Excelencia 2013 - I. Aritmetica - 01 - Razones

ACADEMI AC ADEMI A PRE UNIVERSIT UNIVERSIT ARIA “VESALIUS”

EXCELENCIA 2013 – I

www.mathandarte.blogspot.com

PROFESOR: Erick Vásquez Llanos Llanos

ASIGNATURA:

FECHA: 16 – 01 –  2013

Nº 01- Raz Razones ones y Pr Pr opor c iones 1. PROPORCIÓN : Dado 4 cantidades, si el valor de la razón

 Series de Razones Geométricas Equivalentes E quivalentes

de los 2 primeros es igual al valor de la razón de las otras dos; entonces dichas 4 cantidades forman una proporción.

a

a

1



b

1° Proporción Aritmética



b

1

Proviene de la igualdad de 2 razones aritméticas de un mismo valor. Si : a - b = r y c – d = r

a

2

3

 .... 

b

2

an



bn

3

K 

Donde : a1, a2, a3 .....an  Antecedentes b1, b2, b3 .....bn  Consecuentes

 a – b = c–d  Proporción aritmética

 Propiedades :

Clases de Proporción Aritmética a  a  a  ....  a 1 2 3 n  K  b1  b2  b3  ....  b n

1) a)

 P. Aritmética continua : Es aquella en la cual los términos medios son iguales.

a .a

. a . .... . a n n 3  K  b . b . b . .... . b n 1 2 3 1

2)

a –b = b – c

2

3) m 1

b)

4)

Denominada también también  P. Aritmética Discontinua : Denominada

m 1





m 2

b

a1m

a –b = c– d



b

a

m

1.

 P. Geométrica Continua: Aquella en la cual los

Si

 A a

 E  

2

a 3



 B b



C  c

 II)  III)



a b

 ....  a



m

K 

 xyz   xC    Az  



 ABC   

 es:  

 xz

 2.

a) 5

b) 6

d) 9

d) 12

c  d 

b



k   1

c 

c  d  c  d 

k  

c) 8

En la siguiente serie de razones equivalentes

 k 

a a b

m

a

b  d  ab

b

el valor de

 Propiedades  Propiedades ac

K 

[UN [U NT – 10 – II II]]

 P. Geométrica Discontinua: Es aquella en la cual los 4 términos de la proporción son diferentes entre sí. a c  a . d   b . c b d 

 I)

m n

m



Tarea domiciliaria

términos medios son iguales. a b 2  a .c  b b c

b)

m 3



Proporción Geométrica

d 

Clases de Proporción Geométrica a)

....



b

 2° Proporción Geométrica c

a

m n m m m m b1  b2  b3  ....  bn



a

m n

a

a

b

discreta. Es aquella en la cual los 4 términos de la proporción son diferentes.

m 3

m 2

a

se cumple que



c



d 

e



 f 

g h

ad + fg = 49.

Hallar el valor de:

k   1

CEPU PUNT NT 200 2007 7 – II] [CE

k   1

F=

abcd   acfh  b deg  efgh

a) 7

b) 14

d) 24,5

e) 7

c) 49

3.

Si

a

c



b



d 

Halle

e

 k 2 y bde 

 f 

 R 2

(R > 0)

k 2

a) 18

b) 16

d) 11

e) 10

acf 

a) 1

b)

c)

 R

k 

9.

 R

k 

Si

a b



b c



c d 



d  e

e) R

d) k

, entonces la razón:

(ab  bc  cd   de)2 b

4.

c) 15

Dada la siguiente serie de razones iguales :

27

b



a

70

15



14

b) 143

d) 1 3 4

e) 1 6 2

2



e

2

b) a2 + b2 +c2 + d2

c) a2 – b2 +c2 – d2

d) ab – bc + cd – de

c) 146

10. En

una proporción geométrica discreta de términos extremos vale 22 y los

términos medios son números consecutivos. Si la

Sabiendo que:

 N 

2

a) a – b +c – d

enteros, la suma de los

5.

d 

e) a2 – c2 +b2 – d2

 Además : b - d =24 . Hallar a+b+c+d a) 126

c

es igual a:

d



c

2



448

O

 R



 N 



 M 

O

 A



 R



 M 

7

 A

razón es entera, determinar el valor de la suma de los

.

consecuentes más la razón

Calcular : N + O + R + M + A. a) 433

b) 434

d) 3 3 4

e) 343

c) 500

11.

a) 1 4

b) 15

d) 20

e) 10

c) 16

Halle la suma de los términos de una proporción cuyos términos están en forma decreciente, en el cual

6.

se cumple que la diferencia de los o términos

Dada la siguiente serie: 3

27  a

3

3



125  b

39

3

3



343  c

65

3

91

extremos es 5 y la diferencia de los medios es 2 a) 18

b) 20

c) 21

calcula calcular: r: “b” si c – a = 20

d) 24

e) 25

[UNT – 10 - II II]]

a) 20

b) 25

d) 30

e) 3 2

c) 28

12. En una serie de tres razones geométricas consecutivas equivalentes, el primer antecedente es al último

7.

