Exemple de dimensionnement parasismique d___un b__timent selon les normes sia 260_ 261 et 262

sia Société Suisse des Ingénieurs et Architectes Section Valais

Cours de formation continue pour ingénieurs et architectes Ecole d'ingénieurs du Valais, Sion octobre 2003

Exemple de dimensionnement parasismique d’un bâtiment selon les normes sia 260, 261 et 262 éd. 2003 Version définitive, revue et corrigée

Roberto Peruzzi, ing. civil dipl. EPFL/SIA Kurmann et Cretton SA, Monthey Xavier Mittaz, ing. civil dipl. EPFZ/SIA SD Ingéniérie SA, Sion Dr Pierino Lestuzzi, ENAC-IS-IMAC, EPFL Vincent Pellissier, ENAC-IS-BETON, EPFL

Sous le patronage de : ! Etat du Valais, Service des routes et des cours d’eaux, Sion ! Office fédéral des eaux et de la géologie, Centrale de coordination pour la mitigation des séismes, Bienne

Cours de formation continue pour ingénieurs et architectes, Sion 2003

Exemple de dimensionnement parasismique d’un bâtiment Roberto Peruzzi, ing. civil dipl. EPFL/SIA, Kurmann et Cretton SA, Monthey Xavier Mittaz, ing. civil dipl. EPFZ/SIA, SD Ingéniérie SA, Sion Pierino Lestuzzi, ENAC-IS-IMAC, EPFL Vincent Pellissier, ENAC-IS-BETON, EPFL L’exemple d’application concerne le dimensionnement du bâtiment de sept étages décrit dans le document SIA D 0171 [14] selon le concept du comportement ductile des normes SIA 261 et 262. Une vue longitudinale et une coupe transversale de ce bâtiment sont présentées dans la figure cidessous.

6.40m

6.20m

6.40m

6.20m

6.40m

E

D

A11 5.00m

5.30m

5.30m

Wu1

C

1

Exemple de dimensionnement parasismique d’un bâtiment

1. Données et bases de calcul Caractéristiques du projet Valais, zone 3b : Classe d'ouvrage COII : Classe de sol de : fondation C

Références SIA 261 (2003)

agd γf S TB TC TD

= = = = = =

1.6 m/s 1.2 1.15 0.2 s. 0.6 s. 2.0 s.

2

art.16.2.1.2 art. 16.3.2 tableau 26 art. 16.2.2.4 tableau 25 "

"

"

"

"

"

"

"

Vue en plan, position et dimensions des refends prévus pour reprendre les forces sismiques horizontales

Dimensions des refends et moments d’inertie Refends sens y : transversal 4 A : 5.3 x 0.3 m ⇒ Ix = 3.72 m 4 B : 5.3 x 0.3 m ⇒ Ix = 3.72 m 4 C : 5.3 x 0.3 m ⇒ Ix = 3.72 m 4 C': 5.3 x 0.3 m ⇒ Ix = 3.72 m 4 ∑Ix =14.89 m

Refends sens x : longitudinal 4 D : 6.4 x 0.3 m ⇒ Iy = 6.55 m 4 E : 6.2 x 0.3 m ⇒ Iy = 5.96 m 4 F : 7.0 x 0.3 m ⇒ Iy = 8.58 m 4 G : 6.6 x 0.3 m ⇒ Iy = 7.19 m 4 ∑Iy =28.27 m

Répartition des masses par étage La méthode de calcul des masses par étage ainsi que le calcul des efforts normaux dans les refends sont décrits de manière détaillée dans l'annexe A1 du document D 0171 [14]. En remplaçant dans les calculs les coefficients de pondération ψacc de la norme SIA 160 par les coefficients ψ2 de la norme SIA 260 ainsi que la nouvelle valeur de la surcharge pour les balcons (SIA 261), on obtient de nouvelles valeurs plus favorables. SIA 160 Garage Locaux de vente et couloirs

Bureaux Locaux d'habitation Balcons

qr kN/m 2.0 5.0 3.0 2.0 4.0

2

ψacc 0.3 1.0 0.3 0.3 0.3

SIA 260/261 qk kN/m2 2.0 5.0 3.0 2.0 3.0

ψ2 0.6 0.6 0.3 0.3 0.3

ψ2 = 0.6 au lieu de 0.3 ψ2 = 0.6 au lieu de 1.0 pas de changement pas de changement qk = 3.0 kN/m2 au lieu de 4.0 kN/m2

Facteurs à appliquer sur les charges utiles pour le calcul des masses par étages et le calcul des forces verticales dans les refends.

2

"

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Masses en tonnes selon SIA 160 Rez ENTRESOL 1er ETAGE 2ème ETAGE 3ème ETAGE 4ème ETAGE ATTIQUE : TOITURE :

1'510 1'510 1'290 1'290 1'290 1'211 954 303 ∑

La norme SIA 160 définit le niveau d’encastrement au 1er sous-sol, c’est pourquoi la masse du rez est prise en considération.

Masses en tonnes selon SIA 260/261 0 1'349 1'288 1'288 1'288 1'210 946 303

9'358

∑

La norme SIA 261 ne donne pas de spécification au sujet de la position du niveau d’encastrement. Celui-ci doit être évalué par l’ingénieur pour chaque cas. Ici le bâtiment comporte deux niveaux de sous-sol formant un caisson rigide, le niveau d’encastrement est donc admis au rez, c’est pourquoi la masse du rez n’est pas prise en compte.

7'672

Effort normal par étage pour les refends les plus sollicités Le calcul détaillé n’est donné ici que pour les refends les plus sollicités dans chaque direction soient les refends A et F. Les tableaux ci-dessous correspondent aux tabelles A1.3.4 et A1.3.6 de SIA D 0171 [14] avec les nouveaux coefficients ψ2. effort normal dû à l'appui des dalles

REFEND A / W12 TOITURE ATTIQUE 4ème ETAGE 3ème ETAGE 2ème ETAGE 1er ETAGE ENTRESOL TOTAUX

Surface d'influence du refend [m2] Surface

Surface 2

Plancher 2

plancher [m ] Sp

balcon [m ] Sb

32.1 30.8 54.6 54.6 54.6 54.6 39.5

Charges en kN/m2 2

Balcon [kN/m ] qb

2

[kN/m ] qp

4.0 11.6 11.6 11.6 11.6 11.6 12.25

23.9

Ndalles

7.9

sp . qp + sb . qb

effort normal dû aux dalles + masse refend

Effort normal poids Masse propre refend Ng [kN] refend par Descente effort Longueur Poids linéaire refend lw [m] étage[kN] normal "N" qrefend . Lw refend [kN/m'] [kN] qrefend 5.3 + Ndalles

128.4 546.1 633.4 633.4 633.4 633.4 483.9 3691.8

13.13 19.35 19.35 19.35 19.35 25.35 26.93

69.6 102.6 102.6 102.6 102.6 134.4 142.7 756.9

198.0 648.6 735.9 735.9 735.9 767.7 626.6

846.6 1582.5 2318.5 3054.4 3822.1 4448.7

4448.7

poids propre refend par étage q refend = hauteur d'étage · épaisseur refend · 25 kN/m

REFEND F / W4

Surface d'influence du refend [m2] Surface

Surface balcon 2

plancher [m ]

2

[m ]

Charges [kN/m2] Plancher 2

[kN/m ]

Balcon [kN/m2]

TOITURE ATTIQUE 4ème ETAGE 3ème ETAGE 2ème ETAGE 1er ETAGE ENTRESOL TOTAUX

15.0 15.0 15.0 15.0 15.0

4.5 4.5 4.5

11.6 11.6 11.6 11.6 12.25

7.9 7.9 7.9

Effort normal dalles Np [kN] 0.0 0.0 174.0 209.6 209.6 209.6 183.8 986.4

3

Effort normal poids propre refend Ng [kN] Charge linéaire refend [kN/m']

Longueur refend lw [m]

