Exemplo de um Projeto Completo de um Edifício de Concreto Armado

ES-013

Exemplo de um Projeto Completo de um Edifício de Concreto Armado

São Paulo agosto - 2001

1 – Introdução, Critérios de Projeto, Concepção Estrutural e Carregamento Atuante 1.1 Introdução O presente curso tem por objetivo a elaboração do projeto completo de um edifício real construído em concreto armado. O edifício é composto por um térreo, 14 pavimentos tipo, cobertura, casa de máquinas e caixa d’água superior. O projeto de arquitetura original é de um edifício com oito pavimentos tipo, de autoria do Arq. Henrique Cambiaghi Filho, com desenhos de Paulo Kurihara. Este curso foi inicialmente apresentado na FDTE (Fundação para o Desenvolvimento Tecnológico da Engenharia), em São Paulo, pelos engenheiros: Lauro Modesto dos Santos (Coordenador); Ricardo Leopoldo e Silva França; Hideki Hishitani; Claudinei Pinheiro Machado; e foi atualizado em 2001 pelos engenheiros: Ricardo Leopoldo e Silva França; Túlio Nogueira Bittencourt; Rui Nobhiro Oyamada; Luís Fernando Kaefer; Umberto Borges; Rafael Alves de Souza. O conteúdo teórico deste curso foi desenvolvido com o objetivo de dar subsídios para o cálculo do edifício exemplo. Desta forma, abordaremos todos os tópicos sucintamente, considerando que os participantes do curso devem possuir outros conhecimentos para cursá-lo, adquiridos em outras cadeiras do programa de Especialização em Estruturas, ou possam adquiri-los consultando a bibliografia indicada. Além disso, será abordada apenas uma opção de estruturação do edifício, deixando para o aluno investigar outras hipóteses.

1.1.1

Forma de avaliação

O sistema de avaliação será constituído por diversos exercícios relativos às várias etapas do projeto do edifício exemplo que deverão ser desenvolvidos em equipe. Desta forma, na primeira aula, os participantes do curso serão divididos em equipes de no máximo quatro integrantes.

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fl. 2

Os exercícios terão seu desenvolvimento iniciado em sala de aula, e deverão ser concluídos em horário extraclasse, devendo ser entregues no dia em que novo exercício, versando sobre etapa subseqüente do projeto, é distribuído. Portanto, a avaliação será efetuada por meio da realização de 4 exercícios relativos aos seguintes tópicos: 1 – Cálculo e detalhamento de lajes 2 – Cálculo e detalhamento de vigas 3 – Cálculo e detalhamento de pilares 4 – Cálculo e detalhamento da escada, caixa d’água e fundações

1.1.2

Corpo Docente do Curso

Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França, D.Sc. EPUSP, (França e Associados, EPUSP) Prof. Túlio Nogueira Bittencourt, Ph.D. Cornell University, (EPUSP) Eng. Rui Nobhiro Oyamada, M.Sc. (doutorando EPUSP) Eng. Luís Fernando Kaefer, M.Sc. (doutorando EPUSP) Apoio: Eng. Umberto Borges, M.Sc. (doutorando EPUSP) Eng. Rafael Alves de Souza, M.Sc. (doutorando EPUSP)

1.1.3

Bibliografia

Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR6118 – Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado. Rio de Janeiro, 1978. Associação Brasileira de Normas Técnicas. Projeto de Revisão da NBR6118. Rio de Janeiro, 2001. Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR6120 – Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações. Rio de Janeiro, 1980. Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR6123 – Forças Devidas ao Vento em Edificações. Rio de Janeiro, 1988. Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR7480 – Barras e Fios de Aço Destinados a Armaduras para Concreto Armado. Rio de Janeiro, 1996. FUSCO, P. B. Técnicas de Armar as Estruturas de Concreto. São Paulo. Ed. Pini, 1995. FUSCO, P. B. Estruturas de Concreto: Solicitações Normais. Rio de Janeiro, Ed. Guanabara Dois, 1986.

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fl. 3

LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. Construções de Concreto – vol. 1, 2 e 3. Ed. Interciência. Rio de Janeiro, 1978. Apostilas das Disciplinas PEF311/PEF312 (Concreto I e II) da EPUSP. Notas de Aula da Disciplina ES-013.

1.2 Dados Gerais e Critérios de Projeto 1.2.1

Informações sobre o local de construção

O local de construção deve ser indicado, para que levantemos as características do terreno, para a determinação do carregamento de vento atuante sobre o edifício. Local de Construção: Butantã – São Paulo – SP Terreno plano em local coberto por obstáculos numeroso e pouco espaçados. Agressividade do meio ambiente baixa.

1.2.2

Materiais estruturais utilizados

O projeto de revisão da NBR6118 recomenda, tendo em vista questões referentes à durabilidade das estruturas de concreto, que se utilize sempre concretos com resistência característica à compressão (fck) superior a 20 MPa (concreto C20) para estruturas executadas em concreto armado e 25 MPa (C25) para estruturas protendidas. A escolha do fck do concreto depende também de uma análise de custo, escolhendo-se uma resistência que minimize o custo por MPa. Tendo-se em vista escolha do aço estrutural, segundo o projeto em discussão da NBR6118 não há mais a possibilidade de utilização dos aços classe B. Desta forma, utilizaremos o aço CA50A, doravante denominado CA50. Materiais Estruturais Utilizados: Concreto C25 Aço CA50

1.2.3 1.2.3.1

Propriedades do concreto Massa específica

A massa específica do concreto armado, para efeito de cálculo, pode ser adotada como sendo de 2500 kg/m3.

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1.2.3.2

Coeficiente de dilatação térmica

Para efeito de análise estrutural, o coeficiente de dilatação térmica pode ser admitido como sendo igual a 10-5 /ºC. 1.2.3.3

Resistência à tração

Na falta de ensaios, a resistência à tração pode ser avaliada por meio das equações ( 1.1 ) a ( 1.3 ) (NBR6118/2001). 2

fctm = 0,3 ⋅ fck 3 fctk,inf = 0,7 ⋅ fctm

( 1.1 )

(fctm, fck,inf, fctk,sup e fck em MPa)

( 1.2 )

fctk, sup = 1,3 ⋅ fctm

( 1.3 )

A NBR6118/78 prescreve o seguinte valor para fctk: para fck ≤ 18MPa 0,1⋅ fck fctk =  0,06 ⋅ fck + 0,7 para fck > 18MPa

( 1.4 )

(fctk e fck em MPa)

Para o concreto utilizado neste projeto, resultam os seguintes valores: fctm = 2,56 MPa fctk,inf = 1,79 MPa f ctk,sup = 3,33 MPa fctk = 2,20 MPa 1.2.3.4

Módulo de elasticidade

Na ausência de dados experimentais sobre o módulo de elasticidade inicial do concreto utilizado, na idade de 28 dias, o projeto de revisão da NBR6118 permite estimá-lo por meio da equação ( 1.5 ). ( 1.5 )

E ci = 5600 ⋅ fck = 28000 MPa

O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, especialmente para a determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites de serviço, deve ser calculado por ( 1.6 ). Entretanto, na avaliação do comportamento global da estrutura permite-se utilizar em projeto o módulo inicial fornecido pela equação ( 1.5 ). ( 1.6 )

E cs = 0,85 ⋅ E c = 4760 ⋅ f ck = 23800 MPa

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fl. 5

A NBR6118/78 prescreve outra expressão para o cálculo do módulo de elasticidade do concreto à compressão, no início da deformação efetiva, correspondente ao primeiro carregamento: ( 1.7 )

E c = 6600 ⋅ fck + 3,5 = 35234 MPa

Na flexão, quando a deformação lenta for nula ou desprezível (carregamento de curta duração), o módulo de elasticidade Ec a ser adotado pela NBR6118/78 é o módulo secante do concreto (Ecs), suposto igual a 0,9 do módulo na origem: ( 1.8 )

E cs = 5940 ⋅ f ck + 3,5 = 31710 MPa

Em média, os módulos de elasticidade inicial e secante das novas estruturas de concreto estão, respectivamente, 20% e 25% menores que os módulos definidos pela NBR6118/78. Este fato se deve à evolução dos cimentos, que permitem que se obtenha concretos com grande resistência com teores menores de cimento, o que por outro lado torna a estrutura interna do material menos compacta e, conseqüentemente, as estruturas como um todo mais flexíveis. 1.2.3.5

Diagrama tensão-deformação (de cálculo)

Para o cálculo das áreas de armadura necessárias será utilizado o diagrama retangular simplificado da NBR6118/78, o qual ilustrado na Figura 1.1, bem como uma deformação última de compressão de concreto igual a 3,5‰. 0,85 fcd

0,8 x M

Figura 1.1 – Diagrama tensão-deformação (de cálculo) do concreto

1.2.3.6

Coeficiente de Poisson

O coeficiente de Poisson adotado é igual a 0,2. 1.2.3.7

Diâmetro máximo do agregado e do vibrador

O agregado graúdo utilizado tem diâmetro máximo de 19mm (brita 1) e o vibrador tem diâmetro máximo de 30 mm.

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fl. 6

1.2.4 1.2.4.1

Propriedades do aço Massa específica

Pode-se assumir para a massa específica do aço o valor de 7850 kg/m3. 1.2.4.2

Coeficiente de dilatação térmica

O coeficiente de dilatação térmica do aço vale 10-5/ºC para intervalos de temperatura entre -20oC e 150ºC. 1.2.4.3

Módulo de elasticidade

Na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, admite-se o módulo de elasticidade do aço igual a 210 GPa (NBR6118). 1.2.4.4

Diagrama tensão-deformação

Para o aço utilizado, o diagrama tensão-deformação adotado é o mostrado na Figura 1.2. σsd fyk fyd arctg Es

diagrama de cálculo

εyd

10‰

εsd

Figura 1.2 – Diagrama tensão-deformação do aço

1.2.4.5

Características de ductilidade

Admite-se que a tensão de ruptura fstk do aço utilizado seja no mínimo igual a 1,10 fyk, atendendo aos critérios de ductilidade da NBR7480. 1.2.4.6

Coeficiente de conformação superficial

O coeficiente de conformação superficial ηb é considerado igual a 1,5.

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fl. 7

1.2.5

Cobrimento da armadura

Para este edifício, serão seguidas as recomendações do projeto de revisão da NBR6118 para a escolha da espessura da camada de cobrimento da armadura. A Tabela 1.1 apresenta os cobrimentos nominais (cobrimento mínimo + tolerância de execução = 10mm) a serem exigidos para diferentes tipos de elementos estruturais, visando a garantir um grau adequado de durabilidade para a estrutura. Tabela 1.1 - Classes de agressividade e cobrimento nominal segundo o texto de revisão da NBR6118

O edifício exemplo deste curso encontra-se em uma classe de agressividade ambiental do tipo I (ver Tabela 1.1). Desta forma, adota-se um cobrimento mínimo de 2,0cm para as lajes e 2,5cm para as vigas e os pilares.

1.3 Projeto Arquitetônico A seguir apresentamos as elevações, cortes e plantas baixas que compõem o projeto arquitetônico do edifício. Os desenhos estão fora de escala.

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fl. 8

Figura 1.3 – Elevação frontal ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 9

Figura 1.4 – Elevação lateral ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 10

200

275

175

275

275

275

275

275

275

275

275

275

275

275

275

275

275

300

Figura 1.5 – Corte B-B ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 11

Figura 1.6 – Corte A-A ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 12

457

457

Estacionamento Salão de Festas

Estacionamento

Projeção do Edifício

241

15

515

140 15

120

HALL

Elev.

Projeção do Edifício

171

8 15 165 171

15

2420

110

335

Elev.

B

15

470

15

120

15

55

120 25

120

B

15

455

50

15

635

260

Floreira

Estacionamento

Estacionamento

50

A

1155

3 Figura 1.7 – Térreo ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 13

1155 25 25 40

120 260

100 15

15 10

120 260

130 15

15 40

260

180

40 15

15

10 120

170

40

15

15

15

100

8

135

120 120

79

55

120

110

350

Elev.

2420

15

185

15

HALL

171

165 Elev.

15

A.C.

35.5

100

B

Duto

171

152

120

35.5

15

15

B

A.S.

Cozinha

40

170 85

15

290

140

15

120

15

Sala de Estar

15

10 15 40

260

180

40

15

15

Dormitório

Banheiro

130

260

118

15

85

120

15

307 15

60

48

48

60

100

25 Dormitório

10 15

260 120

65 25

241

457

A

457

Figura 1.8 – Pavimento-Tipo ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 14

1155

260

Calha

Calha

25

Calha

15

Proj. saída p/ ventilação permanente.

720

15 15

35.5

15

15 100

Vazio

165

2420

185

15

135

15

79

120

55

120

110

Duto

100

B

120

152

35.5

350

120

Calha

15

15

B

720

Calha

Calha

15

260

25 407 25

25

25

A

25

407

241

Figura 1.9 – Cobertura ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 15

865

Casa de Máquinas

15 15

15

165

171

15

185

15

120

15

135

25

120

55

120

8 380

110

350

171 120

B

15

365

15

135

295

15

25

15

A

15

B

Caixa D´Água 865 15 15

380

320

B

B

15 15

A

Cobertura da Caixa D´Água

865

380 10

60

10 10 60

B

20

B

10 20

515

320 15

A

15

Figura 1.10 – Ático

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 16

1.4 Lançamento da Estrutura O lançamento dos elementos estruturais é realizado sobre o projeto arquitetônico. Ao lançar a estrutura devemos ter em mente vários aspectos: Estética: devemos sempre procurar esconder ao máximo a estrutura dentro das paredes; Economia: deve-se lançar a estrutura pensando em minimizar o custo da estrutura. A economia pode vir da observação de vários itens: o Uniformização da estrutura, gerando fôrmas mais simples, menor número de reformas das fôrmas (o que reduz o custo com fôrmas e maior velocidade de execução); o Compatibilidade entre vãos, materiais e métodos utilizados (ex.: o vão econômico para estruturas protendidas é maior do que o de estruturas de concreto armado); o Caminhamento o mais uniforme possível das cargas para as fundações. Apoios indiretos, de vigas sobre vigas e transições devem ser evitadas ao máximo, pois acarretam um maior consumo de material. Funcionalidade: um aspecto funcional importante é o posicionamento dos pilares na garagem. Em virtude da necessidade crescente de vagas para estacionamento, deve ser feita uma análise minuciosa nos pavimentos de garagem, de modo a aumentar ao máximo a quantidade de vagas, sempre procurando obter vagas de fácil estacionamento (considerando vagas com 2,50x5,50m, um bom aproveitamento pode ser obtido espaçando os pilares a cada 4,80 ou 5,0m, ou a cada 7,2 a 7,5m, evitando posicioná-los nas extremidades das vagas); Resistência quanto aos esforços horizontais: ao lançarmos a estrutura devemos procurar estabelecer uma estrutura responsável por resistir aos esforços horizontais atuantes na estrutura (vento, desaprumo, efeitos sísmicos). Esta estrutura pode ser composta por um núcleo estrutural rígido, composto por pilares de grande inércia das caixas de escadas e elevadores, ou por pórticos (planos ou espaciais) formados pelas vigas (ou às vezes lajes) e pilares do edifício.

Neste curso, foi adotada inicialmente a opção de fôrmas mostrada na Figura 1.11. Os pilares obedecem a uma disposição econômica visando à obtenção de vãos entre 4m e 6m para as vigas, respeitando as condições de arquitetura, tanto no pavimento-tipo quanto no andar térreo. Se necessário, esta planta inicial pode ser ligeiramente alterada em função da análise do carregamento devido ao vento e a conseqüente verificação da estabilidade global do edifício. A Figura 1.12 mostra um corte esquemático com as dimensões (em cm) entre pisos e as espessuras adotadas para as camadas de revestimento das lajes.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 17

411,0

Y

280,0 (40/19)

236,0

287,0

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado (20/40)

157,0

P19

357,0

X

245,0

P18

138,0

LE

200,0

VE(19/55)

V11(12/55)

(20/40)

P20

(20/40)

P15

(20/40)

P10

L10 h=10cm

V8(12/55)

L3 h=10cm

V2(19/55)

236,0

(19/40)

L9 h=10cm

266,0 (20/40)

P14

L7 h=10cm

V6(12/55)

155,0

V13(19/55)

468,0

P17

P8'

V3(12/55)

178,5

(20/40)

V7(12/55)

(20/40)

P9

P4

(20/40)

(20/40)

P11'

(20/40)

P11

L4 h=10cm

V5(12-19/55)

L6 h=7cm

(40/19)

P21

V10(12-19/55)

P5

(40/19)

L11 h=10cm

P6

(19/40)

(19/40)

P16

(19/40)

P12

(19/40)

P22

287,0

V12(19/55)

P8 (20/40)

L2 h=10cm

P3

(20/40)

100,0

442,5

L8 h=10cm

L5 h=7cm

271,0

V9(19-12/55)

442,5

(19/40)

V4(19-12/55)

L1 h=10cm

P2

(40/19)

V17(12/55)

V1(19/55)

166,0

P13

P7

(19/40)

P1

(19/40)

288,5 271,0

V15(19/55)

V14(19/55)

178,5

V16(12/55)

373,0

V19(10/40)

541,0

V24(19/55)

470,0 288,5

V22(12/55)

470,0 245,0

V18(12/55)

435,0

V21(12/55)

541,0

V23(19/55)

411,0 411,0

280,0

442,5

551,0 541,0

478,0

318,5

357,0

318,5

468,0 478,0

551,0

541,0

411,0

Figura 1.11 – Fôrmas do pavimento-tipo (planta inicial)

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fl. 18

V20(12/55)

Figura 1.12 – Corte esquemático entre dois pisos consecutivos

1.5 Pré-Dimensionamento da Estrutura do Edifício No dimensionamento das estruturas temos um paradoxo: a geometria dos elementos estruturais é definida para suportar os esforços solicitantes, entretanto, só podemos obter os esforços solicitantes após definirmos a geometria da estrutura, determinando seu peso próprio e a rigidez dos diversos elementos estruturais. Desta forma, precisamos estabelecer um pré-dimensionamento da estrutura, ou seja, determinar a geometria aproximada dos elementos estruturais, que será utilizada numa análise preliminar, quando então seremos capazes de efetuar os ajustes necessários, determinando a geometria final e conseqüentemente o carregamento real que nos permite o dimensionamento das armaduras. Definido o esquema estrutural, procedemos ao pré-dimensionamento dos elementos da seguinte maneira: Pré-dimensionamento das lajes; Pré-dimensionamento das vigas (com base nas cargas verticais).; Estimativa do carregamento vertical (peso próprio, revestimento, alvenaria, cargas acidentais decorrentes da utilização da estrutura), distribuído pela área de laje dos pavimentos; Estimativa das cargas verticais provenientes do ático; Pré-dimensionamento dos pilares (com base nas cargas verticais); Estimativa dos carregamentos horizontais devidos à ação do vento e do desaprumo global do edifício; Determinação da rigidez (aproximada) da estrutura (parâmetros α e γz); Determinação da flecha (aproximada) do edifício sob cargas de serviço; Correção do pré-dimensionamento da estrutura para provê-la de maior rigidez, caso necessário, tendo como base as duas análises anteriores. ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 19

1.5.1

Pré-dimensionamento das lajes

A altura útil d da laje pode ser estimada pela expressão empírica sugerida por MACHADO:

(

)

d ≅ (2,5 − 0,1n)l * (cm), com l * em m onde, n = número de bordas engastadas da laje

( 1.9 )

l x l* = o menor dos dois valores  , sendo l x ≤ l y 0,7 l y

ou ainda pela expressão: h=

lx , com l x ≤ l y 40

( 1.10 )

O pré-dimensionamento deve respeitar as espessuras mínimas definidas na NBR6118 e expressas na Tabela 1.2. Tabela 1.2 – Espessuras mínimas de lajes (segundo a NBR6118/78)

Finalidade lajes de cobertura não em balanço lajes de piso e lajes em balanço lajes destinadas à passagem de veículos 1.5.1.1

Espessura mínima 5 cm 7 cm 12 cm

Aplicação ao edifício exemplo

Para estruturas convencionais de edifícios residenciais, podemos considerar que o vão teórico das lajes se prolonga até o eixo das vigas que as apóiam. Desta forma, determinamos os vãos lx e ly e procedemos ao pré-dimensionamento das lajes, cujas dimensões adotadas estão mostradas na Tabela 1.3. Tabela 1.3 – Pré-dimensionamento das lajes

Laje L1=L4=L8=L11 L2=L3=L9=L10 L5=L6 L7

lx (m) 4,32 4,60 2,73 3,50

ly (m) 5,55 5,65 2,75 3,65

0,7 ly (m) 3,89 3,96 1,93

l* (m) 3,89 3,96 1,93

n(*) 1 2 3

d (cm) 9,4 9,2 4,2

h (cm) 10 10 7 10

(*)

a determinação da condição de apoio da borda de uma laje será discutida no capítulo de lajes. As lajes da caixa d´água e da casa de máquinas devem ser pré-dimensionadas separadamente, avaliando as cargas atuantes. ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 20

1.5.2

Pré-dimensionamento das vigas

A altura das vigas pode ser calculada pela expressão: h=

( 1.11 )

l l a , com hmín = 25cm 10 12,5

onde l é o vão da viga (normalmente, igual à distância entre os eixos dos pilares de apoio). Para vigas contínuas com vãos adjacentes de dimensões comparáveis (2/3 a 3/2), costuma-se uniformizar a altura das vigas. A largura da viga é em geral definida pelo projeto arquitetônico e pelos materiais e técnicas utilizados pela construtora. Desta forma, quando a viga ficar “embutida” em paredes de alvenaria, sua largura deve sempre que possível levar em conta o tipo de tijolo e de revestimento utilizado e a espessura final definida pelo arquiteto. 1.5.2.1

Aplicação ao edifício exemplo

a) Definição da altura das vigas Seguindo a expressão ( 1.11 ) obteríamos vigas com 40 a 45cm de altura. Entretanto, tendo em vista que as vigas participarão de pórticos de contraventamento, é necessário que elas possuam uma inércia maior. Desta forma, padronizaremos a altura de todas as vigas em 55cm. b) Definição da largura das vigas Admite-se que as paredes com 25cm de espessura sejam executadas com blocos cerâmicos de 19cm de largura e revestimento em argamassa com 3cm de espessura em cada face da parede e que as paredes com 15cm sejam construídas com blocos com 12cm de largura e revestimento em argamassa com 1,5cm de espessura em cada face.

Assim sendo: Tabela 1.4 – Largura das vigas

Espessura da Parede 25cm 15cm

Largura da viga 19cm 12cm

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 21

1.5.3

Estimativa das cargas verticais para o pré-dimensionamento

a) Peso Próprio O peso próprio pode ser estimado multiplicando o peso específico do concreto armado pela espessura média do pavimento, que é obtida a partir da divisão da somatória do volume de concreto de todos os elementos estruturais do pavimento (lajes, vigas e pilares) pela área do pavimento.

pp = emédia,pav ⋅ γ c emédia,pav =

(V

concr ,vigas

( 1.12 )

+ Vconcr ,pilares + Vconcr ,lajes + K)pav A pav

Para edifícios residenciais, esta espessura média pode ser estimada em 17cm para as dependências e 20cm para as escadas. b) Revestimento O peso próprio do revestimento das lajes (piso, contra-piso, reboco, etc) pode ser obtido de maneira exata multiplicando a espessura dos revestimentos pelos valores tabelados na norma NBR6120/80 – Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações.

Considerando revestimentos convencionais podemos, para fins de prédimensionamento, estimar a carga devida ao revestimento entre 0,5 e 1,0 kN/m2. c) Carga Acidental O carregamento acidental é tabelado na NBR6120/80 conforme a utilização da edificação e da finalidade do compartimento.

Em edifícios residenciais (para efeito de pré-dimensionamento) podemos utilizar 1,5 kN/m2 para todas as lajes, excetuando-se as lajes do fundo da caixa d’água e da casa de máquinas. d) Alvenaria O carregamento distribuído devido às paredes de alvenaria pode ser obtido da divisão da somatória do peso de todas as paredes do pavimento pela área do pavimento.

Para edifícios residenciais, com alvenaria de blocos cerâmicos e espessura de parede de 15cm, podemos estimar o valor deste carregamento entre 3,0 e 5,0 kN/m2. e) Ático Na determinação do carregamento do ático, devemos considerar o carregamento devido à água armazenada na caixa d´água, a carga acidental introduzida pelos elevadores e o peso próprio da estrutura (pilares, lajes, vigas, caixa d´água).

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 22

1.5.3.1

Aplicação ao edifício exemplo

a) Pavimento Tipo

pp rev q alv

= 0,17 ⋅ 25 = = = ∴ p méd,k p méd,d

= = = = = =

4,25 1,0 1,5 4,0 10,75 1,4 ⋅ 10,75 = 15,1kN m2

b) Ático Cobertura da Caixa D´Água

pp rev q alv água

= = = = = ∴ p cob.cx.d´água,k p cob.cx.d´água,d

= = = = = = =

98,6 kN 32,9 kN 65,7 kN 0 0 197,2 kN 1,4 ⋅ 197,2 = 276,1 kN

Caixa D´Água

pp rev q alv água

= = = = = ∴ p cx.d´água,k p cx.d´água,d

= = = = = = =

327,8 kN 0 0 0 516,6 kN 844,4 kN 1,4 ⋅ 844,4 = 1182,2 kN

Casa de Máquinas

pp rev q alv água

= = = = = ∴ p casa de máq.,k p casa de máq.,d

= = = = = = =

164,4 kN 32,9 kN 298,9 kN 131,5 kN 0 627,7 kN 1,4 ⋅ 627,7 = 878,8 kN

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 23

Carga Total do Ático Cob. Cx. D´Água

=

= 197,2 kN

Cx. D´Água

=

= 844,4 kN

Casa de Máquinas =

= 627,7 kN

∴ p ático,k p ático,d

= 1669,3 kN = 1,4 ⋅ 1669,3 = 2337,0 kN

Como veremos adiante, o ático será sustentado por 6 pilares (P9=P10, P15=P16 e P21=P22), regularmente espaçados. Desta forma, para efeito de pré-dimensionamento, distribuiremos o carregamento do ático uniformemente nos 6 pilares. 1669,3 = 278,2 kN 6 1,4 ⋅ 1669,2 = = 389,5 kN 6

p ático / pilar ,k = p ático / pilar ,d

1.5.4

Determinação do carregamento horizontal

1.5.4.1

Vento

A determinação do carregamento proveniente da ação do vento pode ser feita por fórmulas aproximadas ou por meio da metodologia da NBR6123/88.

1.5.4.1.1

Aplicação ao edifício exemplo

Dados: v0 = 40 m/s (localidade → São Paulo/SP) s1 = 1,00 (terreno plano ou fracamente acidentado) b = 0,85  s 2 = Fr = 0,98 p = 0,13 

(Subúrbio densamente construído de grandes cidades e dimensão da edificação compreendida entre 20 e 50m)

s3 = 1,00 (edificação para residências)

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 24

Coeficiente de Arrasto (Ca)

Vento na direção paralela ao eixo x: I1 = 11,49 m   I2 = 24,14 m ⇒ C a = 1,0 h = 48 m  Vento na direção paralela ao eixo y: I1 = 24,14 m  I2 = 11,49 m ⇒ C a = 1,36 h = 41,50 m  (para o cálculo de Ca, desconsideramos a presença do ático) A Tabelas 1.5 e 1.6 mostram a determinação das forças devidas ao vento no edifício. Tabela 1.5 – Cálculo das forças horizontais de vento atuantes na direção x Cota Piso Cob Cx D´Água 48,00 Cx D´Água 46,00 Cob C Máq 43,25 Cob 41,50 14o 38,75 13o 36,00 o 12 33,25 11o 30,50 10o 27,75 o 09 25,00 08o 22,25 07o 19,50 o 06 16,75 05o 14,00 04o 11,25 03o 8,50 o 02 5,75 01o 3,00 T 0,00 Andar

Cota Média 47,00 44,63 42,38 40,13 37,38 34,63 31,88 29,13 26,38 23,63 20,88 18,13 15,38 12,63 9,88 7,13 4,38 1,50

s2 1,011 1,004 0,998 0,991 0,982 0,973 0,963 0,952 0,940 0,928 0,913 0,897 0,879 0,858 0,832 0,798 0,751 0,657

vk (m/s) 40,43 40,17 39,91 39,64 39,29 38,92 38,52 38,08 37,61 37,10 36,53 35,89 35,16 34,31 33,27 31,94 30,05 26,29

wk (kN/m2) 1,002 0,989 0,976 0,963 0,946 0,928 0,909 0,889 0,867 0,844 0,818 0,790 0,758 0,721 0,678 0,625 0,553 0,424

A,exp (m2) 17,21 23,66 15,06 31,60 31,60 31,60 31,60 31,60 31,60 31,60 31,60 31,60 31,60 31,60 31,60 31,60 31,60 34,47

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

Wk,médio (kN) 17,25 23,41 14,70 30,44 29,90 29,33 28,73 28,09 27,40 26,66 25,85 24,95 23,95 22,79 21,44 19,76 17,49 14,60 Mbase,tot=

data:set/2001

Mbase (kNm) 827,8 1076,7 635,9 1263,1 1158,6 1056,0 955,4 856,8 760,5 666,5 575,1 486,5 401,1 319,1 241,2 167,9 100,6 43,8 11592,7

Wk (kN) 8,62 20,33 19,06 22,57 30,17 29,62 29,03 28,41 27,75 27,03 26,25 25,40 24,45 23,37 22,12 20,60 18,62 16,04 7,30

fl. 25

Tabela 1.6 – Cálculo das forças horizontais de vento atuantes na direção y Cota Piso Cob Cx D´Água 48,00 Cx D´Água 46,00 Cob C Máq 43,25 Cob 41,50 14o 38,75 o 13 36,00 12o 33,25 11o 30,50 10o 27,75 09o 25,00 08o 22,25 07o 19,50 06o 16,75 05o 14,00 o 04 11,25 03o 8,50 02o 5,75 o 01 3,00 T 0,00 Andar

1.5.4.2

Cota Média 47,00 44,63 42,38 40,13 37,38 34,63 31,88 29,13 26,38 23,63 20,88 18,13 15,38 12,63 9,88 7,13 4,38 1,50

s2 1,011 1,004 0,998 0,991 0,982 0,973 0,963 0,952 0,940 0,928 0,913 0,897 0,879 0,858 0,832 0,798 0,751 0,657

vk wk A,exp (m/s) (kN/m2) (m2) 40,43 1,002 7,2 40,17 0,989 9,9 39,91 0,976 38,1 39,64 0,963 66,4 39,29 0,946 66,4 38,92 0,928 66,4 38,52 0,909 66,4 38,08 0,889 66,4 37,61 0,867 66,4 37,10 0,844 66,4 36,53 0,818 66,4 35,89 0,790 66,4 35,16 0,758 66,4 34,31 0,721 66,4 33,27 0,678 66,4 31,94 0,625 66,4 30,05 0,553 66,4 26,29 0,424 72,4

Wk,médio (kN) 9,81 13,32 50,64 86,96 85,43 83,82 82,10 80,27 78,30 76,18 73,86 71,29 68,42 65,13 61,25 56,45 49,97 41,71 Mbase,tot=

Mbase (kNm) 471,0 612,6 2190,4 3609,0 3310,5 3017,4 2729,8 2448,2 2172,9 1904,4 1643,3 1390,2 1146,0 911,8 689,1 479,8 287,3 125,1 29139,0

Wk (kN) 4,91 11,57 31,98 68,80 86,20 84,62 82,96 81,18 79,29 77,24 75,02 72,57 69,86 66,78 63,19 58,85 53,21 45,84 20,86

Wk/2 (kN) 2,45 5,78 15,99 34,40 43,10 42,31 41,48 40,59 39,64 38,62 37,51 36,29 34,93 33,39 31,60 29,43 26,61 22,92 10,43

Consideração das imperfeições construtivas

A determinação do carregamento proveniente do desaprumo global da estrutura pode ser feita conforme o procedimento que será descrito mais adiante neste texto, na seção de determinação das cargas verticais atuantes.

1.5.4.2.1

Aplicação ao edifício exemplo

Apresentamos a seguir o cálculo da inclinação acidental do edifício, considerando para tanto a altura total do edifício e o menor número de pilares em uma fileira (na direção Y: pilares P2, P8, P18). Verifica-se que se deve usar a inclinação mínima para a consideração do desaprumo nas direções x e y. 1  100 l = 48m 693  1  → θ a = θa,mín = 300 1 + 1n=3 1  θ a = θ1 = 2 848 

θ1 =

1

=

(para estruturas deslocávei s)

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 26

Tabela 1.7 – Cálculo das forças horizontais equivalentes à inclinação acidental global Andar Cob Cx D´Água Cx D´Água Cob C Máq Cob 14o 13o 12o 11o 10o 09o 08o 07o 06o 05o 04o 03o 02o 01o T

Cota Piso 48,00 46,00 43,25 41,50 38,75 36,00 33,25 30,50 27,75 25,00 22,25 19,50 16,75 14,00 11,25 8,50 5,75 3,00 0,00

Pd,andar/2 138,0 591,1 439,4 714,4 952,6 952,6 952,6 952,6 952,6 952,6 952,6 952,6 952,6 952,6 952,6 952,6 952,6 952,6 952,6

Direção Y Fi/2 Md,base/2 0,46 22,1 1,97 90,6 1,46 63,3 2,38 98,8 3,18 123,0 3,18 114,3 3,18 105,6 3,18 96,8 3,18 88,1 3,18 79,4 3,18 70,7 3,18 61,9 3,18 53,2 3,18 44,5 3,18 35,7 3,18 27,0 3,18 18,3 3,18 9,5 3,18 0,0 Md,total= 1202,9

Direção X Fi Md,base 0,92 44,2 3,94 181,3 2,93 126,7 4,76 197,7 6,35 246,1 6,35 228,6 6,35 211,2 6,35 193,7 6,35 176,2 6,35 158,8 6,35 141,3 6,35 123,8 6,35 106,4 6,35 88,9 6,35 71,4 6,35 54,0 6,35 36,5 6,35 19,1 6,35 0,0 Md,total= 2405,8

Analisando a tabela anterior e comparando-a com as Tabelas 1.5 e 1.6, percebemos que o esforço introduzido pela inclinação acidental global é muito inferior ao introduzido pelo vento. Desta forma, consideraremos apenas o efeito do vento na edificação (NBR6118/2001 – Projeto de Revisão).