En la siguiente serie de razones equivalentes: 3

a b

182

3



2

a b

2



25

2

a b

7

2



ab 12

calcular a y b (en este orden) a) 4 y 6

b) 3 y 4

d) 8 y 6

e) 4 y 3

c) 8 y 6

consecuente como 8 es a 1. Si la suma de antecedentes excede a la suma de consecuentes en 21, halle el primer consecuente a) 10

b) 12

d) 16

e) 18

c) 14

13. En una proporción geométrica de términos enteros la suma de antecedentes es 65 y la diferencia de

8.

Si la media geométrica de dos números enteros es

10 6 y su media armónica y media aritmética son

consecuentes es 3. Halle el mayor término, su el valor de la razón no es un número entero y es lo mayor posible.

dos números números consecutivos, consecutivos, entonces entonces la diferencia diferencia de los números es: [UNT – 10 – I]

Con onam amat – 20 2004 04– – Fin Final al

a) 39

b) 35

d) 30

e) 28

c) 26

14.

La crítica especializ especializada ada a determinado determinado que existe

18.

Una persona quiere pasar por la aduana 68 cajas de

una posibilidad contra 3 de que Cesar Vallejo le gane

cigarrillos y como no tiene dinero decide pagar con 8

a Carlos A. Manucci. Si las posibilidades de que

de estas y recibe de vuelto 60 soles; más si solo

Manucci le gane a Alfonso Ugarte están en la relación

pagara con 4, tendría que adicionar 276soles.

de 5 a 2, la posibilidad que Cesar Vallejo le gane a

¿Cuánto cuesta la caja de cigarrillos?

 Alfonso Ugarte es:

a) S/. 75 [CEPU [CE PUNT NT 200 2008 8 – II]

a) 2 contra 3

b) 3 contra 4

c) 4 contra 5

d) 5 contra 6

b) S/. 84

d) S/. 100

19.

e) 6 contra 7

c) S/. 90

e) S/. 120

Se enciende tres cirios de igual material y diámetro, cuyas longitudes están en progresión aritmética de 18 cm. Después de cierto tiempo, sus

15. En una fiesta la cantidad de varones y la cantidad de

longitudes son entre sí como 3, 2 y 1; y 10 minutos,

mujeres están en la relación de 2 a 3. Los varones

después de consume el más pequeño. ¿Cuál será la

que bailan son son la tercera tercera parte de los varones varones que no

longitud del más grande, si el segundo empleo 1 hora

bailan. Calcula cuántas parejas llegaron al cabo de 1

en consumirse totalmente?

hora, si al inicio las mujeres que no bailan son 35 y al

a) 96 9 6 cm

final la relación relación de las cantidades cantidades de varones varones y

d) 144 cm

b) 108 cm

c) 126 cm

e) 162 cm

mujeres es de 18 a 28 respectivamente. Con onam amat – 20 2004 04– – Fin Final al

a) 8

b) 10

d) 14

e) 16

 20.

c) 13

.

En una fábrica fábrica hasta hasta el el día día 20 la prod producci ucción ón fue

DP a los días transcurridos donde se tenía 1200 unidades, luego la producción fue I.P. a los

días

transcurridos hasta cierto día, de allí en adelante fue

16.

Un escuadrón de aviones y otro de barcos se

nuevamente D.P. a los días transcurridos hasta el día

dirigen a una isla. Durante el viaje, uno de los pilotos

60 en el cual se tenían 1600

observa que el número de aviones que él ve es al

unidades se han producido el día 8 y cuál es la menor

número de

producción después del día 20?

barcos como 1 es a 2. Uno de los

unidades. ¿Cuántas

marineros marineros observa que que el número de barcos que él ve

a) 480 y 800

b) 490 y 900

es al número de aviones como 3 es a 2. ¿Cuántas

d) 600 y 700

e) 480 y 720

c) 500 y 800

naves son?

a) 16

b) 18

d) 24

e) 3 0

c) 20

 21.