13.13 19.35 19.35 19.35 19.35 25.35 26.93

91.9 135.5 135.5 135.5 135.5 177.5 188.5 999.7

7

Descente Masse effort refend par normal "N" étage[kN] [kN] 91.9 135.5 309.5 345.0 345.0 387.0 372.3

227.4 536.8 881.8 1226.8 1613.8 1986.1

1986.1

3

Exemple de dimensionnement parasismique d’un bâtiment

Caractéristiques mécaniques des matériaux Béton C 30/37

Acier B500B

Acier B450C

:

:

:

Références SIA 262 (2003)

2

fcd = 20 N/mm 2 τcd = 1.1 N/mm 1/3 Ecm = kE · fcm = 8000 · 2 fck = 30 N/mm

art. 4.2.1.4 tableau 8 " 3

38 = 27'000 N/mm

2

classe de ductilité B, soit acier usuel en Suisse 2 fsk = 500 N/mm εuk ≥ 5 % (ft/fs)k ≥ 1.08 2 fsd = fsk/γs = 500/1.15 = 435 N/mm coefficient de comportement structural q = 3

classe de ductilité C 2 2 450 N/mm ≤ fsk ≤ 550 N/mm εuk ≥ 7.5 % 1.15 ≤ (ft/fs)k ≤ 1.35 2 2 390 N/mm ≤ fsd ≤ 478 N/mm coefficient de comportement structural q = 4

2. Détermination de la fréquence fondamentale Pour un calcul dynamique, le bâtiment peut être modélisé d’une des trois manières suivantes (modèle de base, modèles simplifiés 1 et 2) :

Pour les modèles simplifiés 1 et 2, la masse de la toiture est ramenée au niveau de l'attique. Pour le modèle simplifié 2, les masses et les hauteurs d’étages sont constantes.

4

"

"

art. 3.1.2.3.3 équation (10) art. 3.1.2 tableau 3

art. 3.2.2.3 tableau 5 "

"

"

"

"

"

art. 2.3.2.5 et 2.3.2.6 art. 4.3.9.3.5 tableau 14

art. 3.2.2.3 tableau 5 "

"

"

"

"

"

art. 2.3.2.5 et 2.3.2.6 art. 4.3.9.3.5 tableau 14

Cours de formation continue pour ingénieurs et architectes, Sion 2003

Calcul de la fréquence selon la norme SIA 261 Le calcul de la fréquence s'effectue à l'aide des modèles simplifiés de la figure ci-dessus. Période de vibration fondamentale T1 : 0.75

0.75

T1 = Ct · H = 0.05 · 18.63 = 0.448 s. Fréquence fondamentale : f = 1/T1 = 2.23 Hz

Références SIA 261 (2003) art. 16.5.2.3 équation (38)

Détermination à l'aide du quotient de Rayleigh L’équation (39) de SIA 261 constitue un cas particulier du quotient de Rayleigh. Le calcul de la fréquence s'effectue ici selon la version générale du quotient de Rayleigh et à l'aide du modèle simplifié 2 de la figure ci-dessus, soit : - la masse de la toiture est ramenée au niveau de l'attique - les hauteurs d'étages et les masses sont constantes

6

f=

1 ⋅ 2π

Σ Fj ⋅ dj

j =1 6

Σ mj ⋅ dj2

j =1

Calcul des déformations fictives d'étage avec la matrice de flexibilité : ∧

∧

d=

·F

=

h3 2 · j (3i - j) 6EI

∧

f i,j

F d

d1    d 2  d 3  h3   = 6EI d 4  d   5 d6 

6

f

f

2 5  8  11 14  17

Σ Fj · dj = 75'790 ·

j =1

: matrice de flexibilité : vecteur des forces fictives d’étage : vecteur des déformations fictives d’étage

i ≥j

5

8

11

14

16

28

40

52

28 40

54 81

81 128

108 176

52 64

108 135

176 224

250 325

h3 6EI

17  64  135   224 325  432

1  2   3 h3   = 6EI 4 5   6

252  925    1900    3070   4346   5663 

[Nm]

6 3  3  Σ mj · dj2 = 1'278'000 ·  h  · 64'911'314 = 8.309 · 1013  h  [kgm2] 2

j=1

 6EI   

 6EI   

5

Exemple de dimensionnement parasismique d’un bâtiment

h : E : Iy : Ix : mj :

hauteur d’étage constante soit 18.63/6 = 3.105 m module d’élasticité du béton, soit E = 27 · 109 N/m2 somme des moments d’inertie des refends dans le sens longitudinal x, ∑ Iy = 28.27 m4 somme des moments d’inertie des refends dans le sens transversal y, ∑ Ix = 14.89 m4 masse d’étage constante, 7672 tonnes/6 étages = 1278 tonnes par étage

Sens transversal Y h3 3.105 3 = = 1.24 ⋅ 10 −11 [m / N ] 6EI x 6 ⋅ 27 ⋅ 10 9 ⋅ 14.89

sans tenir compte de la perte de rigidité due à la fissuration des refends

Sens longitudinal X h3 3.105 3 = = 6.54 ⋅ 10 −12 [m / N ] 6EI y 6 ⋅ 27 ⋅ 10 9 ⋅ 28.27

sans tenir compte de la perte de rigidité due à la fissuration des refends

La fréquence propre sans réduction de la rigidité est donc de : 6

f=

1 ⋅ 2π

Σ Fj ⋅ dj

j =1 6

⇒

Σ mj ⋅ dj2

fx = 1.88 Hz Tx = 0.53 s.

fy = 1.36 Hz Ty = 0.74 s.

j =1

Si pour tenir compte de la fissuration des refends, on réduit la rigidité à une valeur correspondant à 30 % de la rigidité non fissurée, on obtient les valeurs fy = 0.74 Hz suivantes : fx = 1.03 Hz Ty = 1.34 s. Tx = 0.97 s. Calcul de la fréquence à l’aide du logiciel Statik 3 Le calcul de la fréquence s'effectue à l'aide du modèle de base de la figure ci-dessus, soit : - sans ramener la masse de la toiture au niveau de l'attique - avec les hauteurs d'étages d'origine Etat non fissuré : 100 % de EI

fx = 1.78 Hz Tx = 0.56 s.

fy = 1.26 Hz Ty = 0.79 s.

Rigidité réduite à 30 % :

fx = 1.03 Hz Tx = 0.97 s.

fy = 0.73 Hz Ty = 1.37 s.

Remarque : Les résultats des calculs de la fréquence dans les deux sens x et y obtenus avec le logiciel Statik 3 donnent des valeurs pratiquement égales à celles obtenues avec le quotient de Rayleigh pour une rigidité réduite à 30 %. Le modèle simplifié 2 (masses et hauteurs constantes) selon la figure représente donc le comportement dynamique du modèle de base pour le mode fondamental de manière satisfaisante.

6

Cours de formation continue pour ingénieurs et architectes, Sion 2003

Calcul des valeurs spectrales de dimensionnement Sd SIA 261 (même fréquence pour x et y): S a T1 = 0.45 s ⇒ spectre de dimensionnement Sd = 2.5 · γf · gd · = 0.184 = Sdmax q g Sd = 2.5 ⋅ 1.2 ⋅

Références SIA 261 (2003) équation (31)

1.6 1.15 ⋅ = 0.184 = S d max 10 3

Rayleigh non fissuré, rigidité à 100 % : Sens x : Tx = 0.53 s. ⇒ Sd = Sdmax = 0.184 Sens y : Ty = 0.74 s. ⇒ Sd = 2.5 ⋅ γ f ⋅

équation (31)

a gd g

⋅S⋅

Tc T = Sdmax ⋅ c = 0.149 T⋅q T

équation (32)

Rayleigh avec rigidité réduite à 30 % : Sens x : Tx = 0.97 s. ⇒ Sd = Sdmax ·

Tc = 0.114 T

équation (32)

Sens x : Ty = 1.34 s. ⇒ Sd = Sdmax ·

Tc = 0.082 T

équation (32)

Récapitulation et comparaison des résultats

SIA 261 sens x sens y

Rayleigh 100 % de EI sens x sens y

Rayleigh 30 % de EI sens x sens y

Statik 3 100 % EI sens x sens y

Statik 3 30 % EI sens x sens y

période fond. T

0.45 s

0.53 s.

