JOSÉ GERARDO CARDONA T. Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad Tecnológica de Pereira, Magister y Especialización en Instrumentación Física, Maestría en Investigación operativa y estadística. Ha sido docente en la Universidad Católica Popular de Risaralda y Universidad Libre de Colombia (Pereira); actualmente docente en pregrado y maestría en la Universidad Tecnológica de Pereira. Autor de: Matemáticas básicas para la salud (Pereira, 2006), además de una numerosa producción de artículos investigativos publicados en la Academia.
LUZ MARÍA ROJAS DUQUE Licenciada en Matemáticas y Física de la Universidad Tecnológica de Pereira, Especialista en Informática Educativa, Universidad Cooperativa de Colombia y Pedagogía en docencia universitaria, Universidad La Gran Colombia; Magister en Maestría en matemáticas, Universidad Tecnológica de Pereira. Docente de varias universidades, actualmente en pregrado y especialización de la Fundación Universitaria del Área Andina. Autora de: Matemáticas básicas para la salud (Postergraph, Pereira, 2006); creación de software y artículos investigativos.
FERNANDO MESA Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad Tecnológica de Pereira, Especialista en Docencia Universitaria, Universidad Cooperativa de Colombia y Magister en Maestría en Instrumentación Física, Universidad Tecnológica de Pereira. Docente de las Universidades Tecnológica de Pereira y Cooperativa de Colombia Pereira. Autor de: Ecuaciones diferenciales, un enfoque modelado, Introducción a la teoría de las funciones de variable compleja, (2007); Álgebra lineal con aplicaciones, (2006) con Postergraph, Pereira; y Estadística inferencial aplicada al medio ambiente (Publicaciones Universidad Cooperativa, 1998). Desarrollo de programas software y autor de numerosos artículos publicados en periódicos.
Cardona, José Gerardo Excel : aplicaciones en álgebra, estadística, probabilidad y física / José Gerardo Cardona, Luz María Rojas, Fernando Mesa. -- Bogotá : Ecoe Ediciones, 2008. 134 p. : il. ; 24 cm. ISBN 978-958-648-568-5 1. Excel (Programa para computador) 2. Álgebra - Enseñanza con ayuda de computadores 3. Estadística - Enseñanza con ayuda de computadores 4. Física - Enseñanza con ayuda de computadores I. Rojas, Luz María II. Mesa, Fernando III. Tít. 005.3 cd 21 ed. A1187195 CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango
Colección: ciencias exactas Área: educación - matemáticas Primera edición: Bogotá, D.C., octubre de 2008 ISBN: 978-958-648-568-5 ©
Jose Gerardo Cardona Luz María Rojas Fernando Mesa E-mail:
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Ecoe Ediciones E-mail:
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Coordinación editorial: Adriana Gutiérrez M. Autoedición: Magda Rocío Barrero Carátula: Magda Rocío Barrero Fotolito: Imagen Gráfica Ltda. Impresión: Alternativa Gráfica Carrera 64A No. 4B-73 Impreso y hecho en Colombia
“Cuando por los años no puedas correr, trota. Cuando no puedas trotar, camina. Cuando no puedas caminar, usa el bastón. ¡Pero nunca te detengas!" Madre Teresa
Dedicado a: A mi esposa Lina y mis hijos Tatiana y Santiago Nuestros padres:
Ariel Cardona y Carmen Toro de C Myriam Duque y Octavio Rojas
Nuestras hijas:
María Alejandra Cardona R. y Laura Catalina Cardona R.
Contenido CAPÍTULO I ALGEBRA Y CÁLCULO ................................................. 1. ALGO DE ARITMÉTICA........................................................................ Fracciones aritméticas .............................................................................. Cálculos con funciones ............................................................................. Cálculo del máximo común divisor y mínimo común múltiplo ............... 1.1 Aplicaciones en álgebra y funciones ........................................................ Gráficos en Excel ...................................................................................... Solución de cualquier ecuación de primer grado...................................... Solución de la ecuación cuadrática ........................................................... Solución de ecuaciones simultáneamente graficamente ........................... 1.2 Solución de un sistema de ecuaciones con más de tres variables ............. Modelo de programación lineal ................................................................ Cálculo de matrices y determinantes ........................................................ 1.3 Operaciones con matrices ......................................................................... Suma ......................................................................................................... Multiplicación por un escalar .................................................................. Multiplicación de matrices ....................................................................... 1.4 Determinantes ........................................................................................... 1.5 Matriz inversa ........................................................................................... 1.6 Solucion de un sistema de ecuaciones mediante la regla de Cramer........ 1.7 Solución de triángulos .............................................................................. 1.8 Cálculo diferencial .................................................................................... El límite de una función y su aproximación ............................................. Recta tangente a una curva ....................................................................... La función derivada ..................................................................................
