EXERCÍCIOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS II
Professor Prof essora a Ruth Pastôra Pastôra Sarai Saraiva va Leão Universidade Federal do Ceará – UFC
Capítulo 01 Exercícios
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA CIRCUITOS ELÉTRICOS II PROFa:RUTH P.S. LEÃO
LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Qual o período, a freqüência e a velocidade angular de uma onda senoidal em que 5 ciclos são realizados em 12 s? −
O período T de uma onda senoidal é o tempo necessário para completar um ciclo completo da onda. 5c − 12ms 1c − x
−
12 = 2,4 2, 4ms 5
Freqüência
=
f
−
x =
⇒
1 T
=
1 = 420Hz 2, 4× 10−3
Velocidade angular ω
= 2π f = 2π × 420 = 2638, 94 rad
2638, 94 rad s ≡ 2638, 94 ×
180
s
rpm × 60 ≅ 9 × 106 rp
π
2. Se o pico positivo de uma onda senoidal ocorre em 1ms e o próximo pico positivo ocorre em 2,5ms, qual o período da onda? t1
t2
t1=1ms t2=2,5ms T=t2-t1=1,5ms
3. Se o tempo entre picos negativos de uma dada onda senoidal é 50 μs, qual a freqüência da onda? T
= 50μ s
⇒
f
=
1
1 − = 200kHz T 50 × 10 6
=
4. Certa onda senoidal percorre 4 ciclos em 20 ms. Qual a freqüência da onda? − A freqüência de uma onda é dada pelo número de ciclos realizados em 1s. 4c − 0,020s x − 1s
⇒
x=
4 = 200Hz 0,020
5. Quantos pontos máximos têm uma onda senoidal de 60 Hz? −
Se em um ciclo há 2 pontos máximos em 60 ciclos haverá 120 pontos máximos a cada segundo.
6. Um gerador de 2 pares de pólos tem uma rotação de 100 rps. Determine a freqüência da tensão gerada. p
= ⋅ n = 2 ×100 = 200 Hz 2
f
7. Se a freqüência gerada de um gerador de quatro pólos é 60 Hz, qual a velocidade de rotação em rpm? f
=
p ⋅ n
120
⇒
n=
120 f p
=
120 × 60 = 1800rpm 4
8. Determine o valor eficaz de uma onda senoidal de amplitude igual a 4,5 V, e o valor médio da onda de meio ciclo. − O valor eficaz de uma onda senoidal é igual ao V p/√2. Vrms = −
V p 2
=
4,5 = 3,182V 2
O valor médio de uma onda senoidal completa retificada é igual a Vmed=0,6366.V p.
Vmed = 0,6366 ⋅ V p = 0,6366 × 4,5 = 2,865V
9. Qual o valor eficaz em cada um dos seguintes casos: V p=2,5 V; V pp=10 V; Vmed=1,5 V? V p
Para V p=2,5V ⇒ Vrms =
−
Para V pp=10V ⇒ Vrms =
−
Para Vmed=1,5V ⇒ Vmed = 0,6366 ⋅ 2 ⋅ Vrms ) ∴ Vrms =
2
=
2,5 = 1,768V 2
−
V pp 2⋅ 2
=
10 = 3,536V 2⋅ 2
1,5 = 1,666V 2 × 0,6366
10. Calcule o valor médio de meia onda para ondas senoidais de: V p= 10 V; Vrms=2,3 V; V pp=60 V. 2
⎛ 2π t ⎞ dt = 0,6366V p ⎟ T ∫0 ⎝ T ⎠ Vmed = 0, 6366 × 10 = 6,366[V ] T
2
Vmed
=
Vmed
= 0, 6366 × 2Vrms = 0, 6366 × 2 × 2,3 = 1, 035[V ]
Vmed
= 0, 6366 ×
V p sen ⎜
V pp
2
= 0, 6366 × 30 = 19, 098[V ]
11. Se uma onda senoidal A cruza o zero no sentido positivo em 15º e uma outra senóide B, de mesma freqüência, cruza em 23º, qual o ângulo de fase entre as senóides?
−
−
O deslocamento angular entre as duas senóides é de (23º - 15º)=8º, estando a senóide A adiantada em relação à senóide B. Considerando a expressão geral de uma senóide em que f(t)=F p.sen(ωt ± ϕ), tem-se: f A(t≡15º) = 0 ⇒ ωt+ϕ=0; como ωt=15º ⇒ ϕA=-15º
f B(t≡23º) = 0 ⇒ ωt+ϕ=0; como ωt=23º ∴ ϕB=-23º Assim, as sinusóides são definidas como: f A(t)=A.sen(ωt – 15º) e f B(t)=B.sen(ωt – 23º) 12. Quando o zero no sentido positivo de uma senóide ocorre em 0o, qual o ângulo correspondente aos seguintes pontos? a) pico positivo c) pico negativo
b) zero no sentido negativo d) fim do primeiro ciclo completo (2π)
Definição de f(t): f(ωt≡0º) = 0 ⇒ ωt+ϕ=0 ∴ϕ=0
f(t)=A.sen(ωt)
a) Para f(t)=A ⇒ ωt=π/2 b) Para f(t)=0 ⇒ ωt=π c) Para f(t)=-A ⇒ ωt=3π/2 d) Para f(t)=0 ⇒ ωt=2π
13. Uma tensão senoidal tem um valor de pico de 20 V. Qual o valor instantâneo da onda a 65º de seu cruzamento por zero? 14. Determine as expressões das senóides A, B e C da figura abaixo e o valor instantâneo para um ângulo instantâneo ωt de 90º.
Senóide A: f(t)=5.sen(ωt+45º) ⇒ f(t)=5.sen(90o + 45o)=5x0,707=3,536 Senóide B : f(t)=7,5.sen(ωt) ⇒ f(t)=7,5.sen(90º)=7,5 Senóide C: f(t)= 10.sen(ωt-60º)⇒ f(t)=10.sen(90o – 60o)=10x0,5=5
16. Determine o período, freqüência, e razão cíclica para o trem de pulsos abaixo. T=10μs f=1/T=1/10=0,1Hz d=(tw/T).100=(1/10).100=10%
1μs 10μs
17. Determine o valor médio de cada uma das formas de onda abaixo. V(V)
Vmed= base + d.(amplitude)
1ms
2
Vmed = 0 +
0
1 ⋅ 2 = 0,2V 10
10ms V(V) 6
1 Vmed = 1 + ⋅ 5 = 3,5V 2
1 0
1
2
3
4
5
6
V(V) +1 0 -1
Vmed = −1 +
10 20 30 40 50 60
10 ⋅ 2 = 0V 20
18. Qual a harmônica de segunda ordem de uma freqüência fundamental de 1kHz? − f 2 =2x f 1 = 2x1kHz = 2kHz 19. Qual a freqüência fundamental de uma onda quadrada com período igual a 10μs? A freqüência fundamental e dada por: f 1=1/10=0,1Hz 20. Através da série de Fourier determine as componentes de freqüência presentes em uma onda quadrada.
f(t) V t -V
Definição da onda de tensão no tempo:
ν(t) = +V
0≤ t ≤T/2
ν(t) = -V
T/2< t ≤T
Os coeficientes a0, ah, bh, ch, e ϕh serão obtidos:
a0
=
2
T
T ∫
0
f (t )dt
T 2 ⎡ T 2 = ⎢ ∫0 Vdt + ∫T − Vdt ⎤⎥ T ⎣ 2 ⎦ 2V ⎡ T 2 T ⎤ t − t T = 2⎥ ⎦ T ⎢⎣ 0 2V ⎡ T ⎛ T ⎞⎤ = − ⎜ T − ⎟⎥ = 0 ⎢ 2 ⎠⎦ T ⎣ 2 ⎝
Como a onda de tensão quadrada e simétrica em relação ao tempo, seu valor médio é zero e, por conseguinte, a0 é nulo. Os coeficientes ah e bh:
ah =
=
=
= =
2 T f (t ) cos(hω 1 t )dt T ∫0 T 2 ⎡ T2 ⎤ ( ( V cos h ω 1 t )dt − V cos h ω 1 t )dt ∫ ∫ T ⎢ ⎥⎦ T⎣0 2 ⎡ ⎤ T T 2 2V ⎢ 1 ⎛ h 2π t ⎞ − 1 sen⎛ h 2π t ⎞ ⎥ sen ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ T ⎢ h 2π ⎝ T ⎠ 0 h 2π ⎝ T ⎠ T ⎥ 2 ⎢⎣ T ⎥⎦ T V [sen(hπ ) − sen0 − sen(h 2π ) + sen (hπ )] hπ V [0] = 0 ∀h hπ
2 T f (t )sen(hω 1 t )dt T ∫0 T 2V ⎡ T 2 ⎤ sen h sen h = ( ω 1 t )dt − ( ω 1 t )dt ∫T 2 ⎥⎦ T ⎢⎣∫0 T T 2V ⎡⎢ T 2π ⎞ 2 T 2π ⎞ ⎤⎥ ⎛ ⎛ cos⎜ h t ⎟ + cos⎜ h t ⎟ = − T ⎢ h 2π ⎝ T ⎠ 0 h 2π ⎝ T ⎠ T ⎥ 2⎦ ⎣ V = [− cos(hπ ) + cos 0 + cos(h 2π ) − cos(hπ )] hπ V = [− 2 cos(hπ ) + 1 + 1] hπ 4V , ∀h = 1,3,5,7, = hπ = 0, ∀h = 2,4,6,8,
b h =
"
"
Portanto, a função no domínio das freqüências é:
f (t ) = ∑h =1 ∞
4V sen (hω 1 t ), hπ
h ∈ {1,3,5,7, } "
A função f(t) é uma função senoidal, portanto ímpar (f(x)=-f(-x)) e como tal os coeficientes do termo co-senoidal são nulos. Por tratar-se de uma onda quadrada as componentes de freqüência são ímpares.