1.5.5

Pré-dimensionamento dos pilares

Os pilares devem ser dimensionados de maneira a resistir às cargas verticais da edificação e, junto com as vigas, formar pórticos de contraventamento capazes a resistir aos esforços horizontais. Desta forma, em primeiro lugar, devemos determinar a seção dos pilares, levando em consideração as cargas verticais e em seguida calcular a deformabilidade da estrutura e seu comportamento sob cargas de serviço. Para o pré-dimensionamento dos pilares, levando-se em consideração as cargas verticais, a área da seção transversal Ac,pilar pode ser pré-dimensionada por meio da carga total Pd,total/pilar prevista para o pilar no nível considerado:

[

Pd,total / pilar = γ f ⋅ (nandares acima ⋅ Ptipo / pilar ) + Pcobertura / pilar + Pático / pilar

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

]

( 1.13 )

data:set/2001

fl. 27

O quinhão de carga correspondente a cada pilar, por andar, pode ser estimado multiplicando-se a carga média (por m2) para o andar pela área de influência do pilar em questão, Ainfl, de acordo com a Figura 1.13. No caso de um andar tipo, temos: Ptipo / pilar = A inf l. / pilar ⋅ p méd,k

( 1.14 )

A área de influência de um pilar é obtida a partir das figuras geométricas que envolvem os pilares formadas por retas que passam pela mediatriz dos segmentos de reta que unem pilares adjacentes e pelo contorno do pavimento. Costuma-se não descontar furos e o poço dos elevadores. P1

P2

P3

P4

P5

P6

4,02m2 11,66m2

6,31m2

P10

P9 17,63m2

6,43m2 P7

P11

P8

P12

10,81m2

P8´

P13

17,63m2 6,43m2

P11´

P16

P21

P22

P15

P14 16,80m2

6,31m2

11,79m2

P18

P17

7,48m2

P19

P20

Figura 1.13 – Determinação das áreas de influência dos pilares

A carga da laje de cobertura do edifício, em geral, pode ser estimada como uma fração do carregamento dos andares tipo: Pcobertura / pilar ≅ 0,75 ⋅ Ptipo / pilar

( 1.15 )

O procedimento para o cálculo do carregamento do ático é o mesmo utilizado para a determinação de pméd,k, levando em consideração as cargas pertinentes ao ático. Tendo obtido a carga total no pilar, obtemos sua área por meio da expressão: A c,pilar =

( 1.16 )

Pd,total / pilar σ adm

onde admite-se uma tensão admissível no pilar em torno de σ adm ≅ 0,5 ⋅ fck . Para determinar as dimensões dos pilares, devemos seguir as prescrições da NBR6118 quanto à dimensão mínima dos lados de pilares e pilares parede: ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 28

Tabela 1.8 – Dimensões mínimas de pilares, γn

NBR6118/78 NBR6118/2001 (Projeto de Revisão) b b γn γn 1,0 1,0 ≥ 20cm ≥ 19cm 2,4 − 0,05b 2,73 − 0,07b 12 ≤ b ≤ 20cm 12 ≤ b ≤ 19cm γn = γn = 1,4 1,4 O coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nos pilares, quando de seu dimensionamento. 1.5.5.1

Aplicação ao edifício exemplo

Abaixo apresentamos a planilha de pré-dimensionamento dos pilares, os quais foram dimensionados com dimensão constante até o seu topo visando um melhor reaproveitamento das fôrmas. Entretanto, pode-se optar por efetuar uma redução no tamanho dos pilares. Dimensionamos os pilares P19 e P20 com uma carga um pouco maior em virtude da maior espessura média das escadas. Procuramos também deixar os pilares de canto com tensões um pouco menores, em virtude dos efeitos de flexão que serão introduzidos nestes pilares e de uma carga um pouco mais elevada de alvenaria. Além disso, juntamos os pilares P8-P8’ e P11-P11’ (ver Figura 1.13), uma vez que as dimensões necessárias para estes pilares, segundo o pré-dimensionamento, resultariam numa distância muito próxima entre eles, sendo preferível uni-los num só pilar. A planta de fôrmas final do pavimento-tipo está mostrada na Figura 1.14. Tabela 1.9 – Pré-dimensionamento dos pilares Pilar

ntipo

Ainfl 2 (m )

Ainfl,tot 2 (m )

P1=P6=P17= P22

14

6,31

8 P2=P5=P18= P21

8 11,79 P3=P4

14

4,02

59,30

8

4,02

14 8

pd 2 (kN/m )

Pd,tipo (kN)

Pd,ático (kN)

Pd,tot (kN)

93,07

15,05 1400,74

0,00

6,31

55,21

15,05

830,95

0,00

830,95

14 11,79

173,90

15,05 2617,23

0,00

2617,23

103,16

15,05 1552,60

0,00

1552,60

15,05

892,39

0,00

892,39

35,18

15,05

529,38

0,00

529,38

6,43

94,84

15,05 1427,38

0,00

1427,38

6,43

56,26

15,05

846,75

0,00

846,75

14 35,26

520,09

15,05 7827,28

0,00

8 35,26

308,53

15,05 4643,30

0,00

14 13,99

206,35

15,05 3105,61

8 13,99

122,41

P14=P15

14 16,80 8 16,80

P19=P20

14

7,48

8

7,48

P7=P12=P13= P16 P8=P11 P9=P10

sadm 2 A (cm ) b (cm) h (cm) 2 (kN/cm )

1400,74

65

1,13

33,64

65

0,67

105,96

110

1,25

62,86

110

0,74

34,32

40

1,12

20

20,36

40

0,66

1,30 1097,98

19

57,79

65

1,16

1,30

651,35

19

34,28

65

0,69

7827,28

1,30 6020,98

20

301,05

285

1,37

4643,30

1,30 3571,77

20

178,59

285

0,81

389,50

3495,11

1,30 2688,54

20

134,43

140

1,25

15,05 1842,31

389,50

2231,81

1,30 1716,78

20

85,84

140

0,80

247,80

15,05 3729,39

389,50

4118,89

1,30 3168,38

20

158,42

160

1,29

147,00

15,05 2212,35

389,50

2601,85

1,30 2001,42

20

100,07

160

0,81

110,33

16,10 1776,31

389,50

2165,81

1,30 1666,01

20

83,30

90

1,20

65,45

16,10 1053,75

389,50

1443,25

1,30 1110,19

20

55,51

90

0,80

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

1,30 1077,49

19

1,30

639,19

19

1,30 2013,26

19

1,30 1194,30

19

1,30

686,45

20

1,30

407,22

hfinal σf (cm) (kN/cm2)

data:set/2001

56,71

fl. 29

386,0

Y

280,0

312,0

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado (20/90)

157,0

P19

357,0

X

(110/19)

176,0

P18

200,0

(19/65)

138,0

LE

(20/90)

P20

(20/160)

P15

(20/140)

P10

P4

(20/40)

L10 h=10cm

V8(12/55)

L3 h=10cm

V2(19/55)

276,0

VE(19/55)

V11(12/55)

L7 h=10cm

V6(12/55)

147,0

V13(19/55)

468,0

P17

216,0

L9 h=10cm

V3(12/55)

178,5

(20/160)

P14

(20/140)

P9

P3

(20/40)

116,0

V12(19/55)

L2 h=10cm

V7(12/55)

(20/285)

P8

P2

(110/19)

P11

(20/285)

P5

V5(12-19/55)

L4 h=10cm

L6 h=10cm

(110/19)

P21

V10(12-19/55)

(110/19)

L11 h=10cm

P6

(19/65)

(19/65)

P16

(19/65)

P12

(19/65)

P22

312,0

L8 h=10cm

V9(19-12/55)

L5 h=10cm

271,0

(19/65)

L1 h=10cm

V4(19-12/55)

V1(19/55)

565,0

P13

P7

(19/65)

P1

338,5

V15(19/55)

V14(19/55)

178,5

V16(12/55)

(19/65)

V17(12/55)

506,0 338,5 271,0

V18(12/55)

373,0

V19(10/40)

505,0

V21(12/55)

577,6

V22(12/55)

505,0

V24(19/55)

506,0

V23(19/55)

386,0 386,0

280,0

551,0 506,0

559,8

513,0

353,5

357,0

353,5

468,0 513,0

565,0

551,0

506,0

386,0

Figura 1.14 – Fôrmas do pavimento-tipo (final)

data:set/2001

fl. 30

V20(12/55)

Os pilares foram dimensionados com dimensão constante até o seu topo visando a um melhor reaproveitamento das fôrmas. Entretanto, pode-se optar por efetuar uma redução no tamanho dos pilares. Dimensionamos os pilares P19 e P20 com uma carga um pouco maior em virtude da maior espessura média das escadas. Procuramos também deixar os pilares de canto com tensões um pouco menores, em virtude dos efeitos de flexão que serão introduzidos nestes pilares e de uma carga um pouco mais elevada de alvenaria.

1.5.6

Determinação da rigidez (aproximada) da estrutura

Determinado o pré-dimensionamento da estrutura, devemos verificar se a estrutura é capaz de suportar os esforços horizontais a que ela está submetida (no nosso caso as forças introduzidas pela ação do vento), verificando se os efeitos de 2a ordem não são muito pronunciados e se as deformações sob cargas de serviço são compatíveis. 1.5.6.1

Aplicação ao edifício exemplo

Para tanto, estabeleceremos um conjunto de pórticos planos em direções ortogonais (x e y). Poderíamos utilizar também o modelo de pórtico espacial, mas como a estrutura é bastante simétrica, não havendo efeitos de torção da estrutura pronunciados, a utilização do modelo de pórticos planos é uma aproximação simples e eficiente. Para simular o efeito de chapa das lajes, solidarizando os pórticos em cada pavimento, unimos os pórticos da estrutura com barras rígidas bi-rotuladas, como esquematizado na Figura 1.14. O modelo ilustrado nesta figura foi processado em um programa de análise estrutural de pórticos planos para a obtenção dos esforços globais devidos à carga de vento.

Figura 1.14 – Modelo utilizado – direção y ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 31

1.5.6.1.1

Parâmetro α

As expressões para a determinação do parâmetro α e seu significado são apresentadas no procedimento descrito no item 1.8. α ≤ α1 = 0,6

(npav ≥ 4)

( 1.9 )

A Tabela 1.10 mostra os valores obtidos. Tabela 1.10 – Determinação do parâmetro α

Caso de Carregamento direção x direção y (*) Nk,edifício/2

Htot (m) 48 48

Nk,edifício (kN) 21742 10871(*)

Ecs (GPa)

Ieq (m4)

α

23,8 23,8

6,88 5,21

0,55 0,45

Para o cálculo do parâmetro α, igualamos o deslocamento na cobertura do edifício, submetido ao carregamento de vento, ao mesmo nível da cobertura do exemplo, de um pilar equivalente, ao qual aplicamos o mesmo carregamento de vento.

1.5.6.1.2

Parâmetro γz

As expressões para a determinação do parâmetro γz e seu significado são apresentadas no procedimento descrito no item 1.8. As Tabelas 1.11 e 1.12 mostram, respectivamente, a determinação do parâmetro γz nas direções x e y.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 32

Tabela 1.11 – Determinação do parâmetro γz – direção x Andar Cota Piso Cob Cx D´Água 48,00 Cx D´Água 46,00 Cob C Máq 43,25 Cob 41,50 14o 38,75 13o 36,00 o 12 33,25 11o 30,50 10o 27,75 o 09 25,00 08o 22,25 07o 19,50 o 06 16,75 05o 14,00 04o 11,25 o 03 8,50 02o 5,75 01o 3,00 T 0,00

Wd 12,07 28,46 26,68 31,60 42,23 41,46 40,65 39,78 38,85 37,85 36,76 35,56 34,23 32,72 30,96 28,84 26,07 22,46 10,22

M1 579,4 1309,0 1153,8 1311,3 1636,6 1492,7 1351,5 1213,2 1078,0 946,1 817,8 693,4 573,3 458,1 348,3 245,1 149,9 67,4 0,0 15425,1

Pd,andar 276 1182 879 1429 1905 1905 1905 1905 1905 1905 1905 1905 1905 1905 1905 1905 1905 1905 1905

γz =

1,10

d(m) 0,081 0,080 0,079 0,073 0,071 0,068 0,065 0,062 0,057 0,053 0,048 0,042 0,036 0,030 0,023 0,016 0,009 0,003 0,000

dM 22,1 93,4 68,2 103,9 134,5 129,7 123,8 117,2 109,4 100,4 90,7 80,0 68,6 56,4 43,4 30,1 17,1 6,1 0,0 1395,0

Observando as Tabelas 1.11 e 1.12, verificamos que não há necessidade de se efetuar uma análise mais rigorosa da estrutura (análise não-linear, processo P-∆), pois os efeitos de 2a ordem são pouco significativos para a estrutura. Para efeito de ilustração, na Tabela 1.13 apresentamos a determinação do parâmetro γz da estrutura na direção y, considerando todos os pilares isolados (unidos apenas por barras rígidas bi-rotuladas). Podemos verificar que a consideração dos pórticos de contraventamento é fundamental para garantir a estabilidade da estrutura.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 33

Tabela 1.12 – Determinação do parâmetro γz – direção y Andar Cota Piso Cob Cx D´Água 48,00 Cx D´Água 46,00 Cob C Máq 43,25 Cob 41,50 14 o 38,75 13 o 36,00 o 12 33,25 11 o 30,50 10 o 27,75 o 09 25,00 08 o 22,25 07 o 19,50 o 06 16,75 05 o 14,00 04 o 11,25 o 03 8,50 02 o 5,75 01 o 3,00 T 0,00

Wd/2 3,43 8,10 22,39 48,16 60,34 59,24 58,07 56,83 55,50 54,07 52,51 50,80 48,90 46,74 44,23 41,20 37,25 32,09 14,60

M1 164,8 372,4 968,2 1998,7 2338,1 2132,5 1930,8 1733,3 1540,1 1351,7 1168,4 990,6 819,1 654,4 497,6 350,2 214,2 96,3 0,0 19321,6

Pd,andar/2 138 591 439 714 953 953 953 953 953 953 953 953 953 953 953 953 953 953 953

γz =

1,05

d(m) 0,111 0,110 0,107 0,106 0,101 0,095 0,089 0,082 0,074 0,066 0,058 0,049 0,040 0,031 0,022 0,014 0,007 0,002 0,000

dM 15,3 64,7 47,1 75,5 95,8 90,4 84,5 78,0 70,9 63,3 55,1 46,7 38,0 29,3 21,1 13,4 7,0 2,3 0,0 898,4

Tabela 1.13 – Determinação do parâmetro γz (direção y, pilares isolados) Andar Cota Piso Cob Cx D´Água 48,00 Cx D´Água 46,00 Cob C Máq 43,25 Cob 41,50 14o 38,75 13o 36,00 o 12 33,25 11o 30,50 10o 27,75 09o 25,00 o 08 22,25 07o 19,50 06o 16,75 o 05 14,00 04o 11,25 03o 8,50 o 02 5,75 01o 3,00 T 0,00

Wd/2 3,43 8,10 22,39 48,16 60,34 59,24 58,07 56,83 55,50 54,07 52,51 50,80 48,90 46,74 44,23 41,20 37,25 32,09 14,60

M1 164,8 372,4 968,2 1998,7 2338,1 2132,5 1930,8 1733,3 1540,1 1351,7 1168,4 990,6 819,1 654,4 497,6 350,2 214,2 96,3 0,0 19321,6

Pd,andar/2 138 591 439 714 953 953 953 953 953 953 953 953 953 953 953 953 953 953 953

γz =

1,39

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

d(m) 0,907 0,857 0,789 0,746 0,678 0,611 0,544 0,477 0,413 0,349 0,289 0,231 0,178 0,129 0,087 0,052 0,025 0,007 0,000

dM 125,2 506,6 346,7 533,0 645,9 582,0 518,2 454,4 393,4 332,5 275,3 220,0 169,6 122,9 82,9 49,5 23,8 6,8 0,0 5388,5

data:set/2001

fl. 34

1.5.7

Cálculo da flecha (aproximada) do edifício sob cargas de serviço

li  entre pavimentos : 1000 Parâmetros de Referência:  no edifício : l  1700 a) Edifício Tabela 1.14 – Verificação da flecha do edifício sob cargas de serviço – Direção Y

Nível

Cota (m)

amáx (cm)

aserviço (cm)

Cob. Cx. Dágua Cobertura

48 41,5

2,82 2,44

1,42 1,34

Obs: O cálculo da flecha sob cargas de serviço foi efetuado utilizando-se 30% do carregamento de vento. b) Entre pavimentos Tabela 1.15 – Verificação da flecha entre pavimentos sob cargas de serviço – Direção Y

Andar

Cob. Cx. D´Água Cx. D´Água Cob. C. Máq. Cob. 14o 13o 12o 11o 10o 09o 08o 07o 06o 05o 04o 03o 02o 01o T

Cota Piso (m) 48,00 46,00 43,25 41,50 38,75 36,00 33,25 30,50 27,75 25,00 22,25 19,50 16,75 14,00 11,25 8,50 5,75 3,00 0,00

Piso a Piso (m) 2,00 2,75 1,75 2,75 2,75 2,75 2,75 2,75 2,75 2,75 2,75 2,75 2,75 2,75 2,75 2,75 2,75 3,00

a (cm)

1,42 1,40 1,36 1,34 1,27 1,20 1,13 1,04 0,95 0,85 0,75 0,64 0,52 0,41 0,30 0,20 0,11 0,04 0,00

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

∆a (cm) ∆aadm (cm) 0,0500 0,0800 0,0400 0,1400 0,1400 0,1600 0,1700 0,1800 0,2000 0,2000 0,2200 0,2200 0,2200 0,2100 0,2000 0,1700 0,1300 0,0700

0,2 0,275 0,175 0,275 0,275 0,275 0,275 0,275 0,275 0,275 0,275 0,275 0,275 0,275 0,275 0,275 0,275 0,3

data:set/2001

OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK

fl. 35

1.6 Determinação do Carregamento Vertical 1.6.1

Cargas atuantes em estruturas de edificações (NBR6120/80)

O quadro a seguir apresenta valores de carga a serem adotados em estruturas de edificações segundo a NBR6120/80 (Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações).

a) Cargas permanentes: Peso específico de alguns materiais de construção: Material

concreto simples concreto armado argamassa de cimento e areia argamassa de cal, cimento e areia alvenaria de tijolo maciço de tijolo furado (cerâmico) de blocos de concreto material de enchimento entulho argila expandida terra madeira pinho, cedro louro, imbuia angico, cabriúva, ipê róseo Material

revestimentos de pisos telhados de telha de barro de telha de fibrocimento de telha de alumínio impermeabilização de pisos divisória de madeira caixilhos de ferro de alumínio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

Peso específico aparente kN/m3 ton/m3 24 2,4 25 2,5 21 2,1 19 1,9

18 13 13

1,8 1,3 1,3

15 9 18

1,5 0,9 1,8

5 6,5 10

0,5 0,65 1,0

Peso específico / área kN/m2 kgf/m2 1 100

0,7 0,4 0,3

700 400 300

1,0 0,2

100 200

0,3 0,2

300 200

data:set/2001

fl. 36

Paredes divisórias sem posição determinada: carga uniformemente distribuída não menor que 1/3 do peso linear de parede pronta e maior que 1,00 kN/m2.

salas de leitura salas para depósito de livros sala com estantes de livros

2,5 4,0 6,0

250 400 600

escritórios e banheiros salas de diretorias

2,0 1,5

200 150

palco platéia com assentos fixos platéia com assentos móveis banheiros salas de assembléias com assentos fixos salas de assembléias com assentos móveis salão de danças ou esporte banheiros ginásio de esportes

5,0 3,0 4,0 2,0 3,0 4,0 5,0 2,0 5,0

500 300 400 200 300 400 500 200 500

dormitórios, enfermarias e banheiros salas de cirurgia corredores

2,0 2,0 3,0

200 200 300

hospitais

clubes

cinemas e teatros

bibliotecas

dormitórios, salas, cozinhas e banheiros despensas, áreas de serviço e lavanderias forros sem acesso a pessoas escadas sem acesso ao público garagens (sem consideração de ψ) terraços sem acesso ao público salas de uso geral e banheiros escadas com acesso ao público corredores com acesso ao público terraços com acesso ao público forros sem acesso a pessoas garagens (sem consideração de ψ) restaurantes salas de aula auditórios escadas e corredores outras salas

Peso específico / área kN/m2 kgf/m2 1,5 150 2,0 200 0,5 50 2,5 250 2,0 200 2,0 200 2,0 200 3,0 300 3,0 300 3,0 300 0,5 0,5 2,0 200 3,0 300 3,0 300 5,0 500 4,0 400 2,0 200

bancos

escolas

edifícios de escritórios

edifícios residenciais

b) Cargas variáveis ou acidentais:

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 37

c) Cargas acidentais em balcões (parapeitos):

d) Cargas verticais especiais: Peso específico / área kN/m2 kgf/m2 casa de máquinas e poço dos elevadores laje sobre a caixa dos elevadores v (velocidade) ≤ 1 m/s v > 1 m/s laje adjacente à caixa dos elevadores v (velocidade) ≤ 1 m/s v > 1 m/s forro da casa de máquinas poço de molas dos elevadores (laje inferior)

30 50

30000 50000

5 7 10 20

5000 7000 10000 20000

e) Coeficiente de impacto:

ϕ = 1,0 ϕ=

quando l ≥ l 0

l0 ≤ 1,43 quando l ≤ l 0 l

l 0 = 3 m para lajes (menor vão) l 0 = 5 m para vigas

f) Escadas (degraus isolados): Aplicar carga concentrada de 2,5 kN na posição mais desfavorável. g) Redução das cargas acidentais (pilares e fundações) para edifícios residenciais, comerciais, residências e casas comerciais não destinados a depósitos: ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 38

No de pisos que atuam sobre o elemento 1, 2 e 3 4 5 6 ou mais

Redução percentual das cargas acidentais (%) 0 20 40 60

Obs: O forro deve ser considerado como piso.

1.6.2

Revestimento das lajes

Para o cálculo das cargas permanentes devidas ao revestimento das lajes (piso, camada de regularização e forro), foram definidas as espessuras mostradas na Figura 1.151. Adotou-se piso de taco de ipê róseo (γ = 10 kN/m3), camada de regularização de argamassa de cimento e areia (γ = 21 kN/m3) e revestimento de forro de argamassa de cimento, cal e areia (γ = 19 kN/m3).

Figura 1.15 – Camadas de revestimento das lajes

A carga total de revestimento por m2 de laje é dada pelo produto dos pesos específicos dos revestimentos adotados pelas suas respectivas espessuras.

1.6.3

Paredes sobre lajes

Utilizou-se para as paredes do edifício exemplo blocos cerâmicos vazados (γ = 13 kN/m3) e revestimento de argamassa de cimento e areia (γ = 21 kN/m3). A espessura do revestimento resultou 3 cm para as paredes internas e 6 cm para as paredes externas, respectivamente.

1

No edifício exemplo, a espessura da camada de regularização foi adotada como sendo de 3cm.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 39

Para obtermos o peso por metro linear de parede, multiplicamos o peso específico do bloco e do revestimento de parede adotado pelas suas respectivas espessuras e pelo pé direito. O peso total da parede é dado pelo produto da carga por metro linear pelo comprimento da parede. Nas lajes armadas em duas direções, divide-se o peso total da parede pela área da laje, obtendo-se uma carga por m2 suposta uniformemente distribuída. É uma simplificação de certo modo grosseira, porém justificável pelas pequenas dimensões dos vãos das lajes de edifícios. Nas lajes armadas numa só direção, a simplificação precedente pode fugir muito da realidade, sendo preferível substituí-la pelas seguintes regras práticas: a) se a parede é paralela ao lado lx (lado menor da laje), supõe-se que a faixa resistente tenha largura 2/3 lx; b) se a parede é paralela ao lado ly, considera-se a carga distribuída linearmente. A Tabela 1.17 apresenta os valores das cargas de parede sobre as lajes e a Tabela 1.18 mostra o carregamento final obtido. Tabela 1.17 – Cargas de parede sobre as lajes do edifício exemplo Laje 1=4=8=11 2=3=9=10 5=6 7

Comprimento de Parede Pé-direito Área da laje Carga Parede (m) (m) (m²) (kN/m²) 6,82 2,585 21,77 2,19 8,85 2,585 24,22 2,19 2,60 2,585 6,75 2,19 1,83 2,585 9,68 2,19

Características da Parede: Bloco cerâmico vazado com largura de 12 cm Revestimento de argamassa de cimento e areia

Total (kN/m²) 1,77 2,07 2,18 1,07

γ = 13 kN/m³ γ = 21 kN/m³

Tabela 1.18 – Carga total distribuída nas lajes do pavimento-tipo Laje

h(cm)

L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 L10 L11

10 10 10 10 7 7 10 10 10 10 10

Peso Próprio (kN/m²) 2,5 2,5 2,5 2,5 1,75 1,75 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5

Revestimento Total (kN/m²) 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12

Paredes sobre Laje (kN/m²) 1,77 2,07 2,07 1,77 2,18 2,18 1,07 1,77 2,07 2,07 1,77

Cargas Permanentes (kN/m²) 5,39 5,69 5,69 5,39 5,05 5,05 4,69 5,39 5,69 5,69 5,39

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

Cargas Acidentais (kN/m²) 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 3,0 1,5 1,5 1,5 1,5

data:set/2001

Total (kN/m²) 6,89 7,19 7,19 6,89 6,55 6,55 7,69 6,89 7,19 7,19 6,89 fl. 40

1.6.4

Cálculo das reações nas vigas

Para o cálculo das reações das vigas, isto é, para calcular a carga que a laje transmite às vigas que a sustentam, o critério mais prático é o indicado na Figura 1.16. Supõe-se que a borda maior ly receba a carga existente na área Ay, enquanto que Ax corresponde à borda menor lx. As áreas Ax e Ay são formadas pelas bissetrizes tiradas de cada canto da laje. É, portanto, um cálculo simples, baseado na teoria das charneiras plásticas. No caso de duas bordas adjacentes serem uma engastada e a outra apoiada, alguns autores recomendam que se faça o desenho do “telhado” com retas que formem ângulos de 30o e 60o (e não dois ângulos de 45o). Em tal caso, 60o para o lado do engastamento. Esta foi a hipótese adotada neste edifício exemplo. A distribuição de cargas nas vigas do pavimento-tipo do edifício exemplo, segundo o processo referido, é ilustrada na Figura 1.17. É importante salientar que na Figura 1.17 já estão incluídas as cargas de parede sobre as lajes.

l

Ay Ax

Ax Ay

l

Figura 1.16 – Esquema de distribuição de cargas das lajes para as vigas

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 41

Figura 1.17 – Determinação das reações das lajes nas vigas de apoio

Y

V15

V14

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 42

V9

X

V12

7.86m2

1.86m2

L8 7.86m2

15.32 + 2.77

2.28m2

L5

2.28m2

15.32 + 2.77

L1

15.12 + 1.52

5.64m2

4.65m2

5.64m2

15.12 + 1.52

1.06m2

V16

V4

15.12 + 1.52

5.64m2

4.65m2

7.62 + 0.58

5.64m2

V17

15.44 + 1.61

15.44 + 1.61

25.39 + 5.35 25.39 + 5.35

V7

6.71m2

L2

3.87m2

L9

14.68 + 1.26

9.77m2

6.71m2

22.26 + 4.38

9.77m2

3.87m2

5.64m2

5.64m2

V3 5.66 + 0

V19

5.66 + 0

5.66 + 2.23

V11

1.68m2 3.45m2

VE

LE

9.15 + 2.23

1.48m2

L7

3.65m2

10.35 + 3.00 10.35 + 3.00

V6

5.66 + 0

11.34 + 1.50 15.28 + 4.02 11.34 + 1.50

V13

3.87m2

L10

6.71m2

9.77m2

22.26 + 4.38

9.77m2

14.68 + 1.26

5.64m2

V8

6.71m2

L3

3.87m2

14.68 + 1.26

5.64m2

V2 11.34 + 1.50 19.45 + 2.98 11.34 + 1.50

7.86m2

15.32 + 2.77

2.28m2

L6

2.28m2

L4

4.65m2

1.06m2

4.65m2

15.12 + 1.52

5.64m2

L11

5.64m2

15.12 + 1.52

V10

V5

15.12 + 1.52

5.64m2

5.64m2

15.12 + 1.52

15.32 + 2.77

7.86m2

1.86m2

25.39 + 5.35 25.39 + 5.35

14.68 + 1.26

V18

7.62 + 0.58

15.12 + 1.52

V20

V22

15.44 + 1.61 15.44 + 1.61

V1

V24 V23

V21

1.6.5

Esquemas de distribuição de cargas nas vigas

Seguindo o procedimento descrito anteriormente, resultam os esquemas de distribuição de cargas nas vigas conforme a Tabela 1.19. Tabela 1.19 – Distribuição de cargas nas vigas

Viga (Tramo) Carga Permanente (kN/m) Carga Variável (kN/m) V1a 15,12 1,52 V1b 14,68 1,26 V2a 14,68 1,26 V2b 15,12 1,52 V3 5,66 0,00 V4a 15,12 1,52 V4b 15,32 2,77 V5a 15,32 2,77 V5b 15,12 1,52 V6a 10,35 3,0 V6b 10,35 3,0 V7 22,26 4,38 V8 22,26 4,38 V9a 15,12 1,52 V9b 15,32 2,77 V10a 15,32 2,77 V10b 15,12 1,52 V11a 5,66 2,23 V11b 9,15 2,23 V12a 15,12 1,52 V12b 14,68 1,26 V13a 14,68 1,26 V13b 15,12 1,52 V14 15,44 1,61 V15 15,44 1,61 V16 7,62 0,58 V17a 25,39 5,35 V17b 25,39 5,35 V18a 11,34 1,50 V18b 15,28 4,02 V18c 11,34 1,50 V19 5,66 0,00 V20a 11,34 1,50 V20b 19,45 2,98 V20c 11,34 1,50 V21a 25,39 5,35 V21b 25,39 5,35 V22 7,62 0,58 V23 15,44 1,61 V24 15,44 1,61 ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 43

1.7 Carregamento Horizontal 1.7.1

Procedimento para o cálculo das forças devidas ao vento nas edificações (segundo a NBR6123/88)

A consideração do efeito do vento nas edificações é obrigatória, segundo o projeto de revisão da NBR6118. O carregamento de vento, um carregamento acidental, pode ser calculado de acordo com a NBR6123/88 (Forças Devidas ao Vento em Edificações). Neste trabalho, adotaremos o vento como um carregamento estático, considerando a estrutura já concluída, e o conjunto global de suas partes. 1.7.1.1

Determinação da velocidade básica do vento (v0)

A velocidade básica do vento, v0, é a velocidade de uma rajada de 3s, excedida em média uma vez em 50 anos, a 10m acima do terreno, em campo aberto e plano (NBR6123/88). A velocidade básica do vento é obtida a partir do gráfico de isopletas, em função da localização geográfica da edificação (Figura 1.18).

Figura 1.18 – Isopletas da velocidade básica (v0) ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 44

1.7.2

Determinação da Velocidade Característica (vk)

A velocidade característica é obtida da multiplicação da velocidade básica pelos fatores s1, s2 e s3: v k = (s1 ⋅ s 2 ⋅ s 3 ) ⋅ v 0 a) Fator Topográfico, s1

Considera as variações do relevo do terreno: Relevo Terreno plano ou fracamente acidentado

s1 1,0

Pontos A e C

1,0 θ ≤ 3o : 1,0

Taludes e morros alongados, nos quais pode ser admitido um fluxo de ar bidimensional.

6 ≤ θ ≤ 17o :

(

Entre os Pontos A e B

Vales profundos, protegidos de ventos de qualquer direção

)

z  S1 = 1,0 +  2,5 −  tan θ − 3o ≥ 1,0 d  o θ ≥ 45 : z  S1 = 1,0 +  2,5 − 0,31 ≥ 1,0 d 

deve-se interpolar linearmente para as outras inclinações 0,9

b) Rugosidade do Terreno, Dimensões da Edificação e Altura sobre o Terreno, s2

O fator s2 considera a rugosidade do terreno (categoria), as dimensões da edificação (classe) e altura sobre o terreno (z) e é calculado pela expressão:  z  s 2 = b Fr    10 

p

onde b, Fr e p são determinados pela categoria de rugosidade e classe da edificação. Tabela 1.20 – Categoria do relevo

Categoria I II III IV V

Relevo Superfícies lisas de grandes dimensões, com mais de 5 km de extensão. Terrenos abertos com poucos obstáculos isolados. Terrenos planos ou ondulados com obstáculos. Terrenos com obstáculos numerosos e pouco espaçados. Terrenos com obstáculos numerosos, grandes, altos e pouco espaçados.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 45

Tabela 1.21 – Classe da edificação

Classe A B C

Tamanho da Edificação Maior dimensão horizontal ou vertical < 20m. Maior dimensão horizontal ou vertical entre 20 e 50m. Maior dimensão horizontal ou vertical > 50m.

Tabela 1.22 – Parâmetros meteorológicos

Categoria

Parâmetro

I

b p b p b p b p b p Fr

II III IV V IaV

A 1,10 0,06 1,00 0,085 0,94 0,10 0,86 0,12 0,74 0,15 1,00

Classes B 1,11 0,065 1,00 0,09 0,94 0,105 0,85 0,125 0,73 0,16 0,98

C 1,12 0,07 1,00 0,10 0,93 0,115 0,84 0,135 0,71 0,175 0,95

c) Fator Estatístico, s3 Tabela 1.23 – Fator estatístico

s3 1,10 1,00 0,95 0,88 0,83

Responsabilidade da Edificação Edificações onde se exige maior segurança. Edificações em geral. Edificações com baixo fator de ocupação. Vedações. Edificações temporárias.

