Exerc Cos FEE0001 Prova 1

FÍSICA PARA ENGENHARIA ELÉTRICA José Fernando Fragalli  Departamento de Física – Udesc/Joinville

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO “Near Near the the end end of this this deca decad de, when when they they begin egin

enumerating the names of the people who had the greatest impact on the 20th century, the name of John Bardeen, who died last week, has to be near, or perhaps even arguably at, the top of the list... Mr. [sic] Bardeen shared two Nobel Prizes and won numerous other honors. But what greater honor can there be when each of us can look all around us and everywhere everywhere see the reminders of a man whose genius has made our lives longer, healthier and better.” – Editorial do Chicago Tribune em 03/02/1991. Física para para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Exercícios Resolvidos Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Introdução 2. Conceitos de Relatividade 3. Radiação de Corpo Negro 4. Propriedades Corpusculares da Radiação 5. Propriedades Ondulatórias da Matéria 6. Conceitos de Mecânica Quântica 7. Modelos Atômicos 8. Átomos de Muitos Elétrons e Moléculas 9. Introdução à Física do Estado Sólido Física para para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Exercícios Resolvidos Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Introdução 2. Conceitos de Relatividade 3. Radiação de Corpo Negro 4. Propriedades Corpusculares da Radiação 5. Propriedades Ondulatórias da Matéria 6. Conceitos de Mecânica Quântica 7. Modelos Atômicos 8. Átomos de Muitos Elétrons e Moléculas 9. Introdução à Física do Estado Sólido Física para para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Exercícios Resolvidos Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 1. Uma barra de   1,00 m  é projetada ao espaço com velocidade tão grande que seu comprimento aos olhos de um observador na Terra parece contraído para apenas   0,500 m . Determine a velocidade de percurso desta barra.

Trata-se de analisar o comportamento cinemático da barra que se move com uma velocidade elevada. Para todos os efeitos, um observador solidário à barra está em repouso em relação à ela. Por sua vez, um observador na Terra desloca-se com a velocidade que queremos determinar em relação à barra lançada ao espaço. Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 Para resolver este problema, usamos a fórmula que relaciona os comprimentos medidos em dois referenciais que estão a velocidades diferentes. Como visto em sala de aula, a relação entre os comprimentos medidos por um referencial S’   que se move com velocidade V  em relação a um referencial  S  em repouso é ∆ LS ' = ∆ LS  ⋅

1−

V  c

2

2

=

∆ LS 

γ  

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 É importante ter clareza aqui que neste problema  S’  é o observador na Terra e S  o observado solidário à barra. Assim, temos que

∆ LS ' =

m ∆ LS  = 1,00

0,500

m

Assim, temos que

0,500 = 1,00 ⋅ 1 −

V 2 c

2

=

1,00

γ  

⇒

=

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

2,00

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 Com o valor de γ   γ   determinado, é possível calcular a velocidade com que se move a barra. Assim, temos que γ  =

1 1−

=

V  c

2

2

2,00

⇒

1−

V  c

2

2

=

0,250 ⇒

Assim, temos que

V  = 0,867 ⋅ c Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

V  c

2

2

=

0,750

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 2. Um foguete possui na Terra um comprimento de  100 m . Quando está voando o seu comprimento é de  99,0 m  para um observador situado na Terra. Determine o valor de sua velocidade.

Trata-se, como no problema anterior, de analisar o comportamento cinemático do avião que se move com uma velocidade elevada. Para todos os efeitos, um observador solidário ao avião está em repouso em relação à ele. Por sua vez, um observador na Terra desloca-se com a velocidade que queremos determinar em relação ao avião. Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 Para resolver este problema, usamos a fórmula que relaciona os comprimentos medidos em dois referenciais que estão a velocidades diferentes. Como visto em sala de aula, a relação entre os comprimentos medidos por um referencial S’   que se move com velocidade V  em relação a um referencial  S  em repouso é ∆ LS ' = ∆ LS  ⋅

1−

V  c

2

2

=

∆ LS 

γ  

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 É importante ter clareza aqui que neste problema  S’  é o observador na Terra e S  o observado solidário ao avião. Assim, temos que

∆ LS ' = 99,0

m ∆ LS  = 100

m

Assim, temos que

99,0 = 100 ⋅ 1 −

V  c

2

2

=

100

γ  

⇒

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

= 1,01

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 Com o valor de γ   γ   determinado, é possível calcular a velocidade com que se move a barra. Assim, temos que γ  =

1 1−

V  c

2

2

= 1,01

⇒

1−

V  c

2

2

=

0,980 ⇒

Assim, temos que

V  = 0,141 ⋅ c Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

V  c

2

2

=

0,0199

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 3. Um foguete deixa a Terra com uma velocidade de  0,980 ⋅ c . Um observador situado na Terra mede o tempo que o ponteiro dos minutos de um relógio da nave leva para efetuar uma revolução completa. Determine o valor deste tempo.