Para uma função de onda quadrada par, tem-se: f(t) V
T/2 T
t
-V
A onda de tensão é definida como:
ν(t) = +V
- T/4≤ t ≤T/4
ν(t) = -V
T/4< t ≤ 3T/4
Como visto a função é simétrica em relação ao eixo do tempo com a0=0. O coeficiente ah é dado por: ah
=
2
T
T ∫
0
f (t )cos(hω 1t )dt
3T 4 2 ⎡ T 4 = ⎢∫−T 4 V cos(hω 1t )dt − ∫T 4 V cos(hω 1t )dt ⎤⎥ ⎦ T ⎣ ⎡ ⎤ 3T 4 T 4 2V ⎢ 1 2π ⎞ 1 2π ⎞ ⎥ ⎛ ⎛ sen⎜ h t ⎟ sen⎜ h t ⎟ = ⎢ − 2π ⎝ T ⎠ T 4 ⎥⎥ T ⎢ 2π T ⎠ −T 4 ⎝ h h T T ⎣ ⎦ V ⎡ ⎛ h π ⎞ + sen⎛ h π ⎞ − sen⎛ h 3π ⎞ + sen⎛ h π ⎞⎤ sen = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎜ 2⎟ hπ ⎣ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ V ⎡ ⎛ h π ⎞ − sen⎛ h 3π ⎞⎤ sen 3 = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎢ hπ ⎣ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ 3V = ∀ h = {1,3, }
hπ
O coeficiente bh e dado por:
"
b h =
=
2
T
∫
T 0 2V ⎡
f (t )sen(hω 1t )dt T
T ⎢⎣ ∫
4
−T 4
sen(hω 1t )dt −
3T 4
∫
T
4
sen(hω 1t )dt ⎤
⎥⎦
2V ⎡ T ⎛ 2π ⎞ + T cos⎛ h 2π t ⎞ cos⎜ h t ⎟ = ⎢− ⎜ ⎟ T ⎢ h2π T ⎠ −T 4 h2π T ⎠ T 4 ⎝ ⎝ ⎣
⎤ ⎥ ⎥⎦ V ⎡ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ π ⎞⎤ = ⎢− cos⎛ ⎜ h ⎟ + cos⎜ h ⎟ + cos⎜ h ⎟ − cos⎜ h ⎟⎥ hπ ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎝ 2 ⎠ V ⎡ 3π ⎞ ⎛ π ⎞⎤ = ⎢cos⎛ ⎜ h ⎟ − cos⎜ h ⎟⎥ hπ ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ =0 ∀ h T
4
3T 4
Portanto, função no domínio da freqüência pode ser escrita como:
f (t ) =
∑
∞ h =1
4V hπ
cos(hω 1t ),
h ∈ {1,3,5,7, } "
Note que em sendo uma função par, somente o termo em co-seno existe e por se tratar de uma onda quadrada apenas as componentes ímpares estão presentes. Na forma trigonométrica compacta, tem-se:
c0 = a 0 2 = 0 c h = a 2h + b 2h =
4V , h = 1,3,5,7, hπ
Ângulo da co-senóide:
ϕ h
⎛ b ⎞ = −tg −1 ⎜⎜ h ⎟⎟ = −90 ⎝ a h ⎠
Ângulo da senóide:
D
"
ϕ h
⎛ a h ⎞ = tg ⎜⎜ ⎟⎟ = 0 ⎝ b h ⎠ −1
D
Assim tem-se:
(t ) = ∑h∈{1,3,5,
4V sen (hω 1 t ) } hπ
(t ) = ∑h∈{1,3,5,
4V cos(hω 1 t − 90 } hπ
∞
υ
"
ou ∞
υ
"
D
)
Capítulo 02 Exercícios
UNIVERSIDADE UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA CIRCUITOS ELÉTRICOS II PROF a:RUTH P.S. LEÃO
LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Converter os seguintes números complexos da forma retangular para a forma polar e indicar no plano plano complexo o quadrante quadrante a que pertencem. pertencem. (a) A=8+j6
(b) A=-7+j10 A| | A| =
(c) A=-12-j18 2 A
x
+ yA 2
1o e 4o quadrantes θ = arctg (
y x
±
A
(d) A=10-j5
2o e 3o quadrantes
)
θ=±180º
∓
tg-1(
A
yA
θ
yA φ
xA
)
A
θ=180o -φ
-xA
(a) 1º quadrante
(b) 2º quadrante
64 + 3 6 = 10 −1 θ = tg ( 8 ) = 53,13 6
49 + 100 = 12, 21 −1 θ = 180 − tg (10 ) = 125 7
A =
A =
-xA
xA
φ
θ=-180o+φ
|A|
|A|
3º quadrante
A =
A
|A|
|A|
-yA
y x
144 + 324 = 21, 63
4º quadrante
A =
25 + 100 = 11,18
-θ -y A
θ =
−180 − tg −1
(1812) = −236,31
θ =
−tg −1
( 510) = −26,57
2. Converter as seguintes quantidades polares para a forma retangular. (a) 10∠30º
(b) 200∠-45º
(c) 4∠135º
3. Calcule as seguintes operações. (a) (-10-j20)/(10 ∠30º)
(b) (8+j6).(10-j5)
(c) (100∠50º)/(25∠20º)
(d) (10 ∠45º).(5∠20º)
4. Três fontes de tensão senoidais de mesma freqüência angular são conectadas em série como mostra a Figura. Determine a tensão e a corrente total expressas na forma polar. A resistência é uma grandeza com ângulo zero. 2,5∠0o V ~ 4,2∠30o V ~
5k Ω
5,1∠-45o V ~
VT=2,5∠0o + 4,2∠30o + 5,1∠-45o = =(2,5+j0) + (3,64+j2,1) + (3,61-j3,61) = 9,74-j1,51=9,86∠-8,79o V
I=
1 1 VT = 9,87∠ − 8,8 = 1,97∠ − 8,79 mA R 5 × 10 3
Capítulo 03 Exercícios
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA CIRCUITOS ELÉTRICOS II PROF a: RUTH P.S. LEÃO
LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Determine a corrente rms total e em cada componente L 1, L2 e L3 na Figura 1. Expresse a corrente na forma polar.
A reatância total:
X T
⎛ L ⋅ L ⎞ 20 ⋅ 40 ⎞ = jω ⋅ ⎜⎜ L1 + 2 3 ⎟⎟ = jω ⋅ ⎛ ⎜ 50 + ⎟= + + L L 20 40 ⎝ ⎠ 2 3 ⎠ ⎝
X T
= j994,34mΩ
10∠0 A corrente total: IT = I L1 = = − jX T 994,34 × 10 3 ∠90 V F
D
D
I T = I L1 = 10,06∠ − 90 A D
A corrente em L2: I L 2 = I T ⋅
40 ⎞ = 10,06∠ − 90 ⎛ ⎜ ⎟ ( L2 + L3 ) ⎝ 20 + 40 ⎠ L3
D
I L 2 = 6,71∠ − 90 A D
jω 63,334 × 10
−6
A corrente em L3: I L3 = I T − I L 2 = 10,06∠ − 90 − 6,71∠ − 90 D
D
I L3 = 3,35∠ − 90 A D
Diagrama fasorial:
Qual a tensão sobre L 1 e sobre L2//L3?
V L1
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ L1 50 ⎟ = V F ⋅ = 10∠0 ⋅ ⎜⎜ ⎛ L2 ⋅ L3 ⎞ ⎛ 20 × 40 ⎞ ⎟ 50 + ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ L1 + ⎜⎜ 20 40 + ⎝ ⎠ L L + ⎝ ⎠ ⎝ 2 3 ⎠ D
VL1 = 2,1∠0 V D
V L 2 // L 3
Ou
= V F − V L1 = 10∠0 − 2,1∠0 D
VL 2 // L3 = 7,9∠0 V
D
D
V L1
= jX L1 ⋅ I L1 = (2π ⋅ 2,5 ⋅ 10 3 ⋅ 50 ⋅ 10 −6 ∠90 )⋅ 10,06∠ − 90 = 2,108∠0 V
V L3
= jX L3 ⋅ I L3 = (2π ⋅ 2,5 ⋅ 103 ⋅ 40 ⋅ 10 −6 ∠90 )⋅ 3,35∠ − 90 = 7,9∠0 V
D
D
D
D
D
D
2. Determine a potência reativa do circuito da Figura 1. Potência total:
S T
= jX T ⋅ I T 2 = 0,994∠90 ⋅ (10,06)2
ST
= VF ⋅ IT * = 10∠0 ⋅ 10, 06∠90 = 100, 6∠ 90 = j100, 6[var ]
D
ST
= j100,63[var ]
ou D
D
D
3. Suponha que você dispõe de um indutor de 12 mH, sendo este o menor valor disponível. Você necessita de uma indutância de 8 mH. Que valor pode ser usado em paralelo a fim de obter 8 mH? LT =
L ⋅ Lx L + Lx
L x
=−
LT ⋅ L LT
− L
=−
8 × 12 8 − 12
L x = 24mH
4. Determine a reatância total de cada circuito da Figura 2 quando uma tensão com uma freqüência de 5 kHz é aplicada aos terminais de cada circuito.
No circuito (a) o núcleo da bobina é de ferro e no circuito (b) de ar. Como o ferro apresenta menor relutância à passagem de fluxo, e em sendo a indutância L= φ/i, implica que a indutância em (a) é maior que em (b). ⎛
No circuito (a): X T = ω ⋅ ⎜⎜ L1 + ⎝
L2 ⋅ L3 ⎞
50 ⎞ ⎟⎟ = 2π ⋅ 5 ⋅ 10 3 ⋅ ⎛ ⎜1 + ⎟ L2 + L3 ⎠ ⎝ 15 ⎠
L1 ⋅ ( L2
No circuito (b): X T = ω
+ L3 ) 100 ⋅ 100 ⎞ −3 = 2π ⋅ 5 ⋅ 10 3 ⋅ ⎛ ⎜ ⎟ ⋅ 10 200 L1 + L2 + L3 ⎝ ⎠
X T = 136,1k Ω
X T
= 1,57k Ω
Qual a reatância equivalente do arranjo (b) usando os componentes de (a)? X T
=ω
⎛ 1 ⋅ (10 + 5 ) ⎞ + L3 ) = 2π ⋅ 5 ⋅103 ⋅ ⎜ ⎟ = 29, 452 kΩ 1 10 5 + + L1 + L2 + L3 ⎝ ⎠
L1 ⋅ ( L2
5. Quantas espiras são necessárias para produzir 30 mH com uma bobina enrolada em um núcleo cilíndrico de área transversal de 10x10 -5 m2 e comprimento de 0,05m? O núcleo tem uma permeabilidade de 1,2x10 -6.
30 × 10 −3 × 5 × 10 −2 = N = μ ⋅ A 1,2 × 10 −6 × 10 × 10 −5
N 2 ⋅ μ ⋅ A L= l
L ⋅ l
N = 3535 voltas
6. Uma bateria de 12 V é conectada aos terminais de uma bobina com resistência de enrolamento igual a 12 Ω e indutância de 100 mH. Qual é a corrente na bobina? Qual a tensão nos terminais da bobina? IF =
V = 1A R
Após a energização, a reatância da bobina é nula, o que significa que toda a tensão está aplicada sobre o resistor. 7. Qual a energia armazenada pela bobina da questão 6 e quanto tempo leva para alcançar esta energia? W =
1 1 − L ⋅ I F 2 = × 100 × 10 3 2 2
W = 50 mJ
O tempo que a bobina leva para atingir 50mJ é de: 5 × 100 × 10 −3 t = 5τ = 5 = R 12 L
t = 41,67ms
8. Na Figura 3 (a), quanto é vL no instante que a chave CH1 é fechada? E quanto é vL após 5τ? Na Figura 3(b), quanto é v L no instante que CH1 abre e CH2 fecha? Quanto é vL após 5τ?
Circuito (a): No instante que CH1 é fechada a tensão é aplicada sobre R e L, no entanto a corrente é nula não havendo queda de tensão sobre R e assim, toda tensão da fonte é aplicada sobre o indutor: v L=25V com a mesma polaridade da fonte para opor-se à mudança da condição de corrente nula. Após 5 τ o indutor é um curto-circuito e vL=0V. Circuito (b): Com CH1 fechada e CH2 aberta, a corrente de estado permanente que circula através de R1 e L é dada por: I =
V R1
=
25 = 2,08 A 12
Quando CH1 é aberta, uma tensão induzida é criada nos terminais de L de modo a manter a corrente de 2,08 circulando por um instante. Neste caso, a tensão vL=R 2.I=100.2,08=208V. O indutor opera como uma fonte de corrente. Passados 5τ após a abertura de CH1 e fechamento de CH2, a corrente no indutor decai a zero e vL=0V. 9. Em cada circuito da Figura 4, que freqüência é necessária para produzir uma reatância XC de 100Ω.
f =
1 2π ⋅ C ⋅ X C
f = 33,88kHz
Circuito (b): C T = C1 + C 2
f =
1 2π ⋅ C T ⋅ X C
f = 63,69Hz
C1 ⋅ C 2 C1 + C 2
f =
1 2π ⋅ C T ⋅ X C
f = 3,18kHz
Circuito (a): X C =
Circuito (c): C T =
1 2π ⋅ f ⋅ C
10.Determine o valor de C 1 na Figura 5.
VC3 = X C3 ∠ − 90 ⋅ I XC3 ∠90 = 3∠0 V D
f =
D
D
1 = 141,54kHz 2π ⋅ C 3 ⋅ X C3 VC3 = 5,33∠90 mA X C 2 ∠ − 90
I C2 =
D
D
I C1 = I C 2 + I C3 = 9,33∠90 mA VC1 = X C1∠ − 90 ⋅ I C1 = 2∠0 V D
D
X C1 =
C1 =
D
VC1 = 375,23∠ − 90 Ω I C1 D
1 = 0,003μ F 2π ⋅ f ⋅ X C1
Capítulo 04 Exercícios
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA CIRCUITOS ELÉTRICOS II PROF a: RUTH P.S. LEÃO
LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Determine a tensão nos terminais do capacitor na forma polar e a corrente no capacitor. O circuito visto pela fonte é capacitivo ou indutivo? Qual o valor da corrente total? Determine o fator de potência de deslocamento do circuito. Qual a potência entregue pela fonte e qual a potência absorvida pelo indutor e fornecida pelo capacitor?