1 1 1 3 6 7 7 11 12 21 22 32 34 35 35 38 39 42 45 48 50 52 52 55 59
CARDONA J., MESA F., ROJAS L. CAPITULO 2. ESTADÍSTICA.................................................................. 61
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2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA............................................................... 61 2.1 Medidas de tendencia central.................................................................... 61 Media o promedio ..................................................................................... 61 La mediana ............................................................................................... 65 La moda ................................................................................................... 67 Media geométrica ..................................................................................... 68 2.3 Medidas de variabilidad............................................................................ 70 Desviación media .................................................................................... 70 Varianza .................................................................................................... 72 Desviación estandar .................................................................................. 73 Tablas de frecuencias ................................................................................ 75 2.5 Gráficos estadísticos ................................................................................ 84 Gráfico de barras ....................................................................................... 84 Diagrama circular (diagrama de pastel).................................................... 86 Histograma................................................................................................ 87 Polígono de frecuencias ............................................................................ 89 2.6 Medidas de tendencia central para datos agrupados ................................. 89 Media ........................................................................................................ 89 Desviación estándar para datos agrupados .............................................. 90 2.7 Algunas distribuciones de probabilidad .................................................... 90 2.8 Aplicación del Teorema de Bayes ............................................................ 96 2.9 Algunos comandos de interés en probabilidad ........................................ 98 2.10 Correlación y regresión ........................................................................... 101 2.11 Algo de geometría y física ...................................................................... 106 Movimiento parabólico............................................................................. 109 Cálculo de la velocidad media .................................................................. 111 Dinámica ................................................................................................... 112 TALLER DE EJERCICIOS ........................................................................... 115 Bibliografía ...................................................................................................... 119
Presentación La matemática, la estadística y la física no pueden estar al margen del avance tecnológico y el desarrollo de la informática, por ello no es posible que hoy se niegue a los estudiantes hacer uso de la calculadora y mucho menos del computador como medio para comprobar resultados y realizar estudios estadísticos. En el texto, EXCEL, APLICACIONES EN ÁLGEBRA, ESTADÍSTICA, PROBABILIDAD Y FÍSICA, se abordarán una serie de problemas sencillos y de rutina de matemáticas, estadística, probabilidad y física, los cuales tanto el docente como el estudiante podrán resolver mediante las bondades de la hoja de cálculo EXCEL, la cual usará como medio de prueba para procedimientos manuales. El objetivo no es enseñar a programar, es manejar sus aplicaciones en diferentes problemas de matemáticas, estadística, probabilidad y física. En el capítulo I se aborda el tema del álgebra, trigonometría y cálculo; el capítulo II presenta algunos tópicos de estadística que sabemos son de utilidad en la practica y, finalmente, en este mismo capítulo se encuentran unas pequeñas pruebas de geometría y física de gran utilidad en el laboratorio de física. Los autores.
Tel. 315-5308538
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Álgebra y cálculo
1. ALGO DE ARITMÉTICA Fórmulas con EXCEL
FRACCIONES ARITMÉTICAS EJEMPLO 1.
Resolvamos la fracción:
1026 (3,15) - (1,005)
En EXCEL escribimos: =(1026)/(3,15-1,005) y obtenemos: 478,32 Esto lo podemos hacer en cualquier celda así:
CARDONA J., MESA F., ROJAS L.
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Figura 1.
Como vemos el resultado aparece en la celda A4, pero podemos ver la fórmula en el sector de fx .
EJEMPLO 2.
1478 − 210 +1 Simplificar la fracción compleja: 2,3 − 1,1 1,004 2 19 ¬ 0,5 En EXCEL tenemos: =((1478-210)/(2,3-1,1)+1)/(19^2-(1,004/0,5)
1.ALGEBRA Y CÁLCULO
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Figura 2.
CÁLCULOS CON FUNCIONES EJEMPLO 3.