Trata-se, como no problema anterior, de analisar o comportamento cinemático do avião que se move com uma velocidade elevada. Para todos os efeitos, um observador solidário ao foguete está em repouso em relação à ele. Por sua vez, um observador na Terra desloca-se com a velocidade de  0,980⋅ ⋅ c  . Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 Neste caso, queremos determinar o tempo medido por um observador na Terra após o observador no foguete ter observado que o relógio marcou a passagem de   1 hora (uma revolução completa no ponteiro dos minutos). Como visto em sala de aula, a relação entre os tempos medidos por um referencial S’   que se move com velocidade V  em relação a um referencial S  em repouso é ∆t S ' = γ  ⋅ ∆t S  =

1 1−

V  c

2

⋅ ∆t S 

2

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 É importante ter clareza aqui que neste problema  S’  é o observador na Terra e S  o observado solidário ao avião. Assim, temos que

∆t S  = 1,00

V  = 0,980 ⋅ c

hora

Assim, temos que γ  =

1

 V   1−     c  

= 2

1

 0,980 ⋅ c  1−     c  

2

⇒

= 5,03

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 γ   determinado, é possível calcular o Com o valor de γ   tempo que o observador em S’ (na Terra) mede no relógio do foguete. Assim, temos que ∆t S ' =

⋅ ∆t S  = 5,03 ⋅1,00

∆t S ' = 5,03

⇓

horas

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 4. Um avião faz a volta em torno da Terra com uma velocidade de  300 m/s . Determine o número de anos antes que um relógio no avião e outro na Terra difiram de  1,00 s .

Neste caso trata-se de analisar o comportamento cinemático de um relógio dentro de um avião viajando a 300  m/s com outro na Terra. Fazemos a suposição que antes do avião decolar o relógio na Terra e aquele no avião foram sincronizados. Também neste caso um observador solidário ao avião está em repouso em relação a ele. Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 Também aqui um observador na Terra desloca-se com a velocidade de  300 m/s em relação ao avião. Para resolver este problema, usamos a fórmula que relaciona os tempos medidos em dois referenciais que estão a velocidades diferentes. Como visto em sala de aula, a relação entre os tempos medidos por um referencial S’   que se move com velocidade V  em relação a um referencial S  em repouso é ∆t S ' = γ  ⋅ ∆t S  =

1 1−

V  c

2

⋅ ∆t S 

2

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 Como o relógio na Terra viaja a  300 m/s  em relação ao relógio no avião, então o tempo se dilatará para o observador na Terra, tal que ∆t T  =

1

  300   1−   8 3 , 00 10 ×    

2

⋅ ∆t  A

⇒

∆t T  ≈ ∆t A

∆t T  ≠ ∆t  A

Em 1 ANO (1 ANO = 3,11×  ×1   0 6  s ), os dois relógios vão diferir de Assim, para que a diferença entre eles seja de  1,00 s , o número de anos deve ser igual a Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 5. Um homem deixa a Terra em um foguete que faz uma viagem de ida e volta à estrela mais próxima distante   4,00  anos ⋅l  uz  com uma velocidade de   0,900 ⋅ c.  No seu retorno determine o tempo que ele é mais jovem do que seu irmão gêmeo que permaneceu na Terra.

Neste caso trata-se de analisar o comportamento cinemático do irmão gêmeo que viaja ao espaço com velocidade   0,900⋅ ⋅ c    comparando sua idade com a do irmão gêmeo que fica na Terra. Fazemos a suposição que antes do foguete decolar os dois irmãos gêmeos tenham a mesma idade. Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 Neste caso o irmão gêmeo solidário ao foguete está em repouso em relação a ele. Por outro lado, o irmão gêmeo que ficou na Terra desloca-se com a velocidade de   0,900⋅ ⋅ c   em relação ao seu irmão que viaja no foguete. Para resolver este problema, usamos a fórmula que relaciona os tempos medidos em dois referenciais que estão a velocidades diferentes. Como visto em sala de aula, a relação entre os tempos medidos por um referencial S’   que se move com velocidade V  em relação a um referencial S  em repouso é Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 ∆t S ' = γ  ⋅ ∆t S  =

1 1−

V  c

2

⋅ ∆t S 

2

Como o irmão gêmeo que fica na Terra viaja a  0,900⋅ ⋅ c  em relação ao irmão que está no foguete, então o tempo se dilatará para o irmão gêmeo na Terra, tal que ∆t GT  =

1

 0,900 ⋅ c  1−     c  

2

⋅ ∆t GF 

⇒

∆t GT  =

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

2,29 ⋅ ∆t GF 

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 Precisamos calcular agora quanto tempo durou a viagem do irmão gêmeo que está no foguete. Como a estrela para a qual o irmão gêmeo do foguete se destinou está a  4,00 anos⋅ ⋅l  uz da Terra e como ele se desloca a   0,900c, então o tempo de viagem deste gêmeo (ida e volta até a estrela) é ∆t GF  =

2⋅

4,00 0,900 ⋅ c

anos ⋅ c

⇒

∆t GF  = 8,89

anos

Por sua vez, para o gêmeo que ficou na Terra, o tempo que seu irmão demorou para ir e vir da estrela a   4,00  anos⋅ ⋅l  uz é dado por Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1

∆t GT  =

  t GT  2,29 ⋅ ∆t GF  ⇒ ∆

=

20,4

anos

Assim, o diferença entre estes dois tempos é o quanto o irmão gêmeo que ficou no foguete é mais jovem do que aquele que ficou na Terra.

∆t  =

20,4 − 8,89

⇒

∆t  = 11,5

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

anos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 6. Certa partícula possui vida média igual a   1,00 × 10 -7  s  quando medida em repouso. Determine o valor desta vida média caso a sua velocidade no instante de sua criação for igual a 0,990 ⋅ c. 