~
VF=50∠0o
R 1
XL
1k Ω
500Ω R 2 1k Ω
XC 500Ω
Figura 1. a) Tensão nos terminais do capacitor. VC
⎛ = ⎜⎜ ⎝ ( R1 +
Z 1
= R1 + jX L = 1000 + j500[Ω]
Y 2
=
=
1 R2
+ j
⎞ ⎟⎟ ⋅VF jX L1 ) + R2 // X C ⎠ R2 // X C
⎛ Z ⎞ = ⎜ 2 ⎟ ⋅V F ⎝ Z T ⎠
1 X C
1 1 j + = 0,1 × 10 −2 + j 0,2 × 10 −2 [S ] 3 500 1 × 10
1 Y 2 (0,1 + j 0,2) × 10 − 2 10 2 × (0,1 − j 0,2) 10 2 × (0,1 − j 0,2) = = = 200 − j 400[Ω] 5 × 10 − 2 (0,1)2 + (0,2)2
Z 2
⇒
=
1
=
ou simplesmente − R2 ⋅ jX C 1 × 10 3 × 500∠ − 90 500 × 10 3 ∠ − 90 = = = 3 R2 − jX C 1 × 10 − j 500 1118,03∠ − 26,57 = 447,22∠ − 63,43 = 200,03 − j 400[Ω] D
Z 2
D
D
D
Z T = Z1 + Z 2 = Z T ∠θ ZT = (1000 + j 500 ) + ( 200 − j 400) = 1200 + j100 = 1204,16∠4,76 [Ω ] D
Então ⎛ Z ⎞ ⎛ 447,22∠ − 63,43 ⎞ ⎟⎟ ⋅ 50∠0 = 18,57∠ − 68,19 [V ] V C = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⋅ V F = ⎜⎜ 1204 , 16 4 , 76 Z ∠ ⎝ ⎠ ⎝ T ⎠ D
D
D
D
A corrente no capacitor
18,57∠ − 68,19 = = 37,14∠21,81 [mA] I C = 500∠ − 90 X C ∠ − 90 V C
D
D
D
D
IC 21,81o -68,19o
VF
VC
Figura 2. Diagrama fasorial da tensão e corrente no capacitor.
Usando o circuito equivalente de Thévenin para o cálculo da tensão e corrente em C, tem-se que o circuito da Figura 1 será decomposto em circuito a ser equivalenciado e a carga. O circuito a ser equivalenciado e a carga é como mostrado na Figura 3.
VF=50∠0o
~
R 1
XL
1k Ω
500Ω
Carga R 2 1k Ω
XC 500Ω
(a)
(b)
Figura 3. Circuito a ser equivalenciado e sua carga. A tensão de Thévenin que é a tensão de circuito aberto é dada por: ⎛ ⎞ R2 =⎜ ⎟ ⋅V F + + R R jX L ⎠ ⎝ 1 2 ⎛ 1000 ⎞ =⎜ ⎟ ⋅ 50∠0 = 24, 25∠ − 14,04 [V ] ⎝ 2000 + j 500 ⎠
VTH
D
D
A corrente de curto circuito nos terminais do circuito a ser equivalenciado é dada por: I cc
=
V F
50∠0 = 0,045∠ − 26,57 [ A] 1000 + j 500 D
R1 + jX L
=
D
A impedância de Thévenin é obtida por: Z TH
=
V TH I cc
24, 25∠ − 14,04 = = 542,25∠12,53 [ Ω] 0,045∠ − 26,57 D
D
D
A impedância de Thévenin poderia ainda ser obtida considerando a impedância equivalente do circuito da Figura 3 (a), vista dos terminais abertos, com as fontes independentes desativadas, substituídas por suas impedâncias internas.
R 1
XL
1k Ω
500Ω R 2 1k Ω
Figura 4. Circuito para cálculo da impedância de Thévenin. =
Z TH
( R1 + jX L ) ⋅ R2 = 542,25∠12,53 [Ω] c.q.d. R1 + R2 + jX L D
O circuito de Thévenin constitui-se em uma fonte em série com uma impedância. Assim, o circuito de Thévenin alimentará a carga X C, como mostra a Figura 5. XTH
R TH
Carga ~
VTH
XC 500Ω
Figura 5. A tensão sobre C é dada por: VC
⎛ − jX C ⎞ =⎜ ⎟ ⋅V TH Z jX − C ⎠ ⎝ TH ⎛ 500∠ − 90 =⎜ ⎝ 542, 25∠12,53 + 500∠ − 90 = 18,57∠ − 68, 20 [V ] D
D
D
⎞ ⎟ ⋅ 24, 25∠ − 14,04 ⎠
D
c.q.d.
D
A corrente em XC é obtida por: I C =
V TH ZTH
−
jX C
24, 25∠ − 14,04 = = 37,14∠21,8 [mA] c.q.d. 542, 25∠12,53 + 500∠ − 90 D
D
D
D
b) O circuito visto pela fonte apresenta impedância Z = 1204,16∠4,76 [Ω] , sendo, portanto de natureza natureza indutiva. D
T
c) A corrente total entregue pela fonte. I T
=
V F Z T
50∠0 = = 41,52∠ − 4,76 [mA] 1204,16∠4,76 D
D
D
d) O fator de potência de deslocamento FPD
= cos θ = cos(4,76 ) = 0,997 atrasado ou indutivo. D
e) A potência entregue pela fonte.
= V F ⋅ I T * = (50∠0 )⋅ (41,52 × 10−3 ∠4,76 = 2,08∠4,76 = 2,07 + j 0,173[VA] S T
D
D
)
D
A potência absorvida pelo indutor. Q L
2
= X L ⋅ I T 2 = j500 ⋅ (41,52 ×10 −3 ) = j 0,862VAr
A potência fornecida pelo capacitor. QC
A potência reativa resultante no circuito Q = Q L
2
= X C ⋅ I C 2 = − j500 ⋅ (37,14 × 10 −3 ) = − j 0,690VAr
− QC = j (0,862 − 0,690) = j 0,172[VAr ]
2. Determine a tensão sobre cada componente do circuito e desenhe o diagrama fasorial de tensão e corrente.
VF=50∠0o f=2MHz
~
R 1 330Ω
R 2 1k Ω
L1 50μH
L2 100μH
Figura 6. Impedâncias nos ramos X L1
= 2π ⋅ f ⋅ L1 = 2π ⋅ (2 ×106 )⋅ (50 ×10−6 ) = 628,32[Ω]
X L 2
= 2π ⋅ f ⋅ L2 = 2π ⋅ (2 × 10 6 )⋅ (100 × 10 −6 ) = 1256,64[Ω]
A tensão nos terminais de cada componente do circuito pode ser obtida por divisor de tensão. V R1
⎛ R1 ⎞ 330 ⎞ ⎟⎟ ⋅ V F = ⎛ = ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⋅ 50∠0 = 23,25∠ − 62,29 [V ] ⎝ 709,71∠62,29 ⎠ ⎝ R1 + jX L1 ⎠ D
D
D
⎛ jX L1 ⎞ ⎛ ⎞ ∠ ⎟⎟ ⋅ V F = ⎜⎜ 628,32 90 ⎟⎟ ⋅ 50∠0 = 44,27∠27,71 [V ] V XL1 = ⎜⎜ ⎝ R1 + jX L1 ⎠ ⎝ 709,71∠62,29 ⎠ D
D
D
D
ou simplesmente V XL1
= VF − V R1 = 50∠0 − 23, 25∠ − 62, 29 = 50 − (10, 80 − j 20, 57 ) = 39, 2 − j 20, 57 = 44, 27∠ − 27, 69 [V ] D
D
D
A tensão nos componentes do ramo 2: V R 2
⎛ R2 ⎞ 1000 ⎛ =⎜ ⋅ VF = ⎜ ⎟ ⎝ 1605,97∠51,49 ⎝ R2 + jX L 2 ⎠
D
⎞ ⎟ ⋅ 50∠0 = 31,13∠ − 51, 49 [V ] ⎠ D
D
⎛ jX L 2 ⎞ ⎛ 1256,64∠90 ⎞ ⎟⎟ ⋅ V F = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 50∠0 = 39,12∠38,51 [V ] V XL 2 = ⎜⎜ R + jX ∠ 1605 , 97 51 , 49 L 2 ⎠ ⎝ 2 ⎝ ⎠ D
D
D
D
ou V XL 2
= VF − V R 2 = 50∠0 − 31,13∠ − 51, 49 = 50 − (19, 38 − j 24, 36) = 30, 63 + j 24, 36 = 39,12∠ 38, 50 [V ] D
D
D
A tensão pode também ser calculada calculando-se a corrente que flui através de cada um dos componentes. I 1
=
V F Z 1
Em que Z 1
= R1 + jX L1 =
2
R1
X + X L21 ∠tg −1 ⎛ ⎜ L1 R ⎞⎟ 1 ⎠ ⎝
= (330)2 + (628,32)2 ∠tg −1 (628,32 330) = 709,71∠62,29 [Ω] D
Portanto: I 1
=
V F Z 1
50∠0 = = 70,45∠ − 62,29 [mA] 709,71∠62,29 D
D
D
A corrente no ramo 2: I 2
=
V F Z 2
50∠0 = = 31,13∠ − 51,49 [mA] 1605,97∠51,49 D
D
D
em que Z 2
= R2 + jX L 2 =
2
R2
X + X L22 ∠tg −1 ⎛ ⎜ L 2 R ⎞⎟ 2 ⎠ ⎝
= (1000)2 + (1256,64)2 ∠tg −1 (1256,64 1000) = 1605,97∠51,49 [Ω] D
Assim, a tensão nos terminais dos componentes é dada por: V R1
= I1 ⋅ R1 = ( 70, 45 ×10 −3 ∠ − 62, 29 ) ⋅ (330 ) = 23, 25 ∠ − 62, 29 [V ] D
V L1
D
= I1 ⋅ X L1 = ( 70, 45 × 10−3 ∠ − 62, 29 ) ⋅ 628,32∠90 = 44, 27∠ 27,71 [V ] D
D
V R 2
= I 2 ⋅ R2 = 31,13∠ − 51, 49 [V ]
V L 2
= I 2 ⋅ X L 2 = 39,12∠38,51 [V ]
D
D
D
O diagrama fasorial para as tensões e correntes: = 50∠0 [V ] I1 = 70, 45∠ − 62, 29 [ mA] I 2 = 31,13∠ − 51, 49 [ mA] VF
VXL1
D
VXL2
D
D
VF
= 23, 25∠ − 62, 29 [V ] V XL1 = 44, 27∠27, 71 [V ] V R1
VR1
VF
D
D
= 31,13∠ − 51, 49 [V ] V XL 2 = 39,12∠38,51 [V ] D
V R 2
I1
VR2
I2
D
Figura 7. 3. Que valor de capacitor de acoplamento é necessário ao circuito abaixo tal que o sinal de tensão na entrada do amplificador 2 seja no mínimo 70,7% do sinal de tensão da saída do amplificador 1 quando a freqüência é de 20 Hz? C Amplificador 1
Amplificador 2
100Ω
Figura 8.
