exercices de révision 2.pdf

Conservatoire National des Arts et Métiers Matériaux de construction CCV014 Enseignant responsable : W. Larbi

Exercices dirigés Propriétés mécaniques des matériaux

Courbe de traction

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Exercice 1

Sur la courbe de traction σ = f(ε) d’un fer polycristallin, on a relevé une limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 égale à 280 MPa. Sous cette contrainte, la déformation totale et de l’éprouvette de traction était égale à 0,337 %. 1.a) Quelle est la valeur (en GPa) du module d’Young E de ce fer polycristallin ? 1.b) Si ce fer polycristallin est mis sous une contrainte de 350 MPa, quelle est la valeur (en kJ/m3) de l’énergie élastique Wél emmagasinée par unité de volume de matériau ?

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Correction exercice 1 1.a) Module d’Young du fer polycristallin. La courbe de traction est représentée schématiquement ci-contre. À la limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 , la déformation totale εt est égale à 0,337 % et la déformation élastique εel est égale à : εel = (εt – 0,2)% = 0,137 %. Le module d’Young du fer est donc égale à :

1.b) Énergie élastique Wél sous une contrainte de 350 MPa. L’énergie élastique Wél emmagasinée par unité de volume est égale à l’aire du triangle élastique représenté ci-contre.

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Exercice 2 On réalise un essai de traction sur une éprouvette cylindrique faite d’un matériau cristallin ductile X. Les dimensions de l’éprouvette sont les suivantes : Diamètre : d0 = 20 mm Longueur utile : l0 =200 mm Au cours de l’essai, on observe que, sous une force F de 113,2 kN, l’éprouvette s’allonge de 0,742 mm. Après décharge complète à partir de cette force, la longueur de l’éprouvette est égale à 200,4 mm. On constate également que sous une contrainte de 200 MPa, le diamètre de l’éprouvette diminue de 5,88 μm. Avec ces données, on vous demande de calculer : 2.a) La limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 (en MPa) de ce matériau. 2.b) Le module d’Young E (en GPa) de ce matériau. 2.c) La résistance théorique à la traction Rth (en MPa) de ce matériau. 2.d) L’énergie élastique Wél (en J/cm3) emmagasinée dans l’éprouvette quand elle est soumise à une contrainte de 200 MPa. 2.e) Le coefficient de Poisson ν de ce matériau.

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Correction exercice 2 2.a) Limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 du matériau X Justification : Après décharge complète, la déformation permanente résiduelle est égale :

La force F à laquelle avait été soumise l’éprouvette correspond à Re0,2. Cette limite conventionnelle d’élasticité est donc égale à :

2.b) Module d’Young E du matériau X Justification : Sous la force F, la déformation totale εt de l’éprouvette est égale à : La déformation plastique εp est égale à 0,2% puisque l’on est la limite conventionnelle d’élasticité. La déformation élastique εél est égale à :

Le module d’Young est égal à : 6

Correction exercice 2 2.c) Résistance théorique à la traction Rth du matériau X Justification : En l’absence de données plus précises concernant le matériau X, telles que son énergie de surface γS et la distance d’équilibre a0 entre ses atomes, on applique la règle empirique disant que la résistance théorique à la traction Rth est approximativement égale au dixième du module d’Young E du matériau.

2.d) Energie élastique Wél emmagasinée dans l’éprouvette sous une contrainte de 200 MPa Justification : Par unité de volume de matériau, l’énergie élastique emmagasinée est égale à ½σεél = σ2/2E.

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Correction exercice 2 2.e) Coefficient de γ du matériau X Justification : Sous une contrainte σ de 200 MPa, la déformation radiale εr est égale à : εr = (-5,88 μm)/(20 mm) = - 2,94x10-4 La déformation axiale εz est égale à : εz = σ/E = (200 MPa)/(210,5 GPa) = 9,50x10-4 Par définition, le coefficient de Poisson ν est égal à –(εr/εz), soit avec les valeurs trouvées, γ = 0,3095 ≅ 0,31

