Exercice Poutre Continue - BAEP1

ENPC

Béton Armé Et Précontraint 1

Application BAEP 1 Poutre continue à deux travées On considère une poutre continue à deux travées de 8,1m de portée. La poutre est en béton C35 et a une section en T de 60cm de hauteur. La table a une épaisseur de 15cm et une largeur de 2m. La largeur de l'âme est égale à 80cm. Les appuis de la poutre sont constitués de 2 appuis néoprènes de 250mm x 250mm. Hypothèses complémentaires :  On utilisera des armatures HA de classe B.  On considère un environnement de classe XC3 et une classe structurale S4.  On considère des charges uniformément réparties : o Charges permanentes y compris poids propre : 80 kN/ml o Charges d'exploitation : 25 kN/ml  On rappelle les coefficients de combinaison sur l'action variable : o 0 = 0,7 ; 1 = 0,5 ; 2 = 0,3  On considère un coefficient de fluage    2 0.60 m

2 appuis 250mm*250mm

8.10 m

8.10 m 16.2 m

2.00 m 0.15 m 0.60 m

0.80 m

Travail à effectuer :  Séance 1 : Déterminer le ferraillage pratique (flexion et effort tranchant) des sections critiques de la poutre.  Séance 2 : Déterminer l'épure d'arrêt des barres. Etudier les zones d'about. Dessiner le ferraillage pratique d'ensemble de la poutre.  Séance 3 : Faire les vérifications ELS et déterminer le ratio de ferraillage de la poutre. On donne les efforts dans les sections critiques : ab

Combinaison fondamentale ELU Combinaison caractéristique ELS Combinaison fréquente ELS Combinaison quasi‐permanente ELS

t

a

Section t Section ab Section a Moment de flexion Effort tranchant Moment de flexion Effort tranchant ‐1193 kN.m 737 kN 730 kN.m 461 kN ‐861 kN.m 532 kN 523 kN.m 332 kN ‐759 kN.m 468 kN 445 kN.m 287 kN ‐718 kN.m 443 kN 414 kN.m 270 kN

On donne pages suivantes les courbes d'efforts enveloppes de la poutre. Application – Calcul d’une poutre continue à deux travées

1/82

MAX

MIN

1,35.g+1,5.(q1+q2)

1,35.g+1,5.q2

1,35.g+1,5.q1

1,35.g

g+1,5.(q1+q2)

g+1,5.q2

g+1,5.q1

Béton Armé Et Précontraint 1

g

ENPC

16.20 15.39 14.58 13.77

Efforts tranchants enveloppes ELU (kN)

12.96 12.15 11.34 10.53

737 kN

9.72 8.91 8.10 7.29 6.48 5.67 4.86 4.05 3.24 2.43

461 kN

1.62 0.81

Application – Calcul d’une poutre continue à deux travées

‐1000

‐800

‐600

‐400

‐200

0

200

400

600

800

1000

0.00

2/82

MAX

MIN

1,35.g+1,5.(q1+q2)

1,35.g+1,5.q2

1,35.g+1,5.q1

1,35.g

g+1,5.(q1+q2)

g+1,5.q2

g+1,5.q1

Béton Armé Et Précontraint 1

g

ENPC

16.20 15.39 14.58 13.77 12.96

Moments de flexion enveloppes ELU (kN.m)

12.15 11.34 10.53

‐1193 kN.m

9.72 8.91 8.10 7.29 6.48 5.67

730 kN.m

4.86 4.05 3.24 2.43 1.62 0.81

Application – Calcul d’une poutre continue à deux travées

‐1500

‐1000

‐500

0

500

1000

0.00

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ENPC

Béton Armé Et Précontraint 1

Plan du corrigé 1)  Détermination des enveloppes d'efforts .......................................................................... 6  1.1 Combinaisons à étudier .................................................................................................... 6  1.2 Calcul des sollicitations .................................................................................................... 6  1.3 Détermination des enveloppes ....................................................................................... 11  2)  Détermination de l'enrobage .......................................................................................... 12  3)  Détermination des armatures de flexion en face inférieure de la poutre................... 13  3.1 Détermination de la largeur participante de la poutre : .................................................. 13  3.2 Détermination de la hauteur de béton comprimé, du bras de levier et de la contrainte dans les aciers. ...................................................................................................................... 14  3.3 Détermination de la section d’acier ................................................................................ 15  3.4 Détermination du ferraillage pratique ............................................................................ 15  4)  Détermination des armatures de flexion en face supérieure de la poutre ................. 16  4.1 Détermination de la largeur participante de la poutre : .................................................. 16  4.2 Détermination de la hauteur de béton comprimé, du bras de levier et de la contrainte dans les aciers. ...................................................................................................................... 16  4.3 Détermination de la section d’acier ................................................................................ 17  4.4 Détermination du ferraillage pratique ............................................................................ 17  5)  Dimensionnement des armatures transversales ........................................................... 18  5.1 Vérification de la contrainte de compression dans les bielles et détermination de leur inclinaison ............................................................................................................................ 18  5.2 Effort tranchant réduit à l'appui central .......................................................................... 18  5.3 Détermination des armatures d’effort tranchant à l'appui central .................................. 18  5.4 Effort tranchant réduit aux extrémités ............................................................................ 19  5.5 Détermination des armatures d’effort tranchant aux extrémités .................................... 19  5.6 Vérification du taux minimal d’armatures transversales................................................ 19  5.7 Ferraillage pratique ........................................................................................................ 19  6)  Epure d'arrêt des barres ................................................................................................ 20  6.1 Décalage de la courbe des moments .............................................................................. 20  6.2 Calcul des moments résistants........................................................................................ 21  6.3 Détermination de l'épure des barres ............................................................................... 22  7)  Etude des zones d'appui ................................................................................................. 27  7.1 Ancrage des aciers sur appui .......................................................................................... 27  7.2 Vérification de la bielle d'about sur les appuis d'extrémités .......................................... 28  7.3 Vérification de la bielle d'about sur l'appui central ........................................................ 30  8)  Retour sur le choix de l’angle d’inclinaison des bielles d’effort tranchant. .............. 31  9)  Plan de ferraillage pratique ........................................................................................... 32  9.1 Armatures sur appui ....................................................................................................... 32  9.2 Répartition des armatures d'effort tranchant .................................................................. 32  9.3 Plan de ferraillage........................................................................................................... 33  10)  Détermination du coefficient d’équivalence ............................................................. 34  11)  Vérifications des contraintes à l'ELS ........................................................................ 35  11.1 Détermination de l’inertie fissurée à mi-travée ............................................................ 35  11.2 Calcul des contraintes à mi-travée ............................................................................... 36  11.3 Détermination de l’inertie fissurée sur l’appui central ................................................. 36  11.4 Calcul des contraintes sur l’appui central .................................................................... 36  12)  Vérification de l'ouverture des fissures ..................................................................... 38  12.1 Vérification forfaitaire.................................................................................................. 38  Application – Calcul d’une poutre continue à deux travées

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Béton Armé Et Précontraint 1

12.2 Valeur limite de l'ouverture calculée des fissures (wmax) ............................................. 39  12.3 Calcul de l'ouverture des fissures (wk) ......................................................................... 40  13)  Vérification des flèches ............................................................................................... 43  13.1 Vérification forfaitaire.................................................................................................. 43  13.2 Flèche sous combinaison quasi-permanente ................................................................ 44  13.3 Vérification du critère de flèche nuisible ..................................................................... 46  13.3 Calcul de la flèche par intégration des courbures ........................................................ 49  14)  Ratio de ferraillage ...................................................................................................... 50  15)  Calcul des armatures de couture entre l'âme et la table ......................................... 51  15.1 Principe du calcul ......................................................................................................... 51  15.2 Vérification de la contrainte de compression dans les bielles ...................................... 51  15.3 Calcul des armatures de couture................................................................................... 52  16)  Calcul au feu ................................................................................................................ 53  16.1 Vérification par le calcul .............................................................................................. 53  16.2 Vérification des dispositions minimales ...................................................................... 53  17)  Annexe 1 : Rappel théorique : calcul des armatures de flexion à l’ELU ............... 55  17.1 Principes généraux de la flexion simple ....................................................................... 55  Définition de la flexion simple ......................................................................................... 55 Equations d’équilibre d’une poutre en béton armé .......................................................... 55 Exemple : Etude d’une poutre isostatique ........................................................................ 55 17.2 Dimensionnement d’une section rectangulaire ............................................................ 56  Rappel des hypothèses de calcul liées aux ELU .............................................................. 56 Principes de dimensionnement ......................................................................................... 57 Equations d’équilibre ....................................................................................................... 59 Approximation rectangulaire............................................................................................ 60 Pivot A ou Pivot B ? ......................................................................................................... 61 Détermination de la section d’acier .................................................................................. 62 Vérification de la hauteur utile ......................................................................................... 64 Synthèse de la méthode de calcul des armatures dans une section rectangulaire ............ 64 Moment réduit .................................................................................................................. 66 Influence du pivot A ......................................................................................................... 67 Influence du type de diagramme retenu pour les aciers ................................................... 68 Influence de l’approximation rectangulaire ..................................................................... 69 17.3 Dimensionnement d’une section en Té ........................................................................ 70  Définition d’une poutre en Té .......................................................................................... 70 Détermination de la largeur participante .......................................................................... 70 Détermination de la section d’acier .................................................................................. 71 Vérifications complémentaires ......................................................................................... 72 17.4 Détail du calcul des armatures de couture âme-table. .................................................. 74  18)  Annexe 2 : Rappel théorique : calcul des armatures d’effort tranchant à l’ELU . 75  18.1 Effort tranchant résistant sans armatures ..................................................................... 75  18.2 Vérification des bielles ................................................................................................. 76  18.3 Vérification des tirants ................................................................................................. 77  18.4 Influence du choix de l’inclinaison des bielles ............................................................ 78  18.5 Réduction de l’effort tranchant aux appuis .................................................................. 79  18.6 Dispositions minimales ................................................................................................ 81  18.7 Synthèse de la méthode de calcul des armatures d’effort tranchant ............................ 82 

Application – Calcul d’une poutre continue à deux travées

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Béton Armé Et Précontraint 1

1) Détermination des enveloppes d'efforts 1.1 Combinaisons à étudier Pour déterminer les enveloppes d'efforts dans une poutre continue, il faut considérer que chaque travée de la poutre peut être chargée ou non par l'action variable. De plus, le poids propre peut avoir pour effet de faire diminuer localement le moment de flexion, il faut donc appliquer alternativement au poids propre les coefficients 1,0 et 1,35. On appelle Q1 l'effet de l'action variable appliquée sur la première travée et Q2 l'effet de l'action variable appliquée sur la seconde travée. On obtient ainsi 8 combinaisons ELU à prendre en compte :  1,00.G  1,35.G  1,00.G + 1,50.Q1  1,35.G + 1,50.Q1  1,00.G + 1,50.Q2  1,35.G + 1,50.Q2  1,00.G + 1,50.Q1 + 1,50.Q2  1,35.G + 1,50.Q1 + 1,50.Q2 1.2 Calcul des sollicitations Pour résoudre le problème hyperstatique qui nous est posé, on se ramène à deux problèmes isostatiques, en appliquant le principe de superposition :

p

1

=

= p

p A

B1

+

B2

2

C +

M 3 Ainsi, pour résoudre le cas d'une poutre continue à deux travées chargée uniformément, on considère d'une part les deux travées indépendamment l'une de l'autre de manière isostatique et soumises à la même charge répartie et d'autre part, on applique le même moment à l'extrémité de chaque travée pour retrouver la continuité. La valeur de ce moment sera calculée de manière à obtenir la même rotation de section à gauche et à droite de l'appui.

Application – Calcul d’une poutre continue à deux travées

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Béton Armé Et Précontraint 1

0 xL

L  x  2.L

V2  x   R A  p.x

V2  x   R B1  p. x  L 

p.x 2 A 2 M 2 0  0  A  0

p.x  L  A M 2  x   R B1 . x  L   2 M 2 L  0  A  0

M 2  x   R A .x 

 

M 2 L  0  R A 

p.L 2

2

 

p.L  p. x  L  2 2 p.L. x  L  p. x  L  M 2 x    2 2

V2  x  

p.L  p.x 2 p.L.x p.x 2   M2 x   2 2

V2  x  

 p.x 3 1  p.x 2  B .L   2 x    E .I  4 6 

 2 x  

 p.x 4 1  p.x 3   B.x  C  L .  E.I  12 24  u 2 0   0  C  0 u 2 x  

 

u 2 L  0  B  

 2 x  

p.L 2

M 2 2.L   0  R B1 

3

p.L 24

1  p.x 2 p.x 3 p.L3  L .     E .I  4 6 24 

3  p. x  L 2  p.x  L    B . L  4 6   3 4  1  p. x  L  p. x  L   B. x  L   C  .L  u 2 x    12 24 E.I    u2 L  0  C  0

1 E.I

 

u 2 2.L   0  B  

p.L3 24

2 3 1  p. x  L  p. x  L  p.L3  .   L   4 6 24  E.I 

 2 x  

V3  x   R A

V3  x   R B1

M 3 0   0  A  0

M 3 L   M  A   M

M 3  x   R A .x  A

 

M M 3 L   M  R A   L

M L M .x M 3 x    L

M 3  x   R B1 . x  L   A

 

M 3 2.L   0  R B1 

V3 x   

V3  x  

 M .x 2   B   2.L  3  1  M .x u3 x    B.x  C   E.I  6.L  u 3 0  0  C  0

 3 x  

1  3 x   E .I

 

M .L u3 L  0  B  6 

M L

M L M . x  L  M 3 x   M L

 M . x  L 2   M . x  L   B   2.L   3 2  1  M . x  L  M . x  L    B. x  L   C  u 3 x    6.L 2 E.I    u3 L  0  C  0 1 E.I

 

u 3 2.L   0  B 

Application – Calcul d’une poutre continue à deux travées

M .L 3

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 3 x  

Béton Armé Et Précontraint 1

1 E .I

 M . x 2 M .L     6   2 .L

 3 x  

1 E.I

 M . x  L 2 M .L   M . x  L     2.L 3  

En appliquant le principe de superposition, on obtient : p.L M  pour 0  x  L V1  x   2  p.x  L  V  x   p.L  p. x  L   M pour L  x  2.L  1 2 L  p.L.x p.x 2 M .x   M x    pour 0  x  L  1 2 2 L  2 M  x   p.L. x  L   p. x  L   M . x  L   M pour L  x  2.L  1 2 2 L  1  p.x 2 p.x 3 p.L3 M .x 2 M .L  .L     pour 0  x  L 1  x     6 24 2.L E.I  4 6    2 3 2 3   x   1  p. x  L  .L  p. x  L   p.L  M . x  L   M . x  L   M .L     1 E .I  4 6 24 2.L 3  

pour L  x  2.L

La rotation de la section de la poutre continue est identique à gauche et à droite. On a donc l'égalité suivante :  1 L  

1  p.L3 M .L  1  p.L3 M .L    L     1     3  3  E.I  24 E.I  24

On en déduit donc : M 

 

p.L2 . On obtient donc : 8

3. p.L    V x   p.x pour 0  x  L 1  8  V  x   5. p.L  p. x  L  pour L  x  2.L  1 8  3. p.L.x p.x 2  pour 0  x  L M 1  x   8 2  2 2 M  x   5. p.L. x  L   p. x  L   p.L  1 8 2 8

pour L  x  2.L

Application – Calcul d’une poutre continue à deux travées

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

On utilise la même méthode pour résoudre le problème ci-dessous : p

1

=

= p

p A

B1

+

B2

2

C +

M 3

On obtient le résultat suivant : p.L2 M  et : 16 7. p.L  pour 0  x  L V1  x   16  p.x  V  x   p.L pour L  x  2.L  1 16  7. p.L.x p.x 2   M x   pour 0  x  L  1 16 2  2 M  x   p.L. x  L   p.L pour L  x  2.L  1 16 16

On trace page suivante les diagrammes d'effort tranchant et de moment pour G, Q1, Q2 et Q1+Q2.