O circuito RC série é defasador adiantado, i.é., a tensão de saída sobre o Amplificador 2 é adiantada da tensão de entrada dada pelo Amplificador 1. ⎛ R ⎞⎟ ⎜ ⋅V VR = ⎜ R 2 + X 2 ⎟ E C ⎠ ⎝
Nota-se pela expressão de |VR | que para freqüências altas a tensão de saída sofre pouca atenuação, se trata, portanto de um filtro passa alta. Como
V R V E
= 0,707 , tem-se que:
(100)2 2 3 (0,707) = 0 , 5 5000 10 10 X + = × ∴ 2 C (100) + X C 2 2
X C
= ±100[Ω] (positiva)
XC =
1 1 1 = = = 795,77 μ F C ∴ 2π ⋅ f ⋅ X C 2π ⋅ 20 ⋅ 100 2π ⋅ f ⋅ C
A freqüência de 20 Hz do circuito é denominada de freqüência de corte. 4. Para o filtro RC mostrado na Figura 1, calcular:
Figura 9. Filtro RC. a) A constante de tempo para o filtro. b) A freqüência de corte do filtro. c) Qual seria o resultado se a entrada fosse de 5V CC? Qual a tensão através do resistor?
d) Qual seria o resultado se fosse 5V CA em uma freqüência muito alta? Neste caso, qual a tensão através do resistor? A constante de tempo para o filtro é dada por: τ = RC
= (10 ×103 ) ⋅ ( 0,01× 10−6 ) = 0,1× 10−3 [ s ]
A freqüência de corte de um filtro RC é obtida para a condição em que: 1 2π ⋅ f C ⋅ C f C =
ω c
= R
1 2π ⋅ RC
=
1 τ
Portanto, f c
=
1 1 = = 1591,55 [ Hz ] 2π ⋅τ 2π ⋅ 0,1×10−3
Se a tensão da fonte fosse contínua e igual a 5V, a reatância capacitiva seria infinita e a tensão de saída seria igual à entrada, i.é., 5V. A tensão no resistor seria nula uma vez que a corrente é zero. Se a tensão da fonte fosse alternada de 5V a uma freqüência muito alta, a reatância capacitiva seria pequena e a tensão de saída seria dada por: V R
⎛ =⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ =⎜ ⎜ ⎝
R R 2 + X c2
⎞ ⎟ ⋅ V F ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⋅ 5 = 5 [V ] 3 2 2 (10 × 10 ) + 0 ⎟⎠ 10 ×103
4. Em que valor deve ser ajustado o reostato do circuito abaixo de modo que a corrente total seja de 10 mA? Qual o ângulo da corrente? C
10 mA
0,027μF
~
VF=10∠0o V f=10kHz
R
Figura 10. Z
=
V F I
=
10 = 1000Ω 10 × 10 −3
2
Z = R 2 + X 2C X C
=
1 2π ⋅ f ⋅ C
=
1 = 589Ω 2π ⋅ (10 × 10 3 ) ⋅ (0,027 × 10 −6 )
2
2
2
2 ∴ R = Z − X C = (1000) − (589) = 808,13[Ω]
O ângulo da corrente e dado por θ = tg −1 ⎛⎜
X C
⎞
R ⎟⎠
⎝ −6 3 ⎛ ⎞ −1 1 ( 2π × 10 × 10 × 0,027 × 10 ) = tg ⎜ 808,13 ⎟⎟ = 36,11 ⎜ ⎝ ⎠
D
ou I
=
V F Z
10∠0 = = 10 × 10−3 ∠36,11 [ A] 808,13 − j 589, 46 D
D
5. Calcular a tensão de saída do circuito da Figura 11 usando equivalência de impedâncias Y↔Δ. n
a
b
c
Figura 11. A reatância capacitiva do circuito X c entre os terminais a-n é dada por: X c
=
1 = 3183,01[ k Ω] 2π ⋅100 ⋅ 500 ×10−12
As impedâncias vistas dos terminais a, b, c são calculadas por: . + Z bn . Zcn + Zcn . Zan Z an Z bn Z ab = Zcn . + . + . Z bc = Zan Z bn Z bn Zcn Zcn Zan Zan
. + . + . Z ca = Zan Z bn Z bn Zcn Zcn Zan Z bn Z an ⋅ Z bn
= ( − j 3183 × 103 ) ⋅ 1000 = − j 3183× 106 ⎡⎣Ω 2 ⎤⎦
Z bn ⋅ Z cn
= 1000 × 2200 = 2, 2 × 103 ⎡⎣Ω 2 ⎤⎦
Z cn ⋅ Z an
= 2200 × ( − j 3183 × 103 ) = − j 7002,6 ⎡⎣Ω 2 ⎤⎦
Z an ⋅ Z bn + Z bn ⋅ Z cn + Z cn ⋅ Z an
= 2, 2 × 103 − j10.185,63× 106 ⎡⎣Ω 2 ⎤⎦ = − j 3183,01× 106 ⎡⎣Ω2 ⎤⎦
. + . + . = Z an Z bn Z bn Zcn Zcn Zan Z cn − j 3183,01×106 = = − j1446,82 [ k Ω ] 2, 2 ×103
Z ab
Z bc
. + . + . = Z an Z bn Z bn Zcn Z cn Zan Z an − j3183,01×106 = = − j1000 [ k Ω] 3 3183 ×10
. + . + . = Z an Z bn Z bn Z cn Z cn Z an Z bn − j3183,01×106 = = − j 3183,01[ k Ω ] 1×103
Z ca
A impedância Z bc está em paralelo à resistência R 3, que resulta em: Z ′ =
R3 ⋅ Z bc R3 + Z bc
1×103 ) ⋅ (1×106 ∠ − 90 ) ( = = 1× 103 ∠ − 90 D
D
3
1×10 − j1×10
6
[ k Ω]
A tensão sobre Z´ que é a mesma sobre R 3 é obtida aplicando-se divisor de tensão, em que: V Z ′
=
Z ′ Z ab
+ Z ′
⋅V F
⎛ ⎞ 1×103 =⎜ ⎟ ⋅ 5∠0 = 2,84∠55,35 [V ] 3 j 1 10 1446,82 × − ⎝ ⎠ D
D
6. Um motor absorve da rede elétrica uma potência de 5kW em 220V / 60Hz com FPD=0,6 indutivo. Determine o capacitor para aumentar o fator de potência de deslocamento para 0,9 indutivo. FP D
P
=
S
5 ×103 = = 8,34 [ kVA] 0,6
∴S
A potência reativa absorvida da rede pelo motor: Q=
S
2
− P2 =
(8,342 − 52 ) ×106 = 6,67 [ kVAr ]
QC
S0,6 S0,9
Se o fator de potência de deslocamento deve ser aumentado para 0,9, considerando que o trabalho realizado pela carga é o mesmo, i.é, a potência útil consumida pela carga é de 5kW, tem-se que: cos−1 ( 0,9 ) = 25,84
D
tg
( 25,84 ) = D
Q′ P
= 0, 48
Como P=5kW, a potência reativa Q´ fornecida pela rede ao motor é de: Q′ = 0, 48 × 5 × 10
3
= 2, 42 [ kVAr ]
Desta forma a potência reativa fornecida pelo capacitor ao motor: QC = Q − Q′ = 6,67 − 2, 42 = 4, 25 [ kVAr ]
Considerando que o banco de capacitores é ligado em paralelo ao motor que opera em 220 V, tem-se que a capacitância do banco de capacitores é dada por: X c
C
=
=
2
V
Qc
=
( 220 )
2
4, 25 × 103
= 11,39 [Ω ]∴
1 1 = = 234 [ μ F ] ω ⋅ X c 2π × 60 ×11,39
7. Uma carga indutiva dissipa 1kW com corrente 10A / 60Hz com ϕ=60o. a) Determine o capacitor para corrigir o fator de potência de deslocamento para 0,85 atrasado; b) Calcule a corrente total fornecida pela fonte após a correção; c) Determine a potência aparente total após a correção. O ângulo ϕ representa o defasamento entre tensão e corrente da carga, sendo ϕ o ângulo do triângulo de potência. Assim, a potência reativa absorvida pela carga indutiva antes da correção do fator de potência de deslocamento é igual a: Q = tg (ϕ ) ⋅ P = tg
( 60 ) ⋅1×103 = 1,73 [kVAr ] D
Como o fator de potência deverá ser corrigido para 0,85, a nova potência reativa absorvida da rede pela carga é de: ϕ ′ = cos −1 ( 0,85 ) = 31,79
D
Q′ = tg (ϕ ′ ) ⋅ P = tg
(31,79 ) ⋅1×103 = 619,78[VAr ] D
A compensação de reativo fornecida pelos capacitores é de: = Q − Q′ = 1730, 0 − 619, 78 = 1,11[kVAr ]
Qc
A potência aparente para a condição anterior à correção do FPD é dada por: S1
=
P FP D ,1
=
1000 = 2,0 [ kVA] 0,5
A magnitude da tensão que alimenta a carga indutiva pode ser obtida por: V
=
S I
=
2000 = 200 [V ] 10
Assim, a capacitância do banco pode ser calculada por: C
=
Qc
ω ⋅ V 2
=
1110 2 = 73,61[ μ F ] 377 ⋅ ( 200)
A potência aparente após a correção do FPD é dada por: S2
=
P
=
FP D ,2
1000 = 1176,47 [VA] 0,85
A corrente entregue pela fonte à carga após a correção do FPD é dada por: =
I 2
S 2 V
=
1176,47 = 5,88 [ A] 200
Qual a corrente suprida pelo capacitor? Considerando a tensão da fonte de alimentação como referência angular, tem-se: V
= 200∠0 [V ] D
O fasor corrente da carga indutiva é igual a: I1
= 10∠ − 60 [ A] D
E o fasor corrente após a correção do fator de potência de deslocamento é igual a: I 2
= 5,88∠ − 31,79 [ A] D
Assim a corrente no ramo do capacitor é dada por: I2 I 2
= I1 + I c ∴
I c
= I 2 − I1 = ( 5,88∠ − 31,79 ) − (10∠ − 60 ) = j 5,56[ A ] D
D
Ic I1
Note que o sinal da corrente no capacitor é positivo. Note ainda que não seria correto simplesmente operar com os valores eficazes das correntes para obtenção da corrente no ramo do capacitor. Note ainda que considerando a corrente encontrada para I c, a potência no ramo capacitivo resulta em: Qc
= V ⋅ I ∗ = ( 200∠0 ) ⋅ (5,56∠ − 90 ) = 1,11[ kVAr ] D
D
8. Em uma instalação fabril tem-se uma subestação de 1500kW com FPD=0,8 ind. Deseja-se adicionar uma carga de 250kW com FPD=0,85 ind. Qual a potência reativa do capacitor que deve ser adicionada para que a subestação não seja sobrecarregada? O deslocamento angular entre a tensão e corrente supridas pela SE de 1500kW é de: ϕ = cos −1 ( 0,8) = 36,87
D
A potência reativa é então dada por: Q = tg (ϕ ) ⋅ P = tg
( 36,87 ) ⋅1500 ×103 = 1125 [kVAr ] D
A potência aparente complexa da SE é de: S1
= 1500 + j1125 [kVA] = 1875∠36,78 [ kVA] D
A potência complexa da carga adicional é de: S 2
250 × 103 ∠31,79 FP D 0,85 = 294,12∠31,79 = 245 + j154,94[kVA]
=
P
∠ cos−1 ( 0,85) =
D
D
A potência total antes da correção é de: ST
= (1500 + j1125) + ( 245 + j154,94) = 1745 + j1279, 94 = 2164,1∠36, 26 [ kVA] D
Considerando que a SE suprirá a potencia útil total de 1745kW, para que não haja sobrecarga na SE será necessária que a potência reativa indutiva na SE seja igual a: Q′ =
2
S1
2
2
− PT 2 = (1875) − (1745) = 686 [ kVAr ]
Portanto, faz se necessário compensar com banco de capacitores o equivalente a: Qc
= Q T −Q′ = 1279, 94 − 686 = 594 [kVAr ]
Capítulo 05 Exercícios
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA CIRCUITOS ELÉTRICOS II PROF a: RUTH P.S. LEÃO
LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Determine a freqüência de ressonância em rad/s e em Hz para os seguintes casos de circuito série ou tanque ideal: a) L= 300 μH e C= 0,005 μF b) L= 250 μH e C= 400 pF ω 0
=
ω 0
=
1 LC
1 LC
=
1 −6
−6
300 × 10 × 0,005 × 10
=
= 816,5 [ krad s ] ≡ 129,95[ kHz ]
1 = 3162, 28[ krad s ] ≡ 503, 29[ kHz ] −6 −12 250 × 10 × 400 × 10
2. Qual o valor do indutor necessário para obter a ressonância em 1500 kHz com uma capacitância de 250 pF? ω02
=
1 LC
∴ L =
1 ω 02C
=
1 3 2
( 2π ×1500× 10 )
−12
⋅ 250 × 10
= 45 [ μ H ]
3. Qual o capacitor que deverá ser colocado em série com um indutor de 500 mH para haver ressonância em 50 Hz? ω0
=
1 LC
∴C =
1 ω 02 L
=
1 2 ( 2π × 50 ) × 500 × 10−3
= 20,26[ μ F ]
4. Um circuito série é formado por R=125 Ω, L=800 mH e C=220pF. Qual o valor da impedância (e o teor) a ser colocado (e como) no circuito a fim de torná-lo ressonante a 10 kHz? = jω L = j 2π × 10 × 103 × 800 × 10−3 = j 50, 27[k Ω ] 1 1 =−j = − j 72,34 [ k Ω] X C = − j 2π ×10 ×103 × 220 ×10 −12 ωC X L
Prof Ruth P. S. Leão
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Para os valores de L e C, o circuito RLC série não está em ressonância na freqüência de 10 kHz. Para que o circuito seja ressonante a 10 kHz pode-se adicionar, em série, um valor de reatância indutiva complementar para igualarse à reatância capacitiva do circuito. X L′
22, 07 × 103 X L′ = j 22, 07 [ k Ω ] ⇒ L = = = 0,35[ H ] 2π × 10 ×103 ω
A indutância total do circuito é então igual a:
LT
= 0,35 + 0,8 = 1,15[ H ] .