0.97 s.

0.56 s.

0.97 s.

fréquence fond. f

2.23 Hz 2.23 Hz 1.88 Hz 1.36 Hz 1.03 Hz 0.74 Hz 1.78 Hz 1.26 Hz 1.03 Hz 0.73 Hz

0.45 s

0.74 s.

1.34 s.

0.79 s.

1.37 s.

spectre de réponse élastique Se

4.60

4.60

4.60

3.73

2.85

2.06

4.60

3.49

2.85

2.01

spectre de dimensionnement Sd

0.184

0.184

0.184

0.149

0.114

0.082

0.184

0.140

0.114

0.081

Spectre de réponse élastique Se

Spectre de dimensionnement Sd

7

Exemple de dimensionnement parasismique d’un bâtiment

Analyse des résultats L’équation (38) de la norme SIA 261 est une formule forfaitaire conservatrice qui ne donne qu’une idée grossière du comportement dynamique réel. Son utilisation ne devrait être réservée qu’à des phases d’avant-projet. Le quotient de Rayleigh, lui, tient compte des caractéristiques propres du bâtiment en particulier en distinguant le sens transversal du sens longitudinal. En revanche, l'effet des éléments non-porteurs n'y est pas considéré, et il n'est pas étonnant que les fréquences correspondantes soient plus basses. L'estimation de la fréquence fondamentale doit tenir compte des éléments non-porteurs et de la réduction de rigidité due à la fissuration. Tâche délicate dévolue à l'ingénieur qui peut moduler la rigidité en modifiant le coefficient EI. D'une manière générale, l'importance de la réduction dépend de l'amplitude des déformations et du niveau de l'effort normal. Avec une rigidité effective correspondant à 100 % de la rigidité non fissurée, on obtient une force horizontale de remplacement plus élevée qui conduit à la nécessité d'augmenter l'armature des refends, voire leurs dimensions. Dans ce cas, les déformations dues au séisme seront peu élevées (fréquence plus élevée). Avec une rigidité effective correspondant à 30 % de la rigidité non fissurée, la force horizontale de remplacement est réduite de 40 % dans le sens longitudinal et de 45 % dans le sens transversal. Ce choix s'accompagne de déformations plus élevées (fréquence plus basse) et donc de dégâts potentiellement plus importants, particulièrement pour les éléments nonporteurs. Pour la suite de l'exemple et le calcul des forces horizontales de remplacement, les valeurs admises pour Tx et Ty sont celles obtenues avec une rigidité effective correspondant à 30 % de la rigidité non fissurée.

3. Détermination des forces de remplacement

Références SIA 261 (2003)

La méthode des forces de remplacement peut être appliquée, les critères de régularité en plan et en élévation étant remplis car ils ont été expressément considérés lors de la conception (voir SIA D 0171 [14]).

art. 16.5.2.1

Calcul de la force horizontale de remplacement La force horizontale de remplacement due à l'action sismique est définie par : Fd = Sd (T1) · Σ (Gk + j

ΣΨ2

x Qk)j

art. 16.5.2.4 équation (40)

Sd (T1) est la valeur spectrale du spectre de dimensionnement calculée cidessus. dans le sens x : Sdx = 0.114 dans le sens y : Sdy = 0.082 Σ j

(Gk +

ΣΨ2

x Qk)j = 76'720 kN

Ce qui donne les résultats suivants :

8

Fdx = 0.114 · 76'720 = 8'727 kN Fdy = 0.083 · 76'720 = 6'333 kN

Cours de formation continue pour ingénieurs et architectes, Sion 2003

Répartition de la force horizontale de remplacement dans les étages La force horizontale de remplacement doit être répartie sur la hauteur du bâtiment selon : Fdi =

Z i ⋅ (Gk + ΣΨ2Q k )i · Fd Σ Zj(Gk + ΣΨ2Q k )j

art. 16.5.2.5 équation (41)

j

Tableau de la répartition des forces horizontales à chaque étage : Etage 6 5 4 3 2 1

attique 4ème étage 3ème étage 2ème étage 1er étage Entresol

Zi (m)

(Gk + ΣΨ 2 · Qk)i [kN]

Fdi, x [kN]

Fdi, y [kN]

18.63 15.83 13.03 10.23 7.43 3.84

12'490 12'100 12'880 12'880 12'880 13'490

2'331 1'919 1'681 1'320 959 519

1'691 1'392 1'220 958 696 377

∑ 68.99

∑ 76'720

∑ 8'727

∑ 6'333

répartition de la force horizontale de remplacement sur la hauteur du bâtiment dans le sens x

répartition de la force horizontale de remplacement sur la hauteur du bâtiment dans le sens y

4. Répartition des forces de remplacement dans les refends Les forces horizontales de remplacement doivent être réparties dans les 8 refends, principalement au prorata des rigidités mais en tenant compte de la torsion. Le calcul détaillé se trouve en annexe. Les tableaux ci-dessous résument la participation de chaque refend en tenant compte de la torsion :

9

Exemple de dimensionnement parasismique d’un bâtiment

Répartition des forces horizontales sismiques dans chaque refend dans le sens x : refend A

refend B

refend C

refend C'

hi

0.016

0.006

0.012

0.010

Rez

0

0

0

0

0

Entresol

3.84

9

3

6

5

126

114

163

134

519

kN

1er étage 2e étage 3e étage 4e étage Attique

7.43

16

5

12

10

232

211

301

248

959

kN

10.23

22

7

16

13

320

291

414

342

1320

kN

13.03

28

9

20

17

408

371

527

435

1681

kN

15.83

31

11

23

19

465

423

602

497

1919

kN

18.63

38

13

28

23

565

514

731

603

2331

kN

Toiture

22.13

0

0

0

0

0

0

0

0

0

kN

Vd max

kN

143

49

105

87

2116

1924

2737

2259

8727

kN

Nd max

kN

4449

4773

3543.9

3543.9

2547.0

2276.9

1986.1

2485.0

25605

kN

Md max

kNm

1939

668

1429

1179

28689

26083

37099

30625

94479

kNm

SENS X

refend D

refend E

refend F

refend G

0.242

0.220

0.314

0.259

1.08

0

0

0

0

0

Σ=

S' + S''

kN

Répartition des forces horizontales sismiques dans chaque refend dans le sens y :

SENS Y hi

refend A

refend B

refend C

refend C'

refend D

refend E

refend F

refend G

0.031

0.046

0.021

S' + S'' 0.303

0.268

0.280

0.275

Σ=

0.035

1.26

Rez

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

kN

Entresol

3.84

114

101

106

104

13

12

17

8

376.504

kN

1er étage 2e étage 3e étage 4e étage Attique

7.43

211

187

195

191

24

22

32

14

695.555

kN

10.23

290

257

269

263

33

30

44

20

957.675

kN

13.03

370

327

342

336

42

38

56

25

1219.8

kN

15.83

422

373

390

383

48

44

63

29

1392.17

kN kN

18.63

513

454

474

465

59

53

77

35

1691.23

Toiture

22.13

0

0

0

0

0

0

0

0

0

kN

Vd max

kN

1919

1699

1776

1742

219

199

289

130

6333

kN

Nd max

kN

4449

4773

3543.9

3543.9

2547.0

2276.9

1986.1

2485.0

25605

kN

Md max

kNm

26016

23031

24074

23617

2974

2704

3911

1766

57281

kNm

Sollicitations à chaque étage des refends les plus sollicités refend A

H [m]

Vd [kNm]

refend F

Nd [kNm]

Md [kNm]

Vd [kNm]

Nd [kNm]