1.8 Verificação da estabilidade global do edifício 1.8.1

Deslocabilidade

Considerando o deslocamento dos nós das estruturas reticuladas perante cargas horizontais, elas podem ser classificadas como de nós fixos ou de nós deslocáveis:

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 46

Estruturas de nós fixos: são as estruturas nas quais os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e por decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem); nestas estruturas basta considerar os efeitos locais e localizados de 2ª ordem; Estruturas de nós móveis: são as estruturas nas quais os deslocamentos horizontais não são pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de 2a ordem são importantes (superiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nestas estruturas devem ser obrigatoriamente considerados os esforços globais, locais e localizados de 2ª ordem (NBR6118/2001).

1.8.2

Rigidez Mínima das Estruturas Indeslocáveis

Dois processos aproximados são indicados pelo projeto de revisão da NBR6118 (e são transcritos a seguir) para garantir a rigidez mínima das estruturas de nós fixos. Lembramos que a avaliação da deslocabilidade da estrutura deve ser feita para todas as combinações de carga aplicadas à estrutura. a) Parâmetro de Instabilidade (α)

Uma estrutura reticulada simétrica poderá ser considerada como sendo de nós fixos se seu parâmetro de instabilidade α for menor que o valor α1 definido a seguir: α ≤ α1 α = Htot

(1.10) Nk E csIc

(1.11)

α1 = 0,2 + 0,1 ⋅ n se n ≤ 3 (1.12) α1 = 0,6 se n ≥ 4 onde: n - número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; Htot - altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; - somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do Nk nível considerado para o cálculo de Htot), com seu valor característico. Ecs Ic - somatória da rigidez de todos os pilares na direção considerada. No caso de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, ou com pilares de rigidez variável ao longo da altura, permite-se considerar produto de rigidez Ecs Ic de um pilar equivalente de seção constante. Para Ec permite-se adotar, nessa expressão e em todas as análises de estabilidade global, o valor do módulo de elasticidade inicial. O valor de Ic é calculado considerando as seções brutas dos pilares.

Para determinar a rigidez equivalente (Ecs Ic) em pórticos planos e estruturas treliçadas, procede-se da seguinte maneira:

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fl. 47

calcula-se o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação do carregamento horizontal característico; calcula-se a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base e livre no topo, de mesma altura Htot, tal que, sob a ação do mesmo carregamento, sofra o mesmo deslocamento no topo da estrutura de contraventamento. O valor limite α1 = 0,6 prescrito para n ≥ 4 é, em geral, aplicável às estruturas usuais de edifícios. Vale para associações de pilares-parede, e para pórticos associados a pilaresparede. Ele pode ser aumentado para 0,7 no caso de contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede, e deve ser reduzido para 0,5 quando só houver pórticos. b) Coeficiente γz

É possível determinar de forma aproximada o coeficiente γz de majoração dos esforços globais finais com relação aos de primeira ordem. Essa avaliação é efetuada a partir dos resultados de uma análise linear de primeira ordem, adotando-se os valores de rigidez indicados nas equações (1.13), que estimam o efeito da não-linearidade física. para lajes

: (EI)sec = 0,3 ⋅ E cIc

: (EI)sec = 0,4 ⋅ E cIc para A’s ≠ As e (EI)sec = 0,5 ⋅ E cIc para A’s = As para pilares : (EI)sec = 0,8 ⋅ E cIc para estruturas de contraventamento compostas exclusivamente por vigas e (1.13) pilares, pode-se considerar para ambas: (EI)sec = 0,7 ⋅ EcIc sendo : o módulo de elasticidade inicial do concreto Ec : o momento de inércia da seção bruta de concreto Ic para vigas

O valor de γz é: 1 γz = ∆M tot,d 1− M1,tot,d

(1.14)

sendo: M1,tot,d - momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura; ∆Mtot,d - soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de 1ª ordem;

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fl. 48

Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição γz ≤ 1,1, sendo que neste caso é possível desconsiderar os efeitos de 2ª ordem. Solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2ª ordem, válida para estruturas regulares consiste na avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª ordem) pela multiplicação por 0,95 γz dos momentos de 1ª ordem, desde que γz ≤ 1,3. Para valores de γz maiores que 1,3 é necessária a análise de 2ª ordem adequada, permitindo-se a adoção do processo P∆ para a avaliação da não-linearidade geométrica em conjunto com os valores de rigidez dados pela Equação 1.13 representativos do efeito da não-linearidade física. O procedimento apresentado nesta seção foi aplicado ao edifício exemplo para a determinação do carregamento horizontal devido ao vento, resultando nos valores apresentados no item 1.5.4.

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fl. 49

2 – Lajes de Concreto Armado 2.1 Lajes Maciças de Concreto Armado 2.1.1

Introdução

Lajes são elementos estruturais bidimensionais planos com cargas preponderantemente normais ao seu plano médio. Considerando uma estrutura convencional, as lajes transmitem as cargas do piso às vigas, que as transmitem, por sua vez, aos pilares, através dos quais são as cargas transmitidas às fundações, e daí ao solo.

Figura 2-1 – Representação de uma laje [FUSCO]

O comportamento estrutural primário das lajes é o de placa, que por definição, é uma estrutura de superfície caracterizada por uma superfície média (S) e uma espessura (h), com esforços externos aplicados perpendicularmente a S. As lajes possuem um papel importante no esquema resistente para as ações horizontais, comportando-se como diafragmas rígidos ou chapas, compatibilizando o deslocamento dos pilares em cada piso (contraventando-os).

Figura 2-2 – Comportamento das placas [FUSCO] ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 2

As estruturas de placas (lajes) podem ser analisadas admitindo-se as seguintes hipóteses [ABNT-2]: Manutenção da seção plana após a deformação, em faixas suficientemente estreitas; Representação dos elementos por seu plano médio. Os apoios das lajes são em geral constituídos pelas vigas do piso. Nestes casos, o cálculo das lajes pode ser feito de maneira simplificada como se elas fossem isoladas das vigas, com apoios (charneiras) livres à rotação e indeslocáveis à translação, considerando-se, contudo, a continuidade de lajes contíguas. Em geral, podem ser desprezados os efeitos da interação com as vigas. De fato, normalmente as flechas apresentadas pelas vigas de apoio são desprezíveis quando comparadas às das lajes, justificando a consideração dos apoios como irrecalcáveis. Além disso, também a rigidez à torção das vigas é relativamente pequena face à rigidez à flexão da laje, permitindo-se, em geral, desprezar-se a solicitação resultante desta interação. É obrigatória, entretanto, a consideração de esforços de torção inseridos nas vigas por lajes em balanço, aonde a compatibilidade entre a flexão na laje e a torção na viga é responsável pelo equilíbrio da laje [ISHITANI-1]. As cargas das lajes são constituídas pelo seu peso próprio, pela carga das alvenarias e dos revestimentos que nela se encontrarem e pelas ações acidentais.

2.1.2

Classificação

As lajes podem ser armadas em uma ou duas direções. As lajes armadas em uma única direção podem ser calculadas como vigas de largura unitária (maiores detalhes podem ser encontrados em [ABNT-1], item 3.3.2.6). Já as lajes armadas em duas direções, podem ser analisadas utilizando o modelo elástico-linear, com elementos de placa, utilizando o coeficiente de Poisson ν = 0,2 para o material elástico linear. Dentro desta sistemática, inicialmente as lajes são calculadas isoladamente, observando-se as condições de apoio de bordo engastado ou de charneira, conforme haja continuidade ou não entre as lajes. Posteriormente é feita a compatibilização entre os momentos de bordo de lajes contíguas. Os valores dos momentos fletores máximos no vão e de engastamento para as formas e condições de apoio mais comuns encontram-se tabelados, existindo tabelas publicadas por diversos autores (Kalmanock, Barès, Czèrny, Timoshenko). A diferenciação entre as lajes armadas em uma e duas direções é realizada comparandose a relação entre os vãos (dimensões) da laje. Desta forma, temos: lajes armadas em cruz, quando

ly lx

≤ 2, e

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data:set/2001

fl. 3

C

lx

flecha a D

D

C ly ≤ 2 lx

Figura 2-3 – Laje Armada em Cruz (Armada nas duas direções)

lajes armadas numa só direção, quando P1

lx

A

V1

ly lx

> 2. P2

flecha a

B

B

V P

A

P4

ly

Figura 2-4 – Laje Armada em Cruz (Armada nas duas direções)

Lembramos que nas “lajes armadas em uma direção” sempre existe uma armadura perpendicular à principal, de distribuição.

2.1.3

Ações a considerar

As cargas verticais que atuam sobre as lajes são consideradas geralmente uniformes, algumas o são de fato, outras, como o caso de paredes apoiadas em lajes armadas em cruz, são transformadas em cargas uniformes utilizando hipóteses simplificadoras. Referimo-nos sempre às lajes de edifícios residenciais ou comerciais; no caso de lajes de pontes, por exemplo, o cálculo deve ser mais preciso. As principais cargas a se considerar são: Peso próprio da laje; Peso de eventual enchimento; Revestimento; Paredes sobre lajes; Carregamento acidental. O método para o levantamento destas cargas é indicado no Capítulo 1.

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fl. 4

2.1.4

Pré-dimensionamento (Aplicação ao Edifício Exemplo)

O pré-dimensionamento das lajes já foi realizado no capítulo anterior e desta forma, apenas transcrevemos os resultados: Tabela 2-1 – Pré-dimensionamento das lajes (cópia da Tabela 1.3)

Laje L1=L3=L8=L10 L2=L4=L9=L11 L5=L6 L7

2.1.5

lx (m) 4,31 4,60 2,75 3,60

ly (m) 5,59 5,69 2,76 3,80

0,7 ly (m) 3,91 3,98 1,93

l* (m) 3,91 3,98 1,93

n(*) 1 2 3

d (cm) 9,4 9,2 4,2

h (cm) 10 10 7 10

Vãos Teóricos

O item 3.3.2.3 da NB-1 ensina a calcular os vãos teóricos de uma laje. Em edifícios, as vigas são geralmente de pequena largura, como no edifício exemplo. Neste caso, pode-se adotar sempre como vão teórico a distância entre os eixos das vigas de apoio. l x = vão menor Por convenção, suporemos sempre  l y = vão maior

2.1.6

Determinação das Condições de Apoio das Lajes

Admitem-se três tipos de apoio para as lajes: Bordo livre: quando não há suporte (Ex.: laje em balanço);

Figura 2-5 – Corte de uma laje em balanço (bordo livre)

Bordo apoiado: quando não há restrição dos deslocamentos verticais, sem impedir a rotação das lajes no apoio (Ex.: laje isolada apoiada por vigas);

Figura 2-6 – Corte de uma laje apoiada em duas vigas (bordos apoiados)

Bordo engastado: quando há impedimento do deslocamento vertical e rotação da laje neste apoio (Ex.: lajes apoiadas por vigas de grande rigidez). ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 5

Figura 2-7 – Corte de uma laje apoiada em duas vigas de grande rigidez (bordos engastados)

2.1.6.1

Lajes Isoladas

Para lajes isoladas, admite-se que se utilize: Bordo engastado, quando tivermos vigas de apoio com grande rigidez; Bordo apoiado, quando tivermos vigas de apoio com rigidez normal; Bordo livre, quando não existirem vigas de apoio.

Figura 2-8 – Convenção utilizada para a representação dos apoios

2.1.6.2

Painéis de Lajes

Para os painéis de lajes de edifícios, quando houver lajes contíguas no mesmo nível, o bordo poderá ser considerado perfeitamente engastado para o cálculo da laje, como mostra a próxima figura:

Figura 2-9 – Lajes contíguas

Casos Particulares

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 6

Figura 2-10 – Lajes em níveis diferentes

Figura 2-11 – Lajes com inércias muito diferentes

Figura 2-12 – Lajes com vãos muito diferentes

2  l menor ≥ 3 l maior     2 l < l maior menor  3

→

→

Figura 2-13 – Condição de apoio parcial de lajes

Após o cálculo das lajes de maneira isolada deve ser feita a compatibilização dos esforços de engastamento.

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fl. 7

2.1.7

Cálculo das Solicitações (Cálculo Elástico)

Para o cálculo dos esforços atuantes nas lajes, admitimos as seguintes hipóteses: Separação virtual entre lajes e vigas, permitindo seu cálculo separadamente; Consideração das vigas como sendo apoios indeslocáveis; Consideração das reações das lajes sobre as vigas, uniformemente distribuída. 2.1.7.1

Lajes Armadas em Uma Direção

a) Lajes Isoladas

Figura 2-14 – Determinação de esforços em lajes isoladas armadas em uma direção

b) Lajes Contínuas

Figura 2-15 – Laje armada em uma direção contínua

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fl. 8

2.1.7.2

Lajes Armadas em Duas Direções

Pelo fato de apresentarem dimensões de seus lados comparáveis, as lajes armadas em cruz apresentam curvaturas comparáveis segundo os dois cortes (AA e BB indicados na figura), indicando a presença de momentos fletores comparáveis, mx e my. mx = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a lx; my = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a ly. B lx

α A

ly

B

α

A

ao

ly C

C lx ≤ ly

ao

ao

Figura 2-16 – Lajes armadas em cruz

Considerando o corte genérico CC e a deformada segundo este corte. Nota-se, de novo, a presença de curvatura e, portanto, de momento fletor (mα = momento por unidade de largura atuando segundo o corte CC). O arranjo usual das armaduras da laje é composto de armadura paralela ao lado lx, para resisitir a mx, e armadura paralela a ly, para resistir a my. Os ensaios mostram que a resistência segundo o corte CC pode ser expresso por: mα = mx cos2 α + my sen2 α

( 2.1 )

Em geral, estas armaduras (determinadas para resistir aos momentos máximos paralelos aos lados lx e ly) são suficientes para garantir a segurança da laje. A determinação dos momentos fletores numa placa, pela Teoria da Elasticidade, é bastante trabalhosa. Entretanto, há tabelas com as quais o cálculo torna-se expedito. Dentre as diversas tabelas existentes na literatura técnica, escolhemos as de Czerny, com coeficiente de Poisson ν = 0,20. Estas tabelas trazem a solução para as lajes isoladas. Dentro do contexto de um pavimento, após a determinação dos esforços nas lajes isoladas, devemos fazer a compatibilização dos momentos de engastamento das lajes adjacentes, como veremos no item b.

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fl. 9

a) Lajes Isoladas As tabelas do tópico 2.2 reproduzem os casos de carga uniformemente distribuída em lajes retangulares. O lado lx é sempre o menor. A notação m significa momento fletor por unidade de largura (por metro) de laje. O cálculo é imediato: mx =

pl 2x αx

my =

pl 2x αy

mbx =

pl 2x βx

mby =

pl 2x βy

( 2.2 )

onde, αx, αy, βx e βy p m x e my mbx e mby

são coeficientes tabelados é a carga atuante; são os momentos positivos, mx na direção x e my na direção y; são os momentos negativos de borda, mbx na direção x e mby na direção y.

Observa-se que as tabelas enfrentam o problema também quando K > 2. Podemos, portanto, calcular todas as lajes retangulares como lajes em cruz.

Figura 2-17 – Distribuição de esforços (pela Teoria da Elasticidade) [FUSCO]

b) Lajes Contíguas O momento em um bordo comum a duas lajes deve ser determinado a partir da compatibilização dos momentos negativos mb1 e mb2 das lajes isoladas:

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fl. 10

mb12

( 2.3 )

 mb1 + mb 2  2  ≥ 0,8 ⋅ mb1 0,8 ⋅ m b2  

Ao compatibilizarmos os momentos negativos sobre os apoios, devemos corrigir o momento positivo da laje que tiver o seu momento fletor de bordo diminuído: se

mbi < mb12 → mi,final = mi + 0,5(mbi − mb12 )

( 2.4 )

O momento aplicado no bordo de uma laje em balanço não pode ser reduzido.

2.1.8

Dimensionamento à Flexão (Estado Limite Último – E.L.Últ.)

O dimensionamento é feito para uma seção retangular de largura unitária (normalmente, b = 1 m = 100 cm) e altura igual à espessura total da laje, h. a) Altura útil A armadura de flexão será distribuída na largura de 100 cm. Em geral, tem-se nos vãos, num mesmo ponto, dois momentos fletores (mx e my, positivos) perpendiculares entre si. Desta forma, a cada um desses momentos corresponde uma altura útil; dx para o momento fletor mx e dy para o momento fletor my. Normalmente, mx é maior do que my; por isso, costuma-se adotar dx > dy; para isto, a armadura correspondente ao momento fletor my (Asy) é colocada sobre a armadura correspondente ao momento fletor mx (Asx), fig. 2.7. 100 cm

dx

Asy

dy dx

dy φy

h

φx c

Asx

Figura 2-18 – Altura útil

Conforme a figura, tem-se: dx = h - c - φx / 2 dy = h - c - φx - φy / 2

( 2.5 )

onde

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c = cobrimento mínimo da armadura em lajes, fixado em 0,5 cm nas lajes protegidas com argamassa de espessura mínima de 1 cm (NBR-6118) φx = diâmetro da armadura Asx correspondente a mx φy = diâmetro da armadura Asy correspondente a my . Nas lajes maciças revestidas, usuais em edifícios (comercial e residencial), pode-se adotar aproximadamente: dx ≅ h - c - 0,5 cm dy ≅ h - c - 1 cm

( 2.6 )

b) Cálculo das Armaduras Tem-se uma seção retangular de largura unitária (normalmente, b = 1 m = 100 cm) e altura h, sujeita a momento fletor m (mx ou my ) em valor característico. A altura d é igual a dx para o momento fletor mx e, dy para o momento fletor my. O momento fletor de cálculo é dado por: md = γf mk = 1,4 mk

( 2.7 )

100 cm

0,85fc d

h

0,8

md

Rcd Rsd

Figura 2-19 – Armadura de flexão

Nas lajes, normalmente, a flexão conduz a um dimensionamento como peça sub-armada com armadura simples (x ≤ x34). Assim, conforme a fig. 2.8, a equação de equilíbrio conduz a: 0,68 b x fcd (d - 0,4 x) = md

( 2.8 )

resultando, para a altura da zona comprimida o valor  md x = 1,25d1 − 1 − 0,425bd 2 fcd 

  

( 2.9 )

(x ≤ x34)

e a armadura As =

( 2.10 )

md f yd (d − 0,4 x )

onde e

As = Asx , para m = mx

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As = Asy para m = my. Normalmente, utilizam-se as unidades kN e cm resultando m e md em kN.cm/m, x em cm e As em cm2 / m.

2.1.9

Cálculo das Reações de Apoio

Para o cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares com carga uniforme, permite-se que as reações em cada apoio correspondam às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados por meio das charneiras plásticas correspondentes à análise efetivada com os critérios do item 14.6.5 – Análise Plástica [ABNT-2]. Estas charneiras podem ser (de maneira aproximada) representadas por retas inclinadas, a partir dos vértices da laje, com ângulos de: 45o entre dois apoios de mesmo tipo; 60o a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente apoiado; 90o a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre (NBR6118). Outra forma de representar estas charneiras, utilizada pelo prof. Lauro Modesto, é a de traçar sempre as charneiras pelas bissetrizes entre as arestas das lajes. Os resultados para o edifício exemplo já foram apresentados no Capítulo 1.

Figura 2-20 – Charneiras plásticas [FUSCO]

2.1.10 Esbeltez das Lajes

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fl. 13

Um estado limite de utilização que não pode ser esquecido nas lajes é o de deformação excessiva. A flecha da laje não pode exceder a flecha máxima admissível. Segundo o item 4.2.3.1 da NB-1/78, o cálculo das flechas nas lajes pode ser feito no Estádio I de comportamento do concreto (seção não fissurada) com:

E cs = 0,9 ⋅ 6600 fck + 3,5

( 2.11 )

(MPa) E cs = 0,85 ⋅ 5600 fck

Desta forma, as expressões para o cálculo das flechas (elásticas ⇔ Estádio I) são: a) Para as lajes armadas em uma direção: as mesmas equações para o cálculo de deformações elásticas na viga de largura unitária; b) Para as lajes armadas em cruz: valores tabelados nas tabelas de Czerny . a=

( 2.12 )

pl 4x , onde α2 é um valor tabelado E csh3 α 2

As deformações devem ser verificadas para cargas de curta e longa duração: ( 2.13 )

 lx  Curta duração: a1 ≤  500 l  x → para balanços  250  lx  Longa duração: a 2 ≤  300 l  x → para balanços 150 onde lx é o vão teórico menor.

No mesmo artigo, a NB-1/78 dispensa o cálculo da flecha desde que uma determinada condição seja verificada. Para isto, fornece coeficientes ψ2 e ψ3. Não recomendamos tal verificação. É igualmente simples e geralmente mais econômico calcular as flechas a1 e a2, para as cargas acima referidas, e verificar diretamente as condições (2.11) e (2.12). Para o cálculo da flecha proveniente do carregamento de curta duração deve-se considerar p * = 0,7q , de acordo com o item 5.4.2.2 da NB-1. Para a estimativa da flecha de longa duração, sob carregamento total, é necessário levarmos em conta o efeito da fluência. Considerando o item 4.2.3.1 da NB-1/78, temos: flecha final = a inicial

(1r )final (1r )inicial

= a inicial

3ε c + ε s (εc e εs em valor absoluto) εc + εs

( 2.14 )

Para a compatibilidade das deformações: ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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εc kx x x ; kx = = = d εs d − x 1 − k x

( 2.15 )

de modo que,

(1r )final (1r )inicial

( 2.16 )

= 1+ 2k x

e desta forma, a final = a inicial (1 + 2k x )

( 2.17 )

A expressão acima foi mostrada por MOREIRA DA ROCHA [7]. MACHADO [1] retomou o problema e mostrou que, no estádio I (lajes), um valor razoável de kx é igual a 0,7. Sendo assim, pela (2.17): a final = a inicial (1 + 2 ⋅ 0,7 ) = 2,4 ⋅ a inicial no caso de lajes.

( 2.18 )

MACHADO sugere então, para o cálculo de afinal, que se trabalhe com Ecs inicial constante (2.12), mas que se adote: ( 2.19 )

p * = 2,4g + 0,7q para o cálculo de a2.

2.1.11 Cisalhamento em Lajes: Verificação (ELÚlt.) A NBR6118/78 permite a dispensa da armadura de cisalhamento para lajes pouco solicitadas, o que é o caso usual de lajes de edifícios. Para dispensarmos a armadura de cisalhamento, devemos verificar duas condições: a) Verificação da resistência do concreto τ wd ≤ τ wu

( 2.20 )

onde, τ wd =

( 2.21 )

vd γf ⋅ vk = bd bd

e τ wu = β ⋅ 0,25 fcd ≤ 4,5 MPa com β = 0,5 (considerando lajes e peças lineares com bw > 5h, sem toda a armadura transversal inclinada a 45o) ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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( 2.22 )

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b) Verificação da dispensa da armadura transversal de cisalhamento Para que possamos dispensar a armadura transversal em lajes, devemos verificar: τ wd ≤ τ wu1

( 2.23 )

com ( 2.24 )

τ wu1 = ψ 4 fck (em MPa) sendo,

( 2.25 )

ψ 4 = 0,60 4 ρ1 para h ≤ 15cm Onde ρ1 é a taxa de armadura longitudinal a 2h do apoio.

2.1.12 Escolha das Barras e Espaçamentos Dimensionadas as armaduras e feitas todas as verificações necessárias, resta-nos detalhar as armaduras. Para a correta escolha de bitolas e de espaçamento, é preciso lembrar de algumas prescrições normativas: a) Bitola máxima das barras A bitola máxima, definida pela NB-1, é: φ máx =

( 2.26 )

h 10

Recomenda-se utilizar como bitola mínima φ = 4mm e utilizar para a armadura negativa, no mínimo φ = 6,3mm, para evitar que esta se amasse muito (pelo peso de funcionários) antes da concretagem, o que reduz a altura útil da laje. Desta forma, devemos respeitar: ( 2.27 )

4mm ( + )  h ≤φ≤ 10 6,3mm ( − ) b) Taxas de armadura mínimas de flexão Utilizando aços CA-40, 50 ou 60, devemos respeitar: Armadura Negativa: A s,mín = 0,15% de bh

( 2.28 )

0,10% de bh para lajes armadas em 2 direções Armadura Positiva: A s,mín =  0,15% de bh para lajes armadas em 1 direção

( 2.29 )

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Comentários: O valor mínimo da armadura principal positiva em lajes armadas numa só direção é: As,mín = 0,9 cm2/m, para não chocar com a exigência d). Seria estranho que a armadura “principal” fosse menor que a de distribuição. A armadura negativa mínima é 1,5 cm2/m (item 6.3.1.2 da NB-1/78), a menos que haja estribos com ramos horizontais prolongados nas mesas das vigas T. c) Espaçamento das barras Lajes armadas em cruz: Lajes armadas em 1 direção:

O espaçamento máximo da armadura principal positiva é 20cm. O espaçamento máximo da armadura principal positiva é 20 cm ou 2h.

Para facilitar a concretagem de uma laje, costuma-se utilizar o espaçamento s, entre as barras de no mínimo 8cm. d) Armadura de distribuição Nas lajes armadas numa só direção, a armadura de distribuição deve: Ser ≥ 20% da área da armadura principal; Ser ≥ 0,9 cm2/m; Ter espaçamento s ≤ 33cm. Utiliza-se também a armadura de distribuição para apoiar a armadura negativa das lajes. e) Definição das barras e espaçamentos

Bitolas comerciais 100 cm

h s

s

φ(mm) 4 5 6,3 8 10 12,5

As1(cm2) 0,125 0,2 0,315 0,5 0,8 1,25

m1(kg/m) 0,1 0,16 0,25 0,4 0,63 1,0

φ = diâmetro nominal da barra em mm As1 = área da seção transversal de uma barra em cm2 m1 = massa de uma barra por metro linear em kg/m Figura 2-21 – Escolha das barras (bitola x espaçamento)

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Calculada a área de aço As por metro de laje, e conhecendo a área da seção transversal de uma barra (As1) de uma determinada bitola (Figura 2-21), determinamos a quantidade mínima de barras necessária em 1m de laje: n=

( 2.30 )

As A s1

Com a quantidade de barras, determinamos o espaçamento entre as barras: 100 (em cm) s= n

( 2.31 )

Para escolher as barras e espaçamentos, podemos fazer também uso de tabelas: 2

Tabela 2-2 - Área da seção da armadura por metro de laje (cm /m)

Espaç. cm 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Bitola 3,2 1,14 1,00 0,89 0,80 0,73 0,67 0,62 0,57 0,53 0,50 0,47 0,44 0,42 0,40

4 1,79 1,56 1,39 1,25 1,14 1,04 0,96 0,89 0,83 0,78 0,74 0,69 0,66 0,63

5 2,86 2,50 2,22 2,00 1,82 1,67 1,54 1,43 1,33 1,25 1,18 1,11 1,05 1,00

6,3 4,50 3,94 3,50 3,15 2,86 2,63 2,42 2,25 2,10 1,97 1,85 1,75 1,66 1,58

8 7,14 6,25 5,56 5,00 4,55 4,17 3,85 3,57 3,33 3,13 2,94 2,78 2,63 2,50

10 11,43 10,00 8,89 8,00 7,27 6,67 6,15 5,71 5,33 5,00 4,71 4,44 4,21 4,00

12,5 17,86 15,63 13,89 12,50 11,36 10,42 9,62 8,93 8,33 7,81 7,35 6,94 6,58 6,25

16 28,57 25,00 22,22 20,00 18,18 16,67 15,38 14,29 13,33 12,50 11,76 11,11 10,53 10,00

2.1.13 Detalhamento das Armaduras a) Armadura Positiva É estendida, a favor da segurança até os apoios, penetrando no mínimo 10φ ou 6cm no apoio. Para garantir o comportamento de chapa, deve ser ancorada nas vigas. Alguma economia pode ser conseguida utilizando barras alternadas, que podem ter seu comprimento reduzido de 0,2 lx.

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Figura 2-22 – Armadura positiva – barras alternadas

b) Armadura Negativa Devem cobrir o diagrama de momento fletor negativo. Em geral, utiliza-se uma extensão lx/4 para cada lado do apoio (para vãos diferentes, adota-se lx = l>vão). Deve ser utilizada uma “armadura de borda” ao longo dos apoios livres, para combater a eventual fissuração decorrente do engaste parcial. Costuma-se adotar barras com comprimento de lx/5 com porcentagem de armadura igual à mínima, restringindo o espaçamento entre as barras a 2h, devendo-se lembrar da armadura de distribuição associada.

Figura 2-23 – Armadura de borda

Para as lajes em balanço, é usual prolongar a armadura do balanço, sobre a laje adjacente, com extensão de lbalanço. Alguma economia pode ser feita utilizando barras alternadas:

Figura 2-24 – Armadura negativa – barras alternadas

Quando não houver viga em algum bordo de uma laje, deve ser feito um “gancho” com a armadura positiva ou negativa para proteger a borda da laje. ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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Figura 2-25 – Armadura de proteção (bordos sem vigas)

20φ

Figura 2-26 – Armadura de proteção (furo em laje – bordos sem vigas)

2.1.14 Desenho das Armaduras Determinados a bitola e o espaçamento das barras pode ser feito nos “croquis” das fôrmas um desenho esquemático das armaduras. O esquema mais importante é o da armadura negativa, onde aparecem os detalhes: comprimento da barra sem considerar os ganchos e dimensões de um lado e de outro do eixo da viga.

2.1.15 Tabela de Ferros e Tabela Resumo Fica por conta do desenhista, com fiscalização do engenheiro calculista, os detalhes restantes, como por exemplo, número da barra (ou posição número tal), número de barras, comprimento total da barra incluindo ganchos, etc. No fim, o desenho deve apresentar a “tabela de ferros”: No.

φ (mm)

Quant.

...

...

...

Comprimento (m) Unitário Total ...

...

Figura 2-27 – Tabela de Ferros

Seguida da “tabela-resumo”:

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φ (mm)

C. Total (m)

Peso (kg)

...

...

...

Figura 2-28 – Tabela Resumo

Com as tabelas-resumo, o construtor encomenda o aço necessário à obra. A coluna “kg” pode incluir um peso adicional de 10% como previsão para as perdas inevitáveis no corte das barras.

2.1.16 Funcionamento Global das Lajes As lajes possuem grande capacidade de acomodação plástica, permitindo o cálculo na ruptura em regime rígido plástico, sem maiores indagações sobre a capacidade de rotação das charneiras plásticas. Entretanto, quando precisarmos que a laje funcione também como chapa: Deveremos admitir uma redistribuição máxima de 15% dos momentos negativos calculados em regime elástico, evitando a formação de charneiras plásticas; A laje não deve ser calculada pelo método das charneiras plásticas. Trabalhando como chapa, as lajes contraventam a estrutura, ajudando a garantir a integridade estrutural tridimensional da estrutura como um todo. A garantia do comportamento de chapa das lajes decorre do detalhamento adequado das ancoragens, conforme mostram as próximas figuras.

Figura 2-29 – Ancoragens das armaduras das lajes para o seu funcionamento como chapa

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2.1.17 Aplicação ao Edifício Exemplo Neste item serão apresentados os cálculos das lajes L1 e L7 do edifício exemplo, tomando como base a teoria apresentada anteriormente. Inicialmente, será feito o cálculo da laje L7 e posteriormente será apresentado o cálculo da laje L1. a) Laje L7 A laje 7 é uma laje de tipo especial: em forma de L, com duas bordas livres. Dificilmente encontraremos tabelas para tais casos. O cálculo “exato”, pela Teoria da Elasticidade ou utilizando um programa de elementos finitos, como já dissemos, é bastante trabalhoso e não se justifica pela dimensão do problema. Faremos, então, um cálculo aproximado bem simples, a favor da segurança. Hipótese Simplificadora: A faixa com 1,97m de largura apóia-se nas vigas V6 e V11 e a faixa com 2,00m de largura apóia-se nas vigas V18 e V20, conforme ilustra a Figura 2-30.

Pd=10,77 kN/m

my

L7

V20

V18

V6

mx V11

Figura 2-30 – Simplificação adotada para o cálculo da laje L7

A laje L7 apresenta carregamento permanente de 4,69 kN/cm² e carregamento variável de 3,0 kN/cm², o que resulta em um carregamento total de 7,69 kN/cm². Dessa maneira, o valor de cálculo do carregamento é igual a : pd = 1,4.pk = 1,4.7,69 = 10,77 kN/cm²

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Sabendo-se os carregamentos e os vãos podemos calcular os momentos nas direções x e y. Assim, temos: p dl 2x 10,77.3,5 2 = = 1648,5 kN.cm 8 8 p dl2y 10,77.3,65 2 my = = = 1792,9 kN.cm 8 8

mx =

A altura da laje L7 e o cobrimento de armadura adotado baseado no Projeto de Revisão da NBR6118 são ilustrados na Figura 2-31.