Neste caso X L ,T
= jω LT = j 2π × 10 × 103 × 1,15 = 72, 26[ k Ω ]
Uma outra possibilidade é associar em paralelo um outro capacitor ao já existente com o fim de aumentar a capacitância total e diminuir a reatância capacitiva total para –j50,27 k Ω. = C1 + C 2 1 CT = = CT
ω X C ,T
C2
1 2π × 10 ×103 × 50, 27 × 103
= 316,60 [ pF ]
= CT − C2 = 316,60 − 220 = 96, 6[ pF ]
Para que o circuito seja ressonante a 10 kHz pode-se adicionar, em paralelo, um capacitor de 96,9 pF em paralelo ao capacitor de 220 pF de modo que a reatância capacitiva total seja igual à reatância indutiva do circuito. 5. Determine a freqüência ressonante série do circuito da Fig. 1 e a impedância do circuito para freqüências igual, abaixo e acima de ω0. R 1 10
L 100m
VF 2 C 0.01u
0
0
Fig. 1 Circuito RLC Série.
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A freqüência ressonante em um circuito RLC série é dada por: ω 0
=
1 = LC
1
(100 × 10 )⋅ (0.01× 10 ) −3
−6
= 31622,78rad / s
ou f 0 =
0
2π
= 5032,92Hz
Em ω0 a impedância do circuito é de apenas: Z=R=10 Ω. Em um circuito RLC série a magnitude e o ângulo de fase da impedância do circuito são dados por:
Z
=
⎛ ⎜ ⎝
R 2 + ω L − −1
θ = ±tg
2
⎞ ⎟ ω C ⎠ 1
⎡ω L − (1 / ω C ) ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ R
O comportamento do circuito para valores de freqüência menores e maiores que a freqüência ressonante é mostrado nas Figs 2 e 3.
Fig.2 Variação de |VC|, |VL|, |VR | com a freqüência para Q pequeno.
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Fig.3 Variação de |VC|, |VL|, |VR | com a freqüência para Q grande.
Nota-se que para ω < ω0 → |VC| > |VL|, o que denota impedância do circuito com componente imaginária capacitiva dominante (corrente é comum). Por outro lado, para ω > ω0 → |VC| < |VL|, o que denota impedância com componente imaginária dominantemente indutiva. Para freqüências abaixo de ω0, considerando: f
=
f 0 − 2000 = 5032, 92 − 2000, 0 = 3032, 92Hz
implica em impedância predominantemente capacitiva e igual a: 1 ⎞ ⎛ Z = R + j⎜ 2π fL − ⎟ 2π fC ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ 1 = 10 + j⎜⎜ 2π ⋅ 3032,92 ⋅ 100 × 10 −3 − ⎟ 2π ⋅ 3032,92 ⋅ 0,01 × 10 −6 ⎠⎟ ⎝ = 10 + j(1905,64 − 5247,58) = 10 − j3341,94 = 3341,95∠ − 89,83 Ω D
Para freqüências acima de ω0, considerando: f
=
f 0 + 2000 = 5032, 92 + 2000 = 7032, 92Hz
Implica em impedância predominantemente indutiva e igual a:
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Z
⎛ 1 ⎞ = R + j ⎜ 2π f ⋅ L − 2π f ⋅ C ⎟⎠ ⎝ 1 ⎛ ⎞ = 10 + j ⎜ 2π ⋅ 7032,92 ⋅ 100 × 10−3 − 2π ⋅ 7032,92 ⋅ 0, 01× 10−6 ⎟⎠ ⎝ = 10 + j ( 4418,91 − 2263, 0) = 10 + j 2155,91= 2155,93∠ 89, 73 Ω D
6. Quais as freqüências de corte e a banda de passagem do circuito ressonante da Fig.1? As freqüências de corte para um circuito RLC ressonante podem ser expressas como: 2
R 1 + ⎛⎜ ⎞⎟ + ω 1 = − 2 L ⎝ 2 L ⎠ LC R
2
R 1 ω 2 = + ⎛⎜ ⎞⎟ + 2 L ⎝ 2 L ⎠ LC R
Assim: R
=
2 L 1
10 = 50 2 ×100 × 10−3
1 = 1000 × 106 −6 LC 100 × 10 × 0,01× 10 ω 1
=
−3
2
= −50 + ( 50 ) + 1000 × 106 = −50 + 31622, 82 = 31572, 82[ rad s ]
ω 2
2
= 50 + ( 50 ) + 1× 109 = 31672,82[ rad s ]
A banda de passagem: β
= ω2 − ω 1 = 31672,82 − 31572,82 = 100[ rad s ]
A banda de passagem é também obtida por: β =
10 = 100 [ rad s ] L 100 ×10−3
R
=
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7. Calcule |I|, |VR |, |VL| e |VC| na ressonância para o circuito da Fig. 4. XL
R 1 2.2k
50V
XC 2
1k
1k
VF
0
0
Fig. 4 Circuito RLC Série.
Na ressonância, |I| é máximo e a tensão da fonte está aplicada sobre R: I ( ω 0 )
=
V F R
=
50 = 22,7mA 2, 2 × 103
Pela Lei de Ohm, tem-se que: VR = IR = (22,7 × 10 −3 )(. 2,2 × 10 3 ) = 50V
Ou = VF = 50 [V ]
V R
Na ressonância, as tensões sobre o indutor e o capacitor são iguais em magnitude e opostas em fase. = V C
V L
V L VC
= I ∠0
D
= IX C = I ∠0
D
X L ∠90
D
= ( 22, 7 ×10 −3 ) ⋅ (1, 0 ×103 ∠90 ) = 22, 7 ∠90 [V ]
X C ∠ − 90
D
D
D
= ( 22, 7 ×10−3 ) ⋅ (1, 0 × 103 ∠ − 90 ) = 22,7∠ − 90 [V ] D
D
Note que na ressonância |V L| e |VC| são menores que |VR |, assemelhando-se ao gráfico da Fig. 1. 8. Para o circuito da Fig. 4, determine o fator de qualidade Q do circuito. Note que |VL|=|VC| é menor que |V F|, denotando um circuito de baixa seletividade. Na ressonância tem-se que:
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V
L = I ( ω0 ) ω0 L =
V
= C
I (ω 0 )
ω0C
=
V F R
V F
ω 0 L =
X L R
⋅ VF = Q ⋅ VF
= Q ⋅ V F
ω 0CR
Então VL 22,7 = = 0,454 VF 50
Q=
O fator de qualidade Q de um circuito RLC série pode também ser calculado por: 1 L 1 1 XLXC = 1 × 10 6 = 0,454 = 3 R C R 2,2 × 10
Q=
Qual o valor de L e de C para o circuito da Fig.4? 9. Determine as correntes em cada ramo e a corrente total do circuito da Fig. 5. Está o circuito operando em uma freqüência menor, igual, ou maior que a freqüência de ressonância? 1
5/0o
R 2.2
VF
XC 5
XL 10 2
0
0
0
0
Fig. 5 Circuito RLC Paralelo
A corrente em cada ramo: VF 5∠0 = = 2,27∠0 A R 2,2 D
I R =
D
5∠0 IC = = = 1∠90 A X C ∠ − 90 5∠ − 90 VF
D
D
D
D
VF 5∠0 = = 0,5∠ − 90 A IL = X L ∠90 10∠ − 90 D
D
D
D
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A corrente total: I = I R + I C + I L
= 2,27∠0 + 1∠90 + 0,5∠ − 90 = 2,27 + j0,5 = 2,32∠12,4 A D
D
D
D
O circuito apresenta características capacitivas (corrente total adiantada da tensão), portanto opera com freqüência acima da ressonante. Na ressonância, BL=BC.
Indutivo
Capacitivo
XL < XC
XC < XL
Fig. 6 Curva da impedância em circuito paralelo.
Como B L
=
BC
=
1 X L ∠90
D
=
1 = − j 0,1[S ] 10∠90 D
e 1 X C ∠ − 90
D
=
1 = j 0,2[S ] 5∠90 D
são diferentes, o circuito não opera em ressonância. No entanto, X L>XC, o que indica uma freqüência de operação acima da freqüência ressonante ( ω>ω0). Com base na expressão: Z =
− jX L ⋅ X C X L − X C
note que para freqüências baixas, X L é pequena e domina no valor resultante de Z, o circuito portanto tem características indutivas. Ao contrário, para freqüências Prof Ruth P. S. Leão
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altas, XC é pequena e domina no valor resultante de Z e o circuito tem, portanto, características capacitivas. 10.Considere o circuito abaixo:
Figura 7. Circuito RLC ressonante.
Qual a freqüência ressonante? Qual é a largura de banda? Qual é o fator de qualidade Q? E quais as freqüências de corte? ω 0
1
=
LC
1
=
−6
0,1×10 × 47 × 10
−3
= 14.586,5 [ rad s ]
A largura de banda de passagem em um circuito RLC paralelo é dada por: β =
G C
Como a condutância do circuito é dada por:
G=
1 R
Tem-se que a largura da banda de passagem é de: β =
G C
1
1 −7 = 1000 [ rad s ] 4 RC 10 ×10
=
=
O fator de qualidade: Q=
ω 0 β
=
14586,5 = 14,6 1000
O fator de qualidade para um circuito RLC paralelo é também obtido por: Q=
1 C G
L
=R
C L
3
= 10 ×10
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0,1× 10−6 = 14,59 47 ×10−3
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As freqüências de corte podem ser obtidas em função de ( ω0, β) ou em função de (ω0, Q). ω 1
2
β ⎞ = − + ⎛ ⎜ ⎟ + ω 02 2 ⎝ 2 ⎠ β
ω 2
2
β ⎞ = + ⎛ ⎜ ⎟ + ω 02 2 ⎝ 2 ⎠ β
Considerando que: 1000 = 500 [ rad s ] 2 2 2 2 ω 02 = (14.586, 5) = 212.765, 98× 103 [ rad s ]
β
=
Assim, 2
2 ⎛ β ⎞ ω1 = − + ⎜ ⎟ + ω 02 = −500 + ( 500 ) + 212.765,98× 103 2 ⎝2⎠ = −500 + 14.595,07 = 14.095,07[ rad s ]
β
2
⎛ β ⎞ ω2 = + ⎜ ⎟ + ω 02 = 500 + 14.595,07 = 15.095,07[ rad s ] 2 ⎝2⎠ β
As freqüências de corte também podem ser calculas a partir da freqüência central ω0 e Q. 2⎤ ⎡ 1 ⎛ ⎞ 1 − 1+ ⎜ ⎟ ⎥ ω1 = −ω 0 ⎢ ⎢ 2Q ⎝ 2Q ⎠ ⎥⎦ ⎣ 2⎤ ⎡ 1 ⎛ ⎞ 1 + 1+ ⎜ ⎟ ⎥ ω2 = ω 0 ⎢ ⎢ 2Q ⎝ 2Q ⎠ ⎥⎦ ⎣
Tem-se que: 1 1 = = 0,0343 2Q 2 ×14,59
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2⎤ ⎡ 1 ⎛ ⎞ 1 2 − 1 + ⎜ ⎟ ⎥ = −14.586,5 ⎡⎢ 0, 0343 − 1+ ( 0, 0343) ⎤⎥ = 14.094, 76[ rad s ] ω1 = −ω 0 ⎢ ⎢ 2Q ⎣ ⎦ ⎝ 2Q ⎠ ⎥⎦ ⎣ 2⎤ ⎡ 1 ⎛ ⎞ 1 2 + 1 + ⎜ ⎟ ⎥ = 14.586,5 ⎡⎢ 0, 0343 + 1+ ( 0, 0343) ⎤⎥ = 15.095,39[ rad s ] ω2 = ω 0 ⎢ ⎢ 2Q ⎣ ⎦ ⎝ 2Q ⎠ ⎥⎦ ⎣
As freqüências de corte também podem ser calculas a partir da expressão análoga ou dual às freqüências de corte para um circuito RLC série. 2
G 1 ω 1 = − + ⎛⎜ ⎞⎟ + 2C ⎝ 2C ⎠ LC G
1
1 = 500 2 RC 2 × 10 × 103 × 0,1× 10−6 1
=
1 = 212.765.957,45 − − LC 47 × 10 3 × 0,1× 10 6
=
2
ω 1
= −500 + ( 500) + 212.765.957, 45 = −500 + 14595,07 = 14.095,07[ rad s ]
ω 2
= 500 + ( 500) + 212.765.957, 45 = 15095,07 [ rad s ]
2
11.Para o circuito série paralelo da Fig. 8 calcule o circuito tanque equivalente.
