Exemplu de Proiectare Structura in Cadre Din Beton Armat

1.Tema exemplului de calcul ENCIPEDIA >EDUCATIONAL >STRUCTURI ÎN CADRE DE BETON ARMAT - EXEMPLU DE CALCUL PUBLICAT LA 24.08.2012SCRIS DE VIOREL POPA

În această secțiune se prezintă principalele etape de calcul pentru dimensionarea unei structuri în cadre de beton armat. Dimensionarea este făcută în acord cu principiile și metodele prezentate în capitolele 2 și 3. Principalele documente normative avute în vedere sunt: Codul de proiectare seismică. Partea I – prevederi de proiectare pentru clădiri, P100-1/2012 (editia revizuita a P100-1/2006, in curs de elaborare) și standardul românesc echivalent SR EN 1998-1-1:2004. Structura are formă rectangulară în plan și este alcătuită din cadre plane așezate în lungul celor două direcții principale ortogonale. În direcție longitudinală (X) structura are patru deschideri de 5,00, 6,00, 6,00 și, respectiv, 5,00m. În direcție transversală (Y) structura are trei travei de 6,00, 5,00 și, respectiv, 6,00m. Regimul de înălțime este S+P+8E, fiecare nivel având înălțimea de 3,30m. Înălțimea totală supraterană este de 29,70m. Aria construita este de 379m 2 și aria desfășurată este de 3790m2, incluzand si subsolul. Clădirea are destinația de locuințe și este amplasată în orașul București. În acest capitol se prezintă succint următoarele etape de calcul pentru structură: predimensionarea elementelor structurale, evaluarea acțiunilor, calculul structural, verificarea la deplasare laterală, dimensionarea armăturilor longitudinale și transversale în grinzi și stâlpi, verificarea nodurilor. Scopul capitolului este să prezinte o abordare inginerească, simplificată, atât în ceea ce privește procedeele de calcul adoptate cât și în ceea ce privește modul de prezentare a calculului.

2.Actiuni gravitationale ENCIPEDIA >EDUCATIONAL >STRUCTURI ÎN CADRE DE BETON ARMAT - EXEMPLU DE CALCUL PUBLICAT LA 24.08.2012SCRIS DE VIOREL POPA

1. Combinația acțiunilor care nu cuprinde acțiunea seismică

2. Combinația acțiunilor care cuprinde acțiunea seismică Principiile de combinare ale efectelor acțiunilor asupra structurii sunt date în CR0/2012. În continuare se prezintă succint, valorile estimate ale încărcărilor în două grupări: - o grupare care cuprinde numai acțiuni gravitaționale cu valorile lor maxime probabile - o grupare care cuprinde acțiunea seismică însoțită de acțiunile gravitaționale cu valoarea de lungă durată. S-au considerat următoarele ipoteze: - pe placa de nivel curent, de grosime 15cm, este așezată o șapă de 3cm și o pardoseală de 50kg/m2. Pereții de compartimentare care pot fi dispuși în orice mod pe placă s-au echivalat printr-o încărcare uniform distribuită pe placă de 150kg/m2. La intradosul plăcii s-a considerat o tencuială de 3cm grosime. Încărcarea utilă s-a luat, conform temei, de 200 kg/m2. - pe placa de la terasă acționează greutatea betonului de pantă, a ansamblului termohidroizolație, a tencuielii de la intrados și, ca acțiune variabilă, greutatea zăpezii. - pe grinzile perimetrale s-a considerat suplimentar greutatea proprie a parapetului si a aticului, la ultimul nivel.

Combinația acțiunilor care nu cuprinde acțiunea seismică

Combinația acțiunilor care cuprinde acțiunea seismică

3.Predimensionarea elementelor structurale ENCIPEDIA >EDUCATIONAL >STRUCTURI ÎN CADRE DE BETON ARMAT - EXEMPLU DE CALCUL PUBLICAT LA 24.08.2012SCRIS DE VIOREL POPA

1. Predimensionarea grinzilor 2. Predimensionarea stâlpilor

Predimensionarea grinzilor

În lipsa informațiilor privind starea de eforturi în grinzi, în această fază de proiectare, grinzile se predimensionează de regulă pe baza unui criteriu care vizează asigurarea rigidității la încovoiere a grinzilor, rezistența și ductilitatea urmând să fie asigurate prin dispunerea de armătură longitudinală și transversală. Criteriu de predimensionare cel mai utilizat este cel care leagă înălțimea secțiunii transversale a grinzilor de lumina acestora:

Grinzile au, în direcție transversală și longitudinală, deschideri maxime de 6,00m. Lumina grinzilor este mai redusă, funcție de dimensiunea secțiunii transversale a stalpilor. Dacă se consideră că stâlpii vor avea, cel mai probabil, secțiuni în intervalul 70x70cm ... 90 x90cm, lumina grinzilor poate avea între 5,10 și 5,30. Rezultă valori hw situate între 43cm și 66cm. Întrucât clădirea are un regim mediu de înălțime este amplasată într-o zonă cu seismicitate pronunțată, este probabil ca acțiunea seismică să dimensioneze elementele structurale principale. Ca urmare, pentru asigurarea rigidității structurale de ansamblu la acțiuni orizontale, se aleg valori maxime ale înălțimii transversale a grinzilor, asa cum rezulta din aplicarea relatiei de predimensionare. Ținând seama că din considerente practice hw se modulează la 5cm, se poate alege hw=65cm. Același raționament se poate face și pentru deschiderea de 5,00m rezultând hw=55cm. La stabilirea înălțimii grinzilor trebuie să se țină seama și de constrângerile de ordin arhitectural care vizează în special înălțimea liberă, măsurată sub grinzi, pentru realizarea golurilor pentru uși și ferestre sau pentru trecerea instalațiilor suspendate. Dacă, de exemplu, prin tema de arhitectură se solicită o înălțime liberă de nivel de 2,65m atunci înălțimea grinzilor trebuie limitată la 65cm. Această limitare trebuie luată în considerare sub rezerva că în cazul în care calculele ulterioare arată că structura nu poate înplini criteriile de verificare din cod privind, în special, rigiditatea și rezistența de ansamblu și mecanismul de plastificare, ea trebuie renegociată cu proiectantul de arhitectură.

