Exercice sur la programmation linéaire Plaques à découper

Exercice sur la programmation linéaire Exercice : Une usine à reçu des plaques de métal d’une largeur de 200cm et d’une longueur de 500cm. Il faut en fabriquer au moins 30 plaques de largeur de 110cm, 40 plaques de largeur 75cm et 15 plaques de largeur 60cm. Donner le modèle mathématique pour que les déchets soient le plus petits possible.

Solution Plaques

110cm

110cm

75cm

75cm

60cm

110cm

75cm

60cm

60cm

15cm

30cm

15cm

50cm

déchets

déchets

déchets

déchets

Youssef

110cm

60cm

75cm

30cm

60cm

60cm

60cm

déchets

5cm

5cm

20cm

déchets

déchets

déchets

1

Ainsi il y a 5 façons pour fabriquer les plaques : 1er : 1 plaque 110cm et 1 plaque 75cm avec 15cm de déchets. 2ème : 1 plaque 110cm et 1 plaque 60cm avec 30cm de déchets. 3ème : 2 plaques 75cm avec 50cm de déchets. 4ème : 1 plaque 75cm et 2 plaques 60cm avec 5cm de déchets. 5ème : 3 plaques 60cm avec 20cm de déchets. Définition des variables : X1 : nombre de plaques à découper avec la 1ère façon. X2 : nombre de plaques à découper avec la 2ème façon. X3 : nombre de plaques à découper avec la 3ème façon. X4 : nombre de plaques à découper avec la 4ème façon. X5 : nombre de plaques à découper avec la 5ème façon. Programme primal Min {D = 15x1 +30x2 +50x3 +5x4 +20x5}

SC

x1+ x2 ≥30 x1 + 2x3 +x4 ≥40 x3 + 2x4 +3x5 ≥15 x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥0

Programme dual Max {Z = 30a +40b +15c}

SC

a + b ≤ 15 a ≤ 30 2b + c ≤ 50 b + 2c ≤ 5 3c ≤ 20 a, b, c ≥ 0

Youssef

2

Tableau 1 a

b

c

*

*

*

*

*

B

e1

1

1

0

1

0

0

0

0

15

e2

1

0

0

0

1

0

0

0

30

e3

0

2

1

0

0

1

0

0

50

e4

0

1

2

0

0

0

1

0

5

e5

0

0

3

0

0

0

0

1

20

Z

30

40

15

0

0

0

0

0

0

b entre ; R= B/b ⇒

5 est le plus petit donc e4 sort

Tableau 2 L1-L4 L2 L32L4 L4 L5 L640L4

a

*

c

*

*

*

e4

*

B

e1

1

0

-2

1

0

0

-1

0

10

e2

1

0

0

0

1

0

0

0

30

e3

0

0

-3

0

0

1

-2

0

40

b

0

1

2

0

0

0

1

0

5

e5

0

0

3

0

0

0

0

1

20

Z

30

0

-65

0

0

0

-40

0

-200

a entre ; R= B/a ⇒

10 est le plus petit donc e1 sort

Tableau 3 L1 L2-L1 L3 L4 L5 L630L1

*

*

c

e1

*

*

e4

*

B

a

1

0

-2

1

0

0

-1

0

10

e2

0

20

e3

0

40

b

0

5

e5

0

20

Z

0

0

-5

-30

0

0

-10

0

-500

Ainsi : Z* = D* = 500 ; x1* = 30 ; x2* = x3* = 0 ; x4* = 10 ; x5* = 0

Youssef

3