Figura 2-31 – Altura e cobrimentos de armaduras das lajes com h=10cm

Conhecidos os momentos atuantes nas duas direções é possível calcular a armadura necessária. O cálculo é feito da seguinte maneira: Direção x mx = 1648,5 kN.cm (valor de cálculo) dx = 6,5 cm 2,5 fcd = = 1,786 kN / cm² 1,4 50 = 43,48 kN / cm² f yd = 1,15     md 1648,5 x = 1,25 ⋅ d 1 − 1 −  = 1,25.7,5.1 − 1 −  2 2 0,425.b.d .fcd  0,425.100.6,5 .1,786    x = 2,46 cm < x 34 = 0,628d = 4,08 cm → OK! md 1648,5 As = = = 6,87 cm² f yd (d − 0,4.x ) 43,48.(7,5 − 0,4.2,46)

Direção y my = 1792,9 kN.cm(valor de cálculo) dy = 7,5 cm

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2,5 = 1,786 kN / cm² 1,4 50 f yd = = 43,48 kN / cm² 1,15     md 1792,9 x = 1,25 ⋅ d 1 − 1 −  = 1,25.6,5.1 − 1 −  2 2 0,425.b.d .fcd  0,425.100.7,5 .1,786    fcd =

x = 2,24 cm < x 34 = 0,628d = 4,08 cm → OK! md 1792,9 As = = = 6,24 cm² f yd (d − 0,4.x ) 43,48.(6,5 − 0,4.2,24)

b) Laje L1 A laje L1 possui continuidade com as lajes adjacentes L2 e L5. Dessa maneira, os momentos negativos devem ser calculados de maneira isolada para cada laje e então compatibilizados. A correção do momento positivo sempre deve ser feita no lado em que o momento negativo atuante é menor que o momento negativo compatibilizado. A Figura 2-32 ilustra a denominação adotada para os momentos atuantes nas lajes de maneira isolada e compatibilizada.

mx1

mby1 L1

mbx2 mb12

L2

mbx5

mb15

my1

L5

Figura 2-32 – Momentos atuantes nas lajes adjacentes a L1

Conhecidos os carregamentos, os vãos e as condições de vinculação das lajes isoladas pode-se obter os esforços solicitantes por meio da utilização das Tabelas de Czerny, fornecidas no item 2.2. A laje L1 possui três bordas livremente apoiadas e uma borda menor engastada, dessa maneira, trata-se de uma laje do Tipo 2A. A partir da relação entre os vãos da laje é possível entrar na tabela citada anteriormente e obter os coeficientes para o cálculo dos esforços solicitantes. Assim, temos que: ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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α x = 19,5 555  Tabela − Tipo 2 A = = 1,28    → α y = 23,7 l x 432  β = 9,7  y ly

p d = 1,4.p = 1,4.6,89 = 9,65 kN / m² mx 1 =

p d .lx 2 9,65.4,32 2 = = 9,23 kN.m = 923,2 kN.cm 19,5 αx

my 1 =

p d .lx 2 9,65.4,32 2 = = 7,60 kN.m = 759,9 kN.cm 23,7 αy

mby 1 =

p d .lx 2 9,65.4,32 2 = = 18,56 kN.m = 1856,6 kN.cm 9,7 βy

A laje L2 possui duas bordas adjacentes engastadas e duas bordas livremente apoiadas. Dessa maneira, temos uma laje do Tipo 3. ly lx

=

565 Tabela − Tipo 3 = 1,23   → β x = 11,7 460

p d = 1,4.p = 1,4.7,19 = 10,07 kN / m² mbx 2 =

p d .lx 2 10,07.4,6 2 = = 18,2 kN.m = 1821,2 kN.cm 11,7 βx

A Laje L5, por sua vez, possui 2 bordas maiores engastadas, uma borda menor engastada e outra livremente apoiada. Dessa maneira, trata-se de uma laje do Tipo 5B. ly lx

=

275 Tabela −Tipo 5B = 1,01   → β x = 16,2 273

p d = 1,4.p = 1,4.6,55 = 9,17 kN / m² mbx 5 =

p d .lx 2 9,17.2,73 2 = = 4,2 kN.m = 421,9 kN.cm 16,2 βx

Após calcular os momentos negativos atuantes na laje 1 e nas lajes adjacentes é necessário então fazer a compatibilização dos momentos fletores negativos. O momento compatibilizado é o maior valor entre a média dos momentos negativos e 80% do maior momento negativo. Dessa maneira, temos na continuidade das lajes L1 e L2 a seguinte compatibilização: ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 25

mb 12

 mby 1 + mbx 2 1856,6 + 1821,2 = = 1838,9 kN.cm  2 2  ≥  0,8.mby 1 = 0,8.1856,6 = 1485,3 kN.cm  

Na continuidade existente entre as lajes L1 e L5 o momento compatibilizado é dado por:

mb 15

mbx 5 421,9  = = 211kN.cm  2 2  ≥ 0,8.mbx = 0,8.421,9 = 337,5 kN.cm 5  

Feita a compatibilização dos momentos negativos é necessário corrigir os momentos positivos da laje L1. Isto é feito da seguinte maneira: mby 1 − mb 12 1856,6 − 1838,9 = 759,9 + = 768,8 kN.cm 2 2 mb15 > mbx 1 = 0 → mx 1 = 923,2 kN.cm

mb 12 < mby 1 → my 1 = my 1 +

Uma vez obtidos os esforços finais (momentos corrigidos e compatibilizados), podemos então calcular as armaduras necessárias. A rotina de cálculo para o cálculo das armaduras é a mesma apresentada para a laje L7. Dessa maneira, temos: mx1 = 923,2 kN.cm (valor de cálculo) d = 7,5 cm 2,5 = 1,786 kN / cm² 1,4 50 = 43,48 kN / cm² f yd = 1,15     md 923,2 x = 1,25.d1 − 1 −  = 1,25.7,5.1 − 1 −  2 2 0,425.b.d .fcd  0,425.100.7,5 .1,786    fcd =

x = 1,1cm < x 34 = 0,628d = 4,7cm → OK! md 923,2 As = = = 3,0 cm² f yd (d − 0,4.x ) 43,48.(7,5 − 0,4.1,1) Realizando os mesmos cálculos descritos anteriormente para os vários momentos atuantes na laje L1, chega-se as armaduras apresentadas na Tabela 2-3. Deve-se observar que a altura da laje L5 é igual a 7cm, e por isso, a altura útil (d) é igual a 4,5 cm. Essa condição foi utilizada no cálculo da armadura necessária para vencer o momento negativo mb15.

Tabela 2-3 – Armaduras necessárias para a laje L1 ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 26

mx1 my1 mb12 mb15

As (cm²/m) 3,00 2,91 6,43 1,83

d(cm) 7,5 6,5 7,5 4,5

Após calculadas as armaduras resistentes é necessário verificar a flecha da laje satisfaz os valores limites. Da Tabela 2A temos que α 2 = 17,9 , tal que: pl 4x a= Eh 3 α 2 Do Projeto de Revisão da NBR6118 temos que:

E = E cs = 0,85.5600. fck = 0,85.5600. 25 = 23800 MPa = 2380 kN / cm² lx = 4,32 m h = 10 cm 0,7q = 0,7.1,5 = 1,05 kN / cm² (inicial)  p= 2,4g + 0,7q = 2,4.5,39 + 0,7.1,5 = 13,99 kN / cm² ( final) lx = 0,86 cm → OK! 500 l = 1,14 cm < x = 1,44 cm → OK! 300

ainicial = 0,09 cm < a final

Dessa maneira, as flechas da laje L1 estão dentro dos limites estabelecidos por norma. Finalmente, é preciso fazer a verificação da laje quanto ao cisalhamento junto aos apoios. O primeiro passo é a verificação do concreto: Vd ≤ τ wu bd Vd,max = 1,4.(23,9 + 4,9) = 40,04 kN / m 40,04 τ wd = = 0,04 kN / cm² 10.100 τ wu = 0,5.0,25.fcd = 0,223 kN / cm² τ wd =

τ wd ≤ τ wu → OK! Como a tensão de cisalhamento atuante é menor que o valor último de cisalhamento do concreto utilizado pode-se garantir que não haverá ruptura do concreto nas regiões de apoio da laje L1. No entanto, deve ser feita uma nova verificação, para avaliar se a laje L1 precisará de armadura transversal. Esse cálculo segue a seguinte rotina:

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 27

τ wd = 0,04 kN / cm² A s,existente

6,43 = 0,00643 b.h 10.100 ψ 4 = 0,60 4 ρ1 = 0,60 4 0,00643 = 0,17

ρ1 =

=

τ wu1 = ψ 4 fck = 0,17 25 = 0,085kN / cm² Como τ wd < τ wu1 não é necessário dispor armadura transversal. Calculadas as armaduras deve-se então fazer o detalhamento final da laje L1. A escolha das barras e os espaçamentos máximos são feitos utilizando os critérios abaixo: Escolha da bitola →

4 mm h ≤φ ≤ = 10mm 6,3 mm 10

Escolha do espaçamento → 8 cm ≤ s ≤ 20 cm

As armaduras mínimas calculadas para a laje L1 são dadas abaixo: A s+,min = 0,10.10 = 1cm² / m A s−,min = 0,15.10 = 1,5 cm² / m O cálculo do número de barras para o momento negativo mb12 é apresentado abaixo: As = 6,43 cm²/m As1= 0,8 cm² (φ10 mm) A 6,43 n= s = = 8,04 barras / m A s1 0,8 100 s= = 12,4 → s = 12 cm → N1 - φ10 c/ 12cm 8,04 N1 - φ10 c/12 cm Do mesmo modo, procede-se para as demais armaduras, de maneira que é possível montar a Tabela 2-4. Tabela 2-4 – Bitolas e espaçamentos de armaduras para a laje L1

mx1 my1 mb12 mb15

As (cm²/m) 3,00 2,91 6,43 1,83

Bitolas e Espaçamento φ6,3 c/10 cm φ6,3 c/10 cm φ10 c/12 cm φ6,3 c/17 cm

Calculadas as armaduras, resta-nos determinar os desenhos de armação e as tabelas resumo:

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 28

P1

P2

(19/65)

P4

P3

(110/19)

V1(19/55)

(20/40)

(20/40)

V9(19-12/55)

(20/285)

(20/140)

V5(12/55)

V7(12/55)

L5 h=7cm

V15(12/55)

(19/65)

P10

V3(12/55)

(20/140)

P8

V4(19-12/55)

P13

P9

P14 (20/160)

L7 h=10cm

V8(12/55)

19 N3 - 0 10 c/ 11 - c= 379 17 N6 - 0 10 c/ 12 - c= 364

(19/65)

L2 h=10cm

V18(10/40)

P7

L1 h=10cm

13 N5 - 0 10 c/ 12 - c= 231

V14(19/55)

54 N2 - 0 6,3 c/ 10 - c= 446

42 N1 - 0 6,3 c/ 10 - c= 569

V11(12/55)

13 N4 - 0 10 c/ 11 - c= 236

P15 (20/160)

Figura 2-33 – Armaduras positivas

P1

P2

L1 h=10cm

P9

P10

V3(12/55)

(20/140)

(20/140)

70

V5(12/55)

112 112 15 N10 - 0 5 c/ 13 - c= 236

V7(12/55)

P14 (20/160) L9 h=10cm

V11(12/55)

112 112 15 N10 - 0 5 c/ 13 - c= 236 L7 h=10cm

88

V9(19-12/55)

L5 h=7cm

(20/285)

P15 (20/160)

88

V15(12/55)

(19/65)

108 16 N9 - 0 6,3 c/ 17 - c= 225

P7

P13

V18(10/40)

P8

15 N12 - 0 5 c/ 13 - c= 188

L2 h=10cm

27 N11 - 0 5 c/ 13 - c= 83

115 115 35 N8 - 0 10 c/ 12 - c= 242

V4(19-12/55)

(19/65)

(20/40)

(20/40)

108

V14(19/55)

21 N7 - 0 5 c/ 13 - c= 99

32 N7 - 0 5 c/ 13 - c= 99

P4

P3

(110/19)

V1(19/55) 42 N7 - 0 5 c/ 13 - c= 99

(19/65)

L8

Figura 2-34 – Armaduras negativas ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 29

No.

φ (mm)

Quant.

1 ...

6,3 ...

42 ...

Comprimento Unitário (cm) Total (m) 569 239 ... ...

φ (mm)

C. Total (m)

Peso (kg)

6,3 ...

239 ...

59,75 ...

2.1.18 Referências Bibliográficas [1] MACHADO, Claudinei Pinheiro – Fixação prática e econômica das espessuras de lajes usuais maciças e nervuradas de concreto armado. [2] FUSCO, P. B. – Técnicas de Armar as Estruturas de Concreto.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 30

2.2 Tabelas de Czerny TABELA 1 - TIPO 1 Laje com as 4 bordas livremente apoiadas (carga uniforme)

ly / lx

αx

αy

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 >2

22,7 20,8 19,3 18,1 16,9 15,9 15,2 14,4 13,8 13,2 12,7 12,3 11,9 11,5 11,2 10,8 10,7 10,4 10,2 10,1 9,9 8,0

22,7 22,5 22,3 22,3 22,3 22,4 22,7 22,9 23,1 23,3 23,5 23,5 23,5 23,5 23,5 23,5 23,5 23,5 23,5 23,5 23,5 23,5

βx

βy

α2

21,4 19,4 17,8 16,5 15,4 14,3 13,6 12,9 12,3 11,7 11,2 10,8 10,4 10,1 9,8 9,5 9,3 9,1 8,9 8,7 8,6 6,7

mx

ly

my

lx mx =

pl αx

my =

pl2x αy

2 x

pl 4x Eh 3 α 2

w max =

ν = 0,2 Beton-Kalender (1976)

TABELA 2 - TIPO 2A Laje com 3 bordas livremente apoiadas e uma borda menor engastada (carga uniforme)

ly / lx

αx

αy

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 >2

32,4 29,2 26,1 23,7 22,0 20,2 19,0 17,8 16,8 15,8 15,1 14,3 13,8 13,2 12,8 12,3 12,0 11,5 11,3 10,9 10,8 8,0

26,5 25,0 24,4 23,9 23,8 23,6 23,7 23,7 23,8 23,9 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0

βx

βy

α2

11,9 11,3 10,9 10,4 10,1 9,8 9,6 9,3 9,2 9,0 8,9 8,8 8,7 8,6 8,5 8,45 8,4 8,35 8,3 8,25 8,2 8,0

31,2 27,6 24,7 22,3 20,3 18,7 17,3 16,1 15,1 14,2 13,5 12,8 12,2 11,7 11,2 10,8 10,5 10,1 9,9 9,6 9,4 6,7

m’y mx

ly

my

lx mx =

my =

2 x

pl α x2

pl x αy 2

m′y = − w

max

pl x

βy 4 pl x 3 = Eh α 2

ν = 0,2

Beton-Kalender (1976)

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 31

TABELA 3 - TIPO 2B Laje com 3 bordas livremente apoiadas e uma borda maior engastada (carga uniforme) ly / lx

αx

αy

βx

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 >2

26,5 25,7 24,4 23,3 22,3 21,4 20,7 20,1 19,7 19,2 18,8 18,3 17,8 17,5 17,2 17,0 16,8 16,5 16,4 16,3 16,2 14,2

32,4 33,3 33,9 34,5 34,9 35,2 35,4 37,8 39,9 41,1 42,5 42,5 42,5 42,5 42,5 42,5 42,5 42,5 42,5 42,5 42,5 42,5

11,9 11,3 10,9 10,5 10,2 9,9 9,7 9,4 9,3 9,1 9,0 8,9 8,8 8,7 8,6 8,5 8,4 8,3 8,3 8,3 8,3 8,0

βy

α2

31,2 29,2 27,4 26,0 24,8 23,8 22,9 22,1 21,5 20,9 20,4 20,0 19,6 19,3 19,0 18,7 18,5 18,3 18,1 18,0 17,8 16,7

ly

mx

m’x

my

lx pl 2 mx = x αx

my =

pl2x αy

m′x = −

pl 2x βx

w max =

pl 4x Eh 3 α 2

ν = 0,2 Beton-Kalender (1976)

TABELA 4 - TIPO 3 Laje com 2 bordas adjacentes engastadas e as outras duas livremente apoiadas (carga uniforme) ly / lx

αx

αy

βx

βy

α2

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 >2

34,5 32,1 30,1 28,0 26,4 24,9 23,8 23,0 22,2 21,4 20,7 20,2 19,7 19,2 18,8 18,4 18,1 17,8 17,5 17,2 17,1 14,2

34,5 33,7 33,9 33,9 34,0 34,4 35,0 36,6 37,8 39,1 40,2 40,2 40,2 40,2 40,2 40,2 40,2 40,2 40,2 40,2 40,2 40,2

14,3 13,3 12,7 12,0 11,5 11,1 10,7 10,3 10,0 9,8 9,6 9,4 9,2 9,1 8,9 8,8 8,7 8,6 8,5 8,4 8,4 8,0

14,3 13,8 13,6 13,3 13,1 12,9 12,8 12,7 12,6 12,5 12,4 12,3 12,3 12,2 12,2 12,2 12,2 12,2 12,2 12,2 12,2 12,0

41,3 37,1 34,5 31,7 29,9 28,2 26,8 25,5 24,5 23,5 22,7 22,1 21,5 21,0 20,5 20,1 19,7 19,4 19,0 18,8 18,5 16,7

m’y

ly

mx

m’x

my

lx pl 2 mx = x αx

my =

pl2x αy

m′x = −

pl 2x βx

m′y = −

pl 2x βy

w max =

pl x 3 Eh α 2

4

ν = 0,2

Beton-Kalender (1976)

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 32

TABELA 5 - TIPO 4A Laje com 2 bordas maiores livremente apoiadas e duas bordas menores engastadas (carga uniforme)

ly / lx

αx

αy

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 >2

46,1 39,9 36,0 31,9 29,0 26,2 24,1 22,1 20,6 19,3 18,1 17,0 16,2 15,4 14,7 14,0 13,5 13,0 12,6 12,1 11,8 8,0

31,6 29,8 28,8 27,7 26,9 26,1 25,6 25,1 24,8 24,6 24,4 24,3 24,3 24,3 24,3 24,3 24,3 24,3 24,3 24,3 24,3 24,3

βx

βy

α2

14,3 13,4 12,7 12,0 11,5 11,1 10,7 10,3 10,0 9,75 9,5 9,3 9,2 9,05 8,9 8,8 8,7 8,6 8,5 8,4 8,4 8,0

45,3 39,2 34,4 30,4 27,2 24,5 22,3 20,4 18,8 17,5 16,3 15,3 14,4 13,7 13,0 12,4 11,9 11,4 11,0 10,6 10,3 6,7

m’y mx

ly

my

m’y

lx pl 2 mx = x αx

my =

pl2x αy

m′y = −

pl 2x βy

w max =

pl 4x Eh 3 α 2

ν = 0,2 Beton-Kalender (1976)

TABELA 6 - TIPO 4B Laje com 2 bordas maiores engastadas e duas bordas menores livremente apoiadas (carga uniforme) ly / lx

αx

αy

βx

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 >2

31,6 29,9 29,0 28,0 27,2 26,4 25,8 25,3 24,8 24,4 24,2 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0

46,1 46,4 47,2 47,7 48,1 48,2 48,1 47,9 47,8 47,7 47,6 47,6 47,6 47,6 47,4 47,3 47,2 47,1 47,1 47,1 47,0 47,0

14,3 13,8 13,5 13,2 13,0 12,7 12,6 12,4 12,3 12,2 12,2 12,1 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0

βy

α2

45,3 43,2 41,5 40,1 39,0 37,9 37,2 36,5 36,0 35,6 35,1 34,7 34,5 34,2 33,9 33,8 33,7 33,6 33,5 33,4 33,3 32,0

ly

mx

m’x

m’x my

lx mx =

pl αx

my =

pl2x αy

2 x

m′x = −

pl 2x βx

w max =

pl 4x Eh 3 α 2

ν = 0,2 Beton-Kalender (1976)

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 33

TABELA 7 - TIPO 5A Laje com 2 bordas menores engastadas, uma borda maior engastada e outra livremente apoiada (carga uniforme)

ly / lx

αx

αy

βx

βy

α2

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 >2

44,6 41,7 38,1 34,9 32,1 29,8 28,0 26,4 25,2 24,0 23,1 22,3 21,7 21,1 20,4 20,0 19,5 19,1 18,7 18,4 18,0 14,2

38,1 37,3 36,7 36,4 36,2 36,1 36,2 36,6 37,0 37,5 38,3 39,3 40,3 41,4 42,7 43,8 44,8 45,9 46,7 47,7 48,6 48,6

18,3 16,6 15,4 14,4 13,5 12,7 12,2 11,6 11,2 10,9 10,6 10,3 10,1 9,9 9,7 9,5 9,4 9,2 9,0 8,9 8,8 8,0

16,2 15,4 14,8 14,3 13,9 13,5 13,3 13,1 13,0 12,8 12,7 12,6 12,6 12,5 12,5 12,4 12,4 12,3 12,3 12,3 12,3 12,0

55,4 49,1 44,1 40,1 36,7 33,8 31,7 29,7 28,1 26,6 25,5 24,5 23,6 22,8 22,1 21,5 21,0 20,5 20,1 19,7 19,3 16,7

m’y

ly

mx

m’x

my

m’y

lx pl 2 mx = x αx

my =

pl2x αy

pl 2x βx pl 2 m′y = − x βy

m ′x = −

pl 4x Eh 3 α 2

w max =

ν = 0,2 Beton-Kalender (1976)

TABELA 8 - TIPO 5B Laje com 2 bordas maiores engastadas, uma borda menor engastada e outra livremente apoiada (carga uniforme) ly / lx

αx

αy

βx

βy

α2

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 >2

38,1 35,5 33,7 32,0 30,7 29,5 28,4 27,6 26,8 26,2 25,7 25,2 24,8 24,5 24,2 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0

44,6 44,8 45,7 47,1 47,6 47,7 47,7 47,9 48,1 48,3 48,7 49,0 49,4 49,8 50,2 50,7 51,3 52,0 52,6 53,4 54,1 54,0

16,2 15,3 14,8 14,2 13,9 13,5 13,2 12,9 12,7 12,6 12,5 12,4 12,3 12,2 12,2 12,1 12,1 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0

18,3 17,9 17,7 17,6 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5

55,4 51,6 48,7 46,1 44,1 42,5 41,2 39,9 38,9 38,0 37,2 36,5 36,0 35,4 35,0 34,6 34,4 34,2 33,9 33,8 33,7 32,0

m’y

ly

mx

m’x

m’x my

lx pl 2 mx = x αx

my =

pl2x αy

m′x = −

pl 2x βx

m′y = −

pl 2x βy

w max =

pl x 3 Eh α 2

4

ν = 0,2

Beton-Kalender (1976)

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 34

TABELA 9 - TIPO 6 Laje com as 4 bordas engastadas (carga uniforme)

ly / lx

αx

αy

βx

βy

α2

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 >2

47,3 43,1 40,0 37,3 35,2 33,4 31,8 30,7 29,6 28,6 27,8 27,2 26,6 26,1 25,5 25,1 24,8 24,5 24,2 24,0 24,0 24,0

47,3 47,3 47,8 48,3 49,3 50,5 51,7 53,3 54,8 56,4 57,3 57,6 57,8 57,9 57,8 57,7 57,6 57,5 57,4 57,2 57,1 57,0

19,4 18,2 17,1 16,3 15,5 14,9 14,5 14,0 13,7 13,4 13,2 13,0 12,8 12,7 12,5 12,4 12,3 12,2 12,1 12,0 12,0 12,0

19,4 18,8 18,4 18,1 17,9 17,7 17,6 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5

68,5 62,4 57,6 53,4 50,3 47,6 45,3 43,4 42,0 40,5 39,5 38,4 37,6 36,9 36,3 35,8 35,4 35,1 34,7 34,5 34,3 32,0

m’y

ly

mx

m’x

m’x my

m’y

lx pl 2 mx = x αx

my =

pl2x αy

pl 2x βx pl 2 m′y = − x βy

m ′x = −

w max =

pl 4x Eh 3 α 2

ν = 0,2 Beton-Kalender (1976)

TABELA 10 Laje com 3 bordas engastadas e uma livre (carga triangular)

ly / lx

αx

αy

βx

βy

α2

1,00

85,5

80,5

29,0

34,5

118

1,10

73,5

78,1

25,3

32,1

94,7

1,20

65,2

77,7

22,9

30,3

79,5

1,30

57,6

78,2

21,1

29,2

69,0

1,40

52,4

80,8

19,6

28,5

61,3

1,50

48,2

83,2

18,8

28,2

55,7

2,00

37,8

94,6

16,6

27,3

43,0

>2

33,5

94,6

15,0

26,0

34,9

ly

lx

mx

m’y

m’y

my p

m’x

Valem as mesmas fórmulas das tabelas anteriores.

TABELA 11 Laje com 3 bordas engastadas e uma livre (carga triangular)

ly / lx

αx

1,00

80,5

αy

85,5

βx

βy

α2

34,5

29,0

118

1,10

70,3

82,9

31,1

26,9

103

1,20

62,8

80,7

28,7

25,8

92,2

1,30

57,7

78,9

26,7

24,9

85,4

1,40

54,3

77,5

25,3

24,1

80,1

1,50

51,5

76,4

23,7

23,8

76,6

2,00

45,2

73,3

20,2

21,9

70,9

>2

40,0

70,0

16,0

20,0

68,0

lx my m’x

mx

m’x

ly p

m’y

Valem as mesmas fórmulas das tabelas anteriores.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 35

2.3 Lajes Nervuradas 2.3.1

Generalidades

Lajes nervuradas são lajes cuja zona de tração é constituída por nervuras entre as quais podem ser postos materiais inertes, de modo a tornar plana a superfície externa (laje mista). Ainda que o material colocado entre as nervuras tenha certa resistência, não se conta com ela (caso contrário, teremos as lajes mistas, objeto da norma NB-4). As lajes nervuradas podem ser armadas em uma só direção, ou em cruz. Para realizar uma laje nervurada, há vários tipos de materiais de enchimento ou de técnicas de execução: “caixão perdido”, tijolos furados, blocos de concreto, de pumex, de isopor, etc. As nervuras podem ficar também aparentes, não havendo o material inerte entre nervuras, sem ou com forro falso (placas de gesso, “duratex”, etc.). As lajes maciças cobrem em geral vãos de até 6m, e possuem grande peso próprio. Já com as lajes nervuradas, aumentamos sua altura útil sem aumentar em demasia seu peso próprio.

2.3.2

Disposições construtivas específicas das lajes nervuradas:

(Item 6.1.1.3 da NBR6118/78)

bw

Figura 2-35 – Laje nervurada

(a = l 0 ) ≤ 100cm

(distância entre as faces das nervuras);

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 36

b w ≥ 4cm (largura das nervuras); 4cm h f ≥  l 0 (altura da mesa); 15 Para lajes armadas em 1 direção, deve-se dispor de: 1 nervura distribuída para l > 4m ;  2 nervuras distribuídas para l > 6m Nervuras com bw < 8cm não podem ter A´s no lado oposto à mesa. As lajes nervuradas podem ser calculadas como se fossem maciças ( a ≤ 50cm) , segundo o item 3.3.2.10 da NBR6118/78. A determinação dos esforços solicitantes pode ser feita no regime elástico. Seja a ou l0 a distância livre entre nervuras. A resistência da mesa à flexão deve ser verificada quando:

l 0 > 50cm ; Houver carga concentrada. As nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento sempre. O valor último τwu será o de vigas quando l 0 > 50cm e o de laje quando l 0 ≤ 50cm . A armadura mínima de distribuição é a mesma das lajes maciças armadas numa só direção (Item 6.3.1.1 da NB1/78). Os estribos das nervuras, quando necessários, devem ter espaçamento s ≥ 20cm (Item 6.3.2.1 da NB1/78).

2.3.3

Verificação de flechas

A norma (NBR6118/78) é incompleta neste ponto (Item 4.2.3.1.c). De qualquer maneira, não usaremos os coeficientes ψ2 e ψ3. Ao invés disto, utilizaremos a verificação de flechas no Estádio II.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 37

3 – Cálculo das Vigas 3.1 Introdução Dando seqüência ao projeto do edifício exemplo, partiremos agora para o cálculo e dimensionamento das vigas.

3.1.1

Ações

As ações geram solicitações nas estruturas. Estas solicitações são determinadas através de teorias de cálculo estrutural. No caso geral, tem-se: F = Fk → Fd = γf Fk → Sd ou, em estruturas de comportamento linear, F = Fk → Sk → Sd = γf Sk . No caso da flexão simples, tem-se: Fd → Md.

3.1.2

Resistências

As resistências são determinadas através de teorias apropriadas, a partir dos dados da seção transversal e das características mecânicas dos materiais. No caso da flexão simples tem-se, como dados: fck (resistência do concreto); fyk (resistência da armadura); e dimensões relativas da seção transversal (concreto e armadura). Através de teoria apropriada determina-se o momento resistente último, Mu

3.1.3

Verificações de Segurança

Existe segurança adequada quando é verificada a condição: Md ≤ Mu. Por razões de economia, faz-se Md = Mu.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 1

3.1.4

Tipos de Ruptura na Flexão

Em geral, tem-se o seguinte tipo de ruptura: se As = 0, ou muito pequena ⇒ ruptura frágil (brusca) por tração no concreto; se As for muito grande (pequena deformação εs)⇒ ruptura frágil (brusca) por esmagamento do concreto comprimido; e se As for “adequada” ⇒ ruptura dúctil (com aviso), com escoamento da armadura e acompanhada de intensa fissuração da zona tracionada

3.2 Hipóteses de Cálculo na Flexão Para o dimensionamento usual das vigas em concreto armado, deve-se respeitar as seguintes hipóteses de cálculo: a) Manutenção da seção plana ; As seções A e B passam para A’ e B’, quando fletidas, permanecendo planas conforme a figura a seguir:

b) Aderência perfeita entre concreto e armadura; Inexiste qualquer escorregamento entre os materiais, em outras palavras, a deformação da armadura εs é admitida igual à deformação da fibra de concreto εc , junto a esta armadura. c) Tensão no concreto nula na região da seção transversal sujeita a deformação de alongamento; d) Diagramas tensão-deformação (de cálculo) no aço aço de dureza natural: este aço apresenta patamar de escoamento conforme a figura d1.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 2

σsd fyk fyd diagrama

de

arctg Es

0,010

εyd

εsd

Figura d.1 Es = 21.000 kN/cm2 fyk = valor característico da resistência da armadura correspondente ao patamar de escoamento (resistência característica no escoamento) γs = 1,15 (coeficiente de ponderação da resistência da armadura) fyd = fyk / γs = valor de cálculo da resistência da armadura correspondente ao patamar de escoamento εyd = fyd / Es = deformação correspondente ao início do patamar de escoamento Os aços desta categoria são os seguintes: fyk (kN/cm2) 25 32 40 50

TIPO CA25 CA32 CA40A CA50A

fyd (kN/cm2) 21,74 27,83 34,78 43,48

εyd 0,00104 0,00132 0,00166 0,00207

Os aços são designados pela sigla CA (Concreto Armado), seguido da resistência característica no escoamento em kN/cm2. aço encruado (CA50B e CA60B) σsd fyk B

fyd A

diagrama

de

arctg Es

0,002

εyd

0,010

εsd

Figura d.2 Até o ponto A (limite de proporcionalidade), tem-se diagrama linear; entre A e B, admitese diagrama em parábola do 2o grau; e, além do ponto B, um patamar. Admite-se que o diagrama tensão-deformação na armadura seja o mesmo, na tração e na compressão.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 3

e) Diagramas tensão-deformação (de cálculo) no concreto diagrama parábola-retângulo σcd patamar 0,85fcd parábola

do

2

o

εc 0,002

t

t )

0,003 5

Figura e.1

γc = 1,4 (coeficiente de ponderação da resistência do concreto) fcd = fck / γc 0,85 : coeficiente para considerar a queda de resistência do concreto para cargas de longa duração (efeito Rusch) diagrama retangular simplificado k fcd Mud

0,8x

x

deformação de estado limite

As

Figura e.2 x = altura da zona comprimida, medida a partir da borda comprimida k = 0,85 , quando a largura da zona comprimida não diminui em direção à borda comprimida (seção retangular); em caso contrário usar 0,80. f) Domínios de Deformação, O estado limite último convencional ocorre quando o diagrama de deformação passa por um dos dois pontos, A ou B, na fig. f1). A

0,0035 x23

D2

Mud

d h

As

x34

2 D3

4 D4

εyd

3

B

0,010

Figura f.1

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 4

Sendo: d = altura útil da seção = distância do CG da armadura à borda comprimida x = altura da zona comprimida (medida a partir da borda comprimida) Diz-se que o diagrama de deformação do tipo 2 está no domínio de deformação 2 quando a altura da zona comprimida obedece à condição: x ≤ x23 = 0,0035 d / (0,0035 + 0,010) = 0,259 d Por sua vez, o diagrama de deformação encontra-se no domínio 3 de deformação quando a altura da zona comprimida obedece à condição: x23 ≤ x ≤ x34 = 0,0035 d / (0,0035 + εyd) Analogamente, o diagrama de deformação está no domínio 4 quando: x34 ≤ x ≤ d. A seção que atinge o ELUlt. nos domínios D2 e D3 é dita sub-armada ou normalmente armada. Quando o ELUlt. é atingido no D4, a seção é dita superarmada. Trata-se de situação antieconômica, pois a armadura não é explorada na sua plenitude. Procura-se evitar o dimensionamento neste domínio.

