Exercices corrigés sur PL

Youssef

Exercices sur la programmation linéaire Exercice 1 : Une entreprise fabrique trois modèles de TV couleur A, B et C qui lui rapportent des profits de 1600 DH, 3000 DH et 5000 DH. Les niveaux minima de production pour une semaine sont de 100 pour A, 150 pour B et 75 pour C. Chaque douzaine de TV de type i requiert un temps Fi pour la fabrication, un temps Ai pour l’assemblage et un temps Ei pour l’emballage. A B C Fi 3 3,5 5 Ai 4 5 8 Ei 1 1,5 3 Pendant une semaine à venir, l’entreprise aura 150 heures disponibles pour la fabrication, 200 pour l’assemblage et 60 pour l’emballage. Formuler un modèle donnant un plan de production qui maximise le profit de la compagnie.

Exercice 2 : Un revendeur d’ordinateurs doit approvisionner son magasin de Fès et celui de Marrakech à partir des entrepôts de Casablanca et de Rabat. Les coûts unitaires en Dirhams de livraison sont les suivants : Entrepôts/Magasins Marrakech Fès Casablanca

600

300

Rabat

500

900

Le magasin de Marrakech commande 30 ordinateurs et celui de Fès en commande 25. Il y’a 45 appareils en stock à Casablanca et 40 à Rabat. Déterminer par la méthode graphique un programme d’approvisionnement optimal.

Solutions Exercice 1 : On pose A : x, B : y et C : z ***** x y Fi 1/4 7/24 Ai 1/3 5/12 Ei 1/12 1/8 Profit par 1600 3000 unité

z 5/12 2/3 1/4 5000

Limite 150 200 60 *****

1

Youssef Max { Z = 1600x +3000y + 5000z }

SC

1/4 x +7/24 y+5/12 z ≤ 150 1/3 x +5/12 y+2/3 z ≤ 200 1/12 x+1/8 y+ 1/4 z ≤ 60 x ≥100 y ≥ 150 z ≥ 75

Max { Z = 1600x +3000y + 5000z – Ma1 – Ma2 – Ma3 }

SC

1/4 x +7/24 y+5/12 z +e1 = 150 1/3 x +5/12 y+2/3 z +e2 = 200 1/12 x+1/8 y+ 1/4 z +e3 = 60 x +a1 –e4 = 100 y +a2 –e5 = 150 z +a3 –e6 = 75

Z = 1600x +3000y + 5000z – Ma1 – Ma2 – Ma3 Z = 1600x +3000y + 5000z – M(100 –x +e4) – M(150 –y +e5) – M(75 –z +e6) Z = x(1600+M) +y(3000+M) +z(5000+M) –Me4 –Me5 –Me6 –325M Tableau 1 x e1 1/4 e2 1/3 e3 1/12 a1 1 a2 0 a3 0 Z 1600+M z entre ; R = B/z

y 7/24 5/12 1/8 0 1 0 3000+M ⇒

z 5/12 2/3 1/4 0 0 1 5000+M

* 1 0 0 0 0 0 0

* 0 1 0 0 0 0 0

* 0 0 1 0 0 0 0

e4 0 0 0 -1 0 0 -M

e5 0 0 0 0 -1 0 -M

e6 0 0 0 0 0 -1 -M

* 0 0 0 1 0 0 0

* 0 0 0 0 1 0 0

* 0 0 0 0 0 1 0

B 150 200 60 100 150 75 325M

75 est le plus petit donc a3 sort

Tableau 2 L1-(5/12) L6 L2-(2/3) L6 L3-(1/4) L6 L4 L5 L6

e1

x 1/4

y 7/24

* 0

* 1

* 0

* 0

e4 0

e5 0

e6 5/12

* 0

* 0

B 475/4

e2 e3 a1 a2 z

1/3 1/12 1 0 0

5/12 1/8 0 1 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 -1 0 0

0 0 0 -1 0

2/3 1/4 0 0 -1

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

150 165/4 100 150 75

2

Youssef L7(5000+M)L6

Z

1600+M 3000+M 0

y entre ; R = B/y ⇒

0

0

0

-M -M 5000

0

0

250M375000

150 est le plus petit donc a2 sort

Tableau 3 L1-(7/24) L5 L2-(5/12) L5 L3-(1/8) L5 L4 L5 L6 L7(3000+M)L5

e1

x 1/4

* 0

* 0

* 1

* 0

* 0

e4 0

e5 7/24

e6 5/12

* 0

B 75

e2

1/3

0

0

0

1

0

0

5/12

2/3

0

175/2

e3 a1 y z Z

1/12 1 0 0 1600+M

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

0 -1 0 0 -M

1/8 0 -1 0 3000

1/4 0 0 -1 5000

0 1 0 0 0

45/2 100 150 75 100M825000

x entre ; R = B/x

⇒

100 est le plus petit donc a1 sort

Tableau 4 L1-(1/4) L4 L2-(1/3) L4 L3-(1/12) L4 L4 L5 L6 L7(1600+M)L4

*

*

*

*

*

e4

e5

e6

e1 e2 e3

* 0 0 0

B 50 325/6 85/6

x y z Z

1 0 0 0

0

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

0

0

0

1600

3000

5000

100 150 75 -985000

Ainsi : Z* = 985000 ; x* = 100 ; y* = 150 ; z* = 75 ; e1 = 50 ; e2 = 325/6 ; e3 = 85/6

Exercice 2: Min { D = 600x1 + 500x2 + 300y1+ 900y2 } On a x1 + x2 = 30 y1 + y2 = 25

⇒ x2 = 30 – x1 ⇒

y2 = 25- y1

Min { D = 600x1 + 500 (30 – x1) + 300y1+ 900 (25- y1) } Min { D = 100x1 - 600y1 + 37500 }

SC

x1 + y1 x1 + y1 x1 y1 x1, y1

≤ 45 ≥ 15 ≤ 30 ≤ 25 ≥0

( car x2 + y2 ≤ 40 ⇒ ( 30 – x1 + 25 – y1 ≤ 40 )

3

Youssef (E1) x1 + y1 = 45 (E2) x1 + y1 = 15 (E3) x1 = 30 (E4) y1 = 25

Sommets D C ∈ (E1) ∩ (E3)

D ∈ (E1) ∩ (E4)

( 45, 0) ; ( 0, 45 ) ( 15, 0) ; ( 0, 15 ) ( 30, 0) ( 0, 25)

A (15,0) B (30,0) 39000 40500 x1 + y1 = 45

C (30,15) 31500

D (20,25) 24500 y1 = 15

x1 = 30

x1 = 30

x1 + y1 = 45

x1 = 20

y1 = 25

y1 = 25

E (0,25) 22500

F (0,15) 28500

Ainsi : D* =22500 ; x1* = 0 ; y1* = 25 ; x2* = 30 ; y2* = 0

4