Exercicios AlgebraI

Introdu¸ c˜ c˜ ao ao a Alge Algebr bra a Adilson Gon¸calves calves

Esse documento se encontra no blog http : //monitoriavirtual.wordpress.com e est´ a sujeito a corre¸c˜ cao a˜o de poss´ıveis ıveis erros.

Colaboradores Diego Oliveira(UESB)

1

Os n´ umeros inteiros (p´ ag. 18) 1 5

Exerc´ıcios 2 - 4 6 7 8

1. Prove por indu¸ c˜ ao as seguintes formulas: a) 1 + 2 + ... + n =

n(n+1)

2

∀n ≥

1 inteiro.

Solu¸ c˜ ao: Primeiro testamos a base da indu¸c˜ao. Base (para n=1) 12 = ( 1(1+1) )2 = 1 2 o que ´e verdadeiro. Agora para o passo indutivo temos: Hip´ otese: Dado um k > 0 ent˜ ao ( k(k2+1) )2 ´e verdadeira. Tese: Se a hip´otese for verdadeira ent˜ao a express˜ao ( (k+1)(2 k+2) )2 tamb´em ´e verdadeira. Prova 1 + 8 + ... + k 3 + (k + 1)3 = ( k(k2+1) )2 + (k + 1)3 =

k2 (k +1)+4( k+1)

4

= ( (k+1)(2 k+2) )2 como se queria demonstrar. c) 1 + 8 + ... + n3 = [ n(n2+1) ]2 Solu¸ c˜ ao: Primeiro testamos a base da indu¸c˜ao. Base (para n=1) 1=

1(1+1) 2

=1

o que ´e verdadeiro.

2

Agora para o passo indutivo temos: Hip´ otese: Dado um k > 0 ent˜ ao k(k2+1) ´e verdadeira. E devemos provar nossa tese Tese: Se a hip´otese for verdadeira ent˜ao a express˜ao (k+1)(2 k+2) tamb´em ´e verdadeira. Prova 1 + 2 + ... + k + (k + 1) = =

k(k+1)+2( k +1)

=

(k+1)(k+2) 2

2

=

k (k+1)

2

+ (k + 1)

k 2 +k+2k +2

2

Completando a demonstra¸c˜ao.

2. Prove que o conjunto S  = m

{ ∈

Z  : 7 < m < 8 ´ e vazio.

}

Solu¸ c˜ ao: Supondo por absurdo que S  = ent˜ao pelo Principio da Boa Ordena¸ c˜ao existe um xo S  tal que xo = minS  ou seja:

 {}

∈

7 < xo < 8 7

−7 < x −7∈ 8−7 0 < (x − 7) ∈ 1 0 · x < (x − 7)x ∈ 1 · x o

o

o

o

o

o

O que ´e um absurdo pois a express˜ao contradiz a minimalidade de xo

4. Se x, y

∈

Z  e n

N . Prove por indu¸ c˜ ao sobre n que:

∈

n n (x + y)n = xn + ( )xn−1 y + ... + ( )xn−i y i + ... + yn 1 i Solu¸ c˜ ao: Testando a Base da indu¸ca˜o para n = 1 temos: (x + y)1 = x1 + ( 11 )x1−1 y = x + y Para o passo indutivo devemos mostrar que a express˜ao (x + y)k+1 ´e verdadeira sempre que (x + y)k tamb´em for para k > 0; k N .

·

∈

3

Prova (x + y)k (x + y) = (x + y)k+1

·

ou tamb´em (x + y)k+1 = (x + y)(xk + ( k1 )xk−1 y + ... + ( ki )xk−i y i + ... + y k )

·

·

Desse racioc´ınio segue x(x + y)k = xK +1 + ( k1 )xk y + ... + ( ki xk−i−1 y + ... + yk x)

·

·

·

y(x + y)k = yk x + ( k1 )xk−1 y2 + ... + ( ki )xk−i y i+1 + ... + yk+1

·

·

·

Somando termo a termo usando a rela¸c˜ao de Stifell verificamos que a proposi¸ca˜o ´e verdadeira.

