EXEMEN de MN Resuelto a Mano

EXEMEN DE METODOS NUMERICOS Unidad 2

Nombre_______________________________________________ Semestre: ______________ Grupo: ____________________________ Fecha: _____________________________________

1: Determine las raíces reales de f(x) = -25182x – 90x2 + 44x3 – 8x4 + 0.7x5 •

Gráficamente.

•

Usando el método de bisección para localizar la raíz más grande con E s = 10%. Utilice como valores iniciales xi = 0.5 y xs = 1.0.

•

Realice el mismo calculo en b), pero con el método de la falsa posición y E s = 0.2%.

2: Determine la raíz real más grande de: f(x) = 2x3 – 11.7x2 + 17.7x – 5 •

En forma grafica.

•

Con el método de iteración simple de punto fijo (tres iteraciones, x 0 = 3). Nota: Asegúrese de haber desarrollado una solución que converja a la raíz.

•

Con el método de Newton – Raphson (tres iteraciones, x0 = 3, δ = 0.001).

•

Con el método de la secante (tres iteraciones, x -1 = 3, x0 = 4).

•

Solución: 1: Determine las raíces reales de f(x) = -25182x – 90x2 + 44x3 – 8x4 + 0.7x5 •

Gráficamente.

−10.72841976 •

Usando el método de bisección para localizar la raíz más grande con Es = 10%. Utilice como valores iniciales xi = 0.5 y xs = 1.0.

ITERACCION 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

X1 0.5 0.75 0.875 0.9375 0.96875 0.984375 0.9921875 0.99609375 0.99804688 0.99902344 0.99951172 0.99975586 0.99987793 0.99993896 0.99996948 0.99998474 0.99999237 0.99999619 0.99999809 0.99999905

X2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

XMEDIO 0.75 0.875 0.9375 0.96875 0.984375 0.9921875 0.99609375 0.99804688 0.99902344 0.99951172 0.99975586 0.99987793 0.99993896 0.99996948 0.99998474 0.99999237 0.99999619 0.99999809 0.99999905 0.99999952

F(X1) -12608.4781 -18920.9276 -22078.0101 -23656.6446 -24445.9715 -24840.6358 -25037.9679 -25136.634 -25185.967 -25210.6335 -25222.9667 -25229.1334 -25232.2167 -25233.7583 -25234.5292 -25234.9146 -25235.1073 -25235.2036 -25235.2518 -25235.2759

F(XMEDIO) -18920.9276 -22078.0101 -23656.6446 -24445.9715 -24840.6358 -25037.9679 -25136.634 -25185.967 -25210.6335 -25222.9667 -25229.1334 -25232.2167 -25233.7583 -25234.5292 -25234.9146 -25235.1073 -25235.2036 -25235.2518 -25235.2759 -25235.288

F(X) 238564102 417736432 522291637 578309658 607253474 621959041 629370235 633090433 634954183 635886970 636353592 636586960 636703658 636762011 636791188 636805777 636813072 636816719 636818542 636819454

ERROR 0 14.2857143 6.66666667 3.22580645 1.58730159 0.78740157 0.39215686 0.19569472 0.09775171 0.04885198 0.02442002 0.01220852 0.00610389 0.00305185 0.0015259 0.00076295 0.00038147 0.00019074 9.5368E-05 4.7684E-05

Observe que el método no converge y por ende la raíz no es encontrada, debido a que el intervalo (0.5 , 1 ) no contiene cambio de signo para la función .

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Realice el mismo calculo en b), pero con el método de la falsa posición y E s = 0.2%.

ITER

X1

X2

1 2 3 4 5 6 7 8

0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5

1 0.00072638 0.50056496 0.8893283 1.19169979 1.42687762 1.6097937 1.75206177

F(X1) 12608.4781 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4

F(X2)

Xr

%ER

-25235.3 1238.62034 1.39796843 0.61199973 0.35522376 0.23074786 0.15907785 0.11368052

0.00072638 0.50056496 0.8893283 1.19169979 1.42687762 1.6097937 1.75206177 1.86271471

99.8548879 43.7142661 25.3731258 16.4819899 11.3627035 8.12003715 5.94041267

De nueva cuenta no hay convergencia debido a que f(xo) y f(xs) no se encuentran en cambio de signo.

Problema 2 Determine la raíz real más grande de: f(x) = 2x3 – 11.7x2 + 17.7x – 5 •

En forma grafica.

La raíz más grande es 3.56316082

•

Con el método de iteración simple de punto fijo (tres iteraciones, x 0 = 3). Nota: Asegúrese de haber desarrollado una solución que converja a la raíz.

Al despejar la función se tiene una relación de la forma :

La gráfica de estas dos relaciones se muestra a continuación y se asegura la convergencia a partir de aquí:

En este caso nos damos cuenta que debemos de empezar a iterar a partir de 3. iteración 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

xi 3 3.333959168 3.506329986 3.552707191 3.561396032 3.562867726 3.563112282 3.563152789 3.563159495 3.563160605 3.563160788 3.563160819 3.563160824 3.563160825 3.563160825

yi 3.18079096 3.442543247 3.538293714 3.558848119 3.562441114 3.56304153 3.563141074 3.563157555 3.563160284 3.563160735 3.56316081 3.563160822 3.563160824 3.563160825 3.563160825

e(%) 50.00 66.70 75.32 77.64 78.07 78.14 78.16 78.16 78.16 78.16 78.16 78.16 78.16 78.16 78.16

e*(%) 10.02 4.92 1.31 0.24 0.04 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

En la tabla adjunta vemos que se encuentra a partir de la iteración 3 , la solución ya que el error de tipo relativo porcentual (4.92) se hace más y más pequeño , nuestra mejor aproximación a la raíz real 3.56316082 es 3.538293714 , señalado de amarillo en la tabla adjunta.

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Con el método de Newton – Raphson (tres iteraciones, x0 = 3, δ = 0.001).

ITERACION

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

(FX) 3 5.13333333 4.26975006 3.79293448 3.59981929 3.56433803 3.5631621 3.56316082 3.56316082 3.56316082 3.56316082 3.56316082 3.56316082 3.56316082 3.56316082 3.56316082 3.56316082 3.56316082 3.56316082 3.56316082 3.56316082

F'(X) -3.2 48.0900741 12.9562436 2.94760312 0.39797274 0.0123726 1.3391E-05 1.576E-11 -2.1316E-14 1.4211E-14 -2.1316E-14 1.4211E-14 7.1054E-15 -2.1316E-14 1.4211E-14 7.1054E-15 -2.1316E-14 1.4211E-14 7.1054E-15 -2.1316E-14 1.4211E-14

MENOR A TOL 1.5 55.6866667 27.1724419 15.263445 11.2164221 10.5215237 10.4987518 10.4987271 10.4987271 10.4987271 10.4987271 10.4987271 10.4987271 10.4987271 10.4987271 10.4987271 10.4987271 10.4987271 10.4987271 10.4987271 10.4987271

TODAVIA NO TODAVIA NO TODAVIA NO TODAVIA NO TODAVIA NO TODAVIA NO SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION

En la tabla anterior se observa que el método converge en la solución : 3.56316082 y la solución real es 3.56316082.

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Con el método de la secante (tres iteraciones, x -1 = 3, x0 = 4).

iteración X0 X1 f(X0) f(X1) X2 f(X2) e(%) 1 3 4 -3.2 6.6 3.32653061 -1.96885311 16.84 2 4 3.32653061 6.6 -1.96885311 3.48127271 -0.79591532 4.65 3 3.32653061 3.48127271 -1.96885311 -0.79591532 3.58627538 0.24786946 3.02

En las iteraciones observamos que 3.58627538 es la más aproximada a la real 3.56316082.

Lo obtenemos realizando la iteración en celdas: C7-(E7*(B7-C7))/(D7-E7)

e*(%) 4.44 2.93