Année 2010-2011

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

Effort tranchant

Effort tranchant

600

100

400

50

200 0 0.00 ‐200

g 4.05

8.10

12.15

16.20

0 0.00 ‐50

‐400

‐100

‐600

‐150

4.05

150

150

100

100

q2 4.05

8.10

12.15

16.20

q1

0 0.00 ‐50

q1+q2 4.05

8.10

12.15

16.20

‐100 ‐150

‐100

Moment de flexion

Moment de flexion

600

200

400

150

200

g

100

q1

50

4.05

8.10

12.15

16.20

0 ‐500.00

‐400 ‐600

‐100

‐800

‐150

4.05

Moment de flexion 150

150

100

100 q2

50 4.05

8.10

12.15

16.20

50 0 ‐500.00

12.15

16.20

q1+q2 4.05

8.10

12.15

16.20

‐100

‐100

‐150 ‐200

‐150

‐250

Année 2010-2011

8.10

Moment de flexion

200

0 ‐500.00

16.20

50

50

0 ‐2000.00

12.15

Effort tranchant

Effort tranchant

0 0.00 ‐50

8.10

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

1.3 Détermination des enveloppes En effectuant les 8 combinaisons ELU, on obtient les courbes d'effort suivantes avec lesquelles on détermine les enveloppes.

Efforts tranchants enveloppes ELU (kN)

1000 800 g 600

g+1,5.q1 g+1,5.q2

400

g+1,5.(q1+q2) 200

1,35.g 1,35.g+1,5.q1

0 16.20

15.39

14.58

13.77

12.96

12.15

11.34

10.53

9.72

8.91

8.10

7.29

6.48

5.67

4.86

4.05

3.24

2.43

1.62

0.81

0.00 ‐200

1,35.g+1,5.q2 1,35.g+1,5.(q1+q2)

‐400 ‐600 ‐800 ‐1000

Moments de flexion enveloppes ELU (kN.m)

1000

g 500

g+1,5.q1 g+1,5.q2 g+1,5.(q1+q2)

0 16.20

15.39

14.58

13.77

12.96

12.15

11.34

10.53

9.72

8.91

8.10

7.29

6.48

5.67

4.86

4.05

3.24

2.43

1.62

0.81

0.00

1,35.g 1,35.g+1,5.q1

‐500

1,35.g+1,5.q2 1,35.g+1,5.(q1+q2)

‐1000

‐1500

Année 2010-2011

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

2) Détermination de l'enrobage

L'enrobage nominal cnom est la distance entre la surface de l'armature et le parement.

 cnom L'enrobage nominal est défini par la formule suivante : cnom = cmin + cdev où cdev = 10 mm est la marge pour tolérances d'exécution et cmin est donné par la formule suivante :

avec : cmin,b = cmin,dur = cdur, = cdur,st = cdur,ad =

 0 0 0

enrobage minimal vis-à-vis des exigences d’adhérence enrobage minimal vis-à-vis des conditions d’environnement marge de sécurité réduction en cas d’acier inoxydable réduction en cas de protection supplémentaire

cmin,dur dépend des conditions d'environnement et de la classe structurale. On détermine la valeur de cmin,dur grâce au tableau suivant : Tableau 4.4NValeurs de l'enrobage minimal c min,dur requis vis-à-vis de la durabilité dans le cas des armatures de béton armé conformes à l'EN 10080

On en déduit cmin,dur = 25 mm et donc cnom = max(35 mm ;  + 10 mm)

Année 2010-2011

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

3) Détermination des armatures de flexion en face inférieure de la poutre Le point de départ du calcul est le moment réduit . M ELU  où b est la largeur participante de la poutre, d la hauteur utile et fcd le taux de b.d 2 . f cd f 35 travail de calcul du béton : f cd  ck   23,3 MPa .  C 1,5 On rappelle que d représente la distance du haut de la section de la poutre au centre de gravité des aciers. Cette distance n’est connue qu’une fois le ferraillage pratique dessiné. Il faut donc faire une première approximation de cette valeur. On utilise pour cela la formule suivante : d  min 0,9.h ; h  0,1 , on en déduit donc d = 0,5m. On vérifiera par la suite que dréelle ≥ d.

3.1 Détermination de la largeur participante de la poutre : La largeur participante d'une section en T est donnée par la formule suivante : 0,2.l 0 beff   beff ,i  bw  b avec beff ,i  0,2.bi  0,1.l 0   bi

beff,i est la largeur efficace de l'aile i beff est la largeur participante de la section en T bi est la largeur de l'aile i bw est la largeur de l'âme l0 est la distance entre points de moment nul. Dans notre cas, nous avons : b1 = b2 = 0,6 m bw = 0,8 m Pour déterminer la distance entre points de moment nul dans une poutre continue, on peut utiliser le schéma ci-dessous :

Dans le cas d'une poutre à deux travées, nous avons donc l0 = 0,85.l1 soit pour notre exemple : l0 = 0,85 x 8,10 = 6,885 m. On en déduit : 0,2.b1 + 0,1.l0 = 0,809 m et donc beff,1 = beff,2 = b1 = b2 = 0,6 m. Ainsi, beff = 2m.

Année 2010-2011

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU 3.2 Détermination de la hauteur de béton comprimé, du bras de levier et de la contrainte dans les aciers. On vérifie MELU ≤ Ml,T = beff.h0.fcd.(d-h0/2) = 2,975 MN.m. La compression se situe donc entièrement dans la table de compression. M ELU 0,730   0,063 On en déduit   2 beff .d . f cd 2.0,5 2.23,3

On remarque que >AB = 0,056. Nous sommes donc en pivot B. De la valeur du moment réduit, on déduit la hauteur de béton comprimé .d :   1,25. 1  1  2.  0,081 , soit .d = 0,040 m. On remarque que le béton comprimé se situe uniquement dans la table de compression, ce qui valide l'hypothèse de b = 2m.





On en déduit le bras de levier z = d.(1-0,4.) = 0,484m. Nous sommes en pivot B, on a donc c = 3,5 ‰. 1 On en déduit  st  .3,5 ‰  39,73 ‰



st = 39,73 ‰ > fys/Es = 435/200000 = 2,17 ‰ Les aciers ont donc plastifié. Pour déterminer la contrainte dans les aciers st, on a le choix entre la branche horizontale et la branche inclinée du diagramme contrainte-déformation de l’acier.  Branche horizontale : st = 435 MPa. k. f yd  f yd   st  f yd  Es    st  f yd  f yd  uk  Es 

Branche inclinée :

 st  435  470  435.

39,73  2,17 50  2,17

 st  462 MPa c = 3.5‰

fcd = 23,3 MPa

.d = 0,040m 0,8..d h = 0,6m

d = 0,5m

z= d.(1-0,4.) = 0,484m

st = 39,73‰

Année 2010-2011

st = 462 MPa

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

3.3 Détermination de la section d’acier M ELU M 0,730 0,730   34,7 cm 2 ou Ast  ELU   32,6 cm 2 z. st 0,484  435 z. st 0,484  462 On retient une section de 32,6 cm² Ast 

3.4 Détermination du ferraillage pratique Pour déterminer le nombre de barres par lit, on cherche en général à obtenir un espacement horizontal entre barres de l'ordre de 15 à 20 cm. Cet espacement nous conduit ici à disposer 5 barres par lit. On rappelle dans le tableau ci-dessous les diamètres disponibles dans le commerce et leur section associée. nominal 8 mm 10 mm 12 mm 14 mm 16 mm 20 mm 25 mm 32 mm

HA 8 HA 10 HA 12 HA 14 HA 16 HA 20 HA 25 HA 32

encombrement 10 mm 12 mm 14 mm 17 mm 19 mm 24 mm 30 mm 38 mm

Anom. 0.50 cm² 0.79 cm² 1.13 cm² 1.54 cm² 2.01 cm² 3.14 cm² 4.91 cm² 8.04 cm²

Pour obtenir 32,6 cm², il faut 6,52 cm² pour chaque groupe de barres. Pour optimiser les quantités d'acier, on cherche à disposer les barres suivant plusieurs lits. On arrêtera chaque lit de barres en fonction de la courbe enveloppe des moments car nous n'avons pas besoin de 33 cm² d'acier tout le long de la poutre mais uniquement au droit du point de moment maximum. Avec 5 barres HA20, 5 barres HA16 et 5 barres HA14, on obtient environ 33,5 cm². Le ferraillage pratique que l’on met en œuvre est donc 1 lit de 5 HA20, 1 lit de 5 HA16 et 1 lit de 5 HA14. On représente le ferraillage sur le schéma ci-dessous :

50

79+50+18 = 147 57+22 = 79 35+10+12= 57

100

150

On en déduit que le barycentre des aciers est situé à 84mm du parement, ce qui correspond à une hauteur utile réelle de 0,516m, ce qui valide notre première hypothèse sur d.

Année 2010-2011

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

4) Détermination des armatures de flexion en face supérieure de la poutre

4.1 Détermination de la largeur participante de la poutre : La largeur participante correspond à la largeur de la zone de béton comprimé. Pour le calcul des armatures supérieures, la zone de béton comprimé se situe en partie basse de la section, soit dans l'âme. La largeur à prendre en compte est donc b = 0,8m. 4.2 Détermination de la hauteur de béton comprimé, du bras de levier et de la contrainte dans les aciers. M ELU 1,193   0,256 2 b.d . f cd 0,8.0,5 2.23,3 On remarque que >AB = 0,056. Nous sommes donc en pivot B.

On en déduit  

De la valeur du moment réduit, on déduit la hauteur de béton comprimé .d :   1,25. 1  1  2.  0,377 , soit .d = 0,188 m.





On en déduit le bras de levier z = d.(1-0,4.) = 0,425m. Nous sommes en pivot B, on a donc c = 3,5 ‰. 1 On en déduit  st  .3,5 ‰  5,78 ‰



st = 5,78 ‰ > fys/Es = 435/200000 = 2,17 ‰ Les aciers ont donc plastifié. Pour déterminer la contrainte dans les aciers st, on a le choix entre la branche horizontale et la branche inclinée du diagramme contrainte-déformation de l’acier.  Branche horizontale : st = 435 MPa. k. f yd  f yd   st  f yd  Es    st  f yd  f yd  uk  Es 

Branche inclinée :

 st  435  470  435.

5,78  2,17 50  2,17

 st  438 MPa st = 5,78‰

h = 0,6m

d = 0,5m

st = 438 MPa

z = d.(1-0,4.) = 0,425m

.d = 0,188m 0,8..d

c = 3,5‰

Année 2010-2011

fcd = 23,3 MPa

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

4.3 Détermination de la section d’acier M ELU M 1,193 1,193   64,5 cm 2 ou Ast  ELU   64,1 cm 2 z. st 0,425  435 z. st 0,425  438 On retient une section de 64,1 cm² Ast 

4.4 Détermination du ferraillage pratique Pour déterminer le nombre de barres par lit, on cherche en général à obtenir un espacement horizontal entre barres de l'ordre de 15 à 20 cm. Cet espacement nous conduit ici à disposer 5 barres par lit. On rappelle dans le tableau ci-dessous les diamètres disponibles dans le commerce et leur section associée. HA 8 HA 10 HA 12 HA 14 HA 16 HA 20 HA 25 HA 32

nominal 8 mm 10 mm 12 mm 14 mm 16 mm 20 mm 25 mm 32 mm

encombrement 10 mm 12 mm 14 mm 17 mm 19 mm 24 mm 30 mm 38 mm

Anom. 0.50 cm² 0.79 cm² 1.13 cm² 1.54 cm² 2.01 cm² 3.14 cm² 4.91 cm² 8.04 cm²

Pour obtenir 64,1 cm², il faut 12,82 cm² pour chaque groupe de barres. Pour optimiser les quantités d'acier, on cherche à disposer les barres suivant plusieurs lits. Comme le moment sur appui diminue très vite, on se contentera de deux lits. Avec 5 barres HA32 et 5 barres HA25, on obtient environ 64,8 cm². Le ferraillage pratique que l’on met en œuvre est donc 1 lit de 5 HA32 et 1 lit de 5 HA25. On représente le ferraillage sur le schéma ci-dessous : 35+10+19 = 64 mm 64+34

100

= 98mm

150

On en déduit que le barycentre des aciers est situé à 77mm du parement, ce qui correspond à une hauteur utile réelle de 0,523 m, ce qui valide notre première hypothèse.

