Exercices Variables Aleatoires

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EXERCICES VARIABLES ALÉATOIRES : une et deux dimensions 1. Une variable aléatoire possède une densité constante sur l’intervalle (-c, c) et sa variance est 1. Calculez la constante c, la moyenne, la médiane, la fonction de répartition et les percentiles(aussi appelés quantiles) suivants p = 0.05, 0.10, 0.25, 0.95. 2. Le pourcentage A d’un certain additif dans un carburant détermine son prix de vente. Si A est inférieur à 70%, le carburant se vend 0.52/litre et s’il est supérieur à 70%, le carburant se vend 0.58/litre. Calculez le revenu moyen/litre en supposant que A est distribué uniformément. 3. Une variable x a une densité de probabilité fx ( x ) définie par : 0≤ x 2 c >0 c x  fx ( x ) = c (4 − x ) 2 ≤ x ≤ 4 0 ailleurs  Calculez : c, moyenne, variance, écart-type, fonction de répartition et les percentiles d’ordre p = 0.05, 0.25, 0.50, 0.75, 0.99. 4. Une variable aléatoire x a une densité de probabilité fx (x) défini par : c exp( − x ) x ≥ 0 c > 0 fx ( x ) =  0 x 1, déterminez une expression pour la moyenne et calculez si θ =1 et k = 2. f. Si k > 1, déterminez une expression pour l’écart-type. 14. Le temps d’attente (en minutes) pour être servi à un guichet est une variable aléatoire continue T ayant une fonction de densité fT (t ) :  0 t 2 T > 1] . c. Calculez la moyenne et la médiane de T. d. Calculez l’écart-type de T. 15. Une variable X a une densité de probabilité f X ( x ) définie par : 3 2  x −c < x < c fx ( x ) =  2 0 ailleurs a. Déterminez la constante c. b. Calculez la fonction de répartition FX ( x ) . c. Calculez la variance. d. Calculez le 90e percentile.

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16. On prend au hasard un point à l’intérieur d’une sphère de rayon r. La probabilité que ce point appartient à une région sphérique est proportionnelle au volume de cette région. Soit X la distance du point choisi au centre de la sphère. a. Déterminer la fonction de répartition de X b. Déterminer la fonction de densité de X. 17. Une variable aléatoire X suit la loi double exponentielle si sa densité de probabilité f X ( x; α,β ) est: 1 α−x  2β exp( β ) x ≥ α  f X ( x; α,β) =   1 exp( x −α ) x ≤ α β  2β où α et β sont deux paramètres tels que −∞ < α < ∞ , β > 0 . a. Déterminez la fonction de répartition FX(x; α,β). b. Calculez la moyenne et l’écart-type de X c. Déterminez une expression pour le p-ième percentile de X et calculer l’écart interquartile (différence entre le 75ième percentile et le 25ième percentile) d. Calculez le coefficient d’aplatissement β2 de X. 4 Rappel : β2 = (μ4 / σ 4) – 3 où μ4 = E(X – μ ) 2 0.5 μ = E(X) (moyenne de X) σ = (E(X – μ ) ) (écart type de X) 18. Soit X une variable aléatoire continue qui satisfait la condition suivante P [ X > x ] = (µx + 1) exp(−µx ) x ≥ 0 , µ > 0 § Déterminez la fonction de répartition FX ( x; µ ). § Déterminez la fonction de densité f X ( x; µ) . § Calculez la moyenne de X § Calculez l’écart-type de X. 19. Soit p X ,Y ( x, y ) une fonction de probabilité conjointe définie par le tableau suivant :

y x

0

1

2

-1 1/16 1/16 2/16 0 1/16 1/16 1/16 1 1/16 2/16 6/16 § Calculez les fonctions de probabilités suivantes : marginale de X, conditionnelle de Y si X=0, conditionnelle de Y si X = 1, conditionnelle de X si Y = 2 § Calculez P( X = -1, 0 ≤ Y < 2). § Les variables X et Y sont-elles indépendantes? § Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y.