3.3 Dimensionamento à Flexão 3.3.1

Seção Retangular à Flexão

A seção retangular com armadura simples é caracterizada da seguinte forma: a zona comprimida da seção sujeita a flexão tem forma retangular; a barras que constituem a armadura está agrupada junto à borda tracionada e pode ser imaginada concentrada no seu centro de gravidade b

0,85fcd

Rc Mud

0,8x

x

d h

As

0,4 d - 0,4x

εu Rsd σsd

Resultantes das tensões: no concreto: na armadura:

Rcd = 0,85⋅fcd⋅b⋅0,8⋅x = 0,68⋅b⋅x⋅fcd Rsd = As⋅σsd

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 5

Equações de equilíbrio: Força: Momento:

(1) Rcd = Rsd ou 0,68⋅b⋅x⋅fcd = As⋅σsd Mud = Rcd ⋅ (d-0,4⋅x) ou Mud = Rsd ⋅ (d - 0,4⋅x)

Substituindo o valor das resultantes de tensão, vem: Ou

Mud = 0,68⋅b⋅x⋅fcd⋅(d - 0,4⋅x)

(2)

Mud = As⋅σsd⋅(d - 0,4⋅x)

(3)

Nos casos usuais de dimensionamento, tem-se b, fcd e faz-se Mud = Md (momento fletor solicitante em valor de cálculo). Normalmente, pode-se adotar d ≅ 0,9 h. Dessa forma, a equação (2) nos fornece o valor de x:   Md x = 1,25d 1 − 1 −  0,425bd 2 f cd   Com o valor de x, tem-se o domínio de deformação correspondente, podendo ocorrer as seguintes situações: I) domínio 2, onde x≤ x23 = 0,259 d; e σsd = fyd II) domínio 3, onde x23 ≤ x ≤x34 = 0,0035 d / (0,0035 + εyd); e σsd = fyd III) domínio 4, se x ≥ x34; neste caso, convém alterar a seção para se evitar a peça superarmada; esta alteração pode ser obtida da seguinte forma: ⇒ aumentando-se h (normalmente, b é fixo pois depende da espessura da parede onde a viga é embutida); ⇒ adotando-se armadura dupla. Obs.: o aumento da resistência do concreto (fck), também permitiria fugir do domínio 4. Para a situação adequada de peça sub-armada tem-se, σsd = fyd . Assim, a equação (3) nos fornece Md Md = As = σ sd (d − 0,4 x ) fyd (d − 0,4 x )

3.3.2

Seção “T”

Para o cálculo de uma viga de seção “T,” deve-se inicialmente determinar uma largura que contribui para resistir ao esforço solicitante. Esta largura de contribuição da mesa, bf, mostrada na figura a seguir.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 6

bf 0,85fc

0,85fcd 0,8

hf b1

bw

εu

Mud As

Figura 3.3.2.1

Onde: 8 h f (6h f para laje em balanco)  b 1 ≤ a/10 b /2  2 onde l em viga isostatica  a = 0,75l em vao extremo de viga contínua 0,6l em vao interno de viga contínua  sendo l o vão correspondente da viga. Se a altura comprimida (0,8 x) for menor ou igual à espessura da laje (hf), tem-se uma seção retangular com armadura simples, já vista. Quando x for maior do que hf, a forma da zona comprimida (sujeita à tensão 0,85fcd) tem a forma de um “T”. A análise da seção pode ser feita como se indica a seguir. 0,85fcd Mud

x

bf

Rcfd 0,8x

1

2

1

hf

Rcwd d

εu As

Rsd

bw

Figura 3.3.2.2 O problema pode ser equacionado subdividindo a zona comprimida em retângulos (1 e 2). As resultantes de tensão sobre as partes 1 e 2 valem: Resultante do concreto na aba colaborante: Resultante do concreto na alma:

Rcfd = 0,85 fcd (bf - bw) hf (1) Rcwd = 0,85 fcd bw (0,8 x) (2)

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 7

A equação de equilíbrio de momento fornece: Mud = Md = Mcfd + Mcwd = Rcfd (d - hf / 2) + Mcwd ou Mcwd = Md - Rcfd (d - hf / 2) Este momento deve ser resistido pela parte 2 que é uma seção retangular bw por d. Portanto  M cwd x = 1,25d 1 − 1 − 0,425b w d 2 f cd 

  

Com a posição da linha neutra, obtém-se a resultante do concreto na alma, Rcwd, através de (2). A equação de equilíbrio de força permite escrever: Rsd = As fyd = Rcfd + Rcwd De onde se obtém a área de aço, As, necessária para resistir ao esforço solicitante.

3.3.3

Seção Retangular com Armadura Dupla

Quando se tem, além da armadura de tração As , outra A’s posicionada junto à borda oposta comprimida, diz-se que se tem seção com armadura dupla. Normalmente, ela é empregada para se conseguir uma seção sub-armada sem alterar as dimensões da seção transversal. A armadura comprimida A’s introduz uma parcela adicional na resultante de compressão permitindo, assim, aumentar a resistência da seção. Seja o esquema de cálculo mostrado a seguir: εc d’ A’s h

d

Md x

d’

0,4 ε’s

As

Rcd

R’sd

Rsd

b

Figura 3.3.3.1 Equilíbrio de força:

Rsd = Rcd + R’sd As σsd = 0,68 b x fcd + A’sd σ’sd

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

(a) data:set/2001

fl. 8

Equilíbrio de momento:

Md = Rcd (d - 0,4 x) + R’sd (d - d’) Md = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x) + A’sd σ’sd (d - d’)

(b)

Tem-se duas equações, (a) e (b) e três incógnitas: x, As e A’s (pois, as tensões nas armaduras dependem de x). Costuma-se adotar um valor de x (naturalmente, menor ou igual a x34), por exemplo, x = d/2. Dessa forma, podem ser determinadas as armaduras As e A’s como se indica a seguir. As equações (a) e (b) sugerem a decomposição mostrada na figura seguinte. εc

εc d’ 0,4x Mwd

x

A’s

Rcd

∆Md

x

ε’s

d

d

d-d’

dAs1

Rsd1

d’ R’sd

As Rsd2

b

Figura 3.3.3.2 Conforme se indica na figura acima, pode ser determinada a primeira parcela do momento resistente, designada por Mwd: Mwd = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x) e Rsd1 = Mwd / (d - 0,4 x). Como σsd = fyd (peça sub-armada), tem-se As1 = Rsd1 / fyd. Assim, fica conhecida a parcela restante do momento resistente ∆Md = Md - Mwd. Também, ∆Md = R’sd (d - d’) = A’sd σ’sd (d - d’) e ∆Md = Rsd2 (d - d’) = As2 σsd (d - d’) que permitem determinar as áreas restantes de armadura, As2 e A’s. R’sd = Rsd2 = ∆Md / (d - d’) e As2 = Rsd2 / fyd. O cálculo de A’s, requer a determinação da tensão σ’sd. ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 9

Com x = x, tem-se, no domínio 3, εc = 0,0035 e no domínio 2: εc = 0,010 x / (d – x) (por semelhança de triângulos). Logo: ε’s = εc (x - d’) / x que permite obter σ’sd (no diagrama σ x ε da armadura). Finalmente: A’s = R’sd / σ’sd e As = As1 + As2.

3.4 Dimensionamento ao Cisalhamento 3.4.1

Modelo Simplificado para o Comportamento da viga (treliça básica de Mörsch)

O panorama de fissuração, que se implanta na viga por ocasião da ruptura, sugere um modelo em forma de treliça para o seu esquema resistente (fig. 3.4.1.1). Esta treliça é constituída de banzos paralelos ao eixo da viga (banzo superior comprimido de concreto, e banzo inferior tracionado correspondente à armadura longitudinal de flexão), diagonais comprimidas de concreto inclinadas de 45o (bielas diagonais) e pendurais correspondentes à armadura transversal. Esta armadura é, em geral, constituída de estribos distanciados de s e posicionados ao longo da viga, perpendicularmente ao seu eixo. As cargas atuantes na viga são substituídas por forças concentradas equivalentes aplicadas aos “nós” da treliça. pd

s

s

pd . s Rcd z 45 Rsd

viga real

modelo Figura 3.4.1.1

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 10

Os esforços na treliça múltipla podem ser estimados através de uma treliça mais simples, isostática, fig. 3.4.1.2, dita treliça clássica ou treliça de Mörsch. Cada pendural nesta treliça representa (z/s) estribos, da treliça original, o mesmo ocorrendo com a diagonal comprimida.

z

Rcd z=d/1,1 45 Rsd

Figura 3.4.1.2 Do equilíbrio do ponto J, fig. 3.4.1.3, tem-se: Rswd = Vd

e R cwd = Vd 2 z

Rcd Rcw Rsd J

Vd

Rcw

Rswd=Vd Rsd1

Rswd=Vd Rcw

Rsd1

Rsd

Rsd

Figura 3.4.1.3 a) Tensão média na diagonal comprimida (biela comprimida de concreto) z

z

bw

h1

Figura 3.4.1.4

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 11

Conforme a figura acima (Figura 3.4.1.4), pode-se escrever que a tensão média na biela comprimida é dada através de: σ cwd =

R cwd V 2 2 Vd V = d = = 2 τ o , sendo τ o = d . z b w h1 bwz bw z bw 2

Como z ≅ d/1,15, tem-se, também: σ cwd =

R cwd V 2 2 Vd 2 Vd V = d = ≅ = 2,3 d = 2,3τ wd z d b w h1 bw z bwd bw bw 115 , 2

onde τ wd =

Vd . bwd

b) Tensão média no estribo estrib

z φt As1 z

s

Figura 3.4.1.5 Sendo Asw a área total correspondente a um estribo, tem-se para o estribo usual de 2 ramos: Asw = 2 As1 (As1 = área da seção da armadura do estribo). Conforme a fig. 3.4.1.5, tem-se: σ swd =

Vd Vd τ R swd = = = o z ⋅ A sw b w A z A sw b w z ⋅ sw ρ w s bw bws s

ou σ swd =

R swd Vd Vd Vd ≅ = 115 , ⋅ = 115 , ⋅ z d ⋅ A sw d ⋅ A sw d ⋅ A sw b w A sw s 115 , ⋅s s s bw

, = 115

Vd τ wd , = 115 A sw ρw bwd ⋅ bws

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 12

onde: z / s = número de estribos no comprimento z de viga e ρw =

Aw = taxa geométrica de armadura transversal. bws

3.4.2

Dimensionamento

a) Verificação do Concreto Admite-se que a segurança de uma viga ao cisalhamento esteja devidamente atendida quando τ wd ≤ τ wu = 0,3 ⋅ f cd (não maior do que 4,5 MPa) Com, τ wd =

Vd bwd

(Vd = γf V)

De resultados de análises experimentais, permite-se considerar na flexão simples: τ c = 0,15 f ck (em MPa). b) Cálculo dos Estribos Dessa forma, atribuindo à tensão de tração nos estribos o valor fywd, eles podem ser quantificados através da expressão: ρw =

115 , τ wd − τ c f ywd

Onde fywd = 43,48 kN/cm2 para os aços CA50.

3.4.3

Arranjos das armaduras

Também para o dimensionamento ao cisalhamento deve-se respeitar as seguintes condições: a) Armadura transversal mínima (estribo mínimo) 0,14% − para o CA50 / CA 60 ρ w min =  0,25% − para o CA 25

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 13

A este estribo mínimo corresponde uma força cortante V*. V* =

b w ⋅ d ⋅ (fywd ⋅ ρwmin + τ c ) 1,61

.

b) Tipo de estribo Normalmente, utiliza-se estribo de 2 ramos (para bw ≤ 40 cm) e estribos de 4 (ou mais) ramos se bw > 40 cm. c) Diâmetro dos estribos (φt) 5 mm ≤ φ t ≤

bw 12

d) Espaçamento dos estribos (s) Recomenda-se obedecer às seguintes condições: 30 cm d / 2 s≤  21φ (CA 25)  12φ (CA50 / 60) As duas últimas condições são aplicadas quando se tem armadura comprimida de flexão (A’s). e) Cobertura do diagrama de força cortante Costuma-se garantir a resistência ao cisalhamento, adotando-se estribos uniformes por trechos de viga. Desta forma, resulta a “cobertura em degraus” do diagrama de força cortante; cada degrau correspondendo a um trecho de estribo constante. A fig. 3.4.3.1 ilustra este procedimento. Para vigas usuais de edifícios, pode-se adotar, em cada vão, 3 trechos: um central correspondente à armadura mínima (ρwmin e V*), e mais dois trechos, adjacentes aos apoios do vão com estribos calculados para as respectivas forças cortantes máximas.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 14

trecho com ρwmin

V*

V*

Fig. 3.4.3.1 Seções próximas aos apoios Nas proximidades dos apoios, a quantidade de armadura de cisalhamento pode ser menor do que aquele indicado pelo cálculo usual. Este fato ocorre porque parte da carga (próxima aos apoios) pode se dirigir diretamente aos apoios, portanto, sem solicitar a armadura transversal. A NBR-6118 propõe as regras seguintes para o cálculo da armadura transversal, quando a carga e a reação de apoio forem aplicadas em faces opostas da peça, comprimindo-a: no trecho entre o apoio e a seção situada à distância h/2 da face deste apoio, a força cortante oriunda de carga distribuída poderá ser considerada constante e igual à desta seção (fig. 3.4.3.2); p h h/2

diagrama de V

h/2

h/2

diagrama de V “corrigido”

Figura 3.4.3.2

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 15

a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a (a ≤ 2 h) do centro do apoio poderá, neste trecho de comprimento a, ser reduzida  a  , fig. 3.4.3.3. multiplicando-se por   2 ⋅ h  a

P h

V

Vred = V [a / (2 h)]

Figura 3.4.3.3 Convém frisar que estas reduções só podem ser feitas para o cálculo da armadura transversal. A verificação do concreto (τwd) deve ser feita com os valores originais, sem redução.

3.4.4

Armadura de Costura nas Abas das Seções Transversais

Normalmente, as abas das seções transversais estão submetidas a solicitações tangenciais. Junto à ligação (aba-alma) das seções das vigas esta solicitação atinge o valor máximo. Esta solicitação exige, no concreto armado, uma armadura de costura. Em vigas usuais de edifícios, podem ocorrer duas situações onde estas armaduras são necessárias, fig. 3.4.4.1. A primeira situação corresponde às seções dos vãos com abas comprimidas de seções T (flexão nos vãos das vigas normais) e, a outra, às seções de apoios internos das vigas contínuas, onde a armadura de flexão é distribuída também nas lajes (abas tracionadas). p

bf

armaduras Seção 2 - Apoio

Seção 1 - Vão

área comprimida na flexão

Seção 1 - Vão

área comprimida na flexão

armaduras de flexão

Seção 2 - Apoio

Figura 3.4.4.1 - Situações usuais ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 16

a) Aba comprimida A fig. 3.4.4.2 apresenta a situação típica correspondente à seção T submetida à flexão.

bf

0,85 fcd Rcd

x ε

d

z

As Rsd

Fig. 3.4.4.2 - Aba comprimida Considere-se a aba lateral de dimensão b’, fig. 3.4.4.3.

b’

bf

Rcd+dRc

b’ Rfd+dRfd τfo

Rcd

hf

Rfd

Figura 3.4.4.3 A força cortante para determinação da armadura transversal da aba necessária é dada por: Vfd =

b′ Vd bf

Da expressão de cisalhamento, tem-se que: b′ Vd 115 , Vfd bf V τ fo = = fd = hf z hf z hf d ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

(a)

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fl. 17

Comparando-se a expressão do cisalhamento usual de viga (conforme o modelo da treliça clássica): τo =

115 , Vd , bwd

com a expressão (a), pode-se concluir que ela permite imaginar a força cortante Vfd atuando na seção fictícia de dimensões hf x d. Logo, a armadura transversal, necessária no modelo da treliça clássica, é dada por: ρf =

onde ρ f =

τ fo f ywd

A sf hf

sendo A sf a área total de armadura transversal da aba (armadura de costura) por unidade de comprimento, fig. 3.4.4.4. 1

hf Asf

Figura 3.4.4.4 Normalmente, adota-se a armadura obtida desta maneira, como sendo suficiente para garantir a segurança da ligação entre a aba e a alma da viga. Por fim, deve-se também verificar: 1) 2)

Vfd ≤ 0,3f cd hf d ρf ≥ 0,14%

(verificação da compressão na biela diagonal) (taxa mínima de armadura transversal para o CA50/60).

b) Aba tracionada A fig. 3.4.4.5. apresenta a situação usual, correspondente a seções de apoio interno de vigas contínuas (momento fletor tracionando a borda superior), com armadura tracionada de flexão distribuída, também, nas abas.

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fl. 18

parte da armadura de flexão, posicionada numa aba lateral (Asf)

armaduras de costura Rsd Md

área comprimida na flexão

armaduras flexão (As)

z

de 0,8

Rcd

Figura 3.4.4.5 - Aba tracionada Considere-se a aba indicada na fig. 3.4.4.6. Rsd+dRs

Rsfd+dRsf

τfo

Rsd

hf

z Rcd

Rsf

Figura 3.4.4.6 - Aba lateral A cortante de cálculo resultante na aba considerada é dada pela expressão mostrada a seguir: A Vfd = sf Vd As onde: Asf = área da seção de armadura de flexão contida na aba. Analogamente ao caso anterior, tem-se que: A sf Vd As V 115 , Vfd τ fo = = fd = hf z hf z hf d

(b)

Comparando-se a expressão do cisalhamento usual de viga (conforme o modelo da treliça clássica) com a expressão (b), pode-se concluir que ela permite imaginar a força cortante Vfd atuando na seção fictícia de dimensões hf x d. Logo, a armadura transversal, necessária no modelo da treliça clássica, é dada por:

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fl. 19

ρf =

onde ρ f =

τ fo f ywd

A sf hf

sendo A sf a área total de armadura transversal da aba (armadura de costura) por unidade de comprimento. Normalmente, adota-se a armadura obtida desta maneira, como sendo suficiente para garantir a segurança da ligação entre a aba e a alma da viga. Deve-se, também, verificar 1)

Vfd ≤ 0,3f cd hf d

(verificação da compressão na biela diagonal)

ρf ≥ 0,14%

(taxa mínima de armadura transversal para o CA50/60).

e 2)

3.4.5

Armadura de Suspensão

Normalmente, os apoios das vigas são constituídos pelos pilares. Neste caso, diz-se que os apoios são do tipo direto. Algumas vezes as vigas se apóiam em outras vigas; constituem os apoios do tipo indireto. Quando as reações são aplicadas junto à face superior da viga de apoio, não existe a necessidade de armadura de suspensão. Esta situação é ilustrada na 3.4.5.1.

h ha

viga i d viga

de

Figura 3.4.5.1 - Viga de pequena altura apoiada sobre uma viga de grande altura A fig. 3.4.5.2 mostra, para o caso de viga de altura (h) maior do que a da viga de apoio (ha), a necessidade de armadura de suspensão para a reação total, isto é, Zd = Rd.

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fl. 20

viga de apoio ha h

viga

Figura 3.4.5.2 - Vigas altas. Numa situação intermediária, ilustrada na fig. 3.4.5.3, observa-se à necessidade de suspender apenas parte da reação, uma vez que o restante pode ser transferido para a treliça, que simula a viga de apoio, através do esquema usual.

h ha

Figura 3.4.5.3 - Vigas de altura intermediária

Sendo Rd a reação de apoio, a força de suspensão pode ser estimada em Zd = Rd (h / ha) ≤ Rd Onde: h = altura da viga apoiada ha = altura da viga de apoio. A armadura de suspensão será dada por Asusp = Zd / fywd. A armadura de suspensão Asusp pode ser distribuída na zona de suspensão, junto ao cruzamento das vigas, conforme a figura 3.4.5.4.

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fl. 21

ha / 2

ha / 2 viga de apoio

h/2

viga apoiada

Figura 3.4.5.4 - Zona de suspensão Deve-se observar que a zona de suspensão já contém alguns estribos normais das vigas. Estes estribos podem ser contados na armadura de suspensão.

3.5 Dimensionamento à Torção 3.5.1

Torção de Equilíbrio e Torção de Compatibilidade

O momento torçor em vigas usuais de edifícios pode ser classificado em dois grupos: momento torçor de equilíbrio (fig. 3.5.1.1) e momento torçor de compatibilidade (fig. 3.5.1.2).

B l

c

a

P

A P

TA=P.c.b / l

B

b

l = a+b

P.c TB=P.c.a / l

c A

p

m=p.c2/2 TB=m.l / 2

TA=m l / 2

Figura 3.5.1.1 - Torção de equilíbrio

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fl. 22

TB TA=T.b / l

B P

A

TA A

R a

TB=-T.a / l

b

B P

T R

Figura 3.5.1.2 - Torção de compatibilidade

3.5.2

Torção de Saint Venant

Considere-se um trecho de viga de seção retangular sujeito a momento torçor T (fig.3.5.2.1). As extremidades A e B apresentam rotações em sentidos opostos e as seções transversais deixam de ser planas. Diz-se que há empenamento da seção devido à torção. Quando a torção ocorre com empenamento livre tem-se o que se chama torção de Saint Venant e aparecem tensões de cisalhamento na seção transversal que, naturalmente, equilibram o momento torçor aplicado.

T

T T

T

Figura 3.5.2.1 Normalmente, as vigas estão sujeitas a restrições parciais ao livre empenamento por causa das interferências das lajes, outras vigas e pilares de apoio, Desse modo, aparecem tensões normais (longitudinais) adicionais que se somam às tensões devidas à flexão. Nas vigas de concreto armado, essas tensões adicionais costumam ser pequenas e tendem a diminuir com a fissuração do concreto (estádio II). Essas restrições ao empenamento provocam, também, pequenas alterações nas tensões de cisalhamento de Saint Venant. Normalmente, desprezam-se essas alterações provenientes do impedimento parcial do empenamento. Assim, o dimensionamento à torção pode ser feito conforme a teoria de torção de Saint Venant.

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fl. 23

3.5.3

Arranjo Usual das Armaduras

Usualmente, adota-se a disposição das armaduras compostas de estribos e barras longitudinais que, além da facilidade construtiva, se mostrou bastante adequada para resistir à torção. Os estribos devem apresentar espaçamentos pequenos e as barras longitudinais devem ser distribuídas uniformemente ao longo do perímetro da seção transversal. Também devem ser observadas as seguintes recomendações: a) armadura longitudinal • diâmetro da armadura longitudinal maior ou igual ao diâmetro do estribo (não menor do que 10 mm); • garantir uma ancoragem efetiva das barras longitudinais, junto às extremidades do trecho sujeito à torção, pois a tração é constante ao longo da barra; • distribuição uniforme da armadura longitudinal no perímetro da seção. b) armadura transversal (estribos) b / 2  st ≤  h / 3 20cm 

3.5.4

Dimensionamento

A viga de concreto armado deve ser dimensionada para resistir integralmente ao momento torçor de equilíbrio. O momento torçor de compatibilidade que aparece junto ao cruzamento das vigas (apoios indiretos) é, normalmente, pequeno e pode ser ignorado. a) Verificação do concreto Deve-se ter τtd ≤ τtu = 0,22 fcd (não maior do que 4 MPa). Na presença simultânea de força cortante deve-se verificar também: τ wd τ td + ≤ 1. τ wu τ tu b) Estribos A s1 φ d Td . = = st f yd 2A e f yd

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fl. 24

c) Armadura longitudinal A sl φ d Td = = u f yd 2A e f yd

3.6 Verificação em Serviço Todos os cálculos e verificações dos estados limites de serviço devem ser efetuados no Estádio II. Portanto, faz-se necessário determinar o produto de rigidez como também o momento de inércia nesse Estádio, conforme é apresentado a seguir: a) Seção Retangular com Armadura Simples Seja : αe =

Es , Ec

Onde o módulo de deformação do aço (Es) fixado em 210.000 Mpa e o módulo de deformação do concreto tomado através da expressão a seguir: E c = 0,9 × 6600 f ck + 3,5 (MPa) . A posição da linha neutra resultante é calculada através de: x=

As ⋅αe  2 bd   −1 + 1 + b  A sα e 

Em seções retangulares com armadura simples, o produto de rigidez EIII é calculado através de:

E c I II = A s E s (d − x) z Onde z = d -

x , de acordo com a figura a seguir: 3 εc

σc x

h

As

d

x/3 Rc z=d-x/3

M εs

σs

Rs

b Figura 3.6.1 ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 25

Dividindo ambos os termos por Ec, tem-se que: III = A s ⋅ α e (d − x )(d − x / 3) b) Seção Retangular com Armadura Dupla Na condição de armadura dupla, tem-se o seguinte panorama mostrado na figura a seguir: εc A's h

As

d' d

R's

x/3

x

ε 's

Rc

M

z=d-x/3 εs

b

σc

Rs

σs

Figura 3.6.2

A posição da linha neutra é determinada através de:  d'  A ' 2  1   ρ d + ρ d ' d    x = d ⋅ α e (ρ d + ρ d ') −1 + 1 + onde ρ d ' = s     α e  ρ d + ρ d '   ρ d + ρ d '  bd   Com ela, obtém-se as seguintes expressões: Produto de rigidez à flexão no Estádio II: E c I II = A s E s (d − x)(d − x / 3) + A s ' E s ( x / 3 − d ' )( x − d ') Momento de Inércia no Estádio II: I II =

bx 3 + A s α e (d − x) 2 + A ′s α e ( x − d ′) 2 3

c) Seção “T” com Armadura Simples A equação de equilíbrio nos leva à seguinte expressão da posição da linha neutra: bw x2 h2 + [( b f − b w ) h f + A s α e ]x − ( b f − b w ) f − A s α e d = 0 2 2

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fl. 26

Com ela, podemos também determinar o momento de inércia no Estádio II, através de: I II =

b f x 3 ( b f − b w )( x − h f ) 3 − + A s α e ( d − x) 2 3 3

3.6.1

Verificação das Flechas

a) Flecha de carga de curta duração (aq) q* = 0,7 q Por exemplo, para carga distribuída uniforme, a flecha no meio do vão é dada por: aq =

5 q * l4 384 E c I II

Em demais situações (carga concentrada, estrutura em balanço, etc.) podem ser obtidas através das referências bibliográficas adotadas neste curso, lembrando que o produto de rigidez deve ser aquele calculado no Estádio II. O mesmo deve ser considerado constante em todo o vão, e igual ao valor correspondente no ponto de momento fletor máximo. b) Flecha de carga de longa duração (ag) a g = a go (1 + 2ξ) , com ago igual à flecha imediata para a carga g calculada conforme escrito acima, e ξ = x . d As flechas, assim determinadas, devem ser limitadas a: aq ≤ l / 500; ag + aq ≤ l / 300. Conforme a NBR-6118, para as vigas usuais de edifícios de seção retangular e T, consideram-se atendidas as verificações de flecha quando d≥

l ψ2 ⋅ ψ3

(altura útil)

onde ψ2 = 1,0 nas vigas biapoiadas, 1,2 nas vigas contínuas, 1,7 nos vãos biengastados, 0,5 nos balanços. ψ3 = 17 para o aço CA50, 25 para o aço CA25. ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 27

3.6.2

Verificação da Fissuração

Segundo a NBR-6118, a fissuração é considerada nociva quando a abertura das fissuras na superfície do concreto ultrapassa os seguintes valores (wlim): a) 0,1 mm para peças não protegidas (peças sem revestimento), em meio agressivo; b) 0,2 mm para peças não protegidas, em meio não agressivo; c) 0,3 mm para peças protegidas (peças revestidas). Supõe-se que, com razoável probabilidade, a condição acima ocorra quando se verificam simultaneamente as seguintes desigualdades: w=

 σs  4 1  φ  + 45  > wlim  10  2 η b − 0,75 E s  ρ r 

e w=

1  1 3φ σ 2s  ⋅   >wlim 10  2ηb − 0,75 ftk E s 

Com: As ; A cr M σs = , com x calculado no Estádio II; A s (d − x / 3) ηb = coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas e entre 1,5 a 1,8 nas barras de alta aderência) ρr =

Define-se Acr (área crítica) a área equivalente de concreto tracionado envolvido na fissuração conforme ilustra a figura a seguir:

c < 7,5φ

7,5φ

7,5φ 7,5φ Acr

7,5φ 7,5φ 7,5φ c < 7,5φ 7,5φ

a 7,5φ

(a < 15 φ)

Determinação da Área Crítica

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fl. 28

3.7 Arranjo das Armaduras 3.7.1

Aderência, Ancoragem e Emendas

3.7.1.1 Introdução Considere-se a armadura mergulhada na massa de concreto, conforme mostra a fig. 1.1.

lb Z

l b1

τb Zd = As fyd

Figura 1.1 Se o comprimento mergulhado no concreto l b for pequeno, a barra poderá ser extraida do concreto por tração; se este comprimento for superior a um valor particular l b1 , será possível elevar a força de tração até escoar esta armadura. Diz-se que a armadura está ancorada no concreto. Este valor l b1 é chamado de comprimento mínimo de ancoragem reto sem gancho de extremidade. O fenômeno envolvido na ancoragem de barras é bastante complexo e está ligado à aderência, entre o concreto e a armadura, em uma região micro-fissurada do concreto vizinho à barra. O efeito global da aderência é composto por: a) adesão (efeito de cola); b) atrito de escorregamento e c) engrenamento mecânico entre a superfície (irregular) da armadura com o concreto. O escorregamento envolvido em b) ocorre junto às fissuras, digamos numa visão microscópica e, portanto, localizada. Numa visão macroscópica, como na teoria usual de flexão, admite-se a aderência perfeita entre os dois materiais. Esta consideração torna-se razoável pois ao longo da distância envolvida na análise de uma seção, da ordem da dimensão da seção transversal da peça, incluem-se várias fissuras que acabam mascarando os escorregamentos localizados junto às fissuras individuais. 3.7.1.2 Modelo para determinação do comprimento de ancoragem l b1 Para a avaliação de l b1 , costuma-se utilizar o modelo indicado na figura 2.1. Assim, Zd = A s f yd =

πφ 2 f yd = τ bu ⋅ π ⋅ φ ⋅ l b1 4

resultando l b1 =

φ fyd ⋅ 4 τ bu

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fl. 29

τbu

l b1

Zd = As fyd

Figura 2.1 A tensão última de aderência τ bu é função da posição da armadura ao longo da altura de concretagem da peça; da inclinação desta armadura; da sua conformação superficial (barras lisas e barras de alta aderência com mossas e saliências); e da resistência do concreto (fck). A consideração das duas primeiras variáveis é feita através do conceito de zonas de aderência: zona de boa aderência (zona I) e zona de aderência prejudicada (zona II). 3.7.1.2.1 Zonas de aderência A figura 2.2 apresenta as situações correspondentes às zonas I e II. Zona I Zona II h ≤ 30 cm

30 cm

h > 30 cm h ≤ 60

h

α > 45o

30 cm

h > 60

Figura 2.2

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fl. 30

A aderência depende, principalmente, de um bom envolvimento da armadura pelo concreto. A vibração do concreto provoca a movimentação da água, em excesso na mistura, para as partes superiores da peça. Esta água tende a ficar presa, em forma de gotículas, junto às faces inferiores das armaduras (partes sólidas em geral). Com o tempo aparecem no seu lugar vazios que diminuem a área de contato da barra com o concreto. Isto justifica o fato das barras horizontais posicionadas nas partes superiores das peças estarem em condições prejudicadas de aderência (zona II, ou de aderência prejudicada); em contraposição, as partes inferiores das peças constituem zonas de boa aderência (zona I). Quando a espessura da peça é pequena (h ≤ 30 cm, para finalidade prática) a quantidade de água de exudação é pequena, e não chega a reduzir em demasia a aderência. armadur

gotas de água acumuladas

vazio deixado pelas gotas d á

Figura 2.3 3.7.1.2.2. Valores de τ bu a) Zona I (de boa aderência) - barras lisas: τ bu = 0,28 f cd

( MPa )

- barras de alta aderência: τ bu = 0,42 3 f cd2

( MPa )

Alguns valores de lb1: fck (MPa) 13,5 15 18 20

CA25 (lisa)

CA50 (a. ader.)

63 φ 59 φ 55 φ ###

58 φ 54 φ 47 φ 44 φ

b) Zona II (zona de aderência prejudicada) Estimam-se os comprimentos de ancoragem para a zona II como sendo 50% superiores aos correspondentes à zona I. ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 31

Nota 1: normalmente, a armadura efetivamente utilizada (As,ef) é maior do que a calculada (As,calc ou simplesmente, As). Neste caso, o comprimento de ancoragem pode ser reduzido como se indica a seguir: l b 1 / 3 A s, calc  l b = l b1 ≥ 10φ A s, ef  10 cm Nota 2: nas barras comprimidas, o comprimento mínimo de ancoragem l b1c pode ser estimado através da expressão adotada para as barras tracionadas; para este cálculo, deve-se utilizar a tensão efetiva de compressão. O valor obtido deve, ainda, obedecer às seguintes condições:

l b1c

0,6 ⋅ l b1  ≥ 10φ 15 cm 

3.7.1.3 Utilização de ganchos padronizados nas extremidades da barra tracionada Os ganchos permitem reduzir o comprimento de ancoragem. Pode-se adotar as seguintes reduções sobre os valores de l b1 (sem ganchos): a) barras lisas: 15 φ

→

b) barras de alta aderência:10 φ →

l b1,c / gancho = l b1 − 15φ l b1,c / gancho = l b1 − 10φ .

l b1 - 15 φ - bar. lisas l b1 - 10 φ - bar. de alta

l b1 Figura 3.1 Nota 1: as barras lisas tracionadas de diâmetro φ > 6,3 mm devem ser utilizadas sempre com ganchos de extremidade. Nota 2: as barras comprimidas devem ser utilizadas sem ganchos de extremidade. 3.7.1.4 Comprimentos de ancoragem de feixes de barras As armaduras de concreto armado podem ser agrupadas em feixes de 2 ou 3 barras. Pode-se estimar o comprimento de ancoragem de um feixe de barras, com base nas expressão utilizada para barras isoladas, substituindo-se o diâmetro da barra pelo diâmetro equivalente do feixe (φe). O valor obtido deve ser aumentado de 20% no caso de feixe de duas barras e, de 33% para mais de duas barras. ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 32

φe = φ n n =2

n=3

n = número de barras no feixe. 3.7.1.5 Armadura transversal nas ancoragens No comprimento de ancoragem de uma barra (ou feixe), deve ser disposta armadura transversal de costura ao longo do terço extremo deste trecho, capaz de resistir a esforço igual a 40% do esforço transmitido pela barra ancorada; todas as barras que cruzam o plano de possível fissuração, no trecho de ancoragem, poderão ser consideradas naquela armadura. Em geral, esta armadura transversal é constituída pelos ramos horizontais dos próprios estribos da viga.

l b1

Ast

l b1 / 3

Além disso, logo depois das extremidades das ancoragens de barras comprimidas deverá haver armadura transversal destinada a proteger o concreto contra os efeitos do esforço concentrado na ponta, a qual será dimensionada para resistir a um quinto do esforço ancorado, podendo nela ser incluídos os estribos aí existentes. 3.7.1.6 Armaduras mergulhadas no concreto Quando a armadura mergulhada na massa de concreto for solicitada à deformação maior ou igual a ε yd (através da aderência), pode-se imaginar o diagrama de tensão mostrado na figura 6.1. Assim, a tensão cresce desde 0, junto à extremidade da barra, até fyd na seção distante l b1 daquela extremidade. diagrama de tensão admitida para barra 1

l b1 σs

fyd

barra 1

1

Figura 6.1

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 33

3.7.1.7 Emendas por traspasse A necessidade de emendas pode ocorrer, por exemplo, em peças de grande vão que ultrapassa o comprimento máximo (de fabricação) das armaduras de concreto armado. Em geral, estas emendas podem ser feitas por: traspasse, solda ou luva prensada. É muito utilizada a emenda por traspasse por ser simples e dispensar a utilização de equipamentos especiais. Consiste em superpor as extremidades, a serem emendadas, em uma extensão dita comprimento de emenda ( l v ). lv

lv

Figura 7.2 – Emendas por traspasse Conforme a NBR-6118, o comprimento de emenda pode ser definido em função do comprimento de ancoragem l b através da seguinte expressão: lv = ψ5 lb . onde ψ 5 depende da distância transversal (a) entre eixos de emendas mais próximas na mesma seção e da proporção de barras emendadas na mesma seção. Os valores de ψ 5 são definidos no ítem 6.3.5.2 da citada Norma. Consideram-se como na mesma seção transversal as emendas que se superpõem ou cujas extremidades mais próximas estejam afastadas de menos que 0,2 l v .