Calcular:
En EXCEL encontramos las funciones de la calculadora científica más compleja. Para este caso tenemos:
CARDONA J., MESA F., ROJAS L.
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Figura 3.
P r2 h Calculemos el volumen de un cono, recordemos: V = 3 Datos: r = 27 cm.
h = 85 cm.
En EXCEL ubicamos los datos en dos celdas (las que queramos), por ejemplo en A4 y A5 escribimos los datos suministrados, el número PI EXCEL lo toma como función así: PI( ) y se dejan los paréntesis vacíos.
1.ALGEBRA Y CÁLCULO
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Figura 4.
Hagamos lo anterior para diferentes valores, debemos hacer una tabla de doble entrada.
Figura 5.
CARDONA J., MESA F., ROJAS L.
Explicación:
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• • • • •
En forma horizontal escribimos el radio y sus valores En forma vertical escribimos los datos de la altura escribimos en la celda C3 la fórmula del cono Luego de calcularla mediante enter, regresamos a ella y la copiamos en toda la tabla Finalmente obtenemos el siguiente resultado:
Figura 6.
CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El mínimo común múltiplo de dos o más números lo podemos calcular en EXCEL mediante la función =M.C.D (#1; #2;…;) de 1 a 29 valores. De igual manera se realiza con el mínimo común múltiplo =M.C.M (#1; #2;…) hasta 29 valores. En la hoja de cálculo de EXCEL en las celdas C2, C3 y C4 escribimos los números a los cuales les queremos calcular el M.C.D y el m.c.m y en las celdas B6 y B7 (que puede ser cualquiera) escribimos las fórmulas de éstos, respectivamente, para obtener:
1.ALGEBRA Y CÁLCULO
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Figura 7.
1.1 APLICACIONES EN ÁLGEBRA Y FUNCIONES GRÁFICOS EN EXCEL EJEMPLO 4.
Graficar
y = 2x + 1
Abrimos EXCEL y empezamos una serie en -10 hasta 10, para ello damos un clic en edición y luego en rellenar series, para obtener:
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Figura 8.
En la columna B introducimos la función y = 2x + 1, que en EXCEL debe ser: 2*A1+1 y enter, luego arrastramos el resto de las celdas hasta 10.
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Figura 9.
En la barra de herramientas, en asistente para gráficos seleccionamos XY (dispersión).
CARDONA J., MESA F., ROJAS L.
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Figura 10.
Clic en damos siguiente y seleccionamos la serie, luego siguiente, finalizar para obtener el siguiente gráfico:
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Figura 11.
Gráfico de una función trigonométrica Solución de cualquier ecuación de primer grado del tipo ax + b = 0 Diseñamos una hoja de cálculo en EXCEL que tiene las siguientes características:
CARDONA J., MESA F., ROJAS L.
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Figura 12.
En B6 escribimos: = SI (Y (C3=0; D3=0);”identidad”; SI (C3=0;”sin solución”;(-D3/ C3))) Con esta función hecha a través de un condicional se consigue la solución. El condicional siempre maneja lo siguiente: SI (prueba _ lógica;[valor_si_verdadero];[valor_si_falso]) Solución de la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 Sabemos que: Si b² ¬4ac > 0 tiene dos raíces reales y diferentes Si b² ¬4ac < 0 tiene dos raíces imaginarias Si b² ¬4ac = 0 tiene dos raíces iguales (multiplicidad dos)
1.ALGEBRA Y CÁLCULO
El término b2 ─ 4ac es llamado discriminante. EJEMPLO 5.
Resolver la ecuación
x 2 − 3x + 2 = 0
La hoja de cálculo en EXCEL queda de la siguiente manera:
Figura 13.
Mediante un condicional se escriben las restricciones anteriores para el discriminante. En A7 se escribe: =Si (C3^2-4*C2*C4(B 3+B5);B5>(B3+B4));”NO HAY SOLUCIÓN”;” SOLUCIÓN ÚNICA”)
=SI(C6+C7>180;”NO HAYSOLUCIÓN”; ”SOLUCIÓN ÚNICA”)
=SI(D6+D7>180;”NO HAY SOLUCIÓN”; ”SOLUCIÓN ÚNICA”)
SOLUCIÓN ÚNICA
=SI(G4*SENO(RADIAN ES(G6))>G3;”NO HAY SOLUCIÓN”;SI(G3