Lățimea inimii grinzilor se ia egala cu jumătate până la o treime din înălțimea secțiunii tranversale, modulându-se la 5cm. Grinzile trebuie să aibă însă lățimea suficientă care să permită așezarea armăturilor longitudinale, preferabil, pe un singur rând. O lățime de 25cm nu permite practic așezarea decât a trei bare în zona curentă și numai a două bare în zonele de îmbinare prin suprapunere. De aceea, pentru structura dată se pot alege grinzi cu lațimea de 30cm. Considerentele practice de predimensionare au condus pentru toate grinzile la secțiunea de 30cm lățime și 65cm înălțime. Această secțiune poate fi majorată ulterior în special atunci când verificarea la deplasare laterală nu este îndeplinită fiind necesară creșterea rigidității structurii.

Predimensionarea stâlpilor În faza de predimensionare se urmărește limitarea efortului axial normalizat de compresiune în stâlpi pentru asigurarea ductilității acestora. Ductilitatea elementelor lungi de beton armat este strâns legată de nivelul de solicitare axială. Pentru aplicarea criteriului de predimensionare care urmărește asigurarea ductilității este necesară determinarea forței axiale în stâlp din acțiuni gravitaționale în combinația de acțiuni care cuprinde și acțiunea seismică. Pentru predimensionare se aleg trei tipuri de stâlpi: stâlpul de colț (intersecția axelor A și 1), stâlpul marginal (intersectia axelor B și 1 sau A și 2) și stâlpul central (intersecția axelor A și 2). În principiu, pentru fiecare tip de stâlp trebuie ales acela care este susceptibil să aibă forță axială maximă cauzată, de regulă, de aria aferentă mai mare. In calculul forței axiale din fiecare stâlp se consideră rezultantele încărcărilor distribuite pe placa, pe grinzile perimetrale, pe grinzile interioare și greutatea proprie a stâlpilor. Aceste rezultante se cumulează pe înălțime obținându-se forța axială la parter. Condiția de limitare a forței axiale se pune în zona plastică a stâlpului conform mecanismului de plastificare optim. În acest caz, articulațiile plastice trebuie să se formeze la baza stâlpilor de la parter. Pentru stâlpul marginal aria aferentă de planșeu, Aaf, este de 13,75m2, lungimea aferentă de grinzi este de 8,8m și lungimea aferentă de parapet este de 5,5m.

Considerând, la nivel curent, încărcarea distribuită pe placă este de 7,45kN/m 2, greutatea parapetului de 4,10kN/m, greutatea grinzilor (fără placă) de 3,38kN/m și greutatea stâlpilor de 12,2kN rezultă o încărcare colectată de stâlp de 191kN (102kN din încărcări pe placă și 89kN din restul). Prin același raționament se poate determina o încărcare colectată la nivelul terasei de 99kN. Prin cumularea acestor valori pe înălțime se construiește diagrama de forță axială. În mod similar se determină forțele axiale în stâlpul de colț și cel central. Valorile încărcărilor și ale ariilor și lungimilor aferente fiecărui tip de încărcare sunt date în tabelele următoare:

Diagramele de forță axială sunt prezentate în figură:

Secțiunile stâlpilor la parter se determină din condiția ca efortul axial mediu de compresiune, normalizat prin împărțire la fcd, să fie mai mic decât 0,25, 0,30 și 0,35 pentru stâlpul de colț, cel marginal și, respectiv, cel central. Scopul este ca, la final, după aplicarea și a încărcărilor laterale efortul axial mediu normalizat să se situeze sub 0,40 în toți stâlpii. În practică se poate merge și la valori mai mari, până la 0,55, dacă sporul de ductilitate obținut prin armarea transversală puternică în zona plastică este cuantificat prin calcul și se face verificarea explicită de ductilitate. Se subliniază însă

faptul că ductilitatea stâlpilor structurilor în cadre depinde decisiv de nivelul de încărcare axială, forțele axiale mari putând duce la ruperi fragile prin fisurare diagonală. Dacă forța axială în stâlpul marginal, la parter, este de 1095kN și valoarea de proiectare a rezistenței betonului la compresiune este de 16,67 rezultă o arie necesară de stâlp de 0,27m2. Pentru un stâlp cu secțiunea pătrată lungimea necesară a laturii secțiunii transversale, modulată la 50mm, este de 500mm sau 550mm.

4.Acțiunea seismică de proiectare ENCIPEDIA >EDUCATIONAL >STRUCTURI ÎN CADRE DE BETON ARMAT - EXEMPLU DE CALCUL PUBLICAT LA 24.08.2012SCRIS DE VIOREL POPA

1. Valoarea de proiectare a forței seismice 2. Distribuția pe verticală a forței seismice 3. Efectele torsiunii accidentale Întrucât structura analizată îndeplinește cerințele de regularitate specificate în P1001/2012 (sectiunea 4.4.3), în calculul seismic se poate aplica metoda forțelor laterale statice echivalente. În această metodă acțiunea seismică este reprezentată printr-un set de forțe laterale a căror rezultantă este valoarea de proiectare a forței seismice. Aceasta corespunde răspunsului structurii în modul fundamental.

Valoarea de proiectare a forței seismice Relația de calcul a valorii de proiectare a forței seismice este dată în capitolul 4 al P1001/2012, secțiunea 4.5. Greutatea proprie a structurii se poate calcula, în mod aproximativ, ca suma forțelor axiale din toți stâlpii, la parter (vezi predimensionarea stalpilor).

Pentru determinarea coeficientului seismic este necesar să se determine valorile factorilor care intră în relația de calcul, conform prevederilor cap. 3, 4 și 5 din P1001/2012. Amplasamentul este caracterizat de o valoare de referința a accelerației de proiectare de 0,30g și de o perioadă de colț a mișcării seismice de 1,6s. Considerând că perioadele de vibrație ale structurii în modul fundamental pe fiecare dintre direcțiile principale ale structurii sunt mai mici decât 1,6s și mai mari decât 0,16s, se alege β(T)=2,50 pentru ambele direcții. Clădirea aparține clasei III de importanța-expunere, făcând parte din categoria structurilor de importanță obișnuită, pentru care factorul γI este egal cu 1,0 (Tabelul 4.3 din P100-1/2006). Factorul de corecție care ține seama de contribuția modului fundamental prin masa modală efectivă asociată acestuia se ia egal cu 0,85 conform 4.5.3.2.2 din P1001/2006. Factorul de comportare q se alege egal cu 6,75 conform prevederilor de la 5.2.2.2 din P100-1/2006. Rezultă astfel un coeficient seismic de 9,4%.