Neste caso trata-se de analisar o comportamento cinemático dos “dois relógios” naturais, um no referencial da partícula em repouso e outro no referencial da partícula em movimento com velocidade  V = 0,990⋅ ⋅ c  . Tanto o tempo medido em repouso quanto aquele medido em movimento dizem respeito à medidas feitas no referencial do laboratório. Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 Como visto em sala de aula, a relação entre os tempos medidos por um referencial S’   que se move com velocidade V  em relação a um referencial S  em repouso é ∆t S ' = γ  ⋅ ∆t S  =

1 1−

V  c

2

⋅ ∆t S 

2

O tempo de vida médio obtido com a partícula em repouso corresponde ao tempo medido no referencial S’, já que este referencial está solidário à partícula. Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 É importante ter clareza aqui que neste problema  S’  é o observador no laboratório e S   o observado solidário à partícula. Assim, temos que

∆t S  = 1,00 × 10

−7

s V  = 0,990 ⋅ c

Assim, temos que γ  =

1

 V   1−     c  

= 2

1

 0,990 ⋅ c  1−     c  

2

⇒

=

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

7,09

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 γ   determinado, é possível calcular o Com o valor de γ   tempo que o observador em S’ (na Terra) mede no relógio do foguete. Assim, temos que

7,09 ⋅1,00 × 10 −7

∆t S ' = γ  ⋅ ∆t S  =

∆t S ' =

7,09 × 10

⇓

−7

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

s

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Introdução 2. Conceitos de Relatividade 3. Radiação de Corpo Negro 4. Propriedades Corpusculares da Radiação 5. Propriedades Ondulatórias da Matéria 6. Conceitos de Mecânica Quântica 7. Modelos Atômicos 8. Átomos de Muitos Elétrons e Moléculas 9. Introdução à Física do Estado Sólido Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Exercícios da Lista 2 1. Em que comprimento de onda um irradiador de cavidade a   6000 K  irradia mais energia por comprimento de onda? Justifique a sua resposta.

Um irradiador de cavidade é uma outra forma de se referir a um corpo negro. Por outro lado, a energia por comprimento de onda é proporcional à radiância espectral R λ λ.  Desta forma o problema nada mais pede do que o comprimento de onda na qual a radiância espectral emitida por um corpo negro é máxima. Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Exercícios da Lista 2 λ )  = I λ  λ )      de um Abaixo mostramos espectros de R λ λ(    λ  λ(    λ  corpo negro para várias temperaturas.

⋅ = T  b  MAX  b = 2,89 × 10

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

−3

m ⋅ K 

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Exercícios da Lista 2 Para determinar este comprimento de onda onde a radiação emitida seja máxima usamos a Lei de Deslocamento  de Wien .

λ  MAX  ⋅ T  = b

b = 2,89 ×10

−3

m ⋅ K 

No problema em questão temos que T = 6000 K , o que nos conduz ao seguinte resultado para o comprimento de onda onde a radiação emitida pelo irradiador é máxima

λ  MAX 

=

481

nm

azul

455

nm ≤ λ azul

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

≤

492

nm

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Exercícios da Lista 2 3. Um irradiador de cavidade a  6000 K  tem um orifício de 0,10 mm  de diâmetro feito em sua parede. Determine a potência irradiada através do orifício a) no intervalo de comprimentos de onda entre 550  e 552  nm .

Queremos determinar a potência irradiada por um orifício, que neste caso representa o corpo negro. A radiância é definida como sendo a energia irradiada por unidade de área, por unidade de tempo. Assim, a radiância nada mais é do que a potência irradiada por unidade de área. Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Exercícios da Lista 2 Assim, como a área do orifício é A = π⋅ D2   /4 , onde D  é o seu diâmetro, temos que P =  R ⋅ A =

 R ⋅ π  ⋅ D

2

4

Por sua vez, a radiância é determinada através da integração da radiância espectral no intervalo de comprimentos de onda solicitado, isto é  R =

∫

λ 2

λ 1

 Rλ  (λ ) ⋅ d λ 

Vamos usar nesta equação a fórmula de R λ λ(  λ )      obtida   λ  por Planck  para a radiação de corpo negro. Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Exercícios da Lista 2 Desta forma, usamos  Rλ  (λ ) =

2 ⋅ π  ⋅ h ⋅ c 2

λ 5

⋅

1

   h ⋅ c     − 1 exp λ  k  T  ⋅ ⋅     B   

Substituímos então a fórmula de Planck  e calculamos a radiância no intervalo de comprimentos de onda solicitado.  R =

∫

λ 2

λ 1

2 ⋅ π  ⋅ h ⋅ c 2 5

λ 

⋅

1

   h ⋅ c     − 1 exp   λ ⋅ k  B ⋅ T   

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

⋅ d λ 

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Exercícios da Lista 2 Aqui nós observamos que o intervalo de comprimentos de onda solicitado é de apenas 2 nm  (de 550  a 552 nm ) Para intervalos de comprimentos de onda suficientemente pequenos (como é o caso neste problema), podemos aproximar o resultado da integral por  R =

∫

λ 2

λ 1

2 ⋅ π  ⋅ h ⋅ c 2

λ 5

⋅

1

   h ⋅ c     − 1 exp ⋅ ⋅ λ  k  T      B   

⋅ d λ  =

()

Rλ  λ  ⋅ ∆λ 

Nesta equação λ  λ   = 551 nm   é a média do intervalo de comprimentos de onda considerado e ∆λ  = 2 nm . Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Exercícios da Lista 2 Assim, obtemos então o seguinte resultado para a potência irradiada pelo orifício P=

2 ⋅ π  ⋅ h ⋅ c 2 5

λ 

⋅

1

   h ⋅ c     − 1 exp   λ ⋅ k  B ⋅ T   

⋅

π  ⋅ D 2 4

⋅ ∆λ 

  ,   c = 3,00 ×  ×1   0 -34  J ⋅ ⋅s ×1   0 8  m/s , λ  λ   = 551 Usamos  h = 6,63 ×  nm , k B  = 1,38 ×  ×1   0 -23  J/K , T = 6000 K , D = 0,10 mm , ∆λ  = 2 nm , e obtemos

P = 1,50

mW 

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Exercícios da Lista 2 3. Um irradiador de cavidade a  6000 K  tem um orifício de 0,10 mm  de diâmetro feito em sua parede. Determine a potência irradiada através do orifício b) no intervalo de comprimentos de onda entre 200  e 800  nm .