Attique

18.63

0

513

847

0

731

227

4e étage

15.83

2.8

1435

513

847

2046

731

227

3e étage

13.03

2.8

4051

934

1583

5777

1332

537

2e étage

10.23

2.8

7703

1304

2318

10984

1860

882

1er étage

7.43

2.8

12167

1594

3054

17349

2273

1227

Entresol

3.84

3.59

18647

1805

3822

26590

2574

1614

0

3.84

26016

1919

4449

37099

2737

1986

Σ=

18.63

Rez

10

∆hi [m]

Md [kNm]

Cours de formation continue pour ingénieurs et architectes, Sion 2003

5. Dimensionnement pour un comportement ductile du refend le plus sollicité dans le sens longitudinal : le refend F Diagrammes des valeurs de calcul des efforts internes:

M d [kNm]

Vd [kN]

N d [kN]

La section déterminante est située au rez-de-chaussée: Md = 37’100 kNm Vd = 2’737 kN Nd = 1'986 kN Caractéristiques mécaniques des matériaux : 2 2 BC30/37 ⇒ fck = 30 N/mm ; fcd = 20 N/mm ; εc1d = 2.0‰ ; εc2d = 3.0‰ f 500 2 Acier B500B ⇒ fsd = sk = = 435 N/mm γs 1.15

Références SIA 262 (2003)

tableaux 3 et 8 art. 2.3.2.5 et 2.3.2.6

Le dimensionnement en capacité s’effectue selon les 10 points. N.B. :toutes les définitions des termes utilisés ci-dessous, dans les formules, sont données à l'art. 1.2 de la norme SIA 262 : notations

Contrôle préliminaire : Contrôle de l'élancement du refend : hw/lw = 18.63/7 = 2.66 ≥ 2 : ok

art. 4.3.9.4.1

Point 1 : choix du mécanisme plastique et de la hauteur de la rotule plastique. Hauteur de la zone plastique au pied du refend: hpl ≥ (lw, hw/6) • lw = 7 m; hw/6 = 18.63/6 = 3.1 m ⇒ hpl = 7 m • réduction de hpl si : hs>= hw/9 ⇒ hs = 3.84 m > 18.63/9= 2.07 m : ok hs >= 2 lw/3 ⇒ hs = 3.84 m < 2 · 7.0/3 = 4.67 m : pas ok • hpl ne peut pas être réduite à hs

art. 5.7.1.1

art. 5.7.1.1

Pour simplifier l’exécution du refend, il est judicieux de prolonger les mesures constructives de la rotule plastique jusqu’au deuxième étage.

Point 2 : dimensionnement à la flexion de la rotule plastique

figure 11

Choix : 12 Ø30 aux extrémités et 70 Ø12 e = 15 cm comme répartition : • ρw= 0.5 % ≥ ρw,min = 0.2 % : ok

art. 5.7.1.3

• • • •

Ø 30 ≤ Ø max = bw/10 = 300/10 = 30 : ok ρe= 3.3 % ≤ ρe,max = 4.0 % : ok ρw= 0.5 % ≤ ρw,max = 0.5 % : ok ρt= 1.18 % ~ ρt,max = 1.0 % : ok

SIA D 0171, p. 166 SIA D 0171, p. 146 SIA D 0171, p. 146 SIA D 0171, p. 146

11

Exemple de dimensionnement parasismique d’un bâtiment

déformation de la section :

forces :

Tractions : • T1 = 12 · As (Ø30) . fsd = 12 · 707 . 435 . 10-3 •

T2 = 4.30

.2

· As (Ø12/e = 15)

. fsd

= 4.30 2 .

= 3’691 kN . 754 .

435

Compressions : • Cb = -0.85 . x . bw . fcd = -0.85 · 1060 . 300 . 20 . 10-3 • Ca = -10 · As (Ø30) · fsd = -10 . 707 . 435 . 10-3

.

10-3

= 2’821 kN = - 5’406 kN = - 3’075 kN ∑ = -1'969 kN ≅ Nd = -1'986 kN: ok

Moment résistant : MRd = 3’691 . 3.075 + 2'821 . 0.50 + 5’406 . 3.05 + 3’075 . 3.15 = 38’935 kNm > Md = 37’100 kN: ok

12

Cours de formation continue pour ingénieurs et architectes, Sion 2003

Moment résistant maximal 2 2 (calculé avec 1.1·fsk = 550 N/mm et fck = 30 N/mm ) :

art. 4.3.9.3.3

Tractions : • T1 = 12 . As (Ø30) . fsd = 12 . 707 . 550 . 10-3 • T2 = 4.60 . 2 · As (Ø12/e = 15) . fsd = 4.60 . 2 . 754 . 550 . 10-3 Compressions : • Cb = -0.85 . x . bw . fck = -0.85 . 860 . 300 . 30 . 103 • Ca = -10 · As (Ø30) . fsd = -10 . 707 . 550 . 10-3

= 4’666 kN = 3’815 kN = - 6’579 kN = - 3’889 kN ∑= -1'987 kN ≅ Nd = -1'986 kN: ok

M+Rd = 4’666 . 3.075 + 3’815 . 0.35 + 6'579 . 3.13 + 3’889 . 3.15 = 48’526 kNm

Point 3 : stabilité latérale de la rotule plastique. •

bw = 300 mm ≥ hs/15 = 3840/15 = 256 mm: ok

art. 5.7.1.2

Point 4 : garantie de la ductilité en courbure de la rotule plastique. La ductilité de la rotule plastique est considérée comme assurée si les dispositions suivantes sont respectées :

art. 4.3.9.3.3

•

bw = 300 mm ≥ 200 mm: ok

art. 5.7.1.2

•

lc = 850 mm ≥ 300 mm: ok

art. 5.7.1.2

•

lc = 850 mm ≥ lw/10 = 7000/10 = 700 mm: ok

art. 5.7.1.2

•

lc = 850 mm ≥ x(ε>εc1d) = 353 mm: ok

art. 5.7.1.2

Il est intéressant de comparer avec la condition x < 0.2·lw. •

[2] p. 228

x = 1.06 m < 0.2·lw = 0.2·7 m = 1.40 : ok

Point 5 : stabilisation de l’armature longitudinale de la rotule plastique. •

Les éléments de bord doivent toujours être pourvus d’une armature de frettage

•

Choix pour l’armature de frettage des éléments de bord : Ø10 e = 150 mm: a) Sw ≤ 150 mm : ok b) Sw ≤ 6Øsl = 180 mm : ok c) Øw ≥ 0.35·Øsl,max = 10.5 mm : ~ok d)

ωc,min

= 0.25·(Ac/Acc)·[(-Nd/Ac . fcd) - 0.08] = 0.25·(0.85·0.3/0.77·0.3)·[(1986·103/(7000·300·20)) - 0.08]

art. 5.7.1.2

art. 5.7.2.2 art. 5.7.2.2 art. 5.7.2.2 équation (94)

= 0.25·(1.104)·[(0.047) - 0.08] = -0.009 < 0.08

⇒ ωc,min = 0.08 ici la contrainte de compression normalisée du béton (-Nd/Ac . fcd) = 4.7 % en général pour les refends, cette valeur est comprise entre 3 % et 12 % ωc,min = 0.08 est donc pratiquement toujours déterminant

Asw,min = 0.08·Ac·fcd/fsd = 0.08·300·150·20/435 = 166 mm2 Asw = 156 mm2 ≅ Asw,min: ok

13

Exemple de dimensionnement parasismique d’un bâtiment

•

Entre les éléments de bord, l’armature verticale ne nécessite pas de frettage. Les dispositions suivantes doivent être respectées : e) f) g) h) i) j) k)

bw0 = 300 mm ≥ 150 mm : ok bw0 = 300 mm ≥ lw/25 = 7000/25 = 280 mm : ok bw0 = 300 mm ≥ hs/20 = 3840/20 = 192 mm : ok ρw= 0.5% ≥ ρw,min = 0.2% : ok ρsw,min = 0.2% = 0.002·300·150 = 90 mm2 evert/trans = 150 mm ≤ emin = 250 mm : ok evert/trans = 150mm ≤ 25Ø = 300 mm : ok

art. 5.7.1.3 art. 5.7.1.3 art. 5.7.1.3 art. 5.7.1.3 art. 5.7.1.3 art. 5.7.1.3 art. 5.7.1.3