< 0,2 l v

lv

Figura 7.2 - emendas consideradas na mesma seção Ao longo do comprimento de emenda devem ser dispostas as armaduras transversais de costura, previstas junto às ancoragens de barras. Os ramos horizontais dos estribos podem servir para esta finalidade. lv = ψ 5 ⋅ lb

Ast

lv / 3

Ast

lv / 3

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Valores de ψ5: ψ5 Proporção de barras emendadas na mesma seção transversal

Distância transversal entre emendas (a)

≤ 1/5

a ≤ 10 φ a > 10 φ

1,2 1,0

> 1/5 ≤ 1/4 1,4 1,1

> 1/4 ≤ 1/3 1,6 1,2

> 1/3 ≤ 1/2 1,8 1,3

> 1/2 2,0 1,4

≥φ a

≥2φ

Proporção de barras emendadas na mesma seção Bitola φ ≤ 12,5 > 12,5

Sgk > Sqk ηb ≥ 1,5 ηb < 1,5 todas 1/2 todas (*) 1/4 1/2 (**)

Sgk ≤ Sqk ηb ≥ 1,5 ηb < 1,5 1/2 1/4 1/2 1/4

(*) - Se houver só uma camada de armadura (**) - Se houver mais de uma camada de armadura As barras comprimidas podem todas ser emendadas na mesma seção.

3.7.2

Alojamento das Armaduras

A área As da armadura necessária para resistir a um momento fletor M, numa dada seção de viga, é conseguida agrupando-se barras conforme as bitolas comerciais disponíveis. Geralmente, adotam-se barras de mesmo diâmetro φ. Uma das hipóteses básicas do dimensionamento de peças submetidas a solicitações normais é a da aderência perfeita. Para a garantia desta aderência é fundamental que as barras sejam perfeitamente envolvidas pelo concreto; por outro lado, a armadura deve ser protegida contra a sua corrosão; para isso adota-se um cobrimento mínimo de concreto para estas armaduras. A figura 3.7.2.1. mostra a disposição usual com armaduras isoladas entre si. Eventualmente, pode-se adotar armadura formada por feixes de 2 ou 3 barras.

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fl. 35

porta estribos c = cobrimento mínimo da armadura c

estribo

φt eh

armaduras de pele

φ

ev As

a

3 camada 2a

c

Figura 3.7.2.1 A tabela 3.7.2.1 apresenta as bitolas usuais de armaduras de concreto armado. φ (mm) As1(cm2)

3,2 0,08

4 0,125

5 0,2

6,3 0,31 5

8 0,5

10 0,8

12,5 1,25

16 2,0

20 3,15

25 5,0

32 8,0

Tabela 3.7.2.1 φ = diâmetro nominal (mm) As1 = área nominal da seção transversal de uma barra em cm2 Os valores de cobrimento mínimo recomendado pela NBR-6118 são os seguintes:

a) concreto revestido com argamassa de pelo menos 1 cm de espessura: c(cm) 0,5 1,0 1,5 1,5 2,0

elemento estrutural lajes no interior de edifícios paredes no interior de edifícios pilares e vigas no interior de edifícios lajes e paredes ao ar livre pilares e vigas ao ar livre

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fl. 36

b) concreto aparente c(cm) 2,0 2,5

elemento estrutural interior de edifícios ao ar livre

c) concreto em contato com o solo: c = 3 cm Nota: em solo não rochoso recomenda-se um lastro (camada adicional em contato com o solo) de pelo menos 5 cm de espessura com consumo de 250 kg de cimento por m3. d) peça de concreto em ambiente fortemente agressivo: c = 4 cm. e) quando, por qualquer razão, c > 6 cm, deve-se utilizar uma rede complementar dentro dos limites anteriormente indicados. Para alojamento das armaduras, sem emendas, deve-se procurar proceder conforme indicado abaixo: φ  e h ≥ 2cm 1,2φ agr 

φ  ; e v ≥ 2cm 0,5φ agr 

Brita brita 1 brita 2

φagr 9,5 a 19 mm 19 a 25 mm

onde φ = diâmetro da barra φagr = diâmetro máximo do agregado

c φt

bs

φt c

φ ev

eh

c bw

Figura 3.7.2.2

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fl. 37

Na ocasião de emendas, deve-se procurar alojar as armaduras como mostrado na figura abaixo (figura 3.7.2.3):

>2φ >φ

>2φ

>φ

Figura 3.7.2.3 Quando ocorrer uma distribuição em mais de três camadas, deve-se prever a partir da quarta camada, espaço adequado para a passagem do vibrador (figura 3.7.2.4).

acesso p/vibrador φvibr + 1 cm

4a

Figura 3.7.2.4 Nota: se bw > 60 cm, prever mais acessos para o vibrador (admitindo-se a eficiência do vibrador dentro de um raio de aproximadamente 30 cm). Para alojar barras em feixes de 2, 3 ou 4 barras, deve-se proceder de acordo com as regras do item 4, substituindo-se o diâmetro das barras φ pelo diâmetro equivalente ao feixe de barras

n=2

φ eq = φ n

n=3

n=4

onde n = no de barras no feixe.

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Detalhes complementares: a) armadura de flexão alojada junto à face superior da seção (figura 3.7.2.5) φvib

+

1

Figura 3.7.2.5 Nota: prever espaço para passagem do vibrador. b) armadura junto à borda com abas tracionadas (figura 3.7.2.6) Recomenda-se distribuir parte da armadura de tração nas abas tracionadas devidamente ligadas à alma da viga através de armaduras de costura. Asf1 ,φf1 ≤ hf /10

φvib + 1 cm Asf2 ,φf2 ≤ hf /10

Asw As = Asw + Asf1 + Asf2

Figura 3.7.2.6 c) vigas altas (h > 60 cm) Posicionar as armaduras de pele (Asl) conforme indicado na figura 3.7.2.7.

Asl = 0,05% bw h (de cada lado)

d / 3 ≤ 30 cm

entre 6 e 20

Figura 3.7.2.7

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fl. 39

3.7.3

Decalagem

Devido à fissuração diagonal, existe, então, uma translação (decalagem) para o lado desfavorável. Em particular, na seção sobre o apoio extremo, fica evidenciada a presença de força de tração na armadura, apesar de ser nulo o momento fletor. Este efeito explica a possibilidade de ocorrência de ruptura por escorregamento da armadura sobre os apoios extremos da viga. A figura a seguir nos fornece um exemplo de um diagrama decalado. pd

al Md/z

diagrama de força resultante no banzo i d

al

al

Figura 3.7.3.1 A NBR6118 usa a seguinte expressão: al (1,5 –1,2η)x d ≥ 0,5x d onde η é a “taxa de cobertura”; η = 1 -

τc τc =11,15 τ wd τ 0d

Na prática, em vigas, podemos adotar al = 0,75 d

3.7.4

Ancoragem nos Apoios

Admite-se que a segurança esteja garantida pela verificação das duas condições seguintes: a) A armadura deve estar devidamente ancorada para garantir, junto à face interna do apoio, a resultante de tração igual a:

Rs,apo,d

Rs,apo,d = Vd (al / d) ≥ Vd / 2;

R + 5,5 φ ≥ 6cm Vd ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 40

b) Na ocasião de gancho de extremidade as barras devem estender-se, a partir da face interna do apoio, por um comprimento igual a (r + 5,5 φ) ≥ 6 cm, onde φ é o diâmetro da barra e r o seu raio de dobramento padronizado (para o aço CA50: r = 2,5 φ quando φ 70 meses 

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fl. 73

4 – Pilares de Edifícios 4.1 Introdução As funções dos pilares são as de conduzir as cargas verticais dos pavimentos para as fundações, donde decorre seu comportamento primário de barra comprimida, e de fornecer estabilidade ao edifício quanto aos esforços horizontais (vento e terremotos). Os pilares podem ser dimensionados para fornecer estabilidade às estruturas isoladamente (pilares de grande rigidez, como os das caixas de escada e elevadores) ou participando de pórticos de contraventamento (associação de pilares e vigas). Neste capítulo apresentaremos um procedimento para o cálculo de pilares de edifícios baseado no texto do projeto de revisão da NBR6118 publicado em agosto de 2001, que doravante chamaremos de NB1/2001. Neste capítulo, em muitas ocasiões, apresentaremos apenas os dispositivos da NB1/2001 necessários para o entendimento e dimensionamento do edifício exemplo, permanecendo como referência básica o texto da NB1/2001.

4.2 Análise Local e Global A NB1/2001 define dois níveis de análise para os pilares: global e; local. Deve ser realizada a análise global, considerando o carregamento proveniente do vento, desaprumo e efeitos de 2a ordem globais para todos os elementos responsáveis pelo contraventamento do edifício, ou seja, os elementos responsáveis pela resistência aos esforços horizontais atuantes. Todos os elementos, considerados isolados (trechos do pilar entre os pisos do edifício) devem ser verificados localmente, considerando os momentos iniciais aplicados em suas extremidades, momentos devidos à excentricidade acidental local e quando necessário, efeitos localizados de 2a ordem.

4.3 Cargas e Ações Consideradas

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fl. 2

Considerando o arranjo tradicional, com lajes apoiando-se em vigas que por sua vez se apóiam em pilares, temos que os esforços atuantes em uma determinada seção do pilar decorrem do momento fletor introduzido pelas vigas, das cargas verticais que se somam a cada pavimento e dos esforços transversais provenientes da ação do vento e da consideração do desaprumo global da estrutura, além dos efeitos globais e locais de 2a ordem.

4.3.1

Cargas Verticais

As cargas verticais são determinadas segundo o procedimento apresentado no capítulo 1, utilizando os valores de carga prescritos pela NBR6120/1980 – Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações.

4.3.2

Ação do Vento

A consideração do efeito do vento nas edificações é obrigatória segundo a NB1/2001. Este efeito deve ser determinado de acordo com o prescrito pela NBR6123/1988 – Forças Devidas ao Vento em Edificações, permitindo-se o emprego de regras simplificadas previstas em normas brasileiras específicas (NB1/2001 11.4.1.2). O procedimento simplificado para a obtenção do carregamento de vento segundo a NBR6123 é apresentado no capítulo 1.

4.3.3

Imperfeições Geométricas Globais

Na análise global das estruturas reticuladas, sejam elas contraventadas ou não, deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a Figura 4-1 (NB1/2001).

l θa

n prumadas de pilares Figura 4-1– Consideração das imperfeições geométricas globais (NB1/2001)

Aonde: θ1 =

1

( 4.1 )

100 l

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fl. 3

θa = θ1

1 + 1n 2

( 4.2 )

tal que, l é a altura da estrutura em metros; n é o número total de elementos verticais contínuos.  1 para estruturas de nós fixos;  θ1min =  400 1 para estruturas de nós móveis e imperfeições locais.   300 1 θ1máx = 200

( 4.3 )

Ainda segundo a NB1/2001, o desaprumo mínimo (θ1mín) não deve necessariamente ser superposto ao carregamento de vento. Entre os dois, vento e desaprumo, pode ser considerado apenas o mais desfavorável, que pode ser definido como o que provoca o maior momento total na base da construção. Deve-se ainda considerar o efeito de imperfeições locais (entre pisos). Tal procedimento será discutido quando da modelagem dos pilares isolados.

4.3.4

Efeitos de 2a Ordem

Na análise estrutural de estruturas de nós móveis devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos da não-linearidade geométrica e da não-linearidade física e, portanto, no dimensionamento, devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos globais e locais de 2ª ordem. Uma solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2ª ordem, consiste na avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª ordem) a partir da majoração adicional dos esforços horizontais da combinação de carregamento considerada por 0,95γz. Esse processo só é válido para γz ≤ 1,3 (NB1/2001). Acima deste limite, devemos utilizar métodos mais exatos para a determinação dos esforços, como a análise não-linear física e geométrica utilizando programas de elementos finitos, ou para casos mais simples, o processo P-∆. A análise global de 2ª ordem em geral fornece apenas os esforços nas extremidades das barras. Desta forma, quando não tivermos os esforços de 2a ordem no meio dos pilares, provenientes da análise global, devemos realizar uma análise dos efeitos locais de 2ª ordem ao longo dos eixos das barras comprimidas, de acordo com o prescrito no item 15.8 da NB1/2001. Quando realizarmos uma análise global com discretização conveniente das vigas e pilares, utilizando uma formulação para os elementos que leve em consideração a nãolinearidade física e geométrica, podemos considerar que os efeitos de 2a ordem já são automaticamente captados pelos elementos.

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fl. 4

4.4 Combinações de Carregamento (ELU) O valor de cálculo das ações para a combinação última, Fd, é determinado por (NB1/2001 11.8.2): Fd = γ gFgk + γ εgFεgk + γ q (Fq1k + ∑ ψ 0 jFqjk ) + γ εq ψ 0 εFεqk

( 4.4 )

ou, mais especificamente para as ações presentes neste edifício exemplo: Fd = γ gFgk + γ q (Fq1k + ∑ ψ 0 jFqjk )

( 4.5 )

Tomando os coeficientes de ponderação das ações no estado limite último (ELU) (NB1/2001 11.7.1), temos as seguintes combinações de cálculo para o edifício exemplo: Tabela 4-1 – Combinações de carregamento para o cálculo dos pilares do edifício exemplo para cada direção

Combinação 1

Descrição Carga acidental vertical como Fd ação principal. Vento (+).

2

Carregamento de vento como Fd ação principal. Vento (+).

3

Carga acidental vertical como Fd ação principal. Vento (–).

4

Carregamento de vento como Fd ação principal. Vento (–).

= γ g Fgk + γ q (Fq1k + ∑ ψ 0 jFqjk )

= 1,4 Fgk + 1,4(Fq,vertical + 0,6 Fq,vento ) = γ g Fgk + γ q (Fq1k + ∑ ψ 0 jFqjk )

= 1,4 Fgk + 1,4(Fq,vento + 0,5 Fq,vertical ) = γ g Fgk + γ q (Fq1k + ∑ ψ 0 jFqjk )

= 1,4 Fgk + 1,4(Fq,vertical + 0,6 Fq,vento ) = γ g Fgk + γ q (Fq1k + ∑ ψ 0 jFqjk )

= 1,4 Fgk + 1,4(Fq,vento + 0,5 Fq,vertical )

Desta forma, a rigor, para o edifício exemplo, teríamos 8 combinações de carregamento, o que obviamente torna o cálculo manual muito extenso. Com o objetivo de manter a simplicidade, utilizaremos o dispositivo apresentado no livro de comentários da NB1/2001, que permite a substituição das combinações de carregamento acima por apenas uma em cada direção, se o edifício apresentar γ z ≤ 1,1 (a definição de γz é apresentada no capítulo 1). Tabela 4-2 – Combinação de carregamento para o cálculo dos pilares do edifício exemplo para cada direção (processo simplificado ( γ z ≤ 1,1) )

Combinação

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fl. 5

1

Fd

= γ g (Fgk + Fqk + 0,8 ⋅ Fq, vento ) = 1,4 (Fgk + Fqk + 0,8 ⋅ Fq, vento )

Para paredes estruturais com espessura inferior a 19cm e não interior a 12cm, e para os pilares com dimensão interior a 19cm, as ações Fd devem ser majoradas pelo coeficiente de ajustamento γn (NB1/2001 13.2.3). Esta correção se deve ao aumento da probabilidade de ocorrência de desvios relativos e falhas na construção. b ≥ 19cm 12 ≤ b ≤ 19cm

γn 1,0 2,73 − 0,07b γn = 1,4

( 4.6 )

4.5 Definições 4.5.1

Esbeltez

As simplificações possíveis (tanto do seu comportamento, como do método de modelagem) de serem adotadas no projeto dos pilares isolados estão diretamente relacionadas com o índice de esbeltez λ do pilar. le i Ic i= Ac λ=

( 4.7 ) ( 4.8 )

onde le = comprimento de flambagem i = raio de giração da seção geométrica da peça (seção de concreto não se considerando a presença da armadura) = momento de inércia da seção transversal do pilar em relação ao eixo Ic principal de inércia na direção considerada Ac = área da seção transversal do pilar Nas estruturas de edifícios consideradas indeslocáveis, o comprimento de flambagem le dos pilares é determinado conforme a Figura 4-2 e a equação ( 4.9 ). Nas estruturas de nós móveis, rigorosamente o comprimento de flambagem é medido entre pontos de inflexão da configuração deformada do pilar. Entretanto, uma boa aproximação é considerar o mesmo critério adotado para os pilares de estruturas indeslocáveis.

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fl. 6

0

h

Figura 4-2 – Determinação do comprimento de flambagem nos casos usuais de estruturas de edifícios

O comprimento equivalente le do elemento comprimido suposto simplesmente apoiado em ambas extremidades é o menor dos seguintes valores: l + h le ≤  0 l

( 4.9 )

Na próxima figura apresentamos o comprimento de flambagem para outras condições de vinculação e na Figura 4-4 a situação real e a de projeto.

le = l

le = 0,5l

le = 2/3 l

Figura 4-3 – Comprimentos de Flambagem

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fl. 7

Figura 4-4 – Situação de Cálculo x Situação de Projeto

4.5.2

Excentricidade

Em algumas ocasiões é conveniente saber transformar os momentos fletores aplicados a excentricidades equivalentes:

Figura 4-5 – Equivalência entre os pares N-M e N-e

Utilizando a convenção da Figura 4-5, temos: Mx = N ⋅ e x

( 4.10 )

My = N ⋅ e y

4.6 Classificação dos Pilares 4.6.1

Introdução

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fl. 8

Tradicionalmente temos a classificação dos pilares baseada em sua esbeltez, em sua posição relativa no pavimento e quanto ao fato dele pertencer ao sistema de contraventamento do edifício. Entretanto, sabemos que tais classificações tem apenas o objetivo de permitir o cálculo mais simplificado para alguns tipos de pilares, pois se adotarmos a modelagem global da estrutura, todos os pilares podem ser tratados da mesma forma.

4.6.2

Classificação quanto à Resistência dos Esforços Transversais

Os pilares de um edifício podem pertencer ou não ao seu sistema de contraventamento, responsável por resistir aos esforços transversais. Desta forma, temos: Pilares de Contraventamento: são responsáveis pela estabilidade global da estrutura e devem ser dimensionados para resistir aos esforços globais de vento, desaprumo, etc. e aos esforços provenientes da análise local (esforços introduzidos pelas vigas dos pavimentos, momentos de 2a ordem localizados). Pilares Contraventados: são contraventados pelos primeiros. É necessário apenas efetuar sua análise local.

Percebe-se que o procedimento de dimensionamento é o mesmo, mudando apenas os esforços para dimensionamento.

4.6.3

Classificação quanto a sua Posição no Pavimento

Quanto a sua localização no pavimento, os pilares são usualmente classificados em: Pilares Centrados Pilares de Extremidade Pilares de Canto O objetivo principal desta classificação é simplificar o procedimento de cálculo, excluindo as excentricidades iniciais nas duas direções para os pilares centrados e a excentricidade inicial numa direção para os pilares de extremidade. Sob o nosso ponto de vista, tais simplificações são muito grosseiras e podem desconsiderar excentricidades iniciais importantes. Por exemplo, um pilar centrado pode apresentar excentricidades iniciais importantes decorrentes de vãos desiguais de vigas, carregamentos de lajes e vigas muito diferentes, vinculação excêntrica de viga ao pilar, que podem ser esquecidas. Desta forma, adotaremos o procedimento de determinar os momentos iniciais nas direções principais para todos os pilares e sempre dimensionar os pilares à flexão normal oblíqua.

4.6.4

Classificação quanto a sua Esbeltez

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data:set/2001

fl. 9

Tradicionalmente, os pilares são classificados, quanto a sua esbeltez em: Pilares Curtos Pilares Medianamente Esbeltos Pilares Esbeltos Pilares muito Esbeltos Esta classificação é realizada para que possamos simplificar o tratamento dos pilares. Conforme o pilar se torna mais esbelto, os efeitos de 2a ordem e decorrentes da fluência tornam-se mais importantes e desta maneira, passamos a utilizar modelos menos simplificados e mais confiáveis. A NB1/2001 introduziu várias mudanças na avaliação da esbeltez dos pilares que conseqüentemente altera os limites que separam os tipos de pilares, além de novos métodos para a avaliação dos efeitos de 2a ordem e da fluência. Um resumo sobre estas mudanças pode ser visto no tópico 4.9.

4.7 Dimensionamento à Flexão Normal Composta 4.7.1

Processo Geral

a) Definição

M G N

Plano de Simetria e Plano de Solicitação

b) Construção de Curvas de Interação(Mu, Nu)

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 10

εc

σc

σsi.Asi Nc

x

G L

ac as

N

Ns

εs

Concreto

Aço

Dados: Seção, armaduras, materiais(fck,fyk) Escolhe-se x → Domínios de ELU sai a deformação correspondente → Com as deformações entra-se no diagrama dos materiais para retirar as tensões no aço e no concreto. Nc → Resultante de tensões no concreto ac → Dstância da resultante de tensões no concreto ao C.G. da seção transversal Ns → Resultante das forças nas barras de aço as → Distância da resultante das forças no aço ao C.G. da seção transversal Domínios do Estado Limite Último “Lugar Geométrico” das Deformações Últimas

Deduz-se: Nu = Nc + Ns Mu = Ncac + Nsas Nu e Mu formam um par de valores que levam a peça ao E.L.U Portanto: Correspondência Biunívoca x ↔ (Nu,Mu) ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 11

Variando x obtém-se pares (Nu,Mu) c) Aspecto Geral das Curvas de Interação

Nu

A

Compressão As dado B C D

Mu

Tração

Pontos Característicos A → Compressão Simples B → Máximo Mu C → Flexão Simples D → Tração Simples Trecho AC → Flexo-Compressão Trecho CD → Flexo-Tração d) Verificação da segurança da peça, dada a armadura, para os esforços Nd e Md

Nu

Nu

Md

Segurança Deficiente

Boa Segurança Md

As dado

Nd

As dado

Nd

Mu

Mu

Marca-se no gráfico o ponto(Nd , Md) Se o ponto é interno à curva → Segurança Boa Se o ponto é externo à curva → Segurança deficiente

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fl. 12

Ábacos de Interação para Dimensionamento Escolhidos seção transversal e disposição da armadura e categoria do aço Curvas interação, função de variáveis adimensionais do tipo: Nd A c .fcd Md µ= A c .fcd .h A ρ = s (taxa geométrica de armadura) Ac A s .f yd ω= (taxa mecânica de armadura) A c .fcd ν=

υ ω ω

=1

Retira-se o ω desejado

=0

υ

µ

4.7.2

µ

Processo Simplificado

Nas situações de cálculo de flexão composta normal de seções retangulares ou circulares com armadura simétrica em que a força normal reduzida (ν) for maior ou igual a 0,7, permite-se a transformação deste caso de dimensionamento em um de compressão centrada equivalente (NB1/2001). Tal processo é conveniente para a estimativa da armadura, que posteriormente será verificada por métodos mais rigorosos. ν ≥ 0,7 e  NSd,eq = NSd,real 1 + β  h  MSd,eq = 0 ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

(4.11)

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fl. 13

onde ν=

NSd , A c ⋅ fcd

MSd,real e = h NSd,real ⋅ h

e

β=

1

(0,39 + 0,01⋅ α ) − 0,8 ⋅ d´ h

e α=−

1 αs

α = αs α=6 α = −4

se

αs < 1

se αs ≥ 1 se αs > 6 para seções circulares

considerando α s =

A s,sup erior = A s,inf erior A s,lateral 2

, conforme a figura abaixo:

Figura 4-6 – Arranjo de armadura caracterizado pelo parâmetro αs

4.7.3

Ábacos Adimensionais para Dimensionamento

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fl. 14

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4.8 Dimensionamento à Flexão Oblíqua 4.8.1

Processo Geral

Superfície de Interação ( Para um dado As)

Figura 4-7 – Diagrama de Interação

4.8.2

Processo Simplificado

A NB1/2001 permite o cálculo simplificado e aproximado, nas situações de flexão simples ou composta oblíqua, pela expressão de interação: α

α

 MRd,y   MRd,x   =1   + M M   Rd,xx   Rd,yy 

( 4.12 )

onde: ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 23

MRd,x; MRd,y são as componentes do momento resistente de cálculo em flexão oblíqua composta, segundo os dois eixos principais de inércia x e y, da seção bruta, com um esforço normal resistente de cálculo NRd igual à normal solicitante NSd. Estes são os valores que se deseja obter; MRd,xx; MRd,yy são os momentos resistentes de cálculo segundo cada um dos referidos eixos em flexão composta normal, com o mesmo valor de NRd. Estes valores são calculados a partir do arranjo e da quantidade de armadura em estudo; α é um expoente cujo valor depende de vários fatores, entre eles o valor da força normal, a forma da seção, o arranjo da armadura e de suas porcentagens. Em geral pode ser adotado α = 1,0 a favor da segurança. No caso de seções retangulares poder-se adotar α = 1,2. Os momentos MRdxx e MRdyy são extraídos dos diagramas de interação para a flexão normal nas direções x e y da seção. O diagrama de interação é construído arbitrando-se valores para MRdx e determinando o momento: α

MRd,y

M  = α 1 −  Rd,x  ⋅ MRd,yy  MRd,xx 

( 4.13 )

Figura 4-8 – Aproximação dos diagramas de interação para a flexão oblíqua

Observação: Horowitz apresenta uma expressão para a melhor avaliação de α:

 N α = 0,5 + b Sd  NRd,máx

4.8.3

   

1,50 p / CA 50B b= 1,60 p / CA 50 A

( 4.14 )

Ábacos Adimensionais para Dimensionamento

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4.9 Pilares Contraventados (Cálculo dos Pilares Isolados) 4.9.1

Introdução

A próxima figura mostra os critérios para a modelagem dos pilares isolados em função de seu índice de esbeltez.

0

λ1

90

200

140 a

Consideração dos efeitos de 2 ordem Consideração da Fluência Método Geral Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada Método do Pilar Padrão com rigidez Κ aproximada Método do Pilar Padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r Figura 4-9 – Critérios para a modelagem dos pilares isolados conforme o índice de esbeltez

As duas primeiras barras indicam o intervalo onde há obrigatoriamente a necessidade da consideração dos efeitos de 2ª ordem e de fluência e nas quatro barras seguintes o intervalo de validade de cada método de solução recomendado pela NB1/2001. Devemos ainda complementar que o valor λ1 é um valor que determina o início da consideração dos efeitos de 2ª ordem e será discutido com mais detalhe no tópico 4.9.2 e que não são permitidos pilares usuais com índice de esbeltez maior que 200.

4.9.2

Critério para a Dispensa dos Efeitos de 2ª Ordem

A NB1/2001 estabelece novos critérios para a dispensa dos efeitos de 2ª ordem. Ela estabelece que os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez λ for menor que o valor limite λ1 (ao invés do valor fixo de 40 utilizado anteriormente). O valor de λ 1 depende de diversos fatores, mas os preponderantes são: a excentricidade relativa de 1ª ordem e1/h; a vinculação dos extremos da coluna isolada; a forma do diagrama de momentos de 1ª ordem. Desta forma, são estabelecidas expressões que visam levar em conta a influência de cada um dos fatores citados acima. Assim sendo, o valor de λ1 é calculado pela expressão:

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fl. 28

(25 + 12,5 e1/h) λ1 = αb

≤ 90   35 ≥ α b 

( 4.15 )

O parâmetro αb é determinado em função da vinculação dos extremos da coluna e da forma do diagrama de momentos de 1ª ordem: a) Para pilares biapoiados MB ≥ 0,40 para pilares biapoiados sem cargas transversais MA αb = 1,0 para pilares biapoiados com cargas transversais significativas, ao longo da altura. Sendo, MA e MB os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar, tomando-se para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar e adotando para MB o sinal positivo se tracionar a mesma face que MA e negativo em caso contrário. α b = 0,60 + 0,40

( 4.16 )

b) Para em pilares em balanço α b = 0,80 + 0,20

MC ≥ 0,85 MA

( 4.17 )

Sendo, MA o momento de 1ª ordem no engaste, e MC o momento de 1ª ordem no meio do pilar em balanço.

c) Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo

Deve-se tomar αb = 1 se o maior momento ao longo da coluna for menor que o momento mínimo definido em (4.19).

4.9.3

Solicitações Iniciais

A solicitação inicial é composta pela força normal de cálculo (Nd) no elemento e pelos momentos iniciais de cálculo (M1d,A e M1,B) aplicados às extremidades das barras. Os esforços atuantes iniciais nos pilares são provenientes das combinações de carregamento utilizadas, devendo-se ressaltar que os momentos iniciais nas extremidades podem ser oriundos de uma análise de 1ª ordem ou de 2ª ordem global. O momento inicial deve ainda respeitar um momento mínimo inicial decorrente da consideração de imperfeições construtivas conforme será visto no item 4.9.4. ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 29

4.9.4

Momento Decorrente de Imperfeições Construtivas

A NB1/2001 recomenda que sejam considerados os efeitos decorrentes da falta de retilinidade e de desaprumo no pilar (item 11.3.3.4), conforme as figuras abaixo.

θ1

l 2

Figura 4-10– Falta de retilinidade no pilar [ABNT-2]

θ1

l

Figura 4-11 – Desaprumo do pilar [ABNT-2]

admitindo-se nos casos usuais, a consideração apenas da falta de retilinidade ao longo do lance de pilar seja suficiente. Desta forma temos: e a = θ1 ⋅ l e

∴ Ma,d = Nd ⋅ e a

( 4.18 )

com θ1 determinado pela expressão ( 4.1 ).

O momento total M1d,mín de primeira ordem, isto é, o momento de primeira ordem acrescido dos efeitos das imperfeições locais, deve respeitar o valor mínimo dado por: M1d,mín = Nd ⋅ e a,mín = Nd ⋅ (0,015 + 0,03h) h = dimensão do pilar na direção considerada, em metros.

( 4.19 )

Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. No caso de pilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse mínimo deve ser respeitado em cada uma das direções principais, separadamente.

4.9.5

Métodos para a avaliação dos Momentos de 2a ordem dos Pilares Isolados

A NB1/2001 estabelece alguns métodos que podem ser utilizados para a obtenção de esforços utilizados para o dimensionamento de pilares. A seguir apresentamos a transcrição destes métodos. 4.9.5.1

Método Geral

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fl. 30

Consiste na análise não-linear de 2ª ordem efetuada com discretização adequada da barra, consideração da relação momento-curvatura real em cada seção e consideração da não-linearidade geométrica de maneira não aproximada, sendo obrigatório para λ >140. 4.9.5.2

Métodos Aproximados

A determinação dos esforços locais de 2ª ordem pode ser feita por métodos aproximados como o do pilar padrão e o do pilar padrão melhorado. 4.9.5.2.1 Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada É permitido para λ ≤ 90, em pilares de seção constante e de armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo que a deformada da barra seja senoidal. A não-linearidade física é levada em conta através de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica.

O momento total máximo na coluna é dado por:

Md, tot = α b M1d, A

l 2e 1 + Nd . ≥ M1d, A 10 r

( 4.20 )

sendo 1/r a curvatura, que na seção crítica pode ser avaliada pela expressão aproximada: 1 0,005 0,005 = ≤ ( 4.21 ) r h (ν + 0,5) h onde, h = altura da seção na direção considerada; N ν = força normal adimensional, dada pela expressão ν = Sd A c fcd M1d,A deve respeitar o valor mínimo estabelecido em ( 4.19 ) (M1d,A ≥ M1d,min). O momento M1d,A e o coeficiente αb têm as mesmas definições do item 4.9.2, sendo M1d,A o valor de cálculo de 1ª ordem do momento MA. 4.9.5.2.2 Método do Pilar Padrão com rigidez Κ (kapa) aproximada

É permitido para λ ≤ 90, nos pilares de seção retangular constante, armadura simétrica e constante ao longo do eixo. A não linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo que a deformada da barra seja senoidal. A não linearidade física é levada em conta através de uma expressão aproximada da rigidez. O momento total máximo na coluna é dado por:

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fl. 31

Md, tot =

α b M1d, A λ2 1− 120 κ/ν

≥ M1d, A ≥ M1d,min

( 4.22 )

sendo o valor da rigidez adimensional Κ (kapa) dado aproximadamente por: Md,tot    ν Κ = 32 1 + 5 . h.N d  

( 4.23 )

As variáveis h, ν, M1d,A e αb são as mesmas definidas no item anterior e o processo é iterativo, sendo usualmente 2 ou 3 iterações suficientes. 4.9.5.2.3 Método do Pilar Padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r A determinação dos esforços locais de 2ª ordem em pilares com λ ≤ 140 pode ser feita pelo método do pilar padrão ou pilar padrão melhorado, utilizando para a curvatura da seção crítica valores obtidos de diagramas M – N – 1/r específicos para o caso.

4.10 Pilares de Contraventamento A determinação da rigidez mínima já foi discutida no capítulo 1.

4.11 Detalhamento As exigências deste tópico referem-se a pilares cuja maior dimensão da seção transversal não exceda cinco vezes a menor dimensão (que devem ser tratados como pilares parede), e não são válidas para as regiões especiais.

4.11.1 Diâmetro Mínimo da Armadura Longitudinal (NB1/2001 18.4.2) O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10 mm e nem superior 1/8 da menor dimensão transversal.