Valoarea de proiectare a forței seismice este:

Distribuția pe verticală a forței seismice Forța astfel calculată reprezintă valoarea de proiectare a forței tăietoare la baza structurii din acțiunea seismică de proiectare. Pentru efectuarea calculului structural este necesar să se distribuie această forță pe înălțimea structurii. Primul pas, îl constituie determinarea distribuției maselor pe înălțime. Această poate fi stabilită pe baza forțelor care încarcă stâlpii prin multiplicare cu numărul de stâlpi asemenea și însumare, separat, la fiecare nivel. În mod convenabil se admite că masele structurii sunt concentrate la nivelul fiecărui planșeu. Distribuția forțelor seismice pe înălțime se poate face utilizând relațiile (4.5) sau (4.6) din P100-1/2012. Dacă masele structurii la fiecare nivel sunt apropiate ca valoare atunci relația (4.6) poate deveni:

unde zi reprezintă distanța de la nivelul teoretic de încastrare a structurii la masa cu numarul i. Prin aplicarea acestei relații se pot determina forțele seismice de la fiecare nivel.

Prin cumularea acestor forțe pe înălțime, pornind de la ultimul nivel în jos, se obține diagrama forțelor tăietoare de nivel.

Efectele torsiunii accidentale Torsiunea de ansamblu din cauze accidentale se cuantifică prin intermediul momentului de torsiune accidentală, calculat la fiecare nivel ca produsul dintre forța seismică de nivel și excentricitatea accidentală. Excentricitatea accidentală se ia egală cu 5% din lungimea laturii pe care forța seismică este perpendiculară și se raportează la poziția calculată a centrului maselor de la fiecare nivel. Pentru ultimul nivel (9) momentul de torsiune accidentală, corespunzător situației în care forța seismică acționează în direcție tranversală (Y), este:

În mod similar se determină momentele Mti pentru fiecare nivel și fiecare direcție de acțiune a forței seismice:

5.Combinarea efectelor acțiunilor gravitaționale cu cele ale acțiunilor seismice orizontale ENCIPEDIA >EDUCATIONAL >STRUCTURI ÎN CADRE DE BETON ARMAT - EXEMPLU DE CALCUL PUBLICAT LA 24.08.2012SCRIS DE VIOREL POPA

Întrucat structura îndeplinește criteriile de regularitate date în P100-1/2006, secțiunea 4.4.3, se admite ca acțiunea seismică să fie considerată ca acționând separat pe cele două direcții orizontale principale. Dacă o structură nu îndeplinește criteriile de regularitate atunci este necesar să se aplice procedeele de combinare ale efectelor acțiunii seismice date la 4.5.3.6.1 în P100-1/2012. Pentru a se tine seama de sensul reversibil al forței seismice („+” sau „-”) pentru fiecare direcție de încărcare (X sau Y) precum și de orientarea excentricității accidentale la stânga sau la dreapta forței seismice este necesar să se definească 8 combinații de încărcare seismică. Cele 8 combinații sunt prezentate schematic în figură:

Nu întotdeauna este necesar să se calculeze structura pentru toate cele 8 combinații. De exemplu, dacă structura este simetrică față de axa X, atunci combinația 1 produce în cadrul din axul 1 efecte similare cu combinația 2 în cadrul din axul 4. Astfel, structura pote fi calculată numai pentru una din cele două combinații. În mod similar se observă că dacă structura este simetrică și fața de axa X și fața de axa Y, din cele 8 combinații reprezentate sunt suficiente numai două pentru a determina efectele cele mai defavorabile ale acțiunii seismice în structură. Cele 8 combinații seismice trebuie combinate la rândul lor cu combinația care cuprinde acțiunile gravitaționale cu valoarea de lungă durată. Rezultă astfel 8 combinații care cuprind acțiunea seismică și cea gravitațională. Aceste combinații poartă denumirea de combinații seismice de proiectare. În plus, structura mai trebuie calculată și pentru o combinație care cuprinde numai acțiuni gravitaționale cu valorile maxime probabile (factorizate supraunitar). Schema generală a combinațiilor de acțiuni pentru calculul structural este dată în figură:

6.Verificarea deplasărilor laterale ENCIPEDIA >EDUCATIONAL >STRUCTURI ÎN CADRE DE BETON ARMAT - EXEMPLU DE CALCUL PUBLICAT LA 24.08.2012SCRIS DE VIOREL POPA

1. Verificarea deplasărilor la Starea Limită de Serviciu 2. Verificarea deplasărilor laterale la Starea Limită Ultimă După efectuarea calculul structural este necesară verificarea deplasărilor laterale ale structurii. În mod particular, în cazul structurilor în cadre de beton armat, această verificare dictează, de regulă, dimensiunile elementelor structurale principale, parte a structurii de rezistență la acțiuni seismice. Este recomandabil ca în cazul structurilor în cadre această verificare să se facă imediat după efectuarea calculului static. În acest fel se definitivează dimensiunile elementelor structurale și se poate apoi continua cu

dimensionarea armăturilor fără să fie necesară reluarea calculului static. La structuri static nedeterminate distribuția eforturilor depinde de rigiditatea elementelor structurale astfel că dacă rigiditatea se schimbă semnificativ este necesară reluarea calculului static. Verificarea deplasărilor laterale se face pentru ambele direcții principale ale structurii. Primul pas îl constituie identificarea pentru fiecare combinație seismică de proiectare a cadrului cel mai deformat, unde se manifestă cele mai mari deplasări de nivel. De exemplu în cazul 1 de încărcare, SXPMP, cel mai deformat este cadrul din axa 1. Pentru acest cadru se extrag valorile deplasărilor absolute la fiecare nivel (deplasările punctelor față de poziția nedeformată) și se determină, prin diferențe, deplasările relative de nivel (drift-urile). Prin împărțirea deplasării relative de nivel la înălțimea etajului se obține drift-ul unghiular care reprezintă o măsură a distorsiunii stâlpilor la nivelul respectiv.

Aceste valori reprezintă deplasările structurii sub acțiunea forței seismice de proiectare considerând un răspuns elastic al structurii. Deplasările structurii sub cutremurul de proiectare (starea limită ultimă) și deplasările sub cutremurul de serviciu (starea limită de serviciu) se determină prin amplificarea acestor valori.