Point 6 : dimensionnement à l’effort tranchant de la rotule plastique. Facteur de majoration (surrésistance) du moment de flexion résultant des charges de remplacement: ε = M+Rd/Md = 48’526 / 38’935 = 1.25

équation (80)

Facteur de majoration dynamique dû aux modes propres d’ordre supérieur: κ = 1.5 pour n > 5 (n=nombre d’étages)

équation (81)

Valeur de calcul de l’effort tranchant majoré: du rez (encastrement) à V+d = ε·κ·Vd = 1.25·1.50·2’737 = 5’132 kN l’entresol :

équation (79)

Dimensionnement de l’armature transversale : Choix Ø 14 etrans =150 mm (Asw = 2·154 = 308 mm2 > ρsw,min = 90 mm2)

point 5-i

Armature transversale dans la rotule plastique:

Choix de l’inclinaison des bielles de compression α = 40°

art. 4.3.3.3.2

Résistance à l’effort tranchant : VRd,s = Asw/s ·z ·fsd ·cotα = 308/150 ·0.8 ·7.0 ·435 ·cot40° = 5’961 kN > V+d = 5'132 kN: ok

art. 4.3.3.4.3

14

Cours de formation continue pour ingénieurs et architectes, Sion 2003

Contrôle des bielles de compression : kc = 0.4 VRd,c = bw·z·kc·fcd·sinα·cosα = = 300·0.8·7.0·0.4·20·sin40·cos40 = 6’618 kN > Vd+ = 5'132 kN : ok

art. 4.2.1.7 figure 12 art. 4.3.3.4.5

Point 7 : dimensionnement à la flexion de la partie élastique. Dimensionnement conventionnel en tenant compte des valeurs de calcul des moments de flexion selon l’enveloppe ci-dessous :

Point 8 : dimensionnement à l’effort tranchant de la partie élastique. Valeur de calcul de l’effort tranchant majoré juste au-dessus de la rotule (surrésistance et modes supérieurs): V+d = ε·κ·Vd = 1.25·1.50·2’273 = 4’262 kN

équation (79)

Choix de l’inclinaison des bielles de compression α = 30°

art. 4.3.3.3.2

Armature minimale en choisissant un écartement des étriers s = 150 mm:

ρmin = 0.2 %

⇒ Asw,min = 0.2 % · 150 · 300 = 90 mm2

Choix: ø10, s = 150 mm

⇒ Asw = 2·78 = 156

mm2

art. 5.5.2.2

> Asw,min : ok

Résistance à l’effort tranchant : VRd,s = Asw/s ·z ·fsd ·cotα = 156/150 ·0.8 ·7.0 ·435 ·cot30° = 4’388 kN > V+d = 4'262 kN: ok Contrôle des bielles de compression : kc = 0.6 VRd,c = bw·z·kc·fcd·sinα·cosα = = 300·0.8·7.0·0.6·20·sin30°·cos30° = 8’729 kN >> Vd+ = 4'262 kN : ok

art. 4.3.3.4.3

art. 4.2.1.7 figure 12 art. 4.3.3.4.5

Point 9 : stabilisation de l’armature longitudinale de la partie élastique. La norme SIA 262 ne donne pas de spécifications particulières concernant la stabilisation de l’armature longitudinale de la partie élastique. Dans ce cas, les dispositions relatives aux pièces comprimées s’appliquent. En particulier, une barre sur deux doit être assurée contre le flambage.

art. 5.5.4 et 5.5.4.6

15

Exemple de dimensionnement parasismique d’un bâtiment

Etant donné que le principe de base du dimensionnement en capacité consiste à garantir le maintien de cette partie du refend dans l’état élastique, seules les barres d’angle doivent être formellement stabilisées. On peut cependant recommander d’adopter les règles de stabilisation pour les prolongements (zones de forte armature) des éléments de bord de la rotule plastique. ème

ème

au 4 étage du 2 Pour les 10 barres Ø 30 d'extrémité : stabilisation assurée par un étrier de e bord qui stabilise les barres d’angle et celles de la 5 rangée intérieure, ainsi e qu’un crochet en S pour la 3 rangée intérieure.

Espacements maximaux : a) s = 150 mm < 15 Ø min = 450 mm : ok b) s = 150 mm < amin = 300 mm : ok c) s = 150 mm < 300 mm : ok Compte tenu des équations a), b) et c) ci-dessus, l'espacement maximal des barres de stabilisation pourrait être de 300 mm. Pour des raisons constructives, le choix de l'espacement de 150 mm est conservé.

ème

du 4 étage à l'attique Pour les 6 barres Ø 30 d'extrémité : stabilisation assurée par un étrier de bord qui stabilise les barres d’angle et celles de la 3e rangée intérieure.

Point 10 : contrôle des fondations. Pour le contrôle des fondations, il faut tenir compte des valeurs de calcul + + majorées (surrésistance et modes propres d’ordre supérieur) M Rd et V d pour garantir qu’elles ne subiront pas de plastification lors des sollicitations sismiques.

16

art. 5.5.4.7 art. 5.5.4.7 art. 5.5.4.7

Cours de formation continue pour ingénieurs et architectes, Sion 2003

Remarques: A. Evaluation de la quantité d'acier d'armature Pour le refend F décrit ci-dessus, on obtient une densité d'armature de 120 3 kg/m de béton. Cette densité comprend toutes les armatures : armatures verticales + horizontales + étriers et barres de stabilisation. Cette valeur n'est pas excessive car la densité usuelle pour des refends est 3 de 65 à 80 kg/m . Le "surcoût" lié à un dimensionnement selon un comportement ductile du bâtiment est par conséquent faible. B. q = 2 au lieu de q = 3 Dans notre exemple, nous avons choisi d'effectuer un dimensionnement parasismique du bâtiment pour un comportement ductile. Si l'on décide, pour ce même bâtiment, de reprendre les efforts sismiques avec des refends dimensionnés selon un comportement non ductile, il faut faire face aux conséquences suivantes :

Références SIA 262 (2003)

1. Le coefficient de comportement "q" passe de la valeur 3 (comportement ductile, classe d'acier B) à la valeur 2 (comportement non ductile, classe d'acier B)

art. 4.3.9.2.2 tab. 13

2. La réduction de la rigidité des refends à 30 % ne peut plus être justifiée par de grandes déformations plastiques et doit donc être limitée à 50 % de la rigidité effective non fissurée, ce qui provoque une diminution de la valeur de la période de vibration. 3. Ces modifications de "q" et de la période de vibration provoquent une augmentation de 93 % de la valeur spectrale du spectre de dimensionnement Sd et donc de la force horizontale de remplacement Fd. q = 2 et 50 % de EI

Sdx = Sdy = Fdx = Fdy =

0.220 0.160 16’901 kN 12’264 kN

q = 3 et 30 % de EI

0.114 0.083 8'727 kN 6'333 kN

Les efforts dans les refends sont donc également augmentés de 93 %. Pour le refend F, les valeurs de calcul deviennent : Md= 71’603 kN Vd = 5’282 kN Nd= 1'986 kN Avec ces valeurs et, en gardant les mêmes dimensions du refend, soit 7 m x 0.3 m, on obtient les armatures suivantes : ¾ armatures nécessaires dans les éléments de bords 24 Ø 34 au lieu de 12 Ø 30 !! ¾ armatures nécessaires entre les éléments de bord Ø 22 e = 15 cm au lieu de Ø 12 e = 15 cm Avec de telles armatures, les pourcentages d'armature maximaux sont très largement dépassés, sans compter les difficultés de mise en œuvre de refends aussi fortement armés ! Il serait alors nécessaire d'augmenter le nombre et la dimension des refends. Dans les régions à risque sismique comme celui du Valais (Zones Z3a et Z3b), il n'est par conséquent pas recommandé, pour ne pas dire déraisonnable de projeter des bâtiments dont les structures porteuses sont dimensionnées selon un comportement non ductile ! C. q = 4 au lieu de q = 3 A l'inverse de la remarque B ci-dessus, il est possible de réduire les efforts de dimensionnement des refends en réduisant la force horizontale de remplacement Fd. Dans ce cas, il faut procéder à un dimensionnement selon un comportement ductile mais en choisissant une classe d'acier C définie dans le tableau 14 de la norme SIA 262.

art. 4.3.9.3.5

17

Exemple de dimensionnement parasismique d’un bâtiment

Cette classe d'acier doit satisfaire aux conditions du tableau 5. La modification de la valeur q = 4 provoque une diminution de 26 % de la valeur du spectre de dimensionnement Sd et de la force horizontale de remplacement Fd.