6. Prove, por indu¸ c˜ ao sobre n, que n3 + 2n ´ e sempre divis´ıvel por 3. Solu¸ c˜ ao: Testando a base de indu¸ca˜o para n = 0 vem: 03 + 2 (0) = 0 Como 3 0 ent˜ ao a proposi¸ca˜o ´e verdadeira para n = 0

·

|

Provemos agora que 3 (k + 1)3 + 2(k + 1) sempre que 3 k 3 + 2k. Prova

|

|

(k + 1)3 + 2(k + 1) = (k 2 + 2k + 1)(k + 1) + 2(k + 1) = k 3 + 2k 2 + k + k 2 + 4k + 3 = (k 3 + 2k) + 3(k 2 + k + 1) Como 3 k 3 + 2k por hip´ otese e 3 3(k2 + k + 1) ent˜ao 3 (k + 1) 3 + 2(k + 1) logo a proposi¸c˜ao ´e verdadeira

|

|

|

7. Se A= 1, 2,...,n denotamos por P (A) o conjunto das partes de A, i.e., P (A) = B : B A. Prove que P (A) = 2n , onde X  denota o numero de elementos do conjunto X .

⊂

|

|

| |

Solu¸ c˜ ao: Para a base da indu¸c˜ao testemos para n = 1. Se n = 1 ent˜ ao P (A) = 21 i.e. P (A) = ,1 . Para o passo indutivo suponha que exista um conjunto B com n + 1 elementos, de modo que (B A) i.e. B = 1, 2,...,n,B 

{{} }

⊃

{

}

4

Os subconjuntos distintos de A podemos escrever como X 1 , X 2 , X 3 ,...,X 2n−1 , X 2n . Agora, os subconjuntos de B se dividem em duas classes : Os que n˜ ao con  tem o elemento B e os que contem B . Portanto, os subconjuntos distinto de B s˜ao X 1 , X 2 , X 3 ,...,X 2n−1 , X 2n junto com X 1 B  , X 2 B  , X 3 B  ,...,X 2n−1

∪{ }

∪{ }

∪{ }

∪ {B}, X 2 ∪ {B }. n

Vemos que B possui um total de 2 vezes 2n subconjuntos distintos. Isto quer dizer que P (B) = P (A) + P (A Como P (A

∪ { B  }) n

∪ { B  }) = 2

segue que

P (B) = 2n + 2n = 2n+1

8. Se n ´ e um natural ´ımpar. Prove que (n3 por 24.

− n) ´e sempre divis´ıvel

Solu¸ c˜ ao: Testando a Base para n = 1 temos: 13 1 = 0 como24 0 ent˜ ao ´e verdadeira para n = 0.

−

|

Para o passo indutivo segue que se dado um k > 0 (k + 2)3 verdadeira sempre que k 3 + 1 o for. Prova (k + 2)3 (k + 2) = (k 3

−

− (k + 2) ´e

− k) + 6(k2 + 2k + 1)

como 24 k 3 k por hip´ otese basta mostrar que 24 6(k 2 + 2k + 1) ou que 4 (k 2 + 2k + 1) (uma vez que 6 24), como k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 e k + 1 ´e par maior que zero ent˜ao ´e divis´ıvel por 4 pois todo numero par ao quadrado ´e divis´ıvel.