Verificarea deplasărilor la Starea Limită de Serviciu Verificarea deplasărilor laterale la SLS se face conform prevederilor Anexei E din P1001/2012. Deplasarea relativă de nivel la Starea Limită de Serviciu se determină prin amplificarea deplasărilor relative de nivel rezultate din calculul structural sub acțiunea seismică de proiectare cu factorul de comportare, q, și cu factorul de reducere ν=0,5.

Întrucât pereții nestructurali sunt din zidărie și sunt închiși în ochiurile cadrelor se consideră că componentele nestructurale contribuie la rigiditatea de ansamblu a structurii astfel că în calculul deformațiilor trebuie să se lucreze cu valorile întregi ale modulelor de rigiditatea la încovoire ale secțiunilor elementelor structurale.

Cu alte cuvinte, în calculul structural trebuie să se lucreze cu valorile întregi ale modulelor de rigiditate la încovoiere ale stâlpilor și grinzilor, fără aplicarea unor factori de reducere. De exemplu, deplasarea relativă la nivelul 9 corespunzătoare SLS este:

Valoarea admisibilă a deplasării relative de nivel în situația în care există materiale fragile atașate structurii este de 0,5% din înălțimea de nivel:

Cele două valori se compară direct și se observă că structura îndeplinește condiția de verificare a deplasărilor laterale la Starea Limită de Serviciu la nivelul 9. În mod similar, această condiție trebuie verificată pe toată înălțimea structurii (vezi tabelul). Se observă că distorsiunea ce mai puternică se înregistrează la nivelul 3 condiția de verificare fiind și aici îndeplinită.

Dacă structura are componente nestructurale care nu interacționează cu structura atunci în calculul deplasărilor la SLS trebuie să se considere jumătate din rigiditatea la încovoiere a secțiunii brute de beton. În acest sens, în calculul structural rigiditățile stâlpilor și grinzilor la încovoiere trebuie afectate cu 0,5. Alternativ, se poate alege ca deplasările determinate prin calculul structural considerând rigiditățile întregi ale barelor la încovoiere să fie amplificate cu 2,0.

Verificarea deplasărilor laterale la Starea Limită Ultimă Calculul deplasărilor la starea limită ultimă se face prin amplificarea deplasărilor structurii sub forța seismică de proiectare cu factorul de comportare, q, și cu factorul de amplificare a deplasărilor, c (vezi Anexa E, P100-1/2012). Deplasările structurii sub forța seismică de proiectare se calculează considerând jumătate din rigiditatea la încovoiere a secțiunilor de beton ale elementelor structurale. Alternativ, valorile deplasărilor rezultate din calculul structural sub forța seismică de proiectare considerând rigiditățile întregi la încovoiere pot fi multiplicate cu 2,0 pentru a ține seama de reducerea de rigiditate.

Factorul de amplificare a deplasărilor depinde de perioada de vibrație a structurii în modul fundamental și, implicit, de rigiditatea structurii. Perioada de vibrație trebuie determinată considerând rigiditățile reduse la jumătate ale elementelor structurale. Dacă în calculul modal s-au utilizat rigiditățile întregi ale elementelor structurale atunci perioada de vibrație calculată se poate determina prin multiplicare cu radical din raportul rigidităților:

Valoarea admisă a deplasării relative de nivel sub acțiunea cutremurului de proiectare (la starea limită ultimă) este de 2,5% din înălțimea de nivel. În cazul structurii analizate, calculul structural s-a efectuat considerând rigiditățile nereduse ale elementelor structurale. Ca urmare perioada de vibrație a structurii în modul fundamental în direcția X, T1=0,835s, trebuie amplificată cu 1,41:

Rezultă un factor de amplificare, c:

În continuare, în calcul se reține factorul c=1,30. Deplasarea relativă la nivelul 9 la Starea Limită Ultimă se calculeaza ca:

Valoarea admisibilă a deplasării relative de nivel este de 2,5%h:

Cele două valori se compară direct și se observă că structura îndeplinește condiția de verificare a deplasărilor laterale la Starea Limită Ultimă la nivelul 9. În mod similar, această condiție trebuie verificată pe toată înălțimea structurii, așa cum se arată în tabel:

7.Armarea longitudinală a grinzilor ENCIPEDIA >EDUCATIONAL >STRUCTURI ÎN CADRE DE BETON ARMAT - EXEMPLU DE CALCUL PUBLICAT LA 24.08.2012SCRIS DE VIOREL POPA

Primul pas în calculul armăturilor longitudinale din grinzile structurilor în cadre de beton armat îl constituie identificarea valorilor maxime ale momentelor încovoietoare. Acest lucru se poate face utilizând diagrama înfășurătoare de momente care rezultă din

suprapunerea valorilor rezultate în cele 10 combinații de încărcări, așa cum sunt definite în schema generală a combinațiilor. În continuare se exemplifică modul de dimensionare a armăturilor longitudinale din grinzile cadrului longitudinal marginal (cadrul din axul 1). Primul pas în calculul armăturilor longitudinale din grinzile structurilor în cadre de beton armat îl constituie identificarea valorilor maxime ale momentelor încovoietoare. Acest lucru se poate face utilizând diagrama înfășurătoare de momente care rezultă din suprapunerea valorilor rezultate în cele 10 combinații de încărcări (vezi figura).

Diagrama înfășurătoare de momente încovoietoare arată că momentele maxime pozitive și negative se dezvoltă, de regulă, la capetele grinzilor. Poziționarea momentelor maxime pozitive la capetele grinzilor, cu excepția ultimelor două niveluri, arată că acțiunea seismică orizontală este acțiunea predominantă. Momentele din acțiuni gravitaționale au valori reduse și nu alterează semnificativ distribuția rezultată

din calcul seismic. Ca urmare, pentru structura considerată mecanismul optim poate fi dirijat pentru formarea articulațiilor plastice la capetele grinzilor și la baza stâlpilor de la parter. Excepție pot face numai stâlpii de la ultimul nivel unde este posibilă dezvoltarea articulațiilor plastice la partea superioară a acestora. Pașii care trebuie urmați pentru dimensionarea armăturii longitudinale a grinzilor și verificarea acestora la încovoiere sunt exemplificați schematic în figură pentru grinda de la nivelul 3, cadru ax 1:

(a) Se identifică valorile de proiectare ale momentelor încovoietoare. Întrucât articulațiile plastice se dezvoltă la capetele grinzilor valorile de proiectare ale momentelor se consideră egale cu momentele rezultate din calculul static. La partea de jos a grinzilor se alege să se facă o armare constantă pe fiecare deschidere, fără întreruperea barelor pe deschidere sau ridicarea lor la partea de sus. În acest scop, momentul de proiectare la partea de jos se ia egal cu valoarea maximă din diagrama înfășurătoare de momente.