Sdx = Sdy = Fdx = Fdy =

q = 4 et 30 % de EI

q = 3 et 30 % de EI

0.085 0.062 6'546 kN 4'750 kN

0.114 0.083 8'727 kN 6'333 kN

art. 3.2.2.3

Les efforts dans les refends sont par conséquent également réduits de 26 %. Pour le refend F, les valeurs de calcul deviennent : Md= 27’662 kN Vd = 2’041 kN Nd= 1'986 kN Avec ces valeurs et, en gardant les mêmes dimensions du refend, soit 7 m x 0.3 m, on obtient les armatures suivantes : ¾ armatures nécessaires dans les éléments de bord 10 Ø 26 au lieu de 12 Ø 30 !! ¾ armatures nécessaires entre les éléments de bord Ø 10 e = 15 cm au lieu de Ø 12 e = 15 cm La réduction des efforts permet une réduction intéressante de l’armature, 3 3 puisque la densité d'armature passe dans ce cas de 120 kg/m à 95 kg/m de béton. (Réduction des diamètres et de l’armature verticale et réduction des diamètres des armatures horizontales d’effort tranchant) D. Aptitude au service La vérification de l’aptitude au service de doit pas être effectuée car elle ne concerne que les ouvrages de la COIII selon la norme SIA 261.

art. 16.1.5

E. Mesures relatives à la conception et mesures constructives Les mesures constructives énumérées dans le tableau 27 la norme SIA 261 ont été respectées lors de la conception (voir SIA D 0171).

art. 16.4.1

18

Cours de formation continue pour ingénieurs et architectes, Sion 2003

6. Dimensionnement pour un comportement ductile du refend le plus sollicité dans le sens transversal : le refend A Diagrammes des valeurs de calcul des efforts internes:

M d [kNm]

Vd [kN]

N d [kN]

La section déterminante est située au rez-de-chaussée: Md = 26’016 kNm Vd = 1’919 kN Nd = 4’449 kN

Références SIA 262 (2003)

Caractéristiques mécaniques des matériaux (idem § 7.4)

Le dimensionnement en capacité s’effectue selon les 10 points. Contrôle préliminaire : Contrôle de l'élancement du refend : hw/lw = 18.63/5.3 = 3.52 ≥ 2 : ok

art. 4.3.9.4.1

Point 1 : choix du mécanisme plastique et de la hauteur de la rotule plastique. Hauteur de la zone plastique au pied du refend: hpl ≥ (lw, hw/6) • lw = 5.3 m; hw/6 = 18.63/6 = 3.1 m ⇒ hpl = 5.3 m •

art. 5.7.1.1

réduction de hpl si : hs ≥ hw/9 ⇒ hs = 3.84 m > 18.63/9= 2.07 m : ok hs ≥ 2 lw/3 ⇒ hs = 3.84 m > 2 · 5.3/3 = 3.54 m : ok

⇒ hpl peut être réduite à hs, soit hpl = 3.84 m

Point 2 : dimensionnement à la flexion de la rotule plastique Choix : 10 Ø30 aux extrémités et 52 Ø10 e = 15 cm comme répartition : • ρw= 0.35 % ≥ ρw,min = 0.2 % : ok • Ø30 ≤ Ø max = bw/10 = 300/10 = 30 : ok • ρe= 3.4 % ≤ ρe,max = 4. 0% : ok • ρw= 0.35 % ≤ ρw,max = 0.5 % : ok; ≥ ρw,min = 0.2% : ok • ρt= 1.10 % ~ ρt,max = 1.0 % : ok

art. 5.7.1.1

figure 11

art. 5.7.1.3 SIA D 0171, p. 166 SIA D 0171, p. 146 SIA D 0171, p. 146 SIA D 0171, p. 146

19

Exemple de dimensionnement parasismique d’un bâtiment

déformation de la section :

forces :

Tractions : • T1 = 10 · As (Ø30) · fsd = 10 · 707 · 435 · 10-3 • T2 = 2.70 · 2 · As (Ø10/e = 15) ·fsd = 2.70 · 2 · 524 · 435 · 10-3 Compressions : • Cb = -0.85 · x · bw · fcd = -0.85 · 1110 · 300 · 20 · 10-3 • Ca = -10 · As (Ø30) · fsd = -10 · 707 · 435 · 10-3

= 3'075 kN = 1’231 kN

= - 5’661 kN = - 3’075 kN ∑ = -4’430 kN ≅ Nd = -4’449 kN: ok

Moment résistant : MRd = 3'075 · 2.30 + 1’231 · 0.60 + 5’661 · 2.18 + 3’075 · 2.30 = 27’225 kNm > Md = 26’016 kN: ok

20

Cours de formation continue pour ingénieurs et architectes, Sion 2003

Moment résistant maximal 2 2 (calculé avec 1.1·fsk = 550 N/mm et fck = 30 N/mm ) :

art. 4.3.9.3.3

Tractions : • T1 = 10 · As (Ø30) · fsd = 10 · 707 · 550 · 10-3 • T2 = 3.10· 2 · As (Ø10/e = 15) · fsd = 3.10 · 2 · 524 · 550 · 10-3 Compressions : • Cb = -0.85 · x · bw · fck = -0.85 · 920 · 300 · 30 · 10-3 • Ca = -8 · As (Ø30) . fsd = -8 · 707 · 550 · 10-3

= 3'889 kN = 1’787 kN = - 7’038 kN = - 3'111 kN ∑= -4’473 kN ≅ Nd = -4’449 kN: ok

M+Rd = 3'889 · 2.30 + 1’787 · 0.40 + 7’038· 2.26 + 3’111 · 2.45 = 33’187 kNm

Point 3 : stabilité latérale de la rotule plastique. •

bw = 300 mm ≥ hs/15 = 3840/15 = 256 mm: ok

art. 5.7.1.2

Point 4 : garantie de la ductilité en courbure de la rotule plastique. La ductilité de la rotule plastique est considérée comme assurée si les dispositions suivantes sont respectées :

art. 4.3.9.3.3

•

bw = 300 mm ≥ 200 mm: ok

art. 5.7.1.2

•

lc = 700 mm ≥ 300 mm: ok

art. 5.7.1.2

•

lc = 700 mm ≥ lw/10 = 5300/10 = 530 mm: ok

art. 5.7.1.2

•

lc = 700 mm ≥ x(ε>εc1d) = 370 mm: ok

art. 5.7.1.2

Il est intéressant de comparer avec la condition x < 0.2·lw. •

[2] p. 228

x = 1.11 m ≅ 0.2·lw = 0.2·5.3 m = 1.06 m. : ~ok

Point 5 : stabilisation de l’armature verticale de la rotule plastique. •

Les éléments de bord doivent toujours être pourvus d’une armature de frettage

•

Choix pour l’armature de frettage des éléments de bord : Ø10 e = 150 mm: a) Sw ≤ 150 mm : ok b) Sw ≤ 6Øsl = 180 mm : ok c) Øw ≥ 0.35·Øsl,max = 10.5 mm : ~ok d)