Rw 25 1 15.9kHz
R 4.7k
VF
L 5m
C 0.02u
2
0
0
0
0
Fig.8 Circuito RLC Paralelo.
Conversão do ramo série em ramo paralelo:
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Rw 25
1
1 Rp
Lp
L 5m 2 2
0
0
YS = YP 1 1 1 = − j R w + jω L R P ω L p R w ω L 1 1 j j − = − 2 2 R P ω L p R 2w + (ω L ) R 2w + (ω L )
=
RP
L p
=
Rw2 + ( ω L )
2
Rw Rw2 + ( ω L )
2
ω 2 L
A resistência total do circuito tanque: RT
=
RP ⋅ R RP
+R
12.Qual a freqüência ressonante ω0 e o fator de qualidade Q do circuito tanque não ideal da Fig.8? Na ressonância BL=BC L 2
Rw
+ (ω L )2
= ω C
2
R L C − L
ω 0
=
RC 2 C − L LC
Como RC=0, tem-se que:
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1− ω 0
2
R L C
1−
L LC
=
=
2 ( 25) ⋅ ( 0, 02 × 10−6 )
5 ×10−3 = 99.874,92 [ rad s ] −3 −6 (5 ×10 ) ⋅ ( 0, 02 ×10 )
A freqüência ressonante pode ser obtida para o circuito tanque ideal equivalente, i.é., ω 0
=
1 L pC
A indutância L p do circuito tanque equivalente ideal na ressonância é dada por: 2
L p
=
Rw + ( ω 0 L )
2
ω 02 L
=
2 ( 25) + ( 99,87 × 103 × 5 × 10−3 ) 3 2
( 99,87 × 10 )
−3
⋅ 5 × 10
2
= 0,005 [ H ]
Assim ω 0
=
1 L pC
1 = 100 [ k rad s ] 5 ×10−3 × 0, 02 × 10−6
=
O fator de qualidade de um circuito paralelo é dado por: Q=
ω 0 β
em que a banda passante para o circuito tanque equivalente: β =
G C
=
1 RT ⋅ C
Assim Q é dado por: 1 Q=
LPC
1
RT C
= RT
C L p
Na ressonância R T é dado pelo paralelismo entre R p e R, em que R p depende da freqüência considerada.
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2
RP
=
Rw + (ω 0 L )
2
=
Rw
2 ( 25) + (100 × 103 × 5× 10−3 )
2
25
= 10025 [Ω ]
10025 × 4,7 × 103 = = 3199,83[Ω ] RT = RP + R 10025 + 4700 RP ⋅ R
A indutância L p do circuito tanque equivalente ideal na ressonância é dada por: 2
L p
=
Rw + ( ω 0 L )
2
2
=
ω 02 L
( 25) + (100 × 103 × 5 × 10−3 ) 3 2
(100 × 10 )
⋅ 5 × 10
−3
2
= 0,50[ H ]
Assim Q na ressonância pode ser obtido: 0, 02 × 10−6 = 3199,83 = 0, 64 Q = RT 0,5 L p C
Assim, a freqüência ressonante obtida a partir de Q: ω 0
=
1 LC
Q Q2
2
+1
(0,156)2 1 = 2 5 × 10 −3 × 0,02 × 10 −6 (0,156) + 1 = 100000 × 0,1541358 = 15413,58 rad s
13.O circuito a-b da Figura 9 deve deixar passar uma corrente de 45 kHz com impedância mínima e bloquear uma corrente de 15 kHz tão eficazmente quanto possível. R 0=20Ω, R 1=40 Ω, e C2=0,05 μF são constantes. A resistência do capacitor é desprezível. L1 é susceptível de ser variado por toda a faixa necessária e é suposto que a resistência do ramo 1 é 40 Ω quando L1 é fixado no valor desejado. Certo valor de C 0 ou de L0 (de suposta resistência desprezivelmente pequena) deve ser colocado em série com R 0 para se obter o efeito seletivo estabelecido anteriormente.
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L1
Figura 9 Circuito RLC misto. a) Determinar L1 que colocará o circuito em paralelo b-c em ressonância
paralela em 15 kHz. b) Calcular a impedância equivalente de b a c em 45 kHz com L1 ajustado para seu valor ressonante em 15 kHz. É b-c predominantemente capacitivo ou predominantemente indutivo em 45 kHz? c) Qual o tipo de reatância (indutiva ou capacitiva) que deve ser disposta em série com R0 para levar o ramo a-b a ressonância em série? Calcular o valor de L0 ou C0 que é necessário para colocar o circuito ab em ressonância em série em 45 kHz. d) Supondo-se que o ramo a-b foi colocado em ressonância em série em 45 kHz, qual é a impedância real de a-b em 45 kHz? Em 15 kHz? e) Delinear o processo acima para o efeito sintonizador inverso, i.é., para o circuito a-b deixar passar 15 kHz e bloquear 45 kHz. Solução: a) A condição de ressonância paralela para o ramo b-c é dada por: B L
= BC ω L1
R12
+ ω 2 L12
= ω C 2
Desenvolvendo a equação para L1, tem-se: ω 2C 2 L12 − L1 + C 2 R12
=0
1 ± 1 − 4ω 2 C 22 R12 L1 = 2ω 2 C 2 ω = 2π f = 2π × 15 × 10 3 = 94247,78[rad s ] 2
1 ± 1 − 4 × (94247,78)2 × (0,05 ×10 −6 ) × (40 )2 L1 = 2 × (94247,78)2 × 0,05 × 10 −6
=
1 ± 1 − 0,142 1 ± 0,926 = 888,264 888,264 Prof Ruth P. S. Leão
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1,926 = 2,168[mH ] 888,264 0,074 = 0,083[mH ] L2′′ = 888,264 L1′ =
A indutância igual a 2,168 mH será selecionada uma vez que produzirá uma menor condutância na condição de ressonância (i.é., maior impedância) contribuindo de forma eficaz para um menor valor da corrente bloqueada em 15 kHz. b) A impedância equivalente de b a c em 45 kHz com L1 ajustado para seu valor
ressonante em 15 kHz. Z eq,bc
=
( R1 + jX L1 ) ⋅ (− jX C 2 ) R1 + j ( X L1 − X C 2 )
= ω L1′ = (2π × 45 × 103 )× 2,168 ×10 −3 = 612,99[Ω] −6 3 X C 2 = 1 (2π × 45 × 10 × 0,05 × 10 ) = 70,74[Ω] X L1
Então: (40 + j 612,99) ⋅ (− j 70,74) 43455,14∠ − 3,73 Z eq ,bc = = = 79,92∠ − 89,51 [Ω] 40 + j (612,99 − 70,74) 543,72∠85,78 D
D
D
A impedância equivalente Z eq,bc é predominantemente capacitiva. c) Para levar o ramo a-b a ressonância série deve-se inserir uma reatância indutiva
em série com R0. O valor de L 0 que leve o ramo a-b à ressonância a 45 kHz é dado por: 79,93sen(89,51 ) 79,93 ω 45 L0 − Im( Z eq ,bc ) = 0 ∴ L0 = = = 0,283[mH ] 3 2π × 45 × 10 282743,34 D
d) A impedância do ramo a-b a 45 kHz? Z ab,45
= R0 + Z eq,bc = 20 + 79,92∠ − 89,51
D
= 20 + 0, 68 − j 79,92 = 82,55∠ − 75, 49 [Ω] D
A impedância do ramo a-b a 15 kHz? Prof Ruth P. S. Leão
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A resistência do ramo a-b a 15 kHz é dada por: Z ab,15
= R0 +
jω 15 L0 +
1 G15
= 20 + j × 2π × 15 × 103 × 0, 283 × 10−3 +
2 ( 40 ) + ( 2π × 15 × 103 × 2,168 × 10−3 )
40
= 20 + j 26, 67 + 1083, 76 = 1104, 08∠1,38 [ Ω] D
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2
Capítulo 06 Exercícios
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA CIRCUITOS ELÉTRICOS II PROF a: RUTH P.S. LEÃO
LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Calcular a corrente no ramo bc para o circuito da Figura 1. 1ohm
b
3 omhs
c
2 ohm s
8 ohm s
1
e
4 ohms 100+j0 v olts
43,3+j25 v olts 2
Zg1=1+j3 ohms
Zg2=1+j5 ohms 2 ohms
a
f
d 0
Figura 1 O circuito apresenta duas fontes, e pelo teorema da superposição a sua solução pode ser obtida investigando-se a contribuição de cada uma delas, independentemente, para a resposta do circuito. Inicialmente admite-se que a fonte g 2 é desativada, E g2=0, sendo substituída por sua impedância interna. 1ohm
b
3 omhs
c
2 ohm s
1
8 ohm s
1e 5 ohms
4 ohms
I’ bc 100+j0 v olts
2
2
Zg1=1+j3 ohms
1 ohm
2 ohms
a
d
f
0
Figura 1.a. Z cf =
Z ce + Z g 2 ⋅ ( Z cd ) Z ce + Z g 2 + Z cd
=
(3 − j 3) ⋅ (2 + j 4 ) = 3,69 + j 0,462 = 3,72∠7,17 Ω (3 − j3 + 2 + j 4) D
Prof. Ruth P.S. Leão Email:
[email protected] HP:www.dee.ufc.br/~rleao
Z bf = Z g1 + Z bc + Z cf = (1 + j 3) + (1 − j 3) + (3,69 + j 0,462 ) = 5,69 + j 0,462 = 5,71∠4,64 Ω D
100 + j 0 = 17,43 − j1,417 = 17,49∠ − 4,65 A 5,69 + j 0,462
′ = I bc
D
Admite-se agora que E g1=0, substituída por sua impedância interna. b
1ohm
3 omhs
1
c
2 ohm s
1
3 ohms
8 ohm s
e
4 ohms
I” bc
43,3+j25 v olts 2
Zg2=1+j5 ohms
2 2 ohms
1 ohm
a
f
d 0
Figura 1.b. Z ca =
( Z ab + Z bc ) ⋅ ( Z cd ) (1 + j 3 + 1 − j 3) ⋅ (2 + j 4 ) Z ab + Z bc + Z cd
=
2 + 2 + j 4
= 1,5 + j 0,5 = 1,58∠18,43 Ω D
A impedância vista pela fonte Z g2: Z ea = Z g 2 + Z ce + Z ca = 1 + j 5 + 2 − j8 + 1,5 + j 0,5 = 4,5 − j 2,5 = 5,15∠ − 29,05 Ω D
A corrente no ramo ec: I ec =
E g 2 Z ea
=
43,3 + j 25 = 5 + j8,34 = 9,72∠59,06 A 4,5 − j 2,5 D
Aplicando divisor de corrente para determinar a contribuição de E g2 no ramo bc: ⎛ ⎞ Z cd ⎟ ⋅ I ec = (2 + j 4 ) ⋅ (5 + j8,34 ) = 1,66 + j 7,5 = 7,68∠77,52 A ⎜ Z + Z 1 + Z ⎟ (4 + j 4) g cd ⎠ ⎝ cb
′′ = ⎜ I bc
D
A corrente no ramo bc é então: ′ − I bc′′ = 17,43 − j1,417 − 1,66 − j 7,5 = 15,77 − j8,917 = 18,12∠ − 29,49 A I bc = I bc D
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2. Calcule a corrente que circulará na carga Z L=30∠0oΩ quando conectada aos terminais ab do circuito mostrado na Figura 2. Considere que a impedância da fonte é desprezível. j10 ohms
e
1
2
c
j10 ohms 1
2
a
-j20 omhs
100+j0 v olts
d
b
0
Figura 2 Se uma impedância Z for conectada entre dois pontos quaisquer de uma rede energizada, a corrente resultante I, através desta impedância, é a diferença de potencial V entre estes dois pontos, antes da conexão (ou V TH), dividida pela soma da impedância conectada Z e da impedância Z 0, onde Z0 (ou ZTH) é a impedância do resto da rede quando vista dos terminais através dos quais é conectada a impedância Z. Para o cálculo da tensão V ab (antes da conexão de Z L), tem-se que: ⎛
⎞ ⎟⎟ Z + Z cd ⎠ ⎝ ec V F