Année 2010-2011

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

5) Dimensionnement des armatures transversales

5.1 Vérification de la contrainte de compression dans les bielles et détermination de leur inclinaison

V Rd ,max 

 cw .bw .z. 1 . f cd cot an   tan  

cw = 1 bw = 0,8m z = 0,45m f    1  0,6.1  ck  = 0,516  250  fcd = 23,3 MPa 1  cotan()  2,5 Avec cotan() = 2,5 on obtient VRd,max = 1,492 MN. Cette valeur est largement supérieure à VELU. On choisit donc cotan() = 2,5, soit  = 21,8° car c’est la valeur de l’inclinaison des bielles qui fait utiliser le moins d’aciers transversaux. 5.2 Effort tranchant réduit à l'appui central La vérification de l’effort tranchant n’est pas nécessaire à une distance inférieure à d des appuis. On prolonge le ferraillage calculé à la distance d des appuis jusqu’au bout de la poutre. De plus, dans les régions sans discontinuité de Ved (charges uniformes) la détermination de l’effort tranchant sur une longueur l=z(cotgθ+cotg) peut être effectuée en utilisant la plus petite valeur de Ved sur cette longueur. L’effort tranchant de calcul V’Ed calculé à la distance l=z(cotanθ+cotan) des appuis vaut : VELU (x = L-z(cotanθ+cotan)-0,125) = 737 - pELU.1,25 = 555 kN = V’Ed. 5.3 Détermination des armatures d’effort tranchant à l'appui central Asw  .z. f ywd . cot an   V Ed s A 0,555  11,3 cm 2 ml . On en déduit sw  s 435.0,45.2,5

Il faut vérifier V Rd , s 

Année 2010-2011

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

5.4 Effort tranchant réduit aux extrémités La vérification de l’effort tranchant n’est pas nécessaire à une distance inférieure à d des appuis. On prolonge le ferraillage calculé à la distance d des appuis jusqu’au bout de la poutre. De plus, dans les régions sans discontinuité de Ved (charges uniformes) la détermination de l’effort tranchant sur une longueur l=z(cotgθ+cotg) peut être effectuée en utilisant la plus petite valeur de Ved sur cette longueur. L’effort tranchant de calcul V’Ed calculé à la distance l=z(cotanθ+cotan) des appuis vaut : VELU (x = z(cotanθ+cotan)-0,125) = 461 - pELU.1,25 = 279 kN = V’Ed. 5.5 Détermination des armatures d’effort tranchant aux extrémités Asw  .z. f ywd . cot an   VEd s A 0,279  5,7 cm 2 ml . On en déduit sw  s 435.0,45.2,5

Il faut vérifier V Rd , s 

5.6 Vérification du taux minimal d’armatures transversales On calcule le ferraillage minimal d’effort tranchant par la formule : 0,08. f ck .bw . sin   0,08. 35.0,8.1  Asw    7,6 cm 2 ml    rw,min .bw . sin    s f 500   min yk 5.7 Ferraillage pratique Pour déterminer le ferraillage pratique, on commence par calculer l’espacement maximal des armatures smax = 0.75d(1+cotan()) = 0,375 m. Le ferraillage longitudinal est constitué de 5 barres par lit. Nous mettrons donc au minimum un cadre et trois épingles pour constituer la cage de ferraillage, ce qui représente 5 armatures transversales. Si on considère que ces barres sont des HA8, on obtient Asw = 2,51 cm². On en déduit s = 0,22cm au niveau de l'appui central. Aux extrémités, on dispose 7,6 cm²/ml, correspondant au ferraillage minimal, soit un espacement de 33 cm. On respecte bien l’espacement maximal. On dispose donc un cadre HA8 et trois épingles HA8 tous les 22 cm au niveau de l'appui central et tous les 33 cm aux extrémités. FIN DE LA 1ère SEANCE

Année 2010-2011

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

6) Epure d'arrêt des barres

Les sections d'armature déterminées précédemment correspondent aux armatures nécessaires dans les sections critiques de la poutre. Cependant, en dehors de ces sections, les sollicitations sont plus faibles et les sections d'acier nécessaires sont donc moins importantes. Ainsi, il est possible d'arrêter certains lits d'armatures lorsque celui-ci n'est plus nécessaire. L'épure d'arrêt des barres consiste à déterminer la longueur minimale de chaque lit d'armatures afin que la courbe des moments résistants de la poutre englobe au plus près l'enveloppe des moments sollicitant. 6.1 Décalage de la courbe des moments La bielle de béton qui équilibre les efforts dans une section donnée s’appuie sur des armatures de flexion situées dans la section voisine, il faut tenir compte du surcroît de traction correspondant. Le décalage de la courbe des moments permet de tenir compte de cet effet. Pour obtenir la courbe de moment décalé, il faut décaler les courbes enveloppes de moment cot   cot  d'une longueur al dans le sens le plus défavorable, avec al  z 2 On peut considérer z  0,9.d  0,45 m . On obtient la courbe décalée suivante : 1000

al

500

al

al

al

0 16.2

15.39

14.58

13.77

12.96

12.15

11.34

10.53

9.72

8.91

8.1

7.29

6.48

5.67

4.86

4.05

3.24

2.43

1.62

0.81

0

Moment MIN Moment MAX Moment MIN décalé

-500

Moment MAX décalé

al al

-1000

-1500

Année 2010-2011

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU 6.2 Calcul des moments résistants Pour calculer les moments résistants, on fait l'hypothèse du pivot B et on utilise l'approximation rectangulaire. En considérant dans un premier temps la branche horizontale du diagramme contraintedéformation des aciers : On fait l'hypothèse que les aciers sont plastifiés. N st  A. f yd  N c  0,8. .d .b. f cd



A. f yd 0,8.d .b. f cd

  1  0,4. 1  st  c 

On vérifie que les aciers sont plastifiés et que nous sommes en pivot B 2,17 ‰   st  45 ‰  . Si les hypothèses sont vérifiées, on a alors M R   .d . A. f yd .

On considère maintenant la branche inclinée du diagramme contrainte-déformation des aciers : N st  A. st  N c  0,8. .d .b. f cd



A. st 0,8.d .b. f cd

  1  0,4. 1  st  c  On fait l'hypothèse que les aciers sont plastifiés :

 st  f yd  0 ,08 . f yd

 st 

f yd

 uk 

f yd

Es Es

En remplaçant st et  dans l'équation ci-dessus, on obtient une équation du second degré en st dont les solutions sont :  f    b  yd E  1 s  st  . f yd .1  0,08. f 2   uk  yd E   s  

     

 f    b  yd E  s  f yd .1  0,08. f    uk  yd E   s  

2

  0,32. f yd  .0,8.d .b. f cd   . b f A   uk  yd E  s 

Après avoir vérifié les hypothèses 2,17 ‰   st  45 ‰  , on obtient : M R   .d . A. st On obtient les moments résistants suivants pour les armatures inférieures :

Année 2010-2011

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     

Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

3 lits 2.00 m 23.33 MPa 33.45 cm² 0.516 m 462.5 MPa 0.041 m 0.499 m 0.0035

2 lits 2.00 m 23.33 MPa 25.75 cm² 0.534 m 466.1 MPa 0.032 m 0.521 m 0.0029

1 lit 2.00 m 23.33 MPa 15.70 cm² 0.543 m 466.1 MPa 0.020 m 0.535 m 0.0017

0.0401

0.0450

0.0450

462.5 MPa

466.1 MPa

466.1 MPa

0.773 MN.m

0.626 MN.m

0.392 MN.m

b fcd A d st d z c st Vérification st MR

On obtient les moments résistants suivants pour les armatures supérieures :

b fcd A d st d z c st Vérification st MR

2 lits 0.80 m 23.33 MPa 64.75 cm² 0.523 m 437.7 MPa 0.190 m 0.447 m 0.0035

1 lit 0.80 m 23.33 MPa 40.20 cm² 0.536 m 442.2 MPa 0.119 m 0.488 m 0.0035

0.0061

0.0123

437.7 MPa

442.2 MPa

1.267 MN.m

0.868 MN.m

On remarque pour les armatures inférieures que nous sommes en pivot A pour les calculs avec 2 lits et 1 lit. On utilise néanmoins l'approximation rectangulaire, ce qui génère une erreur sur le bras de levier z. Cependant, l'ordre de grandeur de cette erreur est inférieur à 1 % et cela n'a donc pas d'incidence sur le résultat final. 6.3 Détermination de l'épure des barres En cherchant l'intersection de chaque droite de moment résistant avec les courbes décalées de moment définies précédemment, on détermine l'épure d'arrêt des barres. On obtient le résultat suivant :

Année 2010-2011

22/82

Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU 1000

500

0 16.2

15.39

14.58

13.77

12.96

12.15

11.34

10.53

9.72

8.91

8.1

7.29

6.48

5.67

4.86

4.05

3.24

2.43

1.62

0.81

0 -500

-1000

-1500

Il faut ensuite vérifier que les longueurs d'ancrage sont bien assurées entre deux lits successifs. On calcule pour cela les longueurs d’ancrage des différents lits d’armatures. La longueur d'ancrage de référence est donnée par la formule suivante :   l b ,rqd  . sd 4 f bd avec sd la contrainte de calcul de la barre, fbd = 2,25.1.2.fctd. fctd = fctk,0.05 / C = 2.2/1.5 = 1,47 MPa. 1 = 1.0 si les conditions d'adhérence bonnes, sinon, 1 = 0,7 2 = 1.0 car  ≤ 32 mm.

Année 2010-2011

23/82

Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

On a donc fbd = 3,30 MPa pour les armatures inférieures et fbd = 2,32 MPa pour les armatures supérieures.  sd = st(ud) = 466,1 MPa. On a donc lb,rqd = 35. pour les armatures inférieures et lb,rqd = 50. pour les armatures supérieures. On peut maintenant déterminer la longueur d'ancrage de calcul : lbd = 1.2.3.4.5.lb,rqd ≥ lb,min. 1 = 1,0 pour des ancrages droits 2.3.5 ≥ 0,7 On considère ici que les coefficients 2, 3, 4 et 5 sont égaux à 1. On a donc lbd = lb,rqd En reportant les longueurs d'ancrage sur les courbes précédentes, on trouve : 1000

lbd (3ème lit) lbd (2ème lit) 500

0 16,2

15,39

14,58

13,77

12,96

12,15

11,34

10,53

9,72

8,91

8,1

7,29

6,48

5,67

4,86

4,05

3,24

2,43

1,62

0,81

0

-500

-1000

-1500

Année 2010-2011

24/82

Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU On remarque que sur appuis, le second lit n'est pas suffisamment ancré avec les longueurs initialement calculées, il faut donc augmenter la longueur du second lit jusqu'à obtenir une courbe de moment résistant qui englobe complètement les courbes enveloppes de moment sollicitant. On obtient alors : 1000

500

0

16,2

15,39

14,58

13,77

12,96

12,15

11,34

10,53

9,72

8,91

8,1

7,29

6,48

5,67

4,86

4,05

3,24

2,43

1,62

0,81

0 -500

-1000

-1500

Afin d'économiser des armatures en face supérieure de la poutre, on remplace les premier lit de HA32 par un lit de 5 HA8 à partir d'une abscisse que l'on détermine de la même manière que précédemment. On obtient la courbe d'épure suivante : 1000

500

0 16,2

15,39

14,58

13,77

12,96

12,15

11,34

10,53

9,72

8,91

8,1

7,29

6,48

5,67

4,86

4,05

3,24

2,43

1,62

0,81

0

-500

-1000

-1500

Année 2010-2011

25/82

Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU On reporte sur les courbes précédentes les longueurs à prendre en compte pour chaque lit. L'axe des ordonnées a été inversé afin de dessiner les armatures inférieures en bas et les armatures supérieures en haut. 16,2 15,39

5 HA8

14,58 13,77 12,96

5 HA32 12,15 11,34

5 HA25

10,53

5 HA14

9,72

5 HA16

8,91

5 HA20

8,1 7,29 6,48 5,67 4,86 4,05 3,24 2,43 1,62 0,81

Année 2010-2011

1500

1000

500

0

-500

-1000

-1500

-2000

0

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

7) Etude des zones d'appui

7.1 Ancrage des aciers sur appui Les bielles d'effort tranchant arrivent sur appui avec une inclinaison ce qui génère un effort horizontal qu'il faut équilibrer. Pour cela, on calcule l'effort de traction à ancrer sur appui dont on déduira la section sur appuis. L'effort de traction à ancrer sur les appuis d'extrémité est donné par la formule suivante : cot   cot   soit F  0,58 MN et A  13,2 cm 2 FE  VEd . E 2 On doit aussi vérifier Aappui   2 . Atravée mais 2 = 0 dans l'annexe nationale française. L'ancrage du premier lit suffit donc. On calcule maintenant la longueur d'ancrage nécessaire pour reprendre l'effort de traction sur appui. La longueur d'ancrage de référence est donnée par la formule suivante :   l b ,rqd  . sd 4 f bd avec sd la contrainte de calcul de la barre, fbd = 2,25.1.2.fctd. fctd = fctk,0.05 / C = 2.2/1.5 = 1,47 MPa. 1 = 1.0 car conditions d'adhérence bonnes 2 = 1.0 car  ≤ 32 mm. On a donc fbd = 3,30 MPa.  = 20 mm. sd = FE / A = 0,58 / 0,00157 = 369,4 MPa. On a donc lb,rqd = 28.. On peut maintenant déterminer la longueur d'ancrage de calcul : lbd = 1.2.3.4.5.lb,rqd ≥ lb,min. 1 = 0,7 si cd > 3. sinon 1 = 1,0. cd = min(c1 ; a/2) (cf. schéma ci-contre). lb,min > max(0,3.lb,rqd ; 10. ; 100 mm) 2.3.5 ≥ 0,7 On considère ici que les coefficients 2, 3, 4 et 5 sont égaux à 1. On a donc lbd = 0,7.lb,rqd = 20. = 0,40 m. cot  M   0 (on a un z 2 effort de compression). Il faut cependant ancrer les aciers avec une longueur minimale lbd = 10..

Sur l'appui central, il n'y a pas d'effort de traction à ancrer car VEd .

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU 7.2 Vérification de la bielle d'about sur les appuis d'extrémités Il faut maintenant vérifier la contrainte de compression du béton au niveau des appuis. Pour les appuis d'extrémités, la contrainte maximale admissible est donnée par la formule f   suivante :  Rd ,max  0,85.1  ck . f cd  17,1 MPa  250  Pour calculer la contrainte de compression dans la bielle, on considère le schéma ci-dessous : (z.cot())/2

(z.cot())/2

' z

abielle

bielle u/2 u/2

 a/2

a/2

On calcule ' à l'aide du triangle rectangle vert ci-dessous : (z.cot())/2

(z.cot())/2

'

z

abielle

bielle

z

' u/2 u/2

 a/2

a/2 (z.cot())/2

Année 2010-2011

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU z. cot   1 a u  a u 1 On en déduit : cot      . cot    cot    . soit cot     2  z 2.z 2 2  2 2. z  On en déduit : cot ’ = 1.84 (avec u/2=0.057m et z= 0.45m) soit ’=28,5°

La contrainte dans la bielle est obtenue en considérant le triangle rectangle violet ci-dessous : (z.cot())/2

(z.cot())/2

' bielle

abielle

z

abielle/2

u/2

'

u/2

 a/2 (u.cot('))/2

 bielle 

a/2 a/2

V Ed 1 . sin   bappui .a bielle

V Ed 0,461   0,966 MN sin   0,477 bappui  2.0,25  0,50 m a bielle  u. cos    a. sin    0,219 m

On en déduit :  bielle  8,82 MPa   Rd ,max On rappelle sur le schéma ci-contre le principe de conception du nœud suivant la théorie des bielles et tirants

Année 2010-2011

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

7.3 Vérification de la bielle d'about sur l'appui central Pour l'appui central, la contrainte maximale admissible est : f    Rd ,max  1  ck . f cd  20,1 MPa  250  Pour calculer la contrainte de compression dans la bielle, on considère le schéma ci-dessous : d.cotan()/2

d.cotan()/2

d.cotan()/2

d.cotan()/2

VEd,2

VEd,1 a1

Dans le cas particulier où VEd,1 = VEd,2 comme c'est le cas ici, la contrainte est identique sur les trois faces du noeud. La contrainte de compression sur les faces du noeud vaut donc : 2.VEd  noeud  avec VEd = 0,737 MN ; a1 = 0,25 m ; bappui = 0,50 m. a1 .bappui Ainsi,  noeud  11,8 MPa   Rd ,max

On remarque donc que la vérification des bielles d'about peut avoir une incidence sur le reste du calcul. Ainsi, si nous n'avions disposé qu'un seul néoprène de 250x250mm à chaque appui, on aurait dépassé la contrainte admissible dans la bielle d'about, ce qui aurait remis en cause l'hypothèse cotan() = 2,5. Il aurait alors fallu calculer l'angle  optimal permettant de respecter la contrainte admissible dans les bielles d'about puis recalculer les armatures d'effort tranchant et l'épure d'arrêt des barres.