ωc,min

= 0.25·(Ac/Acc)·[(-Nd/Ac · fcd) - 0.08] = 0.25·(0.7·0.3/0.62·0.3)·[(4449·103/(5300·300·20)) - 0.08]

art. 5.7.1.2

art. 5.7.2.2 art. 5.7.2.2 art. 5.7.2.2 équation (94)

= 0.25·(1.129)·[(0.140) - 0.08] = 0.017 < 0.08

⇒ ωc,min = 0.08 cette contrainte de compression normalisée (-Nd/Ac · fcd) = 14 % est plutôt élevée car en général pour les refends, cette valeur est comprise entre 3 % et 12 % malgré tout ωc,min = 0.08 est largement toujours déterminant

Asw,min = 0.08·Ac·fcd/fsd = 0.08·300·150·20/435 = 166 mm2 Asw = 156 mm2 ≅ Asw,min: ok

21

Exemple de dimensionnement parasismique d’un bâtiment

•

Entre les éléments de bord, l’armature verticale ne nécessite pas de frettage. Les dispositions suivantes doivent être respectées : e) f) g) h) i) j) k)

bw0 = 300 mm ≥ 150 mm : ok bw0 = 300 mm ≥ lw/25 = 5300/25 = 212 mm : ok bw0 = 300 mm ≥ hs/20 = 3840/20 = 192 mm : ok ρw= 0.35% ≥ ρw,min = 0.2 % : ok ρsw,min = 0.2% = 0.002·300·150 = 90 mm2 evert/trans = 150 mm ≤ emin = 250mm : ok evert/trans = 150 mm ≤ 25Ø = 250 mm : ok

art. 5.7.1.3 art. 5.7.1.3 art. 5.7.1.3 art. 5.7.1.3 art. 5.7.1.3 art. 5.7.1.3 art. 5.7.1.3

Point 6 : dimensionnement à l’effort tranchant de la rotule plastique. Facteur de majoration (surrésistance) du moment de flexion résultant des charges de remplacement: ε = M+Rd/Md = 33’187 / 27’225 = 1.22

équation (80)

Facteur de majoration dynamique dû aux modes propres d’ordre supérieur: κ = 1.5 pour n > 5 (n=nombre d’étages)

équation (81)

Valeur de calcul de l’effort tranchant majoré: V+d = ε·κ·Vd = 1.22·1.50·1’919 = 3’512 kN

équation (79)

Dimensionnement de l’armature transversale : Choix Ø 12 etrans =150 mm (Asw = 2·113 = 226 mm2 > ρsw,min = 90 mm2)

point 5-i

Armature transversale dans la rotule plastique:

Choix de l’inclinaison des bielles de compression α = 35°

22

art. 4.3.3.3.2

Cours de formation continue pour ingénieurs et architectes, Sion 2003

Résistance à l’effort tranchant : VRd,s = Asw/s ·z ·fsd ·cotα = 226/150 ·0.8 ·5.3 ·435 ·cot35° = 3’969 kN > V+d = 3'512 kN: ok Contrôle des bielles de compression : kc = 0.4 VRd,c = bw·z·kc·fcd·sinα·cosα = = 300·0.8·5.3·0.4·20·sin35°·cos35° = 4’781 kN > Vd+ = 3'512 kN : ok

art. 4.3.3.4.3

art. 4.2.1.7 figure 12 art. 4.3.3.4.5

Point 7 : dimensionnement à la flexion de la partie élastique. Dimensionnement conventionnel en tenant compte des valeurs de calcul des moments de flexion selon l’enveloppe ci-dessous :

Point 8 : dimensionnement à l’effort tranchant de la partie élastique. Valeur de calcul de l’effort tranchant majoré juste au-dessus de la rotule (surrésistance et modes supérieurs): V+d = ε·κ·Vd = 1.22·1.50·1’805 = 3’303 kN

équation (79)

Choix de l’inclinaison des bielles de compression α = 30°

art. 4.3.3.3.2

Armature minimale en choisissant un écartement des étriers s = 150 mm:

ρmin = 0.2 %

⇒ Asw,min = 0.2 % · 150 · 300 = 90 mm2

Choix: ø10, s = 150 mm

⇒ Asw = 2·78 = 156 mm2 > Asw,min : ok

Résistance à l’effort tranchant : VRd,s = Asw/s ·z ·fsd ·cotα = 156/150 ·0.8 ·5.3 ·435 ·cot30° = 3’322 kN > V+d = 3’303 kN: ok Contrôle des bielles de compression : kc = 0.6 VRd,c = bw·z·kc·fcd·sinα·cosα = 300·0.8·5.3·0.6·20·sin30°·cos30° = 6’609 kN > Vd+ = 3'303 kN : ok

art. 5.5.2.2

art. 4.3.3.4.3

art. 4.2.1.7 figure 12 art. 4.3.3.4.5

23

Exemple de dimensionnement parasismique d’un bâtiment

Point 9 : stabilisation de l’armature longitudinale de la partie élastique. Etant donné que le principe de base du dimensionnement en capacité consiste à garantir le maintien de cette partie du refend dans l’état élastique, seules les barres d’angle doivent être formellement stabilisées. On peut cependant recommander d’adopter les règles de stabilisation pour les prolongements (zones de forte armature) des éléments de bord de la rotule plastique. er

art. 5.5.4 et 5.5.4.6

ème

du 1 au 2 étage Pour les 6 barres Ø 30 d'extrémité : stabilisation assurée par un étrier de e bord qui stabilise les barres d’angle et celles de la 3 rangée intérieure.

Espacements maximaux : a) s = 150 mm < 15 Ø min = 450 mm : ok b) s = 150 mm < amin = 300 mm : ok c) s = 150 mm < 300 mm : ok Compte tenu des équations a), b) et c) ci-dessus, l'espacement maximal des barres de stabilisation pourrait être de 300 mm. Pour des raisons constructives, le choix de l'espacement de 150 mm est conservé. ème

ème

du 2 étage au 3 étage Pour les 4 barres Ø 30 d'extrémité : stabilisation assurée par les barres horizontales d'effort tranchant qui stabilisent les barres d'angle. ème

du 3 étage à l'attique Pour les 2 barres Ø 30 d'extrémité : stabilisation assurée par les étriers de l’armature d’effort tranchant qui stabilisent les barres d’angle.

Point 10 : contrôle des fondations. Pour le contrôle des fondations, il faut tenir compte des valeurs de calcul + + majorées (surrésistance et modes propres d’ordre supérieur) M Rd et V d pour garantir qu’elles ne subiront pas de plastification lors des sollicitations sismiques.

24

art. 5.5.4.7 art. 5.5.4.7 art. 5.5.4.7

Cours de formation continue pour ingénieurs et architectes, Sion 2003

Annexe : répartition des forces horizontales de chaque étage dans les 8 refends Pour tenir compte de l’effet de la torsion, il faut tout d’abord déterminer la position du centre de masse M et la position du centre de rigidité S. Ensuite il faut calculer l’excentricité effective « e » entre le centre de masse M et le centre de rigidité S. L’excentricité à prendre en compte pour le calcul des effets de la torsion est définie dans la norme SIA 261.