|

| −

|

|

5

An´ eis ideias e homomorfismo (p´ ag. 39) 11

2 12

Exerc´ıcios 3 7 8 16 17 -

10

2 Calcule os divisores de zero nos seguintes an´ eis: Z 6 , Z 8 , Z 18 , Z 60

Solu¸ c˜ ao: Os divisores de zero de Z 60 s˜ao m e n tal que m ¯ n ¯ 0 ou seja m e n s˜ao divisores de 60. Como 60 = 2 2 3 5 Seus divisores s˜ao D60 = 1, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 20, 30, 60 ¯ n˜ Repare que 0 60 ao existe como classe de congruˆ encia no anel Z 60 assim n˜ ao ¯ poderia pode ser divisor de zero assim como o ¯1 pois somente multiplicado por 60 ¯ = 60 resultar numa congruˆencia nula (¯1 60 0) no entanto todos os demais podem ser divisores de zero. ¯ 15, ¯ 20, ¯ 30 ¯ Resposta: ¯2, ¯3, ¯4, ¯5, 12,

· ≡

· · ·

{

·

{

}

≡

}

¯ 1, ¯ ..., n ¯ 1 , 0 x < n. 3 Seja n um inteiro 2 e seja x ¯ Z n 0, Prove que: Existe y¯ Z n tal que x ¯y¯ = y¯x ¯ = 1 M.D.C. x, n = 1 (isto ´ e, os elementos x ¯, 0 x < n, s˜ao invert´ıvel em Z n s˜ ao aqueles tais que M.D.C. x, n = 1).

≥

∈ { }

∈

≤

−{ ⇔

− } ≤ { }

Solu¸ c˜ ao ( ) Se m.d.c(x,n)=1 e sabendo que todo par de n´ umeros pode ser escrito como combina¸ca˜o linear com seu m.d.c temos: xr + ns = 1 com r, s Z. dai segue ¯ ¯ ¯ xr = 1 ns ou seja xr 1(mod n) ent˜ ao xr ¯ 1 = 0 xr ¯ = 1 ent˜ ao r¯ = x ¯−1 provando que x ¯ ´e invert´ıvel. ( )Se x ¯ ´e invert´ıvel ent˜ao existe y¯ tal que ¯ x ¯y¯ = 1 xy ¯ ¯1 ¯0 como ¯0 = ns(mod n) ent˜ ao xy 1 = ns xy ns = 1 da´ı xy + n( s) = 1 portanto m.d.c(x, n) = 1 se x for invert´ıvel.

⇒

−

⇐

⇔

≡

−

− ≡

−

∈

−

−

7. Prove que se A, +, ´ e um anel qualquer ent˜ ao s˜ ao validas as seguintes propriedades quaisquer que seja x,y,z A:

·

∈

a)0 x = x 0 = 0

· · b)−(x · y) = (−x)y = x(−y) c)(−x) · (−y) = x · y 6

d)x (y

· − z) = xy − xz.

Solu¸ c˜ ao a) 0 x + 0 = x(0 + 0) 0 x+0 = x 0+x 0

·

·

· ⇒ 0 = x · 0 a prova para 0 = o · x. ´e an´aloga

·

b) (x y) = ( x) y = x ( y) (xy) + (xy) = x(y y) = (xy) + x( y) (xy) + (xy) = (xy) + x( y) (xy) = x( y) analogamente se prova para ( xy) = x( y).

− ·

− − −

− · −

·−

−

−

− c)(−x)(−y) = xy (−x) · (−y) = −[x(−y)] = xy. d)x(y − z) = xy − xz x(y−) = xy + x(−z) = xy − xz.

−

−

8. Seja A, +, um anel qualquer. Vamos definir potencias de um elemento x A (usando a associatividade do produto ) do seguinte modo:

·

∈

x1 = x, x2 = x x,...,xn = xn−1 x, n

·

·

Prove as seguintes propriedades m, n,

∀

≥ 2.

∈ N  − {0}

a)xm+n = x x

·

b)(x y)m = xm ym se x y = y x

·

·

·

·

c)(xm )n = xm·n Solu¸ c˜ ao a) Provemos por indu¸c˜ao sobre n. xm+n = xm xn para n=1 se tem xm+1 = xm x

·

Passo indutivo: por hip´ otese xm xr = xm+r ´e verdadeira r > 0 assim: x xr+1 = xm xr x1 = xm+r x = x(m+r)+1 = xm+(r+1) .

·

·

· ·

∀ ≥

·

b)(x y)m = x y Para n=1 (x y)1 = x1 y 1 = x y Passo indutivo pro hip´ otese assumimos que (x y)r = x y r ´e verdadeira r > 0, ent˜ ao r+1 r r +1 r+1 1 (xy) = (xy) (xy) = x y x y (x x)(xy) = (x )(y ) = (xy)r+1 note que para a ultima passagem usamos a propriedade anterior.

·

·

·

·

·

· ·

· · ·

·

·

∀

c)Para n=1 (xm )1 = x1·m = xm Admitamos que (xm )r seja verdadeira 7

∀r, r > 0 provemos que a rela¸c˜ao ´e valida para r + 1. (xm )(r+1) = (xm )r xm = xmr xm = xmr + m = xm(r+1) .

√

10. Seja p um numero primo e seja Q[  p] = a + b : a, b Q . Defina soma e produto como acima e verifique q[  p], +, ´ e um corpo.

√{

∈ }

·

Solu¸ c˜ ao: Sendo q[  p], +, um dom´ınio de integridade (prova se da mesma forma que a quest˜ ao 9) verificamos se ela ´e corpo ou seja se seus elementos s˜ao invert´ıvel. Dado x q[  p], +, x = (a + d  p) e existe um y tal que x y = 1 assim (a + d  p)y = 1 como (a + d  p) (a d  p) = (a2 + d2  p) ent˜ ao √  (a−d  p) y = (a −d √  p)

√

·

∈√ √

2

√

·⇒

√ · − √

√

·

2

11. Mostre que o anel [0, 1] das fun¸ c˜ oes reais continuas definidas em [0, 1] possui divisores de zero. Solu¸ c˜ ao:

 1 − 2x se x ≤ Seja f (x) = 0 se x >  0 se x ≤ g(x) =

2x

−1

se x >

1 2 1 2

1 2 1 2

Ambos n˜ ao nulos, porem f (x) g(x) = 0

·

12. Seja A um dominio de integridade e a,b,c ao b = c. a = 0 e ab = ac ent˜



∈

A. Prove que, se

Solu¸ c˜ ao: Sendo A dominio de integridade vale a propriedade da comutatividade, existˆencia da unidade e a n˜ ao divis˜ a o por zero (ab = 0 ent˜ ao a = 0 ou b = 0), essas propriedades s˜ao suficientes para a demonstra¸c˜ao. ab = ac

⇒

ab

− ac = ac − ac

a(b

− c) = 0 logo a = 0 ou (b − c) = 0 como a  = 0 ⇒ b − c = 0 e b = c. 16. Seja A um anel tal que x2 = x x comutativo.

∀ ∈

8

A. Prove que A ´ e um anel

solu¸ c˜ ao: 2 yx = yx = (y x) x = (x x)y = x2 y = xy.

· ·

·

17. Seja A um anel qualquer e x A. Se existe n x = 0 dizemos que o elemento x ´e nilpotente.

∈

n

∈

N 

− {0} tal que

a)Dˆ e exemplos de uma infinidades de elementos nilpotentes em um anel comutativo. Solu¸ c˜ ao: A matriz β = M 2 [R] =

0 a ´e nilpontente para todo expoente de β. 0 0

9

Aneis, Ideais e Homomorfismo (p´ ag. 45) 1. Seja Bi i∈N  uma sequˆ encia de sub an´ eis de um anel A. Prove que B = Bi tamb´ em ´ e um sub anel de A.

∩

{ }

Solu¸ c˜ ao: i) o

∈ B pois 0 ∈ B ∀ i ∈ N . ii-iii) Se a, b ∈ B ⇒ a, b ∈ B logo a − b ∈ B assim a − b, ∈ B portanto B ´e um sub anel de A. ¯ i

i

ea b

· ∈

i

Bi

∀∀ i ∈

N 

2.Seja Bi i∈ N  uma sequˆ encia de sub an´ eis de um anel A. Prove que , se Bo B1 ... Bn ... ent˜ ao B = Bi ´ e tamb´ em um sub anel de A.

