângulo:

Lembremos que o volume de um cone é dado por:

[Figura 1-1]

[Veja a demonstração aqui] Dos dados fornecidos no enunciado do problema, temos que:

Substituímos o valor de r da (1.2) na fórmula do volume de cone:

Agora, vamos calcular a deriva da função V (h):

Igualamos a zero para obtermos uma equação que nos leva ao valor de máximo:

 

Já encontramos a altura h do cone. Para encontrarmos o raio r de sua base, substituímo substituímoss o valor de h na (1.1):

O cone que possui geratriz igual a 5 cm e que possui o maior volume é o de medidas:

Exemplo 2: Deseja-se confeccionar uma trave para um campo de futebol com uma viga de 18m  de comprimento. Encontre as dimensões para que a área do gol seja máxima. Vamos esboçar um desenho de uma trave genérica:

[Figura 2-1] Pelos dados fornecidos pelo enunciado do problema, temos que:

A área do gol é dada pela fórmula da área do retângulo formado:

 

Substituímos a (2.1) na (2.2), obtendo:

Calculamos, agora, a derivada da função A( x   x ): ): Igualando a zero, obtermos uma equação linear que nos leva ao cálculo de máximo:

Encontramos a altura  x   da trave. Para encontrarmos sua altura, substituímos o valor  de x  na  na (2.1):

Portanto, a trave deverá ter altura de 4,5 m e largura de 9 m para que a área de gol seja a maior possível. Observação: As dimensões oficiais de uma trave de futebol é 7,32 m de largura entre os  postes e 2,44 2,44m de altura.

Exemplo 3: Um fabricante de caixas de papelão pretende fazer caixas sem tampas a  partir de folhas quadrada quadradass de cartão com área igual a 576 cm2, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Determinar o lado do quadrado que deve ser cortado para se obter uma caixa com o maior volume possível. Interpretando o enunciado, podemos esboçar:

[Figura 3-1] Como a área total é de 576 cm2, o lado da folha é:

 

O volume da caixa será dado por:

Calculamos agora a derivada da função V ( x   x ): ): Igualamos a zero, obtendo a equação quadrática:

Dividimos a equação por 12, obtemos:

Encontramos dois valores para x  mas Encontramos  mas vejam que somente  x 2 satisfaz o problema, já que se temos o lado da folha igual a l  =  = 24 – 2 x , se substituirmos x 1, obtermos um lado nulo. Então a caixa deverá ter as dimensões de: Lado:

Altura:

Exemplo 4: Dividin Dividindo do um arame de comprimen comprimento to  L em duas partes, faz-se com uma das partes uma circunferência e com a outra um quadrado. Determinar o ponto em que se deve cortar o arame para que a soma das áreas geradas pelo quadrado e circunferência seja mínima. Vamos fazer uma figura representativa:

 

[Figura 4-1] Vamos adotar que a parte do arame de comprimento  x  será  será a da circunferência C  e  e que a  parte do arame de ccompriment omprimento o  L – x   será do perímetro  P  do  do quadrado. Então temos: O comprimento da circunferência é dado por:

A área do círculo é dada por:

Substituindo (4.2) na (4.1), obtemos:

Do quadrado, temos:

A área do quadrado é dada por:

Substituindo (4.4) na (4.5), obtemos:

Queremos que a soma das áreas do círculo e do quadrado seja mínima, então somamos as duas áreas, dadas pelas (4.3) e (4.6):

 

Calculamos agora, a derivada da função AT ( x   x ). ). Vejam que a função está em termos de x  e  e π L2 é uma constante:

Igualamos a zero e obtemos a equação:

Portanto, o arame deverá ser cortado no ponto:

Exemplo 5: Dentre todos os retângulos de perímetro 64c m, encontre as medidas de um em que sua áreas seja máxima. Temos o retângulo:

O perímetro é dado por:

Da (5.1) obtermos:

A área do retângulo é dada por:

Substituindo (5.2) na (5.3), obtemos:

[Figura 5-1]

 

Calculamos agora a derivada da (5.4):

Igualamos a zero obtendo a equação:

Agora que já encontramos o valor de um dos lados do retângulo, substituímos o valor  encontrado na (5.2):

Com este resultado, concluímos que, para que a área seja máxima, o quadrilá quadrilátero tero pedido é um quadrado de lado 16 cm.

Exemplo 6: Dada a figura abaixo, encontre as dimensões do retângulo destacado  para que sua área se seja ja máxim máxima. a.

[Figura 6-1] Temos que encontrar ema equação em termos de  x  e  e y. Por semelhança de triângulo temos:

[Figura6-2]

A área do retângulo é dada por:

 

Substituímos o valor de x  na  na (6.2):

Calculamos sua derivada:

Agora, igualamos a zero:

Substituímos o valor de y na (6.1):

Portanto, para que o retângulo tenha área máxima, seus lados devem medir 3 e 4 e sua área será de 12 unidades de área.

Exemplo 7:  Observando a figura abaixo, encontre o valor de  x  para   para que a área sombreada seja máxima.

[Figura 7-1] A área sombreada será dada pela diferença das áreas:

Vamos encontrar a área AI :

 

Agora vamos encontrar a área AII :

Substituímos as (7.2) e (7.3) na (7.1), encontrando a função quadrática:

Calculamos sua derivada:

Igualamoss a zero: Igualamo

Agora já podemos encontrar os valores dos lados dos dois triângulos  I  e  e II , mas ainda falta encontrar o valor da hipotenusa:

[Figura 7-2] Do triângulo I  temos:  temos:

Do triângulo II  temos:  temos:

Logo os triângulos possuem as medidas de:

 

[Figura 7-3]

Exemplo 8: Determine a medida do raio e da altura de um cone que contém uma esfera de raio 8 unidades e com volume mínimo.

[Figura 8-1] Anal An alisa isand ndo o a fig figur ura, a, po podem demos os de desta staca carr do dois is triân triângul gulos os ret retân ângul gulos os e ve verif rific icar ar sua suass semelhanças:

[Figura 8-2]

 (8.1)

Por semelhança de triângulos, temos:

 

Elevando ambos os membros ao quadrado, eliminamos a raiz:

O volume de um cone é dado por:

Substituímos Substituím os a altura h = y + 8 e a (8.3) na (8.4), obtendo:

 Notem que temos uma função quocien quociente te do volume em função de y. Calculemos sua derivada (veja demonstração aqui):

Agora, podemos podemos igualar a zero, mas observem que o valor de y deve ser diferente de 8 e de 0:

Vejam que a (8.6) nos dá uma equação composta por uma razão entre duas equações, onde nos leva a uma igualdade a zero. Mas como o denominador não deve ser igual a zero, nos resta que a equação do numerador seja igual a zero. Neste caso, também descartamos 64π, pois é uma constante. Assim, obtemos uma equação quadrática:

 

Vejam que y2 não nos interessa, portanto, tomamos 24 como valor de y. Para determinarmos as medidas do cone, tomamos a altura do cone, dada por:

Agora vamos determinar o raio da base do cone, utilizando a (8.2):

As medidas do raio da base do cone e de sua altura são: