Exercício 24 - Arnaldo García e Yves Lequain

Estruturas Algébricas ∗

Moisés Toledo

18 de abril de 2012

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Solução Solução de exercício exercícioss - Lista 2

Exercício 24. Seja x ∈ D4 \ Z (D4 ). Seja ϕx o automorfismo interno associado a este elemento x. Mostre que: a) ϕx define de maneira maneira natural natural um homomorfismo homomorfismo ϕ x : D4 /Z (D4) → D4 /Z (D4 ). b) ϕ x = id , ϕx |Z (D ) = id , ϕx =  id. 4

 Demonstração. a) Definimos Definimos ϕ x :

x : D4 /Z (D4 ) −→ D4 /Z (D4 ) ϕ  → ϕx (g )Z (D4 ) gZ ( gZ (D4 ) −

o qual esta bem definida pois:

g1 Z (D4 ) = g2 Z (D4 )

⇐⇒

g1 · g2 1 Z (D4 ) = Z (D4 )

⇐⇒

ϕ x(g1 · g2 1 Z (D4)) = Z (D4 )

⇐⇒

ϕx (g1 · g2 1 )Z (D4)) = Z (D4 )

⇐⇒

x(g1 · g2 1 )x 1 Z (D4)) = Z (D4 ) −

⇐⇒

(xg1 x 1 ) · (xg2 1 x 1 )Z (D4 ) = Z (D4 )

⇐⇒

−

−

−

−

−

−

−

(xg1x 1 ) · (xg2 1 x 1 ) · (xg2 1 x 1) 1 Z (D4 ) = Z (D4 )(xg )(xg2 1 x 1 ) −

−

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−

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−

xg1 x 1 Z (D4 ) = xg2x 1 Z (D4 ) ϕx (g1 )Z (D4 ) =ϕx(g2 )Z (D4 ) x (g1 Z (D4)) =ϕ x(g2 Z (D4)) ϕ −

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Universidade Universidade Federal da Paraíba

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b) Vejamos agora agora que 1.- ϕ x = id. De fato, dado gZ ( gZ (D4 ) ∈ D4 /Z (D4 ) temos:

ϕ gZ (D4 )) = ϕx (g)Z (D4 ) x (gZ ( = xgx 1Z (D4 ) −

= (xgx 1 g 1)gZ ( gZ (D4 ) = gZ ( gZ (D4 ) = id( id(gZ ( gZ (D4 )) −

−



pois D (D4 ) = Z (D4 )

2.- ϕx |Z (D ) = id. De fato, dado g ∈ Z (D4 ) temos: 4

ϕx (g ) = xgx

1

−

= gxx 1 = g = id( id(g) −

3.- ϕx =  id. De fato, se ϕx = id então dado g ∈ D4 temos:

ϕx (g ) = g

⇐⇒

xgx 1 = g xg = gx g ∈ Z (D4 ), ∀g ∈ D4 Z (D4 ) = D4

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

−

o ultima equivalen equivalencia cia é uma contradição pois Z (D4 ) =  D4 .