(b) Se determină cantitatea necesară de armătură longitudinală pentru preluarea momentelor de proiectare în articulațiile plastice. Secțiunile se consideră dublu armate, dreptunghiulare sau “T”, funcție de poziția zonei comprimate pe secțiune. De exemplu, în reazemul marginal pentru momente negative:

(c) Se dispune armătura longitudinală efectivă, As,eff, ținând seama și de prevederile constructive din documentele normative și de regulile de bună practică. Aceste prevederi se referă în special la procentele minime și maxime de armare, distanțele minime și maxime între bare, sortimentul de bare utilizat, diametrele minime și maxime. Coeficientul minim de armare conform P100-1/2012 este:

La partea de sus a grinzilor s-a considerat un procent minim de armare de 0,45%. Pentru grinzile cadrului transversal s-a ales armarea cu bare de 12mm, 16mm, 20mm și 25mm. Soluția de armare de la partea de sus trebuie să permită ca două dintre barele de diametrul mai mare să fie duse continuu pe toată deschiderea, la colțurile de la partea superioară a secțiunii. La partea de jos, toate barele se duc constant pe deschidere iar două dintre barele de diametru mai mare se poziționează la colțurile secțiunii. Codul P100-1/2012 prevede ca cel puțin două bare de diametru 14mm să fie duse constant pe toată deschiderea la partea de sus a grinzii. De asemenea, minim jumătate din aria de armătură de la partea de sus trebuie dispusă la partea de jos. (d) Se calculează ariile efective de armare și se determină supraarmarea rezultată. De regulă, cantitatea de armătură efectivă ar trebui să fie cu cel mult 10%-15% mai mare decât armătura necesară. Se admit și supra-armări mai mari dacă acestea sunt locale și nu inflențează semnificativ răspunsul de ansamblu. Trebuie avut în vedere că supraarmarea longitudinală a grinzilor conduce la consumuri mai ridicate nu numai locale, în grinzi, ci în toată structura. În acord cu metoda proiectării capacității de rezistență calculul structurii se face la eforturile asociate mobilizării mecanismului de plastificare.

Pentru a ajunge la soluții eficiente de armare este permisă și sub-armarea grinzilor cu până la 3% din armătura rezultată din calcul. (e) Se calculează momentele capabile ale grinzilor pe baza ariilor efective de armare și se compară cu momentele de proiectare pentru verificare. De exemplu, în reazemul marginal pentru momente negative:

In figurile urmatoare se prezintă schematic rezultatele calculului de dimensionare a armăturii longitudinale pentru cadrul transversal marginal din axul 1. Arii necesare de armătură, As,nec(mm2)

Armarea propusă

Arii efective As,eff(mm2) și procente de supraarmare în fiecare secțiune

Momente capabile, MRdb (kNm)

8.Valori de proiectare ale momentelor încovoietoare din stâlpi ENCIPEDIA >EDUCATIONAL >STRUCTURI ÎN CADRE DE BETON ARMAT - EXEMPLU DE CALCUL PUBLICAT LA 27.08.2012SCRIS DE VIOREL POPA

Conform codului P100-1/2012, la fiecare nod al structurii în cadre, în cele două planuri principale de încovoiere, suma momentelor capabile ale stâlpilor care intră în nod trebuie să fie mai mare decât suma momentelor capabile ale grinzilor care intră în nod înmulțită cu un factor supraunitar γRd. Această condiție se pune pentru a se garanta formarea articulațiilor plastice la capetele grinzilor și răspunsul elastic al stâlpilor pe înălțime. Alternativ, această condiție poate fi pusă și pentru o grindă în ansamblu, la fiecare nivel. Astfel, suma momentelor capabile ale stâlpilor care intersectează grinda considerată, în secțiunile din vecinătatea nodurilor trebuie să fie mai mare decât suma momentelor capabile ale grinzii în secțiunile situate de o parte și de alta a nodurilor, pe toate deschiderile, multiplicată cu factorul supraunitar 1,25γRd. Aceste două condiții alternative iau în calcul capacitatea de rezistență a stâlpilor și grinzilor, fiind condiții de verificare. Pentru îndeplinirea acestor condiții în urma procesului de dimensionare este necesar ca la armarea stâlpilor să se considere valori modificate ale eforturilor, față de cele rezultate din calculul static, care să țină cont de suprarezistența grinzilor. Suprarezistența grinzilor la încovoiere se poate cuantifica prin intermediul factorului de suprarezistență Ω care reprezintă raportul dintre momentele capabile ale grinzilor și momentele rezultate din calcul static în combinația seismică de proiectare. Factorul de suprarezistență Ω poate fi calculat fie pe fiecare nod în parte, fie pe grindă în ansamblu. De exemplu, pentru grinda de la nivelul 3, în nodul din axul B, pentru cele două sensuri de încărcare seismică, factorul de suprarezistență se calculează astfel:

În sume, toate momente se iau cu semn pozitiv dacă rotesc nodul în sensul corespunzător formării mecanismului de plastificare (vezi . În caz contrar, se iau cu semn negativ. Momentele capabile se aleg intotdeauna astfel încât să rotească nodul în sensul corespunzător plastificarii structurii. Factorul de suprarezintență la încovoiere se calculează pentru ansamblul grinzii pe baza valorilor eforturilor prezentate în figura următoare, astfel:

Cei doi factori, calculați pentru cele două sensuri opuse de acțiunea seismică, sunt egali deoarece structura este simetrică. În figura următoare sunt dați factorii de suprarezistență a grinzilor calculați pentru grinda de la nivelul 3, cadrul marginal din axul 1. S-au calculat pentru comparație, pentru fiecare sens de acțiune seismică, factorii pe fiecare nod în parte și pentru grindă în ansamblu.