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Exercice 3 On réalise un essai de traction sur une éprouvette d’acier inoxydable 304 à l’état recuit. Le plan de cette éprouvette est donné à la figure ci-contre. Les dimensions de l’éprouvette sont les suivantes : Longueur initiale de référence : L0 = 150 mm Diamètre initial : D0 = 10 mm Dans l'ordre chronologique de leur apparition au cours de l'essai de traction, on obtient les résultats suivants : • Pour une force appliquée F1 = 14,00 kN, la longueur de référence est égale à 150,141 mm et l'on constate que le diamètre a diminué de 2,81 μm. Lorsque la force F1 est supprimée, l'éprouvette retrouve ses dimensions initiales. • Pour une force appliquée F2 = 20,42 kN, la longueur de référence est égale à 150,505 mm. Lorsque la force F2 est supprimée, la longueur de référence est égale à 150,300 mm. • Au cours de l'essai, la force appliquée atteint une valeur maximale Fmax = 45,95 kN. La longueur de référence est alors égale à 221,8 mm. • La rupture de l'éprouvette se produit pour une force Fu = 31,42 kN alors que la longueur de référence a atteint la valeur de 223,5 mm. 3.a) Quelle est la valeur du module d’Young E (en GPa) de l’inox 304 ? 3.b) Quelle est la valeur du coefficient de Poisson ν de l’inox 304 ? 3.c) Quelle est la valeur du module de Coulomb G (en GPa) de l’inox 304 ? 3.d) Quelle est la limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 (en MPa) de l’inox 304 ? 3.e) Quelle est la résistance à la traction Rm (en MPa) de l’inox 304 ? 3.f) Quelle est la valeur de la déformation permanente A (en %) après rupture de l’éprouvette ? 9 3.g) Calculez l’énergie élastique wél (en J) emmagasinée dans le volume de référence de l’éprouvette juste avant sa rupture finale.

Correction exercice 3 3.a) Module d’Young E de l’inox 304. Justification : Sous la force F1, l’éprouvette est en régime de déformation élastique. Allongement élastique : εél = ΔL/L0 = (0,141/150) = 9,4x10-4 Contrainte : σél = 4F1/πD02 = 178,3 MPa Module d’Young : E = σél / εél = 189,6 GPa ≅ 190 GPa

3.b) Coefficient de Poisson ν de l’inox 304. Justification : Contraction relative élastique radiale : εr = ΔD/D0 = - (2,81x10-3/10) = - 2,81x10-4 Coefficient de Poisson : ν = - εr /εél = - (2,81/9,4) = 0, 2989 ≅ 0,30

3.c) Module de Coulomb G de l’inox 304. Justification : Relation entre E, G et ν : G = E/[2(1 + ν)] G = 190/[2(1 + 0,3)] = 73,08 ≅ 73 GPa 10

Correction exercice 3 3.d) Limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 de l’inox 304. Justification : La limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 correspond à la force F2, puisque l’éprouvette se retrouve déformée plastiquement de 0,2 % quand F2 est supprimée. Re0,2 = 4F2/πD02 = 260 MPa

3.e) Résistance à la traction Rm de l’inox 304. Justification : Par définition, la résistance à la traction Rm correspond à la force maximale Fmax puisque atteinte durant l’essai de traction Rm = 4Fmax/πD02 = 585 MPa

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Correction exercice 3 3.f) Allongement permanent A après rupture de l’inox 304. Justification : L’allongement permanent A après rupture est donné par la relation suivante : A = (εt – εélu) où : εt = allongement total juste avant la rupture = (223,5 -150)/150 = 0,49 = 49 % εél = retour élastique après la rupture = σu/E εél = σu/E = (4Fu/πD02)/E = 2,107x10-3 = 0,21 % Donc: A = (εt – εél) = 49 – 0,21 = 48,79 % 3.g) Énergie élastique wél emmagasinée dans le volume de référence de l’éprouvette juste avant sa rupture. Justification : L’énergie élastique Wél, emmagasinée par unité de volume du matériau à l’instant de la rupture, est donnée par la relation : Wél = ½ σuεél = ½ σu2/E L’énergie élastique wél, emmagasinée dans le volume de référence V de l’éprouvette est égale à : wél = (½σuεél)V = (½σu2/E)(L0πD02/4) Avec les valeurs trouvées ci-dessus pour E, εél et σu, on obtient ainsi : wél = 4,96 J 12