V ab = V cd = Z cd I cd = Z cd ⋅ ⎜⎜
100∠0 = 200∠0 V V ab = V TH = − j 20 ⋅ ( j10 − j 20) D
D
Na determinação da impedância equivalente vista dos terminais ab, todas as fontes de f.e.m. devem ser supostas nulas e substituídas por suas impedâncias internas. Z TH = Z ac +
Z cd ⋅ Z ce Z cd + Z ce
= j10 +
( j10) ⋅ (− j 20 ) j10 − j 20
= j 30Ω
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ZTH=j30 ohms 1
2
a
ZL=30 ohms
VTH=200+j0 v olts
b 0
Figura 2.a. De acordo com o teorema de Thévenin, a corrente na carga: 200∠0 I L = = = 4,72∠ − 45 A Z TH + Z L j 30 + 30 V TH
D
D
Note que a tensão Vab com a carga difere da condição sem a carga: Vab= 141,6∠-45ºV ≠ VTH = 200∠0oV 3. É dado o circuito mostrado na Figura 3. Determinar a potência entregue a uma carga com impedância Z ab=3+j3 Ω que é suposta como conectada nos terminais ab. 2 ohms
1 ohm
j3 ohms 1
2
a 44,71+j22,38 v olts
j3 ohms 1
2
b
-j5 omhs
Zg1=1+j1 ohms
100+j0 v olts Zg2=2+j1 ohms
0
Figura 3 A potência entregue à impedância Z ab é calculada por: *
S Zab = V Zab ⋅ I Zab
Usando o teorema de Thévenin, será calculada a tensão V ab antes da conexão de Zab. Para tanto, será aplicado o teorema da superposição a fim de conhecer a Prof. Ruth P.S. Leão Email:
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corrente que circula na resistência de 1 Ω como contribuição de cada uma das fontes. Considerando Eg2 desativada, sendo substituída por sua impedância interna, tem-se que a impedância do circuito vista por E g1 é dada por: 2 ohms
1 ohm
j3 ohms 1
2
I’
a 44,71+j22,38 v olts
j3 ohms 1
b
2 2 ohms 1
-j5 omhs
Zg1=1+j1 ohms
j1 ohm
2
0
Figura 3.a. (1 + j 3 + 2 + j1) ⋅ (− j5) (1 + j 3 + 2 + j1 − j 5) (3 + j 4) ⋅ (− j 5) = (3 + j 4 ) + = (3 + j 4 ) + 7,91∠ − 18,44 (3 − j1)
Z = (1 + j1) + (2 + j 3) +
D
= 10,5 + j1,5 = 10,61∠8,13 Ω D
A corrente do circuito: 44,71 + j 22,38 50∠26,59 I = = = 4,71∠18,46 A 10,5 + j1,5 10,61∠8,13 D
D
D
A corrente através da resistência nos terminais ab: 5∠ − 90 I ′ = ⋅ 4,71∠18,46 = 7,48∠ − 53,11 A (1 + j 3 + 2 + j1 − j 5) D
D
D
Considerando Eg1 desativada, sendo substituída por sua impedância interna, temse:
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2 ohms
1 ohm
j3 ohms 1
2
1 ohm
a
1
j3 ohms 1
2
I” b
100+j0 v olts
-j5 omhs
Zg2=2+j1 ohms j1 ohm
2
0
Figura 3.b. A impedância do circuito vista pela fonte E g2: Z =
(2 + j3 + 1 + j1) ⋅ (− j5)
+ (1 + j 3 + 2 + j1) 2 + j 3 + 1 + j1 − j5 25∠ − 36,87 = + (3 + j 4) = 7,91∠ − 55,3 + (3 + j 4 ) 3,16∠18,43 = 7,5 − j 2,5 = 7,91∠ − 18,43 Ω D
D
D
D
A corrente através da resistência nos terminais ab: 100∠0 = 12,64∠18,43 A I ′′ = 7,5 − j 2,5 D
D
A corrente no resistor ab: I Rab = I ′ − I ′′ = 7,48∠ − 53,11 − 12,64∠18,43 = 12,48∠ − 126,93 A = −12,48∠53,06 A D
D
D
D
A tensão Vab ou tensão de Thévenin: V ab = V TH = Rab I Rab = 12,48∠ − 126,93 V D
A impedância de Thévenin vista dos terminais ab será obtida desativando E g1 e Eg2, substituídas por suas impedâncias internas.
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2 ohms
1 ohm
j3 ohms 1
j3 ohms
2
1 ohm
1
2 ohms
a
1
2
b
1
-j5 omhs j1 ohm
j1 ohm
2
2
0
Figura 3.c. Z =
(1 + j1 + 2 + j3) ⋅ (− j 5)
+ (2 + j1 + j 3) 1 + j1 + 2 + j 3 − j 5 = 7,91∠ − 55,3 + (2 + j 4 ) = 6,5 − j 2,5 = 6,96∠ − 21,04 Ω D
Z TH =
Z ⋅ Rab Z + Rab
D
(6,96∠ − 21,04 )⋅ (1) = 0,88 − j 4 × 10 −2 = 0,88∠ − 2,6 Ω = D
D
6,5 − j 2,5 + 1
A corrente na impedância Z ab: I Zab
12,74∠ − 154,42 = = = 2,61∠168,24 A Z TH + Z ab (0,88 − j 4 × 10 −2 + 3 + j3) V TH
D
D
A potência fornecida a Z ab é então: S Zab = Z ab ⋅ I Zab
2
2
= (3 + j 3) ⋅ (2,61) = (20,44 + j 20,44 ) = 28,9∠45 VA D
4. Uma máquina geradora tem uma impedância de 0,5+j1 Ω e está conectada a uma carga por uma linha de 0,25+j2 Ω. Em que carga será realizada a máxima transferência de potência? Se a tensão gerada for de 20V, qual será a potência recebida pela carga quando ajustada para a máxima transferência de potência? Determinar a perda na linha e a perda na máquina geradora. 0,25 ohms j2 ohms 1
2 ? ohm 1
V Zg=0,5+j1 ohms
? ohms
2
0
Figura 4. Prof. Ruth P.S. Leão Email:
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Para a máxima transferência de potência à carga, a impedância da carga deve ser igual ao conjugado da impedância do sistema. Assim, Z L = (0,75 − j 3)Ω
Para o cálculo da potência entregue à carga, tem-se que a corrente no circuito da Figura 4 é calculada por: I =
V Z g + Z linha
20∠0 = = 13,34∠0 A 1,5 + Z L D
D
Assim, 2
2
S L = Z L ⋅ I = (0,75 − j 3) × (13,34 ) = 133,83 − j 535,18 = 551,66∠ − 75,96 VA D
A perda na linha: 2
2
Plinha = Rlinha ⋅ I = 0,25 × (13,34 ) = 44,49W
A perda no gerador: 2
2
Pg = R g ⋅ I = 0,5 × (13,34 ) = 88,98W
Note que a potência útil da carga é igual às perdas no sistema (máquina e linha). A corrente nesta condição de operação é limitada apenas pela resistência, sendo, portanto máxima, o que implica em condutores de maiores bitolas. Para a máxima transferência de potência a carga deve ter componente reativa dual a do sistema. Em geral, as cargas apresentam reatância indutiva. Além disso, na condição de máxima transferência de potência o sistema torna-se instável. 5. Resolver a questão anterior se a impedância receptora for restringida à resistência pura. 20∠0 I = = = 5,97∠ − 63,43 A Z g + Z linha + Z L 1,5 + j 3 V
D
D
A potência entregue à carga: Prof. Ruth P.S. Leão Email:
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2
2
S L = Z L ⋅ I = (0,75) × (5,97 ) = 26,73∠0 VA D
A perda na linha: 2
2
Plinha = Rlinha ⋅ I = 0,25 × (5,97 ) = 8,91W
A perda no gerador: 2
2
Pg = R g ⋅ I = 0,5 × (5,97 ) = 17,82W
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Capítulo 07 Exercícios
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ - UFC DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA - DEE CURSO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS II PROFa: RUTH LEÃO
LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Um sistema abc trifásico, equilibrado, a três condutores de 110 Vrms, alimenta uma carga em triângulo, constituída por três impedâncias iguais de 5∠45º Ω. Determinar as correntes de linha Ia, I b, e Ic e traçar o diagrama de fasores. Ia
a
110V
+
-
Iab
Ica
5 ∠45º Ω 110V -
I b
b 110V
I bc
+
+ -
5 ∠45º Ω
Ic
c
5 ∠45º Ω
Considerando um conjunto de tensões trifásicas equilibradas que alimentam a carga: V ab V bc V ca
= 110∠0 V = 110∠ − 120 V = 110∠ + 120 V
As correntes de fase Iab, I bc, e Ica: I ab I bc I ca
= = =
V ab Z ab V bc Z bc V ca Z ca
= = =
110∠0 5∠45
= 22∠ − 45 A
110∠ − 120 5∠45
110∠120 5∠45
= 22∠ − 165 A
= 22∠75 A
As correntes de linha Ia, I b e Ic: I a I b I c
= I ab − I ca = 22∠ − 45 − 22∠75 = 38,105∠ − 75 A = I bc − I ab = 22∠ − 165 − 22∠ − 45 = 38,105∠165 A = I ca − I bc = 22∠75 − 22∠ − 165 = 38,105∠45 A
Como as correntes de fase são equilibradas, as correntes de linha podem ser obtidas a partir de:
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I a
=
3 I ab ∠ − 30
=
I b
=
3 I bc ∠ − 30
=
I c
=
3 I ca ∠ − 30
=
( )∠ − 30 = 38,105∠ − 75 A 3 (22∠ − 165 )∠ − 30 = 38,105∠165 A 3 (22∠75 )∠ − 30 = 38,105∠45 A 3 22∠ − 45
Ainda, uma vez obtida I a, a corrente de linha nas outras fases podem ser obtidas simplesmente por: I b I c
= I a ∠ − 120 = (38,105∠ − 75 )∠ − 120 = 38,105∠ − 195 = 38,105∠165 A = I a ∠120 = (38,105∠ − 75 )∠120 = 38,105∠45 A
Note ainda que a soma das correntes de fase é nula, o que retrata uma condição de equilíbrio: I ab + I bc
+ I ca = 22∠ − 45 + 22∠ − 165 + 22∠75 = 0
A soma das correntes de linha será sempre nula, independente do equilíbrio ou não das correntes de fase. Em caso de desequilíbrio das correntes de fase, tem-se uma condição de desequilíbrio nas correntes de linha cuja soma fasorial é nula. O diagrama fasorial: Vca Ic
Ica -30º
I b Vab -30º
I bc
-120º
V
-45º -30º
Iab
c
Ia
Note que as correntes de linha têm magnitude √3 vezes maior que a magnitude da corrente de fase e estão atrasadas de 30º de suas respectivas correntes de fase. Tal condição ocorre em sistemas equilibrados. 2. Um sistema trifásico, equilibrado, com três fios e 400 Vrms, alimenta duas cargas balanceadas em Y. Uma carga é um motor de indução que pode ser representado por uma impedância de 10+j5 Ω por fase. A outra é uma carga equivalente 15 Ω por fase. Existe diferença de potencial entre n e n´? Prove. Determinar a potência média: (a) Fornecida à carga resistiva de 15 Ω. (b) Fornecida ao motor de indução. (c) Fornecida por uma fase da fonte. (d) Qual o fator de potência do motor e do sistema?