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20. Un vecteur aléatoire V = ( X , Y ) a pour fonction de masse de probabilité pv

a. b c. d.

 θx x = 0,1,2,K x y  &&& x −y pV ( x , y ) =  x ! exp( −θ )   p (1 − p ) si y = 0,1,K , x y    0 ailleurs  Déterminez : loi de probabilité marginale de X, loi de probabilité conditionnelle de Y étant donné X = x Déterminer la loi marginale de Y. Calculez : moyenne de X, écart-type de X, moyenne de Y, écart type de Y. Les variables X et Y sont-elles indépendantes?

21. On désigne par X un nombre choisi au hasard sur l’intervalle (0. 1) et par la suite un nombre Y est choisit au hasard sur l’intervalle (0, x) où x est la réalisation de X § b. c. d.

Déterminez la densité marginale de X et la densité conditionnelle de Y si X = x. Calculez P( X + Y > 1). Déterminez la densité de Y fY(y). Calculez : moyenne de X, moyenne de Y, écart type de X, écart type de Y, coefficient de corrélation entre X et Y.

22. Pour chacune des densités conjointes f X , y ( x, y ) calculez : C, les densités marginales, les moyennes, les variances et le coefficient de corrélation. Préciser si les variables sont indépendantes. 0 ≤ x ≤ 1000  c /1000 f X , Y ( x, y ) =  § 0 ≤ y ≤ 10 0  ailleurs 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1, x≤y . ailleurs

c § f X , Y ( x, y ) =  0

§

 c (5 − x − y / 2) f X , Y ( x, y ) =  0

 cxy exp(− x 2 − y 2 ) § f X , Y ( x, y ) =  0

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0≤x≤2 0 ≤ y ≤ 2. ailleurs x, y ≥ 0 . ailleurs

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23. Deux variables aléatoires ont une densité conjointe de probabilité  k(x2 + y 2 ) 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b f X , Y ( x, y ) =  ailleurs 0 § Calculez la constante k. § Calculez P [ 0 < X < a / 2 , 0 < Y < b / 2 ] . § Calculez les densités marginales. § Les variables sont-elles indépendantes? 24. Soit X1, X2, X3 trois variables aléatoires indépendantes de moyenne µ et de variance σ2 et Y = X1 + X2 Z = a X2 + b X3 Calculez le coefficient de corrélation linéaire entre Y et Z. 25. Soit X une variable dénotant l’heure de la journée où une marchandise est envoyée et Y l’heure de la journée où la marchandise est reçue. La densité conjointe de ( X , Y ) est définie par  1  288 0 ≤ x < y ≤ 24  f X , Y ( x, y ) =  0 ailleurs   a. Calculez la densité marginal de X et celle de Y. b. Calculez les densités conditionnelles X │ Y = y et Y │ X = x.. c. Calculez la probabilité que la réception de la marchandise ait lieu au plus tard 6 heures après son envoi. 26. On note par X la pression du pneu avant droit et Y la pression du pneu avant gauche d’une voiture. On suppose que la densité conjointe de ( X ,Y ) est définie par  c ( x + y ) 20 ≤ x ≤ 30 , 20 ≤ y ≤ 30 f X , Y ( x, y ) =  ailleurs 0 où c est une constante. § Calculez la constante c. b. Quelle est la probabilité que la pression du pneu avant droit soit inférieure à la pression du pneu avant gauche. c. Les variables sont-elles indépendantes?