{ } ⊂

⊂ ⊂

⊂

∪

Solu¸ c˜ ao: i)0

B pois 0

∈

∈

Bi

∀i∈

N .

ii-iii) Dado um a, b Bi para algum i N  resultara que a, b a b,ab B pois tamb´em pertencem a algum Bi .

−

∈

∈

∈

∈

B e logo

3. Mostre que Z 3 = ¯0, ¯1, ¯2 n˜ ao ´ e sub anel de Z 5 = ¯0, ¯1, ¯2, ¯3, ¯4 .

{

}

{

}

Solu¸ c˜ ao Verifiquemos que Z 3 n˜ ao ´e fechado para a soma. ¯0 ¯0 = ¯0 ¯0 ¯1 = ¯0 + ¯4 = ¯4 como ¯4 n˜ ao pertence ao anel Z 3 ent˜ ao n˜ ao pode ser sub anel de Z 5 .

−

−

4. Seja A um anel e a um sub anel de A.

∈

A. Prove que, B = x

{ ∈

A:x a=a x ´ e

·

· }

Solu¸ c˜ ao: i) 0

∈

B pois 0

ii) Dado xa = xa ya = a(x y).

−

−

iii) Dado x, y

∈

∈ A ent˜ao x · 0 = 0 = 0 · x ax ∈ B e ya = ay ∈

B

⇒

xa

− ya ∈

B pois

B ent˜ao (xy)a = x(ya) = x(ay) = (xa)y = a(xy).

6. Seja A um anel e a

∈ A.

Prove que, B = x

{ ∈

10

A:x a=0 ´ e

·

}

um sub anel de A. Solu¸ c˜ ao: i) 0

∈

B pois 0

A ent˜ao x 0 = 0

∈

·

ii) Dado c, d B, ent˜ao ca = 0, da = 0 (c d) a = 0 a A assim (c d) B.

∈ ∀ ∈

− ·

∀∈

− ∈

A tem se que ca

− da = 0

iii) Se ca = 0 e da = 0 ent˜ao (cd)a2 e dai seguem dois caminhos. 1o cd = 0 dai c = 0 ou d = 0 e ent˜ao c, d

∈

B

2o a2 = 0 a a = 0 logo a = 0 e c, d tamb´em pertence a B. Assim de todo modo B ´e um sub anel de A.

·

11. Um dom´ınio de integridade D ´ e dito caracter´ıstico 0 se m = 0 sempre que ma = 0 com a D, a = 0 e m N . D diz-se caracter´ıstica finita se existe a D, a = 0, tal que ma = 0 para algum inteiro m = 0. Nesse caso definimos como a caracter´ıstica de D o menor inteiro positivo m tal que ma = 0 para algum a D, a = 0. Prove que, a) se caracter´ıstica de D ´ e p ent˜ ao p x = 0 x D. b) a caracter´ıstica de D ou ´ e zero ou um numero primo.

∈

∈







∈

∈ ∀ ∈

·

Solu¸ c˜ ao: a)Seja D dom´ınio de integridade onde ma = 0, a ter´ıstica p ent˜ao m = 0 e a = 0 e por defini¸c˜ao  p = m : m a = 0, m D, a N  logo pa = 0.

{

·



∈



∈

Dem



∈ N , com carac-

∈ }

b) Seja P  a caracter´ıstica de D. Se p = 0 ent˜ ao pela defini¸ca˜o pa = 0. Suponhamos por absurdo que p n˜ ao ´e primo ou seja p = rq com 1 < r, q < p, ent˜ao pa = 0 = (rq)a = 0 como a = 0 por defini¸ca˜o de anel de integridade ra = 0 ou qa = 0 em ambos os casos p max r, q o que ´e um absurdo.





≤

11

{ }