Se vende una joya en determinada condición de proporcionalidad, para un peso de 13 gramos su precio es de 1859, y si el peso fuera de 17 gramos su

17. En un circo, cierto día asistieron 430 personas; además, se observó que cada varón adulto

precio ascendería a 3179 soles. Calcule el precio si la  joya pesa 20 gramos.

ingresaban con 2 niños y cada mujer adulta ingresaba

a) 4 000

b) 4 100

con 3 niños y que al final, la relación entre la cantidad

d) 4 400

e) 5 500

de varones adultos y mujeres fue de 5 a 7. Si el costo de la entrada fue de S/. 5 para pa ra niños y S/. 10 para adultos, calcule la recaudación de ese día. a) S/ . 2 2 5 0

b) S/. 2 500

d) S / . 3 0 0 0

e) S/. 3 200

c) S/. 2 750

c) 4 200

Tarea domiciliaria

7.

Tres números a, b y c tienen una media aritmética de 3

14 y una media geométrica igual a 1.

Sabiendo que:  A  B  C   a

b

2

E

=

 A   B  C   18

 x

a2 2

a  b  c  27  A

b2

  B

2

 

c2

 27

2

C 

 12

 x

 A3 a

3

  B 

b

3

3

 

C 3

c

3

 40

es:

8.

3 es a 4. El tercer número es [UNT – 09 – II [UN II]] c) 900

b) 700

e) 800

2



5



9.

a) 18

b) 20

d) 27

e) 35

En una serie de tres razones geométricas equivalentes se sabe que el tercer y sexto término están en la

( x  3)( x  3) 11

¿cuál es el cuarto término de la serie, si la suma de

 k 

los consecuentes es 65?

b) 30

a) 24 [UNT – 09 – I] c) 15

b) 14

c) 16 d) 2

e) 18

e) 33

10. En 4.

c) 22

que la unidad y el segundo de los términos es 20,

El valor valor de (x (x + a)(b a)(b – k) es: es: a) 8 d) 30

En una proporción geométrica discreta de razón

relación de 6 a 5. Si la razón de dicha serie es menor

De la expresión ab

e) 1 0

de dicha proporción?

La suma de tres números es 1880, el primero es al

 x

d) 8

c) 7

términos términos es 425. ¿Cuál es la suma suma de los términos términos

segundo como 4 es a 5; el segundo es al tercero como

3.

b) 5

entera, se cumple que la suma de los cuadrados de sus

e) 8/9

a) 500 d) 600

a) 3

[UN [U NT – 11 – II II]]

 135

[UNT – 09 – II [UN II]] c) 5/9

b) 4/9

a) 2/9 d) 7/9

 2.



Si

ac=105, el menor de dichos números es:

, entonces el valor de:

3

c

1680 .

Los volúmenes de agua de tres recipientes están en la propo proporc rción ión de 2; 5 y 4. S Sii se vier vierte te una una can canti tida dad d “ x ” del primero al segundo y otra cantidad “ y” del segundo segundo al terc tercero; ero; sabiendo sabiendo que que y – x = 3 litros, litros, la nueva proporción de los volúmenes es de 3; 9 y 10. La capacidad inicial del primero recipiente en litros, es: [UNT – 09 – I] a) 10 c) 15 b) 12 d) 20 e) 24

una

proporción

geométrica

continua

de

términos términos enteros positivos positivos y de razón menor menor que 1, la diferencia de los términos extremos es 7 y la diferencia de los cuadrados de los dos últimos términos términos es 112. Calcule

la

suma

de

cifras

de

la

media

proporcional.

a) 3

b) 7

d) 6

e) 10

11. En

c) 9

una proporción aritmética, si a la cuarta

diferencial se le disminuye 3 unidades, se forma una

5.

La media aritmética de 3 números es 7. La media geométrica es igual a uno de ellos y su media armónica es 36/7. El mayor de los números es: [UN [U NT – 10 – II II]]

6.

c) 12

a) 6

b) 9

d) 15

e) 1 8

El promedio armónico de promedio geométrico de

a,

a

a,

su

b) 16

e) 20

unidad unidades. es.

Calcula Calcula la suma suma de de antec anteceden edentes tes de la

proporción aritmética original, si la suma de sus dos a) 35

b) 56

d) 52

e) 60

12. Si

a b



b c

 k 

y

ab 

ac

c) 42

= 320.

Hallar (a + b + c) si a, b, c y k son naturales y

promedio aritmético es: a) 15 d) 19

tercer término de la proporción se le sumara 4

últimos términos es 59.

b y 5 es 270/43. Si el

y b es el triple de

proporción geométrica. Lo mismo sucedería si al

[UNT – 11 – I] c) 17

distintos entre si.

b) 1092

a) 1090 d) 2 1 0 2

e) 318

c) 2100