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27. La densité conjointe f X ,Y de deux variables X et Y est définie par  24 xy f X , Y ( x, y ) =  0

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x + y ≤ 1 autrement

a. Calculez P [ X + Y ≤ 0.5 ] . b. Calculez la densité marginale de X. c. Les variables sont-elles indépendantes? 28. Soit X une variable aléatoire discrète ayant la distribution suivante X 1 2 3 pX(x)

0.2

0.5

0.3

a. Calculez la moyenne µ et la variance σ de X b.. Donnez la liste de tous les échantillons distincts de taille n = 3 (il y en a 27). 2

c. Calculez la distribution d’échantillonnage de X = 1/ 3 ( X 1 + X 2 + X 3 ) . d. Calculez la moyenne et la variance de X . e. Vérifiez que Var ( X ) = var (X) / 3 29. Dans une banque, un caissier électronique permet de retirer des billets, de 50$ ou 100$ à l’aide d’une carte magnétique. Il se peut aussi que le client ne puisse retirer d’argent si le compte n’est pas approvisionné ou si le client à fait une erreur de manipulation. Le nombre de clients X utilisant l’appareil dans un intervalle de 5 minutes est une variable aléatoire dont la masse de probabilité p X ( x ) est X

0

1

2

pX(x) 0.30 0.50 0.20 Le montant total Y retiré en 5 minutes est une variable dont la masse de probabilité conditionnelle est pY│X = 1 (y) = 0.1 si y = 0 = 0.7 si y = 1 = 0.2 si y = 2 § Montrez que y pY│X = 0 (y) pY│X = 2 (y) § § § §

0 1.0 0.0

50

100

150

200

0.00 0.14

0.00 0.53

0.00 0.28

0.00 0.04

Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ? Justifiez votre réponse. Calculez la probabilité P( X = 1, Y = 100) Calculez la probabilité P( Y = 0). Calculez le nombre moyen de clients utilisant l’appareil en une heure.

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30. Deux signaux X et Y indépendants sont émis selon une distribution uniforme durant un intervalle de temps T (fixe). Calculez la probabilité que la réception soit brouillée si un bouillage apparaît dès que la différence de temps entre les deux signaux est inférieure ou égale à b ou 0 < b < T . 31. Soit la densité conjointe de probabilité  (x + y ) f X , Y ( x, y ) = c xy exp  − x, y ≥ 0 λ   Montrez que § § §

C = λ-4 . x y    FX , Y ( x, y ) =  1− e − x / λ − e − x / λ   1− e − y / λ − e − y / λ  . λ λ    P(X + Y.> λ) = 8/3e = 0.98

32. La densité de probabilité conjointe de deux variables ( X , Y ) est définie par :  3 −1≤ x ≤ 1 , x 2 ≤ x 2 ≤ y 1  f X , Y ( x, y ) =  4 .  0 ailleurs § §

Calculez i. Les densités marginales de X et Y. ii. Le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y. Les variables X et Y sont-elles indépendantes?

33. On considère l’expérience de jeter deux tétraèdres distincts dont les 4 faces sont numérotées 1, 2, 3, 4. Soit X1 la variable dénotant le numéro de la face sur laquelle repose le premier tétraèdre et X 2 la variable dénotant le numéro de la face sur laquelle repose le second tétraèdre. § Calculez la masse de probabilité conjointe de (X1, X2) § Calculez la masse de probabilité conjointe de (X1, Y) où Y = max( X1, X2). § Calculez la masse de probabilité marginale de X1 et celle de Y § Les variables X1 et Y sont-elles indépendantes? 34. Deux procédés de fabrication indépendants produisent des cylindres évidés et des pistons pour un assemblage. Le diamètre extérieur des pistons est représenté par une variable X distribuée uniformément sur l’intervalle (98.5, 100.5) tandis que le diamètre intérieur des cylindres est représenté par une variable Y distribuée uniformément sur l’intervalle (99, 101). Calculez la probabilité d’effectuer l’insertion du piston dans le cylindre.

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35. Une variable continue X suit une distribution logistique de paramètres de localisation α et d’échelle β a pour fonction de répartition FX ( x ; α , β ) définie par : x −α FX ( x ; α,β ) = 1/(1 + exp ( −  ))  β  −∞< x 1

k>2

t