4.11.2 Taxa Mínima de Armadura A s,mín = 0,15 ⋅

Nd ≥ 0,40% ⋅ A c fyd

( 4.24 )

4.11.3 Taxa Máxima de Armadura

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data:set/2001

fl. 32

A s,máx ≤ (8%) ⋅ A c inclusive nas regiões de emenda.

( 4.25 )

4.11.4 Proteção contra Flambagem das Barras (NB1/2001 18.2.4) Sempre que houver possibilidade de flambagem das barras da armadura, situadas junto à superfície do elemento estrutural, devem ser tomadas precauções para evitá-la. Os estribos poligonais garantem contra a flambagem as barras longitudinais situadas em seus cantos e as por eles abrangidas, situadas no máximo à distância de 20φt do canto, se nesse trecho de comprimento 20φt não houver mais de duas barras, não contando a de canto. Quando houver mais de duas barras nesse trecho ou barra fora dele, deve haver estribos suplementares. Se o estribo suplementar for constituído por uma barra reta, terminada em ganchos, ele deve atravessar a seção do elemento estrutural e os seus ganchos devem envolver a barra longitudinal. Se houver mais de uma barra longitudinal a ser protegida junto à mesma extremidade do estribo suplementar, seu gancho deve envolver um estribo principal em ponto junto a uma das barras (como na ilustração da direita da Figura 4-12), o que deve ser indicado no projeto de modo bem destacado (ver Figura 4-12).

Figura 4-12 – Proteção contra flambagem das barras

No caso de estribos curvilíneos cuja concavidade esteja voltada para o interior do concreto (por exemplo, colunas com seção transversal circular), não há necessidade de estribos suplementares. Se as seções das barras longitudinais se situarem em uma curva de concavidade voltada para fora do concreto, cada barra longitudinal deve ser ancorada pelo gancho de um estribo reto ou pelo canto de um estribo poligonal.

4.11.5 Disposição da Armadura sobre a Seção Transversal (NB1/2001 18.4.2.2)

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 33

As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal de forma a garantir a adequada resistência do elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelo menos uma barra em cada vértice; em seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro.

Figura 4-13 – Disposição das barras da armadura longitudinal

O espaçamento livre entre as armaduras, medido no plano da seção transversal, fora da região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: 40 mm; quatro vezes o diâmetro da barra ou duas vezes o diâmetro do feixe ou da luva; no mínimo 1,2 vezes o diâmetro máximo do agregado, inclusive nas emendas. Quando estiver previsto no plano de concretagem o adensamento através de abertura lateral na face da forma, o espaçamento das armaduras deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador. O espaçamento máximo entre eixos das barras, ou de centros de feixes de barras, deve ser menor ou igual a duas vezes a menor dimensão no trecho considerado, sem exceder 40 cm. Para as condições usuais dos edifícios, temos:

Figura 4-14 – Espaçamentos convencionais entre barras da armadura longitudinal

4.11.6 Armadura Transversal (NB1/2001 18.4.3) A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes.

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data:set/2001

fl. 34

Figura 4-15 – Colocação da armadura transversal ao longo de um pavimento

O diâmetro dos estribos em pilares não deve ser inferior a 5 mm nem a 1/4 do diâmetro da barra isolada ou do diâmetro equivalente do feixe que constitui a armadura longitudinal. O espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, para garantir o posicionamento, impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a costura das emendas de barras longitudinais nos pilares usuais, deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores: 200 mm; menor dimensão da seção; 24φ para CA-25, 12φ para CA-50. Pode ser adotado o valor φt < φ /4 desde que as armaduras sejam constituídas do mesmo tipo de aço e o espaçamento respeite também a limitação:  φ2  1 smáx = 9000 t   φ  f yk

( 4.26 )

Quando houver necessidade de armaduras transversais para cortantes e torção, esses valores devem ser comparados com os mínimos especificados para vigas, adotando-se o menor dos limites especificados.

4.12 Ancoragem As armaduras dos pilares são consideradas em boa situação quanto à aderência, pois possuem inclinação maior que 45° sobre a horizontal.

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data:set/2001

fl. 35

A ancoragem das armaduras dos pilares nas emendas é usualmente feita por aderência (quando há congestionamento da seção transversal pode-se usar outro tipo de solução, como a soldagem, ou emenda com luvas), e como os apoios são diretos, não há necessidade do confinamento da ancoragem, seja utilizando armadura transversal ou cobrimento suficiente de concreto. Como as barras de aço nos pilares no caso geral estão comprimidas, devem ser ancoradas sem ganchos.

4.12.1 Comprimento Básico de Ancoragem (NB1/2001 – item 9.4.2.4) Define-se comprimento de ancoragem básico como o comprimento reto de uma barra de armadura passiva necessário para ancorar a força limite As fyd nessa barra, admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a fbd (resistência de aderência de cálculo entre armadura e concreto). O comprimento de ancoragem básico é dado por: lb =

φ f yd 4 fbd

( 4.27 )

onde, a resistência de aderência de cálculo entre armadura e concreto na ancoragem de armaduras passivas (fbd) deve ser obtida pela seguinte expressão: fbd = η1 η2 η3 fctd

( 4.28 )

sendo: fctd =

fctk,inf γc

( 4.29 )

e η1 = 1,0 para barras lisas η1 = 1,4 para barras dentadas η1 = 2,25 para barras nervuradas η2 = 1,0 para situações de boa aderência (ver item 9.3.1) η2 = 0,7 para situações de má aderência (ver item 9.3.1) η3 = 1,0 para φ < 32 mm η3 = (132 − φ)/100 , para φ > 32 mm, onde φ é o diâmetro das barras longitudinais.

4.12.2 Comprimento de Ancoragem Necessário (NB1/2001 – item 9.4.2.5) ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:set/2001

fl. 36

O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por: l b,nec = α1l b

A s,calc ≥ l b,min A s,ef

( 4.30 )

sendo: α1 = 1,0 para barras sem gancho; α1 = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 3φ; lb calculado conforme o tópico anterior;

l b,mín

0,3l b  ≥ 10φ 100mm 

Permite-se, em casos especiais, considerar outros fatores redutores do comprimento de ancoragem necessário.

4.13 Disposições Construtivas Mudança de seção em pilares (excêntrica e centrada)

Figura 4-16 - Mudança de seção de pilar

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data:set/2001

fl. 37

Figura 4-17 - Mudança de seção de pilar

Figura 4-18 - Mudança de seção de pilar

4.14 Pilares-Parede Apresentamos a transcrição do tópico 15.9 da NB1/2001 que trata da análise de pilares parede.

4.14.1 Generalidades

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data:set/2001

fl. 38

Para que os pilares parede possam ser incluídos como elementos lineares no conjunto resistente da estrutura deve-se garantir que sua seção transversal tenha sua forma mantida por travamentos adequados nos diversos pavimentos, e que os efeitos de 2ª ordem localizados sejam convenientemente avaliados.

4.14.2 Dispensa da análise dos efeitos localizados de 2ª ordem Os efeitos localizados de 2ª ordem de pilares parede podem ser desprezados se, para cada uma das lâminas componentes do pilar parede, forem obedecidas as seguintes condições: a) A base e o topo de cada lâmina devem ser convenientemente fixadas às lajes do edifício que conferem ao todo o efeito de diafragma horizontal; b) A esbeltez λi de cada lâmina deve ser menor que 35, podendo, o cálculo desta esbeltez λi ser efetuado através das expressões dadas a seguir. λ i = 3,46

l ei hi

( 4.31 )

onde, para cada lâmina: λei é o comprimento equivalente; hi é a espessura. O valor de le depende dos vínculos de cada uma das extremidades verticais da lâmina, conforme Figura 4-19.

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fl. 39

Figura 4-19 – Comprimento equivalente le

Se o topo e a base forem engastados e β ≤ 1, os valores de λ podem ser multiplicados por 0,85.

4.14.3 Processo aproximado para consideração do efeito localizado de 2ª ordem Nos pilares parede simples ou compostos, onde a esbeltez de cada lâmina que o constitui for menor que 90, pode ser adotado o procedimento aproximado descrito a seguir para um pilar parede simples. O efeito localizado de 2ª ordem deve ser considerado através da decomposição do pilar parede em faixas verticais, de largura ai que devem ser analisadas como pilares isolados, submetidos aos esforços Ni e Myid, sendo: ai = 3h ≤ 100 cm

( 4.32 )

Myid = m1yd . ai ≥ M1dmin onde: ai é a largura da faixa i; Ni é a força normal na faixa i, calculada a partir de nd (x) conforme Figura 4-20; M1d,min tem o significado e valor estabelecidos no tópico ( 4.9.4 ).

Figura 4-20 – Avaliação aproximada do efeito de 2ª ordem localizado

O efeito de 2ª ordem localizado na faixa i é assimilado ao efeito de 2ª ordem local do pilar isolado equivalente a cada uma destas faixas.

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4.15 Exemplo de Dimensionamento: Pilar P7

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fl. 48

5

– Caixas D’água em Concreto Armado

5.1 Introdução Na maioria dos edifícios e residências as formas usuais das paredes das caixas d’água são retangulares. Nos reservatórios elevados isolados são utilizadas as cilíndricas. Em relação ao nível do solo, os reservatórios podem ser enterrados, semi-enterrados e elevados. Assim, temos os seguintes exemplos de caixa d’água:

5.1.1

Reservatórios elevados apoiados nos pilares

5.1.2

Reservatórios enterrados apoiados diretamente no solo

Obs: Se a pressão vertical devido ao peso do reservatório for maior do que a taxa admissível do solo, devemos apoiar as paredes da caixa d’água em estacas ou nos pilares da própria estrutura do edifício, caso seja possível. ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 1

5.2 Cargas a serem consideradas 5.2.1

Carga sobre a tampa Peso próprio do concreto da laje

→

g1 = hv ⋅ γ conc

(kN/m2)

Peso adotado da impermeabilização Peso da terra, se existir

→ →

g 2 = 1,0 g 3 = t ⋅ γ solo

(kN/m2) (kN/m2)

Sobrecarga sobre a tampa

→

q

CARGA TOTAL

→

p = q + ∑ gi

(kN/m2)

Obs: hv , t em metros.

5.2.2

Carga sobre a laje de fundo Peso próprio da laje

→

g1 = h ⋅ γ conc

(kN/m2)

Peso da impermeabilização Sobrecarga devido à pressão d’água

→ →

g 2 = 1,0 qa = a ⋅ γ água

(kN/m2)

CARGA TOTAL

→

p1 = ∑ g i + q a

(kN/m2)

Notas: Se a caixa d’água for elevada, consideraremos somente o efeito da carga vertical máxima:

pmáx = g1 + g 2 + qa

(kN/m2)

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data:out/2001

fl. 2

Se a caixa d’água for enterrada ou semi-enterrada, apoiada em estaca ou pilares, consideraremos dois casos de cargas: 1º Caso: carga vertical máxima

pmáx = g1 + g 2 + g 3 + qa 2º Caso: carga vertical mínima, quando o nível do lençol freático do solo estiver acima do nível da laje de fundo, de modo a produzir pressões negativas.

pmín = ( g1 + g 2 + g 3 ) − S Se a caixa d’água for enterrada ou semi-enterrada, apoiada diretamente no solo, também devemos considerar dois casos de cargas: 1º Caso: carga vertical máxima, com a caixa totalmente cheia e sobrecarga máxima sobre a tampa. Determinaremos assim a pressão vertical máxima sobre o solo da fundação, dada por:

σ s , máx = ∑

Vi

a ⋅b

< σ s = taxa admissível do solo

onde:

∑V

= somatória de todas as cargas verticais acima do nível inferior do lastro, inclusive

i

peso das paredes; a ⋅ b = área da laje de fundo em contato com o solo.

2º Caso: carga vertical mínima, com caixa totalmente vazia e sob carga máxima sobre a tampa. Para caixas d’água usuais podemos admitir uma distribuição de pressão uniforme do solo sobre a laje de fundo, dada por:

∑V

i

p=

a ⋅b

+s

onde:

∑V

i

= somatória de todas as cargas acima do nível superior da laje de fundo (laje de

tampa, sobrecarga máxima + paredes); a ⋅ b = área da laje de fundo em contato com o solo; s = sub-pressão d’água, se existir.

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fl. 3

5.2.3

Carga sobre a parede

5.2.3.1

Carga vertical máxima

Reação máxima da laje de tampa Reação máxima da laje de fundo Peso próprio da parede

→ → →

r1 r2 g = (b ⋅ ht ) ⋅ γ conc

(kN/m2) (kN/m2) (kN/m2)

CARGA TOTAL

→

p = r1 + r2 + g

(kN/m2)

5.2.3.2

Carga horizontal máxima

1º Caso: Reservatório elevado A única pressão a considerar é devida à água.

Pa = γ a ⋅ K água ⋅ a ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 4

Obs: Se existirem 2 compartimentos, considerar o caso de um deles cheio e o outro vazio. 2º Caso: Reservatório enterrado Neste caso devemos considerar dois casos: a) Caixa d’água cheia + empuxo ativo da terra nulo + nível d’água do lençol freático abaixo do nível da laje de fundo. Recaímos no caso de carga horizontal máxima do reservatório elevado, já visto. b) Caixa d’água vazia + empuxo ativo da terra + nível freático máximo. Pressão devido à terra “seca”: Adotaremos a teoria de Coulomb para determinação do empuxo ativo da terra sobre a parede, desprezando o atrito entre a parede e o solo – coeficiente de empuxo ativo da terra = K a

Pressão horizontal do solo devido à sobrecarga vertical:

Pressão devido à terra submersa em água:

Pa = γ a ⋅ K água ⋅ Z ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 5

′ = γ s′ ⋅ K a ⋅ Z Psolo onde: γ s′ = γ submerso

′ = Z ( K água ⋅ γ a + K a ⋅ γ s′ ) P = Pa + Psolo

5.3 Disposições construtivas a) Espessuras mínimas a serem adotadas

• • • • •

Laje da tampa: 7 cm Laje de fundo e parede: 10 cm (18 cm no caso de parede circular, com uso de fôrmas deslizantes) Mísulas horizontais e verticais: melhoram a concretagem e dão maior rigidez às ligações Abertura para inspeções e limpeza: 60 cm x 60 cm (no mínimo) Espaçamento dos ferros: o mais uniforme possível, 10 a 15 cm entre barras, de modo a facilitar a montagem e a concretagem dos mesmos, podendo adotar ferragem superior à exigida pelo cálculo.

b) Impermeabilização A superfície do concreto em contato com a água deverá ser obrigatoriamente impermeabilizada.

5.4 Cálculo dos esforços solicitantes 5.4.1 5.4.1.1

Esquema de cálculo Caixa d’água enterrada

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fl. 6

Regra: Quando dois nós giram no mesmo sentido: articulação Quando dois nós giram em sentido contrário: engaste a) Caixa vazia Laje da tampa – Engastada Laje do fundo – Engastada Paredes – Engastadas b) Caixa cheia Laje da tampa – Articulada Laje do fundo – Engastada Laje tampa – Articulada Paredes

Laje fundo – Engastada Entre si – Engastadas

5.4.1.2

Caixa d’água elevada

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fl. 7

Laje da tampa – Articulada Laje do fundo – Engastada Laje tampa – Articulada Paredes

Laje fundo – Engastada Entre si – Engastadas

5.4.2 5.4.2.1

Devido às cargas verticais e horizontais Caixa d’água elevada armada em “cruz”

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fl. 8

Obs: Os elementos acima representados estão sujeitos a forças normais de tração devido às reações de apoio. Laje da tampa: Conforme item 5.4.1.2 → Articulada

a) Momentos nos vãos

mkx = mky =

P1 ⋅ l x2

αx

P1 ⋅ l x2

αy

b) Reações de apoio

rx1 =

P1 ⋅ l x 4

ry1 = rx1 (2 −

lx ) ly

Laje de fundo: Conforme item 5.4.1.2 → Engastada

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fl. 9

a) Momentos nos vãos

mkx = mky =

P2 ⋅ l x2

αx

P2 ⋅ l y2

αy

b) Momentos nos apoios

′ =− mkx ′ = mky

P2 ⋅ l x2

βx

P2 ⋅ l y2

βy

Obs: Face à existência de momentos fletores nas paredes laterais, devido ao empuxo d’água, haverá uma compensação dos momentos entre paredes e a laje do fundo.

c) Momentos finais Nos apoios:

m′k ≥

Média (parede e laje do fundo) 0,8 maior

Nos vãos:

mk ≥

mk 0 − 0,5 mk′ mk

mk 0 = momento no vão da laje simplesmente apoiada mk = momento no vão da mesma laje m′k = momento final de apoio da laje

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fl. 10

d) Reações de apoio

rx 2 =

P2 ⋅ l x 4

ry 2 = rx 2 (2 −

lx ) ly

Cálculo das paredes: Laje tampa – Articulada Conforme item 5.4.1.2 →

Laje fundo – Engastada Entre si – Engastadas

Adotaremos como carregamento a carga linear triangular de valor máximo Pa .

a) Momentos nos vãos

mkx = mky =

Pa ⋅ l x2

αx

Pa ⋅ l y2

αy

b) Momentos nos apoios

′ =− mkx ′ = mky

Pa ⋅ l x2

βx

Pa ⋅ l x2

βy

c) Momentos finais

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fl. 11

Nos apoios: Direção y → m′k ≥ Direção x → m′k ≥

Média (entre parede) 0,8 maior Média (parede e laje do fundo) 0,8 maior

Nos vãos:

mk ≥ 5.4.2.2

mk 0 − 0,5 mk′ mk Caixa d’água elevada armada em uma direção principal

a) Caixa d’água armada horizontalmente

Se a relação entre a altura e a largura da caixa for maior do que 2 teremos o caso da caixa d’água armada horizontalmente, ou seja, h/b>2 ou 2h/b>2 (se a borda superior da parede for livre). Neste caso, calcula-se as paredes como pórtico de largura unitária e sujeito a uma pressão unitária. Uma vez obtidos os esforços para a carga unitária multiplica-se pela pressão p1, p2,..., pn correspondente às faixas de cálculo. Quadro ABCD de largura unitária = 1,00 m

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fl. 12

Devemos considerar como mínimo no vão o correspondente ao engaste perfeito, por exemplo, na barra BD biengastada, se M’2 < M2 devemos adotar M2.

Pressão t/m² 1 2 n

Momento Fletor(tf.m) vão 1 vão 2 apoio M’1 M’2 X 2 M’1 2M’2 2X’ nM’

nM’2

Ftração(tf) vão 1 vão 2 N’1 N’2 2N’1 2N’2

nX’

Na direção vertical adotaremos uma armadura de distribuição As, correspondente armadura principal As, princ.

NN’1

dist.

nN’2

mínima de 1/5 da

As, distribuição ≥ 1/5 As,principal Momento fletor na direção vertical junto a laje de fundo

3 comprimento da zona de perturbação: λ = l x 8 b) Caixa d’água armada verticalmente

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fl. 13

Pe: a/b > 2 e a/h > 2 ( ou a/2h>2 no caso da borda superior da parede for livre) Devemos calcular a caixa como um pórtico ABCD de largura unitária conforme o esquema abaixo:

Determinamos assim os esforços principais na direção vertical. A ferragem correspondente na direção horizontal; adotaremos a armadura mínima de distribuição. As, distribuição ≥ 1/5 As,principal Momento fletor na direção horizontal junto à parede de tampa: (PAR 1=2)

3 Comprimento da zona de perturbação: λ = h 8 5.4.2.3

Caixa d’água enterrada armada em uma direção principal

a) Caixa d’água armada horizontalmente

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fl. 14

Cálculo análogo ao da caixa elevada, porém devemos calcular o quadro ABCD de largura unitária com dois casos de cargas: 1°caso) caixa d’água cheia + empuxo nulo da terra 2°caso) caixa d’água cheia + empuxo máximo da terra b) Caixa d’água armada verticalmente

Analogamente calcula-se como quadro de largura unitária, devendo também considerar dois casos de cargas: 1°caso) caixa d’água cheia + empuxo nulo da terra

2°caso) caixa d’água vazia + empuxo máximo da terra

5.5 Flexão Composta Em estruturas como caixa d’águas, muros de arrimo e escadas aparecem esforços de tração nas paredes de magnitudes consideráveis, o que implica em um dimensionamento que leve em conta uma flexão composta normal com grande excentricidade.

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fl. 15

Nela, tem-se sempre a armadura tracionada As; a armadura comprimida A's é empregada para se conseguir maior dutilidade da seção. Normalmente, dispensa-se A's quando se pode ter seção subarmada só com As. Através de um artifício, o dimensionamento à flexão composta com grande excentricidade (tanto na flexo-compressão, quanto na flexo-tração) pode ser feito através da análise de uma flexão simples. a) flexo-compressão d’

Rsd As’

h/2

Md

Rcd

0,8x

d

Nd

h d’

Msd = Md + Nd (d - h/2)

As

Rsd

Rsd’

≡

Rcd

Rsd’

≡

Msd

Rcd

Msd

+ Nd

-Nd

Nd Rsd + Nd - Nd

Rsd + Nd

Figura 1 - Flexo-compressão - Grande excentricidade Conforme a fig. 1, a resultante de tração para equilibrar o momento Msd é igual a (Rsd + Nd). Dessa forma, obtém-se a armadura final, subtraindo-se o valor (Nd / fyd) da armadura que equilibra Msd à flexão simples. Procedimento para cálculo: Sejam: b; h; d'; fck; CA50A; Nd (compressão); Md Tem-se: Msd = Md + Nd (d - h/2) Com a hipótese de que se tem solução em seção subarmada com A's = 0, tem-se:

 M sd 0,68bxfcd (d − 0,4 x ) = M sd → x = 1,25d1 − 1 − 0,425bd 2 f cd  Para x < x 34 = 0,628d→ armadura simples

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  

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fl. 16

e:

R sd + N d =

M sd M sd → R sd = − N d = A s f yd d − 0,4 x d − 0,4 x

O dimensionamento pode ser feito, também, através das equações de equilíbrio: Nd + Rsd = Rcd  Md = Rcd (h / 2 − 0,4 x ) + Rsd (d − h / 2)

Admitindo-se peça subarmada com armadura simples vem: Nd + A s fyd = 0,68bxfcd  Md = 0,68bxfcd (h / 2 − 0,4 x) + A s fyd (d − h / 2) Para x > x34 → armadura dupla; adotando-se, por exemplo, x = x 34 , vem: Md = 0,68bxf cd (d − 0,4 x) ∆M d = M sd − Md R sd + N d =

Md ∆M d Md ∆M d + → R sd = A s f yd = + − Nd d − 0,4 x d − d' d − 0,4 x d − d'

x − d' ⋅ 0,0035 > ε yd → σ' sd = f yd x ∆M d A' s = σ' sd (d − d' )

ε' s =

O dimensionamento pode ser feito, também, através das equações de equilíbrio: Nd + Rsd = Rcd + R'sd  Md = Rcd (h / 2 − 0,4 x ) + Rsd (h / 2 − d' ) + R'sd (h / 2 − d' )

O sistema é resolvido adotando-se, por exemplo, x = x 34 . b) Flexo-tração Valem as expressões utilizadas na flexo-compressão, utilizando-se (-Nd) no lugar de Nd . Rs

d’ h/2

As’ d h

Rcd

Nd Msd = Md - Nd (d - h/2)

Md d’

As

0,8x

Rsd

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fl. 17

Rsd’

≡

Rcd

Rsd’

≡

Msd

Rcd

+

Msd Nd

Nd

-Nd

Rsd - Nd

Rsd - Nd + Nd

Figura 2 - Flexo-tração. Grande excentricidade Procedimento para Cálculo: Sejam: b; h; d'; fck; CA50A; Nd (tração); Md Tem-se: Msd = Md - Nd (d - h/2) Para x < x34: R sd − N d =

M sd M sd → R sd = + N d = A s f yd d − 0,4 x d − 0,4 x

5.6 Vigas Paredes 5.6.1

Generalidades

a) Vão teórico l l = distância entre os eixos dos apoios ( ≤ 115 , l o ), sendo l o o vão livre (distância entre as faces internas dos apoios), fig. 1.1.

h

l

lo Figura 1.1 b) Definição Vigas-parede são vigas retas cuja relação l / h é inferior a 2 (em vigas sobre dois apoios), ou a 2,5 (em vigas contínuas), onde h é a altura da seção.

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fl. 18

c) Altura efetiva he A altura efetiva he é definida como o menor valor, entre o vão teórico l e a altura da l he ≤  seção h: h

5.6.2

Esforços Solicitantes

Normalmente, os esforços solicitantes podem ser estimados como se fossem vigas usuais. Apenas as reações dos apoios extremos devem ser majorados de cerca de 10%.

5.6.3

Armadura Principal de Tração

5.6.3.1. Determinação da armadura A resultante de tração na armadura é determinada por

R sd = A s f yd =

Md z

sendo z, o braço de alavanca efetivo valendo:

z = 0,2 ⋅ ( l + 2 h e ) para vigas-parede sobre dois apoios; z = 0,2 ⋅ ( l + 1,5h e ) para vigas-parede contínuas (nos apoios internos, l pode ser tomado como a média dos vãos adjacentes). 5.6.3.2. Arranjo da armadura principal longitudinal c) Vigas-parede sobre dois apoios, fig. 3.2.1.

As

a s = 0,25h e − 0,05l

Figura 3.2.1 Esta armadura deve ser distribuida na faixa de altura ( a s = 0,25h e − 0,05l ), medida a partir da face inferior da viga, e mantida constante em todo o vão. A ancoragem junto à face interna dos apoios deve garantir a resultante de tração igual a 0,8 Rsd .

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fl. 19

d) Vigas-parede contínuas A armadura de vão deve ser distribuida da mesma forma que no caso a). Quanto à armadura sobre os apoios contínuos, a metade da mesma deve ser prolongada por toda extensão dos vão adjacentes na faixa de altura igual a (0,25 he – 0,05 l ), contada a partir da borda superior; o restante da armadura pode ser interrompido às distâncias 0,4he das respectivas faces do apoio, obedecendo a distribuição em três faixas, conforme mostrado na fig. 3.2.2:

• [0,5 ⋅ (l / h e − 1) ≥ 0,25] ⋅ A s na faixa superior de altura 0,2 he; • restante da armadura total na faixa intermediária de altura 0,6 he; • nada (0) na faixa inferior de altura 0,2 he. 0,4he

0,4he

0,4he

0,4he

0,2he 0,25he-0,05 l 0,6he 0,2he

Figura 3.2.2

5.6.4

Verificações de Concreto

Deve-se verificar:

5.6.5

Vd ,max ≤ 0,10fcd . b w he

Armaduras de alma

e) Caso de carga aplicada na parte superior da viga-parede, fig. 5.1. sh

Ash1

Asv1 sv

bw

Figura 5.1

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fl. 20

Deve-se dispor armaduras em malha ortogonal (barras horizontais e verticais) nas faces da viga com taxa mínima de 0,1% (aços de alta aderência) em cada face, e em cada direção. Se Ash1 for a área de uma barra horizontal da malha, deve-se ter: Ash1 = 0,001 bw sv ; do mesmo modo, Asv1 = 0,001 bw sh , para uma barra vertical da malha. Em vigas contínuas, a armadura de flexão sobre os apoios pode ser considerada como pertencente às armaduras horizontais da malha. Nas vizinhanças dos apoios, recomenda-se introduzir armadura complementar, de mesmo diâmetro que a armadura de alma, conforme indicado na fig. 5.2. Asv1

Ash1

b1

a1 ≅ b1 = 0,2 he a2 = 0,3 he b2 = 0,5 he

a1

b2

as a2

Figura 5.2 f) Caso de carga aplicada na parte inferior da viga parede Neste caso, além da malha prevista no ítem a), convém incorporar estribos suplementares que garantam a suspensão da totalidade das cargas, do seu ponto de aplicação para a região superior da viga. Esses estribos devem abraçar as armaduras principais de tração e devem atingir pelo menos a altura he, fig. 5.3. Ash1

Asv1

he

Figura 5.3 ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

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fl. 21

g) Caso de cargas indiretas Este caso que se refere às vigas-parede carregadas ao longo de toda a sua altura, por exemplo, através de um septo, necessita de armadura de suspensão nos moldes vistos no ítem anterior. Se a carga for particularmente importante, pode-se suspender parte da carga (2

32,4 29,2 26,1 23,7 22,0 20,2 19,0 17,8 16,8 15,8 15,1 14,3 13,8 13,2 12,8 12,3 12,0 11,5 11,3 10,9 10,8 8,0

26,5 25,0 24,4 23,9 23,8 23,6 23,7 23,7 23,8 23,9 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0 24,0

βx

βy

α2

11,9 11,3 10,9 10,4 10,1 9,8 9,6 9,3 9,2 9,0 8,9 8,8 8,7 8,6 8,5 8,45 8,4 8,35 8,3 8,25 8,2 8,0

31,2 27,6 24,7 22,3 20,3 18,7 17,3 16,1 15,1 14,2 13,5 12,8 12,2 11,7 11,2 10,8 10,5 10,1 9,9 9,6 9,4 6,7

m’y mx my

ly

lx 2 x

mx =

pl αx

my =

pl2x αy

m′y = −

pl 2x βy

w max =

pl 4x Eh 3 α 2

ν = 0,2 Beton-Kalender (1976)

Laje da tampa LT2: Laje com 3 bordas livremente apoiadas e uma borda maior engastada (carga uniforme) ly / lx

αx

αy

βx

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 >2

26,5 25,7 24,4 23,3 22,3 21,4 20,7 20,1 19,7 19,2 18,8 18,3 17,8 17,5 17,2 17,0 16,8 16,5 16,4 16,3 16,2 14,2

32,4 33,3 33,9 34,5 34,9 35,2 35,4 37,8 39,9 41,1 42,5 42,5 42,5 42,5 42,5 42,5 42,5 42,5 42,5 42,5 42,5 42,5

11,9 11,3 10,9 10,5 10,2 9,9 9,7 9,4 9,3 9,1 9,0 8,9 8,8 8,7 8,6 8,5 8,4 8,3 8,3 8,3 8,3 8,0

βy

α2

31,2 29,2 27,4 26,0 24,8 23,8 22,9 22,1 21,5 20,9 20,4 20,0 19,6 19,3 19,0 18,7 18,5 18,3 18,1 18,0 17,8 16,7

ly

mx

m’x

my

lx pl 2 mx = x αx

my =

pl2x αy pl 2x βx pl 4x = Eh 3 α 2

m′x = −

w max

ν = 0,2 Beton-Kalender (1976)

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fl. 28

Lajes do Fundo LF1 e LF2: Laje com as 4 bordas engastadas (carga uniforme) ly / lx

αx

αy

βx

βy

α2

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 >2

47,3 43,1 40,0 37,3 35,2 33,4 31,8 30,7 29,6 28,6 27,8 27,2 26,6 26,1 25,5 25,1 24,8 24,5 24,2 24,0 24,0 24,0

47,3 47,3 47,8 48,3 49,3 50,5 51,7 53,3 54,8 56,4 57,3 57,6 57,8 57,9 57,8 57,7 57,6 57,5 57,4 57,2 57,1 57,0

19,4 18,2 17,1 16,3 15,5 14,9 14,5 14,0 13,7 13,4 13,2 13,0 12,8 12,7 12,5 12,4 12,3 12,2 12,1 12,0 12,0 12,0

19,4 18,8 18,4 18,1 17,9 17,7 17,6 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5

68,5 62,4 57,6 53,4 50,3 47,6 45,3 43,4 42,0 40,5 39,5 38,4 37,6 36,9 36,3 35,8 35,4 35,1 34,7 34,5 34,3 32,0

m’y mx

m’x

ly

m’x my

m’y

lx pl 2 mx = x αx

my =

pl2x αy

pl 2x βx pl 2x m′y = − βy m ′x = −

w max =

pl 4x Eh 3 α 2

ν = 0,2 Beton-Kalender (1976)

Para o cálculo das paredes, serão utilizadas as tabelas de Montoya/ Meseguer/ Morán para carregamento triangular1, conforme é mostrado a seguir:

1

ly/ lx

αx

αy

βx

βy

α2

0,5

10

26

36

62

24

0,6

11

23

36

57

21

0,7

12

20

35

51

17

0,8

13

16

33

45

14

0,9

13

14

31

39

11

1,0

12

11

29

34

9

2

ly ⋅ αx 2 m' x = 0,001 ⋅ p ⋅ l ⋅ β x y mx = 0,001 ⋅ p ⋅

w = 0,001 ⋅ p ⋅

2

ly ⋅ αy 2 m' y = 0,001 ⋅ p ⋅ l ⋅ β y y my = 0,001 ⋅ p ⋅

4

ly ⋅ α2 /(E ⋅ h3 )

Outras fontes de consulta poderão ser utilizadas como, por exemplo, as tabelas de R.Bares

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 29

Do apresentado acima, tem-se: LT2

LF1

LF2

lx (cm)

3,65

3,19

3,65

3,19

2,03

2,03

2,03

ly (cm)

5,30

3,65

5,30

3,65

3,57

3,19

5,30

ly/ lx

1,45

1,15

1,45

1,15

0,57

0,64

0,38

mx

338

174

1106

646

82

90

78

my

223

118

561

499

191

168

203

m’x

0

387

2361

1478

280

421

281

m’y

592

0

1808

1331

464

277

483

m (KNxcm)

LT1

PAR1/2/3 PAR4A/5A PAR4B/5B

Prossegue agora com a análise dos momentos negativos. Como apresentado nos capítulos anteriores, o momento negativo de dimensionamento será o maior entre a média ou 0,8 do menor (em valor absoluto, ou 0,8 do maior em módulo). Ou seja:

0,8 ⋅ m' menor m' ≥  m'  Do exposto, tem-se: m’a (KNcm) LT1 592 LF1 1808 PAR1/PAR2 280 PAR1/PAR2 464 PAR2/PAR3 280 PAR2/PAR3 464 PAR4A/PAR5A 421 PAR4B/PAR5B 483

5.9.3

m’b (KNcm) LT2 387 LF2 1478 PAR4B/PAR5B 281 LF1 1808 PAR4A/PAR5A 277 LF2 1478 LF2 1331 LF1 2361

0,8 m’> (KNcm) m’médio (KNcm)

m’ (KNcm)