Année 2010-2011

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

8) Retour sur le choix de l’angle d’inclinaison des bielles d’effort tranchant.

Le choix de l’angle  d’inclinaison des bielles d’effort tranchant a une influence non négligeable sur les quantités d’armatures. Les équations montrent que lorsque  diminue, les armatures d’effort tranchant diminuent, tandis que les armatures de flexion augmentent en raison d’un décalage de la courbe des moments plus important. L’objectif lorsque l’on travaille dans un bureau d’études d’exécution est de mettre en œuvre la quantité minimale d’armatures permettant d’assurer la tenue structurelle de l’ouvrage, tout en respectant la règlementation. Le choix de l’angle  est un paramètre important pour atteindre cet optimum. Il n’existe pas de règle simple permettant de déterminer l’angle  donnant le moins d’armatures au global, sauf à refaire le calcul complet et comparer les quantités d’armatures pour plusieurs valeurs de . Il semblerait néanmoins que pour des poutres courantes, correctement dimensionnées, l’angle  optimum se situe autour de cot = 2. Malheureusement, cette analyse n’est pas généralisable à toutes les poutres. Un autre point ayant une incidence sur le choix de l’angle q est la présence ou non d’une reprise de bétonnage dans la poutre (lorsque l’on coule d’abord la retombée de poutre, c’est-àdire jusque sous la dalle, ou que cette retombée est préfabriquée, puis, dans un second temps la partie de poutre se situant dans l’épaisseur de la dalle). Cette reprise de bétonnage constitue un plan de faiblesse. Il faut donc vérifier qu’il y a suffisamment d’armatures traversant ce plan (des armatures verticales) pour assurer un bon fonctionnement de la poutre. Cette vérification conduit à augmenter significativement la quantité d’armatures d’effort tranchant. Dans ces conditions, la différence de quantité d’armatures d’effort tranchant entre cot = 1 et cot = 2,5 devient négligeable et l’angle  optimum est proche de 1. Note : la vérification des surfaces de reprise ne fait pas partie du programme de BAEP1. On donne ci-dessous des exemples de reprises de bétonnage extraits de l’Eurocode 2. La partie hachurée représente le béton coulé en seconde phase.

Année 2010-2011

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9) Plan de ferraillage pratique

9.1 Armatures sur appui Extrait de l'article 9.2.1.2 de l'Eurocode : (1) Pour une poutre formant une construction monolithique avec ses appuis, il convient de dimensionner la section sur appuis pour un moment fléchissant résultant de l'encastrement partiel d'au moins β1 fois le moment fléchissant maximal en travée, y compris lorsque des appuis simples ont été adoptés dans le calcul. NOTE 1 La valeur de β1 à utiliser pour les poutres, dans un pays donné, peut être fournie par son Annexe Nationale. La valeur recommandée est β1 = 0,15.

Nous ne sommes pas dans le cas d'une construction monolithique avec ses appuis puisque nous avons considéré des appuis néoprène. Nous allons cependant bâtir le plan de ferraillage avec cette hypothèse. Il faut donc pouvoir reprendre un encastrement sur appuis correspondant à un moment au moins égal à 1 fois le moment à mi-travée. Il faut donc pouvoir reprendre 0,110 MN.m. La section d'armatures permettant de reprendre ce moment de flexion est égale à 5,12 cm2, soit 5 barres HA12. On dispose donc 5 barres HA12 en face supérieure de la poutre au niveau des extrémités. Ces barres doivent être ancrées, la longueur d'ancrage étant égale à 56. 9.2 Répartition des armatures d'effort tranchant Nous avons calculé les armatures d'effort tranchant nécessaires au niveau des appuis. Il faut maintenant définir leur répartition tout le long de la poutre. Aux extrémités de la poutre, le ferraillage d'effort tranchant correspond au ferraillage minimal qui sera donc prolongé jusqu'à mi-travée. Au niveau de l'appui central, nous avons défini un ferraillage composé de 5 HA8 espacés de 22 cm sur une longueur de 1,25m, soit pour x compris entre 6,85 m et 9,35 m. Pour x < 6,85m et x > 9,35 m, on peut ferrailler la poutre en considérant l'effort tranchant à x = 6,85 - z.cotan() = 5,725 m ou x = 9,35 + z.cotan() = 10,475 m, abscisse pour lesquelles l'effort tranchant maximal vaut 391 kN, ce qui correspond à un ferraillage de 7,99 cm²/ml, soit 5 HA8 tous les 31 cm. Pour x < 5,725 m et x > 10,475 m, on est au ferraillage minimal.

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9.3 Plan de ferraillage On dessine ci-dessous le plan de ferraillage de la poutre à l'échelle 1/50 pour la coupe longitudinale et à l'échelle 1/25 pour la coupe transversale.

FIN DE LA 2ème SEANCE

Année 2010-2011

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

Afin de valider le ferraillage pratique établi précédemment, il faut encore effectuer les vérifications permettant de s’assurer du bon comportement de la poutre dans des conditions d’utilisation normales. Ces vérifications s’effectuent aux ELS (Etats Limites de Service). Les critères de vérification sont les suivants : - Contrainte de compression du béton o ELS caractéristiques :  c  k1 . f ck  0,60. f ck o ELS quasi-permanents :  c  k 2 . f ck  0,45. f ck - Contrainte de traction des aciers o ELS caractéristiques :  st  k 3 . f yk  0,80. f yk - Ouverture des fissures o ELS quasi-permanents : wmax  0,30 mm ou vérification forfaitaire - Limitation de flèche o ELS quasi-permanents : f  L 250  3,2 cm o Critère de flèche nuisible (uniquement si la poutre supporte des éléments fragiles)

10) Détermination du coefficient d’équivalence

Le béton armé est un matériau hétérogène constitué de béton et d’armatures en acier. Pour faciliter les calculs aux l’ELS, on se ramène à une section homogénéisée en béton, c’est-à-dire que l’on assimile les armatures à une section équivalente en béton ayant le même centre de gravité et pouvant travailler en traction et en compression. On passe de l'acier au béton équivalent en multipliant la section d'acier par le coefficient d'équivalence n. Afin de déterminer le coefficient d’équivalence n, on utilise les deux hypothèses du calcul ELS : -

Les contraintes sont proportionnelles aux déformations (loi de Hooke) :  

L’adhérence est parfaite entre l’acier et le béton adjacent :  s   c E E On en déduit :  s   c s  n. c  n  s Ec Ec Es Le module du béton devant tenir compte du fluage, on a n  E cm 1   eff



E

-

Le coefficient de fluage efficace est donné par l’équation suivante : M ELS ,qp 718  eff    .  2,0.  1,67 M ELS ,car 861 On en déduit n 

Année 2010-2011

200 000  15,7 34 000 1  1,67

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11) Vérifications des contraintes à l'ELS

11.1 Détermination de l’inertie fissurée à mi-travée Afin de calculer les contraintes, il faut déterminer l’inertie de la section à mi-travée en considérant que celle-ci est fissurée. On commence par déterminer la position de l’axe neutre élastique de la section en écrivant que le moment statique est nul par rapport cet axe. On suppose que l’axe neutre n’est pas situé dans la table de compression. On obtient alors : b =2.00 m  y  h0 2 y2 b.  b  bw .  n. As .d  y   0 h0 = 0.15 m 2 2 y On obtient donc une équation du second degré en y Axe h = 0.60 m neutre

L’inertie fissurée est donnée par la formule suivante :  y  h0 3 y3 2 I f  b.  b  bw .  n. As .d  y  3 3 On obtient donc les résultats suivants :

bw = 0.80 m

hauteur utile largeur de la table épaisseur de la table

d b h0

0.516 m 2.00 m

largeur d'âme

bw

0.80 m

section d'armatures coefficient d'équivalence position de l'axe neutre inertie fissurée

As n y If

33.50 cm² 15.7 0.141 m

0.15 m

0.0093 m4

On trouve donc ici que l’axe neutre se trouve dans la table de compression. Il faut donc refaire le calcul en tenant compte de cette hypothèse. La position de l’axe neutre et l’inertie fissurée sont définis par les formules suivantes : y2 y3 2 b.  n. As .d  y   0 et I f  b.  n. As .d  y  2 3 hauteur utile largeur de la table épaisseur de la table

d b h0

0.516 m 2.00 m

largeur d'âme

bw

0.80 m

section d'armatures coefficient d'équivalence position de l'axe neutre inertie fissurée

As n y If

33.50 cm² 15.7 0.141 m

0.15 m

0.0093 m4

On note que les résultats sont quasiment identiques entre les deux calculs. Ceci est du au fait que l’axe neutre se situe quasiment au bas de la table de compression.

Année 2010-2011

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU 11.2 Calcul des contraintes à mi-travée On calcule les contraintes dans une section soumise à de la flexion simple par la formule M   .v I v est l’ordonnée du point pour lequel on veut calculer la contrainte, M est le moment de flexion dans la section considérée, I est l’inertie de la section considérée. Les contraintes dans le béton et l’acier sont donc donnés par les formules suivantes : M M  c  . y et  s  n. .d  y  If If On obtient les contraintes suivantes pour les différents états-limites de service : st

b

M ELS caractéristique ELS fréquent

0.523 MN.m 0.445 MN.m

7.9 MPa 6.8 MPa

333.2 MPa 283.5 MPa

ELS quasi‐permanent

0.414 MN.m

6.3 MPa

263.8 MPa

On vérifie donc à l’ELS caractéristique : -  c  7,9 MPa  k1 . f ck  0,60. f ck  21,0 MPa -  st  333,2 MPa  k 3 . f yk  0,80. f yk  400,0 MPa On vérifie à l’ELS quasi-permanents :  c  6,3 MPa  k 2 . f ck  0,45. f ck  15,75 MPa

11.3 Détermination de l’inertie fissurée sur l’appui central La position de l’axe neutre et l’inertie fissurée sont définis par les formules suivantes : y2 y3 2 bw .  n. As .d  y   0 et I f  bw .  n. As .d  y  2 3 b =2.00 m

hauteur utile largeur d'âme

d bw

0.523 m

section d'armatures coefficient d'équivalence position de l'axe neutre inertie fissurée

As n y If

64.80 cm² 15.7 0.259 m

0.80 m

0.0117 m4

h0 = 0.15 m Axe neutre

h = 0.60 m y

bw = 0.80 m

11.4 Calcul des contraintes sur l’appui central Année 2010-2011

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

On obtient les contraintes suivantes pour les différents états-limites de service : M

b

st

ELS caractéristique

0.861 MN.m

19.0 MPa

304.3 MPa

ELS fréquent ELS quasi‐permanent

0.759 MN.m 0.718 MN.m

16.8 MPa 15.9 MPa

268.3 MPa 253.8 MPa

On vérifie donc à l’ELS caractéristique : -  c  19,0 MPa  k1 . f ck  0,60. f ck  21,0 MPa -  st  304,3 MPa  k 3 . f yk  0,80. f yk  400,0 MPa A l’ELS quasi-permanent, on obtient :  c  15,9 MPa  k 2 . f ck  0,45. f ck  15,75 MPa Le critère n’est pas vérifié à l’ELS. Face à ce constat, on peut essayer d’affiner le calcul en prenant en compte les armatures inférieures comprimées tout en s’assurant qu’elles sont suffisamment ancrés. Si cela ne suffit pas, il faudra augmenter la section d’acier. Cependant, dans ce cas précis, on dépasse très peu la limite admissible. De plus, si l’on se réfère à l’article de l’Eurocode définissant ce critère, on trouve : 7.2 Limitation des contraintes … (3) Si, sous charges quasi-permanentes, la contrainte dans le béton est inférieure à k 2f ck, on peut admettre que le fluage est linéaire. Si la contrainte dans le béton excède k 2f ck, il convient de considérer un fluage non-linéaire (voir 3.1.4). NOTE La valeur de k 2 à utiliser dans un pays donné peut être fournie par son Annexe Nationale. La valeur recommandée est k 2 = 0,45.

Ainsi, le critère que nous avons dépassé imposerait de considérer un fluage non linéaire de la poutre (en particulier pour le calcul de flèche). Etant donné le faible dépassement de ce critère (on dépasse de 1%), on considèrera que le fluage est linéaire.

Année 2010-2011

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

12) Vérification de l'ouverture des fissures

Il existe deux méthodes pour vérifier l’ouverture des fissures : - Une vérification forfaitaire à partir de valeurs tabulées permettant de déterminer le diamètre ou l’espacement maximal des barres en fonction de la contrainte dans l’acier en combinaison quasi-permanente. - On peut aussi calculer directement la valeur de l’ouverture des fissures à partir des formules données dans l’Eurocode 2 et la comparer à la valeur maximale admissible dépendant de la classe d’environnement. 12.1 Vérification forfaitaire La vérification forfaitaire se base sur les tableaux suivants de l’Eurocode 2 :

Tableau 7.2NDiamètre maximal φ*s des barres pour la maîtrise de la fissuration ¹

Tableau 7.3NEspacement maximal des barres pour la maîtrise de la fissuration ¹

Cette vérification paraît relativement simple à effectuer, cependant, les notes afférentes à ces tableaux précisent : NOTE 1 Les valeurs du tableau sont basées sur les hypothèses suivantes : c = 25mm ; f ct,eff = 2,9 MPa ; h cr = 0,5.h ; (h - d) = 0,1h ; k 1 = 0,8 ; k 2 = 0,5 ; k c = 0,4 ; k = 1,0 ; k t = 0,4 et k' = 1,0

Cette note est renforcée dans l’Annexe Nationale Française par les restrictions suivantes : Année 2010-2011

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU les Tableaux 7.2N et 7.3N ont été établis sur des hypothèses précisées dans les notes afférentes, auxquelles il faut ajouter les hypothèses complémentaires suivantes pour le Tableau 7.3N : h = 400 mm et un seul lit d'armatures ;

En conclusion, les notes ci-dessus sont si restrictives qu’elles rendent ces tableaux quasiment inutilisables. Il sera donc préférable de calculer directement la valeur de l’ouverture des fissures, d’autant qu’elle peut se programmer très facilement dans une feuille Excel ou dans un logiciel de calcul automatique de poutres. 12.2 Valeur limite de l'ouverture calculée des fissures (wmax) On trouve la valeur limite de l’ouverture calculée des fissures dans le tableau 7.1NF

La valeur limite de l’ouverture calculée des fissures est donc de 0,30 mm sous combinaison quasi-permanente de charges. On attire l’attention sur la note (1) du tableau : « L’attention est attirée sur le fait que wmax est une valeur conventionnelle servant pour le calcul ». Ainsi, la valeur que nous calculons est une valeur conventionnelle moyenne qui ne pourra en aucun cas être comparée à des mesures effectuées sur l’ouvrage exécuté.

Année 2010-2011

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

12.3 Calcul de l'ouverture des fissures (wk) wk  s r ,max . sm   cm  où : - sr,max est l'espacement maximal des fissures - εsm est la déformation moyenne de l'armature de béton armé sous la combinaison de charges considérée, incluant l'effet des déformations imposées et en tenant compte de la participation du béton tendu. Seul est pris en compte l'allongement relatif au-delà de l'état correspondant à l'absence de déformation du béton au même niveau - εcm est la déformation moyenne du béton entre les fissures. εsm - εcm peut être calculé au moyen de l'expression :

 s  kt .  sm   cm  où : -

-

-

f ct ,eff

 p ,eff

1   . 