În acest mod se pot calcula factorii de suprarezistență pentru întreaga structură. În continuare, pentru determinarea momentelor de proiectare în stâlpi se vor utiliza factorii de suprarezistență calculați pentru fiecare grindă în ansamblu (prezentați în figură în coloana marginală din partea dreaptă).

Factorii Ω variază între 1,01 și 1,13 pentru grinzile situate la niveluri inferioare și ajung la 1,65 și 3,08 pentru grinzile de la ultimele două niveluri. În principiu, când momentele încovoietoare din acțiunea seismică sunt predominante în grinzi se pot găsi soluții de armare care să conducă la valori mici ale factorilor de suprarezistență. Aceasta înseamnă că armătura dispusă efectiv este apropiată de cea rezultată din calcul. Dacă momentele din acțiuni gravitaționale sunt predominante și momentele din acțiunea

seismică sunt reduse atunci, de regulă, condițiile constructive dictează soluția de armare și factorii de suprarezistență sunt mari. Cu ajutorul factorilor Ω se pot calcula valori de proiectare ale momentelor din grinzi care să permită, în final, îndeplinirea condiției din P100-1/2012 (ec. 5.5), reluată aici pentru ușurința parcurgerii textului:

În principiu, pentru fiecare combinație seismică de proiectare pot fi calculați factori Ω care să fie utilizați strict pentru modificarea momentelor încovoietoare rezultate din calculul static în combinația respectivă. Pentru cadrul longitudinal din axul 1 pot fi identificate două combinații de încărcare seismică care conduc la distorsiunea laterală maximă și la eforturi maxime: XPMP și XNMN. În aceste combinații, deformațiile de translație ale cadrului din axul 1, cauzate de forța seismică de proiectare Fb, se adună cu deformațiile asociate torsiunii de ansamblu, cauzată de momentul de torsiune accidentală. Diagrama înfășurătoare de momente încovoietoare arată în fapt eforturile rezultate din combinațiile GSXPMP și GXNMN, așa cum sunt definite în schema generală a combinațiilor de acțiuni.

Aceste valori ale momentelor încovoietoare rezultate din calculul static trebuie multiplicate, pe rând, cu factorii de suprarezistență la încovoiere a grinzilor determinați considerând eforturile din grinzi rezultate din aceleași două combinații. În acest scop, eforturile rezultate din calculul static trebuie extrase din diagramele de eforturi determinate pentru fiecare caz in parte. Valorile momentelor încovoietoare rezultate din calculul static sunt prezentate în figură. Este reprezentată diagrama înfășurătoare și sunt scrise valorile momentelor maxime,

de la capetele stâlpilor, la fiecare nivel, rezultate din combinațiile seismice de proiectare GXPMP și GXNMN. În general, diagrama de momente schimbă de semn pe înălțimea fiecărui etaj. Excepție fac numai stâlpii marginali la parter și la ultimul nivel.

Valorile de proiectare ale momentelor se determină prin înmulțirea acestor valori cu produsul 1,25γRdΩ=1,625Ω. De exemplu, pentru stâlpul marginal de la nivelul 3, valorile

de proiectare ale momentelor pentru combinația seismică de proiectare GXPMP rezultă 209kNm, la capătul superior, și 348kNm la capătul inferior:

Valorile de proiectare ale momentelor încovoietoare, MEdc(kNm), din stâlpii cadrului marginal din axul 1, pentru cele două sensuri opuse de rotire a nodurilor, sunt date în figura următoare. Se menține convenția de semne și notații enunțată anterior.

9.Armarea longitudinală a stâlpilor ENCIPEDIA >EDUCATIONAL >STRUCTURI ÎN CADRE DE BETON ARMAT - EXEMPLU DE CALCUL PUBLICAT LA 27.08.2012SCRIS DE VIOREL POPA

Pentru determinarea ariilor necesare de armătură longitudinală trebuie cunoscute valorile de proiectare ale momentelor și forțelor axiale. Valorile de proiectare ale forțelor axiale corespund situației în care mecanismul de plastificare s-a mobilizat în structură. Dacă suprarezistența grinzilor este redusă atunci forțele axiale rezultate din calculul static sunt apropiate de forțele corespunzătoare plastificării structurii. Se admite, în această situație, ca la dimensionarea armăturii longitudinale a stâlpilor să se utilizeze forțele axiale rezultate din calculul static în combinația seismică de proiectare relevantă. Aceste forțe sunt date în figura următoare. Perechile de eforturi forță axială – moment încovoietor pentru care se face calculul unei secțiuni trebuie să corespundă întotdeauna aceleiași combinații de acțiuni.

Ariile necesare de armătură longitudinală în stâlpi pot fi determinate prin metoda simplificată de calcul a secțiunilor de beton armat. În această metodă nu se ține seama de aportul armăturilor intermediare și, ca urmare, necesarul de armătură longitudinală

rezultat determinat prin calcul crește. De asemenea, utilizarea metodei simplificate la evaluarea momentelor capabile conduce la valori mici prin neglijarea armăturilor intermediare. Din punct de vedere al capacității de rezistență la încovoiere rezultatele sunt acoperitoare chiar dacă implică un consum mai mare de armătură. Din punct de vedere al controlului capacității de rezistență pentru dirijarea mecanismului optim de plastificare și prevenirea ruperilor fragile, subestimarea momentelor capabile nu este permisă. De aceea, se recomandă ca dimensionarea și verificarea secțiunilor stâlpilor cu mai multe rânduri de armături intermediare să se facă prin metoda exactă de calcul a secțiunilor de beton armat, cu ajutorul unor programe de calcul dedicate. Ariile necesare de armătură longitudinală rezultate prin aplicarea metodei simplificate de calcul, As,nec(mm2) sunt date în figură:

În acest caz, metoda simplificată a arătat că ariile necesare de armătură longitudinală sunt relativ reduse și, ca urmare, este posibil ca armătura să rezulte din condiții constructive. Dacă se consideră procentul minim de armare de 1% dat în P100-1/2012 rezultă o arie de armătură minimă de 5250mm2. Se pot dispune 4φ25+8φ20+8φ16, barele de 25mm la colturile etrierului perimetral și barele de 16 la mijlocul laturilor etrierului perimetral (vezi figura). Rezultă astfel o arie de armătură pe latură de

1809mm2. Armătura longitudinală se dispune în acest caz constant pe toată înălțimea stâlpilor. Se poate varia cantitatea de armătură longitudinală în stâlpi pe înălțime dacă nu se produc reduceri bruște

Alternativ, soluția de armare putea fi, de exemplu, 4φ25+12φ20 echivalentă unui procent de armare de 1,07%. În figura urmatoare sunt date momentele capabile ale stâlpilor calculate utilizând metoda exactă a secțiunilor de beton armat pe baza soluției de armare 4φ25+8φ20+8φ16.Convenția de semne și notații este aceeași cu cea pentru momente de proiectare. Momentele capabile sunt în toate secțiunile mai mari decât momentele de proiectare și, ca urmare, soluția de armare longitudinală propusă este suficientă.

Momentele capabile se pot determina pentru fiecare secțiune în parte ținând seama de dimensiunile secțiunii transversle, armarea longitudinală și forța axială. Dacă dimensiunile și armarea sunt similare pentru un număr mare de secțiuni este oportună determinarea momentelor capabile cu ajutorul curbei limită de interacțiune la compresiune excentrică. Aceasta se determină cu metoda exactă de calcul și reprezintă

capacitatea de rezistență la încovoiere cu forță axială. Pentru o secțiune dată se determină forța axială de proiectare și se extrage din curba limită de interacțiune valoarea corespunzătoare a momentului capabil. Curba limită de interacțiune poate fi utilizată și pentru verificarea rapidă a tuturor secțiunilor având aceleași dimensiuni și aceeași armare. Se reprezintă pe același grafic curba limită de interacțiune și perechile de valori de proiectare ale momentelor și forțelor axiale în secțiunile care se verifică (vezi figura următoare). Dacă este necesar, se propune o nouă soluție de armare astfel încât toate punctele de coordonate MEd, NEd să se afle în interiorul curbei de interacțiune corepunzatoare.

După dimensionarea armăturilor din stâlpi este necesară verificarea îndeplinirii condiției (5.5) din P100-1/2012 privind asigurarea unei capacități de rezistență superioare

stâlpilor comparativ cu grinzile. În acest scop se poate calcula pentru fiecare nod raportul dintre suma momentelor capabile de la capetele stâlpilor și suma momentelor capabile de la capetele grinzilor. Acest raport trebuie să fie mai mare decât γRd=1,3. Spre exemplificare se prezintă calculul pentru nodul din axul B, nivelul 3, aparținând cadrului longitudinal ax 1, pentru sensul de încărcare seismică X pozitiv:

Dacă, alternativ, se dorește verificarea condiției (5.6) din P100-1/2012 atunci sumele se calculează pe o grindă în ansamblu iar raportul trebuie să fie mai mare decât 1,25γRd=1,625. Spre exemplificare se prezintă calculul pentru grinda de la nivelul 3, aparținând cadrului longitudinal ax 1, pentru sensul de încărcare seismică X pozitiv: Distribuția momentelor din rezultate din calculul static în combinația seismică de proiectare, poziția și semnul articulațiilor plastice și momentele capabile ale grinzilor și stâlpilor în secțiunile din vecinătatea nodurilor sunt prezentate în figura următoare. Valoarea raportului dintre momentele capabile ale stâlpilor și cele ale grinzilor rezultă egal cu 3,7 fiind superioară valorii minime de 1,625.

Dacă într-o secțiune momentul rezultat din calculul static este orientat în sens opus momentului corespunzător mobilizării articulației plastice în secțiunea respectivă atunci în suma de la numitor momentul respectiv se consideră cu semnul “-“. Pentru cadrele solicitate predominant la acțiuni seismice această situație se întâlnește de regulă la grinzile de la ultimul nivel unde momentul pozitiv cauzat de acțiunea seismică este mai mic decât cel negativ din acțiuni gravitaționale. În figura următoare se prezintă valorile rapoartelor

calculate pe

fiecare nod în parte (reprezentate în dreptul nodului) și pe grindă în ansamblu

(reprezentate în coloana marginală din partea dreapta), pentru cele două sensuri opuse de acțiune seismică în direcția cadrului. Se observă că cele două condiții de verificare din P100-1/2012 (5.5 și 5.6) sunt îndeplinite.

10.Calculul grinzilor la forță tăietoare ENCIPEDIA >EDUCATIONAL >STRUCTURI ÎN CADRE DE BETON ARMAT - EXEMPLU DE CALCUL PUBLICAT LA 27.08.2012SCRIS DE VIOREL POPA

Grinzile și stâlpii structurilor în cadre se calculează întotdeauna la valorile de proiectare ale forțelor tăietoare care corespund mobilizării mecanismului de plastificare. Mecanismul optim presupune formarea articulațiilor plastice la capetele grinzilor și la baza stâlpilor de la parter. Forțele tăietoare de proiectare reprezintă practic valorile maxime ale forțelor tăietoare care se pot mobiliza indiferent de intensitatea cutremurului, fiind limitate prin capacitatea de rezistență la încovoiere a stâlpilor și grinzilor. În cazul grinzilor, valoarea de proiectare a forței tăietoare se determină ca suma dintre: - forța tăietoare din acțiuni gravitaționale, din gruparea de acțiuni care cuprinde și acțiunea seismică (combinația de acțiuni GS conform schemei combinațiilor de acțiuni). - forța tăietoare corespunzătoare încărcării grinzii cu momentele asociate mobilizării mecanismului de plastificare în structură, Mdb, calculat pentru fiecare capăt de grindă. Dacă grinzile sunt proiectate să se plastifice la ambele capete atunci în calcul se consideră momentele capabile.

În figura urmatoare se exemplifică modul de calcul al valorilor de proiectare ale forțelor tăietoare pentru grinda de la nivelul 3, cadrul longitudinal ax 1, pentru sensul de acțiune seismică X pozitiv.