Neste caso, não podemos simplificar o cálculo da integral. Para tanto devemos resolver a integral nos limites solicitados pelo problema.  R =

∫

λ 2

λ 1

2 ⋅ π  ⋅ h ⋅ c 2 5

λ 

⋅

1

   h ⋅ c     − 1 exp k  T  λ  ⋅ ⋅  B      

⋅ d λ 

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Exercícios da Lista 2 Esta integral não tem solução analítica e para o seu cálculo devemos fazê-lo através de métodos numéricos. Assim, nos limites entre 200 nm  e 800 nm , obtemos P=

π  ⋅ D 2 4

2

⋅ 2 ⋅ π  ⋅ h ⋅ c ⋅

∫

800 nm

200 nm

1

1

λ 5 

  h ⋅ c     − 1  λ ⋅ k  B ⋅ T   

⋅ d λ  =

exp 

Para resolver esta integral, fazemos a seguinte mudança de variável  x(λ ) =

h⋅c

λ ⋅ k  B ⋅ T 

λ ( x ) =

h⋅c  x ⋅ k  B ⋅ T 

d λ  = −

h⋅c

⋅

1

k  B ⋅ T   x

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

2

⋅ dx

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Exercícios da Lista 2 λ  e d λ  λ  na integral e Substituímos a expressão para λ  obtemos a seguinte expressão para a potência P=

π 2 ⋅ D 2 ⋅ k  B4 ⋅ T 4 3

2⋅h ⋅c

2

⋅

12, 0

 x

3, 00

 x

∫

e

3

−1

⋅ dx

Para determinar os limites de integração, usamos  x(λ ) =  xmin

=

h⋅c

λ men

λ ⋅ k  B ⋅ T  h⋅c

λ mai ⋅ k  B ⋅ T 

=

 xmax

200

=

nm

h⋅c

λ men ⋅ k  B ⋅ T 

λ mai  xmin

= 800

= 3,00

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

nm

 xmax

= 12,0

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Exercícios da Lista 2 Calculamos a integral numericamente e obtemos 12 , 0

 x

3, 00

 x

∫ [e

3

]

−1

⋅ dx =

a

  ,   c = 3,00 ×  Usamos  h = 6,63 ×  × 10 -34  J ⋅ ⋅s ×1   0 8  m/s ,  D = 0,10  mm , k B  = 1,38 ×  ×1   0 -23  J/K , T = 6000 K  e obtemos

P=

π 2 ⋅ D 2 ⋅ k  B4 ⋅ T 4 3

2⋅h ⋅c

2

⋅

 x

12, 0

∫

3, 00

 x

e

3

−1

⋅ dx

P = 8,84 ×10

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

−2

⋅a

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Exercícios da Lista 2 3. Admita que o Sol comporte-se como um corpo negro. a) Supondo que a temperatura da superfície do Sol é  5700  K , use a  Lei de Stefan-Boltzmann  para determinar a massa de repouso perdida por unidade de tempo pelo Sol na forma de radiação eletromagnética. Para este cálculo, considere que o diâmetro do Sol seja 1,40 × 10 9  m .

A Lei de Stefan-Boltzmann relaciona a intensidade da radiação eletromagnética irradiada pelo corpo negro com a temperatura.

4

 R = σ  ⋅ T 

σ  = 5,67 ×10 −8

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

W  / m

2

4

⋅ K 

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Exercícios da Lista 2 Calculamos então a intensidade de radiação irradiada pelo Sol, considerando que sua temperatura seja de 5700 K.

 R = 5,99 ×10

7

W  / m

Como já visto antes, podemos calcular a potência irradiada pelo Sol multiplicando a radiância pela área do Sol. Em termos do seu diâmetro, a área do Sol é dada por d  Logo, temos que r  = 2

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

2

P =  R ⋅ A 2

 A = 4 ⋅ π  ⋅ r SOL 2

P =  R ⋅ π  ⋅ d 

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Exercícios da Lista 2 Como  d = 1,40×  ×1   0 9  m, temos que a potência irradiada é igual a P = 3,69 ×10 26

W 

A hipótese é que a energia irradiada associada a esta potência seja transformada em perda de massa do Sol.  E  = m ⋅ c

2

∆ E  = ∆m ⋅ c

2

P=

∆ E  ∆t 

=

∆m ∆t 

⋅c

2

Igualamos esta potência relativística com a potência irradiada pelo corpo negro e determinamos então a taxa de perda de massa ∆ m/ ∆ t. Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Exercícios da Lista 2 ∆m ∆t 

2

⋅ c = 9,22 × 10

25

∆m ∆t 

=

Usamos  c = 3,00 ×  ×1   0 8  m/s , e obtemos 4,08 ×109

kg  / s

b) Que fração da massa de repouso do Sol é perdida cada ano sob forma de radiação eletromagnética? Para este cálculo considere a massa do Sol como sendo 2,00 × 10 30  kg .

Com o valor da taxa de perda de massa calculada acima, podemos determinar a massa do Sol perdida em um ano. Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Exercícios da Lista 2 Para isto, basta fazer ∆ t = 1 ano = 3,15×  ×1   07  s. Assim, temos que em um ano a massa perdida é igual a 17

∆m = 1,29 × 10

kg

A fração de massa perdida pelo Sol em forma de radiação é então f = ∆ m/M SOL. Considerando M SOL = 2,00×  ×1   0 30  kg temos que

 f  = 6,44 × 10

−14

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Introdução 2. Conceitos de Relatividade 3. Radiação de Corpo Negro 4. Propriedades Corpusculares da Radiação 5. Propriedades Ondulatórias da Matéria 6. Conceitos de Mecânica Quântica 7. Modelos Atômicos 8. Átomos de Muitos Elétrons e Moléculas 9. Introdução à Física do Estado Sólido Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 3 1. A energia necessária para que um elétron seja removido do sódio é  2,30 eV . O sódio apresenta Efeito Fotoelétrico para a luz amarela com comprimento de onda λ  = 589 nm ?

Queremos saber se ao incidir luz de comprimento de ≤    λ  ≤   λ  = 589 nm  (amarela ⇒ 565 nm ≤ λamarela    ≤   590 nm ) estes onda λ  fótons terão energia suficiente para retirar elétrons de uma placa de sódio. Para isto usamos o balanço de energia para o  Efeito  Fotoelétrico  e calculamos o valor do potencial de corte V 0 . Se V 0  > 0 , então ocorre Efeito Fotoelétrico  e se V 0  < 0 , então tal efeito não se manifesta. Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 3 Abaixo mostramos o gráfico de V 0   em função da ν que incide sobre um dado metal. frequência da luz ν 

e ⋅ V 0

=

h ⋅ν  − E 0

ν  = Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

c

λ 

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 3 O balanço de energia imposto ao  Efeito Fotoelétrico  conduz à seguinte relação entre o potencial de corte V 0  e o comprimento de onda da luz incidente λ  λ 

e ⋅ V 0

=

h⋅c

λ 

− E 0

Nesta equação E 0  é a chamada  função trabalho , que significa a menor energia que prende um elétron ao metal, ou a menor energia necessária para liberar o elétron do metal. Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 3 Deduzimos então que para o problema proposto temos que E 0  = 2,30 eV = 3,68 ×  ×1   0 -19  J .   ,  c = 3,00 ×  ×1   0 -19  C , h = 6,63 ×  ×1   0 -34  J ⋅ ⋅s ×1   0 8  Usamos e = 1,6 ×  m/s  e neste caso temos que λ  λ = 589 nm . Obtemos então o seguinte valor para V 0 

V 0 = −0,19

V 

V 0 < 0

Desta forma concluímos que quando incidimos luz de comprimento de onda   589 nm   sobre uma placa de sódio, NÃO  ocorre Efeito Fotoelétrico . Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 3 2. Luz de comprimento de onda  200 nm  incide sobre uma superfície de alumínio. Para o alumínio, são necessários  4,2 eV  para remover um elétron. a) Qual a energia cinética do elétron mais rápido emitido?

Como vimos, elétrons fotoejetados com maior velocidade (mais rápidos) são aqueles associados ao potencial de corte V 0.

K  MAX  = e ⋅ V 0 = h ⋅ν  − E 0 Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 3 Assim, para determinar a energia cinética do elétrons mais rápido, precisamos conhecer o valor do potencial de corte V 0.

e ⋅ V 0 = h ⋅ν  − E 0

ν  =

c

λ 

e ⋅ V 0 =

h⋅c

λ 

− E 0

O problema informa que são necessários   4,2 eV   para retirar um elétron do alumínio. Isto significa que a função trabalho do alumínio é ×1   0-19  J . igual a este valor, ou seja, E0 = 4,20 eV = 6,73×  Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 3 Assim, usamos os valores das constantes do   ,  c = 3,00 ×  problema e = 1,6 ×  × 10 -19  C , h = 6,63 ×  ×1   0 -34  J ⋅ ⋅s ×1   0 8  m/s  e λ = 200 nm . neste caso temos que λ    0    Obtemos então o seguinte valor para e ⋅ ⋅V

e ⋅ V 0 = K  MAX  = 3,23 × 10 K  MAX 

=

2,02

−19

eV 

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

 J 

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 3 2. Luz de comprimento de onda  200 nm  incide sobre uma superfície de alumínio. Para o alumínio, são necessários  4,20 eV  para remover um elétron. b) Qual a energia cinética do elétron mais lento emitido?

Elétrons são fotoejetados com uma distribuição de velocidades que vai desde a mais baixa (v = 0) até a mais alta, calculada a partir da energia cinética máxima. Desta forma, o elétron mais lento (não) sai do alumínio com velocidade nula, e portanto sua energia cinética também é zero.

K  MIN  = 0

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 3 2. Luz de comprimento de onda  200 nm  incide sobre uma superfície de alumínio. Para o alumínio, são necessários  4,2 eV  para remover um elétron. c) Qual o valor do potencial de corte?

Como vimos, existe uma relação direta entre a energia cinética máxima dos elétrons fotoejetados e o potencial de corte V  o. Já determinamos o valor de  K  MAX  e obtemos o valor   3,23×  ×1   0-19  J  ou  2,02 eV .

K  MAX  = e ⋅ V 0

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 3 Assim, usamos os valores das constantes do problema  e = 1,6 ×  ×1   0 -19  C   e determinamos facilmente o valor de V0. Obtemos então o seguinte valor para V 0 

e ⋅ V 0

=

K  MAX  V 0

=

= 3,23 × 10

2,02

−19

V 

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

 J 

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 3 2. Luz de comprimento de onda  200 nm  incide sobre uma superfície de alumínio. Para o alumínio, são necessários  4,2 eV  para remover um elétron. d) Qual o comprimento de onda limite para o alumínio?

Para determinar o comprimento de onda de corte do alumínio, usamos a equação do balanço de energia do efeito fotoelétrico.

e ⋅ V 0 =

h⋅c

λ 

Para

− E 0

o caso limite, fazemos V 0 = 0 e obtemos então

Física para para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Exercícios Resolvidos Resolvidos

λ C  =

h⋅c  E 0

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 3 Assim, usamos os valores das constantes do 10 -19  C , h = 6,63 ×  1  0 -34  J ⋅ ⋅s  s  ,  c = 3,00 ×  1  0 8  m/s  e problema e = 1,6 ×   e × 10  ×10  ×10  10 -  × 10  neste caso para o alumínio temos que E 0  = 4,20 eV = 6,72 ×  19  J . Obtemos então o seguinte valor para V 0 

λ C  = 294

 nm

ultravioleta

Física para para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Exercícios Resolvidos Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 3 3. O potencial de corte para elétrons emitidos por uma superfície atingida por luz de comprimento de onda   491 nm  é 0,71 V . Quando se muda o comprimento de onda da radiação incidente encontra-se para este potencial um valor de   1,42 V . Qual é o valor do comprimento de onda da luz?

Neste problema não conhecemos o metal sobre o qual incidimos luz, mas por outro lado conhecemos tanto o valor do potencial de corte V 0   = 0,71 V , bem como o  = 491 nm . comprimento de onda utilizado λ  λ = Usamos então o balanço de energia para o Efeito Fotoelétrico para determinar o valor da função trabalho E 0 . Física para para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Exercícios Resolvidos Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 3 Abaixo mostramos o gráfico de V 0   em função da ν que incide sobre um dado metal. frequência da luz ν 

e ⋅ V 0 = h ⋅ν  − E 0

e ⋅ V 0 = Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

h⋅c

ν  =

c

λ 

− E 0

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 3   ,  c = 3,00 ×  Usamos e = 1,6 ×  ×1   0 -19  C , h = 6,63 ×  ×1   0 -34  J ⋅ ⋅s ×1   0 8  m/s  e neste caso temos que V 0  = 0,71 V  e λ  λ = 491 nm . Obtemos então o seguinte valor para E 0 

 E 0

=

2,91×10

−19

 J 

 E 0

= 1,82

eV 

Conhecido o valor da função trabalho E 0 , voltamos ao balanço de energia e podemos calcular o valor do λ quando V 0  = 1,42 V . comprimento de onda λ  e ⋅ V 0 =

h⋅c

λ 

− E 0

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 3   ,  c = 3,00 ×  Usamos e = 1,6 ×  ×1   0 -19  C , h = 6,63 ×  ×1   0 -34  J ⋅ ⋅s ×1   0 8  m/s   e neste caso temos que V 0  = 1,42 V  e  E = 2,91×  ×1   0 -19  J =  1,82 eV . λ  Obtemos então o seguinte valor para λ 

= 384

nm

ultravioleta UV 

≤ 390

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

nm

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 3 13. Fótons com comprimento de onda  2,40 ×  × 10  10 -12 m  incidem sobre elétrons livres. a) Determine o comprimento de onda de um fóton que é °  em relação à direção de espalhado de um ângulo de 30 °  incidência, e a energia cinética transmitida ao elétron.

Para resolver este problema começamos usando a fórmula obtida por   Compton   para comprovar o efeito que leva o seu nome.

∆

= λC

C  ⋅

(1 − cos θ )

λ C  =

h m0 ⋅ c

=

2,43 ×10 −12

⇒ comprimento de onda de Compton Física para para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Exercícios Resolvidos Resolvidos

m

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 3 Na equação acima, θ  θ   é o ângulo entre a radiação ’  )e espalhada (de comprimento de onda λ  )  e a radiação incidente λ’  λ), (de comprimento de onda λ  )  , como mostra a figura abaixo, a qual ilustra o Efeito Compton .  = 30 °  Para θ  θ = °,  temos então que

∆λ  = 3,26 × 10

−13

m

Sabemos que ∆λ  =  λ  λ’  –  λ  λ,  logo, temos que −12

λ ' = 2,76 ×10  

m

Raios-X 

Física para para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Exercícios Resolvidos Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 3 13. Fótons com comprimento de onda 2,40 ×  × 10  10 -12 m  incidem sobre elétrons livres. °.  b) Faça Faça o mesmo para um ângulo de espalhamento de 150 ° 

Repetimos o mesmo procedimento Repetimos procedimento usado na prim primeira eira parte deste problema e encontramos

∆λ  =

4,53 × 10

λ ' = 6,96 ×10

−12

−12

Raios-X  Física para para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Exercícios Resolvidos Resolvidos

m m

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Introdução 2. Conceitos de Relatividade 3. Radiação de Corpo Negro 4. Propriedades Corpusculares da Radiação 5. Propriedades Ondulatórias da Matéria 6. Conceitos de Mecânica Quântica 7. Modelos Atômicos 8. Átomos de Muitos Elétrons e Moléculas 9. Introdução à Física do Estado Sólido Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 4 2. O comprimento de onda da emissão espectral amarela de sódio é 589 nm . Com que energia cinética um elétron livre tem o mesmo comprimento de onda de De Broglie ?

λ  DB

O comprimento de onda de De Broglie é dado por    é a ×1   0 -34  J ⋅ ⋅s Nesta equação   h = 6,63 ×  h constante de Planck  e p   é o momento linear = da partícula (neste caso, o elétron).

 p

Neste caso, temos que λ  λDB     = 589 nm , e com isto obtemos

 p = 1,13 ×10

−27

kg ⋅ m / s

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 3 Desejamos determinar a energia cinética de um elétron livre que tem o momento linear determinado acima. Sabemos que para um elétron livre a sua energia cinética é dada por

K  =

 p

2

2 ⋅ me

×1   0 -31 kg , e   Consideramos m e   = 9,11×  com isto obtemos 25

K  = 6,96 ×10− K  = 4,35

 J  eV 

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 4 6. O espaçamento planar principal em um cristal de KCl  é 0,314 nm . Compare o ângulo de reflexão de Bragg de primeira ordem por esses planos, de elétrons livres com energia cinética de 40 keV com o de fótons de energia 40 keV .