Es

e

p ,eff

 0,6.

s Es

σs est la contrainte dans les armatures de béton armé tendues, en supposant la section fissurée. Dans le cas des éléments en béton précontraint par pré-tension, σs peut être remplacée par Δσp, variation de contrainte dans les armatures de précontrainte depuis l'état correspondant à l'absence de déformation du béton au même niveau αe est le rapport E s/E cm fct,eff = fctm. As  12 . Ap A  p ,eff  ;  p ,eff  s dans le cas d’éléments en béton armé non Ac ,eff Ac ,eff précontraints. A c,eff est l'aire de la section effective de béton autour des armatures tendues, c'est-àdire l'aire de la section de béton autour des armatures de traction, de hauteur hc,ef, où hc,ef est la plus petite des trois valeurs ci-après : 2,5(h - d), (h - x)/3 ou h/2 (voir Figure 7.1) k t est un facteur dépendant de la durée de la charge o k t = 0,6 dans le cas d'un chargement de courte durée o k t = 0,4 dans le cas d'un chargement de longue durée.

Figure 7.1 Sections effectives de béton autour des armatures tendues (cas types)

Année 2010-2011

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU sr,max peut être calculé par l’expression suivante : s r ,max  k 3 .c  k1 .k 2 .k 4 .



 p ,eff

-

 est le diamètre des barres. Lorsque plusieurs diamètres de barres sont utilisés dans une même section, il convient de retenir un diamètre équivalent eq . Dans le cas d'une section comportant n1 barres de diamètre 1 et n2 barres de diamètre 2 , il convient d'adopter : n . 2  n2 . 22  eq  1 1 n1 .1  n2 . 2

-

c est l'enrobage des armatures longitudinales k1 est un coefficient qui tient compte des propriétés d'adhérence des armatures adhérentes o = 0,8 pour les barres à haute adhérence o = 1,6 pour les armatures ayant une surface effectivement lisse (armatures de précontrainte, par exemple) k2 est un coefficient qui tient compte de la distribution des déformations : o = 0,5 en flexion o = 1,0 en traction pure. Dans le cas d'une traction excentrée ou pour certaines zones localisées, il convient d'utiliser des valeurs intermédiaires de k 2 que l'on peut déterminer de la manière   2 suivante : k 2  1 2. 1 où ε1 est le plus grand et ε2 le plus petit allongement relatif en fibre extrême, la section étant supposée fissurée.

-

-

 25  k 3  3,4.   c  k4 = 0,425

2

3

(c en mm), suivant l’Annexe Nationale Française.

Dans notre cas, on trouve à mi-travée : h

0.60 m

1

20 mm

bw

0.80 m

2

16 mm

d

0.516 m

3

14 mm

y

0.141 m

 eq

fct,eff

3.2 MPa

c

45 mm

Es

200.0 GPa

k1

0.8

As

33.50 cm²

k2

0.5

s

263.4 MPa

k3

2.298

e

5.88

k4

0.425

kt

0.4

 p,eff

0.027

hc,eff

0.153 m

sr,max

209 mm

Ac,eff

0.123 m²

 p,eff

0.027

 sm‐ cm

Année 2010-2011

17.0 mm

0.001045

wk

0.219 mm

wmax

0.300 mm

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU Sur appui, on trouve : h

0.60 m

bw

0.80 m

1

32 mm

d

0.523 m

2

25 mm

y fct,eff

0.259 m 3.2 MPa

 eq

28.9 mm

Es

200.0 GPa

c k1

As

64.80 cm²

k2

0.5

s

253.8 MPa

k3

2.298

e

5.88

k4

0.425

kt

0.4

 p,eff

0.071

hc,eff

0.114 m

sr,max

172 mm

Ac,eff

0.091 m²

 p,eff

0.071

 sm‐ cm

0.001141

45 mm 0.8

wk

0.197 mm

wmax

0.300 mm

On en conclut que le critère d’ouverture des fissures est respecté à mi-travée et sur appui.

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

13) Vérification des flèches

Comme pour la vérification de l’ouverture des fissures, il existe deux possibilités pour vérifier les flèches : une vérification forfaitaire ou une vérification par le calcul. 13.1 Vérification forfaitaire La vérification forfaitaire consiste à comparer le rapport portée sur hauteur utile (L/d) à une valeur maximale. Si le rapport L/d ne dépasse pas la valeur maximale, alors il n’est pas nécessaire de calculer la flèche. Le rapport L/d maximal est fourni dans le tableau ci-dessous : Clause 7.4.2 (2) NOTE Les valeurs de K à utiliser sont données dans le Tableau 7.4NF pour des cas courants (C30/35, σs = 310 MPa, différents systèmes structuraux et les pourcentages d'armatures - ρ = 0,5 % et ρ = 1,5 %). Il est possible d'interpoler entre les deux pourcentages donnés.Tableau 7.4NF Valeurs de base du rapport portée/hauteur utile pour les éléments en béton armé, en l'absence d'effort normal de compression

ρ est le pourcentage d'armatures de traction nécessaire à mi-portée (ou sur appui dans le cas des consoles) pour reprendre le moment engendré par les charges de calcul. Dans notre cas, ρ = 0,5%, ainsi le rapport L/d est limité à 26, or L/d = 15,7. Il n’est donc pas nécessaire de calculer la flèche. Nous allons néanmoins calculer la flèche afin de décrire la méthode de calcul définie dans l’Eurocode 2.

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU 13.2 Flèche sous combinaison quasi-permanente Le calcul de flèche se fait sous combinaison quasi-permanente des charges. Cette flèche calculée doit être inférieure à L/250, soit 32,4 mm. La flèche d’une poutre en béton armé est difficile à calculer car l’inertie de la poutre varie sur sa longueur, en effet, les sections faiblement sollicitées ne sont pas fissurées tandis que les sections fortement sollicitées sont fissurées. De plus, l’inertie dépend du ferraillage qui évolue lui aussi le long de la poutre. L’Eurocode décrit une méthode simplifiée pour évaluer la flèche d’une poutre en béton armé. La flèche d’une poutre en béton armé est donnée par la formule :    . II  1   . I où I est la flèche de la poutre en considérant que celle-ci n’est pas fissurée, II est la flèche de la poutre en considérant que celle-ci est entièrement fissurée,  est un coefficient d’interpolation entre les deux états de la poutre donné par la formule 2  M cr  suivante :   1   .   M   = 0,5 pour un chargement prolongé I I Mcr est le moment critique de première fissuration, M cr  f ctm . h  f ctm . h v h y où Ih est l’inertie non fissurée de la section (ou inertie homogénéisée) et v est la distance entre l’axe neutre et la fibre inférieure. M est le moment sollicitant, donc ici, M = MELS,qp = 0,414 MN.m On calcule maintenant l’inertie homogénéisée : On suppose que l’axe neutre n’est pas situé dans la table de compression. On obtient alors :  y  h0 2 h  y 2  n. A .d  y   0 y2 b.  b  bw .  bw . s 2 2 2 Après simplification des termes en y2, on obtient donc une équation du 1er degré en y. L’inertie homogénéisée est donnée par la formule suivante :  y  h0 3 h  y 3  n. A .d  y 2 y3 I f  b.  b  bw .  bw . s 3 3 3 b =2.00 m h0 = 0.15 m

y Axe neutre

h = 0.60 m

bw = 0.80 m

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

On obtient donc les résultats suivants : hauteur utile largeur de la table hauteur totale épaisseur de la table

d b h h0

0.516 m 2.00 m 0.60 m

largeur d'âme

bw

section d'armatures

As

0.80 m 33.50 cm²

coefficient d'équivalence

n

15.7

position de l'axe neutre

y

0.259 m

inertie non fissurée

Ih

0.0251 m4

0.15 m

Résistance à la traction du béton

f ctm

3.2 MPa

Moment critique de première fissuration

Mcr

0.236 MN.m



0.5

MELS,qp 

Moment sollicitant Coefficient d'interpolation

0.414 MN.m 0.838

La flèche maximale de la poutre est obtenue lorsque qu’une seule travée est chargée par l’action variable. La flèche est alors obtenue par la formule suivante pour 0 ≤ x ≤ L :  7.L.x 3 x 4 3.L3 .x  1   3.L.x 3 x 4 L3 .x     0,3.q. u x     . g .   E c ,eff .I   48 24 48  24 96   96 E cm où E c ,eff   11,3 GPa 1   , t 0  Il n’est pas évident de trouver analytiquement le minimum de cette fonction (u(x) est négatif). On trace donc cette fonction dans Excel et on en déduit les flèches dans l’état fissuré et dans l’état non fissuré : 0

8,1

7,29

6,48

5,67

4,86

4,05

3,24

2,43

1,62

0,81

0 ‐0,005

‐0,01 αI αII ‐0,015

‐0,02

‐0,025

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On en déduit : Flèche dans l'état non fissuré

αI

7.6 mm

Flèche dans l'état fissuré

αII

20.5 mm

coefficient d'interpolation Flèche

 α

0.838 18.4 mm

On en déduit que le critère de flèche est vérifié. Il n’est pas toujours possible de déterminer facilement la flèche analytiquement. Il est alors possible d’utiliser une valeur approchée de la flèche donnée par la formule : M .L2 où M est le moment à mi-travée de la poutre. f  10.E.I Dans notre cas, on obtient par cette formule : MELS,qp L

0.414 MN.m 8.10 m

Ec,eff

11300 MPa

Inertie non fissurée

Ih

0.0251 m4

Inertie fissurée Flèche dans l'état non fissuré

If αI

0.0093 m4 9.6 mm

Flèche dans l'état fissuré coefficient d'interpolation Flèche

α II  α

25.9 mm 0.838 23.3 mm

Moment à mi‐travée Portée Module d'élasticité effectif du béton 

13.3 Vérification du critère de flèche nuisible Lorsque qu’une poutre supporte des éléments fragiles (cloisons, façades, revêtements fragiles,…), il est nécessaire de vérifier le critère de flèche nuisible. Cette méthode est communément admise par tous les acteurs du bâtiment et permet d’éviter l’endommagement des éléments fragiles par une flexion trop importante des planchers à long terme. La méthode de calcul tient compte du processus de chargement du plancher et des propriétés de celui-ci. La méthode n’est pas décrite dans l’Eurocode mais dans un fascicule édité par la Fédération Française du Bâtiment intitulé : « Recommandations professionnelles pour l’application de la norme NF EN 1992-1-1 et de son annexe nationale ». On donne pages suivantes, un extrait de ce document décrivant la méthode de calcul des flèches nuisibles.

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU Dans notre cas, on a Mc = Mr = 0. La flèche nuisible est limitée à 1,51 cm. On fait l’hypothèse que ψ = 0,2, c’est-à-dire que 20% du fluage s’est déjà produit lorsque l’on apporte les éléments fragiles On obtient les résultats suivants pour le calcul de flèche nuisible : L Mp Mc Mr Mq Mcr Ih Ie Ei Ev

8.10 m  0.369 MN.m ’t

0.000 MN.m ’di 0.000 MN.m ’dv 0.157 MN.m w t 0.236 MN.m w di 0.0251 m4 w dv 0.0093 m4 34000 MPa wnuisible 11300 MPa wmax

0.2 0.331 0.201 0.201 1.52 cm 0.38 cm 1.15 cm 0.99 cm 1.51 cm

13.3 Calcul de la flèche par intégration des courbures Un calcul plus précis de la flèche peut être fait en calculant la courbure dans un grand nombre de sections le long de l'élément (en tenant compte pour chaque section du ferraillage effectivement mis en place), puis à calculer la flèche par intégration numérique. Comme nous l'avons fait au 12.2, deux calculs de courbure seront effectués, l'un en supposant la poutre non fissurée et l'autre en supposant la poutre entièrement fissurée. On appliquera la formule (7.18) de l'Eurocode aux courbures :    . II  1   . I . On intègre ensuite la courbure ainsi interpolée pour calculer la flèche. Une telle précision n'est généralement pas requise et les méthodes précédentes suffisent. C'est le cas pour notre exemple, d'autant plus que la flèche calculée est très inférieure à la flèche limite.

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14) Ratio de ferraillage

Le ratio de ferraillage est le rapport entre le poids d'acier mis en oeuvre dans la poutre et le volume de béton de la poutre. Ce ratio permet d'évaluer si la poutre est bien dimensionnée et si elle sera facilement exécutable sur chantier. Un dimensionnement acceptable correspond à un ratio compris entre 75 et 200 kg/m3. Pour déterminer le poids d'acier mis en oeuvre dans la poutre, on utilise la nomenclature du plan de ferraillage. n°

type

1 2 3 4 5 6 7 8 9

HA 20 HA 16 HA 14 HA 8 HA 12 HA 32 HA 25 HA 8 HA 8

nombre de  barres 5 5 5 5 5 5 5 26 78

nombre  d'éléments 2 2 2 2 2 1 1 2 2

Longueur  totale 857 cm 543 cm 352 cm 550 cm 136 cm 560 cm 340 cm 264 cm 73 cm

HA 8 HA 10 HA 12 HA 14 HA 16 HA 20 HA 25 HA 32 TOTAL

Poids par  diamètre 120.8 kg 0.0 kg 12.1 kg 42.5 kg 85.7 kg 211.3 kg 65.5 kg 176.8 kg 714.7 kg

On calcule le volume de la poutre : Vpoutre = Ac.Ltotale La longueur totale est égale à 16,45m. La section de béton est égale à 0,48 m2. On ne prend pas en compte la table de compression dans le calcul du ratio car nous n'avons pas armé cette partie de la poutre. Il manque donc des aciers et cela fausserait le ratio de prendre en compte les ailes. On en déduit : Vpoutre = 7,896 m3. On en déduit un ratio de 90,5 kg/m3. Ce ratio est relativement faible, mais il ne prend pas en compte les armatures de la table de compression (armatures de dalle + couture âme-table). De plus, en cas de reprise de bétonnage sur la hauteur de la poutre (on peut par exemple couler les 45cm de l'âme de la poutre puis couler les 15cm de dalle, on peut également avoir un retombée de poutre préfabriquée), il faut dimensionner les armatures de reprise de bétonnage qui peuvent faire augmenter le ratio global. Enfin, en cas de réservation dans la poutre, il faudra prévoir des renforts autour de cette réservation ce qui fera aussi augmenter le ratio.

FIN DE LA 3ème SEANCE

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU COMPLEMENTS 15) Calcul des armatures de couture entre l'âme et la table

15.1 Principe du calcul Pour dimensionner les armatures de flexion, nous avons pris en compte toute la largeur de la table de compression. Cette hypothèse nécessite de disposer des armatures de couture entre l'âme et la table de la poutre. Ces armatures permettent de diffuser l'effort de compression dans les ailes. Le dimensionnement de ces armatures s'appuie sur un schéma de bielles et tirants similaire à celui utilisé pour l'effort tranchant. La procédure de vérification est aussi similaire :  Il faut d'abord vérifier la contrainte de compression dans les bielles de béton.  Il faut ensuite dimensionner les armatures de couture.