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a 400 V b
+
+
+
+
400 V ZM
ZM
400 V
R
R
n
n´
ZM
R +
+ c
Para demonstrar o potencial de n e n´ será inicialmente calculado o equivalente carga. Como as cargas são equilibradas, tem-se que: Z ∇ ,eq , M Z ∇ ,eq , R
Δ de cada
= 3 Z Y , M = 3(10 + j5) = 30 + j15 = 33,54∠26,57 Ω = 3 Z Y , R = 3 ⋅ 15 = 45Ω
a Ia
Ia,R
Ia,M
b I b
I b,R
I b,M
ZΔ,eq,R
ZΔ,eq,M
R
ZM
ZM
n´
n ZΔ,eq,M
ZΔ,eq,M
R Ic,R
c
As tensões de linha de alimentação são:
Vbc
= 400∠0 [V ] = 400∠ − 120 [V ]
Vca
= 400∠ + 120 [V ]
Vab
ZΔ,eq,R
ZΔ,eq,R
ZM
Ic
R
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As correntes de fase em cada uma das cargas são calculadas como: V ab
=
400∠0
I ab, Δ ,eq, M
=
I bc, Δ ,eq, M
= I ab,Δ ,eq, M ∠ − 120 = (11,93∠ − 26,57 )⋅ 1∠ − 120 = 11,93∠ − 146,57 A
I ca, Δ ,eq, M
= I ab,Δ ,eq , M ∠ + 120 = (11,93∠ − 26,57 )⋅ 1∠ + 120 = 11,93∠93,43
Z Δ ,eq , M
= 11,93∠ − 26,57 A
33,54∠26,57
V ab
400∠0
=
I ab, Δ ,eq , R
=
I bc, Δ ,eq, R
= I ab,Δ ,eq , R ∠ − 120 = (8,89∠0 )⋅ 1∠ − 120 = 8,89∠ − 120 A
I ca, Δ ,eq, R
= I ab ,Δ ,eq , R ∠ + 120 = (26,67∠0 )⋅ 1∠ + 120 = 8,89∠ + 120
Z Δ ,eq , R
45∠0
A
= 8,89∠0 A
A
As correntes de linha que alimentam cada uma das cargas, motor e resistência, são: I a , M
= I ab,Δ ,eq, M − I ca ,Δ ,eq , M = 11,93∠ − 26,57 − 11,93∠93,43 = 20,66∠ − 56,57 A
I b , M
= I a, M ∠ − 120 = (20,66∠ − 56,57 )⋅ 1∠ − 120 = 20,66∠ − 176,57 A
I c , M
= I a, M ∠ + 120 = (20,66∠ − 56,57 )⋅ 1∠ + 120 = 20,66∠63,43
I a , R
= I ab,Δ ,eq , R − I ca,Δ ,eq, R = 8,89∠0 − 8,89∠ + 120 = 15,4∠ − 30 A
I b, R
= I a, R ∠ − 120 = (15,4∠ − 30 )⋅ (1∠ − 120 ) = 15,4∠ − 150 A
I c, R
= I a, R ∠ + 120 = (15,4∠ − 30 )⋅ (1∠ + 120 ) = 15,4∠ + 90
A
A
Note que as correntes que alimentam cada uma das cargas são simétricas ou equilibradas, i.é., mesma magnitude e defasadas de 120º elétricos. Com as correntes de linha podem-se calcular as tensões de fase nas cargas motora e resistiva conectadas em Y.
= Z M ⋅ I aM = (10 + j5) ⋅ (20,66∠ − 56,57 ) = (11,18∠26,57 ) ⋅ (20,66∠ − 56,57 = 230,99∠ − 30 V Vbn = Z M ⋅ I bM = (10 + j 5 ) ⋅ ( 20.66∠ − 176,57 ) = 230, 99 ∠ −150 [V ]
V an
ou simplesmente V bn = V an ∠ − 120 V cn
= V an ∠ + 120
= (230∠ − 30 )⋅ (1∠ − 120 ) = 230,99∠ − 150 = 230,99∠ + 90 V
V
Na resistência, as tensões de fase:
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)
= Z R ⋅ I aR = (15∠0 )⋅ (15,4∠ − 30 ) = 231∠ − 30 V bn´ = V an´ ∠ − 120 = 231∠ − 150 V V cn´ = V an´∠ + 120 = 231∠ + 90 V
V an´
V
Pode ser visto que V an=Van´, V bn=V bn´, e Vcn=Vcn´, denotando que n e n´ estão no mesmo potencial. Embora os neutros das cargas não estejam ligados entre si, como as cargas são equilibradas e alimentadas por tensões equilibradas não haverá deslocamento no neutro das cargas. A potência média entregue à carga resistiva: P 3φ , R
2
= 3V ab I ab,Δ ,eq , R cos θ R = 3V an´ I aR cos θ R = 3 R I aR = 3 × 15 × (15,4)2 = 10,672kW
A potência média fornecida ao motor de indução: P3φ , M
= 3 Vab ⋅ I ab,Δeq, M
cos θ M
= 3 Van ⋅ I a, M
cos θ M
= 3RM
I a, M
2
2
= 3 ×10 × ( 20, 66 ) = 12,805 [ kW ] A potência média fornecida por uma fase da fonte: P 1φ
=
1 3
( P
3φ , M
1
23,477
3
3
+ P 3φ , R ) = (10,672 + 12,805) =
= 7,826kW
Para determinar o fator de potência do motor tem-se que: ∗ S1φ = Vab ⋅ I ab , Δeq , M
= Van ⋅ I a∗, M
= ( 400∠0 ) ⋅ (11,93∠26, 57 ) = (231∠ − 30 ) ⋅ (20, 66 ∠56,57 ) = 4772, 46 ∠26, 57 [VA]
FPD =
P 1φ S 1φ
=
(
4772,46 cos 26,57 4772,46
) = 0,894
O fator de potência de deslocamento do sistema: S 1φ
= S 1φ , M + S 1φ , R = 4772,46∠26,57 + 3557,34∠0 = 8111,69∠15,26
(
FPD = cos 15,26
VA
) = 0,965
3. Três impedâncias de carga de 15∠60º Ω são conectadas em delta e alimentadas por linhas cada uma das quais tendo 1 Ω de resistência e 1 Ω de reatância indutiva. Se as tensões de linha no lado de entrada das impedâncias da linha forem trifásicas, equilibradas e iguais a 115 V, determinar: (a) A tensão através das impedâncias de carga. (b) Perda de potência nas linhas de suprimento e a potência dissipada pela carga.
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1+j1 Ω
+
a
-
Ia 115 V b
1+j1 Ω
+
b´
-
15∠60º Ω +
-
a´
I b 115 V
Zeq,Y
Zeq,Y n
+
115 V
-
15∠60º Ω
-
Ic
c
1+j1 Ω
+
15∠60º Ω
Zeq,Y
+
-
c´
A impedância equivalente Y da carga: Z eq,Y
=
1 3
=
Z Δ
15∠60 3
= 5∠60 Ω
A impedância total equivalente por fase: Z total ,eq
= Z linha + Z Yeq ,c arg a
Z total,eq
= Z aa ' + Z a 'n = (1 + j1) + 5∠60 = 6,38∠56,71 = (3,5 + j5,33)Ω
As tensões de linha de alimentação:
= 115∠0 [V ] Vbc = 115∠ − 120 [V ]
Vab
Vca
= 115∠ + 120 [V ]
A corrente de linha que alimenta a carga:
I a
=
V an Z total ,eq
⎛ 115∠0 ⎜ = ⎝
⎛ V ab ⎜ = ⎝
⎞∠ − 30 ⎟ 3 ⎠
Z total ,eq
⎞∠ − 30 ⎟ 66,40∠ − 30 3 ⎠ = = 10,41∠ − 86,71 A 6,38∠56,71 6,38∠56,71
I b I c
= I a ∠ − 120 = 10,41∠ − 86,71 ⋅ 1∠ − 120 = 10,41∠153,29 A = I a ∠ + 120 = (10,41∠ − 86,71 )⋅ (1∠ + 120 ) = 10,41∠33,29 A
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A tensão de fase na carga equivalente Y: Va´n
= Z eq ,Y ⋅ I a = 5∠60 ⋅ 10,41∠ − 86,71 = 52,05∠ − 26,71
V b´n
= Va´n ∠ − 120 = (52,05∠ − 26,71 ) ⋅ (1∠ − 120 ) = 52,05∠ − 146,71 = Va´n ∠ + 120 = (52,05∠ − 26,71 ) ⋅ (1∠ + 120 ) = 52,05∠93,29 V
Vc´n
V
V
A tensão de fase na carga Δ:
= 3 ⋅ V a´n ∠ + 30 = 3 ⋅ (52,05∠ − 26,71 )⋅ (1∠30 ) = 90,15∠3,29 V b´c´ = V a´b´ ∠ − 120 = (90,15∠3,29 ) ⋅ (1∠ − 120 ) = 90,15∠ − 116,71 V V c´a´ = V a´b´ ∠ + 120 = (90,15∠3,29 )⋅ (1∠ + 120 ) = 90,15∠123,29 V
V a´b´
V
A prova pode ser obtida a partir de:
= I a Z linha + V a´b´ − I b Z linha V a´b´ = V ab − Z linha ( I a − I b ) = 115∠0 − (1 + j1)(10,41∠ − 86,71 − 10,41∠153,29 ) = 115∠0 − (1 + j1)(18,03∠ − 56,71 ) = 115∠0 − 25,5∠ − 11,71 = 90,18∠3,3 V V ab
A perda na linha: P linha
2
= 3 Rlinha I a = 3 × 1 × (10,41)2 = 325,104W
A potência dissipada pela carga: P c arg a
2
2
1
= 3 Rc arg a I a = 3 × Z eq ,Y cosθ × I a = 3 × 5 × × (10,41)2 = 812,76W 2
4. A figura abaixo mostra uma carga indutiva trifásica equilibrada ligada em estrela, sem acesso ao terminal neutro, e alimentada por uma fonte trifásica equilibrada com a seqüência de fase abc. Supondo que se disponha de dois wattímetros, pede-se que: (a) Esboce o diagrama esquemático de ligação dos wattímetros para que se obtenham as potências trifásicas, ativa e reativa, da carga. (b) Deduza as expressões das potências trifásicas ativa e reativa a partir das leituras de P1 e P2 obtidas dos wattímetros.
Ruth P.S. Leão Email:
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Ia
Vcb
a Vc
Ic
Z
Vab
θ 30º
30º
Va
-θ
n Z
Ia
Z
I b
b Ic
c
V b
Dados/Informações Técnicas: _ Pi é a leitura da potência obtida pelo wattímetro i.
_ Z é a impedância de carga por fase (Z=|Z|e jθ); θ