Como vimos, a condição de  reflexão de Bragg  é dada por

 θ   n ⋅ λ  = d  ⋅ cos   2  Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 4 Nesta equação n  é a ordem de reflexão, λ  λ  é o comprimento de onda do θ     objeto a ser refletido, d  é o n ⋅ λ  = d  ⋅ cos  espaçamento entre os planos do cristal  2  usado e θ  θ é o ângulo de reflexão. Precisamos então determinar o comprimento de onda tanto do feixe de fótons, quanto do feixe de elétrons, e a partir disto, determinar o ângulo de reflexão para cada caso. Para os fótons a relação entre h⋅c  E F  = h ⋅ν  = energia e comprimentos de onda é λ F  dada por Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 4 Para o cálculo de λ  λF    , usamos os valores das     e   c = 3,00 ×  constantes   h = 6,63 ×  ×1   0 -34  J ⋅ ⋅s ×1   0 8  m/s , além de ×1   0 -15  J , e neste caso termos que E F   = 40,0 keV = 6,40 ×  obtemos

λ F  = 3,11×10−11

m

Substituímos este valor de na condição de reflexão de Bragg com n = 1 e d = 0,314 nm  e obtemos

 θ F   cos  = 0,0990   2  

θ F  = 169o

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 4 Para o cálculo de λ  λ e , usamos o fato que toda energia do elétron é cinética, e assim podemos determinar o seu momento linear através da equação

K  =

 p

2

2 ⋅ me

×1   0 -31 kg   e para a Usamos m e  = 9,11×  energia cinética K e  = 40 keV = 6,40 ×× 1  0 -15  J  obtemos

 p = 1,08 ×10

λ  DB

=

h  p

−22

kg ⋅ m / s

Usamos então a fórmula de De  Broglie   para determinar o comprimento de onda do elétron. Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 4    e obtemos então Usamos h = 6,63 ×  ×1   0 -34  J ⋅ ⋅s

λ e

= 6,14 ×10

−12

m

Substituímos este valor de na condição de reflexão de  Bragg  com n = 1 e d = 0,314 nm  e obtemos

 θ e   cos  = 0,196   2  

θ e

o

= 157

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 4 12. Determine a incerteza na medida da velocidade de uma partícula quando a incerteza na medida de sua posição é aproximadamente igual ao seu   comprimento de onda de De  Broglie .

Usamos aqui o  Princípio da Incerteza de Heisenberg  no limite de sua igualdade, isto é

∆ p ⋅ ∆x = h O texto do problema afirma que

∆ x = λ  DB =

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

h  p

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 4 Desta forma, temos que Sabemos também ∆ p ⋅ =h= = que a relação entre o  p 2 ⋅ π   p 2 ⋅ π  momento linear de uma partícula de massa m e  p = m ⋅ v ∆ p = m ⋅ ∆v sua velocidade é dada por

h

h

∆ p

1

Assim, temos que ∆ p

 p

=

m ⋅ ∆v

∆v

m⋅v

v

=

1 2 ⋅ π 

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

∆v =

v

2 ⋅ π 

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 4 17. A energia de uma partícula em um movimento harmônico linear é  E  =

 p

2

2⋅m

+

1 2

2

⋅ m ⋅ ω  ⋅ x

2

Nesta equação  p  é o momento linear da partícula,  m  a sua massa e ω  a sua frequência angular. a) Determine o valor da distância a  que minimiza a energia da partícula.

a) Admitimos que a partícula em movimento harmônico oscila em um intervalo definido. Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 4 Este intervalo está associado à curva de energia potencial associada ao movimento desta partícula.

U ( x) =

1 2

2

⋅ m ⋅ ω  ⋅ x

2

Do gráfico e do tipo de movimento executado pela partícula, temos que se soltarmos a partícula de uma posição x = a , ela oscilará em posições no intervalo –a ≤   ≤ x     ≤   ≤+a     . Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 4 Assim, a incerteza na medida da posição desta partícula admite o valor do próprio intervalo, isto é ∆ x = 2 ⋅ a

Por sua vez, dada a característica do movimento, também podemos afirmar que a incerteza da medida de seu momento linear é igual à medida do próprio momento linear, isto é

∆ p =  p

Para provar este resultado, veja o Exercício 12 desta lista.

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 4 Usamos então o Princípio da Incerteza de Heisenberg para procurar uma relação entre o momento linear da partícula e a amplitude de sua oscilação.

∆ p ⋅ ∆x = h ∆ x =

 p =

2 ⋅ a ∆ p = p h

2⋅a

Lembremos os resultados encontrados para a incerteza na medida da posição e do momento linear da partícula.

Obtemos então a relação entre p  e  a , dada ao lado. Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 4 Substituímos este resultado na equação da energia total da partícula em oscilação, e encontramos uma expressão desta energia em termos do parâmetro a.  E (a ) =

h

2

8 ⋅ m ⋅ a2

2

+ 2 ⋅ m ⋅ ω  ⋅ a

2

Para saber qual o valor da distancia a que minimiza esta energia, basta derivar E(a) em relação ao parâmetro a e igualar este resultado a zero. Encontramos então a relação

dE (a ) da

=−

h

2

4 ⋅ m ⋅ a3

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

2

+ 4 ⋅ m ⋅ ω  ⋅ a = 0

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 4 Obtemos então o seguinte resultado para o parâmetro a que minimiza a energia do oscilador

a MIN  =

É possível mostrar que este resultado implica que a segunda 4 ⋅ m ⋅ ω  derivada Encontramos então a relação h

Para saber qual o valor da distancia a que minimiza esta energia, basta derivar E(a) em relação ao parâmetro a e igualar este resultado a zero. Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 4 17. A energia de uma partícula em um movimento harmônico linear é  E  =

 p

2

2⋅m

+

1 2

2

⋅ m ⋅ ω  ⋅ x

2

Nesta equação  p  é o momento linear da partícula,  m  a sua massa e ω  a sua frequência angular. b) Determine este valor de mínima energia.

a) Admitimos que a partícula em movimento harmônico oscila em um intervalo definido. Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Introdução 2. Conceitos de Relatividade 3. Radiação de Corpo Negro 4. Propriedades Corpusculares da Radiação 5. Propriedades Ondulatórias da Matéria 6. Conceitos de Mecânica Quântica 7. Modelos Atômicos Clássicos e Semiclássicos 8. Átomos de Muitos Elétrons e Moléculas 9. Introdução à Física do Estado Sólido Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 6 2. Calcule a frequência de revolução de um elétron no Modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio em termos da energia total do elétron.

No Modelo de Bohr consideramos que o movimento do elétron ao redor do núcleo seja uma circunferência. Para este elétron a velocidade escalar é a razão entre o comprimento da circunferência e o período do movimento circular uniforme.

v=

2 ⋅ π  ⋅ r  T 

=

2 ⋅ π  ⋅ r ⋅  f 

⇒

 f n =

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

vn

2 ⋅ π  ⋅ r n

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 6 As expressões para de aula. r n =

4 ⋅ π  ⋅ ε 0 ⋅ h m⋅e

2

v n

e

r n  foram

2

⋅n

2

vn =

deduzidas em sala e

2

⋅

1

4 ⋅ π  ⋅ ε 0 ⋅ h n

Substituímos então os resultados mostrados acima na equação anterior.  f n =

vn

2 ⋅ π  ⋅ r n

 f n =

m⋅e

4 2

(4 ⋅ π  ⋅ ε 0 ⋅ h )

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

⋅

h

⋅

1

2 ⋅ π  n 3

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 6 Após alguma manipulação obtemos o resultado abaixo.

 f n =

2 ⋅ ε 0 e

2

⋅

2 ⋅  E n

3

m

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 6 3. Mostre que no estado fundamental do átomo de hidrogênio a velocidade do elétron pode ser escrita como  v =  α⋅ c , onde α  é a constante de estrutura fina. Calcule o valor de α  e comente este resultado..

Para obter a constante de estrutura fina partimos da expressão da velocidade do elétron no Modelo de Bohr. vn =

Multiplicamos o numerador e o ⋅ denominador da equação ao lado pela 4 ⋅ π  ⋅ ε 0 ⋅ h n velocidade da luz c   e fazemos n = 1 (estado fundamental) para obtermos o resultado esperado. e

2

1

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 6 v=

e

2

4 ⋅ π  ⋅ ε 0 ⋅ h ⋅ c

⋅c

⇒

α  =

e2

4 ⋅ π  ⋅ ε 0 ⋅ h ⋅ c

Com os valores das constantes fundamentais, calculamos o valor da constante de estrutura fina.

α  = 7,33 ×10 −3 α  =

⇒

α  ≈

1

1, logo chegamos a Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 8. INTRODUÇÃO À FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO Exercícios da Lista 8 ∆ E  =

3 ⋅ π 2 ⋅ h 2 2 ⋅ m ⋅ a2

Para os resultados numéricos, usamos  h = 6,63 ×  ×1   0 -34  J ⋅ ⋅s  ,  m = 9,11×  ×1   0 -31 kg  e a = 3,50 ×  ×1   0 -10  m , e obtemos ∆ E  = 1,48 × 10

∆ E  = 9,23

−18

 J 

eV 

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 8. INTRODUÇÃO À FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO Exercícios da Lista 8 2. O cobre é um metal formado a partir de átomos de Cu monovalentes, cuja densidade vale 8,0 g/cm3. A massa atômica dos átomos de Cu vale 64,0 g/mol. a) Determine o Nível de Fermi para este metal. b) Faça uma estimativa da largura da banda de condução para este metal.

a) Para determinar o   Nível de Fermi  do Cu  é necessário conhecer a densidade de elétrons livres, já que n=

(2 ⋅ m )3 / 2 3 ⋅ π  ⋅ h 3

3 / 2 F 

⋅ E 

 E F 

( 3 ⋅ π  ⋅ h =

3

⋅n

2⋅m

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

)

2 / 3

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 8. INTRODUÇÃO À FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO Exercícios da Lista 8 Por sua vez, o número de elétrons livres é calculado pela fórmula. n=

 N  AV  ⋅ Z  ⋅ d m

 MOL ×1   0 23  é o   Número de  Nesta equação N AV    = 6,02 ×  Avogadro , Z = 1  é a valência do Cu , d m  = 8,00 g/cm 3  é a densidade do Cu  e MOL = 64,0 g  é a massa molecular do Cu. Com os valores acima, obtemos n = 7,52 × 10

28

elétrons / m

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

3

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 8. INTRODUÇÃO À FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO Exercícios da Lista 8 Substituímos este resultado na fórmula de E F  e com   ,  m = 9,11×  os valores de h = 6,63 ×  ×1   0 -34  J ⋅ ⋅s ×1   0 -31 kg , obtemos  E F  =

(3 ⋅ π  ⋅ h

3

⋅n

2⋅m

)

2 / 3

 E F  = 4,86 × 10 −

 E F  = 3,04

19

eV 

Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos

 J