La vérification peut s'effectuer sur des tronçons de longueur x en respectant x < ½ distance entre la section de moment nul et la section de moment maximal et x < distance entre charges pour des charges ponctuelles. 15.2 Vérification de la contrainte de compression dans les bielles Il faut respecter : v Ed 

Fd   . f cd . sin  f . cos  f h f .x

où Fd est la variation d’effort normal sur x dans une aile. hf est l'épaisseur de la table de compression. f est l'angle d'inclinaison des bielles. Il faut vérifier 1,0 ≤cot f ≤2,0 si la membrure est comprimée et 1,0≤cot f ≤1,25 si la membrure est tendue. 1 , on retrouve l'expression de Note : en remarquant que sin  f . cos  f  tan  f  cot  f vérification de la contrainte de compression dans les bielles d'effort tranchant.

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU Le point de moment nul est situé en x = 0 et le point de moment maximal en x = 3,24m. On pose donc x = 1,62 m. On en déduit : x

x 0.00 m 1.62 m 3.24 m

hf

1.62 m 1.62 m

M

M

F

z

0.000 MN.m 0.15 m 0.556 MN.m 0.556 MN.m 0.15 m 0.730 MN.m 0.174 MN.m

0.45 m 0.45 m

1.236 MN 0.387 MN

Fd 0.371 MN 0.116 MN

vEd 1.53 MPa 0.48 MPa

On calcule maintenant l'angle f optimal. 

f ck    0,516 ; fcd = 23,3 MPa  250  Avec cot f = 2, on a  . f cd . sin  f . cos  f  4,81 MPa et on vérifie largement la condition

  0,6.1 

v Ed   . f cd . sin  f . cos  f . On choisit donc cot f = 2. 15.3 Calcul des armatures de couture Les armatures de couture doivent vérifier

Asf sf

. f yd 

v Ed .h f cot  f

On obtient donc : x 0.00 m 1.62 m 3.24 m

x 1.62 m 1.62 m

hf 0.15 m 0.15 m

vEd

cot(f)

1.53 MPa 0.48 MPa

Asf/sf 2.0 2.63 cm²/ml 2.0 0.82 cm²/ml

Asf

sf

0.5 cm² 0.5 cm²

0.19 m 0.61 m

On dispose donc 1 HA8 tous les 19cm en zone d'appui.

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16) Calcul au feu

La résistance au feu est l'objet de la partie 1-2 de l'Eurocode 2. On distingue deux méthodes de vérification d'une poutre soumise au feu :  Les méthodes décrites dans la section 4 de l’EC2 partie 1-2 qui permettent de vérifier les poutres en situation de feu en tenant compte de l'échauffement et de l'endommagement de la section.  La section 5 de l’EC2 partie 1-2 permet de s’assurer de la tenue au feu en utilisant les valeurs tabulées de certaines dispositions minimales. On suppose un feu normalisé R90 (c'est-à-dire un feu de 90 mn). 16.1 Vérification par le calcul On vérifie la tenue de la poutre soumise aux efforts correspondant à des situations de feu en tenant compte de son endommagement. Les efforts en situation de feu sont donnés par l'équation suivante : E d , fi   fi .E d où E peut désigner l'effort tranchant ou le moment de flexion.

 fi 

Gk   fi .Qk ,1

 G .Gk   Q ,1 .Qk ,1

;  fi   1,1  0,5 ;

Qk ,1 Gk

 0,3125

On en déduit : Ed,fi = 0,636.Ed. Ainsi, Vmax,fi = 0,636.Vmax,ELU ; Mmax,fi = 0,636.Mmax,ELU ; ... La vérification de la résistance d'une section soumise au feu étant un calcul relativement compliqué, nous ne le traiterons pas ici. 16.2 Vérification des dispositions minimales La section 5 de l'EC2 partie 1-2 permet de s'affranchir d'un calcul au feu si la poutre respecte une certain nombre de dispositions minimales. Ces dispositions sont :  Largeur minimale de la poutre bmin  Distance moyenne de l'axe des armatures au parement : a  La section droite de la poutre ne doit pas être inférieure à 2.b2min. Les valeurs de bmin et a à respecter sont données dans le tableau 5.5 donné page suivante. Il faut respecter au choix l'une des quatre colonnes. L'enrobage de 35 mm nous assure que la distance moyenne de l'axe des armatures au parement est supérieure à 35 mm. Nous respectons donc un critère de la quatrième colonne qui impose aussi bmin = 400 mm. Or notre poutre a une largeur de 800 mm. Nous respectons donc bien les critères du tableau 5.5 pour un feu normalisé R90. La section droite de notre poutre est de 0,48 m2, ce qui est bien supérieur à 2.b2min = 0,32 m2. Nous pouvons donc dire que notre poutre résiste à un feu normalisé R90.

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

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17) Annexe 1 : Rappel théorique : calcul des armatures de flexion à l’ELU 17.1 Principes généraux de la flexion simple

Définition de la flexion simple Une section  d’une poutre est soumise à de la flexion simple lorsque la somme des forces extérieures agissant sur cette section exprimée par rapport aux axes principaux d’inertie se réduit à un couple et un effort de cisaillement. Ainsi, en tout point d’une poutre soumise à de la flexion simple, les sollicitations internes de la poutre sont {N(x) = 0 ; M(x) ; V(x)} Equations d’équilibre d’une poutre en béton armé Les équations d’équilibre s’obtiennent en écrivant l’égalité entre les forces extérieures agissantes et les efforts internes résistants générés par les contraintes se développant dans les matériaux lorsque la section de la poutre se déforme. On ne s’intéresse ici qu’aux sollicitations normales à la section, c’est-à-dire au moment de flexion et à l’effort normal (nul dans le cas de la flexion simple). Le moment de flexion lié aux forces extérieures sera équilibré par des contraintes de traction et de compression qui vont se développer dans la section. En béton armé, les contraintes de traction se développent dans les armatures et les contraintes de compression dans le béton. On obtient ainsi deux efforts résultants dans la section : un effort de traction repris par les armatures, noté NA, et un effort de compression repris par le béton, noté NB. Ces efforts sont espacés d’une distance z que l’on appelle le bras de levier, comme cela est représenté sur la figure ci-dessous.

x NB

M(x )

Equilibré par

0 Efforts extérieurs

NA

Béton comprimé z Armatures tendues Efforts internes

On écrit maintenant l’équilibre entre les forces extérieures et les efforts internes:  Effort normal : 0 = NA – NB  Moment de flexion : M(x) = NB.z

Exemple : Etude d’une poutre isostatique Pour illustrer les propos précédents, nous allons étudier tout au long du cours une poutre isostatique soumise à une charge répartie p et représentée sur le schéma ci-dessous.  

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU p

y

x L Les notations utilisées sont les suivantes :  L : portée de la poutre (selon l’axe x)  p : intensité de la charge répartie le long de la poutre (forces extérieures appliquées à la poutre). On détermine maintenant analytiquement les sollicitations générées par les actions extérieures sur la poutre. On se place dans une section quelconque à une abscisse x et on somme les forces extérieures appliquées sur la partie à gauche de cette section par rapport à la partie à droite de cette section (cf. schéma ci-dessous). Les efforts s’écrivent donc :  N(x) = 0  V(x) = VA – p.x  M(x) = VA.x – p.x.x/2 En remarquant que M(x=0) = M(x=L) = 0, on obtient VA = p.L/2 et donc :  N(x) = 0  V(x) = p.(L/2-x)  M(x) = p.x/2.(L-x) F = p.x (résultante) x/2 p N(x )

M(x ) V(x)

x VA (réaction d’appui)

VB (réaction d’appui)  

     

17.2 Dimensionnement d’une section rectangulaire Rappel des hypothèses de calcul liées aux ELU Les hypothèses utilisées pour le calcul aux états limites ultimes (ELU) sont les suivantes : 1. Les sections planes restent planes (principe de Navier-Bernouilli), 2. Adhérence parfaite des armatures et du béton adjacent, 3. Résistance du béton à la traction négligée, Année 2010-2011

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU 4. Diagrammes contrainte-déformation des matériaux non linéaires. On rappelle les diagrammes contrainte-déformation des matériaux :  Pour le béton, on utilise le diagramme « parabole-rectangle » :

Pour fck compris entre 12 Mpa et 50 Mpa, on a : n = 2 ; c2 = 2‰ ; cu2 = 3,5‰

où n est l'exposant, tel qu'indiqué dans le Tableau 3.1 (cf. Annexe 1) εc2 est la déformation atteinte pour la contrainte maximale, telle qu'indiquée dans le Tableau 3.1 (cf. Annexe 1) εcu2 est la déformation ultime, telle qu'indiquée dans le Tableau 3.1 (cf. Annexe 1).  Pour les aciers on utilise un diagramme bilinéaire à choisir entre le diagramme à « branche horizontale » et le diagramme à « branche inclinée » : ES = 200 Gpa Pour des armatures de classe B : fyk = 500 Mpa ; k = 1,08 ; uk = 50‰ ; ud = 0,9.uk = 45‰

Principes de dimensionnement Le calcul aux états limites ultimes consiste à vérifier qu’aucun des deux matériaux, béton et acier, ne dépasse son point limite de rupture sous charges majorées. En pratique, on se place dans un état limite ou l’un des deux matériaux au moins atteint tout juste son point de rupture. Pour le béton, ce point est caractérisé par le fait que la fibre la plus sollicitée a une déformation relative en compression tout juste égale à cu2 ( = 3,5 ‰ pour fck ≤ 50 Mpa), ce qui correspond au pivot B.

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU Pour l’acier, ce point est caractérisé par le fait que la fibre située au barycentre des aciers tendus a une déformation en traction tout juste égale à ud = 0,9.uk (= 45 ‰ pour des armatures de classe B), ce qui correspond au pivot A. Un diagramme de déformation à l’ELU en flexion simple passera donc soit par le pivot A (cas de rupture par l’acier) soit par le pivot B (cas de rupture par le béton). Les pivots A et B sont représentés sur le diagramme ci-dessous sur lequel on voit aussi apparaître le pivot C qui n’est utilisé qu’en flexion composée avec compression. Figure 6.1Diagramme des déformations relatives admissibles à l'état-limite ultime

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

Equations d’équilibre On repart des équations d’équilibre obtenues au §1.1.2 :  Effort normal : 0 = NA – NB  Moment de flexion : M(x) = NB.z On adapte des équations à une section rectangulaire en béton armé. NA est l’effort de traction repris par les aciers et NB l’effort de compression repris par le béton. La position et l’intensité de ces résultantes se déduisent du diagramme de contrainte qui lui-même se déduit du diagramme de déformation. L’hypothèse 1. (principe de Navier-Bernouilli) permet d'affirmer que le diagramme de déformation est linéaire. Les hypothèses 3 et 4 permettent de déduire les diagrammes de contrainte dans les matériaux : y y b y b .d .d

h

z



d

A

a

b Section de la poutre

 a

Diagramme des déformations

Diagramme des contraintes

   

b : largeur de la poutre (selon l’axe z) h : hauteur de la poutre (selon l’axe y) A : aire d’acier représentée en son centre de gravité d : distance entre la fibre supérieure et le centre de gravité des aciers. Cette distance est appelée la hauteur utile.  .d : hauteur de béton comprimé  .d : bras de levier des efforts internes, c’est-à-dire la distance entre le centre de gravité des aciers et le barycentre des compressions.  b : déformation maximale du béton  a : déformation des aciers exprimée en leur centre de gravité  b : contrainte maximale dans le béton  a : contrainte dans les aciers exprimée en leur centre de gravité On obtient alors :  NA = A.a 

b

N B  b. .d    .d 0

 z = .d b

 M(x) = A.a..d et M(x) =  . .d 2 .b.   .d 0

En dimensionnement à l’ELU, conformément au paragraphe précedent, on aura a = ud (pivot A) ou b = cu2 (pivot B).

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU Approximation rectangulaire Pour simplifier les équations précédentes, on peut admettre en flexion simple et en pivot B un diagramme rectangulaire simplifié de compression défini par les coefficients  et . Le coefficient  représente la hauteur "efficace" de la zone comprimée et le coefficient  définit la résistance effective du béton. Le principe de cette approximation est défini par le schéma suivant.

NOTE Si la largeur de la zone comprimée diminue dans la direction de la fibre extrême la plus comprimée, il convient de réduire η.fcd de 10 %.  

L’intérêt de cette approximation peut paraître limité dans le cas d’une section rectangulaire pour laquelle on peut calculer facilement la résultante de compression et sa position avec la loi parabole rectangle. Cependant, pour une section quelconque (telle que celle représentée sur le schéma ci-dessus), l’intégration des contraintes est plus complexe. En utilisant l’approximation rectangulaire, la résultante de compression est égale à l’aire hachurée multipliée par le taux de travail .fcd et celle-ci est appliquée au centre de gravité de cette aire hachurée. Dans la suite, on utilisera l’approximation rectangulaire. On fera une comparaison entre le diagramme rectangulaire et le diagramme parabole-rectangle dans le paragraphe 1.2.12. Ainsi, si on se trouve en pivot B, les équations d’équilibre deviennent :  NA = A.a  NB = b..d...fcd  z = .d = (1-./2).d  M(x) = A.a.(1-./2).d et M(x) = .(1-./2).b.d2...fcd

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU  

Pivot A ou Pivot B ? Pour déterminer la section d’acier nécessaire, il faut savoir au préalable si la section est en pivot A ou en pivot B afin de définir correctement l’état de contrainte dans le béton. Pour cela, on détermine le moment limite entre le pivot A et le pivot B en utilisant le diagramme de déformation passant par les deux pivots. y y b = cu2 y .fcd .d

.d .d

h

z



d

A b Section de la poutre

a = ud Diagramme des déformations

 a Diagramme des contraintes avec approximation rectangulaire

On suppose un béton de classe C30 et des armatures de classe B. On a donc cu2 = 3,5‰ et ud = 45‰. On en déduit les équations suivantes :  AB = 3,5/(3,5+45) = 0,072  AB = 1 – 0,4.AB = 0,971  MAB = 0,8.AB.b.d.fcd.AB.d = 0,056.b.d2.fcd  MAB/(b.d2.fcd) = 0,056 On fait ainsi apparaître le coefficient sans dimension MAB/(b.d2.fcd) que l’on va noter AB. D’une manière générale, pour une poutre en flexion simple, on appellera moment réduit le coefficient  = MELU/(b.d2.fcd) (cf. §1.2.9 pour plus de détails sur ce coefficient). En comparant le moment réduit de la poutre à AB, on peut savoir si l’on est en pivot A ou en pivot B. En effet, lorsque la sollicitation de flexion simple augmente progressivement, le diagramme de déformation passe successivement par le pivot A (faible sollicitation et faible hauteur de béton comprimé) puis par le pivot B. On a ainsi :  M < MAB ou  < AB = 0,056  pivot A  M > MAB ou  > AB = 0,056  pivot B On peut définir le coefficient AB pour un béton et une classe d’armatures quelconque :

 cu 2    cu 2   ud



 AB 



 AB  1  0,5.. AB  1  0,5. .



M AB  . AB .b.d . f cd . AB .d  

 cu 2    cu 2   ud

  AB  . . AB  0,5. . AB 

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2

  cu 2  cu 2  .  0,5. .  cu 2   ud   cu 2   ud

2

    

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU Détermination de la section d’acier Pour déterminer la section d’acier, il faut tout d’abord déterminer si l’on est en pivot A ou en pivot B. On compare pour cela le moment réduit  = M/(b.d2.fcd) au moment réduit limite entre pivot A et pivot B, AB. On fera l’hypothèse d’un béton de classe inférieure ou égale à C50 et des armatures de classe B. Si on est en pivot A ( < AB) : y

y b < cu2

y .fcd .d

.d .d

h

z



d

A

a = ud Diagramme des déformations

b Section de la poutre

 a Diagramme des contraintes avec approximation rectangulaire

En théorie, on ne peut pas utiliser l’approximation rectangulaire. Cependant, pour simplifier, on utilise quand même cette approximation. On montrera dans le §1.2.12 que cette approximation n’a qu’une très faible incidence sur le résultat (< 0,5% sur la section d'acier). Les équations d’équilibre obtenues dans le §1.2.3 deviennent :  NA = NB = A.a  NB = 0,8..b.d.fcd  MELU = 0,8.b.d2..(1-0,4.).fcd = A.a..d On fait apparaître le moment réduit  dans la dernière équation :  = 0,8..(1-) Il ne reste plus que deux inconnues : d et . d est la hauteur utile et dépendra du ferraillage pratique. On postule donc une valeur initiale pour d, hypothèse qu’il faudra vérifier une fois le ferraillage pratique établi. En postulant d = min(0,9.h ; h – 0,1), on obtient une valeur généralement acceptable. Il ne reste donc plus qu’une seule inconnue : . On a donc une équation du second degré en  que l’on résout :    1,25. 1  1  2.



 



   1  0,4. Il reste à déterminer la section d’acier. En pivot A, l’allongement des aciers est par définition égal à ud. Si l’on choisit d’utiliser la branche horizontale du diagramme contraintedéformation des aciers, on a a = fyk/S. Si on utilise la branche inclinée du diagramme f yk   ud  f yk E S . S   contrainte-déformation des aciers, on a  a  .1  (k  1).   S   uk  f yk E S . S   On en déduit la section d’acier : M ELU  A  .d . a  

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU Si l’on est en pivot B ( > AB) : y b =

y

y .fcd .d

.d .d

h

z



d

A

a < ud

 a Diagramme des contraintes avec approximation rectangulaire

Diagramme des b déformations Section de la poutre   En pivot B, on peut utiliser l’approximation rectangulaire. On retombe donc sur les mêmes équations que pour le pivot A :  NA = NB = A.a  NB = 0,8..b.d.fcd  MELU = 0,8.b.d2..(1-0,4.).fcd = A.a..d Après résolution de l’équation du second degré en , on trouve :    1,25. 1  1  2.







  1  0,4.

M ELU  .d . a La différence avec le pivot A réside dans le fait que l’on ne connaît pas a et donc on ne connaît pas non plus a. La déformation relative des aciers se déduit en fait de la valeur de  1 1 par la formule suivante :  a  . b  . cu 2 . On en déduit ensuite a en utilisant le



A





diagramme contrainte-déformation des aciers :  Si a ≤ yd = fyk/(S.ES)  a = ES.a (les aciers sont dans la phase élastique)  Si a ≤ yd = fyk/(S.ES)  a = fyk/S si l’on utilise la branche horizontale du diagramme f yk   a  f yk E S . S   a  .1  (k  1).  si l’on utilise la  S   uk  f yk E S . S   branche inclinée du diagramme (les aciers sont dans la phase plastique).

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU  

Vérification de la hauteur utile Une fois la section d’acier théorique calculée, on détermine un ferraillage pratique. A partir de ce ferraillage pratique, on calcule la position réelle du centre de gravité des aciers et donc la valeur réelle de la hauteur utile que l’on compare à la valeur qui a été prise en compte initialement :  Si la hauteur utile réelle est supérieure à la hauteur utile initialement prise en compte, on peut optimiser la section d’acier en refaisant le calcul avec la hauteur utile réelle ou conserver le résultat obtenu.  Si la hauteur utile réelle est inférieure à la hauteur utile initialement prise en compte, la section d’acier obtenue est sous-dimensionnée et on est du côté de l’insécurité. Il faut donc nécessairement refaire le calcul avec la hauteur utile réelle pour vérifier si le ferraillage pratique choisi est suffisant. Si il ne l’est pas, il faut déterminer un nouveau ferraillage pratique et refaire la vérification jusqu’à ce que la hauteur utile réelle soit supérieure ou égale à la hauteur utile prise en compte dans le calcul.  

Synthèse de la méthode de calcul des armatures dans une section rectangulaire On donne page suivante le logigramme de dimensionnement d'une section rectangulaire en béton armé.

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU     On postule une valeur de d :   d = min(0,9.h ; h – 0,1)     On calcule le moment réduit  :   M ELU    b.d 2 . f cd       non oui  ≤ AB ?     Pivot B : Pivot A :       1,25. 1  1  2.   1,25. 1  1  2.     1  0,4.   1  0,4.   b = cu2 a = ud   a = b.(1-)/ b = a.(1-)     oui   a > fyk/(S.ES) ?     non branche non   inclinée ?     oui     f yk   a  f yk E S . S    a   .1  (k  1).   a = fyk/S a = ES.a  S   uk  f yk E S . S         M ELU     A  .d . a       On détermine un ferraillage   pratique et on calcule la position   réelle du centre de gravité des   aciers : dréelle     non   dréelle > d ?     oui   oui Optimisation ?  







d = dréelle



non FIN Année 2010-2011

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU Moment réduit M ELU b.d 2 . f cd qui est le point de départ du dimensionnement d’une poutre en flexion simple. On appelle ce coefficient le moment réduit.   Ce coefficient est très utilisé lors du pré-dimensionnement des poutres puisqu’il n’est constitué que de variables connues :  MELU est déterminé par les charges qui s’appliquent sur la poutre,  b est la largeur de la poutre,  fcd est la résistance de calcul du béton,  d est le seul paramètre inconnu puisqu’il dépend du ferraillage pratique que l’on va mettre en place. Cependant, on peut postuler une valeur pour d qui sera proche de la valeur réelle. En général, en prenant d = min(0,9.h ; h – 0,1) comme valeur de départ, on approche bien la valeur réelle. Cette valeur initiale peut être modulée en fonction de l’enrobage, des dimensions de la poutre,… Dans tous les cas, il faudra vérifier que la valeur initiale prise en compte est bien supérieure à la valeur réelle correspondant au ferraillage que l’on va mettre en place.

Nous avons fait apparaître en posant les équations le coefficient sans dimension  

En général, le moment réduit est compris dans une fourchette allant de 0,19 à 0,30. La borne supérieure est conditionnée par les critères ELS : flèche, limitation des contraintes dans le béton,… Ce coefficient est donc très utilisé en pré-dimensionnement pour déterminer les dimensions d’une poutre. A partir du moment ELU (que l’on connaît en faisant une approximation sur le poids propre de la poutre qui n’est généralement pas prépondérant) et de la qualité de béton que l’on souhaite, on détermine les paramètres b et d de la poutre en essayant d’avoir un moment réduit compris entre 0,19 et 0,30, tout en respectant les critères architecturaux (dimensions maximales admissibles). On en déduit ensuite la hauteur h de la poutre en utilisant par exemple la formule h = min(d/0,9 ; d + 0,1) ou en déterminant un ferraillage pratique. Enfin, comme nous l’avons déjà vu précédemment, le moment réduit  permet de déterminer le mode de rupture en flexion :   < AB = 0,056  pivot A   > AB = 0,056  pivot B

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

Influence du pivot A Dans l'ancien règlement (BAEL), le pivot A correspondait à un allongement des aciers de 10‰. Dans le règlement Eurocode 2, l'allongement maximal des aciers est très largement supérieur (22,5‰ pour des armatures de classe A, 45‰ pour des armatures de classe B et 67,5‰ pour des armatures de classe C). On étudie l'incidence de cette évolution règlementaire avec un exemple. On considère une section rectangulaire de 40cm de largeur et 70cm de hauteur en béton de classe de résistance fck = 30 MPa. On suppose des armatures de classe B. On utilisera l'approximation rectangulaire et la branche horizontale du diagramme contrainte-déformation des aciers. On compare les résultats obtenus en fonction de la règlementation utilisée pour un moment réduit  identique égal à 0,14 : "BAEL" Eurocode 2  = 0,14  = 0,14  pivot B  pivot A  = 0,189  = 0,189  = 0,924  = 0,924 b = 3,5 ‰ b = 2,3 ‰ a = 15,0 ‰ a = 10,0 ‰ a = 434,8 MPa a = 434,8 MPa A = 16,7 cm² A = 16,7 cm² Ainsi, on remarque que la valeur de l'allongement correspondant au pivot A n'a pas d'incidence sur le dimensionnement de la section. En effet, que l'on soit en pivot A ou en pivot B, on utilise l'approximation rectangulaire, raison pour laquelle les résultats précédents sont identiques. Si on n'utilise pas l'approximation rectangulaire, on aura un résultat similaire puisque l'approximation faite génère un écart inférieur à 0,5% sur la section d'acier (cf §1.2.12).

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

Influence du type de diagramme retenu pour les aciers Pour comprendre l’incidence du choix du diagramme contrainte-déformation des aciers (branche horizontale ou branche inclinée), on compare la section d’acier obtenue avec les deux diagrammes en fonction du moment réduit . On considère des armatures de classe B, c’est-à-dire que l’on a k = 1,08. On trace le rapport entre la section obtenue avec la branche horizontale et la section obtenue avec la branche inclinée :

A(br. horiz.)/A(br. inclinée) 1,08 1,07 1,06 1,05 1,04 A(br. horiz.)/A(br. inclinée)

1,03 1,02 1,01 1



0,99 0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

On remarque que la section est évidemment plus importante avec la branche horizontale qu’avec la branche inclinée. On remarque aussi le gain généré par l’utilisation de la branche inclinée diminue lorsque la sollicitation augmente. Ainsi, le gain obtenu est de l’ordre de 1% dans la section la plus sollicitée d’une poutre pour laquelle on devrait avoir un moment réduit compris entre 0,19 et 0,30 si celle-ci est correctement dimensionnée. Le gain est donc négligeable, voire nul lorsque l’on passe au ferraillage pratique. Cependant, lorsque l’on étudie la poutre dans son ensemble, le moment réduit varie tout au long de la poutre entre 0 et sa valeur maximale. En utilisant la branche inclinée, on peut donc gagner en moyenne 4% à 5% d’acier par rapport à la branche horizontale. Ce gain ne sera effectif avec le ferraillage pratique que si la poutre est ferraillée avec plusieurs lits d’armatures.

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

Influence de l’approximation rectangulaire On peut estimer l’erreur effectuée lorsque l’on utilise l’approximation rectangulaire. Pour cela, on trace le rapport entre la section d’acier obtenue en utilisant l’approximation rectangulaire et la section obtenue en utilisant la loi parabole-rectangle. Cette comparaison est faite pour une section rectangulaire avec un béton de résistance caractéristique fck ≤ 50 Mpa. L’approximation rectangulaire est utilisée aussi bien en pivot A qu’en pivot B. On utliise la branche horizontale du diagramme contrainte-déformation des aciers.

A(approx. Rect.)/A(parab. Rect.) 1,005 1 0,995 0,99 0,985 0,98 A(approx. Rect.)/A(parab. Rect.)

0,975 0,97 0,965 0,96 0,955 0,95 0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

On remarque donc qu’en pivot A ( ≤ 0,056) , l’erreur faite en utilisant l’approximation rectangulaire est négligeable puisqu’elle est inférieure à 0,5%. En pivot B, l’erreur est inférieure à 1,5% tant que le moment réduit est inférieur à 0,37. Pour des sollicitations plus importantes, les aciers sont en phase élastique et la précision se dégrade fortement. Cependant, pour de telles sollicitations, les critères ELS vont devenir prépondérants sur le dimensionnement des armatures.

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17.3 Dimensionnement d’une section en Té Définition d’une poutre en Té On décrit sur le schéma ci-dessous les grandeurs caractéristiques d’une section en Té : b h0 h

d

A bw

    

h0 : épaisseur de la table de compression b : largeur de la table de compression bw : largeur de l’âme de la poutre h : hauteur totale de la poutre d : hauteur utile de la poutre (distance entre le centre de gravité des aciers tendus et la fibre la plus comprimée)

Détermination de la largeur participante Avant d’étudier la section en Té, il faut déterminer la largeur participante beff, c’est-à-dire la largeur de la table de compression que l’on peut prendre en compte. Pour que la table de compression puisse être prise en compte dans le calcul des armatures, il faut que les contraintes de compression puissent se diffuser dans la largeur. Cette largeur participante dépend donc de la largeur disponible b et de la portée de la poutre (ou plus précisément la distance entre points de moment nul) : 0,2.l 0   beff   beff ,i  bw  b avec beff ,i  0,2.bi  0,1.l 0   bi

 beff,i est la largeur efficace de l'aile i  beff est la largeur participante de la section en T  bi est la largeur de l'aile i  bw est la largeur de l'âme  l0 est la distance entre points de moment nul. Pour déterminer la distance entre points de moment nul dans une poutre continue, on peut utiliser le schéma ci-dessous :

 

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Détermination de la section d’acier On utilisera dans ce paragraphe l’approximation rectangulaire. On suppose un béton de résistance caractéristique fck ≤ 50 Mpa et des armatures de classe B. On trace les diagrammes de contraintes : beff y y b  y .fcd h0 .d .d .d

h

z



d

A

a Diagramme des déformations

bw Section de la poutre

 a Diagramme des contraintes avec approximation rectangulaire

La première étape du calcul consiste à déterminer si la compression (après approximation rectangulaire) s’exerce entièrement dans la table de compression. Pour cela, on calcule le moment maximal (Ml,T) pouvant être repris par la table de compression seule. On détermine ce moment en supposant qu’une contrainte égale à fcd pour un béton courant (ou .fcd pour un béton haute performance) s’exerce dans la totalité de la table de compression et que la contrainte de compression est nulle ailleurs. On en déduit : Ml,T = beff.h0.fcd.(d-h0/2). On compare ensuite Ml,T au moment ELU MELU :  MELU ≤ Ml,T  La compression est entièrement dans la table  MELU > Ml,T  La compression n’est pas entièrement dans la table   Si la compression est entièrement dans la table, on retrouve les équations d’une section rectangulaire. On a donc : M ELU     beff .d 2 . f cd





  1,25. 1  1  2.      1  0,4.    a = b./(1‐)  



a 

f yk   a  f yk E S . S   .1  (k  1).  si a > 2,175‰ ou a = ES.a sinon  S   uk  f yk E S . S  



A

M ELU    .d . a

 

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU Si la compression n’est pas entièrement dans la table, on a alors : beff y y b 

h0

y .fcd .d

.d .d

h

z



d

A

a Diagramme des déformations

bw Section de la poutre

 a Diagramme des contraintes avec approximation rectangulaire

Pour déterminer la section d’acier, on décompose la section en deux parties : les débords de la table de compression et la nervure :

A   Les débords sont entièrement comprimés, ils équilibrent donc le moment suivant : h   M table  beff  bw .h0 . f cd . d  0  . La partie restante de la section forme une section 2  rectangulaire de largeur bw et de hauteur utile d qui doit équilibrer le moment M’ELU = MELU – Mtable. L’étude de cette section est identique à l’étude d’une section rectangulaire. On en déduit :  M M ELU M     ELU 2 table   2 bw .d . f cd bw .d . f cd





   1,25. 1  1  2.        1  0,4.     a = b.'/(1‐')  

f yk   a  f yk E S . S   .1  (k  1).  si a > 2,175‰ ou a = ES.a sinon  S   uk  f yk E S . S  



a 



A 



A  A 

 M ELU    .d . a

beff  bw .h0 . f cd  M ELU M table     h0   .d . a a   d  . a 2 

Vérifications complémentaires Lorsque l’on calcule une section en Té, il faut également dimensionner les armatures qui permettent de diffuser les efforts de compression dans les débords de la table de compression que l’on appelle armatures de couture âme-table. Le détail de ce calcul est donné en 17.4.

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU

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Béton armé et précontraint 0 - Flexion simple ELU 17.4 Détail du calcul des armatures de couture âme-table.   Principe du calcul :  Pour dimensionner les armatures de flexion, nous avons pris en compte toute la largeur de la table de compression. Cette hypothèse nécessite de disposer des armatures de couture entre l'âme et la table de la poutre. Ces armatures permettent de diffuser l'effort de compression dans les ailes. Le dimensionnement de ces armatures s'appuie sur un schéma de bielles et tirants similaire à celui utilisé pour l'effort tranchant. La procédure de vérification est aussi similaire :  Il faut d'abord vérifier la contrainte de compression dans les bielles de béton.  Il faut ensuite dimensionner les armatures de couture.

La vérification peut s'effectuer sur des tronçons de longueur x en respectant x < ½ distance entre la section de moment nul et la section de moment maximal et x < distance entre charges pour des charges ponctuelles.   Vérification de la contrainte de compression dans les bielles : Fd Il faut respecter : v Ed    . f cd . sin  f . cos  f h f .x où  Fd est la variation d’effort normal sur x dans une aile.  hf est l'épaisseur de la table de compression.  f est l'angle d'inclinaison des bielles. Il faut vérifier 1,0 ≤cot f ≤2,0 si la membrure est comprimée et 1,0≤cot f ≤1,25 si la membrure est tendue. 1 Note : en remarquant que sin  f . cos  f  , on retrouve l'expression de tan  f  cot  f vérification de la contrainte de compression dans les bielles d'effort tranchant.   Calcul des armatures de couture : Asf v Ed .h f Si vEd ≥ k.fctd, les armatures de couture doivent vérifier . f yd  sf cot  f Si vEd ≤ k.fctd, aucune armature de couture n'est nécessaire. Suivant l'annexe nationale française, k = 0,5 en cas de surface verticale de reprise de bétonnage rugueuse et k = 1,0 si il n'y a pas de surface verticale de reprise de bétonnage.

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18) Annexe 2 : Rappel théorique : calcul des armatures d’effort tranchant à l’ELU

L'Eurocode 2 définit dans les procédures générales de vérification (6.2.1) quatre valeurs de calcul de l’effort tranchant :  VEd est l'effort tranchant agissant de calcul,  VRd,c est l'effort tranchant résistant de calcul en l'absence d'armature d'effort tranchant,  VRd,s est l'effort tranchant de calcul pouvant être repris par les armatures d'effort tranchant,  VRd,max est l'effort tranchant de calcul maximal pouvant être repris par l'élément avant écrasement des bielles de compression. La méthode de calcul des armatures d’effort tranchant consiste à effectuer les vérifications suivantes : 1. Vérifier si il est nécessaire ou non de disposer des armatures d’effort tranchant. C’est le cas dès que VEd ≥ VRd,c. A noter cependant que les poutres ne nécessitant pas d’armatures d’effort tranchant sont rares. De plus, il faudra disposer malgré tout une quantité minimale d’armatures d’effort tranchant. 2. Vérifier le non écrasement des bielles de béton, c’est-à-dire vérifier VEd ≤ VRd,max. Cette vérification permettra également de déterminer l’équarrissage de la poutre et l’angle minimal d’inclinaison des bielles de compression. 3. Dimensionner la quantité d’armatures d’effort tranchant en vérifiant VEd ≤ VRd,s. Ces vérifications sont faites exclusivement aux Etats Limites Ultimes. 18.1 Effort tranchant résistant sans armatures L’effort tanchant résistant sans armatures VRd,c est donné par la formule :  0,18   1 V Rd ,c  max  .k .100. l . f ck  3  0,15. cp .bw .d ; v min  k1 .bw .d     C   bw est la plus petite largeur de la section droite dans la zone tendue,

 

k  1

200  2,0 avec d en mm, d

Asl avec Asl aire d’armatures longitudinales ancrées au-delà de la section de bw .d calcul,

l 

 cp = 0 en flexion simple,  vmin = 0,035.k3/2.fck1/2,  k1 = 0,15

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18.2 Vérification des bielles Le calcul de l'effort tranchant de calcul maximal pouvant être repris par l'élément avant écrasement des bielles de compression est effectué en déterminant l'aire de la section droite de la bielle, en lui associant un taux de compression maximum pour déterminer l'effort de compression maximal dans la bielle et en projetant l'effort obtenu sur la verticale. z.(coscotsin)

z

c

bw V Rd,max 



En notant bw l'épaisseur de la poutre et c la compression maximale du béton on obtient l'expression de VRd,max : VRd ,max  bw .z.(cos  cot  . sin  ). c . sin  VRd ,max  bw .z.(cot   cot  ).sin 2  . c



VRd ,max  bw .z. (cot   cot  ). c 1  cot 2 



La théorie des bielles et tirants limite la contrainte de compression : f    c   1 . f cd avec  1  0,6.1  ck   250  2 On a donc : V Rd ,max  bw .z. (cot   cot  ). 1 . f cd 1  cot   Dans le cas le plus courant, les armatures transversales sont verticales, c’est-à-dire que l’on a  = 90°. L’expression de VRd,max devient alors : b .z. . f VRd , max  w 1 cd tan   cot  Avec :  bw est la largeur de l’âme de la poutre,  z le bras de levier qui résulte du calcul en flexion ou qui peut être pris égal à 0,9.d,  1 = 0,6.(1-fck/250) avec fck exprimé en Mpa,  fcd est la contrainte de calcul du béton,   est l’angle d’inclinaison des bielles.

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18.3 Vérification des tirants Le calcul de l'effort tranchant de calcul pouvant être repris par les armatures d'effort tranchant VRd,s consiste à dénombrer les barres d'acier qui traversent une fissure inclinée d’un angle  par rapport à l'horizontal, puis à calculer l'effort résistant de ces barres et à le projeter sur la verticale. Un cours d'armatures transversales a une section notée Asw et les différents cours sont espacés d'une distance s. L'analyse géométrique considère un triangle de hauteur z dont un coté est parallèle à la fissure inclinée de  par rapport à l'horizontale et l'autre parallèle aux aciers transversaux inclinés de  par rapport à l'horizontale.

VRd,s

z 

Fst



z.(cot+cot)

 s

Le nombre de cours d'armatures qui traversent la fissure est égal à z(cot()+cot())/s, chaque cours développe un effort résistant Fst =Asw.fywd en notant fywd le taux de travail de ces aciers et  son inclinaison par rapport à l'horizontale. En projetant cet effort résistant sur la verticale, on obtient l'expression de VRd,s. A z.(cot   cot  ) V Rd , sy  .Fst . sin   sw .z. f ywd .(cot   cot  ). sin  s s Dans le cas ou  = 90° l'expression de VRd,s se simplifie et on obtient: A z. cot  V Rd , sy  .Fst  sw . f ywd .z. cot  s s Où :  Asw est l’aire de la section d'un cours d'armatures transversales,  s est l’espacement entre deux cours successifs,  z est le bras de levier, qui résulte du calcul en flexion ou qui peut être pris égal à 0,9.d,  fywd est la limite d'élasticité de calcul des armatures transversales égale à fyk/s,   est l’angle d'inclinaison des bielles. L'inéquation VEd ≤ VRd,s permet alors de calculer Asw/s. Le choix de Asw en fonction du nombre de barres d’armatures longitudinales permet ensuite d'en déduire s. L'espacement est minimal en zone d'appui et augmente au fur et à mesure que l'on se déplace vers la mi-travée tout en étant plafonné à un maximum précisé plus loin.

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18.4 Influence du choix de l’inclinaison des bielles Comme on l’a vu précédemment, le choix de l’angle d’inclinaison des bielles est laissé libre à l’ingénieur entre 21,8° (cot() = 2,5) et 45° (cot() = 1,0). Le choix de cet angle n’est pas sans conséquence sur le dimensionnement du béton et des armatures. On étudie donc l’influence du choix de cet angle sur les valeurs de VRd,max et VRd,s, c’est-à-dire sur le dimensionnement de la poutre et des armatures. Pour voir l’influence du choix de l’angle  sur VRd,max, on trace la valeur de VRd,max/(bw.z), c’est-à-dire la contrainte de cisaillement, en fonction de la classe du béton et de cot(). Vrd,m ax/(b.z) 9 8 7

fck = 25 fck = 30 fck = 35

(MPa)

6 5 4

fck = 40 fck = 50

3 2 1 0 1

1.5

2

2.5

cotan( )

On remarque donc que plus l’angle  est petit, plus la contrainte de cisaillement maximale admissible diminue. On dimensionnera donc la section de béton en fonction de la contrainte de cisaillement. On déterminera ensuite la valeur minimale de l’angle . A partir de l’inéquation VEd ≤ VRd,s, on remarque que la section d’armatures d’effort tranchant sera inversement proportionnelle à cot(). Ainsi, plus l’angle  est faible, plus les bielles de béton sont comprimées et plus la quantité d’armatures d’effort tranchant sera faible. On cherchera donc à minimiser l’angle  dans un souci d’économie de la quantité d’armatures. Cependant, plus les bielles sont comprimées, plus elles génèrent une traction supplémentaire importante dans les armatures de flexion (phénomène non étudié dans le cadre du cours de CCMAT). Ainsi, un angle  faible augmentera la quantité d’armatures de flexion par rapport à un angle  plus élevé. La quantité optimale d'armatures de la poutre est donc généralement obtenue pour un angle  intermédiaire entre 21,8° et 45°. Dans le cadre du cours de CCMAT, on cherchera à minimiser la quantité d’armatures d’effort tranchant et donc à maximiser la valeur de cot().

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18.5 Réduction de l’effort tranchant aux appuis Pour dimensionner les armatures, on peut considérer un effort tranchant réduit qui tient compte de la transmission directe des charges aux appuis. En effet, lorsque l’on s’intéresse à ce qu’il se passe autour de la première fissure d’effort tranchant à partir d’un appui, on comprend bien que les charges appliquées à gauche de la fissure sur le schéma ne génèrent pas de traction dans les armatures d’effort tranchant traversant la fissure. Partie des charges allant directement aux appuis

Partie des charges devant être remontée par les armatures

L’eurocode 2 prend en compte ce phénomène en définissant un effort tranchant réduit VEd,réduit pour le calcul des armatures. Pour la détermination de cet effort tranchant réduit, il faut distinguer les charges réparties des charges ponctuelles :  Poutre principalement soumise à des charges réparties : dans ce cas, il n'y a pas lieu d'effectuer de vérification à l'effort tranchant à une distance du nu de l'appui inférieure à d (hauteur utile avec d ≈ 0.9h), il convient de maintenir les armatures requises jusqu'au droit de l'appui (§6.2.1 (8)). Mais dans les mêmes conditions il est précisé (§6.2.3(5)) que la détermination des armatures sur une longueur élémentaire I=z(cot()+cot()) peut être effectuée en prenant la plus petite valeur de VEd sur cette longueur. Ces deux clauses ne sont pas cumulables, selon la valeur retenue pour  on retiendra soit la première (=45°) soit la seconde (z.cot()>d).

d

ba V(x

d l = z.(cot() + cot())

V(x=ba/2+d

V(x=ba/2+l

 Poutre principalement soumise à des charges ponctuelles : dans le cas où des charges concentrées sont appliquées sur la face supérieure de l'élément, à une distance av du nu de l'appui telle que 0,5.d ≤ av ≤ 2.d, la contribution de cette charge peut être multipliée par  = av/(2.d). Pour av ≤ 0,5.d il convient de prendre av = 0,5.d. Cette réduction peut Année 2010-2011

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0,5.d

= 1

= 0,25

d

av

La valeur de VEd calculée sans appliquer le coefficient  doit vérifier la condition VEd ≤ 0,5bw.d.0,6.(1-fck/250).fcd La valeur VEd,réduit doit satisfaire la condition VEd,réduit ≤ Asw.fywd.sin() (§6.2.2 (19)) où Asw.fywd représente la résistance des armatures qui traversent les fissures d'effort tranchant dans la zone chargée. Il convient de ne tenir compte des armatures d'effort tranchant que dans la partie centrale de la zone chargée sur une longueur égale à 0,75.av.

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18.6 Dispositions minimales Les dispositions minimales concernent le taux d'armatures d'effort tranchant w qui doit être supérieur à un taux minimal w,min et l'espacement s de deux cours successifs d'armatures qui doit être inférieur à une valeur maximale sl,max. 0,08. f ck Asw w    w, min  s.bw . sin   f yk 

0,08. f ck  Asw  .bw . sin      f yk  s  min

où:  Asw est l’aire de la section d'un cours d'armatures transversales,  s est l’espacement entre deux cours successifs,  bw est la largeur d'âme de la poutre,   est l’angle entre les armatures d’effort tranchant et l’axe longitudinal,  fck est la résistance caractéristique à la compression du béton (exprimée en MPa),  fyk est la limite d'élasticité des armatures transversales (exprimée en MPa). L’espacement maximal sl,max entre les cours d’armatures transversales est donné par la formule suivante : sl ,max  0,75.d .1  cot  

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18.7 Synthèse de la méthode de calcul des armatures d’effort tranchant On suppose des armatures transversales perpendiculaires à l’axe de la poutre ( = 90°). On vérifie l’équarissage de la poutre et on détermine l’angle  minimal par la formule : b .z. . f VEd  w 1 cd tan   cot 

Principalement réparties

Principalement ponctuelles

Type de charges ?

Détermination de VEd,réduit :

Détermination de VEd,réduit :

0,5.d ≤ av ≤ 2.d  = av/(2.d) av ≤ 0,5.d  = 0,25

VEd,réduit = VEd(x=d) ou VEd,réduit = VEd(x=l) (l = z.cot())

VEd,réduit ≥ VRd,c ?

non

oui Détermination de la quantité d’armatures transversales : VEd ,réduit Asw  s f ywd .z. cot 

Vérification des dispositions minimales : 0,08. f ck  Asw  .bw . sin      f yk  s  min sl ,max  0,75.d .1  cot   FIN

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