Références SIA 261 (2003)

art. 16.5.2.7

Position du centre de masse M : Dimensions du bâtiment :

XM =

YM =

longueur Lx = 59.5 m largeur Ly = 17.6 m

(59.5 ⋅ 13.5) ⋅ 59.5 + (53.2 ⋅ 4.1) ⋅  3.7 + 53.2  2



(59.5 ⋅ 13.5) + (53.2 ⋅ 4.1)

2  = 29.87 m

(59.5 ⋅ 13.5) ⋅  13.5 + 4.1 + (53.2 ⋅ 4.1) ⋅ 4.1  2



(59.5 ⋅ 13.5) + (53.2 ⋅ 4.1)

2 = 8.97 m

Position du centre de rigidité S : Refends sens y : transversal 4 A : 5.3 x 0.3 m ⇒ Ix = 3.72 m 4 B : 5.3 x 0.3 m ⇒ Ix = 3.72 m 4 C : 5.3 x 0.3 m ⇒ Ix = 3.72 m 4 C': 5.3 x 0.3 m ⇒ Ix = 3.72 m 4 ∑Ix =14.89 m

Refends sens x : longitudinal 4 D : 6.4 x 0.3 m ⇒ Iy = 6.55 m 4 E : 6.2 x 0.3 m ⇒ Iy = 5.96 m 4 F : 7.0 x 0.3 m ⇒ Iy = 8.58 m 4 G : 6.6 x 0.3 m ⇒ Iy = 7.19 m 4 ∑Iy =28.27 m

Xs = 3.72 ⋅ 7 + 3.72 ⋅ 22.25 + 3.72 ⋅ 47.40 + 3.72 ⋅ 44.40 = 30.26 m 14.89 Ys= 6.55 ⋅ 17.45 + 5.95 ⋅ 17.45 + 8.58 ⋅ 0.15 + 7.19 ⋅ 4.15 = 8.82 m 28.27

D A

E B

C

C’

G

F

25

Exemple de dimensionnement parasismique d’un bâtiment

Excentricités ex = Xm – Xs = - 0.395 m ey = Ym – Ys = 0.150 m L'excentricité pour le dimensionnement et la prise en compte des effets de la torsion est définie dans la norme SIA 261 :

art. 16.5.2.7

selon le sens longitudinal X : b = Ly = 17.60 m edy, sup = 1.5ey + 0.05b = 1.5 ⋅ 0.15 + 0.05 ⋅ 17.60 m = 1.1 m edy, inf = 0.5ey - 0.05b = 0.5 ⋅ 0.15 - 0.05 ⋅ 17.60 m = - 0.81 m selon le sens transversal Y : b = Lx = 59.50 m edx, sup = 1.5ex + 0.05b = 1.5 ⋅ 0.395 + 0.05 ⋅ 59.50 m = 3.57 m edx, inf = 0.5ex - 0.05b = 0.5 ⋅ 0.395 - 0.05 ⋅ 59.50 m = - 2.78 m Remarques Quelle que soit la valeur de l'excentricité du centre de masse M par rapport au centre de rigidité S, les effets de la torsion doivent être obligatoirement pris en compte, conformément à la norme SIA 261. Cette obligation est nouvelle par la rapport à la norme SIA 160 car dans le cas de notre exemple, comme :

art. 16.5.2.7 SIA 160 art. 4.19.510

ex = 0.395 m < 0.1 · bx = 0.1 · 59.50 = 5.95 ey = 0.150 m < 0.1 · by = 0.1 · 17.60 = 1.76

⇒ la torsion ne devait pas être prise en considération La répartition des forces horizontales Fdi, s'effectue en déterminant :

x

et Fdi,

y

dans chaque refend [2] § 6.3

1° La part de translation S': La distribution de la force Fdi se fait au prorata des rigidités de chaque refend, soit : dans le sens x :

S'x =

dans le sens y :

S'y =

I y ,i ΣI y

I x ,i ΣI x

⋅ Fdi , x

Iy,i et Ix,i

=

moment d'inertie de chaque refend dans le sens x respectivement y

⋅ Fdi , y

∑Iy ou ∑Ix

=

Fdi,x et Fdi,y

=

somme des moments d'inertie de tous les refends dans le sens x respectivement y force horizontale de remplacement dans le sens x respectivement y

2° La part de rotation S'' : L'excentricité entre le centre de masse M et le centre de rigidité S provoque un moment de torsion dans le bâtiment qui sollicite les refends dans les deux directions x et y : répartition dans les refends longitudinaux selon x : S''x =

(

− I y ,i ⋅ y i 2

Σ I x ,i ⋅ x i + I y ,i ⋅ y i

2

)⋅ e ⋅ F d

di,x

ed

ed ⋅ Fdi

26

=

=

excentricité entre le centre de rigidité S et le centre de masse M à considérer dans les direction x et y moment de torsion à considérer dans les deux directions x et y

Cours de formation continue pour ingénieurs et architectes, Sion 2003

répartition dans les refends transversaux selon y :

S''y =

− I x ,i ⋅ x i

(

2

Σ I x ,i ⋅ x i + I y ,i ⋅ y i

2

)⋅ e ⋅ F d

di

N.B. : pour les deux directions x et y, le calcul des coefficients de répartition dans les refends doit être effectué en tenant compte des deux valeurs de l'excentricité selon SIA 261, soit :

art. 16.5.2.7

ed,sup = 1.5 ⋅ ed + 0.05 ⋅ b ed,inf = 0.5 ⋅ ed - 0.05 ⋅ b Il est recommandé de déterminer le sens des parts de rotation par rapport à celles de translation physiquement à l’aide d’un schéma plutôt que sur la base d’une utilisation stricte des signes. indication, l’inertie en torsion vaut :

(

2

Σ I x ,i ⋅ x i + I y ,i ⋅ y i

2

) = 5823 m

6

Calcul des coefficients de répartition S' et S'' Force agissant dans le sens longitudinal x : Refend A B C C' D E F G

part translation S'

part rotation S'' avec edy,inf = - 0.81 m.

0 0 0 0 0.232 0.211 0.303 0.254

- 0.012 - 0.004 + 0.009 + 0.007 - 0.008 - 0.007 + 0.010 + 0.005

part rotation S'' avec edy, sup = 1.10 m. + 0.016 + 0.006 - 0.012 - 0.010 + 0.011 + 0.010 - 0.014 - 0.006

C'est avec la valeur edy,sup = 1.10 m. que l'on obtient les coefficients de répartition déterminants (S' + S'') pour les refends transversaux A, B, C, et C' et longitudinaux D et E : Refend A B C C' D E

Σ translation + rotation S' + S'' 0.016 0.006 0.012 0.010 0.243 0.221

et c'est avec la valeur edy,inf = - 0.81 m. que l'on obtient les coefficients de répartition déterminants pour les refends longitudinaux F et G : Refend F G

Σ translation + rotation S' + S'' 0.313 0.259

27

Exemple de dimensionnement parasismique d’un bâtiment

Force agissant dans le sens transversal y : Refend A B C C' D E F G

part translation S'

part rotation S'' avec edx,inf = - 2.78 m.

0.250 0.250 0.250 0.250 0 0 0 0

- 0.041 - 0.014 0.030 0.025 - 0.027 - 0.025 0.035 0.016

part rotation S'' avec edx, sup = 3.57 m. + 0.053 + 0.018 - 0.039 - 0.032 + 0.035 + 0.031 - 0.046 - 0.021

Dans la direction transversale y les coefficients de répartition déterminants (S' + S'') s'obtiennent avec edx,inf = - 2.78 m. pour les refends Refend C C'

Σ translation + rotation S' + S'' 0.280 0.275

et avec la valeur edx,sup = 3.57 m. pour les refends Refend A B D E F G

Σ translation + rotation S' + S'' 0.303 0.268 0.035 0.031 0.046 0.021

Bien que l'excentricité entre M et S soit faible dans cet exemple, les effets dus à la torsion sont bien visibles dans la répartition des forces horizontales et par conséquent dans la répartition des efforts dans les refends. C'est pourquoi, il est judicieux de bien planifier dès l'étude de l'avant-projet d'un bâtiment, la position et la dimension des refends afin de limiter l'excentricité entre le centre de masse M et le centre de rigidité S. N.B. : même si, contrairement à la norme SIA 160, la norme SIA 261 ne le précise pas expressément, les sollicitations engendrées par l’action sismique dans les directions principales ne doivent pas être superposées.

28

SIA 160 art. 4.19.503