474

490

490

1446

1643

1643

224

281

281

1446

1136

1446

224

279

279

1182

971

1182

1065

876

1065

1889

1422

1889

Combinações e Dimensionamento

LT1 (b=100 cm, h=10 cm, m=338 KNcm/m, n=1,86 KN/m) 10 Msd= 1,4 x338 -1,4 x1,86 x(7- ) = 468 KNcm 2 ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 30

  468 X = 1,25 x7 x 1 − 1 −  2 0,425 x100 x7 2 x  1,4  As=

   =0,72 cm   

1 468   x1,4 x1,86 +  = 1,66 cm2/m 43,48  7 − 0,4 x0,72 

Armadura mínima: h = 10 cm: Asmin = 0,15%bh = 1,50 cm2/m h = 12 cm: Asmin = 0,15%bh = 1,80 cm2/m h = 15 cm: Asmin = 0,15%bh = 2,25 cm2/m

Local LT1 (h=10cm) LT2 (h=10cm)

LF1 (h=15cm)

L (cm) 530 365 365 365 319 365 530 365 365 365 530

LF2 (h=15cm)

365 319 365 365 319 203

PAR1/ PAR2 (h=12cm)

mx my LT2 mx my LT1 mx my LF2 PAR1/ PAR2 PAR4B/ PAR5B mx my LF1 PAR2/ PAR3 PAR4A/ PAR5A mx

9,86 5,32 5,32 5,32 4,05 5,32 71,28 43,21 43,21

-1446

43,21

11,84

1950

1,78

4,35

-1889

71,28

13,45

2560

2,39

5,76

646 499 -1643

43,21 35,42 43,21

11,84 11,10 11,84

830 629 2226

0,73 0,55 2,05

2,01 1,58 4,96

-1182

43,21

11,84

1580

1,42

3,56

-1065

35,42

11,10

1421

1,27

3,20

82

11,57

5,70

91

21,67

1933

0,10 0,31 2,49

0,42 0,69 4,54

R (KN) (tração)

n=

Msd (KN cm) 468 308 682 240 162 682 1464 711 2226

my LF1

530 203

PAR3/ PAR2 (h=12cm)

338 223 -490 174 118 -490 1106 561 -1643

R L (KN/m) 1,86 1,46 1,46 1,46 1,27 1,46 13,45 11,84 11,84

m (KN cm)

PAR4B/ PAR5B mx

-1446

LF2

203

PAR5A

As (cm2)

0,72 0,47 1,07 0,36 0,24 1,07 1,31 0,62 2,05

1,66 1,09 2,43 0,85 0,58 2,43 3,37 1,77 4,96

-281

11,57

2,18

384

0,45

1,07

82

11,57

5,70

91

21,32

1565

0,10 0,31 1,96

0,42 0,69 3,74

5,70

367

0,43

1,14

my

PAR4A/

x (cm)

-1182 -279

11,57

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

Bitola φ6.3c/19 (φ6.3c/20) (φ6.3c/20) (φ6.3c/20) φ6.3c/13 φ8c/14 (φ6.3c/14)

(φ6.3c/14) (φ6.3c/14) φ8c/10

(φ6.3c/17) (φ6.3c/17) φ8c/11 (φ6.3c/17) (φ6.3c/17) φ8c/13

fl. 31

203 PAR4A/ PAR5A (h=12cm)

mx

5.9.4

11,57

1412

0,12 0,27 1,75

0,45 0,61 3,35

(φ6.3c/17) (φ6.3c/17) φ8c/15

5,70

102

18,91

my LF2

203

PAR2/ PAR3

203 PAR4B/ PAR5B (h=12cm)

90

mx

-1065 -279

11,57

5,70

367

0,43

1,14

(φ6.3c/17)

78

11,57

5,70

85

28,42

2525

0,10 0,33 3,40

0,40 0,74 6,03

(φ6.3c/17) (φ6.3c/17) φ10c/13

5,70

369

0,43

1,15

(φ6.3c/17)

my LF1

203

PAR1/ PAR2

-1889 -281

11,57

Cálculo como Viga Parede

Distribuição das cargas: Determinação das reações nos pilares

px py

p × lx 4  lx  = px x  2 -   ly 

=

LF1 (KN/m)

LF2 (KN/m)

LT1 (KN/m)

LT2 (KN/m)

21,67

18,91

3,65

3,19

28,42

21,32

4,79

3,59

PAR1 (12x215) Peso Próprio: LT1: LF1: Total:

6,45 KN/m 3,65 KN/m 21,67 KN/m 31,77 KN/m

Reações nos Pilares: R9 = 56,71 KN R10 = 56,71 KN PAR2 (12x215) Peso Próprio: LT1: LF1: LT2: LF2: Total:

6,45 KN/m 3,65 KN/m 21,67 KN/m 3,59 KN/m 21,32 KN/m 56,68 KN/m

Reações nos Pilares: R14 = 101,17 KN R15 = 101,17 KN

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 32

PAR3 (12x215) Peso Próprio: LT1: LF1: Total:

6,45 KN/m 3,59 KN/m 21,32 KN/m 31,36 KN/m

Reações nos Pilares: R19 = 55,98 KN R20 = 55,98 KN PAR4 e PAR5 (12x215) Peso Próprio: LT1: LF1: LT2: LF2: Total:

“A”AAA 6,45 KN/m 4,79 KN/m 28,42 KN/m 39,66 KN/m

“B”BBB 6,45 KN/m 3,19 KN/m 18,91 KN/m 28,55 KN/m

Reações nos Pilares: R19 / R20 = 13,90 KN R14 / R15 = 201,1 KN R9 / R10 = 86,10 KN As reações dos apoios extremos devem ser majorados de cerca de 10%: R19 / R20 = 15,30 KN R9 / R10 = 94,71 KN ΣFy = 0 ⇒ R14 / R15 = 191 KN 5.9.4.1 - Viga Parede PAR1 h = 2,15m l ⇒ = 1,7 < 2 ∴ Caso de Viga Parede l = 3,57m h h he ≤  ⇒ he = 2,15m l z = 0,2x(l + 2he) ⇒ z = 1,57m pl 2 Md = 1,4 x = 71 KNm 8 pl Vd = 1,4 x = 79 KN 2 ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 33

Rsd =

Md = 45 KN z

Rsd=As x fyd ⇒ As = 1,04 cm2 Ancoragem junto aos apoios:

R apoio = 0,8 x Rsd = 36 KN s adisp = h-c = 12-2,5 = 9,5 cm tensão de aderência: τ bu = 0,42xfcd2 / 3 = 2,47 MPa = 0,247KN / cm 2 R apoio = adisp x(perímetro) x τ bu ⇒ (perímetro) = 15,3 cm s (2x2φ125 = 15,7 cm e 5 cm2) as = 0,25 he – 0,05 l = 35 cm Verificação ao Cisalhamento: 0,10 fcd = 0,14 KN/cm2 >

Vd = 0,03 KN/cm2 bxhe

Carga a suspender: 28,12 KN Nd As susp. = = 0,65 cm2/m; atendida pela armadura proveniente do cálculo como placa. fyd 5.9.4.2 – Viga Parede PAR2 h = 2,15m l ⇒ = 1,7 < 2 ∴ Caso de Viga Parede l = 3,57m h h he ≤  ⇒ he = 2,15m l

z = 0,2x(l + 2he) ⇒ z = 1,57m pl 2 Md = 1,4 x = 126 KNm 8 pl Vd = 1,4 x = 142 KN 2 Rsd =

Md = 81 KN z

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 34

Rsd=As x fyd ⇒ As = 1,85 cm2 Ancoragem junto aos apoios: R apoio = 0,8 x Rsd = 65 KN s adisp = h-c = 12-2,5 = 9,5 cm tensão de aderência: τ bu = 0,42xfcd2 / 3 = 2,47 MPa = 0,247KN / cm 2 R apoio = adisp x(perímetro) x τ bu ⇒ (perímetro) = 27 cm s (2x3φ16 = 30 cm e 12 cm2) as = 0,25 he – 0,05 l = 35 cm Verificação ao Cisalhamento: 0,10 fcd = 0,14 KN/cm2 >

Vd = 0,06 KN/cm2 bxhe

Carga a suspender: 49,44 KN As susp. =

Nd = 1,14 cm2/m; atendida pela armadura proveniente do cálculo como placa. fyd

5.9.4.3 – Viga Parede PAR3 h = 2,15m l ⇒ = 1,7 < 2 ∴ Caso de Viga Parede l = 3,57m h h he ≤  ⇒ he = 2,15m l

z = 0,2x(l + 2he) ⇒ z = 1,57m pl 2 = 69,94 KNm 8 pl Vd = 1,4 x = 78,37 KN 2

Md = 1,4 x

Rsd =

Md = 44,55 KN z

Rsd=As x fyd ⇒ As = 1,02 cm2

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 35

Ancoragem junto aos apoios: R apoio = 0,8 x Rsd = 35,64 KN s adisp = h-c = 12-2,5 = 9,5 cm tensão de aderência: τ bu = 0,42xfcd2 / 3 = 2,47 MPa = 0,247KN / cm 2 R apoio = adisp x(perímetro) x τ bu ⇒ (perímetro) = 15,2 cm s (2x2φ125 = 15,7 cm e 5 cm2) as = 0,25 he – 0,05 l = 35 cm Verificação ao Cisalhamento: 0,10 fcd = 0,14 KN/cm2 >

Vd = 0,03 KN/cm2 bxhe

Carga a suspender: 27,8 KN As susp. =

Nd = 0,64 cm2/m; atendida pela armadura proveniente do cálculo como placa. fyd

5.9.4.4 – Viga Parede PAR4 e PAR5 Paredes contínuas, logo: h = 2,15m l ⇒ = 2,46 < 2,5 ∴ Caso de Viga Parede l = 5,30m h h he ≤  ⇒ he = 2,15m l

z = 0,2x(l + 1,5he) ⇒ z = 1,71 m Md+ = 131 KNm Md– = 141 KNm Vd max= 124,10 KN Md + Rsd = = 77 KN z Md − Rsd − = = 83 KN z +

Rsd+ = As x fyd ⇒ As+ = 1,77 cm2 ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 36

Rsd– = As x fyd ⇒ As– = 1,91 cm2 (2φ125) Ancoragem junto aos apoios (As+): R apoio = 0,8 x Rsd = 62 KN s adisp = h-c = 12-2,5 = 9,5 cm tensão de aderência: τ bu = 0,42xfcd2 / 3 = 2,47 MPa = 0,247KN / cm 2 R apoio = adisp x(perímetro) x τ bu ⇒ (perímetro) = 26 cm s (2x3φ16 = 30 cm e 12 cm2) as = 0,25 he – 0,05 l = 30 cm Verificação ao Cisalhamento: 0,10 fcd = 0,14 KN/cm2 >

Vd = 0,05 KN/cm2 bxhe

Carga máxima a suspender: 34,9 KN Nd = 0,80 cm2/m; atendida pela armadura proveniente do cálculo como placa. fyd  Ash = 0,001 bwsv (por face) Armadura Complementar:   Asv = 0,001 bwsh (por face)

As susp. =

⇒

Asv Ash = = 1,2 cm2/m s s Asv1

Ash1

b1 = 45

a1 ≅ b1 = 0,2 he = 0,43 m (adotado 45 cm) a2 = 0,3 he = 0,65 m a1 = 45

b2 = 110

as

b2 = 0,5 he = 1,08 m (adotado 110 cm)

a2 = 65

Figura 5.2 5.9.4.4 – Limites para as Reações de Apoio As regiões do apoio possuem nervuras de enrijecimento (mísulas) o que implica na não necessidade de verificar os valores das reações.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 37

5.9.5

Detalhamento

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 38

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 39

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 40

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 41

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 42

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 43

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 44

6 – Escadas 6.1 Introdução As escadas são elementos estruturais que servem para unir, através degraus sucessivos, os diferentes níveis de uma construção.

6.2 Terminologia dos Elementos Constituintes A linha de plano horizontal é a projeção sobre um plano horizontal do trajeto seguido por uma pessoa que transita pela escada. Em geral, esta linha ideal se situa na parte central dos degraus quando a largura da escada é inferior ou igual a 110 cm. Quando esta última grandeza excede 110 cm a linha dos planos horizontais se traça a 50 ou 55 cm do bordo interior. Esta é a distância de circulação de uma pessoa que se apóia com a mão no corrimão lateral. O conjunto de degraus compreendidos entre dois patamares ou descansos sucessivos chama-se lance. Recomenda-se que um lance não tenha mais do que 20 ou 22 degraus. Se o número de degraus exceder este valor é preciso intercalar um descanso intermediário, cuja largura deverá ser de uns três planos horizontais, mas com um mínimo de 85 cm a fim de oferecer uma interrupção cômoda e agradável do lance. Em cada piso a escada termina em um descanso que se chama meseta, patamar do piso ou descanso de chegada. Tem largura igual ou às vezes maior que a de dois degraus. A inclinação de uma escada deve ser constante em um mesmo lance. O valor do plano horizontal e da altura ou plano vertical não devem variar jamais de um descanso a outro. Contudo, é aceitável uma exceção quando se trata do degrau de saída. Este último pode ter um plano horizontal de 2 a 5 cm superior aos outros degraus. O local cujo interior se encontra a escada denomina-se caixa. O espaço ou vazio situado entre um ou dois lances, na parte central da escada(na projeção horizontal) chama-se olho ou vão. Quando essa parte é cheia ou maciça chama-se eixo ou árvore da escada. Rebordo é o nome que se dá à borda que limita a escada pela parte do olho(ou do eixo). A escapada é a altura vertical disponível entre a borda de um degrau e o teto existente. Normalmente, para deixar passagem suficiente quando se transporta móveis, a escapada deve estar compreendida entre 200 a 400 cm.

6.3 Dimensões Usuais

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 1

As dimensões a (altura do degrau, espelho) e b (passo, pisada) e são variáveis segundo o tipo de utilização da escada. Em geral, para escadas interiores, adota-se b = 25 cm e a = 18 cm. Escadas mais abruptas podem ter b = 25 cm e a = 20 cm e escadas mais confortáveis podem ter b =28 cm e a = 16 cm. Para uma boa funcionabilidade é necessário que sejam observadas as seguintes condições:

a) 60 < 2a + b < 65 cm uso coletivo → máx = 18 cm a = altura do espelho →  uso privativo → máx = 19 cm uso coletivo → mín = 27 cm b = passo(pata mar) →  uso privativo → mín = 25 cm uso privativo = 0,80 m   b) l mín  uso coletivo em geral = 1,20 m hospitais, locais de reunião = 1,50 m 

c) As escadas de uso comum ou coletivo deverão ter patamar intermediário quando mudarem de direção ou vencerem desníveis superiores a 2,90 m.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 2

6.4 Classificação 6.4.1

Escadas em Laje

A grande maioria das escadas existentes são armadas em uma direção e são calculadas como lajes armadas em uma só direção. a) Escada armada transversalmente

b) Escada armada longitudinalmente

c) Escada armada em cruz

d) Escada helicoidal(em balanço, engastada em uma coluna circular)

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 3

e) Escada em balanço, engastada em uma viga reta

6.4.2

Escadas em Viga

a) Vigas retas com degraus em balanço

b) Vigas retas, com 3 eixos retos em “U”( viga balcão especial)

c) Vigas helicoidais com degraus em balanço

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data:out/2001

fl. 4

d) Vigas helicoidais com duplo balanço

6.4.3

Outros Tipos

a) Escadas em cascatas

b) Escada auto-portante com patamar

6.5 Carregamentos As cargas geralmente atuantes nas escadas são o peso próprio, os revestimentos, a sobrecarga acidental(em projeção horizontal) e a carga de parapeito segundo a NB-5 A sobrecarga de utilização é tomada como carga vertical por metro quadrado de projeção horizontal da escada, podendo-se adotar os seguintes valores: Tabela 1 – Sobrecarga de Utilização em Escadas Escadas Secundárias 3.0 kN/m² Escadas de Edifícios Residenciais 2.5 kN/m²

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 5

O peso do revestimento geralmente varia de 0,50 a 1,0 kN/m² e também é considerado como carga vertical por metro quadrado de projeção horizontal. A carga em parapeito segundo a NB-5 é calculada conforme a figura abaixo: 2 kN/m

0,8 kN/m

O peso próprio das lajes das escadas também podem ser avaliadas por metro quadrado de projeção horizontal, sendo que para isso calcula-se a espessura média da escada segundo a vertical. Espessura Média: hm = h + a/2 Onde h = altura da laje e a = altura do espelho Obtido o valor de hm , o peso por metro quadrado (P) de projeção será: P= γconcreto.hm = 25.hm (kN/m²)

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 6

6.6 Cálculo dos Esforços Solicitantes e Dimensionamento 6.6.1

Esquema Estrutural e Justificativa

O esquema estrutural usual é admitir como viga simplesmente apoiada com o apoio deslocável.

Reação Vertical = R v1 = R V2 = M máx =

Pl 2 8

VA = VB =

6.6.1.1

Pl (altura perpendicular ao eixo da barra) 2

P.l.cosα (Força cortante no apoio) 2

Justificativa do esquema estrutural exposto

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 7

Resumindo:

6.6.2

Escadas armadas longitudinalmente (esquemas estruturais) sem patamar

com patamar superior

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 8

com patamar interno

tipo sanfonado

lances inclinados

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 9

com dois lances retos(em L)

escada com lances retos em “U”

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 10

6.6.3

Detalhes das Armaduras Escada sem patamar

Escada com patamar superior (1°Caso)

Escada com patamar superior (2°Caso)

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 11

Obs: Não é permitido o seguinte detalhe da armadura:

Escada com patamar intermediário

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 12

6.7 Cálculo da escada do edifício exemplo

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 13

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 14

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data:out/2001

fl. 15

Dimensionamento das escadas: a) Escadas dos níveis +0,516 a +1,375 e +1,891 a +2,75 60,75

110

60,75

85,94 12

•

Cálculo das cargas: pp1 = 25 x 0,12 = 3,0 kN/m2 0,12 pp2 = 25 x ( ) = 3,8 kN/m 2 cos 38 0,1719 degrau = 22 x ( ) = 1,9 kN/m 2 2 revestimento = 1,0 kN/m2 sobrecarga = 2,5 kN/m2 acidental no corrimão = 2 kN/m =

•

2 = 1,65 kN/m 2 1,215

Esquema estrutural:

6,5 kN/m

85,94

10,85 kN/m

6,5 kN/m

R1

R2 33,25

137,5

60,75

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fl. 16

•

Dimensionamento R1 = 10,9 kN/m R2 = 10,2 kN/m M = 6,54 kNm/m h = 12 cm d = 9 cm x = 1,10 cm As = 2,46 cm2 / m Asmín = 0,15% b h = 1,8 cm2 / m Asec = 0,2 As = 0,2 x 2,46 = 0,49 cm2 / m

b) Escadas dos níveis 0 a +0,516 e +1,375 a +1,891

12

121,5

55

123

19

51,56

•

Cálculo das cargas: pp1 = 25 x 0,12 = 3,0 kN/m2 0,12 pp2 = 25 x ( ) = 3,8 kN/m 2 cos 38 0,1719 degrau = 22 x ( ) = 1,9 kN/m 2 2 revestimento = 1,0 kN/m2 sobrecarga = 2,5 kN/m2 2 = 1,65 kN/m 2 1,215 R1 = 10,9 kN/m = 10,9/1,215 = 8,97 kN/m2 R2 = 10,2 kN/m = 10,2/1,215 = 8,40 kN/m2 acidental no corrimão = 2 kN/m =

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fl. 17

•

Esquema estrutural:

8,40 kN/m 6,50 kN/m

8,97 kN/m 10,85 kN/m

6,50 kN/m

51,56

R3 R4 100

•

82,5

132,5

Dimensionamento R3 = 21,5 kN/m R4 = 22,4 kN/m M = 15,89 kNm/m h = 12 cm d = 9 cm x = 2,92 cm As = 6,53 cm2 / m

c) VE (19/55)

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fl. 18

•

Cálculo das cargas: pp1 = 25 x 0,19 x 0,55 = 2,6 kN/m 0,55 ) = 3,3 kN/m pp2 = 25 x 0,19 x ( cos 38 alv = 13 x 2,2 x 0,25 = 7,15 kN/m R4 = 22,4 kN/m R3 = 21,5 kN/m

•

Esquema estrutural:

22,4 kN/m 9,75 kN/m

10,45 kN/m

126,5

137,5

21,5 kN/m 9,75 kN/m

85,94

•

93

Dimensionamento M = 30,29 kNm h = 55 cm d = 51 cm x = 4,68 cm As = 1,98 cm2 Asmín = 1,57 cm2 V = 43,46 kN Ast = 1,64 cm2/m Astmín = 2,66 cm2/m

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fl. 19

d) Detalhamento

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fl. 20

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fl. 21

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fl. 22

7 – Fundações 7.1 Sapatas 7.1.1

Sapatas Corridas

7.1.1.1

Introdução

A sapata corrida é normalmente utilizada como apoio direto de paredes, muros, e de pilares alinhados, próximos entre si. pilares a viga de rigidez sapata corrida b) apoio de pilares alinhados e próximos entre si

a) apoio de parede em alvenaria

Figura 1.1 Os esforços solicitantes na sapata são considerados uniformes, mesmo para o caso da fig.1.1.b onde, de maneira aproximada, a carga do pilar dividida por a, pode ser considerada como carga uniformemente distribuída na sapata corrida. Desta forma, a análise principal consiste em estudar uma faixa de largura unitária sujeita a esforços n, m e v, respectivamente, força normal, momento fletor e força cortante, todos eles definidos por unidade de largura. A fig. 1.2. mostra a seção transversal do muro. As abas podem ter espessura constante h, ou variável (de ho a h). solicitações distribuídas uniformes

n v

m a

h ≥ 25cm (*) n m

v c

α hv h

a c = (a - ap) / 2

ho

20cm ho ≥  h / 3 α ≤ 30o h hv ≥  0,8l b

l b = comprimento de ancoragem da armadura da parede ou do pilar (quando for o caso)

Figura 1.2

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fl. 1

As sapatas podem ser classificadas em blocos, sapatas rígidas (incluindo as semi-rígidas) e sapatas flexíveis. Para carga centrada e solos deformáveis, os diagramas de tensão na interface sapata/solo apresentam o aspecto mostrado na fig. 1.3.

tensões normais no solo(σsolo) a) sapata rígida

b) sapata flexível Figura 1.3

Na prática, costuma-se relacionar esta classificação com a espessura relativa de suas abas. Assim,

(

)

se h > 2c = a − a p tem-se uma sapata muito rígida ou um bloco;    h ≤ 2c = a − a p    se e  tem-se uma sapata rígida;  a − ap  2  h > c = 3 3   a − ap   2 h < 3 c = 3    se e  tem-se uma sapata semi-rígida; e  c a − ap  h ≥ =  2 4   a a − c p se h < = tem-se uma sapata flexível. 2 4

(

)

Normalmente, as sapatas utilizadas no projeto de fundações são do tipo rígido. Costuma-se admitir o diagrama linearizado de tensão normal na interface sapata/solo (diagrama retangular para carga centrada - fig. 1.3.a - e diagrama trapezoidal ou triangular para carga excêntrica - fig. 1.4).

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fl. 2

n

n

m

v

m

v

nb = n + gb + gs mb = m + v . hv

hv

solo sobre a sapata

gb a

e = mb / nb gb

gb = peso da sapata gs = peso do solo sobre a sapata

a

tensões normais no solo (σsolo) a) e ≤ a / 6

b) e > a / 6 Figura 1.4

7.1.1.2

Tensão na interface sapata/solo nb mb

Ponto

nb

a/2 1m

e = mb / nb

e σb

σa

nb mb

nb

a

Caso em que e ≤ a / 6

e

σa

Caso em que e > a / 6

Figura 2.1 Quando e ≤ a / 6 tem-se:

n  6e  n ; σb = b σ a = b 1 +  a  a a

 6e  1 − a   

e, deve-se verificar n  3e  ≤ σ adm . σ c = b 1 + a  a 

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fl. 3

Quando e > a / 6, a máxima tensão é dada por: σa =

nb 2 ⋅ 3 a/2− e

devendo ser limitada a [ 1,3 σadm ], isto é: σ a ≤ 1,3σ adm . Obs.: neste caso, para a atuação da carga permanente, a base deve estar inteiramente comprimida, isto é: eg ≤ a/6; adicionalmente, para a situação mais desfavorável, deve se ter pelo menos a metade da base comprimida: e ≤ a/3. 7.1.1.3

Estabilidade da sapata (caso de muro)

a) tombamento (rotação em torno do ponto A) momento estabilizante: momento desestabilizante: mest ≥ 1,5 . FS = mdesest

mest = nb . (a / 2) mdesest = mb

b) deslizamento força estabilizante = (atrito) + (coesão) = nb . tg [(2 / 3) φ] + a . (2 / 3) c φ = angulo de atrito interno do solo c = coesão do solo força desestabilizante = vb 2  2  n b ⋅ tg φ  + a ⋅  c  3  3  FS = ≥ 1,5 . vb 7.1.1.4

Verificações de concreto armado (sapata rígida)

7.1.1.4.1. flexão A flexão pode ser verificada na seção de referência S1 de largura unitária, conforme mostra a fig. 4.1. O momento fletor (m1) na seção S1 contem três parcelas: devido à tensão no solo ( σ solo ); Devido ao peso da aba (gbf); e Devido ao peso do solo sobre a aba (gsf).

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fl. 4

c 0,15a gsf gb

c

c

0,15a

0,15ap

ap

gbf

d1≤1,5c

a

gbf

c 0,15ap

gsf

gsf S

ap

gsf S

gbf

d1≤1,5c

a

tensões normais no solo (σsolo)

Figura 4.1 As duas últimas parcelas são negativas e, eventualmente, podem ultrapassar o valor da primeira parcela (positiva) tornando necessária a presença de armadura de flexão junto à face superior das abas. A armadura principal pode ser quantificada de maneira aproximada através da seguinte expressão: As =

m1d → (armadura para a faixa de largura unitária) (0,8 ⋅ d1 ) ⋅ f yd

Onde d1 é a altura útil junto à face do pilar ou parede. Convém observar ρ =

As ≥ 0,15% , b1d 1

onde b1é a largura unitária da seção. As barras que compõem a armadura principal de flexão de sapatas devem cobrir toda a extensão a da base e ter ganchos de extremidade. Pode-se adotar φ ≥ 10 mm e espaçamento s ≤ 20 cm. Para a armadura secundária pode-se adotar φmin = 6,3 mm e smax = 30 cm. 7.1.1.4.2. cisalhamento A resistência ao esforço cortante pode ser verificada na seção S2 de largura unitária definida na fig. 4.2. A força cortante (v2) na seção S2 contem três parcelas: Devido à tensão no solo ( σ solo ); O peso da aba (gbf2) além da seção S2; e O peso do solo sobre a aba (gsf2) além da seção S2.

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fl. 5

ap

c c2

ap

c

c

c

c2 d1/2

d1/2 gsf2

gsf2 d2≤1,5c

gbf2

d1≤1,5c

d2

gbf

S2

S2 a

d1≤1,5c

a

tensões normais no solo (σsolo) Figura 4.2 A tensão de cisalhamento deve ser limitada a τ 2 u . τ 2d =

v 2d ≤ τ 2u b 2 ⋅ d2

onde b2 é a largura unitária da seção. Para sapatas corridas rígidas:  f  τ2u = 0,63 ⋅ ck  ou τ2u = 0,15fcd ; γ c   Para sapatas corridas semi-rígidas pode-se admitir: f ck c τ 2u = (2,048 − 0,945 ⋅ ) ⋅ . h γc Obs.: pode ser dispensada a armadura transversal para sapata corrida flexível quando τ 2d ≤ 0,158 ⋅

7.1.2 7.1.2.1

fck γc

(valores em MPa).

Sapatas Isoladas Introdução

A sapata isolada é utilizada como apoio direto de pilares. Geralmente, tem forma retangular ou circular centrada no pilar.

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fl. 6

ap

N

Ma

Va

Mb

pilar b

N bp a

Vb

Figura 1.1 A fig. 1.2. mostra seções transversais usuais de sapatas de base retangular. As abas podem ter espessura constante h, ou variável (de ho a h).

a Va

N

ca Ma

Solicitações junto à base do pilar V a

h

αa

Vb

N

ca Ma

ho a

a b

a N

cb Mb

Vb h

αb

b N

cb Mb

ho

25cm h≥  0,8l b  20cm ho ≥  h / 3 α a ≤ 30o α b ≤ 30o ca = cb =

a − ap 2 b − bp 2

b

b

l b = comprimento de ancoragem da armadura do pilar

Figura 1.2 É desejável, também, que ca ≅ cb para equalizar a resistência das abas à flexão. Costuma-se admitir o diagrama linearizado de tensão normal na interface sapata/solo (diagrama retangular para carga centrada - fig. 1.3.a - e diagrama trapezoidal ou triangular para carga excêntrica - fig. 1.4).

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fl. 7

N

Va

solo sobre a sapata

Ma Gbas

N

Vb

Nbas = N + Gbas + Gs Ma,bas = Ma + Va . h Mb,bas = Mb + Vb . h

Mb Gbas

h

a

ea = Ma / Nbas eb = Mb / Nbas

b

Gbas = peso da sapata Gs = peso do solo sobre a sapata Nba

eb

σa b

ea

ea

a

σa

b

a

σb

a)

Nba

eb

tensões normais no solo

ea eb 1 + ≤ a b 6

b)

ea eb 1 + ≥ a b 6

Figura 1.4 7.1.2.2

Tensão na interface sapata/solo

a) Base retangular e e 1 Quando a + b ≤ tem-se: a b 6 σa =

Nbas a ⋅b

Nbas  6e a 6e b  1 + a + b  ; σ b = a ⋅ b  

Quando

 6e a 6e b  1 − a − b  .  

ea eb 1 + ≥ , a máxima tensão é dada por: a b 6

N σ a = η ⋅ bas a⋅b Nbas σ a = σ1 = e k1 ⋅ a ⋅ b σ b = σ 4 = −k 4 ⋅ σ1

(η na tab.2.1), ou

(fictício)

(k1 e k4 no ábaco da fig. 2.1).

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fl. 8

x y b  + ⋅  ⋅ tgα  a b a  Num ponto (x,y) a tensão é dada por: σ = σ 4 + (σ1 − σ 4 ) ⋅ b 1 + ⋅ tgα a

A tensão σa deve ser limitada a [ 1,3 σadm ], isto é:

Base totalmente comprimida 1,48 1,24 1,36 1,00 1,12 1,24 0,00 0,02 0,04

1,72 1,60 1,48 1,36 0,06

1,96 1,84 1,72 1,60 1,48 0,08

Área comprimida maior do que 50% da área da base 3,61 3,17 3,38 2,79 2,97 3,17 2,48 2,63 2,80 2,98 2,20 2,34 2,48 2,63 2,80 2,08 2,21 2,34 2,48 2,64 1,96 2,08 2,21 2,34 2,49 1,84 1,96 2,08 2,21 2,35 1,72 1,84 1,96 2,08 2,21 1,60 1,72 1,84 1,96 2,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 ex / b

4,14 3,86 3,62 3,39 3,18 2,99 2,82 2,66 2,50 2,36 2,22 0,20

4,77 4,44 4,15 3,88 3,64 3,41 3,20 3,02 2,84 2,68 2,53 2,38 0,22

σ a ≤ 1,3σ adm . 5,55 5,15 4,79 4,47 4,18 3,92 3,68 3,46 3,25 3,06 2,88 2,72 2,56 0,24

5,57 5,19 4,84 4,53 4,24 3,98 3,74 3,52 3,32 3,13 2,95 2,78 0,26

5,66 5,28 4,94 4,63 4,35 4,08 3,84 3,62 3,41 3,22 3,03 0,28

5,43 5,09 4,78 4,49 4,23 3,98 3,75 3,54 3,33 0,30

4,99 4,70 4,43 4,17 3,93 3,70 0,32

ey / b 0,24 0,22 0,20 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00

Tabela 2.1 - Valores de η para base retangular

Figura 2.1

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado

data:out/2001

fl. 9

Observação: neste caso, para a atuação da carga permanente, a base deve estar ega egb 1 + ≤ ; inteiramente comprimida, isto é: a b 6 adicionalmente, para a situação mais desfavorável, deve se ter pelo menos a metade da base comprimida (que garante uma segurança contra tombamento 2

2

1 e  e  maior do que 1,5); esta condição é verificada quando  a  +  b  ≤ ; 9  a   b  b) Base circular Para base circular, cheia ou oca, tem-se: σ a = k r ⋅

e / r

ri r e

Nbas

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

Nbas π(r 2 − ri2 )

(kr na tab. 2.2).

0,00

0,50

ri / r 0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 2,23 2,48 2,76 3,11 3,55 4,15 4,96 6,00 7,48 9,93 13,9 21,1 38,3 96,1

1,00 1,16 1,32 1,64 1,64 1,80 1,96 2,12 2,29 2,51 2,80 3,14 3,58 4,34 5,40 7,26 10,1 15,6 30,8 72,2

1,00 1,15 1,29 1,59 1,59 1,73 1,88 2,04 2,20 2,39 2,61 2,89 3,24 3,80 4,65 5,97 8,80 13,3 25,8 62,2

1,00 1,13 1,27 1,54 1,54 1,67 1,81 1,94 2,07 2,23 2,42 2,67 2,92 3,30 3,86 4,81 6,53 10,4 19,9 50,2

1,00 1,12 1,24 1,49 1,49 1,61 1,73 1,85 1,98 2,10 2,26 2,42 2,64 2,92 3,33 3,93 4,93 7,16 14,6 34,6

1,00 1,11 1,22 1,44 1,44 1,55 1,66 1,77 1,88 1,99 2,10 2,26 2,42 2,64 2,95 3,33 3,96 4,90 7,13 19,8

1,00 1,10 1,20 1,40 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,17 2,26 2,42 2,64 2,89 3,27 3,77 4,71 6,72

100%

>50%