Pentru deschiderea dintre axele A și B, din calculul static se extrag valorile forțelor tăietoare din combinația de acțiuni GS (acțiuni gravitaționale din combinația seismică de proiectare):

Se extrag valorile momentelor capabile la capete corespunzătoare semnului articulațiilor plastice pentru sensul de acțiune seismică X pozitiv:

Se determină forțele tăietoare corespunzătoare încărcării grinzii cu momentele capabile la capete:

Se determină valorile de proiectare ale forțelor tăietoare:

În mod similar se determină forțele tăietoare de proiectare și pentru sensul opus de acțiune seismică. Convenția de reprezentare a forțelor tăietoare este prezentată în figură:

În figurile urmatoare se prezintă pentru întreg cadrul longitudinal din axul 1 următoarele valori: - forțele tăietoare rezultate din calculul static din acțiuni gravitaționale corespunzătoare combinației seismice de proiectare, V'Edgrav (kN)

- forțele tăietoare corespunzătoare încărcării grinzilor la capete cu momentele capabile, VEdseism(kN)

- forțele tăietoare de proiectare, VEd (kN)

Analiza forțelor tăietoare care se mobilizează la capete grinzilor pentru cele două sensuri opuse de acțiune seismică în direcția cadrului arată în ce măsură solicitarea de forță tăietoare favorizează degradarea de rezistență și rigiditate a elementului. În cazul de față, acțiunea seismică este preponderentă și influențează decisiv semnul forței tăietoare la capetele grinzilor pentru cele două sensuri de acțiune seismică. De exemplu, pentru grinda de la nivelul 3, deshiderea A-B, la capătul din stânga s-a determinat valoarea de -153kN pentru sensul de încărcare X pozitiv și 260kN pentru

sensul de încărcare X negativ. Solicitarea de forță tăietoare este agresivă întrucât de la un semiciclu de încărcare la altul forța tăietoare schimbă de semn și amplitudinile în cele două sensuri sunt apropiate. Se poate aștepta o degradare puternică de rezistență și rigiditate în timpul cutremurului dacă nivelul forței tăietoare medii normalizate este ridicat. În codul P100-1/2006 pentru a analiza agresivitatea forței tăietoare din acest punct de vedere se utilizează raportul δ. Acesta reprezintă raportul dintre forța tăietoare minimă și forța tăietoare maximă la capătul unui element. Pentru poziția menționată în paragraful anterior:

Dacă valorile și semnele VEd,min și VEd,max se aleg corect atunci raportul δ trebuie să se situeze între -1 și 1. δ=-1 reprezintă situația cea mai defavorabilă de solicitare, δ=1 reprezintă situația în care cutremurul este nesemnificativ. În principiu, dat fiind ca semnul forțelor tăietoare este convențional, în calculul raportului δ semnul minus se atribuie minimului dintre cele două valori în valoare absolută iar semnul plus se atribuie maximului. Pentru capătul din dreapta al grinzii:

Conform codului P100-1/2012 dacă δ>-0,5 starea de solicitare din punct de vedere al reversibilității forței tăietoare nu este deosebit de agresivă, calculul la forță tăietoare puntându-se face conform prevederilor SR EN 1992-1:2004 considerând un unghi θ de înclinare al bielei comprimate de 45º. Calculul lui δ pentru toate zonele critice ale grinzilor aparținând cadrului transversal din axul 1 pune în evidență valori situate în jurul limitei de -0,5 (vezi figura următoare).

Dacă δEDUCATIONAL >STRUCTURI ÎN CADRE DE BETON ARMAT - EXEMPLU DE CALCUL PUBLICAT LA 27.08.2012SCRIS DE VIOREL POPA

Valorile de proiectare ale forțelor tăietoare se determină prin încărcarea stâlpilor la capete, la fiecare nivel, cu momentele asociate mobilizării mecanismului de plastificare în suprastructură. În cazul de față mecanismul de plastificare optim avut în vedere la proiectare se mobilizează prin formarea articulațiilor plastice la capetele grinzilor și la

baza stâlpilor de la parter: Momentele de la capetele stâlpilor asociate mobilizării mecanismului de plastificare sunt mai mici decât momentele capabile ale acestora, stâlpii răspunzând în domeniul elastic. Excepție fac secțiunile de la baza stâlpilor unde se formează articulații plastice.

Pentru cadrul longitudinal din axul 1, valorile ΣMRb/ΣMRc se determină ca inversul valorilor ΣMRc/ΣMRb calculate la verificarea armării longitudinale a stâlpilor, fiind în toate situațiile subunitare. Momentele Mdbse determină prin înmulțirea valorilor momentelor încovoietoare capabile ale grinzilor , cu valorile ΣMRb/ΣMRc și cu factorii γRd corespunzători (1,3 pentru parter și 1,2 în rest). De exemplu, pentru stâlpul de la nivelul 3, axul A, cadrul longitudinal din axul 1, pentru sensul de încărcare seismică X pozitiv:

Dacă grinzile au suprarezistențe scăzute la încovoiere valorile de proiectare ale momentelor din stâlpi sunt apropiate de cele rezultate din calculul static. În unele situații, aplicarea acestui procedeu de calcul poate să conducă la valori ale momentelor încovoietoare corespunzătoare mobilizării mecanismului de plastificare inferioare momentelor rezultate din calculul static în combinația seismică de proiectare. De aceea, în acest exemplu, asupra momentelor Mdb calculate se impune o limită minimă:

Valorile momentelor Mdb (kNm) astfel calculate pentru tot cadrul longitudinal din axul 1 sunt prezentate în figura următoare:

Valorile de proiectare ale forțelor tăietoare se determină prin scrierea ecuației de echilibru al stâlpului încărcat la capete cu momentele Mdb și forțele tăietoare corespunzătoare. De exemplu, pentru stâlpul de la nivelul 3, axul A:

Valorile de proiectare ale forțelor tăietoare, VEd (kN) pentru stâlpii cadrului longitudinal din axul 1sunt:

Armarea transversală trebuie să respecte regulile minime constructive din P100-1/2012. Pentru zona critică de la baza stâlpilor:

Dacă se consideră dispunerea etrierilor în secțiunea transversală conform reprezentării din figură, rezultă un număr echivalent de ramuri de etrier de 5,41. Prin urmare diametrul minim al etrierului este de 10mm.

Armarea propusă îndeplinește condiția privind coeficientul mecanic de armare transversală minim:

Pentru restul zonelor critice:

Dacă se consideră dispunerea etrierilor în secțiunea transversală conform reprezentării din figură rezultă un număr echivalent de ramuri de etrier de 5,41. Prin urmare diametrul minim al etrierului este de 8mm.

Forța tăietoare maximă care poate fi transmisă prin intermediul bielei comprimate de beton este:

În figura următoare se prezintă soluțiile de armare transversală cu etrieri alese pentru zonele critice ale stâlpilor și forțele tăietoare capabile corespunzătoare. Se observă că armarea propusă pe baza condițiilor constructive minime este suficientă pentru îndeplinirea verificării de rezistență la forță tăietoare.